当前位置：文档之家 › 中点弦问题点差法

中点弦问题点差法

  • 格式：docx
  • 大小：45.08 KB
  • 文档页数：6

-1 - / 6- 1 -

圆锥曲线常规题型方法归纳与总结

①中点弦问题；②焦点三角形；③直线与圆锥位置关系问题：④圆锥曲线的相关最值(范围)问

题;⑤求曲线的方程问题：⑥存在两点关于直线对称问题；⑦两线段垂直问题

圆锥曲线的中点弦问题 ——点差法

与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。

解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是： 联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次

方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

解题策具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法( 点差法)：若设直线与圆锥曲线的交

点(弦的端点)坐标为 A(xi，yj、B(X2,y2)，将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程

相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论) 个参数。

(3)y2=2px( p>0)与直线 I 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(xo,yo),则有 2yok=2p,即 yok=p.

经典例题讲解

一、求以定点为中点的弦所在直线的方程

2 2

例1、过椭圆x 匚 1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被 M点平分，求这条弦所在直线

16 4

的方程。

解：设直线与椭圆的交点为 A(x1, y1)、B(x2,y2)

M (2,1)为 AB 的中点 x1 x2 4 y1 y2 2

2 2 2 2

又A、B两点在椭圆上，则 x1 4y1 16， x2 4y2 16 ，消去四

如: 2

(1)笃 a 2 y b2 1(a

xo

2 阶 o。

a b

2 2

(2)笃 y

2 1(a

a b

Xo yo, o

2 a b2k b 0)与直线相交于 A、B，设弦AB中点为M(xo,yo),则有

0,b 0)与直线I相交于A、B，设弦AB中点为M(xo,yo)则有 -1 - / 6- 2 -

两式相减得 2 2 2

(人 X2 ) 4(% y22) 0

于是(X1 X2)(X1 X2) 4( y1 y2)(y1 y2)0

y1 y2 X1 X2 4 1

X-I x2 4( y1 y2) 4 2 2

1 1

即kAB ㊁，故所求直线的方程为 y 1 -(x 2)，即x 2y 4 0。

2

例2、已知双曲线x2 冷 1 ,经过点M (1,1)能否作一条直线I，使I与双曲线交于 A、B ,

且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线 I，求出它的方程，若不存在，说明理 由。

策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线

的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。

两式相减，得

评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到 中点弦问题中判断点的 M位置非常重要。(1)若中点M在圆锥曲线内，则被点 M平分的 弦一般存在；(2)若中点M在圆锥曲线外，则被点 M平分的弦可能不存在。，然后验证它是否满足题设

解：设存在被点 M平分的弦AB，且A(x1,y1)、 B(x2,y2)

则 x1 x2 y1 y2 2

2

X12 y- 2 X2

(X1 X2)(X1 X2) 1

-(y1 y2)(y1

2 y2) 0 kAB % y2 2

X-I x2

故直线 AB : y 2(x 1)

这说明直线 2(x 2

y_

2

4)2 1)

1消去y，得2x2 4x

AB与双曲线不相交，故被点 平分的弦不存在，即不存在这样的直线 -1 - / 6- 3 -

.求弦的中点坐标、弦中点轨迹

2

例3、已知椭圆'

75 2

x

25 1的一条弦的斜率为 1

3,它与直线x —的交点恰为这条弦的中点 2

M，求点M的坐标。

1

解：设弦端点 P(xi，yj、Q(X2,y2)，弦 PQ 的中点 M(xo,y。)，则 Xo -

Xi X2 2X0 1 ， yi y 2y°

2 又y1 2 X1 2

1，y2 2 X2 1

75 25 75 25

两式相减得 25(y1 y2)(y1 y2) 75(x1 X2)(X1 X2) 0

即 2 y0(y1 y2) 3(X1 X2) 0 y1 y2 3

X1 X2 2y0

k y1 y2 3 3 3，即 y 1

X1 X2

2y0

2

点M的坐标为 1 1 (,)。

2 2

2 2

解：设弦端点P(x1,y1)、 Q(X2,y2)，弦 PQ 的中点 M(x, y)，则

x1 x2 2x， y1 y2 2y

2 2 2 2 又 丫1 X1 [ y2 X2

75 25 ， 75 25

两式相减得25(y1 y2)(y1 y2) 75(x1 X2)(X1 x?) 0

即 y(y1 y2) 3x(x1 X2) 0，即

X1 X2 3x

y

X1 X2 3x

y 3，即 x y 0

x y 0

由丄云1，得P(

75 25 竽Q(2 例4已知椭圆7_ 1,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 -1 - / 6- 4 -

