高考数学一轮复习 第九篇 解析几何 第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系教案 理 新人教版

2019-2020年高考数学一轮复习 第九篇 解析几何 第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系教案 理 新人教版【xx 年高考会这样考】1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想．2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用． 【复习指导】本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题．基础梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F x ，y ＝0，消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 无公共点．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x2－x12＋y2－y12＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2·|y1－y2|.(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．一种方法点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．一条规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．双基自测1．(人教A版教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为( )．A．相交B．相切C．相离D．不确定解析直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，而点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案 A2．(xx·泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点．答案 A3．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )．A．3 2 B．2 6 C．27 D．4 2解析根据题意设椭圆方程为x2b2＋4＋y2b2＝1(b＞0)，则将x＝－3y－4代入椭圆方程，得4(b 2＋1)y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)·(－b 4＋12b 2)＝0，即(b 2＋4)(b 2－3)＝0，∴b 2＝3， 长轴长为2b 2＋4＝27. 答案 C4．(xx·成都月考)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )． A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b25a2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1.答案 B5．(xx·泉州模拟)y ＝kx ＋2与y 2＝8x 有且仅有一个公共点，则k 的取值为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2；若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1.故k ＝0或k ＝1. 答案 0或1考向一 直线与圆锥曲线的位置关系【例1】►(xx·合肥模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4][审题视点] 设直线l 的方程，将其与抛物线方程联立，利用Δ≥0解得．解析 由题意得Q (－2,0)．设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k2＝0，∴当k ＝0时，直线l 与抛物线恒有一个交点；当k ≠0时，Δ＝16(k 2－2)2－16k 4≥0，即k 2≤1，∴－1≤k ≤1，且k ≠0，综上－1≤k ≤1. 答案 C研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解． 【训练1】 若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )．A ．至多为1B ．2C ．1D ．0 解析 由题意知：4m 2＋n2＞2，即m 2＋n 2＜2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2个．答案 B考向二 弦长及中点弦问题【例2】►若直线l 与椭圆C ：x 23＋y 2＝1交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．[审题视点] 联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系后代入弦长公式，利用基本不等式求出弦长的最大值即可． 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3；(2)当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .由已知，得|m |1＋k2＝32，即m 2＝34(k 2＋1)．把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0. ∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝m 2－3k 2＋1. ∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 2k 2＋2－m 2－3k 2＋1＝k 2＋k 2＋1－m 2k 2＋2＝k 2＋k 2＋k 2＋2＝3＋12k29k 4＋6k 2＋1.当k ≠0时，上式＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝4，当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．此时|AB |＝2；当k ＝0时，|AB |＝3，综上所述|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值S max ＝12×|AB |max ×32＝32.当直线(斜率为k )与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，则|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|，而|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．【训练2】 椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解 法一 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 代入椭圆方程并作差得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k oc ＝22， 代入上式可得b ＝2a .再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22， 其中x 1、x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， 故⎝⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23.∴所求椭圆的方程是x 23＋2y23＝1.法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则|AB |＝k 2＋x 1－x 22＝2·4b 2－a ＋bb －a ＋b2.∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b ＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝ba ＋b，y ＝1－x ＝aa ＋b，∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22. 代入①，得a ＝13，b ＝23.∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.考向三 圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题【例3】►(xx·湘潭模拟)已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点．(1)求过点O 、F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．[审题视点] (1)求出圆心和半径，得出圆的标准方程；(2)设直线AB 的点斜式方程，由已知得出线段AB 的垂直平分线方程，利用求值域的方法求解．解 (1)∵a 2＝2，b 2＝1，∴c ＝1，F (－1,0)， ∵圆过点O ，F ，∴圆心M 在直线x ＝－12上．设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，t ，则圆半径r ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－－＝32，由|OM |＝r ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋t 2＝32，解得t ＝±2，∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ±2)2＝94.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， ∴方程有两个不等实根．如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1， ∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，∵k ≠0，∴－12＜x G ＜0，∴点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0. 直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．