江苏省江海中学2013届高三高考考前辅导数学试题1 Word版含答案

2013年江苏高考数学最后一卷2013.06.01数学（必试部分）注意事项：1.本试卷总分160分，考试用时120分钟。

2.答题前，考生务必将班级、姓名、学号写在答卷纸的密封线内。

选择题答案填涂在．．．．．．．．答题卡对应的题号下，主观题答案写在答卷纸上对应的题号下空格内的横线上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

考试结束后，上交答题卡和答卷纸。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．.1.设复数满足（是虚数单位），则复数的模=___▲____.2.已知，则___▲_____.3.抛物线y2 = 8x的焦点到双曲线x212–y24= 1的渐近线的距离为___▲___.4.阅读下列算法语句:Read S1For I from 1 to 5 step 2 SS+IEnd forPrint SEnd输出的结果是▲．5.设集合，则=____▲_______.6.设等比数列{a n}的公比q = 12，前n项和为S n，则S4a4= ____▲_______.7.在区间内随机地取出一个数，则恰好使1是关于x的不等式的一个解的概率大小为__▲_____.8.已知向量，，则的最大值为▲．9.已知A(2,4)，B(–1,2)，C(1,0)，点P(x,y)在△ABC内部及边界上运动，则z = x–y的最大值与最小值的和为___▲___10.设表示两条直线，表示两个平面，现给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的命题是___▲______．（写出所有正确命题的序号）11.设函数，若关于x 的方程恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围为___▲_____.12.函数在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得，两边求导数，于是 ．运用此方法可以探求得知的一个单调增区间为____▲_____．13.已知椭圆的上焦点为，直线和与椭圆相交于点，，，，则 ▲ ．14.已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为_▲__．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15.（本小题满分14分）如图，点B 在以PA 为直径的圆周上，点C 在线段AB 上，已知，设，均为锐角. （1）求；（2）求两条向量的数量积的值.16. （本小题满分14分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE //AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB ，且F 是CD 的中点. ⑴求证：AF //平面BCE ；⑵求证：平面BCE ⊥平面CDE .17．（本大题满分14分）2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数（以百人．．为计数单位）作了一个模拟预测．为了方便起见，以10分钟为一个计P A C B A BC D EF算单位，上午9点10分作为第一个计数人数的时间，即；9点20分作为第二个计数人数的时间，即；依此类推，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计数单位.第个时刻进入园区的人数和时间（）满足以下关系： ()()()()()24123612436325363216377207390n n n f n n n n -≤≤⎧⎪⎪⎪⋅≤≤=⎨⎪-+≤≤⎪≤≤⎪⎩， 第个时刻离开园区的人数和时间满足以下关系： .（1）试计算在当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客多少百人？（提示：，结果仅保留整数）（2）问：当天什么时刻世博园区内游客总人数最多？18.（本小题满分16分） 设圆，动圆，（1）求证：圆1C 、圆2C 相交于两个定点；（2）设点P 是椭圆上的点，过点P 作圆1C 的一条切线，切点为1T ，过点P 作圆2C 的一条切线，切点为2T ，问：是否存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足？如果存在，求出所有这样的点P ；如果不存在，说明理由.19. （本小题满分16分）已知数列{a n }的通项公式为a n = 2⨯3n + 23n – 1(n ∈N *). ⑴求数列{a n }的最大项；⑵设b n = a n + pa n– 2，试确定实常数p，使得{b n}为等比数列；⑶设，问：数列{a n}中是否存在三项，，，使数列，，是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由.20．（本大题满分16分）已知函数，（1）若，且关于的方程有两个不同的正数解，求实数的取值范围；（2）设函数，满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与无关.试求的取值范围．2013年江苏高考数学最后一卷2013.06.01数学（加试部分）21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题．．．．，每小题l0分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.选修4 – 1几何证明选讲如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E,∠BAC的平分线与BC交于点D.求证：ED2= EB·EC.B．矩阵与变换已知矩阵，，求满足的二阶矩阵．C.选修4 – 4 参数方程与极坐标若两条曲线的极坐标方程分别为ρ = 1与ρ = 2cos(θ + π3),它们相交于A，B两点，求线段ABB C EDA的长.D.选修4 – 5 不等式证明选讲设a ,b ,c 为正实数,求证:a 3 + b 3 + c 3 + 1abc ≥2 3.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分10分）如图，在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD . ⑴求PA 的长；⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值.23．（本小题满分10分）用四个不同字母组成一个含个字母的字符串，要求由开始，相邻两个字母不同. 例如时，排出的字符串是；时排出的字符串是,,,,,,,,aba abc abd aca acb acd ada adb adc ，……， 如图所示.记这含个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是的字符串的种数为. （1）试用数学归纳法证明：；（2）现从四个字母组成的含个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是的概率为，求证：.P B CDA M a b c d n=1 a b c d n=2 a c da b d abc2010届江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学高三调研测试数学参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5答案 2 3 1 10题号 6 7 8 9 10答案15 0.7 6 –2 ④题号11 12 13 14答案815.解（1）：因为点B在以PA为直径的圆周上，所以，所以.所以，………………………………………2分cos cos()PBCPBPCαβ∠=-===，所以，………………………………………………………………4分，…………………………6分又，所以.………………………………………………………8分（2）…………………………11分……………………………………………14分16. ⑴解:取CE中点P，连结FP,BP,因为F为CD的中点,所以FP//DE,且FP =12DE,…2分又AB //DE ,且AB =12DE ,所以AB //FP ,且AB = FP ,所以四边形ABPF 为平行四边形,所以AF //BP . ……………4分 又因为AF ⊂/平面BCE ,BP ⊂平面BCE , 所以AF //平面BCE . …7分 （该逻辑段缺1个条件扣1分）⑵因为△ACD 为正三角形,所以AF ⊥CD .因为AB ⊥平面ACD ,DE //AB ,所以DE ⊥平面ACD , 又AF ⊂平面ACD ,所以DE ⊥AF . …………………9分 又AF ⊥CD ，CD ∩DE = D ，所以AF ⊥平面CDE .又BP //AF ，所以BP ⊥平面CDE . ……………………………12分 又因为BP ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE . ………………………………………14分17． 解：（1）当且时，，当且时， 所以…××；…………………………2分另一方面，已经离开的游客总人数是： ×5121152⨯+⨯；………………………4分 所以361216563901266S S T =-=-=（百人）故当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客百人. ……………6分 （2）当时园内游客人数递增；当时园内游客人数递减.(i)当时，园区人数越来越多，人数不是最多的时间；………………………8分 (ii)当时，令，得出，即当时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；……………10分 (iii)当时，，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；……………………………………………………………………………12分 (Ⅳ)当时， 令时，，即在下午点整时，园区人数达到最多.此后离开人数越来越多，故园区内人数最多的时间是下午4点整. ……………………14分 答：（1）当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客百人；（2）在下午点整时，园区人数达到最多. 18.解（1）将方程化为，令得或，所以圆2C 过定点和，……………4分将代入，左边=1644012320+--+==右边，故点在圆1C 上，同理可得点也在圆1C 上，所以圆1C 、圆2C 相交于两个定点和；……………6分（2）设，则，…………………………8分， …………………………………10分 即，整理得（*）………………………………………………12分 存在无穷多个圆2C ，满足的充要条件为有解，解此方程组得ABCDEFP或006545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，………………………………………………………………………………14分 故存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足，点P 的坐标为.………………16分19. 解 ⑴由题意a n = 2 + 43n – 1,随着n 的增大而减小,所以{a n }中的最大项为a 1 = 4.…4分 ⑵b n = 2 + 43n – 1 + p 43n – 1= (2 + p )(3n – 1) + 44 = (2 + p )3n + (2 – p )4，若{b n }为等比数列， 则b 2n +1 – b n b n +2= 0(n ∈N * )所以 [(2 + p )3n +1 + ( 2 – p )]2 – [{2 + p )3n + (2 – p )][(2 + p )3n +2 + (2 – p )] = 0(n ∈N *)，化简得(4 – p 2)(2·3n +1 – 3n +2 – 3n ) = 0即– (4 – p 2)·3n ·4 = 0,解得p = ±2. ………………………7分 反之,当p = 2时,b n = 3n ,{b n }是等比数列;当p = – 2时,b n = 1,{b n }也是等比数列.所以,当且仅当p = ±2时{b n }为等比数列. ………………………………………………………………10分 ⑶因为，，，若存在三项，，，使数列，，是等差数列，则，所以=，……………12分 化简得（*），因为，所以，，所以，，（*）的 左边，右边，所以（*）式不可能成立， 故数列{a n }中不存在三项，，，使数列，，是等差数列. ……………16分 20．解：(1)令，，因为，所以，所以关于的方程有两个不同的正数解等价于关于的方程有相异的且均大于1的两根，即 关于的方程有相异的且均大于1的两根，……………………………………………………2分所以，…………………………………………………………………4分 解得，故实数的取值范围为区间.……………………………6分 (2)①当时， a )时，，，所以 ， b )时，，所以 ……8分 ⅰ当即时，对，，所以 在上递增，所以 ，综合a ) b )有最小值为与a 有关，不符合……10分 ⅱ当即时，由得，且当时，，当时，，所以 在上递减，在上递增，所以，综合a ) b ) 有最小值为与a 无关，符合要求．………12分 ②当时， a ) 时，，，所以 b ) 时，，，所以 ，在上递减，所以 ，综合a ) b ) 有最大值为与a 有关，不符合………14分综上所述，实数a 的取值范围是．………………………………………………16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选．做两题．．．，每小题l0分，共计20分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.选修4 – 1几何证明选讲证明: 因为EA 是圆的切线,AC 为过切点A 的弦,所以 ∠CAE = ∠CBA . 又因为AD 是∠BAC 的平分线,所以∠BAD = ∠CAD 所以∠DAE = ∠DAC + ∠EAC = ∠BAD + ∠CBA = ∠ADE所以,△EAD 是等腰三角形,所以EA = ED . ……………………………………………………6分 又EA 2 = EC ·EB ,所以ED 2 = EB ·EC . ……………………………………………………………………………4分 B ．矩阵与变换：解：由题意得，…………………………………………………5分 ，………………………………………10分 C.选修4 – 4 参数方程与极坐标若两条曲线的极坐标方程分别为ρ = 1与ρ = 2cos(θ + π3),它们相交于A ,B 两点,求线段AB 的长.解 首先将两曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,得 x 2 + y 2 = 1与x 2 + y 2 – x +3y = 0……………………………………………………6分解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2 + y 2 = 1x 2 + y 2 – x + 3y = 0 得两交点坐标(1,0),(–12, – 32)所以,线段AB 的长为(1 + 12)2 + (0 + 32)2=3即AB = 3.………………………………………………………………………………10分 D.选修4 – 5 不等式证明选讲设a ,b ,c 为正实数,求证:a 3 + b 3 + c 3 + 1abc ≥2 3.证明 因为a ,b ,c 为正实数,所以a 3 + b 3 + c 3≥33a 3b 3c 3 = 3abc >0…………………………5分 又3abc + 1abc ≥23abc ·1abc = 2 3.所以a 3 + b 3 + c 3 + 1abc ≥2 3.…………………………………………………………………10分B C ED A【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题．．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.解 如图,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,1,0),P (0,0,a ).因为M 是PC 中点,所以M 点的坐标为(12,12,a 2)，所以AM →= (12,12,a 2)，BD → = (–1,1,0)，BP →= ( – 1,0,a ).⑴因为AM →⊥平面PBD ,所以AM →·BD → = AM →·BP →= 0.即– 12 + a 22 = 0,所以a = 1,即PA = 1. ………………………………………4分 ⑵由AD → = (0,1,0),M →= (12,12,12),可求得平面AMD 的一个法向量n = ( – 1,0,1).又CP → = ( – 1,–1,1).所以cos<n , CP →> = n ·CP →|n |·|CP →|=22·3= 63. 所以,PC 与平面AMD 所成角的正弦值为63.……………………………10分 23．解（1）：证明： （ⅰ）当时，因为，33(1)04+-=，所以等式正确. （ⅱ）假设时，等式正确，即， 那么，时，因为， 这说明时等式仍正确.据（ⅰ），（ⅱ）可知，正确. ……………………………5分 （2）易知，①当为奇数（）时，，因为，所以，又，所以；②当为偶数（）时，，因为，所以，又，所以.综上所述，.……………………………10分温馨提示-专业文档供参考，请仔细阅读后下载，最好找专业人士审核后使用！。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。

