浙教版八年级下册第一章数的开方与二次根式综合练习题

二次根式复习1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．下列计算正确的是（）A．B．（2）2＝16C．＝3D．3．下列各式计算正确的是（）A．6﹣＝5B．4×2＝8C．D．4．若x、y都是实数，且++y＝4，则xy的算术平方根为（）A．2B．±C．D．不能确定5．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜1B．x≤1C．x＜1且x≠0D．x＜1且x≠﹣16．化简二次根式（a＜0）得（）A．B．﹣C．D．﹣7．若＝成立，则x的取值范围为（）A．x≥0B．0≤x＜1C．x＜1D．x≥0或x＜18．计算（）2+的结果是（）A．7﹣2x B．﹣1C．2x﹣7D．19．计算的结果估计在（）A．7与8之间B．8与9之间C．9与10之间D．10与11之间10．已知x+|x﹣1|＝1，则化简+的结果是．11．如果一个三角形的三边长分别是2，3，m，则化简﹣|2﹣2m|﹣7的结果是．12．若是正整数，则整数n的最小值为．13．化简：（b≥0）的结果是．14．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简﹣|b﹣c|+的结果为．15．若＝x﹣4+6﹣x＝2，则x的取值范围为．16．已知等式|a﹣2018|+＝a成立，a﹣20182的值为17．计算下列各式：（1）；（2）+4﹣+．18．计算：①：②；③（4﹣4+3）；④（7+4）（7﹣4）﹣（﹣1）2．19．观察下列各式：请利用你所发现的规律，解决下列问题：（1）第4个算式为：；（2）求的值；（3）诸直接写出的结果．20．在解决问题“已知a＝，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：∵a＝＝＝2∴a﹣2＝﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简：（2）若a＝，求3a2﹣6a﹣1的值．22．阅读下面一道题的解答过程，判断是否正确，如若不正确，请写出正确的解答过程．化简：﹣a2•+解：原式＝a﹣a2••+a＝a﹣a+a＝a．23．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）利用所探索的结论，填空：13+4＝（+）2；（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？24．先化简，再求值：a+，其中a＝1007．如图是小亮和小芳的解答过程．（1）的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；（3）先化简，再求值：a+2，其中a＝﹣2007．参考答案1.B．2.C．3.D．4.C．5.D．6.A．7.B．8.A．9.A．10．3﹣2x．11．﹣3m．12．3．13．．14．﹣b﹣c．15．4≤x≤6．16．2019．17．解：（1）原式＝2++2﹣＝+2；（2）原式＝3+2﹣4+＝5﹣．18．解：①原式＝3﹣5+＝﹣②原式＝＝4；③原式＝2﹣2+＝2﹣1+3＝2+2；④原式＝49﹣48﹣（5﹣2+1）＝1﹣6+2＝2﹣5．19．解：（1）（2）原式＝＝＝＝（3）原式＝＝＝＝20．解：（1）＝＝；（2）∵a＝＝+1，∴a﹣1＝，∴a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1∴3a2﹣6a＝3∴3a2﹣6a﹣1＝2．21．解：错误，正确的是：由二次根式的性质可知，a＜0，所以，＝，，则原式＝﹣a﹣a2•（﹣）﹣a＝﹣a．22．解：（1）a＝m2+3n2；b＝2mn；（2）m2+3n2；2mn；1，2；（3）a＝m2+3n2；6＝2mn；∴mn＝3，而m、n为正整数，∴m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，∴a＝28或a＝12．23．解：（1）小亮；（2）＝﹣a（a＜0）；（3）∵a＝﹣2007，∴a﹣3＝﹣2010＜0，则原式＝a+2＝a+2|a﹣3|＝a﹣2（a﹣3）＝a﹣2a+6＝﹣a+6＝2007+6＝2013．。

第一章二次根式一、选择题1.以下根式中属最简二次根式的是〔〕A. B.C.D.2.假设二次根式有意义，那么x的取值范围是〔〕A. x=2B. x≠2C. x≤2D. x≥23.以下运算正确的选项是〔〕A. B.C. D.4.化简的结果是A. B.C.D.5.4＜a＜7，化简后为〔〕A. 3B. ﹣3 C. 2a﹣11 D. 11﹣2a6.假设x<0，那么的结果是〔〕A. 0B.-2 C. 0或-2 D. 27.以下根式中，不是最简二次根式的是〔〕A. B.C.D.8.a＜b，那么化简二次根式的正确结果是〔〕A. B.C.D.9.x= ，y= ，那么x2+xy+y2的值为〔〕A. 2B. 4C. 5D. 710.以下说法不正确的选项是〔〕A. 当a≥0时，≥0B. 当a≤0时，≤0C. 当0＜a＜1时，＞a D. 当a＞1时，＜a11.在二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是〔〕A. ①和③B. ②和③ C. ①和④ D. ③和④二、填空题12.计算：﹣=________，=________．13.当a=﹣3时，二次根式的值是________．14.计算• 〔a≥0〕=________．15.________16.假设=2x，那么x的取值范围是________．17.二次根式有意义，那么x的取值范围是________ ．18.代数式有意义，那么字母x的取值范围是________．19.最简二次根式与2 可以合并，那么a的值是________．20.三角形的面积是20，一边长为2 ，那么这条边上的高为________．21.观察分析以下数据：0，﹣，，﹣3，2 ，﹣，3 ，…，根据数据排列的规律得到第13个数据应是________．三、解答题22.计算：〔Ⅰ〕( －)÷〔Ⅱ〕23.假设x，y是实数，且y= + +3，求3 的值．24. xy=6，x+y=﹣4，求x +y的值．。

第一章 二次根式综合能力训练题(二)一、选择题（3′×10=30′）1．已知a<0的结果是（ ）．A ．1B ．－1C ．0D ．2a 2=k 是（ ）． A ．1 B ．12C ．3D ．433的小数部分为b ，那么（4+b ）b 的值是（ ）． A ．1 B ．是一个有理数 C ．3 D ．无法确定4．当x<2y得（ ）．A ．x （x －2y ）B ．2x y x- C ．（x －2y D ．（2y －x 5．化简：ba（a>0，b>1）的结果是（ ）． A ．11b- B ．1b b - C ．11b - D ．11b - 6．化简│2a+312a<－4）的结果是（ ）． A ．152－3a B ．3a －12 C ．a+152 D ．12－3a7．当a>0，b>0时，n ）． A ．（b －a B ．（a n b 3－a n+1b 2 C ．（b 3－ab 2 D ．（a n b 3+a n+1b 28．若x<1，且y=+3，则1y的值是（ ）．A ．13B ．C ．D ．9的积为（ ）．A ．1B ．17CD 10．当x<0时，化简 ）． A ．－1 B ．1 C ．1－2x D ．2x －1 二、填空题（3′×10=30′）11．如图P （3，4）是直角坐标系中一点， 则P 到原点的距离是______．12．13．已知等腰三角形ABC 的面积是5，底边上的高AD ______． 14．已知，，求a 2+b 2的值为______． 15=15.25=_______． =0.4858． 16．计算（－2）2－2－（10=____． 已知． 17． 1.733）2的算术平方根是_______． 18．若│a+4│+（b －2）2=0，则6a b+=_____． 19=_____．20．对于实数x，若有x+│x│=0，则x是______．三、解答题（共60′）21．（2×5′=10′）（1）一个圆柱形水池深1.4米，它能装80吨水，则水池底面半径约是多少米（ 精确到0.1米）？（2）已知0<32a<b22．（2×5′=10′）（1）计算+（－1）2（2）实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简:a+│a+b││b－c│．c a（1）如果||||a aa-表示一个整数，求a．（2）若│a－3│+（5+b）2=0，求代数式ab c+的值．24．（2×5′=10′）（1）a，b=－a2－1│成立．（2）某车间一月份生产零件7000个，三月份生产零件8470个， 该车间这两个月生产零件平均每月增长的百分率是多少？（1）已知x，y为实数，，则3x+4y为多少？（2）当1时，求x2+2x+2的值．26．（2×5′=10′）（1）在一个边长为（正方形，求剩余部分的面积？（2……仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想为多少？答案:一、1．B 2．C 3．C 4．D 5．C 6．D 7．B 8．B 9．C 10．C二、11．5 12．10710013． 14．10 15．1525 48.5816．417．1.733 18．－3 19．12.584 －0.2711 20．≤0 三、21．（1）R=4.3米 （2）4b22．（1）5 （2）023．（1）a 为不等于零的所有实数 （2）－1224．（1）a=2，b=3－ （2）10% 25．（1）±9 （2）2526．（1） （2）2005555个。

