浙江版(第01期)-2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编：专题07 不等式(解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年浙江，理1，5分】设全集{|2}U x N x =∈≥，集合2{|5}A x N x =∈≥，则U A =（ ）（A ）∅ （B ）{2} （C ）{5} （D ）{2,5} 【答案】B【解析】2{|5}{|5}A x N x x N x =∈≥=∈≥，{|25}{2}U C A x N x =∈≤<=，故选B ． 【点评】本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题． （2）【2014年浙江，理2，5分】已知i 是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当1a b ==时，22(i)(1i)2i a b +=+=，反之，2(i)2i a b +=，即222i 2i a b ab -+=，则22022a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩ 或11a b =-⎧⎨=-⎩，故选A ．【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题． （3）【2014年浙江，理3，5分】某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是（ ） （A ）902cm （B ）1292cm （C ）1322cm （D ）1382cm【答案】D【解析】由三视图可知直观图左边一个横放的三棱柱右侧一个长方体，故几何体的表面积为：1246234363334352341382S =⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯=，故选D ．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．（4）【2014年浙江，理4，5分】为了得到函数sin3cos3y x x =+的图像，可以将函数2cos3y x =的图像（ ）（A ）向右平移4π个单位 （B ）向左平移4π个单位 （C ）向右平移12π个单位 （D ）向左平移12π个单位【答案】C【解析】sin3cos32sin(3)2sin[3()]412y x x x x ππ=+=+=+，而2cos32sin(3)2y x x π==+=2sin[3()]6x π+，由3()3()612x x ππ+→+，即12x x π→-，故只需将2cos3y x =的图象向右平移12π个单位，故选C ．【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查． （5）【2014年浙江，理5，5分】在64(1)(1)x y ++的展开式中,记m n x y 项的系数(,)f m n ，则(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++=（ ） （A ）45 （B ）60 （C ）120 （D ）210 【答案】C 【解析】令x y =，由题意知(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++即为10(1)x +展开式中3x 的系数，故(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++=710120C =，故选C ． 【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力． （6）【2014年浙江，理6，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++ ，且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤（ ） （A ）3c ≤ （B ）36c <≤ （C ）69c <≤ （D ）9c >【答案】C【解析】由(1)(2)(3)f f f -=-=-得184212793a b c a b c a b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩，解得611a b =⎧⎨=⎩，所以32()611f x x x x c =+++，由0(1)3f <-≤，得016113c <-+-+≤，即69c <≤，故选C ．【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题． （7）【2014年浙江，理7，5分】在同一直角坐标系中，函数()(0)a f x x x =≥，()log a g x x =的图像可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】D【解析】函数()(0)a f x x x =≥，()log a g x x =分别的幂函数与对数函数答案A 中没有幂函数的图像, 不符合；答案B 中，()(0)a f x x x =≥中1a >，()log a g x x =中01a <<，不符合；答案C 中，()(0)a f x x x =≥中01a <<，()log a g x x =中1a >，不符合；答案D 中，()(0)a f x x x =≥中01a <<，()log a g x x =中01a <<，符合，故选D ．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．（8）【2014年浙江，理8，5分】记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，y,min{,}x,x yx y x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）（A ）min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤ （B ）min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥ （C ）2222max{||,||}||||a b a b a b +-≤+ （D ）2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+【答案】D【解析】由向量运算的平行四边形法可知min{||,||}a b a b +-与min{||,||}a b 的大小不确定，平行四边形法可知max{||,||}a b a b +-所对的角大于或等于90︒ ，由余弦定理知2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+， （或22222222||||2(||||)max{||,||}||||22a b a b a b a b a b a b ++-++-≥==+），故选D ． 【点评】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将a ，b ，a b +，a b -放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法，也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时“排除法”，“确定法”，“特殊值”代入法等也许是一种更快速，更有效的方法．（9）【2014年浙江，理9，5分】已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球(3,3)m n ≥≥，从乙盒中随机抽取(1,2)i i =个球放入甲盒中．（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=； （b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =．则（ ）（A ）1212,()()p p E E ξξ><（B ）1212,()()p p E E ξξ<>（C ）1212,()()p p E E ξξ>>（D ）1212,()()p p E E ξξ<< 【答案】A【解析】解法一：11222()m n m np m n m n m n +=+⨯=+++ ，211222221233n m n m m n m n m nC C C C p C C C +++=++=223323()(1)m m mn n n m n m n -++-++-， ∴1222()m n p p m n +-=+－223323()(1)m m mn n n m n m n -++-++-=5(1)06()(1)mn n n m n m n +->++-，故12p p >．又∵1(1)n P m n ξ==+，1(2)m P m n ξ==+，∴12()12n m m nE m n m n m nξ+=⨯+⨯=+++，又222(1)(1)()(1)n m n C n n P C m n m n ξ+-===++-，11222(2)()(1)n m m n C C mnP C m n m n ξ+===++-，222(m 1)(3)()(1)m m n C m P C m n m n ξ+-===++- ∴2(1)2(1)()123()(1)()(1)()(1)n n mn m m E m n m n m n m n m n m n ξ--=⨯+⨯+⨯++-++-++-=22334()(1)m n m n mn m n m n +--+++- 21()()E E ξξ-=22334()(1)m n m n mn m n m n +--+++-－2m n m n ++=(1)0()(1)m m mnm n m n -+>++-，所以21()()E E ξξ>，故选A ．解法二：在解法一中取3m n ==，计算后再比较，故选A ．【点评】正确理解()1,2i i ξ=的含义是解决本题的关键．此题也可以采用特殊值法，不妨令3m n ==，也可以很快求解．（10）【2014年浙江，理10，5分】设函数21()f x x =，22()2()f x x x =-，31()|sin 2|3f x x π=，99i ia =，0,1,2i =，,99，记10219998|()()||()()||()()|k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++-，1,2,3k =，则（ ） （A ）123I I I << （B ）213I I I << （C ）132I I I << （D ）321I I I << 【答案】B【解析】解法一：由22112199999999i i i --⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2111352991199()199999999999999I ⨯-=++++==，由2211199(21)22||999999999999i i i i i ----⎛⎫⎛⎫--+=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2150(980)98100221992999999I +=⨯⨯⨯=<⨯， 3110219998(|sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)|)3999999999999I ππππππ=-+-++-=12574[2sin(2)2sin(2)]139999ππ->，故213I I I <<，故选B ． 解法二：估算法：k I 的几何意义为将区间[0,1]等分为99个小区间，每个小区间的端点的函数值之差的绝对值之和．如图为将函数21()f x x =的区间[0,1]等分为4个小区间的情形，因1()f x 在[0,1]上递增，此时110213243|()()||()()||()()||()()|I f a f a f a f a f a f a f a f a =-+-+-+- =11223344A H A H A H A H +++(1)(0)f f =-1=，同理对题中给出的1I ，同样有11I =；而2I 略小于1212⨯=，3I 略小于14433⨯=，所以估算得213I I I <<，故选B ．【点评】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．（11）【2014年浙江，理11，5分】若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是 ． 【答案】6【解析】第一次运行结果1,2S i ==；第二次运行结果4,3S i ==；第三次运行结果11,4S i ==；第四次运行结果26,5S i ==；第五次运行结果57,6S i ==；此时5750S =>，∴输出6i =．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．（12）【2014年浙江，理12，5分】随机变量ξ的取值为0,1,2，若1(0)5P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ= ．【答案】25 【解析】设1ξ=时的概率为p ，ξ的分布列为： 由11()012(1)155E p p ξ=⨯+⨯+⨯--= ，解得35p =ξ的分布列为即为故2221312()(01)(11)(21)5555E ξ=-⨯+-⨯+-⨯=．【点评】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式．（13）【2014年浙江，理13，5分】当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是 __．【答案】3[1,]2【解析】解法一：作出不等式组240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示的区域如图，由14ax y ≤+≤恒成立，故3(1,0),(2,1),(1,)2A B C ，三点坐标代入14ax y ≤+≤，均成立得1412143142a a a ⎧⎪≤≤⎪≤+≤⎨⎪⎪≤+≤⎩解得312a ≤≤ ，∴实数a 的取值范围是3[1,]2．解法二：作出不等式组240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示的区域如图，由14ax y ≤+≤得，由图分析可知，0a ≥且在(1,0)A 点取得最小值，在(2,1)B 取得最大值，故1214a a ≥⎧⎨+≤⎩，得312a ≤≤，故实数a 的取值范围是3[1,]2．【点评】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题．（14）【2014年浙江，理14，5分】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 种（用数字作答）． 【答案】60【解析】解法一：不同的获奖分两种，一是有一人获两张奖券，一人获一张奖券，共有223436C A =， 二是有三人各获得一张奖券，共有3424A =，因此不同的获奖情况共有362460+=种． 解法二：ξ 0 1 2 P 15p 115p -- ξ 0 1 2P 15 35 15将一、二、三等奖各1张分给4个人有3464=种分法，其中三张奖券都分给一个人的有4种分法， 因此不同的获奖情况共有64460-=种．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．（15）【2014年浙江，理15，5分】设函数22,0(),0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若(())2f f a ≤，则实数a 的取值范围是 ．【答案】(,2]-∞．【解析】由题意2()0()()2f a f a f a <⎧⎨+≤⎩或2()0()2f a f a ≥⎧⎨-≤⎩，解得()2f a ≥-∴当202a a a <⎧⎨+≥-⎩或202a a ≥⎧⎨-≥-⎩，解得2a ≤．【点评】本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．（16）【2014年浙江，理16，5分】设直线30x y m -+=(0m ≠) 与双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）两条渐近线分别交于点A ，B ．若点(,0)P m 满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是 ．【答案】52【解析】解法一：由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为b y x a =和by x a =-，分别与直线l ： 30x y m -+= 联立方程组，解得，(,)33am bm A a b a b ----，(,)33am bmB a b a b -++，设AB 中点为Q ，由||||PA PB = 得，则3333(,)22am am bm bma b a b a b a b Q ---++-+-+，即2222223(,)99a m b m Q a b a b ----，PQ 与已知直线垂直，∴1PQ lk k =-，即222222319139b m a b a m m a b --=----， 即得2228a b =，即22228()a c a =-，即2254c a =，所以52c e a ==．解法二：不妨设1a =，渐近线方程为222201x y b -=即2220b x y -=，由222030b x y x y m ⎧-=⎨-+=⎩消去x ，得2222(91)60b y b my b m --+=，设AB 中点为00(,)Q x y ，由韦达定理得：202391b my b =-……① ，又003x y m =-，由1PQ l k k =-得00113y x m =--，即得0011323y y m =--得035y m =代入①得2233915b m m b =-，得214b =，所以22215144c a b =+=+=，所以52c =，得52c e c a ===．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． （17）【2014年浙江，理17，5分】如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若15AB m =，25AC m =，30BCM ∠=︒，则tan θ的最大值是 （仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角）． 【答案】539【解析】解法一：∵15cm AB =，25cm AC =，90ABC ∠=︒，∴20cm BC =，过P 作PP BC '⊥，交BC 于P '，1︒当P 在线段BC 上时，连接AP '，则'tan 'PP AP θ=，设BP x '=，则20CP x '=-，（020x ≤<）由30BCM ∠=︒，得3''tan 30(20)3PP CP x =︒=-． 在直角ABP ∆'中，2'225AP x =+ ∴2'320tan '3225PP x AP x θ-==+，令220225xy x -=+，则函数在[]0,20x ∈单调递减，∴0x =时，tan θ取得最大值为232002034334592250-==+ 2︒当P 在线段CB 的延长线上时，连接AP '，则'tan 'PP AP θ=，设BP x '=， 则20CP x '=+，（0x >）由30BCM ∠=︒，得3''tan 30(20)3PP CP x =︒=+，在直角ABP ∆'中，2'225AP x =+，∴2'320tan '3225PP xAP x θ+==+，令220225x y x +=+，则2222520'(225x )225xy x -=++，∴当225450204x <<=时'0y >；当454x >时'0y <， 所以当454x =时max 2452054345225()4y +==+，此时454x =时，tan θ取得最大值为3553339=， 综合1︒，2︒可知tan θ取得最大值为539． 解法二：如图以B 为原点，BA 、BC 所在的直线分别为x ，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵15cm AB =，25cm AC =，90ABC ∠=︒，∴20cm BC =，由30BCM ∠=︒，可设3(0,,(20))3P x x -（其中20x ≤），'(0,,0)P x ，(15,0,0)A ， 所以2223(20)'3203tan '315225x PP x AP x xθ--===++，设2320(x)tan 3225xf x θ-==+(20x ≤)，22322520'(x)3(225)225xf x x +=-++，所以，当22545204x <-=- 时'0y >；当45204x -<≤时'0y <，所以当454x =-时max 24520453534()()43945225()4f x f +=-==+，所以tan θ取得最大值为539． 解法三： 分析知，当tan θ取得最大时，即θ最大，最大值即为平面ACM 与地面ABC 所成的锐二面角的度量值，如图，过B 在面BCM 内作BD BC ⊥交CM 于D ， 过B 作BH AC ⊥于H ，连DH ，则BHD ∠即为平面ACM 与地面ABC 所成 的二面角的平面角，tan θ的最大值即为tan BHD ∠，在Rt ABC ∆中，由等面积法可得15201225AB BC BH AC ===，203tan303DB BC =︒=， 所以max 203533(tan )tan 129DB BHD BH θ=∠===．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 三、解答题：本大题共5题，共72分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（18）【2014年浙江，理18，14分】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知,3a b c ≠=，22cos cos 3sin cos 3sin cos A B A A B B -=-．（1）求角C 的大小；（2）若4sin 5A =，求ABC ∆的面积． 解：（1）由题得1cos21cos233sin 2sin 22222A B A B ++-=-，即3131sin 2cos2sin 2cos22222A AB B -=-， sin(2)sin(2B )66A ππ-=-，由a b ≠得A B ≠，又(0,)A B π+∈ ，得22B 66A πππ-+-=， 即23A B π+=，所以3C π=．（2）3c =，4sin 5A =，sin sinC a c A =，得85a =，由a c < 得A C <，从而3cos 5A =， 故sin sin()B AC =+=433sinAcosC cosAsinC 10++=，所以，ABC ∆的面积为18318sin 225S ac B +==．【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题． （19）【2014年浙江，理19，14分】已知数列{}n a 和{}n b 满足123(2)(*)n b n a a a a n N =∈．若{}n a 为等比数列，且1322,6a b b ==+．（1）求n a 与n b ；（2）设11(*)n n n c n N a b =-∈．记数列{}n c 的前n 项和为n S ．（ⅰ）求n S ；（ⅱ）求正整数k ，使得对任意*n N ∈均有k n S S ≥．解：（1）∵123(2)(*)n b n a a a a n N =∈ ①，当2n ≥，*n N ∈时，11231(2)n b n a a a a --=②，由①÷②知：当2n ≥时，1(2)n n b b n a --=，令3n =，则有323(2)b b a -=，∵326b b =+，∴38a =．∵{}n a 为等比数列，且12a =，∴{}n a 的公比为q ，则2324aq a ==，由题意知0n a >，∴0q >，∴2q =．∴*2nn a n N ∈＝（）．又由123(2)(*)n b n a a a a n N =∈，得：1232222(2)n b n ⨯⨯⨯⨯=，即(1)22(2)n n n b +=，∴*1n b n n n N =+∈（）（）． （2）（ⅰ）∵1111111()2(1)21n n n n n c a b n n n n =-=-=--++， ∴123n n S c c c c =++++=2111111111()()()21222321n n n --+--++--+ =21111(1)2221n n +++--+ =111121n n --++=1112n n -+． （ⅱ）因为10c =，20c >，30c >，40c >；当5n ≥时，1(1)[1](1)2n nn n c n n +=-+，而11(1)(1)(2)(n 1)(n 2)0222n n n n n n n ++++++--=>，得5(1)5(51)122n n n ++≤<， 所以，当5n ≥时，0n c <，综上，对任意*n N ∈恒有4n S S ≥，故4k =．【点评】本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法．本题计算量较大，思维层次高，要求学生有较高的分析问题解决问题的能力．本题属于难题．（20）【2014年浙江，理20，15分】如图，在四棱锥A BCDE -中，平面ABC ⊥平面BCDE ，90CDE BED ∠=∠=︒，2AB CD ==，1DE BE ==，2AC =．（1）证明：DE ⊥平面ACD ； （2）求二面角B AD E --的大小．解：（1）在直角梯形BCDE 中，由1DE BE ==，2CD =，得2BD BC ==，由2AC =，2AB =得222AB AC BC =+，即AC BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE ， 所以AC DE ⊥，又DE DC ⊥，从而DE ⊥平面ACD ． （2）解法一：作BF AD ⊥，与AD 交于点F ，过点F 作//FG DE ，与AB 交于点G ，连接BG ， 由（1）知DE AD ⊥，则FG AD ⊥，所以BFG ∠就是二面角B AD E --的平面角， 在直角梯形BCDE 中，由222CD BC BD =+，得BD BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCDE ， 得BD ⊥平面ABC ，从而BD AB ⊥，由于AC ⊥平面BCDE ，得AC CD ⊥．在Rt ACD ∆中，由2DC =，2AC =，得6AD =；在Rt AED ∆中，由1ED =，6AD =得7AE =；在Rt ABD ∆中，由2BD =，2AB =，6AD =，得233BF =，23AF AD =，从而23GF =，在ABE ∆，ABG ∆中，利用余弦定理分别可得57cos 14BAE ∠=，23BC =．在BFG ∆中，2223cos 22GF BF BG BFG BF GF +-∠==，所以，6BFG π∠=，即二面角B AD E --的大小为6π． 解法二：以D 的原点，分别以射线DE ，DC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -，如图 所示．由题意知各点坐标如下：(0,0,0)D ，(1,0,0)E ，(0,2,0)C ，(0,2,2)A ，(1,1,0)B ． 设平面ADE 的法向量为111(,,)m x y z =，平面ABD 的法向量为222(,,)n x y z =， 可算得：(0,2,2)AD =--，(1,2,2)AE =--，(1,1,0)DB =，由0m AD m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即11111220220y z x y z ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，可取(0,1,2)m =-，由00n AD n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即22222200y z x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩可取(0,1,2)n =-，于是||33|cos ,|2||||32m n m n m n ⋅<>===⋅⋅．由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B AD E --的大小为6π． 【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．（21）【2014年浙江，理21，15分】如图，设椭圆:22221(0)x y a b a b+=>>动直线l 与椭圆C只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．（1）已知直线l 的斜率为k ，用,,a b k 表示点P 的坐标；（2）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为a b -． 解：（1）解法一：设l 方程为(0)y kx m k =+<，22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：222222222()20b a k x a kmx a m a b +++-=，由于直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，故0∆=，即22220b m a k -+=，解得点P 的坐标为22222222(,)a km b mP b a k b a k -++，又点P 在第一象限，故点P 的坐标为22222222(,)a k b P b a k b a k-++． 解法二：''1P l k =-，得222,b b a k （2几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力．（22）【2014年浙江，理22，14分】已知函数()33()f x x x a a R =+-∈．（1）若()f x 在[]1,1-上的最大值和最小值分别记为(),()M a m a ，求()()M a m a -； （2）设若()24f x b +≤⎡⎤对[]1,1x ∈-恒成立，求3a b +的取值范围．解：（1（2。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=xN x A ，则=A C U （ ）A. ∅B. }2{C. }5{D. }5,2{ （2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 210 6.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c 7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a alog )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b r r 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<< 10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99Λ==i i a i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k-++-+-=Λ，.3,2,1=k 则A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I <<二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.、在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______16.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________0a b >>17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值19（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a nb n 221Λ.若{}na 为等比数列，且.6,2231b b a +==（1）求n a 与n b ；（2）设()*∈-=N n b a c nn n 11。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出学科网的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，zxxk 则=A C U （ ）A. ∅B. }2{C. }5{D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的学科网表面积是A. 902cmB. 1292cmC. 1322cmD. 1382cm4.为了得到函数zxxk x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位 5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ） A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球学科网()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2i i ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为zxxk ()1,2i p i =.则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i i a i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I <<二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的学科网结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，zxxk 14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______ 16.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 学科网已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值三．解答题：本大题共5小题，共72分。

