高中数学 第一章 三角函数 1-1-1任意角课件 新人教A版必修4
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人教A版高中数学必修四课件：第一章 1.2.1(一) 任意角的三角函数 (共46张PPT)
有八九都会成功。 肯承认错误则错已改了一半。 人惟患无志，有志无有不成者。 人生道路，绝大多数人，绝大多数时候，人都只能靠自己。 不会生气的人是愚者，不生气的人乃真正的智者。 只会在水泥地上走路的人，永远不会留下深深的脚印。 一个人的度量是一种精神力量，是一股强大的文明力量。 不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。 天空的高度是鸟儿飞出来的，水无论有多深是鱼儿游出来的。 人若有志，万事可为。 有志者自有千方百计，无志者只感千难万难。 没有爱不会死，不过有了爱会活过来。 当你飞黄腾达的时候，你的朋友知道你是谁；当你穷困潦倒的时候，你才知道你的朋友是谁。 要想成为强者，决不能绕过挡道的荆棘，也不能回避风雨的冲刷。 君子坦荡荡，小人常戚戚。——《论语》 一个人最炫耀什么，说明其内心最缺乏什么；一个人越在意的地方，也是其最自卑的地方。 懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正敢的人才能所向披靡。 少一点预设的期待，那份对人的关怀会更自在。 只有想不到的事，没有做不到的事。 不悲伤，定会快乐。不犹豫，定会坚持。
高中数学第一章三角函数1.2-1.2.1任意角的三角函数课件新人教A版必修4
－12，
23，所以
sin
2π 3＝
23，cos2π3 ＝－12，tan
2π 3＝
－ 3.
如图所示，设角α的终边与单位圆交于点 P(x，y)．
分别过点 P、P0 作 x 轴的垂线 MP、M0P0，则|M0P0| ＝4，|MP|＝－y，
|OM0|＝3，|OM|＝－x，
图①
图②
(2)作直线 x＝－12，交单位圆于 C，D 两点，连接 OC
答案：A
类型 1 三角函数定义的应用(互动探究) [典例 1] (1)求2π3 的正弦、余弦和正切值； (2)已知角α的终边落在射线 y＝2x(x≥0)上，求 sin α，cos α的值．
解：
(1) 在 直 角
坐
标
系
中
， 作 ∠AOB ＝
2π 3 (如图所
示 ) ． 易 知 ∠AOB 的 终 边 与 单 位 圆 的 交 点 坐 标 为
第一章 三角函数
[知在平面直角坐标系中，设α是一个任意角， 它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么： ①y 叫做α的正弦，记作 sin α， 即 sin α＝y； ②x 叫做α的余弦，记作 cos α，即 cos α＝x；
(3)三角函数值在各象限的符号． 口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
3．三角函数线 已知角α的终边位置(图中圆为单位图)，角α的三条 三角函数线如图所示：
则 sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT.
5．若α是第四象限角，则 sin α和 tan α的大小的 关系是( )
A．sin α>tan α B．sin α<tan α C．sin α≥tan α D．不确定 解析：画出三角函数线即可判断出来，如图所示，sin α ＝－|MP|，tan α＝－|AT|，而|MP|<|AT|，故 sin α>tan α.
人教A版高中数学必修四课件1.2.1任意角的三角函数.ppt
cos
2
3 2
6， 4
tan
3
15 3
.
(3) 当 y 5 时，P（ 3 ， 5），r 2 2 ，
cos 6 ，tan 15 .
4
3
综上所述：
(1) 当 y 0 时，cP（os 3，1， 0）ta，nr 03.
(2) 当 y 5 时 ，coP（s 3 ，6 ，5 ）tan，r2 125，.
sin 5 3 ,
3
2
cos 5 1 ,
32
tan 5 3.
3
例1.求下列角的正弦、余弦和正切值：
(1) 5 ; (2) ; (3) 3 .