本卷满分为160分。

考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需作图，须用2B 铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。

参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑。

棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 为高。

棱柱的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 为高。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15、（本小题满分14分） 已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),0a b ααβββαπ==<<< 。

（1）若||a b -= a b ⊥ ；（2）设(0,1)c = ，若a b c += ，求βα,的值。

16、（本小题满分14分） 如图，在三棱锥S-ABC 中，平面⊥SAB 平面SBC,BC AB ⊥，AS=AB 。

过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点E 、G 分别为线段SA 、SC 的中点。

求证：（1）平面EFG//平面ABC ；（2）BC SA ⊥。

17、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，点A(0,3)，直线42:-=x y l ，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上。

2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案填写在答题卡相印位置上。

．6则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 【答案】2 7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ， 都取到奇数的概率为 ．63208．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．1：249．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ．[—2，12 ]10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=， 若AC AB DE 21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ．1211．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。

当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为 ．(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 ．3313．在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数xy 1=（0>x ）图象上一动点，若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所值为 ．1或1014．在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为 ．12二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，παβ<<<0．（1）若2||=-b a ，求证：b a ⊥；（2）设)1,0(=c ，若c b a =+，求βα,的值． 解：（1）a －b ＝(cosα－cosβ，sin α－sin β)，|a －b |2＝(cosα－cosβ)2＋(sin α－sin β)2＝2－2(cosα·cosβ＋sin α·sin β)＝2， 所以，cosα·cosβ＋sin α·sin β＝0，所以，b a ⊥． （2）⎩⎨⎧=+=+②1sin sin ①0cos cos βαβα，①2＋②2得：cos(α－β)＝－12 ．所以，α－β＝π32，α＝π32＋β，带入②得：sin(π32＋β)＋sin β＝23cosβ＋12 sin β＝sin(3π＋β)＝1， 所以，3π＋β＝2π． 所以，α＝65π，β＝6π．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点．求证： （1）平面//EFG 平面ABC ；（2）SA BC ⊥． 证：（1）因为SA ＝AB 且AF ⊥SB ， 所以F 为SB 的中点． 又E ，G 分别为SA ，SC 的中点， 所以，EF ∥AB ，EG ∥AC ．又AB ∩AC ＝A ，AB ⊂面SBC ，AC ⊂面ABC ， 所以，平面//EFG 平面ABC ． （2）因为平面SAB ⊥平面SBC ，平面SAB ∩平面SBC ＝BC ，AF ⊂平面ASB ，AF ⊥SB ．所以，AF ⊥平面SBC ．又BC ⊂平面SBC ， 所以，AF ⊥BC ．又AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ， 所以，BC ⊥平面SAB ．又SA ⊂平面SAB ， 所以，SA BC ⊥．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线， 求切线的方程；A BSG F E（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐 标a 的取值范围．解：（1）联立：⎩⎨⎧-=-=421x y x y ，得圆心为：C (3，2)．设切线为：3+=kx y ，d ＝11|233|2==+-+r k k ，得：430-==k or k ．故所求切线为：343+-==x y or y ．（2）设点M (x ，y )，由MO MA 2=，知：22222)3(y x y x +=-+，化简得：4)1(22=++y x ，即：点M 的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ． 又因为点M 在圆C 上，故圆C 圆D 的关系为相交或相切． 故：1≤|CD |≤3，其中22)32(-+=a a CD ．解之得：0≤a ≤125 ．18．（本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。

