椭圆的基本性质

椭圆的标准方程及性质椭圆作为二维空间中的图形，具有一些独特的性质和特点。

本文将介绍椭圆的标准方程以及其相应的性质。

一、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以通过平面几何的推导得出。

设椭圆的中心为点（h，k），椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则可得出椭圆的标准方程：（x-h）^2/a^2 +（y-k）^2/b^2 = 1其中，h和k分别是椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。

二、椭圆的性质1. 中心：椭圆的中心即标准方程中的点（h，k），表示椭圆在平面上的位置。

2. 焦点：椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于定值2a，即椭圆的长轴长度。

焦点是椭圆的重要特点，用于定义椭圆的几何性质。

3. 长轴和短轴：标准方程中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的一半。

长轴是椭圆的最长直径，短轴是椭圆的最短直径。

4. 离心率：椭圆的离心率定义为焦距与长轴之比，通常用e表示。

离心率决定了椭圆的扁平程度，e＜1时表示椭圆，e=0时表示圆。

5. 直径：椭圆上的两个端点同时到椭圆内一点的距离相等，则这两个端点和该内点连成的线段叫做该椭圆的直径。

6. 弦：椭圆上任意两点连线和椭圆的直径所围内部的线段叫做椭圆的弦。

7. 准线：椭圆上与两个焦点连线垂直的直线，与椭圆的侧弦相切。

8. 焦散性：入射到椭圆的平行光线在反射后会汇聚到另一个焦点上，这是椭圆焦散性的一个重要表现。

三、椭圆的应用椭圆作为一种常见的数学曲线，在现实生活中有广泛的应用。

以下是一些椭圆应用的例子：1. 天体运动：行星围绕太阳的轨迹、人造卫星轨道等可以近似看作椭圆。

2. 光学器件：抛物面镜、椭圆面镜等。

3. 固定时间下的最短路径问题。

4. 卫星通信：卫星的定位和通信领域中使用椭圆轨道。

4. 造船工业：船体的椭圆剖面设计，可以减少水的阻力。

5. 圆锥曲线中的一类，在几何光学中，椭球曲面可以聚焦光线。

总结：本文介绍了椭圆的标准方程及其性质。

椭圆作为一种重要的数学曲线，其在几何和物理学中有着广泛的应用。

根据椭圆的知识点方法总结椭圆的几何性质椭圆是一个具有特殊几何性质的曲线，它在数学和物理学中有着广泛的应用。

本文将总结一些关于椭圆的基本知识点和方法，并探讨椭圆的几何性质。

1. 椭圆的定义和基本要素椭圆可以通过以下定义来描述：给定确定的两点F₁和F₂（焦点）以及不小于焦点间距离之和的固定值2a（长轴长度），椭圆是所有与这两点间距离之和等于2a的点的集合。

椭圆有几个基本要素需要了解：- 近焦点F₁和远焦点F₂：这两个点决定了椭圆的位置和形状。

- 焦距：焦距是指焦点到椭圆上任意一点的距离之和，等于2a。

- 长轴和短轴：长轴是连接两个焦点的线段，短轴是与长轴垂直且通过椭圆中心的线段。

- 焦半径：焦半径是指从焦点到椭圆上一点的距离。

2. 椭圆的性质椭圆有一些独特的性质，下面是其中一些重要的性质：- 对称性：椭圆是关于长轴和短轴的对称图形，这意味着如果一个点在椭圆上，那么它关于长轴或短轴的镜像点也在椭圆上。

- 焦点性质：对于椭圆上的任意一点P，焦距FP₁ + FP₂的值是一个常数，等于2a。

- 切线性质：椭圆上的切线与径垂直，也就是说切线与焦半径相切。

- 弦性质：椭圆上的弦与焦半径平行，也就是说弦的中垂线与焦半径重合。

3. 椭圆的方程椭圆可以用数学方程来表示，其中一个常见的方式是使用焦点坐标法。

椭圆的焦点坐标是(F₁,0)和(F₂,0)，椭圆的方程可表示为：(x - F₁)² + y² = (x - F₂)² + y² = 2a另外，椭圆的标准方程是：x²/a² + y²/b² = 1其中，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴长度。

总结椭圆是一种具有特殊性质的几何曲线，在数学和物理学中有广泛的应用。

本文总结了椭圆的基本知识点和方法，包括椭圆的定义和基本要素、椭圆的性质以及椭圆的方程。

通过了解这些内容，我们可以更好地理解和应用椭圆的几何性质。

椭圆的相关知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点F1、F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴，长轴的一半a称为椭圆的半长轴。

椭圆的短轴的长度为2b，短轴的一半b称为椭圆的半短轴。

椭圆上到焦点的距离等于常数2a的性质可以用数学语言表示为：|PF1|+|PF2|=2a。

椭圆的离心率e的定义是e=c/a，其中c是焦点到中心的距离。

显然，0<e<1，当e=0时，椭圆退化为一条线段；当e=1时，椭圆退化为一个圆。

二、椭圆的性质1. 焦点离心率椭圆的离心率大于0小于1。

2. 焦点公式椭圆长轴长度为2a，半短轴长度为b。

其中a、b分别是半长轴和半短轴的长度。

焦点坐标为(f1,0)和(-f1,0)。

其中f1=\sqrt{a^2-b^2}。

3. 针焦直线椭圆的焦点圆椭圆的大小只和a、b两轴有关，与焦点的远近无关。

4. 椭圆的直径垂直于直径的直线，称为轴；椭圆的两条轴相互垂直，且它们的交点是中心。

三、椭圆的方程1. 标准方程椭圆的标准方程为(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1，其中a、b分别为半长轴和半短轴的长度。

2. 一般方程椭圆的一般方程为Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0，其中A、B、C、D、E为常数。

一般方程的椭圆可以通过平移和旋转变换为标准方程。

四、椭圆的焦点椭圆的焦点离中心的距离c=\sqrt{a^2-b^2}。

五、椭圆的参数方程设椭圆的焦点为(f,0)和(-f,0)，半长轴为a，半短轴为b，则椭圆的参数方程为：x=a\cos t,y=b\sin t,其中0\leq t\leq 2\pi。

六、椭圆的极坐标方程椭圆的极坐标方程可以表示为：r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta},其中e为椭圆的离心率。

七、椭圆的图形椭圆的图形是一种闭合的曲线，形状类似于椭子。

椭圆的长轴和短轴分别是轴、横轴。

椭圆是关于两条坐标轴对称的曲线。

高中数学椭圆公式归纳总结椭圆是数学中的一个重要概念，它在几何学、物理学和工程学等领域中都有广泛的应用。

在高中数学中，学生需要学习椭圆的基本性质和相关公式，并能够灵活运用这些公式解决问题。

本文将对高中数学中常见的椭圆公式进行归纳总结。

一、椭圆的定义和基本性质椭圆是平面上到两个不同点的距离之和等于常数的点的轨迹。

这两个点称为椭圆的焦点，而常数称为椭圆的焦距。

椭圆还有其他重要的性质，比如对称性、离心率等。

二、椭圆的标准方程椭圆的标准方程是一种表示椭圆的数学表达式。

它是一个关于x和y的方程，形式为(x-h)²/a²+ (y-k)²/b²= 1，其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。