3
2
解：（2）∵ 当 时，在直角坐标系中， y 角 的终边与单位圆的交点坐标为 P(1, 0).
sin 0, cos 1, tan 0.
y
(1)正弦:sinα=y ;
P(x,y)
α
(2)余弦:cosα=x ;
0
A(1,0) x (3)正切:tanα= (yx≠0).
x
三角函数 sinα cosα tanα
定义域
正弦、余弦、正切都是以角(弧度)为自变量，以单位圆 上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们 统称为三角函数。
三角函数的定义域、值域
|
OP0
|5
P0(-3,-4)
x cos 3
三角函数的坐标定义 ：(见教材13页)
一般地，设角α终边上任意一点(异于原点)P(x,y),它到原
点(顶点)的距离为r>0，则
sinα=y ;cosα= x ;tanα= .y
r
r
x
例2.已知角α终边上经过点P0(-3,-4), 求角的正弦、余弦和正切值.
【必做练习】高中数学第一章三角函数1.1.1任意角教案新人教A版必修4
最新人教版试题
课题：任意角
［课时安排］
1 课时
［教学目标］
1．理解任意大小的角正角、 负角和零角， 掌握终边相同的角、
象限角、区间角、终边在坐标轴上的角 .
2．从数形结合的角度认识角
3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、
转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力
［教学重点］
理解概念，掌握终边相同角的表示法 .
A． 30° B ． 30°
C
． 630° D ． 630°
3. 把 1485°转化为 α ＋ k· 360°（ 0°≤ α ＜ 360° , k∈ Z）的形式是（ ）
A ． 45o 4×360°
B
C． 45o 5× 360°
D
o
． 45 4× 360°
o
．315 5× 360°
4. 下列结论中正确的是 ( )
方向旋转形成的角；
零角：射线没有任何旋转形成的角；
负角：按
方向旋转形成的角。
（3）象限角与坐标轴上的角：
B 终边
始边
O 顶点
A
使角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边落第几象限，则
称为
；终边落在坐标轴上的角称为
。
2. 与角 终边相同的角为
k 360
k z) ，连同角 可构成一个集
合 S ，即
部编本试题，欢迎下载！
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(4) 第四象限 . 探究 2. 写出与角
45 的终边相同的角的集合 S，并写出 S 中适合不等式
360
720 的元素 β .
【当堂训练】 1. 与 405°角终边相同的角是（ ）
A. k ·360°－ 45° ( k Z )
课题：任意角
［课时安排］
1 课时
［教学目标］
1．理解任意大小的角正角、 负角和零角， 掌握终边相同的角、
象限角、区间角、终边在坐标轴上的角 .
2．从数形结合的角度认识角
3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、
转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力
［教学重点］
理解概念，掌握终边相同角的表示法 .
A． 30° B ． 30°
C
． 630° D ． 630°
3. 把 1485°转化为 α ＋ k· 360°（ 0°≤ α ＜ 360° , k∈ Z）的形式是（ ）
A ． 45o 4×360°
B
C． 45o 5× 360°
D
o
． 45 4× 360°
o
．315 5× 360°
4. 下列结论中正确的是 ( )
方向旋转形成的角；
零角：射线没有任何旋转形成的角；
负角：按
方向旋转形成的角。
（3）象限角与坐标轴上的角：
B 终边
始边
O 顶点
A
使角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边落第几象限，则
称为
；终边落在坐标轴上的角称为
。
2. 与角 终边相同的角为
k 360
k z) ，连同角 可构成一个集
合 S ，即
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(4) 第四象限 . 探究 2. 写出与角
45 的终边相同的角的集合 S，并写出 S 中适合不等式
360
720 的元素 β .