2013年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上．1．（5分）函数y=3sin（2x +）的最小正周期为．2．（5分）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为．3．（5分）双曲线的两条渐近线方程为．4．（5分）集合{﹣1，0，1}共有个子集．5．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是．6．（5分）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．7．（5分）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为．8．（5分）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=．9．（5分）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是．10．（5分）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为．11．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d 1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为．14．（5分）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n 的最大正整数n的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．16．（14分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．18．（16分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19．（16分）设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n是其前n项和．记b n=，n∈N*，其中c为实数．（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk=n2S k（k，n∈N*）；（2）若{b n}是等差数列，证明：c=0．20．（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=e x﹣ax，其中a为实数．（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．<P style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt" class=MsoNormal><?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" /><v:shapetype id=_x0000_t75 stroked="f" filled="f" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" o:preferrelative="t" o:spt="75" coordsize="21600,21600"><v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path o:connecttype="rect" gradientshapeok="t" o:extrusionok="f"></v:path><?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:shapetype><v:shape style="Z-INDEX: 251660288; POSITION: absolute; TEXT-ALIGN: left; MARGIN-TOP: 31.05pt; WIDTH: 75.35pt;HEIGHT: 94.6pt; MARGIN-LEFT: 381.6pt; LEFT: 0px" id=_x0000_s1026 type="#_x0000_t75"><v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\adminb\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image0 01.png"></v:imagedata><?xml:namespace prefix = w ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:word" /><w:wrap type="square"></w:wrap></v:shape><SPAN><FONT face="Times New Roman">[</FONT>选做题<FONT face="Times New Roman">]</FONT>本题包括<FONT face="Times New Roman">A</FONT>、<FONT face="Times New Roman">B</FONT>、<FONT face="Times New Roman">C</FONT>、<FONT face="Times New Roman">D</FONT>四小题，<SPAN style="font-emphasize: dot">请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答</SPAN>．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．<SPAN style="mso-font-width: 95%; font-emphasize: dot" lang=EN-US><o:p></o:p></SPAN></SPAN></P>A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC．求证：AC=2AD．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10分）已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（t为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．已知a≥b＞0，求证：2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b．第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．26．（10分）设数列{a n}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…，，…，即当＜n≤（k∈N*）时，．记S n=a1+a2+…+a n（n∈N∗）．对于l∈N∗，定义集合P l=﹛n|S n为a n的整数倍，n∈N∗，且1≤n≤l}（1）求P11中元素个数；（2）求集合P2000中元素个数．2013年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上．1．（5分）（2013•江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为π．【分析】将题中的函数表达式与函数y=Asin（ωx+φ）进行对照，可得ω=2，由此结合三角函数的周期公式加以计算，即可得到函数的最小正周期．【解答】解：∵函数表达式为y=3sin（2x+），∴ω=2，可得最小正周期T=||=||=π故答案为：π2．（5分）（2013•江苏）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为5．【分析】把给出的复数展开化为a+bi（a，b∈R）的形式，然后直接利用模的公式计算．【解答】解：z=（2﹣i）2=4﹣4i+i2=3﹣4i．所以，|z|==5．故答案为5．3．（5分）（2013•江苏）双曲线的两条渐近线方程为．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：4．（5分）（2013•江苏）集合{﹣1，0，1}共有8个子集．【分析】集合P={1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．【解答】解：因为集合{﹣1，0，1}，所以集合{﹣1，0，1}的子集有：{﹣1}，{0}，{1}，{﹣1，0}，{﹣1，1}，{0，1}，{﹣1，0，1}，∅，共8个．故答案为：8．5．（5分）（2013•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是3．【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a≥20的最小n值，模拟程序的运行过程可得答案．【解答】解：当n=1，a=2时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=8，n=2；当n=2，a=8时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=26，n=3；当n=3，a=26时，不满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为3故答案为：36．（5分）（2013•江苏）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三第四次第五次次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为2．【分析】直接由图表得出两组数据，求出它们的平均数，求出方差，则答案可求．【解答】解：由图表得到甲乙两位射击运动员的数据分别为：甲：87，91，90，89，93；乙：89，90，91，88，92；，．方差=4．=2．所以乙运动员的成绩较稳定，方差为2．故答案为2．7．（5分）（2013•江苏）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n ≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为．【分析】求出m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，m取到奇数，n取到奇数的方法种数，直接由古典概型的概率计算公式求解．【解答】解：m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，共有7×9=63种取法．m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则m，n都取到奇数的方法种数为4×5=20种．所以m，n都取到奇数的概率为．故答案为．8．（5分）（2013•江苏）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=1：24．【分析】由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍，然后直接由体积公式可得比值．【解答】解：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE ：S△ABC=1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍．即三棱柱A1B1C1﹣ABC的高是三棱锥F﹣ADE高的2倍．所以V1：V2==1：24．故答案为1：24．9．（5分）（2013•江苏）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y 的取值范围是[﹣2，] ．【分析】利用导数求出抛物线在x=1处的切线方程，画出可行域，找出最优解，则x+2y的取值范围可求．【解答】解：由y=x2得，y′=2x，所以y′|x=1=2，则抛物线y=x2在x=1处的切线方程为y=2x﹣1．令z=x+2y，则．画出可行域如图，所以当直线过点（0，﹣1）时，z min=﹣2．过点（）时，．故答案为．10．（5分）（2013•江苏）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为．【分析】由题意和向量的运算可得=，结合=λ1+λ2，可得λ1，λ2的值，求和即可．【解答】解：由题意结合向量的运算可得=====，又由题意可知若=λ1+λ2，故可得λ1=，λ2=，所以λ1+λ2=故答案为：11．（5分）（2013•江苏）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为（﹣5，0）∪（5，﹢∞）．【分析】作出x大于0时，f（x）的图象，根据f（x）为定义在R上的奇函数，利用奇函数的图象关于原点对称作出x小于0的图象，所求不等式即为函数y=f （x）图象在y=x上方，利用图形即可求出解集．【解答】解：作出f（x）=x2﹣4x（x＞0）的图象，如图所示，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴利用奇函数图象关于原点对称作出x＜0的图象，不等式f（x）＞x表示函数y=f（x）图象在y=x上方，∵f（x）图象与y=x图象交于P（5，5），Q（﹣5，﹣5），则由图象可得不等式f（x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）．故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）12．（5分）（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF 的距离为d 1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为．【分析】根据“d 2=”结合椭圆的半焦距，短半轴，长半轴构成直角三角形，再由等面积法可得d1=，从而得到a与b的关系，可求得，从而求出离心率．【解答】解：如图，准线l：x=，d2=，由面积法得：d1=，若d 2=，则，整理得a2﹣ab﹣=0，两边同除以a2，得+（）﹣=0，解得．∴e==．故答案为：．13．（5分）（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为﹣1或．【分析】设点P，利用两点间的距离公式可得|PA|，利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出a的值．【解答】解：设点P，则|PA|===，令，∵x＞0，∴t≥2，令g（t）=t2﹣2at+2a2﹣2=（t﹣a）2+a2﹣2，①当a≤2时，t=2时g（t）取得最小值g（2）=2﹣4a+2a2=，解得a=﹣1；②当a＞2时，g（t）在区间[2，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，∴t=a，g（t）取得最小值g（a）=a2﹣2，∴a2﹣2=，解得a=．综上可知：a=﹣1或．故答案为﹣1或．14．（5分）（2013•江苏）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n ＞a1a2…a n的最大正整数n的值为12．【分析】设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+a n及a1a2…a n的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案．【解答】解：设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为a n==2n﹣6．记T n=a1+a2+…+a n==，S n=a1a2…a n=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=．由题意可得T n＞S n，即＞，化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12．故答案为：12二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•江苏）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．【分析】（1）由给出的向量的坐标，求出的坐标，由模等于列式得到cosαcosβ+sinαsinβ=0，由此得到结论；（2）由向量坐标的加法运算求出+，由+=（0，1）列式整理得到，结合给出的角的范围即可求得α，β的值．【解答】解：（1）由=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则=（cosα﹣co sβ，sinα﹣sinβ），由=2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，得cosαcosβ+sinαsinβ=0．所以．即；（2）由得，①2+②2得：．因为0＜β＜α＜π，所以0＜α﹣β＜π．所以，，代入②得：．因为．所以．所以，．16．（14分）（2013•江苏）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB ⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”，证出F为SB的中点．从而得到△SAB和△SAC中，EF∥AB且EG∥AC，利用线面平行的判定定理，证出EF∥平面ABC且EG∥平面ABC．