【训练3】 (xx·金华模拟)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y－4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p 2， ②又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p ＞0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， 得抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k x ＋得x 2－4kx －16k ＝0，④∴x 0＝x C ＋x B2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4. ∴b ∈(2，＋∞)．考向四 定值(定点)问题【例4】►(xx·四川)椭圆有两顶点A (－1,0)、B (1,0)，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q . (1)当|CD |＝322时，求直线l 的方程．(2)当点P 异于A 、B 两点时，求证：O P →·O Q →为定值．[审题视点] (1)设出直线方程与椭圆方程联立．利用根与系数的关系和弦长公式可求出斜率从而求出直线方程；(2)关键是求出Q 点坐标及其与P 点坐标的关系，从而证得OP →·OQ →为定值．证明过程中要充分利用已知条件进行等价转化． (1)解 因椭圆焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知得b ＝1，c ＝1，所以a ＝2，椭圆方程为y 22＋x 2＝1.直线l 垂直于x 轴时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，将其代入椭圆方程化简得 (k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2， |CD |＝k 2＋1·x 1＋x 22－4x 1x 2＝22k 2＋k 2＋2.由已知得22k 2＋k 2＋2＝322，解得k ＝± 2.所以直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝－2x ＋1. (2)证明 直线l 与x 轴垂直时与题意不符． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0且k ≠±1)，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，0.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由(1)知x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2， 直线AC 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)， 直线BD 的方程为y ＝y 2x 2－1(x －1)，将两直线方程联立，消去y 得x ＋1x －1＝y 2x 1＋y 1x 2－.因为－1＜x 1，x 2＜1，所以x ＋1x －1与y 2y 1异号． ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －12＝y 22x 1＋2y 21x 2－2＝2－2x 222－2x 21·x 1＋2x 2－2＝＋x 1＋x2－x 1－x2＝1＋－2k k 2＋2＋－1k 2＋21－－2k k 2＋2＋－1k 2＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k ＋12.又y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝－k＋kk 2＋2＝－＋k 2k 2＋2·k －1k ＋1， ∴k －1k ＋1与y 1y 2异号，x ＋1x －1与k －1k ＋1同号， ∴x ＋1x －1＝k －1k ＋1，解得x ＝－k . 因此Q 点坐标为(－k ，y 0)．O P →·O Q →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，0·()－k ，y 0＝1.故O P →·O Q →为定值．解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确：即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积等，其不受变化的量所影响的一个值即为定值，化解这类问题的关键是引进参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量，解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况，计算要准确．【训练4】 (xx·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1.如图所示，斜率为k (k ＞0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m )． (1)求m 2＋k 2的最小值；(2)若|OG |2＝|OD |·|OE |，求证：直线l 过定点．(1)解 设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k ＞0)，由题意，t ＞0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.由题意Δ＞0，所以3k 2＋1＞t 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6kt3k 2＋1，所以y 1＋y 2＝2t3k 2＋1.由于E 为线段AB 的中点，因此x E ＝－3kt3k 2＋1，y E ＝t3k 2＋1， 此时k OE ＝y E x E ＝－13k .所以OE 所在直线方程为y ＝－13kx ，又由题设知D (－3，m )，令x ＝－3，得m ＝1k，即mk ＝1，所以m 2＋k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，此时由Δ＞0得0＜t ＜2，因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2＋k 2取最小值2. (2)证明 由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－13k x ，将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0，解得G ⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋1，13k 2＋1. 又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt3k 2＋1，t 3k 2＋1，D ⎝⎛⎭⎪⎫－3，1k ，由距离公式及t ＞0得|OG |2＝⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋12＝9k 2＋13k 2＋1， |OD |＝ －2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＝9k 2＋1k ，|OE |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 3k 2＋12＝t 9k 2＋13k 2＋1，由|OG |2＝|OD |·|OE |得t ＝k ， 因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 所以直线l 恒过定点(－1,0)．规范解答17——怎样求解析几何中的探索性问题【问题研究】 解析几何中探索性问题的结论往往不明确，需要根据已知条件通过推理论证或是计算对结论作出明确的肯定或是否定，因此解决起来具有较大的难度．【解决方案】 明确这类问题的解题思想：即假设其结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答，如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答． 【示例】►(本题满分12分)(xx·辽宁)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M 、N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e .直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D . (1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．第(1)问，设C 1的方程，C 2的方程同样由C 1的系数a ，b 来表示，再分别求点A 、B 的坐标，进而可求|BC |∶|AD |；第(2)问利用k BO ＝k AN ，得t 与e 、a 的关系式，再由|t |＜a ，求e 的范围．[解答示范] (1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a2＝1，(a ＞b ＞0)．设直线l ：x ＝t (|t |＜a )，分别与C 1，C 2的方程联立， 求得A (t ，a b a 2－t 2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，b a a 2－t 2.(4分)当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知|BC |∶|AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34.(6分)(2)t ＝0时的l 不符合题意．t ≠0时，BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即b a a 2－t 2t ＝a ba 2－t 2t －a，(8分) 解得t ＝－ab 2a 2－b 2＝－1－e2e2·a .因为|t |＜a ，又0＜e ＜1，所以1－e 2e 2＜1，解得22＜e ＜1.(10分)所以当0＜e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ； 当22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN .(12分) 本题探索的是离心率e 的变化范围，化解这个难点的方法首先假设存在直线l ，使得BO ∥AN ，根据k BO ＝k AN ，再由|t |＜a 构建关于e 的不等式，解出e 的范围，最后作出肯定回答．【试一试】 已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[尝试解答] (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：x －2＋y 2－x ＝1(x ＞0)．化简得y 2＝4x (x ＞0)．