【当堂训练】 1. 与 405°角终边相同的角是（ ）
A. k ·360°－ 45° ( k Z )
高一数学必修4课件：1-1-1任意角
第一章
1.1 1.1.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
2．锐角、0° ～90° 的角、小于90° 的角、第一象限角的区 别 [剖析] (1)锐角、0° ～90° 的角，小于90° 的角、第一象限
角的范围，如下表所示. 角 锐角 0° ～90° 小于90° 的角 第一象限角 集合表示 {α|0° <α<90° } {α|0° ≤α<90° } {α|α<90° } {α|k· <α<k· ＋90° 360° 360° ，k∈Z}
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课前自主预习 随堂应用练习 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
第一章
1.1 1.1.1
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课前自主预习
第一章
1.1 1.1.1
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温故知新 1．初中我们已经学习过角，那么初中对角的定义是什么 呢？所谓角就是________________．
[答案]
{β|β＝210° 360° ＋k· ，k∈Z}
第一章
1.1 1.1.1
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[拓展]1.象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表 示 (1)象限角： 象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 集合表示 {α|k· <α<k· ＋90° 360° 360° ，k∈Z} {α|k· ＋90° 360° <α<k· ＋180° 360° ，k∈Z} {α|k· ＋180° 360° <α<k· ＋270° 360° ，k∈Z} {α|k· ＋270° 360° <α<k· ＋360° 360° ，k∈Z}
高中数学人教A版必修4第一章1.2.1任意角的三角函数(1) 课件
o
x
p
α终边
T
例7：不查表，比较大小。
⑴ sin 2
3
和
sin 4
5
解：
y 1
由图形得到
sin 2π > sin 4π
3
5
o 1x
2
（２）cos 3
和 cos 4
5
解：由图形得到
cos 2π > cos 4π
3
5
y 1
o 1x
⑶ tan 2 和 tan 4
3
5
解：由图形得到
tan 2π < tan 4π
sinθ < 0 tanθ > 0
探究
根据三角函数的定义:
终边相同的角的同一三角函数值 是否相等？
∵终边相同的角的集合为：
{ k2 , k Z }
∴
终边相同
点的坐标相同
同一三角函数值
诱导公式
终边相同的角的同一三角函数值相 等，由此得到（公式一）：
sin(α + k 2π) = sinα;
示角α的正弦值和余弦值吗？
y
| MP |= y = sinα
P（x，y）
| OM |= x = cosα
OM x
思考2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆 的交点为P（x，y），则 sin y ，
cos x都是负数，此时角α的正弦值和余弦
值分别用哪条线段表示？
y
| MP | y sin
| OM | x cos
p
Mo
y
M
o
p
y α终边
p(x , y)
x
oM x
正弦线
余弦线
高中数学必修4《第一章三角函数》精品课件：1.1.1任意角
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.
S={ －315°，-135°，45°，225°， 405°，585°}
课堂小结
Office组件之word2007
1.角的概念推广 正角、负角、零角、象限角
2.终边相同的角
3.终边在x轴、y轴上的角的表示
4.终边在各个象限上的角的表示
Office组件之word2007
思考2：终边在x轴上的角的集合表示
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；
新课教学
Office组件之word2007
思考3：终边在y轴非正半轴、非负半轴
上的角分别如何表示？
y轴非负半轴:α= 90°＋k·360°，k∈Z ； y轴非正半轴:α= 270°＋k·360°，k∈Z .
思考4：终边在y轴上的角的集合表示
y
x o
知识探究（三）：终边相同的角 Office组件之word2007
思考1：－32°，328°，－392°是第几 象限的角？这些角有什么内在联系？
y
328° o
－392° x
－32°
新课教学
Office组件之word2007
思考2：与－32°角终边相同的角有多 少个？这些角与－32°角在数量上相 差多少？
Office组件之word2007
1.1.1 任意角
知识探究（一）：角的概念的推广
Office组件之word2007
复习：角的定义 角是由平面内一条射线绕其端点从
一个位置旋转到另一个位置所组成的 图形（如图）.
B
始边
终边
A O
顶点
新课教学
Office组件之word2007
思考1：你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋
高中数学(新课标人教A版)必修4 第一章三角函数精品课件 1.2任意角的三角函数(3课时)
tan 3
例5.求下列三角函数值
sin1480 10
'
9 s 4
11 tan( ) 6
小结:
1.任意角的三角函数是由角的终边与单 位圆交点的坐标来定义的. 2.三角函数值的符号是利用三角函数的 定义来推导的.要正确记忆三个三角函数 在各个象限内的符号； 3.诱导公式一的作用可以把大角的三角 函数化为小角的三角函数.
