江西省临川一中2011届高三5月模拟考试数学理

江西省临川一中2011年5月高考模拟试卷数学(文）一、选择题(每小题5分，共50分） 1．若集合2{|0}M x x x =-≤，函数||lg )(x x f =的定义域为N ，则M N =（ ）A ．(0,1]B ．(0,1)C ．[0,1]D ．(1,0]-2.复数2010)11(ii-+的值为（ ） A ．1 B 。

1- C. i D.i -3．下列命题中，真命题是 （ ）A ．2,x R x x ∀∈≥B ．命题“若21,1x x==则”的逆命题C ．2,x R x x ∃∈≥D ．命题“若,sin sin x y x y ≠≠则"的逆否命题4.已知函数x x f ωsin 2)(=在区间]4,3[ππ-上的最小值为2-，则ω 的取范围是（ ） A 。

]29,(--∞),6[+∞⋃B. ]29,(--∞),23[+∞⋃C 。

]2,(--∞ ),6[+∞⋃D 。

]2,(--∞),23[+∞⋃ 量a 与b 不共线，0≠a b ，且⎛⎫ ⎪⎝⎭a a c =a -b a b ，则向5．若向量a 与c的夹角为（ ）A ．0B ．π6C ．π3D ．π26。

执行如图所示的程序框图出的结果是8，则判断框内m 可以是（ )A.]42,30( B 。

（42,56］ C .(56,72]D 。

（30,72)121 俯视图主视图侧视图 1127。

一个四棱锥的三视图如右上图所示，其侧视图是等边三角形,该四棱锥的体积为（ ） A.3 B 。

23 C 。

33 D 。

638.如图所示，半径为r 的四分之一的圆ABC 上，分别以AB 和AC 为直径作两个半圆，分别标有α的阴影部分面积和标有b 的阴影部分 面积，则这两部分面积α和b 有( ）A ．α>b B．α〈b C ．α=b D．无法确定9.已知0>a ，设函数120092007()sin ([,])20091x x f x x x a a ++=+∈-+的最大值为 M ，最小值为N ，那么M+N=（ ）A ．0B 。

江西省临川一中2012届高考五月模拟考试（一）理科数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合101x A xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}1B x x a =-<，则“1a =”是“A B ≠∅ ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件2．已知Z 表示复数Z 的共轭复数，已知i Z +=1，则=3)(ZZ （ ）A ．1-B ．1C ．D ．i - 3．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （ ）A．B．C． D．4．已知α是第二象限角，其终边上一点)5,(x P ，且x 42cos =α，则)2sin(πα+=A．-B．CD5．在等比数列中，已知24315381=a a a ，则1139a a 的值为 （ ）A ．3B ．9C ．27D ．816.ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，0=++AC AB OA 且||||=，则向量CA 在CB上的射影的数量为 （ ）（A ）3 （B ）3 （C ）3- （D ）3-7．已知椭圆2214x y +=的焦点为F 1、F 2，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作垂直于A 1A 2的 直线交椭圆于P ，则使得120PF PF ⋅<的M 点的概率为（ ）ABCD ．12俯视图8．阅读如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为（ ）A ．0BCD．9．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，并满足： （1）()2(),(0,1)xf x ag x a a =>≠；（2）()0g x ≠； （3）''()()()()f x g x f x g x <且(1)(1)5(1)(1)f fg g -+=-，则a =（ ）A ．12B ．2C ．54D ．2或1210．已知直线)3(-=x k y 与双曲线12722=-y m x ，有如下信息：联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=127)3(22y m x x k y 消去y 后得到方程02=++C Bx Ax ，分类讨论：（1）当0=A 时，该方程恒有一解；（2）当0≠A 时，042≥-=∆AC B 恒成立。

五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）联考高三年级数学（理）学科试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知z 是z 的共轭复数，若1z i =+（i 是虚数单位），则z z ⋅=（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．22．已知集合2{|20}A x x x =--…，{|ln(1)}B x y x ==-，则A B =（ ）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．[1,1)-D ．(1,1)-3．已知命题p ：存在x R ∈，使得10lg x x ->；命题q ：对任意x R ∈，都有20x >，则（ ） A ．命题“p 或q ”是假命题 B ．命题“p 且q ”是真命题C ．命题“非q ”是假命题D ．命题“p 且‘非q ’”是真命题4．已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos 2α=（ ）A ．3B ．9C ．3-D ．9-5．一只蚂蚁从正方体1111ABCD A BC D -的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ）A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④6．某教研机构随机抽取某校20个班级,调查各班关注汉字听 写大赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[)5,0,[)10,5,[)15,10,[)20,15,[)25,20,[)30,25,[)35,30,[]40,35时,所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（ ）7．若如下框图所给的程序运行结果为35S =,那么判断框中应填入的关于k 的条件是（ ）A. 7=kB. 6k …C. 6<kD. 6>k 8．已知定义在区间[3,3]-上的函数()y f x =满足()()0f x f x -+=，对于函数()y f x =的图像上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 都有1212()[()()]0x x f x f x -⋅-<．若实数,a b 满足22(2)(2)0f a a f b b -+-…，则点(,)a b 所在区域的面积为（ ） A ．8 B ． 4 C ． 2 D ． 19．已知直线0x y k +-=(0)k >与圆224x y +=交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且有3||||3OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是（ ）A. )+∞B.C. )+∞D.10．如图，半径为2的圆内有两条圆弧，一质点M 自点A 开始沿弧A B C O A D C ------做匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度()v v t =的图象大致为（ ）二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分． 11． (1) （不等式选做题）如果存在实数x 使不等式2315x x a a +---…成立，则实数a 的取值范围为____________.(2) （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线2cos4sin ρθθ=的焦点的极坐标___________.(规定：0,02ρθπ<厔)三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 12．设矩形区域Ω是由直线2x π=±和1y =±所围成的平面图形，区域D 是由余弦函数cos y x =、2x π=±和1y =-所围成的平面图形．在区域Ω内随机的抛掷一粒豆子，则该豆子落在区域D 内的概率是___________.13．已知曲线1()()n f x x n N +*=∈与直线1x =交于点P ，若设曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则201412014220142013log log log x x x +++的值为___________． 14．已知平面向量,()αβαβ≠满足2α=，且α与βα-的夹角为120︒，t R ∈，则(1)t t αβ-+的最小值是________________．15．如图，12,F F 是双曲线221:13y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是12,C C 在第一象限的公共点．若121F F F A =，则2C 的离心率是________．四、解答题：本大题共6个题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数2()2sin ()2,,442f x x x x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦．设x α=时()f x 取到最大值． （1）求()f x 的最大值及α的值；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，12A πα=-，且2sin sin sin B C A =，求b c -的值．17．（本小题满分12分）某学校为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防安全知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同的工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得-2分．某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来．（1）求该参赛者恰好连对一条的概率；（2）设X 为该参赛者此题的得分，求X 的分布列与数学期望．18.（本小题满分12分）已知三棱柱ABC —A1B 1C 1，A 1在底面ABC 上的射影恰为 AC 的中点O ，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA 1⊥AC 1。

2025届江西省抚州市临川第一中学高三数学第一学期期末教学质量检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x +=-，当(]0,1x ∈时，()axf x e =-（其中e 是自然对数的底数），若()2020ln 28f -=，则实数a 的值为( ) A ．3-B ．3C ．13-D ．132．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．217B ．25C ．3D ．23．若x ，y 满足约束条件-0210x y x y x ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，，，则z =32x y ++的取值范围为（ ）A ．[2453，]B ．[25，3] C ．[43，2] D ．[25，2] 4．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ） A ．若//αβ，则l//m B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l β⊥，则αβ⊥ D ．若αβ⊥，则m α⊥5．将函数()sin(2)3f x x π=-()x R ∈的图象分别向右平移3π个单位长度与向左平移n (n >0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n 的最小值为( ) A ．3π B ．23π C ．2π D ．π6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0+=i j a a （*,i j ∈N ，且1i j ≤<），则i 的取A ．{}1,2,3B ．{}6,7,8C ．{}1,2,3,4,5D ．{}6,7,8,9,107．已知0a >，若对任意()0,m ∈+∞，关于x 的不等式()()1e ln 11exaxx m m --<-+-（e 为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3e e,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．3e ,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭C ．3e 0,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦D ．3e ,2e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭8．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()1f x x =-+，函数()1x g x e --=（13x -≤≤），则函数()f x 与函数()g x 的图象的所有交点的横坐标之和为（ ） A ．2B ．4C ．5D ．69．已知实数0,1a b >>满足5a b +＝，则211a b +-的最小值为（ ） A ．3224+ B ．3424+ C ．3226+ D ．3426+ 10．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是（ ） A ．2z i i ⋅=- B ．复数z 的共轭复数是12i - C ．||5z =D ．13122z i i =++ 11．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A ．54B ．55C ．102D ．10512．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．13．已知非零向量a ，b 满足2b a =，且()b a a -⊥，则a 与b 的夹角为____________.14．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为60︒，侧面积为47，则该棱锥的体积为__________．15．在边长为2的正三角形ABC 中，,,0,0,21BD xBA CE yCA x y x y ==>>+=，则CD BE ⋅的取值范围为______. 16．已知α的终边过点(3,2)m -，若()1tan 3πα+=，则m =__________． 三、解答题：共70分。

江西省临川一中5月高考模拟试卷数学（理）一.选择题（每小题5分,共50分,答案唯一） 1.设复数i Z -=11，i Z +=32,21Z Z Z =则Z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.设全集U=R ,若集合M ={}3222+-=x x y y ，N =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=x x y x 23lg，则N M C U )(=（ ）. A ．（－3，2） B. （－3，0） C. （－∞，1）∪（4，+∞） D.（－3，1） 3. 已知A ⊆{0，1，2，3}，且A 中至少有一个奇数，则这样的集合A 共有( )A 、11个B 、12个C 、15个D 、16个4.在△ABC 中，4=1=，S △ABC且∠A 是锐角，则AB ·的值为（ ） A －2 B ±2 C 2 D 45.设x x x f sin cos )(-=把)(x f y =的图象按向量)0,(ϕ= (ϕ>0)平移后，恰好得到函数y =f '(x )的图象，则ϕ的值可以为（ ）A 、2πB 、43πC 、πD 、23π6.已知数列{}n a 满足431=++n n a a （1≥n ）且91=a ，其前n 项之和为S n ，则满足不等式6--n S n 1251<的最小整数n 是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．87.按如图1所示的程序框图运算，若输出2k =， 则输入x 的取值范围是（ ） A. 20072009,42⎛⎤⎥⎝⎦ B.⎥⎦⎤ ⎝⎛22011,42009 C .⎥⎦⎤ ⎝⎛22011,502 D.⎥⎦⎤⎝⎛505,420098. 点P 从O 点出发，按逆时针方向沿周长为l 的图 形运动一周，O ,P 两点连线的距离y 与点P 走过的 路程x 的函数关系如下图，那么点P 所走的图形是（ ）9．已知点A (2,2),点M 是椭圆222235y x +=1上的动点,F 2是椭圆的右焦点,则|MA|+|MF 2|的最大值是（ ）A.10+102B.10－102C. 22D. 10+2210.若⎩⎨⎧212212<-+->+x y x x y （y x ,Z ∈）则x 2+y 的最大值为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 二.填空题:（每小题5分,共25分,请将答案填在题中横线上.） 11.nxx )1(23+的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中不含x 的项是 .（填具体数）.12.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤=)2(0)23(4)3(1)(2x x x x x f ，则dx x x f ])([21+⎰-的值为 .13.在四面体ABC O -中，若点O处的三条棱两两垂，且其三视图均是底边长为的全等的等腰直角三角形，则在该四面体表面上与点A 距离为2的点形成的曲线长度之和为 .14.给出下列命题：①函数f (x )＝x －12x ＋1(x ≠－12)的对称中心是(－12，－12)；②已知S n 是等差数列{a n }(n ∈N ＊)的前n 项和，若S 7＞S 5则S 9＞S 3；③函数f (x )＝x |x |＋px ＋q (x ∈R)为奇函数的充要条件是q ＝0； ④已知a 、b 、m 均是正数，且a ＜b ，则a ＋mb ＋m ＞ab； 其中真命题的序号是 （将所有真命题的序号都填上）．15.（注意：本小题为选做题，A ，B 两题选做其中一题，若都做了，则按A 题答案给分） A.当21,1|1||1|,--=<++-y x u y x y x 变量时满足条件的取值范围是 . B ．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。