2021-2022学年浙教版八年级数学下册《第1章二次根式》单元综合练习题（附答案）1．下列的式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．2．已知是正整数，则实数n的最小值是（）A．3B．2C．1D．3．式子有意义，则实数a的取值范围是（）A．a≥﹣1B．a≠2C．a≥﹣1且a≠2D．a＞24．下列各式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．5．已知+2＝b+8，则的值是（）A．±3B．3C．5D．±56．下列二次根式中，最简二次根式的是（）A．B．C．D．7．下列运算，结果正确的是（）A．﹣＝B．3+＝3C．÷＝3D．×＝2 8．下列运算正确的是（）A．＝﹣2B．（2）2＝6C．+＝D．×＝9．等式成立的条件是（）A．x≥0且x≠3B．x≠3C．x≥0D．x＞3 10．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．平方相等11．计算的结果是（）A．B．C．D．12．若二次根式有意义，则x的取值范围是．13．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为．14．已知0＜a ＜1，化简＝ ． 15．把根式a 根号外的a 移到根号内，得 ．16．若最简二次根式与是同类二次根式，则a 的值为 ． 17．计算()()()02023202223232--+-＝ ． 18．已知x ＝+1，则x 2﹣2x ﹣3＝ ．19．已知|a ﹣2021|+2022-a ＝a ，则a ﹣20212的值是 ．20．已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a |﹣+﹣．21．计算：2×．22．如果最简二次根式与是同类二次根式． （1）求出a 的值；（2）若a ≤x ≤2a ，化简：|x ﹣2|+． 23．． 24．计算：． 25．计算：26．计算：÷﹣×+． 27．计算：（1）（2）． 28．计算：（﹣）﹣﹣|﹣3| 29．计算：（﹣）×+|﹣2|﹣（）﹣1． 30．计算：． 31．计算：． 32．计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．33．已知a＝，求的值．34．化简求值：，求的值．参考答案1．解：A、当x＝0时，﹣x﹣2＜0，无意义，故本选项错误；B、当x＝﹣1时，无意义；故本选项错误；C、∵x2+2≥2，∴符合二次根式的定义；故本选项正确；D、当x＝±1时，x2﹣2＝﹣1＜0，无意义；故本选项错误；故选：C．2．解：是正整数，则实数n的最小值为．故选：D．3．解：式子有意义，则a+1≥0，且a﹣2≠0，解得：a≥﹣1且a≠2．故选：C．4．解：A、是最简二次根式，符合题意；B、＝2，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝a，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝，不是最简二次根式，不符合题意．故选：A．5．解：由题可得，解得a＝17，∴0＝b+8，∴b＝﹣8，∴＝＝5，故选：C．6．解：A．＝3，不符合题意；B．＝2，不符合题意；C．是最简二次根式，符合题意；D．＝，不符合题意；故选：C．7．解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；C．÷＝＝，此选项错误；D．×＝××＝2，此选项计算正确；故选：D．8．解：A：＝2，故本选项错误；B：＝12，故本选项错误；C：与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；D：根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确．故选：D．9．解：根据二次根式的意义，有x≥0，且x﹣3＞0，解得x＞3．故选：D．10．解：∵ab＝×＝＝1，∴a与b互为倒数．故选：C．11．解：原式＝[（﹣）（+）]2020•（+）＝（2﹣3）2020•（+）＝+．故选：A．12．解：∵二次根式有意义，∴2x﹣1≥0，解得：x≥．故答案为：x≥．13．解：由数轴可得，4＜a＜8，∴＝a ﹣3+10﹣a＝7，故答案为：7．14．解：∵0＜a ＜1， ∴＜， ∴原式＝﹣ ＝﹣ ＝﹣（）＝2． 15．解：∵有意义， ∴﹣≥0，即a ＜0， ∴原式＝﹣＝﹣；16．解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴2a ﹣3＝5，解得：a ＝4．故答案为：4．17．解：()()()02023202223232--+-＝{（2﹣）（2+）}2022（2+）﹣1＝2+﹣1 ＝1+．故答案为：1+． 18．解：当x ＝+1时，原式＝（+1）2﹣2（+1）﹣3 ＝6+2﹣2﹣2﹣3 ＝1， 方法二：原式＝x 2﹣2x ﹣3，＝（x ﹣1）2﹣4，＝5﹣4，＝1，故答案为：1．19．解：∵|a ﹣2021|+2022-a ＝a ，∴a ≥2022． ∴a ﹣2021+2022-a ＝a ，2022-a ＝2021，两边同平方，得a ﹣2022＝20212，∴a ﹣20212＝2022．20．解：如图所示：a ＜0，a +c ＜0，c ﹣a ＜0，b ＞0， 则原式＝﹣a +a +c ﹣（c ﹣a ）﹣b ＝a ﹣b ．21．解：原式＝（2××）， ＝． 22．解：（1）由题意可知：4a ﹣5＝13﹣2a a ＝3（2）∵a ＝3，∴3≤x ≤6∴x ﹣2≥1，x ﹣6≤0原式＝|x ﹣2|+|x ﹣6|＝x ﹣2﹣（x ﹣6）＝423．解：原式＝4+3﹣2+4， ＝7+2．24．解：原式＝9﹣14+20， ＝15． 25．解：， ＝，26．解：原式＝﹣+2＝4+27．解：（1）＝＝5；（2）＝＝5﹣4﹣3+2＝0．28．解：（﹣）﹣﹣|﹣3|＝﹣3﹣2﹣（3﹣）＝﹣6．29．解：原式＝﹣+2﹣﹣2＝﹣2﹣＝﹣330．解：原式＝﹣+2＝4﹣+2＝4+．31．解：原式＝3﹣1﹣4+2＝0．32．解：原式＝5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2＝﹣7+3．33．解：∵a＝，∴a＝2﹣＜1，∴原式＝﹣＝a﹣1﹣＝2﹣﹣1+2+＝4﹣1＝3．34．解：＝＝，＝+1；b＝＝，∴＝＝．35．解：，＝，＝，＝，当时，原式＝＝．。

八年级数学下册第一章《二次根式》综合测试题-浙教版（含答案）一．选择题（共7小题，满分28分）1．下列二次根式中，能与合并的是（）A．B．C．D．2．要使二次根式有意义，那么x的取值范围是（）A．x≥1B．x＞1C．x＜1D．x≥﹣13．下列计算中，正确的是（）A．＝±5B．＝﹣3C．÷＝2D．＝50 4．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．5．已知一个矩形面积是，一边长是，则另一边长是（）A．12B．C．D．6．已知，则的值为（）A．﹣2B．2C．2D．﹣27．若，则代数式x2﹣6x﹣8的值为（）A．2005B．﹣2005C．2022D．﹣2022二．填空题（共7小题，满分28分）8．计算﹣的结果是．9．若b＝﹣+6，则＝．10．化简：（a＞0）＝．11．计算：＝．12．一个三角形的三边长分别为，，2，则这个三角形的面积为．13．已知a，b，c为△ABC三边的长，化简＝．14．已知+|b+1|＝0，则＝．三．解答题（共6小题，满分64分）15．计算：（1）﹣+；（2）÷﹣．16．计算下列各题：（1）；（2）．17．已知，x＝+，y＝﹣．求：（1）x+y和xy的值；（2）求x2﹣xy+y2的值．18．在一个长为，宽为的矩形内部挖去一个边长为的正方形，求剩余部分的面积．19．王老师在小结时总结了这样一句话“对于任意两个正数a，b，如果a＞b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和2的大小．解：＝×200＝8，（2）2＝4×3＝12．∵8＜12，∴＜2．参考上面例题的解法，解答下列问题：（1）比较﹣5与﹣6的大小；（2）比较+1与的大小．20．像，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：₅与+1与，与2﹣3₅等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：（1）化简：①＝．②＝；（2）计算：．参考答案一．选择题（共7小题，满分28分）1．解：A、与不能合并，故A不符合题意；B、与不能合并，故B不符合题意；C、＝3，与不能合并，故C不符合题意；D、＝2，与能合并，故D符合题意；故选：D．2．解：由题意得，2x﹣2≥0，解得，x≥1，故选：A．3．解：A.＝5，故A选项错误；B.＝3，故B选项错误；C.＝＝2，故C选项正确；D.＝20，故D选项错误．故选：C．4．解：A、＝，故A不符合题意；B、＝2，故B不符合题意；C、＝|x|，故C不符合题意；D、是最简二次根式，故D符合题意；故选：D．5．解：÷＝＝＝2，故选：B．6．解：∵x＝+1，y＝﹣1，∴x+y＝2，xy＝1，∴+＝＝＝2，故选：B．7．解：∵，∴x2﹣6x﹣8＝x2﹣6x+9﹣8﹣9＝（x﹣3）2﹣17＝（3﹣﹣3）2﹣17＝（﹣）2﹣17＝2022﹣17＝2005，故选：A．二．填空题（共7小题，满分28分）8．解：＝＝＝，故答案为：．9．解：由题意得：，解得a＝3，所以b＝6，所以．故答案为：．10．解：∵﹣ab3≥0，a＞0，∴b≤0．∴＝＝|b|＝﹣b．故答案为：﹣b．11．解：＝×4﹣3+6＝2﹣3+6＝5，故答案为：5．12．解：∵三角形的三边长分别为，，2，∴（）2+（）2＝（2）2，∴这个三角形是直角三角形，斜边长为2，∴这个三角形的面积为××＝，故答案为：．13．解：∵a，b，c为△ABC三边的长，∴b+c＞a，a+c＞b，∴＝|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a﹣c）＝﹣a+b+c﹣b+a+c＝2c．故答案为：2c．14．解：∵+|b+1|＝0，∴a﹣2＝0，b+1＝0，∴a＝2，b＝﹣1，∴＝×+＝×+＝+2，故答案为：+2．三．解答题（共6小题，满分64分）15．解：（1）﹣+＝3＝0；（2）÷﹣＝4﹣＝4+．16．解：（1）＝＝12；（2）＝6﹣2﹣（4﹣4+3）＝4﹣7+4＝4﹣3．17．解：（1）∵x＝+，y＝﹣，∴x+y＝（）+（）＝2，xy＝（）×（﹣）＝3﹣2＝1；（2）∵x+y＝2，xy＝1，∴x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy＝（2）2﹣3×1＝12﹣3＝9．18．解：由题意可得，＝．即剩余部分的面积为10+8．19．解：（1）（﹣5）2＝25×6＝150，（﹣6）2＝36×5＝180，∵150＜180，∴﹣5＞﹣6；（2）（+1）2＝7+2+1＝8+2＝8+，（+）2＝5+2+3＝8+2＝8+，∵＜，∴+1＜+．20．解：（1）①＝＝，＝＝，故答案为：，；（2）原式＝﹣1+﹣+﹣+......+﹣＝﹣1．。

