运筹学 (7)

《管理运筹学》习题7解答

1.某修理店只有一个修理工人，来修理的顾客到达次数服从泊松（普阿

松）分布，平均每小时4人，修理时间服从负指数分布，平均需6min。

求：

（1）请画出各状态间概率强度的转移图，并写出状态概率的稳定方

程。

（2）修理店至少有一个顾客的概率。

（3）店内有3个顾客的概率。

（4）在店内顾客的平均数和平均逗留时间。若工人在修理店每逗留1小

时平均丧失工作收入100元，修理服务费用正比于其服务率为每小时4

元。假定顾客到达率不变，为使得店铺和顾客的总损耗费用最低，求该

店的最优服务率和平均最低费用。

（5）平均等待修理（服务）时间。

（6）必须在店内消耗15min以上的概率。

（7）假设若店内已有3个顾客，那么后来的顾客即不再排队。这时排队

系统的模型类型是什么？并求店内空闲的概率、在店内平均的顾客数、

在店内平均逗留时间。

（8）若顾客平均到达率增加到每小时12人，仍为泊松流，平均修理时

间不变。是否需要增加工人？求修理工为2人时店内有两个或更多顾客

的概率。注：以上各问是无关联的。

解：λ=4人/小时，μ＝60/6=10人/小时，ρ＝λ/μ=0.4。

(1)此系统为M/M/1排队模型。

各状态间概率强度的转移图如下：

λ=4

4

4

……

……

n+1

n

n-1

1

0

μ＝1010

10

状态概率的稳定方程，如下：

-4P0+10P1=0

4Pn-1+10Pn+1-14Pn=0(n≥1)

(2)修理店至少有一个顾客的概率等于1-P0；

∵P0=1-ρ=1-0.4=0.6 ∴1-P0=1-0.6=0.4

(3)P3=ρ3(1-ρ)=0.43(1-0.4)=0.0384

(4) 店内顾客的平均数Ls=λ/(μ-λ)=4/(10-4)=2/3（人）；

一个顾客的平均逗留时间：Ws=Ls/λ=2/3÷4=1/6（小时）＝10（分

钟）；系统单位时间总耗费T(μ)=100Lsw+4μ=100·4/(μ-4)+4μ

令dT(μ)/dμ=-400/(μ-4)2+4=0解得μ*＝14(人/小时)；

运筹学案例七: 投资决策问题(2)

一.问题的提出

某投资开发公司拥有总资金100万元,今有4个项目可供选择投资.投入资金及预计收 益如下表所示:

项 目 一 二 三 四

投入资金

预计收益 40

30 50

40 35

25 40

35

应如何决策投资方案.

二.构造数学模型

一个好的投资方案应是投资少,收益大的方案.

设

1,2,3,4)(i不投资第i项目0,决定投资第i项目1,xi

数学模型:



4,3,2,1,0)1(10040355040)35254030max()40355040(min

432143214321

ixxxxxxxxxxxxxx

ii

改写上述模型为分式规划模型:

xxxxxxxxz

432143214035504035254030max

4,3,2,1,0)1(100403550404321ixxxxxx

ii

令yxjj,得





)4,3,2,1(0,001004035504014035504035254030max

4321432143211

jyyyyyyyyyyyyyz

j或

简化之,得





)4,3,2,1(0100114035504035254030max

432143211

jyyyyyyyyyz

j

或

三.求解

针对上述特殊模型,采用隐枚举算法思想进行求解.

计算表格:

),,,(4321yyyy (1)→τ (2) Z1

(0, 0, 0,τ)

(0, 0,τ, 0)

(0, 0,τ,τ)

(0,τ, 0, 0)

(0,τ, 0,τ)

(0,τ,τ, 0)

(0,τ,τ,τ)

(τ,0, 0, 0)

(τ,0, 0,τ)

(τ,0,τ, 0)

(τ,0,τ,τ)

(τ,τ,0, 0)

(τ,τ,0,τ)

(τ,τ,τ,0)

模拟考试试题（一）

页脚内容1 一、单选题

1．目标函数取极小（minZ）的线性规划问题可以转化为目标函数取极大的线性规划问题求解，原问题的目标函数值等于（ ）。

A. maxZ B. max(-Z) C. –max(-Z) D.-maxZ

2． 下列说法中正确的是（ ）。

A．基本解一定是可行解 B．基本可行解的每个分量一定非负

C．若B是基，则B一定是可逆 D．非基变量的系数列向量一定是线性相关的

3．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为 （ ）

A.多余变量 B．松弛变量 C．人工变量 D．自由变量

4. 当满足最优解，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得（ ）。

A．多重解 B．无解 C．正则解 D．退化解

5．对偶单纯型法与标准单纯型法的主要区别是每次迭代的基变量都满足最优检验但不完全满足 （ ）。

A．等式约束 B．“≤”型约束 C．“≥”约束 D．非负约束

6. 原问题的第ｉ个约束方程是“＝”型，则对偶问题的变量iy是（ ）。

A．多余变量 B．自由变量 C．松弛变量 D．非负变量

7.在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目( )。

A.等于m+n B.大于m+n-1 C.小于m+n-1 D.等于m+n-1

二、判断题

1．线性规划问题的一般模型中不能有等式约束。

2．对偶问题的对偶一定是原问题。

3．产地数与销地数相等的运输问题是产销平衡运输问题。

4．对于一个动态规划问题，应用顺推或逆解法可能会得出不同的最优解。

第 1 页 共 20 页 1. 高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从Poisson分布，平均到达速率为100辆／小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒／辆。求

1、收费处空闲的概率；

2、收费处忙的概率；

3、系统中分别有1，2，3辆车的概率。

根据题意, =100辆/小时，1=15秒=2401（小时/辆）,即＝240（辆/小时）。

因此： 125240100

系统空闲的概率为：583.012712511P0

系统忙的概率为：417.0125)1(1P10

系统中有1辆车的概率为：243.014435127125)1(P1

系统中有2辆车的概率为：101.01728175127125)1(P222

系统中有3辆车的概率为：0422.020736875127125)1(P333

2．某店有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson流，平均每小时3人，修理时间服从负指数分布，平均需19分钟，求：

（1）店内空闲的时间；

（2）有4个顾客的概率；

（3）至少有一个顾客的概率；

（4）店内顾客的平均数；

（5）等待服务的顾客数；

（6）平均等待修理的时间；

（7）一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。

解：单位时间为小时，5.063,6,3

（1）店内空闲的时间： 5.021110p；

（2）有4个顾客的概率：03125.02121121)1(5444； 第 2 页 共 20 页 （3）至少有一个顾客的概率：5.0110pNP；

（4）店内顾客的平均数：11L；

（5）等待服务的顾客的平均数：5.0LLq