因为EF、EG是平面EFG内的相交直线，所以平面EFG∥平面ABC；（2）由面面垂直的性质定理证出AF⊥平面SBC，从而得到AF⊥BC．结合AF、AB是平面SAB内的相交直线且AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB，从而证出BC⊥SA．【解答】解：（1）∵△ASB中，SA=AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点．∵E、G分别为SA、SC的中点，∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF∥AB且EG∥AC．∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，∴平面EFG∥平面ABC；（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，AF⊂平面ASB，AF⊥SB．∴AF⊥平面SBC．又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC．∵AB⊥BC，AF∩AB=A，∴BC⊥平面SAB．又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA．17．（14分）（2013•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．【分析】（1）联立直线l与直线y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a 的范围．【解答】解：（1）联立得：，解得：，∴圆心C（3，2）．若k不存在，不合题意；若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，解得：k=0或k=﹣，则所求切线为y=3或y=﹣x+3；（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．18．（16分）（2013•江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【分析】（1）根据正弦定理即可确定出AB的长；（2）设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，由余弦定理可得；（3）设乙步行的速度为v m/min，从而求出v的取值范围．【解答】解：（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==由正弦定理，得AB===1040m．所以索道AB的长为1040m．（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200[37（t﹣）2+]，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理，得BC===500m，乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C．设乙步行的速度为v m/min，由题意得﹣3≤≤3，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[]范围内．19．（16分）（2013•江苏）设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n 是其前n项和．记b n=，n∈N*，其中c为实数．（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk=n2S k（k，n∈N*）；（2）若{b n}是等差数列，证明：c=0．【分析】（1）写出等差数列的通项公式，前n项和公式，由b1，b2，b4成等比数列得到首项和公差的关系，代入前n项和公式得到S n，在前n项和公式中取n=nk 可证结论；（2）把S n代入中整理得到b n=，由等差数列的通项公式是a n=An+B的形式，说明，由此可得到c=0．【解答】证明：（1）若c=0，则a n=a1+（n﹣1）d，，．当b1，b2，b4成等比数列时，则，即：，得：d2=2ad，又d≠0，故d=2a．因此：，，．故：（k，n∈N*）．（2）==．①若{b n}是等差数列，则{b n}的通项公式是b n=A n+B型．观察①式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即，而，故c=0．经检验，当c=0时{b n}是等差数列．20．（16分）（2013•江苏）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=e x﹣ax，其中a为实数．（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．【分析】（1）求导数，利用f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，转化为﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，利用g（x）在（1，+∞）上有最小值，结合导数知识，即可求得结论；（2）先确定a的范围，再分类讨论，确定f（x）的单调性，从而可得f（x）的零点个数．【解答】解：（1）求导数可得f′（x）=﹣a∵f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，∴﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，∴a≥，x∈（1，+∞）．∴a≥1．令g′（x）=e x﹣a=0，得x=lna．当x＜lna时，g′（x）＜0；当x＞lna时，g′（x）＞0．又g（x）在（1，+∞）上有最小值，所以lna＞1，即a＞e．故a的取值范围为：a＞e．（2）当a≤0时，g（x）必为单调函数；当a＞0时，令g′（x）=e x﹣a＞0，解得a＜e x，即x＞lna，因为g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，类似（1）有lna≤﹣1，即0＜．结合上述两种情况，有．①当a=0时，由f（1）=0以及f′（x）=＞0，得f（x）存在唯一的零点；②当a＜0时，由于f（e a）=a﹣ae a=a（1﹣e a）＜0，f（1）=﹣a＞0，且函数f （x）在[e a，1]上的图象不间断，所以f（x）在（e a，1）上存在零点．另外，当x＞0时，f′（x）=﹣a＞0，故f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，所以f（x）只有一个零点．③当0＜a≤时，令f′（x）=﹣a=0，解得x=．当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，所以，x=是f（x）的最大值点，且最大值为f（）=﹣lna﹣1．（i）当﹣lna﹣1=0，即a=时，f（x）有一个零点x=e；（ii）当﹣lna﹣1＞0，即0＜a＜时，f（x）有两个零点；实际上，对于0＜a＜，由于f（）=﹣1﹣＜0，f（）＞0，且函数f（x）在[]上的图象不间断，所以f（x）在（）上存在零点．另外，当0＜x＜时，f′（x）=﹣a＞0，故f（x）在（0，）上时单调增函数，所以f（x）在（0，）上只有一个零点．下面考虑f（x）在（，+∞）上的情况，先证明f（）=a（）＜0．为此，我们要证明：当x＞e时，e x＞x2．设h（x）=e x﹣x2，则h′（x）=e x﹣2x，再设l（x）=h′（x）=e x﹣2x，则l′（x）=e x﹣2．当x＞1时，l′（x）=e x﹣2＞e﹣2＞0，所以l（x）=h′（x）在（1，+∞）上时单调增函数；故当x＞2时，h′（x）=e x﹣2x＞h′（2）=e2﹣4＞0，从而h（x）在（2，+∞）上是单调增函数，进而当x＞e时，h（x）=e x﹣x2＞h（e）=e e﹣e2＞0，即当x＞e 时，e x＞x2当0＜a＜，即＞e时，f（）==a（）＜0，又f（）＞0，且函数f（x）在[，]上的图象不间断，所以f（x）在（，）上存在零点．又当x＞时，f′（x）=﹣a＜0，故f（x）在（，+∞）上是单调减函数，所以f（x）在（，+∞）上只有一个零点．综合（i）（ii）（iii），当a≤0或a=时，f（x）的零点个数为1，当0＜a＜时，f（x）的零点个数为2．<P style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt" class=MsoNormal><?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" /><v:shapetype id=_x0000_t75 stroked="f" filled="f" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" o:preferrelative="t"o:spt="75" coordsize="21600,21600"><v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path o:connecttype="rect" gradientshapeok="t" o:extrusionok="f"></v:path><?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" /><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:shapetype><v:shape style="Z-INDEX: 251660288; POSITION: absolute; TEXT-ALIGN: left; MARGIN-TOP: 31.05pt; WIDTH: 75.35pt; HEIGHT: 94.6pt; MARGIN-LEFT: 381.6pt; LEFT: 0px" id=_x0000_s1026 type="#_x0000_t75"><v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\adminb\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image0 01.png"></v:imagedata><?xml:namespace prefix = w ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:word" /><w:wrap type="square"></w:wrap></v:shape><SPAN><FONT face="Times New Roman">[</FONT>选做题<FONT face="Times New Roman">]</FONT>本题包括<FONT face="Times New Roman">A</FONT>、<FONT face="Times New Roman">B</FONT>、<FONT face="Times New Roman">C</FONT>、<FONT face="Times New Roman">D</FONT>四小题，<SPAN style="font-emphasize: dot">请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答</SPAN>．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．<SPAN style="mso-font-width: 95%; font-emphasize: dot" lang=EN-US><o:p></o:p></SPAN></SPAN></P>A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）（2013•江苏）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC．求证：AC=2AD．【分析】证明Rt△ADO∽Rt△ACB，可得，结合BC=2OC=2OD，即可证明结论．【解答】证明：连接OD．因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以ADO=∠ACB=90°又因为∠A=∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，所以，因为BC=2OC=2OD．所以AC=2AD．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10分）（2013•江苏）已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．【分析】设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论．【解答】解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=﹣1，b=0，c=0，d=，从而A﹣1=，∴A﹣1B==．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（t为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【分析】运用代入法，可将直线l和曲线C的参数方程化为普通方程，联立直线方程和抛物线方程，解方程可得它们的交点坐标．【解答】解：直线l的参数方程为（为参数），由x=t+1可得t=x﹣1，代入y=2t，可得直线l的普通方程：2x﹣y﹣2=0．曲线C的参数方程为（t为参数），化为y2=2x，联立，解得，，于是交点为（2，2），．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．（2013•江苏）已知a≥b＞0，求证：2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b．【分析】直接利用作差法，然后分析证明即可．【解答】证明：2a3﹣b3﹣2ab2+a2b=2a（a2﹣b2）+b（a2﹣b2）=（a﹣b）（a+b）（2a+b），∵a≥b＞0，∴a﹣b≥0，a+b＞0，2a+b＞0，从而：（a﹣b）（a+b）（2a+b）≥0，∴2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b．第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）（2013•江苏）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【分析】（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．26．（10分）（2013•江苏）设数列{a n}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…，，…，即当＜n≤（k ∈N*）时，．记S n=a1+a2+…+a n（n∈N∗）．对于l∈N∗，定义集合P l=﹛n|S n为a n的整数倍，n∈N∗，且1≤n≤l}（1）求P11中元素个数；（2）求集合P2000中元素个数．【分析】（1）由数列{a n}的定义，可得前11项，进而得到前11项和，再由定义集合P l，即可得到元素个数；（2）运用数学归纳法证明S i=﹣i（2i+1）（i∈N*）．再结合定义，运用等差（2i+1）数列的求和公式，即可得到所求．【解答】解：（1）由数列{a n}的定义得a1=1，a2=﹣2，a3=﹣2，a4=3，a5=3，a6=3，a7=﹣4，a8=﹣4，a9=﹣4，a10=﹣4，a11=5，所以S1=1，S2=﹣1，S3=﹣3，S4=0，S5=3，S6=6，S7=2，S8=﹣2，S9=﹣6，S10=﹣10，S11=﹣5，从而S1=a1，S4=0•a4，S5=a5，S6=2a6，S11=﹣a11，所以集合P11中元素的个数为5；（2）先证：S i（2i+1）=﹣i（2i+1）（i∈N*）．事实上，①当i=1时，S i（2i+1）=S3=﹣3，﹣i（2i+1）=﹣3，故原等式成立；②假设i=m时成立，即S m（2m+1）=﹣m（2m+1），则i=m+1时，S（m+1）（2m+3）=S m（2m+1）+（2m+1）2﹣（2m+2）2=﹣m（2m+1）﹣4m﹣3=﹣（2m2+5m+3）=﹣（m+1）（2m+3）．综合①②可得S i（2i+1）=﹣i（2i+1）．于是S（i+1）（2i+1）=S i（2i+1）+（2i+1）2=﹣i（2i+1）+（2i+1）2=（2i+1）（i+1）．由上可知S i（2i+1）是2i+1的倍数，而a i（2i+1）+j=2i+1（j=1，2，…，2i+1），所以S i（2i+1）+j=S i（2i+1）+j（2i+1）是a i（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+1）的倍数．又S（i+1）（2i+1）=（i+1）•（2i+1）不是2i+2的倍数，而a（i+1）（2i+1）+j=﹣（2i+2）（j=1，2，…，2i+2），所以S（i+1）（2i+1）+j=S（i+1）（2i+1）﹣j（2i+2）=（2i+1）（i+1）﹣j（2i+2）不是a（i+1）（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+2）的倍数，故当l=i（2i+1）时，集合P l中元素的个数为1+3+…+（2i﹣1）=i2，于是，当l=i（2i+1）+j（1≤j≤2i+1）时，集合P l中元素的个数为i2+j．又2000=31×（2×31+1）+47，故集合P2 000中元素的个数为312+47=1008．。

