2020版高考数学一轮复习课后限时集训51曲线与方程理含解析北师大版2

核心素养测评五十九曲线与方程(含轨迹问题)(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.动圆M经过双曲线x2-=1的左焦点且与直线x=2相切，则圆心M的轨迹方程是( )A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x【解析】选B.双曲线x2-=1的左焦点为F(-2，0)，动圆M经过点F且与直线x=2相切，则圆心M到点F 的距离和到直线x=2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y2=-8x.2.在平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(-1，3)，若点C满足=λ1+λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1+λ2=1，则点C的轨迹是( )A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线【解析】选A.设C(x，y)，则=(x，y)，=(3，1)，=(-1，3)，因为=λ1+λ2，所以又因为λ1+λ2=1，所以化简得x+2y-5=0表示一条直线.3.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点，定点M(-1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|=|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )A.2x+y+1=0B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0D.2x-y+5=0【解析】选D.设Q(x，y)，则P为(-2-x，4-y)，代入2x-y+3=0，得Q点的轨迹方程为2x-y+5=0.4.在△ABC中，B(-2，0)，C(2，0)，A(x，y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程.如表给出了一些条件及方程:条件方程①△ABC周长为10 C1:y2=25②△ABC面积为10 C2:x2+y2=4(y≠0)③△ABC中，∠A=90°C3:+=1(y≠0)A.C3，C1，C2B.C1，C2，C3C.C3，C2，C1D.C1，C3，C2【解析】选A.①△ABC的周长为10，即|AB|+|AC|+|BC|=10，又|BC|=4，所以|AB|+|AC|=6>|BC|，此时动点A的轨迹为椭圆，与C3对应;②△ABC的面积为10，所以|BC|·|y|=10即|y|=5与C1对应;③因为∠A=90°，所以·=(-2-x，-y)·(2-x，-y)=x2+y2-4=0与C2对应.5.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为世纪金榜导学号( )【解析】选C.由已知P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分.二、填空题(每小题5分，共15分)6.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA，PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为________________________.【解析】设P(x，y)，x2+y2=1的圆心为O，因为∠APB=60°，OP平分∠APB，所以∠OPB=30°，因为|OB|=1，∠OBP为直角，所以|OP|=2，所以x2+y2=4.答案:x2+y2=47.在平面直角坐标系中，动点P和点M(-2，0)，N(2，0)满足||||+·=0，则动点P(x，y)的轨迹方程为________________________________.【解析】把已知等式||||+·=0用坐标表示，得4+4(x-2)=0，化简变形得y2=-8x.答案:y2=-8x8.若直线y=k(x+2)+4与曲线y=有两个交点，则实数k的取值范围是________________. 世纪金榜导学号【解析】直线y=k(x+2)+4，当x=-2时，y=4，可得此直线恒过A(-2，4)，曲线y=为圆心在坐标原点，半径为2的半圆，根据题意作出相应的图形，如图所示:当直线y=k(x+2)+4与半圆相切(切点在第一象限)时，圆心到直线的距离d=r，所以=2，即4k2+16k+16=4+4k2，解得:k=-，当直线y=k(x+2)+4过点C时，将x=2，y=0代入直线方程得:4k+4=0，解得:k=-1，则直线与曲线有2个交点时k的取值范围为.答案:三、解答题(每小题10分，共20分)9.在平面直角坐标系中，已知A1(-，0)，A2(，0)，P(x，y)，M(x，1)，N(x，-2)，若实数λ使得λ2·=·(O为坐标原点).求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型.【解析】=(x，1)，=(x，-2)，=(x+，y)，=(x-，y).因为λ2·=·，所以(x2-2)λ2=x2-2+y2，整理得(1-λ2)x2+y2=2(1-λ2).①当λ=±1时，方程为y=0，轨迹为一条直线;②当λ=0时，方程为x2+y2=2，轨迹为圆;③当λ∈(-1，0)∪(0，1)时，方程为+=1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆;④当λ∈(-∞，-1)∪(1，+∞)时，方程为-=1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线.10.(2020·成都模拟)已知长度为4的线段AB的两个端点A，B分别在x轴和y轴上运动，动点P满足=3，记动点P的轨迹为曲线C. 世纪金榜导学号(1)求曲线C的方程.(2)设不经过点H(0，1)的直线y=2x+t与曲线C相交于两点M，N.若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值.【解析】(1)设P(x，y)，A(m，0)，B(0，n)，因为=3，所以(x，y-n)=3(m-x，-y)=(3m-3x，-3y)，即，所以，因为|AB|=4，所以m2+n2=16，所以x2+16y2=16，所以曲线C的方程为:+y2=1;(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由，消去y得，37x2+36tx+9(t2-1)=0，由Δ=(36t)2-4×37×9(t2-1)>0，可得-<t<，又直线y=2x+t不经过点H(0，1)，且直线HM与HN的斜率存在，所以t≠±1，又x1+x2=-，x1x2=，所以k HM+k HN=+==4-=1，解得t=3，故t的值为3.(15分钟35分)1.(5分)方程(2x+3y-1)(-1)=0表示的曲线是( )A.两条直线B.两条射线C.两条线段D.一条直线和一条射线【解析】选D.原方程可化为或-1=0，即2x+3y-1=0(x≥3)或x=4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线.【变式备选】|y|-1=表示的曲线是( )A.抛物线B.一个圆C.两个圆D.两个半圆【解析】选D.原方程|y|-1=等价于得或所以原方程表示(x-1)2+(y-1)2=1(y≥1)和(x-1)2+(y+1)2=1(y≤-1)两个半圆.2.(5分)已知点Q在椭圆C:+=1上，点P满足=+(其中O为坐标原点，F1为椭圆C 的左焦点)，则点P的轨迹为( )A.圆B.抛物线C.双曲线D.椭圆【解析】选D.因为点P满足=(+)，所以P是线段QF1的中点，由于F1为椭圆C:+=1的左焦点，则F1(-，0)，设P(x，y)，则Q(2x+，2y).由点Q在椭圆C:+=1上，得点P的轨迹方程为+=1，可知点P的轨迹为椭圆.3.(5分)直线y=kx交曲线y=于P，Q两点，O为原点，若=，则k的值为( )A. B. C. D.【解析】选D.由y=得x2+y2-4x+3=0，即(x-2)2+y2=1.所以曲线y=表示一个半径为1的半圆，设圆心为M(2，0)，如图所示，过M作PQ的垂线MN，垂足为N，则N为PQ的中点，设|NQ|=m，因为|OP|=|PQ|，所以|ON|=3m，则|MN|2=|MQ|2-|NQ|2=1-m2，又|MN|2=|OM|2-|ON|2=4-9m2，所以1-m2=4-9m2，解得m=，所以|ON|=3m=，|MN|==，所以k=tan∠MON==.4.(10分)如图，P是圆x2+y2=4上的动点，点P在x轴上的射影是点D，点M满足=.(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形.(2)过点N(3，0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E的轨迹方程. 世纪金榜导学号【解析】(1)设M(x，y)，则D(x，0)，由=知P(x，2y)，因为点P在圆x2+y2=4上，所以x2+4y2=4，故动点M的轨迹C的方程为+y2=1，且轨迹C为椭圆.(2)设E(x，y)，由题意知l的斜率存在，设l∶y=k(x-3)，代入+y2=1得:(1+4k2)x2-24k2x+36k2-4=0，(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=.所以y1+y2=k(x1-3)+k(x2-3)=k(x1+x2)-6k=-6k=.因为四边形OAEB为平行四边形，所以=+=(x1+x2，y1+y2)=又=(x，y)，所以消去k得x2+4y2-6x=0，由(*)中Δ=(-24k2)2-4(1+4k2)(36k2-4)>0得k2<，所以0<x<，所以顶点E的轨迹方程为x2+4y2-6x=0.5.(10分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C:+y2=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足=. 世纪金榜导学号(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上，且·=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.【解析】(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，=(x-x0，y)，=(0，y0).由=，得x0=x，y0=y.因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以+=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)由题意知F(-1，0).设Q(-3，t)，P(m，n)，则=(-3，t)，=(-1-m，-n)，·=3+3m-tn，=(m，n)，=(-3-m，t-n).由·=1，得-3m-m2+tn-n2=1，又由(1)知m2+n2=2，故3+3m-tn=0.所以·=0，即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.1.方程(x2-y2-1)=0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分) ( )【解析】选B.原方程等价于或x-y-1=0，前者表示等轴双曲线x2-y2=1位于直线x-y-1=0下方的部分，后者为直线x-y-1=0，这两部分合起来即为所求B.2.方程|y|-1=所表示的曲线的长度是世纪金榜导学号( )A.6πB.2πC.2π+4D.6π+12【解析】选B.方程|y|-1=，可得|y|-1≥0，即有y≥1或y≤-1，即有(x-2)2+(|y|-1)2=3，作出方程|y|-1=所表示的曲线，如图可得曲线为两个半圆，半径均为，可得表示曲线的长度为2π.关闭Word文档返回原板块。