(2)设过点M (m,0)(m ＞0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )＞0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .①又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)．FA →·FB →＜0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＜0.②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋1＜0⇔y 1y 2216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1＜0，③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1＜4t 2，④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1＜0，即3－22＜m ＜3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →＜0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．2019-2020年高考数学一轮复习 第九篇 解析几何 第9讲 曲线与方程教案 理 新人教版【xx 年高考会这样考】1．考查方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．利用直接法或定义法求轨迹方程．3．结合平面向量知识能确定动点轨迹，并会研究轨迹的有关性质． 【复习指导】正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，常用方法有：直接法、定义法、待定系数法、相关点法、参数法等。

高考数学（理科）一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案54 直线与圆锥曲线的位置关系导学目标：1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想．自主梳理．直线与椭圆的位置关系的判定方法将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，若Δ>0，则直线与椭圆________；若Δ＝0，则直线与椭圆________；若Δ<0，则直线与椭圆________．直线与双曲线的位置关系的判定方法将直线方程与双曲线方程联立消去y，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0.①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线________；当Δ＝0时，直线与双曲线________；当Δ<0时，直线与双曲线________．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有________交点．直线与抛物线位置关系的判定方法将直线方程与抛物线方程联立，消去y，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0.①当a≠0，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴________，只有________交点．2．已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程AB是椭圆x2a2＋y2b2＝1的一条弦，m是AB的中点，则kAB＝________，kAB•kom＝__________.点差法求弦的斜率的步骤是：①将端点坐标代入方程：x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1.②两等式对应相减：x21a2－x22a2＋y21b2－y22b2＝0.③分解因式整理：kAB＝y1－y2x1－x2＝－b2x1＋x2a2y1＋y2＝－b2x0a2y0.运用类比的手法可以推出：已知AB是双曲线x2a2－y2b2＝1的弦，中点m，则kAB＝__________________.已知抛物线y2＝2px的弦AB的中点m，则kAB＝____________.3．弦长公式直线l：y＝kx＋b与圆锥曲线c：F＝0交于A，B两点，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2•y1＋y22－4y1y2.自我检测．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，Ak⊥l，垂足为k，则△AkF的面积是A．4B．33c．43D．82．与抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线的焦点坐标是A．B.116，0c．D.0，－1163．已知曲线x2a＋y2b＝1和直线ax＋by＋1＝0，在同一坐标系中，它们的图形可能是4．过点0，－12的直线l与抛物线y＝－x2交于A、B 两点，o为坐标原点，则oA→•oB→的值为A．－12B．－14c．－4D．无法确定探究点一直线与圆锥曲线的位置关系例1 k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？变式迁移1 已知抛物线c的方程为x2＝12y，过A，B 两点的直线与抛物线c没有公共点，则实数t的取值范围是A．∪B.－∞，－22∪22，＋∞c．∪D．∪探究点二圆锥曲线中的弦长问题例2 如图所示，直线y＝kx＋b与椭圆x24＋y2＝1交于A、B两点，记△AoB的面积为S.求在k＝0,0<b<1的条件下，S的最大值；当|AB|＝2，S＝1时，求直线AB的方程．变式迁移2 已知椭圆的两焦点为F1，F2，离心率e＝32.求椭圆的标准方程；设直线l：y＝x＋m，若l与椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．探究点三求参数的范围问题例3 直线m：y＝kx＋1和双曲线x2－y2＝1的左支交于A、B两点，直线l过点P和线段AB的中点m，求l在y 轴上的截距b的取值范围．变式迁移3 在平面直角坐标系xoy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围；设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量oP→＋oQ→与AB→共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．函数思想的应用例已知椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线为l1，l2，过椭圆c的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆c的两个交点由上至下依次为A，B.当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆c的方程及离心率；求|FA||AP|的最大值．【答题模板】解双曲线的渐近线为y＝±bax，两渐近线夹角为60°，又ba<1，∴∠Pox＝30°，∴ba＝tan30°＝33，∴a＝3b.又a2＋b2＝22，∴3b2＋b2＝4，[2分]∴b2＝1，a2＝3，∴椭圆c的方程为x23＋y2＝1，∴离心率e＝a2－b2a＝63.[4分]由已知，l：y＝ab与y＝bax联立，解方程组得Pa2c，abc.[6分]设|FA||AP|＝λ，则FA→＝λAP→，∵F，设A，则＝λa2c－x0，abc－y0，∴x0＝c＋λ•a2c1＋λ，y0＝λ•abc1＋λ.即Ac＋λ•a2c1＋λ，λ•abc1＋λ.[8分] 将A点坐标代入椭圆方程，得2＋λ2a4＝2a2c2，等式两边同除以a4，2＋λ2＝e22，e∈，[10分]∴λ2＝e4－e2e2－2＝－2－e2＋22－e2＋3≤－22－e2•22－e2＋3＝3－22＝2，∴当2－e2＝2，即e2＝2－2时，λ有最大值2－1，即|FA||AP|的最大值为2－1.[12分]【突破思维障碍】最值问题是从动态角度去研究解析几何中数学问题的主要内容，一是在准确把握题意的基础上，建立函数、不等式模型，利用二次函数、三角函数的有界性、基本不等式解决；二是利用数形结合，考虑相切、相交的几何意义解决．【易错点剖析】不能把|FA||AP|转化成向量问题，使得运算繁琐造成错误，由λ2＝e4－e2e2－2不会求最值或忽视e2－2<0这个隐含条件．．直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一，也是高考的热点，这类问题往往与函数、不等式、三角、向量等知识综合、交汇考查，而且对综合能力的考查显见其中．因此解决此类问题需要有较广的知识面及较强的解决问题的能力．2．从题目类型上多见于与弦的中点、弦长、弦所在直线的斜率等有关的最值问题、参数范围问题．基本思路就是直线方程与圆锥曲线方程联立消元得到形如ax2＋bx＋c＝0的方程，由韦达定理得x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.然后再把要研究的问题转化为用x1＋x2和x1x2去表示．最后，用函数、不等式等知识加以解决．需要注意的就是要注意对隐含条件的挖掘，比如判别式Δ≥0，圆锥曲线中有关量的固有范围等．一、选择题．F1、F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1的两个焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为A．圆B．椭圆c．双曲线D．抛物线2．若双曲线x29－y24＝1的渐近线上的点A与双曲线的右焦点F的距离最小，抛物线y2＝2px通过点A，则p的值为A.92B．2c.21313D.13133．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是A．2B．3c.115D.37164．已知直线y＝k与抛物线c：y2＝8x相交于A、B两点，F为c的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k等于A.13B.23c.23D.2235．斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A、B 两点，则|AB|的最大值为A．2B.455c.4105D.8105二、填空题6．若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆x25＋y2t ＝1恒有公共点，则t的范围是______________．7．P为双曲线x2－y215＝1右支上一点，m、N分别是圆2＋y2＝4和2＋y2＝1上的点，则|Pm|－|PN|的最大值为________．8．已知抛物线c：y2＝2px的准线为l，过m且斜率为3的直线与l相交于点A，与c的一个交点为B，若Am→＝mB→，则p＝________.三、解答题9．