浙教版八年级（下册）数学第一章二次根式检测题（时间：100分钟 满分：120分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案一、选择题（共10小题 每3分 共30分） 1、使二次根式243+-x x有意义的x 的取值范围是（ ） A ．43≥x B ．43≤x 且x ≠-2 C ．34≥x D ．34≤x 且x ≠-2 2、下列二次根式中，能与6合并的是（ ）.A ．60B ．12C ．24D ．363、256的算术平方根为（ ）. A ．-4 B ．±4 C ．2D ．-24、下列各式计算正确的是（ ） A ．2541254125=⨯= B ．4940940922=+=+ C ．a a a a a --=---=--11)1(11)1(2 D ．63136=⨯÷ 5、一次函数y =ax +b 的图象如图所示，则化简22222b b ab a a ++--的结果为（ ） A ．2bB ．-2aC ．2(a -b )D ．2(b -a )6、已知n 是正整数，n 117是整数，则n 的最小值是为（ ） A ．3B ．5C ．9D ．137、已知25+=a ，ab =1则代数式622-+b a 的值是（ ）. A ．23 B ．4 C ．14 D ．32 8、若实数m 满足02=+m m ，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥0B ．m ≤0C ．m >0D ．m <09、若代数式173)(16222----x x x 有意义，而0222173)(16⎪⎪⎭⎫⎝⎛----x x x 无意义，则x 的值为（ ） A. 4± B. 4C.-4D. ±2第5题图10、化简262625+++的结果是（ ） A ．6B ．26-C ．62D ．2二、填空题（共10小题 每题3分 共30分） 11、当x=3时，222212x x x --= ． 12、计算365aa ÷的结果是 . 13、方程333322+=x 的解是 ． 14、已知最简二次根式23432+-a 与2722-a 是同类二次根式，则a 的值为 . 15、若x ，y 分别为811-整数部分和小数部分，则2xy -y 2= ． 16、一个长方形的面积为6283+，其中一边长为22，则另一边为 .17、已知22)3(83)6(38m n n m n ---=++-，则一次函数y =mx +n 的图象与坐标轴相交构成的三角形的面积是 .18、若xx x x y 15252522---+-=，则(-y -x )的平方根是 ．19、化简1532102356--+-= .20、如图，将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为 ；同上操作，若连续将图1的等腰直角三角形折叠n 次后所得到的等腰直角三角形（如图n +1）的一条腰长为 .三、解答题（共6题 共60分）21、（满分9分）比较下列四个算式结果的大小：(在横线上选填“>”、“<”或“=” ) (1) ①22)3()2(-+______)3(22-⨯⨯；②22)32()23(+______32232⨯⨯；第20题图③22)6()6(+______662⨯⨯.(2)通过观察归纳，写出反映这一规律的一般结论．通过观察上述关系式发现，等式的左边都是两个数的平方和的形式，右边是前面两数不平方乘积的2倍，通过几个例子发现两个数的平方的和大于等于这两个数乘积的2倍．设两个实数a 、b ，则a 2 +b 2 ≥2ab ． 22、（满分10分）计算： (1)6)4872(23223÷+--⨯÷(2) )41(3)64(35ab abab b a a b a b ---23、（满分10分）先阅读理解下面的材料，再按要求解答问题：形如n m 2±的化简，只要找到两个数a ，b ，且a +b =m ，ab =n ，使得m b a =+22)()(，n b a =⋅，那么便有n m 2±=b a b a ±=±2)((a >b ).例如：化简625+.解∵625+=2623+-， ∴m =+22)2()3(，n =⨯23∴625+=2623++=.23)23(2+=+ 利用上述方法化简下列各式： (1) 124-； (2) 215-.24、（满分10分）已知3535+-=x ，3535-+=y ，求下列各式的值：(1)x 2y +xy 2； (2) x 2+y 2-3xy .25、（满分9分）物体自由下落时，下落距离h (m )与物体所经过的时间t （s ）之间的关系是5ht =.一个物体从240m 高的塔顶自由下落，落到地面需要多久（精确到0.1s ）？26、（满分12分）在一平直河岸l 同侧有A ，B 两个村庄，A ，B 到l 的距离分别是3km 和2km ，AB =a km （a ＞1），现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水。

2022-2023学年八年级数学下册第一章《二次根式》综合练一、单选题1．计算4√12+3√13−√8的结果是（）A．√3+√2B．√3C．√33D．√3−√22．已知是正整数，则实数n的最大值为（）A．12 B．11 C．8 D．33．如果最简根式√3a−8与√17−2a是同类二次根式，那么使√4a−2x有意义的x的取值范围是（）A．x≤10 B．x≥10 C．x＜10 D．x＞104．已知a=√2+1，b=√2−1，则a与b的关系是( )A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．平方值相等5．已知x为实数，化简√−x3−x√−1x的结果为（）A．(x−1)√−x B．(−1−x)√−x C．(1−x)√−x D．(1+x)√−x6．如果√−53−x是二次根式，那么 x 应适合的条件是（）A．x ≥3 B．x ≤3 C．x ＞3 D．x ＜37．若等腰三角形的两边长分别为√50和√72，则这个三角形的周长为（）A．11√2B．16√2或17√2C．17√2D．16√28．若√x−1+√x+y=0，则x2005+y2005的值为：（）A．0 B．1 C．-1 D．29．设等式√a(x−a)+√a(y−a)=√x−a−√a−y在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则3x 2+xy−y2x2−xy+y2的值是（）A．3 B．13C．2 D．5310．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：√32−√3=√3)(2+√3)(2−√3)(2+√3)=7+4√3，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于√3+√5−√3−√5，设x= √3+√5√3−√5，易知√3+√5 > √3−√5，故x>0，由x2= (√3+√5√3−√5)2 = 3+√5+3−√5−2√(3+√5)(3−√5) =2，解得x= √2，即√3+√5√3−√5=√2。