课后限时集训(五十九)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．[解] 设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′，∴4x ′2＋9y ′2＝36，x ′29＋y ′24＝1.∴曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)2．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．[解] 在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4， 所以圆C 的半径|PC |＝22＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.3．在直角坐标系xOy中，直线l ：y ＝x ，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos φy ＝－2＋sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 与圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 与圆C 的交点为M ，N ，求△CMN 的面积．[解] (1)将C 的参数方程化为普通方程，得(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1， ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，得ρ2＋32ρ＋4＝0，解得ρ1＝－22，ρ2＝－2，|MN |＝|ρ1－ρ2|＝2，∵圆C 的半径为1，∴△CMN 的面积为12×2×1×sin π4＝12.4．在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1.(1)求圆C 的极坐标方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长．[解] (1)设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD ＝π4－θ或∠AOD ＝θ－π4，|OA |＝|OD |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ或|OA |＝|OD |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4. 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4. (2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0， 又圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，22满足直线l 的方程， ∴直线l 过圆C 的圆心， 故直线被圆所截得的弦长为2.B 组 能力提升1．已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．[解] (1)曲线C 1化为ρcos θ＋3ρsin θ＝ 3.∴ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32. 曲线C 2化为x 26＋y 22＝1，(*) 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式 得ρ26cos 2θ＋ρ22sin 2θ＝1，即ρ2(cos 2θ＋3sin 2θ)＝6.∴曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝61＋2sin 2θ. (2)∵M (3，0)，N (0,1)，P ⎝⎛⎭⎪⎫32，12. ∴OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32，得ρ1＝1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6. 把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ，得ρ2＝2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6. ∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1.2．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ0＋π2，若A ，B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．[解] (1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a ·cos θ(a 为半径)，将D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3代入，得2＝2a ×12，∴a ＝2，∴圆C 2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2， ∴C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ. ∴ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0， ρ22＝44sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＋cos 2⎝⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0. ∴1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54.。

高考数学一轮复习课后限时集训51曲线与方程理（含解析）新人教A 版课后限时集训(五十一) 曲线与方程(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．若方程x 2＋y 2a＝1(a 是常数)，则下列结论正确的是( )A ．任意实数a 方程表示椭圆B ．存在实数a 方程表示椭圆C ．任意实数a 方程表示双曲线D ．存在实数a 方程表示抛物线B [当a ＞0且a ≠1时，该方程表示椭圆；当a ＜0时，该方程表示双曲线；当a ＝1时，该方程表示圆．故选B.]2．已知点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，点P 满足OP →＝12(OF 1→＋OQ →)(其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．抛物线 C ．双曲线D ．椭圆D [因为点P 满足OP →＝12(OF 1→＋OQ →)，所以点P 是线段QF 1的中点，设P (x ，y )，由于F 1为椭圆C ：x 216＋y 210＝1的左焦点，则F 1(－6，0)，故Q (2x ＋6，2y )，由点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，得点P 的轨迹方程为2x ＋6216＋2y 210＝1，故点P 的轨迹为椭圆．故选D.]3．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，则动点P 的轨迹C 的方程为( ) A ．x 2＝4y B ．y 2＝3x C ．x 2＝2yD ．y 2＝4xA [设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)． ∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ， ∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .故选A.]4. 设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2＋y 2＝2D [如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，PM ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1， 又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2，即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.] 5．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( ) A.4x 221－4y225＝1 B.4x 221＋4y225＝1 C.4x 225－4y221＝1 D.4x 225＋4y221＝1 D [因为M 为AQ 垂直平分线上一点， 则|AM |＝|MQ |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52，c ＝1.则b 2＝a 2－c 2＝214，所以椭圆的方程为4x 225＋4y221＝1.]二、填空题6．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________．(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0) [设A (x ，y )，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2. ∴|CD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋y 24＝3， 化简得(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点构成三角形， ∴A 不能落在x 轴上， 即y ≠0.]7．一条线段的长等于6，两端点A ，B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上滑动，P 在线段AB 上且AP →＝2PB →，则点P 的轨迹方程是________．4x 2＋y 2＝16 [设P (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则a 2＋b 2＝36.因为AP →＝2PB →，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 3，y ＝2b3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，代入a 2＋b 2＝36，得9x 2＋94y 2＝36，即4x 2＋y 2＝16.]8．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．x 24＋y 23＝1(y ≠0) [设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |，所以|FA |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．]三、解答题9.如图所示，已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与点B (2,0)，分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程． (1)△PAB 的周长为10；(2)圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心)；(2)圆P 与圆A 外切，且与直线x ＝1相切(P 为动圆圆心)．[解] (1)根据题意，知|PA |＋|PB |＋|AB |＝10，即|PA |＋|PB |＝6＞4＝|AB |，故P 点轨迹是椭圆，且2a ＝6,2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，b ＝ 5. 因此其轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．(2)设圆P 的半径为r ，则|PA |＝r ＋1，|PB |＝r ， 因此|PA |－|PB |＝1.由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支，且2a ＝1,2c ＝4，即a ＝12，c ＝2，b ＝152，因此其轨迹方程为4x 2－415y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥12.(3)依题意，知动点P 到定点A 的距离等于到定直线x ＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p ＝4.因此其轨迹方程为y 2＝－8x .10．已知动点M 到定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为4 2. (1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交曲线C 于不同于N 的两点A ，B ，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值．[解] (1)由椭圆的定义，可知点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点，42为长轴长的椭圆． 由c ＝2，a ＝22，得b ＝2.故动点M 的轨迹C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k x ＋1得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0.Δ＝[4k (k －2)]2－4(1＋2k 2)(2k 2－8k )＞0，则k ＞0或k ＜－47.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k k －21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k1＋2k2.从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋k －4x 1＋x 2x 1x 2＝2k －(k －4)4k k －22k 2－8k ＝4. 当直线l 的斜率不存在时，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－142， 所以k 1＋k 2＝4. 综上，恒有k 1＋k 2＝4.B 组 能力提升1．已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若MN →2＝λAN →·NB →，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线D ．双曲线C [以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立坐标系，设M (x ，y )，A (－a,0)，B (a,0)，则N (x,0)．因为MN →2＝λAN →·NB →，所以y 2＝λ(x ＋a )(a －x )，即λx 2＋y 2＝λa 2， 当λ＝1时，轨迹是圆；当λ＞0且λ≠1时，轨迹是椭圆； 当λ＜0时，轨迹是双曲线； 当λ＝0时，轨迹是直线．综上，动点M 的轨迹不可能是抛物线．]2．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左，右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( ) A.x 236＋y 227＝1(y ≠0)B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0)C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋4y23＝1(y ≠0)C [依题意知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x 0，y 0)，G (x ，y )，则由三角形重心坐标关系可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－1＋13，y ＝y 03，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝3y .代入x 204＋y 203＝1得重心G 的轨迹方程为9x 24＋3y 2＝1(y ≠0)．]3．若过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1，l 2分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为________．x ＋y －1＝0 [当直线l 1的斜率存在时，l 2的斜率也存在，设直线l 1的方程是y －1＝k (x －1)，则直线l 2的方程是y －1＝－1k(x －1)，所以直线l 1与x 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k，0，l 2与y 轴的交点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1k ，设AB 的中点M 的坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－1k ，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ，两式相加消去k ，得x ＋y ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠12，即x ＋y －1＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠12，所以AB 中点M 的轨迹方程为x ＋y －1＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠12.当l 1的斜率不存在时，AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12， 适合x ＋y －1＝0，综上可知，AB 中点的轨迹方程为x ＋y －1＝0.]4．(2019·泉州模拟)在△ABC 中，O 是BC 的中点，|BC |＝32，△ABC 的周长为6＋3 2.若点T 在线段AO 上，且|AT |＝2|TO |.(1)建立适当的平面直角坐标系，求点T 的轨迹E 的方程；(2)若M ，N 是射线OC 上不同的两点，|OM |·|ON |＝1，过点M 的直线与E 交于点P ，Q ，直线QN 与E 交于另一点R .证明：△MPR 是等腰三角形．[解] (1)如图，以O 为坐标原点，以BC →的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy .依题意得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫322，0.由|AB |＋|AC |＋|BC |＝6＋32， 得|AB |＋|AC |＝6.因为|AB |＋|AC |＝6＞|BC |，所以点A 的轨迹是以B ，C 为焦点，6为长轴长的椭圆(除去长轴端点)，所以点A 的轨迹方程为x 29＋2y 29＝1(x ≠±3)． 设A (x 0，y 0)，T (x ，y )，依题意知OT →＝13OA →，所以(x ，y )＝13(x 0，y 0)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝3y .又x 209＋2y 209＝1，所以3x29＋23y 29＝1，即x 2＋2y 2＝1，所以点T 的轨迹E 的方程为x 2＋2y 2＝1(x ≠±1)．(2)证明：设M (m,0)(m ≠1)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m，0，Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，R (x 3，y 3)．由题意得直线QM 不与坐标轴平行， 因为k QM ＝y 1x 1－m，所以直线QM 的方程为y ＝y 1x 1－m(x －m )，与x 2＋2y 2＝1联立并整理可得，(m 2＋1－2mx 1)x 2－2m (1－x 21)x ＋(2mx 1－x 21－m 2x 21)＝0， 由根与系数的关系得x 1x 2＝2mx 1－x 21－m 2x 21m 2＋1－2mx 1，同理，x 1x 3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1m x 1－x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2＋1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1m x 1＝2mx 1－m 2x 21－x 211＋m 2－2mx 1＝x 1x 2， 所以x 2＝x 3或x 1＝0， 当x 2＝x 3时，PR ⊥x 轴；当x 1＝0时，由x 1＋x 2＝2m 1－x 21m 2＋1－2mx 1，得x 2＝2mm 2＋1， 同理，x 3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1m⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2＋1＝2m m 2＋1＝x 2，∴PR ⊥x 轴．因此|MP |＝|MR |，故△MPR 是等腰三角形．。

