湖南师范大学2009数学分析考研真题

2009考研数学一真题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. 【答案】 A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C 。

另外201cos lim3x a axbx →--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除D 。

所以本题选A 。

（2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤=（ ）()A 1I .()B 2I . ()C 3I .(D 【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。

24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==;13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是关于x 的偶函数，所以{}1(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≥≤≤=>⎰⎰； x{}3(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≤-≤≤=<⎰⎰.所以正确答案为A.（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数(F()A .()B .()C .()D .【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。

2009年研究生入学统一考试数学二试题与解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数为（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-.()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=（3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为1 ()f x -2 0 2 3x-1O则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（ ）()A .()B .()C .()D .（7）设A ，B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A ，B 的伴随矩阵.若23A B ==，，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ）()A .**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭()B .**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭ ()C .**32O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭()D .**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭（8）设A P ，均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223P Q ααααααα==+（，，），（，，），则TQ AQ 为（ ） ()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B .110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()f x 0 2 3x1 -2-11()f x 02 3x1 -1 1()f x 02 3x1 -2-11()f x 0 2 3x1 -2 -11()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 . （10）已知+1k xe dx ∞=-∞⎰,则k = .（11）1n lime sin x nxdx -→∞=⎰.（12）设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则22x yx=∂=∂ .（13）函数2x y x =在区间(]01，上的最小值为 .(14)设αβ，为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵T αβ相似于200000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则T =βα .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+.（16）（本题满分10 分） 计算不定积分1ln(1)xdx x++⎰(0)x >. （17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy =+-，其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与2z x y∂∂∂.（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=，当曲线()y y x = 过原点时，其与直线1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积. （19）（本题满分10分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.（20）（本题满分12分）设()y y x =是区间-ππ（，）内过点-22ππ（，）的光滑曲线，当-0x π<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=.求()y x 的表达式. （21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.（22）（本题满分11分设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. （Ⅰ）求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数为（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.【答案】C 【解析】()3s i n x x f x xπ-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. 【答案】A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C . 另外201cos lim3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排D .所以本题选A.（3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.【答案】 D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂ 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂又在（0，0）处，0,0z zx y∂∂==∂∂ 210AC B -=>故（0，0）为函数(,)z f x y =的一个极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰【答案】C 【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤，{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤- 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰，故答案为C.（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.【答案】 B【解析】由题意可知，()f x 是一个凸函数，即''()0f x <，且在点(1,1)处的曲率322|''|12(1('))y y ρ==+，而'(1)1f =-，由此可得，''(1)2f =-在[1,2] 上，'()'(1)10f x f ≤=-<，即()f x 单调减少，没有极值点. 对于(2)(1)'()1(1,2)f f f ζζ-=<- , ∈ ， （拉格朗日中值定理）(2)0f ∴ <而 (1)10f =>由零点定理知，在[1,2] 上，()f x 有零点. 故应选（B ）. （6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（ ）1 ()f x -2 0 2 3x-1O()A .()B .()C .()D .【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减. ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增. ③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数.④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为D .（7）设A ，B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A ，B 的伴随矩阵.若23A B ==，，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ）()A .**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭()B .**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭ ()C .**32O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭()D .**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭()f x 0 2 3x1 -2-11()f x 02 3x1 -1 1()f x 02 3x1 -2-11()f x 0 2 3x1 -2 -11【答案】 B【解析】根据CC C E *=若111,C C C CC C*--*==分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式22012360A AB B⨯=-=⨯=（）即分块矩阵可逆 111100066000100B BA A AB B BBAA A**---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭10023613002BB AA ****⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭（8）设A P ，均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223P Q ααααααα==+（，，），（，，），则TQ AQ 为（ ） ()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B .110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭【答案】 A【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即：12121212122112(1)[(1)][(1)](1)[](1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002T T TT T Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 . 【答案】2y x =【解析】221222ln(2)22t dy t t t t dt t ==--⋅=--2(1)1(1)1t t dxe dt --==⋅-=- 所以 2dy dx= 所以 切线方程为2y x =.（10）已知+1k xe dx ∞=-∞⎰,则k = .【答案】2-【解析】1122lim bk xkxkxb e dx e dx e k +∞+∞-∞→+∞===⎰⎰因为极限存在所以0k <210k=-2k =-（11）1n lime sin x nxdx -→∞=⎰.【答案】0【解析】令sin sin cos x x xn I e nxdx e nx n e nxdx ---==-+⎰⎰2sin cos x xn e nx nenx n I --=---所以2cos sin 1xn n nx nx I e C n -+=-++即11020cos sin lim sin lim()1xx n n n nx nx e nxdx e n --→∞→∞+=-+⎰ 122cos sin lim()110n n n n ne n n -→∞+=-+++= （12）设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则22x yx=∂=∂ .【答案】3-【解析】对方程xy 1y e x +=+两边关于x 求导有''1y y xy y e ++=，得'1yyy x e -=+ 对''1y y xy y e ++=再次求导可得''''''22()0y y y xy y e y e +++=，得''2''2()yyy y e y x e +=-+ (*)当0x =时，0y =，'(0)0101y e -==，代入(*)得 ''20''032(0)((0))(0)(21)3(0)y y e y e +=-=-+=-+（13）函数2x y x =在区间(]01，上的最小值为 . 【答案】2ee-【解析】因为()22ln 2xy xx '=+，令0y '=得驻点为1x e =.又()22222ln 2xxy x x x x ''=++⋅，得21120e y e e -+⎛⎫''=> ⎪⎝⎭，故1x e=为2xy x =的极小值点，此时2e y e -=，又当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0y x '<；1,1x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0y x '>，故y 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增.而()11y =，()()002022ln limlim11lim 222ln 00lim lim 1x x x xx x xx xxx x x y x e eee++→→+→++--+→→======，所以2xy x =在区间(]01，上的最小值为21ey e e -⎛⎫= ⎪⎝⎭.(14)设αβ，为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵T αβ相似于200000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则T =βα .【答案】2【解析】因为T αβ相似于200000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T αβ得特征值是2,0,0而T βα是一个常数，是矩阵T αβ的对角元素之和，则T 2002βα=++=三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+.【解析】()[][]244001ln(1tan )1cos ln(1tan )2lim limsin sin x x x x x x x x x x→→-+--+= 22201ln(1tan )lim 2sin sin x x x x x x→-+=201ln(1tan )1lim 2sin 4x x x x →-+== （16）（本题满分10 分） 计算不定积分1ln(1)xdx x++⎰(0)x >. 【解析】 令1x t x+=得22212,1(1)tdtx dx t t -= =-- 22211ln(1)ln(1)1ln(1)11111x dx t d x t t dt t t t ++=+-+=---+⎰⎰⎰而22111112()11411(1)111ln(1)ln(1)2441dt dtt t t t t t t C t =---+-++--++++⎰⎰所以221ln(1)111ln(1)ln 1412(1)111ln(1)ln(1)2211111ln(1)ln(1)222x t t dx C x t t t x xx x x C x x x x x x x x x x C x ++++=+-+--++=++++-++++=+++++-++⎰ （17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy =+-，其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与2zx y∂∂∂.【解析】123123zf f yf x zf f xf y∂'''=++∂∂'''=-+∂1231232111213212223331323331122331323()()1(1)1(1)[1(1)]()()z z dz dx dy x yf f yf dx f f xf dyzf f f x f f f x f y f f f x x yf f f xyf x y f x y f ∂∂∴=+∂∂''''''=+++-+∂'''''''''''''''''''=⋅+⋅-+⋅+⋅+⋅-+⋅++⋅+⋅-+⋅∂∂'''''''''''=+-++++-（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=，当曲线()y y x = 过原点时，其与直线1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积. 【解析】解微分方程20xy y '''-+=得其通解212122,y C x C x C C =++其中，为任意常数又因为()y y x =通过原点时与直线1x =及0y =围成平面区域的面积为2，于是可得10C =1112232220002()(2)()133C C y x dx x C x dx x x ==+=+=+⎰⎰从而23C =于是，所求非负函数223(0)y x x x =+ ≥又由223y x x =+ 可得，在第一象限曲线()y f x =表示为1131)3x y =+-（于是D 围绕y 轴旋转所得旋转体的体积为15V V π=-，其中552210051(131)9(23213)93918V x dy y dyy y dy ππππ==⋅+-=+-+=⎰⎰⎰395117518186V ππππ=-==. （19）（本题满分10分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.【解析】由22(1)(1)2x y -+-≤得2(sin cos )r θθ≤+，32(sin cos )4()(cos sin )04Dx y dxdy d r r rdr πθθθθθπ+∴-=-⎰⎰⎰⎰332(sin cos )14(cos sin )034r d πθθθθθπ⎡+⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎰ 2384(cos sin )(sin cos )(sin cos )34d πθθθθθθθπ=-⋅+⋅+⎰ 3384(cos sin )(sin cos )34d πθθθθθπ=-⋅+⎰3344438814(sin cos )(sin cos )(sin cos )3344d πππθθθθθθπ=++=⨯+⎰83=-.（20）（本题满分12分）设()y y x =是区间-ππ（，）内过点-22ππ（，）的光滑曲线，当-0x π<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=.求()y x 的表达式.【解析】由题意，当0x π-<<时，'xy y =-，即ydy xdx =-，得22y x c =-+， 又()22y ππ-=代入22y x c =-+得2c π=，从而有222x y π+=当0x π≤<时，''0y y x ++=得 ''0y y += 的通解为*12cos sin y c x c x =+ 令解为1y Ax b =+，则有00Ax b x +++=，得1,0A b =-=， 故1y x =-，得''0y y x ++=的通解为12cos sin y c x c x x =+- 由于()y y x =是(,)ππ-内的光滑曲线，故y 在0x =处连续于是由1(0),(0)y y c π-=± += ，故1c π=±时，()y y x =在0x =处连续 又当 0x π-<<时，有22'0x y y +⋅=，得'(0)0xy y-=-=， 当0x π≤<时，有12'sin cos 1y c x c x =-+-，得2'(0)1y c +=- 由'(0)'(0)y y -+=得210c -=，即 21c =故 ()y y x =的表达式为22,0cos sin ,0x x y x x x x ππππ⎧⎪-- -<<=⎨-+-≤<⎪⎩或22,0cos sin ,0x x y x x x x ππππ⎧⎪- -<<=⎨+-≤<⎪⎩，又过点,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以22,0cos sin ,0x x y x x x x ππππ⎧⎪- -<<=⎨+-≤<⎪⎩.（21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----，易验证()x ϕ满足：()()a b ϕϕ=；()x ϕ在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--.根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'()0ϕξ=，即'()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足；在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x ξδ∈⊂，使得()0'()(0)x f x f fx ξ-=-……()* 又由于()'lim x f x A +→=，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====- 故'(0)f +存在，且'(0)f A +=.（22）（本题满分11分设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（Ⅰ）求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关. 【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-= 求特解，令120x x ==，得31x =故21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1k 为任意常数解方程231A ξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭故有两个自由变量，令21x =-，由20A x =得131,0x x ==求特解21200η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭故 321121000k ξ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ ，其中2k 为任意常数.（Ⅱ）证明：由于12121212122111121112(21)()2()(21)222210k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠ 故123,,ξξξ 线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+- （Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值. 【解析】（Ⅰ） 0101111a A aa ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭0110||01()1111111aaaE A aa a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--123,2,1a a a λλλ∴==-=+（Ⅱ） 若规范形为2212y y +，说明有两个特征值为正，一个为0.则 1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意 综上所述，故2a =.。

2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx -=的可去间断点的个数，则（ ） ()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.【答案】C【解析】()3sin x x f x x π-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--==故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax=-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-.()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=.【答案】 A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则 222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b ax a →==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C 。

