最新北师大版八年级下册数学第一章测试题

第一章测试卷（考试时间：90分钟满分：100分）1.下列命题不正确的是( )A.等腰三角形的底角不能是钝角B.等腰三角形不能是直角三角形C.若一个三角形有三条对称轴,那么它一定是等边三角形D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形2.如图1所示,AB=AC,BD=BC,若∠A=40°,则∠CBD的度数是( )图1A.20°B.30°C.35°D.40°3.如图2,在△ABC中,∠B=∠C,AD为△ABC的中线,那么下列结论错误的是( )图2A.△ABD≌△ACDB.AD为△ABC的高线C.AD为△ABC的角平分线D.△ABC是等边三角形4.如图3,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上一个动点,若PA=3,则PQ的最小值为( )图3A.B.2C.3D.25.如图4所示,B,C,D,E在同一条直线上,且BC=AC=AD=DE,则图中的等腰三角形共有( )图4A.3个B.4个C.5个D.6个6.如图5所示,AB=AC,∠A=50°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则∠DBC的度数为( )图5A.15°B.50°C.65°D.80°7.如图6所示,△ABC是等边三角形,D是BC的中点,DE⊥AC于点E,若CE=1,则AB等于( )图6A.2B.2C.3D.48.如图7所示,已知AC=AD,BC=BD,给出以下结论:①△ACD与△BCD都是等腰三角形;②AB是∠CAD和∠CBD的平分线;③AB⊥CD,且AB平分CD;④图中有三对全等三角形.其中判断正确的是( )图7A.①B.①②C.①②④D.①②③④9.如图8,已知AB⊥CD,垂足为B,BC=BE,若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE,则需要添加的一个条件是.图810.已知两条线段的长为10cm和24cm,当第三条线段的长为cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.11.如图9所示,在△ABC中,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,且BD=BE,∠BAC=72°,则∠DEC=.图912.如图10所示,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,若AD⊥BC,D为垂足,CD=1,则AB=.图1013.如图11所示,在△ABC中,∠B=32°,∠C=48°,AB和AC的垂直平分线交BC于点D,E,BC=6cm,则∠DAE的度数为,△ADE的周长为cm.图1114.在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比是.15.如图12,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.求证:∠CBE=∠BAD.图1216.用反证法证明:等腰三角形的底角都是锐角.17.如图13所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,点D为斜边BC上一点,且BD=BA,过点D作BC 的垂线交AC于点E.求证:点E在∠ABC的角平分线上.图1318.某地有两所大学和两条相交叉的公路,如图14所示(点M,N表示大学,AO,BO表示公路),现计划修建一座物资仓库,希望仓库到两所大学的距离相等,到两条公路的距离相等.(1)你能确定仓库应该建在什么位置吗?在所给的图中画出你的设计方案;(2)阐述你设计的理由.图1419.如图15,已知在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,CE的垂直平分线正好经过点B,与AC相交于点F,求∠A的度数.图1520.如图16,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证:AC=AE;(2)若点E为AB的中点,CD=4,求BE的长.图16参考答案1.B2.D3.D4.C5.B6.A7.D8.D9.AC=DE10.26或者11.103.5︒12.213.20︒ 614.4：315.证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.又∵AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,∴∠BAD+∠ABC=90°.∵BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=90°,∴∠CBE=∠BAD.16.解:已知:在△ABC中,AB=AC.求证:∠B和∠C都是锐角.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.假设∠B和∠C不都是锐角,则∠B=∠C≥90°.∴∠B+∠C≥180°,∴∠B+∠C+∠A>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,所以假设不成立.故∠B和∠C都是锐角.17.证明:连接BE,∵ED⊥BC,∴∠BDE=∠A=90°.在Rt△ABE和Rt△DBE中,∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL).∴∠ABE=∠DBE.∴点E在∠ABC的角平分线上.18.解:(1)仓库在线段MN的垂直平分线和∠AOB的角平分线的交点上.作图如图所示,点P 即为所求的位置.(2)理由为:角平分线的性质和线段垂直平分线的性质. 19.解:连接BE , ∵△ABC 是等腰三角形,∴∠ABC=∠C=180.①∵DE 是线段AB 的垂直平分线, ∴AE=BE , ∴∠A=∠ABE.∵CE 的垂直平分线正好过点B ,与AC 相交于点F ,可知△BCE 是等腰三角形, ∴BF 是∠EBC 的平分线,∴(∠ABC-∠A )+∠C=90°,即(∠C-∠A )+∠C=90°.②由①②联立,得∠A=36°.故∠A=36°. 20.(1)证明:∵在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠CAB ,DE ⊥AB , ∴CD=DE ,∠AED=∠C=90°,∠CAD=∠EAD.在△ACD 和△AED 中,∴△ACD ≌△AED ,∴AC=AE.(2)解:∵DE ⊥AB ,点E 为AB 的中点, ∴AD=BD ,∴∠B=∠DAB=∠CAD. ∵∠C=90°, ∴3∠B=90°,∴∠B=30°.∵CD=DE=4,∠DEB=90°,∴BD=2DE=8,=4.由勾股定理,得BE=8。

第一章综合测试一、选择题（共10小题，满分30分）1．如图已知100BAC ︒∠=，AB AC =，AB AC 、的垂直平分线分别交BC 于D E 、，则DAE ∠=（ ）A ．40︒B ．30︒C ．20︒D ．10︒2．如图，ABC △中，AB AC =，高BD CE 、相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点F ，则图中全等的直角三角形共有（ ）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对 3．如果一个三角形一条边上的中点到其它两边距离相等，那么这个三角形一定是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．斜三角形 4．Rt ABC △中，9046C B ︒︒∠=∠=，，则A ∠=（ ） A ．44︒ B ．34︒ C ．54︒ D ．64︒ 5．在ABC △中，若0A B C ∠+∠−∠=，则ABC △是（ ） A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形6．如图，AC AD BC BD ==，，则（ ）A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分ABC ．CD 平分ACB ∠D ．以上结论均不对7．如图，ABC △中，D 为BC 上一点，ABD △的周长为12cm ，DE 是线段AC 的垂直平分线，5AE =cm ，则ABC △的周长是（ ）A ．17cmB ．22cmC ．29cmD ．32cm8．如图，在ABC △中，AF 平分BAC ∠，AC 的垂直平分线交BC 于点E ，60B ︒∠=，30C ︒∠=，则FAE ∠为（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．30︒9．如图，AD 是ABC △的角平分线，,DF AB ⊥，垂足分别为点F ，DE DG =，若ADG △和ADE △的面积分别为50和39，则DEF △的面积为（ ）A ．11B ．7C ．5.5D ．3.510．如图，ABC △中，90C ︒∠=，AD 平分BAC ∠，过点D 作DE AB ⊥于E ，若4DC =，则DE =（ ）A ．3B ．5C ．4D ．6二、填空题（共7小题，满分28分）11．若等腰三角形的一个内角为50︒，则这个等腰三角形的顶角为________.12．下列四组数:①5，12，13；②7，24，25；③1，2，4；④5，6，8其中可以作为直角三角形三边长的有________.（把所有你认为正确的序号都写上）13．如图，在ABC △中，90C ∠=︒，AC BC =，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，DE AB ⊥于点E .若AB =10cm ，则ADE △的周长为________cm .14．在ABC △中，AB AC =，AB 的垂直平分线交AC 于D ，交AB 于E ，连接BD ，若40ADE ︒∠=，则ABC ∠=________.15．如图，BD 垂直平分线段AC ，AE BC ⊥，垂足为E ，交BD 于点P ，3cm PE =，则点P 到直线AB 的距离是________cm .16．如图，在ABC △中，点D 是BC 边上一点，12∠=∠，34∠=∠，63BAC ︒∠=，则DAC ∠的度数为________.17．如图，在Rt ABC △中，90C ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，若103AB CD ==，，则ABC S =△________.三、解答题（共8小题，满分62分）18．如图，ABC △中，90C =∠，4AC =，8BC =.（1）用直尺和圆规作AB 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线交BC 于点D ，求BD 的长.19．如图，已知ABC ∠，求作：（1）ABC ∠的平分线BD （写出作法，并保留作图痕迹）；（2）在BD 上任取一点P ，作直线PQ ，使PQ AB ⊥（不写作法，保留作图痕迹）.20．如图，ABC △中，D 是BC 上的一点，若10AB =，6BD =，8AD =，17AC =，求ABC △的面积.21．如图所示、AOB △和D CO ∆均为等腰直角三角形，90AOB COD ︒∠=∠=，D 在AB 上.（1）求证：AOC BOD △≌△；（2）若12AD BD ==，，求CD 的长.22．如图，已知ABC △中，AB AC BD CE =，、是高，BD 与CE 相交于点O . （1）求证：OB OC =；（2）若50ABC ︒∠=，求BOC ∠的度数.23．已知锐角ABC △，45ABC AD BC ︒∠=⊥，于D ，BE AC ⊥于E ，交AD 于F . （1）求证：BDF ADC △≌△；（2）若43BD DC ==，，求线段BE 的长度.24．如图，AB BC ⊥，射线CM BC ⊥，且5cm BC =，1cm AB =，点P 是线段BC （不与点B C 、重合）上的动点，过点P 作DP AP ⊥交射线CM 于点D ，连结AD .（1）如图1，若4cm BP =，则CD =________；（2）如图2，若DP 平分ADC ∠，试猜测PB 和PC 的数量关系，并说明理由；（3）若PDC △是等腰三角形，则CD =________cm .（请直接写出答案）25．如图，在ABC △中，20AB AC ==厘米，B C ∠=∠，16BC =厘米，点D 为AB 的中点，如果点P 在线段BC 上以6厘米/秒的速度由点向点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动.（1）用含有t 的代数式表示CP ，则CP =________厘米；（2）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；（3）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，那么当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？第一章综合测试答案解析一、 1．【答案】C【解析】解：100BAC AC AB ︒∠==，，18040B C BAC ︒︒∴∠=∠=−∠=（），DM EN 、分别是边AB 和AC 的垂直平分线， BD AD AE CE ∴==，，4040B BAD C CAE ︒︒∴∠=∠=∠=∠=，， =100404020DAE ︒︒︒︒∴∠−−=.故选C. 2．【答案】D【解析】解：有7对全等三角形： ①BDC CEB △≌△，理由是：AB AC =， ABC ACB ∴∠=∠，BD 和CE 是两腰上的高， 90BDC CEB ︒∴∠=∠=，在BDC △和CEB △中，BDC CEB ACB ABC BC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，BDC CEB AAS ∴△≌△（）， BE DC ∴=.②BEO CDO △≌△，理由是：在BEO △和CDO △中，BEO CDO BOE COD BE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，BEO CDO AAS ∴△≌△（）. ③AEO ADO △≌△，理由是： 由BEO CDO △≌△得：EO DO =，在Rt AEO △和Rt ADO △中，AO AO EO OD =⎧⎨=⎩，，Rt Rt AEO ADO HL ∴△≌△（）， EAO DAO ∴∠=∠.④ABF ACF △≌△，理由是：在ABF △和ACF △中，AB AC EAO DAO AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，⑤BOF COF △≌△，理由是：AB AC BAF CAF =∠=∠，， BF FC AFB AFC ∴=∠=∠，，在BOF △和COF △中，OF OF AFB ADC BF FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，BOF COF SAS ∴△≌△（）. ⑥AOB AOC △≌△，理由是：在AOB △和AOC △中，AO AO BAO CAO AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，AOB AOC SAS ∴△≌△（）. ⑦ABD ACE △≌△，理由是： 在ABD △和ACE △中， ABD ACE SAS ∴△≌△（）. 故选：D. 3．【答案】B 【解析】如右图，DE AB DF AC ⊥⊥，，90BED DFC ︒∴∠=∠=，在BDE △和CDF △，BD CD DE DF ==，，DBE DFC HL ∴△≌△（）， B C ∴∠=∠， AB AC ∴=，∴这个三角形一定是等腰三角形. 故选B. 4．【答案】A【解析】解：9046904644C B A ︒︒︒︒︒∠=∠=∴∠=−=，，.故选A. 5．【答案】A【解析】解：0A B C ∠+∠−∠=，A B C ∴∠+∠=∠，180A B C ︒∠+∠+∠=，90C ︒∴∠=，ABC ∴△是直角三角形.故选择：A. 6．【答案】A 【解析】解：AC AD BC BD AB AB ===，，，CAB DAB ∴∠=∠，且AC AD =，AB ∴垂直平分CD .故选：A. 7．【答案】B【解析】因为DE 是AC 的垂直平分线，所以AD CD =，AE EC =，而5cm AE =，所以10cm AC =，而ABC C AB BC AC =++△，ABC C AB BD AD AB BD CD AB BC =++=++=+△，所以ABC ABD C C AC =+=△△cm 10c m 12m c 22+=.8．【答案】B【解析】解：在ABC ∆中，60B ︒∠=，30C ︒∠=，180690030BAC ︒︒︒︒∴−−=∠=，AF 平分BAC ∠，11904522CAF BAC ︒︒⨯∴∠=∠==；DE 垂直平分AC ， AE CE ∴=，30EAD C ︒∴∠=∠=，453015FAE CAF CAE ︒︒︒∴∠=∠−∠=−=.故选：B. 9．【答案】C【解析】作DM DE =交AC 于M ，作DN AC ⊥于点N ，DE DG =， DM DG ∴=，AD 是ABC △的角平分线，DF AB ⊥， DF DN ∴=，在Rt DEF △和Rt DMN △中，DN DFDM DE ==⎧⎨⎩， Rt Rt DEF DMN HL ∴△≌△（）， ADG △和AED △的面积分别为50和39， 503911MDG ADG ADM S S S ∴=−=−=△△△，1152.5112DNM EDF MDG S S S ===⨯=△△△.故选C. 10．【答案】C【解析】解：90C ︒∠=，AD 平分BAC DE AB ∠⊥，于E ，DE DC ∴=， 4DC =，4DE ∴=.故选：C. 二、11．【答案】50︒或80︒ 【解析】如右图所示，ABC △中，AB AC =，有两种情况：①顶角50A ︒∠=； ②当底角是50︒时，AB AC =，50B C ︒∴∠=∠=， 180A B C ︒∠+∠+∠=， 180505080A ︒︒︒︒∴∠=−−=，∴这个等腰三角形的顶角为50︒或80︒. 故答案为50︒或80︒. 12．【答案】①②【解析】解：①22251213+=，能构成直角三角形； ②22272425+=，能构成直角三角形； ③222124+≠，不能构成直角三角形； ④222568+≠，不能构成直角三角形， 所以可以作为直角三角形三边长的有①②， 故答案为：①②. 13．【答案】10 【解析】BD 平分ABC ∠交AC 于D ，DE AB ⊥于E ，90DBE DBC BED C BD BD ︒∴∠=∠∠=∠==，，，BDE BDC AAS ∴△≌△（）， DE DC BE BC ∴==，，ADE ∴△的周长10cm DE DA AE DC DA AE CA AE BC AE BE AE AB =++=++=+=+=+==.故答案为：10. 14．【答案】65︒ 【解析】DE 是AB 的垂直平分线，DE AB ∴⊥，90AED ︒∴∠=.又40ADE ︒∠=，50A ︒∴∠=.又AB AC =，18050265ABC ACB ︒︒︒∴∠=∠=−÷=（）.故答案为65︒. 15．【答案】3【解析】过点P 作PM AB ⊥与点M ，BD 垂直平分线段AC ， AB CB ∴=，ABD DBC ∴∠=∠，即BD 为角平分线，又PM AB PE CB ⊥⊥，，3PM PE ∴==.16．【答案】24︒【解析】设12x ∠=∠=，则43122x ∠=∠=∠+∠=，63DAC ︒∠=， 63DAC x ︒∴∠=−，在ABC △中，有263180x x ︒︒++=，39x ︒=，°°6324DAC x ∴∠=−=，故答案为：24︒. 17．【答案】15 【解析】解：作DE AB ⊥于E ，90C ︒∠=， DC AC ∴⊥，AD 平分BAC DC AC DE A ∠⊥⊥，，， DE CD ∴=， 103AB CD ==，，∴111031522ABDSAB DE =⨯⨯=⨯⨯=. 故答案为15. 三、18．【答案】（1）如图直线MN 即为所求.（2）5BD =【解析】（2）MN 垂直平分线段AB ，DA DB ∴=，设DA DB x ==，在Rt ACD △中，222AD AC CD =+，()22248x x ∴=+−，解得5x =， 5BD ∴=.19．【答案】解：（1）如下图所示，作法：①以B 点为圆心，任意长为半径画弧分别交BA BC 、于M N 、点； ②再以M N 、为圆心，以大于它们之间的距离的二分之一为半径画弧，两弧在ABC ∠内相交于E ，则BD 为所作；（2）如下图，PQ 为所作.20．【答案】解：2222226810BD AD AB +=+==，ABD ∴△是直角三角形，AD BC ∴⊥，在Rt ACD △中，15CD ===，()111 21884222ABC BC AD BD CD S AD ∴==+=⨯⨯=△， 因此ABC △的面积为84.答：ABC △的面积是84.21．【答案】解：（1）证明：如右图，1903︒∠=−∠，2903︒∠=−∠，12∴∠=∠.又OC OD =，OA OE =，AOC BOD ∴△≌△.（2）由AOC BOD △≌△有：2AC BD ==，45CAO BOD ︒∠=∠=，90CAB ︒∴∠=，故CD =22．【答案】解：（1）证明：AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，BD CE 、是ABC △的两条高线，DBC ECB ∴∠=∠，OB OC ∴=.（2）50ABC AB AC ︒∠==，，18025080A ︒︒︒∴∠=−⨯=，18080100BOC ︒︒︒∴∠=−=.23．【答案】解：（1）证明：45AD BC ABC ︒⊥∠=，， 45ABC BAD ︒∴∠=∠=，AD BD ∴=，DA BC BE AC ⊥⊥，，9090C DAC C CBE ︒︒∴∠+∠=∠+∠=，，CBE DAC ∴∠=∠，且90AD BD ADC ADB ︒=∠=∠，＝，BDF ADC ASA ∴△≌△（）. （2）BDF ADC △≌△，43AD BD CD DF BF AC ∴=====，，，5BF ∴=，5AC ∴=，11 22ABCBC A S AD C BE =⨯⨯=⨯⨯， 745BE =∴⨯⨯， 285BE ∴=. 24．【答案】（1）4cm （2）PB PC =，理由：如图2，延长线段AP DC 、交于点E ， DP 平分ADC ∠，ADP EDP =∴∠∠.DP AP ⊥，90DPA DPE ︒∴∠==∠，在DPA △和DPE △中，ADP EDP DP DP DPA DPE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩DPA DPE ASA ∴△≌△（）， PA PE ∴=.AB BP CM CP ⊥⊥，，ABP ECP Rt ∴∠=∠=∠.在APB △和EPC △中，ABP ECP APB EPC PA PE ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩APB EPC AAS ∴△≌△（）， PB PC ∴=.（3）4【解析】（1）5cm 4cm BC BP ==，，1cm PC ∴＝，AB PC ∴=，DP AP ⊥，90APD ︒=∴∠，90APB CPD ︒∴∠=∠+，90APB CPD ︒∠=∠+，90APB BAP ︒∠=+∠， BAP CPD =∴∠∠，在ABP △和PCD △中，B CBAP CPD AB PC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABP PCD ∴△≌△，4cm BP CD =∴=.（3）PDC △是等腰三角形，PCD ∴△为等腰直角三角形，即45DPC ︒∠=， 又DP AP ⊥，45APB ︒∴∠=，1cm BP AB ∴==，4cm PC BC BP ∴=−=，4cm CD CP ∴==.25．【答案】（1）166t −（2）当1t =时，616BP CQ ==⨯=（厘米）， 20AB =厘米，点D 为AB 的中点，10BD ∴=厘米.又PC BC BP =−，16BC ∴=厘米，16610PC ∴=−=（厘米），PC BD =在BPD △和CQP △中，BD PC B C BP CQ =∠=∠=，，，BPD CQP SAS ∴△≌△（）（3）P Q v v ≠BP CQ ∴≠又BPD CPQ △≌△，B C ∠=∠，8cm BP PC ∴==，10cm CQ BD ==， ∴点P ，点Q 运动的时间4863t =÷=（秒），107.543Q CQv t ∴===（厘米/秒）.【解析】（1）6BP t =，则166PC BC BP t =−=−.。