临川一中2015届高三模拟试题理科数学本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合{}2x A y y ==，2{|230,}B x x x x R =-->∈，那么()U A C B =IA ．(]0,3B ．[]1,3-C ． ()3,+∞D ．()()0,13,-+∞U 2.若复数z 满足3(1)i z i -=+，则复数z 的共轭复数z 的虚部．．为 A ．3 B ．3i C ．3- D ．3i - 3.已知函数()f x =2(2)3,1log ,1a x a x x x -+<⎧⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是A ．(1,2)-B ．[1,2)-C ．(,1]-∞-D ． {1}-4.以下四个命题中①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样； ②对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<. 则⌝p ：x R ∀∈， 均有210x x ++≥； ③设随机变量 2(1,)XN σ~，若(01)0.35P X <<=，则(02)0.7P X <<=；④两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近于1. 其中真命题的个数为 24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知正实数b a 、满足：ab b a 222=+. （1）求ba 11+的最小值m ; （2）设函数)0(|1|||)(≠++-=t tx t x x f ，对于（1）中求得的m ，是否存在实数x ，使得2)(mx f =成立，说明理由.临川一中2015届高三模拟试题(理数答案) 2015.5.4. AABBD CCBCD AA13. 9 14. 5 15. 1 16. ①③⑤17. （1）()3cos 2sin 22sin 23f x x x x π⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()f x π∴的最小正周期为,52,,32212k x k x k Z πππππ-=+=+∈令得 ……6分（2）由()3f A =-得3sin 2,0=3223A A πππ⎛⎫⎛⎫-=∈∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又A ，，由余弦定理得222222cos 9=a b c bc A b c bc bc =+-+-≥得 9bc ≤即（当且仅当b=c 时取等号）设BC 边上的高为h ,由三角形等面积法知11393sin ,32222ah bc A h bc ==≤得 332h ∴≤,即h 的最大值为332． ……12分 18. 解：（1）由题意，得()0.020.0320.018101a +++⨯=，解得0.03a =；…2分 又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20克，…4分而50个样本小球重量的平均值为：0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克； ……6分（2）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则1(3,)5X B ~.X 的取值为0、1、2、3，()3346405125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……10分 6448121301231251251251255EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=.（或者13355EX =⨯=） ……12分 连结CE ，交DF 于N ，连结MN ，由于M 、N 分别是AE 、CE 的中点，所以MN ∥AC ， 由于MN ⊂平面DMF ，又AC AC⊄平面DMF ，所以AC ∥平面DMF ． 4分 （Ⅱ）方法一、过点D 作平面DMF 与平面ABCD 的交线l ，由于AC ∥平面DMF ，可知AC ∥l ，过点M 作MG ⊥AD 于G ，因为平面ABCD ⊥平面CDEF ，DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面ABCD ，则平面ADE ⊥平面ABCD ，所以MG ⊥平面ABCD ，过G 作GH ⊥l 于H ，连结MH ，则直线l ⊥平面MGH ，所以l ⊥MH ，故∠MHG 是平面MDF 与平面ABCD 所成锐二面角的平面角． ·········· 8分 设2AB =，则1DG =，sin sin 155GH DG GDH DG DAC =∠=∠=⨯=，X 0 12 3 P64125 48125 12125 1125112MG DE ==，则2223()155MH =+=， ················ 11分 所以232cos 355GH MHG MH ∠==÷=，即所求二面角的余弦值为23． ····· 12分方法二、因为平面ABCD ⊥平面CDEF ，DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面ABCD ，可知AD ，CD ，DE 两两垂直，分别以DA u u u r ，DC u u u r，DE u u u r 的方向为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ．设2AB =，则(1,0,1)M ，(0,4,2)F ，(1,0,1)DM =u u u u r ，(0,4,2)DF =u u u r， 设平面MDF 的法向量1(,,)x y z =n ，则110,0,DM DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u rn n 所以0,420,x z y z +=⎧⎨+=⎩ 令1y =，得平面MDF 的一个法向量1(2,1,2)=-n ， ·· 8分取平面ABCD 的法向量2(0,0,1)=n ， ········ 9分由12121222cos ,||||3414⋅-===-++n n n n n n ， ················· 11分故平面MDF 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为23． 12分20. 解：（1）由题意知双曲线22143x y -=的一渐近线斜率值为322222222233,,424c c a b e e a b a a a 所以所以-======， 因为2211sin cos b a a==+，所以224,1a b ==．故椭圆C 的方程为2214x y += ∙∙∙∙∙∙∙5分（2）设1122(,),(,),(,)A x y B x y P x y AB 方程为(3)y k x =-由22(3)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 整理得()222214243640k x k x k +-+-=．由()()()222224414364kk k ∆=-+⋅-0>，解得215k <． 21222414k x x k +=+，212236414k x x k -⋅=+ ………………7分∴()1212,(,)OA OB x x y y t x y +=++=u u u r u u u r 则()2122124()14k x x x t t k =+=+, ()12216()14k y y y t t k -=+=+， 由点p 在椭圆上，代入椭圆方程得22236(14)k t k =+①…9分又由3AB <，即221212(1)()43k x x x x ⎡⎤++-⋅<⎣⎦，将21222414k x x k +=+，212236414k x x k -⋅=+，代入得()()228116130k k -⋅+>则2810k ->, 218k >， ∴21158k >>② …11分 由①，得2223614k t k=+，联立②，解得234t <<2t <<或2t -<< ………………12分21. （1）方法一：令21()()1)ln (1)12g x f x ax x ax a x =-=-+-+-(， 所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=．当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>,所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数，又因为213(1)ln11(1)12022g a a a =-⨯+-+=-+>，所以关于x 的不等式()1f x ax -≤不能恒成立．……………………………………2分当0a >时，21()(1)(1)1()a x x ax a x a g x x x-+-+-+'==-， 令()0g x '=，得1x a =．所以当1(0,)x a ∈时，()0g x '>；当1(,)x a ∈+∞时，()0g x '<，因此函数()g x 在1(0,)x a ∈是增函数，在1(,)x a ∈+∞是减函数．故函数()g x 的最大值为2111111()ln ()(1)1ln 22g a a a a a a a a=-⨯+-⨯+=-…4分 令1()ln 2h a a a =-，因为1(1)02h =>，1(2)ln 204h =-<，又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数．所以当2a ≥时，()0h a <．所以整数a 的最小值为2． …6分方法二：由()1f x ax -≤恒成立，得21ln 12x ax x ax -+-≤在(0,)+∞上恒成立，问题等价于2ln 112x x a x x +++≥在(0,)+∞上恒成立．令2ln 1()12x x g x x x ++=+，只要max ()a g x ≥ 2分因为221(1)(ln )2()1()2x x x g x x x +--'=+，令()0g x '=，得1ln 02x x --=．设1()ln 2h x x x =--，因为11()02h x x '=--<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，不妨设1ln 02x x --=的根为0x ．当0(0,)x x ∈时，()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '<， 所以()g x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数．所以000max 020000011ln 112()()11(1)22x x x g x g x x x x x x +++====++．………………………4分 因为11()ln 2024h =->，1(1)02h =-<所以0112x <<，此时0112x <<，即max ()(1,2)g x ∈．所以2a ≥，即整数a 的最小值为2．……………………………………………… 6分（2）当2a =-时，2()ln ,0f x x x x x =++>由1212()()0f x f x x x ++=，即2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=从而212121212()()ln()x x x x x x x x +++=⋅-⋅ ………………………………… 8分令12t x x =⋅，则由()ln t t t ϕ=-得，1()t t tϕ-'= 可知，()t ϕ在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增．所以()(1)1t ϕϕ=≥， 10分所以21212()()1x x x x +++≥，因此12512x x -+≥成立．……… 12分 22. 【解】(1)证明：连接DB (如图7.1-10)， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，在Rt △ABD 与Rt △AFG 中，∠ABD ＝∠AFE ， 又∠ABD ＝∠ACD ，∴∠ACD ＝∠AFE ， ∴C ，D ，E ，F 四点共圆．(2)⎭⎪⎬⎪⎫C ，D ，E ，F 四点共圆⇒GE ·GF ＝GC ·GD GH 切⊙O 于点H ⇒GH 2＝GC ·GD ⇒GH 2＝GE ·GF ， 又GH ＝6，GE ＝4，∴GF ＝9，EF ＝GF －GE ＝5.23. 解：（Ⅰ）由θρcos 2=，得：θρρcos 22=，∴x y x 222=+，即1)1(22=+-y x ， ∴曲线C 的直角坐标方程为1)1(22=+-y x . 3Λ分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty m t x 2123，得m y x +=3，即03=--m y x ，∴直线的普通方程为03=--m y x . 5ΛΛ分（Ⅱ）将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty m t x 2123代入1)1(22=+-y x ，得：12112322=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+t m t ，整理得：02)1(322=-+-+m m t m t ，由0>∆，即0)2(4)1(322>---m m m ，解得：31<<-m .设21,t t 是上述方程的两实根，则m m t t m t t 2),1(322121-=--=+， 8Λ分 又直线过点)0,(m P ，由上式及的几何意义得1|2|||||||221=-==⋅m m t t PB PA ，解得：1=m 或21±=m ，都符合31<<-m ，因此实数m 的值为或21+或21-. 10ΛΛ分24.。

A B B C=，则集合C B．Cz=-为虚数单位，复数z满足i(12i)4．下列命题正确的是（）．．．A19．某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形，则该四棱锥的表面积是（）12．已知函数(1)e,()1,xx x af xbx x a⎧-+≤=⎨->⎩，若函数()f x有最大值M，则M的取值范围是（）(2)+= b a b的项的系数是16．某沿海四个城市A、B、C、D的位置如图所示，其中60ABC∠=︒，135BCD∠=︒，80nAB=mile，40BC=+mile，CD=mile，D位于A的北偏东75︒方向．现在有一艘轮船从A出发以50n mile/h的速度向D直线航行，60min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西θ度，则sinθ=________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）设等差数列{}na的前项和为nS，且55625Sa a=+=．（1）求{}n a的通项公式；（2）若不等式2827(1)(4)nn nS n k a++>-+对所有的正整数都成立，求实数k的取值范围．18．（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD-中，AD BC∥，112AD AB DC BC====，E是PC的中点，面PAC⊥面ABCD.（1）证明：ED PAB∥面；（2）若2PC=，PA=A PC D--的余弦值．19．（本小题满分12分）某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元．保险公司把职工从事的所有岗位共分为A 、B 、C 三类工种，根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.（1）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每张保单保费的上限；（2）某企业共有职工20 000人，从事三类工种的人数分布比例如图，老板准备为全体职工每人购买一份此种保险，并以（1）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润． 20．（本题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,直线4y =与y 轴的交点为P ,与抛物线C 的交点为Q ,且||2||QF PQ =，过F 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点.（1）求C 的方程；（2）设AB 的垂直平分线l '与C 相交于,M N 两点，试判断,,,A M B N 四点是否在同一个圆上？若在，求出l 的方程；若不在，说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()ln (0)f x ax x bx a =+≠在(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，（e 2.71828=）（1）试讨论()f x 在(0,)+∞上的单调性； （2）①设11(),(0,)ex g x x x -=+∈+∞，求()g x 的最小值；②证明：1()21e 1x f x x a x -+≥-+． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修44-：极坐标与参数方程以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正方向为极轴，已知曲线1C 的参数方程为1cos sin x ty t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）2C 的极坐标方程为22(1sin )8ρθ+=，3C 的极坐标方程为,[0,),R θααπρ=∈∈，（1）若1C 与3C 的一个公共点为A （异于O 点），且||OA =，求α；（2）若1C 与3C 的一个公共点为A （异于O 点），2C 与3C 的一个公共点为B ，求||||O A O B 的取值范围． 23．（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知函数1()||||(0,,0)f x x a x a m m a=+++>∈≠R ， （1）当2a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）证明：1()()4f m f m+-≥．17．解：（1）设公差为d ，则11154545252a d a d a d ⨯+=+++=， ∴11,3a d =-=． ∴{}n a 的通项公式为34nan =-.…………………………………………………………（5分）（2）3(1)2n n n S n -=-+，228273327n S n n n ++=++，43n a n +=； 9(1)1n k n n -<++，当为奇数时，9(1)k n n >-++；当为偶数时，91k n n <++，∵917n n++≥，当且仅当3n =时取等号，∴当为奇数时，91n n++的最小值为7，当为偶数时，4n =时，91n n ++的最小值为294，∴2974k -<<．.………………………………………………………………………………（12分）18．解法一：（Ⅰ）证明：取PB 的中点F ，连接,AF EF ．………………………………（1分）因为EF 是PBC △的中位线，所以12EF BC ∥．…………………………………………（2分）又12AD BC ∥，所以AD EF ∥，所以四边形ADEF 是平行四边形．……………………（3分）所以DE AF ∥，又,DE ABP ⊄面,AF ABP ⊂面所以ED PAB ∥面．……………………（5分） （Ⅱ）取BC 的中点M ，连接AM ，则AD MC ∥，所以四边形ADCM 是平行四边形． 所以AM MC MB ==，所以A 在以BC 为直径的圆上．………………………………（6分）所以AB AC ⊥，可得AC =…………………………………………………………（7分） 过D 做DG AC ⊥于G ，因为面PAC ⊥面ABCD ，且面PAC面ABCD =AC ，所以DG ⊥面PAC ，所以DG PC ⊥．……………………………………………………（8分） 过G 做GH PC ⊥于H ，则PC ⊥面GHD ，连接DH ，则PC DH ⊥，所以GHD ∠是二面角A PC D --的平面角．……………………………………………（9分）在ADC △中，12GD =，连接AE ，12GH AE ==……………………………（10分）在Rt GDH △中，HD =……………………………………………………………（11分）cos GH GHD HD ∠=，即二面角A PC D --．……………………（12分）解法二：（Ⅰ）证明：延长,BA CD 交于点K ，连接PK ．………………………………（1分）因为12AD BC ∥，所以AD 是KBC △的中位线．…………………………………………（2分）1KA KD ==，所以ED 是KPC △的中位线，所以//ED PK ．………………………………………………………………………………（3分） 又,DE ABP ⊄面,AF ABP ⊂面所以ED PAB ∥面．………………………………………（5分） （Ⅱ）易得KBC △是等边三角形，所以AB AC ⊥．………………………………………（6分） 因为面PAC ⊥面ABCD ，且面PAC面ABCD =AC ，所以AB ⊥面PAC ，所以AB PA ⊥．…………………………………………………………（7分） 所以=2PB PK =，连接KE ，则KE PC ⊥．………………………………………………（8分）因为AC AP ==，连接AE ，则AE PC ⊥．……………………………………………（9分） 所以AEK ∠是二面角A PC D --的平面角．…………………………………………………（10分）在Rt AEK △中，cosAE AEK EK ∠===，所以二面角A PC D --的余弦值3．（12分）解法三：（Ⅰ）证明：与解法一相同．（Ⅱ）取BC 的中点M ，连接AM ，则AD MC ∥.所以四边形.ADCM 是平行四边形， 所以AM MC MB ==，所以A 在以BC 为直径的圆上，所以AB AC ⊥. 因为面PAC ⊥面ABCD ，且面PAC面ABCD =AC ，所以AB ⊥面PAC ．……………………………………………………………………………（6分） 如图以A 为原点，,AC AB 方向分别为x 轴正方向，y 轴正方向建立空间直角坐标系.可得C，1,0)2D -．……………………………………………………………（7分） 设(,0,)P x z ，(0)z >，依题意有||PA||2PC =，解得x z ==．…………………………………………………………………………（8分） )33P ，31(,0)22DC =，(33CP =-．…………………………（9分） 设面PDC 的一个法向量为000(,,)n x y z =，则n CD n CP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即=0=0n CD n CP ⎧⎪⎨⎪⎩得方程的一组解为(1,3,n =-．………………………………………………………（10分） AB 为面PAC 的一个法向量，且(0,1,0)AB =，设二面角A PC D --的大小为θ，则有6cos ||3||||AB n AB n θ==，即二面角A PC D --．…………………（12分）19．解：（Ⅰ）设工种A 的每份保单保费为a 元，设保险公司每单的收益为随机变量X ，则X 的分布列为保险公司期望收益为45511(1)(5010)51010EX a a a =-+-⨯⨯=-…………………………（2分） 根据规则50.2a a -≤解得 6.25a ≤元，……………………………………………………………………………………（4分）设工种B 的每份保单保费为b 元，赔付金期望值为45501021010⨯⨯=元，则保险公司期望利润为10b -元，根据规则100.2b b -≤，解得12.5b ≤元，…………………………………………………（6分）设工种C 的每份保单保费为c 元，赔付金期望值为4450105010⨯=元，则保险公司期望利润为50c -元，根据规则500.2c c -≤，解得62.5c ≤元．…………………………………………………………（8分）（Ⅱ）购买A 类产品的份数为2000060%12000⨯=份， 购买B 类产品的份数为2000030%6000⨯=份，购买C 类产品的份数为2000010%2000⨯=份，…………………………………………………（9分） 企业支付的总保费为12000 6.25600012.5200062.5275000⨯+⨯+⨯=元，保险公司在这宗交易中的期望利润为27500020%55000⨯=元．………………………………（12分）20．解：（1）由题意，8(,4)Q p ，则8||=PQ p ，8||2PQF p =+∵||2||QF PQ =即8822P p p+=解得4p =（负根舍去）∴抛物线C 的方程为28y x =．…………………………………………（4分） （2）假设,,,A M B N 四点共圆． 由（1）可知，()2,0F .设直线l 的方程为2(0)x my m =+≠由228x my y x=+⎧⎨=⎩可得28160y my --= 设1122(, ),(,)A x y B x y 则12128, 16y y m y y +==-∴212|||8(1)AB y y m -=+…………………………………………………………………（6分）设线段AB 的中点为点E ，则点2,(44)2E m m +∵l l '⊥∴设直线l '的方程为221142(4)46x m y m x y m m m--=--=-++即由2211468x y m m y x⎧=-++⎪⎨⎪=⎩可得22832480y y m m +--=设3344(,),(,)M x y B x y 则234348,3248y y y y m m+=-=--∴34|||MN y y =-（8分） 设线段MN 的中点为点D ，则点2246)44,(D m m m++- ∵,,,A M B N 四点共圆∴2221||||||||||||2AD DM MN AD DE AE ===+且 即22211(||)||(||)22MN DE AB =+………………………………………………………………………（9分）22222244(4)(4)[4(1)]m m m m =--++++………………………………………（10分） 整理可得224211m m m +=++220()1m m -= 210()m =或舍去 ∴1m =±∴直线l 的方程为2020x y x y +-=--=或．…………………………………………………（12分） 21．（1）解：∵()ln f x a x a b '=++． ∴(1)0,f a b b a '=+==-．∴()ln f x a x ax =-且()ln f x a x '=．当0a >时，(0,1)x ∈时()0;(1,)f x x '<∈+∞时，()0f x '>．∴f(x)在（0,1）上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．………………………………………………（2分） 当0a <时，(0,1)x ∈时，()0;(1,)f x x '>∈+∞时，()0f x '<．∴f(x)在（0,1）上单调递增，在(1,)+∞上单调递减……………………………………………………（4分） （2）①解：∵1()e 1x g x x =+-，(0,)x ∈+∞． ∴1e e()1e ex xx g x --'=-=．………………………………………………………………………………（5分）当(0,1)x ∈时，()0g x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>．∴g(x)在（0,1）上单调递减，在(1,)+∞上单调递增………………………………………………………（6分）∴min ()(1)2g x g ==…………………………………………………………………………………………（7分） ②证明：由（1）可知，()ln f x ax x ax =- ∴由11()221,ln 10e 1e 1x x f x x x x x x a x x --+≥--++-≥++可得． 即1(ln 1)(e 1)20x x x x --++≥1(ln 1)e ln 10x x x x x x -⇔-++≥11(ln 1)e ln 12e x x x x x x x x --⇔-++≥11(ln 1)(e 1)2e x x x x x x --⇔-+≥ 即11(ln )(e )2x x x x -++≥………………………………………………………………………………（10分） 设1()ln h x x x =+，22111()x h x x x x-'=-= ∴()h x 在()0,1上单调递减，在(1,)+∞单调递增∴()(1)1h x h ≥=…………………………………………………………………………………………（11分） ∴11(ln )(e )2x x x x -++≥成立， 即1()21ex f x x a x -+≥-成立．…………………………………………………………………………（12分） 22．解：（1）1C 的参数方程为1cos sin x t y t=+⎧⎨=⎩，则直角方程为22(1)1x y -+=． 极坐标方程为2cos ρθ=，联立极坐标方程2cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得122cos 0ραρ=⎧⎨=⎩，12|||||2cos |OA ρρα-=，解得cos =2α±的，π5π==66αα或者．…………………（5分） （2）联立2C 与3C的极坐标方程为22(1sin )8||||OB ρθρθα⎧+=⇒==⎨=⎩当π=2α时，O 与A 重合，所以π2α≠，则||||=|2cos OA OB α=所以||||OA OB ∈．………………………………………………………………………………（10分）23．（1）解：当2a =时，不等式()3f x >即为1||||3x a x a+++> 当2x <-时，1232x x ---->，得114x <-； 当122x -≤<-时，1232x x +-->，无解； 当12x ≥-时，1232x x +++>，得14x >. 所以不等式()3f x >的解集为111|44x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或．………………………………………………（6分） （2）证明：11111()()||||||||f m f m a m a m a m m a+=++++-++-+ 111111||||||||2||4m a a m m m a m a m=++-+++-≥+≥．……………（10分）。