另外201cos lim3x a axbx →--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除D 。

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当时,与等价无穷小,则(A) (B)(C)(D) 【考点分析】：等价无穷小，洛必达法则，泰勒公式 【求解过程】：⏹ 方法一：利用洛必达法则和等价无穷小0x →时，ln(1)~bx bx --2320000()sin sin 1cos limlim lim lim 1()ln(1)3x x x x f x x ax x ax a axJ g x x bx bx bx→→→→---=====--- 1a ⇒=否则，J =∞⇒2220011cos 12lim lim 1336x x x x J bx bx b→→-====---16b ⇒=-。

选A ⏹ 方法二：利用泰勒公式或者三角函数的幂级数展开式 由三角函数的幂级数展开式：357111sin 3!5!7x x x x x =-+-+ 所以，3331sin ()(0)6ax ax a x o x x =-+→ 由泰勒公式：3331sin ()(0)6ax ax a x o x x =-+→332301(1)()sin 6lim 1ln(1)x a x x o x x ax J x bx bx →-++-⇒===-- 1a ⇒=，否则J =∞⇒116J b ==-16b ⇒=-。

选A(2)如图，正方形{(,)|1,1}x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域(1,2,3,4)k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤=(A)(B)(C)(D)0x →()sin f x x ax =-()()2ln 1g x x bx =-11,6a b ==-11,6a b ==11,6a b =-=-11,6a b =-=1I 2I 3I 4I【考点分析】：利用对称性化简二重积分，二重积分的估值 【求解过程】：1234111222331444(,)cos ,cos ,(,)0,0cos ,(,)0,cos ,(,)0,0cos ,(,)0,A D D D D f x y y x I y xdxdy D f x y I I y xdxdy D x f x y y I I y xdxdy D f x y I I y xdxdy D x f x y y I ==≥≥===≤≤==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰记在上则，关于轴对称，且关于为奇函数，则在上则，关于轴对称，且关于为奇函数，则所以选择。

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

（1）当0x 时，()sin fxxax 与2()ln(1)gxxbx 等价无穷小，则（）（A ）11,6ab （B ）11,6ab （C ）11,6ab （D ）11,6ab 【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法则。

参见水木艾迪考研数学春季基础班教材《考研数学通用辅导讲义》（秦华大学出版社）例 4.67，强化班教材《大学数学强化 299》16、17 等例题。

【答案】A22220000sinsin1cossin limlimlimlim ln(1)()36xxxx xaxxaxaxaax xbxxbxbxbx230sin lim166.x aaxa b b axa 36ab 意味选项B ，C 错误。

再由201cos lim 3x aax bx存在，故有1cos0(0)aaxx ，故a=1，D 错误，所以选A 。

（2）如图，正方形{(,)|||1,||1}xyxy 被其对角线划分为四个区域，(1,2,3,4),cos KKKD DkIyxdxdy，则14max{}KK I =（）【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。

对称性与轮换对称性在几分钟的应用是水木艾迪考研数学重点打造的技巧之一。

参见水木艾迪考研数学春季班教材《考研数学通用辅导讲义----微积分》例 12.3、12.14、12.16、12.17，强化班教材《大学数学同步强化 299》117 题，以及《考研数学三十六技》例 18-4。

24,DD 关于x 轴对称，而cos yx 即被积函数是关于y 的奇函数，所以2413;,IIDD 两区域关于y 轴对称，cos()cos yxyx即被积函数是关于x 的偶函数，由积分的保号性，13{(,)|,01}{(,)|,01}2cos0,2cos0xyyxxxyyxx IyxdxdyIyxdxdy，所以正确答案为A 。

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0x ®时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则()A 11,6a b ==-.()B 11,6a b ==.()C 11,6a b =-=-.()D 11,6a b =-=.【答案】 A【解析】2()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sinlim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx ®®®®®---==-×---洛洛230sin lim 166x aax a b b ax a®==-=-× 36a b \=- 故排除,B C 。

另外201cos lim 3x a axbx ®--存在，蕴含了1cos 0a ax -®()0x ®故 1.a =排D 。

所以本题选A 。

（2）如图，正方形(){},1,1x y x y ££被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =òò，则{}14max k k I ££=()A 1I .()B 2I . ()C 3I .()D 4I .【答案】A【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。

24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==;13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是-1 -1 1 1 xy 1D 2D3D4D关于x 的偶函数，所以{}1(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ³££=>òò；{}3(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy £-££=<òò.所以正确答案为A. （3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0x F x f t dt =ò的图形为()A ()B()C ()D【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x Î时，()0F x £，且单调递减。

2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题、选择题： 1〜8小题，每小题 4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要 求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上3X — X(1)函数f X的可去间断点的个数为()sin nxA 1.B 2.C 3.D 无穷多个.(2)当 xr 0时，f x 二 x-sinax 与 g x = x 21n 1-bx 是等价无穷小，则()-. B a=1,b 二丄. C a = —1,b = —】.D a = —1,b=〕 6 6 6 6C 是f x,y 的极大值点.D 是f x,y 的极小值点.2224 今(4)设函数 f x, y 连续，贝V * dx % f x,y dy 亠 i dy * f x, y dx 二()24—24亠A , dx 1f x,y dy . B M dx x f x, y dy .24-y22C J dy 1f x,ydx.D . 1 dy y f x,y dx(5)若「x 不变号，且曲线y = f x 在点1,1上的曲率圆为x 2y^2，则f x 在区间1,2内()A 有极值点，无零点.B 无极值点，有零点C 有极值点，有零点.D 无极值点，无零点(6)设函数y 二f x 在区间〔-1,3 1上的图形为(3)设函数z = f x, y 的全微分为 dz = xdx ydy ，则点 0,0 ( A 不是f x, y 的连续点. B 不是f x,y 的极值点.则函数)x(7)设A , B均为2阶矩阵, B*分别为A , 的伴随矩阵为( )O* <2 A*3BO *QAO* <2B*3AO 3BXB的伴随矩阵若A =2, B = 3，则分块矩阵*2BO*2AOO<BAo」h 0 O '(8)设A, P 均为3阶矩阵，p T 为p 的转置矩阵，且 P T AP= 0 1 0，若 <0 0 2>P =(耳，a 2, a 3), Q =(□ 1+^2,^2, a 3),则 Q T AQ 为( ‘210、■q 1 0A(A ). 1 1 0 (B ). 1 2 0 0 2」 <0 0 2」'2 0 0 ^广 1 0 0、 (C ) 0 1 0 (D ). 0 2 0 1° 0 2」1° 0 2>9-14小题，每小题 、填空题: 4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上 x= 1_t e -u2du (9)曲线 • 0 在(0, 0)处的切线方程为 __________________ 2 2y =t ln(2 -t ) (10) 已知+=1,则 k = _________________ . —oO (11) lim e^ sin nxdx = _______________ .n ^C ^0 (12)设y 二y(x)是由方程xy e^x 1确定的隐函数，则 —y 二 ________________ x =0(13)函数y =x 2x 在区间01 1上的最小值为 ____________ . ‘2 0 (14)设％ B 为3维列向量，P T 为B 的转置，若矩阵T 相似于0 0.0 0三、解答题：15 -23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上 演算步骤. 亠心、卄八 八 亠丄"口 (1—cosx )〔x T n(1+ta nx)】(15)(本题满分9分)求极限lim 4.X T sin x.解答应写出文字说明、证明过程或(16)(本题满分10分) 计算不定积分ln(1 (x 0).(17)(本题满分10分) 设Z — 其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与二(18)(本题满分10 分)设非负函数y = y x ][X _ 0满足微分方程xy ^-^y 2=0 ,当曲线y = y x 过原点时，其与直线 x =1及y =0围成平面区域D 的面积为2,求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积.