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，求|AB|的长．0．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1的离心率e＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.求椭圆的方程；设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为，点Q在线段AB的垂直平分线上，且QA→•QB →＝4，求y0的值．11．P是双曲线E：x2a2－y2b2＝1上一点，m，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线Pm，PN的斜率之积为15.求双曲线的离心率；过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B 两点，o为坐标原点，c为双曲线上一点，满足oc→＝λoA →＋oB→，求λ的值．学案54 直线与圆锥曲线的位置关系自主梳理．相交相切相离①相交相切相离②一个②平行一个 2.－b2x0a2y0－b2a2b2x0a2y0 py0自我检测．c 2.c 3.c 4.B课堂活动区例1 解题导引用直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，也就是用代数的方法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法．方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数，若含参数，需按二次项系数是否为零进行分类讨论，只有二次项系数不为零时，方程才是一元二次方程，后面才可以用判别式Δ的符号判断方程解的个数，从而说明直线与圆锥曲线的位置关系．解由y＝kx＋2，2x2＋3y2＝6，得2x2＋32＝6，即x2＋12kx＋6＝0，Δ＝144k2－24＝72k2－48.当Δ＝72k2－48>0，即k>63或k<－63时，直线和曲线有两个公共点；当Δ＝72k2－48＝0，即k＝63或k＝－63时，直线和曲线有一个公共点；当Δ＝72k2－48<0，即－63<k<63时，直线和曲线没有公共点．变式迁移1 D [直线AB的方程为y＝4tx－1，与抛物线方程x2＝12y联立得x2－2tx＋12＝0，由于直线AB与抛物线c没有公共点，所以Δ＝4t2－2<0，解得t>2或t<－2.]例2 解题导引本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．“设而不求”是解决直线与圆锥曲线交点问题的基本方法．当所求弦为焦点弦时，可结合圆锥曲线的定义求解．解设点A的坐标为，点B的坐标为，由x24＋y2＝1，解得x1,2＝±21－b2，所以S＝12b|x1－x2|＝2b1－b2≤b2＋1－b2＝1.当且仅当b＝22时，S取到最大值1.由y＝kx＋bx24＋y2＝1得x2＋8kbx＋4b2－4＝0，Δ＝16．①|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2•164k2－b2＋14k2＋1＝2.②又因为o到AB的距离d＝|b|1＋k2＝2S|AB|＝1，所以b2＝k2＋1.③将③代入②并整理，得4k4－4k2＋1＝0，解得k2＝12，b2＝32，代入①式检查，Δ>0.故直线AB的方程是：y＝22x＋62或y＝22x－62或y＝－22x＋62或y＝－22x－62.变式迁移2 解设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，则c＝3，ca＝32.∴a＝2，b＝1.∴所求椭圆方程为x24＋y2＝1.由y＝x＋m，x24＋y2＝1，消去y得关于x的方程：5x2＋8mx＋4＝0，则Δ＝64m2－80>0，解得m2<5.设P，Q，则x1＋x2＝－85m，x1x2＝4m2－15，y1－y2＝x1－x2，∴|PQ|＝x1－x22＋y1－y22＝2x1－x22＝2－85m2－165m2－1＝2，解得m2＝158，满足，∴m＝±304.例3 解题导引直线与圆锥曲线的位置关系从代数的角度来看，就是直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组有无解的问题，结合判别式Δ研究，利用设而不求与整体代入等技巧与方法，从而延伸出一些复杂的参数范围的研究．解由y＝kx＋1x2－y2＝1得x2＋2kx＋2＝0.设A，B，则Δ＝4k2＋81－k2>0x1＋x2＝2k1－k2<0x1x2＝－21－k2>0，∴1<k<2.设m，由x0＝x1＋x22＝k1－k2y0＝y1＋y22＝11－k2，设l与y轴的交点为Q，则由P，mk1－k2，11－k2，Q三点共线得b＝2－2k2＋k＋2，设f＝－2k2＋k＋2，则f在上单调递减，∴f∈，∴b∈∪．变式迁移3 解由已知条件，直线l的方程为y＝kx ＋2，代入椭圆方程得x22＋2＝1，整理得12＋k2x2＋22kx＋1＝0.①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－412＋k2＝4k2－2>0，解得k<－22或k>22.即k的取值范围为－∞，－22∪22，＋∞.设P，Q，则oP→＋oQ→＝，由方程①，x1＋x2＝－42k1＋2k2.②又y1＋y2＝k＋22.③而A，B，AB→＝．所以oP→＋oQ→与AB→共线等价于x1＋x2＝－2，将②③代入上式，解得k＝22.由知k<－22或k>22，故没有符合题意的常数k.课后练习区．A 2.c 3.A 4.D 5.c6．[1,5) 7.5 8.29．解设直线AB的方程为y＝x＋b，由y＝－x2＋3，y＝x＋b，消去y得x2＋x＋b－3＝0，∴x1＋x2＝－1.于是AB的中点m，且Δ＝1－4>0，即b<134.又m在直线x＋y＝0上，∴b＝1符合．∴x2＋x－2＝0.由弦长公式可得|AB|＝1＋12－12－4×－2＝32.0．解由e＝ca＝32，得3a2＝4c2.再由c2＝a2－b2，得a＝2b.由题意可知12×2a×2b＝4，即ab＝2.解方程组a＝2b，ab＝2，得a＝2，b＝1.所以椭圆的方程为x24＋y2＝1.由可知A，且直线l的斜率必存在．设B点的坐标为，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k．于是A，B两点的坐标满足方程组y＝kx＋2，x24＋y2＝1.由方程组消去y并整理，得x2＋16k2x＋＝0.由根与系数的关系，得－2x1＝16k2－41＋4k2，所以x1＝2－8k21＋4k2，从而y1＝4k1＋4k2.设线段AB的中点为m，则m的坐标为．以下分两种情况讨论：①当k＝0时，点B的坐标是，线段AB的垂直平分线为y轴，于是QA→＝，QB→＝．由QA→•QB→＝4，得y0＝±22.②当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为y－2k1＋4k2＝－1k．令x＝0，解得y0＝－6k1＋4k2.由QA→＝，QB→＝，QA→•QB→＝－2x1－y0＝－22－8k21＋4k2＋6k1＋4k2＝416k4＋15k2－11＋4k22＝4，整理得7k2＝2，故k＝±147.所以y0＝±2145.综上，y0＝±22或y0＝±2145.1．解由点P在双曲线x2a2－y2b2＝1上，有x20a2－y20b2＝1.由题意有y0x0－a•y0x0＋a＝15，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝ca＝305.联立x2－5y2＝5b2，y＝x－c，得4x2－10cx＋35b2＝0.设A，B，则x1＋x2＝5c2，x1x2＝35b24.①设oc→＝，oc→＝λoA→＋oB→，即x3＝λx1＋x2，y3＝λy1＋y2.又c为双曲线上一点，即x23－5y23＝5b2，有2－52＝5b2.化简得λ2＋＋2λ＝5b2.②又A，B在双曲线上，所以x21－5y21＝5b2，x22－5y22＝5b2.由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5＝－4x1x2＋5c－5c2＝10b2，②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.。

第五十五课时 直线与圆锥曲线的位置关系课前预习案1、了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2、掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.3、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.4、了解圆锥曲线的简单应用.5、理解数形结合的思想.1.直线和圆锥曲线的位置关系（1）位置关系：相交、相切、相离。

（2）位置关系的判断：已知直线:0l ax by c ++=，圆锥曲线:(,)0M f x y =，联立方程组0(,)0ax by c f x y ++=⎧⎨=⎩，消元（消x 或y ），整理得20Ax Bx C ++=<1>若0A =，则直线l 和圆锥曲线M 只有一个公共点.①当曲线为双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合； ②当曲线为抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行. <2>若0A ≠，设24B AC ∆=-①当0∆>时，直线和圆锥曲线M 有两个不同的公共点； ②当0∆=时，直线和圆锥曲线M 相切，只有一个公共点； ③当0∆<时，直线和圆锥曲线M 没有公共点. 2.弦长问题（1）斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则所得弦长1212|||PP x x =-或1212|||PP y y =-（0k ≠）； （2）椭圆与双曲线的通径长为22b a；（3）抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，弦AB 过焦点F ，①；()121222p pAB AF BB x x x x p =+=+++=++ ②若直线AB 与x 轴的夹角为θ，则22||sin pAB θ=；特别地，抛物线的通径长为2p .1．双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（ ）A 、2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B 、5,0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C 、6,0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D 、()3,02．以抛物线24=y x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ） A.2220++=x y x B.220++=x y x C.220+-=y x χ D.2220+-=x y x 3．