2020届临川一中暨临川一中实验学校高三理科数学月考试卷（满分：150分考试时间：120分钟）审题人：临川一中高三数学备课组一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的）1. 已知i 为虚数单位,若复数1z ,2z 在复平面内对应的点分别为(2,1),(1,2)-,则复数12z z i⋅=（ ） A ．34i -- B ．34i -+C ．43i --D ．3-2．已知集合{|20}A x x =-≥,{|ln(1)}B x y x =∈=+Z ,则A B =I （ ）A ．[1,2]-B ．(1,2]-C ．{0,1,2}D ．{1,0,1,2}-3．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若41012222a a a ++=,则14S =（ ）A ．56B ．66C ．77D ．784．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-,且在区间[]1,2上是减函数,令2log 3a =,12211,log 162b c -⎛⎫== ⎪⎝⎭,则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）A.()()()f a f b f c << B.()()()f a f c f b << C.()()()f b f a f c <<D.()()()f c f a f b <<5．若点()x y P 2sin ,cos -=在直线αα上,则sin 22πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值等于（ ） A ．53-B ．53C ．54-D ．546. 在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是( )A ．2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌B ．2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高C ．2019年我国居民每月消费价格逐月递增D ．2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降7．已知1111114357941π≈-+-+-+L ,如图是求π的近似值的一个程序框图,则图中空白框中应填入（ ）A ．()n+1121i n -=+ B ．(1)21n i n -=+ C ．()n+112i i -=+ D ．(1)2n i i -=+8．已知实数,x y 满足约束条件2202201,1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩,则2x y +的取值范围是（ ） A ．(3,6]-B ．[3,6]-C ．3(,6]2-D ．3[,6]2-9．函数1()ln ||1xf x x+=-的图象大致为（ ）10．2019年10月1日,中华人民共和国成立70周年,举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行,拼成一个6位数,则产生的不同的6位数的个数为（ ） A ．72B ．84C ．96D ．12011．已知1F ,2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点,过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列,且1||PQ PF =,则椭圆C 的离心率为（ ）A ．23B ．34CD12．已知是函数的极大值点,则的取值范围是（ ）A ．(]1,-∞-B ．(,1]-∞C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．设向量a v 与b v 的夹角为θ,定义a v 与b v 的“向量积”：a b ⨯v v是一个向量,它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅v v v v .若()1,a b =-=r r ,,则a b ⨯=v v____________.14. 若2a xdx =⎰,则()51-+ay x 的展开式中22x y 的系数为___________.15．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中,P 为线段11A D 的中点,若三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积为 .16．已知1(3,0)A -,2(3,0)A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点,双曲线C 的渐近线上存在一点P 满足122||||PA PA =,则b 的最大值为________．0x =()()tan f x x ax x =-a三、解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）如图,在平面四边形ABCD 中,2BC =,23CD =,且AB BD DA ==.（1）若6CDB π∠=,求tan ABC ∠的值；（2）求四边形ABCD 面积的最大值.18.（本小题满分12分）如图,在四棱锥P ABCD -中,PAB ∆是正三角形,BC AB ⊥,BC CD=23=,AB AD 2==. （1）若3PB BE =,求证：AE ∥平面PCD ； （2）若4PC =,求二面角A PCB --的正弦值．19．（本小题满分12分）2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动,治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此,某药企加大了研发投入,市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下：研发费用x （百万元）2 3 6 10 13 15 18 21销量y （万盒）1 12 2.5 3.5 3.5 4.5 6（1）根据数据用最小二乘法求出y 与x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+（系数用分数表示，不能用小数）；（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ,2A ,3A ,并对其进行两次检测,当第一次检测合格后,才能进行第二次检测．第一次检测时,三类剂型1A ,2A ,3A 合格的概率分别为12,34,35,第二次检测时,三类剂型1A ,2A ,3A 合格的概率分别为45,23,23．两次检测过程相互独立,设经过两次检测后1A ,2A ,3A 三类剂型合格的种类数为X ,求X 的分布列与数学期望．附：（1）1221ˆˆˆbni ii nii x y nx ya y bx xnx==-==--∑∑，（2）882113471308i i i i i x y x ====∑∑，．20．（本小题满分12分）给定椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>,称圆心在原点O ,半径为22a b +的圆是椭圆C 的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为(30)F ，,其短轴上的一个端点到F 的距离为6.（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点,过点P 作椭圆的切线12,l l 交“准圆”于点,M N .①当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时,求直线12,l l 的方程并证明12l l ⊥； ②求证：线段MN 的长为定值.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）若在63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上存在单调递增区间,求实数的取值范围；（2）设,若,恒有成立,求的最小值.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做,则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t为参数）．以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若射线(0)4θρπ=>与l 和C 分别交于点,A B ,求||AB ．()sin axf x e x =()f x a 1a ≥0,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()f x bx ≤2b e a -23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()|||2|f x x x =+-.（1）求不等式|4|()x f x x >的解集；（2）若()f x 的最小值为M ,且22(,,)a b c M a b c ++=∈R ,求证：22249a b c ++≥.2020届临川一中暨临川一中实验学校高三理科数学月考答案一、单选题1-5．ACCCA 6-10．DBBDB 11-12．DB 二、填空题13．2 14．120- 15． π41 16．4 三、解答题17．【答案】（1）3-（2）38法一：解：（1）在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin CD BCCBD BDC=∠∠，∴sin6sin 22CBD π∠==∵0CBD π<∠<，∴3CBD π∠=或23CBD π∠=………………3分 当23CBD π∠=时，此时A B C 、、三点共线，矛盾 ∴3CBD π∠= ………………4分 ∴()2tan tan tan tan 333ABC ABD CBD πππ⎛⎫∠=∠+∠=+==⎪⎝⎭………………6分法二：由余弦定理222cos 242BD CD BC BDC BD BD BD CD +-∠====⋅或 (3)分若2BD =时，此时23CBD π∠=，即A B C 、、三点共线，矛盾………………4分 ∴4BD =，此时3CBD π∠=∴()tan tan tan 33ABC ABD CBD ππ⎛⎫∠=∠+∠=+=⎪⎝⎭6分（2）设BCD θ∠=，在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD θ=+-⋅()222232223cos 1683cos θθ=+-⨯⨯=-……8分 ∴21113sin sin sin 222ABC BCD BAD D S S BC CD BA BD BC CD BD S θθθ∆∆=+=⋅+⋅=⋅+四边形 23sin 436cos 43sin 433πθθθ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭.……………………11分当56πθ=时，四边形ABCD 面积的最大值83. ……………………12分 备注：（1）若第1问用正弦定理没写出23CBD π∠=，扣1分 （2）若第1问用余弦定理没写出2BD =，并且排除2BD =，扣1分 18.【答案】（1）见详细答案（2）25（1）如图，作EF PC ∥，交BC 于F ，连接AF . 因为3PB BE =，所以E 是PB 的三等分点，可得23BF =. 因为2AB AD ==，23BC CD ==，AC AC =，所以ABC ADC △≌△， 因为BC ⊥AB ，所以90ABC ∠=︒，…………………1分因为3tan 23AB ACB BC ∠===，所以30ACB ACD ∠=∠=︒，所以60BCD ∠=︒，（2分） 因为tan 323AB AFB BF ∠===，所以60AFB ∠=︒，所以AF CD ∥，……3分 因为AF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF ∥平面PCD .……4分又EF PC ∥，EF ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .……………5分 因为AF EF F =I ，AF 、EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ∥平面PCD ，所以AE ∥平面PCD .…6分（2）因为PAB △是等边三角形，2AB =，所以2PB =.又因为4PC =，BC =，所以222PC PB BC =+，所以BC PB ⊥. 又BC ⊥AB ，,AB PB ⊂平面PAB ，AB PB B =I ，所以BC ⊥平面PAB .因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD .在平面PAB 内作Bz ⊥平面ABCD .………7分以B 点为坐标原点，分别以,,BC BA Bz 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则C ，(0,2,0)A，P ，所以BC =u u u r，BP =u u u r，2,0)AC =-u u u r，(0,AP =-u u u r.………8分设111(,,)x y z =m 为平面BPC 的法向量，则00BC BP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u r m m，即1110y ⎧==⎪⎨⎪⎩， 令11z =-，可得1)=-m .………………9分设222(,,)x y z =n 为平面APC 的法向量，则00AC AP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u r n n，即2222200y y -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩， 令21z =，可得=n .………………10分所以,cos ==m n ………………11分则n s ,i =m n ，所以二面角A PC B --的正弦值为.……………………12分 备注：若第2问用几何法做对也给满分. 19．【答案】（1）83107340340y x =+（2）分布列见详解，数学期望为1310. 解：解：（1）由题意可知2361021131518118x +++++++==，112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==，………………2分 由公式12221ˆ34781138313088b 11340ni ii n i i x y nx y x nx==-⨯⨯==-⨯-=-∑∑………………3分 83107ˆˆ311340340ay bx =-=-⨯=………………4分 ∴83107340340y x =+……………5分 （2）药品A 的三类剂型123A A A 、、经过两次检测后合格分别为事件123B B B 、、,则()()()123142321322,,255432535p B P B P B =⨯==⨯==⨯=……………7分 由题意，0,1,2,3X 可取()()()()()()()()2123212312312321231231231232190115250212212111112525525021221821125255225235p X p B B B p X p B B B B B B B B B p X p B B B B B B B B B p X p B B B ⎛⎫⎛⎫===--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=-⋅+-⋅⋅-⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=⋅-+-⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=== ⎝212225⋅=⎪⎭………10分X ∴的分布列为9218213123.5050255010X ∴⨯+⨯+⨯+⨯=的期望为：EX=0…………12分20.【答案】(1) 椭圆方程为22163x y +=，准圆方程为229x y +=； ①12l l ，方程为33y x y x =+=-+， ②见详解 【解析】（1）c a b ==∴=Q 2分∴椭圆方程为22163x y +=， ………………3分 准圆方程为229x y +=．………………4分（2）（ⅰ）因为准圆229x y +=与y 轴正半轴的交点为(03)P ，， 设过点(03)P ，且与椭圆相切的直线为3y kx =+， 所以由223{163y kx x y =++=，，得22(12)12120k x kx +++=.……………5分 因为直线3y kx =+与椭圆相切，所以22144412(12)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，……………6分 所以12l l ，方程为33y x y x =+=-+，．……………7分 121l l k k ⋅=-Q ，12l l ∴⊥．……………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在， 则1l：x =当1l ：6x =时，与准圆交于点(63)(63)-，，，，此时2l 为y =y =，显然直线12l l ，垂直；同理可证当1l：x =12l l ，垂直……………9分 ②当12l l ，斜率存在时，设点00(,)P x y ，其中22009x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022(){163y t x x y x y =-++=，，得2220000(12)4()2()60t x t y tx x y tx ++-+--=.……………10分由0∆=化简整理得()22200006230x t x y t y -++-=因为22009x y +=，所以有2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=. 设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=， 所以201220616x t t x -⋅==--，即12l l ，垂直．……………11分 综合①②知：因为12l l ，经过点00()P x y ，，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直. 所以线段MN 为准圆229x y +=的直径，6MN ＝，所以线段MN 的长为定值6．……………12分21．【答案】（1）()∞（2）22e π-解：（1）由()sin ax f x e x =，得()()'sin cos ax f x e a x x =+，……………1分由()f x 在63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上存在单调递增区间，可得()'0f x >在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，……………2分即sin cos 0a x x +>在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则min 1tan a x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，∴a > ∴a的取值范围为()∞.……………4分 （2）设()()sin ax bx e x g x f x b x =-=-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()'sin cos ax g x e a x x b =+-.设()()sin cos ax h x e a x x b =+-，则()()2'1sin 2cos 0ax h x e a x a x ⎡⎤=-+≥⎣⎦， ……………5分∴()h x 单调递增，即()'g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ∴()2'1,a g x b ae b π⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.……………6分当1b ≤时，()'0g x ≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()()00g x g ≥=，不符合题意； 当2a b ae π≥时，()'0g x ≤，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()00g x g ≤=，符合题意； 当21a b ae π<<时，由于()'g x 为一个单调递增的函数，而()'010g b =-<，2'02a g ae b ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， 由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得()0'0g x =，从而()g x 在[]00,x x ∈上单调递减，在0,2x π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增， ……………9分 因此只需02g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴22a e b ππ≤，∴22a b e ππ≥，从而222a a e b ae πππ≤<， 综上，b 的取值范围为22,a e ππ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，……………10分 因此2222a b e a e e a ππ-≥-. 设()222a G a e e a ππ=-，则()22'ae a e G π=-， 令()'0G a =，则41a π=>，∴()G a 在41,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在4,π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，……………11分 从而()242e G a G ππ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，∴2b e a -的最小值为22e π-.……………12分 备注：第1问写)⎡+∞⎣扣1分22.（1）:40(0)l x y x +-=≠,22:20C x y y +-=（2【解析】（1）由82x t =+可得0x ≠， 由8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠．………………2分由2sin ρθ=可得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得2220x y y +-=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=．…………………………5分（2）由（1）得，l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠， 将其化为极坐标方程可得cos sin 40()2ρθρθθπ+-=≠，…………………………7分当()04θρπ=>时，A ρ=，B ρ，所以|||||A B AB ρρ=-==10分备注：第1问没写0x ≠扣1分23.（1）(,0)(3,)-∞+∞U （2）见详解【解析】（1）当0x <时，|4|()x f x x>等价于|||2|4x x +->-，该不等式恒成立； 当02x <≤时，|4|()x f x x>等价于24>，该不等式不成立； 当2x >时，|4|()x f x x >等价于2224x x >⎧⎨->⎩，解得3x >，…………………………3分 所以不等式|4|()x f x x>的解集为(,0)(3,)-∞+∞U .…………………………5分 （2）因为()|||2||(2)|2f x x x x x =+-≥--=，当02x ≤≤时取等号，所以2M =,222a b c ++=，……7分由柯西不等式可得22222222224(22)(122)()9()a b c a b c a b c =++≤++++=++, 当且仅当244,,999a b c ===时等号成立，所以22249a b c ++≥.…………………………10分备注：第1问结果没用集合或区间表示扣1分。