数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学(理科)本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页,选择题部分1至3页,非选择题部分4至6页.满分150分,考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题卷上作答一律无效. 参考公式：球的表面积公式 柱体的体积公式24πS R = V Sh =球的体积公式其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 33π4V R =台体的体积公式其中R 表示球的半径121(S )3V h S =+锥体的体积公式其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积,13V Sh =h 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积,如果事件A ,B 互斥,那么h 表示锥体的高()()()P A B P A P B +=+选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集{|2}U x x =∈Ν≥,集合2{|5}A x x =∈N ≥,则=U A ð( )A .∅B .{2}C .{5}D .{2,5}2.已知i 是虚数单位a ,b ∈R ,则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件3.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示,则此几何体的表面积是 ( )A .290cmB .2129cmC .2132cmD .2138cm4.为了得到函数sin3cos3y x x =+的图象,可以将函数y x =的图象( )A .向右平移π4个单位 B .向左平移π4个单位 C .向右平移π12个单位D .向左平移π12个单位5.在64(1)(1)x y ++的展开式中,记m n x y 项的系数为(,)f m n ,则(3,0)(2,1)(1,2)f f f ++(0,3)f +=( )A .45B .60C .120D .2106.已知函数32()f x x ax bx c =+++,且0(1)(2)(3)3f f f -=-=-＜≤,则( )A .3c ≤B .36c ＜≤C .69c ＜≤D .9c ＞7.在同一直角坐标系中,函数()(0)a f x x x =>,()log a g x x =的图象可能是( )A.B.C. D.8.记,,max{,},,x x y x y y x y ⎧=⎨⎩≥＜,,min{,},,y x y x y x x y ⎧=⎨⎩≥＜设a ,b 为平面向量,则( )A .min{|a +b |,|a -b |}min{≤|a |，|b |}B .min{|a +b |,|a -b |}min{≥|a |,|b |}C .max{|a +b |2,|a -b |2}≤|a |2+|b |2D .max{|a +b |2,|a -b |2}≥|a |2+|b |29.已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(3,3)m n ≥≥,从乙盒中随机抽取(1,2)i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=； （b ）放入i 个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =. 则( )A .12p p >,12()()E E ξξ<B .12p p <,12()()E E ξξ>C .12p p >,12()()E E ξξ>D .12p p <,12()()E E ξξ<10.设函数21()f x x =,22()2()f x x x =-,31()|sin 2π|3f x x =,99i ia =,0,1,2,,99i =⋅⋅⋅.记10219998|()()||()()||()()|k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-+⋅⋅⋅+-,1,2,3k =,则 ( )A .123I I I <<B .213I I I <<C .132I I I <<D .321I I I <<-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题,每小题4分,共28分.11.若某程序框图如图所示,当输入50时,则该程序运行后输出的结果是.12.随机变量ξ的取值为0,1,2.若1(0)5Pξ==,()1Eξ=,则()Dξ=.13.若实数x,y满足240,10,1,x yx yx+-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥时,14ax y+≤≤恒成立,则实数a的取值范围是.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有种（用数字作答）.15.设函数22, 0,(), 0,x x xf xx x⎧+⎪=⎨-⎪⎩＜≥若(())2f f a≤,则实数a的取值范围是.16.设直线30(0)x y m m-+=≠与双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的两条渐近线分别交于点A,B.若点(,0)P m满足||||PA PB=,则该双曲线的离心率是.17.如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若15mAB=,25mAC=,30BCM∠=o,则tanθ的最大值是（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）.三、解答题：本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本小题满分14分）在ABC△中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a b≠,3c=,22cos cos3sin cos3sin cosA B A A B B-=-.（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若4sin5A=,求ABC△的面积.19.（本小题满分14分）已知数列{}na和{}nb满足*123(2)()nbna a a a n⋅⋅⋅=∈Ν.若{}na为等比数列,且12a=,326b b=+.（Ⅰ）求na与nb；（Ⅱ）设*11()nn nc na b=-∈Ν.记数列{}nc的前n项和nS.（ⅰ）求nS；（ⅱ）求正整数k,使得对任意*()n∈Ν均有k nS S≥.20.（本小题满分15分）如图,在四棱锥A BCDE-中,平面ABC⊥平面BCDE,90CDE BED∠=∠=o,2AB CD==,1DE BE==,2AC=.（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B AD E--的大小.21.（本小题满分15分）如图,设椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>,动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.（Ⅰ）已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线1l与l垂直,证明：点P到直线1l的距离的最大值为a b-.22.（本小题满分14分）已知函数3()3||()f x x x a a=+-∈R.（Ⅰ）若()f x在[1,1]-上的最大值和最小值分别记为()M a,()m a,求()()M a m a-；（Ⅱ）设b∈R.若2[()]4f x b+≤对[1,1]x∈-恒成立,求3a b+的取值范围.数学试卷第4页（共18页）数学试卷第5页（共18页）数学试卷第6页（共18页）数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页） 数学试卷 第9页（共18页）2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）答案解析选择题部分一、选择题 1.【答案】B【解析】∵[)A =-∞+∞U ，∴{2}U A =ð.选B. 【提示】先化简集合A ，结合全集，求得U A ð. 【考点】集合的基本运算 2.【答案】A【解析】若1a b ==，则2(i)2i a b +=，所以前者是后者的充分条件.若2(i)2i a b +=，则1a b ==或1a b ==-，所以后者是前者的不必要条件.选A.【提示】给出两等式，判断两者之间的关系. 【考点】充分、必要条件 3.【答案】D【解析】可知该几何体由一个三棱柱和一个长方体组合而成， 长方体的表面积1342362462108S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，三棱柱的表面积21432433335482S =⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯=所以该几何体的表面积为10848213833-⨯=⨯+2cm .选D.【提示】给出三视图，判断空间几何体的直观图，判断其构成，再根据公式求解. 【考点】简单几何体的表面积 4.【答案】C【解析】sin3cos3y x x =+可化为3412y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以将3y x =向右平移12π个单位即可得到sin3cos3y x x =+的图象.【提示】给出三角函数的解析式，利用两角和差的公式将其化成正弦型三角函数，再根据已给出的正弦型三角函数的解析式，观察两者之间的关系. 【考点】两角和与差的公式，三角函数的图象的平移 5.【答案】C【解析】6(1)x +的通项公式1r T +r 66C r x -=，同理4(1)y +的通项公式t 1T +=44C t ty -，令6r m -=，4t n -=，求出3322x y x y xy，，，的系数即(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)2046036120f f f f +++==+++.故选C.【提示】给出两式相乘的形式，利用二项式通项公式代入求值. 【考点】二项式定理的应用 6.【答案】C【解析】(1)12f a b c -=-+-+，(2)842f a b c -=-+-+，(3)2793f a b c -=-+-+，由(1)(2)3f f -=-=-（）得，611a b ==，，∴32()611f x x x x c =+++∵0(1)3f ≤-≤，把(1)f -代入()f x 得c 的取值范围是69c <≤.故选C.【提示】给出函数和条件，根据条件代入求值得出a ，b ，代入函数，得出关于c 的不等式，求出c 的取值范围. 【考点】函数和不等式结合 7.【答案】D【解析】只有选项D 符合，此时01a <<，幂函数()f x 在(0,)+∞上为增函数， 且当(0,1)x ∈时，()f x 的图像在直线y x =的上方，对数函数()g x 在(0,)+∞上为减函数.选D.【提示】给出幂函数和指数函数的函数表达式，画出同一直角坐标系中的图像. 【考点】幂函数与对数函数的图像 8.【答案】D【解析】对于A ，当0a =r ，0b ≠r时，不等式不成立；对于B ，当0a b =≠r r时，不等式不成立；对于C 、D ，设a b =，构造平行四边形OACB ，根据平行四边形法则，AOB ∠与OBC ∠至少有一个大于或等于90︒，根据余弦定理，22max{||,||}||||a b a b a b +-≥+r r r r r r 成立.选D. 【提示】给出新定义，根据条件判断正误. 【考点】向量运算 9.【答案】A 【解析】方法一：不妨取3m n ==此时，132313,62624p =⨯+⨯=21213332322266632123333C C C p C C C C =⨯+⨯+⨯=则12p p >；1333()12662E ξ=⨯+⨯=，212133323222666()1232C C C E C C C C ξ=⨯+⨯+⨯=，则12()()E E ξξ<.故选A.方法二：1212,222()m n m n p m n m n m n +=⨯+⨯=+++ 21122222321333m m n n m n m n m n C C C C p C C C +++=⨯+⨯+⨯=223343()(1)m m mn n n m n m n -++-++-，则12(1)06()(1)6()n m n np p m n m n m n +--==>++-+12()=12,n m m nE m n m n m nξ+⨯+⨯=+++21122222C C C C ()123C C C n m n mm n m n m n E ξ+++=⨯+⨯+⨯=223343()(1)m m mn n n m n m n -++-++-212()()0()(1)m m mnE E m n m n ξξ-+--=<++-.选A.【提示】首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当1ξ=时，有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒；2ξ=时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公式及分布列知识求出1p ，2P 和1()E ξ，2()E ξ进行比较即可. 【考点】概率的计算10.【答案】B【解析】对于1I ，由于222121(1,299)999999i i i i --⎛⎫⎛⎫-==⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2122199(1352991)1;9999I =+++⋅⋅⋅+⨯-==对于2I ，由于2112|()()|99999999i i i i ----+= 22|1002|(1,2,99),99i i -=⋅⋅⋅故22250(980)2992I +=⨯⨯=222100989911.9999⨯-=< 3110219998sin(2)sin(2)sin(2)sin(2)sin(2)sin(2)3999999999999I =π⨯-π⨯+π⨯-π⨯+⋅⋅⋅+π⨯-π⨯数学试卷 第10页（共18页） 数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）故213I I I <<选B.【提示】给出数学概念新定义，比较1,2,3k =时，函数值的大小. 【考点】函数概念的新定义非选择题部分二、填空题 11.【答案】6【解析】第一步：0i 12i 1i i 12S S S ===+==+=，，，，； 第二步：1i 24i 3S S ====，，，； 第三步：4i 3,11i 4S S ====，，； 第四步：11i 557i 6S S ====，，，， 跳出循环，所以i 6=【提示】给出循环结构的程序框图，根据条件输出结果. 【考点】循环结构的程序框图12.【答案】25【解析】令(1)P x ξ==，(2)P y ξ==，则14155x y +=-=，2 1.x y += 解得1535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()D ξ=2221312(01)(11)(21)5555-+-+-=.【提示】给出ξ取值的部分概率和期望，求ξ的方差. 【考点】离散型随机变量的期望和方差13.【答案】31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，图中0(1)A ，，1(2)B ，，31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭. 当0a ≤时，032y ≤≤，12x ≤≤，所以14ax y ≤≤＋不可能恒成立； 当0a >时，借助图像得，当直线z ax y =+过点A 时z 取得最小值，当直线z ax y =+过点B 或C 时z 取得最大值，故14,1214,314,2a a a ⎧⎪≤≤⎪≤+≤⎨⎪⎪≤+≤⎩解得132a ≤≤.故31,2a ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦.【提示】给出不等式组和一个关于a 的不等式，求实数a 的取值范围. 【考点】二元规划与不等式结合 14.【答案】60【解析】分两种情况：一种是有一人获得两张奖券，一人获得一张奖券，有223436C A =种；另一种是三人各获得一张奖券，有3424A =种.故共有60种获奖情况.【提示】结合奖券实例运用排列组合知识计算获奖情况. 【考点】排列组合 15.【答案】(,-∞【解析】函数()f x 的图象如图所示，令()t f A =，则()2f t ≤，由图象知2t ≥-，所以()2f A ≥-，则a ≤【提示】给出分段函数，求解未知数的值. 【考点】分段函数 16.【解析】双曲线的渐近线为ay x b=±，渐近线与直线30x y m -+= 的交点为,33am bm A a b a b -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，,33am bm B a b a b --⎛⎫⎪--⎝⎭.设AB 的中点为D ，由||||PA PB =知AB 与DP 垂直，则223,(3)(3)(3)(3)a m b mD a b a b a b a b ⎛⎫-- ⎪+-+-⎝⎭，3DP k =-，解得224a b =，故. 【提示】给出直线与双曲线的方程，求双曲线的离心率. 【考点】直线与双曲线的位置关系17.【解析】由勾股定理得20BC =m.如图，过P 点作PD BC ⊥于D ，连接AD ，则由点A 观察点P 的仰角PAD θ=∠，tan PDAD θ=.设PD x =，则DC =，BD =， 在Rt ABD △中，AD ==所以tan θ===≤故tan θ.数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）【提示】给出实例，求出角的大小进而求出正切值. 【考点】结合实际求角的正切值 三、解答题18.【答案】（1）π（2）S =【解析】（1）由题意得，1cos21cos22222A B A B ++--，112cos22cos222A AB B -=-，sin(2)sin(2)66A B ππ-=-，由a b ≠得A B ≠，又(0,)A B +∈π，得2266A B ππ-+-=π，即23A B π+=，所以3Cπ=；（2）由c =，2[()]4f x b +≤，sin sin a c A C =得85a =， 由a c <，得A C <，从而3cos 5A =，故()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=， 所以ABC △的面积为1sin 2S ac B =. 【提示】给出未知函数运用诱导公式和两角和与差的公式、正弦定理等进行化简求三角形中的角.【考点】两角和与差的公式，正弦定理19.【答案】（1）*2()n n a n =∈N*(1)()n b n n n =+∈N（2）（i ）11()12n n S n n *=-∈+N （ii ）4k =【解析】（1）由题意，*12()n b k a a a n =∈N L ，326b b -=，知3238b b a -==，又由12a =，得公比2q =（2q =-舍去），所以数列{}n a 的通项公式为*2()n n a n=∈N ，所以(1)(1)21232n n n n na a a a ++==L ，故数列{}nb 的通项公式为，*(1)()n b n n n =+∈N ；（2）（i ）由（1）知，*11111()21n n n n c n a b n n ⎛⎫=-=--∈ ⎪+⎝⎭N ，所以11()12n n S n n *=-∈+N ； （ii ）因为10c =，20c >，30c >，40c >；当5n ≥时，1(1)1(1)2n nn n c n n +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦， 而11(1)(1)(2)(1)(2)0222n n n n n n n n n ++++++--=>，得5(1)5(51)122n n n ++≤<，所以当5n ≥时，0n c <，综上对任意n *∈N 恒有4n S S ≥，故4k =.【提示】给出已知条件，求等比数列的通项和前n 项和. 【考点】等比数列的性质以及通项公式和前n 项和的运用20.【答案】（1）在直角梯形BCDE 中，由1DEBE ==，2CD =得，BD BC =，由2AC AB ==，则222AB AC BC =+，即AC BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE ，所以AC DE ⊥，又DE DC ⊥，从而DE ⊥平面ACD . （2）方法一：作BF AD ⊥，与AD 交于点F ，过点F 作FG DE ∥，与AE 交于点G ，连结BG ， 如图所示，由（1）知，DE AD ⊥，则FG AD ⊥，所以BFG ∠是二面角B AD E --的平面角，在直角梯形BCDE 中，由222CD BD BC =+，得BD BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCDE ，得BD ⊥平面ABC ，从而BD AB ⊥，由于AC ⊥平面BCDE ，得AC CD ⊥，在RtACD △中，由2CD =，AC =AD = 在RtAED △中，1DE =，AD =AE =在Rt ABD △中，BD =2AB =，AD 得BF ，23AF AD =，从而23GF =，在ABE ABG △，△中，利用余弦定理分别可得2cos 3BAE BG ∠=，在BFG △中，222cos 22GF BF BG BFG BF GF +-∠==g ，所以6BFG π∠=， 即二面角2[()]4f x b +≤的大小是6π.方法二：以D 为原点，分别以射线DE DC ，为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -如图所示，由题意可知各点坐标如下：(0,0,0)D ，(1,0,0)E ，(0,2,0)C ，A ，(1,1,0)B ，设平面ADE 的法向量为111(,,)m x y z =u r ，平面ABD 的法向量为222(,,)n xy z =r，可算得(0,2,AD =-u u u r ，(1,1,0)DB =u u u r ，(1,2,AE =-u u u r，由00m AD m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u r u u u rg ur u u ur g 得，1111102020y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，可取(0,1,m =u r ， 由00n AD n BD ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u r gr u u u r g 得，22220200y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，可取(1,n =-r ，于是||cos ,||m n m n m n〈〉==u r ru r r g u r r ，由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角2[()]4f x b +≤的大小是6π.【提示】考查空间点、线、面位置关系，二面角，证明线面垂直，利用空间向量求解线面垂直和二面角数学试卷 第16页（共18页） 数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）【考点】线面垂直的判定，二面角，空间向量的应用21.【答案】（1）设直线b ∈R 的方程为(0)y kx m k =+<， 由22221y kx m x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得，222222222()20b a k x a kmx a m a b +++-=， 由于直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，故0∆=，即22220b m a k -+=，解得点P 的坐标为22222222,a km b m b a k b a k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 又点P 在第一象限，故点P的坐标为22⎛⎫ ⎝； （2）由于直线1l 过原点O ，且与l 垂直，故直线1l 的方程为0x ky +=，所以点P 到直线1l的距离d =，整理得22d =，因为22222b a k ab k+≥，2222a b ≤=-，当且仅当2b k a=时等号成立，所以点P 到直线1l 的距离的最大值为a b -.【提示】给出椭圆的标准方程，根据直线与椭圆只有一个公共点，联立椭圆和直线的方程，求出交点坐标，并求出该点到某直线的距离.【考点】椭圆的几何性质，点到直线距离，直线与椭圆的位置关系，基本不等式22.【答案】（1）338,(1)134,13()()132,134,(1)a a a a M a m a a a a a ≤-⎧⎪⎛⎫⎪--+-<≤ ⎪⎪⎝⎭-=⎨⎛⎫⎪-++<< ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩ （2）230a b -≤+≤【解析】（1）因为3333,()()33,()x x a x a f x x x a x a ⎧+-≥=⎨-+<⎩，所以2233,()()33,()x x a f x x x a ⎧+≥'=⎨-<⎩，由于11x -≤≤，（i ）当1a ≤-时，有x a ≥，故3()33f x x x a =+-，此时()f x 在(1,1)-上是增函数，因此()(1)43M a f a ==-，()(1)43m a f a =-=--，()()43(43)8M a m a a a -=----=（ii ）当11a -<<时，若(,1)x a ∈，3()33f x x x a =+-，在(,1)a 上是增函数， 若(1,)x a ∈-，3()33f x x x a =-+，在(1,)a -上是减函数，所以()max{(1),(1)}m a f f =-，3()()m a f a a ==，由于(1)(1)62f f a --=-+，因此，当113a -<≤时，3()()34M a m a a a -=--+， 当113a <<时，3()()32M a m a a a -=-++， （iii ）当1a ≥时，有x a ≤，故3()33f x x x a =-+，此时()f x 在(1,1)-上是减函数，因此()(1)23M a f a =-=+，()(1)23m a f a ==-+，故()()23(23)4M a m a a a -=+-+=，综上338,(1)134,13()()132,134,(1)a a a a M a m a a a a a ≤-⎧⎪⎛⎫⎪--+-<≤ ⎪⎪⎝⎭-=⎨⎛⎫⎪-++<< ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩（2）令()()h x f x b =+，则3333,()()33,()x x a b x a h x x x a b x a ⎧+-+≥=⎨-++<⎩，2233,()()33,()x x a h x x x a ⎧+≥'=⎨-<⎩，因为2[()]4f x b +≤，对[1,1]x ∈-恒成立，即(2)2h x -≤≤对[1,1]x ∈-恒成立，所以由（1）知，（i ）当1a ≤－时，()h x 在(1,1)-上是增函数， ()h x 在[1,1]-上的最大值是(1)43h a b =-+，最小值是(1)43h a b -=--+，则432a b --+≥-，且432a b -+≤，矛盾；（ii ）当113a -<≤时，()h x 在[1,1]-上的最大值是(1)43h ab =-+，最小值是3()h a a b =+， 所以32a b +≥-，432a b -+≤，从而323362a a a b a --+≤+≤-且103a <≤，令3()23t a a a =--+，则2()330t a a '=->，()t a 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，故()(0)2t a t >=-，因此230a b -≤+≤，（iii ）当113a <<时，()h x 在[1,1]-上的最大值是(1)32h a b -=++，最小值是3()h a a b =+，所以32a b +≥-，322a b ++≤，解得283027a b -<+≤， （iv ）当1a ≥时，()h x 在[1,1]-上的最大值是(1)32h a b -=++，最小值是(1)23h a b =-++，所以322a b +≤+，322a b +-≥-，解得30a b +=. 综上3a b +的取值范围230a b -≤+≤.【提示】给出函数的表达式，求解在固定区间上的最值，利用函数导数判断函数的单调性，求解代数式的取值范围.【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用。

