《解析几何》第11讲 椭圆及其标准方程椭圆的几何性质1

数学椭圆的标准方程与几何意义知识点在咱们的数学世界里，椭圆这家伙可真是个有趣又有点小“狡猾”的存在。

说起椭圆，我就想起之前为了搞懂它的标准方程和几何意义，那可真是费了好大一番功夫。

那时候，我正坐在教室里，阳光透过窗户洒在课桌上，老师在黑板上写下了椭圆的标准方程。

看着那一堆密密麻麻的符号和数字，我感觉自己的脑袋都要大了。

老师开始讲解，说椭圆的标准方程有两种形式，一种是焦点在 x 轴上的，一种是焦点在 y 轴上的。

我就在想，这椭圆咋还这么“矫情”，非得有两种形式。

咱们先来说说焦点在 x 轴上的椭圆标准方程：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。

这里的\（a\）叫做椭圆的长半轴长，＼（b\）叫做短半轴长。

为了搞清楚这\（a\）和\（b\）到底是怎么回事，我可是下了不少功夫。

我拿着笔在本子上不停地画呀画，就想弄明白为什么会有这样的方程。

我发现，当我确定了\（a\）和\（b\）的值，就能画出一个特定的椭圆。

比如说，我设\（a ＝ 5\），＼（b ＝ 3\），然后开始计算坐标。

我从\（（a, 0)＼）也就是\（（－5, 0)＼）开始，一点一点地找坐标，就像在地图上找宝藏一样。

再来说说焦点在 y 轴上的椭圆标准方程：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。

这和焦点在 x 轴上的方程看起来有点像，但又不完全一样。

我当时就琢磨，这数学也太会捉弄人了，就不能简单点嘛！为了能真正理解这两个方程，我找了好多练习题来做。

有一次，做一道题做了半天也没做出来，急得我抓耳挠腮的。

我就盯着那道题，心里想着：“我就不信搞不定你！”后来发现是自己把\（a\）和\（b\）的值给弄混了，重新整理思路后，终于做出来了，那一刻，心里别提多有成就感了。

搞清楚了标准方程，接下来就是几何意义了。

这椭圆的几何意义也很有意思。

椭圆的标准方程及性质椭圆作为二维空间中的图形，具有一些独特的性质和特点。

本文将介绍椭圆的标准方程以及其相应的性质。

一、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以通过平面几何的推导得出。

设椭圆的中心为点（h，k），椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则可得出椭圆的标准方程：（x-h）^2/a^2 +（y-k）^2/b^2 = 1其中，h和k分别是椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。

