圆的极坐标方程

圆的极坐标方程

1 .曲线的极坐标方程

一般地，在极坐标系中，如果平面曲线 C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程

f（ p , e ） = 0,并且坐标适合方程 f（ p , e ）=0的点都在曲线 C上，那么方程f（ p , e） =0叫做曲线 C的极坐标方程.

2 .圆的极坐标方程

（1）特殊情形如下表

圆心位直 极坐标方程 图形

圆心在极点（0, 0） p = r

(0< e <2 兀)

圆心在点（r, 0） p = 2r cos 8

兀 (一1.

八 兀

e<2)

兀

圆心在点（r,—） p = 2rsin 9

(0 w e < 兀)

圆心在点（r,兀） p = — 2rcos

e

(兀 0 3兀) ( ◊；

圆心在点（r, 2 ） p = - 2rsin

e

(一 < < 8 w 0) ©

（2）一般情形：设圆心 q P0, 0 0）,半径为r, M P, 0）为圆上任意一点，则|CM=r, / coivt | e —

e 0|,根据余弦定理可得圆 C的极坐标方程为 p2— 2 p 0 p cos（ e - e 0） + p2- r2 = 0, 1.极坐标方程 P =4表示的曲线是（）

化简整理得x —平+ y —平=1,表示圆•选D.

4.极坐标方程 p =2cos 0表示的曲线所围成的面积为

解析：由p=2cos 0 =2X1 x cos 0知，曲线表示圆，且圆的半径

所以面积8=兀

答案：Tt

圆的极坐标方程

A.过（4, 0）点，且垂直于极轴的直线 B .过（2, 0）点，且垂直于极轴的直线

C.以（4, 0）为圆心，半径为 4的圆 D

解析：选D.由极坐标方程的定义可知，极坐标方程 .以极点为圆心，半径为 4的圆

p =4表不以极点为圆心，以 4为

半径的圆.

2.圆心在（1 , 0）且过极点的圆的极坐标 （）

A. p = 1 B p = cos 0 C . p = 2cos 0 D . p = 2sin 0

x o o C(a,0 ) x

C(0,0 )

x o C (0,π/2 )

x

o 圆的极坐标方程

【 教学目标 】

1． 理解曲线极坐标方程的概念；了解与曲线直角坐标方程的异同；

2． 掌握求曲线极坐标方程的思路和关键；

3． 掌握各种圆的极坐标方程的求法，能根据圆的极坐标方程画出其对应的图形并进行有关计算。

【 教材分析 】

1． 重点：根据条件求各种圆的极坐标方程；

2． 难点：圆的极坐标方程的运用；

3． 关键：极坐标方程涉及的是长度与角度 ，列方程的实质是解直角或斜三角形问题。

【 教学过程 】

一

、曲线的极坐标方程

1．圆122yx的极坐标方程是

2．曲线cos的直角坐标方程是 .

二 、圆的极坐标方程

例1．求下列圆的极坐标方程

（１）圆心在极点，半径为a； （２）圆心在Ｃ(ａ,０)，半径为ａ；

（３）圆心在Ｃ(ａ，／2)，半径为ａ； （４）圆心在Ｃ(0，0)，半径为ｒ。

三 、练习

1． 在极坐标系中，求出符合下列条件的圆的极坐标方程

（1）圆心在（3，0），过极点 （2）圆心在（3，），半径为3

（3）圆心在（3，3/2），半径为3 （4）圆心在（a， 0），过极点

注：1、 比较（4）与例1（2）联系与区别？

2 、极坐标系中的旋转不变性

曲线f(,- 0)=0是将曲线f(,)=0绕极点旋转 0角( 0 < 0时,按顺时针方向旋转,  0 > 0时,按逆时针方向旋转)而得到.

3、小结各种圆的极坐标方程的一般式（7种情况）

2．求下列圆的圆心极坐标和半径

（1）2sin （2）23cos2sin

圆的极坐标方程练习题

一 在极坐标系中，求适合下列条件的圆的极坐标方程。

1.圆心在A（1，4），半径为1的圆的极坐标方程。

2．圆心在A（3,2）,半径为3的圆的极坐标方程。

3求圆心是点C(0,0),，半径是8的圆的极坐标方程

4.求圆心是点C(6,0),，半径是6的圆的极坐标方程

5求圆心是点C(5,),，半径是5的圆的极坐标方程

6. 圆心在A（4,32）,半径为4的圆的极坐标方程。

二 拔高训练

1．将点的直角坐标(－2，23)化成极坐标得( )．

A．(4，32) B．(－4，32) C．(－4，3) D．(4，3)

2．极坐标方程 cos＝sin2( ≥0)表示的曲线是( )．

A．一个圆 B．两条射线或一个圆 C．两条直线 D．一条射线或一个圆

3．极坐标方程cos＋12＝ 化为普通方程是( )．

A．y2＝4(x－1) B．y2＝4(1－x) C．y2＝2(x－1) D．y2＝2(1－x)

4．设点P在曲线 sin ＝2上，点Q在曲线 ＝－2cos 上，则|PQ|的最小值为( )．

A．2 B．1 C．3 D．0

5．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程222sin4＋ cos312＝经过直角坐标系下的伸缩变换y＝yx＝ x3321后，得到的曲线是( )．

A．直线 B．椭圆 C． 双曲线 D． 圆

6．在极坐标系中，直线2＝ 4π＋ sin )(，被圆 ＝3截得的弦长为( )．

A．22 B．2 C．52 D．32

7．＝2(cos －sin )(＞0)的圆心极坐标为( )．

A．(－1，4π3) B．(1，4π7) C．(2，4π) D．(1，4π5)

校星级优秀公开课参评 2012-5-17

教 师 李健 课题 圆的极坐标方程 教 学 内 容 师生活动 设计意图 时间

班 级 2年19班 课型 新授课 课时 1课时 思考5：在极坐标系中，圆心坐标为C(r， )(r＞0)，半径为r的圆的极坐标方程是什么？

思考6：一般地，在极坐标系中，圆心坐标为C ( , )( ＞0)，半径为r的圆的极坐标方程是什么？

圆的一般极坐标方程 2+ 0 2 -2  0 cos( - ０)= r2

二、曲线的极坐标方程的基本步骤

（1）建立极坐标系，设动点坐标；（2）找出曲线上的点满足的几何条件；

（3）将几何条件用极坐标表示； （4）化简小结.

三、例题讲解

例1、写出圆心在点（-1，1）处，且过原点的圆的直角坐标方程，并把它化为极坐标方程。

例2、从极点作圆 的弦，求各条弦中点的轨迹方程。

四、练习

小结

（1）圆的极坐标方程

（2）怎样求曲线的极坐标方程

布置作业

P16—1,、2、3、 学生思考，推导，口答，教师版演

师生共同总结完善求曲线的极坐标方程步骤

理清思路师生共同完成

学生口答，教师及时纠正出现的问题。

学生思考总结，教师加以完善。

激发学生思考、讨论、交流，充分发挥学生的主动性。

进一步总结所学知识，培养学生总结概括能力。

通过具体实例体会求曲线方程方法。

进一步巩固所学知识，教师及时理解学生掌握情况，让学生学会反思总结。 2

2

2

10

8

2

1

教

学

目

标 知识与技能 1、认识曲线的极坐标方程条件，比较与曲线与直角坐标方程的异同。

2、掌握各种圆的极坐标方程。

3、能根据圆的极坐标方程画出其对应的图形

过程与方法 通过求圆的极坐标方程，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生进一步认识极坐标系的作用。