绝密★启用前2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学第I卷（选择题）一、选择题1）2）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是4）A. B.C. D.5．在的展开式中，记项的系数为，则）A.45B.60C.120D.2106）7）8）9．已知甲盒中仅有1.（a（b1则10．记，则( )第II卷（非选择题）二、填空题110,1,212．________.13．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.14______15则该双曲线的离心率是__________16．如图，.，某目标点.的最大值三、解答题17．在中，内角所对的边分别为.已知，（1（2.18．已知数等比数列，且（1（2（i（ii19．如图，在四棱锥中，平面平面（1（2468101214161820．如图，在第一象限.21.参考答案1．B选B考点：集合运算.2．A【解析】充分不必要条件，故选A考点：充要条件的判断,复数相等.3．Ｄ【解析】有三视图可知，此几何体如下图，故几何体的表面积为34138⨯⨯=D．6810121416考点：三视图,几何体的表面积.4．Ｄ位．考点：三角函数化简,图像平移.5．C【解析】由题意可得234420C +故选C考点：二项式系数. 6． Ｃ【解析】c ，解得考点：求函数解析式,解不等式. 7．Ｄ不符合，考点：函数图像. 8．Ｄ【解析】根据向量运算的几何意义，即三角形法则，},b a b },a b },b a b2222,b a b ab ≥+考点：向量运算的几何意义. 9．Ｃ，，故，，考点：独立事件的概率,数学期望. 10．B 【解析】由，故99＋，由21i -⎫，故909999⨯⨯<，sin +2474sin 2)999999999999ππππππ-+-+-12574B 考点：比较大小. 11【解析】考点：方差.考点：分段函数,求范围.15联立方程组，考点：双曲线的几何性质.16，设x，则x，由得，2x-故2225x+，令，)122225x⋅⋅代2225x+，2225x+考点：解三角形,求最值. 17．（1（2【解析】试题分析：（1可利用降幂公式进行降幂，及倍角公式变形得，移项整理，有两角和与差的三角函数关系，得（2）面积，从而得面积． （1，由得，，又，得（2）故，所以的面积为点评：本题主要考查诱导公式，两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，等基础知识，同时考查运算求解能力．18．（1（2）（i（ii【解析】 试题分析：（1出数列的通项公式为，由数列的通项公式及（2）（i（ii（1）得），所以数通项公所以（2）（i ）由（1）知，，所以（ii点评：本题主要考查等差数列与等比的列得概念，通项公式，求和公式，不等式性质等基础知识，同时考查运算求解能力．19．（1）详见解析；（2【解析】试题分析：（1而由已在直角梯，易从而满足（2用传统方法，也可用向量法，用传统方法，关键是找二面角的平面角，可利用三垂线定理来找，但本题不存在利用三垂线定理的条件，1，利用余两两垂直的直线作为坐标轴，观察几何图形可知，（1）在直角梯，由（2146810121416弦定理分别可得23G，在中，如图所示，由题意可知各点坐标如下：，设平面的法向量为，由得，，可取n ⎪⎩1,1,3cos,m n m n m n⋅〈〉==． 4681012141618点评：本题主要考查空间点，线，面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用 ，同时考查空间想象能力，与推理论证，运算求解能力．20．（1（2）详见解析． 【解析】试题分析：（1）已知直斜率示坐标，由已知椭圆，结合椭圆方程，得，消去得，2，令，得，即2（2，利用点到直线距离公式可得，即即可证明．（1）设直线的方程为，由，消去得，（2）的距离整理得，因为，所以，当且仅当点评：本题主要考查椭圆的几何性质，点单直线距离，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何得基本思想方法，基本不等式应用等综合解题能力。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年浙江，理1，5分】设全集{|2}U x N x =∈≥，集合2{|5}A x N x =∈≥，则U A =( ）(A ）∅ （B ）{2} （C){5} (D){2,5} 【答案】B【解析】2{|5}{|5}A x N x x N x =∈≥=∈≥，{|25}{2}U C A x N x =∈≤<=，故选B ． 【点评】本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题． （2）【2014年浙江，理2，5分】已知i 是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==”是“2(i)2i a b +="的（ ）(A ）充分不必要条件 (B ）必要不充分条件 (C ）充分必要条件 （D)既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当1a b ==时,22(i)(1i)2i a b +=+=，反之，2(i)2i a b +=，即222i 2i a b ab -+=,则22022a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩ 或11a b =-⎧⎨=-⎩，故选A ．【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题． （3）【2014年浙江，理3，5分】某几何体的三视图(单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是（ ） （A ）902cm （B)1292cm （C ）1322cm （D)1382cm【答案】D【解析】由三视图可知直观图左边一个横放的三棱柱右侧一个长方体，故几何体的表面积为:1246234363334352341382S =⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯=，故选D ．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．（4）【2014年浙江，理4，5分】为了得到函数sin3cos3y x x =+的图像,可以将函数2cos3y x =的图像（ )（A ）向右平移4π个单位 (B ）向左平移4π个单位 (C ）向右平移12π个单位 （D ）向左平移12π个单位【答案】C【解析】sin3cos32sin(3)2sin[3()]412y x x x x ππ=+=+=+，而2cos32sin(3)2y x x π==+=2sin[3()]6x π+，由3()3()612x x ππ+→+,即12x x π→-，故只需将2cos3y x =的图象向右平移12π个单位，故选C ．【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用,基本知识的考查． （5）【2014年浙江，理5，5分】在64(1)(1)x y ++的展开式中，记m n x y 项的系数(,)f m n ，则(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++=( ） （A ）45 （B ）60 （C)120 （D ）210 【答案】C 【解析】令x y =，由题意知(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++即为10(1)x +展开式中3x 的系数，故(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++=710120C =，故选C ． 【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用,考查计算能力． （6）【2014年浙江，理6,5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++ ，且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤（ ) （A ）3c ≤ (B ）36c <≤ （C ）69c <≤ （D ）9c >【答案】C【解析】由(1)(2)(3)f f f -=-=-得184212793a b c a b c a b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩，解得611a b =⎧⎨=⎩,所以32()611f x x x x c =+++，由0(1)3f <-≤，得016113c <-+-+≤，即69c <≤，故选C ．【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法,属于基础题． （7）【2014年浙江，理7，5分】在同一直角坐标系中，函数()(0)a f x x x =≥，()log a g x x =的图像可能是（ )（A ） （B ） (C ） （D ）【答案】D【解析】函数()(0)a f x x x =≥，()log a g x x =分别的幂函数与对数函数答案A 中没有幂函数的图像, 不符合；答案B 中，()(0)a f x x x =≥中1a >，()log a g x x =中01a <<，不符合；答案C 中，()(0)a f x x x =≥中01a <<，()log a g x x =中1a >,不符合;答案D 中，()(0)a f x x x =≥中01a <<，()log a g x x =中01a <<,符合,故选D ．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．（8）【2014年浙江，理8,5分】记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，y,min{,}x,x yx y x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量,则（ ）（A)min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤ （B ）min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥ （C ）2222max{||,||}||||a b a b a b +-≤+ （D ）2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+【答案】D【解析】由向量运算的平行四边形法可知min{||,||}a b a b +-与min{||,||}a b 的大小不确定，平行四边形法可知max{||,||}a b a b +-所对的角大于或等于90︒ ,由余弦定理知2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+, （或22222222||||2(||||)max{||,||}||||22a b a b a b a b a b a b ++-++-≥==+),故选D ．【点评】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将a ，b ,a b +，a b -放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法,也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点,有时“排除法"，“确定法”，“特殊值”代入法等也许是一种更快速，更有效的方法．（9)【2014年浙江，理9,5分】已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球(3,3)m n ≥≥，从乙盒中随机抽取(1,2)i i =个球放入甲盒中．（a ）放入i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=； （b ）放入i 个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =．则（ ）（A)1212,()()p p E E ξξ><(B)1212,()()p p E E ξξ<>（C ）1212,()()p p E E ξξ>>（D ）1212,()()p p E E ξξ<< 【答案】A【解析】解法一:11222()m n m np m n m n m n +=+⨯=+++ ，211222221233n m n m m n m n m nC C C C p C C C +++=++=223323()(1)m m mn n n m n m n -++-++-, ∴1222()m n p p m n +-=+－223323()(1)m m mn n n m n m n -++-++-=5(1)06()(1)mn n n m n m n +->++-，故12p p >．又∵1(1)n P m n ξ==+,1(2)m P m n ξ==+，∴12()12n m m nE m n m n m nξ+=⨯+⨯=+++,又222(1)(1)()(1)n m n C n n P C m n m n ξ+-===++-,11222(2)()(1)n m m n C C mnP C m n m n ξ+===++-,222(m 1)(3)()(1)m m n C m P C m n m n ξ+-===++- ∴2(1)2(1)()123()(1)()(1)()(1)n n mn m m E m n m n m n m n m n m n ξ--=⨯+⨯+⨯++-++-++-=22334()(1)m n m n mn m n m n +--+++- 21()()E E ξξ-=22334()(1)m n m n mn m n m n +--+++-－2m n m n ++=(1)0()(1)m m mnm n m n -+>++-，所以21()()E E ξξ>，故选A ．解法二：在解法一中取3m n ==，计算后再比较，故选A ．【点评】正确理解()1,2i i ξ=的含义是解决本题的关键．此题也可以采用特殊值法,不妨令3m n ==,也可以很快求解．（10）【2014年浙江，理10，5分】设函数21()f x x =，22()2()f x x x =-,31()|sin 2|3f x x π=,99i i a =，0,1,2i =，,99，记10219998|()()||()()||()()|k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++-，1,2,3k =，则（ ） （A ）123I I I << （B ）213I I I << （C)132I I I << (D ）321I I I << 【答案】B【解析】解法一：由22112199999999i i i --⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2111352991199()199999999999999I ⨯-=++++==,由2211199(21)22||999999999999i i i i i ----⎛⎫⎛⎫--+=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故2150(980)98100221992999999I +=⨯⨯⨯=<⨯， 3110219998(|sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)|)3999999999999I ππππππ=-+-++-=12574[2sin(2)2sin(2)]139999ππ->，故213I I I <<，故选B ． 解法二：估算法:k I 的几何意义为将区间[0,1]等分为99个小区间，每个小区间的端点的函数值之差的绝对值之和．如图为将函数21()f x x =的区间[0,1]等分为4个小区间的情形，因1()f x 在[0,1]上递增,此时110213243|()()||()()||()()||()()|I f a f a f a f a f a f a f a f a =-+-+-+- =11223344A H A H A H A H +++(1)(0)f f =-1=，同理对题中给出的1I ,同样有11I =；而2I 略小于1212⨯=，3I 略小于14433⨯=，所以估算得213I I I <<，故选B ．【点评】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．（11）【2014年浙江,理11，5分】若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是 ． 【答案】6【解析】第一次运行结果1,2S i ==;第二次运行结果4,3S i ==；第三次运行结果11,4S i ==;第四次运行结果26,5S i ==；第五次运行结果57,6S i ==；此时5750S =>，∴输出6i =．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．（12）【2014年浙江，理12,5分】随机变量ξ的取值为0,1，2，若1(0)5P ξ==，()1E ξ=,则()D ξ= ．【答案】25 【解析】设1ξ=时的概率为p ，ξ的分布列为： 由11()012(1)155E p p ξ=⨯+⨯+⨯--= ,解得35p =ξ的分布列为即为故2221312()(01)(11)(21)5555E ξ=-⨯+-⨯+-⨯=．【点评】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式．(13)【2014年浙江，理13,5分】当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时,14ax y ≤+≤恒成立,则实数a 的取值范围是__．【答案】3[1,]2【解析】解法一：作出不等式组240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示的区域如图,由14ax y ≤+≤恒成立，故3(1,0),(2,1),(1,)2A B C ，三点坐标代入14ax y ≤+≤，均成立得1412143142a a a ⎧⎪≤≤⎪≤+≤⎨⎪⎪≤+≤⎩解得312a ≤≤ ，∴实数a 的取值范围是3[1,]2．解法二：作出不等式组240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示的区域如图，由14ax y ≤+≤得，由图分析可知，0a ≥且在(1,0)A 点取得最小值，在(2,1)B 取得最大值，故1214a a ≥⎧⎨+≤⎩,得312a ≤≤，故实数a 的取值范围是3[1,]2．【点评】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法,训练了不等式组得解法，是中档题．（14)【2014年浙江，理14，5分】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 种（用数字作答）． 【答案】60【解析】解法一：不同的获奖分两种，一是有一人获两张奖券，一人获一张奖券,共有223436C A =, 二是有三人各获得一张奖券，共有3424A =,因此不同的获奖情况共有362460+=种． 解法二:ξ 0 1 2 P 15p 115p -- ξ 0 1 2P 15 35 15将一、二、三等奖各1张分给4个人有3464=种分法,其中三张奖券都分给一个人的有4种分法, 因此不同的获奖情况共有64460-=种．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．（15）【2014年浙江，理15，5分】设函数22,0(),0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若(())2f f a ≤,则实数a 的取值范围是 ．【答案】(,2]-∞．【解析】由题意2()0()()2f a f a f a <⎧⎨+≤⎩或2()0()2f a f a ≥⎧⎨-≤⎩，解得()2f a ≥-∴当202a a a <⎧⎨+≥-⎩或202a a ≥⎧⎨-≥-⎩，解得2a ≤．【点评】本题主要考查分段函数的应用,其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．(16)【2014年浙江，理16，5分】设直线30x y m -+=（0m ≠） 与双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>）两条渐近线分别交于点A ，B ．若点(,0)P m 满足||||PA PB =,则该双曲线的离心率是 ．【答案】52【解析】解法一：由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为b y x a =和by x a =-，分别与直线l ： 30x y m -+= 联立方程组，解得，(,)33am bm A a b a b ----，(,)33am bmB a b a b -++,设AB 中点为Q ，由||||PA PB = 得，则3333(,)22am am bm bma b a b a b a b Q ---++-+-+，即2222223(,)99a m b m Q a b a b ----，PQ 与已知直线垂直，∴1PQ lk k =-,即222222319139b m a b a m m a b --=----， 即得2228a b =，即22228()a c a =-，即2254c a =，所以52c e a ==．解法二:不妨设1a =，渐近线方程为222201x y b -=即2220b x y -=，由222030b x y x y m ⎧-=⎨-+=⎩消去x ，得2222(91)60b y b my b m --+=，设AB 中点为00(,)Q x y ,由韦达定理得：202391b m y b =-……① ，又003x y m =-，由1PQ l k k =-得00113y x m =--，即得0011323y y m =--得035y m =代入①得2233915b m m b =-，得214b =,所以22215144c a b =+=+=,所以52c =，得52c e c a ===．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． (17)【2014年浙江，理17,5分】如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ,需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若15AB m =，25AC m =,30BCM ∠=︒，则tan θ的最大值是 （仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)．【答案】539【解析】解法一：∵15cm AB =，25cm AC =,90ABC ∠=︒，∴20cm BC =，过P 作PP BC '⊥，交BC 于P '，1︒当P 在线段BC 上时,连接AP '，则'tan 'PP AP θ=，设BP x '=，则20CP x '=-，（020x ≤<）由30BCM ∠=︒，得3''tan 30(20)3PP CP x =︒=-． 在直角ABP ∆'中,2'225AP x =+ ∴2'320tan '3225PP x AP x θ-==+，令220225xy x -=+,则函数在[]0,20x ∈单调递减,∴0x =时,tan θ取得最大值为232002034334592250-==+ 2︒当P 在线段CB 的延长线上时,连接AP '，则'tan 'PP AP θ=，设BP x '=, 则20CP x '=+，(0x >)由30BCM ∠=︒,得3''tan 30(20)3PP CP x =︒=+，在直角ABP ∆'中,2'225AP x =+，∴2'320tan '3225PP xAP x θ+==+， 令220225x y x +=+，则2222520'(225x )225xy x -=++，∴当225450204x <<=时'0y >;当454x >时'0y <， 所以当454x =时max 2452054345225()4y +==+，此时454x =时，tan θ取得最大值为3553339=， 综合1︒,2︒可知tan θ取得最大值为539． 解法二：如图以B 为原点，BA 、BC 所在的直线分别为x ，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵15cm AB =，25cm AC =，90ABC ∠=︒,∴20cm BC =，由30BCM ∠=︒，可设3(0,,(20))3P x x -（其中20x ≤),'(0,,0)P x ，(15,0,0)A ，所以2223(20)'3203tan '315225x PP x AP x x θ--===++， 设2320(x)tan 3225x f x θ-==+（20x ≤),22322520'(x)3(225)225xf x x +=-++，所以，当22545204x <-=- 时'0y >；当45204x -<≤时'0y <,所以当454x =-时max 24520453534()()43945225()4f x f +=-==+,所以tan θ取得最大值为539． 解法三： 分析知，当tan θ取得最大时，即θ最大，最大值即为平面ACM 与地面ABC 所成的锐二面角的度量值，如图，过B 在面BCM 内作BD BC ⊥交CM 于D ， 过B 作BH AC ⊥于H ，连DH ，则BHD ∠即为平面ACM 与地面ABC 所成 的二面角的平面角，tan θ的最大值即为tan BHD ∠,在Rt ABC ∆中,由等面积法可得15201225AB BC BH AC ===，203tan303DB BC =︒=， 所以max 203533(tan )tan 129DB BHD BH θ=∠===．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力,属于中档题． 三、解答题：本大题共5题，共72分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（18）【2014年浙江，理18,14分】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知,3a b c ≠=，22cos cos 3sin cos 3sin cos A B A A B B -=-．（1)求角C 的大小;（2）若4sin 5A =，求ABC ∆的面积． 解:（1）由题得1cos21cos233sin 2sin 22222A B A B ++-=-，即3131sin 2cos2sin 2cos22222A AB B -=-, sin(2)sin(2B )66A ππ-=-，由a b ≠得A B ≠，又(0,)A B π+∈ ,得22B 66A πππ-+-=, 即23A B π+=，所以3C π=．（2)3c =,4sin 5A =，sin sinC a c A =，得85a =,由a c < 得A C <，从而3cos 5A =， 故sin sin()B AC =+=433sinAcosC cosAsinC 10++=,所以，ABC ∆的面积为18318sin 225S ac B +==．【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．（19)【2014年浙江，理19，14分】已知数列{}n a 和{}n b 满足123(2)(*)n b n a a a a n N =∈．若{}n a 为等比数列，且1322,6a b b ==+．（1）求n a 与n b ;（2）设11(*)n n n c n N a b =-∈．记数列{}n c 的前n 项和为n S ．（ⅰ）求n S ;（ⅱ）求正整数k ，使得对任意*n N ∈均有k n S S ≥．解：（1）∵123(2)(*)n b n a a a a n N =∈ ①，当2n ≥，*n N ∈时,11231(2)n b n a a a a --=②，由①÷②知：当2n ≥时,1(2)n n b b n a --=，令3n =，则有323(2)b b a -=，∵326b b =+，∴38a =．∵{}n a 为等比数列，且12a =，∴{}n a 的公比为q ,则2324aq a ==，由题意知0n a >，∴0q >，∴2q =．∴*2nn a n N ∈＝（）．又由123(2)(*)n b n a a a a n N =∈，得：1232222(2)n b n ⨯⨯⨯⨯=,即(1)22(2)n n n b +=，∴*1n b n n n N =+∈（）（）． （2）（ⅰ）∵1111111()2(1)21n n n n n c a b n n n n =-=-=--++， ∴123n n S c c c c =++++=2111111111()()()21222321n n n --+--++--+ =21111(1)2221n n +++--+ =111121n n --++=1112n n -+． (ⅱ)因为10c =,20c >,30c >,40c >；当5n ≥时，1(1)[1](1)2n nn n c n n +=-+，而11(1)(1)(2)(n 1)(n 2)0222n n n n n n n ++++++--=>，得5(1)5(51)122n n n ++≤<， 所以，当5n ≥时，0n c <,综上，对任意*n N ∈恒有4n S S ≥，故4k =．【点评】本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想,证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法．本题计算量较大,思维层次高,要求学生有较高的分析问题解决问题的能力．本题属于难题．（20）【2014年浙江，理20，15分】如图,在四棱锥A BCDE -中，平面ABC ⊥平面BCDE ，90CDE BED ∠=∠=︒，2AB CD ==，1DE BE ==，2AC =．（1）证明：DE ⊥平面ACD ； (2）求二面角B AD E --的大小．解:（1）在直角梯形BCDE 中，由1DE BE ==,2CD =，得2BD BC ==,由2AC =，2AB =得222AB AC BC =+，即AC BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCDE ,从而AC ⊥平面BCDE ， 所以AC DE ⊥，又DE DC ⊥,从而DE ⊥平面ACD ． （2）解法一：作BF AD ⊥，与AD 交于点F ，过点F 作//FG DE ,与AB 交于点G ，连接BG ， 由(1)知DE AD ⊥,则FG AD ⊥，所以BFG ∠就是二面角B AD E --的平面角， 在直角梯形BCDE 中，由222CD BC BD =+，得BD BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCDE ， 得BD ⊥平面ABC ，从而BD AB ⊥，由于AC ⊥平面BCDE ，得AC CD ⊥．在Rt ACD ∆中,由2DC =，2AC =，得6AD =；在Rt AED ∆中，由1ED =，6AD =得7AE =；在Rt ABD ∆中，由2BD =，2AB =，6AD =，得233BF =，23AF AD =，从而23GF =，在ABE ∆，ABG ∆中，利用余弦定理分别可得57cos 14BAE ∠=，23BC =．在BFG ∆中,2223cos 22GF BF BG BFG BF GF +-∠==，所以,6BFG π∠=,即二面角B AD E --的大小为6π． 解法二:以D 的原点,分别以射线DE ，DC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -，如图 所示．由题意知各点坐标如下：(0,0,0)D ，(1,0,0)E ，(0,2,0)C ，(0,2,2)A ，(1,1,0)B ． 设平面ADE 的法向量为111(,,)m x y z =，平面ABD 的法向量为222(,,)n x y z =, 可算得：(0,2,2)AD =--，(1,2,2)AE =--，(1,1,0)DB =，由0m AD m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即11111220220y z x y z ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，可取(0,1,2)m =-，由00n AD n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即22222200y z x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩可取(0,1,2)n =-，于是||33|cos ,|2||||32m n m n m n ⋅<>===⋅⋅．由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B AD E --的大小为6π． 【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识,同时考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．（21）【2014年浙江,理21，15分】如图，设椭圆C：22221(0)x y a b a b+=>>动直线l 与椭圆C只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．(1）已知直线l 的斜率为k ，用,,a b k 表示点P 的坐标；（2）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为a b -． 解:(1)解法一：设l 方程为(0)y kx m k =+<,22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得：222222222()20b a k x a kmx a m a b +++-=,由于直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，故0∆=,即22220b m a k -+=，解得点P 的坐标为22222222(,)a km b mP b a k b a k -++，又点P 在第一象限，故点P 的坐标为22222222(,)a k b P b a k b a k-++． 解法二:''1P l k =-,得222,b b a k （2几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力．(22)【2014年浙江,理22，14分】已知函数()33()f x x x a a R =+-∈．（1）若()f x 在[]1,1-上的最大值和最小值分别记为(),()M a m a ，求()()M a m a -; (2）设若()24f x b +≤⎡⎤对[]1,1x ∈-恒成立，求3a b +的取值范围．解：（（2。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（理科）一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集{|2}U x N x =∈≥，集合2{|5}A x N x =∈≥，则U C A =（ ）A. ∅B. {2}C. {5}D. {2,5} 2. 已知i 是虚数单位，,a b R ∈,则“1a b ==”是“2()2a bi i +=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是( )A. 902cm B. 1292cmC. 1322cm D. 1382cm4. 为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图像，可以将函数2cos 3y x =的图像（ ）A. 向右平移4π 个单位B. 向左平移4π个单位 C. 向右平移12π个单位 D. 向左平移12π个单位5.在64(1)(1)x y ++的展开式中,记m nx y项的系数(,)f m n ，则(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++= （ ）A. 45B. 60C. 120D. 2106. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ ，且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤（ ） A.3c ≤ B.36c <≤ C.69c <≤ D. 9c >7. 在同一直角坐标系中，函数()(0)af x x x =≥，()log a g x x = 的图像可能是（ ）8. 记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，y,min{,}x,x yx y x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A ．min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤ B. min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C. 2222max{||,||}||||a b a b a b +-≤+ D. 2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+9. 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球(3,3)m n ≥≥，从乙盒中随机抽取(1,2)i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=； （b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =. 则 ( )A.1212,()()p p E E ξξ><B. 1212,()()p p E E ξξ<>C. 1212,()()p p E E ξξ>>D. 1212,()()p p E E ξξ<<10. 设函数21()f x x =，22()2()f x x x =-，31()|sin 2|3f x x π=，99i a i =，,2,1,0=i 99, ，记10219998|()()||()()||()()|k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++-，1,2,3k = 则 ( )A.123I I I <<B. 213I I I <<C. 132I I I <<D. 321I I I <<二. 填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11. 若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12. 随机变量ξ的取值为0,1,2，若1(0)5P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________.13.当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数22,0(),0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若(())2f f a ≤，则实数a 的取值范围是______16.设直线30x y m -+=(0m ≠) 与双曲线12222=-by a x （0,0a b >>）两条渐近线分别交于点A ，B.若点(,0)P m 满足||||PA PB =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小.若15AB m = ，25AC m =，30BCM ∠=︒,则tan θ的最大值是 (仰角θ 为直线AP 与平面ABC 所成角)19.（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足123(2)(*)n b n a a a a n N =∈.若{}n a 为等比数列，且1322,6a b b ==+(Ⅰ) 求n a 与n b ； (Ⅱ) 设11(*)n n nc n N a b =-∈.记数列{}n c 的前n 项和为n S , （i ）求n S ；（ii ）求正整数k ，使得对任意*n N ∈均有k n S S ≥.如图，在四棱锥A BCDE -中，平面ABC ⊥平面BCDE ,90CDE BED ∠=∠=︒，2AB CD ==,1DE BE ==,2AC =. (Ⅰ) 证明：DE ⊥平面ACD ;(Ⅱ) 求二面角B AD E --的大小.21(本题满分15分)如图，设椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P在第一象限.(Ⅰ) 已知直线l 的斜率为k ，用,,a b k 表示点P 的坐标；(Ⅱ) 若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为a b -.已知函数()33().f x x x a a R =+-∈(Ⅰ) 若()f x 在[]1,1-上的最大值和最小值分别记为(),()M a m a ，求()()M a m a -； (Ⅱ) 设,b R ∈若()24f x b +≤⎡⎤⎣⎦对[]1,1x ∈-恒成立，求3a b +的取值范围.2014年高考浙江理科数学试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【解析】2{|5}A x N x =∈≥={|x N x ∈≥，{|2{2}U C A x N x =∈≤<=【答案】B2.【解析】当1a b ==时，22()(1)2a bi i i +=+=，反之，2()2a bi i +=即2222a b abi i -+= ，则22022a b ab ⎧-=⎨=⎩解得11a b =⎧⎨=⎩ 或11a b =-⎧⎨=-⎩【答案】A3.【解析】由三视图可知直观图左边一个横放的三棱柱右侧一个长方体，故几何体的表面积为：1246234363334352341382S =⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯= . 【答案】D4.【解析】sin 3cos 3)4y x x x π=+=+)]12x π+而)2y x x π==+)]6x π+由3()3()612x x ππ+→+，即12x x π→-故只需将3y x =的图象向右平移12π个单位. 故选C【答案】C5.【解析】令x y = ，由题意知(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++即为10(1)x + 展开式中3x 的系数，故(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++=710120C =，故选C【答案】C6.【解析】由(1)(2)(3)f f f -=-=-得184212793a b c a b ca b c a b c-+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩ 解得611a b =⎧⎨=⎩ ，所以32()611f x x x x c =+++ ,由0(1)3f <-≤得016113c <-+-+≤ ，即69c <≤，故选C【答案】C7.【解析】函数()(0)af x x x =≥，()log a g x x =分别的幂函数与对数函数答案A 中没有幂函数的图像, 不符合；答案B 中，()(0)af x x x =≥中1a > ，()log a g x x =中01a << ，不符合；答案C 中，()(0)a f x x x =≥中01a <<，()log a g x x =中1a >，不符合；答案D 中，()(0)a f x x x =≥中01a <<，()log a g x x =中01a <<，符合. 故选D【答案】D8.【解析】由向量运算的平行四边形法可知min{||,||}a b a b +-与min{||,||}a b 的大小不确定，平行四边形法可知max{||,||}a b a b +-所对的角大于或等于90︒ ，由余弦定理知2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+，（或22222222||||2(||||)max{||,||}||||22a b a b a b a b a b a b ++-++-≥==+）. 【答案】D 9.【解析1】11222()m n m np m n m n m n +=+⨯=+++ ， 211222221233n mn m m n m n m nC C C C p C C C +++=++ =223323()(1)m m mn n n m n m n -++-++- ∴1222()m n p p m n +-=+－223323()(1)m m mn n n m n m n -++-++-=5(1)06()(1)mn n n m n m n +->++- ， 故12p p >又∵1(1)n P m n ξ==+ ，1(2)mP m n ξ==+∴12()12n m m nE m n m n m nξ+=⨯+⨯=+++ 又222(1)(1)()(1)n m n C n n P C m n m n ξ+-===++-11222(2)()(1)n m m n C C mn P C m n m n ξ+===++- 222(m 1)(3)()(1)m m n C m P C m n m n ξ+-===++- ∴2(1)2(1)()123()(1)()(1)()(1)n n mn m m E m n m n m n m n m n m n ξ--=⨯+⨯+⨯++-++-++-=22334()(1)m n m n mnm n m n +--+++-21()()E E ξξ-=22334()(1)m n m n mn m n m n +--+++-－2m n m n ++=(1)0()(1)m m mnm n m n -+>++- 所以21()()E E ξξ> ，故选A【答案】A 【解析2】：在解法1中取3m n == ，计算后再比较。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集，集合，则（）A. B. C. D.（2）已知是虚数单位，,则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是A. 90B. 129C. 132D. 1384. 为了得到函数的图像，可以将函数的图像（）A. 向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位5. 在的展开式中，记项的系数为，则（）A.45B.60C.120D. 2106. 已知函数（）A. B. C. D.7. 在同意直角坐标系中，函数的图像可能是（）8. 记，，设为平面向量，则（）A.B.C.D.9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.（a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为 .则A. B.C. D.10. 设函数，，，记，则A. B. C. D.2、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11. 若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12. 随机变量的取值为0,1,2，若，，则________.13. 当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是________.14. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15. 设函数若，则实数的取值范围是______16. 设直线与双曲线（）两条渐近线分别交于点，若点满足,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值19（本题满分14分）已知数列和满足. 若为 等比数列，且（1） 求与；（2） 设。

