线性代数技巧行列式的计算方法

1引言

行列式是高校理工科专业的公共课程线性代

数中极其重要的一个内容袁在数学理论上有十分重

要的地位袁早在18世纪初行列式就在解线性方程

组中出现.行列式在其他很多数学知识的学习中起

着重要的基础作用袁并且在日常工业生产或经济管

理中袁都具有重要的实践应用.行列式的内容是相

当丰富的袁包括行列式的定义尧行列式的特征与性

质尧行列式的计算尧行列式的应用等.而行列式的计

算具有较大的技巧性和灵活性袁更是理解尧掌握和

运用行列式的关键袁有很多文献进行了相关的讨论

和研究[1-5].由于所用计算方法的不同袁计算过程的

难易程度相差较大.要使计算过程简单明了袁避免

过多不必要的解题步骤袁应该善于选择适当的方

法袁掌握一定的技巧袁并对这些技巧进行总结归纳袁

就能够提高对行列式的计算能力.2行列式的计算方法2.1定义法

行列式的定义法是最原始的计算方法袁直接根

据定义套用公式.一般适用于行列式比较简单或行

列式中包含很多零元素的情况.

例1计算n阶行列式

Dn=a1a2圪

a

n.解利用行列式的定义袁可得Dn=(-1)子a1a2噎an其中子为排列n(n-1)噎21的逆序数袁即

子=1+2+噎+(n-1)=n(n-1)2.

所以袁Dn=(-1)n(n-1)2a1a2噎an.

2.2三角形法

三角形法是计算行列式常用的一种方法袁利用

行列式的性质袁将其变成三角行列式的形式袁即化

成行列式主对角线一侧的所有元素全部等于零袁然

后利用三角行列式的计算方法进行计算.三角形法

原则上来说适用于任何行列式袁因为该方法就是根

据行列式的性质袁对行列式进行变换袁其目的是使得

行列式中出现较多的零元素.但是袁在一般情况下袁

对于一个高阶行列式作行列式变换袁其计算过程也

是比较繁杂的.所以袁是否采纳三角形法取决于在利

用行列式性质作行列式变换的过程中是否简单.

例2计算n阶行列式

Dn=011噎1

101噎1

110噎1埙

111噎

0.

解由于行列式D的每一列的所有元素之和

都为n-1袁因此分别将第2袁第3袁噎袁第n行都加到

第23

卷第1

期

2020

年1

月高等数学研究

STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol. 23 ,No.1

Jan.

, 2020

doi

：10. 3969/j. issn. 1008-1399. 2020. 01. 023

线性代数中行列式的降阶方法

徐运阁，陈媛

(湖北大学数学与统计学学院

，应用数学湖北省重点实验室

，湖北武汉430062

)

摘要

本文归纳线性代数中关于行列式用降阶方法，通过摄动法将这些降阶公式由子矩阵块的可逆情形推

广到一般情形，并基于矩阵的满秩分解，给出降阶公式的使用技巧•

关键词

行列式；降阶；满秩分解；线性代数

中图分类号 O151.2

文献标识码 A

文章编号 1008 - 1399(2020)01 - 0097 - 05

Order Reduction of DeterminanSs in Linear Algebra

XU Yunge and CHEN Yuan

(Faculty of Mathematics and Statistics, Hubei Key Laboratory

ofApplied Mathematics!

HubeiUniversity!

Wuhan430062!

China)

Abstract

Thispapersummarizescommonlyusedorderreductionformulaefordeterminantsinlinearalge-

bra. By the method of perturbation,

the case of invertible submatrix blocks in reduced-order formulae is

generalized to the general case. Based on the full-rank decomposition of matrices,

some skills of using

*** *** 特殊行列式及行列式计算方法总结

一、 几类特殊行列式

1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材 P7例 5、例 6）

2. 以副对角线为标准的行列式

0 0 0 a

1n

a a a 0 0 a

11 12 1n 1n

0 0 a a

2, n 1 2n

a a 0 0 a 0

21 22 2,n 1

0 0 0

0 a a a

n 1,2 n 1,n 1 n 1,n

a 0 0 0 a 0 0

nn n1

a a a a

n1 n2 n,n 1 nn

n( n 1)

( 1) 2 a a a

1n 2,n 1 n1

3. 分块行列式（教材 P14 例 10）

一般化结果：

A C A 0

n n m n n m

0 B C B

m n m m n m

A B

n m

0 A C A

n m n n m n mn

( 1)