应用 1．利用同角三角函数的基 本关系求某个角的三角函数 值 例1．已知sinα＝－3/5，且 α在第三象限，求cosα和 tanα的值.
例2．已知 cos m (m 0, m 1), 求的其他三角函数值
4 sin 2 cos 例3.已知 tanα=3,求值（1） 5 cos 3 sin
y
a的终边 P(x,y)
1
P(x,y)
a
O
M
A(1,.0)
x
（1）y叫做 的正弦，记作sin ，即 sin y （2）x叫做 的余弦，记作cos，即 cos x y y （3） 叫做 的正切，记作tan ，即 tan x x
阅读课本P12：三角函数的定义
例题:
5 1 求 的正弦、余弦和正切值. 3
作业：
课本P20习题1.2A组
1,2，6，7，9
1.2.1任意角的三角函数(2)
复习回顾
1、三角函数的定义； 2、三角函数在各象限角的符号； 3、三角函数在轴上角的值； 4、诱导公式（一）：终边相同的角的 同一三角函数的值相等； 5、三角函数的定义域.
角是一个图形概念，也是一个数量概 念（弧度数）. 作为角的函数——三角函数是一个 数量概念（比值），但它是否也是一个 图形概念呢?
人教版数学必修4第一章1.2.1《任意角的三角函数》课件
公式作用：可以把求任意角的三角函数值，
转化为求 0 到 2 或 0 到 角3 的三 6 角函0数值 .
例3 求下列三角函数值：
（1） cos9
4
（2） tan( 11)
6
解：（1）co 9 4 sco 4 s 2 ( ) co 4 s2 2
（2）ta 1 n )1 ( ta n 2 ) (ta n ta n 3
A.4 3
B.4 3
C.4 3
D. 3
例2、已知角 的终边经过点P0(3,4)，求角
的正弦、余弦和正切值 .
解：由已知可得：
rx2y2 3 2 ( 4 )2 5
于是，sin y 4 r5
cosx 3 r5
tan y 4 x3
合作 演练
变式1、已知角 的终边过点 P1,2 5 ，
求 的三个三角函数值.
规律： “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”
“一全二正弦，三切四余弦”
例1 确定下列三角函数值的符号：
（1）co2s50（2）tan(67)2（3）sin
4
解：（1）因为 250是第三象限角，所以co 2s5 0 0；
（2）因为 tan(67)2= ta 2 n 3 ( 6 4 ) 0 8 ta 4 ，n 8
r
第 二 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 r x 为 负 值 ； o
x
第 三 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 x 为 负 值 ； r
第 四 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 x 为 正 值 ； r
三角函数在各象限内的符号：
交叉正负
第 3一 、 象 正 限 切 ： 函 x 数 0 ,值 y t0 a,n 故 y 为 x y 正 值 ； y x
转化为求 0 到 2 或 0 到 角3 的三 6 角函0数值 .
例3 求下列三角函数值：
（1） cos9
4
（2） tan( 11)
6
解：（1）co 9 4 sco 4 s 2 ( ) co 4 s2 2
（2）ta 1 n )1 ( ta n 2 ) (ta n ta n 3
A.4 3
B.4 3
C.4 3
D. 3
例2、已知角 的终边经过点P0(3,4)，求角
的正弦、余弦和正切值 .
解：由已知可得：
rx2y2 3 2 ( 4 )2 5
于是，sin y 4 r5
cosx 3 r5
tan y 4 x3
合作 演练
变式1、已知角 的终边过点 P1,2 5 ，
求 的三个三角函数值.