第一章检测卷分一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是()A.3，4， 5 B．1，2， 3 C．6，7，8 D．2，3，42．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A的度数是()A．70°B．55°C．50°D．40°第2题图第4题图第5题图3．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设()A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于cC．a与b相交D．a⊥b4．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是() A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBAC．∠C＝∠D D．BC＝AD5．如图，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论不一定成立的是()A．P A＝PB B．PO平分∠APBC．AB垂直平分OP D．∠OBA＝∠OAB6．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为()A．8或10 B．8 C．10 D．6或127．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为()A．2.5 B．1.5 C．2 D．1第7题图第8题图8．如图，等边△ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB于点E，交AC于点F，则图中的等腰三角形有()A．4个B．5个C．6个D．7个9．如图，∠A＝50°，点O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是()A．40°B．50°C．60°D．70°第9题图第10题图10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，连接EF交AP于点G.给出以下四个结论：①∠B ＝∠C＝45°；②AE＝CF；③△EPF是等腰直角三角形；④四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(每小题3分，共15分)11．等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是__________________________________________，这个逆命题是________命题．12．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是________．第12题图第13题图13．如图，在平面直角坐标系中，BC平分∠ABO交y轴正半轴于点C，AB＝m，S△ABC ＝m，则点C的坐标为________．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，M为AC上一点，且CM＝CD，则∠ADM＝________°.第14题图第15题图15．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则以DB′为边的正方形的面积为________．三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)16．(8分)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°，求∠ACB和∠BAC的度数．17．(9分)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7，BC＝24，三角形内有一点P到各边的距离相等，PE⊥AB，PF⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为E，F，D，求PD的长．18．(9分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.(1)求证：△BED≌△CFD；(2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．19．(9分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在已作的图形中，若l分别交AB，AC，BC的延长线于点D，E，F，连接BE.求证：EF＝2DE.20．(9分)如图，在△ABC中，∠BAC＝106°，MP，NQ分别垂直平分AB，AC.(1)当AB＝AC时，∠1的度数为________；(2)若AB≠AC，请问(1)中的结论还成立吗？请通过计算说明．21．(10分)如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是AB，BC，CA上的点．(1)若AD＝BE＝CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；(2)若△DEF是等边三角形，问AD＝BE＝CF成立吗？试证明你的结论．22．(10分)已知△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB＝60°.(1)如图①，当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DB＝AD＋CD；(2)如图②，当D点不在AC的垂直平分线上时，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．23．(11分)(1)发现：如图①，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b.填空：当点A位于____________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为________(用含a，b的式子表示)；(2)应用：如图②，点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1.分别以AB，AC为边作等边△ABD，等边△ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值；(3)拓展：如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且P A＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．参考答案与解析1．B 2.D 3.C 4.A 5.C 6.C7.D8.D9．A解析：连接OA，OB.∵∠BAC＝50°，∴∠ABC＋∠ACB＝130°.∵O是AB，AC 垂直平分线的交点，∴OA＝OB，OA＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，∴∠OBA＋∠OCA＝∠OAB＋∠OAC＝50°，∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠ACB)－(∠OBA＋∠OCA )＝130°－50°＝80°.∵OB ＝OC ，∴∠BCO ＝∠CBO ＝40°.故选A.10．D 解析：∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠C ＝12×(180°－90°)＝45°，∴①正确；∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 的中点，∴AP ⊥BC ，BP ＝PC ，∠BAP ＝∠CAP ＝45°＝∠B ＝∠C ，∴AP ＝BP ＝CP .∵∠APF ＋∠FPC ＝90°，∠APF ＋∠APE ＝90°，∴∠FPC ＝∠EP A .在△APE 和△CPF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAP ＝∠C ，AP ＝CP ，∠EP A ＝∠FPC ，∴△APE ≌△CPF (ASA)，∴AE ＝CF ，∴②正确；由△APE ≌△CPF 可得PE ＝PF .∵∠EPF ＝90°，∴△EPF 是等腰直角三角形，∴③正确；∵△APE ≌△CPF ，∴S △APE ＝S △CPF .∵BP ＝CP ，∴S △APC ＝12S △ABC ，∴S四边形AEPF ＝S △APE ＋S △APF ＝S △CPF ＋S △APF ＝S △APC ＝12S △ABC ，∴④正确；即正确的有4个．故选D.11．如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形 真 12．76 13.(0，2) 14.1515．80或256 解析：△CDB ′为等腰三角形分三种情况：(1)当B ′D ＝B ′C 时，过点B ′作GH ⊥CD ，分别交AB ，CD 于G ，H ，如图①所示．∵B ′D ＝B ′C ，∴DH ＝CH .∵正方形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠B ′GE ＝∠B ′HC ＝90°，∴AG ＝DH ＝12DC ＝8，∴EG ＝AG －AE ＝8－3＝5，BE ＝AB －AE ＝13.由折叠的性质，得B ′E ＝BE ＝13.∵B ′G 2＝B ′E 2－EG 2＝169－25＝144，∴B ′G ＝12，∴B ′H ＝GH －B ′G ＝16－12＝4.∵DB ′2＝B ′H 2＋DH 2＝42＋82＝80，∴以DB ′为边的正方形的面积为80；(2)当DB ′＝CD 时，如图②所示，则DB ′＝16(易知点F 在BC 上且不与点C 、B 重合)．∴以DB ′为边的正方形的面积为256；(3)当CD ＝CB ′时，CB ＝CB ′.又∵EB ＝EB ′，EF ＝EF ，∴△EBC ≌△EB ′C .易知△EBC 与△EB ′C 关于直线EC 轴对称，此时，点F 与点C 重合，不符合题意，舍去．综上所述，以DB ′为边的正方形的面积为80或256.16．解：∵AB ＝AC ，AE 平分∠BAC ，∴AE ⊥BC (等腰三角形三线合一)．(2分)∵∠ADC ＝125°，∴∠CDE ＝55°，∴∠DCE ＝90°－∠CDE ＝35°.∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACB ＝2∠DCE ＝70°.(5分)又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝70°，∴∠BAC ＝180°－(∠B ＋∠ACB )＝40°.(8分)17．解：连接AP ，BP ，CP .设PE ＝PF ＝PD ＝x .∵在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝7，BC ＝24，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝25，S △ABC ＝12AB ·CB ＝84.(4分)又∵S △ABC ＝12AB ·PE ＋12BC ·PF＋12AC ·PD ＝12(AB ＋BC ＋AC )·x ＝12×56x ＝28x ，(7分)∴28x ＝84，解得x ＝3.故PD ＝3.(9分) 18．(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°.∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD .(2分)在△BED 与△CFD 中，∵∠DEB ＝∠DFC ，∠B ＝∠C ，BD＝CD ，∴△BED ≌△CFD (AAS)．(4分)(2)解：∵AB ＝AC ，∠A ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝CA ，∠B ＝60°.(6分)又∵DE ⊥AB ，∴∠EDB ＝30°，∴在Rt △BED 中，BD ＝2BE ＝2，∴BC ＝2BD ＝4，(8分)∴△ABC 的周长为AB ＋BC ＋CD ＝3BC ＝12.(9分)19．(1)解：如图所示．(3分)(2)证明：如图，∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝60°.∵DF 垂直平分AB ，∴EA ＝EB ，∠2＝∠A ＝30°，∴∠1＝60°－∠2＝30°.(6分)在Rt △BDE 中，∵∠2＝30°，∴BE ＝2DE .∵∠3＝90°，∴∠F ＝90°－∠ABC ＝30°＝∠1，∴EF ＝BE ，∴EF ＝2DE .(9分)20．解：(1)32°(3分)(2)成立．(4分)理由如下：∵∠BAC ＝106°，∴∠B ＋∠C ＝180°－106°＝74°.∵MP ，NQ 分别垂直平分AB ，AC ，∴PB ＝P A ，QC ＝QA ，∴∠P AB ＝∠B ，∠QAC ＝∠C ，(7分)∴∠P AB ＋∠QAC ＝∠B ＋∠C ＝74°，∴∠1＝∠BAC －(∠P AB ＋∠QAC )＝106°－74°＝32°.(9分)21．解：(1)△DEF 是等边三角形．(1分)证明如下：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ，AB ＝BC ＝CA .又∵AD ＝BE ＝CF ，∴DB ＝EC ＝F A .∴△ADF ≌△BED ≌△CFE ，(3分)∴DF ＝ED ＝FE .∴△DEF 是等边三角形．(5分)(2)AD ＝BE ＝CF 成立．(6分)证明如下：如图，∵△DEF 是等边三角形，∴DE ＝EF ＝FD ，∠FDE ＝∠DEF ＝∠EFD ＝60°.∴∠1＋∠2＝120°.(8分)∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，∴∠2＋∠3＝120°，∴∠1＝∠3.同理∠3＝∠4，易证△ADF ≌△BED ≌△CFE (AAS)，∴AD ＝BE ＝CF .(10分)22．(1)证明：∵D 点在AC 的垂直平分线上，∴AD ＝CD ，∴∠DAC ＝∠DCA ，∠CDB ＝∠ADB ＝60°，∴∠DAC ＝30°.(2分)∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝60°，∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝90°，∴∠ABD ＝90°－∠ADB ＝30°，∴BD ＝2AD ＝AD ＋CD .(4分)(2)解：成立．(5分)理由如下：在DB 上截取DE ＝AD ，连接AE .∵∠ADB ＝60°，∴△ADE 是等边三角形，∴AE ＝AD ，∠EAD ＝60°.∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴∠BAE ＝∠CAD .(7分)在△BAE 和△CAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ，AE ＝AD ，∴△BAE ≌△CAD ，∴BE＝CD ，∴BD ＝DE ＋BE ＝AD ＋CD .(10分)23．解：(1)CB 的延长线上 a ＋b (2分) (2)①CD ＝BE .(3分)理由如下：∵△ABD 与△ACE 是等边三角形，∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°，∴∠BAD ＋∠BAC ＝∠CAE ＋∠BAC ，即∠CAD ＝∠EAB .(4分)在△CAD 与△EAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，∠CAD ＝∠EAB ，AC ＝AE ，∴△CAD ≌△EAB ，∴CD ＝BE .(5分)②线段BE 长的最大值为4. 解析：∵线段BE 长的最大值＝线段CD 的最大值，由(1)知，当线段CD 的长取得最大值时，点D 在CB 的延长线上，∴线段BE 长的最大值为BD ＋BC ＝AB ＋BC ＝4.(6分)(3)如图a ，∵将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，则△APN 是等腰直角三角形，∴PN ＝P A ＝2，BN ＝AM .∵点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(5，0)，∴OA ＝2，OB ＝5，∴AB ＝3，∴线段AM 长的最大值＝线段BN 长的最大值，∴当点N 在线段BA 的延长线时，线段BN 的长取得最大值，最大值为AB ＋AN .∵AN ＝2AP ＝22，∴线段AM 长的最大值为22＋3.(9分)点N 在线段BA 延长线的图形如图b 所示，过P 作PE ⊥x 轴于E .∵△APN 是等腰直角三角形，∴PE ＝AE ＝2，∴OE ＝OA －AE ＝2－2，∴P (2－2，2)．(11分)。