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅u u u r u u u r 的最大值为（ ）A.2B.3C.6D.8第五十五课时 直线与圆锥曲线的位置关系课堂探究案典型例题考点一：圆锥曲线定义、方程的综合【典例1】（1）若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为1F 、2F ,线段21F F 被抛物线bx y 22=的焦点分成2:3的两段,则此双曲线的离心率为 （ ） A ．89B ．37376 C ．335D ．21215 （2）已知椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x12-143y2- 0112则1与2的标准方程分别为（ ）A. 2214x y +=；24y x = B. 2212x y +=；24y x = C. 2214x y +=；22y x = D. 22143x y +=；24y x =【变式1】（1）已知三个数2,8m ，构成一个等比数列，则圆锥曲线2212x y m +=的离心率为 （A ）22（B ）3 （C ）22或3 （D ）22或62（2）已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的一条渐近线的斜率为2，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．2B ．3C ．2D ．23考点二：直线和圆锥曲线的位置关系【典例2】过抛物线24y x =的焦点F 作弦AB ，且||8AB ≤，直线AB 与椭圆22322x y +=相交于两个不同的点，求直线AB 的倾斜角的取值范围.【变式2】椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点(,)P a b 满足212||||PF F F =．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线2PF 与椭圆相交于A 、B 两点，若直线2PF 与圆22(1)(3)16x y ++-=相交于M 、N 两点，且5||||8MN AB =，求椭圆的方程．考点三：最值问题【典例3】已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，由4个点(,)M a b -，(,)N a b ，2F 和1F 构成了一个高为3，面积为33的等腰梯形.（1）求椭圆的方程;（2）过点1F 的直线和椭圆交于两点A 、B ，求2F AB ∆面积的最大值.【变式3】已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>过点(0,2)M ，离心率63e =.（1）求椭圆的方程；（2）设过定点(2,0)N 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点),求直线l 斜率的取值范围.当堂检测1. 若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．错误!未找到引用源。

第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系【2020年高考会这样考】1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想．2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用． 【复习指导】本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题．基础梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F x ，y ＝0，消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 无公共点．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2·|y 1－y 2|.(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．一种方法点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．一条规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．双基自测1．(人教A版教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为( )．A．相交B．相切C．相离D．不确定解析直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，而点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案 A2．(2020·泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点．答案 A3．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )．A．3 2 B．2 6 C．27 D．4 2解析根据题意设椭圆方程为x2b2＋4＋y2b2＝1(b＞0)，则将x＝－3y－4代入椭圆方程，得4(b2＋1)y2＋83b2y－b4＋12b2＝0，∵椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(83b2)2－4×4(b2＋1)·(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)(b2－3)＝0，∴b2＝3，长轴长为2b 2＋4＝27. 答案 C4．(2020·成都月考)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )． A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b25a2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1.答案 B5．(2020·泉州模拟)y ＝kx ＋2与y 2＝8x 有且仅有一个公共点，则k 的取值为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2；若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1.故k ＝0或k ＝1. 答案 0或1考向一 直线与圆锥曲线的位置关系【例1】►(2020·合肥模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4][审题视点] 设直线l 的方程，将其与抛物线方程联立，利用Δ≥0解得．解析 由题意得Q (－2,0)．设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k2＝0，∴当k ＝0时，直线l 与抛物线恒有一个交点；当k ≠0时，Δ＝16(k 2－2)2－16k 4≥0，即k 2≤1，∴－1≤k ≤1，且k ≠0，综上－1≤k ≤1.答案 C研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．【训练1】 若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )．A ．至多为1B ．2C ．1D ．0 解析 由题意知：4m 2＋n2＞2，即m 2＋n 2＜2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2个．答案 B考向二 弦长及中点弦问题【例2】►若直线l 与椭圆C ：x 23＋y 2＝1交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．[审题视点] 联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系后代入弦长公式，利用基本不等式求出弦长的最大值即可． 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3；(2)当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .由已知，得|m |1＋k2＝32，即m 2＝34(k 2＋1)．把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0. ∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3m 2－13k 2＋1. ∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 23k 2＋12－12m 2－13k 2＋1＝12k 2＋13k 2＋1－m 23k 2＋12＝3k 2＋19k 2＋13k 2＋12＝3＋12k29k 4＋6k 2＋1. 当k ≠0时，上式＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝4，当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．此时|AB |＝2；当k ＝0时，|AB |＝3，综上所述|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值S max ＝12×|AB |max ×32＝32.当直线(斜率为k )与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，则|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|，而|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．【训练2】 椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解 法一 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 代入椭圆方程并作差得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k oc ＝22， 代入上式可得b ＝2a .再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22， 其中x 1、x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， 故⎝⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23.∴所求椭圆的方程是x 23＋2y23＝1.法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则|AB |＝k 2＋1x 1－x 22＝2·4b 2－4a ＋bb －1a ＋b2.∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b ＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝ba ＋b，y ＝1－x ＝aa ＋b，∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22. 代入①，得a ＝13，b ＝23.∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.考向三 圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题【例3】►(2020·湘潭模拟)已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点．(1)求过点O 、F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．[审题视点] (1)求出圆心和半径，得出圆的标准方程；(2)设直线AB 的点斜式方程，由已知得出线段AB 的垂直平分线方程，利用求值域的方法求解．解 (1)∵a 2＝2，b 2＝1，∴c ＝1，F (－1,0)， ∵圆过点O ，F ，∴圆心M 在直线x ＝－12上．设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，t ，则圆半径r ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－－2＝32，由|OM |＝r ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋t 2＝32，解得t ＝±2，∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ±2)2＝94.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， ∴方程有两个不等实根．如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，∵k ≠0，∴－12＜x G ＜0，∴点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0. 直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．【训练3】 (2020·金华模拟)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y－4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p 2， ②又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p ＞0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， 得抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k x ＋4得x 2－4kx －16k ＝0，④∴x 0＝x C ＋x B2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4. ∴b ∈(2，＋∞)．考向四 定值(定点)问题【例4】►(2020·四川)椭圆有两顶点A (－1,0)、B (1,0)，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q . (1)当|CD |＝322时，求直线l 的方程．(2)当点P 异于A 、B 两点时，求证：O P →·O Q →为定值．[审题视点] (1)设出直线方程与椭圆方程联立．利用根与系数的关系和弦长公式可求出斜率从而求出直线方程；(2)关键是求出Q 点坐标及其与P 点坐标的关系，从而证得OP →·OQ →为定值．证明过程中要充分利用已知条件进行等价转化． (1)解 因椭圆焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知得b ＝1，c ＝1，所以a ＝2，椭圆方程为y 22＋x 2＝1.直线l 垂直于x 轴时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，将其代入椭圆方程化简得 (k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2， |CD |＝k 2＋1·x 1＋x 22－4x 1x 2＝22k 2＋1k 2＋2.由已知得22k 2＋1k 2＋2＝322，解得k ＝± 2. 所以直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝－2x ＋1. (2)证明 直线l 与x 轴垂直时与题意不符． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0且k ≠±1)，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，0.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由(1)知x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2， 直线AC 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)， 直线BD 的方程为y ＝y 2x 2－1(x －1)，将两直线方程联立，消去y 得x ＋1x －1＝y 2x 1＋1y 1x 2－1. 因为－1＜x 1，x 2＜1，所以x ＋1x －1与y 2y 1异号． ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －12＝y 22x 1＋12y 21x 2－12＝2－2x 222－2x 21·x 1＋12x 2－12＝1＋x 11＋x 21－x 11－x 2＝1＋－2k k 2＋2＋－1k 2＋21－－2k k 2＋2＋－1k 2＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k ＋12.又y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝21－k1＋kk 2＋2＝－21＋k 2k 2＋2·k －1k ＋1， ∴k －1k ＋1与y 1y 2异号，x ＋1x －1与k －1k ＋1同号， ∴x ＋1x －1＝k －1k ＋1，解得x ＝－k . 因此Q 点坐标为(－k ，y 0)．O P →·O Q →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，0·()－k ，y 0＝1.故O P →·O Q →为定值．解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确：即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积等，其不受变化的量所影响的一个值即为定值，化解这类问题的关键是引进参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量，解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况，计算要准确． 【训练4】 (2020·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1.如图所示，斜率为k (k ＞0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m )． (1)求m 2＋k 2的最小值；(2)若|OG |2＝|OD |·|OE |，求证：直线l 过定点．(1)解 设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k ＞0)，由题意，t ＞0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.由题意Δ＞0，所以3k 2＋1＞t 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6kt3k 2＋1，所以y 1＋y 2＝2t3k 2＋1.由于E 为线段AB 的中点，因此x E ＝－3kt3k 2＋1，y E ＝t3k 2＋1， 此时k OE ＝y E x E ＝－13k .所以OE 所在直线方程为y ＝－13kx ，又由题设知D (－3，m )，令x ＝－3，得m ＝1k，即mk ＝1，所以m 2＋k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，此时由Δ＞0得0＜t ＜2，因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2＋k 2取最小值2. (2)证明 由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－13k x ，将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0， 解得G ⎝⎛⎭⎪⎫－3k3k 2＋1，13k 2＋1.又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋1，t 3k 2＋1，D ⎝⎛⎭⎪⎫－3，1k ， 由距离公式及t ＞0得|OG |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋12＝9k 2＋13k 2＋1， |OD |＝－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＝9k 2＋1k ， |OE |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 3k 2＋12＝t 9k 2＋13k 2＋1， 由|OG |2＝|OD |·|OE |得t ＝k ，因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，所以直线l 恒过定点(－1,0)．规范解答17——怎样求解析几何中的探索性问题【问题研究】 解析几何中探索性问题的结论往往不明确，需要根据已知条件通过推理论证或是计算对结论作出明确的肯定或是否定，因此解决起来具有较大的难度．【解决方案】 明确这类问题的解题思想：即假设其结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答，如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答．