2011年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷(小高组)-含答案解析
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2021年“迎春杯〞数学解题能力展示复赛试卷〔小高组〕
一、填空题Ⅰ〔每题8分，共40分〕
1．〔8分〕定义一种新运算a☆b满足：a☆b＝b×10+a×2，那么2021☆130＝
．
2．〔8分〕从1999年到2021年的12年中，物价涨幅为150%〔即1999年用100元能购置的物品，2021年要比原来多花150元才能购置〕．假设某个企业的一线员工这12年来工资都没有变，按购置力计算，相当于工资下降了 %．
3．〔8分〕如图中大圆的半径是20厘米，7个小圆的半径都是10厘米．那么阴影图形的面积是 平方厘米〔π取3.14〕．
4．〔8分〕某届“数学解题能力展示〞读者评选活动初试共有12000名学生参加，分为初中、小学高年级、小学中年级三个组别、小学的两个组共占总人数的，不是小学高年级组的占总人数的．那么小学中年级组参赛人数为 人．
5．〔8分〕如图是一个除法竖式，这个除法竖式的被除数是多少？
二、填空题Ⅱ〔每题10分，共50分〕
6．〔10分〕算式1!×3﹣2!×4+3!×5﹣4!×6+…+2021!×2021﹣2021!×2021+2021!的计算结果是 ．
7．〔10分〕春节临近．从2021年1月17日〔星期一〕起工厂里的工人陆续回家过年，与家人团聚．假设每天离厂的工人人数相同，到1月31日，厂里还剩下工人121名，在这15天期间，统计工厂工人的工作量是2021个工作日〔一人工作一天为1个工作日，工人离厂当天及以后不需要统计〕，其中周六、日休息，且无人缺勤，那么截止到1月31日，回家过年的工人共有 人．
8．〔10分〕有一个整数，它恰好是它的约数个数的2021倍，这个整数的最小值是 ． 9．〔10分〕一个新建5层楼房的一个单元每层有东西2套房：各层房号如下图，现已有赵、钱、孙、李、周五家入住，一天他们5人在花园中聊天：
赵说：“我家是第3个入住的，第1个入住的就住我对门．〞
钱说：“只有我一家住在最高层．〞
孙说：“我家入住时，我家的同侧的上一层和下一层都已有人入住了．〞
李说：“我家是五家中最后一个入住的，我家楼下那一层全空着．〞
周说：“我家住在106号，104号空着，108号也空着．〞
他们说的话全是真话，设第1、2、3、4、5家入住的房号的个位数依次为A、B、C、D、E，那么五位数＝
．
10．〔10分〕6支足球队，每两队间至多比赛一场如果每队恰好比赛了2场，那么符合条件的比赛安排共有 种．
三、填空题Ⅲ〔每题12分，共60分〕
11．〔12分〕0～9可以组成两个五位数A和B，如果A+B的和是一个末五位数字相同的六位数，那么A×B的不同取值共有 个．
12．〔12分〕甲乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B往返行走；甲出发的同时，丙也从A出发去B．当甲乙两人第一次迎面相遇在C地时，丙还有100米才到C；当丙走到C时，甲又往前走了108米；当丙到B时，甲乙正好第二次迎面相遇．那么A、B两地间的路程是多少米？
13．〔12分〕如图，大正方形被分成了面积相等的五块．假设AB长为3.6厘米，那么大正方形的面积为 平方厘米．
14．〔12分〕用36个3×2×1的实心小长方体拼成一个6×6×6的大正方体，在各种拼法中，从大正方体外的某一点看过去最多能看到 个小长方体．