江西省临川一中高三考前模拟考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.全集{}2018,lo |)1(g U R A x y x ===-，{|B y y ==，则()U A B =（ ） A. []1,2 B. [)1,2C. (]1,2D. ()1,2【答案】D【解析】(){}{}{}2018log 1101A x y x x x x x ==-=->=>，{{}2B y y y y ====≥，则{}2UB x x =<，则(){}12U A B x x ⋂=<<，故选：D ． 2.若复数()21a ia R i-∈+为纯虚数，则3ai -=（ ） A.B. 13C. 10D.【答案】A【解析】由复数的运算法则有：2(2)(1)221(1)(1)22a i a i i a ai i i i ++-+-==+++-, 复数()21a ia R i -∈+为纯虚数，则2020a a +=⎧⎨-≠⎩， 即2,|3|a ai =--== 本题选择A 选项.3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 45B. 54C. 57D. 63【答案】B【解析】由三视图得，该几何体是棱长为3的正方体截去一个棱长为1的正方体，如图所示，所以该几何体的表面积与棱长为3的正方体的表面积相等，即所求表面积为26354S =⨯=． 故选：B ．4.如图为某省高考数学（理）卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，给出下面三个结论：①近三年容易题分值逐年增加；②近三年中档题分值所占比例最高的年份是2017年；③2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上．其中正确结论的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】根据对比图得：2016年，2017年，2018年容易题分值分别为40，55，96，逐年增加，①正确； 近三年中档题分值所占比例最高的年份是2016年，②错误；2018年的容易题与中档题的分值之和为96+42=138，1380.9290%150=>，③正确 故选：C ．5.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ） A. 1 B. 1或12C.D. 【答案】C【解析】因为2474S S =，所以()()()124234344a a S S a a +=-=+，故234q =，因{}n a 为正项等比数列，故0q >，所以q =C . 6.已知()4cos cos 3f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列说法中错误的是（ ） A. 函数()f x 的最小正周期为π B. 函数()f x 在,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 C. 函数()f x 的图象可以由函数cos 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 D. 7,112π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 【答案】C【解析】()4cos cos 3f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭22cos 22cos 213x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以22T ππ==，故A 正确； 当,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，20,32x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因23t x π=+在,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为增函数，2cos 1y t =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故()f x 在,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，故B 正确；函数()f x 的图象可以由函数1cos 232y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍 得到，而函数cos 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到得是2cos 223y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，故C 错误； 令2,32x k k Z πππ+=+∈，当1k =时，712x π=，故7,112π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图像的一个对称中心，故D 正确； 综上，选C.7.已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与抛物线()221y ax a x =+++相切，则a 的值为（ ） A. 0 B. 0或8C. 8D. 1【答案】C 【解析】11y x'=+，当1x =时，切线的斜率2k =， 切线方程为()21121y x x =-+=-，因为它与抛物线相切，()22121ax a x x +++=-有唯一解即220ax ax ++= 故280a a a ≠⎧⎨-=⎩ ，解得8a =，故选C. 8.设椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12e =，右焦点为(),0F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点()12,P x x （ ）A. 必在圆222x y +=内B. 必在圆222x y +=上C. 必在圆222x y +=外D. 以上三种情形都有可能【答案】A【解析】∵椭圆离心率e =c a =12，∴c =12a ，b2a ， ∴ax 2+bx -c =ax 2+2ax -12a =0，∵a ≠0， ∴x 2x -12=0，又该方程两个实根分别为x 1和x 2， ∴x 1+x 2=x 1x 2=-12，∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=34+1＜2． ∴点P 在圆x 2+y 2=2的内部． 故选A ．9.十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A 、B 两市代表团）安排至a ，b ，c 三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A 、B 两市代表团必须安排在a 宾馆入住，则不同的安排种数为（ ） A. 6 B. 12C. 16D. 18【答案】B【解析】如果仅有A 、B 入住a 宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共有22326C A =安排种数，如果有A 、B 及其余一个代表团入住a 宾馆，则余下两个代表团分别入住,b c ，此时共有12326C A =安排种数，综上，共有不同的安排种数为12，故选B. 10.设函数()tan 2x f x =，若()3log 2a f =，151log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.22c f =，则（ ） A. a b c << B. b c a <<C. c a b <<D. b a c <<【答案】D【解析】()1551log log 22b f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为35log 2log 20>>且0.2033221log 3log 2>==>，故0.2530log 2log 212π<<<<<，又()tan2xf x =在()0,π上为增函数， 所以()()()0.253log 2log 22f f f <<即b a c <<，故选D .11.如图，1F 和2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D. 1【答案】D【解析】设F 1F 2=2c ， ∵△F 2AB 是等边三角形， ∴∠A F 1F 2==30°， ∴AF 1=c ，AF 2，∴a-c )÷2，e =2c ÷-c， 故选D.12.在四面体P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，边长为3，3PA =，4PB =，5PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ） A. 3B.C.D.【答案】C【解析】如图，延长CA 至D ，使得3AD =，连接,DB PD ， 因为3AD AB ==，故ADB ∆为等腰三角形， 又180120DAB CAB ∠=︒-∠=︒，故()1180120302ADB ∠=︒-︒=︒， 所以90ADB DCB ∠+∠=︒即90DBC ∠=︒，故CB DB ⊥，因为4,5,3PB PC BC ===，所以222PC PB BC =+，所以CB PB ⊥， 因DBPB B =，DB ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，所以CB ⊥平面PBD ，所以13PBD P CBD C PBD V V CB S ∆--==⨯⨯三棱锥三棱锥， 因A 为DC 的中点，所以1113262PBD PBD P ABC P CBD V V S S ∆∆--==⨯⨯=三棱锥三棱锥，因为3DA AC AP ===，故PDC ∆为直角三角形，所以PD ==又DB ==4PB =，故222DB PD PB =+即PBD ∆为直角三角形，所以142PBD S ∆=⨯=P ABC V -=三棱锥C .二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量()3,4a =，()1,b k =-，且a b ⊥，则4a b +与a 的夹角为________． 【答案】4π 【解析】因为a b ⊥，故0a b ⋅=，所以340k -+=，故34k =， 故()41,7a b +=-，设4a b +与a 的夹角为θ，则cos 2θ===，因[]0,θπ∈，故4πθ=，填4π.14.已知实数x ，y 满足不等式组00y y x x y m ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，且目标函数32z x y=-最大值为180，则实数m 的值为________． 【答案】60【解析】不等式组对应的可行域如图所示， 因为不等式组有解，所以0m ≥，当动直线320x y z --=平移到(),0A m 时，z 有最大值，故320180m ⨯-⨯=， 所以60m =，填60.15.如图，点D 在ABC ∆的边AC 上，且3CD AD =，BD ，cos2ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为________．【解析】因为cos2ABC ∠=，所以221cos 2cos 121244ABC ABC ⎛∠∠=-=-= ⎝⎭的因为3CD AD =，所以3CD DA =即()3BD BC BA BD -=-，整理得到3144BD BA BC =+，两边平方后有22291316168BD BA BC BA BC =++⋅，所以22913216168BA BC BA BC =++⋅即2291312||||161684BA BC BA BC =++⋅⨯， 整理得到2233292BA BC BA BC =++⋅， 设,c BA a BC ==，所以()22239329322c a ac c a ac =++=+-，因为2933332222ac a c a c ⨯⨯+⎛⎫=≤⨯ ⎪⎝⎭，所以()()()()2222935323333288c a ac c a c a c a =+-≥+-+=+，3c a +≤=，当且仅当5a =，15c =时等号成立，. 16.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是____________.【答案】⎭【解析】设c 为半焦距，则(),0F c ，又()0,B b ， 所以:0BF bxcy bc +-=，以12A A 为直径的圆的方程为O ：222x y a +=，因为120i i PA PA ⋅=，1,2i =， 所以O 与线段BF 有两个交点（不含端点），所以ab a<>⎩即422422302c a c a c a ⎧-+<⎨>⎩，故4223102e e e ⎧-+<⎨>⎩，e <<故填⎭. 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2212n n n S a a n *+=+∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知对于N n *∈，不等式1231111nM S S S S ++++<恒成立，求实数M 的最小值； 解：（1）1n =时，2111212a a a +=+，又0n a >，所以11a =， 当2n ≥时，()2212n n n S a a n *+=+∈N ()2111212n n n S a n a --*-+=+∈N ，作差整理得：()()1112n n n n n n a a a a a a ---+=+-， 因为0n a >，故10n n a a ->+，所以112n n a a --=， 故数列{}n a 为等差数列，所以12n n a +=． （2）由（1）知()34n n n S +=，所以()14411333nS n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 从而1231111nS S S S ++++ 411111111111=134253621123n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦411111411111221323123361239n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=++---=---< ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭．所以229M ≥，故M 的最小值为229．18.如图所示，在棱台1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥平面ABCD ，1112224CD AB BC AA A B ====，90ABC BCD ︒∠=∠=（1）求证：11A D BC ⊥； （2）求二面角11C A D D --的大小（1）证明：连结1AD ，设4CD =，因为11//C D CD ，//CD AB ，所以11//C D AB ， 又因11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，因此11//BC AD ，在直角梯形11ADD A中，11tan 2A AD ∠=，1tan DA A ∠=， 因此11190A AD AA D ︒∠+∠=，所以11A D AD ⊥，因此11A D BC ⊥（2）解：因为1AA ⊥平面ABCD ，所以建立如图空间直角坐标系，设111=A B ，则()0,0,0A ，()10,0,2A ，()2,2,0D -，()2,2,0C ，()10,0,2AA=，()2,2,0AD =-，()0,4,0DC =，()12,2,2AC =-， 设向量()111,,x y z =m 为平面1AA D法向量，则有100m AA m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11120,220,z x y =⎧⎨-=⎩，令11x =，取平面1AA D 的一个法向量()1,1,0m =.设向量()222x y z =,,n 为平面1CA D 的法向量，则有100n AC n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22222220,40,x y z y +-=⎧⎨=⎩ 令21x =，取平面1CA D 的一个法向量()1,0,1n =， 1cos ,2m n m n m n⋅==⋅, 设二面角1C A D A --的平面角为θ，则1cos 2θ=因此二面角11C A D D --的大小为120︒.19.2019年4月，甲乙两校的学生参加了某考试机构举行的大联考，现对这两校参加考试的学生的数学成绩进行统计分析，数据统计显示，考生的数学成绩X 服从正态分布(110,144)N ，从甲乙两校100分及以上的试卷中用系统抽样的方法各抽取了20份试卷，并将这40份试卷的得分制作成如图所示的茎叶图：（1）试通过茎叶图比较这40份试卷的两校学生数学成绩的中位数；（2）若把数学成绩不低于135分的记作数学成绩优秀，根据茎叶图中的数据，判断是否有90%的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关？（3）从所有参加此次联考的学生中（人数很多）任意抽取3人，记数学成绩在134分以上的人数为ξ，求ξ的数学期望．附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(2P X μσμ-<≤+2)0.9544σ=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤．参考公式与临界值表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．解：（1）由茎叶图可知：甲校学生数学成绩的中位数为128135131.52+=，乙校学生数学成绩的中位数为128129128.52+=，所以这40份试卷的成绩，甲校学生数学成绩的中位数比乙校学生数学成绩的中位数高． （2）由题意，作出22⨯列联表如下：计算得2K的观测值40(1013107)0.9207 2.70620201723k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有9000的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关．（3）因为~(110,144)X N ，所以110μ=，12σ=， 所以(86134)0.9544P X <≤=，所以10.9544(134)0.02282P X ->==， 由题意可知~(3,0.0228)B ξ，所以30.02280.0684E ξ=⨯=．20.已知抛物线24y x =，过点()8,4P -的动直线l 交抛物线于A ，B 两点 （1）当P 恰为AB 的中点时，求直线l 的方程；（2）抛物线上是否存在一个定点Q ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）设A ，B 两点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，当P 恰为AB 的中点时， 显然12x x ≠，故1212124AB y y k x x y y -==-+，又128y y +=-，故12AB k =-则直线l 的方程为12y x =-（2）假设存在定点Q ，设200,4y Q y ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线l 斜率存在时，设()():840l y k x k =--≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立()24,84y x y k x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩整理得2432160ky y k ---=，>0∆，124y y k +=，121632y y k=--， 由以弦AB 为直径的圆恒过点Q 知0QA QB ⋅=，即()()2200121020044y y x x y y y y ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即()()2222001210204444y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()102010201016y y y y y y y y ++⎡⎤+--=⎢⎥⎣⎦故()()102016y y y y ++=-，即()2120120160y y y y y y ++++=整理得()()20016440y k y -+-=即当04y =时，恒有0QA QB ⋅=，故存在定点()4,4Q 满足题意；当直线l 斜率不存在时，:8l x =，不妨令(8,A，(8,B -，()4,4Q ，也满足0QA QB ⋅=综上所述，存在定点()4,4Q ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点Q 21.已知函数()e x f x ax b =--.（其中e 为自然对数的底数） （1）若()0f x ≥恒成立，求ab 的最大值；（2）设()ln 1g x x =+，若()()()F x g x f x =-存在唯一的零点，且对满足条件的,a b 不等式e 1)-+≥（ma b 恒成立，求实数m 的取值集合. 解：（1）()xg x e a '=-，当0a <时，()0g x '>，()g x 在R 上单调递增，取1min 0,b m a -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，当0x m <时，()000010xg x e ax b ax b =--<-+-<矛盾；当0a =时，()xg x e b b =->-，只要0b -≥，即0b ≤，此时0ab =； 当0a >时，令()0g x '>，ln x a >，所以()g x 在()ln ,a +∞单调递增，在(),ln a -∞单调递减，()()ln ln g x g a a a a b ≥=--，所以ln 0a a a b --≥，即ln b a a a ≤-， 此时22ln ab a a a ≤-，令()22ln h a a a a =-，()()2122ln 12ln h a a a a aa a a'=--=-， 令()0h a '=，a =当(a ∈，()0h a '>，()h a在(上为增函数；当)a ∈+∞，()0h a '<，()h a在)+∞上为减函数．所以()1122h a he e e ≤=-=，所以2e ab ≤，故ab 的最大值为2e．（2）()1xFx e a x'=-+在()0,∞+单调递减且()F x '在()0,∞+的值域为R ， 设()F x 的唯一的零点为0x ，则()00F x =，()00F x '=，即00000ln 1010x x x e ax b e a x ⎧+-++=⎪⎨-+=⎪⎩ 所以01xa e x =-，()001ln xo b x e x =--， 由()1m a e b -+≥恒成立，则()00000111ln x x m e e x e x x ⎛⎫--+≥-- ⎪⎝⎭，得()()00001ln 10xmx m ex m e x +-+-+-+≥在()0,∞+上恒成立． 令()()()1ln 1xmk x x m e x m e x=+-+-+-+，()0,x ∈+∞， ()()()2211x x m k x x m e x m e x x x '⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭．若0m ≥，()0k x '>，()k x 在()0,∞+上为增函数，注意到()10k =，知当()0,1x ∈时，()0k x <，矛盾；当(),x m ∈-+∞时，()0k x '>，()k x 为增函数，若01m <<-，则当()1,x m ∈-时，()0k x '<，，()k x 为减函数， 所以()1,x m ∈-时，总有()()10k x k <=，矛盾；若01m <-<，则当(),1x m ∈-时，()0k x '>，，()k x 为增函数， 所以(),1x m ∈-时，总有()()10k x k <=，矛盾；所以1m -=即1m =-，此时当()1,x ∈+∞时，()0k x '>，()k x 为增函数，， 当()0,1x ∈时，()0k x '<，()k x 为减函数，而(1)0k =， 所以()F x 有唯一的零点. 综上，m 的取值集合为{}1- ． 选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为22312sin ρθ=+（1）求曲线E 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，求线段AB 的长解：（1）E 的方程可化为2222sin 3ρρθ+=，将222x y ρ=+，sin y ρθ=，代入其中得2233x y +=，所以曲线E 的直角坐标方程为2213x y +=.（2）直线l 过定点()1,0P ，将直线l 的参数方程代入曲线E的直角坐标方程得2340t +-=，12t t +=1243t t =-，所以12AB t t =-3==. 选修4-5：不等式选讲23.已知函数()211f x x x =--+． （1）解不等式()4f x ≤；（2）记函数()31y f x x =++的最小值m ，正实数a ，b 满足3ma b +=，求证：341log 2a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭．解：（1）()4f x ≤等价于12114x x x ≤-⎧⎨-+++≤⎩ 或1122114x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+--≤⎩或122114x x x ⎧≥⎪⎨⎪---≤⎩， 故21x -≤≤-或112x -<<或162x ≤≤， 综上()4f x ≤解集为[]2,6-.（2）()()31212221223f x x x x x x ++=-++≥--+= 当且仅当()()21220x x -+≤取等号，∴3m =，1a b +=， ∴()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当21,33a b ==时等号成立，∴3341log log 92a b ⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭．。

