第7课 空间点线面位置关系及平行判定及性质江南中个辅，林俊杰【教学目标】 一、知识目标1、了解空间中线、面的位置关系2、了解异面直线的定义，掌握判断异面直线的方法3、掌握平面的基本性质4、掌握线线平行，线面平行，面面平行的证明 二、能力目标培养学生观察，发现的能力和空间想象能力，提高学生的逻辑证明能力，让学生了解空间与平面互相转换的数学思想，培养学生归纳总结能力和抽象概括能力，进而形成科学的思维方法。
三、情感目标通过类比，归纳，总结的训练，增强学生探寻事务规律的强烈愿望；通过体验逻辑证明的应用过程，激发学生的学习兴趣，树立学好数学的信心【教学重点】线线平行、线面平面、面面平行的判定定理和性质定理【教学难点】线线平行、线面平面、面面平行的判定定理和性质定理及其应用【考点分析】从近几年高考的形式来看，高考对本部分内容考查以理解和掌握为主，一般为中等难度题，考查形式主要为：①“共点，共线，共面问题”；②“证明异面直线垂直”；③“直线与平面的判定和性质应用”；④“平面与平面的判定和性质应用”【知识点梳理】1．平面的基本性质公理1如果一条直线上的两个点都在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内,,A B l A B α∈⎫⎬∈⎭l α⇒⊂2．平面的基本性质公理2（确定平面的依据） 经过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面3．平面的基本性质公理2的推论（1）经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面 （2）经过两条相交直线，有且只有一个平面（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面4．平面的基本性质公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线A A αβ∈⎫⎬∈⎭⇒lA lαβ=∈5．异面直线的定义与判定（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交也不平行（2）判定：过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线6．直线与直线平行（1）平行四边形A B C D （矩形，菱形，正方形）对边平行且相等，//A B C D ，//BC AD （2）三角形的中位线,E F 分别是,AB AC 的中点中位线平行且等于底边的一半，//E F B C （3）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行//l α，l β⊂，//m l m αβ=⇒（4）面面平行的性质定理如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行 //αβ，a αγ= ，//b a b βγ=⇒ （5）线面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行 a α⊥，//b a b α⊥⇒7．直线与平面平行（1）线面平行的判定定理如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 a α⊄，b α⊂，////a b a α⇒ （2）面面平行的性质定理如果两个平面互相平行，那么一个平面内的任一直线都平行于另一个平面 //αβ，//a a αβ⊂⇒8．平面与平面平行（1）面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线，分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行a α⊂，b α⊂，a b A = ，//a β，////b βαβ⇒（2）垂直于同一直线的两个平面互相平行 a α⊥，//a βαβ⊥⇒【典型例题】题型一：点线面的关系用符号表示、判断异面直线 例1．2009广东高考（文）改 给定下列四个命题①,,//,////a b a b ααββαβ⊂⊂⇒ ②,a a αβαβ⊥⊂⇒⊥ ③,//l m l n m n ⊥⊥⇒④,,,l a a l a αβαβαβ⊥=⊂⊥⇒⊥ 其中，为真命题的是A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④答案：D解析：了解题目中点线面关系的符号表示，理解其中文意思，根据相关定理判断正确的命题 ①在平面α内有两条直线,a b ，直线,a b 分别平行平面β，则平面α平行平面β 该命题错误，根据“面面平行的判定定理”，这两直线,a b 应为相交直线 ②直线a 为平面α的垂线，平面β经过直线a ，则平面α垂直平面β 该命题正确，由“面面垂直的判定定理”可得③直线l 垂直直线m ，直线l 垂直直线n ，则直线m 平行直线n该命题错误，在空间中，平行同一直线的两直线不一定平面，可垂直可成一定的夹角 ④平面α垂直平面β，且有交线l ，在平面内有直线a ，直线a 垂直交线l ，则平面α垂直平面β该命题正确，由“面面垂直的性质定理”可得点评：对于空间中点线面的关系以及各判定定理和性质定理，要掌握中文与数学符号之间的转化，并掌握好各个定理的含义给出下列关于互不相同的直线,,l m n 和平面,,αβγ的三个命题： ①若,l m 为异面直线，,l m αβ⊂⊂，则//αβ； ②若//,,l m αβαβ⊂⊂，则//l m ；③若,,,//l m n l αββγγαγ=== ，则//m n 其中真命题的个数为A ．