二、椭圆的性质1. 中心：椭圆的中心即标准方程中的点（h，k），表示椭圆在平面上的位置。

2. 焦点：椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于定值2a，即椭圆的长轴长度。

焦点是椭圆的重要特点，用于定义椭圆的几何性质。

3. 长轴和短轴：标准方程中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的一半。

长轴是椭圆的最长直径，短轴是椭圆的最短直径。

4. 离心率：椭圆的离心率定义为焦距与长轴之比，通常用e表示。

离心率决定了椭圆的扁平程度，e＜1时表示椭圆，e=0时表示圆。

5. 直径：椭圆上的两个端点同时到椭圆内一点的距离相等，则这两个端点和该内点连成的线段叫做该椭圆的直径。

6. 弦：椭圆上任意两点连线和椭圆的直径所围内部的线段叫做椭圆的弦。

7. 准线：椭圆上与两个焦点连线垂直的直线，与椭圆的侧弦相切。

8. 焦散性：入射到椭圆的平行光线在反射后会汇聚到另一个焦点上，这是椭圆焦散性的一个重要表现。

三、椭圆的应用椭圆作为一种常见的数学曲线，在现实生活中有广泛的应用。

以下是一些椭圆应用的例子：1. 天体运动：行星围绕太阳的轨迹、人造卫星轨道等可以近似看作椭圆。

2. 光学器件：抛物面镜、椭圆面镜等。

3. 固定时间下的最短路径问题。

4. 卫星通信：卫星的定位和通信领域中使用椭圆轨道。

4. 造船工业：船体的椭圆剖面设计，可以减少水的阻力。

5. 圆锥曲线中的一类，在几何光学中，椭球曲面可以聚焦光线。

总结：本文介绍了椭圆的标准方程及其性质。

椭圆作为一种重要的数学曲线，其在几何和物理学中有着广泛的应用。

椭圆的性质课件椭圆的性质椭圆是数学中一种重要的几何图形，它具有许多独特的性质和特点。

在本文中，我们将探讨椭圆的性质，包括其定义、方程、焦点、直径和切线等方面。

一、椭圆的定义和方程椭圆可以通过一对焦点和到焦点距离之和等于常数的点的集合来定义。

具体而言，给定两个焦点F1和F2，以及一个正常数2a（a>0），椭圆是满足以下条件的点P的集合：PF1 + PF2 = 2a。

椭圆的方程可以通过焦点和到焦点距离之和的定义来推导。

假设椭圆的焦点分别为F1（c,0）和F2（-c,0），其中c为正常数。

椭圆上的任意一点P（x,y）到焦点F1和F2的距离分别为PF1和PF2，根据定义，我们有PF1 + PF2 = 2a。

根据距离公式，我们可以得到椭圆的方程：√[(x-c)²+y²] + √[(x+c)²+y²] = 2a二、椭圆的焦点和直径椭圆的焦点是椭圆上特殊的点，它们对于椭圆的性质起着重要的作用。

根据椭圆的定义，焦点F1和F2分别位于椭圆的长轴上，并且到焦点距离之和等于常数2a。

椭圆的中点O为焦点F1和F2连线的中点，也是椭圆的对称中心。

椭圆的直径是椭圆上通过中心点O的线段，且两端点都在椭圆上。

椭圆的长轴是通过焦点F1和F2的直径，而短轴是与长轴垂直的直径。

椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。

三、椭圆的切线和法线椭圆上的切线是与椭圆相切的直线，它与椭圆的曲线只有一个交点。

椭圆上的任意一点P处的切线可以通过求解椭圆的方程和切线的斜率来确定。

根据导数的定义，我们可以得到椭圆上任意一点P（x,y）处的切线的斜率为：dy/dx = -x/√[(a²-x²)/b²]椭圆上的法线是与切线垂直的直线，它与切线的交点为切点。

椭圆上任意一点P处的法线可以通过求解椭圆的方程和法线的斜率来确定。

根据切线的斜率和法线的斜率的关系，我们可以得到椭圆上任意一点P（x,y）处的法线的斜率为：dy/dx = √[(a²-x²)/b²]/x四、椭圆的性质和应用椭圆具有许多重要的性质和应用。

椭圆的性质及知识点总结一、椭圆的定义和基本性质1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

设d1和d2分别表示P到F1和F2的距离，则椭圆的定义可以用数学表达式表示为|d1 + d2| = 2a 。

1.2 椭圆的基本性质（1）椭圆对称轴：椭圆有两个对称轴，分别称为长轴和短轴。

长轴的端点是两个焦点F1和F2，短轴与长轴垂直并通过椭圆的中心点。

（2）椭圆的焦点和离心率：椭圆的焦点是定义椭圆的两个定点F1和F2，离心率e是一个表示椭圆形状的参数，e的取值范围是0<e<1。

（3）椭圆的三大定律：椭圆有三个基本定律，分别是:（a）椭圆内到两个焦点的距离之和等于长轴的长度；（b）椭圆内到两个焦点的距离之差等于长轴的长度；（c）椭圆的面积等于πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。

1.3 椭圆的方程椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是长轴和短轴的长度，椭圆的中心点位于原点(0,0)。