15．〔12分〕平面中有15个红点，在这些红点间连一些线段，一个红点连出了几条线段，就在这个红点上标几．所有标有相同数的红点之间互不连线，那么这15个红点间最多连了 条线段．
2021年“迎春杯〞数学解题能力展示复赛试卷〔小高组〕
参考答案与试题解析
一、填空题Ⅰ〔每题8分，共40分〕
1．〔8分〕定义一种新运算a☆b满足：a☆b＝b×10+a×2，那么2021☆130＝
5322 ．
【解答】解：根据分析可得，
2021☆130
＝130×10+2021×2
＝1300+4022
＝5322；
故答案为：5322．
2．〔8分〕从1999年到2021年的12年中，物价涨幅为150%〔即1999年用100元能购置的物品，2021年要比原来多花150元才能购置〕．假设某个企业的一线员工这12年来工资都没有变，按购置力计算，相当于工资下降了 60 %．
【解答】解：100+100×150%
＝100+150
＝250〔元〕
1﹣100÷250
＝1﹣40%
＝60%
答：按购置力计算，相当于工资下降了 60%．
故答案为：60．
3．〔8分〕如图中大圆的半径是20厘米，7个小圆的半径都是10厘米．那么阴影图形的面积是 942 平方厘米〔π取3.14〕．
【解答】解：观察图象可知阴影局部的面积＝7个小圆面积﹣一个大圆面积 ＝7•π•102﹣π•202
＝300π
＝942，
故答案为：942．
4．〔8分〕某届“数学解题能力展示〞读者评选活动初试共有12000名学生参加，分为初中、小学高年级、小学中年级三个组别、小学的两个组共占总人数的，不是小学高年级组的占总人数的．那么小学中年级组参赛人数为 5250 人．
【解答】解：1﹣＝，
﹣＝，
12000×＝5250〔人〕；
答：小学中年级组参赛人数为 5250人．
故答案为：5250．
5．〔8分〕如图是一个除法竖式，这个除法竖式的被除数是多少？
【解答】解：由题意，除数的两个倍数分别是2□□和91□，
如果2□□是除数的2倍，根据余数为130，除数为131以上，149以下，这样91□只能是除数的7倍，131×7＝917，那么第三个被除数为91□或81□，它等于除数的某个倍数减1，只能是7倍减1，即916，被除数等于131×277﹣1＝36286，经检验符合题意；
如果2□□是除数的1倍，那么91□是除数的4倍，可能是912或916，除数可能是228或229，第三个被除数为91□或81□，除以除数之后余数为130，可能是228×3+130＝814或229×3+130＝817，被除数相应为228×143+130＝32734或229×143+130＝32877，但无论哪种，第一个差都是两位数，所以不符合题意．
综上所述，被除数等于36286，除数为131，商为276．
二、填空题Ⅱ〔每题10分，共50分〕
6．〔10分〕算式1!×3﹣2!×4+3!×5﹣4!×6+…+2021!×2021﹣2021!×2021+2021!的计算结果是
1 ．
【解答】解：分组找规律：
2021!×2021﹣2021!×2021+2021!
＝2021!〔2021﹣2021×2021+2021×2021〕
＝2021!
那么2007!×2021﹣2021!×2021+2021!
＝2007!〔2021﹣2021×2021+2021×2021〕
＝2007!
由奇数项向前裂变抵消规律得
原式＝2021!×2021﹣2021!×2021+2021!+…+5!×7﹣4!×6+3!×5﹣2!×4+1!×3
＝1!