规律： “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”
“一全二正弦，三切四余弦”
例1 确定下列三角函数值的符号：
（1）co2s50（2）tan(67)2（3）sin
4
解：（1）因为 250是第三象限角，所以co 2s5 0 0；
（2）因为 tan(67)2= ta 2 n 3 ( 6 4 ) 0 8 ta 4 ，n 8
r
第 二 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 r x 为 负 值 ； o
x
第 三 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 x 为 负 值 ； r
第 四 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 x 为 正 值 ； r
三角函数在各象限内的符号：
交叉正负
第 3一 、 象 正 限 切 ： 函 x 数 0 ,值 y t0 a,n 故 y 为 x y 正 值 ； y x
人教版数学必修4第一章1.2.1任意角的三角函数课件(共21张PPT)
设角 的终边与单位圆交于 P(x, y) ，
分别过点 P、P0 作 x轴的垂线 MP、M 0 P0 M 0 M
M0P0 4
OM x
O
x
OM0 3
MP y
OMP∽ OM0P0
Px, y P03,4
于是，sin yy|M| P M 0P 04;
1 OP O0P 5
co sxxO M O0M 3; 1 OP O 0P5
2
2cos 9 cos( 2 ) cos 2
4
4
42
3tan( 11 )
tan(
2 )
tan
3
6
6
63
归纳总结
1. 内容总结： （1）任意角三角函数的概念以及它推广的定义。 练习:确定下列三角函数值的符号：
思考5:在弧度制中，这三个三角函数的 结论:终边相同的角的同一三角函数的值相等. 例4:求下列三角函数值： 点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。 函数的符号规律。 上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数, 函数的符号规律。 练习:确定下列三角函数值的符号： 那么① 叫做 的正弦，即 那么① 叫做 的正弦，即 ② 叫做 的余弦，即
ta nx yc sio ns3 4
定义推广：
设角是一个任意角，P(x, y) 是终边上的
任意一点，点 P与原点的距离r x2 y2 0
那么① y 叫做的正弦，即 sin y
r
② x 叫做
的余弦，即 cos rx
r
r
y
③
叫做 的正弦，即 tan y x 0
x
x
任意角 的三角函数值仅与 有关，而
y
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第一章 三角函数
§1.1 任意角和弧度制
1．1.1 任意角
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角． 2．理解并掌握终边相同的角的概念，会表示终边相同的 角所组成的集合． 3．理解并掌握象限角、轴线角的概念.
课前热身 1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另 一个位置所成的图形．我们规定：按逆时针方向旋转形成的角 叫做________；按顺时针方向旋转形成的角叫做________；不 作任何旋转形成的角叫做________．
直接判断．
【解析】 解法1：对于A，－60°和300°是终边相同的 角，它们并不相等，则排除A；对于B,390°是第一象限的角， 但它不是锐角，则排除B；对于D，－60°是小于90°的角，但 它不是锐角，则排除D.综上知，应选C.
解法2：因为锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限的角的 集合是{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}，当k＝0时，两集合相 等，所以锐角是第一象限的角．
【答案】 (1){α|α＝60°＋k·360°，k∈Z} {β|β＝225°＋k·360°，k∈Z} (2)－660°，－300°，60°，420°
规律技巧 (1)写出与－1020°终边相同的角的集合时，尽可 能地用一个简单的角，即先把任意角化为 α＋k·360°(k∈Z，且 0°≤α<360°)的形式，关键是确定 k，用观察法或用除法；
B．{α|α 小于 90°}
C．{α|α 是第一象限的角} D．以上都不对
解析 ∵－330°∈A∩B，但－330°不是锐角，∴A 错误．∵ －90°∉A∩B，∴B 错误．∵390°∉A∩B，∴C 错误．
答案 D
二 终边相同的角
【例 2】 (1)如图所示，如按逆时针旋转，终边落在 OA 位置时的角的集合是________；终边落在 OB 位置时角的集合 是________．
(2)∵－1020°＝－360°×3＋60°，∴和－1020°终边相同的 所有角为 k·360°＋60°，k∈Z.
根据题意有：－720°≤k·360°＋60°<720°， 解之得－163≤k<161，∴k＝－2，－1,0,1. 从而所求的角为： － 2×360°＋ 60°＝ － 660°， － 1×360°＋ 60°＝ － 300°， 0×360°＋60°＝60°，1×360°＋60°＝420°.