2013年江苏数学高考试卷参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑。

棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 为高。

棱柱的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 为高。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应．．．．．．位置上．．．。

1、函数3sin(2)4y x π=+的最小正周期为 ▲ 。

2、设2(2)z i =- (i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ 。

3、双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为 ▲ 。

4、集合{-1，0，1}共有 ▲ 个子集。

5、右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ 。

6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ 。

7、现有某类病毒记作为m n X Y ，其中正整数,(7,9)m n m n ≤≤可以任意选取，则,m n 都取到奇数的概率为 ▲ 。

8、如图，在三棱柱A 1B 1C 1 -ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、A A 1的中点，设三棱锥F-ADE 的体积为1V ，三棱柱A 1B 1C 1 -ABC 的体积为2V ，则1V ：2V = ▲ 。

9、抛物线2y x =在1x =处的切线与坐标轴围成三角形区域为D(包含三角运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙8990918892形内部与边界)。

若点P(x ，y)是区域D 内的任意一点，则2x y +的取值范围是 ▲ 。

10、设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且12,23AD AB BE BC ==。

若12DE AB AC λλ=+(1λ、2λ均为实数)，则1λ+2λ的值为 ▲ 。

江海中学2013届高三数学考前辅导(一）高考成绩=知识水平+心理状态+应试能力2013年高考即将开始，不少同学认为高考数学的成败已成定局。

其实不然，由于这次考试与期中、期末、模拟考试不同，社会的注目，家庭的热切关心，老师的期望，考试成绩又与同学们的切生利益相关，由于重要，可能导致部分同学精神上高度紧张，考前想的很多，会产生波动；但是，我们只要讲究高考数学应试的艺术，还是能把高考数学成绩提高一个档次。

一、考前注意什么？1、考前做“熟题”找感觉挑选部分由代表性的习题演练一遍，体会如何运用基础知识解决问题，提炼具有普遍性的解题方法，以不变应万变最重要。

掌握数学思想方法可从两方面入手：一是归纳重要的数学思想方法；二是归纳重要题型的解题方法。

还要注意典型方法的适用范围和使用条件，防止形式套用导致错误。

顺应时间安排：数学考试安排在下午，故而考生平时复习数学的时间也尽量安排在下午时段。

每天必须坚持做适量的习题，特别是重点和热点题型，保持思维灵活和流畅。

2、考前调整修养生息调整生物钟，中午、晚上睡好睡足，确保考时大脑和全身心的生理机制充足，把数学的兴奋移至下午，在考试时使思维自动进入工作状态。

休养生息，“静能生慧”，静中能悟，静中能记。

数学需用悟，不悟不可能提升，数学也有背的东西，不背你要吃亏。

3、清点考具，熟悉环境，提前活动清点考具在赴考场前，备有专用的考试用具包。

熟悉环境在试坐中，包括考场内外环境，座位四周考试，座位课桌情况。

提前活动指提前半小时到考点，以防路况有变。

考前要摒除杂念，排除干扰，创设数学情景，进而激活数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具，暗示重要知识和方法，提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪，增强信心，使思维单一化，数学化，以平稳自信，积极主动的心态准备应考。

