第四章第1节

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4.1.2 能控性的定义(续)
时不变系统和时变系统，若系统矩阵非奇 异，则两者等价；对连续时间线性时不变 系统，两者一般不等价。 2) 系统的能控性和能达性 定义4.3 称系统在时刻t0为完全能控/能达， 定义 如果状态空间中所有非零状态在t0时刻都 能控/能达。 定义4.4 称系统在时刻t0为不完全能控/能 定义 达，如果状态空间中存在一个非零状态t0
1) 一个状态的不能观测性 定义4.6 称一个非零状态x0在时刻t0为不 定义 能观测，如果存在时刻t1∈J，t1>t0，使系 统输出y恒为0，即y≡0, t∈[t0,t1]。
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4.1.3 能观测性的定义(续)
注1 直观上，不能观测状态x0具有这样的 属性，输出y(t)对以x0为初始状态导致的 运动响应x0u(t)具有“过滤”作用，即 x0u(t) (t)不能被反映在y(t)中。 y(t) 注2 能观性属于表征系统状态运动可由输 出完全反映的一种定性属性。 2) 系统的能观测性
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4.1.3 能观测性的定义(续)
定义4.7 称系统在x0时刻为完全能观测， 定义 如果状态空间中所有非零状态在时刻t0， 都不为不能观测。 定义4.8 称系统在x0时刻为不完全能观测， 定义 如果状态空间中存在一个非零状态在时刻 t0不能观测。 注1 从工程角度，不完全能观测也属于 “奇异”情况，实际系统能观测的概率几 乎为1。
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4.1.1 对能控性和能观测性的直 观讨论(续)
如果系统内部每个状态变量都可由输出完 全反映，则称系统的状态为完全能观测。 例4.1 给定连续时不变系统，状态方程为
& x1 = 4 x1 + u 4 0 1 & x= x + 2 u x = 5 x + 2u &2 2 0 5 y = 6 x y = [0 6]x 2
状态变量x1和x2都可由输入u完全影响，x2 可由输出y完全反映，但x2不能。
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4.1.1 对能控性和能观测性的直 观讨论(续)
例4.2 考虑图4.1所示电路，系统状态变 量取为电容端电压x，输入取电压源u(t)， 输出取电压y。 y+ 直观地看，若有 R R x(t0)=0，则不管 C + u(t) + 如何选输入u，都 x R R 有x(t)=0，状态 不受输入影响，即 图4.1 不能控和不能观测电路 状态不能控。
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4.1.1 对能控性和能观测性的直 观讨论(续)
图(b)中，若有输入u(t)=0，则对初始状 态相等即x1(t0)=x2(t0)情形，对所有时刻 t≥t0 ，都恒有i(t)≡0，即y≡0 。 这表明，对x1(t) i y R1 =x2(t)直线上的 u(t) x2 R2 状态，均不能由 L y反映。电路(b) 为不完全能观测 图4.2 (b)不完全能观测电路 电路。
R1 x1 L
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+
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4.1.2 能控性的定义
考虑线性时变系统
& x = A( t ) x + B ( t ) u , t ∈ J
1) 一个状态的能控性和能达性 定义4.1 称一个非零状态x0在时刻t0为能 定义 控的，如果存在时刻t1∈J，t1>t0，及无约 束的容许控制u(t)，使得x(t1)=0。 定义4.2 称一个非零状态xf在时刻t0为能 定义 达，如果存在时刻t1∈J，t1>t0，及无约束
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4.1.2 能控性的定义(续)
的容许控制u(t)，使得x(t1)= xf。 注1 能控性和能达性属于表征系统受控状 态运动可达到任意目标状态的一种定性属 性。这两个概念中，重要的是存在输入u可 使初始状态经有限时间转移到目标状态， 对状态转移运动的轨迹不加限制。 注2 无约束容许控制：“无约束”反映输 入各分量在幅值上无限制，“容许控制”： 是
第四章 线性系统的能控性和能 观测性
能控性和能观测性是从控制和观测角度表 征系统结构的两个基本特征。自R E Kalman在20世纪60年代初引入这两个概 念以来，已经证明它们对于系统控制和估 计的研究具有基本的重要性。 本章针对线性系统，系统地讨论能控性能 观测性的基本概念和基本属性。这些内容 对于线性时不变系统的综合具有基础意义。
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4.1.2 能控性的定义(续)
3) 系统的一致能控性和一致能达性 定义4.5 称连续时间线性时不变系统为一 定义 致完全能控/能达，如果系统对任意初始时 刻t0均为完全能控/能达，即系统的能控/ 能达性与初始时刻t0的选取无关。 注 一致完全能控/能达属于线性时变系统 的特殊问题。对线性时不变系统，完全能 控/能达意味着一致完全能控/能达。