江西省临川区第一中学2015-2016学年高一5月月考数学一、选择题：共12题1．已知a>0,b<-1,则下列不等式成立的是A.a>-错误!未找到引用源。

>错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

>-错误!未找到引用源。

>aC.-错误!未找到引用源。

>错误!未找到引用源。

>aD.-错误!未找到引用源。

>a>错误!未找到引用源。

【答案】A【解析】由b<-1,可知0<错误!未找到引用源。

<-错误!未找到引用源。

<1,又a>0,所以a>-错误!未找到引用源。

>错误!未找到引用源。

,故选A.2．等差数列错误!未找到引用源。

中，错误!未找到引用源。

，则前9项和错误!未找到引用源。

A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

【答案】C【解析】本题主要考查等差数列的性质.由等差数列的性质得错误!未找到引用源。

,则前9项和错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.故选C.3．过空间一点作平面，使其同时与两条异面直线平行，这样的平面A.不一定有B.只有一个C.至多有两个D.有无数个【答案】A【解析】本题考查空间点、线、面的位置关系.若过点A与直线错误!未找到引用源。

的平面与直线错误!未找到引用源。

平行时，这样的平面不存在，故过空间一点作平面，使其同时与两条异面直线平行，这样的平面不一定有，故选A.4．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

【答案】D【解析】本题主要考查三视图及空间几何体的体积.依题意,该几何体为两半圆锥的组合体，其底面半径为，高为错误!未找到引用源。

，故体积为错误!未找到引用源。

，故选D.5．a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若b错误!未找到引用源。

江西师大附中、临川一中2011届高三联考理科数学试卷2010.12时间：120分钟 总分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1．已知集合{|014}A x N x =∈<-<，2{|560}B x Z x x =∈-+=,则下列结论中不正确的是（ ）A ．R R C A CB ⊆ B ．A B B =C ．()R A C B =∅D ．()R C A B =∅2．已知数列{}n a 的通项为38n a n =+，下列各选项中的数为数列{}n a 中的项的是（ ） A ．8 B ．16 C ．32 D ．363．函数xxa y x=(01)a <<的图象的大致形状是（ ）4．设函数3()3f x x x =+()x R ∈，若02πθ≤≤时，(sin )(1)f m f m θ+-＞0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（-∞，0）C ．（-∞，12） D ．（-∞，1）5．如图，△ABC 中，GA GB GC O ++= ，CA a =，CB b = . 若CP ma = ，CQ nb =.CG PQ H = ，2CG CH = ，则11m n+=（ ）A ．2B ．4C ．6D ．86．数列{}n a 满足1211,,2a a ==并且1111()2(2)n n n n n a a a a a n -++-+=≥，则数列的第2010项为（ ） A ．10012 B ．201012 C ．12010 D ．11007．对于实数x ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[]3,[ 1.08]2π=-=-．如果定义函数()[]f x x x =-，那么下列命题中正确的一个是（ ） A ．(5)1f = B ．方程1()3f x =有且仅有一个解 xy 1－1B xy 1－1 Axy 1－1Cxy 1－1 DAC BG H QPC ．函数()f x 是周期函数D ．函数()f x 是减函数 8．一个正四面体在平面上的射影不可能是（ ） A ．正三角形 B ．三边不全相等的等腰三角形 C ．正方形D ．邻边不垂直的菱形9．若直线3ax ＋5by ＋15＝0到原点的距离为1，则22a b +的取值范围为（ ） A ．[3，4]B ．[3，5]C ．[1，8]D ．(3，5]10. 设函数21(3)()4(32)0(2)x f x x x x ⎧≤⎪⎪=-<<⎨⎪≥⎪⎩，则20101()f x dx -⎰的值为（ ）A ．2332π++B ．2322π++C ．2362π++D ．1322π++二、填空题（每小题5分，共25分）11．已知命题p ：|1-x －13|≤2，命题q ：x 2-2x ＋1-m 2≤0(m ＞0)，┒p 是┒q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是 ．12．已知函数2()lg(1)cos f x x x x =+++且(2010)f a -=，则(2010)f = . 13．在矩形ABCD 中，AB = 4，BC = 3，沿对角线AC 把矩形折成二面角D -AC -B ，并且D点在平面ABC 内的射影落在AB 上．若在四面体D -ABC 内有一球，当球的体积最大时，球的半径是 . 14．若直线1y kx =+和124x y+=与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则k = ． 15．选做题（考生注意：请在A ，B 两题中,任选做一题作答,若多做,则按A 题记分）A ．若集合φ=--<+|}2||1||{k k x x ，则实数k 的取值范围是 ；B ．已知直线()142x tt R y t=+⎧∈⎨=-⎩与圆()2cos 2[0,2]2sin x y θθπθ=+⎧∈⎨=⎩相交于AB,则以AB 为直径的圆的面积为 .三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．（本小题满分12分）已知函数2()ln(2).f x x x bx c =+-++在点x=1处的切线与直线3720x y ++=垂直，且f （-1）=0，求函数f (x )在区间[0，3]上的最小值。

江西省抚州市临川第一中学2021届下学期高三年级5月高考模拟考试数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．命题“∀∈R，2≥0”的否定为（）A．∀∉R，2≥0 B．∀∈R，2＜0 C．∃∈R，2≥0 D．∃∈R，2＜03．已知集合A＝{1，2}，集合B＝{0，2}，设集合C＝{|＝y，∈A，y∈B}，则下列结论中正确的是（）A．A∩C＝∅B．A∪C＝C C．B∩C＝B D．A∪B＝C4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交、平行或异面C．若m⊥α，l∥α，则直线m与n一定垂直D．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则直线m与n一定平行5．已知向量，满足||＝1，＝（1，－2），且|＋|＝2，则cos＜，＞＝（）A．B．C．D．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“b cos A－c＜0”是“△ABC为锐角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．设双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，且直线＝－（c是双曲线的半焦距）与抛物线y2＝4的准线重合，则此双曲线的方程为（）A．＝1 B．＝1C．＝1 D．＝18．《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h．用该术可求得圆率π的近似值．现用该术求得π的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为27，则该圆锥体积的近似值为（）A．B．3 C．3D．99．已知ππ3sin()sin()66αα-=+，则cos2α= A ．17 B ．17- C ．1113 D ．1113- 10“六艺”源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼､乐､射､御､书､数”为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识竞赛活动，现有六位同学，每位同学准备了六艺”中的一类相关知识，且各不相同，每位同学随机从这六类知识中抽取不同的一项参加回答，则恰有三位同学抽到自己准备的知识的概率为1.18A 2.15B1.6C1.4D11．已知函数222()131xx f x x =-++若存在(1,4)m ∈使得不等式 2(4)(3)2f ma f m m -++>成立，则实数a 的取值范围是A ．(,7)-∞B ．(,7]-∞C ．(,8)-∞D ．(,8]-∞12．设a ，b ∈R ，函数f （）＝若函数y ＝f （）－a －b 恰有3个零点，则（ ）A ．a ＜－1，b ＜0B ．a ＜－1，b ＞0C ．a ＞－1，b ＜0D ．a ＞－1，b ＞0二、填空题：（每题5分，满分20分）13．二项式（－）6的展开式中，常数项为 ．14．已知椭圆C 1：＝1与双曲线C 2：＝1（m ＞0，n ＞0）有相同的焦点F 1，F 2，且两曲线在第一象限的交点为1F 2f V r =111ABC A B C -ABC ⊥11AA B B11A A A B =160A AB ∠=OAB M 11A C OM11BB C C 11C BA C--xOy (2,0)F -l32x =-2331l 2l 1l 2l 22(4)9x y -+=RMN Y Y XX X≥－1时，函数g （）＝f （）＋|－m |的图象与轴围成一个三角形，求实数m 的取值范围．【试题答案】1－12 DDCCBB DDBACC13. 60 14 15 [，＋∞） 16 353πV 17【解答】（Ⅰ）证明：由题意，当n ＝1时，S 1＝a 2＋2＝×4＋2＝4， 根据已知条件，S n ＝a n ＋1＋2＝（S n ＋1－S n ）＋2， 整理，得S n ＋1＝3S n －4，两边同时减去2，可得S n ＋1－2＝3S n －4－2＝3（S n －2），∵S 1－2＝4－2＝2，∴数列{S n －2}是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴S n －2＝2•3n －1，∴S n ＝2•3n －1＋2，n ∈N *．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2•3n －1＋2－2•3n －2－2＝4•3n －2，故a n ＝，∴＝，当n ＝1时，T 1＝＝，当n ≥2时，T n ＝＋＋＋…＋＝＋＋•（）1＋…＋＋•（）n －2＝＋＝－，∵当n ＝1时，T 1＝， ∴T n ＝－，n ∈N *．18．（1）证明：取11B C 中点E ，连接BE ， ∵11A M C M =，∴1112ME A B =，ME ∥11A B ， ∵三棱柱111ABC A B C -，O 为AB 的中点，∴1112OB A B =，OB ∥11A B ， ∴,OB ME OB =∥ME ，∴四边形OMEB 为平行四边形，∴OM ∥BE ．…………………………………………………………………3分 ∵OM ⊄平面11BB C C ，BE ⊂平面11BB C C ，∴OM ∥平面11BB C C ．……………………………………………………5分 （2）∵CA CB =，AO OB =，∴CO AB ⊥，∵平面ABC ⊥平面11AA B B ，平面ABC 平面11AA B B AB =，CO ⊂平面CAB ，∴CO ⊥平面11AA B B ，……………………………7分∵11A A A B =，160A AB ∠=， ∴1AA B ∆为等边三角形， ∵AO OB =，∴1OA AB ⊥， ∴1,,OA OA OC 两两垂直，以{}1,,OA OA OC 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，∴(1,0,0)A ，13,0)A ，(1,0,0)B -，3)C ，1(3,3)C -． ∴3)BC =，13,0)BA =．设平面1A BC 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，∴11111113030n BC x z n BA x ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，，取13x =111,1y z =-=-． ∴平面1A BC 的一个法向量为1(3,1,1)n =--，……………………………9分13,0)BA =，13,3)BC =． 设平面11A BC 的一个法向量2222(,,)n x y z =，2122212230330n BA x y n BC y z ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，，取21y =，得223,1x z =-=-． ∴平面11A BC 的一个法向量为2(3,1,1)n =--，……………………………11分 ∴1212123cos ,5311311n n n n n n ⋅<>===-++++，∴124sin ,5n n <>=，即二面角11C BA C --的正弦值为45．………………12分 19．解：（1）设M （，y ）22(2)2332x y x ++=+2分即22243(2)()32x y x ++=+，化简得E ：2213x y -=．……………………4分（2）①若1l的斜率不存在，则MN =(4,0)R ， 所以△RMN面积为162S ==5分 ②若1l 的斜率存在，且不为0，设为1k ，则11:(2)l y k x =+，代入22:13x E y -=中并化简得：2222111(13)121230k x k x k ----=，设11(,)M x y ，22(,)N x y，则1MN x x =-=，……7分 211:(2)l y x k =-+，即120x k y ++=，所以FR ==，3<，得213k >，………………………………………………9分所以△RMN面积为112S =10分 令2131(8,)k t -=∈+∞，则S =所以S的最小值为，即△RMN面积的取值范围为12分20．解：（1）因为甲同学在第一次被抽到的概率是303505=，……………………1分 第二次被抽到的概率也是35，且两次相互独立，所以3~(2,)5Y B ，………3分 所以36()255E Y =⨯=．……………………………………………………4分 （2）设两次都被抽到的人数的个数为随机变量X ，则1030X ≤≤（X *∈N ），…………………………………………………6分则303050502030305050()n n nn C C C P X n C C ---⋅⋅==⋅，…………………………………………８分 令303050502050!(50)!20!()(50)!!(30)!20!(30)!(10)!n n nn n f n C C C n n n n n ----=⋅⋅=⋅⋅---- 250![(30)!]!(10)!n n n =--，所以22(1)50![(30)!]!(10)!()[(29)!](1)!(9)!50!f n n n n f n n n n +--=⨯-+-2(30)(1)(9)n n n -=+-， 若2(30)(1)(9)909520n n n n --+-=->，则17n ≤，…………………11分 所以当17n ≤时，(1)()f n f n +>；当18n ≥时，(1)()f n f n +<， 所以当18n =时，()f n 最大，即(18)P X =最大，所以参加打扫图书馆的人数最有可能是18人…………………………12分 21解：（1）当a ＝－时，f （）＝－，＞0， f ′（）＝－＝，∴函数f （）的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，＋∞）． （2）由f （1）≤，得0＜a ≤，当0＜a ≤时，f （）≤，等价于－－2ln ≥0， 令t ＝，则t ≥2，设g （t ）＝t 2－2t －2ln ，t ≥2，则g （t ）＝（t －）2－－2ln ， （i ）当∈[，＋∞）时，≤2，则g （）≥g （2）＝8－2ln ，记＝－1时，则g （）＝|2＋2|－5＋|＋1|＝3|＋1|－5，此时g （）的图象与轴围成一个三角形，满足题意；当m ＞－1时，，则函数g （）在（－∞，－1）上单调递减，在（－1，＋∞）上单调递增，要使函数g（）的图象与轴围成一个三角形，则，解得；综上所述，实数m的取值范围为．。