课后限时集训(五十二)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出y 的值为 ( )A ．2B ．7C ．8D ．128 C [由程序框图知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，9－x ，x ＜2.∵输入x 的值为1，比2小，∴执行的程序要实现的功能为9－1＝8，故输出y 的值为8.]2．(2019·佛山调研)执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )A ．－5B ．－1C ．3D ．11A [开始S ＝1，n ＝1，第一次循环：S ＝1＋(－2)1＝－1，n ＝2； 第二次循环：S ＝－1＋(－2)2＝3，n ＝3； 第三次循环：S ＝3＋(－2)3＝－5，n ＝4，此时4<4不成立，退出循环， 故输出S ＝－5.]3．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值为( )A ．9B ．11C ．13D ．15C [由程序框图可知，S 是对1n 进行累乘，直到S <12 018时停止运算，即当S ＝1×13×15×17×19×111＜12 018时循环终止，此时输出的n ＝13.] 4．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生，则按程序框图正确编程运行时输出y 的值为3的概率为 ( )A ．12B ．13C ．16D ．18C [由程序框图知，输出y 的值为3时，x 为3的倍数，且为偶数，即x ＝6,12,18,24，所以其概率为424＝16，故选C ．]5．执行如图所示的程序框图，假如输入的S ，k 的值分别为1,2，那么输出的S ＝( )A ．1＋15B ．15C ．4D ．17C [初始值：S ＝1，k ＝2；第1步循环结果：S ＝1＋12＋1，k ＝3；第2步循环结果：S ＝1＋12＋1＋13＋2，k ＝4；…；第15步循环结果：S ＝1＋12＋1＋13＋2＋…＋116＋15，k ＝17＞16，退出循环．此时输出的结果为S ＝1＋12＋1＋13＋2＋…＋116＋15＝1＋(2－1)＋(3－2)＋…＋(16－15)＝4，故选C ．]6．我国古代数学著作《周髀算经》有如下问题：“今有器中米，不知其数．前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S ＝1.5(单位：升)，则输入k 的值为( )A ．4.5B ．6C ．7.5D ．9B [由题中程序框图知S ＝k －k 2－k 2×3－k3×4＝1.5，解得k ＝6，故选B.]7．(2018·湘中名校联考)执行如图所示的程序框图，如果运行结果为5 040，那么判断框中应填入( )A．k<6 B．k<7C．k>6 D．k>7D[执行程序框图，第一次循环，得S＝2，k＝3；第二次循环，得S＝6，k＝4;第三次循环，得S＝24，k＝5；第四次循环，得S＝120，k＝6；第五次循环，得S＝720，k＝7；第六次循环，得S＝5 040，k＝8.此时满足题意，退出循环，输出的S＝5 040，故判断框中应填入“k>7”．]二、填空题8．(2019·吉林长春质检)更相减损术是出自《九章算术》的一种算法．如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的，若输入a＝91，b＝39，则输出的值为________．13[输入a＝91，b＝39，执行程序框图，第一次：a＝52，b＝39；第二次：a＝13，b ＝39；第三次：a＝13，b＝26；第四次：a＝13，b＝13；a＝b，满足输出条件，输出的值为13.]9．(2019·广东七校联考)公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n的值为________．(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)24 [执行程序框图，n ＝6，S ＝332≈2.598＜3.10；n ＝12，S ＝3＜3.10；n ＝24，S ≈3.1056＞3.10，满足条件，退出循环．故输出的n 的值为24.]10．(2019·长沙模拟)已知函数f (x )＝ax 3＋12x 2在x ＝－1处取得极大值，记g (x )＝1fx .程序框图如图所示， 若输出的结果S ＞2 0182 019，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是________．(填序号)①n ≤2 018；②n ≤2 019；③n ＞2 018；④n ＞2 019. ② [由题意得f ′(x )＝3ax 2＋x ， 由f ′(－1)＝0，得a ＝13，∴f ′(x )＝x 2＋x ，即g (x )＝1x 2＋x ＝1xx ＋＝1x －1x ＋1. 由程序框图可知S ＝0＋g (1)＋g (2)＋…＋g (n ) ＝0＋1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，由nn ＋1＞2 0182 019，得n ＞2 018. 故进行循环的条件应为n ≤2 019. 故可填入②.]B 组 能力提升1．(2019·郑州模拟)某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，如图1所示的茎叶图中记录了每天的销售量(单位：台)，把这些数据经过如图2所示的程序框图处理后，输出的S ＝( )A ．28B ．29C ．196D ．203B [由程序框图可知，该程序框图输出的是销售量的平均值，结合茎叶图可知，输出的S ＝20＋22＋26＋33＋33＋34＋357＝29，故选B.]2．(2017·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2D [假设N ＝2，程序执行过程如下：t ＝1，M ＝100，S ＝0，1≤2，S ＝0＋100＝100，M ＝－10010＝－10，t ＝2，2≤2，S ＝100－10＝90，M ＝－－1010＝1，t ＝3，3>2，输出S ＝90<91.符合题意． ∴N ＝2成立．显然2是N 的最小值． 故选D.]3．(2018·惠州三调)执行如图所示的程序框图，则输出的结果为________．9 [法一：i ＝1，S ＝lg 13＝－lg 3＞－1；i ＝3，S ＝lg 13＋lg 35＝lg 15＝－lg 5＞－1； i ＝5，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17＝－lg 7＞－1； i ＝7，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19＝－lg 9＞－1； i ＝9，S ＝lg 19＋lg 911＝lg 111＝－lg 11＜－1；故输出的i ＝9.法二：因为S ＝lg 13＋lg 35＋…＋lg ii ＋2＝lg 1－lg 3＋lg 3－lg 5＋…＋lg i －lg(i ＋2)＝－lg(i ＋2)，当i ＝9时，S ＝－lg(9＋2)＜－lg 10＝－1，所以输出的i ＝9.]4．执行如图所示的程序框图，若输入m ＝209，n ＝121，则输出的m 的值为________．11[当m＝209，n＝121时，m除以n的余数r＝88，此时m＝121，n＝88，m除以n的余数r＝33，此时m＝88，n＝33，m除以n的余数r＝22，此时m＝33，n＝22，m除以n的余数r＝11，此时m＝22，n＝11，m除以n的余数r＝0，此时m＝11，n＝0，退出循环，输出m的值为11.]。