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4.1 能控性和能观测性的定义
本节内容 4.1.1 对能控性和能观测性的直观讨论 4.1.2 能控性的定义 4.1.3 能观测性的定义
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4.1.1 对能控性和能观测性的直 观讨论
考虑一个系统，输入输出构成系统的外部 变量，状态属于反映系统运动行为的内部 变量。从物理直观上看，能控性研究系统 内部状态“是否可由输入影响”的问题， 能观测性研究系统内部状态“是否可由输 出反映”问题。 如果系统内部每个状态变量都可由输入完 全影响，则称系统状态为完全能控。
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4.1.3 能观测性的定义
能观测性表征系统状态可由输出的完全反 映性，需要同时考虑系统的状态方程和输 出方程。不失一般性，考虑连续时间线性 时变系统
& x = A(t ) x + B (t )u , x (t 0 ) = x0 , t 0 , t ∈ J y = C ( t ) x + D (t ) u
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y+
4.1.1 对能控性和能观测性的直 观讨论(续)
u(t) + C x1 R x+
2
R C
R1 x1 L u(t) x2 L
i R1
y R2
+
图4.2 (a)不完全能控电路 (b)不完全能观测电路
图(a)中，若x1(t0)=x2(t0)=0，则不论如 何选取输入u(t)，对所有时刻t≥t0 ，都只 能使x1(t)=x2(t)，即只有x1=x2直线上的 状态点可控，为能控子空间。
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第四章 线性系统的能控性和能 观测性
4.1 能控性和能观测性的定义 4.2 连续线性时不变系统的能控性判据 4.3 连续线性时不变系统的能观测性判据 4.4 连续线性时变系统的能控性和能观测性判据 4.5 离散时间线性系统的能控性和能观测性判据 4.6 对偶性 4.7 离散化线性系统保持能控性和能观测性条件 4.8 能控规范形和能观测规范形：SISO情形 4.9 能控规范形和能观测规范形：MIMO情形 4.10 连续时间线性时不变系统的结构分解
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4.1.2 能控性的定义(续)
输入各分量在J上平方可积。 注3 能控性和能达性都是相对于时间区间J 中的一个给定时刻t0定义的。这对时变系 统是必要的，对线性时不变系统，能控性 和能达性都与时刻t0的选取无关。 注4 能控性和能达性在定义上有微小差别， 两者的等价是有条件的。对连续线性时不 变系统，两者等价；对离散时间的线性
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4.1.3 能观测性的定义(续)
3) 系统一致能观测性 定义4.9 称连续线性时变系统为一致完全 定义 能观测，如果系统对任意时刻t0∈J均为完 全能观测，即能观测性与系统的初始时刻 t0∈J无关。 注1 一致完全能观测属于时变系统的特殊 问题，对线性时不变系统，完全能观测性 意味着一致完全能观测性。
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4.1.2 能控性的定义(续)
时刻为不能控/能达。 注 从工程角度，不完全能控/能达属于 “奇异”情形，随着元件参数的微小变动， 不完全能控/能达的系统都可以变为完全能 控/能达的。如图4.1中不能控电路，各电 阻参数的任何变动都会破坏电路的对称性， 使电路变为能控。因此，实际系统为能控/ 能达的概率几乎为1。
x (t ) = Φ (t , t 0 )[x0 + ξ (t )]
t0
这意味着，在讨论能观测性时，可把输入u 的等价状态ξ(t)等同为初始状态看待。
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4.1.3 能观测性的定义(续)
由此，可以去掉状态方程中的u相关项。这 样，研究能观测性，系统状态空间方程为
& x = A(t ) x, x (t 0 ) = x0 , t 0 , t ∈ J y = C (t ) x
其中，A(t)各元在J上绝对可积，B(t)：各元 在J上平方可积。
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4.1.3 能观测性的定义(续)
系统状态响应表达式为
x (t ) = Φ (t , t 0 ) x 0 +
t

∫
t
t0
Φ (t ,τ ) B (τ )u (τ )dτ
表输入u(t)引起的等价状态为 u(t)
ξ (t ) = ∫ Φ (t 0 ,τ ) B (τ )u (τ )dτ
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4.1.1 对能控性和能观测性的直 观讨论(续)
若有u(t)=0，则 R R 不论电容初始电 C + u(t) + 压x(t0)取多少， x 对所有时刻t≥t0 ， t≥t R R 都恒有y(t)≡0， 图4.1 不能控和不能观测电路 状态x不能由输 出反映，即系统状态不能观测。 例4.3 考虑图4.2两个电路，取状态变量 为x1和x2，输入为u，输出为y。