点M在椭圆内

2 * y2 a

'2 x-! x2 b

四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

2 2

例6、已知椭圆—1，试确定的

4 3

有不同的两点关于该直线对称。

解：设P(x1，y1), P2(X2,y2)为椭圆上关于直线 y 4x m的对称两点，P(x, y)为弦PR

2 2 2 2

的中点，贝U 3x1 4y1 12 , 3x2 4y2 12

两式相减得，3( x12 x22) 4( y12 y22) 0它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为x y 0(罗 5_3)

F)

三•求与中点弦有关的圆锥曲线的方程

例5、已知中心在原点，一焦点为 F(0, ... 50)的椭圆被直线丨:y 3x 2截得的弦的中点的

一 1

横坐标为一，求椭圆的方程。

2

2 2

解：设椭圆的方程为 爲 爲 1，则a2 b2 50……①

a b

设弦端点 P(xi，yj、Q(X2,y2)，弦 PQ 的中点 M(Xo,y°),

两式相减得

即 b2( y 3X0

2 y2

2 a X1 X2 2X0 1 , y1 y 2y0 1

b2(yi y2)(yi y2) a2(x-i x2)(x-i x2) 0

y2) a2(xi X2) 0

联立①②解得a2 75 , b2 25

所求椭圆的方程是75 2

X 1 25

m取值范围，使得对于直线 y 4x m，椭圆上总 即 3(X1 X2)(X1 X2)4(yi y2)(yi y?) 0

-5 - / 6- 5 -

2.已知，椭圆C的中心在原点, 焦点在x轴上，一条准线的方程是 x=b ,倾斜角为—的直线

4

I交椭圆C于A、B两点，且线段 AB的中点为（ 1 ,£），求椭圆C的方程. 2 4 y 3x 这就是弦RF2中点P轨迹方程。

y

联立y

y 3x

4x x m

，得I必须满足y2 3崇,

m y 3m

3 2 —2届 2.13

即(3m) 3 —m ，解得 - m

4 13 13

五、注意的问题

（1）双曲线的中点弦存在性冋题； （2弦中点的轨迹应在曲线内。

习题实战

xi x2 2x, yi y? 2y, yi y2

它与直线y 4x m的交点必须在椭圆内

1.直线y 2 x

x 1与椭圆 9 1相交于A、B两点，贝U AB中点坐标 ___________ 2

-6 - / 6- 6 -

3.已知双曲线X2 y 1，经过点M(1,1)能否作一条直线I，使I与双曲线交于 A、B

2

两点，且M是线段AB的中点，若存在这样的直线I，求出它的方程，若不存在，说明理由？

4.已知又曲线线 C的渐近线方程y 3x，其一个焦点为 F( ■. 10,0).

(1)求双曲线的方程；(2)是否经过B1(0,3)的直线I，使得直线I与双曲线线C交于A、

B两点，且以AB为直径的圆经过 B/0, 3) ?若存在，请求出直线I的方程；若不存在，请 说明理由•

合集下载

关于利用“点差法”求解中点弦所在直线斜率问题的教学案例(曹文红)

关于利用“点差法”求解中点弦所在直线斜率问题的教学案例(曹文红)

关于利用“点差法”求解中点弦所在直线斜率问题的教学案例

湖北省宜昌市夷陵中学 曹文红

问题背景

圆锥曲线的中点弦问题是解析几何中的一类常见问题。对于求解以定点为中点的弦所在直线方程问题，许多同学习惯于利用“点差法”先求直线斜率：即首先设弦的两端点坐标为),(),,(2211yxByxA，代入圆锥曲线方程得到两方程后再相减，从而得到弦中点坐标与所在直线的斜率的关系，使问题得以解决。此方法巧妙地将斜率公式和中点坐标公式结合起来，设而不求，代点作差，可以减少计算量，提高解题速度，优化解题过程，对解决此类问题确实具有很好的效果。但在具体应用时，由于“点差法”所必须具备的前提条件是符合条件的直线确实存在，否则就会产生增根。而学生由于认知方面的原因，对于此类问题往往只注意利用“点差法”先求直线斜率再求方程却常常忽略了检验符合条件的直线是否存在，从而走入“点差法”的误区，出现错误却无法察觉。为此，我专门设计了一节利用“点差法”求直线斜率的习题课，通过师生互动、合作探究的方式，使教学过程生动活泼，一波三折，使学生加深了对求解以定点为中点的弦所在的直线方程问题的认识，认清了产生增根的根源，找到了简便易行的检验方法，收到了较好的教学效果。