课后限时集训(五十)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标1. (2019·泉州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点A 在C 上，若|AO |＝|AF |＝32.(1)求C 的方程；(2)设直线l 与C 交于P ，Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值． [解] (1)∵点A 在抛物线C 上，|AO |＝|AF |＝32，∴p 4＋p 2＝32，∴p ＝2， ∴C 的方程为x 2＝4y .(2)设直线方程为y ＝kx ＋b ，代入抛物线方程，可得x 2－4kx －4b ＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，∴y 1＋y 2＝4k 2＋2b ， ∵线段PQ 的中点的纵坐标为1，∴2k 2＋b ＝1，△OPQ 的面积S ＝12·b ·16k 2＋16b ＝b 2＋2b ＝2·b 3＋b 2(0＜b ≤1)，设y ＝b 3＋b 2，y ′＝3b 2＋2b ＞0，故函数单调递增， ∴b ＝1时，△OPQ 的面积的最大值为2.2．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．[解] (1)依题意知F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1. 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.① 因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.②联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24. 所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB .因为2S △AOB ＝2·12·|OF |·|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.3．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值． [解] (1)由题意知3a 2＋14b2＝1，又a 2－b 2a ＝32，解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.①设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0－λy 0)． 因为x 204＋y 20＝1，又－λx 0216＋－λy 024＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2.① 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2k 2＋4－m 2m 21＋4k2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k2＝t .将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.② 由①②可知0＜t ≤1， 因此S ＝2－t t ＝2－t 2＋4t .故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由①知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.B 组 能力提升1．(2019·南昌市调研测试卷)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4，且过点(2，－2)．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆焦点的直线l 与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范围．[解] (1)椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0,2)，2a ＝2＋0＋2＋＋2＝42，所以a ＝22，b ＝2，即椭圆C 的方程是y 28＋x 24＝1.(2)若直线l 垂直于x 轴，则点E (0,22)，F (0，－22)，OE →·OF →＝－8. 若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋2， 点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，将直线l 的方程代入椭圆C 的方程得到(2＋k 2)x 2＋4kx －4＝0， 则x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，x 1x 2＝－42＋k2，所以OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ＝－4－4k 22＋k 2＋－8k 22＋k 2＋4＝202＋k 2－8，因为0<202＋k 2≤10，所以－8<OE →·OF →≤2，综上所述，OE →·OF →的取值范围是[－8,2]．2．(2019·南宁模拟)已知点P (0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的左右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.(1)求E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于MN 以为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围．[解] (1)由题意题意△ABP 是等腰直角三角形，a ＝2，B (2,0)， 设Q (x 0，y 0)，由PQ →＝32QB →，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝65，y 0＝－45，代入椭圆方程，解得b 2＝1， ∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在，方程为y ＝kx －2，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0，由直线l 与E 有两个不同的交点，则Δ＞0， 即(－16k )2－4×12×(1＋4k 2)＞0，解得k 2＞34，由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k2，由坐标原点O 位于MN 为直径的圆外， 则OM →·ON →＞0，即x 1x 2＋y 1y 2＞0，则x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2)＝(1＋k 2)x 1x 2－2k ×(x 1＋x 2)＋4 ＝(1＋k 2)121＋4k 2－2k ×16k 1＋4k2＋4＞0，解得k 2＜4， 综上可知：34＜k 2＜4，解得32＜k ＜2或－2＜k ＜－32，∴直线l 斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 3．已知椭圆的中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．(1)若ED →＝6DF →，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值．[解] (1)由题设条件可得，椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB 的方程为x ＋2y －2＝0.设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＝4，解得x 2＝－x 1＝21＋4k2.①由ED →＝6DF →，得(x 0－x 1，k (x 0－x 1))＝6(x 2－x 0，k (x 2－x 0))，即x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，∴x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2. 由D 在AB 上，得x 0＋2kx 0－2＝0，∴x 0＝21＋2k .∴21＋2k ＝1071＋4k2，化简，得24k 2－25k ＋6＝0， 解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式可知，点E ，F 到AB 的距离分别为d 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝＋2k ＋1＋4k2＋4k2，d 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝＋2k －1＋4k2＋4k2，又|AB |＝22＋12＝5，∴四边形AEBF 的面积为 S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝12×5×＋2k ＋4k2＝＋2k 1＋4k2＝21＋4k 2＋4k1＋4k2＝21＋4k 1＋4k2＝21＋44k ＋1k≤21＋424k ·1k＝22，当且仅当4k ＝1k (k >0)，即k ＝12时，等号成立．故四边形AEBF 面积的最大值为2 2.。

课后限时集训(六十四)　参数方程(建议用时：60分钟)A 组　基础达标1．已知P 为半圆C ：Error!(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均为.AP π3(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M 的极坐标；(2)求直线AM 的参数方程．[解]　(1)由已知，点M 的极角为，π3且点M 的极径等于，π3故点M 的极坐标为.(π3，π3)(2)由(1)知点M 的直角坐标为，A (1,0)．(π6，3π6)故直线AM 的参数方程为Error!(t 为参数)．2．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是Error!(t 是参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.2(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围．[解]　(1)由Error!得y ＝2x ＋6，故直线l 的普通方程为2x －y ＋6＝0.由ρ＝2cos θ，2得ρ2＝2ρcos θ，2所以x 2＋y 2＝2x ，2即(x －)2＋y 2＝2，2故曲线C 的直角坐标方程为(x －)2＋y 2＝2.2(2)根据题意设点M (＋cos φ，sin φ)，222则x ＋y ＝＋cos φ＋sin φ＝＋2sin ，2222(φ＋π4)所以x ＋y 的取值范围是[－2＋，2＋]．223．(2019·新乡模拟)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线M 的直角坐标方程为x －2y ＋2＝0(x ＞0)．(1)以曲线M 上的点与点O 连线的斜率k 为参数，写出曲线M 的参数方程；(2)设曲线C 与曲线M 的两个交点为A ，B ，求直线OA 与直线OB 的斜率之和．[解]　(1)由Error!得Error!故曲线M 的参数方程为Error!.(k 为参数，且k ＞12)(2)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，∴x 2＋y 2＝4x .将Error!代入x 2＋y 2＝4x 整理得k 2－4k ＋3＝0，∴k 1＋k 2＝4.故直线OA 与直线OB 的斜率之和为4.4．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为2ρsin －3＝0，曲线C 的参数方程是Error!(φ为参数)．(θ＋π6)(1)求直线l 和曲线C 的普通方程；(2)直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |.[解]　(1)直线l 的极坐标方程为2ρsin －3＝0，(θ＋π6)化为ρsin θ＋ρcos θ－3＝0，3即l 的普通方程为x ＋y －3＝0，3由曲线C 的参数方程Error!消去φ，得C 的普通方程为x 2＋y 2＝4.(2)在x ＋y －3＝0中令y ＝0得P (3,0)，3∵k ＝－，33∴倾斜角α＝，5π6∴l 的参数方程可设为Error!即Error!代入x 2＋y 2＝4得t 2－3t ＋5＝0，Δ＝7＞0，3∴方程有两解，又t 1＋t 2＝3，t 1t 2＝5＞0，3∴t 1，t 2同号，故|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝3.35．已知曲线C ：＋＝1，直线l ：Error!(t 为参数)．x 24y 29(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．[解]　(1)曲线C 的参数方程为Error!(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝|4cos θ＋3sin θ－6|55＝，5|5sin θ＋a －6|5(ta n α＝43)则|PA |＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且ta n α＝.dsin 30°25543当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为.2255当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为.2556．已知直线的参数方程为Error!(其中t 为参数，m 为常数)．以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线与曲线C 交于A ，B 两点．(1)若|AB |＝，求实数m 的值；152(2)若m ＝1，点P 的坐标为(1,0)，求＋的值．1|PA |1|PB |[解]　(1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ，转化为普通方程可得x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.把Error!代入x 2＋(y －1)2＝1并整理可得t 2－(m ＋)t ＋m 2＝0，(*)3由条件可得Δ＝(m ＋)2－4m 2＞0，解得－＜m ＜.3333设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝m ＋，t 1t 2＝m 2≥0，3|AB |＝|t 1－t 2|＝＝＝，解得m ＝或. t 1＋t 2 2－4t 1t 2 m ＋3 2－4m 21523236(2)当m ＝1时，(*)式变为t 2－(1＋)t ＋1＝0，3t 1＋t 2＝1＋，t 1t 2＝1，3由点P 的坐标为(1,0)知P 在直线上，可得＋＝＋＝＝＝1＋.1|PA |1|PB |1|t 1|1|t 2||t 1|＋|t 2||t 1t 2||t 1＋t 2||t 1t 2|3B 组　能力提升1．已知曲线C 1：Error!(t 为参数)，C 2：Error!(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线C 3：Error!(t π2为参数)距离的最小值．[解]　(1)由C 1消去参数t ，得曲线C 1的普通方程为(x ＋4)2＋(y －3)2＝1.同理曲线C 2的普通方程为＋＝1.x 264y 29C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆，C 2表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝时，P (－4,4)，又Q (8cos θ，3sin θ)．π2故M ，(－2＋4cos θ，2＋32sin θ)又C 3的普通方程为x －2y －7＝0，则M 到直线C 3的距离d ＝|4cos θ－3sin θ－13|55＝|3sin θ－4cos θ＋13|55＝|5sin(θ－φ)＋13|.55(其中φ满足ta n φ＝43)所以d 的最小值为.8552．平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝.2cos θ1－cos 2θ(1)写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)已知与直线l 平行的直线l ′过点M (2,0)，且与曲线C 交于A ，B 两点，试求|AB |.[解]　(1)由l 的参数方程Error!得其普通方程为x －y －＋1＝0.将x ＝ρcos θ，y ＝33ρsin θ代入直线方程得ρcos θ－ρsin θ－＋1＝0.由ρ＝可得ρ2(1－332cos θ1－cos 2θcos 2θ)＝2ρcos θ，即ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，故曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .(2)∵直线l 的倾斜角为，∴直线l ′的倾斜角也为.又直线l ′过点M (2,0)，∴直π3π3线l ′的参数方程为Error!(t ′为参数)，将其代入曲线C 的直角坐标方程可得3t ′2－4t ′－16＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t ′1，t ′2.由根与系数的关系知t ′1t ′2＝－，t ′1＋163t ′2＝，∴|AB |＝|t ′1－t ′2|＝＝＝.43 t ′1＋t ′2 2－4t ′1t ′2(43)2＋16×434133。