第一章综合测试一、单选题（每小题3分，共30分）1.已知等腰三角形的其中两边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长是（）A .13B .17C .22D .17或222.如下图，AB AC DB DC ==，，则下列结论不一定成立的是（）A .AD BC ^B .BAD CAD Ð=ÐC .AD BC =D .ABD ACDÐ=Ð3.如下图，已知ABC △，点D E 、分别在边AC AB 、上，ABD ACE Ð=Ð，下列条件中，不能判定ABC △是等腰三角形的是（ ）A .AE AD =；B .BD CE =；C .ECB DBC Ð=Ð；D .BEC CDB Ð=Ð.4.直角三角形中两锐角之差为20°，则较大锐角为（ ）A .45°B .55°C .65°D .50°5.三角形三个内角度数之比是1:1:2，则这个三角形是（ ）A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .等腰直角三角形6.如下图，在四边形ABCD 中，AB AD CB CD BD ==，，和AC 交于点O ，下列结论错误的是（）A .AC 垂直平分BDB .图中共有三对全等三角形C .OCD ODC Ð=ÐD .四边形ABCD 的面积等于12AC BD g 7.如下图所示.在ABC △中，106BAC EF MN °Ð=，、分别是AB AC 、的中垂线，E N 、在BC 上，则EAN Ð=（ ）A .58°B .32°C .36°D .34°8.如下图，在ABC R t △中，30A DE Ð=°，垂直平分AB ，垂足为点E ，交AC 于D 点，连接BD ，若2DE =，则AC 的值为（ ）A .4B .6C .8D .109.如下图，ABC △中，90A B C C C AD =Ð=°，，是BAC Ð的平分线，DE AB ^于点E ，若6cm AB =，则DBE △的周长为（ ）A .6cmB .8cmC .9cmD .cm10.如下图，BO CO 、是ABC ACB ÐÐ、的平分线，120BOC Ð=°，则A Ð=（）A .60°B .120°C .110°D .40°二、填空题（每小题4分，共28分）11.等腰三角形的一个内角是30°，则另两个角的度数分别为________.12.已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为________.13.如下图，ABC △中，H 是高AD BE 、的交点，且BH AC =，则ABC Ð=________.14.如下图，等边三角形ABC 中，AD BC ^，垂足为点D ，点E 在线段AD 上，°45EBC Ð=，则ACE Ð等于________.15.如下图，在ABC R t △中，°°9030C B Ð=Ð=，，边AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E ，交BC 于点3D CD =，，则BC 的长为________.16.如下图，在ABC △中，°36AB AC A BD =Ð=，，平分ABC Ð交AC 于点D ，则ADB Ð的度数是________.17.如下图所示，AB CD O ∥，为BAC ACD ÐÐ、的平分线的交点，OE AC ^于E ，且125OA OE ==，，则AB 与CD 之间的距离等于________.三、解答题一（每小题6分，共18分）18.分别画出满足下列条件的点：（尺规作图，请保留作图痕迹，不写作法.作图痕迹请加粗加黑！）（1）在边BC 上找一点P ，使P 到AB 和AC 的距离相等；（2）在射线AP 上找一点Q ，使QA QC =.19.如下图，已知BD D BC C AC A A ^^，，与BD 交于O AC BD =，.连接AB .求证：OAB △是等腰三角形.20.如图，在ABC △中，CD 是边AB 上的高线，2BC CD AC ==，＝求证：ABC △是直角三角形.四、解答题二（每小题8分，共24分）21.如下图，在等腰ABC △中，AB AC DE =，垂直平分AB ，分别交AB AC ，于点E D ，.（1）若40ADE °Ð=，求DBC Ð的度数；（2）若6BC CDB =，△的周长为15，求AB 的长.22.如图，在ABC △中，90BAC E °Ð=，为边BC 上的点，且AB AE D =，为线段BE 的中点，过点E 作EF AE ^，过点A 作AF BC ∥，且AF EF 、相交于点F .（1）求证：C BAD Ð=Ð；（2）求证：AC EF =.23.如下图，在ABC △中，AB AC =，点D 在边AB 上，过点D 作DE BC ∥交边BC 于点E ，连结BE .（1）求证：AD AE =.（2）若BD DE =，求证：BE 平分ABC Ð.五、解答题三（每小题10分，共20分）24.在ABC △中，90ACB AC BC °Ð==，，直线MN 经过点C ，且AD MN ^于D ，BE MN ^于E .（1）当直线MN 绕点C 旋转到图（1）的位置时，显然有：DE AD BE =+；请证明.（2）当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，求证：DE AD BE =-；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时，试问（2）中DE AD BE 、、的关系还成立吗？若成立，请证明；若不成立，它们又具有怎样的等量关系？请证明.25.如下图，在ABC △中，50cm 30cm 40cm AB BC AC ===，，.（1）求证：90ACB °Ð=（2）求AB 边上的高.（3）点D 从点B 出发在线段AB 上以2cm /s 的速度向终点A 运动，设点D 的运动时间为()t s .①BD 的长用含t 的代数式表示为________.②当BCD △为等腰三角形时，直接写出t 的值.第一章综合测试答案解析一、1.【答案】C【解析】由于等腰三角形的底和腰长不能确定，故应分两种情况进行讨论.分为两种情况：①当三角形的三边是4，4，9时，∵＜，449+∴此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形；②当三角形的三边是4，9，9时，++=.此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是49922故选C.2.【答案】C△≌△，可以判断相应的选项，然后通【解析】根据等腰三角形的性质，得出相等角，通过求证ABD ACD^，即可解决.过等角的补角相等，得出AD BC如下图：AB AC∵，=∴ABC ACBÐ=Ð∵，=DB DC∴，Ð=ÐDBC DCB∴Ð=ÐABD ACD∴△≌△ABD ACD∴（B选项正确）BAD CADÐ=ÐÐ=Ð（D选项正确）ABD ACDÐ=Ð∴ADB ADCÐ=Ð故BDE CDE∴^DE BC^（A选项正确）AD BC故选C【考点】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质.3.【答案】D【解析】添加AE AD BD CE ECB DBC ==Ð=Ð、、可利用AAS 判定ABD ACE △≌△，进而可得AB AC =，从而可得ABC △是等腰三角形；添加BEC CDB Ð=Ð不能判定ABD ACE △≌△，因此也不能证明AB AC =，进而不能证明ABC △是等腰三角形.A .添加AE AD =，在ABD △和ACE △中A A ABD ACE AE AD ÐÐìïÐÐ==í=ïî，()ABD ACE AAS ∴△≌△，AB AC =∴，ABC ∴△为等腰三角形，故此选项不合题意；B .添加BD CE =，在ABD △和ACE △中A A ABD ACE BD CE ÐÐìïÐÐ==í=ïî，()ABD ACE AAS ∴△≌△，AB AC =∴，ABC ∴△为等腰三角形，故此选项不合题意；C .添加ECB DBC Ð=Ð，又ABD ACE =ÐÐ∵，ABC ACB Ð=Ð∴，AB AC =∴，ABC ∴△为等腰三角形，故此选项不合题意；D .添加BEC CDB Ð=Ð，不能证明ABD ACE △≌△，因此也不能证明AB AC =，进而得不到ABC △为等腰三角形，故此选项符合题意；故选D .【考点】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握判定三角形全等的方法.4.【答案】B【解析】设两个锐角分别为x y 、，由题意得，°°9020x y x y ì+=í-=î，解得5535x y °°==ìíî，所以，最大锐角为55°.故选B .5.【答案】D【解析】由三角形的三个内角度数比为1:1:2，可设三角形的三个内角分别为：°°°2x x x ，，，然后由三角形的内角和等于180°，即可得方程：°2180x x x ++=，解此方程即可求得答案.设三角形的三个内角分别为：°°°2x x x ，，.由三角形内角和定理得：°2180x x x ++=解得：°45x =.当°45x =时，°°°224590x =´=.三角形的三个内角度数分别为：45°，45°，90°.故这个三角形是等腰直角三角形.故选D .【考点】本题考查了三角形的内角和定理.解题的关键是根据三角形的三个内角度数比为1:1:2，设三角形的三个内角分别为：°°°2x x x ，，，利用方程思想求解.6.【答案】C【解析】根据线段垂直平分线的判定和全等三角形的判定定理判断即可.AB AD CB CD ==∵，，AC ∴垂直平分BD ，故A 正确；OB OD =∴，AO AO CO CO ==∵，，()()ABO ADO SSS CBO CDO SSS ∴△≌△，△≌△，()ABC ADC SSS △≌△；故图中共有三对全等三角形，故B 正确；OD ∵不一定等于OC ，OCD Ð∴不一定等于ODC Ð，故C 错误；AC ∵垂直平分BD ，BO DO =∴，∵四边形ABCD 的面积111222ABC ADC S S S AC BO AC DO AC BD ===´+´=´△△，故D 正确，故选：C .【考点】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形面积公式，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键.7.【答案】B【解析】先由°106BAC Ð=及三角形内角和定理求出B C Ð+Ð的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出B BAE C CAN Ð=ÐÐ=Ð，，即B C BAE CAN Ð+Ð=Ð+Ð，由()EAN BAC BAE CAN Ð=Ð-Ð+Ð解答即可.ABC ∵△中，°°°°°10618018010674BAC B C BAC EF MN Ð=Ð+Ð=-Ð=-=，∴，∵、分别是AB AC 、的中垂线，B BAE C CAN Ð=ÐÐ=Ð∴，，即°74B C BAE CAN Ð+Ð=Ð+Ð=，()°°°1067432EAN BAC BAE CAN Ð=Ð-Ð+Ð=-=∴.故选B .【考点】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，能根据三角形内角和定理求出°74B C BAE CAN Ð+Ð=Ð+Ð=是解答此题的关键.8.【答案】B【解析】依据含30°角的直角三角形的性质，即可得到AD 的长，再根据角平分线的性质，即可得到CD 的长，进而得出AC 的长.解：°30A DE Ð=∵，垂直平分2AB DE =，，4AD BD ==∴，°30ABD A Ð=Ð=∴，°30DBC ABD Ð=Ð=∴，即BD 平分ABC Ð，又DE AB DC BC ^^∵，，2CD DE ==∴，426AC =+=∴，故选：B .【考点】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质.此题注意掌握数形结合思路的应用.9.【答案】A【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD DE =，然后利用“HL ”证明ACD Rt △和AED R t △全等，根据全等三角形对应边相等可得AC AE =，再求出DBE △的周长AB =，从而得解.解：°90C AD Ð=∵，平分CAB DE AB Ð^，，CD DE =∴，在ACD R t △和AED R t △中，AD AD CD DE ==ìíî，()ACD AED HL ∴R t △≌R t △，AC AE =∴，DBE ∴△的周长DE BD BE =++，CD BD BE =++，BC BE =+，AC BE =+，AE BE =+，AB =，6AB =∵，DBE ∴△的周长6=.故选：A .【考点】此题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟记各性质并求出DBE △的周长AB =是解题的关键.10.【答案】A【解析】因为OB OC 、是ABC ACB ÐÐ、的角平分线，所以ABO CBO ACO BCO Ð=ÐÐ=Ð，，所以°°°180120=60ABO ACO CBO BCO Ð+Ð=Ð+Ð=-，所以°°602120ABC ACB Ð+Ð=´=，于是°°°18012060A Ð=-=.故选A .二、11.【答案】75°（或者75°/30°、120°）【解析】分为两种情况讨论，①30°是顶角；②30°是底角；结合三角形内角和定理计算即可.解：①30°是顶角，则底角()°°°118030752=-=；②30°是底角，则顶角°°°180302120=-´=.∴另两个角的度数分别是75°、75°或30°、120°.故答案是75°；75°或30°、120°.【考点】此题考查等腰三角形的性质，难度不大12.【答案】24【解析】2226810+=∵，此三角形为直角三角形，此三角形的面积为：168242´´=.故答案为：24.13.【答案】45°【解析】根据题意证HBD CAD △≌△，推出AD DB =，推出DAB DBA Ð=Ð，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出ABD Ð，即可求出答案.解：AD BC BE AC ^^∵，，°90ADB ADC BEC Ð=Ð=Ð=∴，°90HBD C CAD C Ð+Ð=Ð+Ð=∴，HBD CAD Ð=Ð∴，∵在HBD △和CAD △中，HBD CAD HDB CAD BH AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()HBD CAD AAS ∴△≌△，AD BD =∴，DAB DBA Ð=Ð∴，°90ADB Ð=∵，°45ABD Ð=∴，即°45ABC Ð=故答案为：45°【考点】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.14.【答案】15°【解析】先判断出AD 是BC 的垂直平分线，进而求出°45ECB Ð=，即可得出结论.解：∵等边三角形ABC 中，AD BC ^，BD CD =∴，即：AD 是BC 的垂直平分线，∵点E 在AD 上，BE CE =∴，EBC ECB Ð=Ð∴，°45EBC Ð=∵，°45ECB Ð=∴，ABC ∵△是等边三角形，°60ACB Ð=∴，°15ACE ACB ECB Ð=Ð-Ð=∴，故答案为：15°.【考点】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出ECB Ð是解本题的关键.15.【答案】9【解析】DE ∵是AB 的垂直平分线，AD BD =∴，°30DAE B Ð=Ð=∴，°60ADC DAE B Ð=Ð+Ð=∴，°30CAD Ð=∴，AD ∴为BAC Ð的角平分线，°90C DE AB Ð=^∵，，3DE CD ==∴，°30B Ð=∵，26BD DE ==∴，9BC =∴.【考点】本题主要考查的知识点有线段垂直平分线的性质、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练运用各性质是解题的关键.16.【答案】108°【解析】根据°36AB AC A =Ð=，求出ABC Ð的度数，利用BD 平分ABC Ð求出ABD Ð，再利用三角形的内角和求出ADB Ð的度数.°36AB AC A =Ð=∵，，()()°°°°11180180367222ABC A Ð=-Ð=-=∴，BD ∵平分ABC Ð，°1362ABD ABC Ð=Ð=∴，°°°°°1801803636108ADB A ABD Ð=-Ð-Ð=--=∴，故答案为：108°.【考点】此题考查角度的加减计算，注意三角形的内角和定理、角平分线定理的应用.17.【答案】10.【解析】过点O 作MN AB ^于M ，交CD 于N ，根据角平分线的性质和平行线的性质解答可得解.如下图，过点O 作MN AB ^于M ，交CD 于N ，AB CD ∵∥，MN CD ^∴，AO ∵是BAC Ð的平分线，5OM AB OE AC OE ^^=，，，5OM OE ==∴，CO ∵是ACD Ð的平分线，OE AC ON CD ^^，，5ON OE ==∴，10MN OM ON =+=∴，即AB 与CD 之间的距离是10.故答案为10.【考点】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，平行线间的距离的定义，熟记性质并作出辅助线是解题的关键.三、18.【答案】（1）作法：1.以点A 为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角BAC 两边于点M N ，.2.分别以点M N ，为圆心，以大于12MN 的长度为半径画弧，两弧交于点D .3.作射线AD ，交BC 与点P ，如下图所示，点P 即为所求.（2）作法：1.以线段的AC 两个端点为圆心，以大于AC 一半长度为半径分别在线段两边画相交弧；2得出相交弧的两个交点F E 、；3用直尺连接这两个交点，所画得的直线与射线AP 交与点Q ，如下图所示，点Q 即为所求.【解析】（1）根据角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等，故做角A 的角平分线交BC 于点P P ，点即为所求.（2）根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，故作出线段AC 的垂直平分线，交射线AP 与点Q Q ，点即为所求.【考点】本题考查了角平分线的性质和垂直平分线的性质，根据角平分线和垂直平分线的作法即可解决问题，能够熟练掌握二者的作法是解决本题的关键.19.【答案】证明：AC BC BD AD^^∵，90D C Ð=Ð=°∴，在ABD R t △和BAC R t △中，BD AC AB BA=ìí=î()ABD BAC HL R t △R t △∴≌，DBA CAB Ð=Ð∴，OA OB =∴，即OAB △是等腰三角形.【解析】利用HL 定理得出ABD BAC △≌△即可得出DBA CAB Ð=Ð，再利用等腰三角形的判定得出即可.【考点】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，根据已知得出ABD BAC ≌R t △R t △是解题关键.20.【答案】解：CD AB ^∵，90ADC BDC °Ð=Ð=∴.在BCD Rt △中，2BC CD ==∵，，1BD =∴.在ACD Rt △中，3AC CD AD ===∵.(()2222222163116AC BC AB ====∵＋＋，＋，222AC BC AB =∴＋，ABC ∴△是直角三角形.【解析】由勾股定理分别求出AD 和BD 的长，再用勾股定理的逆定理证明ABC △是直角三角形.四、21.【答案】解：（1）DE ∵垂直平分AB ，90AED BED DA DB °Ð=Ð==∴，，40ADE °Ð=∵，50A ABD °Ð=Ð=∴，又AB AC =∵，()18050265ABC °°°Ð=-¸=∴，655015DBC ABC ABD °°°Ð=Ð-Ð=-=∴；（2）DE ∵垂直且平分AC ，AD CD =∴，BDC △的周长15BC BD CD =++=，又6BC =∵，9AB AC ==∴.【解析】（1）由DE 垂直平分AB ，根据线段垂直平分线的性质，可得90AED BED DA DB °Ð=Ð==，，又由40ADE °Ð=，即可求得ABD Ð的度数，又由AB AC =，即可求得ABC Ð的度数，继而求得答案；（2）由已知条件，运用线段垂直平分线定理得到AD CD =，结合6BC CDB =，△的周长为15，求AB 即可.【考点】线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.22.【答案】证明：（1）AB AE D =∵，为线段BE 的中点，AD BC^∴90C DAC °Ð+Ð=∴，90BAC °Ð=∵90BAD DAC °Ð+Ð=∴C BADÐ=Ð∴（2）AF BC∵∥FAE AEBÐ=Ð∴AB AE∵＝B AEBÐ=Ð∴B FAE Ð=Ð∴，且90AEF BAC AB AE°Ð=Ð==，()ABC EAF ASA ∴△≌△AC EF=∴【解析】（1）由等腰三角形的性质可得AD BC ^，由余角的性质可得C BAD Ð=Ð；（2）由“ASA ”可证ABC EAF △≌△，可得AC EF =.【考点】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.23.【答案】（1）证明：AB AC =∵，ABC C Ð=Ð∴，DE BC ∵∥，ADE ABC AED C Ð=ÐÐ=Ð∴，，ADE AED Ð=Ð∴，AD AE =∴；（2）证明：BD DE =∵，DBE DEB Ð=Ð∴，DE BC ∵∥，DEB CBE Ð=Ð∴，DBE CBE Ð=Ð∴，BE ∴平分ABC Ð.【解析】（1）根据等边对等角可得ABC C Ð=Ð，再根据两直线平行，同位角相等可得ADE ABC =∠∠，AED C Ð=Ð，从而得到ADE AED Ð=Ð，然后根据等角对等边可得AD AE =；（2）根据等边对等角可得DBE DEB Ð=Ð，再根据两直线平行，内错角相等可得DEB CBE Ð=Ð，从而得到DBE CBE Ð=Ð，然后根据角平分线的定义证明即可.【考点】本题考查了等腰三角形的判定及性质，以及角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定及性质.五、24.【答案】（1）ABC ∵△中，9090ACB ACD BCE °°Ð=Ð+Ð=，∴，又直线MN 经过点C ，且AD MN ^于D BE MN ^，于E ，9090ADC CEB ACD DAC BCE DAC °°Ð=Ð=Ð+Ð=Ð=Ð∴，∴，∴，在ADC △和CEB △中，°90ADC CEB DAC ECB AC BC ìÐ=Ð=ïÐ=Ðíï=î∵，()ADC CEB AAS CD BE AD CE DE CD CE AD BE ===+=+∴△≌△，∴，，∴；（2）ABC ∵△中，90ACB °Ð=，直线MN 经过点C ，且AD MN ^于D BE MN ^，于E ，9090ADC CEB ACD BCE BCE CBE °°Ð=Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=∴，，ACD CBE Ð=Ð∴.而AC BC ADC CEB CD BE CE AD DE CE CD AD BE ====-=-，∴△≌△，∴，，∴；（3）如图3.ABC ∵△中，90ACB °Ð=，直线MN 经过点C ，且AD MN ^于D BE MN ^，于E ，9090ADC CEB ACD BCE BCE CBE °°Ð=Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=∴，，ACD CBE Ð=Ð∴.AC BC ADC CEB CD BE CE AD DE CD CE BE AD ====-=-∵，∴△≌△，∴，，∴；DE AD BE 、、之间的关系为DE BE AD =-.【解析】（1）证明ADC CEB △≌△，然后利用全等三角形的性质即可解决问题；（2）证明ADC CEB △≌△，然后利用全等三角形的性质即可解决问题；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时，仍然ADC CEB △≌△，然后利用全等三角形的性质可以得到DE BE AD =-.【考点】本题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是一个探究性题目，对于学生的能力要求比较高.25.【答案】证明：（1）2222290016002500cm 2500cm BC AC AB ++=∵，==，222BC AC AB +∴=，90ACB °Ð=∴，ABC ∴△是直角三角形；（2）设AB 边上的高为cm h ，由题意得50304022ABC h S ´==g △，解得24h =.AB ∴边上的高为24cm ；（3）①2t②当t 15s =或18s 或25s 2时，BCD △为等腰三角形.【解析】（1）运用勾股定理的逆定理即可证得90ACB °Ð=；（2）运用等面积法列式求解即可；（3）①由路程=速度x 时间，可得2t BD =；②分三种情况进行求解，即可完成解答.①∵点D 从点B 出发在线段AB 上以2cm /s 的速度向终点A 运动，2t BD =∴；故答案为：2t ；②如图1，若30cm BC BD ==，则3015s 2t ==，如图2，若CD BC =，过点C 作CE AB ^，由（2）可知：24cm CE =，18cm BE ===∴，CD BC =∵，且CE BA ^，18cm DE BE ==∴，36cm BD =∴，3618s 2t ==∴，若CD DB =，如图2，222CD CE DE =+∵，()2218576CD CD =-+∴，25CD =∴，25s 2t =∴，综上所述：当15s t =或18s 或25s 2时，BCD △为等腰三角形.【考点】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理、等面积法等知识，利用分类讨论思想解决问题是解答本题的关键。

北八（下）第一章 1.4-1.6 章节水平测试题一、填空题：（每题3 分，共 24 分）1 ．已知不等式5(x2)8 6(x1) 7的最小整数解为方程 2x ax4 解，则 a 值是 ．2 ．已知3(5x2) 54x 6( x 1) ，化简 x 1 1 x = ．3 ． a 取正整数 时，方程4 ． k 为整数时，方程3x a 7 的解是负整数．5x 2k x 4 的解在 1 和 3 之间．7. 如果三角形的三边长分别是3 cm 、 (1-2 a ) cm 、 8 cm ，那么 a 的取值范围是 ________．8. 如图，某航空公司托运行李的费用与托运行李的重量的关系为一次函数，由图可知行李的重量只要不超过 ________ 千克，就可以免费托运．二、选择题：（每题 3 分，共 24 分）9 ．不等式 3( x -2) ≤ x ＋4 的非负整数解有几个()A ． 4B ． 5C ． 6D ．无数个11110 ．不等式 4x - 4x4 的最大的整数解为 ( )A ． 1B ． 0C ． -1D ．不存在A ． 5B ． 4C ． 3D ．无数个A． a＝ 3 b ＝ 5B． a ＝ -3 b ＝-5C． a＝ -3 b ＝ 5D． a ＝3 b ＝ -55x3m m1513 ．若方程42 4 的解是非正数，则m 的取值范围是（）．A m 3B m 2C m 3D m 214 ．七年级（ 3 ）班同学假日外出游玩，要拍合影留念，若一张彩色底片要0.57 ，冲印一张要 0.35元，每人预定要一张，花钱不超过0.45 元，则参加合影的同学至少有（）个人？A 5 B.6 C.7 D.82x y1015.如果关于 x、 y 的方程组3x y 5a的解满足 x ＞ 0且 y ＜ 0 ，则实数 a 的取值范围是（）．A2<a<3B-3<a<2C-2 ＜ a ＜3D-3<a<-216. 某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶 x 千米，个体车主收费y 1元，国营出租车公司收费为y 2元，观察下列图象可知，当x （）时，选用个体车较合算．A.x<1500B. x=1500C. x>1200D. x ＞ 1500三、解答题：（共30 分）17 （10分）解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来：13x 51 2 x1（1）236（ 2）18. （10分）已知 5 x -2 y＝ 6 ，当 x 满足 6 ≤ 7 x -1 ＜ 13时，请确定 y 的取值范围．19.（ 10 分）如果方程组，m的值表示在数轴上．是多少？3x y 13mx3y1m的解满足x＋y＞0，求m的取值范围，并把四、综合探究题：（22 分）20．（ 10 分）某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12 辆和 6 辆，现需调往 A 县 10辆，调至 B 县 8 辆，已知从甲仓库调往 A 县和 B 县的费用分别 40 元和 80 元；从乙仓库调 往 A 县和 B 县的费用分别为 30 元和 50 元．（ 1）设从乙仓库调往 A 县农用车 x 辆．求总运费 y 与 x 的函数关系式．（ 2）若要求总运费不超过 900 元．问共有几种调配方案？（ 3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？21.（ 12 分）某企业现有工人 80 人，平均每人每年可创产值 a 元 . 为适应市场经济改革，现决定从中分流一部分人员从事服务行业 . 分流后企业工人平均每人每年创造产值可增加30% ，服务行业人员平均每人每年可创产值2.5 a 元 . 要使分流后企业工人的全年总产值不低于原来全年总产值，而且服务行业人员全年创产值不低于原企业全年总产值的一半. 假设你是企业管理者，请你确定分流到服务行业的人数．五、备选题22. 弟弟上午八点钟出发步行去郊游， 速度为每小时 4 千米； 上午十点钟哥哥从同一地点骑自行车去追弟弟 . 如果哥哥要在上午十点四十分之前追上弟弟，问哥哥的速度至少是多少？23. 某初一新生中，有若干住宿生，分住若干间宿舍，若每间住每间住 7 人，则有一间不空也不满．求住宿生人数．4 人，则有21 人无处住；若24. 某商场计划投入一笔资金采购一批紧销商品，经过市场调查发现：如果月初出售可获利15%，并把本利再投资其他商品， 到月末又可获利 10%，如果月末出售可获利 30%．但要付出仓储费用 700 元．请问：根据商场的资金状况，如何购销获利较多？新 课 标 第一网参考答案：一、1 ．a4（提示： x 3 ，则最小的整数解是 x2 ，原方程 4 2a 4 ．∴ a 4 ）2 ． -2（提示：不等式的解集是x1，∴x 11 xx 1 (1 x)2 ）a 7x3a7 0 ， a 7 ，∴3 ．4 ， 1 （解方程，∵ 符合条件的 a 值是 4 ， 1 ）k 2k 23x3 ，即134 ． 2 ， 3 ， 4 ，5 ，6 （∵）5. a ≤26. 2 ≤ x ＜ 57. -5 ＜ a ＜ -2 8. 20二、9 ．C 10 ．B11.B 12.D13 ．A （提示： x m3．∵ x 0∴m 3 0即m3 ）14.B （ 6 人 提示：设至少 x 人合影，依题意，得0.57 0.35x 0.45x ）2x y 10x2 a15.C 提示：解方程组3x y5a得这个方程组的解是y 2a 62 a0∵x ＞ 0 且 y ＜0 ，∴2a6016.D解得： -2 ＜ a ＜3三、 17. （1 ）18.解法一：由20x7（ 2） x≤1（数轴略）新课标第一网6 ≤ 7x -1 ＜ 13 得： 1 ≤x ＜26 2 y由 5 x-2 y ＝ 6得： x ＝ 5 ，6 2 y∴ 1 ≤5＜ 2则 5 ≤ 6 ＋2 y ＜10-1 ≤ 2 y＜ 41∴- 2≤ y ＜ 2解法二：由 6 ≤ 7x -1 ＜ 13 得： 1 ≤ x ＜ 25x 6由 5 x-2 y ＝ 6 得： y ＝2∵ 1 ≤ x ＜ 2 ，5 ≤ 5x ＜ 10-1 ≤ 5x -6 ＜ 415x6∴- 2≤2＜21即- 2≤ y＜ 23x y 1 3m①19.由方程组x 3y 1 m②①＋②得 :4 x ＋4 y ＝ 2 ＋ 2m ，1 m∴x ＋ y＝21 m∵x ＋ y＞ 0 ，∴2＞0，解得 : m ＞ -120.小于或等于11km，大于 10km．（提示：设甲、乙两地间距离为x km ．根据题意，得16 1.2(x 5)1017.2∴10 x 11）21.解：设分流x 人从事服务行业，则剩余(80- x ) 人从事企业生产．(1 30%)a(80 x)80 a12.5ax80a2根据题意得：1.3ax24a即 2.5ax 40a6x1813∴x 16又∵ x是整数∴x ＝ 16 ，17 或 18即可分流16 人或 17人、 18 人去从事服务行业．五、 22.解：设哥哥的速度为x 千米 / 小时4040根据题意得：60 x≥4(2＋ 60 )解得： x ≥16答：哥哥的速度至少是16 千米 / 小时．23.解：设有 x 间宿舍，则总人数为（4x＋21）人．由题意得：解不等式①得x＞7．28解不等式②得x＜3．28∴这个不等式组的解集是7＜x＜3．∵房间数只能取正整数．∴ x＝8或9．当x＝8时，人数：4×8＋21＝53（人）当x＝9时，人数：4×9＋21＝57（人）24. 解：设商场投入资金x元，第一种投资情况下，获总利用y1元表示．第 2 种投资情况下获总利用 y2元表示．由题意得： y1＝ x（1＋15%）（1＋10%）－ xy1＝0. 265x．y2＝ x（1＋30%）－ x－700y2＝0. 3x－700（1）当y1＞y2时， 0. 265x＞ 0. 3x－ 700，x＜ 2000；（2）当y1＝y2时， 0. 265x＝ 0. 3x－ 700，x＝ 2000；（3）当y1＜y2时， 0. 265x＜ 0. 3x－ 700，x＞ 2000．答：（ 1）当投资超过 2000 元时，选择第二种投资方式；（2）当投资为 2000 元时，两种选择都行；（3）当投资在 2000 元内时，选择第一种投资方式．新课标第一网。