三、椭圆的焦点和直径椭圆的焦点是椭圆上到两个不同点的距离之和等于焦距的点。

椭圆的长半轴是通过中心并且平行于两个焦点的线段，短半轴是通过中心并且垂直于长半轴的线段。

椭圆的直径是通过中心的两条平行于长半轴的线段。

四、椭圆的离心率和焦准距椭圆的离心率是一个用来描述椭圆形状的参数，它的值介于0和1之间。

根据椭圆的离心率可以判断椭圆是扁的还是细的，离心率越接近0，椭圆越接近于圆形；离心率越接近于1，椭圆越扁平。

椭圆的焦准距是椭圆长半轴的一半。

五、椭圆的面积和周长椭圆的面积和周长是椭圆的重要性质。

椭圆的面积可以用公式S = πab表示，其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴；椭圆的周长可以用公式C = 4aE(e)，其中E(e)是椭圆的第二类完全椭圆积分，e是椭圆的离心率。

六、椭圆的参数方程椭圆还可以用参数方程来表示。

椭圆的参数方程形式为x = a cosθ，y = b sinθ，其中θ是参数，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。

七、椭圆的焦点式方程椭圆的焦点式方程是另一种表示椭圆的数学表达式。

椭圆的焦点式方程形式为x²/a² + y²/b² = 1。

高三椭圆大题涉及到的知识点高三学习阶段是学生们为了迎接高考而付出的最后冲刺，各个学科的知识点都需要加以复习和掌握。

在数学中，椭圆是一个重要且有趣的几何概念，而高三椭圆大题则是考查学生对椭圆相关知识点的理解和应用。

本文将就高三椭圆大题涉及到的知识点进行一些讨论。

一、椭圆的基本定义和性质在数学中，椭圆是指围绕两个焦点F1和F2且到这两个焦点的距离之和为常数2a的点的轨迹。

一个椭圆也可以由一个固定点F （焦点）和到这个焦点的距离之和为定值2a（a>0）的点的轨迹定义。

椭圆有很多有趣的性质。

首先，椭圆的离心率是一个重要的概念。

定义椭圆的离心率为e=√(1-(b^2/a^2))，其中a是椭圆的长半轴，b是椭圆的短半轴。

当离心率小于1时，椭圆是闭合的，也就是说椭圆上的点可以落在椭圆轨迹内部；当离心率等于1时，椭圆变成一个特殊的形状——圆；当离心率大于1时，椭圆不再是闭合的，椭圆上的点只能落在椭圆轨迹的外部。

其次，椭圆还有一个重要的性质叫做焦准圆性质。

这个性质指的是，任何一个椭圆上的点到焦点F1的距离和焦点F2的距离之和等于2a，即PF1 + PF2 = 2a。

这个性质在椭圆的推导和应用中都会用到。

二、椭圆方程与参数方程椭圆可以用两种方式来表示，即椭圆的方程和参数方程。

对于椭圆的方程来说，通常以椭圆的中心为坐标原点，以横轴和纵轴为坐标轴，椭圆的方程可以表示为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1，其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。

而椭圆的参数方程则是以一个参数t为自变量，x和y分别用t表示，即x = a * cos(t)，y = b * sin(t)。

这个参数方程可以方便地描述椭圆的运动和变化规律。

三、椭圆的性质应用椭圆的性质在实际应用中有广泛的运用，比如在天文学中，行星的轨道通常是椭圆形的，而椭圆的离心率可以反映行星轨道的形状。

在物理学中，椭圆的焦准圆性质也可以解释光线的折射和反射规律。

椭圆的基本概念与性质椭圆是数学上的一个重要概念，它在几何学、天文学等领域有着广泛的应用。

本文将介绍椭圆的基本概念与性质，包括定义、方程、焦点、短轴、长轴等内容，以便读者对椭圆有更深入的了解。

1. 定义椭圆可以定义为平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。

这两个固定点称为焦点，常数称为椭圆的离心率。

2. 方程椭圆的标准方程为(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的长度。

当a=b时，椭圆退化为一个圆。

3. 焦点与离心率椭圆的焦点是椭圆上到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

椭圆的离心率是焦点与椭圆的长轴之比，通常用e表示。

当e=0时，椭圆退化为一个圆；当0<e<1时，椭圆的形状是扁平的；当e=1时，椭圆的形状是长条状。

4. 短轴与长轴椭圆的长轴是通过椭圆中心且垂直于短轴的直线段，长度为2a；短轴是通过椭圆中心且垂直于长轴的直线段，长度为2b。

长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状。

5. 面积与周长椭圆的面积可以用公式πab来计算，其中π是圆周率。

椭圆的周长没有一个简单的数学公式，但可以用近似公式2π√((a²+b²)/2)来估算。

6. 焦点与直线关系对于一条过椭圆的焦点的直线，该直线与椭圆的两个交点到焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

这个性质在椭圆的构造和证明中有着重要的应用。

7. 椭圆的投影当一个椭圆被一个平面所截，就会产生一个椭圆的投影。

椭圆的投影可以是一个椭圆、一个圆、一个椭圆的一部分或一个直线段，具体取决于投影平面与椭圆的相对位置。

8. 椭圆与锥面椭圆是一个椭圆锥的截面。

椭圆锥可以由一个两个焦点之间距离不变的点沿着一条直线轨迹旋转而生成，椭圆就是锥面与一个平面的交线。

总结：椭圆是一个重要的数学概念，具有许多独特的性质和应用。

通过了解椭圆的定义、方程、焦点、离心率，以及与直线、投影、锥面的关系，我们对椭圆的基本概念和性质有了更深入的了解。

椭圆知识点归纳总结椭圆的定义可以用数学表达式表示为：\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]其中a和b分别表示椭圆的主轴长度和次轴长度，椭圆的标准方程为椭圆定点到F1、F2的距离之和等于常数2a的定点轨迹的数学描述。