根据以上方法，化简√3−√2√3+√2+√6−3√3√6+3√3后的结果为（）A．5+3 √6B．5+ √6C．5- √6D．5-3 √6二、填空题11．化简√14−8√3＝12．化简√−a3=.13．若实数a=2−√3，则代数式a2−4a+4的值为.14．已知，y=√(x−3)2+4−x，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是. 15．已知实数a满足|2014-a|+ √a−2015 =a，那么a-20142+1的值是．16．若实数a，b，c满足关系式√a−9+b+√9−a−b=√4a−c+4b，则c的平方根为. 17．观察下列等式：①√3+1=√3−1(√3+1)(√3−1)=√3−12；②√5+√3=√5−√3(√5+√3)(√5−√3)=√5−√32③√7+√5=√7−√5(√7+√5)(√7−√5)=√7−√52…参照上面等式计算方法计算：1+√3√3+√5√5+√7⋯3√11+√101=.18．如果（x﹣√x2−2008）（y﹣√y2−2008）=2008，求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007= ．19．已知a、b为有理数，m、n分别表示5−√7的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b=.20．若实数x，y，m满足等式√3x+5y−3−m+(2x+3y−m)2=√x+y−2−√2−x−y，则m+4的算术平方根为．三、计算题21．先化简，再求值：[(√x+√y)(√x−√y)√x+√y√xy(√y−√x)]÷√x−√y√xy，其中x＝1，y＝2．22．已知：x＝√3+√2√3−√2，y＝√3−√2√3+√2，求x3−xy2x4y−2x3y2+x2y3的值．四、综合题23．设a= √8−x，b=2，c= √6．（1）当a有意义时，求x的取值范围；（2）若a，b，c为直角三角形ABC的三边长，试求x的值．24．解答题．（1）已知x=√7+1，x的整数部分为a，小数部分为b，求ab的值．（2）已知a−b=√3+√2，b−c=√3−√2，求a2+b2+c2−ab−bc−ca的值．25．王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一道题.先阅读，再回答问题.（1）小青编的题，观察下列等式：√3+1=√3(√3+1)(√3−1)=√3(√3)2−12=2(√3−1)3−1=√3−12√5+√3=2(√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)=2(√5−√3)(√5)2−(√3)2=2(√5−√3)5−3=√5−√3直接写出以下算式的结果：√7+√5=；√2n+1+√2n−1（n为正整数）＝；（2）小明编的题，由二次根式的乘法可知：(√3+1)2=4+2√3，(√5+√3)2=8+2√15，(√a+√b)2=a+b+2√ab(a≥0,b≥0)再根据平方根的定义可得√4+2√3=√3+1，√8+2√15=√5+√3，√a+b+2√ab=√a+√b(a≥0,b≥0)直接写出以下算式的结果：√6+2√5=，√4−2√3=，√7+4√3=：（3）王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算：(2√3+12√5+√3+2√7+√52√9+√72√11+√9)⋅√12+2√1126．阅读下列解题过程：例：若代数式√(2−a)2+√(a−4)2=2，求a的取值.解：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|，当a＜2时，原式＝（2﹣a）+（4﹣a）＝6﹣2a＝2，解得a＝2（舍去）；当2≤a＜4时，原式＝（a﹣2）+（4﹣a）＝2，等式恒成立；当a≥4时，原式＝（a﹣2）+（a﹣4）＝2a﹣6＝2，解得a＝4；所以，a的取值范围是2≤a≤4.上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： （1）当3≤a ≤7时，化简： √(3−a)2+√(a −7)2 ＝ ；（2）请直接写出满足 √(a −1)2+√(a −6)2 ＝5的a 的取值范围 ； （3）若 √(a +1)2+√(a −3)2 ＝6，求a 的取值.27．阅读下列材料，然后回答问题，在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如如 √3+1 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： √3+1＝ √3−1)(√3+1)(√3−1) ＝ √3−1)(√3)2−12=√3−1 （1）以上这种化简的步骤叫做分母有理化.√3+1 还可以用以下方法化简：√3+1＝ √3+1=√3)22√3+1=√3+1)(√3−1)√3+1=√3−1 （2）（1）请参照（1）（2）的方法用两种方法化简： √7+√5 方法一： √7+√5 ＝ 方法二： √7+√5 ＝（2）直接写出化简结果：√13+√11 ＝（3）计算： √5+√2 + √8+√5 + √11+√8 +…+ √32+√29 + √35+√3228．甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1.细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：（ √1 ）2＋1＝2，S 1＝ √12 ；（ √2 ）2＋1＝3，S 2＝ √22 ；（ √3 ）2＋1＝4，S 3＝ √32；….（1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律，并计算出OA 10的长； （2）求出 S 12+S 22+S 32+⋯+S 102的值.答案解析1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】C7．【答案】B 8．【答案】A9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】2√2−√612．【答案】−a√−a .13．【答案】314．【答案】202715．【答案】201616．【答案】±617．【答案】√101−1218．【答案】119．【答案】2.520．【答案】321．【答案】解：[(√x+√y)(√x−√y)√x+√y√xy(√y−√x)]√x−√y√xy= [4x−y +√x+√y√xy(√y−y⃗ )]×√xy√x−√y= 4x−y×√xy√x−√y√x+√y√xy(√x−√y)√xy√x−√y= √xy(√x−√y)(x−y)√x+√y(√x−√y)2= √xy(√x−√y)(x−y)√x+√y)2(√x−√y)2(√x+√y)= √xy−(√x+√y)2(√x−√y)(x−y)= √x−√y)2(√x−√y)(x−y)= −(√x−√y)x−y= √y−√xx−y；将x=1，y=2代入得：原式= √2−11−2=1−√2．22．【答案】解：x＝5＋2 √6，y＝5－2 √6，xy＝1，x＋y＝10，x－y＝4 √6，原式＝x+yxy(x−y)＝512√623．【答案】（1）解：8- x≥0，∴x≤8（2）解：若a是斜边，则有(√8−x)2=22 +(√6)2，8-x=10，解得x=-2．若a为直角边，则有( √8−x )2+22=( √6 )2，∴8-x+4=6，解得x=6．∵x都满足x≤8，∴x的值为-2或6．24．【答案】（1）解：∵22<(√7)2<32，∴2<√7<3，∴3<√7+1<4，∵x的整数部分是a，小数部分是b，∴a=3，b=√7+1−3=√7−2，∴a b =3√7−2=3(√7+2)(√7−2)(√7+2)=√7+2 （2）解： ∵a −b =√3+√2 ， b −c =√3−√2 ， ∴a −c =√3+√2+√3−√2=2√3 ，∴a 2+b 2+c 2−ab −bc −ac =12(2a 2+2b 2+2c 2−2ab −2bc −2ac) =12[(a −c)2+(a −b)2+(b −c)2] =12[(2√3)2+(√3+√2)2+(√3−√2)2] =12×(12+3+2√6+2+3−2√6+2) =12×22 =11 ．25．【答案】（1）√7−√5；√2n +1−√2n −1 （n 为正整数） （2）√5+1；√3−1；2+√3 （3）解： (√3+1+√5+√3√7+√5√9+√7+√11+√9)⋅√12+2√11=(√3−1+√5−√3+√7−√5+√9−√7+√11−√9)(√11+1)=(√11−1)(√11+1)=10 26．【答案】（1）4 （2）1≤a ≤6（3）解：原式＝|a+1|+|a ﹣3|，当a ＜﹣1时，原式＝﹣（a+1）+（3﹣a ）＝2﹣2a ＝6，解得a ＝﹣2； 当﹣1≤a ＜3时，原式＝（a+1）+（3﹣a ）＝4，等式不成立； 当a ≥3时，原式＝（a+1）+（a ﹣3）＝2a ﹣2＝6，解得a ＝4； 所以，a 的值为﹣2或4.27．【答案】（1）√7−√5；√7−√5 （2）√13−√11；√15−√13（3）解： √5+√2 + √8+√5 + √11+√8 +…+ √32+√29 + √35+√32=2(√5−√2)3+2(√8−√5)3+2(√11−√8)3+···+2(√32−√29)3+2(√35−√32)3 =23(√5−√2+√8−√5+√11−√8+···+√32−√29+√35−√32)=23(√35−√2) =2√35−2√2328．【答案】（1）解：∵OA 1=1= √1 ，OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1， ∴OA 22= OA 12+A 1A 22=1+1=2，∴OA 2= √2 ， S 1=12⋅OA 1⋅A 1A 2=12×√1×1=√12 ，∵OA 32= OA 22+A 2A 32=（ √2 ）2＋1＝3，∴OA 3=√3 ， S 2=12⋅OA 2⋅A 2A 3=12×√2×1=√22， ∵OA 42= OA 32+A 3A 42=（ √3 ）2＋1＝4，∴OA 4=2， S 3=12⋅OA 3⋅A 3A 4=12×√3×1=√32，⋯ ， ∴OA n2=OA n−12+A n−1A n2=(√(n −1))2＋1=n ， S n =12⋅OA n ⋅A n A n+1=12×√n ×1=√n2， ∴OA 102= (√(10−1))2+1 =10， ∴OA 10= √10 ，∴含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律为： (√(n −1))2+1=n ，OA 10的长为 √10 ； （2）解：由（1）知： S n =√n2，∴S 1=√12， S 2=√22， S 3=√32， ⋯ ， S 10=√102，∴S 12+S 22+S 32+⋯+S 102= (√12)2+(√22)2+(√32)2+⋯+(√102)2 = 554 .。