- 2 2(19) (本题满分 10 分)计算二重积分 JJ(x —y)dxdy ，其中 D ={(x, y |(x —1) +(y —1)兰 2,D(20) (本题满分12分)原点，当0岂x ：：：-：时，函数y(x)满足目 目x = 0求y(x)的表达式. (21)(本题满分11分)(I)证明拉格朗日中值定理：若函数 f x 在La, b 1上连续，在 a,b 可导，则存在 匚三\ a,b ，使得f b -f a 二f b-a ；，Z1 -1 -1 '(22)(本题满分11分设A =-11 1,_1 _1<0 -4 -2 丿1一2」(【)求满足A 2二1, A 23二1的所有向量2, 3 ；(n)对(I)中的任一向量 2, 3，证明：\, 2, 3线性无关(23)(本题满分 11 分)设二次型 f x 1, x 2, x 3 =axf ax |a-1 x ； 2^x^ 2x ?x 3(I)求二次型f 的矩阵的所有特征值；2 2(n)若二次型f 的规范形为y 1 y 2，求a 的值.设y = y(x)是区间(-二,"：)内过点(-Tt JI2，2)的光滑曲线, 当-二：::x 0时，曲线上任一点处的法线都过(n)证明：若函数f x 在x 二0处连续，在0,「〔心＞ 0内可导，且lim 「x = A ，则f. 0存在,2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.3X — x(1)函数f X 的可去间断点的个数为( )sin nxA 1.B 2.C 3. D无穷多个.【答案】C【解析】3X —Xf x :s i nx则当x取任何整数时，f x均无意义故f (x )的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是x -x3=0的解々2,3 = 0,±1..x —x .. 1 —3x 1lim limx ]0sin 二x x r°二cos二x 二..x —x3广 1 —3x2 2lim limx 1sin 二x x_4 二cos二x ■:..x -x3 1 -3x2 2lim limx-；1sin 二x x_；1二cos二x 二故可去间断点为3个，即0, _1(2)当X—；0时，f x 二x-sinax与g x = x21n 1-bx 是等价无穷小，则( )【答案】A【解析】f(x)二x-sinax,g(x) =x2ln(1-bx)为等价无穷小，则lim 3 x 10g(x)x -sin ax= lim —x 0x2ln(1 -bx)字皿洛讪匕竺^洛limx2(-bx) x io -3bx2x e2 . a sinax-6bxA a=1,b—l6, 1B a",b「.1 1C a 一-1,b.Da- -1,b.6 6另外xm 号空存在，蕴含了 50SaXT°(XTO )故"1.排除D .所以本题选A.A 不是f x,y 的连续点•B 不是f x,y 的极值点•C 是f x, y 的极大值点.D 是f x, y 的极小值点.【答案】 D【解析】因dz = xdx ydy 可得 三二x,—Z = y&dy2 2 2A :： Z …；：z ；：Z c c A 2 = 1, B0, CJ"L.、 L 、 "L.、 L 、x :xy：y ：xAC -B 2 =1 0故(0，0)为函数z 二f (x,y)的一个极小值点.2224 今(4)设函数 f x, y 连续，贝V * dx % f x,y dy 亠 i dy * f x, y dx 二()2 4亠B M dx x f x, y dy .2 2D . 1 dy y f x,ydx【解析】1 dx f(x, y)dy 亠i dy f (x, y)dx 的积分区域为两部分：D =「(x,y) 1 Ex 空2,x 空 y 空2l ，D 2 =「(x, y) 1 空 y 乞 2, y 乞 x 空 4 一 yl将其写成一块 D 」(x, y) 1 y 乞2,1乞x 乞4 一 “24刁故二重积分可以表示为1 dy 十f (x, y)dx ，故答案为C.6ba 2sin ax=1 ax6b.a 3二-6b 故排除 B,C .(3)设函数z = f x, y 的全微分为dz =xdx ydy ，则点 0,0(又在(0，0)处,=024 —A d dx 1 f x,y dy .2 4今C J dy 1f x,y dx.【答案】C2 2(5)若f x 不变号，且曲线y =f x 在点1,1上的曲率圆为【答案】 B而 f'(1) =「1，由此可得，f () = —2在［1,2］上，f'(x)乞f'(1) =「1 ：：：0,即f (x)单调减少，没有极值点 对于f (2) - f(1) =f '「)：：： -1 . - - (1,2)，(拉格朗日中值定理)f(2) <0而 f(1)=1 0由零点定理知，在［1,2］上，f (x)有零点. 故应选(B )A 有极值点，无零点B 无极值点，有零点C 有极值点，有零点D 无极值点，无零点2 2x y =2，则f x 在区间1,2内(【解析】由题意可知,f(x)是一个凸函数，即f ''(x) ： 0 ,且在点(1,1)处的曲率二|yj 1则函数F x = f t dt 的图形为( )x【答案】形的代数面积为所求函数 F(x)，从而可得出几个方面的特征:1-1,01时，F(x)乞0为线性函数，单调递增【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 y = f(x)的图形可见，其图像与 x 轴及y 轴、x =x 0所围的图1-0,11时, F(x) <0，且单调递减. 1,2 时, F(x)单调递增. 12,3 时, F(x)为常函数.x的伴随矩阵为( )* 、 O 3B* \O 2B*(B ). *<2A O 丿<3A O 丿F(x)为连续函数 ⑤由于 结合这些特点，可见正确选项为 D .(7)设A ，B 均为2阶矩阵,A ，B 分别为A ，B 的伴随矩阵若A =2, B =3，则分块矩阵IB O 丿x【答案】BJAZ2 0 0 'G 0 0'(C > 0 1 0(D ). 0 2 0<0 0 2」<0 0 2」【答案】 A'O 3A* ''0 2A* ') *(D ). *<2B0 丿3 0 /C P (% 口2,«3)Q = ：（隅+岷, «2,a ; 3），21 0、1 0X(A ). 1 1 0(B ).1 2 0e 0 2<0 0 2>则Q TAQ 为（【解析】Q = (-：1 2, “2,「3 ) = (-“1,鼻2,鼻3 )2, 'I1 010 =（%叫,叫）巳2（1）,即:1【解析】根据 CC^=C E 若 C*=CC ，,C 」1. ■分块矩阵（0的行列式=(- 12*A|B=2 3=6即分块矩阵可逆'"0 IB-6AB1B 32BB J1BBB(8) 设A, P 均为3阶矩阵，p T 为P 的转置矩阵，且 P TAP 二，若Q = P%(1)Q TAQ =[PE i2(1)]TA[PE i2(1)] = E^(1)[P TAP]E i2(1)1 0 0= E ；i (1) 0 1 0 E i2(1)0 0 2^所以切线方程为y=2x .(10)已知 +「e kx dx =1，则 k 二 ___________________—od【答案】-2因为极限存在所以k ::: 0k = -2(11) lime^ sin nxdx 二 ________________ .n ^C L 0【答案】0【解析】令 l n 二 e^sinnxdx 二-e^sinnx n ecosnxdx•x . .x 2.--e sinnx —ne cosnx —nl n110 10 0 10 0 1 0 0 10 00 1 0 12丄0 2 1 0 0 = 11010 0 2、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上 (9)曲线 x 「°e du在(0, 0)y =t 2ln(2 -t 2)处的切线方程为【答案】y=2x【解析】齐2tln(H2t 2-t 2所以dx —=edt(-D t = _1矽=2 dx【解析】1 kx1--kxedx =2bim ：k即 lim ]e 」sinnxdx = lim(-^^0警空更 e 」n _ -■ 0 n 厂【答案】- 3对 y xy y e y=1 再次求导可得 2y xyy e y(y )2e y= 0，x e y(13)函数y =x 2x 在区间01 1上的最小值为 ___________ .2【答案】e^1【解析】因为 y = x 2x 2ln x • 2，令、二0得驻点为x . e又 y"=x 2x (2ln x+2 f +x 2x 2，得 y' 1 ]=2e >0，x \e )1故x 为y = x 2x的极小值点，此时ey x ・0,故y 在I 0,1上递减，在1,1上递增.I e 丿 l e 丿而 y 1 =1， y 」0 = lim x 2x二 lim eI D 十 x T 0十所以i nn cosnx sin nx x 小e — +Cn 21二lim(n —■■=■.：ncosn s叫n 21(12 )设y = y(x)是由方程xy• e ，= x 1确定的隐函数，则r 2y；x 2n 2 1)【解析】对方程 xy ■ e y = x 1两边关于x 求导有 y xy - ye y =11-y x e y2y ' (y)2e y(*)=o 时,(0)二耳=1，代入(*)得e(0)二2y '(0)(y(0))2e 0(0 e 0)3二-(2 1) = -32ln x2l 巴T2xln xe2lim车21x 0 ■ --2lim -2x=e「=1又当x -y x ：：o ； x 丄1 时, 2」21 rx x -In(1 tan x)h 叫222x 0sin x sin x(16)(本题满分10分)【解析】所以y =x 2x 在区间0,1 ］上的最小值为y 2i'2 0 0A (14)设a , B 为3维列向量，P T 为B 的转置，若矩阵aB T相似于 0 0 0 ，则0 ■二 卫0 0』【答案】2 ‘2 【解析】因为aB T 相似于0 1° 0 0 0 0 ，根据相似矩阵有相同的特征值, 0 0 J 得到：上T 得特征值是2,0,0而］T ：是一个常数，是矩阵：上T 的对角元素之和，贝y =2 0 ^2 三、解答题：15 -23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上 演算步骤. 亠心、卄八 八 亠丄"口 (1 一 cosx)【x_l n(1+ta nx)］ (15)(本题满分9分)求极限lim 4 . X —0 sin x .解答应写出文字说明、证明过程或1「cosx R 「In(1 tanx) I 4sin x-x 2 [x -ln(1 tanx) 1 sin 4x计算不定积分 "n (1+耳(x 0).1,dx = -2tdt (t 2-1)2Jin (1+£^)dx二 ln(1 t)d 1ln(1 t) t 2-1二 Lt 2-1t 1dt JlimXfJtnx) 2 x ：0sin xT 1 Ldt 」( £dtt -1 t 1 4 t -1 t 1 (t 1) 1 1 1 1n(t -1) In(t 1)2 C 4 4 t 1所以cz czdz dx dyexcy= (f i f 2 yf 3)dx (f i 7 Xf 3)dy（18）（本题满分10分）设非负函数y = y x Mx _ 0满足微分方程xy“ - y* 2 = 0 ,当曲线y = y x 过原点时，其与直线 x =1及y = 0围成平面区域 D 的面积为2,求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积.【解析】解微分方程 肖-讨 2=。