第一章综合测试一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.如下图，已知BD 是ABC △的角平分线，ED 是BC 的垂直平分线，°903BAC AD ∠==，，则CE 的长为（ ）A .6B .5C .4D .2.如下图，在ABC △中，°90ACB BE ∠=，平分ABC ED AB ∠⊥，于D .如果°306cm A AE ∠==，，那么CE 等于（ ）A cmB .2cmC .3cmD .4cm3.如下图，在ABC △中°60A BM AC ∠=⊥，于点M CN AB ⊥，于点N P ，为BC 边的中点，连接PM PN ，，则下列结论：PM PN PMN =①；②△为等边三角形；下面判断正确是（ ）A .①正确B .②正确C .①②都正确D .①②都不正确4.如下图所示，已知BD 是ABC △的角平分线，ED 是BC 的垂直平分线，°903BAC AD ∠==，，则CE 的长为（ ）A .6B .5C .4D .5.在ABC △中，AD 既是A ∠的平分线，又是BC 边上的中线，则ABC △的形状是（ ） A .等腰三角形B .三边互不相等的直角三角形C .等腰直角三角形D .不能确定6.已知一个等腰三角形的边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长是（ ） A .8或10B .8C .10D .6或127.如下图所示，ABC △是等边三角形，且°115BD CE =∠=，，则2∠的度数为（ ） A .°15B .°30C .°45D .°608.如下图，在PAB △中，PA PB M N K =，，，分别是PA PB AB ，，上的点，且AM BK BN AK ==，，若°44MKN ∠=，则P ∠的度数为（ ）A .°44B .°66C .°88D .°929.下列说法：①有一个角是°60的等腰三角形是等边三角形；②如果三角形的一个外角平分线平行三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；③三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相等；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形.其中正确的个数有（ ） A .1个B .2个C .3个D .4个10.如下图，在平面直角坐标系xoy 中，()()0206A B ，，，，动点C 在y x =上.若以A B C 、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数是（ ）A .2B .3C .4D .511.如下图，ABC △中，°°9030BAC B AD BC ∠=∠=⊥，，于D CE ，是ACB ∠的平分线，且交AD 于P 点.如果9AB =，则AP 的长为（ ）A .3B .3.5C .4D .4.512.如下图，°30BAC AP ∠=，平分BAC GF ∠，垂直平分AP ，交AC 于F Q ，为射线AB 上一动点，若PQ 的最小值为3，则AF 的长为（ ）A .3B .6C .D .9二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.腰长为12cm ，底角为°15的等腰三角形的面积为________.14.等腰三角形的一个内角是°70，则这个等腰三角形的底角是________.15.如下图，在ABC △中，°30B ED ∠=，垂直平分3BC ED =，，则CE 的长为________.16.如下图，已知在ABC Rt △中，°9018C AC ∠==，.分别以A B 、为圆心，大于12AB 长为半径作弧，过弧的交点作直线，分别交AB AC 、于点D E 、.若5EC =，则BEC △的面积为________.三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）17.如下图，在ABC △中，°60B ACB AB AD ∠=∠=⊥，.（1）求证：ABC △为等边三角形；（2）若8BD =，求ABC △的边长.18.如下图，在ABC Rt △中，°90 3.C BC CAB ∠==∠，的平分线交BC 于点D DE ，是AB 的垂直平分线，垂足为E .（1）求B ∠度数.（2）求DE 的长.19.在ABC Rt △中，°90C BD ∠=，平分ABC ∠交AC 于点D DE ，垂直平分线段AB .（1）求ABD ∠度数；（2）求证：2AD CD =.20.如下图，AD 为ABC △的角平分线，DE AB ⊥于点E DF AC ⊥，于点F ，连接EF 交AD 于点O .（1）求证：AD 垂直平分EF ；（2）若°60BAC ∠=，请求出DO 与AD 之间的数量关系.21.如下图，在ABC △中，°90ACB ∠=，过A 点沿直线AE 折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的D 点处，连接DC ，若AE BE =，求证：ADC △是等边三角形.22.如下图，已知在ABC △中，°90ACB CD ∠=，为高，且CD CE ，三等分ACB ∠.（1）求B ∠的度数；（2）求证：CE 是AB 边上的中线，且12CE AB =.第一章综合测试答案解析1.【答案】D【解析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质和勾股定理等知识，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键.根据线段垂直平分线的性质得到DB DC =，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出°30C DBC ABD ∠=∠=∠=，根据含°30的直角三角形的性质和勾股定理解答.解：ED ∵是BC 的垂直平分线，°90DB DC DEC =∠=∴，，C DBC ∠=∠∴，BD ∵是ABC △的角平分线，ABD DBC ∠=∠∴，°30C DBC ABD ∠=∠=∠=∴，26BD AD ==∴，即1632CD BD ED CD ====，，CE ==∴，故选：D . 2.【答案】C【解析】解：°30ED AB A ⊥∠=∵，，2AE ED =∴，6cm AE =∵， 3cm ED =∴，°90ACB BE ∠=∵，平分ABC ∠，ED CE =∴， 3cm CE =∴；故选：C .根据在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半得出2AE ED =，求出ED ，再根据角平分线到两边的距离相等得出ED CE =，即可得出CE 的值.此题考查了含°30角的直角三角形，用到的知识点是在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半和角平分线的基本性质，关键是求出ED CE =. 3.【答案】C【解析】解：BM AC ⊥①∵于点M CN AB ⊥，于点N P ，为BC 边的中点，1122PM BC PN BC ==∴，， PM PN =∴，正确；°60A BM AC ∠=⊥②∵，于点M CN AB ⊥，于点N ，°30ABM ACN ∠=∠=∴，在ABC △中，°°°°18060302=60BCN CBM ∠+=--⨯，∵点P 是BC 的中点，BM AC CN AB ⊥⊥，，PM PN PB PC ===∴，22BPN BCN CPM CBM ∠=∠∠=∠∴，，()°°2260=120BPN CPN BCN CBM ∠+∠=∠+∠=⨯∴，°60MPN ∠=∴，PMN ∴△是等边三角形，正确；所以①②都正确. 故选：C .根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；根据直角三角形两锐角互余的性质求出°30ABM ACN ∠=∠=，再根据三角形的内角和定理求出°60BCN CBM ∠+∠=，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出°120BPN CPM ∠+∠=，从而得到°60MPN ∠=，又由①得PM PN =，根据有一个角是°60的等腰三角形是等边三角形可判断②正确.本题主要考查了直角三角形°30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握性质是解题的关键. 4.【答案】D【解析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质和勾股定理等知识，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键.根据线段垂直平分线的性质得到DB DC =，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出°30C DBC ABD ∠=∠=∠=，根据含°30的直角三角形的性质和勾股定理解答.解：ED ∵是BC 的垂直平分线，°90DB DC DEC =∠=∴，，C DBC ∠=∠∴，BD ∵是ABC △的角平分线，ABD DBC ∠=∠∴，°30C DBC ABD ∠=∠=∠=∴，26BD AD ==∴，即1632CD BD ED CD ====，，CE ==∴，故选：D . 5.【答案】A 6.【答案】C【解析】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，224+=∵，∴不能组成三角形，②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4， 能组成三角形， 周长24410=++=， 综上所述，它的周长是10. 故选：C .分2是腰长与底边长两种情况讨论求解.本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定. 7.【答案】D【解析】本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应角相等的性质，等边三角形内角为°60的性质，本题中求证ABD BCE △≌△是解题的关键.易证ABD BCE △≌△，可得1CBE ∠=∠，根据21ABE ∠=∠+∠可以求得2∠的度数，即可解题. 解：在ABD △和BCE △中，AB BC ABC ACB BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABD BCE ∴△≌△，1CBE ∠=∠∴，21ABE ∠=∠+∠∵，°260CBE ABE ABC ∠=∠+∠=∠=∴.故选D . 8.【答案】D【解析】解：PA PB =∵，A B ∠=∠∴，在AMK △和BKN △中，AM BK A B AK BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMK BKN SAS ∴△≌△，AMK BKN ∠=∠∴，MKB MKN NKB A AMK ∠=∠+∠=∠+∠∵， °44A MKN ∠=∠=∴， °°18092P A B ∠=-∠-∠=∴，故选：D .解题思路首先根据等腰三角形的性质得到A B ∠=∠，接下来证明AMK BKN △≌△，得到AMK BKN ∠=∠，然后根据三角形的外角定理求出°44A MKN ∠=∠=，最后用三角形内角和定理获得答案.本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键. 9.【答案】C【解析】本题主要考查的是等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定的有关知识，由题意对给出的各个选项进行逐一分析即可. 解：①有一个角是°60的等腰三角形是等边三角形，正确；②如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；正确； ③三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；正确； ④有三个角相等的等腰三角形是等边三角形，故④错误. 故选C . 10.【答案】B【解析】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，线段垂直平分线的性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观.根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB 的垂直平分线与直线y x =的交点为点C ，再求出AB 的长，以点A 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线y x =的交点为点C ，求出点B 到直线y x =的距离可知以点B 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线没有交点，据此求解即可.解：如下图，AB 的垂直平分线与直线y x =相交于点1C ，()()0206A B ∵，，，，624AB =-=∴，以点A 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线y x =的交点为23C C ，，6OB =∵，∴点B 到直线y x =的距离为6=4∵，∴以点B 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线y x =没有交点，所以，点C 的个数是123+=. 故选B . 11.【答案】A【解析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、角平分线的性质以及等边三角形的判定与性质.利用三角形外角定理得到°60AEC ∠=是解题的关键，根据角的关系可得到BE CE =，再通过计算得AEP △的等边三角形，则AE AP =，在直角AEC △中，利用含30度角的直角三角形的性质来得到AE 与CE 的关系，可得所求.解：ABC ∵△中，°°9030BAC B ∠=∠=，， °60ACB ∠=∴.又CE ∵是ACB ∠的平分线，°30ECB B ∠=∠=∴，BE CE =∴，°60AEC B ECB B ECB ∠=∠+∠=∠=∠∴， °60AEP BE EC ∠==∴，.又AD BC ⊥，°60BAD EAP ∠=∠=∴，则°60AEP EAP ∠=∠=，AEP ∴△的等边三角形，则AE AP =，在直角AEC △中，°30ACE ∠=，则2EC AE =，33AB AE BE AE CE AE AP =+=+==， 3AP =∴.故选A . 12.【答案】B【解析】本题考查的是角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.作PH AC ⊥于H ，连接PF ，根据角平分线的性质求出PH ，根据线段垂直平分线的性质得到FA FP =，根据三角形的外角的性质求出PFH ∠，根据直角三角形的性质解答即可.解：作PH AC ⊥于H ，连接PF ，当PQ AB ⊥时，PQ 的最小，AP ∵平分BAC ∠，PQ AB PH AC ⊥⊥，，°315PH PQ PAB PAC ==∠=∠=∴，，GF ∵垂直平分AP ，FA FP =∴，°15FPA PAC ∠=∠=∴，°30PFH ∠=∴，26PF PH ==∴，6AF =∴，故选B .13.【答案】236cm【解析】本题考查了等腰三角形的性质；解答本题的关键，是构建出含°30角的直角三角形，从而通过解直角三角形求出三角形的高，进而求出其面积.要求等腰三角形的面积，已知腰长为12cm ，只要求出腰上的高即可，所以要通过构建直角三角形来解答本题.解：如下图：ABC △是等腰三角形，且°1512cm BAC B AC BC ∠=∠===，； 过A 作DA BC ⊥的延长线于D ，ADC Rt △中，°3012cm DCA AC ∠==，， 16cm 2DA AC ==∴； 2136cm 2ABC S BC DA =⨯⨯=△∴.故答案为236cm .14.【答案】°55或°70【解析】解：①当这个角是顶角时，底角()°°°18070255=-÷=；②当这个角是底角时，另一个底角为°70，顶角为°40；故答案为：°55或°70.题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解.此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用.15.【答案】6【解析】此题考查了线段垂直平分线的性质与直角三角形的性质.解题的关键是数形结合思想的应用.由ED 垂直平分BC ，即可得°90BE CE EDB =∠=，，又由直角三角形中°30角所对的直角边是其斜边的一半，即可求得BE 的长，则问题得解.解：ED ∵垂直平分BC ， °90BE CE EDB =∠=∴，，°303B ED ∠==∵，，26BE DE ==∴，6CE =∴.故答案为6.16.【答案】30【解析】本题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.根据垂直平分线的性质即可得到13AE BE ==，再根据勾股定理求得BC 的长，即可得到BEC △的面积. 解：由作图可知，MN 垂直平分AB ，AE BE =∴，又185AC EC ==∵，，13AE BE ==∴，又°90C ∠=∵，BCE ∴Rt △中，12BC =，111253022BCE S BC CE =⨯=⨯⨯=△∴， 故答案为：30.17.【答案】（1）证明：°60B ACB ∠=∠=∵，°60BAC ∠=∴，ABC ∴△为等边三角形；（2）解：AB AD ⊥∵，°90BAD ∠=∴.°30D ∠=∴，118422AB BD ==⨯=∴， ABC ∴△的边长为4.【解析】本题考查等边三角形的判定，以及含°30角的直角三角形的性质，掌握判定方法和性质是解题关键.（1）根据三角形的内角和求出BAC ∠的度数，即可得解；（2）先求出D ∠的度数，再根据直角三角形的性质求解即可.18.【答案】解：（1）DE ∵是AB 的垂直平分线，DA DB =∴，B DAB ∠=∠∴.AD ∵平分CAB ∠，CAD DAB ∠=∠∴.°90C ∠=∵，°390CAD ∠=∴，°30CAD ∠=∴，°30B ∠=∴；（2）AD ∵平分CAB DE AB CD AC ∠⊥⊥，，，12CD DE BD ==∴， 3BC =∵，1CD DE ==∴.【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟悉掌握是关键.（1）由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得°30B CAD DAB ∠=∠=∠=；（2）根据角平分线的性质即可得到结论.19.【答案】解：（1）DE ∵垂直平分线段AB ，AD BD =∴，A ABD ∠=∠∴，BD ∵平分ABC ∠交AC 于点D ，DBC ABD ∠=∠∴，2ABC A ∠=∠∴，°90C ∠=∵，°90A ABC ∠+∠=∴，°30A ∠=∴，°30ABD A ∠=∠=∴；（2）°°3090CBD ABD C ∠=∠=∠=∵，，AD BD =∵，2AD CD =∴.【解析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质.此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用.（1）据线段垂直平分线的性质得到AD BD =，根据等腰三角形的性质得到A ABD ∠=∠，根据角平分线的定义得到DBC ABD ∠=∠，求得2ABC A ∠=∠，根据三角形的内角和即可得到结论；（2）根据含°30角的直角三角形的性质得到2BD CD =，等量代换即可得到结论.20.【答案】（1）证明：AD ∵平分BAC ∠，DE AB DF AC ⊥⊥，，°90DE DF DEA DFA =∠=∠=∴，，DEF DFE ∠=∠∴，DEA DEF DFA DFE ∠-∠=∠-∠∴，即AEF AFE AE AF ∠=∠=，∴，DE DF AE AF ==∵，，∴点D 、点A 在EF 的垂直平分线上，AD ∴垂直平分EF ；（2）解：14DO AD =. 理由：°60BAC ∠=∵，AD 平分BAC ∠，°30EAD ∠=∴，°260AD DE EDA =∠=∴，，由（1）知°90AD EF EOD ⊥∠=，∴，°30DEO ∠=∴，2DE DO =∴，4AD DO =∴， 即14DO AD =. 【解析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是证明AE AF =和DE DF =，证明2AD DE =和2DE DO =.题目比较典型，综合性强，属于中档题.（1）由AD 为ABC △的角平分线，得到DE DF =，推出AEF ∠和AFE ∠相等，得到AE AF =，即可推出结论；（2）由已知推出°30EAD ∠=，得到2AD DE =，在DEO △中，由°30DEO ∠=推出2DE DO =，即可推出结论.21.【答案】证明：根据折叠的性质：°90ACE ADE AC AD ADE ACB =∠=∠=△≌△，，，AE BE =∵，22AB AD AC ==∴，°30B ∠=∴，°60CAB ∠=∴，ADC ∴△是等边三角形.【解析】本题考查了图形的翻折变换以及等边三角形的判定，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变.根据折叠的性质：°90ACE ADE AC AD ADE ACB =∠=∠=△≌△，，，根据等腰三角形三线合一得出点D 恰为AB 的中点，从而得出22AB AD AC ==，又°90C ∠=，故°30B ∠=，所以°60CAB ∠=，根据有一个角是°60的等腰三角形是等边三角形即可证得.22.【答案】（1）解：∵在ABC △中，°90ACB CD CE ∠=，，三等分ACB ∠，°30ACD DCE BCE ∠=∠=∠=∴，则°60BCD ∠=，又CD ∵为高，°°°906030B ∠=-=∴；（2）证明：由（1）知，°30B BCE ∠=∠=，则12CE BE AC AB ==，. °°9030ACB B ∠=∠=∵，，°60A ∠=∴，又∵由（1）知，°30ACD DCE ∠=∠=，°60ACE A ∠=∠=∴，ACE ∴△是等边三角形，12AC AE EC AB ===∴， AE BE =∴，即点E 是AB 的中点. CE ∴是AB 边上的中线，且12CE AB =. 【解析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线.本题解题过程中利用了“等角对等边”以及等边三角形的判定与性质证得（2）的结论的.（1）利用直角BCD △的两个锐角互余的性质进行解答；（2）利用已知条件和（1）中的结论可以得到ACE △是等边三角形和BCE △为等腰三角形，利用等腰三角形的性质证得结论.。