二、椭圆的相关知识点2.1 椭圆的离心率椭圆的离心率e的定义是e=c/a，其中c为焦距，a为长半轴的一半。

离心率越接近于0，椭圆形状越圆；离心率越接近于1，椭圆形状越扁。

2.2 椭圆的参数方程椭圆也可以用参数方程表示，参数方程为：x = a * cosθy = b * sinθ其中θ为参数，a和b分别是长轴和短轴的长度。

2.3 椭圆的焦半径椭圆的焦半径是指从椭圆的焦点到该椭圆上的任意一点P的距离，椭圆上各点的焦半径之和等于椭圆的周长。

2.4 椭圆的切线椭圆上的切线有一个特点：与椭圆相切的切线在切点处与切线的法线垂直。

根据这个特点可以求出椭圆上任意一点处的切线方程。

2.5 椭圆的焦点坐标椭圆的焦点坐标可以通过椭圆的离心率和焦距来求解。

焦点坐标为（±ae, 0），a为长轴的一半，e为椭圆的离心率。

2.6 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数法求解，面积为πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。

椭圆的标准方程和性质椭圆是平面上一个动点F到两定点A、B的距离之和等于常数2a的动点P的轨迹。

椭圆是一个非常重要的几何图形，在数学和物理学中都有着广泛的应用。

本文将介绍椭圆的标准方程和一些基本性质。

首先，我们来看椭圆的标准方程。

设椭圆的两个焦点为F1和F2，椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c。

椭圆的标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中，a和b分别为长轴和短轴的长度。

焦距c和半焦距ae之间的关系为c^2 = a^2 b^2。

接下来，我们来看一些椭圆的基本性质。

椭圆有许多独特的性质，下面我们将介绍其中的一些重要性质。

首先是椭圆的离心率。

椭圆的离心率定义为e=c/a，表示焦点到几何中心的距离与长轴的比值。

离心率是椭圆的一个重要参数，它决定了椭圆的形状。

当离心率接近于0时，椭圆的形状接近于圆；当离心率接近于1时，椭圆的形状趋向于长条形。

其次是椭圆的焦点性质。

椭圆的焦点是椭圆的一个重要特征，它决定了椭圆的形状和大小。

焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数2a，这个性质决定了椭圆的轨迹。

椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a，这个性质是椭圆的定义之一。

最后是椭圆的对称性。

椭圆具有许多对称性，包括关于x轴、y轴和原点的对称性。

椭圆关于x轴对称，当y取相反数时，方程左边不变；关于y轴对称，当x 取相反数时，方程左边不变；关于原点对称，当x和y都取相反数时，方程左边不变。

这些对称性质使得椭圆在几何和物理问题中有着广泛的应用。

总之，椭圆是一个非常重要的几何图形，它具有许多独特的性质和特征。

通过椭圆的标准方程和性质，我们可以更好地理解和应用椭圆在数学和物理学中的知识。

希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。

椭圆的标准⽅程及⼏何性质椭圆的标准⽅程与⼏何性质⼀、知识梳理1、椭圆定义：平⾯内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（⼤于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

思考：若与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（⼩于或等于||21F F ）的点的轨迹⼜是如何？2．标准⽅程：（1）焦点在x 轴上，中⼼在坐标原点的椭圆的标准⽅程为12222=+b y a x ;（2）焦点在y 轴上，中⼼在坐标原点的椭圆的标准⽅程为12222=+bx a y .3、重要关系： 222a b c =+。

（注意⼤⼩关系） 4、椭圆的⼏何性质由椭圆⽅程12222=+by a x (0>>b a ) 研究椭圆的性质。

（1）范围：a x a ≤≤-,b y b ≤≤-（椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中）（2）对称性：图形关于原点对称．原点叫椭圆的对称中⼼，简称中⼼．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．长轴与短轴长分别为b a 2,2。

b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。

（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。

椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(21a A a A -，),0(),,0(21b B b B -。

【⼩秘书】（1）求椭圆⽅程的⽅法：除了定义外，常⽤待定系数法；（2）当椭圆的焦点位置不确定时，可设⽅程为221x y m n+=（,0m n >），避免讨论和繁杂的计算。