2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx -=的可去间断点的个数，则（ ） ()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.【答案】C【解析】()3s i n x x f x x π-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--==故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax=-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-.()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=.【答案】 A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则 222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b ax a →==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C 。

另外201cos lim3x a axbx →--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除D 。

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.(1) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则 ( )(A) 11,6a b ==-. (B) 11,6a b ==. (C) 11,6a b =-=-. (D) 11,6a b =-=.(2) 如图,正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =,cos kk D I y xdxdy =⎰⎰,则{}14max k k I ≤≤= ( )(A) 1I .(B) 2I .(C) 3I .(D) 4I .(3) 设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为 ( )(A) (B)(C)(D)(4) 设有两个数列{}{},n n a b ,若lim 0n n a →∞=,则 ( )(A) 当1nn b∞=∑收敛时,1n nn a b∞=∑收敛. (B) 当1nn b∞=∑发散时,1n nn a b∞=∑发散.(C) 当1n n b ∞=∑收敛时,221n nn a b ∞=∑收敛.(D) 当1n n b ∞=∑发散时,221n n n a b ∞=∑发散. (5) 设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基,则由基12311,,23ααα到基122331,,αααααα+++的过渡矩阵为 ( )(A) 101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B) 120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(D) 111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (6) 设,A B 均为2阶矩阵,**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3A B ==,则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为 ( ) (A) **32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭. (B) **23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭.(C) **32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.(D) **23OA BO ⎛⎫⎪⎝⎭.(7) 设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭,其中()x Φ为标准正态分布的分布函数,则EX = ( ) (A) 0.(B) 0.3.(C) 0.7.(D) 1.(8) 设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布()0,1N ,Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====.记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数,则函数()Z F z 的间断点个数为 ( ) (A) 0.(B) 1. (C) 2.(D) 3.二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数,(),z f x xy =,则2zx y∂=∂∂ .(10) 若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+,则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = .(11) 已知曲线(2:0L y x x =≤≤,则Lxds =⎰ .(12) 设(){}222,,1x y z xy z Ω=++≤,则2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰ .(13) 若3维列向量,αβ满足2T αβ=,其中Tα为α的转置,则矩阵T βα的非零特征值为.(14) 设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本,X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量,则k = .三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.(16)(本题满分9分)设n a 为曲线n y x =与()11,2,n y xn +== 所围成区域的面积,记11,n n S a ∞==∑2211n n S a ∞-==∑,求1S 与2S 的值.(17)(本题满分11分)椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成,圆锥面2S 是由过点()4,0且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成. (Ⅰ)求1S 及2S 的方程； (Ⅱ)求1S 与2S 之间的立体体积. (18)(本题满分11分)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 可导,则存在(),a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(Ⅱ)证明：若函数()f x 在0x =处连续,在()()0,0δδ>内可导,且()0lim x f x A +→'=,则()0f +'存在,且()0f A +'=.(19)(本题满分10分)计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z∑++=++⎰⎰,其中∑是曲面222224x y z ++=的外侧.(20)(本题满分11分) 设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭,1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭(Ⅰ)求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ； (Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量23,ξξ,证明：123,,ξξξ线性无关. (21)(本题满分11分)设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-(Ⅰ)求二次型f 的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值. (22)(本题满分11分)袋中有1个红球,2个黑球与3个白球.现有放回地从袋中取两次,每次取一个球,以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(Ⅰ)求{}10P X Z ==；(Ⅱ)求二维随机变量(),X Y 的概率分布. (23)(本题满分11 分) 设总体X 的概率密度为2,0,()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他, 其中参数(0)λλ>未知,12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本.(Ⅰ) 求参数λ的矩估计量；(Ⅱ )求参数λ的最大似然估计量.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分. (1) 【答案】(A)【解析】()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是0x →时的等价无穷小,则2200232000330()sin sin limlim lim ()ln(1)()sin 1cos sin lim lim lim 36sin lim 1,66x x x x x x x f x x ax x axg x x bx x bx x ax a ax a axbx bx bxa ax ab axb →→→→→→→--=-⋅---=---⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭等洛洛 即36a b =-,故排除B,C.另外,201cos lim3x a axbx→--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故1,a =排除D. 所以本题选A. (2) 【答案】(A)【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.令(,)cos f x y y x =,24,D D 两区域关于x 轴对称,(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-,即被积函数是关于y 的奇函数,所以240I I ==；13,D D 两区域关于y 轴对称,(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==,即被积函数是关于x 的偶函数,所以{}{}1(,),013(,),012cos 0,2cos 0.x y y x x x y y x x I y xdxdy I y xdxdy ≥≤≤≤-≤≤=>=<⎰⎰⎰⎰所以正确答案为(A).(3) 【答案】(D)【解析】此题为定积分的应用知识考核,由()y f x =的图形可以看出,其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ,从而可得出下面几个方面的特征：① []1,0x ∈-时,()0F x ≤为线性函数,单调递增； ② []0,1x ∈时,()0F x ≤,且单调递减；③ []1,2x ∈时,()F x 单调递增； ④ []2,3x ∈时,()F x 为常函数； ⑤ ()F x 为连续函数. 结合这些特点,可见正确选项为(D). (4) 【答案】C【解析】解法1 举反例：取(1)nn n a b ==-,则lim 0n n a →∞=,1n n b ∞=∑是收敛的,但111n n n n a b n ∞∞===∑∑发散,排除(A)；取1n n a b n ==,则lim 0n n a →∞=,1n n b ∞=∑是发散的,但2111n n n n a b n ∞∞===∑∑收敛,排除(B)；取1n n a b n ==,则lim 0n n a →∞=,1n n b ∞=∑是发散的,但224111n n n n a b n∞∞===∑∑收敛,排除(D),故答案为(C).解法2 因为lim 0,n n a →∞=则由定义可知1,N ∃使得1n N >时,有1n a <；又因为1nn b∞=∑收敛,可得lim 0,n n b →∞=则由定义可知2,N ∃使得2n N >时,有1n b <,从而,当12n N N >+时,有22n nn a b b <,则由正项级数的比较判别法可知221n nn a b∞=∑收敛.(5) 【答案】(A)【解析】根据过渡矩阵的定义,知由基12311,,23ααα到122331,,αααααα+++的过渡矩阵M 满足：()12233112312311,,,,2310111,,220,23033M αααααααααααα⎛⎫+++= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭所以此题选(A). (6) 【答案】(B)【解析】分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式221236O A A B B O⨯=-=⨯=（）,即分块矩阵可逆,且1116112366.1132O A O A O A O B B O B O B O A O O B O B B O B A O A O A O A *---******⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为(B). (7) 【答案】(C)【解析】因为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭,所以 ()()0.710.322x F x x -⎛⎫'''=Φ+Φ ⎪⎝⎭, 因此, ()()10.30.352x EX xF x dx x x dx +∞+∞-∞-∞⎡-⎤⎛⎫'''==Φ+Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰()10.30.352x x x dx x dx +∞+∞-∞-∞-⎛⎫''=Φ+Φ ⎪⎝⎭⎰⎰.