二．数学应试技巧先易后难多拿分先做简单题，再做综合题，应根据自己的实际，果断跳过自己啃不动的题目，从易到难，也要认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。

（第5题） 2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案填写在答题卡相印位置上。

1．函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 ．2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ．3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ． 4．集合}1,0,1{-共有 个子集．5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ．6则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ．方差为：25)9092()9088()9091()9090()9089(222222=-+-+-+-+-=S ． 7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ， 都取到奇数的概率为 ．8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ．10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=， 若AC AB DE 21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ．ABC1A DEF1B1C11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。

当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 ．13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数xy 1=（0>x ）图象上一动点， 若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ． 14．在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的 最大正整数n 的值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，παβ<<<0．（1）若2||=-b a ，求证：b a ⊥；（2）设)1,0(=c ，若c b a =+，求βα,的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点．求证：（1）平面//EFG 平面ABC ； （2）SA BC ⊥．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ． 设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线， 求切线的方程；ABCS GFE（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐 标a 的取值范围． 18．（本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷)数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．． 1．(2013江苏，1)函数π3sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为__________． 2．(2013江苏，2)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为__________．3．(2013江苏，3)双曲线22=1169x y -的两条渐近线的方程为__________． 4．(2013江苏，4)集合{－1,0,1}共有__________个子集．5．(2013江苏，5)下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是__________．6．(2013江苏，6)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：7．(2013江苏，7)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为__________．8．(2013江苏，8)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝__________.9．(2013江苏，9)抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是__________．10．(2013江苏，10)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，1=2AD AB ，2=3BE BC .若12DE AB AC λλ=+(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________．11．(2013江苏，11)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为__________．12．(2013江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为2222=1x y a b+(a ＞0，b ＞0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若21d =，则椭圆C 的离心率为__________．13．(2013江苏，13)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数1y x=(x ＞0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为a 的所有值为__________．14．(2013江苏，14)在正项等比数列{a n }中，512a =，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(2013江苏，15)(本小题满分14分)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a－b|a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a－b＝c，求α，β的值．16．(2013江苏，16)(本小题满分14分)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.17．(2013江苏，17)(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.18．(2013江苏，18)(本小题满分16分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝1213，cos C＝35.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19．(2013江苏，19)(本小题满分16分)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项和．记2n n nS b n c=+，n ∈N *，其中c 为实数． (1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.20．(2013江苏，20)(本小题满分16分)设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x－ax ，其中a 为实数． (1)若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围； (2)若g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f (x )的零点个数，并证明你的结论．数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．(2013江苏，21)A ．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分) 如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .B ．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝ 1 00 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ＝1 20 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A －1B .C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,2x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)已知a ≥b ＞0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区．．．．．．域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(2013江苏，22)(本小题满分10分)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．23．(2013江苏，23)(本小题满分10分)设数列{a n }：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，11(1),,(1)k k k k k ----个，…，即当1122k k k k n (-)(+)<≤(k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k .记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)．对于l ∈N *，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈N *，且1≤n ≤l }．(1)求集合P 11中元素的个数； (2)求集合P 2 000中元素的个数．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷)数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．． 1．答案：π解析：函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==. 2．答案：5解析：|z |＝|(2－i)2|＝|4－4i ＋i 2|＝|3－4i|5=＝5.3．答案：34y x =±解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为34y x =±. 4．答案：8解析：由于集合{－1,0,1}有3个元素，故其子集个数为23＝8. 5．答案：3解析：第一次循环后：a ←8，n ←2； 第二次循环后：a ←26，n ←3； 由于26＞20，跳出循环， 输出n ＝3. 6．答案：2解析：由题中数据可得=90x 甲，=90x 乙. 于是2s 甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，2s 乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2， 由22>s s 乙甲，可知乙运动员成绩稳定．故应填2. 7．答案：2063解析：由题意知m 的可能取值为1,2,3，…，7；n 的可能取值为1,2,3，…，9.由于是任取m ，n ：若m ＝1时，n 可取1,2,3，…，9，共9种情况；同理m 取2,3，…，7时，n 也各有9种情况，故m ，n 的取值情况共有7×9＝63种．若m ，n 都取奇数，则m 的取值为1,3,5,7，n 的取值为1,3,5,7,9，因此满足条件的情形有4×5＝20种．故所求概率为2063. 8．答案：1∶24解析：由题意可知点F 到面ABC 的距离与点A 1到面ABC 的距离之比为1∶2，S △ADE ∶S △ABC ＝1∶4.因此V 1∶V 2＝132AEDABCAF S AF S ∆∆⋅⋅＝1∶24.9．答案：12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析：由题意可知抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线方程为y ＝2x －1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示：当直线x ＋2y ＝0平移到过点A 1,02⎛⎫⎪⎝⎭时，x ＋2y 取得最大值12.当直线x ＋2y ＝0平移到过点B (0，－1)时，x ＋2y 取得最小值－2. 因此所求的x ＋2y 的取值范围为12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．答案：12解析：由题意作图如图．∵在△ABC 中，1223DE DB BE AB BC =+=+12()23AB AC AB =+- 121263AB AC AB AC λλ=-+=+，∴λ1＝16-，λ2＝23.故λ1＋λ2＝12.11．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)解析：∵函数f (x )为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝224,0,0,0,4,0,x x x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪--<⎩∴原不等式等价于20,4,x x x x >⎧⎨->⎩或20,4,x x x x <⎧⎨-->⎩由此可解得x ＞5或－5＜x ＜0. 故应填(－5,0)∪(5，＋∞)． 12．答案：3解析：设椭圆C 的半焦距为c ，由题意可设直线BF 的方程为=1x yc b+，即bx ＋cy －bc ＝0.于是可知1bcd a ==，22222a a c b d c c c c -=-==.∵21d，∴2b c =，即2ab =. ∴a 2(a 2－c 2)＝6c 4.∴6e 4＋e 2－1＝0.∴e 2＝13.∴e =13．答案：－1解析：设P 点的坐标为1,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则 |PA |2＝22222111()=2=2x a a x a x a x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令12t x x =+≥，则|PA |2＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2(t ≥2)．结合题意可知(1)当a ≤2，t ＝2时，|PA |2取得最小值．此时(2－a )2＋a 2－2＝8，解得a ＝－1，a ＝3(舍去)． (2)当a ＞2，t ＝a 时，|PA |2取得最小值．此时a 2－2＝8，解得aa＝(舍去)．故满足条件的实数a1. 14．答案：12解析：设正项等比数列{a n }的公比为q ，则由⊂，a 6＋a 7＝a 5(q ＋q 2)＝3可得q ＝2，于是a n ＝2n －6，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝51(12)13221232n n --=--.∵512a =，q ＝2，∴a 6＝1，a 1a 11＝a 2a 10＝…＝26a ＝1.∴a 1a 2…a 11＝1.当n 取12时，a 1＋a 2＋…＋a 12＝27－132＞a 1a 2…a 11a 12＝a 12＝26成立；当n 取13时，a 1＋a 2＋…＋a 13＝28－132＜a 1a 2…a 11a 12a 13＝a 12a 13＝26·27＝213.当n ＞13时，随着n 增大a 1＋a 2＋…＋a n 将恒小于a 1a 2…a n .因此所求n 的最大值为12.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． (1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a|2＝|b|2＝1， 所以2－2a·b ＝2，即a·b ＝0. 故a ⊥b .(2)解：因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以cos cos 0,sin sin 1,αβαβ+=⎧⎨+=⎩由此得cos α＝cos(π－β)．由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以5π6α=，π6β=. 16．证明：(1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .因为EF 平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .同理EG ∥平面ABC .又EF ∩EG ＝E ， 所以平面EFG ∥平面ABC .(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC .因为BC ⊂平面SBC ，所以AF ⊥BC .又因为AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ，AB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB . 因为SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA .17．解：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，＝1，解得k＝0或34-，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为MA＝2MO，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即13≤≤.由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤125.所以点C的横坐标a的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18．解：(1)在△ABC中，因为cos A＝1213，cos C＝35，所以sin A＝513，sin C＝45.从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝531246313513565⨯⨯⨯=.由正弦定理sin sinAB ACC B=，得12604sin63sin565ACAB CB=⨯=⨯＝1 040(m)．所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t) m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×1213＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤1040130，即0≤t≤8，故当3537t=(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理sin sinBC ACA B=，得BC＝12605sin63sin1365ACAB⨯=⨯＝500(m)．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得5007103350v-≤-≤，解得12506254314v≤≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦(单位：m/min)范围内．19．证明：由题设，(1)2nn nS na d-=+.(1)由c＝0，得12nnS nb a dn-==+.又因为b1，b2，b4成等比数列，所以22b＝b1b4，即23=22da a a d⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得d2－2ad＝0.因为d≠0，所以d＝2a.因此，对于所有的m∈N*，有S m＝m2a.从而对于所有的k，n∈N*，有S nk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2S k.(2)设数列{b n}的公差是d1，则b n＝b1＋(n－1)d1，即2nnSn c+＝b1＋(n－1)d1，n∈N*，代入S n的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有3211111122d d n b d a d n cd n ⎛⎫⎛⎫-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝c (d 1－b 1)． 令A ＝112d d -，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D .(*) 在(*)式中分别取n ＝1,2,3,4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，从而有111730,1950,2150,A B cd A B cd A B cd ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③由②，③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0.即112d d -＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0. 若d 1＝0，则由112d d -＝0，得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0.又因为cd 1＝0，所以c ＝0. 20．解：(1)令f ′(x )＝11ax a x x--=＜0，考虑到f (x )的定义域为(0，＋∞)，故a ＞0，进而解得x ＞a －1，即f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数．同理，f (x )在(0，a －1)上是单调增函数．由于f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a －1，＋∞)，从而a －1≤1，即a ≥1.令g ′(x )＝e x－a ＝0，得x ＝ln a ．当x ＜ln a 时，g ′(x )＜0；当x ＞ln a 时，g ′(x )＞0.又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a ＞1，即a ＞e.综上，有a ∈(e ，＋∞)．(2)当a ≤0时，g (x )必为单调增函数；当a ＞0时，令g ′(x )＝e x －a ＞0，解得a ＜e x，即x ＞ln a .因为g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a ≤－1，即0＜a ≤e －1.结合上述两种情况，有a ≤e －1. ①当a ＝0时，由f (1)＝0以及f ′(x )＝1x＞0，得f (x )存在唯一的零点； ②当a ＜0时，由于f (e a)＝a －a e a＝a (1－e a)＜0，f (1)＝－a ＞0，且函数f (x )在[e a,1]上的图象不间断，所以f (x )在(e a,1)上存在零点．另外，当x ＞0时，f ′(x )＝1x －a ＞0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f (x )只有一个零点． ③当0＜a ≤e －1时，令f ′(x )＝1x－a ＝0，解得x ＝a －1.当0＜x ＜a －1时，f ′(x )＞0，当x ＞a －1时，f ′(x )＜0，所以，x ＝a －1是f (x )的最大值点，且最大值为f (a －1)＝－ln a －1.当－ln a －1＝0，即a ＝e －1时，f (x )有一个零点x ＝e.当－ln a －1＞0，即0＜a ＜e －1时，f (x )有两个零点．实际上，对于0＜a ＜e －1，由于f (e －1)＝－1－a e －1＜0，f (a －1)＞0，且函数f (x )在[e －1，a －1]上的图象不间断，所以f (x )在(e －1，a －1)上存在零点． 另外，当x ∈(0，a －1)时，f ′(x )＝1x－a ＞0，故f (x )在(0，a －1)上是单调增函数，所以f (x )在(0，a －1)上只有一个零点．下面考虑f (x )在(a －1，＋∞)上的情况．先证f (e a －1)＝a (a －2－e a －1)＜0.为此，我们要证明：当x ＞e 时，e x ＞x 2.设h (x )＝e x －x 2，则h ′(x )＝e x －2x ，再设l (x )＝h ′(x )＝e x－2x ，则l ′(x )＝e x－2. 当x ＞1时，l ′(x )＝e x －2＞e －2＞0，所以l (x )＝h ′(x )在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x ＞2时，h ′(x )＝e x －2x ＞h ′(2)＝e 2－4＞0，从而h (x )在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x ＞e 时， h (x )＝e x －x 2＞h (e)＝e e －e 2＞0.即当x ＞e 时，e x ＞x 2.当0＜a ＜e －1，即a －1＞e 时，f (e a －1)＝a －1－a e a －1＝a (a －2－e a －1)＜0，又f (a －1)＞0，且函数f (x )在[a －1，ea －1]上的图象不间断，所以f (x )在(a －1，ea －1)上存在零点．又当x ＞a －1时，f ′(x )＝1x－a ＜0，故f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数，所以f (x )在(a －1，＋∞)上只有一个零点．综合①，②，③，当a ≤0或a ＝e －1时，f (x )的零点个数为1，当 0＜a ＜e －1时，f (x )的零点个数为2.数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．证明：连结OD .因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB . 所以BC ACOD AD=. 又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD .B ．[选修4－2：矩阵与变换]解：设矩阵A 的逆矩阵为 a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则100 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1 00 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即 2 2a b c d --⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1 00 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，12d =，从而A 的逆矩阵为A －1＝ 1 010 2-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 所以A －1B ＝ 1 010 2-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦1 20 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝ 1 20 3--⎡⎤⎢⎥⎣⎦. C ．解：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组221,2,y x y x =(-)⎧⎨=⎩解得公共点的坐标为(2,2)，1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.D ．证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0，a ＋b ＞0,2a ＋b ＞0，从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区．．．．．．域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．解：(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)， 所以1A B ＝(2,0，－4)，1C D ＝(1，－1，－4)． 因为cos 〈1A B ，1C D 〉＝1111A B C D A B C D⋅=， 所以异面直线A 1B 与C 1D . (2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD ＝(1,1,0)，1AC ＝(0,2,4)，所以n 1·AD ＝0，n 1·1AC ＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ. 由|cosθ|＝12122||||3⋅==n n n n ，得sin θ＝因此，平面ADC 1与平面ABA 123．解：(1)由数列{a n }的定义得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－2，a 4＝3，a 5＝3，a 6＝3，a 7＝－4，a 8＝－4，a 9＝－4，a 10＝－4，a 11＝5，所以S 1＝1，S 2＝－1，S 3＝－3，S 4＝0，S 5＝3，S 6＝6，S 7＝2，S 8＝－2，S 9＝－6，S 10＝－10，S 11＝－5，从而S 1＝a 1，S 4＝0×a 4，S 5＝a 5，S 6＝2a 6，S 11＝－a 11，所以集合P 11中元素的个数为5.(2)先证：S i (2i ＋1)＝－i (2i ＋1)(i ∈N *)．事实上，①当i ＝1时，S i (2i ＋1)＝S 3＝－3，－i (2i ＋1)＝－3，故原等式成立；②假设i ＝m 时成立，即S m (2m ＋1)＝－m (2m ＋1)，则i ＝m ＋1时，S (m ＋1)(2m ＋3)＝S m (2m ＋1)＋(2m ＋1)2－(2m ＋2)2＝－m (2m ＋1)－4m －3＝－(2m 2＋5m ＋3)＝－(m ＋1)(2m ＋3)．综合①②可得S i (2i ＋1)＝－i (2i ＋1)．于是S (i ＋1)(2i ＋1)＝S i (2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝－i (2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝(2i ＋1)(i ＋1)．由上可知S i (2i ＋1)是2i ＋1的倍数，而a i (2i ＋1)＋j ＝2i ＋1(j ＝1,2，…，2i ＋1)，所以S i (2i ＋1)＋j ＝S i (2i ＋1)＋j (2i ＋1)是a i (2i ＋1)＋j (j ＝1,2，…，2i ＋1)的倍数．又S (i ＋1)(2i ＋1)＝(i ＋1)(2i ＋1)不是2i ＋2的倍数，而a (i ＋1)(2i ＋1)＋j ＝－(2i ＋2)(j ＝1,2，…，2i ＋2)，所以S (i ＋1)(2i ＋1)＋j ＝S (i ＋1)(2i ＋1)－j (2i ＋2)＝(2i ＋1)(i ＋1)－j (2i ＋2)不是a (i ＋1)(2i ＋1)＋j (j ＝1,2，…，2i ＋2)的倍数，故当l ＝i (2i ＋1)时，集合P l 中元素的个数为1＋3＋…＋(2i －1)＝i 2，于是，当l ＝i (2i ＋1)＋j (1≤j ≤2i ＋1)时，集合P l 中元素的个数为i 2＋j .又2 000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合P 2 000中元素的个数为312＋47＝1 008.。