（3）要重视椭圆定义解题的重要作⽤，要注意归纳提炼，优化解题过程。

【例1】求满⾜下列各条件的椭圆的标准⽅程.：(1)焦点在坐标轴上，且经过两点)31（3）以短轴的⼀个端点和两焦点为顶点的三⾓形为正三⾓形，且焦点到椭圆的最短练兵场：1. 椭圆5x 2＋ky 2＝5的⼀个焦点是（0，2），那么k 等于（） (A)－1 (B)1 (C)5(D) －52、（08上海⽂）设P 椭圆2212516x y +=上的点．若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则12||||PF PF +等于（）(A)4 (B)5 (C)8 (D) 103.已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点，若2212F A F B +=，则AB = ．4.椭圆的中⼼在原点，对称轴为坐标轴，椭圆的⼀个顶点B 与两焦点F 1F 组成三⾓形的周长为4+23，且∠F 1BF 2= 23π，求该椭圆⽅程。

椭圆几何性质椭圆是数学上的一个重要曲线，具有许多独特的几何性质。

通过了解椭圆的定义和特征，我们可以深入了解椭圆的性质和应用。

本文将介绍椭圆的几何性质，包括焦点、直径、离心率和切线等内容。

1. 椭圆的定义椭圆可以通过以下的数学定义表示：对于给定的两个焦点F1和F2，椭圆是所有到这两个焦点的距离之和等于常数2a的点的轨迹。

椭圆的数学表示可以用标准方程来表示：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度，半长轴为椭圆离中心最远的点到椭圆中心的距离。

2. 椭圆的焦点椭圆有两个焦点F1和F2。

根据定义，任意点到这两个焦点的距离之和是一个常数。

对于椭圆，焦距的长度等于2a。

焦点在椭圆的长轴上，且与椭圆中心相距c 的位置，满足关系式c^2 = a^2 - b^2。

因此，我们可以通过椭圆的半长轴和半短轴的长度来计算焦点的位置。

3. 椭圆的直径椭圆的直径是通过椭圆中心的两个相对焦点的连线。

直径的长度等于椭圆的半长轴的两倍，即直径的长度为2a。

4. 椭圆的离心率椭圆的离心率是表示椭圆形状的一个重要参数。

离心率定义为焦距与半长轴之间的比值。

离心率的取值范围为0到1之间，且离心率为0时表示圆形，离心率为1时表示扁平的线段。

椭圆的离心率可以通过以下公式计算得到：e = c / a其中，e是离心率，c是焦距的长度，a是半长轴的长度。

5. 椭圆的切线切线是椭圆的另一个重要性质。

在椭圆上的任意一点P，通过该点的切线与半长轴和半短轴的连线构成的夹角相等。

这个夹角可以用以下公式计算：tan θ = |(b/a) * x|其中，θ为切线与半长轴的夹角，x为点P到椭圆中心的水平距离。

6. 椭圆的对称性椭圆具有两种类型的对称性：轴对称和中心对称。

轴对称是指椭圆关于长轴和短轴分别对称。

这意味着椭圆上的任意一点关于长轴或短轴的投影对称。

中心对称是指椭圆关于椭圆中心对称。

这意味着椭圆上的任意一点关于椭圆中心的对称点也在椭圆上。

椭圆的标准方程及其几何性质1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<<e )的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.2.椭圆的方程与几何性质:3.点),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的位置关系:当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+by a x 时,点P 在椭圆上;4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔ 例题分析：题1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离 之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,25） (3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. (5)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=+by a x )0(>>b a 9454,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a所以所求椭圆标准方程为92522=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为12222=+bx a y )0(>>b a 由椭圆的定义知，22)225()23(2++-=a ＋22)225()23(-+-10211023+=102= 10=∴a 又2=c6410222=-=-=∴c a b所以所求标准方程为61022=+x y 另法：∵ 42222-=-=a c a b∴可设所求方程142222=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程(3)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为：)0(12222>>=+b a by a x∵100)35(0)35(222=+-+++=a ，2c =6.∴3,5==c a∴163522222=-=-=c a b∴所求椭圆的方程为：1162522=+y x . (4)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为)0(12222>>=+b a b x a y . ∴.144222=-=c a b∴所求椭圆方程为：114416922=+x y （5）∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为：)0(12222>>=+b a bx a y ∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴a ＝１０. 又∵P 到它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c －（－１０）＝２，故c =8. ∴36222=-=c a b .∴所求椭圆的标准方程是13610022=+x y . 题2。