2021-2022学年浙教版八年级数学下册《第1章二次根式》单元综合练习题（附答案）1．等式＝（b﹣a）成立的条件是（）A．a≥b，x≥0B．a≥b，x≤0C．a≤b，x≥0D．a≤b，x≤0 2．如果m＝﹣2，n＝+2，那么m和n的关系是（）A．互为相反数B．互为倒数C．相等D．互为负倒数3．已知x＝﹣2，x4+8x3+16x2的值为（）A．B．C．3D．94．若a＝2﹣，则代数式2a2﹣8a﹣1的值等（）A．1B．﹣1C．4+4D．﹣25．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（）A．4cm B．16cm C．2（+4）cm D．4（﹣4）cm 6．在化简时，甲、乙两位同学的解答如下，那么两人的解法（）甲：＝＝＝乙：＝＝＝A．两人解法都对B．甲错乙对C．甲对乙错D．两人都错7．使等式＝成立的正整数对（x，y）的个数是（）A．1B．2C．3D．48．若x是整数，且•有意义，则•的值是（）A．0或1B．±1C．1或2D．±29．已知方程+3＝，则此方程的正整数解的组数是（）A．1B．2C．3D．410．（易错题）已知x+＝，则x﹣的值是（）A．B．﹣C．±D．不能确定11．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为．12．若ab＞0，a+b＜0．那么下面各式：①＝•；②•＝1；③÷＝﹣b；④•＝a，其中正确的是（填序号）13．在，，，……，2023这2023个式子中，与2205可以合并的共有个14．若x＝﹣1，则x3+x2﹣3x+2021的值为．15．已知a，b都是实数，b＝+，则a b的值为．16．当x＝时，有最小值．17．已知+2＝b+8，则的值是．18．若＝﹣a，则a应满足的条件是．19．化简：＝．20．已知x，y均为实数，且满足＝（y﹣1），那么x2023﹣y2023＝．21．已知实数a满足|2012﹣a|+＝a，则a﹣20122＝．22．计算：（1）比较﹣和﹣的大小；（2）求y＝﹣+3的最大值．23．化简：．24．（1）一个正数的平方根是2a﹣3与5﹣a，求这个正数．（2）已知x、y都是实数，且，求y x的值．25．求＝中的x．参考答案1．解：根据算术平方根的意义可知，b﹣a≥0且x≥0，即a≤b，x≥0．故选：C．2．解：m+n＝﹣2＝2，mn＝，∴m和n互为倒数，故选：B．3．解：∵x＝﹣2，∴x2＝（﹣2）2＝（）2﹣2××2+22＝7﹣4+4＝11﹣4，则原式＝x2（x2+8x+16）＝x2（x+4）2＝（11﹣4）（﹣2+4）2＝（11﹣4）（2+）2＝（11﹣4）（11+4）＝112﹣（4）2＝121﹣112＝9，故选：D．4．解：∵a＝2﹣，∴2a2﹣8a﹣1＝2（a﹣2）2﹣9＝2（2﹣﹣2）2﹣9＝2×5﹣9＝1．故选：A．5．解：设小长方形卡片的长为x，宽为y，根据题意得：x+2y＝，则图②中两块阴影部分周长和是2+2（4﹣2y）+2（4﹣x）＝2+4×4﹣4y﹣2x＝2+16﹣2（x+2y）＝2+16﹣2＝16（cm）．故选：B．6．解：甲同学在计算时，将分子和分母都乘以（﹣），而﹣是有可能等于0，此时变形后分式没有意义，所以甲同学的解法错误；乙同学的解法正确；故选：B．7．解：∵＝3，∴+2＝3，∴x＝11，y＝44，或2+＝3，∴x＝44，y＝11，∴符合题意的正整数对（x，y）的个数是2．故选：B．8．解：若有意义，则，解得3≤x≤5，即x的取值范围是3≤x≤5．∵x是整数，∴x＝3或4或5，当x＝3时，则＝0；当x＝4时，则＝1；当x＝5时，则＝0．故选：A．9．解：∵＝10，x，y为正整数，∴，化为最简根式应与为同类根式，只能有以下三种情况：+3＝+9＝4+6＝7+3＝10．∴，，，共有三组解．故选：C．10．解：∵（x﹣）2＝（x+）2﹣4＝6﹣4＝2，∴x﹣＝±．故选C．11．解：若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为2，故答案为：2．12．解：因为若ab＞0，a+b＜0，所以a＜0，b＜0．由于a＜0，b＜0，与无意义，所以①的变形错误；∵•＝＝1，故②正确；∵÷＝＝＝|b|，由于b＜0，∴原式＝﹣b，故③正确；∵•＝＝＝|a|，由于a＜0，∴原式＝﹣a，故④计算错误．故答案为②③13．解：∵2205＝21，2023＜21，∴在，，，……，2023这2023个式子中，与2205可以合并的有20。

第一章 二次根式综合能力训练题(一)一、选择题（3′×10=30′）1．下列各组根式中属于同类二次根式的是（ ）．A ．35ab c 和－32c ab（a<0，b<0，c>0） B ．735a 和165a C ．1327和－20.1255 D ．－102a b 和234ab （a>0，b>0） 2．若m<0，n>0，把代数式m n 中的m 移进根号内结果是（ ）． A ．2m n B ．2m n - C ．－2m n D ．|2m n | 3．把（a －1）11a --中的（a －1）因子移入根号内得（ ）． A ．1a - B ．1a - C ．－1a - D ．－1a - 4．下列各等式成立的是（ ）．A ．（5-）2=5B ．2(3)-=－3C ．2(4)-=4D ．2x =x5．当x<－1时，│x －2(2)x -－2│－2│x －1││的值为（ ）． A ．0 B ．4x －4 C ．4－4x D ．4x+4 6．当373||x x +-有意义时，x 满足条件（ ）．A ．x≥－73 B ．x<3 C ．－73≤x<3 D ．－3<x<3 7．若a>0，且－2a<x<－a ，则化简│x+a│+222x ax a -++2│x+2a│的结果是（ ） A ．4a B ．6x －2a C ．2x+2a D ．2a －2x 8．设x=352+，y=352-，则x 5+x 4y+xy 4+y 5的值为（ ）．A ．47B ．135C ．141D ．153 9．已知二次根式2235,8,,,9ca a ab a +中最简二次根式共有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个10．已知a －b=2+3，b －c=2－3，则a 2+b 2+c 2－ab －bc －ac 的值为（ ）． A ．103 B ．123 C ．10 D ．15 二、填空题（3′×10=30′）11．将下列各式填入适当的括号内: －x 2，231212,,,2,12a m x a b x+-+++. 有理式（ ），整式（ ）， 分 式（ ），单项式（ ）， 多项式（ ），根式（ ）． 12．计算2+8－218=______． 13．已知2≈1.414，则8+32=_______． 14．当x=7时，5441x x x ++---=_______．15．若x －232－18=2，则x=_______． 16．已知最简根式1p -与2228p P -+可以合并，则P=_______．17．若a ，b 为有理数，且18+8+18=（a+b ）2，则a+b=_______． 18．当－3<a<－2时，22(2)(3)a a +++=_____．19．把含盐m%的盐水m 克，制成含盐2m%的盐水，应加盐______（0<m<50）． 20．计算（1+2）2006（1－2）2007=______． 三、解答题（共60′）21．化简（2×5′=10′）（1）17122- （2）32512(21)+++22．（2×5′=10′）（1）已知a=3232+-，b=3232-+,求a 2－3ab+b 2的值．（2）已知x=13（57a b ++57a b -），y=13（57a b +－57a b -）． 求x 2+xy+y 2的值．23．（2×5′=10′） 已知x=3227-+，y=1214621+++.（1）求证：x+y=0; （2）求x 3y －xy 3的值.24．（2×5′=10′）（1）化简221111a a a a ++-+--+221111a a a a +--++-（a>1）（2）设x ，y 是实数，且x 2+y 2－2x+4y+5=0，求211(23)2x y +的值．25．（1×10′=10′）已知225x -－215x +=4，求225x -+215x +的值．26．（2×5′=10′）（1）化简21449a a -+－2(1)1a a--（1<a≤7）（2）化简(1)(2)(3)1n n n n ++++（n 为正整数）答案:一、1．C 2．C 3．D 4．C 5．C 6．C 7．A 8．C 9．B 10．D 二、11．－x2，212,2aa b++，x+1x+1－x2，212a+2a b+，x+1x+1 －x2212a+3 2,2 m-12．－3213．8.484 14．0 15．12216．－2 17．21418．119．21002mm-20．1－2三、21．（1）3－22（2）1+2222．（1）95 （2）209a+149b23．（1）略（2）024．（1）2a （2）3+225．826．（1）8－a （2）n2+3n+1.初中数学试卷。