课后限时集训(五十一)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标1．(2019·湖北部分学校联考)已知椭圆D ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，A 为短轴的一个端点，且|OA |＝|OF |，△AOF 的面积为1(其中O 为坐标原点)．(1)求椭圆D 的标准方程；(2)过椭圆D 长轴左端点C 作直线l 与直线x ＝2交于点M ，直线l 与椭圆D 的另一交点为P ，证明：OM →·OP →为定值．[解] (1)因为|OA |＝|OF |，所以b ＝c ，而△AOF 的面积为1，所以12bc ＝1，解得b ＝c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝4，所以椭圆D 的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题意可知直线MC 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x ＋2)， 代入x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2－22k 2＋1，4k 2k 2＋1.又M (2,4k )，所以OM →·OP →＝(2,4k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2－22k 2＋1，4k 2k 2＋1＝4，为定值．2．(2019·东北三校联合模拟)已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且OA →·OB →＝－16，求证：直线AB 恒过定点．[解] (1)设P (x ，y )，则x 2＋y －2＝(y ＋1)＋1⇒x 2＝8y .所以E 的方程为x 2＝8y .(2)证明：易知直线AB 的斜率存在，设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将直线AB 的方程代入x 2＝8y 中，得x 2－8kx －8b ＝0， 所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b .OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 21x 2264＝－8b ＋b 2＝－16⇒b ＝4，所以直线AB 恒过定点(0,4)．3．(2019·湖南五市十校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为35，过左焦点F且垂直于长轴的弦长为325.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P (m,0)为椭圆C 的长轴上的一个动点，过点P 且斜率为45的直线l 交椭圆C 于A ，B两点，证明：|PA |2＋|PB |2为定值．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝35，2b 2a ＝325，a 2＝b 2＋c 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝4，c ＝3，故椭圆C 的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)证明：设直线l 的方程为x ＝54y ＋m ，代入x 225＋y216＝1，消去x ，并整理得25y 2＋20my ＋8(m 2－25)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－45m ，y 1y 2＝m 2－25，又|PA |2＝(x 1－m )2＋y 21＝4116y 21，同理可得|PB |2＝4116y 22.则|PA |2＋|PB |2＝4116(y 21＋y 22)＝4116[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＝4116⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 52－m 2－25＝41. 所以|PA |2＋|PB |2是定值．B 组 能力提升1．(2019·邢台模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为25，离心率为32，圆E 的圆心在椭圆C 上，半径为2，直线y ＝k 1x 与直线y ＝k 2x 为圆E 的两条切线．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)试问：k 1·k 2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．[解] (1)由2b ＝25得b ＝5，∵e ＝c a ＝32，∴c 2a 2＝34，∵a 2＝b 2＋c 2，∴a 2－5a 2＝34，解得a 2＝20，b 2＝5，∴椭圆C 的标准方程为x 220＋y 25＝1.(2)设E (x 0，y 0)，∵直线y ＝k 1x 与圆E ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝4相切， ∴|k 1x 0－y 0|k 21＋1＝2，整理得(x 20－4)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－4＝0， 同理可得(x 20－4)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－4＝0，∴k 1，k 2为方程(x 20－4)x 2－2x 0y 0x ＋y 20－4＝0的两个根，∴k 1k 2＝y 20－4x 20－4.又∵E (x 0，y 0)在椭圆C ：x 220＋y 25＝1上，∴y 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2020，∴k 1k 2＝y 20－4x 20－4＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2020－4x 20－4＝－14， 故k 1k 2的定值为－14.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝22，短轴长为2 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过定点(与直线PQ 的斜率无关)？请证明你的结论．[解] (1)由短轴长为22，得b ＝2，由e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22，得a 2＝4，b 2＝2.所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)以MN 为直径的圆过定点F (±2，0)． 证明如下：设P (x 0，y 0)，则Q (－x 0，－y 0)， 且x 204＋y 202＝1，即x 20＋2y 20＝4，因为A (－2,0)，所以直线PA 方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 0x 0＋2，直线QA 方程为y ＝y 0x 0－2(x ＋2)， 所以N ⎝⎛⎭⎪⎫0，2y 0x 0－2，以MN 为直径的圆为(x －0)(x －0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2y 0x 0＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2y 0x 0－2＝0， 即x 2＋y 2－4x 0y 0x 20－4y ＋4y 2x 20－4＝0，因为x 20－4＝－2y 20，所以x 2＋y 2＋2x 0y 0y －2＝0， 令y ＝0，则x 2－2＝0，解得x ＝± 2. 所以以MN 为直径的圆过定点F (±2，0)．。