3B ．2C ．1D ．0 答案：C 解析：由异面直线的定义得，两直线可分属两个平面，但是这两个平面不一定平行，命题错误 由面面平行的性质定理得线面平行，不一定得到线线平行，命题错误 由线面平行的性质定理得线线平行，再由线线平行的递推性可得，命题正确点评：通过数学符号，了解线面之间的位置关系，应用相关定理判断命题题型二：以中位线为突破口的平行证明问题 例2．2011北京高考（文）如图，在四面体P A B C 中，,PC AB PA BC ⊥⊥，点,,,D E F G 分别是棱,A P A C ，,BC PB 的中点，求证：//D E 平面B C P答案：证明： 在A C P ∆中，,D E 分别是,A P A C 的中点 所以，//D E P C （中位线定理）因为，D E ⊄平面P C B ，P C ⊂平面P C B所以，//D E 平面P C B点评：在图形中寻找三角形的中位线，即两腰的中点的连线，通过中位线定理证明线线平行，根据线面平行的判定定理证明线面平行（注意判定定理的证明规范）变式1．2011北京高考（文）改如图，在四面体P A B C 中，,PC AB PA BC ⊥⊥，点,,,D E F G 分别是棱,A P A C ，,BC PB 的中点，求证：四边形E E F G 为平行四边形证明： 在A C P ∆中，,D E 分别是,A P A C 的中点 所以，//D E P C 且12D E P C =（中位线定理）同理，在B C P ∆中，,F G 分别是,BC PB 的中点 所以，//F G P C 且12F G P C =（中位线定理）所以，//,F G E D F G E D =所以，四边形E E F G 为平行四边形点评：与例1相比，改变了证明的问题，但是关键的技巧都是：运用中位线，特别是中位线定理中数值大小的结论的应用，从而通过“对边平行且相等”证明四边形为平行四边形变式2．2011四川高考（文）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BAC 90∠= ，11AB AC AA ===，延长11A C 至点P ，使111C P A C =，连接A P 交棱1C C 于D ．求证：1//PB 平面1B D A ；答案：证明： 连接11,B A A B ，交于点E ，连接E D 在矩形11A A B B 中，E 为1A B 中点 由题知，1C 为1A P 中点，11//AA C D 所以，在1A A P ∆中，D 为A P 的中点所以，在1A B P ∆中，,E D 分别是1A B ，A P 的中点 所以，1//ED B P （中位线定理）因为，D E ⊂平面1B D A ，1B P ⊄平面1B D A所以，1//B P 平面1B D A点评：运用中位线定理，关键在于两腰的中点的寻找或证明，找好了中点即可运用中位线定理证明线线平行，从而证明线面平行题型三：以平行四边形为突破口的平行证明问题 例3．2010北京高考（文）如图，正方形ABCD 和四边形A C E F 所在的平面互相垂直，//E F A C ，AB =，1C E E F ==，求证：//A F 平面BD E答案：证明： 设A C 于B D 交于点G在正方形A B C D 中，AB =2A C =因为，//EF AG ，且112E F A G A C ===所以，四边形A G E F 为平行四边形所以，//AF EG （平行四边形的性质） 因为，E G ⊂平面1B D A ，A F ⊄平面1B D A 所以，//A F 平面BD E点评：运用对边平行且相等证明四边形为平行四边形，再运用平行四边形的性质，证明另一对边平行，从而证明线面平行 变式1．在三棱柱111C B A ABC -中，直线1A A 与底面ABC 所成的角是直角，直线A B 与11B C 所成的角为45 ，90BAC ∠=，且1AB AA =，,,D E F 分别为11,,B A C C BC 的中点．求证：//D E 平面ABC ；答案：证明： 取A B 中点G ，连接,D G C G在1ABB ∆中，,D G 分别是1,AB AB 的中点所以，111//,2D G BB D G BB =（中位线定理）在三棱柱中，E 为1C C 中点，即111122E C C C B B ==所以，//,E C D G E C D G =所以，四边形E C G D 为平行四边形所以，//C G D E （平行四边形的性质） 因为，C G ⊂平面ABC ，D E ⊄平面ABC 所以，//D E 平面ABC点评：运用中位线定理，证明111//,2D G BB D G BB =，再运用平行的递推原理，证明//,E C D G E C D G =从而证明四边形E C G D 为平行四边形，根据平行四边形的性质得线线平行，最终证得线面平行题型四：三种平行之间的相互关系与转化 例4．如图所示，圆柱的高为2，P A 是圆柱的母线，A B C D 为矩形，2,4AB BC ==，,,E F G分别是线段,,P A P D C D 的中点，求证：//P B 面EFG ；答案：证明： 在PAD ∆中，,E F 分别是,P A P D 的中点 所以，//E F A D （中位线定理） 在矩形A B C D 中，//AD BC所以，//E F B C因为，B C ⊂平面PBC ，E F ⊄平面PBC 所以，//E F 平面PBC同理，在P C D ∆中，有//E G P C （中位线定理） 因为，P C ⊂平面PBC ，F G ⊄平面PBC所以，//F G 平面PBC因为，E F ⊂平面EFG ，F G ⊂平面EFG ，EF FG F = 所以，平面//EFG 平面PBC 因为，PB ⊂平面PBC所以，//P B 平面EFG （面面平行的性质定理）点评：运用中位线定理，证得两直线分别平行两平面，根据面面平行的判定定理证得平面//EFG 平面PBC ，再运用面面平行的性质定理证得线面平行，综合运用线线，线面，面面三者平行关系解题 变式1．