由于()x Φ为标准正态分布的分布函数,所以()0x x dx +∞-∞'Φ=⎰,()()()()11221222222,x x x dx u u u du u u du u du +∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞--⎛⎫''Φ=+Φ ⎪⎝⎭''=Φ+Φ=⎰⎰⎰⎰()10.30.3500.3520.72x EX x x dx x dx +∞+∞-∞-∞-⎛⎫''=Φ+Φ=+⨯= ⎪⎝⎭⎰⎰.(8) 【答案】(B) 【解析】(){}{0}{0}{1}{1}11{0}{1}2211{00}{1},22Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=≤==+≤===≤=+≤==⋅≤=+≤=由于,X Y 相互独立,所以11(){0}{}22Z F z P X z P X z =⋅≤+≤. (1) 当0z <时,1()()2Z F z z =Φ；(2) 当0z ≥时,11()()22Z F z z =+Φ,因此,0z =为间断点,故选(B).二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 【答案】12222xf f xyf '''''++ 【解析】12zf f y x∂''=+⋅∂, 21222212222zxf f yx f xf f xyf x y∂''''''''''=++⋅=++∂∂. (10) 【答案】(1)2x x e -+【解析】由常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+可知1x y e =,2x y xe =为其两个线性无关的解,代入齐次方程,有111222(1)010,[2(1)]020,x xy ay by a b e a b y ay by a a b x e a '''++=++=⇒++='''++=++++=⇒+=从而可见2,1a b =-=,非齐次微分方程为2y y y x '''-+=.设特解*y Ax B =+,代入非齐次微分方程,得2A Ax B x -++=,即11(2)202A A Ax A B x A B B ==⎧⎧+-+=⇒⇒⎨⎨-+==⎩⎩所以特解*2y x =+,通解()122xy C C x e x =+++.把()()02,00y y '==代入通解,得120,1C C ==-.所以所求解为2(1)2x x y xe x x e =-++=-+.(11)【答案】136【解析】由题意可知,2,0y x x =≤≤,则ds ==,所以()21148Lxds x ==+⎰11386==. (12) 【答案】415π 【解析】解法1：()212222002124013500sin cos cos cos cos 42.3515z dxdydz d d d d d d πππππθϕρϕρϕρθϕϕρρϕρππΩ==-⎛⎫=⋅-⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解法2：由轮换对称性可知2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰2x dxdydz Ω=⎰⎰⎰2y dxdydz Ω⎰⎰⎰ 所以,()212222400011sin 33z dxdydz x y z dxdydz d d r dr ππϕθϕΩΩ=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 14002214sin sin 33515d r dr d ππππϕϕϕϕπ==⋅⋅=⎰⎰⎰. (13) 【答案】2【解析】2T αβ=,()2T T βαββαββ∴==⋅,又由于0β≠,T βα∴的非零特征值为2. (14) 【答案】1-【解析】由于2X kS +为2np 的无偏估计量,所以22()E X kS np +=,即2222()()()E X kS np E X E kS np +=⇒+=2(1)1(1)(1)1 1.np knp p np k p pk p p k ⇒+-=⇒+-=⇒-=-⇒=-三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)【解析】 2(,)2(2)x f x y x y '=+,2(,)2ln 1y f x y x y y '=++.令(,)0,(,)0,x y f x y f x y ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩解得唯一驻点1(0,)e .由于212(0,)1(0,)21(0,)11(0,)2(2)2(2),1(0,)40,11(0,)(2),xxexye yy eA f y e eB f xy eC f x e e y ''==+=+''===''==+= 所以 2212(2)0,B AC e e-=-+<且0A >. 从而1(0,)f e是(,)f x y 的极小值,极小值为11(0,)f e e =-.(16)(本题满分9分)【解析】曲线n y x =与1n y x +=的交点为(0,0)和(1,1),所围区域的面积112111111()()001212n n n n n a x x dx x x n n n n +++=-=-=-++++⎰, 111lim 1111111lim()lim(),2312222Nn nN n n N N S a a N N N ∞→∞==→∞→∞===-++-=-=+++∑∑22111211111111(1)22123456n n n n n S a n n n ∞∞∞-=====-=-+-++=-+∑∑∑ （）.考查幂级数1(1)n nn x n ∞=-∑,知其收敛域为(1,1]-,和函数为ln(1)x -+.因为2(1)()ln(1)n nn S x x x x n ∞=-==-+∑,令1x =,得2211(1)1ln 2n n S a S ∞-====-∑.(17)(本题满分11分)【解析】(I)椭球面1S 的方程为222143x y z ++=.设切点为00(,)x y ,则22143x y +=在00(,)x y 处的切线方程为00143x x y y +=.将4,0x y ==代入切线方程得01x =,从而032y ==±. 所以切线方程为142x y ±=,从而圆锥面2S 的方程为222(1)44x y z +-=,即222(4)440x y z ---=.(II)1S 与2S 之间的体积等于一个底面半径为32、高为3的锥体体积94π与部分椭球体体积V 之差,其中22135(4)44V x dx ππ=-=⎰. 故所求体积为9544πππ-=.(18)(本题满分11分) 【解析】(Ⅰ)取()()()()()f b f a F x f x x a b a-=---,由题意知()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,且 ()()()()()(),()()()()()().f b f a F a f a a a f a b af b f a F b f b b a f a b a -=--=--=--=-根据罗尔定理,存在(),a b ξ∈,使得()()()()0f b f a F f b aξξ-''=-=-,即()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(Ⅱ)对于任意的(0,)t δ∈,函数()f x 在[]0,t 上连续,在()0,t 内可导,由右导数定义及拉格朗日中值定理()()000()0()0lim lim lim ()0t t t f t f f tf f t tξξ++++→→→-'''===-,其中()0,t ξ∈. 由于()0lim t f t A +→'=,且当0t +→时,0ξ+→,所以0lim ()t f A ξ+→'=,故(0)f +'存在,且(0)f A +'=.(19)(本题满分10分)【解析】取2221:1x y z ∑++=的外侧,Ω为∑与1∑之间的部分.()()()11322223322222222.xdydz ydzdx zdxdyI xy zxdydz ydzdx zdxdyxdydz ydzdx zdxdyxy zxy z∑∑-∑∑++=++++++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰根据高斯公式()13222200xdydz ydzdx zdxdydxdydz x y z∑-∑Ω++==++⎰⎰⎰⎰⎰ .()1122232222134.x y z xdydz ydzdx zdxdyxdydz ydzdx zdxdyxy zdxdydz π∑∑++≤++=++++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以4I π=.(20)(本题满分11分)【解析】(Ⅰ)对矩阵1()A ξ 施以初等行变换()11110221111111111012204220000A ξ⎛⎫-- ⎪---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可求得 2122122k k k ξ⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.又2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭,对矩阵21()A ξ 施以初等行变换()211110220122201000044020000A ξ⎛⎫-⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭,可求得 312a a b ξ⎛⎫-- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,其中,a b 为任意常数.(Ⅱ)解法1 由(Ⅰ)知12311122211,,102222ka ka kbξξξ--+--=-=-≠-, 所以123,,ξξξ线性无关.解法2 由题设可得10A ξ=.设存在数123,,k k k ,使得1122330k k k ξξξ++=, ①等式两端左乘A ,得22330k A k A ξξ+=,即21330k k A ξξ+=, ②等式两端再左乘A ,得2330k A ξ=,即310k ξ=.由于10ξ≠，于是30k =,代入②式,得210k ξ=,故20k =.将230k k ==代入①式,可得10k =,从而1,ξ23,ξξ线性无关.(21)(本题满分11分) 【解析】(Ⅰ)二次型f 的矩阵101111a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.由于01||01()((1))((2))111aE A aa a a a λλλλλλλ---=-=--+----+, 所以A 的特征值为123,1,2a a a λλλ==+=-.(Ⅱ)解法1 由于f 的规范形为2212y y +,所以A 合同于100010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,其秩为2,故 1230A λλλ==,于是0a =或1a =-或2a =.当0a =时,1230,1,2λλλ===-,此时f 的规范形为2212y y -,不合题意. 当1a =-时,1231,0,3λλλ=-==-,此时f 的规范形为2212y y --,不合题意. 当2a =时,1232,3,0λλλ===,此时f 的规范形为2212y y +. 综上可知,2a =.解法2 由于f 的规范形为2212y y +,所以A 的特征值有2个为正数,1个为零. 又21a a a -<<+,所以2a =.(22)(本题满分11分)【解析】(Ⅰ) 12211{1,0}463(10)1{0}9()2C P X Z P X Z P Z ⋅========. (Ⅱ)由题意知X 与Y 的所有可能取值均为0,1,2.()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0,461112,0,0,1,36311,1,2,10,910,2,91,20,2,20,C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======故(,)X Y 的概率分布为(23)(本题满分11 分) 【解析】(Ⅰ)2202().x EX xf x dx x e dx λλλ+∞+∞--∞===⎰⎰令X EX =,即2X λ=,得λ的矩估计量为 12Xλ=. (Ⅱ)设12,,,(0,1,2,,)n i x x x x i n >= 为样本观测值,则似然函数为()12121,,,;,nii nx nn i i L x x x ex λλλ=-=∑=⋅∏11ln 2ln ln n ni i i i L n x x λλ===-+∑∑,由1ln 20n i i d L n x d λλ==-=∑,得λ的最大似然估计量为 22X λ=.。

09级数学分析(1)试题（A卷）参考答案参考答案一、叙述题(每题5分共20分)（略）二、计算题（每题5分，共20分）1．设liman?a（an?0,a?0），求liman。

Nnn？？解决方案0遇见0？？0 a.利曼的？A你知道吗，？NN什么时候？当n，n??a??0?an?a??0因此nnna??0?an?a??0nnn？？N取上述公式两边的极限，并使用结论limc？1（C？0是常数）和强迫收敛，利曼？1。