椭圆是一种非常基本的几何图形，具有许多独特的性质和特点。

本文将对椭圆的性质、参数方程、焦点、直径、离心率、焦距、渐近线、面积等方面进行归纳总结。

第一部分：椭圆的基本性质1.1 椭圆的定义和参数1.2 椭圆的性质1.3 椭圆的对称性1.4 椭圆的离心率和焦点第二部分：椭圆的参数方程和一般方程2.1 参数方程和一般方程的含义2.2 椭圆的参数方程2.3 椭圆的一般方程第三部分：椭圆的焦点、直径和离心率3.1 椭圆的焦点特点3.2 椭圆的直径特点3.3 椭圆的离心率特点第四部分：椭圆的焦距和渐近线4.1 椭圆的焦距含义4.2 椭圆的渐近线含义4.3 椭圆的焦距和渐近线的性质第五部分：椭圆的面积和周长5.1 椭圆的面积公式5.2 椭圆的周长公式5.3 椭圆的面积和周长的计算方法第六部分：椭圆的相关定理和实例分析6.1 椭圆的凸性定理和实例分析6.2 椭圆的垂直切线定理和实例分析6.3 椭圆的切线与法线定理和实例分析结论部分：椭圆的应用和拓展7.1 椭圆在日常生活中的应用7.2 椭圆的拓展和推广第一部分：椭圆的基本性质1.1 椭圆的定义和参数椭圆是平面上到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点称为焦点，常数2a称为椭圆的主轴长度。

椭圆的主轴长度决定了椭圆的大小和形状。

椭圆的参数包括主轴长度a、次轴长度b、焦距2c、离心率e等。

其中焦距2c和主轴长度a之间有关系：c^2 = a^2 - b^2。

离心率e的计算公式为：e = c/a。

主轴长度a和次轴长度b决定了椭圆的形状，焦距2c和离心率e描述了椭圆与焦点之间的距离关系。

1.2 椭圆的性质椭圆具有许多特殊的性质，如平行轴定理、离心角定理、矩形椭圆定理等。

椭圆的简单几何性质引言椭圆是几何学中常见的曲线，具有许多有趣和重要的性质。

在本文档中，我们将讨论椭圆的一些基本几何性质，包括定义、形状、焦点和直径等方面。

通过了解这些性质，我们将更好地理解椭圆的特点及其在现实世界中的应用。

定义椭圆是一个平面上的闭合曲线，其定义为到两个给定点（称为焦点）的距离之和等于到一定长度（称为主轴长度）的定点（称为短轴长度）的距离。

换句话说，椭圆是一个点对的加权平均轨迹，并且总距离恒定。

形状椭圆的形状由其焦点之间的距离和主轴的长度确定。

较大的焦点之间的距离，或较短的主轴长度，将导致一个更扁平的椭圆，而较小的焦点之间的距离，或较长的主轴长度，将导致一个更靠近圆形的椭圆。

焦点和直径椭圆的定义中提到了焦点，它们在椭圆的构造中起着重要的作用。

对于任何给定的椭圆，焦点的数量是固定的，通常为两个。

这些焦点位于椭圆的主轴上，并且距离椭圆中心的距离等于椭圆的短轴长度。

椭圆的直径是经过椭圆中心的任意两点之间的线段。

一个有趣的性质是，椭圆的任何直径都会通过椭圆的两个焦点之一。

这个性质与其他几何形状，如圆或矩形不同，因此是椭圆独特的特点之一。

离心率离心率是一个用来度量椭圆形状的参数。

它定义为椭圆的焦距之间的比值与主轴的长度的比值。

离心率越接近零，椭圆的形状越接近于圆形；离心率越接近于一，椭圆的形状越扁平。

离心率是椭圆形状的一个重要特征，它对于许多应用领域具有重要意义，比如天文学中行星轨道的研究，或物理学中的电子轨道模型等。

弦在椭圆中，一条弦是连接椭圆上任意两点的线段。

一个有趣的性质是，通过椭圆上两个给定点的弦的长度之和是恒定的。

这个性质可以通过椭圆的定义和三角形的性质进行证明。

弦的垂直性质椭圆还具有一个有趣的性质，即通过椭圆上两个给定点的弦和通过这两个点的切线之间的夹角是直角。

这个性质称为弦的垂直性质，它对于椭圆的建模和分析非常有用。

总结椭圆作为几何学中的重要曲线，在许多领域都具有广泛的应用。

通过了解椭圆的基本几何性质，我们可以更好地理解和应用椭圆，从而在实际问题中得到更准确和有意义的结果。

椭圆的知识点总结椭圆是数学中一个非常有意思的几何图形，它具有一些独特的性质和特点。

本文将对椭圆的知识点进行总结，帮助读者更好地理解和应用椭圆。

椭圆最基本的定义是：在平面上固定两点F1和F2，并给定一个常数2a，椭圆是到这两点距离之和等于2a的所有点的轨迹。

这两个点被称为椭圆的焦点，而直线FF'称为椭圆的主轴，直线MMP'称为椭圆的准线。

椭圆的一个重要性质是：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的主轴长，即PF1 + PF2 = 2a。

这一性质可以用来确定椭圆上任意一点的位置。

椭圆还有一个重要的性质是：椭圆的离心率。

离心率e是一个用以描述椭圆形状的参数，它与焦点到准线的距离之比相等于离心率e与主轴长的比值，即e = PF1 / (2a) = PF2 / (2a)。

当离心率e小于1时，椭圆是闭合的，两个焦点在椭圆内部；当离心率e等于1时，椭圆退化为一条线段；当离心率e大于1时，椭圆为开放的。

椭圆的面积和周长也是我们经常关注的问题。

椭圆的面积可以通过椭圆的长轴和短轴来计算，即S = π * a * b，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。

椭圆的周长也可以通过椭圆的长轴和短轴来计算，即C = 4 * (a - e) * E(e)，其中E(e)是椭圆的第二类完全椭圆积分，是一个特殊的数学函数。

椭圆还有一些其他有趣的性质和应用。

例如，椭圆可以用来描述行星绕太阳的轨道，天文学家经常利用椭圆模型来计算行星的运动。

此外，椭圆还被广泛应用于航天技术、地理测量和电子通信等领域。

总之，椭圆是一种重要的数学图形，它具有多种特性和应用。

通过对椭圆的几何性质、离心率、面积和周长的分析，我们可以更好地理解和应用椭圆。

椭圆在科学研究和工程技术中有着广泛的应用前景，希望读者能够深入了解和掌握椭圆的知识，为未来的学习和工作打下坚实的基础。

椭圆的基本概念与性质椭圆是一种常见的几何图形，具有许多独特的性质和应用。

本文将介绍椭圆的基本概念和性质，包括定义、标准方程、焦点、直径、离心率、轨道和应用等方面。

1.椭圆的定义椭圆可以定义为平面上到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。

这两个固定点称为焦点，常数称为椭圆的离心率。

椭圆也可以视为一个平面上到定点的连线长度之和等于一定长度（主轴）的点的轨迹。

2.椭圆的标准方程以坐标原点为中心的椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b 分别表示椭圆的长短半轴。