2014 年一般高等学校招生全国一致考试（浙江卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共50 分，在每题给出的四个选项中，只有一项切合题目要求．（ 1）【 2014 年浙江，理1， 5 分】设全集 U { x N | x 2} ，会合 A{ x N | x25} ，则e U A（）（ A）（B） {2}（ C） {5}（ D） {2,5}【答案】 B【分析】 A { x25}{ x N | x5} ， C U A { x N | 2x5}{2}，应选 B．N | x【评论】本题主要考察全集、补集的定义，求会合的补集，属于基础题．（ 2）【 2014 年浙江，理2， 5 分】已知i是虚数单位，a,b R ，则“ a b1”是“ ( a bi) 22i ”的（）（ A）充足不用要条件（ B）必需不充足条件（C）充足必需条件（ D）既不充足也不用要条件【答案】 A【分析】当 a b1时，(a bi) 2(1 i) 22i ，反之， (a bi) 22i，即 a 2b22abi 2i ，则 a 2b20 ，2 ab2a1a1解得或b ，应选 A．b11【评论】本题考察的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题．（ 3）【 2014 年浙江，理 3， 5 分】某几何体的三视图（单位：cm）以下图，则此几何体的表面积是（）2（B） 129 cm 2（ C）132 cm22（ A）90 cm（ D） 138 cm 【答案】 D【分析】由三视图可知直观图左侧一个横放的三棱柱右边一个长方体，故几何体的表面积为：S 2 4 6 2 3 4 3 633343 5 213 4138，应选 D．2【评论】本题考察了由三视图求几何体的表面积，依据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的重点．（ 4）【 2014 年浙江，理4，5 分】为了获取函数y sin3 x cos3x 的图像，能够将函数 y 2 cos3x 的图像（）（ A）向右平移个单位（ B）向左平移4个单位（ C）向右平移12个单位（ D）向左平移个单位【答案】 C412【分析】 y sin3 x cos3x 2 sin(3x) 2 sin[3( x)] ，而 y 2 cos3x 2 sin(3 x) = 2 sin[3( x6)] ，4122由 3(x)3( x) ，即 x x12，故只要将 y 2 cos3x 的图象向右平移个单位，应选 C．61212【评论】本题考察两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考察．（ 5 ）【 2014年浙江，理 5，5分】在(1x)6 (1y) 4的展开式中 , 记 x m y n项的系数 f (m, n)，则f (3,0) f (2,1) f (1,2) f (0,3) =（）（ A）45（ B）60（ C） 120（ D） 210【答案】 C【分析】令 x y ，由题意知 f (3,0) f (2,1) f (1,2) f (0,3) 即为(1x)10睁开式中 x3的系数，故 f (3,0) f (2,1) f (1,2) f (0,3) =C107120 ，应选 C．【评论】本题考察二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考察计算能力．（ 6）【 2014 年浙江，理6， 5 分】已知函数 f (x)x3ax2bx c ，且 0 f ( 1) f ( 2) f ( 3) 3 （）（ A）c 3（ B）3 c6（ C）6 c 9（ D）c 9【答案】 C【分析】由 f ( 1)f ( 2) f ( 3) 得1 a b c 8 4a 2b c ，解得 a 6 ，1 a b c 27 9a 3b cb 11 所以 f (x) x 3 6x 2 11xc ，由 0 f ( 1) 3，得 01 6 11 c 3 ，即 6 c9 ，应选 C ．【评论】本题考察方程组的解法及不等式的解法，属于基础题．（ 7）【 2014 年浙江，理 7，5 分】在同向来角坐标系中，函数f ( x) x a (x 0) ， g( x) log a x 的图像可能是（）（ A ）（ B ）（C ）（D ）【答案】 D【分析】函数 f (x)x a ( x 0) ， g( x) log a x 分其他幂函数与对数函数答案 A 中没有幂函数的图像 , 不切合；答 案 B 中，( ) x a ( x 0) 中 a 1 ，g(x) log a x 中 0 a 1，不切合；答案 C 中，f (x) a(x 0) 中 0 a 1， fxx g(x) log a x 中 a 1 ，不切合；答案 D 中， f (x)x a (x 0) 中 0 a 1 ， g( x) log a x 中 0a 1 ，切合，应选 D ．【评论】本题考察的知识点是函数的图象，娴熟掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的重点． （ 8）【 2014 年浙江，理 8， 5 分】记 max{ x, y}r r r r min{| r r （ A ） min{| a b |,| a b |} a |,| b |} r r 2 r r 2 r 2 r 2 （ C ） max{| a b | ,| a b | } | a | |b | 【答案】 Dr【分析】由向量运算的平行四边形法可知 min{| a x, x y， min{ x, y} y, x r r y ，设 a,b 为平面向量，则（ ） y, x y r x, x y r rr r r min{|（ B ） min{| a b |,| a b |} a |,| b |}r r 2 r r 2 r 2 r 2（ D ） max{| a b | ,| a b | } | a | | b | r r r r rb |,| a b |} 与 min{| a |,| b |} 的大小不确立，平行四边形法可知r r r r90r rr rrrmax{| ab |,| ab |} 所对的角大于或等于 ，由余弦定理知 max{| a b |2,| a b |2} | a |2|b |2，r r 2 r r r r r r r r r 2r 2| a b |2 | a b |2 2(| a |2 | b |2 ) 2 ），应选 D ．（或 max{| a b | ,| a b | } 2 r 2| a | | b | r r r r r【评论】本题在办理时要联合着向量加减法的几何意义，将a ，b ， a b ， a b 放在同一个平行四边形中进行 比较判断，在详细解题时，本题采纳了清除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考取做选择题的常用方法，也不失为一种迅速有效的方法，在高考选择题的办理上，未必每一题都要写出详细解答步骤，针对选择题的特色，有时“清除法”，“确立法”，“特别值”代入法等或许是一种更迅速，更有效的方法．（ 9）【 2014 年浙江，理 9，5 分】已知甲盒中仅有1 个球且为红球，乙盒中有 m 个红球和 n 个篮球 ( m 3,n 3) ，从乙盒中随机抽取 i (i 1,2) 个球放入甲盒中． （ a ）放入 i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为i(i 1,2) ；（ b ）放入 i 个球后，从甲盒中取1 个球是红球的概率记为p i (i 1,2) ．则（）（ A ） p 1 p 2 ,E( 1 )E( 2 ) （ B ） p 1p 2 , E( 1 ) E( 2 ) （ C ） p 1 p 2 , E( 1 ) E( 2 ) （ D ） p 1p 2 ,E( 1 ) E( 2 )【答案】 A【分析】解法一：p 1m n1 2m n， p 2C n 21 C m 1C n 1 2C m 2 =3m 23m 2mnn 2 n， m nmn 22( m n )2g2g 23(mn)(m n1)Cm n3Cm n3 Cm n∴ p 1p 22m n － 3m 23m 2mn n 2 n = 5mn n( n 1)1)0 ，故 p 1 p 2 ．2( m n) 3(m n)( m n 1) 6(m n)( m n又∵P(11)m n，P(12) m ，∴ E( 1) 1 nn2m n 2m n ，nm n mm m n 又P( 2C n 2n(n 1)， P(C n 1C m 12mn ，1)(m n)( m n 22)(mn)( m nC m 2 n 1)C m2n1) P (23)C m 2m (m1)C m 2( m n )( m n 1)n∴E( 2)1n( n 1)22mn n 1) 3 (m m(m 1)1) = 3m 2n 2 3m n 4mn( mn)(m n 1)( m n)( m n)( m n (m n)(m n 1)3m 2 n 23m n 4mn － 2m n = m( m 1)mnE( 2 ) E( 1)=0 ，所以 E( 2) E( 1) ，应选 A ．(mn)(m n 1)n)( m n 1) m n ( m解法二：在解法一中取 mn3 ，计算后再比较，应选A ．【评论】正确理解ii1,2 的含义是解决本题的重点．本题也能够采纳特别值法，不如令m n3 ，也能够很快求解．（ 10）【 2014 年浙江， 理 10，5 分】设函数 f 1 ( x) x 2， f 2 ( x)2( x x 2) ， f 3 ( x) 1 | sin 2 x |， a ii， i 0,1, 2 ，399 L , 99 ，记 I k | f k ( a 1 ) f k (a 0 ) | | f k (a 2 ) f k (a 1) | L| f k ( a 99 ) f k (a 98 ) | ， k 1,2,3 ，则（ ）（A ） I 1I 2 I 3（B ） I 2I 1I 3（C ） I 1I 3I 2（D ） I 3I 2I 1【答案】 B【分析】解法一：221 135299 1 1 992由ii 11 g2i 1，故 I 1L(99 9999)g1 ，9999 99 9999 99 99 99ii 1 i2i 1 21 | 99 (2i 1)|，故 I 2150(98 0)98g 100 由 2222 1 ，9999999999 9999 2 9999 99I 31 1 ) | |sin(2 0 g 2 |sin(2 1 |sin(29998( |sin(2 g g ) | | sin(2 ) | g ) | L g ) | | sin(2 g ) |)3 99 99 99 999999 = 1 25 741，故 I 2I 1I 3，应选 B ．[2sin(2 g ) 2sin(2 g)]3 9999解法二：估量法： I k 的几何意义为将区间 [0,1] 平分为 99 个小区间，每个小区间的端点的函数值之差的绝对值之和．如图为将函数f 1 (x)2的区间 [0,1] 平分为4 个小区间的情况，因f 1 (x) 在 [0,1] 上递加，此时xI 1 | f (a 1 ) f (a 0 ) | | f (a 2 ) f (a 1 ) | | f (a 3 ) f (a 2 ) | | f ( a 4 ) f ( a 3 ) |= A 1H 1A 2H 2 A 3H 3A 4H 4f (1)f (0)1，同理对题中给出的 I 1 ，相同有 I 1 1；而 I 2 略小于 21 ，11 42I 3 略小于 4，所以估量得 I 2 I 1I 3，应选 B ．33【评论】本题主要考察了函数的性质，重点是求出这三个数与1 的关系，属于难题．第Ⅱ卷（非选择题共 100 分）二、填空题：本大题共 7 小题，每题4 分，共 28 分．（ 11）【 2014 年浙江，理 11，5 分】若某程序框图以下图， 当输入 50 时，则该程序运算后输出的结果是．【答案】 6【分析】第一次运转结果S 1,i 2 ；第二次运转结果 S 4,i 3；第三次运转结果 S 11,i 4 ；第四次运转结果 S 26,i 5；第五次运转结果 S 57,i 6；此时 S 57 50 ，∴输出 i 6 ．【评论】本题考察了直到型循环构造的程序框图，依据框图的流程模拟运转程序是解答此类问题的常用方法．（ 12）【 2014 年浙江， 理 12，5 分】随机变量 的取值为 0,1,2 ，若 P( 0)1，E( )1，则D( )=．【答案】250 1251 时的概率为p ，P1p1 p1 【分析】设的散布列为：551 13由E( ) 0 1 p2 (1 p 1 ，解得 p5 ) 55 的散布列为即为 0 1 2P1315 55故E( ) (01) 2 1 (1 1) 2 3 (2 1) 2 12 ． 5 55 5 【评论】本题综合考察了散布列的性质以及希望、方差的计算公式．x 2 y 4 0（ 13）【 2014 年浙江，理 13， 5 分】当实数 x, y 知足 xy 1 0 时， 1 axy4 恒成立，则实数 a 的取值范x1围是__ ．【答案】 [1,3]2【分析】解法一：x 2 y 4 0作出不等式组xy1 0所表示的地区如图，由1 axy4 恒成立，x 1故 A(1,0), B(2,1), C(1,3) ，三点坐标代入 11 a 43ax y 4 ，均成立得1 2a 1 4 解得 1 a，∴实数 a2321 a42的取值范围是 [1, 3 ] ．解法二：2x 2 y 4 0作出不等式组xy1 0所表示的地区如图， 由 1 axy4 得，由图剖析可知， a0 且在 A(1,0) 点x 1a 1，得 1 a3，故实数 a 的取值范围是 [1, 3 ]．获得最小值，在 B(2,1) 获得最大值，故12a 4 2 2 【评论】本题考察线性规划，考察了数形联合的解题思想方法，考察了数学转变思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题．（ 14）【2014 年浙江，理 14，5 分】在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其他 5 张无奖．将这 8 张奖券分派给 4 个人，每人 2 张，不一样的获奖状况有 种（用数字作答） ．【答案】 60【分析】解法一：不一样的获奖分两种，一是有一人获两张奖券，一人获一张奖券，共有C 32 A 42 36 ， 二是有三人各获取一张奖券，共有 A 43 24 ，所以不一样的获奖状况共有 36 24 60 种．解法二：将一、二、三等奖各 1 张分给 4 个人有 43 64 种分法，此中三张奖券都分给一个人的有 4 种分法， 所以不一样的获奖状况共有 64 4 60 种．【评论】本题考察摆列、组合及简单计数问题，考察学生的计算能力，属于基础题．x 2 x, x 0（ 15）【 2014 年浙江，理 15，5 分】设函数 f ( x) 2x 若 f ( f (a)) 2 ，则实数 a 的取值范围是 ．x , 0 【答案】 ( , 2] ．【分析】由题意f (a ) 02 或 f (a) 0 ，解得 f (a) 2 ∴当 a 0 或 a0 ，解得 a 2 ． f 2 (a) f (a) f 2 (a) 2 a 2 a 2 a 2 2【评论】本题主要考察分段函数的应用，其他不等式的解法，表现了数形联合的数学思想，属于中档题．2 2（ 16）【 2014 年浙江，理 16， 5 分】设直线 x 3 y m0 ( m 0 ) 与双曲线xy1 （ a 0,b 0 ）两条渐近a 2b 2线分别交于点 A ， B ．若点P( m,0)知足| PA | | PB |，则该双曲线的离心率是．【答案】 52【分析】解法一：由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为ybx 和 ybx ，分别与直线 l ：aax 3y m0 联立方程组，解得， A(a am , bm) ， B ( am , bm )，设 AB 中3b a 3b a 3b a 3bam ambm bm点为 Q ，由 |PA| |PB|得，则 Q(a3ba 3b , a3b a3b) ，223b 2 m22122即 Q(a m,3b m 2 )， PQ 与已知直线垂直，∴ k PQ gk l1 ，即a9b1 ，22 29b2 m ga9b aa 3a 2 9b 2 m2即得 2a28b 2 ，即 2a28(c2a 2) ，即c 5，所以 ec52a． 解法二：a42不如设 a 1 ，渐近线方程为 x 2y 20 即 b 2 x 2 y 20 ，由 b 2 x 2 y 2 0 消去 x ，12b 2x 3 y m 0得 (9b 2 1) y 2 6b 2my b 2 m 0 ，设 AB 中点为 Q(x 0 , y 0 ) ，由韦达定理得： y 0 3b 2 m ① ，2 19b 3b 2m 3又 x 0 3y 0 m ，由 k PQ gk l 1得 y 0 1 1 ，即得 y 0 1 1 得 y 0 3m 代入①得 m ，x 0 g g 5 2m 33 y 0 2m 3 9b 1 5得 b 21 ，所以 c2 a 2 b 2 1 1 5，所以 c 5 ，得 e c c 5 ．4 4 4 2 a 2【评论】本题考察双曲线的离心率，考察直线的地点关系，考察学生的计算能力，属于中档题．（ 17）【 2014 年浙江，理 17， 5 分】如图，某人在垂直于水平川面ABC 的墙眼前的点 A 处进行射击训练．已知点 A 到墙面的距离为 AB ，某目标点 P 沿墙面上的射击线 CM 挪动，这人为了正确对准目标点 P ，需计算由点 A 察看点 P 的仰角 的大小．若 ， 25m ， BCM 30 ，则 tan 的最大值是（仰AB 15m AC角 为直线 AP 与平面 ABC 所成角）．