2. 找到曲线X？1.t2，y？Tt的T2？1对应点的切线方程。

解因为x2t,y??1?2t，那什么时候呢？1点，x？0，y？0 x2，y 1.那么切线方程是x?0y?0?即x?2y?0?2?1或dyy?(t)1?2t??dxt?1x?(t)t?1?2t当t?1时，x?0,y?0，故切线方程是1.2t？1岁？0 3. 问limx？01（x？0）2tanx？sinx.3sinx12x？xtanx？sinxtanx （1？cosx）12？Lim溶液。

？林？十、0x？0x？0sin3xsin3x32第1页，共6页或tanx?sinxtanx?sinx01?cos3x0lim?limlim2332x?0x?0x?0sinxx3xcosx1?cos3x03cos2xsin x10?limlim?2x?0x?03x6x2或11 十、x3？o（x3）十、x3？o（x3）？？坦克斯？sinx33lim?limx?0x?0sin3xx313x?o(x3)1?lim2?x?0x324.找到f（x）？2x3？X4的极值。

解f?(x)?6x?4x?2x(3?2x)?0，得稳定点x?0,232323(,??)2－kxf?(x)f(x)或(??,0)+j00无极值3(0,)2+j320极大值27/163f?(x)?6x2?4x3?2x2(3?2x)?0，得稳定点x?0,22和f？？（x） ?？12倍？12倍？12倍（1？x），f（x） ?？12（1？2倍）f??(0)?0,f(0)?0，所以f在x?0不取极值。

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为 ( )(A) 1.(B) 2. (C) 3.(D) 无穷多个.(2) 当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则 ( )(A) 11,6a b ==-. (B) 11,6a b ==. (C) 11,6a b =-=-. (D) 11,6a b =-=.(3) 使不等式1sin ln x tdt x t>⎰成立的x 的范围是 ( ) (A) (0,1).(B) (1,)2π. (C) (,)2ππ. (D) (,)π+∞.(4) 设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为 ( )(A) (B)(C) (D)(5) 设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为 ( ) (A) **32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭. (B) **23O B AO ⎛⎫⎪⎝⎭. (C) **32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.(D) **23OA BO ⎛⎫⎪⎝⎭. (6) 设,A P 均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则TQ AQ 为 ( )(A) 210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B) 110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(D) 100020002⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.(7) 设事件A 与事件B 互不相容，则 ( )(A) ()0P AB =.(B) ()()()P AB P A P B =. (C) ()1()P A P B =-.(D) ()1P AB =.(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====.记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z的间断点个数为 ( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) cos 0x x →= .(10) 设()y x z x e =+，则(1,0)zx ∂=∂ _______ .(11) 幂级数21(1)n n nn e x n ∞=--∑的收敛半径为 ______. (12) 设某产品的需求函数为()Q Q p =，其对价格p 的弹性0.2p ε=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 _______ 元.(13) 设(1,1,1)T α=，(1,0,)T k β=.若矩阵T αβ相似于300000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则k = ____ .(14) 设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2T X S =-，则ET = _____.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.(16)(本题满分10 分)计算不定积分ln 1dx ⎛+ ⎝⎰ (0)x >. (17)(本题满分10 分)计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.(18)(本题满分11 分)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(Ⅱ)证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.(19)(本题满分10 分)设曲线()y f x =，其中()f x 是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t π倍，求该曲线方程. (20)(本题满分11 分)设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭(Ⅰ)求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ； (Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关. (21)(本题满分11 分)设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-(Ⅰ)求二次型f 的矩阵的所有特征值；(Ⅱ)若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值. (22)(本题满分11 分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为,0,(,)0,x e y x f x y -⎧<<=⎨⎩其他.(I) 求条件概率密度()Y X f y x ； (II) 求条件概率{}11P X Y ≤≤.(23)(本题满分11分)袋中有1个红球，2个黑球与3个白球.现有放回地从袋中取两次，每次取一个球，以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(Ⅰ)求{}10P X Z ==；(Ⅱ)求二维随机变量(),X Y 的概率分布.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)【答案】(C)【解析】由于()3sin x x f x xπ-=，则当x 取任何整数时，()f x 均无意义，故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±.320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即1,2,30,1x =±. (2) 【答案】(A)【解析】()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是0x →时的等价无穷小，则2200232000330()sin sin limlim lim ()ln(1)()sin 1cos sin lim lim lim 36sin lim 1,66x x x x x x x f x x ax x axg x x bx x bx x ax a ax a axbx bx bxa ax ab ax b →→→→→→→--=-⋅---=---⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭等洛洛 即36a b =-，故排除B ，C.另外，201cos lim3x a axbx →--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →，故1,a =排除D.所以本题选A.(3) 【答案】(A)【解析】原问题可转化为求1sin ()ln 0xtf x dt x t=->⎰成立时x 的取值范围. 11111sin sin 1()ln sin 11sin 0.xx x x x tt f x dt x dt dtt tt t t dt dt t t=-=---==>⎰⎰⎰⎰⎰由()0,1t ∈时，1sin 0tt->，知当()0,1x ∈时，()0f x >.故应选(A). (4) 【答案】(D)【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可以看出，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出下面几个方面的特征：① []1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增； ② []0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减； ③ []1,2x ∈时，()F x 单调递增； ④ []2,3x ∈时，()F x 为常函数； ⑤ ()F x 为连续函数.结合这些特点，可见正确选项为(D). (5) 【答案】(B)【解析】分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式221236O A A B B O⨯=-=⨯=（），即分块矩阵可逆，且1116112366.1132O A O A O A O B B O B O B O A O O B O B B O B A O A O A O A *---******⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为(B).(6)【答案】(A)【解析】1223123100100(,,)(,,)110110001001Q P ααααααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，100100110110001001110100100210010010110110.001002001002TT Q AQ P A P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(7) 【答案】(D)【解析】因为,A B 互不相容，所以()0P AB =.(A)()()1()P AB P AB P A B ==-，因为()P A B 不一定等于1，所以(A)不正确； (B)当(),()P A P B 不为0时，()B 不成立，故排除； (C)只有当,A B 互为对立事件的时候才成立，故排除； (D)()()1()1P AB P AB P AB ==-=，故()D 正确.(8) 【答案】(B)【解析】(){}{0}{0}{1}{1}11{0}{1}2211{00}{1},22Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=≤==+≤===≤=+≤==⋅≤=+≤=由于,X Y 相互独立，所以11(){0}{}22Z F z P X z P X z =⋅≤+≤. (1) 当0z <时，1()()2Z F z z =Φ；(2) 当0z ≥时，11()()22Z F z z =+Φ，因此，0z =为间断点，故选(B).二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9)【答案】32e 【解析】 cos cos 10x x x x -→→=200221(1cos )32lim lim 11233x x e x e x e x x→→⋅-===.(10) 【答案】12ln 2+【解析】解法1：由于()xy z x e=+，故()(),01xz x x =+，()ln(1)ln(1)01ln(1)1x x x x x y z x x e e x xx ++=∂'⎡⎤'⎡⎤⎡⎤=+==++⎣⎦⎢⎥⎣⎦∂+⎣⎦， 代入1x =，得ln 2(1,0)1ln 22ln 212z e x ∂⎛⎫=+=+ ⎪∂⎝⎭.解法2：由于ln()()()ln()yx x e y x y x y y e x e z x x e x e x x x x e +⎡⎤∂⎡⎤∂+∂⎡⎤⎣⎦⎣⎦===+⋅++⎢⎥∂∂∂+⎣⎦， 故000(1,0)1(1)ln(1)2ln 211z e e x e ∂⎡⎤=+⋅++=+⎢⎥∂+⎣⎦. (11) 【答案】1e -【解析】由题意知，()210nn n e a n--=>， ()()()()1121211221lim lim 1111lim ,111n n n nn n n nn n n n n e an a n e e e n e n e e +++→∞→∞++→∞--=⋅+--⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⋅=⎡⎤+⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以，该幂级数的收敛半径为1e -. (12) 【答案】8000【解析】所求即为()Qp Q p Q ''=+. 因为0.2p Q pQε'=-=，所以0.2Q p Q '=-，所以()0.20.8Qp Q Q Q '=-+=. 将10000Q =代入有()8000Qp '=.(13) 【答案】2【解析】T αβ相似于300000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T αβ的特征值为3，0，0.而T αβ为矩阵T αβ的对角元素之和，1300k ∴+=++，2k ∴=. (14) 【答案】2np【解析】222()(1)ET E X S EX ES np np p np =-=-=--=.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)【解析】 2(,)2(2)x f x y x y '=+，2(,)2ln 1y f x y x y y '=++.令(,)0,(,)0,x y f x y f x y ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩解得唯一驻点1(0,)e .由于212(0,)1(0,)21(0,)11(0,)2(2)2(2),1(0,)40,11(0,)(2),xxexye yy eA f y e eB f xy eC f x e e y ''==+=+''===''==+= 所以 2212(2)0,B AC e e -=-+<且0A >. 从而1(0,)f e 是(,)f x y 的极小值，极小值为11(0,)f e e=-.(16)(本题满分10 分) 【解析】解法1t =，则21,1x t =-()()2221ln 1ln 11ln 111111dx t d t t dt t t t ⎛⎛⎫+=+ ⎪ -⎝⎭⎝+=-⋅--+⎰⎰⎰而()()()()()()2211112411111111ln 1ln 1,4421dt dt t t t t t t t C t ⎡⎤=--⎢⎥-+-++⎢⎥⎣⎦=--++++⎰⎰所以()()2ln 1111ln 1ln 141211ln 1ln 41ln 1ln 211ln 1ln .22t t dx C t t t x C x C x x C ⎛+++=+-+ --+⎝⎛=++ ⎝⎛=++ ⎝⎛=+++- ⎝⎰解法21ln 1ln 11dx x x dx -'⎛⎛⎛=- ⎝⎝⎝⎰⎰1ln 112x dx ⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎰11ln 122x x ⎛=++- ⎝⎰(2ln ln udu u C C=++=+分部即)11ln 1ln 1ln22dx x x C ⎛⎛+=++-+ ⎝⎝⎰11ln 1ln 211ln 1ln .22x Cx x C ⎛=++ ⎝⎛=++ ⎝(17)(本题满分10 分)【解析】解法1 如右图所示，区域D 的极坐标表示为302(sin cos ),44r ππθθθ≤≤+≤≤.32(sin cos )442(sin cos )33404334433443444()(cos sin )1(cos sin )38(cos sin )(sin cos )38(sin cos )(sin cos )3818(sin cos ).343Dr r x y dxdy d r r rdrr d d d θθππθθππππππππθθθθθθθθθθθθθθθθθ+=+=-=-⎡⎤=-⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-+=++=⨯+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解法2 将区域D 分成12,D D两部分(如右图)，其中(){}(){}12,110,,12.D x y y x D x y x y x =-≤-≤≤=≤≤+≤≤由二重积分的性质知()()()12DD D x y dxdyx y dxdy x y dxdy-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰，而()1111)D x ydxdy x y dy-=-⎰⎰⎰⎰103122,33x =-=-=-⎰()221020230)122(21242,23xD x y dxdy dx x y dyx dx -=-⎡=---⎣⎡⎤=-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰所以()()()1228233DD D x y dxdy x y dxdy x y dxdy -=-+-=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰. (18)(本题满分11 分) 【解析】(Ⅰ)取()()()()()f b f a F x f x x a b a-=---，由题意知()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()()()()(),()()()()()().f b f a F a f a a a f a b af b f a F b f b b a f a b a -=--=--=--=-根据罗尔定理，存在(),a b ξ∈，使得()()()()0f b f a F f b aξξ-''=-=-，即()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(Ⅱ)对于任意的(0,)t δ∈，函数()f x 在[]0,t 上连续，在()0,t 内可导，由右导数定义及拉格朗日中值定理()()000()0()0lim lim lim ()0t t t f t f f tf f t tξξ++++→→→-'''===-，其中()0,t ξ∈. 由于()0lim t f t A +→'=，且当0t +→时，0ξ+→，所以0lim ()t f A ξ+→'=，故(0)f +'存在，且(0)f A +'=.(19)(本题满分10 分) 【解析】解法1 由题意知211()()t tf x dx t f x dx ππ=⎰⎰，两边对t 求导得21()()()tf t f x dx tf t =+⎰，代入1t =得 (1)1f =或(1)0f = (舍去).再求导得 2()()2()()f t f t f t tf t ''=+，记()f t y =，则112dt t dy y+=，因此， 111222()()dydyy y t eedy C y C --⎰⎰=+=+⎰132222()33y y C y -=+=+.代入1,1t y ==得13C =，从而23t y =+故所求曲线方程为23x y =+. 解法2 同解法1，得2()()2()(),(1)1f t f t f t tf t f ''=+=.整理得22dy y dt y t=-. 令y u t =，则 dy du u t dt dt=+， 原方程变成 23221du u u t dt u -=-， 分离变量得211(32)u du dt u u t-=-，即 114332dtdu u u t -⎛⎫+=⎪-⎝⎭， 积分得 21ln (32)ln 3u u Ct --=， 即 1233(32)u u Ct ---=.代入1,1t u ==，得1C =，所以231(32)u u t -=. 代入y ut =化简得2(32)1y t y -=，即23t y =.故所求曲线方程为23x y =.(20)(本题满分11 分) 【解析】(Ⅰ)对矩阵1()Aξ施以初等行变换()11110221111111111012204220000A ξ⎛⎫-- ⎪---⎛⎫⎪ ⎪⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪---⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可求得 2122122k kk ξ⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，其中k 为任意常数.又2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，对矩阵21()A ξ施以初等行变换()211110220122201000044020000A ξ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭， 可求得 312a a b ξ⎛⎫-- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，其中,a b 为任意常数.(Ⅱ)解法1 由(Ⅰ)知12311122211,,102222ka ka kbξξξ--+--=-=-≠-， 所以123,,ξξξ线性无关.解法2 由题设可得10A ξ=.设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ξξξ++=， ①等式两端左乘A ，得22330k A k A ξξ+=，即21330k k A ξξ+=， ②等式两端再左乘A ，得2330k A ξ=，即310k ξ=.由于10ξ≠，于是30k =，代入②式，得210k ξ=，故20k =.将230k k ==代入①式，可得10k =，从而1,ξ23,ξξ线性无关.(21)(本题满分11 分) 【解析】(Ⅰ)二次型f 的矩阵101111a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.由于01||01()((1))((2))111aE A aa a a a λλλλλλλ---=-=--+----+，所以A 的特征值为123,1,2a a a λλλ==+=-.(Ⅱ)解法1 由于f 的规范形为2212y y +，所以A 合同于100010000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，其秩为2，故 1230A λλλ==，于是0a =或1a =-或2a =.当0a =时，1230,1,2λλλ===-，此时f 的规范形为2212y y -，不合题意. 当1a =-时，1231,0,3λλλ=-==-，此时f 的规范形为2212y y --，不合题意. 当2a =时，1232,3,0λλλ===，此时f 的规范形为2212y y +. 综上可知，2a =.解法2 由于f 的规范形为2212y y +，所以A 的特征值有2个为正数，1个为零. 又21a a a -<<+，所以2a =.(22)(本题满分11 分)【解析】(I)X 的概率密度0,0,,0,()(,)0,0.0,0xx x X e dy x xe x f x f x y dy x x --+∞-∞⎧⎧>>⎪===⎨⎨≤⎩⎪≤⎩⎰⎰当0x >时，Y 的条件概率密度|1,0,(,)(|)()0,Y X X y x f x y f y x x f x ⎧<<⎪== ⎨⎪⎩其他.(II)Y 的概率密度,0,()(,)0,0.y Y e y f y f x y dx y -+∞-∞⎧>==⎨≤⎩⎰{}{}{}1110111,11|11(,)2.11xxy P X Y P X Y P Y dx e dyf x y dxdye e e edy--∞-∞--≤≤≤≤=≤-===--⎰⎰⎰⎰⎰(23)(本题满分11分)【解析】(Ⅰ) 12211{1,0}463(10)1{0}9()2C P X Z P X Z P Z ⋅========. (Ⅱ)由题意知X 与Y 的所有可能取值均为0，1，2.()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0,461112,0,0,1,36311,1,2,10,910,2,91,20,2,20,C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======故(,)X Y 的概率分布为。