（第5题） 2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案填写在答题卡相印位置上。

1．函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 ．2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ．3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ． 4．集合}1,0,1{-共有 个子集．5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ．6则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ．方差为：25)9092()9088()9091()9090()9089(222222=-+-+-+-+-=S ． 7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ， 都取到奇数的概率为 ．8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ．10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=， 若AC AB DE 21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ．ABC1A DEF1B1C11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。

当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 ．13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数xy 1=（0>x ）图象上一动点， 若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ． 14．在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的 最大正整数n 的值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，παβ<<<0．（1）若2||=-b a ，求证：b a ⊥；（2）设)1,0(=c ，若c b a =+，求βα,的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点．求证：（1）平面//EFG 平面ABC ； （2）SA BC ⊥．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ． 设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线， 求切线的方程；ABCS GFE（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐 标a 的取值范围． 18．（本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2014年江苏，1，5分】函数3sin(2)4y x π=-的最小正周期为_______．【答案】π【解析】函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==．（2）【2014年江苏，2，5分】设2(2i)z =-(i 为虚数单位)，则复数z 的模为_______． 【答案】5【解析】()222i 44i i 3i 54z =--+-====．（3）【2014年江苏，3，5分】双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为_______．【答案】34y x =±【解析】由题意可知所求双曲线的渐近线方程为34y x =±．（4）【2014年江苏，4，5分】集合{}1,0,1-共有 _______个子集． 【答案】8【解析】由于集合{}1,0,1-有3个元素，故其子集个数为328=．（5）【2014年江苏，5，5分】右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是_______． 【答案】3【解析】第一次循环后：82a n ←←，；第二次循环后：263a n ←←，；由于2620>，跳出循环，输出3n =．（6）【的那位运动员成绩的方差为 ．【答案】2【解析】由题中数据可得=90x 甲，=90x 乙．()()()()()22222287909190909089909015394s -+-+-⎡⎤=⎣+-+-⎦=甲，()()()()()22222289909090919088909015292s -+-+-⎡⎤=⎣+-+-⎦=乙，由22>s s 甲乙，可知乙运动员成绩稳定．故应填2．（7）【2014年江苏，7，5分】现有某类病毒记作m n X Y ，其中正整数,(7,9)m n m n ≤≤可以任意选取，则,m n 都取到奇数的概率为________．【答案】2063【解析】由题意知m 的可能取值为1，2，3，…，7；n 的可能取值为1，2，3，…，9．由于是任取m ，n ：若1m =时，n 可取1，2，3，…，9，共9种情况；同理m 取2，3，…，7时，n 也各有9种情况，故m ，n 的取值情况共有7963⨯=种．若m ，n 都取奇数，则m 的取值为1，3，5，7，n 的取值为1，3，5，7，9，因此满足条件的情形有4×5=20种．故所求概率为2063．（8）【2014年江苏，8，5分】如图，在三棱柱111A B C ABC -中，,,D E F 分别是1,,AB AC AA 的中点，设三棱锥F ADE -的体积为1V ，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V =_______． 【答案】1:24【解析】由题意可知点F 到面ABC 的距离与点1A 到面ABC 的距离之比为1:2，1:4ADE ABC S S =V V :．因此12131:242AED ABCAF S AF S V V ∆∆=⋅=⋅:． （9）【2014年江苏，9，5分】抛物线2y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界)．若点(,)P x y 是区域D 内的任意一点，则2x y +的取值范围是________．【答案】12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意可知抛物线2y x =在1x =处的切线方程为21y x =-．该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示：当直线20x y +=平移到过点1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭时，2x y +取得最大值12．当直线20x y +=平移到过点1(0)B -，时，2x y +取得最小值2-． 因此所求的2x y +的取值范围为12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（10）【2014年江苏，10，5分】设,D E 分别是ABC ∆的边,AB BC 上的点，12AD AB =，23BE BC =，若12DE AB AC λλ=+u u u r u u u r(12,λλ为实数)，则12λλ+的值为________． 【答案】12【解析】由题意作图如图．∵在ABC ∆中，1223DE DB BE AB BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 12()23AB AC AB =+-u u u r u u u r u u u r121263AB AC AB AC λλ=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴116λ=-，223λ=．故1212λλ+=．（11）【2014年江苏，11，5分】已知()f x 是定义在R 上的奇函数．当0x >时，2()4f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为________． 【答案】5,0)5()(∞U －,＋【解析】∵函数()f x 为奇函数，且0x >时，()24f x x x =-，则()22400040f x x x x x x x x =⎧->⎪=⎨⎪--<⎩∴原不等式等价于204x x x x >⎧⎨->⎩或204x x x x <⎧⎨-->⎩，由此可解得5x >或50x -<<． （12）【2014年江苏，12，5分】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为22221(0,0)x y a b a b+=>>，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ．若21d =，则椭圆的离心率为________．【解析】设椭圆C 的半焦距为c ，由题意可设直线BF 的方程为=1x yc b+，即0bx cy bc +-=．于是可知1bc d a ==，22222a a c b d c c c c -=-==．∵21d =，∴2b c =，即2ab =．∴()22246a a c c -=．∴42610e e +-=．∴213e =．∴e（13）【2014年江苏，13，5分】平面直角坐标系xOy 中，设定点(,)A a a ，P 是函数1(0)y x x=>图像上一动点，若点,P A 之间最短距离为a 的所有值为________．【答案】1-【解析】设P 点的坐标为1,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则222222111()=2=2x a a x a x a x x A x P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=．令12t x x =+≥，则()()2222222222PA t at a t a a t =-+-=-+-≥．结合题意可知(1)当2a ≤，2t =时，2PA 取得最小 值．此时()22228a a -+-=，解得1a =-，3a =(舍去)．(2)当2a >，t a =时，2PA 取得最小值．此时228a -=，解得a =a =(舍去)．故满足条件的实数a 1-．（14）【2014年江苏，14，5分】在正项等比数列{}n a 中，512a =，673a a +=．则满足123123......n n a a a a a a a a ++++>的最大正整数n 的值为_______． 【答案】12【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则由()26753a a a q q +=+=可得2q =，于是62n n a -=，则1251(12)13221232n n n a a a --=-+=-++⋯．∵512a =，2q =，∴61a =， 111210261a a a a a ==⋯==．∴12111a a a ⋯=．当n 取12时，7612121211121213222a a a a a a a a ++⋯+=->⋯==成立；当n 取13时，86713121312111213121322132·22a a a a a a a a a a ++⋯+=-⋯===<．当13n >时，随着n 增大12n a a a ++⋯+将恒小于12n a a a ⋯．因此所求n 的最大值为12．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2014年江苏，15，14分】已知()cos sin a αα=，r ，()cos sin b ββ=，r，0βαπ<<<．（1）若a b -=r r a b ⊥r r；（2）设()01c ,=r ，若a b c +=r r r ，求α，β的值．解：（1）解法一：由||a b -=r r 22||()2a b a b -=-=r r r r ，即2222a a b b -⋅+=r r r r ．又2222||||1a b a b ====r r r u u r ，所以222a b -⋅=，0a b ⋅=r r ，故a b ⊥r r ． 解法二：(cos cos ,sin sin )a b αβαβ-=--r r ，由||a b -=r r22||()2a b a b -=-=r r r r ， 即：22(cos cos )(sin sin )2αβαβ-+-=，化简，得：2(cos cos sin sin )0αβαβ+-=， cos cos sin sin 0a b αβαβ⋅=+-=r r ，所以a b ⊥r r ． （2）(cos cos ,sin sin )a b αβαβ+=++r r ，可得：cos cos 0(1)sin sin 1(2)αβαβ+=⎧⎨+=⎩L L L L解法一：AS AB =．过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是侧棱SA ，SC 的中点．求证：（1）平面EFG //平面ABC ； （2）BC SA ⊥． 解：（1）因为AS AB =，AF SB ⊥于F ，所以F 是SB 的中点．又E 是SA 的中点，所以//EF AB ．因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以//EF 平面ABC ．同理可证//EG 平面ABC ．又EF EG E =I ，所以平面//EFG 平面ABC ．（2）因为平面SAB ⊥平面SBC 于SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF SB ⊥，所以AF ⊥平面SBC ．因为BC ⊂平面SBC ，所以AF BC ⊥．又因为AB BC⊥，AF AB A =I ，AF AB ⊂、平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB ．又因为SA ⊂平面SAB ，所以BC SA ⊥．（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：．设圆的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 解：（1）由题设，圆心C 是直线24y x =-和1y x =-的交点，解得点2(3)C ,，于是切线的斜率必存在．设过3(0)A ,的圆C 的切线方程为3y kx =+1=，解得0k =或34-， 故所求切线方程为3y =或34120x y +-=．（2）因为圆心在直线24y x =-上，所以圆C 的方程为()()22221x a y a -+--⎤⎣⎦=⎡．设点()M x y ，， 因为2MA MO =22230x y y ++-=，即()2214x y ++=， 所以点M 在以1(0)D -，为圆心，2为半径的圆上．由题意，点()M x y ，在圆C 上，所以圆C 与圆D 有 公共点，则2121CD -≤≤+，即13≤．由251280a a -+≥，得R a ∈；由25120a a -≤，得0125a ≤≤．所以点C 的横坐标a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （18）【2014年江苏，18，16分】如图，游客从某旅游景区的景点处下山至C 处有两种路径． 一种是从沿A 直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到 C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，12cos 13A =，3cos 5C =．（1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？．解：（1）在ABC ∆中，因为3os 1c 12A =，cos 35C =，所以sin 513A =，sin 45C =．从而()()sin sin sin sin cos cos sin 531246313513565B AC A C A C A C π=-+=+=+⨯⨯⨯==⎡⎤⎣⎦． 由正弦定理sin sin AB ACC B=，得12604sin 104063sin 565AC AB C B =⨯=⨯=．所以索道AB 的长为1040 m ． （2）假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了()10050 m t +，乙距离A 处130m t ，所以由余弦定理得()()()()2222121005013021301005020037705013d t t t t t t =++-⨯⨯+⨯=-+， 因10430001t ≤≤，即08t ≤≤，故当3537t =(min)时，甲、乙两游客距离最短． （3）由正弦定理sin sin BC ACA B=，得12605sin 500m 63sin 1365AC BC A B =⨯=⨯=． 