【答案】5 39【分析】解法一：∵ AB15cm ， AC25cm ， ABC90 ，∴ BC20cm ，过 P 作 PPBC ，交 BC 于 P ，1当 P 在线段BC 上时，连结AP ，则 tanPP'，设 BPx ，则 CP20 x ，AP '（x 20 ）由BCM30 ，得 PP'CP 'tan 303(20 x) ．3在直角 ABP 中，2PP '3 20 x20 x，则函数在AP '225x∴ tanAP '3 g，令y225 x 2225 x 2x0,20 单一递减，∴x 0 时， tan 获得最大值为3 g 2020 3 4 33225 24592当 P 在线段 CB 的延伸线上时，连结AP ，则 tanPP'，设 BPx ，AP '则 CP20 x ，（ x0 ）由BCM30 ，得 PP'CP 'tan 303 (20x) ，3在直角 ABP 中， AP '225x 2 ，∴ tanPP ' 3 g 20 x ，AP ' 3 225 x 2令 y20 x ，则 y '225 20x，当 0x 22545 时 y ' 0 ；当 x 45时 y ' 0 ，x 2 )225 x 2(225 225 x 2204420 45 5355 3所以当x 45时 y max 4 ，此时x45时， tan获得最大值为，33g 94225( 45 ) 2434综合 1， 2 可知 tan获得最大值为5 3 ．9解法二：如图以 B 为原点， BA 、 BC 所在的直线分别为x ， y 轴，成立以下图的空间直角坐标系，∵ AB15cm ， AC25cm ， ABC90 ，∴ BC 20cm ，由 BCM 30 ，可设 P(0, x,3x))(20x 20）， P '(0, x,0) ， A(15,0,0) ，3（此中3x)PP '(20320 x所以 tan3152 x 2g，AP '3225 x 2设 f (x)tan3 20xx20) ， f '(x)3g225 20x，3 g(3 x 2 )225 x 2225x 2(225所以，当 x225 45 时 y '0 ；当 45x 20 时 y '0 ，20444545453 205 35 3所以当时 f ( x) max f ()4tan． x获得最大值为4 3 g9 ，所以94225 (45) 24解法三：剖析知，当 tan 获得最大时，即 最大，最大值即为平面ACM 与地面 ABC所成的锐二面角的胸怀值，如图，过B 在面 BCM 内作 BD BC 交CM 于D ，过B 作BH AC 于 H ，连 DH ，则 BHD 即为平面 ACM 与地面 ABC 所成的二面角的平面角，tan 的最大值即为tan BHD ，在 Rt ABC 中，gg20 3由等面积法可得 AB BC15 2012，DB BC gtan30，BHAC253DB2035 3所以(tan ) max tan BHD3 ．BH12 9【评论】 本题考察利用数学知识解决实质问题，考察函数的单一性， 考察学生剖析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共 5 题，共 72 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（ 18）【 2014 年浙江，理 18，14 分】在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ．已知 a b,c3 ，cos 2 A cos 2 B 3sin AcosA 3sin BcosB ．（ 1）求角 C 的大小；（ 2）若 sin A4 ，求 ABC 的面积．5解：（ 1）由题得1 cos2 A1 cos2B3 sin 2 A 3 sin 2B ，即 3 sin 2 A 1 cos2 A 3 sin 2B 1 cos2B ，2222 2 2 2 2sin(2 A)sin(2B) ，由 a b 得 AB ，又 AB (0,) ，得 2 A2B 6，666即 AB 2 ，所以 C．33（ 2） c3 ， sin A4 ，a c ，得 a 8，由 ac 得 AC ，进而 cos A3 ，5sin AsinC55故 sin B sin( AC ) =sinAcosC cosAsinC43 3，所以，ABC 的面积为 S 1 ac sin B8 3 18 ．102 25【评论】本题主要考察二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．（ 19）【 2014 年浙江，理 19，14 分】已知数列 { a n } 和 { b n } 知足 a 1a 2a 3 L a n ( 2) b n (n N *) ．若 { a n } 为等比数列，且 a 1 2,b 3 6 b 2 ．（ 1）求 a n 与 b n ；（ 2）设 c n1 1(n N *) ．记数列 { c n } 的前 n 项和为 S n ．a nb n（ⅰ）求 S n ；（ⅱ）求正整数 k ，使得对随意 nN * 均有 S kS n ．解：（ 1）∵ a 1a 2 a 3 L a n (2) b n(n N *)①，当 n2 ， nN * 时， a 1a 2 a 3 L a n 1 (2) bn 1②，由①②知：当 n2 时， a n ( 2) b n b n 1，令 n 3，则有 a 3 ( 2) b 3b 2，∵ b 3 6 b 2 ，∴ a 3 8．∵ a n 为等比数列，且a 1 2 ，∴a n 的公比为q ，则 q 2a 3 4 ，由题意知a n 0 ，∴ q0 ，a 2∴．∴n*b n123nb nq2 a ＝2（ nN ）( 2)(nN*) ，得： 222L2( 2)，n．又由 a 1a 2a 3 L a nn( n 1)* 即2b n2( 2)，∴ b （n n1）（ nN ）n．（ 2）（ⅰ）∵ c n1 1 11 1( 1 1 ) ，a nb n 2nn(n 1) 2 nnn1∴ S n c 1 c 2 c 31 1 1 1 1 1 1 1 1 ) L c n = () 2 ( ) L n( n 2 1 2 2 2 32n 1= 1 1L1(11 ) = 1 111 = 1 1 ．2 222nn 12nn 1 n 1 2 n（ⅱ）因为 c 10 ， c 20， c 30 ， c 4 0 ；当 n5 时， c n 1 n(n 1)1] ，n(n 1) [ 2 n而 n (n 1)(n 1)(n2) (n 1)(n 2) 0 ，得n(n1)5g(5 1)1 ，2 n 2n 12n 12n25所以，当 n5 时， c n 0 ，综上，对随意nN * 恒有 S 4S n ，故 k 4 ．【评论】本题考察了等比数列通项公式、乞降公式，还考察了分组乞降法、裂项乞降法和猜想证明的思想，证明能够用二项式定理，还能够用数学概括法．本题计算量较大，思想层次高，要修业生有较高的剖析问题解决问题的能力．本题属于难题．（ 20）【 2014 年浙江，理 20，15 分】如图，在四棱锥 A BCDE 中，平面 ABC平面 BCDE ， CDEBED 90 ，AB CD2， DE BE 1， AC2 ． （ 1）证明： DE 平面 ACD ；（ 2）求二面角 B AD E 的大小．解：（ 1）在直角梯形BCDE 中，由DE BE 1 ， CD 2，得 BD BC 2 ，由 AC 2 ，AB 2 得 AB 2 AC 2 BC 2，即 AC BC ，又平面 ABC 平面 BCDE ，进而 AC 平面 BCDE ， 所以 AC DE ，又 DE DC ，进而 DE 平面 ACD ．（ 2）解法一：作 BF AD ，与 AD 交于点 F ，过点 F 作 FG//DE ，与 AB 交于点 G ，连结 BG ，由（ 1）知 DE AD ，则 FG AD ，所以 BFG 就是二面角 B AD E 的平面角，在直角梯形 BCDE 中，由 CD 2 BC 2 BD 2 ，得 BD BC ，又平面 ABC 平面 BCDE ，得 BD 平面 ABC ，进而 BD AB ，因为 AC 平面 BCDE ，得 AC CD ．在 Rt ACD 中，由 DC 2 ， AC2，得 AD 6 ；在 Rt AED 中，由ED1， AD6得 AE7 ；在 Rt ABD 中，由 BD2 ， AB 2， AD6 ，得 BF2 3 ， AF2 3AD ，进而3GF2，在ABE ，ABG 中，利用余弦定理分别可得cos BAE5 7，BC2．在 BFG 中，3143cos BFGGF2BF 2 BG 23 ，所以，BFG，即二面角 BAD E 的大小为．2BF gGF26 6解法二：以 D 的原点，分别以射线DE ， DC 为 x ， y 轴的正半轴，成立空间直角坐标系D xyz ，如图所示．由题意知各点坐标以下： D(0,0,0) ， E (1,0,0) ， C (0,2,0) ， A(0,2, 2) ， B(1,1,0) ．ADE 的法向量为 ur ABD 的法向量为 r设平面 m (x 1 , y 1 , z 1 ) ，平面 n ( x 2 , y 2 , z 2 ) ，uuur uuur uuur ur uuur 0(0, 2, 2, (1,1,0) ，由 mgAD ，可算得： AD 2) ， AE (1, 2)，DB ur uuur 0r uuur mgAEur2 y 1 2 z 1 0 (0,1, 2) ，由 n AD 0 2 y 2 2z 2 0即 ，可取 m r uuur 即 x 2 y 2 01 1 10 n BD 0 x 2 y 2z ur rrur r 33(0, 1, 2) ，于是 | cos | m n |可取 n m, n | ur r 3 2 ．| m | | n | 2由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B AD E 的大小为 ．6【评论】本题主要考察空间点、线、面地点关系，二面角等基础知识，同时考察空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．2 2（ 21）【 2014 年浙江，理 21，15 分】如图，设椭圆 C: xy1(a b 0) 动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P ，且点 P 在第一象限．a 2b 2（ 1）已知直线 l 的斜率为 k ，用 a,b, k 表示点 P 的坐标；（ 2）若过原点 O 的直线 l 1 与 l 垂直，证明：点P 到直线 l 1 的距离的最大值为 a b ．解：（ 1）解法一：y kx m y 得： (b 2 a 2 k 2 )x 22a 2 kmx a 2 m 2 a 2b 2设 l 方程为 ykx m( k 0) ，x 2 y 2 ，消去 0 ，a 2b 2 1因为直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点P ，故0 222 20 ，解得点 P 的坐标为，即 bma kP(a 2km 2 ,b 2 m2 ) ，又点 P 在第一象限，故点P 的坐标为 P( a 2k ,b 2) ．222a 2kb 2a 2k 2b 2b a k ba 2 k 2解法二：xx 'x 2 y 2作变换a ，则椭圆C ： 1(a b 0) 变成圆C '： x' 2y ' 21 ，切点 P(x 0 , y 0 ) 变成点y a 2 b 2y 'bP'( x'0 , y'0 ) ，切线 l : y y 0 k( x x 0 ) （ k0) ，变成 l ': by' y 0 k(ax'x 0 ) ．x '01y ' mx '1 m 2在圆 C ' 中设直线O'P ' 的方程为y ' mx' （ m0 ），由，解得，x '2 y '21 y '0m1 m2即 P'(1 1 ,1 m ) ，因为 O' P'l ' ，所以 k O ' P ' gk l ' 1，得 m ak1 ，即 mb ，m 2m 2bak1bakbx'xaka代入得 P'(, ) ，即 P '(,) ，利用逆变换b 2 b 2 a 2k 2 b 2b 2 y1 1a 2 k 2y '( ak)2b( ak)2代入即得： P( a 2k , b 2 ) ．a 2k 2b 2 a 2 k 2b 2（ 2）因为直线l 1 过原点 O 且与直线l 垂直，故直线 l 1 的方程为x ky 0 ，所以点P 到直线 l 1 的距离|a 2 kb 2 k |222b2a 2 k2b2da 2 k2，整理得: da b，因为 a 2 k 2b 2ab ，1 k2b2b 2a 22k 22kak 2a2b2a2b2所以 da b ，当且仅当2b时等号成立．222k2aba2a 222bbaba k2k所以，点 P 到直线 l 1 的距离的最大值为 a b ．【评论】本题主要考察椭圆的几何性质、点到直线间的距离、直线与椭圆的地点关系等基础知识，同时考察分析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力．（ 22）【 2014 年浙江，理 22， 14 分】已知函数f x 33 x a (aR) ．x（ 1）若 f x 在1,1 上的最大值和最小值分别记为M ( a), m(a ) ，求 M ( a) m(a) ；（ 2）设 bR, 若fx b 24 对 x1,1 恒成立，求 3a b 的取值范围．解：（ 1）∵ f (x)x 3 3| xa |x 3 3 x 3a , xa，∴ f '(x) 3x 2 3, x a ，因为 1 x1 ，x 33x 3a , x a 3x 23, x a（ⅰ）当 a 1 时，有x a ，故 f ( x) x 33x 3a ，所以，f x 在 ( 1,1)上是增函数，所以 M ( a)f (1) 4 3a ， m( a)f ( 1)4 3a ，故 M ( a) m(a) (4 3a) (4 3a ) 8 ．（ⅱ）当1 a 1时，若 xa,1 ， f ( x)x 3 3x 3a ，在 a,1 上是增函数；若x1,a， f ( x) x 3 3x3a ，在 1,a 上是减函数，∴M (a ) max{ f (1), f ( 1)} ， m(a ) f (a ) a 3 ，因为 f (1)f ( 1)6a 2 ，所以当1 a1 时， M (a ) m( a)a 3 3a 4 ；3当 1a 1 时， M (a) m(a )a 3 3a 2 ；3x 3（ⅲ）当 a 1 时，有 x a ，故 f ( x)3 x 3a ，此时 f ( x) 在 ( 1,1)上是减函数，所以 M (a)f ( 1)2 3a ， m( a) f (1)2 3a ，故 M ( a)m(a) 4 ；8 ,a 1a 3 3a 4 , 1 a 1综上， M (a)m( a)13 ． a33a2 ,a 134 ,a 1（ 2）令 h(x)f ( x)b ，则 h(x)x33x 3a b , x a ， h '(x)3x23, x ax 33 x 3a b , x a3x 2，3, x a因为 f xb 2 4 对 x 1,1 恒成立，即 2 h( x) 2 对 x 1,1 恒成立，所以由（1）知，（ⅰ）当a 1 时， h( x) 在 ( 1,1)上是增函数， h(x) 在 [ 1,1] 上的最大值是h(1)4 3a b ，最小值 h( 1)4 3a b ，则 4 3a b2 且 4 3a b 2矛盾；（ⅱ）当1 a1时， h( x) 在 [ 1,1] 上的最小值是h( a) a 3 b ，最大值是h(1) 43a b ，33b 2 且 4 3ab2，进而2 33a3a b6a 2且 0 a1 ，所以 aa3令 t(a)2 a33a ，则 t '(a) 3 3a20 ，∴ t (a ) 在 (0, 1) 上是增函数，故t(a)t (0)2 ，2 3a b0 ；3所以（ⅲ）当 1 a 1 时， h( x) 在 [ 1,1] 上的最小值是h(a)a 3b ，最大值是h( 1) 3a b 2 ，3所以由a3b2且3a b22，解得283a b0 27（ⅳ）当 a1时，h(x)在[1,1] 上的最大值是 h(1)3a b 2 ，最小值是h(1) 3a b 2 ，所以由3a b22且3a b22，解得3a b0．综上，3a b 的取值范围是23a b0 ．【评论】本题考察导数的综合运用，考察函数的最值，考察分类议论、化归与转变的数学思想，难度大．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ）A. ∅B. }2{C. }5{D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm yx 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a alog )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b r r 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =.则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99Λ==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-=Λ，.3,2,1=k 则A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I << 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.、在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______16.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值19（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a nb n 221Λ.若{}na 为等比数列，且.6,2231b b a +==（1）求n a 与n b ；（2）设()*∈-=N n b a c nn n 11。