B C B 0

m m n m m n A B

n m

4. 范德蒙行列式（教材 P18例 12）

注：4 种特殊行列式的结果需牢记！

以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！ ！！

二、 低阶行列式计算

二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材 P2、P3）

三、 高阶行列式的计算

【五种解题方法】

1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；

2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；

3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算

——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素， 并且非零元素的代数

余子式很容易计算； ***

*** 4) 递推法或数学归纳法；

5) 升阶法（又称加边法）*** *** 【常见的化简行列式的方法】

5. 利用行列式定义直接计算特殊行列式

例 1 （2001 年考研题）

0 0 0 1 0

0 0 2 0 0

D

0 1999 0 0 0

2000 0 0 0 0

0 0 0 0 2001

２Ｏｌ　７　ｇ－９月　第３６期　教育教学论坛　ＥＤＵＣＡＴＩＯＮ　ＴＥＡＣＨＩＮＧ　ＦＯＲＵＭ　Ｓｅｐｔ．２０１　７　ＮＯ．３６　线性代数教学中高阶行列式若干计算方法探究　段炼，方贤文　（安徽理工大学数学与大数据学院，安徽淮南２３２００１）　摘要：本文主要介绍了几种关于行列式的计算方法如递归法、拆项法及构造法等，并通过具体实例分析了　这些方法在线性代数教学中的应用，对帮助学生有效学习行列式知识具有一定指导作用。　关键词：线性代数；行列式；探究　中图分类号：Ｇ６４２．４　文献标志码：Ａ　文章编号：１６７４—９３２４（２０１７）３６—０１９５—０２　中图分类号：Ｏ１３　文献标识码：Ａ　一、引言　《线性代数》在数学、物理学和技术学科中有各种　重要应用，因此是理工类相关专业所开设的重要基础　课之一。而行列式理论及其计算是线性代数课程教学　中的一个重点内容，关于高阶行列式的计算有许多方　法，如利用教材中所给的行列式的性质化三角形法『１ｌ、　加边法回、逐行（或列）相加减圈、按照Ｌａｐｌａｃｅ定理展开【Ｉ』、　通过化简行列式借助已知公式（范德蒙行列式、ａｂ行　列式、爪型行列式等）　以及数学归纳法　等延伸方法。　本文将介绍其他计算方法如递归法、拆项法和构造法　等，并举例说明其求解方法和技巧。　二、递归法　若ｎ阶行列式Ｄ　满足如下关系式：　ａＤ　＋ｂＤ　１＋ｃＤ　一２＝０　（１）　其特征方程为　ａＤ【２＋ｂｘ＋ｃ：０　（２）　（１）若判别式△≠０，则方程（４）有两个不等的复　根ｘ　，ｘ　，则Ｄ　＝Ａｘ：～＋Ｂｘ：～，其中Ａ，Ｂ为待定系数，可令　ｎ＝ｌ和ｎ＝２得出。　（２）若判别式△＝０，则方程（４）有两重根ｘ　＝ｘ，，则　Ｄ　）ｘ　一，其中Ａ，Ｂ为待定系数，可令　和ｎ＝（Ａ＋ｎＢ　ｎ＝ｌ　ｎ＝２　得出。　例ｌ计算ｎ阶行列式　Ｄ　＝　９　５　０…　４　９　５…　０　４　９…　０　０　０　・．　０　０　０…　Ｏ　０　０　０　０　０　‘．　：　●　●　９　５　４　９　解按照第１行展开得Ｄ　＝９Ｄ　一　－２０Ｄ　一　＝０，即Ｄ　一９Ｄ　＋２０Ｄ　＝０，其特征方程为ｘ。－９ｘ＋２０＝０，得ｘ　＝４，ｘ　＝５，所以　Ｄ：Ａ４ｎ－１＋Ｂｂ　ｎ　当ｎ＝ｌ时，９＝Ａ＋Ｂ　（３）　当ｎ＝２时，６１＝４Ａ＋５Ｂ　（４）　由方程（３）和（４）容易得到Ａ一１６，Ｂ＝２５。所以　ｎ＋ｌ　ｎ＋ｌ　Ｄ　＝５　—４　该方法借助特征方程的概念，利用方程的思想，　通过易于求解的一元二次方程，得到了行列式的值，　体现出高等数学和线性代数之间的相容性。　三、拆项法　所谓的拆项法是指把高阶行列式中的某一行（或　列）分裂成两项和，再按照行列式的性质拆开，再进行　计算。　例２证明：　ｌ＋ｘ】　ｌ＋ｘ２　●　：　ｌ＋ｘ　２　ｌ＋ｘ１　２　ｌ＋ｘ２　●　：　２　ｌ＋ｘ　＝丌（Ｘ　１≤ｌ＜ｋ≤ｎ　收稿日期：２０１７—０３—１３　基金项目：安徽省重大教学改革研究项目（２０１３ｚｄｊｙＯ８２，２０１６ｊｙｘｍ０２５４），安徽省质量工程项目（２０１３ｓｘｚｘ０１２，２０１３ｓｊｊｄ００８，２０１４ｚｙ０２８　２０１５ｊｙｘｍ１３６，２０１５ｃｋｊｈ０１５）　作者简介：段炼（１９８４一），男，安徽界首人，讲师，理学博士，研究方向为微分方程理论及其应用。　一