【示例】►(本题满分12分)(2020·辽宁)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M 、N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e .直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .(1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值； (2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．第(1)问，设C 1的方程，C 2的方程同样由C 1的系数a ，b 来表示，再分别求点A 、B 的坐标，进而可求|BC |∶|AD |；第(2)问利用k BO ＝k AN ，得t 与e 、a 的关系式，再由|t |＜a ，求e 的范围．[解答示范] (1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a 2＝1，(a ＞b ＞0)．设直线l ：x ＝t (|t |＜a )，分别与C 1，C 2的方程联立，求得A (t ，a b a 2－t 2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，b a a 2－t 2.(4分) 当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知 |BC |∶|AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34.(6分) (2)t ＝0时的l 不符合题意．t ≠0时，BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即 b a a 2－t 2t ＝a b a 2－t 2t －a，(8分) 解得t ＝－ab 2a 2－b 2＝－1－e 2e2·a . 因为|t |＜a ，又0＜e ＜1，所以1－e 2e 2＜1，解得22＜e ＜1.(10分) 所以当0＜e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ； 当22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN .(12分) 本题探索的是离心率e 的变化范围，化解这个难点的方法首先假设存在直线l ，使得BO ∥AN ，根据k BO ＝k AN ，再由|t |＜a 构建关于e 的不等式，解出e 的范围，最后作出肯定回答．【试一试】 已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB→＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[尝试解答] (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：x －12＋y 2－x ＝1(x ＞0)．化简得y 2＝4x (x ＞0)．(2)设过点M (m,0)(m ＞0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ty ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4m ＝0， Δ＝16(t 2＋m )＞0，于是⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .①又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)．FA →·FB →＜0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＜0.②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋1＜0⇔y 1y 2216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1＜0，③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1＜4t 2，④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1＜0，即3－22＜m ＜3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB→＜0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．。

基础知识整合１．直线与圆锥曲线的位置关系要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，可把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y（或消去x）得到关于x（或关于y）的一元二次方程．如联立后得到以下方程：Ax２＋Bx＋C＝0（A≠0），Δ＝B２—４AC.若Δ<0，则直线与圆锥曲线错误!没有公共点；若Δ＝0，则直线与圆锥曲线错误!有且只有一个公共点；若Δ>0，则直线与圆锥曲线错误!有两个不同的公共点．２．弦长公式直线与圆锥曲线相交时，常常借助根与系数的关系解决弦长问题．直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y 后得到关于x的一元二次方程．当Δ>0时，直线与圆锥曲线相交，设交点为A（x１，y１），B（x２，y ２），直线AB的斜率为k，则直线被圆锥曲线截得的弦长|AB|＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!错误!·错误!.再利用根与系数的关系得出x１＋x２，x１x２的值，代入上式计算即可．３．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．（１）利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论．（２）点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A（x１，y１），B（x２，y ２），代入曲线方程，通过作差，构造出x１＋x２，y１＋y２，x１—x２，y１—y２，从而建立中点坐标和斜率的关系．解决直线与圆锥曲线关系问题的一般方法（１）解决焦点弦（过圆锥曲线焦点的弦）的长的有关问题，注意应用圆锥曲线的定义．（２）已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法．（３）圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解此类题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在的直线与对称直线垂直，圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，再利用根的判别式或中点与曲线的位置关系求解．１．直线y＝kx—k＋１与椭圆错误!＋错误!＝１的位置关系为（）Ａ．相交Ｂ．相切Ｃ．相离Ｄ．不确定答案A解析直线y＝kx—k＋１＝k（x—１）＋１恒过定点（１,１），又点（１,１）在椭圆内部，故直线与椭圆相交．２．已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）与直线y＝２x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（）Ａ．（１，错误!）Ｂ．（１，错误!]Ｃ．（错误!，＋∞）Ｄ．[错误!，＋∞）答案C解析因为双曲线的一条渐近线方程为y＝错误!x，则由题意得错误!>２，所以e＝错误!＝错误!>错误!＝错误!.３．过抛物线y２＝２x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于２，则这样的直线（）Ａ．有且只有一条Ｂ．有且只有两条Ｃ．有且只有三条Ｄ．有且只有四条答案B解析若直线AB的斜率不存在时，则横坐标之和为１，不符合题意．若直线AB的斜率存在，设直线AB 的斜率为k，则直线AB为y＝k错误!，代入抛物线y２＝２x，得k２x２—（k２＋２）x＋错误!k２＝0，因为A，B两点的横坐标之和为２．所以k＝±错误!.所以这样的直线有两条．４．（２0１8·全国卷Ⅰ）设抛物线C：y２＝４x的焦点为F，过点（—２,0）且斜率为错误!的直线与C交于M，N两点，则错误!·错误!＝（）Ａ．５Ｂ．6 C．7 Ｄ．8答案D解析根据题意，过点（—２,0）且斜率为错误!的直线方程为y＝错误!（x＋２），与抛物线方程联立错误!消去x并整理，得y２—6y＋8＝0，解得M（１,２），N（４,４），又F（１,0），所以错误!＝（0,２），错误!＝（３,４），从而可以求得错误!·错误!＝0×３＋２×４＝8，故选Ｄ．５．（２0１8·山西阳泉质检）椭圆mx２＋ny２＝１与直线x＋y—１＝0相交于A，B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为错误!，则错误!的值为________．答案错误!解析解法一：设A（x１，y１），B（x２，y２），M（x0，y0），所以kOM＝错误!＝错误!，kAB＝错误!＝—１，由AB的中点为M可得x１＋x２＝２x0，y１＋y２＝２y0．由A，B在椭圆上，可得错误!两式相减可得m（x１—x２）（x１＋x２）＋n（y１—y２）（y１＋y２）＝0，则m（x１—x２）·２x0—n（x １—x２）·２y0＝0，整理可得错误!＝错误!.解法二：设A（x１，y１），B（x２，y２），M（x0，y0），联立方程错误!可得（m＋n）x２—２nx＋n—１＝0，所以x１＋x２＝错误!，y１＋y２＝２—（x１＋x２）＝错误!.由中点坐标公式可得，x0＝错误!＝错误!，y0＝错误!＝错误!.因为M与坐标原点的直线的斜率为错误!，所以错误!＝错误!＝错误!＝错误!.6．（２0１8·太原模拟）已知抛物线y２＝４x的焦点为F，过焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O 为坐标原点，若|AB|＝6，则△AOB的面积为________．答案错误!解析因为抛物线y２＝４x的焦点F的坐标为（１,0），当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝４，不满足题意，所以设直线AB的方程为y＝k（x—１），与y２＝４x联立，消去x得ky２—４y—４k＝0．设A（x １，y１），B（x２，y２），则y１＋y２＝错误!，y１y２＝—４，所以|y１—y２|＝错误!，因为|AB|＝错误! |y１—y２|＝6，所以４错误!＝6，解和k＝±错误!，所以|y１—y２|＝错误!＝２错误!，所以△AOB的面积为错误!×１×２错误!＝错误!.核心考向突破考向一直线与圆锥曲线的位置关系例１已知直线l：y＝２x＋m，椭圆C：错误!＋错误!＝１．试问当m取何值时，直线l与椭圆C：（１）有两个不重合的公共点；（２）有且只有一个公共点；（３）没有公共点．