一．基础题组1.【浙江省2013学年第一学期温州八校高三期初联考】设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，且12PF F ∆的最小内角为30，则C 的离心率为（ ） A ．2 B ．23 C ．3D ．262.【浙江省2014届金华一中高三9月月考数学试卷】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 （ ）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y += 【答案】D 【解析】试题分析：由题意知，3c =，利用点差法，设过点F 的直线（显然，斜率存在）为()3y k x =-，3.【浙江省2014届金华一中高三9月月考数学试卷理】长为2的线段AB 的两个端点在抛物线x y =2上滑动，则线段AB 中点M 到y 轴距离的最小值是考点：抛物线的定义与性质.4.【浙江省嘉兴市2014届高三上学期9月月考理】已知1F ,2F 是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥,则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. ⎫⎪⎪⎣⎭B. 2⎫⎪⎪⎣⎭C. ⎛ ⎝⎦D. 0,2⎛ ⎝⎦5.如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若∆ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为 （ ）A B ．2 C ．D【答案】C 【解析】6.【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底测试】设点A （3-，0），B （3，0），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为32-.（Ⅰ）求动点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若直线l 过点F （1，0）且绕F 旋转，l 与圆5:22=+y x O 相交于P 、Q 两点，l 与轨迹C 相交于R 、S 两点，若|PQ |],19,4[∈求△RS F '的面积的最大值和最小值（F ′为轨迹C 的左焦点）.【答案】（Ⅰ）221(32x y x +=≠；（Ⅱ）min S ∴=，max S = 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的定义、几何性质可求；（Ⅱ）直线与椭圆相交，联立消元，设点代入化简，利用基本不等式求最值.试题解析：（Ⅰ）设(,)M x y ，则2(3MA MB k k x ⋅==-≠考点：椭圆，根与系数关系，基本不等式，坐标表示7.如图，F 1，F 2C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，直线l ：x＝－12将线段F 1F 2分成两段，其长度之比为1 : 3．设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中垂线与C 交于P ，Q两点，线段AB 的中点M 在直线l 上． (Ⅰ) 求椭圆C 的方程； (Ⅱ) 求22F P F Q ⋅的取值范围．由221122221,21,2xyxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得(x1＋x2)＋2(y1＋y2)1212y yx x-⋅-＝0，令t ＝1＋32m 2，1＜t ＜29，则tQ F P F 3251321922-=⋅． 又1＜t ＜29，所以221251232F P F Q -<⋅< ．综上，Q F P F 22⋅的取值范围为1251,232⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． 考点：椭圆的方程、平面向量的数量积、韦达定理二．能力题组1.【浙江省2013学年第一学期温州八校高三期初联考】已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点.若该抛物线上存在点C ，使得ACB ∠为直角，则a 的取值范围为 .【答案】[)+∞,1 【解析】考点：平面向量的数量积、函数与方程的思想.2.【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底测试】如图，21,F F 是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的左、右焦点，过1F 的直线与双曲线的左、右两支分别交于BA ,两点．若5:4:3||:||:||22=AF BF AB ，则双曲线的离心率为____ ．【答案】13 【解析】试题分析：由双曲线的定义可知a BF BF a AF AF 2,22112=-=-，由3.如图，已知抛物线的方程为22(0)xpy p =>，过点(0,1)A -作直线l 与抛物线相交于,P Q两点，点B 的坐标为(0,1)，连接,BP BQ ，设,Q B B P 与x 轴分别相交于,M N 两点．如果QB 的斜率与PB 的斜率的乘积为3-，则MBN ∠的大小等于（ ）A ．2π B ．4π C ．23π D ． 3π4.【2013学年浙江省五校联考理】（本题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(0,1)A -．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)如果过点3(0,)5的直线与椭圆交于,M N 两点（,M N 点与A 点不重合），○1求AM AN ⋅的值；○2当AMN ∆为等腰直角三角形时，求直线MN 的方程．(Ⅱ)①若过点3(0,)5的直线的斜率不存在，此时,M N 两点中有一个点与A 点重合，不满足题目条件．三．拔高题组1.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22420x y x +-+=有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是___________．≤，又因为222c a b =+，c ∴≥，2.【浙江省2013学年第一学期温州八校高三期初联考】如图，椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ，直线l 的方程为=4x . (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ，使得123+=.k k k λ若存在求λ的值；若不存在，说明理由.故椭圆C 的方程为22143x y +=. ……5分考点：椭圆，根与系数关系，坐标表示.3.【浙江省嘉兴市2014届高三上学期9月月考理】（本题15分）如图，已知抛物线24：焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A，B两点.C y x=y=上，求直线l的方程；（Ⅰ）若线段AB的中点在直线2AB=，求直线l的方程.（Ⅱ）若线段20(Ⅱ)设直线l 的方程为1x my =+，................7分 与抛物线方程联立得214x my y x =+⎧⎨=⎩， 消元得2440y my --=，..............9分。