案例实录

1、 创设情景，提出问题

师：前面，我们已经学习了椭圆、双曲线和直线的位置关系，知道了解决这类问题的主要方法。下面请大家看问题1：已知点)2,4(M是直线l被椭圆193622yx所截得的线段的中点，求直线l的方程。

问题提出后，犹如一石激起千层浪，学生的探究热情被激发起来，开始了对问题的探索。

2、 自主探索，暴露思维

学生求解的同时，教师在行间巡视，发现生1很快得出了结果，于是请生1上台板书：

生1：解：设直线l与椭圆交点为),(),,(2211yxByxA，则有3642121yx，3642222yx， 两式相减，得：0421212121yyyyxxxx，

直线与双曲线 点差法与中点弦

直线与双曲线 点差法与中点弦

第 1 页 共 2 页 直线与双曲线 点差法与中点弦

一、切线类型：

1、双曲线内、原点：0条；

2、双曲线上、渐近线（非原点）上：1条；

3、双曲线外非渐近线上：2条双曲线与渐近线之间：与一支两切线两渐近线之间：与两支各一条切线

二、直线与双曲线的位置关系：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条、细分如下：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域②③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑥：即过原点，无切线，无与渐近线平行类比：双曲线中点弦存在性的探讨规律：点差法求中点弦方程时，椭圆、抛物线内的点为中点中点弦方程不用检验，中点在渐近线和曲线上或它们之间的空隙区域，符合条件的方程都是增解；其它区域内的点为中点的弦的方程都符合题意。------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------求过定点的双曲线的中点弦问题，通常有下面两种方法：（1）点差法，即设出弦的两端点的坐标代入双曲线方程后相减，得到第 2 页 共 2 页 弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，从而求出直线方程．（2）联立法，即将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理与判别式求解．无论使用点差法还是联立法，都要运用 来判定中点弦是否存在，而这完全取决于定点所在的区域．现分析如下：利用双曲线及其渐近线，可把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域（如图）．当 在区域Ⅰ内时，有；当 在区域Ⅱ内时，有 ．当 在区域Ⅲ内时，有 ．利用上述结论，可以证明：当 在区域Ⅰ时，以它为中点的弦不存在，而在区域Ⅱ、Ⅲ时，这样的弦是存在的．证明过程如下：设双曲线 的弦 两端点为 ， ，中点为 ，则 ， ．运用点差法得出 的斜率 ． ①令直线 的方程为

用点差法巧解中点弦问题

用点差法巧解中点弦问题

２０１１年６月　江西教育学院学报（综合）　第３２卷第３期　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉａｎｇｘｉ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ）　Ｊｕｎ．２Ｏｌ１　Ｖｏ１．３２　Ｎｏ．３　

用点差法巧解中点弦问题　

龚漪静　

（井冈山大学附中，江西井冈山３４３６００）　

摘要：　点差法在解决与中点有关的问题时确实很有用。它通过“设点”、“作差”两个步骤。就产生了弦的中点和弦　所在直线的斜率，巧妙地避免了解方程组求交点的复杂运算，使问题轻松获解。与常规解法相比，其优越性显而易见。　关键词：点差法；巧解；中点弦　中圈分类号：Ｇ６３３．６５　文献标识码：Ａ　文章编号：　１００５—３６３８（２０１１）０３—０００８—０３　

Ｓｋｉｌｌｆｕｌ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｔｏ　Ｍｉｄｐｏｉｎｔ　Ｃｈｏｒｄ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｂｙ　Ｐｏｉｎｔ　Ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　Ｍｅｔｈｏｄ　

ＧＯＮＧ　Ｙｉ—ｉｉｎｇ　（Ｈｉｇｈ　Ｓｃｈｏｏｌ　Ａａａｃｈｅｄ　ｔｏ　Ｊｉｎｇｇａｎｇｓｈａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｎｇｇａｎｇｓｈａｎ　３４３００９，Ｃｈｉｎａ）　Ａｌ￣ｒａｃｔ：Ｉｔ　ｉｓ　ｒｅａｌｌｙ　ｕｓｅｆｕｌ　ｔｏ　ｓｅｔｔｌｅ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｏｆ　ｍｉｄｐｏｉｎｔ　ｂｙ　ｐｏｉｎｔ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｉｔ　ｉｓ　ｔｈｒｏｕｇｈ　ｓｅｎｉＩ１ｇ　ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ　ｐｏｉｎｔ　ａｎｄ　ａｄｏｐｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｔｈａｔ　ａ　ｃｏｍｐｌｉｅａｔｅｄ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｅｅｋｉｎｇ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ　ｂｅｔｗｅｅｎ　