可以看出，a表示椭圆离心率对应的焦距长度，b表示椭圆的短半轴长度。

3.焦点和直径椭圆的焦点是椭圆的一个重要属性，它是椭圆离心率定义的核心。

可以通过标准方程中的离心率公式e = c/a（c为焦点到原点的距离），求得焦点的坐标表达式为(c, 0)和(-c, 0)。

椭圆的直径是通过椭圆中心并且同时与椭圆上两个点相交的线段。

对于以坐标原点为中心的椭圆，直径的长度为2a。

4.椭圆的离心率椭圆的离心率是描述椭圆形状的重要指标。

离心率的取值范围为0到1，离心率为0时表示圆形，离心率为1时表示扁平的线段。

椭圆的离心率定义为离心焦距和长半径之比，即e = c/a。

5.椭圆的轨迹椭圆的轨迹是指通过一定规则的运动得到的点所形成的图形。

在天体力学中，行星绕太阳运动的轨迹就是椭圆。

椭圆的轨迹具有许多独特的性质，例如对称性、曲率等。

6.椭圆的应用椭圆在现实生活中有许多重要的应用。

例如，在通信中，为了提高信号传输的质量和距离，卫星轨道通常选择为椭圆轨道。

此外，椭圆也被广泛应用于地理测量、天体力学、光学设计等领域。

总结：椭圆作为几何图形中的重要一员，具有许多独特的概念和性质。

通过本文的介绍，我们了解到椭圆的定义、标准方程、焦点、直径、离心率、轨迹和应用。

对于几何学的学习和实际应用，理解和掌握椭圆的基本概念与性质至关重要。

相切，则C的离心率为()A.63 B.33C.23D．13解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝2abb2＋a2＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝1－b2a2＝63.答案：A2.如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点纵坐标从大到小依次为A，B，C，D. (1)设e＝12，求|BC|与|AD|的比值；(2)若存在直线l，使得BO∥AN，求两椭圆离心率e的取值范围．解析：(1)因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设C1：x2a2＋y2b2＝1，C2：b2y2a4＋x2a2＝1(a>b>0)．设直线l：x＝t(|t|<a)，分别和C1，C2的方程联立，求得A⎝⎛⎭⎫t，ab a2－t2，B⎝⎛⎭⎫t，ba a2－t2.当e＝12时，b＝32a，分别用y A，y B表示A，B的纵坐标，可知|BC||AD|＝2|y B|2|y A|＝b2a2＝34.(2)t＝0时的l不符合题意，t≠0时，BO∥AN，当且仅当BO的斜率k BO与AN的斜率k AN相等，即ba a2－t2t＝ab a2－t2t－a，解得t＝－ab2a2－b2＝－1－e2e2·a.因为|t|<a，又0<e<1，所以1－e2e2<1，解得22<e<1.所以当22<e<1时，存在直线l，使得BO∥AN，即离心率e的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1.3．若椭圆mx2＋ny2＝1的离心率为12，则mn＝()A.34B．43C.32或233D．34或43答案：D4．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .解析：(1)∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，∴M 的横坐标为c .当x ＝c 时，y ＝±b 2a ，由直线MN 的斜率为34，则M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，即tan ∠MF 1F 2＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝34，即b 2＝32ac ＝a 2－c 2，即c 2＋32ac －a 2＝0，则e 2＋32e －1＝0，即2e 2＋3e －2＝0，解得e ＝12或e ＝－2(舍去)，即e ＝12.(2)由题意，原点O 是F 1F 2的中点，则直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，设M (c ，y 0)(y 0>0)，则c 2a2＋y 20b 2＝1，即y 20＝b 4a 2，解得y 0＝b 2a .∵OD 是△MF 1F 2的中位线，∴b 2a＝4，即b 2＝4a ，由|MN |＝5|F 1N |，得|MF 1|＝4|F 1N |，解得|DF 1|＝2|F 1N |，即DF 1→＝2F 1N →.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则(－c ，－2)＝2(x 1＋c ，y 1)．即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＋c ＝－c ，2y 1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1，代入椭圆方程得9c 24a 2＋1b 2＝1，将b 2＝4a 代入得9a 2－4a 4a 2＋14a＝1，解得a ＝7，b ＝27.题型三：直线与椭圆的位置关系1.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，离心率为22，y 轴上一点Q 的坐标为(0,3)．解析：(1)由已知得c ＝1，c a ＝12，所以a ＝2，b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (4，n )，根据题意，直线MN 的方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x 24＋y 23＝1，得7x 2－8x－8＝0，x 1＋x 2＝87，x 1x 2＝－87.k PM ＋k PN ＝y 1－n x 1－4＋y 2－n x 2－4＝y 1－nx 2－4＋y 2－nx 1－4x 1－4x 2－4＝8n －n x 1＋x 2－4x 1＋x 2－2＋2x 1x 2－x 1＋x 2x 1x 2－4x 1＋x 2＋16＝8n －87n ＋247－167－87－87－327＋16＝2n 3.因为k PF ＝n3，所以2k PF ＝k PM ＋k PN ，所以直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列．题型四：椭圆离心率范围问题1.已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫23，1B.⎣⎡⎦⎤13，22 C.⎣⎡⎭⎫13，1 D ．⎝⎛⎦⎤0，13 答案：C2.已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的两个焦点，P 在椭圆上且满足PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫33，1B ．⎣⎡⎦⎤33，22 C.⎣⎡⎦⎤13，12 D ．⎝⎛⎦⎤0，22 答案：B求椭圆离心率范围的2种方法方法解读适合题型几 何 法利用椭圆的几何性质，设P (x 0，y 0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，则|x 0|≤a ，a －c ≤|PF 1|≤a ＋c 等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系题设条件有明显的几何关系直 接根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a ，b ，c 的不等关系式题设条件直接有不等关系法对应练习：1．在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝2|PF 2|，则该椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1 B ．⎣⎡⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎭⎫0，13 D ．⎝⎛⎦⎤0，13 解析：根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，将|PF 1|＝2|PF 2|代入，得|PF 2|＝2a3，根据椭圆的几何性质，知|PF 2|≥a －c ，故2a 3≥a －c ，即a ≤3c ，故c a ≥13，即e ≥13，又e <1，故该椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫13，1，故选B. 答案：B2.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1P A 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________． ‘解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∠B 1P A 2为钝角可转化为B 2A 2→，F 2B 1→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )<0，得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1>0，即e 2＋e －1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，∴5－12<e <1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，13.已知椭圆222:1(0)25x y C m m+=>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上，且12△PF F 的周长为16，则m 的值是 A ．2 B ．3 C ．23D ．4【解析】设椭圆C 的长轴长为2a ，焦距为2c ，则210a =，2222225c a b a m m =-=-=-，由椭圆定义可知，12△PF F 的周长为2210216a c c +=+=，2253m c ∴-==，0m >Q ，∴解得4m =，故选D.4.“02m <<”是“方程2212x y m m+=-表示椭圆”的(1)求椭圆C 的标准方程． (2)求实数λ的值．解析：(1)由条件可知，c ＝1，a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知A ，B ，M 三点共线，设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)．若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝4，不合题意． 则AB 所在直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －4)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0.①由①的判别式Δ＝322k 4－4(4k 2＋3)·(64k 2－12)＝144(1－4k 2)>0，解得k 2<14，且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3.由x 1＋x 22＝16k 23＋4k 2＝47，可得k 2＝18， 将k 2＝18代入方程①，得7x 2－8x －8＝0.则x 1＝4－627，x 2＝4＋627.又因为AM →＝(4－x 1，－y 1)，MB →＝(x 2－4，y 2)，AM →＝λMB →，所以λ＝4－x 1x 2－4，所以λ＝－9－427.11．已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________． 答案：x ＋2y －3＝012．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0<x 22＋y 20<1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________． 解析：由点P (x 0，y 0)满足0<x 22＋y 20<1，可知P (x 0，y 0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a ＝2，b ＝1，所以由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|<2a ＝22，当P (x 0，y 0)与F 1或F 2重合时，|PF 1|＋|PF 2|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|＝2，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是[2,22)． 答案：[2,22)13.已知椭圆C ：22221x y a b +=，()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，12MF F ∆的内心为I ，直线MI 交x 轴于点E ，若2MI IE=，则椭圆C 的离心率是（ ）A ．22B ．12C ．32D ．13【答案】B14.以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为( )A ．32-B ．31-C ．22D ．32 【答案】B解：设椭圆的两个焦点为1F ,2F ,圆与椭圆交于A ,B ,C ,D 四个不同的点,设122F F c =,则1DF c =,23DF c =．椭圆定义,得122||||3a DF DF c c=+=+,所以23131c e a ===-+, 故选：B 15.在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13 B ．23 C ．83 D ．32或83【答案】A16.已知1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点A 是1F 关于直线bx ay ab +=的对称点，且2AF x ⊥轴，则椭圆C 的离心率为_________.【答案】512- 17.已知F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，A 是椭圆短轴的一个端点，直线AF 与椭圆另一交点为B ，且2AF FB =u u u v u u u v ，则椭圆的离心率为______.【答案】33【解析】设()0,A b -，(),0F c ，作BC y ⊥轴，垂足为C ，如下图所示：则：22AF b c a =+=u u u v由2AF FB =u u u v u u u v 得：23AF c AB BC ==u u u v u u u v u u u v 32BC c ∴=u u u v ，即：32B x c = 由椭圆的焦半径公式可知：B BF a ex =-u u u v232B AF a a c c a ex FB a a ∴===--⋅u u u v u u u v ，整理可得：223a c = 213e ∴=，即33e = 本题正确结果：3318.如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为3和1，球心距离128OO =,截面分别与球1O ，球2O 切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．【答案】25519.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>与y 轴正半轴交于点()0,3M ，离心率为12．直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ．且与椭图E 交于A 、B 两点（点A 在第二象限）．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若AP PB λ=u u u r u u u r ，当2303t <≤时，求λ的取值范围．。