如图，在长方体1111ABC D A B C D -中，,E P 分别是11,BC A D 的中点，,M N 分别是1,A E D C 的中点，2A B a =，1AD AA a ==，求证: //M N 面11AD D A答案：证明： 取P E 中点F ，连接,N F M F 由题可得，11//,PD EC PD EC =，即四边形1PD EC 为平行四边形因为，,N F 分别为1,C D P E 中点，可得1//NF PD 因为，1PD ⊂平面11AD D A ，N F ⊄平面11AD D A 所以，//N F 平面11AD D A在PAE ∆中，,M F 分别为,AE PE 的中点所以，//M F P A因为，PA ⊂平面11AD D A ，M F ⊄平面11AD D A 所以，//M F 平面11AD D A因为，N F ⊂平面N M F ，M F ⊂平面N M F ，NF MF F = 所以，平面//N M F 平面11AD D A 因为，M N ⊂平面N M F所以，//M N 平面11AD D A （面面平行的性质定理）点评：设取中点，从而找到两条相交的直线分别平行同一平面，证得面面平行，再运用面面平行的性质定理得到线面平行题型五：探究性问题 例5．如图所示，直棱柱1111ABC D A B C D -中，底面A B C D 是直角梯形，90BAD ∠=，2A B =，1A D C D ==，在线段A B 上是否存在点P （异于,A B 两点），使得//C P 平面1111A B C D ？证明你的结论答案：证明： 由题可知，在直棱柱1111ABC D A B C D -中，平面//A B C D 平面1111A B C D 因为，点P 在线段A B 上 所以，C P ⊂平面A B C D所以，//C P 平面1111A B C D （面面平行的性质定理）点评：直线A B 在平面A B C D 内，则直线A B 上的所有点都在平面A B C D 内，所以C P ⊂平面A B C D ，再由面面平行的性质定理可证得变式1．如图，直三棱柱11ABB D C C -中，190ABB ∠=，14,2,1AB BC C C ===，D C 上有一动点P ，1C C 上有一动点Q ，讨论：无论,P Q 在何处，都有//PQ 平面1A B B ，并证明你的结论 答案：证明： 点P 在D C 上，点Q 在1C C 上，则PQ ⊂平面1D C C 由题可知，在直三棱柱11ABB D C C -中，平面1//ABB 平面1D C C所以，//PQ 平面1A B B点评：由公理1，说明PQ ⊂平面1D C C ，再由面面平行的性质定理得，无论,P Q 在何处，总有//PQ 平面1A B B【方法与技巧总结】1．熟记立体几何证明中的多个公理，推理，判定定理以及性质定理2．熟练掌握空间中点线面的位置关系的符号表示，并能够适当灵活转化为中文以便理解，在此建立空间的想象能力和空间感，进一步把符号转化为立体图象加以记忆3．熟记平行证明中常用的判定定理和性质定理，特别重视三角形中位线定理和平行四边形性质定理的应用4．应用三角形中位线定理和平行四边形性质定理，证明线线平行，从而得出线面平行或面面平行，重视线线平行证明的重要性5．掌握线性平行，线面平行，面面平行三者之间的相互转化【巩固练习】1．设,b c 表示两条直线，,αβ表示两个平面，则下列命题是真命题的是 A ．若,//b c αα⊂，则//c b B ．若,//b c b α⊂，则//c α C ．若//,c ααβ⊥，则c β⊥ D ．若//,c c αβ⊥，则αβ⊥2．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是 A ．若,αγβγ⊥⊥，则αβ//B ．若,m n αα⊥⊥，则m n //C ．若,m n αα////，则m n //D ．若,m m αβ////，则αβ//3．关于直线,l m 及平面,αβ，下列命题中正确的是A ．若//,l m ααβ= ，则//l m ；B ．若//,//l m αα，则//l m ；C ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥；D ．若//,l m l α⊥，则m α⊥．4．已知,a b 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面,下列命题中正确的是 A. //,//a b b α，则//a αB. ,,//,//a b a b αββ⊂，则//αβC. ,//a b αα⊥，则a b ⊥D. 当a α⊂，且b α⊄时，若//b α，则//a b5．已知三条不重合的直线,,m n l ，两个不重合的平面,αβ，有下列命题中正确的个数是 ①//,m n n α⊂ ⇒ //m α；②,,//,//m n m n ααββ⊂⊂ ⇒ //αβ；③,,//l m l m αβ⊥⊥ ⇒ //αβ；④,,,m n n m αβαββ⊥=⊂⊥ ⇒n α⊥A. 1B. 2C. 3D. 46．在三棱锥P A B C -中，P A C ∆和P B C ∆2AB =，,O D 分别是,AB PB 的中点。