北师大版数学八年级下册第一单元检测题姓名：得分：一、选择题1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是AC上的点，且∠1=∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC=3cm，则AE等于（）A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm3．在直角△ABC中，∠C=30°，斜边AC的长为5cm，则AB的长为（）A．4cm B．3cm C．2.5cm D．2cm4．如果直角三角形中30°角所对的直角边是1cm，那么另一条直角边长是（）A．1cm B．2cm C．cm D．3cm5．10（1分）（2014春•九龙坡区校级期中）等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°6．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM 的周长是（）A．21 B．18 C．13 D．157．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（）A．59°B．60°C．56°D．22°8．如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE9．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm10．如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（）A．30°B．15°C．45°D．25°11．某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为（）A．48°B．40°C．30°D．24°12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（）A．2a B．2 a C．3a D．二、填空题13．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD=．14．如图，△ABC中，∠C=90°，AC﹣BC=2，△ABC的面积为7，则AB=．15．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则AC=．16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为E点，请任意写出一组相等的线段．三、解答题18．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA．19．如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．求证：DE=BF．21．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．求证：△BDE是等腰三角形．22．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC．(1)求证：BD平分∠ABC；(2)若∠DAC=45°，OA=1，求OC的长．23．已知锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是线段BC的中点，连接DM，EM．(1) 若DE=3，BC=8，求△DME的周长；(2) 若∠A=60°，求证：∠DME=60°；(3) 若BC2=2DE2，求∠A的度数．答案与解析1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点】KN：直角三角形的性质．【专题】选择题【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，找出与∠A互余的角．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，∴与∠A互余的角有2个，故选C．【点评】此题考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余．2．如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是AC上的点，且∠1=∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC=3cm，则AE等于（）A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm【考点】KO：含30度角的直角三角形；KG：线段垂直平分线的性质．【专题】选择题【分析】求出AE=BE，推出∠A=∠1=∠2=30°，求出DE=CE=3cm，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠2=∠A，∵∠1=∠2，∴∠A=∠1=∠2，∵∠C=90°，∴∠A=∠1=∠2=30°，∵∠1=∠2，ED⊥AB，∠C=90°，∴CE=DE=3cm，在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠A=30°，∴AE=2DE=6cm，故选C．【点评】本题考查了垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形性质，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出∠A=30°和得出DE的长．3．在直角△ABC中，∠C=30°，斜边AC的长为5cm，则AB的长为（）A．4cm B．3cm C．2.5cm D．2cm【考点】KO：含30度角的直角三角形．【专题】选择题【分析】由题意可得，∠B是直角，AB=AC，直接代入即可求得AB的长．【解答】解：∵△ABC为直角三角形，∠C=30°，∴AB=AC=2.5，故选C．【点评】此题考查的是直角三角形的性质，30°的直角边所对的直角边等于斜边的一半．4．如果直角三角形中30°角所对的直角边是1cm，那么另一条直角边长是（）A．1cm B．2cm C．cm D．3cm【考点】KO：含30度角的直角三角形．【专题】选择题【分析】根据勾股定理和直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半求另一条直角边长．【解答】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边是1cm，∴该直角三角形的斜边是2cm，∴另一条直角边长是：=；故选C．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形．在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．5．等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【考点】KO：含30度角的直角三角形；KH：等腰三角形的性质．【专题】选择题【分析】分为两种情况：①高BD在△ABC内时，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；②高CD在△ABC外时，求出∠DAC，根据平角的定义求出∠BAC 即可．【解答】解：①如图，∵BD是△ABC的高，AB=AC，BD=AB，∴∠A=30°，②如图，∵CD是△ABC边BA 上的高，DC=AC，∴∠DAC=30°，∴∠BAC=180°﹣30°=150°，综上所述，这个等腰三角形的顶角等于30°或150°．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形性质和含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生能否求出符合条件的所有情况，注意：一定要分类讨论．6．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM 的周长是（）A．21 B．18 C．13 D．15【考点】KP：直角三角形斜边上的中线．【专题】选择题【分析】根据“BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点”得到FM=EM=BC，所以△EFM的周长便不难求出．【解答】解：∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，∴在Rt△BCE中，EM=BC=4，在Rt△BCF中，FM=BC=4，∴△EFM的周长=EM+FM+EF=4+4+5=13，故选C．【点评】本题利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．7．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（）A．59°B．60°C．56°D．22°【考点】K7：三角形内角和定理．【专题】选择题【分析】根据高线的定义可得∠AEC=90°，然后根据∠C=70°，∠ABC=48°求出∠CAB，再根据角平分线的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．【解答】解：∵BE为△ABC的高，∴∠AEB=90°∵∠C=70°，∠ABC=48°，∴∠CAB=62°，∵AF是角平分线，∴∠1=∠CAB=31°，在△AEF中，∠EFA=180°﹣31°﹣90°=59°．∴∠3=∠EFA=59°，故选：A．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是解题的关键．8．如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE【考点】KH：等腰三角形的性质．【专题】选择题【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE=BC，∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠A=∠EBC，故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．9．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【考点】KH：等腰三角形的性质；K6：三角形三边关系．【专题】选择题【分析】分为两种情况：2cm是等腰三角形的腰或2cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．【解答】解：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系；若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；故选A．【点评】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边．10．如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（）A．30°B．15°C．45°D．25°【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KW：等腰直角三角形．【专题】选择题【分析】根据直角三角形的性质得到BE=CE，求得∠CBE=60°，得到∠DBF=30°，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABD=45°，求得∠ABF=75°，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵∠DBC=90°，E为DC中点，∴BE=CE=CD，∵∠BCD=60°，∴∠CBE=60°，∴∠DBF=30°，∵△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°，∴∠ABF=75°，∴∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°，故选B．【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．11．某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为（）A．48°B．40°C．30°D．24°【考点】KH：等腰三角形的性质；JA：平行线的性质．【专题】选择题【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠1=∠BAE=45°，然后根据三角形外角性质计算∠C的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1=∠BAE=48°，∵∠1=∠C+∠E，∵CF=EF，∴∠C=∠E，∴∠C=∠1=×48°=24°．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（）A．2a B．2 a C．3a D．【考点】KP：直角三角形斜边上的中线．【专题】选择题【分析】根据勾股定理得到CE=a，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵CD⊥AB，CD=DE=a，∴CE=a，∵在△ABC中，∠ACB=90°，点E是AB的中点，∴AB=2CE=2a，故选B．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理的应用，能求出AE=CE是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．13．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD=．【考点】KO：含30度角的直角三角形．【专题】填空题【分析】由于∠C=90°，∠ABC=60°，可以得到∠A=30°，又由BD平分∠ABC，可以推出∠CBD=∠ABD=∠A=30°，∴BD=AD=6，再由30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．【解答】解：∵∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°，∴BD=AD=6，∴CD=BD=6×=3．故答案为：3．【点评】本题利用了直角三角形的性质和角的平分线的性质求解．14．如图，△ABC中，∠C=90°，AC﹣BC=2，△ABC的面积为7，则AB=．【考点】KQ：勾股定理．【专题】填空题【分析】先根据AC﹣BC=2得出（AC﹣BC）2=8，再根据△ABC的面积等于7得出AC•BC的值，进而可得出结论．【解答】解：∵AC﹣BC=2，∴（AC﹣BC）2=8①．∵S△ABC=AC•BC=7，∴AC•BC=14②，把②代入①得，AC2+BC2=36，∴AB==6．故答案为：6．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．15．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则AC=．【考点】KO：含30度角的直角三角形．【专题】填空题【分析】根据三角形内角和定理和角平分线定义求出∠A=∠ABD=∠CBD=30°，求出AD=BD=6，CD=BD=3，即可求出答案．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∠A=90°﹣60°=30°，∠CBD=∠ABD=∠ABC=30°，∴∠A=∠ABD，∴AD=BD=，∵AD=6，∴BD=6，∴CD=BD=3，∴AC=6+3=9，故答案为：9．【点评】本题考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是求出AD=BD和CD=BD，题目比较好，难度适中．16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为．【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质．【专题】填空题【分析】由题意可知：AC=AB=a+b，由于DE是线段AC的垂直平分线，∠BAC=36°，所以易证AE=CE=BC=b，从可知△ABC的周长；【解答】解：∵AB=AC，BE=a，AE=b，∴AC=AB=a+b，∵DE是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE=b，∴∠ECA=∠BAC=36°，∵∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠BCE=∠ACB﹣∠ECA=36°，∴∠BEC=180°﹣∠ABC﹣∠ECB=72°，∴CE=BC=b，∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=2a+3b故答案为：2a+3b．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质得出AE=CE=BC，本题属于中等题型．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为E点，请任意写出一组相等的线段．【考点】KG：线段垂直平分线的性质；KF：角平分线的性质．【专题】填空题【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴BE=EA，故答案为：BE=EA．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．18．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA．【考点】KF：角平分线的性质；KD：全等三角形的判定与性质．【专题】解答题【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AM=BM，然后利用“HL”证明Rt△AOM和Rt△BOM全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=OB，再根据等边对等角的性质即可得证．【解答】证明：∵OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，∴AM=BM，在Rt△AOM和Rt△BOM中，，∴Rt△AOM≌Rt△BOM（HL），∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，熟记性质是解题的关键．19．如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质．【专题】解答题【分析】(1)证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；(2)利用垂直平分线段的性质即可证得结论．【解答】解：(1)∠ABE=∠ACD；在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD；(2)∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，由(1)可知∠ABE=∠ACD，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC，∵AB=AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线段的性质的知识，解题的关键是能够从题目中整理出全等三角形，难度不大．20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．求证：DE=BF．【考点】KF：角平分线的性质；JA：平行线的性质．【专题】解答题【分析】根据角平分线的定义得到∠1=∠2，根据角平分线的性质得到DE=BD，∠3=∠4，由平行线的性质得到3=∠5，于是得到结论．【解答】证明：∵CD平分∠ACB，∴∠1=∠2，∵DE⊥AC，∠ABC=90°∴DE=BD，∠3=∠4，∵BF∥DE，∴∠4=∠5，∴∠3=∠5，∴BD=BF，∴DE=BF．【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．21．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．求证：△BDE是等腰三角形．【考点】KI：等腰三角形的判定；JA：平行线的性质．【专题】解答题【分析】直接利用平行线的性质得出∠1=∠3，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B=∠BDE，即可得出答案．【解答】证明：∵DE∥AC，∴∠1=∠3，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∵AD⊥BD，∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°，∴∠B=∠BDE，∴△BDE是等腰三角形．【点评】此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，正确得出∠2=∠3是解题关键．22．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC．(1)求证：BD平分∠ABC；(2)若∠DAC=45°，OA=1，求OC的长．【考点】KF：角平分线的性质；JB：平行线的判定与性质．【专题】解答题【分析】(1)根据等腰三角形的性质、平行线的性质以及角平分线的定义证明；(2)过点O作OE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到OE=OA，根据勾股定理计算即可．【解答】(1)证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠DAC=∠ABC，∴∠DAC=∠ACB．∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD．又∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD．∴∠ABD=∠CBD．∴BD平分∠ABC；(2)解：过点O作OE⊥BC于E，∵∠DAC=45°，∠DAC=∠ABC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠B AC=90°，∵BD平分∠ABC，∴OE=OA=1．在Rt△OEC中，∠ACB=45°，OE=1，∴OC=．【点评】本题考查的是角平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．23．已知锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是线段BC的中点，连接DM，EM．(1) 若DE=3，BC=8，求△DME的周长；(2) 若∠A=60°，求证：∠DME=60°；(3) 若BC2=2DE2，求∠A的度数．【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KJ：等腰三角形的判定与性质．【专题】解答题【分析】(1) 根据直角三角形斜边上中线性质求出DM=BC=4，EM=BC=4，即可求出答案；(2) 根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=120°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DM=BM，EM=CM，推出∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，根据三角形内角和定理求出即可；(3) 求出EM=EN，解直角三角形求出∠EMD度数，根据三角形的内角和定理求出即可．【解答】解：(1) ∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∴∠BDC=∠BEC=90°，∵M是线段BC的中点，BC=8，∴DM=BC=4，EM=BC=4，∴△DME的周长是DE+EM+DM=3+4+4=11；(2) 证明：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵∠BDC=∠BEC=90°，M是线段BC的中点，∴DM=BM，EM=CM，∴∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，∴∠EMC+∠DMB=∠ABC+∠ACB=120°，∴∠DME=180°﹣120°=60°；(3) 解：过M作MN⊥DE于N，∵DM=EM，∴EN=DN=DE，∠ENM=90°，∵EM=DM=BC，DN=EN=DE，BC2=2DE2，∴（2EM）2=2（2EN）2，∴EM=EN，∴sin∠EMN==，∴∠EMN=45°，同理∠DMN=45°，∴∠DME=90°，∴∠DMB+∠EMC=180°﹣90°=90°，∵∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，∴∠ABC+∠ACB=（180°﹣∠DMB+180°﹣∠EMC）=135°，∴∠BAC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=45°．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，本题综合性比较强，有一定的难度，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．。

第一章检测题一 选择题1已知等腰三角形的两条边长是7和3，那么第三条边长是 （ ）A 8B 7C 4D 32、如图，由∠1=∠2，BC=DC ，AC=EC ，得△ABC ≌△EDC 的根据是（ ）A 、SASB 、ASAC 、AASD 、SSS3、等腰三角形底边长为7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3，则腰长是（ ）A 、4B 、10C 、4或10D 、以上答案都不对4、如图，△ABC 中，∠ACB=90°，BA 的垂直平分线交CB 边于D ，若AB=10，AC=5，则图中等于 60°的角的个数为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5(第2题图)5．如图1，AB ＝AC ，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，则图中全等三角形的对数为（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．在△ABC 和△DEF 中，已知∠C =∠D ，∠B =∠E ，要判定这两个三角形全等，还需要条件（ ）A ．AB =ED B ．AB =FDC ．AC =FD D ．∠A =∠F7．一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且()()()0a b b c c a ---=，则该三角形必为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形8．如图2所示， △ABC 为直角三角形，BC 为斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与 △ACP ′重合．如果AP =3，那么PP ′的长等于（ ）A ．3B ．C ．D ．49、如图，在等边ABC ∆中，,D E 分别是,BC AC 上的点，且BD CE =，AD 与BE 相交于点P ，则12∠+∠的度数是（ ）.A ．045B ．055C ．060D ．075（第9题图） （第10题图）10、如图，123,,l l l 表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）.A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处二、填空题1．如图3，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD=．2．已知等腰三角形的一个内角是100°，则其余两个角的度数分别为．3．如图5，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A等于．4.如图,D,E分别为AB,AC的中点,将△ABC沿线段DE折叠,使点A落在点F处,若∠B=50°,则∠BDF= .5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,腰长为a,则其腰上的高是.6.如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为三.解答题1．已知：如图8，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE＝FE．求证：AE＝CE．2．如图12，ABCD是一张长方形的纸片，折叠它的一边AD，使点D落在BC边上的F点处，AB ＝8cm，BC＝10cm，那么EC等于多少？3.已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD. 求证：OB=OC4.如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM ， △CBN 是等边三角形，直线AN ，MC 交于点E,直线BM 、CN 交与F 点。

北师大版八年级数学下册第一章测试卷及答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( )A．40° B．50° C．60° D．70°2.已知等腰三角形两边长是8 cm和4 cm，那么它的周长是( )A．12 cm B．16 cm C．16 cm或20 cm D．20 cm3. 已知在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.若用反证法来证明这个结论，可假设( )A．∠A＝∠B B．AB＝BC C．∠B＝∠C D．∠A＝∠C4.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )A．3，4， 5 B．1，2， 3 C．6，7，8 D．2，3，45.如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是( )A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DC D．AB＝CD6.如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝( )A．40° B．50° C．60° D．75°7.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AD上的点，且AE＝EC，若∠BAC＝45°，BD＝3，则CE的长为( )A．3 B．3 2 C．2 3 D．48.为了加快灾后重建的步伐，某市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址( )A．仅有一处B．有四处 C．有七处D．有无数处9.如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，则CD的长为( )A ．3 2B ．4C ．2 5D ．4.510. 如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ，过点O 作OD ⊥AC 于点D ，下列结论：①EF ＝BE ＋CF ；②∠BOC ＝90°＋12∠A ；③点O 到△ABC 各边的距离都相等；④设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则S △AEF ＝mn ；⑤S △EOB ＝S FOC .其中，正确的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11.如图，在△ABC 中，∠C ＝40°，CA ＝CB ，则△ABC 的外角∠ABD ＝________．12. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝BC ＝4，AD 平分∠BAC ，点E 是AC 的中点，则DE 的长为________．13.已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：____________________________________________，该逆命题是________(填“真”或“假”)命题． 14.如图，已知直线l 1∥l 2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β＝________.15.若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则下列条件中能判定△ABC 是直角三角形的有________个． ①∠A ＝∠B －∠C ；②∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5；③a 2＝(b ＋c )(b －c )；④a ∶b ∶c ＝5∶12∶13. 16.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB .若AC ＝2，DE ＝1，则S △ACD ＝________．17.如图，E是等边三角形ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE是________三角形．18.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(点E在BC上，点F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数为________．三．解答题（共7小题， 66分）19．(8分) 如图，△ABC，△CDE均为等边三角形，连接BE，AD交于点O，BE与AC交于点P.求证：∠AOB ＝60°.20．(8分) 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，O是BD与CE的交点，求证：BO＝CO.21．(8分) 如图，四边形ABCD是长方形，用尺规作∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q(不写作法，保留作图痕迹).连接QD，在新图形中，你发现了什么？请写出一条．22．(8分)如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.23．(10分)如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于点F，PA＝PC.(1)求证：∠PCB＋∠BAP＝180°；(2)若BC＝12 cm，AB＝6 cm，PA＝5 cm，求BP的长．24．(10分) 如图，点P是等边三角形ABC内一点，AD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PG⊥BC于点G.求证：AD＝PE＋PF＋PG.25．(14分) 如图，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q 两点都停止运动，设运动时间为ts，解答下列问题：(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由．(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t；若不能，请说明理由．参考答案1-5DDCBA 6-10BBABB 11. 110° 12. 213. 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假 14. 20° 15. 3 16.1 17. 等边 18. 108°19. 证明：∵△ABC 和△ECD 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB ＋∠ACE ＝∠DCE ＋∠ACE ，即∠ACD ＝∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE(SAS)，∴∠CAD＝∠CBE ，∵∠APO ＝∠BPC ，∴∠AOP ＝∠BCP ＝60°，即∠AOB ＝60°.20．证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠BDC ＝∠CEB ＝90°，在△BCE 和△CBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABC ＝∠ACB ，∠CEB ＝∠BDC ＝90°，BC ＝CB ，∴△BCE ≌△CBD(AAS)，∴∠BCE ＝∠CBD ，∴BO ＝CO. 21. 解：如图所示．发现：QD ＝AQ 或∠QAD ＝∠QDA 等22. 解：(1)∠ABE ＝∠ACD.理由：在△ABE 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AE ＝AD ，∴△ABE ≌△ACD ，∴∠ABE ＝∠ACD(2)连接AF.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，由(1)可知∠ABE ＝∠ACD ，∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC ，∵AB ＝AC ，∴点A ，F 均在线段BC 的垂直平分线上，即直线AF 垂直平分线段BC23.解：(1)证明：过点P 作PE ⊥AB 于点E ，∵∠1＝∠2，PF ⊥BC ，PE ⊥AB ，∴PE ＝PF.在△APE 和△CPF 中，⎩⎪⎨⎪⎧PA ＝PC ，PE ＝PF ，∴△APE ≌△CPF(HL)，∴∠PAE ＝∠PCB.∵∠PAE ＋∠PAB ＝180°，∴∠PCB ＋∠BAP ＝180°. (2)∵△APE ≌△CPF ，∴AE ＝FC ，∵BC ＝12 cm ，AB ＝6 cm ，∴AE ＝12×(12－6)＝3 (cm)，BE ＝AB ＋AE ＝6＋3＝9 (cm)，在Rt △PAE 中，PE ＝52－32＝4 (cm)，在Rt △PBE 中，PB ＝92＋42＝97 (cm)．24. 证明：连接PA ，PB ，PC ，如图．∵AD ⊥BC 于点D ，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，PG ⊥BC 于点G ，∴S △ABC ＝12×BC ×AD ，S △PAB ＝12×AB ×PE ，S △PAC ＝12×AC ×PF ，S △PBC ＝12×BC ×PG . ∵S △ABC ＝S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC ，∴12×BC ×AD ＝12(AB ×PE ＋AC ×PF ＋BC ×PG )．∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ，∴BC ×AD ＝BC ×(PE ＋PF ＋PG )，∴AD ＝PE ＋PF ＋PG .25. 解：(1)当点Q 到达点C 时，PQ 与AB 垂直．理由：∵点Q 到达点C 时，BQ ＝BC ＝6 cm ，∴t ＝62＝3.∴AP ＝3 cm.∴BP ＝AB －AP ＝3 cm ＝AP .∴点P 为AB 的中点．∴PQ ⊥AB .(2)能．∵∠B ＝60°，∴当BP ＝BQ 时，△BPQ 为等边三角形．∴6－t ＝2t ，解得t ＝2.∴当t ＝2时，△BPQ 是等边三角形．。

第一章三角形的证明综合测试卷一、选择题。

01如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=35º，则∠C的度数为 ( )A．35º B．45º C．55º D．60º02若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为2 cm，则该等腰三角形的底边长为( )A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm03如图，在△ABC中，∠ACB=90º，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30º，AE=6 cm，那么CE等于 ( )A ．3 cmB ．2 cm C．3 cm D．4 cm04如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B,C为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD=AC，∠A=50º，则∠ACB的度数为 ( )A．90º B．95º C 100º D．105º05如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为点E，DE=4，AC=6，则△ACD 的面积为 ( )A．8 B 10 C．12 D．2406如图，∠A=50º，P是等腰△ABC内一点，且∠PBC=∠PCA，则∠BPC为 ( )A．100º B．140º C．130º D．115º07如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60º，DE是斜边AC的垂直平分线，分别交AB，AC 于D，E两点，若BD=2，则AC的长是 ( )A．4 B．43 C．8 D．8308 将一个有45º角的直角三角尺的直角顶点C放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30º角，如图，则三角尺的最长边的长为 ( )A．6 cm B．2 cm C．2 cm D．209如图，∠ACB=90º，AC=BC，AE⊥CE，垂足为点E，BD⊥CE，交CE的延长线于点D，AE=5 cm，BD=2 cm，则DE的长是( )A．8 cm B．5 cm C．3 cm D．2 cm10如图，AD⊥BC于D，且DB=DC，有下列结论：①△ABD≌△ACD;②∠B=∠C；③AD 是∠BAC的平分线；④△ABC为等边三角形．其中正确的有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11如图，∠A=15º，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于( )A．90º B．75º C．70º D．60º12如图，在△ABC中，BC=10，DH，EF分别为AB、AC的垂直平分线，则△ADE的周长是 ( )A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题。

北师大版八年级数学下册第一章测试题（附答案）姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、单选题（共12题；共24分）1.如右上图,五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形,则∠AMB的度数为（）A. 144°B. 120°C. 108°D. 100°2.如图，中，DE是AC的垂直平分线，，的周长是40，则的周长是A. 70B. 60C. 50D. 403.如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.如图，点P是∠BAC内一点，且点P到AB、AC的距离相等．则△PEA≌△PFA的理由是（）A. HLB. AASC. SSSD. ASA5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠ABC=60°，BC=9，那么AE等于（）A. 6B. 6C. 3D. 96.已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的底角的度数为（）A. 100°B. 70°C. 40°或70°D. 40°或100°7.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，则下列结论不一定正确的是（）A. ∠1＝∠2B. BD＝CDC. ∠B＝∠CD. AB＝2BD8.如图,点P是∠BAC内一点,且到AB,AC的距离PE,PF相等,则△PEA≌△PFA的依据是( )A. HLB. ASAC. SSSD. SAS9.把16个边长为a的正方形拼在一起，如图，连接BC，CD，则△BCD是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 任意三角形10.等腰三角形的一个内角是50°，则其底角是（）A. 65°或50°B. 65°C. 50°D. 65°或80°11.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点,已知A,B是两格点,若C也是格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C的个数是( )A. 6B. 7C. 8D. 912.在等边△ABC所在平面内找出一个点，使它与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形。