2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx -=的可去间断点的个数，则（ ） ()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.【答案】C【解析】()3s i n x x f x x π-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--==故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax=-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-.()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=.【答案】 A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则 222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b ax a →==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C 。

另外201cos lim3x a axbx →--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除D 。

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.(1) 当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则 ( )(A) 11,6a b ==-. (B) 11,6a b ==. (C) 11,6a b =-=-. (D) 11,6a b =-=.(2) 如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤= ( )(A) 1I .(B) 2I .(C) 3I .(D) 4I .(3) 设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为 ( )(A) (B)-1-111x y 1D2D3D4D(C)(D)(4) 设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞=，则 ( )(A) 当1nn b∞=∑收敛时，1n nn a b∞=∑收敛. (B) 当1nn b∞=∑发散时，1n nn a b∞=∑发散.(C) 当1nn b∞=∑收敛时，221n nn a b∞=∑收敛. (D) 当1nn b∞=∑发散时，221n nn a b∞=∑发散.(5) 设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23ααα到基122331,,αααααα+++的过渡矩阵为 ( )(A) 101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B) 120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C) 111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(D) 111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (6) 设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为 ( ) (A) **32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭. (B) **23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭.(C) **32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.(D) **23OA BO ⎛⎫⎪⎝⎭.(7) 设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布的分布函数，则EX = ( ) (A) 0. (B) 0.3. (C) 0.7. (D) 1.(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====.记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为 ( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则2zx y∂=∂∂ .(10) 若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12x y C C x e =+，则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = .(11) 已知曲线(2:0L y x x =≤≤，则Lxds =⎰ .(12) 设(){}222,,1x y z xy z Ω=++≤，则2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰ .(13) 若3维列向量,αβ满足2Tαβ=，其中T α为α的转置，则矩阵T βα的非零特征值为. (14) 设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量，则k = .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.(16)(本题满分9分)设n a 为曲线n y x =与()11,2,n y xn +==所围成区域的面积，记11,n n S a ∞==∑2211n n S a ∞-==∑，求1S 与2S 的值.(17)(本题满分11分)椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是由过点()4,0且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成. (Ⅰ)求1S 及2S 的方程； (Ⅱ)求1S 与2S 之间的立体体积. (18)(本题满分11分)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(Ⅱ)证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.(19)(本题满分10分)计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z∑++=++⎰⎰，其中∑是曲面222224x y z ++=的外侧.(20)(本题满分11分)设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭(Ⅰ)求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ； (Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关. (21)(本题满分11分)设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-(Ⅰ)求二次型f 的矩阵的所有特征值；(Ⅱ)若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值. (22)(本题满分11分)袋中有1个红球，2个黑球与3个白球.现有放回地从袋中取两次，每次取一个球，以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(Ⅰ)求{}10P X Z ==；(Ⅱ)求二维随机变量(),X Y 的概率分布. (23)(本题满分11 分)设总体X 的概率密度为2,0,()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他,其中参数(0)λλ>未知，12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本.(Ⅰ) 求参数λ的矩估计量；(Ⅱ )求参数λ的最大似然估计量.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分. (1) 【答案】(A)【解析】()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是0x →时的等价无穷小，则2200232000330()sin sin limlim lim ()ln(1)()sin 1cos sin lim lim lim 36sin lim 1,66x x x x x x x f x x ax x axg x x bx x bx x ax a ax a axbx bx bxa ax ab axb →→→→→→→--=-⋅---=---⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭等洛洛 即36a b =-，故排除B ，C.另外，201cos lim3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →，故1,a =排除D. 所以本题选A.(2) 【答案】(A)【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.令(,)cos f x y y x =，24,D D 两区域关于x 轴对称，(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==；13,D D 两区域关于y 轴对称，(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是关于x 的偶函数，所以{}{}1(,),013(,),012cos 0,2cos 0.x y y x x x y y x x I y xdxdy I y xdxdy ≥≤≤≤-≤≤=>=<⎰⎰⎰⎰所以正确答案为(A). (3) 【答案】(D)【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可以看出，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出下面几个方面的特征：① []1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增；② []0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减； ③ []1,2x ∈时，()F x 单调递增； ④ []2,3x ∈时，()F x 为常函数； ⑤ ()F x 为连续函数.结合这些特点，可见正确选项为(D). (4) 【答案】C【解析】解法1 举反例：取(1)nn n a b ==-，则lim 0n n a →∞=，1n n b ∞=∑是收敛的，但111n n n n a b n ∞∞===∑∑发散，排除(A)；取1n n a b n ==，则lim 0n n a →∞=，1n n b ∞=∑是发散的，但2111n n n n a b n ∞∞===∑∑收敛，排除(B)；取1n n a b n ==，则lim 0n n a →∞=，1n n b ∞=∑是发散的，但224111n n n n a b n ∞∞===∑∑收敛，排除(D)，故答案为(C).解法2 因为lim 0,n n a →∞=则由定义可知1,N ∃使得1n N >时，有1n a <；又因为1nn b∞=∑收敛，可得lim 0,n n b →∞=则由定义可知2,N ∃使得2n N >时，有1n b <，从而，当12n N N >+时，有22n nn a b b <，则由正项级数的比较判别法可知221n nn a b∞=∑收敛.(5) 【答案】(A)【解析】根据过渡矩阵的定义，知由基12311,,23ααα到122331,,αααααα+++的过渡矩阵M 满足：()12233112312311,,,,2310111,,220,23033M αααααααααααα⎛⎫+++= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭所以此题选(A). (6) 【答案】(B) 【解析】分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式221236O A A B B O⨯=-=⨯=（），即分块矩阵可逆，且1116112366.1132O A O A O A O B B O B O B O A O O B O B B O B A O A O A O A *---******⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为(B).(7) 【答案】(C)【解析】因为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭，所以 ()()0.710.322x F x x -⎛⎫'''=Φ+Φ ⎪⎝⎭， 因此， ()()10.30.352x EX xF x dx x x dx +∞+∞-∞-∞⎡-⎤⎛⎫'''==Φ+Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰()10.30.352x x x dx x dx +∞+∞-∞-∞-⎛⎫''=Φ+Φ ⎪⎝⎭⎰⎰.由于()x Φ为标准正态分布的分布函数，所以()0x x dx +∞-∞'Φ=⎰，()()()()11221222222,x x x dx u u u du u u du u du +∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞--⎛⎫''Φ=+Φ ⎪⎝⎭''=Φ+Φ=⎰⎰⎰⎰()10.30.3500.3520.72x EX x x dx x dx +∞+∞-∞-∞-⎛⎫''=Φ+Φ=+⨯= ⎪⎝⎭⎰⎰.(8) 【答案】(B)【解析】(){}{0}{0}{1}{1}11{0}{1}2211{00}{1},22Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=≤==+≤===≤=+≤==⋅≤=+≤=由于,X Y 相互独立，所以11(){0}{}22Z F z P X z P X z =⋅≤+≤. (1) 当0z <时，1()()2Z F z z =Φ；(2) 当0z ≥时，11()()22Z F z z =+Φ，因此，0z =为间断点，故选(B).二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 【答案】12222xf f xyf '''''++ 【解析】12zf f y x∂''=+⋅∂， 21222212222zxf f yx f xf f xyf x y∂''''''''''=++⋅=++∂∂. (10) 【答案】(1)2xx e -+【解析】由常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12xy C C x e =+可知1x y e =，2x y xe =为其两个线性无关的解，代入齐次方程，有111222(1)010,[2(1)]020,x x y ay by a b e a b y ay by a a b x e a '''++=++=⇒++='''++=++++=⇒+=从而可见2,1a b =-=，非齐次微分方程为2y y y x '''-+=.设特解*y Ax B =+，代入非齐次微分方程，得2A Ax B x -++=，即11(2)202A A Ax A B x A B B ==⎧⎧+-+=⇒⇒⎨⎨-+==⎩⎩所以特解*2y x =+，通解()122xy C C x e x =+++.把()()02,00y y '==代入通解，得120,1C C ==-.所以所求解为2(1)2x x y xe x x e =-++=-+.(11)【答案】136【解析】由题意可知，2,0y x x =≤≤，则ds ==，所以()21148Lxds x ==+⎰11386==. (12) 【答案】415π 【解析】解法1：()212222002124013500sin cos cos cos cos 42.3515z dxdydz d d d d d d πππππθϕρϕρϕρθϕϕρρϕρππΩ==-⎛⎫=⋅-⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解法2：由轮换对称性可知2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰2x dxdydz Ω=⎰⎰⎰2y dxdydz Ω⎰⎰⎰所以，()212222400011sin 33z dxdydz x y z dxdydz d d r dr ππϕθϕΩΩ=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 14002214sin sin 33515d r dr d ππππϕϕϕϕπ==⋅⋅=⎰⎰⎰. (13) 【答案】2【解析】2T αβ=，()2T Tβαββαββ∴==⋅，又由于0β≠，T βα∴的非零特征值为2.(14) 【答案】1-【解析】由于2X kS +为2np 的无偏估计量，所以22()E X kS np +=，即2222()()()E X kS np E X E kS np +=⇒+=2(1)1(1)(1)1 1.np knp p np k p pk p p k ⇒+-=⇒+-=⇒-=-⇒=-三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)【解析】 2(,)2(2)x f x y x y '=+，2(,)2ln 1y f x y x y y '=++.令(,)0,(,)0,x y f x y f x y ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩解得唯一驻点1(0,)e .由于212(0,)1(0,)21(0,)11(0,)2(2)2(2),1(0,)40,11(0,)(2),xxexye yy eA f y e eB f xy eC f x e e y ''==+=+''===''==+= 所以 2212(2)0,B AC e e-=-+<且0A >. 从而1(0,)f e 是(,)f x y 的极小值，极小值为11(0,)f e e=-.(16)(本题满分9分) 【解析】曲线ny x =与1n y x+=的交点为(0,0)和(1,1)，所围区域的面积112111111()()001212n n n n n a x x dx x x n n n n +++=-=-=-++++⎰， 111lim 1111111lim()lim(),2312222Nn nN n n N N S a a N N N ∞→∞==→∞→∞===-++-=-=+++∑∑22111211111111(1)22123456nn n n n S a nn n∞∞∞-=====-=-+-++=-+∑∑∑（）. 考查幂级数1(1)n nn x n ∞=-∑，知其收敛域为(1,1]-，和函数为ln(1)x -+.因为2(1)()ln(1)n nn S x x x x n ∞=-==-+∑，令1x =，得2211(1)1ln 2n n S a S ∞-====-∑.(17)(本题满分11分)【解析】(I)椭球面1S 的方程为222143x y z ++=. 设切点为00(,)x y ，则22143x y +=在00(,)x y 处的切线方程为00143x x y y +=. 将4,0x y ==代入切线方程得01x =，从而032y ==±. 所以切线方程为142x y ±=，从而圆锥面2S 的方程为222(1)44x y z +-=，即222(4)440x y z ---=.(II)1S 与2S 之间的体积等于一个底面半径为32、高为3的锥体体积94π与部分椭球体体积V 之差，其中22135(4)44V x dx ππ=-=⎰.故所求体积为9544πππ-=.(18)(本题满分11分) 【解析】(Ⅰ)取()()()()()f b f a F x f x x a b a-=---，由题意知()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()()()()(),()()()()()().f b f a F a f a a a f a b af b f a F b f b b a f a b a -=--=--=--=-根据罗尔定理，存在(),a b ξ∈，使得()()()()0f b f a F f b aξξ-''=-=-，即()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(Ⅱ)对于任意的(0,)t δ∈，函数()f x 在[]0,t 上连续，在()0,t 内可导，由右导数定义及拉格朗日中值定理()()000()0()0lim lim lim ()0t t t f t f f tf f t tξξ++++→→→-'''===-，其中()0,t ξ∈. 由于()0lim t f t A +→'=，且当0t +→时，0ξ+→，所以0lim ()t f A ξ+→'=，故(0)f +'存在，且(0)f A +'=.(19)(本题满分10分)【解析】取2221:1x y z ∑++=的外侧，Ω为∑与1∑之间的部分.()()()11322223322222222.xdydz ydzdx zdxdyI xy zxdydz ydzdx zdxdyxdydz ydzdx zdxdyxy zxy z∑∑-∑∑++=++++++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰根据高斯公式()13222200xdydz ydzdx zdxdydxdydz x y z∑-∑Ω++==++⎰⎰⎰⎰⎰.()1122232222134.x y z xdydz ydzdx zdxdyxdydz ydzdx zdxdyxy zdxdydz π∑∑++≤++=++++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以4I π=.(20)(本题满分11分) 【解析】(Ⅰ)对矩阵1()Aξ施以初等行变换()11110221111111111012204220000A ξ⎛⎫-- ⎪---⎛⎫⎪ ⎪⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪---⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可求得 2122122k kk ξ⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，其中k 为任意常数.又2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，对矩阵21()A ξ施以初等行变换()211110220122201000044020000A ξ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭， 可求得 312a a b ξ⎛⎫-- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，其中,a b 为任意常数.(Ⅱ)解法1 由(Ⅰ)知12311122211,,102222ka ka kbξξξ--+--=-=-≠-， 所以123,,ξξξ线性无关.解法2 由题设可得10A ξ=.设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ξξξ++=， ①等式两端左乘A ，得22330k A k A ξξ+=，即21330k k A ξξ+=， ②等式两端再左乘A ，得2330k A ξ=，即310k ξ=.由于10ξ≠，于是30k =，代入②式，得210k ξ=，故20k =.将230k k ==代入①式，可得10k =，从而1,ξ23,ξξ线性无关.(21)(本题满分11分) 【解析】(Ⅰ)二次型f 的矩阵101111a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.由于01||01()((1))((2))111aE A aa a a a λλλλλλλ---=-=--+----+，所以A 的特征值为123,1,2a a a λλλ==+=-.(Ⅱ)解法1 由于f 的规范形为2212y y +，所以A 合同于100010000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，其秩为2，故 1230A λλλ==，于是0a =或1a =-或2a =.当0a =时，1230,1,2λλλ===-，此时f 的规范形为2212y y -，不合题意. 当1a =-时，1231,0,3λλλ=-==-，此时f 的规范形为2212y y --，不合题意. 当2a =时，1232,3,0λλλ===，此时f 的规范形为2212y y +. 综上可知，2a =.解法2 由于f 的规范形为2212y y +，所以A 的特征值有2个为正数，1个为零. 又21a a a -<<+，所以2a =.(22)(本题满分11分)【解析】(Ⅰ) 12211{1,0}463(10)1{0}9()2C P X Z P X Z P Z ⋅========. (Ⅱ)由题意知X 与Y 的所有可能取值均为0，1，2.()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0,461112,0,0,1,36311,1,2,10,910,2,91,20,2,20,C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======故(,)X Y 的概率分布为(23)(本题满分11 分) 【解析】(Ⅰ)2202().x EX xf x dx x e dx λλλ+∞+∞--∞===⎰⎰令X EX =，即2X λ=，得λ的矩估计量为12Xλ=. (Ⅱ)设12,,,(0,1,2,,)n i x x x x i n >=为样本观测值，则似然函数为()12121,,,;,nii nx nn i i L x x x ex λλλ=-=∑=⋅∏11ln 2ln ln nni i i i L n x x λλ===-+∑∑，由1ln 20ni i d L n x d λλ==-=∑，得λ的最大似然估计量为22Xλ=.。