3．象限角与坐标轴上的角 (1)象限角的集合
象限角
集合表示
第一象限的角 {α|k·360°<α<k·360＋90°，k∈Z}
{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k 第二象限的角
∈Z}
{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°， 第三象限的角
k∈Z}
{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°， 第四象限的角
k∈Z}
(2)终边在坐标轴上的角的集合
角的终边的位置
集合表示
终边落在 x 轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z}
终边落在 x 轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
终边落在 y 轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
终边落在 y 轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
(2)写出在－720°～720°范围内与－1020°终边相同的角． 【分析】 (2)先写出与－1020°终边相同的所有角，然后取 k 值求满足条件的角．
【解析】 (1)根据终边相同的角的表示，故终边落在 OA 位置时的角的集合是{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}；终边落在 OB 位置时的角的集合是{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}．
自 1.正角 负角 零角 我 2.第几象限 校
3.α＋k·360°，k∈Z 整数个周角 对
思考探究1 根据角的新定义，角的范围有什么变化？ 提ห้องสมุดไป่ตู้ 角的概念推广后，角的范围不再限于0°～360°，它 应包括任意大小的正角、负角和零角． 思考探究2 终边相同的角相等吗？相等的角终边相同 吗？ 提示 终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数 倍；相等的角，终边相同.
终边落在 y 轴上
{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
终边落在 x 轴上
{α|α＝k·180°，k∈Z}
终边落在坐标轴上
{α|α＝k·90°，k∈Z}
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
一 基本概念
典例剖析
【例1】 下列各命题正确的是( ) A．终边相同的角一定相等 B．第一象限的角都是锐角 C．锐角都是第一象限角 D．小于90°的角都是锐角 【分析】 本题可用排除法予以解答，也可利用角的定义
【答案】 C
规律技巧 要想否定一个命题，只需举出一个反例即可， 解法1就是恰当地举出一个反例，将A、B、D三个选项予以排 除，从而确定选项C；要想肯定一个命题，则需严格推证.
变式训练 1 已知集合 A＝{α|α 小于 90°}，B＝{α|α 为第一
象限的角}，则 A∩B＝( )
A．{α|α 为锐角}
2．象限角 为了讨论问题的方便，我们在直角坐标系内使角的顶点与 原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边 在________，我们就说这个角是第几象限角．如果角的终边在 坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称它为轴线角 (或称为象限界角)．
3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表 示成角α与________的和.
名师点拨 1.角的概念与分类 角的概念是通过角的终边的旋转来推广的．根据角的终边 的旋转“方向”，得到正角、负角和零角． (1)
(2)
(3)射线没有作任何旋转，终边位置与始边位置重合，称 这样的角为零角．
2．终边相同的角 对终边相同的角的概念的理解 (1)角α为任意角； (2)k·360°与α之间用“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋ (－α)； (3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相 同； (4)k∈Z，即k为整数这个条件不可少； (5)终边相同的角表示不唯一．
§1.1 任意角和弧度制
1．1.1 任意角
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角． 2．理解并掌握终边相同的角的概念，会表示终边相同的 角所组成的集合． 3．理解并掌握象限角、轴线角的概念.
课前热身 1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另 一个位置所成的图形．我们规定：按逆时针方向旋转形成的角 叫做________；按顺时针方向旋转形成的角叫做________；不 作任何旋转形成的角叫做________．
直接判断．
【解析】 解法1：对于A，－60°和300°是终边相同的 角，它们并不相等，则排除A；对于B,390°是第一象限的角， 但它不是锐角，则排除B；对于D，－60°是小于90°的角，但 它不是锐角，则排除D.综上知，应选C.