解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组错误!将１代入２，整理得9x２＋8mx＋２m２—４＝0．３方程３根的判别式Δ＝（8m）２—４×9×（２m２—４）＝—8m２＋１４４．（１）当Δ>0，即—３错误!<m<３错误!时，方程３有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．（２）当Δ＝0，即m＝±３错误!时，方程３有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．（３）当Δ<0，即m<—３错误!或m>３错误!时，方程３没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．触类旁通１判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.２依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.即时训练１．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C１：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左焦点为F１（—１,0），且点P（0,１）在C１上．（１）求椭圆C１的方程；（２）设直线l同时与椭圆C１和抛物线C２：y２＝４x相切，求直线l的方程．解（１）因为椭圆C１的左焦点为F１（—１,0），所以c＝１．将点P（0,１）代入椭圆方程错误!＋错误!＝１，得错误!＝１，即b＝１，所以a２＝b２＋c２＝２．所以椭圆C１的方程为错误!＋y２＝１．（２）由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，由错误!消去y并整理得（１＋２k２）x２＋４kmx＋２m２—２＝0．因为直线l与椭圆C１相切，所以Δ１＝１6k２m２—４（１＋２k２）（２m２—２）＝0．整理得２k２—m２＋１＝0．１由错误!消去y并整理得k２x２＋（２km—４）x＋m２＝0．因为直线l与抛物线C２相切，所以Δ２＝（２km—４）２—４k２m２＝0，整理得km＝１．２综合１２，解得错误!或错误!所以直线l的方程为y＝错误!x＋错误!或y＝—错误!x—错误!.考向二弦长问题例２（２0１8·北京高考）已知椭圆M：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的离心率为错误!，焦距为２错误!.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，Ｂ．（１）求椭圆M的方程；（２）若k＝１，求|AB|的最大值．解（１）由题意得２c＝２错误!，所以c＝错误!，又e＝错误!＝错误!，所以a＝错误!，所以b２＝a２—c２＝１，所以椭圆M的标准方程为错误!＋y２＝１．（２）设直线AB的方程为y＝x＋m，由错误!消去y，可得４x２＋6mx＋３m２—３＝0，则Δ＝３6m２—４×４（３m２—３）＝４8—１２m２>0，即m２<４，设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝—错误!，x１x２＝错误!，则|AB|＝错误!|x１—x２|＝错误!·错误!＝错误!，易得当m２＝0时，|AB|max＝错误!，故|AB|的最大值为错误!.弦长的计算方法求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后整体代入弦长公式求解．注意：两种特殊情况：１直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；２直线过圆锥曲线的焦点.即时训练２．（２0１9·新疆乌鲁木齐联考）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的焦距为２，且过点错误!.（１）求椭圆C的方程；（２）过点M（２,0）的直线交椭圆C于A，B两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足错误!＋错误!＝t错误!，其中t∈错误!，求|AB|的取值范围．解（１）依题意得错误!解得错误!∴椭圆C的方程为错误!＋y２＝１．（２）由题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为y＝k（x—２）．由错误!得（１＋２k２）x２—8k２x＋8k２—２＝0，∴Δ＝8（１—２k２）>0，解得k２<错误!.设A（x１，y１），B（x２，y２），P（x，y），则错误!由错误!＋错误!＝t错误!得P错误!，代入椭圆C的方程得t２＝错误!，由错误!<t<２得错误!<k２<错误!，∴|AB|＝错误!·错误!令u＝错误!，则u∈错误!，∴|AB|＝２错误!，令y＝２u２＋u—１，其对称轴为u＝—错误!，∴y＝２u２＋u—１在错误!上单调递增，∴0<y<错误!，∴0<|AB|<错误!，故|AB|的取值范围为错误!.考向三中点弦问题例３（２0１9·陕西模拟）已知抛物线C：y２＝２px（p>0），过点M（５，—２）的直线交抛物线C 于A，B两点．（１）若p＝错误!，且点M恰好是线段AB的中点，求直线AB的方程；（２）问在抛物线C上是否存在定点N（x0，y0），使得NA⊥NB总成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解（１）当p＝错误!时，抛物线C的方程为y２＝x，由题意，设A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!两式相减得（y１—y２）（y１＋y２）＝x１—x２．（*）因为点M（５，—２）恰好是线段AB的中点，所以y１＋y２＝—４，显然直线AB不与x轴垂直，故设直线AB的斜率为k，由（*）式得k＝错误!＝错误!＝—错误!，所以直线AB的方程是y＋２＝—错误!（x—５），即x＋４y＋３＝0．（２）假设在抛物线C上存在定点N（x0，y0）满足题意，设A错误!，B错误!，直线AB的方程为x＝my＋b，联立方程得错误!可得y２—２mpy—２pb＝0，故y３＋y４＝２mp，y３y４＝—２pＢ．由题意知，直线NA与NB的斜率都存在且不为0，由于NA⊥NB，所以kNAkNB＝—１，即kNAkNB＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!＝—１，所以错误!＝—１，b＝２p＋my0＋错误!.故直线AB的方程可以写成x＝m（y＋y0）＋２p＋错误!，由于直线AB过点M（５，—２），故有５＝m（—２＋y0）＋２p＋错误!（**），当且仅当y0＝２，p＝２或错误!时，（**）式恒成立．由此可得，１当p＝２时，存在定点N（１,２），使得NA⊥NB；２当p＝错误!时，存在定点N（４,２），使得NA⊥NＢ．触类旁通处理中点弦问题常用的求解方法提醒：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足.即时训练３．（２0１9·福建三明联考）已知A是椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左顶点，左焦点F １是线段OA的中点，抛物线y２＝４x的准线恰好过点F１．（１）求椭圆的方程；（２）如图所示，过点A作斜率为k的直线l１交椭圆于点M，交y轴于点N.点P为线段AM的中点，过N作与直线OP垂直的直线l２，证明：对于任意的k（k≠0），直线l２过定点，并求出此定点的坐标．解（１）依题意得抛物线y２＝４x的准线为x＝—１，∴点F１（—１,0），c＝１．∴左顶点为A（—２,0），∴a＝２，即b２＝a２—c２＝３，∴椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．（２）证明：设直线l１的方程为y＝k（x＋２），与椭圆的方程错误!＋错误!＝１联立，消去y得（３＋４k２）x２＋１6k２x＋１6k２—１２＝0．设M（x１，y１），则—２＋x１＝—错误!.∵P为线段AM的中点，∴xP＝错误!＝—错误!，yP＝k（xP＋２）＝k错误!＝错误!，∴点P的坐标为错误!.则kOP＝—错误!（k≠0），∴直线l２的斜率为错误!k.又直线l１的方程为y＝k（x＋２），令x＝0，得N（0,２k），∴直线l２的方程为y—２k＝错误!kx，即直线y＝错误!k错误!，∴直线l２过定点，此定点为错误!.（２0１9·武汉模拟）如图，已知抛物线C：x２＝２py（p>0），圆Q：x２＋（y—３）２＝8，过抛物线C的焦点F且与x轴平行的直线与C交于P１，P２两点，且|P１P２|＝４．（１）证明：抛物线C与圆Q相切；（２）直线l过F且与抛物线C和圆Q依次交于点M，A，B，N，且直线l的斜率k∈（0,１），求错误!的取值范围．解（１）证明：∵|P１P２|＝２p＝４，∴p＝２，故抛物线C的方程为x２＝４y，联立错误!消去x得y２—２y＋１＝0．∵Δ＝0，∴抛物线C与圆Q相切．（２）∵F（0,１），∴设直线l的方程为y＝kx＋１，k∈（0,１），∴圆心Q（0,３）到直线l的距离为d＝错误!，∴|AB|＝２错误!＝４错误!.设M（x１，y１），N（x２，y２），联立错误!消去x得y２—（４k２＋２）y＋１＝0，则y１＋y２＝４k２＋２，∴|MN|＝y１＋y２＋２＝４（k２＋１），∴错误!＝错误!，令t＝错误!错误!，则错误!＝t错误!＝错误!，设f（t）＝２t２—t３错误!，则f′（t）＝４t—３t２．∵错误!<t<１，∴f′（t）>0，∴函数y＝f（t）在错误!上单调递增，∴f错误!<f（t）<f（１），∴错误!<f（t）<１，即错误!的取值范围为错误!.答题启示对直线、圆及圆锥曲线的交汇问题，要认真审题，学会将问题拆分成基本问题，然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力．对点训练（２0１9·合肥模拟）已知椭圆C１：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的右顶点与抛物线C２：y２＝２px（p>0）的焦点重合，椭圆C１的离心率为错误!，过椭圆C１的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为４错误!.（１）求椭圆C１和抛物线C２的方程；（２）过点A（—２,0）的直线l与C２交于M，N两点，若点M关于x轴的对称点为M′，证明：直线M′N恒过一定点．解（１）依题意，可得a＝错误!，则C２：y２＝４ax，令x＝c得y２＝４ac，即y＝±２错误!，所以４错误!＝４错误!，所以ac＝２．则错误!解得a＝２，b＝错误!，所以椭圆C１的方程为错误!＋错误!＝１，抛物线C２的方程为y２＝8x.（２）证明：依题意可知直线l的斜率不为0，可设l：x＝my—２，设M（x１，y１），N（x２，y２），则M′（x１，—y１），联立错误!消去x得y２—8my＋１6＝0，由Δ>0得m<—１或m>１．因为y１＋y２＝8m，y１y２＝１6，所以m＝错误!，所以直线M′N的斜率kM′N＝错误!＝错误!＝错误!，可得直线M′N的方程为y—y２＝错误!（x—x２），即y＝错误!x＋y２—错误!＝错误!x＋错误!＝错误!x—错误!＝错误!（x—２），所以当m<—１或m>１时，直线M′N恒过定点（２,0）．。