一．基础题组1.【浙江省2013学年第一学期温州八校高三期初联考】已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若521a a a 、、成等比数列，则8_____S = .2.【浙江省嘉兴市2014届高三上学期9月月考理】等差数列{}n a ()*n N ∈中，已知15a =，且在前n 项和n S 中，仅当10n =时，10S 最大，则公差d 满足（ ）A. 5192d -<<- B. 15211d -<<- C. 1529d << D.51112d <<3.【温州市十校联合体2014届高三10月测试理】已知实数列2,,,,1--z y x 成等比数列，则xyz = （ ）A ．4-B ．4±C ．22-D ．22±4.【浙江省温州市十校联合体2014届高三10月测试理】等差数列{}n a 各项为正,且23452534,52a a a a a a +++== ,则公差d = .5.【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底测试】等差数列}{n a 中，已知121-=a ，013=S ，使得0>n a 的最小正整数n 为 （ ）A ．7B ．8C ．9D ．106.【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底测试】已知数列}{n a 满足)(33,3*11N n a a a n n n ∈=-=+，数列}{n b 满足nn n a b 3=.（Ⅰ）证明数列}{n b 是等差数列并求数列}{n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列}{n a 的前n 项和n S .7.8.【浙江省2013学年第一学期十校联合体高三期初联考】（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-．（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）若不等式n a n n )5(322λ-<--对*∈∀N n 恒成立，求λ的取值范围.因为0n a >，所以不等式223(5)n n n a λ--<-等价于2352nn λ-->…………10分 记232n nn b -=，2n ≥时112121223462n n n n n b n n b n ++--==--， 所以3n ≥时11n n b b +<，max 33()8n b b == …………13分 所以178λ<.…………14分 考点：1.等差数列的证明；2.由n S 求出通项n a ；3.不等式恒成立.9.【浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期回头考理】设公差为d （0d ≠）的等差数列{}n a 与公比为q （0q >）的等比数列{}n b 有如下关系：211==b a ，33b a =，53=b a ．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}20321,,,,a a a a A =， {}20321,,,,b b b b B =，B A C =，求集合C 中的各元素之和。