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为 ( )(A) 1.(B) 2. (C) 3.(D) 无穷多个.(2) 当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则 ( )(A) 11,6a b ==-. (B) 11,6a b ==. (C) 11,6a b =-=-. (D) 11,6a b =-=.(3) 使不等式1sin ln x tdt x t>⎰成立的x 的范围是 ( )(A) (0,1).(B) (1,)2π. (C) (,)2ππ.(D) (,)π+∞.(4) 设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为 ( )(A) (B)(C)(D)(5) 设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为 ( ) (A) **32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(B) **23OB AO ⎛⎫⎪⎝⎭. (C) **32O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭.(D) **23OA BO ⎛⎫⎪⎝⎭. (6) 设,A P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则TQ AQ 为 ( )(A) 210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B) 110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(D) 100020002⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.(7) 设事件A 与事件B 互不相容，则 ( )(A) ()0P AB =.(B) ()()()P AB P A P B =. (C) ()1()P A P B =-.(D) ()1P AB =.(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====.记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z的间断点个数为 ( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.二、填空题:9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) cos x x →= .(10) 设()y xz x e =+，则(1,0)zx ∂=∂ _______ .(11) 幂级数21(1)n n nn e x n ∞=--∑的收敛半径为 ______. (12) 设某产品的需求函数为()Q Q p =，其对价格p 的弹性0.2p ε=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 _______ 元.(13) 设(1,1,1)T α=，(1,0,)T k β=.若矩阵Tαβ相似于300000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则k = ____ .(14) 设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2T X S =-，则ET = _____.三、解答题:15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值. (16)(本题满分10 分)计算不定积分ln 1dx ⎛ ⎝⎰ (0)x >. (17)(本题满分10 分)计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.(18)(本题满分11 分)(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(Ⅱ)证明:若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.(19)(本题满分10 分)设曲线()y f x =，其中()f x 是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t π倍，求该曲线方程. (20)(本题满分11 分)设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭(Ⅰ)求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ；(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量23,ξξ，证明:123,,ξξξ线性无关. (21)(本题满分11 分)设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-(Ⅰ)求二次型f 的矩阵的所有特征值；(Ⅱ)若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.(22)(本题满分11 分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为,0,(,)0,x e y x f x y -⎧<<=⎨⎩其他.(I) 求条件概率密度()Y X f y x ； (II) 求条件概率{}11P X Y ≤≤.(23)(本题满分11分)袋中有1个红球，2个黑球与3个白球.现有放回地从袋中取两次，每次取一个球，以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(Ⅰ)求{}10P X Z ==；(Ⅱ)求二维随机变量(),X Y 的概率分布.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)【答案】(C)【解析】由于()3sin x x f x xπ-=，则当x 取任何整数时，()f x 均无意义，故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±.320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即1,2,30,1x =±. (2) 【答案】(A)【解析】()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是0x →时的等价无穷小，则2200232000330()sin sin limlim lim ()ln(1)()sin 1cos sin lim lim lim 36sin lim 1,66x x x x x x x f x x ax x axg x x bx x bx x ax a ax a axbx bx bxa ax ab ax b →→→→→→→--=-⋅---=---⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭等洛洛 即36a b =-，故排除B ，C.另外，201cos lim3x a axbx →--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →，故1,a =排除D.所以本题选A.(3) 【答案】(A)【解析】原问题可转化为求1sin ()ln 0xtf x dt x t=->⎰成立时x 的取值范围. 11111sin sin 1()ln sin 11sin 0.xx x x x tt f x dt x dt dtt tt t t dt dt t t=-=---==>⎰⎰⎰⎰⎰由()0,1t ∈时，1sin 0tt->，知当()0,1x ∈时，()0f x >.故应选(A). (4) 【答案】(D)【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可以看出，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出下面几个方面的特征:① []1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增； ② []0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减； ③ []1,2x ∈时，()F x 单调递增； ④ []2,3x ∈时，()F x 为常函数； ⑤ ()F x 为连续函数.结合这些特点，可见正确选项为(D). (5) 【答案】(B)【解析】分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式221236OAA B B O⨯=-=⨯=（），即分块矩阵可逆，且1116112366.1132O A O A O A O B B O B O B O A O O B O B B O B A OA O A O A *---******⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为(B).(6)【答案】(A)【解析】1223123100100(,,)(,,)110110001001Q P ααααααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，100100110110001001110100100210010010110110.001002001002TT Q AQ P A P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪=⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(7) 【答案】(D)【解析】因为,A B 互不相容，所以()0P AB =.(A)()()1()P AB P AB P A B ==-，因为()P A B 不一定等于1，所以(A)不正确；(B)当(),()P A P B 不为0时，()B 不成立，故排除； (C)只有当,A B 互为对立事件的时候才成立，故排除； (D)()()1()1P AB P AB P AB ==-=，故()D 正确.(8) 【答案】(B)【解析】(){}{0}{0}{1}{1}11{0}{1}2211{00}{1},22Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=≤==+≤===≤=+≤==⋅≤=+≤=由于,X Y 相互独立，所以11(){0}{}22Z F z P X z P X z =⋅≤+≤. (1) 当0z <时，1()()2Z F z z =Φ；(2) 当0z ≥时，11()()22Z F z z =+Φ，因此，0z =为间断点，故选(B).二、填空题:9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9)【答案】32e 【解析】 cos cos 10x x x x -→→=200221(1cos )32lim lim 11233x x e x e x e x x→→⋅-===.(10) 【答案】12ln2+【解析】解法1:由于()xy z x e=+，故()(),01xz x x =+，()ln(1)ln(1)01ln(1)1x x x x x y z x x e e x xx ++=∂'⎡⎤'⎡⎤⎡⎤=+==++⎣⎦⎢⎥⎣⎦∂+⎣⎦， 代入1x =，得ln 2(1,0)1ln 22ln 212z e x ∂⎛⎫=+=+ ⎪∂⎝⎭.解法2:由于ln()()()ln()yx x e y x y x y y e x e z x x e x e x x x x e +⎡⎤∂⎡⎤∂+∂⎡⎤⎣⎦⎣⎦===+⋅++⎢⎥∂∂∂+⎣⎦， 故000(1,0)1(1)ln(1)2ln 211z e e x e ∂⎡⎤=+⋅++=+⎢⎥∂+⎣⎦. (11) 【答案】1e -【解析】由题意知，()210nn n e a n--=>， ()()()()1121211221lim lim 1111lim ,111n n n nn n n nn n n n n e an a n e e e n e n e e +++→∞→∞++→∞--=⋅+--⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⋅=⎡⎤+⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以，该幂级数的收敛半径为1e -. (12) 【答案】8000【解析】所求即为()Qp Q p Q ''=+. 因为0.2p Q pQε'=-=，所以0.2Q p Q '=-，所以()0.20.8Qp Q Q Q '=-+=. 将10000Q =代入有()8000Qp '=.(13) 【答案】2【解析】T αβ相似于300000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，根据相似矩阵有相同的特征值，得到Tαβ的特征值为3，0，0.而T αβ为矩阵Tαβ的对角元素之和，1300k ∴+=++，2k ∴=. (14) 【答案】2np【解析】222()(1)ET E X S E X ES np np p np =-=-=--=.三、解答题:15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)【解析】 2(,)2(2)x f x y x y '=+，2(,)2ln 1y f x y x y y '=++.令(,)0,(,)0,x y f x y f x y ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩解得唯一驻点1(0,)e .由于212(0,)1(0,)21(0,)11(0,)2(2)2(2),1(0,)40,11(0,)(2),xxexy e yy eA f y e eB f xy eC f x e e y ''==+=+''===''==+=所以 2212(2)0,B AC e e -=-+<且0A >. 从而1(0,)f e 是(,)f x y 的极小值，极小值为11(0,)f e e=-.(16)(本题满分10 分) 【解析】解法1t =，则21,1x t =-()()2221ln 1ln 11ln 111111dx t d t t dt t t t ⎛⎛⎫+=+ ⎪ -⎝⎭⎝+=-⋅--+⎰⎰⎰而()()()()()()2211112411111111ln 1ln 1,4421dt dt t t t t t t t C t ⎡⎤=--⎢⎥-+-++⎢⎥⎣⎦=--++++⎰⎰所以()()2ln 1111ln 1ln 141211ln 141ln 1ln 211ln 1ln .22t t dx C t t t x C x Cx x C ⎛+++=+-+ --+⎝⎛=++ ⎝⎛=+-+ ⎝⎛=++⎝⎰解法21ln 1ln 11dx x x dx -'⎛⎛⎛=- ⎝⎝⎝⎰⎰1ln 112x dx ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎰11ln 122x x ⎛=++- ⎝(2ln lnudu u C C=++=+分部即)11ln 1ln 1ln22dx x x C ⎛⎛=+-+ ⎝⎝⎰1D1ln 1ln 211ln 1ln .22x Cx x C ⎛=++++ ⎝⎛=+++- ⎝(17)(本题满分10 分)【解析】解法1 如右图所示，区域D 的极坐标表示为302(sin cos ),44r ππθθθ≤≤+≤≤. 32(sin cos )442(sin cos )33404334433443444()(cos sin )1(cos sin )38(cos sin )(sin cos )38(sin cos )(sin cos )3818(sin cos ).343Dr r x y dxdy d r r rdrr d d d θθππθθππππππππθθθθθθθθθθθθθθθθθ+=+=-=-⎡⎤=-⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-+=++=⨯+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解法2 将区域D 分成12,D D两部分(如右图)，其中(){}(){}12,110,,12.D x y y x D x y x y x =≤≤≤≤=≤≤≤≤由二重积分的性质知()()()12DD D x y dxdyx y dxdy x y dxdy-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰，而()1111)D x ydxdy x y dy-=-⎰⎰⎰⎰103122,33x =-=-=-⎰()221020230)122(21242,23xD x y dxdy dx x y dyx dx -=-⎡=---⎣⎡⎤=-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 所以()()()1228233DD D x y dxdy x y dxdy x y dxdy -=-+-=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰. (18)(本题满分11 分) 【解析】(Ⅰ)取()()()()()f b f a F x f x x a b a-=---，由题意知()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()()()()(),()()()()()().f b f a F a f a a a f a b af b f a F b f b b a f a b a -=--=--=--=-根据罗尔定理，存在(),a b ξ∈，使得()()()()0f b f a F f b aξξ-''=-=-，即()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(Ⅱ)对于任意的(0,)t δ∈，函数()f x 在[]0,t 上连续，在()0,t 内可导，由右导数定义及拉格朗日中值定理()()000()0()0lim lim lim ()0t t t f t f f tf f t tξξ++++→→→-'''===-，其中()0,t ξ∈. 由于()0lim t f t A +→'=，且当0t +→时，0ξ+→，所以0lim ()t f A ξ+→'=，故(0)f +'存在，且(0)f A +'=.(19)(本题满分10 分) 【解析】解法1 由题意知211()()t tf x dx t f x dx ππ=⎰⎰，两边对t 求导得21()()()tf t f x dx tf t =+⎰，代入1t =得 (1)1f =或(1)0f = (舍去).再求导得 2()()2()()f t f t f t tf t ''=+，记()f t y =，则112dt t dy y+=，因此， 111222()()dydyy y t eedy C y C --⎰⎰=+=+⎰132222()33y y C y -=+=+.代入1,1t y ==得13C =，从而23t y =+.故所求曲线方程为23x y =+解法2 同解法1，得2()()2()(),(1)1f t f t f t tf t f ''=+=.整理得22dy ydt y t=-. 令y u t =，则 dy duu tdt dt=+， 原方程变成 23221du u u t dt u -=-， 分离变量得211(32)u du dt u u t -=-，即 114332dtdu u u t-⎛⎫+=⎪-⎝⎭， 积分得 21ln (32)ln 3u u Ct --=， 即 1233(32)u u Ct ---=.代入1,1t u ==，得1C =，所以231(32)u u t -=. 代入y ut =化简得2(32)1y t y -=，即23t y =+.故所求曲线方程为23x y =+.(20)(本题满分11 分)【解析】(Ⅰ)对矩阵1()A ξ施以初等行变换()11110221111111111012204220000A ξ⎛⎫-- ⎪---⎛⎫⎪ ⎪⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪---⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可求得 2122122k kk ξ⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，其中k 为任意常数.又2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，对矩阵21()A ξ施以初等行变换()211110220122201000044020000A ξ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭， 可求得 312a a b ξ⎛⎫-- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，其中,a b 为任意常数.(Ⅱ)解法1 由(Ⅰ)知12311122211,,102222ka ka kbξξξ--+--=-=-≠-， 所以123,,ξξξ线性无关.解法2 由题设可得10A ξ=.设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ξξξ++=， ①等式两端左乘A ，得22330k A k A ξξ+=，即21330k k A ξξ+=， ②等式两端再左乘A ，得2330k A ξ=，即310k ξ=.由于10ξ≠，于是30k =，代入②式，得210k ξ=，故20k =.将230k k ==代入①式，可得10k =，从而1,ξ23,ξξ线性无关.(21)(本题满分11 分) 【解析】(Ⅰ)二次型f 的矩阵101111a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.由于01||01()((1))((2))111aE A aa a a a λλλλλλλ---=-=--+----+，所以A 的特征值为123,1,2a a a λλλ==+=-.(Ⅱ)解法1 由于f 的规范形为2212y y +，所以A 合同于100010000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，其秩为2，故1230A λλλ==，于是0a =或1a =-或2a =.当0a =时，1230,1,2λλλ===-，此时f 的规范形为2212y y -，不合题意. 当1a =-时，1231,0,3λλλ=-==-，此时f 的规范形为2212y y --，不合题意. 当2a =时，1232,3,0λλλ===，此时f 的规范形为2212y y +.综上可知，2a =.解法2 由于f 的规范形为2212y y +，所以A 的特征值有2个为正数，1个为零.又21a a a -<<+，所以2a =.(22)(本题满分11 分)【解析】(I)X 的概率密度0,0,,0,()(,)0,0.0,0xx x X e dy x xe x f x f x y dy x x --+∞-∞⎧⎧>>⎪===⎨⎨≤⎩⎪≤⎩⎰⎰当0x >时，Y 的条件概率密度|1,0,(,)(|)()0,Y X X y x f x y f y x x f x ⎧<<⎪== ⎨⎪⎩其他.(II)Y 的概率密度,0,()(,)0,0.y Y e y f y f x y dx y -+∞-∞⎧>==⎨≤⎩⎰{}{}{}111111,11|11(,)2.11xx y P X Y P X Y P Y dx e dyf x y dxdye e e e dy--∞-∞--≤≤≤≤=≤-===--⎰⎰⎰⎰⎰(23)(本题满分11分)【解析】(Ⅰ) 12211{1,0}463(10)1{0}9()2C P X Z P X Z P Z ⋅========. (Ⅱ)由题意知X 与Y 的所有可能取值均为0，1，2.()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0,461112,0,0,1,36311,1,2,10,910,2,91,20,2,20,C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======故(,)X Y 的概率分布为。