课后限时集训(一)(建议用时：40分钟)A组基础达标一、选择题1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( )A．4 B．2 C．0 D．0或4A[由题意知方程ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解或两个相等的根．当a＝0时，方程无实根，则a≠0，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4，故选A.]2．(2019·济南模拟)已知集合A＝{x|x2＋2x－3＝0}，B＝{－1,1}，则A∪B＝( ) A．{1} B．{－1,1,3}C．{－3，－1,1} D．{－3，－1,1,3}C[A＝{－3,1}，B＝{－1,1}，则A∪B＝{－3，－1,1}，故选C.]3．(2019·重庆模拟)已知集合A＝{0,2,4}，B＝{x|3x－x2≥0}，则A∩B的子集的个数为( )A．2 B．3 C．4 D．8C[B＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝{0,2}，故其子集的个数是22＝4个．]4．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B中的元素个数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5B[当m＝2时，n＝3或4，此时x＝6或8.当m＝3时，n＝4，此时x＝12.所以B＝{6,8,12}，故选B.]5．设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的集合B的个数是( ) A．5 B．4 C．3 D．2B[满足条件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．]6．(2019·衡水模拟)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩∁U B＝( )A．{2,5} B．{3,6} C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}A[由题意得∁U B＝{2,5,8}，∴A∩∁U B＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．]7．(2019·青岛模拟)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B＝( ) A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)C[由已知得A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则A∪B＝{x|x＞－1}．]二、填空题8．已知集合A ＝{x |x 2－2 019x ＋2 018＜0}，B ＝{x |x ≥a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．(－∞，1] [A ＝{x |1＜x ＜2 018}，B ＝{x |x ≥a }，要使A ⊆B ，则a ≤1.]9．若集合A ＝{y |y ＝lg x }，B ＝{x |y ＝x }，则A ∩B ＝________.{x |x ≥0} [A ＝R ，B ＝{x |x ≥0}，则A ∩B ＝{x |x ≥0}．]10．设集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1,2}，则a 的值为________．－2或1 [由A ∩B ＝{－1,2}得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1＝－1，a 2－2＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.]B 组 能力提升1．(2019·潍坊模拟)已知集合M ＝{x |lg x ＜1}，N ＝{x |－3x 2＋5x ＋12＜0}，则( )A ．N ⊆MB ．∁R N ⊆MC ．M ∩N ＝(3,10)∪⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－43 D ．M ∩(∁R N )＝(0,3]D [由M ＝{x |lg x ＜1}得M ＝{x |0＜x ＜10}；由－3x 2＋5x ＋12＝(－3x －4)(x －3)＜0得N ＝x ⎪⎪⎪ x ＜－43或x ＞3，所以∁R N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －43≤x ≤3，则有M ∩(∁R N )＝(0,3]，故选D.] 2．(2019·南昌模拟)在如图所示的Venn 图中，设全集U ＝R ，集合A ，B 分别用椭圆内图形表示，若集合A ＝{x |x 2＜2x }，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则阴影部分图形表示的集合为( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |1≤x ＜2} D [由x 2＜2x 解得0＜x ＜2，∴A ＝(0,2)，由1－x ＞0，解得x ＜1，∴B ＝(－∞，1)，阴影部分图形表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x ＜2}，故选D.]3．已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪ 12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________．[1，＋∞) [由A ∩B ≠∅，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1.]4．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．(－∞，4] [当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.]。

课后限时集训(六十)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标1．已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．[解] (1)由已知，点M 的极角为π3，且点M 的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3. (2)由(1)知点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)．故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t(t 为参数)．2．(2019·南昌模拟)已知直线l 的极坐标方程为ρsin θ＋π4＝22，现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos φy ＝－2＋2sin φ(φ为参数)．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 1的普通方程；(2)若曲线C 2为曲线C 1关于直线l 的对称曲线，点A ，B 分别为曲线C 1、曲线C 2上的动点，点P 的坐标为(2,2)，求|AP |＋|BP |的最小值．[解] (1)∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，∴22ρcos θ＋22ρsin θ＝22，即ρcos θ＋ρsin θ＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos φy ＝－2＋2sin φ，∴曲线C 1的普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4.(2)∵点P 在直线x ＋y ＝4上，根据对称性，|AP |的最小值与|BP |的最小值相等， 又曲线C 1是以(－1，－2)为圆心，半径r ＝2的圆， ∴|AP |min ＝|PC 1|－r ＝2＋12＋2＋22－2＝3，则|AP |＋|BP |的最小值为2×3＝6.3．已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．[解] (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.4．已知直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －12t ，y ＝32t(其中t 为参数，m 为常数)．以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线与曲线C 交于A ，B 两点．(1)若|AB |＝152，求实数m 的值； (2)若m ＝1，点P 的坐标为(1,0)，求1|PA |＋1|PB |的值．[解] (1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ， 转化为普通方程可得x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －12t ，y ＝32t代入x 2＋(y －1)2＝1并整理可得t 2－(m ＋3)t ＋m 2＝0，(*)由条件可得Δ＝(m ＋3)2－4m 2＞0，解得－33＜m ＜ 3. 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝m ＋3，t 1t 2＝m 2≥0，|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝m ＋32－4m 2＝152， 解得m ＝32或36. (2)当m ＝1时，(*)式变为t 2－(1＋3)t ＋1＝0，t 1＋t 2＝1＋3，t 1t 2＝1，由点P 的坐标为(1,0)知P 在直线上，可得1|PA |＋1|PB |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝1＋ 3. B 组 能力提升1．(2019·湖南长郡中学联考)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)距离的最小值．[解] (1)由C 1消去参数t ，得曲线C 1的普通方程为(x ＋4)2＋(y －3)2＝1. 同理曲线C 2的普通方程为x 264＋y 29＝1.C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆，C 2表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4,4)，又Q (8cos θ，3sin θ)．故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ，又C 3的普通方程为x －2y －7＝0， 则M 到直线C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13| ＝55|3sin θ－4cos θ＋13| ＝55|5sin(θ－φ)＋13|⎝⎛⎭⎪⎫其中φ满足tan φ＝43. 所以d 的最小值为855.2．(2019·安徽芜湖期末)平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝3t ＋1(t为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ1－cos 2θ. (1)写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)已知与直线l 平行的直线l ′过点M (2,0)，且与曲线C 交于A ，B 两点，试求|AB |.[解] (1)由l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝3t ＋1得其普通方程为3x －y －3＋1＝0.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线方程得3ρcos θ－ρsin θ－3＋1＝0.由ρ＝2cos θ1－cos 2θ可得ρ2(1－cos 2θ)＝2ρcos θ，即ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，故曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .(2)∵直线l 的倾斜角为π3，∴直线l ′的倾斜角也为π3.又直线l ′过点M (2,0)，∴直线l ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ′，y ＝32t ′(t ′为参数)，将其代入曲线C 的直角坐标方程可得3t ′2－4t ′－16＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t ′1，t ′2.由根与系数的关系知t ′1t ′2＝－163，t ′1＋t ′2＝43，∴|AB |＝|t ′1－t ′2|＝t ′1＋t ′22－4t ′1t ′2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋16×43＝4133.。