椭圆的标准方程和性质椭圆是平面上一个动点F到两定点A、B的距离之和等于常数2a的动点P的轨迹。

椭圆是一个非常重要的几何图形，在数学和物理学中都有着广泛的应用。

本文将介绍椭圆的标准方程和一些基本性质。

首先，我们来看椭圆的标准方程。

设椭圆的两个焦点为F1和F2，椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c。

椭圆的标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中，a和b分别为长轴和短轴的长度。

焦距c和半焦距ae之间的关系为c^2 = a^2 b^2。

接下来，我们来看一些椭圆的基本性质。

椭圆有许多独特的性质，下面我们将介绍其中的一些重要性质。

首先是椭圆的离心率。

椭圆的离心率定义为e=c/a，表示焦点到几何中心的距离与长轴的比值。

离心率是椭圆的一个重要参数，它决定了椭圆的形状。

当离心率接近于0时，椭圆的形状接近于圆；当离心率接近于1时，椭圆的形状趋向于长条形。

其次是椭圆的焦点性质。

椭圆的焦点是椭圆的一个重要特征，它决定了椭圆的形状和大小。

焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数2a，这个性质决定了椭圆的轨迹。

椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a，这个性质是椭圆的定义之一。

最后是椭圆的对称性。

椭圆具有许多对称性，包括关于x轴、y轴和原点的对称性。

椭圆关于x轴对称，当y取相反数时，方程左边不变；关于y轴对称，当x 取相反数时，方程左边不变；关于原点对称，当x和y都取相反数时，方程左边不变。

这些对称性质使得椭圆在几何和物理问题中有着广泛的应用。

总之，椭圆是一个非常重要的几何图形，它具有许多独特的性质和特征。

通过椭圆的标准方程和性质，我们可以更好地理解和应用椭圆在数学和物理学中的知识。

希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。

高二数学椭圆通经知识点椭圆是二次曲线的一种，具有许多重要的性质和应用。

在高二数学学习中，学生将接触到椭圆的基本定义、性质和相关公式。

本文将介绍高二数学学习中涉及到的椭圆的主要知识点。

一、椭圆的定义和特点椭圆可以由两个焦点F1和F2以及到这两个焦点距离之和等于常数2a的点的集合定义。

其中，焦距是两个焦点之间的距离，长轴是通过焦点的线段，短轴是垂直于长轴通过焦点的线段。

椭圆的主要特点有：1. 长短轴之比为b/a：椭圆的长短轴之比称为离心率，用e表示。

2. 中心：椭圆的中心为两个焦点的中点。

3. 对称性：椭圆具有两种对称轴，分别是长轴和短轴。

4. 焦点与顶点的坐标：焦点的坐标为(F1,0)和(F2,0)，顶点的坐标为(a,0)和(-a,0)。

5. 离心率与几何性质：离心率e决定了椭圆的形状，当e<1时为椭圆，e=1时为抛物线，e>1时为双曲线。

二、椭圆的方程椭圆的标准方程为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆中心的坐标。

当椭圆的中心为原点时，方程可以简化为：x²/a² + y²/b² = 1。

三、椭圆的焦点坐标椭圆的焦点坐标可以通过以下公式计算：F1 = (ae,0)，F2 = (-ae,0)，其中e为离心率，a为椭圆长轴的长度。

四、椭圆的参数方程椭圆的参数方程表示了椭圆上每个点的坐标，参数为角度θ。

x = a*cosθ，y = b*sinθ。

五、椭圆的周长和面积椭圆的周长C和面积S可以通过以下公式计算：C = 4a*E(e)，S = π*a*b，其中E(e)为椭圆的第二类完全椭圆积分，π为圆周率。

六、椭圆的性质和应用椭圆具有许多重要的性质和应用，包括：1. 投影性质：当椭圆的平面与投影平面平行时，投影是一个圆。

2. 聚焦性质：椭圆折射光线具有将入射光线聚焦到焦点的性质，这一性质在光学系统的设计中有广泛应用。

椭圆几何公理知识点总结椭圆是一个非常重要的几何概念，它在数学中具有广泛的应用。

椭圆的性质可以通过一系列几何公理来描述和推导，这些公理包括椭圆的定义、性质、以及与其他几何对象之间的关系。

本文将对椭圆的几何公理进行总结，并详细介绍每一条公理的含义和应用。

一、椭圆的定义椭圆可以通过以下几何公理来定义：1. 两个焦点F1和F2和到这两个焦点的距离之和等于定值2a的点P的轨迹；2. 焦点F1和F2到椭圆上一点P的距离之和等于定值2a。