第一章检测卷时间：120分钟满分：120分题号一二三总分得分一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是()A.3，4， 5 B．1，2， 3 C．6，7，8 D．2，3，42．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A的度数是()A．70°B．55°C．50°D．40°第2题图第4题图第5题图3．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设()A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于cC．a与b相交D．a⊥b4．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是()A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBAC．∠C＝∠D D．BC＝AD5．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论不一定成立的是()A．PA＝PB B．PO平分∠APBC．AB垂直平分OP D．∠OBA＝∠OAB6．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为()A．8或10 B．8 C．10 D．6或127．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为()A．2.5 B．1.5 C．2 D．1第7题图第8题图8．如图，等边△ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB于点E，交AC于点F，则图中的等腰三角形有()A．4个B．5个C．6个D．7个9．如图，∠A＝50°，点O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是()A．40°B．50°C．60°D．70°第9题图第10题图10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，连接EF交AP于点G.给出以下四个结论：①∠B＝∠C＝45°；②AE＝CF；③△EPF是等腰直角三角形；④四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(每小题3分，共15分)11．等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是__________________________________________，这个逆命题是________命题．12．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是________．第12题图第13题图13．如图，在平面直角坐标系中，BC平分∠ABO交y轴正半轴于点C，AB＝m，S△ABC＝m，则点C的坐标为________．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，M为AC上一点，且CM＝CD，则∠ADM＝________°.第14题图第15题图15．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则以DB′为边的正方形的面积为________．三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)16．(8分)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC ＝125°，求∠ACB和∠BAC的度数．17．(9分)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7，BC＝24，三角形内有一点P到各边的距离相等，PE⊥AB，PF⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为E，F，D，求PD的长．18．(9分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.(1)求证：△BED≌△CFD；(2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．19．(9分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在已作的图形中，若l分别交AB，AC，BC的延长线于点D，E，F，连接BE.求证：EF＝2DE.20．(9分)如图，在△ABC中，∠BAC＝106°，MP，NQ分别垂直平分AB，AC.(1)当AB＝AC时，∠1的度数为________；(2)若AB≠AC，请问(1)中的结论还成立吗？请通过计算说明．21．(10分)如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是AB，BC，CA上的点．(1)若AD＝BE＝CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；(2)若△DEF是等边三角形，问AD＝BE＝CF成立吗？试证明你的结论．22．(10分)已知△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB＝60°.(1)如图①，当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DB＝AD＋CD；(2)如图②，当D点不在AC的垂直平分线上时，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．23．(11分)(1)发现：如图①，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b.填空：当点A位于____________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为________(用含a，b的式子表示)；(2)应用：如图②，点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1.分别以AB，AC为边作等边△ABD，等边△ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值；(3)拓展：如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P 为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．参考答案与解析1．B 2.D 3.C 4.A 5.C 6.C 7.D 8.D9．A 解析：连接OA ，OB .∵∠BAC ＝50°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝130°.∵O 是AB ，AC 垂直平分线的交点，∴OA ＝OB ，OA ＝OC ，∴∠OAB ＝∠OBA ，∠OCA ＝∠OAC ，OB ＝OC ，∴∠OBA ＋∠OCA ＝∠OAB ＋∠OAC ＝50°，∴∠OBC ＋∠OCB ＝(∠ABC ＋∠ACB )－(∠OBA ＋∠OCA )＝130°－50°＝80°.∵OB ＝OC ，∴∠BCO ＝∠CBO ＝40°.故选A.10．D 解析：∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠C ＝12×(180°－90°)＝45°，∴①正确；∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 的中点，∴AP ⊥BC ，BP ＝PC ，∠BAP ＝∠CAP ＝45°＝∠B ＝∠C ，∴AP ＝BP ＝CP .∵∠APF ＋∠FPC ＝90°，∠APF ＋∠APE ＝90°，∴∠FPC ＝∠EPA .在△APE 和△CPF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAP ＝∠C ，AP ＝CP ，∠EPA ＝∠FPC ，∴△APE ≌△CPF (ASA)，∴AE ＝CF ，∴②正确；由△APE ≌△CPF 可得PE ＝PF .∵∠EPF ＝90°，∴△EPF 是等腰直角三角形，∴③正确；∵△APE ≌△CPF ，∴S △APE ＝S △CPF .∵BP ＝CP ，∴S △APC ＝12S △ABC ，∴S 四边形AEPF ＝S △APE ＋S △APF ＝S △CPF ＋S △APF ＝S △APC ＝12S △ABC ，∴④正确；即正确的有4个．故选D.11．如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形 真12．76 13.(0，2) 14.1515．80或256 解析：△CDB ′为等腰三角形分三种情况：(1)当B ′D ＝B ′C 时，过点B ′作GH ⊥CD ，分别交AB ，CD 于G ，H ，如图①所示．∵B ′D ＝B ′C ，∴DH ＝CH .∵正方形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠B ′GE ＝∠B ′HC ＝90°，∴AG ＝DH ＝12DC ＝8，∴EG ＝AG －AE ＝8－3＝5，BE ＝AB －AE ＝13.由折叠的性质，得B ′E ＝BE ＝13.∵B ′G 2＝B ′E 2－EG 2＝169－25＝144，∴B ′G ＝12，∴B ′H ＝GH －B ′G ＝16－12＝4.∵DB ′2＝B ′H 2＋DH 2＝42＋82＝80，∴以DB ′为边的正方形的面积为80；(2)当DB ′＝CD 时，如图②所示，则DB ′＝16(易知点F 在BC 上且不与点C 、B 重合)．∴以DB ′为边的正方形的面积为256；(3)当CD ＝CB ′时，CB ＝CB ′.又∵EB ＝EB ′，EF ＝EF ，∴△EBC ≌△EB ′C .易知△EBC 与△EB ′C 关于直线EC 轴对称，此时，点F 与点C 重合，不符合题意，舍去．综上所述，以DB ′为边的正方形的面积为80或256.16．解：∵AB ＝AC ，AE 平分∠BAC ，∴AE ⊥BC (等腰三角形三线合一)．(2分)∵∠ADC ＝125°，∴∠CDE ＝55°，∴∠DCE ＝90°－∠CDE ＝35°.∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACB ＝2∠DCE ＝70°.(5分)又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝70°，∴∠BAC ＝180°－(∠B ＋∠ACB )＝40°.(8分)17．解：连接AP ，BP ，CP .设PE ＝PF ＝PD ＝x .∵在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝7，BC＝24，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝25，S △ABC ＝12AB ·CB ＝84.(4分)又∵S △ABC ＝12AB ·PE ＋12BC ·PF ＋12AC ·PD ＝12(AB ＋BC ＋AC )·x ＝12×56x ＝28x ，(7分)∴28x ＝84，解得x ＝3.故PD ＝3.(9分) 18．(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°.∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD .(2分)在△BED 与△CFD 中，∵∠DEB ＝∠DFC ，∠B ＝∠C ，BD ＝CD ，∴△BED ≌△CFD (AAS)．(4分)(2)解：∵AB ＝AC ，∠A ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝CA ，∠B ＝60°.(6分)又∵DE ⊥AB ，∴∠EDB ＝30°，∴在Rt △BED 中，BD ＝2BE ＝2，∴BC ＝2BD ＝4，(8分)∴△ABC 的周长为AB ＋BC ＋CD ＝3BC ＝12.(9分)19．(1)解：如图所示．(3分)(2)证明：如图，∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝60°.∵DF 垂直平分AB ，∴EA ＝EB ，∠2＝∠A ＝30°，∴∠1＝60°－∠2＝30°.(6分)在Rt △BDE 中，∵∠2＝30°，∴BE ＝2DE .∵∠3＝90°，∴∠F ＝90°－∠ABC ＝30°＝∠1，∴EF ＝BE ，∴EF ＝2DE .(9分)20．解：(1)32°(3分)(2)成立．(4分)理由如下：∵∠BAC ＝106°，∴∠B ＋∠C ＝180°－106°＝74°.∵MP ，NQ 分别垂直平分AB ，AC ，∴PB ＝PA ，QC ＝QA ，∴∠PAB ＝∠B ，∠QAC ＝∠C ，(7分)∴∠PAB ＋∠QAC ＝∠B ＋∠C ＝74°，∴∠1＝∠BAC －(∠PAB ＋∠QAC )＝106°－74°＝32°.(9分)21．解：(1)△DEF 是等边三角形．(1分)证明如下：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ，AB ＝BC ＝CA .又∵AD ＝BE ＝CF ，∴DB ＝EC ＝FA .∴△ADF ≌△BED ≌△CFE ，(3分)∴DF ＝ED ＝FE .∴△DEF 是等边三角形．(5分)(2)AD ＝BE ＝CF 成立．(6分)证明如下：如图，∵△DEF 是等边三角形，∴DE ＝EF ＝FD ，∠FDE ＝∠DEF ＝∠EFD ＝60°.∴∠1＋∠2＝120°.(8分)∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，∴∠2＋∠3＝120°，∴∠1＝∠3.同理∠3＝∠4，易证△ADF ≌△BED ≌△CFE (AAS)，∴AD ＝BE ＝CF .(10分)22．(1)证明：∵D 点在AC 的垂直平分线上，∴AD ＝CD ，∴∠DAC ＝∠DCA ，∠CDB ＝∠ADB ＝60°，∴∠DAC ＝30°.(2分)∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝60°，∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝90°，∴∠ABD ＝90°－∠ADB ＝30°，∴BD ＝2AD ＝AD ＋CD .(4分)(2)解：成立．(5分)理由如下：在DB 上截取DE ＝AD ，连接AE .∵∠ADB ＝60°，∴△ADE 是等边三角形，∴AE ＝AD ，∠EAD ＝60°.∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴∠BAE ＝∠CAD .(7分)在△BAE 和△CAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ，AE ＝AD ，∴△BAE ≌△CAD ，∴BE ＝CD ，∴BD ＝DE ＋BE ＝AD ＋CD .(10分)23．解：(1)CB 的延长线上 a ＋b (2分)(2)①CD ＝BE .(3分)理由如下：∵△ABD 与△ACE 是等边三角形，∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°，∴∠BAD ＋∠BAC ＝∠CAE ＋∠BAC ，即∠CAD ＝∠EAB .(4分)在△CAD 与△EAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，∠CAD ＝∠EAB ，AC ＝AE ，∴△CAD≌△EAB，∴CD＝BE.(5分)②线段BE长的最大值为4.解析：∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴线段BE长的最大值为BD＋BC＝AB＋BC＝4.(6分)(3)如图a，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM.∵点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，∴OA＝2，OB＝5，∴AB＝3，∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，∴当点N在线段BA的延长线时，线段BN的长取得最大值，最大值为AB＋AN.∵AN＝2AP＝22，∴线段AM长的最大值为22＋3.(9分)点N在线段BA延长线的图形如图b所示，过P作PE⊥x轴于E.∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝2，∴OE＝OA－AE＝2－2，∴P(2－2，2)．(11分)。

北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》测试卷（含答案）一、选择题（共10小题，3*10=30）1．用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设( ) A ．至少有一个内角是直角 B ．至少有两个内角是直角 C ．至多有一个内角是直角 D ．至多有两个内角是直角2．如图，a ∥b ，点A 在直线a 上，点C 在直线b 上，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，若∠1＝20°，则∠2的度数为( )A ．25°B ．65°C ．70°D ．75°3．在△ABC 中，已知∠A ＝∠B ＝45°，BC ＝2，则AB 的长为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．44．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为( )A ．7B ．11C ．7或11D ．7或105．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝60°，AD ＝1，BC ＝2，则四边形ABCD 的面积是( )A.332B ．3C ．2 3D ．46. 如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BE ⊥CD ，垂足为D ，交AC 于点E ，∠A ＝∠ABE.若AC ＝5，BC ＝3，则BD 的长为( )A ．2.5B ．1.5C ．2D ．17． 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 平分∠CAB ，且AD 交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，则下列说法错误的是( )A．∠CAD＝30° B．AD＝BDC．BE＝2CD D．CD＝ED8．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有()A．2个B．3个C．4个D．5个9．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC.其中正确的个数为()A．4 B．3 C．2 D．110．如图，∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心，∠EOF的两边与△ABC的边交于E，F，∠EOF＝120°，则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是()A.32 B.25 3 C.33 D.34二．填空题（共8小题，3*8=24）11．命题“两条直线相交只有一个交点”的逆命题是____________________________________，它是________________命题．12. 如图，将长为8 cm的橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到D点，则橡皮筋被拉长了________．13． 如图，AB ∥CD ，O 为∠BAC ，∠ACD 的平分线的交点，OE ⊥AC 于点E ，且OE ＝1，则AB 与CD 之间的距离等于_______．14．如图，△ABC 的周长为32，且AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，△ACD 的周长为24，那么AD 的长为________．15． 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边上的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值是__________.16．如图，在等边三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，且AD ＝4，E 是AB 边的中点，点P 在AD 上运动，则PB ＋PE 的最小值是________．17．等腰三角形ABC 中，BD ⊥AC ，垂足为点D ，且BD ＝12AC ，则等腰三角形ABC 底角的度数为________．18． AB 与CD 相交于点O ，AB ＝CD ，∠AOC ＝60°，∠ACD ＋∠ABD ＝210°，则线段AB ，AC ，BD 之间的等量关系式为_________________.三．解答题（7小题，共66分）19．(8分) 如图，点D ，E 在△ABC 的BC 边上，AB ＝AC ，AD ＝AE.求证：BD ＝CE.20．(8分) 如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC.求证：∠C＝∠E.21．(8分) 如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE.(1)求证：DF是线段AB的垂直平分线；(2)当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．22．(10分) 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长．(2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．23．(10分) 如图，在等边△ABC中，AO是∠BAC的平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE.(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)延长BE至点Q，P为BQ上一点，连接CP，CQ，使CP＝CQ＝5，若BC＝8，求PQ的长．24．(10分) 在△ABC中，∠B＝22.5°，边AB的垂直平分线DP交AB于点P，交BC于点D，且AE ⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，DF与AE交于点G，求证：EG＝EC.25．(12分) 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°.点D是CA延长线上一点，连接BD，点E是BD 上一点，连接CE交AB于点F，BD＝CF.(1)如图①，当点E是BD的中点时，若BC＝4，求AF的长；(2)在(1)的条件下，如图②，连接AE，求证：DE＋EF＝2AE.图①图②参考答案1-5BBCCA 6-10DCDBC11. 只有一个交点的两条直线一定相交；真 12. 2cm 13. 2 14. 8 15. 5 16．417．45°或15°或75° 18. AB 2＝AC 2＋BD 219. 证明：过点A 作AP ⊥BC 于P.∵AB ＝AC ，∴BP ＝PC ，∴AD ＝AE ，∴DP ＝PE ，∴BP －DP ＝PC －PE ，∴BD ＝CE20. 证明：∵∠BAE ＝∠DAC ，∴∠BAE ＋∠CAE ＝∠DAC ＋∠CAE ，即∠CAB ＝∠EAD. 又∵AB ＝AD ，AC ＝AE ， ∴△ABC ≌△ADE(SAS)． ∴∠C ＝∠E.21. 解：(1)证明：∵∠A ＝∠ABE ，∴EA ＝EB.∵AD ＝DB ，∴DF 是线段AB 的垂直平分线． (2)∵∠A ＝46°，∴∠ABE ＝∠A ＝46°.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝67°，∴∠EBC ＝∠ABC －∠ABE ＝21°，∠F ＝90°－∠ABC ＝23°.22. 解：(1)设底边长为x cm ，则腰长为2x cm.依题意，得2x ＋2x ＋x ＝18，解得x ＝185，∴2x ＝365.∴三角形三边的长为185 cm ，365 cm ，365cm(2)若腰长为4 cm ，则底边长为18－4－4＝10 cm.而4＋4＜10，所以不能围成腰长为4 cm 的等腰三角形．若底边长为4 cm ，则腰长为12(18－4)＝7 cm.此时能围成等腰三角形，三边长分别为4 cm ，7 cm ，7 cm23. 解：(1)证明：∵△ABC 和△CDE 均为等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，且∠ACB ＝∠DCE ＝60°，即∠ACD ＋∠DCB ＝∠DCB ＋∠BCE ＝60°，∴∠ACD ＝∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE(SAS)．(2)作CH ⊥BQ 于点H ，图略．则PQ ＝2HQ.在Rt △BHC 中，由(1)得∠CBH ＝∠CAO ＝30°，∴CH ＝12BC＝4，在Rt △CHQ 中，HQ ＝CQ 2－CH 2＝52－42＝3，∴PQ ＝2HQ ＝6. 24. 解：如图所示：连接AD ，∵∠B ＝22.5°，且DP 为AB 的垂直平分线，∴DB ＝DA ，∴∠B ＝∠BAD ，∴∠ADE ＝2∠B ＝45°，在Rt △ADE 中，∠ADE ＝45°，∴∠DAE ＝45°，∴AE ＝DE ，∵AE ⊥DE ，∴∠1＋∠2＝90°，∵DF ⊥AC ，∴∠2＋∠C ＝90°，∴∠1＝∠C.在△DEG 和△AEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠C ，∠DEG ＝∠AEC ＝90°，DE ＝AE ，∴△DEG ≌△AEC(AAS)，∴EG ＝EC25. 解：(1)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BC ＝4，∴AB ＝AC ＝2 2. ∵BD ＝CF ，AB ＝AC ，∴Rt △BAD ≌Rt △CAF(HL)，∴∠DBA ＝∠ACF. ∵∠EFB ＝∠AFC ，∴∠BEF ＝∠FAC ＝90°，∴CE ⊥BD.∵BE ＝DE ，∴CB ＝CD ＝4， ∴AF ＝AD ＝CD －AC ＝4－2 2.(2)作AM ⊥BD 于点M ，AN ⊥EC 于点N.∵△BAD ≌△CAF ，∴AM ＝AN ，∴∠AEM ＝∠AEN ＝45°，∴AM ＝EM ＝EN ＝AN.∵AD ＝AF ，AM ＝AN ，∴Rt △AMD ≌Rt △ANF(HL)，∴DM ＝FN ，∴DE ＋EF ＝EM ＋DM ＋EN －FN ＝2EM ，∵AE ＝2EM.∴DE ＋EF ＝2AE.。