椭圆的标准方程及几何性质椭圆是平面上的一种几何图形，它具有许多独特的性质和特点。

在本文中，我们将探讨椭圆的标准方程及其几何性质。

首先，我们来看椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程可以表示为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中，a和b分别代表椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。

如果椭圆的长轴与x轴平行，那么a代表长轴的长度，b代表短轴的长度；如果椭圆的长轴与y轴平行，则相反。

通过这个标准方程，我们可以轻松地确定椭圆的形状和大小。

接下来，让我们来探讨一下椭圆的几何性质。

椭圆具有许多有趣的性质，其中一些包括焦点、直径、离心率等。

首先是椭圆的焦点。

椭圆有两个焦点，它们分别位于椭圆的长轴两端。

焦点的位置与椭圆的半轴长度有关，可以通过椭圆的标准方程轻松计算得出。

其次是椭圆的直径。

椭圆有两条相互垂直的直径，分别为长直径和短直径。

长直径的长度为2a，短直径的长度为2b。

这些直径是椭圆上许多重要几何元素的基础，如焦点、顶点等。

最后是椭圆的离心率。

椭圆的离心率代表了椭圆的独特形状。

它的计算公式为：\[e = \sqrt{1 \frac{b^2}{a^2}}\]离心率越接近于0，椭圆的形状就越接近于圆；离心率越接近于1，椭圆的形状就越狭长。

离心率是描述椭圆形状的重要参数之一。

除了上述几何性质外，椭圆还具有许多其他有趣的特点，如切线、法线、曲率等。

这些性质使得椭圆成为数学和几何中的重要研究对象，也在实际生活中有许多应用，如天文学中行星轨道的描述、工程学中的椭圆形零件设计等。

总之，椭圆的标准方程及其几何性质是数学和几何中的重要内容，通过本文的介绍，希望读者能对椭圆有更深入的了解，并能在学习和工作中灵活运用。

(完整版)椭圆的性质及判定归纳1. 背景介绍椭圆是几何学中的一种重要的二次曲线，具有独特的性质和形式。

在实际应用中，我们经常需要理解和判定一个曲线是否为椭圆，因此有必要深入了解椭圆的性质及其判定方法。

2. 椭圆的定义在平面解析几何中，椭圆是指到两个给定点的距离之和等于定值的所有点的集合。

这两个点称为椭圆的焦点，定值称为椭圆的长轴。

3. 椭圆的性质椭圆具有以下几个基本的性质：3.1 长轴和短轴椭圆的长轴是通过焦点且垂直于短轴的线段，是椭圆的最长直径。

而短轴是通过焦点且垂直于长轴的线段，是椭圆的最短直径。

3.2 焦点和准线椭圆的焦点是确定椭圆的两个点，修改这两个点的位置可以改变椭圆的形状和大小。

准线是垂直于长轴且通过焦点的直线。

3.3 离心率椭圆的离心率定义为焦点到准线的距离与长轴的比值。

离心率的值在0到1之间，离心率越接近于0，椭圆越接近于圆形。

3.4 对称性椭圆具有两种对称性：关于长轴的对称性和关于短轴的对称性。

通过这两种对称性，我们可以更好地理解和分析椭圆的性质。

4. 椭圆的判定方法在解决实际问题中，我们常常需要判断一个曲线是否为椭圆。

以下是几种常用的判定方法：4.1 椭圆方程椭圆方程是判定一个曲线是否为椭圆的主要方法之一。

一般而言，椭圆的方程形式为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中h、k为椭圆的中心坐标，a、b分别为长轴和短轴的长度。

通过将曲线的方程与椭圆方程进行对比，我们可以确定该曲线是否为椭圆。

4.2 轴积性质椭圆具有轴积性质，即椭圆的长轴与短轴的乘积等于焦点到准线的距离与长轴的乘积。

通过计算曲线的焦点到准线的距离与长轴的乘积，我们可以判断该曲线是否满足轴积性质，从而确定是否为椭圆。

4.3 椭圆的图形特征椭圆的图形特征也可以用来判定是否为椭圆。

椭圆具有规则的椭圆形状，不会存在异常的伸缩或扭曲情况。

通过观察图形特征，我们可以直观地判断一个曲线是否为椭圆。