这两条公理描绘了椭圆的基本特征，即椭圆是焦点与到焦点的距离之和等于定值的点的轨迹。

在直角坐标系中，椭圆的数学表达式为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中a和b分别表示椭圆的两个半轴的长度。

二、椭圆的性质椭圆具有以下几个重要的性质：1. 椭圆的离心率e满足0<e<1；2. 椭圆的两个焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于定值2a；3. 椭圆的两个焦点和半长轴之间的关系为：c^2 = a^2 - b^2，其中c表示焦点之间的距离；4. 椭圆的焦距等于2a；5. 椭圆的直径所在的任意两个点与椭圆焦点的连线之和等于定值2a。

这些性质揭示了椭圆的独特特征，帮助我们理解椭圆的本质和特点。

三、椭圆与其他几何对象的关系椭圆与其他几何对象之间有着密切的关系，包括与抛物线、双曲线、圆等的关系。

其中，椭圆与圆之间的关系尤为重要。

椭圆可以看作是一个圆在一定方向上进行拉伸而形成的，因此椭圆与圆具有很多相似的性质，比如焦点和离心率的性质都与圆相关。

此外，椭圆还与抛物线和双曲线有着一些相似之处，比如椭圆的定义和焦点之间的距离之和等于定值的性质与抛物线和双曲线的定义和性质有着类似之处。

总之，椭圆与其他几何对象之间有着丰富的联系，通过研究这些联系可以更好地理解椭圆的性质和特点。

四、椭圆的应用椭圆在数学和物理等领域中有着广泛的应用，其中的一些典型应用包括：1. 相位椭圆：在光学中，椭圆被用来描述偏振光的性质，通过椭圆的长轴、短轴和离心率等参数可以描述光的偏振状态；2. 卫星轨道：椭圆被广泛应用于描述卫星的轨道，通过椭圆的焦点和半长轴等参数可以描述卫星的运行轨道；3. 太阳能椭圆镜：椭圆在太阳能领域也有着重要的应用，椭圆形的镜面可以更好地捕获太阳能，并将其集中到一个点上，提高太阳能利用效率；4. 椭圆积分：在数学分析中，椭圆积分是一类特殊的积分形式，它在计算物体的质心、转动惯量等问题中有着重要的应用。

椭圆弦长知识点总结1.椭圆的定义与基本性质椭圆是一个平面上的几何图形，它的定义是一个平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的集合。

这两个定点称为焦点，常数2a称为椭圆的主轴长度，而直线段F1F2的长度称为椭圆的焦距。

椭圆的形状可以由参数a和b来决定，其中a大于b，椭圆的长轴方向是x轴，短轴方向是y轴。

椭圆具有许多重要的性质，比如椭圆内任意一点到两个焦点的距离之和等于2a，这叫做椭圆的焦点定理；椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a的一半，这叫做椭圆的半焦距定理；椭圆的离心率e的定义是椭圆的焦距除以椭圆的主轴长度，它是描述椭圆形状的一个重要参数。

2.椭圆弦长的计算椭圆弦长是指椭圆内的两点之间的最短距离，它的计算与椭圆的参数和两点的位置有关。

一般来说，椭圆弦长可以通过椭圆的参数和两点的坐标来计算，其中一个常见的方法是使用椭圆的参数方程。

设椭圆的参数方程为x = a * cos(t)，y = b * sin(t)，其中0 <= t < 2 * π。

若点A(x1, y1)和点B(x2, y2)为椭圆上的两点，那么点A和点B之间的弦长可以通过参数方程来计算。

首先，我们需要求出点A和点B在参数方程中对应的参数值t1和t2，然后使用参数曲线弧长公式来计算弦长。

参数曲线弧长公式为：L = ∫[t1, t2] √(x'(t)^2 + y'(t)^2) dt其中x'(t)和y'(t)分别表示参数方程x = a * cos(t)和y = b * sin(t)的导数。

在计算弦长时，我们需要求出该积分的值，这样就可以得到点A和点B之间的弦长。

3.椭圆弦长的性质椭圆弦长具有一些有趣的性质，其中一些是与椭圆几何特性相关的，而另一些则是与椭圆参数和焦点位置相关的。

以下是一些椭圆弦长的性质总结：1) 椭圆弦长与椭圆焦距的关系：在椭圆上任意两点之间的弦长与椭圆的焦距有关，具体来说，弦长的平方与焦距的平方之差是一个常数，这个常数等于椭圆的长轴和短轴之差的平方。

高考椭圆的知识点椭圆是高中数学中常见的一个几何图形，也是高考数学中的重点内容之一。

下面将详细介绍高考椭圆的知识点。

一、椭圆的定义椭圆可以定义为平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

这两个定点称为焦点，两个焦点之间的距离称为焦距。

椭圆的形状由焦距和常数决定。

二、椭圆的基本要素1. 焦点和直径：椭圆有两个焦点，焦点的位置决定了椭圆的形状和大小。

椭圆的长轴是通过两个焦点的直线，它的长度称为椭圆的长径；椭圆的短轴是垂直于长轴的直线，它的长度称为椭圆的短径。

2. 中心：椭圆的中心是长轴和短轴的交点，也是椭圆的对称中心。

3. 长径和短径：椭圆的中心到椭圆上任意一点的距离称为椭圆半径，椭圆的长径是指长轴的一半，短径是指短轴的一半。

4. 离心率：椭圆的离心率是一个0到1之间的实数，它表示椭圆的扁平程度。

离心率为0时，椭圆退化为一个点；离心率为1时，椭圆变为一条直线。

三、椭圆的方程1. 标准方程：椭圆的标准方程可以表示为（x-h）^2/a^2 + （y-k）^2/b^2 = 1，其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a是长轴的一半，b是短轴的一半。

2. 参数方程：椭圆的参数方程可以表示为x = h + a*cosθ，y = k + b*sinθ，其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a是长轴的一半，b是短轴的一半，θ是参数。