第1章二次根式单元综合复习题一．选择题1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．下列二次根式能与合并的是（）A．B．C．D．3．下列各式中，一定是二次根式的是（）A．B．C．D．4．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤4B．x＜4C．x≤﹣4D．x≥4 5．当m＜0时，化简二次根式，结果正确的是（）A．B．C．D．6．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）A．2a﹣b B．﹣2a+b C．﹣b D．b7．下列计算正确的是（）A．3+4＝7B．×＝C．＝3D．8．计算的结果是（）A．B．C．D．9．若实数x，y满足，则x﹣y的值是（）A．1B．﹣6C．4D．610．等式＝（b﹣a）成立的条件是（）A．a≥b，x≥0B．a≥b，x≤0C．a≤b，x≥0D．a≤b，x≤0二．填空题（共6小题）11．已知a＝3+，b＝3﹣，则a2b+ab2＝．12．（+）2021×（﹣）2022＝．13．已知x+y＝﹣6，xy＝8，求代数式x+y的值．14．设＝a+b，其中a为正整数，0＜b＜1，则a﹣b＝．15．计算的结果是．16．计算的结果是，比较大小34．三．解答题（共4小题）17．设一个三角形的三边长分别为a、b、c，P＝（a+b+c），则有下列面积公式：S＝（海伦公式）．（1）一个三角形边长依次为5、6、7，利用海伦公式求这个三角形的面积；（2）一个三角形边长依次为2、、3，利用海伦公式求这个三角形的面积．18．如图：已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足．DE+DF＝2，三角形ABC面积为3+2，求AB的长．19．阅读下面问题：＝＝；＝＝；．试求：（1）求＝；（2）当n为正整数时＝；（3）的值．20．王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题．（1）小青编的题，观察下列等式：﹣1；；直接写出以下算式的结果：＝；（n为正整数）＝；（2）小明编的题，由二次根式的乘法可知：（+1）2＝4+2，（+）2＝8+2，（+）2＝a+b+2（a≥0，b≥0）；再根据平方根的定义可得：＝+1，＝+，＝+（a≥0，b≥0）；直接写出以下算式的结果：＝，＝，＝；（3）王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算：（++++）•．参考答案一．选择题1．解：A.＝＝，故A不符合题意；B.＝2，故B不符合题意；C.＝，故C不符合题意；D.是最简二次根式，故D符合题意；故选：D．2．解：A.与不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；B.＝2，与是同类二次根式，能合并，故符合B题意；C.＝2，与不是同类二次根式，不能合并，故C不符合题意；D.＝3，与不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意；故选：B．3．解：A、当a+1＜0时，不是二次根式，故此选项不符合题意；B、当a﹣1＜0时，不是二次根式，故此选项不符合题意；C、当a＝0时，a2﹣1＝﹣1＜0，不是二次根式，故此选项不符合题意；D、∵a2≥0，∴a2+2＞0，是二次根式，故此选项符合题意；故选：D．4．解：由题意得：8﹣2x≥0，∴x≤4，故选：A．5．解：由题意得：m＜0，n＜0，∴＝＝•（）＝，6．解：由数轴可知：a＞0，b＜a，∴a﹣b＞0，∴原式＝a+a﹣b＝2a﹣b，故选：A．7．解：A．3与4不能合并，所以A选项不符合题意；B．×＝＝，所以B选项不符合题意；C．原式＝3，所以C选项符合题意；D．原式＝×＝＝3，所以D选项不符合题意；故选：C．8．解：原式＝＝+1．故选：D．9．解：∵x﹣5≥0，5﹣x≥0，∴x≥5，x≤5，∴x＝5，∴y＝﹣1，∴x﹣y＝5﹣（﹣1）＝5+1＝6，故选：D．10．解：根据算术平方根的意义可知，b﹣a≥0且x≥0，即a≤b，x≥0．故选：C．二．填空题11．解：∵a＝3+，b＝3﹣，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（3+2）（3﹣2）（3+2+3﹣2）＝6；故答案为：6．12．解：原式＝[（+）×（﹣）]2021×（﹣）＝（﹣1）2021×（﹣）＝﹣1×（﹣）故答案为：﹣．13．解：∵x+y＝﹣6，xy＝8，∴x＜0，y＜0，∴x+y＝﹣﹣＝﹣2＝﹣2＝﹣4．故答案为：﹣4．14．解：∵＝＝＝5+．∴a+b＝5+＝6+（﹣1）．∵a为正整数，0＜b＜1，∴a＝6，b＝﹣1，∴a﹣b＝6﹣（﹣1）＝7﹣．故答案为：7﹣．15．解：原式＝（2）2﹣（）2＝12﹣5＝7．故答案为：7．16．解：﹣＝2﹣＝；∵3＝，4＝，∴＞，∴3＞4．故答案为：；＞．三．解答题17．解：（1）P＝（a+b+c）＝（5+6+7）＝9．∴S＝＝6．（2）由题意：P＝（2+3+）＝．∴P﹣a＝，P﹣b＝，p﹣c＝．∴S＝＝＝．18．解：如图，连接AD，S△ABC＝S△ABD+S△ACD，＝AB•DE+AC•DF，＝AB（DE+DF），∵DE+DF＝2，∴AB×2＝（3+2），∴AB＝＝3+2．19．解：（1）＝＝，故答案为：；（2）＝＝，故答案为：；（3）＝﹣1+++…++＝﹣1＝10﹣1＝9．20．解：（1）＝＝＝；＝＝＝＝；故答案为：，（n为正整数）；（2）＝＝＝；＝＝＝﹣1；＝＝＝2+；故答案为：，，；（3）原式＝[++++]•＝＝（）（）＝11﹣1＝10．。

第一章二次根式一、选择题1.下列的式子一定是二次根式的是（）A. B. C. D.2.下列各运算中，正确的是（）A. 30+3﹣3=﹣3B. -=C. （2a2）3=8a5D. ﹣a8÷a4=﹣a43.若=﹣a成立，则满足的条件是（）A. a＞0B. a＜0C. a≥0D. a≤04.化简的结果是（）A. 4B. 3C. 3D. 95.要使式子有意义，则x的取值范围是（）A. x＞0B. x≥﹣2C. x≥2D. x≤26.使代数式8 有意义的的范围是（）A. B. C. D. 不存在7.使代数式有意义的x的取值范围是（）A. x＞3B. x≥3C. x＞4D. x≥3且x≠48.已知：a、b均为实数，下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是二次根式是个数有（）个．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.如果（3+ ）2=a+b （a、b为实数），则a+b等于（）A. 9B. 18C. 12D. 610.当a>0时，的化简结果是（）A. xB. xC. －xD. －x二、填空题11.根式中x的取值范围是________ ．12.计算：=________．13.如果x＜﹣4，那么|（2﹣x）﹣|的值为________．14.当a=________时，|a﹣|=﹣2a．15.已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是________．16.计算：=________．17.若平行四边形相邻的两边长分别是cm和cm，其周长为________cm．18.填空：的值等于________．19.化简：=________．20.相邻两边长分别是2+ 与2﹣的平行四边形的周长是________．三、解答题21.求使有意义的x的取值范围．22.已知y=++4，求|y﹣2x|﹣﹣的值．23.计算下列各式（1）计算：﹣4 + ÷（2）计算：（﹣）2+（+ ）（﹣）24.观察下列等式：①；②；③；…回答下列问题：（1）仿照上列等式，写出第n个等式：________；（2）利用你观察到的规律，化简：；（3）计算：… ．参考答案一、选择题C D D B D C D C B D二、填空题11.x≤312.13.414.≤015.316.17.1418.﹣3.119.20.8三、解答题21.【解答】由原式得x-3>0，4-x>0，综上得3<x<4．22.解：∵，则x=3．∴x=3，y=4当x=3，y=4时，原式=|4﹣6|﹣﹣=﹣8．23.（1）解：﹣4 + ÷ =3 ﹣2 +2=3（2）解：（﹣）2+（+ ）（﹣）=3﹣2 +2+3﹣2=6﹣224.（1）（2）解：原式= =（3）解：原式= +…+= ﹣1。

第1章 二次根式时间：45分钟 分数：100分一、选择题（每小题2分，共20分）1．下列说法正确的是（ ）A ．若a a -=2，则a<0B ．0,2>=a a a 则若C ．4284b a b a =D ． 5的平方根是52．二次根式13)3(2++mm 的值是（ ）A ．23B ．32C ．22D ．03．化简)0(||2<<--y x x y x 的结果是（ ）A ．x y 2-B ．yC ．y x -2D ．y -4．若b a是二次根式，则a ，b 应满足的条件是（ ）A ．a ，b 均为非负数B ．a ，b 同号C ．a≥0，b>0D ．0≥b a5．（湖北武汉）已知a<b ，化简二次根式b a 3-的正确结果是（） A ．ab a -- B ．ab a -C ．ab aD ．ab a -6．把m m 1-根号外的因式移到根号内，得（ ）A ．mB ．m -C ．m --D ．m -7．下列各式中，一定能成立的是（ ）A ．22)5.2()5.2(=-B ．22)(a a =C ．122+-x x =x-1D ．3392+⋅-=-x x x8．若x+y=0，则下列各式不成立的是（ ）A ．022=-y xB ．033=+y xC ．022=-y xD ．0=+y x9．当3-=x 时，二次根7522++x x m 式的值为5，则m 等于（ ）A ．2B ．22C ．55 D ．5 10．已知1018222=++x x x x ，则x 等于（ ） A ．4 B ．±2 C ．2 D ．±4二、填空题（每小题2分，共20分）11．若5-x 不是二次根式，则x 的取值范围是 。