ｔｈｅ　ｃｈｏｒｄ　ｍｉｄｐｏｉｎｔ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃｈｏｒｄ　ｌｉｎｅ－ｇ　ｉｓ　ｐｒｏｄｕｃｅｄ，ｗｈｉｃｈ　ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｓ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｃｏｍｐａｒｅｄ　ｔｌｌ　ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌ　ｍｅｔｈｏｄｓ，　ｔｈｅ　ｐｏｉｎｔ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｈａｓ　ｉｔｓ　ｏｂｖｉｏｕｓ　ａｄｖａｎｔａｇｅ．　Ｋｅｙ　Ｗｏｒｄｓ：ｐｏｉｎｔ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｍｅｔｈｏｄ；ｓｋｉｌｌｆｕｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ；ｍｉｄｐｏｉｎｔ　ｃｈｏｒｄ　

解答圆锥曲线中点弦问题的三种途径

解答圆锥曲线中点弦问题的三种途径

数学

篇丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹与圆锥曲线的弦及其中点有关的问题称之为圆锥曲线中点弦问题.中点弦问题在解析几何试题中比较常见，侧重于考查圆锥曲线与直线的位置关系、弦长公式、中点坐标公式、直线的斜率以及韦达定理.下面谈一谈解答圆锥曲线中点弦问题的三种途径.一、利用韦达定理若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别为x1、x2，则x1+x2=-b2a，x1x2=ca，这个定理即是韦达定理.运用韦达定理求解圆锥曲线中点弦问题，需先将圆锥曲线方程与弦所在的直线的方程联立，通过消元，构造一元二次方程；再利用韦达定理，建立关于弦端点的坐标的关系式，最后结合中点坐标公式进行求解.例1.过点A(2,1)的直线与椭圆x216+y29=1相交于P,Q两点，若点A恰是线段PQ的中点，求直线PQ的方程.解：设直线PQ的斜率为k，则直线PQ的方程为y-1=k(x-2)，将其与椭圆的方程x216+y29=1联立，并消去y得，(16k2+9)x2+(-64k2+32k)x+(64k2-64k-128)=0，由韦达定理得x1+x2=-(-64k2+32k)16k2+9.又A(2,1)，所以x1+x2=-(-64k2+32k)16k2+9=4，可得k=-98，所以直线的方程为y-1=-98(x-2)，即9x+8y-26=0.当遇到中点弦问题时，应很快联想到韦达定理，将圆锥曲线的方程和直线的方程联立起来，构造一元二次方程，建立方程两根之间的关系式，这是解题的关键.二、采用点差法点差法是解答中点弦问题的常用方法.运用点差法解题，要先设出或明确圆锥曲线的方程、弦的两个端点的坐标、弦的中点坐标；然后将弦的两个端点的坐标代入圆锥曲线的方程中，并将两式作差；再根据中点坐标公式和直线的斜率公式进行求解.例2.已知椭圆C：x24+y23=1，过点P(1,1)的直线l交椭圆C交于A,B两点，求AB中点M的轨迹方程.解：设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，将其分别代入椭圆C：x24+y23=1中，可得ìíîïïïïx124+y123=1,x224+y223=1,将两式相减可得3()x1-x2（x1+x2）+4()y1-y2（y1+y2）=0，即3x+4y∙y1-y2x1-x2=0.因为AB所在直线的斜率与MP的斜率相等，所以3x+4y∙y-1x-1=0，化简得3x()x-1+4y()y-1=0，即为点M的轨迹方程.运用点差法解题，可以达到设而不求的效果，大大减少计算量.但点差法的适用范围比较窄，只有在已知直线的方程、圆锥曲线的方程、弦中点的坐标三者中的两者时，才可运用此方法求解.三、运用导数法借助导数法来求解圆锥曲线中点弦问题，需要先对圆锥曲线的方程进行求导，得到曲线在某点处的切线的斜率，就能将其看作中点弦的斜率，再根据中点坐标公式求解.例3.过椭圆C：x216+y24=1内一点M（2,1）作直线l，交椭圆于A,B两点，使M点恰好是弦AB的中点，求该直线的方程.解：对x216+y24求导，得2x16+2y4y′，把M（2,1）代入2x16+2y4y′=0，得y′=-12，所以直线AB的方程为y=-12x+2.本题运用导数法求解十分简单、便捷，但需明确曲线的切线的斜率与曲线在某点处的导数之间的关系，据此建立关系式，即可快速解题.总之，在求解圆锥曲线中点弦问题时，同学们要注意将中点与韦达定理、中点坐标公式、直线的斜率公式相关联起来，从中寻找到解题的突破口，灵活运用上述三种方法解题，这样才能有效提升解题的效率.（作者单位：江苏省阜宁县实验高级中学）方法集锦