湖南省常德市2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题
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湖南省常德市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题
时量：120分钟 满分：150分 命题单位：常德市
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“若a>－3，则a>6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2. 已知命题p：,e10xxxR，则p为( )
A．,e10xxxR B．
C．,e10xxxR D．000,e10xxxR
3. 高三（8）班有学生54人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、18号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是( )
A．8 B．13 C．15 D．31
4. 已知一个不透明的袋子中装有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从袋子中一次取出两个球，则“取到的两个球颜色不相同”的概率是( )
A．310 B．35 C．710 D．25
5. 下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨)的几组对应数据：
x/吨 3 4 5 6
y/吨 2.5 t 4 4.5
根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为y^＝0.7x＋0.35，那么表格中t的值为
A．3 B．3.15 C．3.25 D．3.5
6. 已知a，b是非零实数，则“a>b”是“lna>ln|b|”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7. 已知向量a=(λ+1,0,2)，b=(6,2μ-1,2λ)，若a∥b，则λ+的值可以是( )
A． B． C．-3 D．2 （第8题图）
8. 如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均数也相等，则x+y的值为( )
A．10 B．9 C．8 D．7
9. 已知点A是圆M的圆周上一定点，若在圆M的圆周上的其他位置任取一点B，连接AB，则“线段AB的长度大于圆M的半径”的概率约为( )
A．12 B．16 C．13 D．23 10. 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为83，则C的方程为( )
A．x23＋y22＝1 B．x23＋y2＝1
C．x212＋y28＝1 D．x212＋y24＝1
11. 如图所示，在三棱锥P-ABC中，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，
CB⊥AB，PA⊥平面ABC，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为(
)
A．- B．- C． D．
（第11题图）
12.已知F1，F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A，B两点，BF1交虚轴于点C，若，则双曲线的离心率为( )
A．2 B．3 C．22 D．23
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某高级中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例分别如扇形统计图所示，现要抽取一个容量为26的样本，则在该高级中学高中部抽取男教师的人数为 .
（第13题图） （第15题图）
14. 在平面直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2=8x的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°，则|OA|= .
15. 如图，在一个60°的二面角的棱上，有两个点A、B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=2，AC=3，BD=4，则CD的长为 .
16. 已知椭圆22143xy的右焦点为F2，点M在⊙O：x2＋y2＝3上，且M在第－象限，过点M
作⊙O的切线交椭圆与P，Q两点，则△PF2Q的周长为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
（1）已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围；
（2）已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”；命题q：“∃x0∈R，使得x20＋4x0＋a＝0”若命题 “p∧q”是真命题，求实数a的取值范围.
18.(本小题满分12分)
某高校在2019年的自主招生笔试成绩(满分200分)中，随机抽取100名考生的成绩，按此成绩分成五组，得到如下的频率分布表：
组号 分组 频数 频率
第一组 [90,110) 15 a
第二组 [110,130) 25 0.25
第三组 [130,150) 30 0.3
第四组 [150,170) b c
第五组 [170,190] 10 0.1
（1）求频率分布表中a,b,c的值；
（2）估计笔试成绩的平均数及中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（精确到0.1）
（3）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取6名学生参加面试，用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副小组长，求“抽取的2人为同一组”的概率.
19.(本小题满分12分)
如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面ABC，△SAB是等边三角形，已知AC=2AB=4，BC=2.
(1) 求证：平面SAB⊥平面SAC；
(2) 求直线SA与平面SBC所成角的正弦值.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为22.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 当AMN的面积为103时，求k的值.
21.(本小题满分12分) 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，将△BCD沿对角线BD折起到BC'D的位置，使平面BC'D⊥平面ABD，E是BD的中点，FA⊥平面ABD，且FA=2，如图2.
(1) 求证：FA∥平面BC'D；
(2) 求平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值；
(3) 在线段AD上是否存在一点M，使得C'M⊥平面FBC'？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
22.(本小题满分12分)
已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为x=-1，直线l与抛物线相交于不同的A、B两点.
(1) 求抛物线的标准方程；
(2) 如果直线l过抛物线的焦点，求的值；
(3) 如果=-4，直线l是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由.
数学
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12答案 B B D B A B A C D C D B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.9； 14.2 ； 15. ； 16.4.
三、解答题：共20分，每小题10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解：（1）令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0
∵p是q的充分不必要条件，∴M N，
∴a>0，a＋1<4，解得0
（2）若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.
由∀x∈[0，1]，a≥ex，得a≥e；
由∃x0∈R，使x20＋4x0＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，得a≤4，
因此e≤a≤4.
18解：（1）依题意：a=0.15， b=20，c=0.2
（2）笔试成绩的平均数为：1000.2+180
因为第1组与第2组的频率之和为：0.4
所以中位数为：130+
（3）依题意：第4组抽取4人，记为：，第5组抽取2人，记为：
则基本事件为：，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A3A4，
A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，B1B2共15种，其中满足题意的有7种。
所以所求概率为：
19.(1)证明 在△BCA中，∵AB=2，CA=4，BC=2
∴AB2+AC2=BC2，故AB⊥AC.
又平面SAB⊥平面ABC，平面SAB∩平面ABC=AB
∴AC⊥平面SAB.
又AC⊂平面SAC，所以平面SAB⊥平面SAC. (2)解 如图建立空间直角坐标系，A(0,0,0)，B(2,0,0)，S(1,0,)，C(0,4,0),
=(1,-4,)，=(-2,4,0)，AS=(1,0,)
设平面SBC的法向量n=(x,y,z),由则n=.
257sincos19
所以直线SA与平面SBC所成角的正弦值为25719
20：解 (1)由题意得a＝2，ca＝22，a2＝b2＋c2.
解得b＝2，所以椭圆C的方程为x24＋y22＝1.
(2)由y＝k（x－1），x24＋y22＝1，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝4k21＋2k2，x1x2＝2k2－41＋2k2，
所以|MN|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2
＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]
＝2（1＋k2）（4＋6k2）1＋2k2
又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝|k|1＋k2，
所以△AMN的面积为S＝12|MN|·d＝|k|4＋6k21＋2k2，
由|k|4＋6k21＋2k2＝103，解得k＝±1.
21.(1)证明 ∵BC'=C'D，E为BD的中点