12．（江西）已知a<2，=-2)2(a 。

13．当x= 时，二次根式1+x 取最小值，其最小值为 。

14．计算：=⨯÷182712 ；=÷-)32274483( 。

第一章 二次根式综合一、精心选一选〔每题3分，共30分〕1．以下各式中，不是二次根式的是…………………………………………………………〔 〕A ．45B ．π-3C ．22+aD ．21 2．以下选项中，使根式有意义的的取值范围为＜1的是………………………………〔 〕A ．1-aB ．a -1C ．2)1(a -D ．a-113．二次根式2x 的值为3，那么的值是……………………………………………〔 〕 A ．3 B ．9 C ．－3 D ．3或－34．以下四个等式：①4)4(2=-；②〔－4〕2=16；③〔4〕2=4；④4)4(2-=-. 正确的选项是 ………………………………………………………………………………………〔 〕 A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③5．假设01=++-y x x ，那么的值为……………………………………………………〔 〕 A ．0B ．1C ．－1D ．26．如果12-=a a ，那么一定是…………………………………………………………〔 〕A ．负数B ．正数C ．正数或零D ．负数或零 7．估计219+的值是在……………………………………………………………………〔 〕 A ．5和6之间B ．6和7之间C ．7和8之间D ．8和9之间8．以下运算正确的选项是…………………………………………………………………………〔 〕 A ．14545452222=-=-=-B ．20)5(42516)25)(16(=-⨯-=-⨯-=--C ．131********)1312()135(22=+=+ D ．74747422=⨯=⨯9．如图，有两棵树高分别为6米、2米，它们相距5米，一只小鸟从一 棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，一共飞了多少米？…………〔 〕 A ．41B ．41C ．3D ．910．如果一个三角形的三边长分别为1、、4. 那么化简|2－5|－36122+-k k 的结果是…………………………………………〔 〕A ．3－11B ． +1C ．1D ．11－3二、专心填一填〔每空格3分，共30分〕 11．化简=-2)3( ．12．要使二次根式x-35有意义，字母的取值范围是 ． 13．当=－1时，二次根式x -3的值是 ．14．化简108= ．15．等腰直角三角形的斜边长为2，那么它的面积为 ．16．在平面直角坐标系中，点 (3，1)到原点的距离是 ． 17．化简()()=+•-201020092525 ．18．假设a 、b 都为实数，且b =2021a a -+-220102，a = , a b = ．. 19．假设实数a 、b 、c 在数轴的位置，如下图，那么化简=--+||)(2c b c a ．三、耐心做一做〔此题有5小题，共40分〕 20．〔此题12分〕计算：〔1〕2712-〔2〕10156⨯⨯ 〔3〕)322)(322(-+21．〔此题6分〕解方程：1222=-x22．〔此题8分〕：2323+=-=，b a ，分别求以下代数式的值：〔1〕22ab b a - 〔2〕22b ab a ++23．〔此题6分〕如下图，有一边长为8米的正方形大厅，它是由黑白完全一样的方砖密铺而成. 求一块方砖的边长．24．〔此题8分〕请在方格内画△ABC ，使它的顶点都在格点上，且三边长分别为2，25，421， ① 求△ABC 的面积； ② 求出最长边上高．参考答案二、填空题 11、3 12、x ＜3 13、2 14、3615、21 16、217、25+ 18、2，1 19、－a －b 三、解答题20、〔1〕－3 〔2〕30 〔3〕－10 21、26-=x 22、〔1〕4 〔2〕13 23、2=x24、①S △ABC =2； ②h =552。