最新北师大版八年级数学下册单元测试题全套及答案第1章单元检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，直线l 1∥l 2，以直线l 1上的点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l 1，l 2于点B ，C ，连接AC ，BC.若∠ABC ＝67°，则∠1的度数为( B )A ．23°B ．46°C ．67°D ．78°2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.则下列结论错误的是( D )A ．AD ⊥BCB ．∠BAD ＝∠CADC ．DE ＝DFD ．BE ＝DE,第2题图) ,第3题图) ,第4题图)3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，边AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E ，交BC 于点D ，CD ＝3，则BC 的长为( C )A ．6B ．6 3C ．9D ．3 34．如图，在△ABC 中，∠B ＝40°，∠BAC ＝75°，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，垂足为E.则∠CAD 等于( B )A ．30°B ．35°C ．40°D ．50°5．如图，AC ＝BD ，则补充下列条件后仍不能判定△ABC ≌△BAD 的是( D ) A ．AD ＝BC B ．∠BAC ＝∠ABD C ．∠C ＝∠D ＝90° D ．∠ABC ＝∠BAD6．已知三角形三内角之间有∠A ＝12∠B ＝13∠C ，它的最长边为10，则此三角形的面积为( D )A ．20B ．10 3C ．5 3 D.2532,第5题图) ,第7题图) ,第8题图) ,第10题图)7．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD ，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B ＝90°时，如图①，测得AC ＝2，当∠B ＝60°时，如图②，AC 等于( A )A. 2 B ．2 C. 6 D ．2 28．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AD ＝4，连接BD ，BD ⊥CD ，∠ADB ＝∠C.若P 是BC边上一动点，则DP 长的最小值为( C )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 29．下列说法：①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；②两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；③有一个角和底边分别相等的两个等腰三角形全等；④一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等．其中正确的有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接BD ，BE.下列四个结论：①BD ＝CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE ＋∠DBC ＝45°；④BE 2＝2(AD 2＋AB 2)．其中结论正确的个数是( C )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，若AB ＝6 cm ，则BC ＝__3__cm .12．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，CD ＝4，则点D 到AB 的距离为__4__．,第11题图 第12题图 第13题图 第14题图)13．如图，已知点B ，C ，F ，E 在同一条直线上，∠1＝∠2，BC ＝EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需添加一个条件，这个条件可以是__AC ＝DF (答案不唯一)__．(只需写出一个)14．如图，△ABC 的周长为22 cm ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，垂足为D ，若△BCE 的周长为14 cm ，则AB ＝__8__cm .15．如图，在等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M.若AB ＝4 cm ，则DE ＝__23__cm .,第15题图) ,第16题图) ,第17题图)16．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边上的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值是__5__．17．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH 的边长为2米，坡角∠A ＝30°，∠B ＝90°，BC ＝6米．当正方形DEFH 运动到什么位置，即当AE ＝__143__米时，有DC 2＝AE 2＋BC 2.18．下列命题：①到三角形三边距离相等的点是这个三角形三条角平分线的交点；②三角形三边的垂直平分线的交点到这个三角形的三个顶点的距离相等；③一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等；④顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等．其中真命题是__①②④__(填序号)三、解答题(共66分)19．(8分)如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C.求证：∠A＝∠D.解：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，∴BF＝CE，又∵AB＝DC，∠B＝∠C，∴△ABF≌△DCE(SAS)，∴∠A＝∠D20．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为D.若△ABC的周长为20 cm，△BCE的周长为12 cm，求BC的长．解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵△BCE的周长为12 cm，即BC＋BE＋CE＝12，∴BC＋AE ＋CE＝12，即BC＋AC＝12，又∵△ABC的周长为20 cm，即AB＋BC＋AC＝20，∴AB＋12＝20，则AB ＝8，∴AC＝8，∴BC＝20－AB－AC＝20－8－8＝4(cm)21．(8分)如图，锐角三角形ABC的两条高BE，CD相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．解：(1)∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵BE，CD是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，又∵BC ＝CB，∴△BDC≌△CEB(AAS)，∴∠DBC＝∠ECB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形(2)点O 在∠BAC 的平分线上．理由：如图，连接AO.∵△BDC ≌△CEB ，∴DC ＝EB ，∵OB ＝OC ，∴OD ＝OE ，∵∠BDC ＝∠CEB ＝90°，∴点O 在∠BAC 的平分线上(或通过证Rt △ADO ≌Rt △AEO (HL )，得出∠DAO ＝∠EAO 也可)22．(8分)如图，∠AOB ＝90°，OM 平分∠AOB ，将直角三角板的顶点P 在射线OM 上移动，两直角边分别与OA ，OB 相交于点C ，D ，问PC 与PD 相等吗？试说明理由．解：PC ＝PD.理由：过点P 作PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥OB 于点F ，∵OM 平分∠AOB ，点P 在OM 上，∴PE ＝PF ，又∵∠AOB ＝90°，∴∠EPF ＝90°，∴∠EPF ＝∠CPD ，∴∠EPC ＝∠FPD.又∵∠PEC ＝∠PFD ＝90°，∴△PCE ≌△PDF (ASA )，∴PC ＝PD23．(10分)如图，为了测出某塔CD 的高度，在塔前的平地上选择一点A ，用测角仪测得塔顶D 的仰角为30°，在A ，C 之间选择一点B(A ，B ，C 三点在同一直线上)．用测角仪测得塔顶D 的仰角为75°，且AB 间的距离为40 m .(1)求点B 到AD 的距离；(2)求塔高CD.(结果用根号表示)解：(1)过点B 作BE ⊥AD ，垂足为E ，∴∠AEB ＝90°，又∵∠A ＝30°，∴BE ＝12AB ＝12×40＝20 m(2)AE ＝AB 2－BE 2＝203，∵∠A ＋∠ADB ＝∠DBC ＝75°，∴∠ADB ＝75°－∠A ＝45°，∵BE ⊥AD ，∴∠BED ＝90°，∴∠DBE ＝∠ADB ＝45°，∴DE ＝BE ＝20，∴AD ＝AE ＋DE ＝203＋20，∵CD ⊥AC ，∴∠C ＝90°，又∵∠A ＝30°，∴CD ＝12AD ＝12(203＋20)＝(103＋10) m24．(12分)在△ABC 中，∠B ＝22.5°，边AB 的垂直平分线DP 交AB 于点P ，交BC 于点D ，且AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，DF 与AE 交于点G ，求证：EG ＝EC.解：如图所示：连接AD ，∵∠B ＝22.5°，且DP 为AB 的垂直平分线，∴DB ＝DA ，∴∠B ＝∠BAD ，∴∠ADE ＝2∠B ＝45°，在Rt △ADE 中，∠ADE ＝45°，∴∠DAE ＝45°，∴AE ＝DE ，∵AE ⊥DE ，∴∠1＋∠2＝90°，∵DF ⊥AC ，∴∠2＋∠C ＝90°，∴∠1＝∠C.在△DEG 和△AEC 中，⎩⎨⎧∠1＝∠C ，∠DEG ＝∠AEC ＝90°，DE ＝AE ，∴△DEG ≌△AEC (AAS )，∴EG ＝EC25．(12分)如图，已知△ABC 是边长为6 cm 的等边三角形，动点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，分别沿AB ，BC 方向匀速运动，其中点P 运动的速度是1 cm /s ，点Q 运动的速度是2 cm /s ，当点Q 到达点C 时，P ，Q 两点都停止运动，设运动时间为t s ，解答下列问题：(1)当点Q 到达点C 时，PQ 与AB 的位置关系如何？请说明理由；(2)在点P 与点Q 的运动过程中，△BPQ 是否能成为等边三角形？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由．解：(1)当点Q 到达点C 时，PQ 与AB 垂直，即△BPQ 为直角三角形．理由：∵AB ＝AC ＝BC ＝6 cm ，∴当点Q 到达点C 时，AP ＝3 cm ，∴点P 为AB 的中点．∴QP ⊥BA (等腰三角形三线合一的性质) (2)假设在点P 与点Q 的运动过程中，△BPQ 能成为等边三角形，则有BP ＝BQ ，∴6－t ＝2t ，解得t ＝2，又∠B ＝60°，∴当t ＝2时，△BPQ 是等边三角形第2章单元检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．据中央气象台报道，某日上海最高气温是22 ℃，最低气温是11 ℃，则当天上海气温t (℃)的变化范围是( D )A ．t ＞22B ．t ≤22C ．11＜t ＜22D ．11≤t ≤222．(2016·新疆)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＜2x ＋4，x －1≥2的解集是( C )A ．＞4B ．x ≤3C ．3≤x ＜4D ．无解3．在直角坐标系中，若点P(2x －6，x －5)在第四象限，则x 的取值范围是( A ) A ．3＜x ＜5 B ．－3＜x ＜5 C ．－5＜x ＜3 D ．－5＜x ＜－34．如图a ，b ，c 分别表示苹果、梨、桃子的质量，同类水果质量相等，则下列关系正确的是( C )A ．a ＞c ＞bB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞b5．如果点P(3－m ，1)在第二象限，那么关于x 的不等式(2－m)x ＋2＞m 的解集是( B ) A ．x ＞－1 B ．x ＜－1 C ．x ＞1 D ．x ＜16．如图是一次函数y ＝kx ＋b 的图象，当y ＜2时，x 的取值范围是( C ) A ．x ＜1 B ．x ＞1 C ．x ＜3 D ．x ＞37．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ≥0，1－2x ＞x －2无解，则实数a 的取值范围是( D )A ．a ≥－1B ．a ＜－1C ．a ≤1D ．a ≤－18．已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≥b ，2x －a ＜2b ＋1的解集为3≤x ＜5，则a ，b 的值为( A )A ．a ＝－3，b ＝6B ．a ＝6，b ＝－3C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝0，b ＝39．如图，函数y ＝2x 和y ＝ax ＋4的图象相交于点A(m ，3)，则不等式2x ＜ax ＋4的解集为( A )A ．x ＜32 B ．x ＜3C ．x ＞32D ．x ＞310．某镇有甲，乙两家液化气站，它们每罐液化气的价格，质地和重量都相同．为了促销，甲站的液化气每罐降价25%销售；每个用户购买乙站的液化气，第1罐按照原价销售，若用户继续购买，则从第2罐开始以7折优惠，促销活动都是一年．若小明家每年需购买8罐液化气，则购买液化气最省钱的方法是( B )A ．买甲站的B ．买乙站的C ．买两站的都一样D ．先买甲站的1罐，以后买乙站的 二、填空题(每小题3分，共24分)11．(2016·绍兴)不等式3x ＋134＞x3＋2的解是__x ＞－3__．12．(2016·巴中)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －1＜x ＋1，2（2x －1）≤5x ＋1的最大整数解为__0__．13．如果关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞m －1，x ＞m ＋2的解集是x ＞－1，那么m ＝__－3__．14．要使关于x 的方程5x －2m ＝3x －6m ＋1的解在－3与4之间，m 的取值范围是__－74＜m ＜74__．15．如图，函数y ＝ax －1的图象经过点(1，2)，则不等式ax －1＞2的解集是__x ＞1__.,第15题图),第16题图)16．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2a ≥1，2x －b ＜3的解集如图所示，则a －b 的值为__0__．17．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3k －1，x ＋2y ＝－2的解满足x ＋y ＞1，则k 的取值范围是__k ＞2__．18．商店购进一批文具盒，进价每个4元，零售价每个6元，为促进销售，决定打折销售，但利润率仍不低于20%，那么该文具盒实际价格最多可打__8__折销售．三、解答题(共66分)19．(10分)解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2（x ＋1）≤x ＋3，x －4＜3x ； (2)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞3x －2，①2x －13≥12x －23.② 解：－2＜x ≤1 数轴表示略 解：－2≤x ＜2 数轴表示略20．(7分)已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝11a ＋18，2x －3y ＝12a －8的解满足x ＞0，y ＞0，求实数a 的取值范围．解：解方程组得⎩⎨⎧x ＝3a ＋2，y ＝4－2a ，∵x ＞0，y ＞0，∴⎩⎨⎧3a ＋2＞0，4－2a ＞0，解得－23＜a ＜221．(8分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3（x －2）≥x －4，①2x ＋13＞x －1，②并写出它所有的整数解.解：解不等式①得x ≥1，解不等式②得x ＜4，∴原不等式的解集是1≤x ＜4，∴原不等式组的整数解是x ＝1，2，322．(8分)若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋13＞0，3x ＋5a ＋4＞4（x ＋1）＋3a 恰有三个整数解，求实数a 的取值范围． 解：解不等式x 2＋x ＋13＞0得x ＞－25，解不等式3x ＋5a ＋4＞4(x ＋1)＋3a 得x ＜2a ，∵不等式组恰有三个整数解，∴2＜2a ≤3，∴1＜a ≤3223．(9分)如图，一次函数y 1＝kx －2和y 2＝－3x ＋b 的图象相交于点A(2，－1)．(1)求k ，b 的值；(2)利用图象求当x 取何值时，y 1≥y 2?(3)利用图象求当x 取何值时，y 1＞0且y 2＜0?解：(1)将A 点坐标代入y 1＝kx －2，得2k －2＝－1，即k ＝12；将A 点坐标代入y 2＝－3x ＋b 得－6＋b＝－1，即b ＝5 (2)从图象可以看出当x ≥2时，y 1≥y 2 (3)直线y 1＝12x －2与x 轴的交点为(4，0)，直线y 2＝－3x ＋5与x 轴的交点为(53，0)，从图象可以看出当x ＞4时，y 1＞0；当x ＞53时，y 2＜0，∴当x ＞4时，y 1＞0且y 2＜024．(12分)甲，乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费，设小红在同一商场累计购物x 元，其中x ＞100.(1)根据题意，填写下表(物购计累 费花际实 130 290 … x 在甲商场127…在乙商场 126 …(2)当x 取何值时，(3)当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？解：(1)271 100＋(x －100)×90% 278 50＋(x －50)×95% (2)根据题意得100＋(x －100)×90%＝50＋(x －50)×95%，解得x ＝150.即当x ＝150时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同 (3)由100＋(x －100)×90%＜50＋(x －50)×95%，解得x ＞150；由100＋(x －100)×90%＞50＋(x －50)×95%，解得x ＜150.∴当小红累计购物超过150元时，选择甲商场实际花费少，当小红累计购物超过100元而不到150元时，选择乙商场实际花费少25．(12分)去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．(1)求饮用水和蔬菜各有多少件？(2)现计划租用甲，乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件，则运输部门安排甲，乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；(3)在(2)的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？解：(1)设饮用水有x 件，则蔬菜有(x －80)件，由题意得x ＋(x －80)＝320，解得x ＝200，∴x －80＝120.则饮用水和蔬菜分别为200件和120件 (2)设租用甲种货车m 辆，则租用乙种货车(8－m )辆，由题意得⎩⎨⎧40m ＋20（8－m ）≥200，10m ＋20（8－m ）≥120，解得2≤m ≤4.∵m 为正整数，∴m ＝2或3或4.故安排甲、乙两种货车时有3种方案，设计方案分别为①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆 (3)3种方案的运费分别为①2×400＋6×360＝2960(元)；②3×400＋5×360＝3000(元)；③4×400＋4×360＝3040(元)；∴方案①运费最少，最少运费是2960元．则运输部门应安排甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元第3章单元检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分) 1．把点A(－2，1)向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到点B ，则点B 的坐标是( B ) A ．(－5，3) B ．(1，3) C ．(1，－3) D ．(－5，－1)2．如图，下列四个图形中，△ABC 经过旋转之后不能得到△A ′B ′C ′的是( D )3．(2016·青岛)下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( B )4．如图，△OAB 绕点O 逆时针旋转80°得到△OCD ，若∠A ＝110°，∠D ＝40°，则∠α的度数是( C )A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°5．一个图形无论经过平移还是旋转，下列说法：①对应线段相等；②对应线段平行；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化．其中正确的有( C )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④6．(2016·枣庄)已知点P(a＋1，－a2＋1)关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是( C )7．如图，将△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，则下列结论：①AB∥CD；②AC＝DE；③AD＝BC；④∠B＝∠ADC；⑤△ACD≌△EDC.其中正确的结论有( A )A．5个B．4个C．3个D．2个,第7题图),第8题图),第9题图),第10题图)8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2.△A′B′C可以由△ABC绕点C 顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A，B′，A′在同一条直线上，则AA′的长为( A )A．6 B．4 3 C．3 3 D．39．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到(点B′是点B的对应点，点C′是点C的对应点)，连接CC′，则∠CC′B′的度数是( D ) A．45°B．30°C．25°D．15°10．将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90°至△A′OB′的位置，点B的横坐标为2，则点A′的坐标为( C )A．(1，1) B．(2，2) C．(－1，1) D．(－2，2)二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，点D是等边三角形ABC内的一点，如果△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，那么旋转了__60__度．12．如图，△A′B′C′是由△ABC沿BC方向平移得到的，若BC＝5 cm，AC＝4.5 cm，B′C＝2 cm，那么A′C′＝__4.5__cm，A，A′两点之间的距离为__3__cm.,第11题图),第12题图),第14题图),第15题图)13．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2，3)，B(－4，－1)，C(2，0)，将△ABC平移至△A1B1C1的位置，点A，B，C，的对应点分别是A1，B1，C1，若点A1的坐标为(3，1)，则点C1的坐标为__(7，－2)__．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为__2α__．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝115°，∠ACB＝25°，把△ABC以AC为对称轴作对称变换得△ADC，又把△ABC绕点B逆时针旋转55°得△FBE，则∠α的度数为__145°__．16．如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6 cm，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积等于__63__cm2.,第16题图),第17题图),第18题图)17．如图是4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的阴影部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正形内的数字是__3__．18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α(0°＜α＜90°)后得到△DEC，设CD交AB于点F，连接AD，当旋转角α的度数为__40°或20°__时，△ADF是等腰三角形．三、解答题(共66分)19．(7分)如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置．(1)若AC＝6 cm，则BE＝__6__cm；(2)若∠CAB＝50°，∠BDE＝100°，求∠CBE的度数．解：根据平移的性质得AC∥BE，∠ABC＝∠BDE＝100°，∴∠C＝180°－∠CAB－∠ABC＝180°－50°－100°＝30°，由AC∥BE得∠CBE＝∠C＝30°20．(7分)如图，边长为4的正方形ABCD绕点D旋转30°后能与四边形A′B′C′D重合．(1)旋转中心是哪一点？(2)四边形A ′B ′C ′D 是什么图形？面积是多少？(3)求∠C ′DC 和∠CDA ′的度数；(4)连接AA ′，求∠DAA ′的度数．解：(1)点D (2)四边形A ′B ′C ′D ′是正方形，面积为4×4＝16 (3)由题意得∠C ′DC ＝30°，∠CDA ′＝90°－∠C ′DC ＝60° (4)∵AD ＝A ′D ，∠ADA ′＝30°，∴∠DAA ′＝(180°－30°)×12＝75°21．(8分)(1)在平面直角坐标系中找出点A(－3，4)，B(－4，1)，C(－1，1)，D(－2，3)并将它们依 次连接；(2)将(1)中所画图形先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，画出第二次平移后的图形；(3)如何将(1)中所画图形经过一次平移得到(2)中所画图形？平移前后对应点的横坐标有什么关系？纵坐标呢？解：(1)画图略 (2)画图略 (3)将A 点与它的对应点A ′连接起来，则AA ′＝32＋42＝5，∴将(1)中所画图形沿A 到A ′的方向平移5个单位长度得到(2)中所画图形．四边形A ′B ′C ′D ′与四边形ABCD 相比，对应点的横坐标分别增加了4，纵坐标分别减少了322．(10分)(2016·巴中)如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图．(1)画出将△ABC 向右平移2个单位得到的△A 1B 1C 1；(2)画出将△ABC 绕点O 顺时针方向旋转90°得到的△A 2B 2C 2；(3)画出△ABC 关于原点对称的△A 3B 3C 3.解：图略23．(10分)如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向图形外作等边△BCD，把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，若AB＝3，AC＝2.(1)求∠BAD的度数；(2)求AD的长．解：(1)因为△DCE是由△DBA旋转后得到的，∴DE＝DA，∵∠BDC＝60°，∴∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝120°－60°＝60°(2)AD＝AE ＝AC＋CE＝AC＋AB＝2＋3＝524．(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知Rt△DOE，∠DOE＝90°，OD＝3，点D在y轴上，点E在x轴上，在△ABC中，点A，C在x轴上，AC＝5，∠ACB＋∠ODE＝180°，∠ABC＝∠OED，BC＝DE.按下列要求画图(保留作图痕迹)：(1)将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN(其中点D的对应点为点M，点E的对应点为点N)，画出△OMN；(2)将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′(其中A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′)，使得B′C′与(1)中△OMN的边NM重合；(3)求OE的长．解：(1)△OMN如图所示(2)△A′B′C′如图所示(3)设OE＝x，则ON＝x，作MF⊥A′B′于点F，由作图可知B′C′平分∠A′B′O，且C′O⊥OB ′，∴B ′F ＝B ′O ＝OE ＝x ，FC ′＝OC ′＝OD ＝3.∵A ′C ′＝AC ＝5，∴A ′F ＝52－32＝4，∴A ′B ′＝x ＋4，A ′O ＝5＋3＝8.在Rt △A ′B ′O 中，x 2＋82＝(4＋x )2，解得x ＝6，即OE ＝625．(12分)如图，小明将一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片(如图②)，量得它们的斜边长为10 cm ，较小的锐角为30°，再将这两张三角形纸片摆成如图③的形状，且点B ，C ，F ，D 在同一条直线上，且点C 与点F 重合(在图③至图⑥中统一用F 表示)．小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮忙解决：(1)将图③中的△ABF 沿BD 向右平移到图④的位置，使点B 与点F 重合，请你求出平移的距离；(2)将图③中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图⑤的位置，A 1F 交DE 于点G ，请你求出线段FG 的长度；(3)将图③中的△ABF 沿直线AF 翻折到图⑥的位置，AB 1交DE 于点H ，请证明：AH ＝DH.解：(1)图形平移的距离就是线段BC 的长，∵在Rt △ABC 中，斜边长为10 cm ，∠BAC ＝30°，∴BC ＝5 cm.∴平移的距离为5 cm (2)∵∠A 1FA ＝30°，∴∠GFD ＝60°，又∵∠D ＝30°，∴∠FGD ＝90°.在Rt △DFG 中，由勾股定理得FD ＝5 3 cm ，∴FG ＝12FD ＝532cm (3)在△AHE 与△DHB 1中，∵∠FAB 1＝∠EDF ＝30°，FD ＝FA ，EF ＝FB ＝FB 1，∴FD －FB 1＝FA －FE ，即AE ＝DB 1.又∵∠AHE ＝∠DHB 1.∴△AHE ≌△DHB 1(AAS )．∴AH ＝DH期中检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．(2016·哈尔滨)下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( D )2．若a ＞b ，则下列不等式变形错误的是( D )A ．a ＋3＞b ＋3 B.a 3＞b 3C ．2a －3＞2b －3D ．3－2a ＞3－2b3．(2016·临沂)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＜2x ＋4，3－x 3≥2的解集，在数轴上表示正确的是( A )4．在平面直角坐标系中，将点A(x ，y)向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B(－3，2)重合，则点A 的坐标是( D )A ．(2，5)B ．(－8，5)C ．(－8，－1)D ．(2，－1)5．如图，在△ABC 中，∠CAB ＝75°，在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，使得CC ′∥AB ，则∠BAB ′等于( A )A ．30°B ．35°C ．40°D ．50°,第5题图) ,第6题图) ,第7题图),第8题图)6．在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE 垂直平分AB ，垂足为E.若CD ＝2，则BD 的长为( C )A ．2B ．3C ．4D ．57．如图，AD ⊥CD ，AE ⊥BE ，垂足分别为D ，E ，且AB ＝AC ，AD ＝AE.则下列结论：①△ABE ≌△ACD ；②AM ＝AN ；③△ABN ≌△ACM ；④BO ＝EO.其中正确的有( B )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8．如图，将△ABC 沿直线DE 折叠后，使得点B 与点A 重合，已知AC ＝5 cm ，△ADC 的周长为17 cm ，则BC 的长为( C )A ．7 cmB ．10 cmC ．12 cmD ．22 cm9．如图，已知MN 是△ABC 的边AB 的垂直平分线，垂足为点F ，∠CAB 的平分线AD 交BC 于点D ，且MN 与AD 交于点O ，连接BO 并延长交AC 于点E ，则下列结论中不一定成立的是( B ) A ．∠CAD ＝∠BAD B ．OE ＝OF C ．AF ＝BF D ．OA ＝OB,第9题图) ,第10题图)10．如图，将边为3的正方形ABCD 绕点A 沿逆时针方向旋转30°后得到正方形AEFH ，则图中阴影部分的面积为( B ) A.32－ 3 B ．3－ 3 C ．2－ 3 D ．2－32 二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，已知∠B ＝∠C ，添加一个条件使△ABD ≌△ACE(不标注新的字母，不添加辅助线)．则添加的条件是__AB ＝AC (答案不唯一)__．12．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，若AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，BD ＝5 cm ，则△ABD 的面积为__15_cm 2__．,第11题图) ,第12题图) ,第13题图),第14题图)13．如图，在等边△ABC 中，AB ＝6，D 是BC 的中点，将△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ，那么线段DE 的长度为__33__．14．如图，点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(0，2)，若将线段AB 平移到A 1B 1，点A 1，B 1的坐标分别为(2，a)，(b ，3)，则a ＋b ＝__2__．15．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ≥0，1－2x ＞x －2有解，则a 的取值范围__a ＞－1__． 16．如图，OA ⊥OB ，△CDE 的边CD 在OB 上，∠ECD ＝45°，CE ＝4，若将△CDE 绕点C 逆时针旋转75°，点E 的对应点N 恰好落在OA 上，则OC 的长度为__2__．,第16题图) ,第17题图),第18题图)17．如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，连接AE ，BE ，CE ，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE ′的位置．若AE ＝1，BE ＝2，CE ＝3，则∠BE ′C ＝__135__°.18．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，O 是AB 的中点，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且∠DOE ＝90°.则下列结论：①OA ＝OB ＝OC ；②CD ＝BE ；③△ODE 是等腰直角三角形；④四边形CDOE 的面积等于△ABC 的面积的一半；⑤AD 2＋BE 2＝2OD 2；⑥CD ＋CE ＝2OA.其中正确的有__①②③④⑤⑥__(填序号)三、解答题(共66分)19．(8分)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB 于点E.(1)求证：△ACD ≌△AED ；(2)若∠B ＝30°，CD ＝1，求BD 的长．解：(1)∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝∠EAD ，∵∠C ＝90°，DE ⊥AB ，∴∠C ＝∠DEA ＝90°，又∵AD ＝AD ，∴△ACD ≌△AED (AAS ) (2)∵DE ⊥AB ，∴∠DEB ＝90°，又∵由(1)得△ACD ≌△AED ，∴DE ＝CD ＝1，在Rt △BDE 中，∵∠B ＝30°，∴BD ＝2DE ＝220．(8分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3（x －1）＜5x ＋1，x －12≥2x －4，并指出它的所有非负整数解． 解：解不等式组得－2＜x ≤73，∴不等式组的非负整数解是0，1，221．(8分)如图，△ABO 与△CDO 关于O 点中心对称，点E ，F 在线段AC 上，且AF ＝CE.求证：FD ＝BE.解：根据中心对称的性质可得BO ＝DO ，AO ＝CO ，又∵AF ＝CE ，∴AO －AF ＝CO －CE ，即OF ＝OE.在△ODF 和△OBE 中，DO ＝BO ，∠DOF ＝∠BOE (对顶角相等)，OF ＝OE ，∴△ODF ≌△OBE (SAS )，∴FD ＝BE22．(8分)如图，OA ⊥OB ，OA ＝45海里，OB ＝15海里，我国某岛位于O 点，我国渔政船在点B 处发现有一艘不明国籍的渔船，自A 点出发沿着AO 方向匀速驶向该岛所在地O 点，我国渔政船立即从B 处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C 处截住了渔船．(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；(2)求我国渔政船行驶的航程BC.解：(1)如答图，连接AB，作AB的垂直平分线与OA交于点C.点C即为所求(2)连接BC，设BC＝x海里，则CA＝x海里，OC＝(45－x)海里，在Rt△OBC中，BO2＋OC2＝BC2，即152＋(45－x)2＝x2，解得x＝25.则我国渔政船行驶的航程BC为25海里23．(10分)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(－4，2)，B(0，4)，C(0，2)．(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0，－4)，画出平移后对应的△A2B2C2；(2)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标．解：(1)图略(2)(2，－1)24．(12分)已知△ABC是等边三角形，将一块含有30°角的直角三角板DEF如图放置，让三角板在BC所在的直线上向右平移．如图①，当点E与点B重合时，点A恰好落在三角形的斜边DF上．(1)利用图①证明：EF＝2BC；(2)在三角板的平移过程中，在图②中线段EB ＝AH 是否始终成立(假定AB ，AC 与三角板斜边的交点为G ，H)？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．解：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60°，AC ＝BC.∵∠F ＝30°，∴∠CAF ＝60°－30°＝30°，∴∠CAF ＝∠F ，∴CF ＝AC.∴CF ＝AC ＝BC ，∴EF ＝2BC (2)成立．∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60°，AC ＝BC ，∵∠F ＝30°，∴∠CHF ＝60°－30°＝30°.∴∠CHF ＝∠F .∴CH ＝CF .∵EF ＝2BC ，∴EB ＋CF ＝BC.又∵AH ＋CH ＝AC ，AC ＝BC ，∴EB ＝AH25．(12分)某文具商店销售功能相同的A ，B 两种品牌的计算器，购买2个A 品牌和3个B 品牌的计算器共需156元；购买3个A 品牌和1个B 品牌的计算器共需122元．(1)求这两种品牌计算器的单价；(2)学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A 品牌计算器按原价的八折销售，B 品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售．设购买x 个A 品牌的计算器需要y 1元，购买x 个B 品牌的计算器需要y 2元，分别求出y 1，y 2关于x 的函数关系式；(3)小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．解：(1)设A 品牌计算器的单价为x 元，B 品牌计算器的单价为y 元，根据题意得⎩⎨⎧2x ＋3y ＝156，3x ＋y ＝122， 解得⎩⎨⎧x ＝30，y ＝32 (2)根据题意得y 1＝0.8×30x ，即y 1＝24x.当0≤x ≤5时，y 2＝32x ；当x ＞5时，y 2＝32×5＋32(x －5)×0.7，即y 2＝22.4x ＋48 (3)当购买数量超过5个时，y 2＝22.4x ＋48.①当y 1＜y 2时，24x ＜22.4x ＋48，解得x ＜30，即当购买数量超过5个而小于30个时，购买A 品牌的计算器更合算；②当y 1＝y 2时，24x ＝22.4x ＋48，解得x ＝30，即当购买数量为30个时，购买A 品牌和B 品牌的计算器花费相同；③当y 1＞y 2时，24x ＞22.4x ＋48，解得x ＞30，即当购买数量超过30个时，购买B 品牌的计算器更合算第4章单元检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是( C )A ．(3－x )(3＋x )＝9－x 2B ．(y ＋1)(y －3)＝－(3－y )(y ＋1)C ．m 4－n 4＝(m 2＋n 2)(m ＋n )(m －n )D ．4yz －2y 2z ＋z ＝2y (2z －yz )＋z2．多项式mx 2－m 与多项式x 2－2x ＋1的公因式是( A )A ．x －1B ．x ＋1C ．x 2－1D ．(x －1)2 3．下列各式中，能用公式法分解因式的有( B )①－x 2－y 2；②－14a 2b 2＋1；③a 2＋ab ＋b 2；④－x 2＋2xy －y 2；⑤14－mn ＋m 2n 2.A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．把代数式3x 3－12x 2＋12x 分解因式，结果正确的是( D ) A ．3x (x 2－4x ＋4) B ．3x (x －4)2 C ．3x (x ＋2)(x －2) D ．3x (x －2)25．一次数学课堂练习，小明同学做了如下四道因式分解题．你认为小明做得不够完整的一题是( B ) A ．4x 2－4x ＋1＝(2x －1)2 B ．x 3－x ＝x (x 2－1) C ．x 2y －xy 2＝xy (x －y ) D ．x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y ) 6．若a 2－b 2＝14，a －b ＝12，则a ＋b 的值为( B )A ．－12 B.12C ．1D ．27．已知多项式2x 2＋bx ＋c 因式分解后为2(x －3)(x ＋1)，则b ，c 的值为( D )A ．b ＝3，c ＝－1B ．b ＝－6，c ＝2C ．b ＝－6，c ＝－4D ．b ＝－4，c ＝－6 8．计算(－2)99＋(－2)100的结果为( A ) A ．299 B ．2100 C ．－299 D ．－29．若多项式x 2－2(k －1)x ＋4是一个完全平方式，则k 的值为( D ) A ．3 B ．－1 C ．3或0 D ．3或－110．若三角形的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2b －a 2c ＋b 2c －b 3＝0，则这个三角形是( A ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．三角形的形状不确定 二、填空题(每小题3分，共24分)11．分解因式：4＋12(x －y)＋9(x －y)2＝__(2＋3x －3y )2__．12．若2a －b ＋1＝0，则8a 2－8ab ＋2b 2的值为__2__．13．已知实数x ，y 满足x 2＋4x ＋y 2－6y ＋13＝0，则x ＋y 的值为__1__． 14．多项式2ax 2－8a 与多项式2x 2－8x ＋8的公因式为__2(x －2)__．15．若多项式(3x ＋2)(2x －5)＋(5－2x)(2x －1)可分解为(2x ＋m)(x ＋n)，其中m ，n 均为整数，则mn 的值为__－15__．16．已知长方形的面积为6m 2＋60m ＋150(m ＞0)，长与宽的比为3∶2，则这个长方形的周长为__10m ＋50__.17．已知代数式a 2＋2a ＋2，当a ＝__－1__时，它有最小值，最小值为__1__．18．从边长为a 的正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形，如图甲，然后拼成一个平行四边形，如图乙，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的为__a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )__．三、解答题(共66分)19．(12分)将下列各式分解因式：(1)2x 2y －8xy ＋8y; (2)a 2(x －y)－9b 2(x －y)； 解：2y (x －2)2 解：(x －y )(a ＋3b )(a －3b )(3)9(m ＋2n )2－4(m －2n )2; (4)(y 2－1)2＋6(1－y 2)＋9. 解：(5m ＋2n )(m ＋10n ) 解：(y ＋2)2(y －2)220．(10分)先分解因式，再求值：(1)已知x －y ＝－23，求(x 2＋y 2)2－4xy(x 2＋y 2)＋4x 2y 2的值；解：原式＝(x －y )4，当x －y ＝－23时，原式＝1681(2)已知x ＋y ＝1，xy ＝－12，求x (x ＋y )(x －y )－x (x ＋y )2的值．解：原式＝－2xy (x ＋y )，当x ＋y ＝1，xy ＝－，原式＝－2×(－12)×1＝121．(6分)下列三个多项式：12x 3＋2x 2－x ，12x 3＋4x 2＋x ，12x 3－2x 2，请选择你喜欢的两个多项式进行加法运算，再将结果因式分解．解：12x 3＋2x 2－x ＋12x 3＋4x 2＋x ＝x 3＋6x 2＝x 2(x ＋6)(答案不唯一)22．(8分)甲，乙两同学分解因式x 2＋mx ＋n ，甲看错了n ，分解结果为(x ＋2)(x ＋4)；乙看错了m ，分解结果为(x ＋1)(x ＋9)，请分析一下m ，n 的值及正确的分解过程．解：∵(x ＋2)(x ＋4)＝x 2＋6x ＋8，甲看错了n 的值，∴m ＝6，又∵(x ＋1)(x ＋9)＝x 2＋10x ＋9，乙看错了m 的值，∴n ＝9，∴原式为x 2＋6x ＋9＝(x ＋3)223．(8分)阅读下列解题过程：已知a，b，c为三角形的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4, (A)∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2), (B)则c2＝a2＋b2, (C)∴△ABC为直角三角形. (D)(1)上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号__C__；(2)错误的原因__忽略了a2－b2＝0，即a＝b的可能__；(3)请写出正确的解答过程．解：∵a2c2－b2c2＝a4b4，∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，即c2(a2－b2)－(a2＋b2)(a2－b2)＝0，∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0，∴a2－b2＝0或c2－a2－b2＝0，即a＝b或c2＝a2＋b2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形24．(10分)有足够多的长方形和正方形的卡片，如图①(1)如果选取1号，2号，3号卡片分别为1张，2张，3张(如图②)，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系将多项式a2＋3ab＋2b2分解因式；(2)小明想用类似的方法将多项式2a2＋7ab＋3b2分解因式，那么需要1号卡片__2__张，2号卡片__3__张，3号卡片__7__张．试画出草图，写出将多项式2a2＋7ab＋3b2分解因式的结果．解：(1)画图略．a2＋3ab＋2b2＝(a＋b)(a＋2b)(2)2，3，7.画图略.2a2＋7ab＋3b2＝(2a＋b)(a＋3b)25．(12分)阅读下列计算过程：多项式x2－11x＋24分解因式，可以采取以下两种方法：①将－11x拆成两项，即－6x－5x；将24拆成两项，即9＋15，则：x2－11x＋24＝x2－6x＋9－5x＋15＝(x2－6x＋9)－5(x－3)＝(x－3)2－5(x－3)＝(x－3)(x－3－5)＝(x－3)(x－8)；②添加一个数(112)2，再减去这个数(112)2，则：x 2－11x ＋24＝x 2－11x ＋(112)2－(112)2＋24＝[x 2－11x ＋(112)2]－254＝(x －112)2－(52)2＝(x －112＋52)(x －112－52)＝(x －3)(x －8)． (1)根据上面的启发，请任选一种方法将多项式x 2＋4x －12分解因式；(2)已知A ＝a ＋10，B ＝a 2－a ＋7，其中a ＞3，指出A 与B 哪个大，并说明理由．解：(1)x 2＋4x －12＝x 2＋4x ＋4－16＝(x ＋2)2－16＝(x ＋6)(x －2) (2)B ＞A.理由：B －A ＝a 2－a ＋7－a －10＝a 2－2a ＋1－4＝(a －3)(a ＋1)，∵a ＞3，∴a －3＞0，a ＋1＞0，∴B －A ＞0，即B ＞A第5章单元检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．在式子1a ，2xy π，3ab 2c 4，56＋x ，x 7＋y 8，9x ＋10y ，x 2x 中，分式的个数是( B )A ．5B ．4C ．3D ．22．若分式x 2－1x ＋1的值为零，则x 的值为( B )A ．0B ．1C ．－1D ．±1 3．在下列分式中，最简分式是( B ) A.x ＋1x 2－1 B.x ＋2x 2＋1 C.y 2y 2 D.63y ＋34．下列各式从左到右的变形中正确的是( A ) A.x －12y12xy ＝2x －y xy B.0.2a ＋b a ＋2b ＝2a ＋b a ＋2b C ．－x ＋1x －y ＝x －1x －y D.a ＋b a －b ＝a －b a ＋b5．计算a b ＋b a －a 2－b 2ab 的结果是( B )A.2a bB.2ba C.－2ab D.－2b a6．分式方程2x －2＋3x 2－x ＝1的解为( A )A ．1B ．2 C.13D ．0。