解法2：因为锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限的角的 集合是{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}，当k＝0时，两集合相 等，所以锐角是第一象限的角．
【答案】 (1){α|α＝60°＋k·360°，k∈Z} {β|β＝225°＋k·360°，k∈Z} (2)－660°，－300°，60°，420°
规律技巧 (1)写出与－1020°终边相同的角的集合时，尽可 能地用一个简单的角，即先把任意角化为 α＋k·360°(k∈Z，且 0°≤α<360°)的形式，关键是确定 k，用观察法或用除法；
B．{α|α 小于 90°}
C．{α|α 是第一象限的角} D．以上都不对
解析 ∵－330°∈A∩B，但－330°不是锐角，∴A 错误．∵ －90°∉A∩B，∴B 错误．∵390°∉A∩B，∴C 错误．
答案 D
二 终边相同的角
【例 2】 (1)如图所示，如按逆时针旋转，终边落在 OA 位置时的角的集合是________；终边落在 OB 位置时角的集合 是________．
(2)∵－1020°＝－360°×3＋60°，∴和－1020°终边相同的 所有角为 k·360°＋60°，k∈Z.
根据题意有：－720°≤k·360°＋60°<720°， 解之得－163≤k<161，∴k＝－2，－1,0,1. 从而所求的角为： － 2×360°＋ 60°＝ － 660°， － 1×360°＋ 60°＝ － 300°， 0×360°＋60°＝60°，1×360°＋60°＝420°.
3．象限角与坐标轴上的角 (1)象限角的集合
象限角
集合表示
第一象限的角 {α|k·360°<α<k·360＋90°，k∈Z}
{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k 第二象限的角
∈Z}
{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°， 第三象限的角
k∈Z}
{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°， 第四象限的角
k∈Z}
(2)终边在坐标轴上的角的集合
角的终边的位置
集合表示
终边落在 x 轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z}
终边落在 x 轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
终边落在 y 轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
终边落在 y 轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
(2)写出在－720°～720°范围内与－1020°终边相同的角． 【分析】 (2)先写出与－1020°终边相同的所有角，然后取 k 值求满足条件的角．
【解析】 (1)根据终边相同的角的表示，故终边落在 OA 位置时的角的集合是{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}；终边落在 OB 位置时的角的集合是{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}．
自 1.正角 负角 零角 我 2.第几象限 校
3.α＋k·360°，k∈Z 整数个周角 对
思考探究1 根据角的新定义，角的范围有什么变化？ 提ห้องสมุดไป่ตู้ 角的概念推广后，角的范围不再限于0°～360°，它 应包括任意大小的正角、负角和零角． 思考探究2 终边相同的角相等吗？相等的角终边相同 吗？ 提示 终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数 倍；相等的角，终边相同.
终边落在 y 轴上
{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
终边落在 x 轴上
{α|α＝k·180°，k∈Z}
终边落在坐标轴上
{α|α＝k·90°，k∈Z}
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
一 基本概念
典例剖析
【例1】 下列各命题正确的是( ) A．终边相同的角一定相等 B．第一象限的角都是锐角 C．锐角都是第一象限角 D．小于90°的角都是锐角 【分析】 本题可用排除法予以解答，也可利用角的定义
【答案】 C
规律技巧 要想否定一个命题，只需举出一个反例即可， 解法1就是恰当地举出一个反例，将A、B、D三个选项予以排 除，从而确定选项C；要想肯定一个命题，则需严格推证.
变式训练 1 已知集合 A＝{α|α 小于 90°}，B＝{α|α 为第一
象限的角}，则 A∩B＝( )
A．{α|α 为锐角}
2．象限角 为了讨论问题的方便，我们在直角坐标系内使角的顶点与 原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边 在________，我们就说这个角是第几象限角．如果角的终边在 坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称它为轴线角 (或称为象限界角)．
3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表 示成角α与________的和.
名师点拨 1.角的概念与分类 角的概念是通过角的终边的旋转来推广的．根据角的终边 的旋转“方向”，得到正角、负角和零角． (1)
(2)
(3)射线没有作任何旋转，终边位置与始边位置重合，称 这样的角为零角．
2．终边相同的角 对终边相同的角的概念的理解 (1)角α为任意角； (2)k·360°与α之间用“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋ (－α)； (3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相 同； (4)k∈Z，即k为整数这个条件不可少； (5)终边相同的角表示不唯一．