2014年浙江高考理科数学试题逐题详解 （纯word 解析版)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

【2014年浙江卷（理01）】设全集{|2}U x N x =∈≥,集合2{|5}A x N x =∈≥，则UA =A.∅ B 。

{2} C 。

{5} D 。

{2,5}【答案】B【解析】全集U=｛x ∈N ｜x ≥2},集合A=｛x ∈N|x 2≥5}=｛x ∈N ｜x ≥3｝，则∁U A=｛x ∈N|x ＜3}={2}，故选:B【2014年浙江卷（理02）】已知i 是虚数单位，a 、b R ∈，则“1a b ==”是“2()2a bi i +=”的A 。

充分不必要条件 B.必要不充分条件C 。

充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当“a=b=1"时，“(a+bi ）2=(1+i ）2=2i ”成立,故“a=b=1”是“(a+bi)2=2i"的充分条件；当“（a+bi ）2=a 2﹣b 2+2abi=2i ”时，“a=b=1"或“a=b=﹣1”, 故“a=b=1”是“（a+bi)2=2i"的不必要条件;综上所述，“a=b=1"是“（a+bi ）2=2i"的充分不必要条件；【2014年浙江卷（理03）】某几何体的三视图（单位：cm )如图所示,则此几何体的表面积是A.902cm B 。

1292cm C.1322cm D.1382cm【答案】D【解析】由三视图知:几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形,四棱柱的高为6，底面为矩形,矩形的两相邻边长为3和4，∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+(4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm 2）．【2014年浙江卷（理04）】为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图象，可以将函数23y x =的图象A.向右平移4π个单位 B 。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ， 则=A C U （ ） A. ∅ B. }2{ C. }5{ D. }5,2{（2）已知是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的 表面积是A. 902cmB. 1292cmC. 1322cmD. 1382cm4.为了得到函数 x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ） A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位 5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+ 9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球 ()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2i i ξ=；（b ）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为 ()1,2i p i =.则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i i a i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I <<二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的 结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时， 14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______ 16.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值19（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a n b n 221 . 若{}na 为 等比数列，且.6,2231b b a +==（1）求n a 与n b ；（2）设()*∈-=N n b a c n n n 11。

第七章 不等式一．基础题组1. 【2009年.浙江卷.理13】若实数,x y 满足不等式组2,24,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则23x y +的最小值是 ．【答案】：42. 【2008年.浙江卷.理3】已知a ，b 都是实数，那么“22b a >”是“a >b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】D3. 【2007年.浙江卷.理13】不等式|21|1x x --<的解集是_____________. 【答案】{}02x x <<4. 【2006年.浙江卷.理4】在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是(A) (B)4(C)2 【答案】B5. 【2006年.浙江卷.理7】“a＞b＞0”是“ab＜222ba”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件【答案】A6. 【2005年.浙江卷.理7】设集合A＝{(x，y)|x，y，1－x－y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )【答案】A分)是(A )二．能力题组1. 【2014年.浙江卷.理13】当实数x，y满足240,10,1,x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y≤+≤恒成立，则实数a的取值范围是________.【答案】：3 1,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】：2. 【2013年.浙江卷.理13】设z＝kx＋y，其中实数x，y满足20,240,240.x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若z的最大值为12，则实数k＝__________.【答案】：2【解析】：画出可行域如图所示．3. 【2011年.浙江卷.理5】设实数,x y 满足不等式组250270,0x y x y x +-⎧⎪+-⎨⎪⎩＞＞≥，y ≥0，若,x y 为整数，则34x y +的最小值是（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19 【答案】B4. 【2011年.浙江卷.理16】设,x y 为实数，若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值是 .。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ）A. ∅B. }2{C. }5{D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm yx 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c 7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a alog )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =.则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则 A.321I I I << B. 312I I I << C. 231I I I << D. 123I I I <<二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.、在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______16.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值0a b >>19（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a nb n 221 .若{}n a 为等比数列，且.6,2231b b a +== （1）求n a 与n b ；（2）设()*∈-=N n b a c nn n 11。

浙江省名校新高考研究联盟2014届第二次联考数学（理科）试题卷命题人： 萧山中学 沈建刚 慈溪中学 应勤俭本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项:1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p k k n -=-= 棱台的体积公式球的表面积公式 24S R π= ()112213V h S S S S =++球的体积公式 343V R π= 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，其中R 表示球的半径 h 表示棱台的高第I 卷(选择题 共50分)一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位置上。

）1．设U R =,{}1<=x x P ，{}42≥=x x Q ，则=Q C P U （ ）A ．}21|{<<-x xB ．}12|{<<-x xC ．}21|{<<x xD ．}22|{<<-x x 2．设复数z 满足(1)2i z i -=，则z = （ ） A ．1i -+ B ．1i -- C ．1i + D ．1i -3．已知向量(1,1)m a =+，(2,2)n a =+，若()()m n m n +⊥-，则a = （ ） A ．4- B ．3- C ．2- D ．1-4．已知两相交平面,αβ，则必存在直线l ，使得 （ ） A ．//,l l αβ⊥ B ．,l l αβ⊥⊥ C ．,l l αβ⊥⊂ D ． //,//l l αβ5．函数()sin cos()6f x x x π=++的值域为 （ ）A ．[2,2]-B ．[3,3]-C ．[1,1]-D ．33[,]22-6．函数()sin cos f x A x B x =+（,A B R ∈且不全为零），则“0B =”是“函数()f x 为奇函数”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．设实数,x y 满足不等式组30453300,0x y x y x y -+>⎧⎪+-<⎨⎪≥≥⎩，若,x y 为整数，则34x y +的最大值是 （ ）A ．26B ．25C ．23D ．228．已知函数ax x xx f +-=3)(3的定义域为),0[+∞，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．(0,3)B ．)2,0(C ．),2(+∞D ．),3(+∞9．已知六张卡片中，三张红色，三张黑色，它们分别标有数字2，3，4，打乱后分给甲，乙，丙三人，每人两张，若两张卡片所标数字相同称为“一对”卡片，则三人中至少有一人拿到“一对”卡片的分法数为 （ ） A ．18 B ．24 C ．42 D ．4810．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 且倾斜角为60的直线与双曲线右支交于,A B 两点，若1ABF ∆为等腰三角形，则该双曲线的离心率为 （ ）A ．1132-+ B ．1132+ C ．113113,22-++或 D ．其它第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分。