乙从B 出发时，甲已走了()50281550⨯++=(m)，还需走710 m 才能到达C ．设乙步行的速度为v m/min ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦(单位：m/min)范围内． （19）【2014年江苏，19，16分】设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列()0d ≠，n S 是其前n 项和．记2n n nSb n c=+，N n *∈，其中c 为实数．（1）若0c =，且1b ，2b ，4b 成等比数列，证明：()2N nk k S n S k,n *=∈；（2）若{}n b 是等差数列，证明：0c =． 解：由题设，(1)2n n n S na d -=+． （1）由0c =，得12n n S n b a d n -==+．又因为124b b b ，，成等比数列，所以1224b b b =，即23=22d a a a d ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得220d ad -=．因为0d ≠，所以2d a =．因此，对于所有的*N m ∈，有2m S m a =．从而对于所有的k ，*N n ∈，有()2222nk k S nk a n k a n S ===． （2）设数列{}n b 的公差是1d ，则()111n b b n d =+-，即()1121nb n nS n cd =+-+，*N n ∈，代入n S 的表达式，整理 得，对于所有的*N n ∈，有()111321111122d d n b d a d n cd n c d b ⎛⎫⎛⎫-+--++ ⎪ =⎪⎭⎭-⎝⎝．令112A d d =-，1112B d d b a =--+，()11D c d b =-，则对于所有的*N n ∈，有321An Bn cd n D ++=．(*)在(*)式中分别取1234n =,,,，得1111842279364164A B cd A B cd A B cd A B cd ++=++=++=++， 从而有11173019502150A B cd A B cd A B cd ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③，由②，③得0A =，15cd B =-，代入方程①，得0B =，从而10cd =．即1102d d -=，11102b d a d -+=-=0，10cd =．若d 1=0，则由1102d d -=，得0d =，与题设矛盾，所以10d ≠．又因为10cd =，所以0c =．（20）【2014年江苏，20，16分】设函数()ln f x x ax =-，()x g x e ax =-，其中a 为实数． （1）若()f x 在()1,+∞上是单调减函数，且()g x 在()1,+∞上有最小值，求a 的范围； （2）若()g x 在()1,-+∞上是单调增函数，试求()f x 的零点个数，并证明你的结论． 解：（1）令f ′(x )=()110axf x a x x-'=-=<，考虑到()f x 的定义域为(0)+∞，，故0a >，进而解得1x a ->，即()f x 在1()a -+∞，上是单调减函数．同理，()f x 在1(0)a -，上是单调增函数．由于()f x 在(1)+∞，上是单调减函数，故1()(1)a -∞∞⊆++，，，从而11a -≤，即1a ≥．令()0x g x e a '=-=，得ln x a =．当ln x a <时，()0g x '<；当ln x a >时，()0g x '>．又()g x 在(1)+∞，上有最小值，所以ln 1a >，即a e >．综上，有()a e ∈+∞，．（2）当0a ≤时，()g x 必为单调增函数；当0a >时，令()0x g x e a '=->，解得x a e <，即ln x a >．因为()g x 在()1-+∞，上是单调增函数，类似（1）有ln 1a ≤-，即10a e -<≤．结合上述两种情况，有1a e -≤． ①当0a =时，由()10f =以及()10f x x'=>，得()f x 存在唯一的零点； ②当0a <时，由于()()10a a a f e a ae a e =-=-<，()10f a =->，且函数()f x 在[1]a e ，上的图象不间断， 所以()f x 在(1)a e ，上存在零点．另外，当0x >时，()10f x a x'=->，故()f x 在(0)+∞，上是单调增 函数，所以f (x )只有一个零点．③当10a e -<≤时，令()10f x a x'=-=，解得1x a -=．当10x a -<<时，()0f x '>，当1x a ->时，()0f x '<，所以，1x a -=是()f x 的最大值点，且最大值为()1ln 1f a a -=--．当ln 10a --=，即1a e -=时，()f x 有一个零点x e =．当ln 10a -->，即10a e -<<时，()f x 有两个零点．实际上，对于10a e -<<，由于()1110f e ae --=--<，()10f a ->，且函数()f x 在11[]e a --，上的图象不间断，所以()f x 在11()e a --，上存在零点．另外，当1()0x a -∈，时， ()10a xf x =->'，故()f x 在1(0)a -，上是单调增函数，所以()f x 在1(0)a -，上只有一个零点．下面考虑()f x 在1()a -+∞，上的情况．先证()()1210a a f e a a e ---=-<．为此，我们要证明：当x e >时，2x e x >．设()2x h x e x =-，则()2x h x e x '=-，再设()()2x l x h x e x ='=-，则()2x l x e '=-．当1x >时，()220x l x e e '=->->，所以()()l x h x ='在(1)+∞，上是单调增函数．故当2x >时，()()22240x h x e x h e '=->'=->，从而()h x 在(2)+∞，上是单调增函数，进而当x e >时，()()220x e h x e x h e e e =->=->．即当x e >时，2x e x >．当10a e -<<，即1a e ->时，()()111210a a a f e a ae a a e -----=-=-<，又()10f a ->，且函数()f x 在11[]a a e --，上的图象不间断，所以()f x 在11()a a e --，上存在零点．又当1x a ->时，()0f x a '=-<，故()f x 在(a -1，+∞)上是单调减函数，所以f (x )在(a -1，+∞)上只有一个零点．综合①，②，③，当0a ≤或1a e -=时，()f x 的零点个数为1，当10a e -<<时，()f x 的零点个数为2．数学Ⅱ【选做】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答 的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （21-A ）【2014年江苏，21-A ，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D C AC 、，经过圆心O ，且2BC OC =．求证：2AC AD =．解：连结OD ．因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，所以90ADO ACB ∠=∠=︒．又因为A A ∠=∠，所以Rt Rt ADO ACB ∆∆∽．所以BC ACOD AD=． 又22BC OC OD ==，故2AC AD =． （21-B ）【2014年江苏，21-B ，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵1012,0206-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B ，求矩阵1-A B ． 解：设矩阵A 的逆矩阵为 a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则 1 00 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1 00 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即 2 2a b c d --⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1 00 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故100a b c =-==，，，12d =，从而A 的逆矩阵为1 1 010 2--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=A ，所以1 1 010 2--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣=⎦A B 1 20 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦= 1 20 3--⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （21-C ）【2014年江苏，21-C ，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为12x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩（θ为参数）．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l 的参数方程为12x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，由1x t =+得1t x =-，代入2y t =，得到直线l 的普通方程为220x y --=．同理得到曲线C 的普通方程为22y x =．联立2212y x y x =(-)⎧⎨=⎩,解得公共点的坐标为(2)2，，1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭． （21-D ）【2014年江苏，21-D ，10分】（选修4-4：不等式选讲）已知0a b ≥>，求证：332222a b ab a b -≥-． 解：()()()()()()()()332222222222222a b ab a b a a b b a b a b a b a b a b a b ---=-+-=-+=-++．因为0a b ≥>，所以0a b -≥，0a b +>，20a b +>，从而()()()20a b a b a b -++≥，即332222a b ab a b -≥-． 【必做】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．． （22）【2014年江苏，22，10分】如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点．（1）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；（2）求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值． 解：（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()000A ，，，()200B ，，，()020C ，，()110D ，，，14(0)0A ，，，14(0)2C ，，，所以1(20)4A B =-u u u r ，，，1(11)4C D =--u u u u r，，．因为111111cos ,A B C D A B C D A B C D⋅===u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r ，所以异面直线1A B 与1C D． （2）设平面1ADC 的法向量为1()n x y z =r ，，，因为(1)10AD =u u u r ，，，10()24AC =u u u u r ，，，所以10n AD ⋅=u u r u u u r，110n AC ⋅=u u r u u u u r ，即0x y +=且20y z +=，取1z =，得2x =，2y =-，所以，12()21n =-u u r，，是平面1ADC 的一个法向量．取平面1AA B 的一个法向量为2(010)n =u u r，，，设平面1ADC 与平面 1ABA 所成二面角的大小为θ．由12122||||s 3co θ⋅===n n n n，得sin θ=．因此，平面1ADC 与平面1ABA．（1）求11中元素个数； （2）求集合2000P 中元素个数．解：（1）由数列{}n a 的定义得123456789101223334444a a a a a a a a a a ==-=-====-=-=-=-，，，，，，，，，，，115a =，1234567891011113036226105S S S S S S S S S S S ∴==-=-=====-=-=-=-，，，，，，，，，，，从而11445566111102S a S a S a S a S a ==⨯===-，，，，，所以集合11P 中元素的个数为5． （2）先证：()()*2121()i i S i i i +=-+∈N ．①当1i =时，()3213i i S S +==-，()213i i -+=-，故原等式成立； ②假设i m =时成立，即()()2121m m S m m +=-+，则1i m =+时，()()()()()()()()22222(113)21222143253123m m m m S S m m m m m m m m m +++=++-+=-+--=-++=-++．综合①②可得()()2121i i S i i +=-+．于是()()()()()()()2(221121)212121211i i i i S S i i i i i i +++=++=-+++=++． 由上可知()21i i S +是21i +的倍数，而()21(211221)i i j a i j i ++=+=⋯+，，，，所以()()(212)121i i i i j S S j i +++=++是 ()211)2(21i i j a j i ++=⋯+，，，的倍数．又()()()()121121i i S i i ++=++不是22i +的倍数，而()()()12122i i j a i +++=-+()1222j i =⋯+，，，，所以()()()()()()()()1211212221122i i j i i S S j i i i j i +++++=-+=++-+不是()()121i i j a +++ 122()2j i =⋯+，，，的倍数，故当()21l i i =+时，集合l P 中元素的个数为()21321i i ++⋯+-=，于是，当()()21121l i i j j i =++≤≤+时，集合l P 中元素的个数为2i j +． 又()200031231147=⨯⨯++，故集合2000P 中元素的个数为231471008+=．。

2013年江苏省高考数学试卷
菁优网
2013年江苏省高考数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上．
1．（5分）（2013•江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为_________．
2．（5分）（2013•江苏）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为_________．
3．（5分）（2013•江苏）双曲线的两条渐近线方程为_________．
4．（5分）（2013•江苏）集合{﹣1，0，1}共有_________个子集．
5．（5分）（2013•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是_________．
6．（5分）（2013•江苏）抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：
运动员第一次第二次第三次第四次第五次
甲87 91 90 89 93
乙89 90 91 88 92
则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为_________．
7．（5分）（2013•江苏）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为_________．
8．（5分）（2013•江苏）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F ﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=_________．
©2010-2014 菁优网。