2021-2022学年浙教版八年级数学下第一章《二次根式》综合练习一一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．(本题3分)（2021·浙江·八年级专题练习）要使式子2x -有意义，则的取值范围是（ ） A ．x 0>B ．x 2≥-C ．x 2≥D ．x 2≤2．(本题3分)（2021·浙江·八年级专题练习）下列运算正确的是（ ） A 4±2B ．4）2＝4C 2(4)-4D ．42＝﹣43．(本题3分)（2019·浙江·八年级单元测试）如果一个三角形的三边长分别为1，k ，4，那么化简|2k －5|21236k k -+( ) A ．3k －11B ．k ＋1C ．1D ．11－3k4．(本题3分)（2019·浙江嘉兴·八年级阶段练习）计算(1524555⎛÷ ⎝的结果为（ ） A ．7 B ．-5 C ．5 D ．-75．(本题3分)（2020·浙江·杭州市拱宸中学八年级阶段练习）下列式子一定是二次根式的是（ ） A 2x --B x C 22x +D 22x -6．(本题3分)（2020·浙江杭州·八年级期中）已知||5a =，27b =，2()a b b a -=-，则a b +=（ ） A ．2B ．12C ．2或12D ．2-或12-7．(本题3分)（2017·浙江萧山·38a -172a -a 的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．58．(本题3分)（2018·浙江·八年级单元测试）已知：a 、b 、c 是△ABC 的三边，()()22a b c a b c -+--（ ） A ．2a ﹣2bB ．2b ﹣2aC ．2cD ．﹣2c9．(本题3分)（2020·浙江杭州·模拟预测）化简二次根式 22a a +- ） A 2a --B 2a --C 2a -D 2a -10．(本题3分)（2021·浙江杭州·八年级期末）已知a 为实数，227122a a -+( ) A ．0B ．3C ．3D ．9二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）11．(本题3分)（2021·浙江温岭·．12．(本题3分)（2019·浙江仙居·=____．13．(本题3分)（2020·浙江下城·________________．14．(本题3分)（2020·浙江温州·八年级期中）当x 2=-______．15．(本题3分)（2021·浙江浙江·八年级期中）已知x +1，则代数式x 2﹣2x +1的值为____．16．(本题3分)（2020·浙江绍兴·=，，……请你将发现的规律用含自然数n （n≥1）的等式表示出来__________________． 17．(本题3分)（2021·浙江·八年级专题练习）对于实数a 、b 作新定义：@a b ab =，b a b a =※，在此定义下，计算：-2=※________． 三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分） 18．(本题6分)（2019·浙江鄞州·八年级期中）计算下列各式：（1）（2） 21)19．(本题6分)（2019·浙江嘉兴·八年级阶段练习）已知x =y =求代数式22224x xy y x y ++-的值．20．(本题8分)（2019·浙江·八年级课时练习）对于任意的正数m 、n ，定义运算为：m ⓧn =))m n m n ≥<，计算（3ⓧ2）×（8ⓧ12）的结果.21．(本题8分)（2019·浙江·八年级单元测试）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：231+（，善于思考的小明进行了以下探索：设(2a m ++（其中ab m n 、、、均为整数），则有22a m 2n +++∴22a m 2n b 2mn =+=，．这样小明就找到了一种把部分a b 2+的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：当a b m n 、、、均为正整数时，若()2a b 3m n 3+=+，用含m 、n 的式子分别表示a b 、，得a ＝ ，b ＝ ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a b m n 、、、，填空： ＋ ＝( ＋ )2； （3）若()2433a m n +=＋，且a b m n 、、、均为正整数，求a 的值．22．(本题9分)（2021·浙江·八年级专题练习）细心观察图，认真分析下列各式，然后解答问题.2(1)12+=，11S =；2(2)13+=，22S =2(3)14+=，33S =.... （1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律. （2）推算出10OA 的长.（3）求2221210S S S +++的值.23．(本题12分)（2020·四川郫都·八年级期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如(23212+=，善于思考的小明进行了以下探索：设()222a b m n =（其中a 、b 、m 、n 均为正整数），则有222222a b m mn n =++， ∴a ＝m 2+2n 2，b ＝2mn ．这样小明就找到了一种把部分2a b 的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若()266a b m n =，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：a ＝ ，b ＝ ；（2）若()233a m n +=，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值； （372180-+答案与解析一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．(本题3分)（2021·浙江·八年级专题练习）要使式子2x -有意义，则的取值范围是（ ） A ．x 0> B ．x 2≥- C ．x 2≥ D ．x 2≤【答案】D 【详解】2x -2x 0x 2-≥⇒≤. 故选D.2．(本题3分)（2021·浙江·八年级专题练习）下列运算正确的是（ ） A 4±2 B ．4）2＝4C 2(4)- 4D ．42＝﹣4【答案】B 【分析】根据算式平方根的定义和二次根式的性质逐一化简可得． 【详解】A 42，此选项错误；B ．42=4，此选项正确；C 24-=（）4，此选项错误；D ．（42=4，此选项错误． 故选B ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．3．(本题3分)（2019·浙江·八年级单元测试）如果一个三角形的三边长分别为1，k ，4，那么化简|2k －5|21236k k -+( ) A ．3k －11 B ．k ＋1C ．1D ．11－3k【答案】A 【分析】由于三角形的三边长分别为1、k 、4，根据三角形的三边关系，1+4>k ，即k<5，4-1<k ，所以k>3，根据k 的取值范围，再对代数式进行化简． 【详解】∴1441k k+>⎧⎨-<⎩， 解得，3<k <5，所以，2k −5>0，k −6<0，∴|2k －5|=2k =2k −5−[−(k −6)] =3k −11. 故选A. 【点睛】本题考查二次根式的应用, 三角形三边关系，解题的关键是根据三角形的三边关系确定k 的取值范围.4．(本题3分)（2019·浙江嘉兴·八年级阶段练习）计算(⎛÷ ⎝的结果为（ ） A ．7 B ．-5 C ．5 D ．-7【答案】C 【分析】利用最简二次根式的运算即可得. 【详解】((((5⎛÷=÷=-÷= ⎝故答案为 C 【点睛】本题考查二次根式的运算，掌握同类二次根式的运算法则及分母有理化是解题的关键.5．(本题3分)（2020·浙江·杭州市拱宸中学八年级阶段练习）下列式子一定是二次根式的是（ ）A B CD 【答案】C 【分析】a ≥0）的式子叫做二次根式，逐一判断即可．【详解】解：A ．当x=0时，B ． 当x=-1C ． 无论x 取何值，220x +>一定是二次根式，故本选项符合题意；D ． 当x=0不是二次根式，故本选项不符合题意． 故选C ． 【点睛】此题考查的是二次根式的判断，掌握二次根式的定义是解决此题的关键．6．(本题3分)（2020·浙江杭州·八年级期中）已知||5a =7=，b a =-，则a b +=（ ） A ．2 B ．12C ．2或12D ．2-或12-【答案】C 【分析】先根据绝对值性质和二次根式的性质得出a 、b 的值，再分别代入计算可得． 【详解】解：∵|a|=57=， ∴a=±5，b=±7，又b a =-， ∴a-b≤0，即a≤b ，则a=-5，b=7或a=5，b=7， 当a=-5，b=7时，a+b=-5+7=2； 当a=5，b=7时，a+b=5+7=12； 综上，a+b 的值为2或12， 故选C ． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握绝对值性质和二次根式的性质．7．(本题3分)（2017·浙江萧山·a 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D 【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可． 【详解】根据题意得，3a-8=17-2a ， 移项合并，得5a=25， 系数化为1，得a=5． 故选D ． 【点睛】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．8．(本题3分)（2018·浙江·八年级单元测试）已知：a 、b 、c 是△ABC 的三边，（ ） A ．2a ﹣2b B ．2b ﹣2a C ．2c D ．﹣2c【答案】C 【详解】试题解析：a 、b 、c 是△ABC 的三边， 0,0,a b c a b c ∴-+>--<原式()2.a b c a b c a b c a b c c =-+---=-+-++= 故选C.点睛：三角形任意两边之和大于第三边.9．(本题3分)（2020·浙江杭州·模拟预测）化简二次根式 ）A B C D 【答案】B 【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a 、b 的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可 【详解】2202a aa a a +-∴+<∴<-a ∴===故选B 【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．10．(本题3分)（2021·浙江杭州·八年级期末）已知a 为实数，( ) A ．0 B ．3C ．D ．9【答案】B 【详解】a ﹣3）2=0，即a=3时，代数故选B ．二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）11．(本题3分)（2021·浙江温岭·． 【答案】4 【分析】根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． 【详解】解：原式． 故答案为4． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．12．(本题3分)（2019·浙江仙居·=____．【详解】==13．(本题3分)（2020·浙江下城·________________．【答案】【分析】二次根式相乘时，根号不变，直接把根号里面的数相乘，最后化简.二次根式相加减时，只有同类的二次根式才能相加减，根号部分不变，把整数部分相加减.【详解】原式=故答案为【点睛】本题考察了二次根式的乘法和减法，这里需要注意的是，无论加减乘除，最后都要化为最简二次根式.14．(本题3分)（2020·浙江温州·八年级期中）当x2=-______．【答案】4【分析】把x＝﹣2代入已知二次根式，通过开平方求得答案．【详解】把x＝﹣2==4．故答案为4．【点睛】本题考查了二次根式的定义及性质，注意二次根式的结果是非负数是解答此题的关键．15．(本题3分)（2021·浙江浙江·八年级期中）已知x+1，则代数式x2﹣2x+1的值为____．【答案】2．【分析】利用完全平方公式将所求的代数式进行变形，然后代入求值即可．【详解】解：原式为：2x -2x+1 2=(x-1),将1代入上式，原式22=(x-1)=2 故答案为：2． 【点睛】此题考察了完全平方公式的计算，二次根式的性质．利用完全平方公式将所求代数式进行变形是解答此题的关键．16．(本题3分)（2020·浙江绍兴·=，，……请你将发现的规律用含自然数n （n≥1）的等式表示出来__________________．(1)n n +≥ 【分析】=(2=+(3+数n(n≥1)(1)n n =+≥ 【详解】由分析可知，发现的规律用含自然数n(n≥1)(1)n n =+≥(1)n n =+≥ 【点睛】本题主要考查二次根式，找出题中的规律是解题的关键，观察各式，归纳总结得到一般性规律，写出用n 表示的等式即可．17．(本题3分)（2021·浙江·八年级专题练习）对于实数a 、b 作新定义：@a b ab =，b a b a =※，在此定义下，计算：-2=※________．【答案】1-【分析】先将新定义的运算化为一般运算，再计算二次根式的混合运算即可．【详解】解：2※=2=2-2=43-=1-故答案为：1-【点睛】本题考查新定义的实数运算，二次根式的混合运算．能根据题意将新定义运算化为一般运算是解题关键．三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）18．(本题6分)（2019·浙江鄞州·八年级期中）计算下列各式：（1）（2） 21)【答案】（1）62-;（2）3. 【解析】【分析】 根据二次根式的运算法则即可求解.【详解】（1）（2） )2143=+=【点睛】 此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则.19．(本题6分)（2019·浙江嘉兴·八年级阶段练习）已知x =y =，求代数式22224x xy y x y ++-的值．【分析】通过对二次根式的分母有理化来化简求值.【详解】解：1x ==，1y =， ()()222224()2x xy y x y xy x y x y x y ++++=-+-2212112+⨯+===【点睛】本题考查二次根式的分母有理化知识点，掌握二次根式的分母有理化是关键.20．(本题8分)（2019·浙江·八年级课时练习）对于任意的正数m 、n ，定义运算为：m ⓧn =))m n m n ≥<，计算（3ⓧ2）×（8ⓧ12）的结果.【答案】2【分析】先根据定义新运算的公式分别计算3ⓧ2和8ⓧ12的结果，然后再代入计算即可. 【详解】解：∵3＞2，8＜12∴3ⓧ8ⓧ=∴（3ⓧ2）×（8ⓧ12）=22== 【点睛】此题考查的是定义新运算，根据定义新运算公式进行计算是解决此题的关键.21．(本题8分)（2019·浙江·八年级单元测试）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：231+（，善于思考的小明进行了以下探索：设(2a m ++（其中ab m n 、、、均为整数），则有22a m 2n +++∴22a m 2n b 2mn =+=，．这样小明就找到了一种把部分a +请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：当a b m n 、、、均为正整数时，若()2a b 3m n 3+=+，用含m 、n 的式子分别表示a b 、，得a ＝ ，b ＝ ； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a b m n 、、、，填空： ＋ ＝( ＋ )2； （3）若()2433a m n +=＋，且a b m n 、、、均为正整数，求a 的值．【答案】（1）22m 3n +，2mn ；（2）13,4，2，1（答案不唯一）；（3）a ＝7或a ＝13．【详解】(1)∵23(3)a b m n +=+， ∴223323a b m n mn +=++，∴a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ．故答案为m 2＋3n 2，2mn ．(2)设m ＝1，n ＝2，∴a ＝m 2＋3n 2＝13，b ＝2mn ＝4．故答案为13，4，1，2(答案不唯一)．(3)由题意，得a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ．∵4＝2mn ，且m 、n 为正整数，∴m ＝2，n ＝1或m ＝1，n ＝2，∴a ＝22＋3×12＝7，或a ＝12＋3×22＝13．22．(本题9分)（2021·浙江·八年级专题练习）细心观察图，认真分析下列各式，然后解答问题.2(1)12+=，11S =；2(2)13+=，22S =2(3)14+=，33S =.... （1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律.（2）推算出10OA 的长.（3）求2221210S S S +++的值.【答案】（1）2(11n n +=+，n n S =（n 是正整数）；（2）1010OA =（3）554【分析】（1）利用已知可得OA n 2，注意观察数据的变化，（2）结合（1）中规律即可求出OA 102的值即可求出，（3）将前10个三角形面积相加，利用数据的特殊性即可求出．【详解】（1）211n +=+，n S =（n 是正整数）（2）由（1）得，2n =，即OA n 2=n ，∴10OA =（3）222222121012101234105522244S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⋯+++++++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查勾股定理以及作图的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识，此题难度不大．23．(本题12分)（2020·四川郫都·八年级期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如(231+=，善于思考的小明进行了以下探索：设()2a m =（其中a 、b 、m 、n 均为正整数），则有222a m n =++，∴a ＝m 2+2n 2，b ＝2mn ．这样小明就找到了一种把部分a 的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若()2a m =，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：a ＝ ，b ＝ ；（2）若()2a m +=，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值；（3．【答案】（1）m 2+6n 2，2mn ；（2）a ＝13或7；（31．【分析】（1）利用完全平方公式展开得到()2226m m n =++，再利用对应值相等即可用m 、n 表示出a 、b ；（2）直接利用完全平方公式，变形后得到对应值相等，即可求出答案；（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．【详解】解：（1）∵()2226==++，a m m n∴a＝m2+6n2，b＝2mn．故答案为：m2+6n2，2mn；（2）∵()2223+==++，a m m n∴a＝m2+3n2，mn＝2，∵m、n均为正整数，∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或7；（3）1=，=．1。