四、椭圆的性质1. 对称性：椭圆具有两个对称轴，分别是长轴和短轴，以中心为对称中心。

2. 焦点性质：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数（焦距）。

3. 切线性质：椭圆上任意一点的切线和从该点出发指向焦点的直线的夹角等于切线斜率的相反数。

4. 弦长性质：椭圆上任意一条弦的长度等于焦点到弦中点的距离与焦距之和。

5. 面积性质：椭圆的面积可以用公式S = πab表示，其中a是长轴的一半，b是短轴的一半。

五、椭圆在高考中的应用1. 椭圆的参数方程可以用来描述物体在椭圆轨道上的运动。

2. 椭圆的性质可以应用于建筑结构中的设计和力学分析。

椭圆知识点梳理总结高中椭圆是一个非常重要的数学概念，它在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。

椭圆的性质和应用涉及到许多重要的知识点，掌握这些知识点对于提高数学水平和解决实际问题都是非常有益的。

本文将对椭圆的基本概念、性质和应用进行梳理总结，希望能够帮助读者更好地理解和运用椭圆的知识。

一、椭圆的基本概念1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和为常数2a的点P的轨迹。

称为椭圆，其中a是椭圆的半长轴的长度。

1.2 椭圆的几何特征椭圆的轨迹是一个闭合的曲线，且是对称的。

它的长轴与短轴之间的长度差异是2a，短轴的长度是2b。

1.3 椭圆的标准方程椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标。

1.4 椭圆的离心率椭圆的离心率e定义为e=c/a，其中c是椭圆的焦点距离，a是椭圆的半长轴长度。

1.5 椭圆的参数方程椭圆的参数方程是x=h+a*cosθ，y=k+b*sinθ，其中θ是参数，范围在[0,2π]。

二、椭圆的性质2.1 椭圆的焦点性质椭圆的焦点是F1和F2，椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和是常数2a。

2.2 椭圆的顶点性质椭圆的长轴与短轴的两个端点分别是椭圆的顶点，它们与中心的连线都垂直于长轴。

2.3 椭圆的对称性椭圆关于长轴和短轴都是对称的，具有轴对称和中心对称性质。

2.4 椭圆的直径性质椭圆上的任意一条直径都经过椭圆的中心，并且以中心为对称轴。

2.5 椭圆的焦点方程椭圆的焦点方程是x²/a²+ y²/b²= 1，它表示椭圆上的点到两个焦点的距离之和是常数2a。

三、椭圆的参数方程3.1 参数方程的概念参数方程是用参数表示函数的自变量和因变量的一种方法，它将一个平面曲线的横纵坐标都表示成参数的函数。

3.2 椭圆的参数方程椭圆的参数方程是x=h+a*cosθ，y=k+b*sinθ，其中θ是参数，范围在[0,2π]。

椭圆中的垂径定理椭圆是一种具有特殊形状的几何图形，它在数学和几何学中具有重要的应用。

在研究椭圆性质时，垂径定理是一个重要的定理，它描述了椭圆中垂直于切线的直径之间的关系。

本文将详细介绍椭圆中的垂径定理。

一、椭圆的基本定义与性质1.1 椭圆的定义椭圆可以通过以下定义来描述：对于给定的两个焦点F1和F2以及一个常数d（表示焦点到直线l距离），椭圆是到焦点F1和F2距离之和等于常数d的所有点P构成的集合。

1.2 椭圆的基本性质椭圆具有以下基本性质：- 椭圆上任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于常数d。

- 椭圆上任意一点P到两个焦点F1和F2连线所在直线l的距离等于常数d。

- 椭圆上任意一条切线与过焦点F1和F2连线所在直线l垂直。

二、垂径定理2.1 定理表述垂径定理描述了椭圆中垂直于切线的直径之间的关系。

具体而言，如果从椭圆上任意一点P引出两条切线，并且这两条切线与通过两个焦点F1和F2的连线所在直线l垂直，则这两条切线所对应的直径之间成立以下关系：这两条直径的乘积等于焦距的平方。

2.2 定理证明为了证明垂径定理，我们需要利用椭圆的基本性质和一些几何推理。

设椭圆的焦距为2c，焦点F1和F2之间的距离为2a。

假设我们有一个任意点P(x, y)在椭圆上，并且通过该点引出两条切线。

设这两条切线分别与过F1和F2连线所在直线l相交于点A和B。

由于A、P、B三个点共线，根据几何学基本原理，我们可以得到以下结论：- 三角形AF1P与三角形BF2P相似。

- 三角形AF1P与三角形BF2P对应边长成比例。

进一步推导，我们可以得到以下结论：- AP / BP = AF1 / BF2 = AF1 + BF2 / AF1 - BF2 (根据椭圆性质) - AP / BP = (a + c) / (a - c)另根据椭圆的定义，我们知道焦点F1和F2到直线l的距离之和等于常数d，即：- AF1 + BF2 = d将上述结果代入，我们可以得到：- AP / BP = d / 2c由于AP和BP是切线所对应的直径，我们可以表示为：- AP = 2r1- BP = 2r2其中r1和r2分别表示直径AP和BP的长度。