江西省抚州市临川区一中2025届高三最后一模数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD ，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则直线AC 与BD 所成角余弦值为（ ）A ．23B ．63C ．33D ．133．已知复数(2)1ai i z i +=-是纯虚数，其中a 是实数，则z 等于（ ） A ．2i B ．2i - C ．i D ．i -4．设直线l 过点()0,1A-，且与圆C ：2220x y y +-=相切于点B ，那么AB AC ⋅=（ ） A ．3± B ．3 C 3D ．15．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110 B ．0.112 C ．0.114 D ．0.1167．已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( )A ．向左平移8π个单位长度B ．向右平移8π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度 8．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ． 9．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．5⎛ ⎝⎦B ．5⎫⎪⎪⎣⎭C ．25⎛ ⎝⎦D ．25⎫⎪⎪⎣⎭10．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()AB =R A ．{}01x x <≤ B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x << 11． 若数列{}n a 满足115a =且1332n n a a +=-，则使10k k a a +⋅<的k 的值为( )A ．21B ．22C ．23D ．2412．在复平面内，复数21(1)i i +-对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

破伤风杆菌外毒素 细胞1 细胞2 细胞3 细胞4 物质a① ② ③ ④分泌 细胞5理科综合试卷（完卷时间：150分钟；满分：300分）第Ⅰ卷（选择题包括21小题，每小题6分，共126分）一、选择题（本大题包括13小题，每小题6分，共78分，每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 某些生物概念之间具有一定的包含关系，下列概念之间的关系中，符合下图所示的有2．利用生物学知识和生物学观点判断以下说法，错误的是 A. 人体效应T 细胞攻击靶细胞，使其裂解死亡，属于凋亡B ．内环境主要由血浆、组织液和淋巴组成C ．血浆的主要成分包括水、葡萄糖、血红蛋白和激素等D ．设法让洋葱根尖吸收含3H 标记的尿嘧啶核糖核苷酸，不仅能在分生区细胞中检测到放射性，在其他部位，例如成熟区也能检测到放射性3.沙糖桔为南昌县著名的特色水果。

下列有关沙糖桔生长发育过程中的叙述，不正确的是：A ．果树生长有典型的向光性，这与其体内背光侧生长素分布较多有关B ．沙糖桔成熟时，脱落酸和乙烯这两种植物生长调节剂的含量明显升高C ．沙糖桔枝条扦插不易生根，可用适宜浓度的NAA 处理D ．沙糖桔成熟时由绿色变为黄色，与果皮中的叶绿素被分解有关4．下图表示人体通过体液免疫消灭破伤风杆菌外毒素的过程，下列相关叙述错误的是( )A ．细胞2、细胞3均起源于造血干细胞B ． 细胞5仍具保留有分裂能力C ．②、③过程与细胞膜上蛋白质有关D ．细胞4能大量增殖且分泌大量抗体5．细菌蛋白质在极端环境条件下可通过肽链之间的二硫键维持稳定。

已知不同的多肽产物可因分子量不同而以电泳方式分离。

下列左图是一个分析细菌蛋白的电泳结果图，“-”代表没加还原剂，“+”代表加有还原剂，还原剂可打断二硫键，“M”代表已知分子量的蛋白质，右侧数字代表蛋白质或多肽的相对分子量。

根据左侧结果，下列哪个图案最能代表该细供选项a b c A主动运输 自由扩散 胞吐 B原核生物 细菌 酵母菌 C生态系统 群落 种群 D 体液调节 激素凋节 免疫调节菌原本的多肽结构（注意：“一”代表二硫键）6．激素是生物体内微量高效的物质，人体内的调节机制使各种激素在血液中含量维持相对稳定。

临川一中2010—2011年高一下学期第一次月考数学试卷一.选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．)1.下列说法正确的是 （ ） A ．直线a 平行于平面M ，则a 平行于M 内的任意一条直线 B ．直线a 与平面M 相交，则a 不平行于M 内的任意一条直线 C ．直线a 不垂直于平面M ，则a 不垂直于M 内的任意一条直线 D ．直线a 不垂直于平面M ，则过a 的平面不垂直于M2. 在正方体1111ABCD A B C D -中, 与1A C 垂直的是（ ） A.BD B. CD C. BC D. 1CC3.下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别 是所在棱的中点，这四个点中不共面．．．的图是( )PSP PPQSSRR（1） （2） （3） （4） A ． (1),(2) B ． (1)，（3） C ．（2）（4） D ． 只有（4）4．某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得这个几何体的表面积为（ ） A ．344+B ．4+C ．38 D ．125.给出以下四个命题①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是（ ）A.4B.3C.2D.1 6，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为 ( )A ．6πB ．4πC ．D ．3π7.在半径为3的球面上有,,A B C 三点，90,ABC BA BC ︒∠==，球心O 到平面ABC 的距离是2，则B C 、两点的球面距离是（ ） A ．3πB ．πC ．43πD ．2π8.如图，在正三棱锥A-BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF⊥DE ，且BC=1，则正三棱锥A-BCD 的体积是（ ） A.122 B.242 C.123 D.243FEPCBA9.如图，在三棱锥ABC P -中，PA ⊥底面ABC ，∠ACB =90， AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F , 若2==AB PA ，∠BPC =θ， 则当AEF ∆的面积最大时，θtan 的值为( ) A ． 2 B21C ．2D ． 2210.过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线L ，使L与棱AB ,AD ,1AA 所成的角都相等，这样的直线L 可以作（ ）A .1条 B.2条 C.3条 D.4条二.填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．)11.在正方体1111ABCD A B C D -的各面的12条对角线中，与正方体的对角线1A C 垂直的共有_________条．12. 已知正四棱台的上底边长为4，下底边长为8，侧棱长为17，则其体积为 13. 已知圆锥的侧面展开图为半圆且面积为S ，则其表面积为14.三棱锥A —BCD ，AB=a ，CD=b ，∠ABD=∠BDC ，M ，N 分别为AD ，BC 的中点，P 为BD 上一点，则MP+NP 的最小值是 . 15．将边长为2，有一内角为60的菱形ABCD 沿较短．．对角线BD 折成四面体A BCD -， 点E F 、 分别为AC BD 、的中点，则下列命题中正确的是 ①//EF AB ； ②EF 与异面直线AC 、BD 都垂直； ③当四面体ABCD的体积最大时，AC =； ④AC 垂直于截面BDE .三.解答证明题（本大题共6小题，共75分）16．(本小题满分12分)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．17．(本小题满分12分)如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动． （1）证明：D 1E⊥A 1D ；（2）若E 为AB 中点，求E 到面ACD 1的距离.18．（本小题满分12分）如图，四面体ABCD 中， O 是BD 的中点，2,CA CB CD BD AB AD ====== （1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角余弦值的大小._ C_ A_ D_ B_ O19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥ABCD ，四边形ABCD 是矩形. E 、F 分别是AB 、PD 的中点.若PA=AD=3，CD=6. （1）求证：AF//平面PCE ； （2）求点F 到平面PCE 的距离；（3）求直线FC 与平面PCE 所成角正弦值的大小.20. （本小题满分13分）如图1，直角梯形ABCD 中，//,90AD BC ABC ∠=，,E F 分别为边AD 和BC 上的点，且//EF AB ，2244AD AE AB FC ====．将四边形EFCD 沿EF 折起成如图2的位置，使AD AE =．（1）求证：BC //平面DAE ；（2）求四棱锥D AEFB -的体积; （3）求面CBD 与面DAE 所成锐二面角的余弦值.21. （本小题满分14分）如图，棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的所有棱长 都等于2，∠ABC =60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，∠A 1AC =60°ABEF CD A C D EF B图1 图2（1）证明：BD ⊥AA 1；（2）求二面角D —A 1A —C 的平面角的余弦值；（3）在直线CC 1上是否存在点P ，使BP //平面DA 1C 1？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由.临川一中2010—2011年高一下学期第一次月考数学试卷参考答案一.选择题1—5 B A D B B 6—10 D B B D D二.填空题11 6 12 112 13 32S 14 a+b 2 15 ②③④三.解答证明题16.解 圆台的轴截面如上图所示，设圆台上下底面半径分别为x cm,3x cm.延长AA 1交OO 1的延长线于S ，在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SAO ＝45°，∴SO ＝AO ＝3x ，∴OO 1＝2x ， 又S 轴截面＝12(6x ＋2x )·2x ＝392，∴x ＝7.故圆台的高OO 1＝14 cm ，母线长l ＝2O 1O ＝14 2 cm ， 两底面半径分别为7 cm,21 cm.17解 （1）111111,,.AE AA D D A D AD D E A D ⊥⊥∴⊥平面（2）设点E 到平面1ACD 的距离为h，由题设可得11AC CD AD ===11 1.DD AA ==算得131,,2.22AD C ACE ABC ACE S S S S ∆∆∆∆===11111,33ABC D ABC AD C V DD S h S -∆∆∴=⋅=⋅则1.3h =18解（1）证明：连结OC ,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥在AOC ∆中，由已知可得1,AO CO ==而2,AC =222,AO CO AC ∴+=90,oAOC ∴∠=即.AO OC ⊥,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD（2）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角 在OME ∆中，111,222EM AB OE DC ==== OM 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线，11,2OM AC ∴==cos 4OEM ∴∠=∴异面直线AB 与CD所成角的大小为arccos419解（1）取PC 的中点G ，连结EG ，FG ，又由F 为PD 中点，则 FG //CD 21. 又由已知有.//,21//AE FG CD AE ∴∴四边形AEGF 是平行四边形. .//EG AF ∴AF 又 平面PCE ，EG .PCE 平面⊆PCE AF 平面//∴（2）,ABCD PA 平面⊥,//.,.,,3...AF EG PCD AF D CD PD PD AF PD F AD PA CDAF PAD CD AD CD ABCD ABCD PAD 由平面的中点是又平面是矩形有由平面平面⊥∴=⊥∴==⊥∴⊥∴⊥⊥∴= = = _ A_ B_ M_ D_ O_ C.,,,.的距离到平面的长就是点则平面由于平面于作过内平面平面PCE F FH PC PCE PCD H PC FH F PCD PCD EG =⊥∴⊥∴.24321.30,.62,223,23==∴=∠∴⊥===PF FH CPD PAD CD PC PF D P平面由于由已知可得243的距离为到平面点PCE F ∴（3）由（II ）知.所成的角与平面为直线PCE FC FCH ∠1421sin .242,223,6,22==∴=+=∴==∆FC FH FCH FD CD FC FD CD CDF Rt 中在∴直线FC 与平面PCE 所成角正弦值的大小为1421.20解 （Ⅰ）证：//,//,,CF DE FB AE BF CF F AE DE E ==∴面//CBF 面DAE又BC ⊂面CBF 所以BC //平面DAE（Ⅱ）取AE 的中点H ，连接DH,EF ED EF EA EF ⊥⊥∴⊥平面DAE又DH ⊂平面DAE EF DH ∴⊥2,AE ED DA DH AE DH ===∴⊥=DH ∴⊥面AEFB所以四棱锥D AEFB -的体积1223V =⨯= （Ⅲ）如图以AE 中点为原点，AE 为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0)A -，D ，(1,2,0)B --，(1,0,0)E所以DE的中点坐标为1(2 因为12CF DE =，所以1(,2C -易知BA 是平面ADE 的一个法向量，1(0,2,0)BA n == 设平面BCD 的一个法向量为2(,,)n x y z =由2233(,,)(,0,02222(,,)(1,20n BC x y z x z n BD x y z x y ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎪⋅=⋅=+=⎩ 令2,x =则2y =，z =-，2(2,2,n ∴=-121212cos ,5n n n n n n ⋅=== 所以面CBD 与面DAE 所成锐二面角的余弦值为5. 21解：在A 1作A 1O ⊥AC 于点O ，由于平面AA 1C 1C ⊥平面 ABCD ，由面面垂直的性质定理知，A 1O ⊥平面ABCD ， 又底面为菱形，所以AC ⊥BDBDAA O AA AA O AA BD AC O A O A BD AC BD ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊥⊥1111110平面平面由于（Ⅱ）在△AA 1O 中，A 1A=2，∠A 1AO=60°∴AO=AA 1·cos60°=1所以O 是AC 的中点，由于底面AB CD 为菱形，所以 O 也是BD 中点由（Ⅰ）可知DO ⊥平面AA 1C过O 作OE ⊥AA 1于E 点，连接OE ，则AA 1⊥DE 则∠DEO 为二面角D —AA 1—C 的平面角 在菱形ABCD 中，AB=2，∠ABC=60° ∴AC=AB=BC=2 ∴AO=1，DO=322=-AO AB在Rt △AEO 中，OE=OA ·sin ∠EAO=23 DE=21534322=+=+OD OE ∴cos ∠DEO=55=DE OE ∴二面角D —A 1A —C 的平面角的余弦值是55（Ⅲ）存在这样的点P连接B 1C ，因为A 1B 1//AB //DC∴四边形A 1B 1CD 为平行四边形。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）A. y = x^2B. y = 2^xC. y = log2xD. y = √x2. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f'(1)的值为（）A. -2B. -1C. 0D. 13. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 25，S9 = 81，则公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则sinA 的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 5/4D. 3/45. 已知复数z = 1 + 2i，则|z|的值为（）A. √5C. 1D. √26. 下列命题中，正确的是（）A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则loga > logbC. 若a > b，则a/b > b/aD. 若a > b，则a - b > 07. 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，若a1 = 1，q = 2，则第5项a5的值为（）A. 32B. 16C. 8D. 48. 下列函数中，在其定义域内具有极小值的是（）A. y = x^3B. y = -x^3C. y = x^2D. y = -x^29. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=5，b=7，c=8，则cosB 的值为（）A. 5/7B. 7/5C. 5/810. 已知复数z = 3 - 4i，则z的共轭复数是（）A. 3 + 4iB. 3 - 4iC. -3 + 4iD. -3 - 4i11. 下列函数中，在其定义域内连续的是（）A. y = |x|B. y = x^2C. y = 1/xD. y = √x12. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 55，S15 = 120，则首项a1的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）13. 函数f(x) = (x - 1)^2 - 3的对称轴方程为________。