＝1
故答案为：1
7．〔10分〕春节临近．从2021年1月17日〔星期一〕起工厂里的工人陆续回家过年，与家人团聚．假设每天离厂的工人人数相同，到1月31日，厂里还剩下工人121名，在这15天期间，统计工厂工人的工作量是2021个工作日〔一人工作一天为1个工作日，工人离厂当天及以后不需要统计〕，其中周六、日休息，且无人缺勤，那么截止到1月31日，回家过年的工人共有 120 人．
【解答】解：依题意可知：
设每天回家的人数为x人，那么15天共走15x人，
其中有2个周六周日共4天休息不工作．周末剩余人数为9x〔周六〕，8x〔周日〕，2x〔周六〕，x〔周日〕．
121×11+〔3+4+5+6+7+10+11+12+13+14〕x＝2021
∴x＝8，15x＝120〔人〕
故答案为：120
8．〔10分〕有一个整数，它恰好是它的约数个数的2021倍，这个整数的最小值是 16088 ．
【解答】解：用列举法
因为2021×8＝16088，
所以，满足条件的最小整数为16088，
故答案为16088．
9．〔10分〕一个新建5层楼房的一个单元每层有东西2套房：各层房号如下图，现已有赵、钱、孙、李、周五家入住，一天他们5人在花园中聊天：
赵说：“我家是第3个入住的，第1个入住的就住我对门．〞
钱说：“只有我一家住在最高层．〞
孙说：“我家入住时，我家的同侧的上一层和下一层都已有人入住了．〞
李说：“我家是五家中最后一个入住的，我家楼下那一层全空着．〞
周说：“我家住在106号，104号空着，108号也空着．〞
他们说的话全是真话，设第1、2、3、4、5家入住的房号的个位数依次为A、B、C、D、E，那么五位数＝ 69573 ．
【解答】解：根据分析，因为104和108都空着，而孙的楼上楼下都有人了，所以孙住在左侧，
只有钱一家住在最高层，说明剩余4人住在101，102，103，105，106，107，里面的6家，
全空着的一层只能是第一层或第二层，这样才能使得孙和楼上楼下都有人．
如果全空着的是第一层，那么李住在第二层的103，李氏最后入住的，所以孙住在107，
且105和109都在这之前有人住了，赵是第三个入住的，所以孙一定是第四个入住的，根据钱的话，
钱住在109，有对门的是105和106，周住在106，所以赵住在105，而且周的第一个入住的，
故答案是：69573．
10．〔10分〕6支足球队，每两队间至多比赛一场如果每队恰好比赛了2场，那么符合条件的比赛安排共有 70 种．
【解答】解：6支球队分2组每组3支，这3支球队间相互比赛：分组方法：〔6×5×4〕÷〔3×2×1〕÷2＝10〔选3支球队和剩3支球队重复，所以除2〕；
6支球队围成圈，相邻的球队之间比赛：方法：5×4×3×2×1÷2＝60 〔顺时针与逆时针重复，所以除2〕，
所以符合条件的比赛安排共有10+60＝70种．
答：符合条件的比赛安排共有70种．
故答案为：70．
三、填空题Ⅲ〔每题12分，共60分〕
11．〔12分〕0～9可以组成两个五位数A和B，如果A+B的和是一个末五位数字相同的六位数，那么A×B的不同取值共有 384 个．
【解答】解：依题意可知：
六位数字的首位一定是1，根据弃九法后5位都是7．所以这两个五位数的首位之和是17．后四个数字和为7的数字两两配对． 把和为7的数字两两配对，首位是9的那个五位数有8×6×4×2＝384〔种〕．
根据不同情况下两个五位数的差不同，差小积大，这384个乘积也各不相同．
故答案为：384．
12．〔12分〕甲乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B往返行走；甲出发的同时，丙也从A出发去B．当甲乙两人第一次迎面相遇在C地时，丙还有100米才到C；当丙走到C时，甲又往前走了108米；当丙到B时，甲乙正好第二次迎面相遇．那么A、B两地间的路程是多少米？
【解答】解：甲从A走到C时，丙走了100÷＝1250〔米〕，
AC的距离为1250×＝1350〔米〕，
甲乙速度之和是丙的速度的3倍，那么乙的速度是丙的〔3﹣〕倍，
BC的距离为1250×〔3﹣〕＝2400〔米〕，
所以AB的距离为1350+2400＝3750〔米〕
答：A、B两地间的路程是3750米．
13．〔12分〕如图，大正方形被分成了面积相等的五块．假设AB长为3.6厘米，那么大正