椭圆的基本性质（一） 对称性问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性？x -代x 后方程不变，说明椭圆关于y 轴对称；y -代y 后方程不变，说明椭圆曲线关于x 轴对称；x -、y -代x ，y 后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称；问题2：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？以把x 换成－x 为例，如图在曲线的方程中，把x 换成－x 方程不变，相当于点P （x ，y ）在曲线上，点P 点关于y 轴的对称点Q （－x ，y ）也在曲线上，所以曲线关于y 轴对称．其它同理.相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. （二） 顶点问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标？在椭圆的标准方程中，令0=x ，得b y ±=，0=y ，得a x ±= 顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点.顶点坐标；)0,(),0,(21a A a A -，),0(),,0(21b B b B -.相关概念：线段2121,B B A A 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于b a 2,2，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.在椭圆的定义中，c 2表示焦距，这样，椭圆方程中的c b a ，,就有了明显的几何意义. 问题2：在椭圆标准方程的推导过程中令222b c a =-能使方程简单整齐，其几何意义是什么？c 表示半焦距，b 表示短半轴长，因此，联结顶点2B 和焦点2F ，可以构造一个直角三角形，在直角三角形内，2222222OB F B OF -=，即222b c a =-.（三） 范围问题1：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围？即确定两个变量的允许值范围．12222=+b y a x 变形为：a x a a x a x ax b y ≤≤-⇒≤⇒≤≥-=22222201，这就得到了椭圆在标准方程下x 的范围：a x a ≤≤-同理，我们也可以得到y 的范围：b y b ≤≤- 问题2：思考是否还有其他方法？ 方法一：可以把12222=+b y a x 看成1cos sin 22=+αα，利用三角函数的有界性来考虑b ya x ,的范围；方法二：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以122≤ax ，同理可以得到y 的范围由椭圆方程中y x ,的范围得到椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里. 三、例题解析例1 已知椭圆的方程为364922=+y x .（1） 求它的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标;（2） 写出与椭圆364922=+y x 有相同焦点的至少两个不同的椭圆方程. 解：解答见书本P48[说明] 这是本节课重点安排的基础性例题，是椭圆的几何性质的简单应用.例2（1）求以原点为中心，一个焦点为),1,0(-且长轴长是短轴长的2倍的椭圆方程; （2）过点（2，0），且长轴长是短轴长的2倍的椭圆方程.解：（1）由题意可知：b ac 2,1==，由222c b a =-，有1222=-b b ，1=b ，2=a ; ∴椭圆的标准方程为：1222=+y x . （2）1422=+y x 或141622=+x y . [说明] 此题利用椭圆标准方程中c b a ,,的关系来解题，要注意焦点在x 轴上或y 轴上的椭圆标准方程.例3已知直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x ，当k 在何范围取值时， （1） 直线与椭圆有两个公共点；（2） 直线与椭圆有一个公共点； （3） 直线与椭圆无公共点.解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1416322y x kx y 可得02024)14(22=+++kx x k )516(162-=∆∴k ； （1）当45450)516(162-<>>-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 有两个公共点； （2）当45450)516(162-===-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 有一个公共点；（3）当45450)516(162<<-<-=∆k k 即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 无公共点. [说明] 由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接说明两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交0>∆⇔（2）直线与椭圆相切0=∆⇔（3）直线与椭圆相离0<∆⇔，所以判定直线与椭圆的位置关系，运用方程及其判别式是最基本的方法.例4若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，求实数m 的取值范围. 解法一：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=15122m yx kx y 可得05510)5(22=-+++m kx x m k ，0152≥--=∆∴k m 即1152≥+≥k m51≠≥∴m m 且.解法二：直线恒过一定点)1,0(当5<m 时，椭圆焦点在x 轴上，短半轴长m b =，要使直线与椭圆恒有交点则1≥m 即51<≤m当5>m 时，椭圆焦点在y 轴上，长半轴长5=a 可保证直线与椭圆恒有交点即5>m综述：51≠≥m m 且 解法三：直线恒过一定点)1,0(要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点)1,0(在椭圆内部115022≤+m即1≥m51≠≥∴m m 且[说明]法一转化为k 的恒成立问题；法二是根据两曲线的特征观察所至；法三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：点),(o o y x M 在椭圆内部或在椭圆上则12222≤+bya x o o .例5 椭圆中心在原点，长轴长为103，一个焦点1F 的坐标)5,0(，求经过此椭圆内的一点)21,21(-M ，且被点M 平分的弦所在的直线方程.解：由已知，5,35==c a ，且焦点在y 轴上，50222=-=c a b ，椭圆方程为1507522=+x y .设过点M 的直线交椭圆于点),(21y x A 、),(22y x B . M 是弦AB 的中点，则1,12121-=+=+y y x x ，将B A ,两点的坐标代入椭圆方程，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+150751507522222121x y x y ，两式相减整理得：232321212121=++⋅-=--y y x x x x y y ，即23=k .所求的直线方程为)21(2321-=+x y ，即0546=--y x . [说明]此题因为涉及椭圆的弦中点问题，除通法外，可以优先考虑“点差法”.但需注意两点：1）斜率是否存在？2）应检验直线和椭圆是否相交？即联立直线和椭圆方程，得到关于x 或y 的一元二次方程，检验其根的判别式是否大于0？例6求椭圆1422=+y x 中斜率为1的平行弦的中点的轨迹. 解：见书本P50[说明] 此题因为涉及椭圆的弦中点问题，本题也可使用“点差法”.例7 已知椭圆11222=+y x 的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABF 2的面积解法一：由题可知：直线AB l 方程为022=++y x由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y ,可得04492=-+y y ， 91044)(2122121=-+=-y y y y y y, 1212129S F F y y ∆∴=-= 解法二：2F 到直线AB 的距离554=h , 由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y 可得061692=++x x ，又92101212=-+=x x k AB , 910421==∴∆h AB S . [说明] 在利用弦长公式212212111y y k x x k AB -+=-+=（k 为直线斜率）应结合韦达定理解决问题.例8 已知直线1+=x y 交椭圆12222=+by a x 于Q P ,两点，210=PQ ，OQ OP ⊥，求椭圆方程.解：为简便运算，设椭圆为122=+ny mx ，),0,0(n m n m ≠>>⎩⎨⎧+==+1122x y ny mx ，1)12(22=+++∴x x n mx ，整理得： 012)(2=-+++n nx x n m （1）n m nx x +-=+221，nm n x x +-=⋅121，设),(11y x P 、),(22y x Q ， OQ OP ⊥ ，02121=+∴y y x x ，即0)1)(1(2121=+++x x x x ，有2=+n m .方程（1）变形为：01222=-++n nx x .21,2121-=⋅-=+n x x n x x .210=PQ ，2521=-∴x x ，有03842=+-n n ，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2123m n ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2321m n∴椭圆的方程为123222=+y x 或123222=+x y . [说明] 应注意Q P ,两点设而不求，善于使用韦达定理. 四、巩固练习练习12.4（1）;练习12.4（2）五、课堂小结 1．椭圆的几何性质3．弦长问题和弦中点问题 4．有关弦中点问题，“点差法”的应用 六、课后作业练习册、补充作业：1．椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为2，求 ab 值.2.椭圆B A O F F y x 、作直线交椭圆于，过、的焦点为212212045=+两点，若2ABF ∆的面积为20，求直线AB 方程.3.已知椭圆()012222>>=+b a by a x 上一点()8,6P ，21F F 、为椭圆的焦点，且21PF PF ⊥，求椭圆的方程.4．中心在原点，焦点坐标为(0, ±52)的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆方程. 5.已知椭圆1222=+y x .（1） 过椭圆的左焦点F 引椭圆的割线，求截得的弦的中点P 的轨迹方程； （2） 求斜率为2的平行弦中点Q 的轨迹方程.6．P 为直线09=+-y x 上的点，过P 且以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点作椭圆，问P 在何处时所作椭圆的长轴最短？并求出相应椭圆的方程.7．已知椭圆C ：)0(235222>=+m m y x ，经过其右焦点F 且以()1,1=为方向向量的直线l交椭圆C 于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，设O 为椭圆的中心，射线OM 交椭圆C 于N 点．（1）证明：=+（2）求OB OA ⋅的值．8．已知A （－2，0）、B （2，0），点C 、点D 满足21,2||AD AC == （1）求点D 的轨迹方程；（2）过点A 作直线l 交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为54，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程. 9.设A ，B 分别是直线y x =和y x =20=，动点P 满足+=．记动点P 的轨迹为C ．（1） 求轨迹C 的方程；（2）若点D 的坐标为（0，16），M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DN DM λ=，求实数λ的取值范围．10.如图所示，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O ，且0=⋅=．（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；（2）如果椭圆上有两点P 、Q ，使∠PCQ 的平分线垂直于AO ，证明：存在实数λ，使λ=．。