课后限时集训51圆的方程 建议用时：45分钟一、选择题1．已知方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，－1)D ．(0，－1)D [由x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0知所表示圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝12－3k 2＋4，要使圆的面积最大，须使半径最大， 所以当k ＝0时，r max ＝124＝1，此时圆的方程为x 2＋y 2＋2y ＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝1，所以圆心为(0，－1)．]2．以(a,1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0,2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5 C ．(x －1)2＋y 2＝5D ．x 2＋(y －1)2＝5A [由题意得，点(a,1)到两条直线的距离相等，且为圆的半径r . ∴|2a －1＋4|22＋－12＝|2a －1－6|22＋－12，解得a ＝1.∴r ＝|2×1－1＋4|22＋－12＝5，∴所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5.] 3．设P (x ，y )是曲线x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则x －12＋y －12的最大值为( )A.26＋2 B ．26 C ．5 D ．6A [x －12＋y －12的几何意义为点P (x ，y )与点A (1,1)之间的距离．易知点A (1,1)在圆x 2＋(y ＋4)2＝4的外部，由数形结合可知x －12＋y －12的最大值为1－02＋1＋42＋2＝26＋2.故选A.]4．动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝4C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝12C [设中点M (x ，y )，则动点A (2x －3,2y )．∵点A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1.故选C.]5．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6D ．10C [设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)， ∴|MN |＝46，故选C.] 二、填空题6．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为________．4 [如图所示，圆心M (3，－1)与直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.]7．圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为________．(x －2)2＋(y －1)2＝1 [设对称圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝1，圆心(1,2)关于直线y ＝x 的对称点为(2,1)，故对称圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.]8．圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3)，若M (m ，6)在圆C 内，则m 的X 围为________．(0,4) [设圆心为C (a,0)，由|CA |＝|CB |得(a ＋1)2＋12＝(a －1)2＋32.所以a ＝2. 半径r ＝|CA |＝2＋12＋12＝10.故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 由题意知(m －2)2＋(6)2＜10， 解得0＜m ＜4.] 三、解答题9．已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． (1)求|MQ |的最大值和最小值； (2)求y －3x ＋2的最大值和最小值． [解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝2＋22＋7－32＝42，∴|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2. (2)可知y －3x ＋2表示直线MQ 的斜率k . 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0. 由直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3， ∴y －3x ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.10.如图，等腰梯形ABCD 的底边AB 和CD 长分别为6和26，高为3. (1)求这个等腰梯形的外接圆E 的方程；(2)若线段MN 的端点N 的坐标为(5,2)，端点M 在圆E 上运动，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．[解] (1)由已知可知A (－3,0)，B (3,0)，C (6，3)，D (－6，3)， 设圆心E (0，b )，由|EB |＝|EC |可知(0－3)2＋(b －0)2＝(0－6)2＋(b －3)2，解得b ＝1. 所以r 2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10. 所以圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)设P (x ，y )，由点P 是MN 中点，得M (2x －5,2y －2)． 将M 点代入圆的方程得(2x －5)2＋(2y －3)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝52.1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值X 围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]A [圆心(2,0)到直线的距离d ＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P 到直线的距离d 1∈[2，32]．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为A (－2,0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以△ABP 的面积S ＝12|AB |d 1＝2d 1.因为d 1∈[2，32]，所以S ∈[2,6]，即△ABP 面积的取值X 围是[2,6]．]2．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a＋2b的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2D [由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上， ∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝3＋b a ＋2a b≥3＋2b a ·2ab＝3＋22， 当且仅当b a ＝2ab，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立． ∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2.]3．已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C 的方程为________．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2 [设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则点C 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝2.故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.]4．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．[解] (1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又因为直径|CD |＝410， 所以|PA |＝210， 所以(a ＋1)2＋b 2＝40.② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.1．(2019·某某模拟)设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)，则PA →·PB →的最大值为________．12 [由题意，知PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以PA →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以PA →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4，所以，当y ＝4时，PA →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12.]2. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．(2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．[解] 由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0.设A (x 1,0)，B (x 2,0)，可得Δ＝m 2－8m ＞0，则m ＜0或m ＞8，x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m .令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0,2m )．(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC →·BC →＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0(舍去)或m ＝－12.此时C (0，－1)，AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0即圆心， 半径r ＝|CM |＝174， 故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋y 2＝1716.(2)证明：设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0， 将点C (0,2m )代入可得E ＝－1－2m ，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0. 整理得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－y ＝0，x ＋2y －2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝45，故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45.。

A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的是( )． A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点D ．以上答案都不对解析 (x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.答案 C2．(2012·厦门模拟)已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )．A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线解析 由已知：|MF |＝|MB |.由抛物线定义知，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，故选D. 答案 D3．设P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，若PM →＝λMQ →(其中λ为正常数)，则点M 的轨迹为( )． A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 解析 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则Q (x 0,0)，由PM →＝λMQ →得⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝λx 0－x，y －y 0＝－λy (λ＞0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝λ＋1y .由于x 20＋y 20＝1，∴x 2＋(λ＋1)2y 2＝1，∴M 的轨迹为椭圆． 答案 B4．(2012·长春模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )．A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y225＝1C.4x 225－4y221＝1 D.4x 225＋4y221＝1 解析 M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆， ∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y221＝1.答案 D5．(2011·湘潭模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )．A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆 解析 由条件知|PM |＝|PF |.∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝R >|OF |. ∴P 点的轨迹是以O 、F 为焦点的椭圆． 答案 A二、填空题(每小题4分，共12分)6．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程是________．解析 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2－(－2，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝(x ，y )－⎝⎛⎭⎪⎫0，y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x ，y 2，∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫2，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2＝0，即y 2＝8x .∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x . 答案 y 2＝8x7．(2012·佛山月考)在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0(a >0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________．解析 由正弦定理：|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |2R ，∴|AB |－|AC |＝12|BC |，且为双曲线右支．答案 16x2a 2－16y23a 2＝1(x >0且y ≠0)8．直线x a ＋y2－a＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是______．解析 (参数法)设直线x a ＋y2－a＝1与x 、y 轴交点为A (a,0)、B (0,2－a )，A 、B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案 x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1) 三、解答题(共23分)9．(★)(11分)设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．解 法一 直接法．如图，设OQ 为过O 点的一条弦，P (x ，y )为其中点，则CP ⊥OQ .因OC 中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接PM . 故|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，由圆的范围知0＜x ≤1.法二 定义法． ∵∠OPC ＝90°，∴动点P 在以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上，由圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(0＜x ≤1)．法三 代入法． 设Q (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 12，y ＝y 12⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又∵(x 1－1)2＋y 21＝1，∴(2x －1)2＋(2y )2＝1(0＜x ≤1)． 法四 参数法．设动弦OQ 的方程为y ＝kx ，代入圆的方程得(x －1)2＋k 2x 2＝1. 即(1＋k 2)x 2－2x ＝0， ∴x ＝x 1＋x 22＝11＋k 2，y ＝kx ＝k 1＋k2，消去k 即可得到(2x －1)2＋(2y )2＝1(0＜x ≤1)． 【点评】 本题中的四种解法是求轨迹方程的常用方法，在求轨迹方程时，要注意挖掘题目中的条件，恰当地选取方法.10．(12分)(2012·苏州模拟)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为点C . (1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线，∴动点C 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k，－1，∴RP →·RQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2k，y 1＋1·⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2k，y 2＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k2＋4＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k＋2k ＋4k2＋4＝4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2＋8.∵k 2＋1k2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.B 级 综合创新备选(时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x >3) D.x 216－y 29＝1(x >4) 解析 如图|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点， 实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．答案 C 2．|y |－1＝1－x －12表示的曲线是( )．A ．抛物线B ．一个圆C ．两个圆D ．两个半圆解析 原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧|y |－1≥01－x －12≥0|y |－12＝1－x －12⇔⎩⎪⎨⎪⎧|y |－1≥0x －12＋|y |－12＝1⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1x －12＋y －12＝1或⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－1x －12＋y ＋12＝1答案 D二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2012·榆林模拟)已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是______________． 解析 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y2，又P 在椭圆上，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.答案 x 24a 2＋y 24b2＝14．已知两条直线l 1：2x －3y ＋2＝0和l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l 1、l 2都相交，且l 1、l 2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是____________．解析 设动圆的圆心为M (x ，y )，半径为r ，点M 到直线l 1，l 2的距离分别为d 1和d 2. 由弦心距、半径、半弦长间的关系得，⎩⎨⎧2r 2－d 21＝26，2r 2－d 22＝24，即⎩⎪⎨⎪⎧r 2－d 21＝169，r 2－d 22＝144，消去r 得动点M 满足的几何关系为d 22－d 21＝25， 即3x －2y ＋3213－2x －3y ＋2213＝25.化简得(x ＋1)2－y 2＝65.此即为所求的动圆圆心M 的轨迹方程． 答案 (x ＋1)2－y 2＝65 三、解答题(共22分)5．(10分)已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同的两个动点．(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程；(2)若过点H (0，h )(h ＞1)的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且l 1⊥l 2，求h 的值．解 (1)由题设知|x 1|＞2，A 1(－2，0)，A 2(2，0)， 则有直线A 1P 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，①直线A 2Q 的方程为y ＝－y 1x 1－2(x －2)．②联立①②解得交点坐标为x ＝2x 1，y ＝2y 1x 1，即x 1＝2x ，y 1＝2y x，③则x ≠0，|x |＜ 2.而点P (x 1，y 1)在双曲线x 22－y 2＝1上，∴x 212－y 21＝1.将③代入上式，整理得所求轨迹E 的方程为x 22＋y 2＝1，x ≠0且x ≠± 2.(2)设过点H (0，h )的直线为y ＝kx ＋h (h ＞1)， 联立x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0.令Δ＝16k 2h 2－4(1＋2k 2)(2h 2－2)＝0得h 2－1－2k 2＝0， 解得k 1＝h 2－12，k 2＝ －h 2－12.由于l 1⊥l 2，则k 1k 2＝－h 2－12＝－1，故h ＝ 3.过点A 1，A 2分别引直线l 1，l 2通过y 轴上的点H (0，h )，且使l 1⊥l 2，因此A 1H ⊥A 2H ， 由h2×⎝⎛⎭⎪⎫－h 2＝－1，得h ＝ 2.此时，l 1，l 2的方程分别为y ＝x ＋2与y ＝－x ＋2，它们与轨迹E 分别仅有一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，223与⎝ ⎛⎭⎪⎫23，223. 所以，符合条件的h 的值为3或 2.6．(12分)设椭圆方程为x 2＋y 24＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，点P 满足OP →＝12(OA →＋OB →)，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，当直线l 绕点M 旋转时，求： (1)动点P 的轨迹方程；(2)|NP →|的最大值，最小值．解 (1)直线l 过定点M (0,1)，设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，A 、B 的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1.消去y 得(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0. 则Δ＝4k 2＋12(4＋k 2)>0. ∴x 1＋x 2＝－2k 4＋k 2，x 1x 2＝－34＋k2.设P (x ，y )是AB 的中点，则OP →＝12(OA →＋OB →)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 1＋x 2＝k4＋k2，y ＝12y 1＋y 2＝12kx 1＋1＋kx 2＋1＝4＋2k24＋k2；消去k 得4x 2＋y 2－y ＝0.当斜率k 不存在时，AB 的中点是坐标原点，也满足这个方程， 故P 点的轨迹方程为4x 2＋y 2－y ＝0.(2)由(1)知4x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14∴－14≤x ≤14而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋1－16x 24 ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋162＋712，∴当x ＝－16时，|NP →|取得最大值216，当x ＝14时，|NP →|取得最小值14.。