高三数学下学期5月底模拟考试试题 文一、选择题：(共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.) 1.复数()()()1a i i a R --∈的实部与虚部相等，则实数a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 2.已知集合{}{}200,1x x ax +==，则实数a 的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．23.学校艺术节对同一类的,,,A B C D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对四 项参赛作品预测如下：甲说：“是C 或D 作品获得一等奖” 乙说：“B 作品获得一等奖”丙说：“,A D 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C 作品获得一等奖”若这四位同学中有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ） A ．A B ．B C ．C D ．D4. 已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为（ ）A ．2B ．2- C. 3 D ．3-5.已知双曲线22214y x b +=-的焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的渐近线方 程为（ ）A ．12y x =± B．y = C.2y x =±D．y = 6. 下列命题正确的是（ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行7.二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二、无限逼近”．执行 如图所示的程序框图，若输入121,2,0.05x x d ===，则输出n 的值（ ） A ．4 B ．5 C. 6 D ．78.设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为,l P 为抛物线上一点，,PA l A ⊥为垂足．若直线AF 的斜率为PF =（ ）A ．B ．6 C.8 D ．169.已知函数)0,0)(cos()sin()(πϕωϕωϕω<<>+++=x x x f 是奇函数，直线y =与函数()f x 的图象的相两个相邻交点的距离为2π，则（ ） A ．()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增10.三名学生相邻坐成一排，每个学生面前的课桌上放着一枚完全相同的硬币，三人同时抛掷自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着，那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（ ） A ．12 B ．85 C. 14 D ． 83 11.在一圆柱中挖去一圆锥所得的工艺部件的三视图如图所示，则工艺部件的表面积为（ ）A ．(7πB ．(7π+ C. (8π D ．(8π+ 12.若过点(),A m m 与曲线()ln f x x x =相切的直线有两条，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．(),e -∞ C.10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),e +∞二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量=(-2,2),向量=(2,1),则向量在向量方向上的投影为 ．14. 若角α的终边落在直线2y x =上，求22sin cos sin cos αααα-+的值 .15.已知关于x 的方程x x t sin 1)cos 2(-=-在()0,π上有实根，则实数t 的取值范围是 ． 16.已知数列{}n a满足111,256n a a +==若2l o g 2n n b a =-，则12n b b b 的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分12分）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且)tan cos cos c C a B b A +． （I ）求角C ；（II）若c =ABC ∆面积的最大值．18.（本题满分12分）生产甲乙两种精密电子产品，用以下两种方案分别生产出甲乙产品共3种，现对这两种方案生产的产品分别随机调查了各100次，得到如下统计表： ①生产2件甲产品和1件乙产品②生产1件甲产品和2件乙产品已知生产电子产品甲1件，若为正品可盈利20元，若为次品则亏损5元；生产电子产品乙1件，若为正品可盈利30元， 若为次品则亏损15元．（I ）按方案①生产2件甲产品和1件乙产品，求这3件产品平均利润的估计值；（II ）从方案①②中选其一，生产甲乙产品共3件，欲使3件产品所得总利润大于30元的机会多，应选用哪个？19.（本题满分12分）如图所示，四棱锥A BCDE -，已知平面BCDE ⊥平面ABC ，EC BE ⊥，BC DE //，62==DE BC ，34=AB ，30=∠ABC ． （I ）求证：AC BE ⊥；（II ）若45BCE ∠=，求三棱锥A CDE -的体积．20.（本题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F,直线4y =与y 轴的交点为P,与抛物线C 的交点为Q,且2QF PQ =，过F 的直线l 与抛物线C 相交于A,B 两点. （1）求C 的方程；（2）设AB 的垂直平分线l '与C 相交于M,N 两点，试判断A,M,B,N 四点是否在同一个圆上？若在，求出l 的方程； 若不在，说明理由.21.（本题满分12分） 已知函数()ln mxf x x=，曲线()y f x =在点()()22,e f e 处的切线与直线20x y +=垂直（其中e 为自然对数的底数）．（I ）求()f x 的解析式及单调递减区间；（II ）是否存在常数k ，使得对于定义域内的任意(),ln kx f x x>+恒成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请 说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）以坐标原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系．曲线1:1C ρ=． （I ）若直线l 与曲线1C 相交于点(),,1,1A B M ，证明：MA MB ⋅为定值；（II ）将曲线1C 上的任意点(),y x 作伸缩变换''x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩后，得到曲线2C 上的点()',y'x ，求曲线2C 的内接矩形ABCD 周 长的最大值．23. (本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()10,,0,f x x a x a m R m a=+++>∈≠（1）当2a =时，求不等式()3f x >的解集； （2）证明：()14f m f m ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭。