新北师大版数学八年级下册第一单元单元测试卷含答案北师大版八年级下册单元测试卷第一章三角形的证明（时间90分钟，满分120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1、两个直角三角形全等的条件是（）A、一锐角对应相等B、两锐角对应相等C、一条边对应相等D、两条边对应相等2、如图，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根据是（）A、SASB、ASAC、AASD、SSS3、等腰三角形底边长为7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3，则腰长是（）A、4B、10C、4或10D、以上答案都不对4、如图，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D为AB中点，有以下结论：(1)DE=AC；(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE。

其中结论正确的是（）A、(1)，(3)B、(2)，(3)C、(3)，(4)D、(1)，(2)，(4)5、如图，△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交CB边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数为（）A、2B、3C、4D、56、设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（）7、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（）A、4cmB、6cmC、8cmD、10cm8、如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）A、30°B、36°C、45°D、70°9、如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB′，那么该条件不可以是（）A、BB′⊥ACB、BC=B′CC、∠ACB=∠ACB′D、∠ABC=∠AB′C10、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则ABC的大小是（）A、40°B、45°C、50°D、60°二、填空题（每小题3分，共15分）11、如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是20°。

北师八(下)第一章有理数1.1-1.3水平测试题河北饶阳县第二中学 郭杏好 053900一、选择题(每题3分，共24分)1.绝对值小于3的非负整数有( )A ．1，2B ．0，1C ．0，1，2D ．0，1，2，32．有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，在下列各式中对a 、b 之间的关系表达不正确的是( )A ．b -a ＞0B ．ab ＞0C ．c -b ＜c -aD ．ab 11 3．下列判断中，正确的个数为( )①若-a ＞b ＞0，则ab ＜0②若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0③若a ＞b ，c ≠0，则ac ＞bc④若a ＞b ，c ≠0，则ac 2＞bc 2⑤若a ＞b ，c ≠0，则-a -c ＜-b -cA ．2B ．3C ．4D ．54．不等式-4≤x ＜2的所有整数解的和是( )A ．-4B ．-6C ．-8D ．-95．若不等式(a ＋1)x ＜a ＋1的解集为x ＜1，那么a 必须满足( )A ．a ＜0B ．a ≤-1C ．a ＞-1D ．a ＜-16．已知ax ＜2a (a ≠0)是关于x 的不等式，那么它的解集是( )A ．x ＜2B ．x ＞-2C ．当a ＞0时，x ＜2D ．当a ＞0时，x ＜2;当a ＜0时，x ＞27．不等式3(x -2)≤x ＋4的非负整数解有几个( )A ．4B ．5C ．6D ．无数个8．下列说法错误的是( )A ．-3x ＞9的解集为x ＜-3B ．不等式2x ＞-1的整数解有无数多个C ．-2是不等式3x ＜-4的解D ．不等式x ＞-5的负整数解有无数多个二、填空题(每题3分，共24分)9．已知a ＞0，b ＜0，且a ＋b ＜0，将a ，-b ，-|a |，-|b |用“＜”号按从小到大的顺序连接起来是 ．10．已知|x -5|＝5-x ，则x 的取值范围是 ．11．若a ＜b ，则-3a ＋1________-3b ＋1．12．若a ＞b ，c ≤0，则ac ________bc ．13．若ba b a --||＝-1，则a -b ________0． 14．大于________的每一个数都是不等式5x ＞15的解． 15．如果不等式(a -3)x ＜b 的解集是x ＜3-a b ，那么a 的取值范围是________． 16．方程x ＋2m ＝4(x ＋m )＋1的解为非负数，则m 的取值应为________．三、解答题(3小题，共30分)17、(10分)已知不等式2x -1＞x 与ax -6＞5x 同解，试求a 的值． 18、(10分)爱心援助:小明和小刚在学习时，遇到以下两题，被难住了，请你伸出援助之手……(1)不等式a (x -1)＞x ＋1-2a 的解集是x ＜-1，请确定a 是怎样的值．(2)如果不等式4x -3a ＞-1与不等式2(x -1)＋3＞5的解集相同，请确定a 的值．19. (10分)已知方程组⎩⎨⎧-=+=-k y x k y x 5132的解x 与y 的和为负数，求k 的取值范围． 四、综合探索题:(22分)20、(10分)小宁一家10点10分离家赶11点整的火车去某地旅游，他们家离火车站10千米.他们先以3千米/时的速度走了5分钟到达汽车站，然后乘公共汽车去火车站．公共汽车每小时至少走多少千米他们才能不误当次火车？21、(12分)某校校长带领该校市级“三好学生”外出旅游，甲旅行社说:如果买一张全票则其余学生可享受半价优惠.乙旅行社说:包括校长在内全部按票价的6折优惠(即按全价的60%收费)．已知全票价为240元．(1)设学生人数为x ，甲、乙旅行社收费分别用y 甲、y 乙表示，分别写出y 甲、y 乙与x 的函数关系式．(2)当学生是多少时，两家旅行社收费相同？(3)当x ＞4时，选择哪家旅行社较合算？五、备选题:22. 一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成任务，以后几天平均每天至少要完成多少土方？23. 不等式的解集中是否一定有无限多个数？不等式|x|≤0、x2＜0的解集是什么？不等式x2＞0和x2＋4＞0的解集分别又是什么？24.请写出满足下列条件的一个不等式(1)0是这个不等式的一个解．(2)-2，-1，0，1都是不等式的解．(3)0不是这个不等式的解．(4)与x ≤-1的解集相同的不等式．(5)不等式的整数解只有-1，0，1，2．参考答案:一、1．C 2．D 3．B 4．D(提示:满足-4≤x ＜2的整数解有-4，-3，-2，-1，0，1，切勿漏解或多解 5．C 6．D(提示:因a 的符号未知，因此应用不等式的哪条性质不定，故需分类讨论) 7. C(提示:非负整数包括正整数和零) 8. D(提示:x ＞-5的负整数解有-4，-3，-2，-1)二、9．-|b |＜-|a |＜a ＜-b 10．x ≤5 11.＞ 12．≤(提示:勿丢c=0) 13．＜(提示:由于a-b 在分母上，故a-b ≠0) 14．3 15．a ＞3(提示:因为在解的过程中不等号的方向没变，由不等式的性质2可知，a-3>0,故a>3) 16．m ≤-21 三、17、218、(1)解:不等式a (x -1)＞x ＋1-2a 可变形为ax -a ＞x ＋1-2a (a -1)x ＞1-a∵ 原不等式的解集为x ＜-1 ∴ a -1＜0，即a ＜1(2)解:解2(x -1)＋3＞5得:x ＞2解不等式4x -3a ＞-1得:x ＞413-a ∵ 以上两个不等式的解集相同∴413-a ＝2，解得a ＝3 19. k ＞31(提示:注意观察方程组的结构特点，让两个方程巧相加，可使运算简便) 20.设公共汽车速度为x 千米/时 根据题意得:3×6045605+x ≥10 解得:x ≥13，所以公共汽车每小时至少行13千米．21.解:(1)y 甲＝240＋240x ·50%，即y 甲＝240＋120xy 乙＝240(x ＋1)·60%，即y 乙＝144x ＋144(2)若y 甲＝y 乙，则240＋120x ＝144x ＋144解得:x ＝4(3)y 甲-y 乙＝240＋120x -(144x ＋144)＝-24x ＋96当x ＞4时，-24x ＋96＜0，即y 甲＜y 乙这时选择甲旅行社较合算22. 8023.不等式的解集中不一定有无数多个数．|x|≤0的解集是x ＝0，x2＜0无解．x2＞0的解集为x ＞0或x ＜0，x2＋4＞0的解集为一切实数．24. (1)x ＞-1(或x ≥0，x ＞-2等都可以)(2)x ＜2(或x ≤1，x ≥-2，x ＞-5等均可)(3)x ＞1(或x ＜-1等均可＝(4)2x ≤-2(或x ＋1≤0，2x ＋2≤0等均可)(5)-1≤x ≤2(或-1.5＜x ＜2.1等)。