课时跟踪检测（五十）曲线与方程一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.方程(ｘ+y-1）错误!未定义书签。

＝0表示的曲线是__________＿__＿．解析:由(x+y-1)错误!未定义书签。

＝0，得错误!或错误!未定义书签。

＝0，即x+y-１=0（ｘ≥１）或x=1．所以方程表示的曲线是射线ｘ＋y－1=0(x≥1)和直线ｘ＝１．答案:射线ｘ＋y－１=０（ｘ≥1)和直线ｘ＝12．平面上有三个点A(-2,y）,B错误!,Ｃ(x，y)，若错误!⊥错误!未定义书签。

，则动点Ｃ的轨迹方程为_＿______.解析:由题意得错误!未定义书签。

＝错误!未定义书签。

,错误!未定义书签。

＝错误!未定义书签。

，由错误!未定义书签。

⊥错误!未定义书签。

，得错误!·错误!未定义书签。

=0，即２x+错误!·错误!=0,所以动点Ｃ的轨迹方程为y2=8x。

答案:y2＝8x3．（２０１８·江苏太湖高级中学检测）若动点Ｐ(x,ｙ)满足条件｜错误!-错误!未定义书签。

|=6,则点Ｐ的轨迹是_＿_＿____．解析:|＼r(x＋4２＋y２)-x－42+y2|=6表示点P到(4，0），(－４，0）两点的距离的差的绝对值为6,根据定义得点Ｐ轨迹是双曲线．答案：双曲线4.设点A为圆(x-１)2+y2＝１上的动点，PA是圆的切线，且PＡ＝1，则P点的轨迹方程为＿___＿___．解析：如图,设P(ｘ，y),圆心为M（1，０).连结MA,PM,则MＡ⊥PA，且MＡ＝1,又因为PA=1，所以PM=错误!=错误!,即ＰM2=2,所以(x-1)2＋y2=2。

答案:(ｘ－１)２+ｙ2＝２5．已知点Ａ（－2，0)，B(３,０），动点Ｐ（ｘ,y）,满足错误!·错误!＝x2－６,则动点Ｐ的轨迹方程是__＿_____.解析:因为动点P(x，ｙ)满足错误!·错误!未定义书签。

＝ｘ2-６，所以(-２－x，－y)·(3-ｘ,－ｙ)=x2－6,即y2=x，ﻬ所以动点P的轨迹方程是y２＝x.答案:y2=ｘ6.已知定点Ａ(4,0）和圆x2＋y2=4上的动点B,动点P（x，ｙ）满足错误!未定义书签。

课后限时集训(五)(建议用时：40分钟) A 组 基础达标一、选择题1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |C [函数f (x )＝－1x ＋1的递增区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故在(0，＋∞)上是增函数，故选C ．]2．(2019·湖北八校联考)设函数f (x )＝2xx －2在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m 2M＝( )A ．23B ．38C ．32D ．83D [f (x )＝2x x －2＝x －＋4x －2＝2＋4x －2，则函数f (x )在[3,4]上是减函数，从而f (x )max ＝f (3)＝2＋43－2＝6， f (x )min ＝f (4)＝2＋44－2＝4， 即M ＝6，m ＝4，所以m 2M ＝166＝83，故选D.]3．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的递减区间是( ) A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞C ．⎝⎛⎦⎥⎤－1，32 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 D [要使函数有意义需4＋3x －x 2＞0， 解得－1＜x ＜4，∴定义域为(－1,4)．令t ＝4＋3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254.则t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32上递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4上递减的， 又y ＝ln t 在⎝⎛⎦⎥⎤0，254上递增的，∴f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4.]4．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0 C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0 D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0B [函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在区间(1，＋∞)上是增函数，且f (2)＝log 22＋11－2＝0，从而f (x 1)＜0，f (x 2)＞0，故选B.]5．(2019·三门峡模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜2，x 2，x ≥2，若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)B [易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜2，x 2，x ≥2是定义域R 上是增加的．∵f (a ＋1)≥f (2a －1)，∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2. 故实数a 的取值范围是(－∞，2]，故选B.] 二、填空题6．(2019·上饶模拟)函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上的最大值是________．32 [法一：易知y ＝－x ，y ＝1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上递减的，∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上递减的，∴f (x )max ＝f (－2)＝32.法二：函数f (x )＝－x ＋1x 的导数为f ′(x )＝－1－1x2.易知f ′(x )＜0，可得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上递减的， 所以f (x )max ＝2－12＝32.]7．(2019·长春模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________．(－∞，1] [因为函数f (x )在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.] 8．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )＞f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．(－3，－1)∪(3，＋∞) [由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＞0，a ＋3＞0，a 2－a ＞a ＋3，解得－3＜a ＜－1或a ＞3，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1；因为x ∈[－5,5]，所以x ＝1时，f (x )取最小值1；x ＝－5时，f (x )取最大值37.(2)f (x )的对称轴为x ＝－a .因为f (x )在[－5,5]上是单调函数，所以－a ≤－5，或－a ≥5，所以实数a 的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上是增加的；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上是减少的，求a 的取值范围． [解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在(－∞，－2)上是增加的． (2)f (x )＝xx －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋ax －a，当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数， 又f (x )在(1，＋∞)上是减少的，∴0＜a ≤1，故实数a 的取值范围是(0,1]．B 组 能力提升1．(2019·唐山模拟)函数y ＝2－xx ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(－1,2)C ．[1,2)D ．[－1,2)D [函数y ＝2－x x ＋1＝3－x －1x ＋1＝3x ＋1－1，在x ∈(－1，＋∞)时，函数y 是减函数，在x＝2时，y ＝0；根据题意x ∈(m ，n ]时，y 的最小值为0，∴m 的取值范围是－1≤m ＜2.故选D.]2．若函数f (x )＝|2x ＋a |的递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.－6 [f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ≥－a2，－2x －a ，x ＜－a2.∵函数的递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a2，＋∞， ∴－a2＝3，∴a ＝－6.]3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞1，0，x ＝1，－1，x ＜1，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．[0,2) [g (x )＝x 2f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞2，0，x ＝2，－x 2，x ＜2，当x ＜2时，g (x )＝－x 2，因此g (x )的递减区间为[0,2)．] 4．已知函数f (x )＝2x －a x的定义域为(0,1](a 为实数)． (1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0,1]上的最大值及最小值，并求出当函数f (x )取得最值时x 的值．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1x，任取1≥x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x 1x 2. 因为1≥x 1＞x 2＞0， 所以x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0.所以f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )在(0,1]上递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，所以f (x )的值域为(－∞，1]．(2)当a ≥0时，y ＝f (x )在(0,1]上递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ；当a ＜0时，f (x )＝2x ＋－ax，当－a2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f (x )在(0,1]上递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当－a2＜1，即a ∈(－2,0)时，y ＝f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0，－a 2上递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a2，1上递增，无最大值，当x ＝－a2时取得最小值2－2a .。