高考某某省抚州市某某第一中学2020届高三数学5月模拟考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1. 已知i 为虚数单位，若复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为(2,1)，(1,2)-，则复数12iz z ⋅=（ ） A. 34i -- B. 34i -+C. 43i --D. 3-【答案】A 【解析】 【分析】根据题意12z i =+，212z i =-，故()()12212i i z z i i+-⋅=，计算得到答案. 【详解】根据题意12z i =+，212z i =-，故()()122124334i i z z ii i i i+-⋅-===--. 故选：A.【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力. 2. 已知集合{|20}A x x =-≥，{|ln(1)}B x y x =∈=+Z ，则A B =A. [1,2]-B. (1,2]-C. {0,1,2}D.{1,0,1,2}-【答案】C 【解析】【详解】因为{|20}{|2}A x x x x =-≥=≤，{|ln(1)}{|1}B x y x x x =∈=+=∈>-Z Z ，所以{0,1,2}AB =.故选C ．高考3. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若41012222a a a ++=，则14S =（ ） A .56B. 66C. 77D. 78【答案】C 【解析】 【分析】化简得到11411a a +=，代入公式计算得到答案.【详解】()()()()410124104127811422222a a a a a a a a a a a ++=+++=+=+=，故11411a a +=，()1141414772a a S +==.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列求和，确定11411a a +=是解题的关键.4. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令2log 3a =，12211,log 162b c -⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ） A. ()()()f a f b f c << B. ()()()f a f c f b << C. ()()()f b f a f c << D. ()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】 【分析】化简得到()()2f b f =，()()1f c f =，12a <<，根据函数单调性得到答案.【详解】()()()()12142216f b f f f f -⎛⎫⎛⎫ ⎪===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()21log 112f c f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，2221log 2log 3log 42a =<=<=，函数在区间[]1,2上是减函数，故()()()f b f a f c <<. 故选：C.【点睛】本题考查了根据函数单调性比较函数值大小，意在考查学生的计算能力和对于函数性质的灵活运用.5. 若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，则sin 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于（ ） A. 3-5B.35C. 4-5D.45【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到tan 2α，再利用齐次式计算得到答案.【详解】点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，故tan 2α，222222cos sin 1tan 3sin 2cos 22cos sin 1tan 5παααααααα--⎛⎫+====- ⎪++⎝⎭， 故选：A.【点睛】本题考查了三角函数定义，齐次式求值，意在考查学生的计算能力和转化能力. 6. 在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是( )A. 2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌B. 2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高C. 2019年我国居民每月消费价格逐月递增D. 2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降【答案】D【解析】【分析】根据统计折线图以及同比和环比的概念，对四个选项逐个分析可得答案.【详解】根据统计折线图以及同比增长率的概念可知2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比都是上涨的，故A不正确；2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格涨幅最高，不是消费价格最高，故B不正确；2019年我国居民每月消费价格有涨有跌，故C.不正确；2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降，下降了0.4个百分点，故D正确. 故选：D【点睛】本题考查了对统计折线图的分析和理解能力，考查了同比和环比的概念，属于基础题.7. 已知1111114357941π≈-+-+-+，如图是求π的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入（）A. ()1121nin+-=+B. (1)21nin-=+C. ()112nii+-=+D. (1)2nii-=+【答案】B【解析】【分析】根据计算公式：计算数据正负交替，分母为首项是1，公差为2的等差数列，得到答案. 【详解】根据计算公式：计算数据正负交替，分母为首项是1，公差为2的等差数列，故填写(1)21nin-=+.故选：B.【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.8. 已知实数,x y满足约束条件2202201,1x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩，则2x y+的取值X围是A. (3,6]- B. [3,6]- C. 3(,6]2-D. 3[,6]2-【答案】B 【解析】【详解】作出不等式组2202201,1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设2z x y =+，则2y x z =-+，平移该直线，当直线2y x z =-+经过点A 时，z 取到最大值，由220220x y x y -+=⎧⎨--=⎩得22x y =⎧⎨=⎩，即(2,2)A ，则max 426=+=z ；当直线2y x z =-+经过点C 时，z 取到最小值，易得(1,1)C --，则min 213=--=-z ，所以2x y +的取值X 围是[3,6]-.故选B ．9. 函数1()ln ||1xf x x+=-的图象大致为（ ） A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】判断出函数为奇函数,即排除B;代入特殊点后又能排除两个选项,即可得到正确答案. 【详解】由题可得函数()f x 的定义域为{|1}x x ≠±.因为1()ln ||1x f x x --==+1ln ||()1xf x x+-=-- 所以函数()f x 为奇函数,排除选项B;又(1.1)ln 211f =>,(3)ln 21f =<，所以排除选项A 、C 故选:D.【点睛】本题考查了函数的图像,考查了对数的运算.在选择正确的函数图像时,一般都不是直接画函数图像,而是运用排除法.首先判断函数的定义域、奇偶性、单调性进行排除,然后代入特殊点,进行排除.10. 2019年10月1日，中华人民某某国成立70周年，举国同庆.将2，0，1，9，10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（ ） A. 72 B. 84 C. 96 D. 120【答案】B 【解析】 【分析】先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有96种，其中1和0排在一起形成10和原来的10有重复，共有12种，得到答案.【详解】先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有144496C A ⋅=种，其中1和0排在一起形成10和原来的10有重复，考虑1和0相邻时，且1在0的左边，和剩余数字共有4！=24种排法， 其中一半是重复的，故此时有12种重复. 故共有961284-=种. 故选：B.【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.11. 已知1F，2F是椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点，过2F的直线交椭圆于,P Q两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF依次构成等差数列，且1||PQ PF=，则椭圆C的离心率为（）A.23B.34C. 155D. 105【答案】D【解析】【分析】设2211||,||,||,||QF PF PF QF依次构成等差数列{}n a，其公差为d，可得12344a a a a a+++=，及123a a a+=，进而可求得1234,,,a a a a的表达式，然后在12PF F△和1PFQ中，利用余弦定理得到12cos F PF∠的表达式，进而可求出离心率的值.【详解】如图所示，设2211||,||,||,||QF PF PF QF依次构成等差数列{}n a，其公差为d.根据椭圆定义得12344a a a a a+++=，又123a a a+=，则1111111()(2)(3)4()2a a d a d a d aa a d a d++++++=⎧⎨++=+⎩，解得25d a=，12342468,,,5555a a a a a a a a====.所以18||5QF a=，16||5PF a=，24||5PF a=，6||5PQ a=.在12PF F△和1PFQ中，由余弦定理得2222221246668()()(2)()()()55555cos 4666225555a a c a a a F PF a a a a +-+-∠==⨯⨯⨯⨯， 整理得22715a c =,则c e a ==. 故选：D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，考查椭圆定义的应用，考查等差数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.12. 已知0x =是函数()(tan )f x x ax x =-的极大值点，则a 的取值X 围是（ ） A. (],1-∞- B. (,1]-∞C. [0,)+∞D. [1,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】求导得到()22tan cos xf x ax x x'=--，导函数为奇函数，根据题意得到()00f ''≤，计算得到答案.【详解】()(tan )f x x ax x =-，则()22tan cos xf x ax x x'=--， 易知()f x '为奇函数，又0x =是函数()(tan )f x x ax x =-的极大值点，故()00f ''≤，()2241cos sin cos 2cos cos x x x xf x a x x+''=--，代入计算得到1a ≤. 易知()f x ''为偶函数，当1a ≤时，取0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()2241cos sin cos 22110cos cos x x x xf x a x x+''=--<--=，故函数()f x '在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()00f '=，满足条件.故选：B.【点睛】本题考查了根据极值点求参数，确定''(0)0f ≤是解题的关键.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅.若()()13,3,1a b =--=,，则a b ⨯=____________.【答案】2 【解析】 【分析】 计算3cos a b a bθ⋅==-⋅得到1sin 2θ=，代入公式得到答案. 【详解】(1a =--,，3,1b，则23cos a b a bθ⋅-===⋅ []0,θπ∈，故1sin 2θ=，故sin 2a b a b θ⨯=⋅⋅=.故答案为：2.【点睛】本题考查了向量的新定义，意在考查学生的计算能力和理解能力. 14. 若2a xdx =⎰，则()51x ay +-的展开式中22x y 的系数为___________.【答案】120- 【解析】 【分析】计算2a =，()521x y +-的展开式的通项为：()()51521rrrr T C x y -+=+⋅-，()52rx y -+的展开式的通项为：()5152mm r mm r T C xy --+-=⋅，计算得到答案.【详解】2220122a xdx x ===⎰，故()521x y +-的展开式的通项为：()()51521rrr r T C x y -+=+⋅-.()52rx y -+的展开式的通项为：()5152mmr mm r T C xy --+-=⋅，取2m =，1r =得到系数为：()2214521120C C ⋅⋅⋅-=-.故答案为：-120.【点睛】本题考查了定积分的计算，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 15. 在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11A D 的中点，若三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为_______________. 【答案】41π 【解析】 【分析】AC 中点1O 为ABC 外心，故球心O 在平面ABC 的投影为1O ，Q 为AD 中点，OM PQ ⊥于M ，连接1QO ，设1OO h =，则()22224R h =+-，()22222R h =+，解得答案.【详解】如图所示：AC 中点1O 为ABC 外心，故球心O 在平面ABC 的投影为1O ，QAD 中点，OM PQ ⊥于M ，连接1QO ，OC ，则12MO QO ==，122OC =， 设1OO h =，则()22224R h =+-，()22222R h =+，解得412R =， 故2441S R ππ==. 故答案为：41π.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.16. 已知1(3,0)A -，2(3,0)A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点，双曲线C 的渐近线上存在一点P 满足122||||PA PA =，则b 的最大值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意知：3a =，根据对称性不妨设渐近线为3by x =，设()3,P m bm ，代入计算得到()2227390270b mm +-+=，根据0∆≥得到答案.【详解】根据题意知：3a =，根据对称性不妨设渐近线为3by x =，设()3,P m bm ， 122||||PA PA =，则()()()()2222334334m bm m bm ++=-+，整理得到：()2227390270b mm +-+=，()22904272730b ∆=-⨯⨯+≥，解得4b ≤.故答案为：4.【点睛】本题考查了双曲线中参数的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在平面四边形ABCD 中，2BC =，23CD =，且AB BD DA ==.（1）若6CDB π∠=，求tan ABC ∠的值；（2）求四边形ABCD 面积的最大值. 【答案】（1）3-2）83【解析】【分析】（1）根据正弦定理得到3CBD π∠=，()tan tan ABC ABD CBD ∠=∠+∠，计算得到答案.（2）根据余弦定理得到216BD θ=-，计算3ABCD S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭四边形，计算得到答案.【详解】（1）在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin CD BCCBD BDC=∠∠，∴sin6sin 22CBD π∠==，∵0CBD π<∠<，∴3CBD π∠=或23CBD π∠=， 当23CBD π∠=时，此时、、A B C 三点共线，矛盾 ∴3CBD π∠=，∴()2tan tan tan tan 333ABC ABD CBD πππ⎛⎫∠=∠+∠=+==⎪⎝⎭.（2）设BCD θ∠=，在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD θ=+-⋅(2222216θθ=+-⨯⨯=-，∴11sin sin 22AB BCD BA CD D S S BC C B S D A BD θθ∆∆=+=⋅+⋅四边形 21sin 2BC CD θ=⋅+6cos 3πθθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭当56πθ=时，四边形ABCD 面积的最大值【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB △是等边三角形，BC ⊥AB ，BC CD ==2AB AD ==.（1）若3PB BE =，求证：//AE 平面PCD ； （2）若4PC =，求二面角A PC B --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（225【解析】 【分析】（1）作//EF PC ，交BC 于F ，连接AF ，分别证明//AF 平面PCD ，//EF 平面PCD ，进而可证明平面AEF //平面PCD ，可得//AE 平面PCD ；（2）计算可知222PC PB BC =+，所以BC PB ⊥，结合BC ⊥AB ，可知BC ⊥平面PAB ，从而可知平面PAB ⊥平面ABCD ，在平面PAB 内作Bz ⊥平面ABCD ，以B 点为坐标原点，分别以,,BC BA Bz 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，求出平面BPC 的法向量m ，平面APC 的法向量n ，再结合cos ,m n m n m n⋅=，可求出sin ,m n .【详解】（1）如图，作//EF PC ，交BC 于F ，连接AF . 因为3PB BE =，所以E 是PB 的三等分点，可得12333BF BC ==. 因为2AB AD ==，23BC CD ==AC AC =，所以ABC ADC △≌△， 因为BC ⊥AB ，所以90ADC ABC ∠=∠=︒，因为3tan23ABACBBC∠===，所以30ACB ACD∠=∠=︒，所以60BCD∠=︒，因为tan323ABAFBBF∠===，所以60AFB∠=︒，所以//AF CD，因为AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以//AF平面PCD.又//EF PC，EF⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以//EF平面PCD.因为AF EF F=，AF、EF⊂平面AEF，所以平面AEF//平面PCD ，所以//AE平面PCD .（2）因为PAB△是等边三角形，2AB=，所以2PB=.又因为4PC=，23BC=，所以222PC PB BC=+，所以BC PB⊥.又BC⊥AB，,AB PB⊂平面PAB，AB PB B⋂=，所以BC⊥平面PAB.因为BC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD.在平面PAB内作Bz⊥平面ABCD，以B点为坐标原点，分别以,,BC BA Bz所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz-，则(23,0,0)C，(0,2,0)A，3)P，所以(23,0,0)BC=，3)BP=，(23,2,0)AC=-，(0,3)AP=-.设111(,,)zm x y=为平面BPC的法向量，则m BCm BP⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=，即1113030xy z⎧=+=⎪⎨⎪⎩，令11z =-，可得(0,3,1)m =-.设222(,,)x n y z =为平面APC 的法向量，则00n AC n AP ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪=⎩，即2222200y y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩， 令21z =，可得(1,3,1)n =.所以2c s ,o m n m n m n⋅===⨯，则1sin,m n =-=， 所以二面角A PC B --. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查利用空间向量求二面角，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.19. 2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急.为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下：（1）根据数据用最小二乘法求出y 与x 的线性回归方程y bx a =+（系数用分数表示，不能用小数）；（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测.第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为12，34，35，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为45，23，23.两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的分布列与数学期望.附：（1）1221ni ii ni i x y nx yb a y bx x nx==-==--∑∑,（2）882113471308i i i i i x y x ====∑∑，.【答案】（1）83107340340y x =+（2）分布列见解析，1310【解析】 【分析】（1）直接利用回归方程公式计算得到答案.（2）X 可取0,1,2,3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】（1）2361021131518118x +++++++==，112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==，由公式12221ˆ34781138313088b11340ni ii ni i x y nx yx nx==-⨯⨯==-⨯-=-∑∑， 83107ˆˆ311340340a y bx =-=-⨯=， ∴83107340340y x =+. （2）药品A 的三类剂型123A A A 、、经过两次检测后合格分别为事件123B B B 、、， 则()()()123142321322,,255432535p B P B P B =⨯==⨯==⨯=， 由题意，X 可取0,1,2,3，()()21232190115250p X p B B B ⎛⎫⎛⎫===--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()21231231232122121111125255250p X p B B B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=-⋅+-⋅⋅-⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()212312312321221821125255225p X p B B B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=⋅-+-⋅⋅⋅=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()212321235225p X p B B B ⎛⎫===⋅=⎪⎝⎭. X ∴的分布列为：X123p950 2150 825 22592182130123.5050255010EX =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查了回归方程，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20. 给定椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O ，半径为22a b +的圆是椭圆C 的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为(30)F ,，其短轴上的一个端点到F 的距离为6.（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12,l l 交“准圆”于点,M N . ①当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12,l l 的方程并证明12l l ⊥； ②求证：线段MN 的长为定值.【答案】（1）椭圆方程为22163x y +=，准圆方程为229x y +=；（2）①12:33:l y x l y x =+=-+,，证明见解析；②证明见解析【解析】 【分析】（1）根据题意c a b ===.（2）（ⅰ）设直线为3y kx =+，联立方程计算0∆=得到1k =±，得到答案.（ⅱ）考虑斜率存在和不存在两种情况，设点00(,)P x y ，切线为00()y t x x y =-+，联立方程得到2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=，20122616x t t x -⋅==--，得到直线12l l ，垂直，得到线段MN 为准圆的直径，得到答案.【详解】（1）3c a b ==∴=，∴椭圆方程为22163x y +=，准圆方程为229x y +=. （2）（ⅰ）因为准圆229x y +=与y 轴正半轴的交点为(03)P ，， 设过点(03)P ，且与椭圆相切的直线为3y kx =+， 所以由223163y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(12)12120k x kx +++=.因为直线3y kx =+与椭圆相切，所以22144412(12)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，所以12l l ，方程为33y x y x =+=-+，，121l l k k ⋅=-，12l l ∴⊥.（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l斜率不存在， 则1l ：x=1l ：x =1l与准圆交于点， 此时2l为y =y =，显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l ：x =12l l ，垂直 ②当12l l ，斜率存在时，设点00(,)P x y ，其中22009x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+，所以由0022()163y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2220000(12)4()2()60t x t y tx x y tx ++-+--=.由0∆=化简整理得()22200006230x t x y t y -++-=，因为22009x y +=，所以有2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=.设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=， 所以20122616x t t x -⋅==--，即12l l ，垂直. 综合①②知：因为12l l ，经过点00()P x y ，，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直. 所以线段MN 为准圆229x y +=的直径，6MN ＝，所以线段MN 的长为定值6.【点睛】本题考查了椭圆方程，证明直线垂直，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21. 已知函数()sin axf x e x =.（1）若()f x 在,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上存在单调递增区间，某某数a 的取值X 围； （2）设1a ≥，若0,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，恒有()f x bx ≤成立，求2b e a -的最小值. 【答案】（1）()∞（2）22e π-【解析】 【分析】（1）求导得到()()sin cos axf x e a x x '=+，根据题意得到sin cos 0a x x +>在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则min1tan a x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，计算得到答案.（2）设()()g x f x bx =-，()()()sin cos axh x g x ea x xb ==+-'，计算得到()h x 单调递增，故()21,a g x b ae b π⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦'，讨论1b ≤，2a b ae π≥，21a b ae π<<三种情况，得到b 的取值X 围为22,a e ππ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，设()222a G a e e a ππ=-，根据函数的单调性得到答案.【详解】（1）由()sin axf x e x =，得()()sin cos axf x ea x x '=+，由()f x 在63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上存在单调递增区间，可得()0f x '>在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即sin cos 0a x x +>在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则min 1tan a x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，∴a >∴a 的取值X围为()∞.（2）设()()sin axg x f x bx e x bx =-=-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()sin cos axg x e a x x b =+'-.设()()sin cos axh x ea x xb =+-，则()()21sin 2cos 0ax h x e a x a x ⎡-'⎤=+≥⎣⎦， ∴()h x 单调递增，即()g x '在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ∴()21,a g x b ae b π⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦'.当1b ≤时，()0g x '≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()()00g x g ≥=，不符合题意； 当2ab ae π≥时，()0g x '≤，()g x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()00g x g ≤=，符合题意； 当21a b ae π<<时，由于()g x '为一个单调递增的函数，而()010g b ='-<，202a g ae b ππ⎛⎫='-> ⎪⎝⎭，由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得()00g x '=，从而()g x 在[]00,x x ∈上单调递减，在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，因此只需02g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴22a e b ππ≤，∴22a b e ππ≥，从而222a a eb ae πππ≤<，综上，b 的取值X 围为22,a e ππ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，因此2222ab e a ee a ππ-≥-.设()222aG a ee a ππ=-，则()22aG a e e π-'=，令()0G a '=，则41a π=>，∴()G a 在41,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在4,π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 从而()242e G a G ππ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，∴2b e a -的最小值为22e π-.【点睛】本题考查了根据单调区间求参数，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为8,242x tt y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若射线4πθ=（0ρ>）与直线l 和曲线C 分别交于A ，B 两点，求AB 的值.【答案】（1）40x y +-=（0x ≠），2220x y y +-=；（2. 【解析】 【分析】（1）将直线l 的参数方程消参，即可得直线l 的普通方程，要注意0x ≠；将曲线C 的极坐标方程两边同乘ρ，再将sin y ρθ=，222x y ρ+=代入，即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）先将直线l 的直角坐标方程化为极坐标方程，再将4πθ=（0ρ>）代入直线l 和曲线C的极坐标方程中，可得点A ，B 对应的极径，利用||A B AB ρρ=-计算，即可求解.【详解】（1）由82x t=+得0x ≠， 将8,242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）消去参数t ， 得直线l 的普通方程为40x y +-=（0x ≠）.由2sin ρθ=得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，得2220x y y +-=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=.（2）由（1）可知直线l 的普通方程为40x y +-=（0x ≠）， 化为极坐标方程得cos sin 40ρθρθ+-=（2πθ≠），当4πθ=（0ρ>）时，设A ，B 两点的极坐标分别为,4A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，,4B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，则A ρ=2sin4B πρ==，所以|||A B AB ρρ=-==【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化及参数的几何意义，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于常考题. 23. 已知()|||2|f x x x =+-. （1）求不等式|4|()x f x x>的解集； （2）若()f x 的最小值为M ，且22(,,)a b c M a b c ++=∈R ，求证：22249a b c ++≥.【答案】（1）(,0)(3,)-∞⋃+∞；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分0x <、02x <≤和2x >三种情况，分别解不等式，进而可得出答案； （2）先求出()f x 的最小值，可求出的M 的值，再结合柯西不等式，可证明结论. 【详解】（1）当0x <时，|4|()x f x x>等价于|||2|4x x +->-，该不等式恒成立； 当02x <≤时，()|||2|2f x x x =+-=，则|4|()x f x x>等价于24>，该不等式不成立； 当2x >时，()|||2|22f x x x x =+-=-，则|4|()x f x x >等价于2224x x >⎧⎨->⎩，解得3x >， 所以不等式|4|()x f x x>的解集为：(,0)(3,)-∞⋃+∞. （2）因为()|||2||(2)|2f x x x x x =+-≥--=，当02x ≤≤时取等号，所以2M =，222a b c ++=，由柯西不等式可得22222222224(22)(122)()9()a b c a b c a b c =++≤++++=++，当且仅当244,,999a b c ===时等号成立，所以22249a b c ++≥.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想的应用，考查学生的推理论证能力，属于基础题.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作江西省临川一中2011届高三年级第二次月考数学（理科）试卷命题人：高三数学备课组 满分：150分 时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={0，1，2}且C U A={2}，则集合A 的真子集共有 （ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 2．已知ααππαα2cos 2sin ),,2(,53sin 则且∈=的值等于 （ ）A ．23B ．43C ．—23D ．—433．若q p x q x p ⌝⌝>>+是则,2:,2|1:|成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．下列函数中，在其定义域上是减函数的是 （ ）A ．1)(2++-=x x x fB ．xx f 1)(=C ．||)31()(x x f = D ．)2ln()(x x f -=5．设0.3222,0.3,log (0.3)(1)x a b c x x ===+>，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．b <c <a6．要得到函数2cos()sin()163y x x ππ=+--的图象，只需将函数13sin 2cos 222y x x =+的图象（ ）A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移2π个单位C ．向右平移3π个单位D ．向左平移4π个单位︵ ︵7.在ABC ∆中，已知tansin 2A BC +=，给出以下4个论断： （1）tan cot 1A B = （2）0sin sin 2A B <+≤（3）22sin cos 1A B +=（4）222cos cos sin A B C += 其中正确的是 （ ）A ．（1）（3）B ．（2）（4）C ．（1）（4）D ．（2）（3）8．已知函数()()y f x x R =∈满足()()31f x f x +=+，且x ∈[－1,1]时，()f x x =，则函数()()5log ,0y f x x x =->的零点个数是 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．某宾馆有n(n ∈N )*间标准相同的客房，客房的定价将影响入住率．经调查分析，得出每间客房的定价与每天的入住率的大致关系如下表： 每间客房的定价 220元 200元 180元 160元 每天的住房率50℅60℅70℅75℅对每间客房，若有客住，则成本为80元；若空闲，则成本为40元．要使此宾馆每天的住房利润最高，则每间客房的定价大致应为 （ ）A ．220元B ．200元C ．180元D ．160元10．设函数()sin cos =+f x x x x 的图像在点()(),t f t 处切线的斜率为k ，则函数()=k g t 的图像为（ ）11．如图，圆O 过正方体六条棱的中点),6,5,4,3,2,1(=i A i 此圆被正方体六条棱的中点分成六段弧，记弧1+i i A A 在圆O 中所对的圆心角为)5,4,3,2,1(=i i α，弧16A A 所对的圆心角为6α，则4sin4cos4cos4sin642531αααααα+-+等于 （ ）A ．426- B ．462- C ．426+ D ．426+-12．已知 )(x f 为R 上的可导函数，且)(')(x f x f <和)(x f >0对于R x ∈恒成立,则有（ ）A ．)0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅>⋅<B ．)0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅>⋅>C ．)0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅<⋅>． D ．)0()2010(),0()2(20102f ef f e f ⋅<⋅<二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在题中横线上） 13．已知y x y x y x lg lg 2lg )2lg()lg(++=++-，则=yx ．14．已知2()2cos()2f x x x π=++在[-a,a]（a ＞0）上的最大值与最小值分别为M 、m ，则M+m 的值为15．已知扇形的圆心角为2α（定值），半径为R （定值），分别按图一、二作扇形的内接矩 形，若按图一作出的矩形面积的最大值为21tan 2R α，则按图二作出的矩形面积的最大值为 .16．①命题“若1x ,0232==+-则x x ”的逆否命题为“0231x 2≠+-≠x x ，则若”；②若P 且Q 为假命题，则P 、Q 均为假命题； ③在B A ABC sin sin >∆中， 的充要条件是A>B; ④不等式的解集为x ＋x －1＞a 的解集为R ，则1≤a；⑤点（x ，y ）在映射f 作用下的象是（x2，y21log ），则在f 的作用下，点（1，-1）的原象是（0，2）． 其中真命题的是（写出所有真命题的编号）三、解答题;本大题共6小题，共74分。