高三数学复习三角函数式的求值

三角函数最值的求解策略

【高考地位】

三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.

【方法点评】

方法一 化一法

使用情景：函数表达式形如 f (x) asin2 x bcos2 x csin xcos x d 类型

解题模板：第一步 运用倍角公式、三角恒等变换等将所给的函数式化为形如

y

asin x bcosx c 形式；

第二步 利用辅助角公式asin x bcos x a 2 b2 sin(x ) 化为只含

有一个函数名的形式；

第三步 利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值.

x4 xcos4 例1 已知函数

f

x在 x0 ，2 上的最 x，则 f

大值与最小值之差为 ．

【答案】3 3 s i n 2 2 s i n x

2x 6 6 , 76，即为换元思想，把2x 6 看作一个整体，利用 y sin x 的单调

性即可得出最值，这是解决 y asin x bsin x的常用做法．

【变式演练1】设当 x 时，函数 f (x) 2sin x cos x取得最大值，则

cos__________．

【变式演练2】已知函数 f (x) 4cosxsin(x ) 1(0) 的最小正周期是．

6

(1)求 f (x) 的单调递增区间；

3

(2)求 f (x) 在[ ， ]上的最大值和最小值． 【答案】 5

5 8 8

【答案】(1) 6 k,3 kk Z ； (2) 最大值2 、最小值 6 2 2

所以 f x在8 , 38上的最大值和最小值分别为2 、 6 2 2 .

高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总

高考文科数学题型分类汇总：三角函数篇

本文旨在汇总高考文科数学中的三角函数题型，包括定义法求三角函数值、诱导公式的使用、三角函数的定义域或值域、三角函数的单调区间、三角函数的周期性、三角函数的图象变换和三角函数的恒等变换。

题型一：定义法求三角函数值

这类题目要求根据三角函数的定义，求出给定角度的正弦、余弦、正切等函数值。这类题目的难点在于熟练掌握三角函数的定义，以及对角度的准确度量。

题型二：诱导公式的使用

诱导公式是指通过对已知的三角函数进行代数变形，得到新的三角函数值的公式。这类题目需要熟练掌握各种诱导公式，以及灵活应用。

题型三：三角函数的定义域或值域

这类题目要求确定三角函数的定义域或值域。需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数的定义域和值域的概念和计算方法。

题型四：三角函数的单调区间

这类题目要求确定三角函数的单调区间，即函数在哪些区间上单调递增或单调递减。需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数单调性的判定方法。

题型五：三角函数的周期性

这类题目要求确定三角函数的周期。需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数周期的计算方法。

题型六：三角函数的图象变换

这类题目要求根据给定的变换规律，确定三角函数图象的变化。需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对图象变换的计算方法。

题型七：三角函数的恒等变换

这类题目要求根据已知的三角函数恒等式，进行变形和推导。需要掌握各种三角函数的恒等式，以及灵活应用。

2）已知角α的终边经过一点P，则可利用点P在单位圆上的性质，结合三角函数的定义求解．在求解过程中，需注意对角终边位置进行讨论，避免忽略或重复计算．

例2已知sinα=0.8，且α∈[0,π2]，则cosα=．

答案】0.6

解析】∵sinα=0.8，∴cosα=±√1-sin²α=±0.6

XXXα∈[0,π2]，∴cosα>0，故cosα=0.6

难点16 三角函数式的化简与求值

三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.

●难点磁场

(★★★★★)已知2＜β＜α＜43,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________.

●案例探究

［例1］不查表求sin220°+cos280°+3cos20°cos80°的值.

命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.

知识依托：熟知三角公式并能灵活应用.

错解分析：公式不熟，计算易出错.

技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.

解法一：sin220°+cos280°+3sin220°cos80°

=21 (1－cos40°)+21 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80°

=1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)

=1－21cos40°+21 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)

=1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin220°

=1－43cos40°－43(1－cos40°)= 41

解法二：设x=sin220°+cos280°+3sin20°cos80°

y=cos220°+sin280°－3cos20°sin80°，则

x+y=1+1－3sin60°=21，x－y=－cos40°+cos160°+3sin100°

=－2sin100°sin60°+3sin100°=0

∴x=y=41，即x=sin220°+cos280°+3sin20°cos80°=41.

- 1 - 求函数解析式的几种常用方法

当前，我们已进入高三一轮复习，函数是高中数学的核心内容，也是学习高等数学的基础，

是数学中最重要的概念之一，它贯穿中学数学的始终。求函数解析式是函数部分的基础，在

高考试题中多以选择、填空形式出现，属中低档题目，同学们务必要拿分。下面就向同学们

介绍几种求函数解析式的常用方法：

[题型一]配凑法

例1.已知f(■+1)=x+2■，求f(x)。

分析：函数的解析式y=f(x)是自变量x确定y值的关系式，其实质是对应法则f：x→y，

因此解决这类问题的关键是弄清对“x”而言，“y”是怎样的规律。

解：∵f(■+1)=x+2■=(■+1)2-1

(■+11)

∴f(x)=x2-1(x1)

小结：此种解法为配凑法，通过观察、分析，将右端“x+2■”变为接受对象“■+1”的

表达式，即变为含(■+1)的表达式，这种解法对变形能力、观察能力有一定的要求。

[题型二]换元法

例2.已知f(1-cosx)=sin2x，求f(x)。

分析：视1-cosx为一整体，应用数学的整体化思想，换元即得。

解：设t=1-cosx

∵-1cosx1 ∴01-cosx2 即0t2

∴cosx=1-t

∴sin2x=1-cos2x=1-(1-t)2=-t2+2t

∴f(t)=-t2+2t(0t2)

即f(x)=-x2+2x(0x2)

小结：①已知f[g(x)]是关于x的函数，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t，

由此能解出x=(t)，将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x替换t，便得f(x)的解析式。

注意：换元后要确定新元t的取值范围。

- 2 - ②换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法，它的基

本功能是：化难为易、化繁为简，以快速实现未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。

常见的换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元等，它的应用极