高三四月调考数学试卷评析

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学4月调研试题〔含解析〕考生注意：2．答题时，请按照答题纸上“本卷须知〞的要求，在答题纸相应的位置上标准答题，在本套试题卷上的答题一律无效。

选择题局部(一共40分)一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题4分，一共40分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

，集合，，那么集合〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出，再求出即可.【详解】解：因为全集，集合，，所以，应选：D.【点睛】此题考察了集合的交集和补集，属于根底题.2.，满足条件，那么的最小值是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先画出目的不等式组代表的平面区域，再画出目的函数并平移目的函数确定最优解的位置，代入最优解得到最值即可.【详解】解：不等式表示的平面区域如以下图阴影所示，画出直线如图中过原点虚线，平移直线过点，那么获得最小值3应选：C.【点睛】此题考察了简单线性规划问题，属于根底题.满足〔为虚数单位〕，那么〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先解出复数，再求其模长即可.【详解】解：由，得，，所以应选：C.【点睛】此题考察了复数的运算，复数的模长，属于根底题.4.一个几何体的三视图如以下图，侧视图为等腰直角三角形，那么这个几何体的体积为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该几何体为放倒的三棱柱，且底面为侧视图中等腰直角三角形，然后结合图中数据计算出体积即可.【详解】解：由三视图可知，该几何体为放倒的三棱柱，且底面为侧视图中等腰直角三角形，所以体积＝应选：B.【点睛】此题考察了三棱柱的三视图，体积的计算，属于根底题.5.，那么“〞是“〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分充分性和必要性进展讨论即可.【详解】解：因为，假设a≤0，那么b＋1一定是负数，必有成立；假设a＞0，由成立，那么必成立；反过来，假设，那么不一定有，如｜－5｜＞3＋1，但－5＞3＋1不成立所以是充分不必要条件 应选：A . 6.，那么〔〕A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】 先由，再由其展开式求出第三项系数即可.【详解】解：因为第三项为 所以应选：D.【点睛】此题考察了二项式定理的系数问题，属于根底题.7.，.那么当时，的图像不可能．．．是〔〕A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】记，易证记为奇函数，结合选项，讨论各选项的奇偶性，求出对应，再验证是否可能为其图像.【详解】解：记，得，对于A、B，图象关于y轴对称，所以，是偶函数，那么有，时，＞0，所以A不可能，B有可能。

数学试题（答案在最后）注意事项：1.作答前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，答题卡交回.一、选择题：本题共8小题、每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()12i 2i iz -=-，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】先运用复数的除法规则求出z ，再根据复数的几何意义求解.【详解】i 3+==，()()()()3i 12i 3i 1i 12i 12i 12i z -+-====+--+，1i z ∴=-，实部为1，虚部为-1，所以z 在第四象限；故选：D.2.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“sin 2sin 2A B =”是“a b =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据sin 2sin 2A B =结合三角函数的性质，可得A B =或π2A B +=，进而可求解.【详解】若sin 2sin 2A B =，则222π,Z A B k k =+∈或22π+2π,Z A B k k +=∈，由于在三角形中，所以22A B =或22πA B +=，故A B =或π2A B +=，当A B =时，则a b =，但π2A B +=时，,a b 关系不确定；反过来，若a b =，则必有A B =，sin 2sin 2A B =．故“sin 2sin 2A B =”是“a b =”的必要不充分条件，故选：B3.已知抛物线()220y px p =>的准线过双曲线2213xy -=的一个焦点，则p =（）A.1B.2C.4D.8【答案】C 【解析】【分析】求出抛物线22y px =的准线方程和双曲线2213x y -=的焦点坐标，由条件列方程求p .【详解】抛物线()220y px p =>的准线方程为2p x =-，双曲线2213x y -=的左焦点的坐标为()2,0-，右焦点的坐标为()2,0，因为抛物线22y px =的准线过双曲线2213x y -=的一个焦点，所以22p=，所以4p =，故选：C.4.林业部门规定：树龄500年以上的古树为一级，树龄300~500年之间的古树为二级，树龄100~299年的古树为三级，树龄低于100年不称为古树．林业工作者为研究树木年龄，多用年轮推测法，先用树木测量生长锥在树干上打孔，抽取一段树干计算年轮个数，由经验知树干截面近似圆形，年轮宽度依次构成等差数列．现为了评估某棵大树的级别，特测量数据如下：树干周长为3.14米，靠近树芯的第5个年轮宽度为0.4cm ，靠近树皮的第5个年轮宽度为0.2cm ，则估计该大树属于（）A.一级B.二级C.三级D.不是古树【答案】C 【解析】【分析】由条件抽象出等差数列的基本量，再结合等差数列的前n 项和，求n .【详解】设树干的截面圆的半径为r ，树干周长2π 3.14r =，0.5m 50cm r ==，从内向外数：50.4a =，40.2n a -=，()54500.32n n a a n S r n-+⋅====，∴5001673n =≈年，所以为三级.故选:C5.已知函数()()y f x x =∈R 如满足：(3)()f x f x +=-，()()0f x f x -+=，且[3,0)x ∈-时，8()log (4)f x x =+，则(2024)f =（）A.3-B.13-C.0D.13【答案】B 【解析】【分析】先判断出函数()f x 是周期为6的周期函数，再利用周期性直接求解即可．【详解】由(3)()f x f x +=-，则(6)(3)()f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是周期为6的周期函数，又()()0f x f x -+=，即()()f x f x =--，所以81(2024)(2)(2)log 23f f f ==--=-=-．故选：B ．6.在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，13AA =，以1C 为球心，3为半径的球面与侧面11ABB A 的交线长为（）A.9 B.9C.3D.9【答案】B 【解析】【分析】设1D 为11A B 的中点，证明11C D ⊥平面11ABB A ，根据球的截面性质确定交线的形状，结合弧长公式求交线长.【详解】设1D 为11A B 的中点，连接11C D ，因为112A B AB ==，111A B C △为等边三角形，所以11C D =，因为1111C D A B ⊥，111C D AA ⊥，1111A B AA A ⋂=，111,A B AA ⊂平面11ABB A ，所以11C D ⊥平面11ABB A ，所以以1C 为球心，3为半径的球面与平面11ABB A 的交线为以1D 为圆心的圆，3=，可得交线即以1D 为圆心，3为半径的圆弧，设该圆弧与1AA ，1BB 分别相交于点M ，N ，因为13MD =，111A D =，所以11cos 2MD A ∠=，因为11π0,2MD A ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以11π6MD A ∠=所以12π3MD N ∠=，故交线长12π339l =⨯⨯=.故选：B.7.函数()()sin f x A x =+ωϕ，（0A >，0ω>，0πϕ<<）的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下说法正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期是10π9B.函数()f x 在7ππ,123⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减C.函数()f x 的图象向左平移π12个单位后关于直线π4x =对称D.若圆C 的半径为5π12，则函数()f x 的解析式为()3ππsin 263f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据函数的图象，求得()f x 的最小正周期，可判定A 错误；利用五点作图法，求得π3ϕ=，结合三角函数的性质，可判定B 错误；利用三角函数的图形变换得到平移后的函数解析式为()cos 2g x A x =，进而判定C 错误；利用222CMOM OC =+，求得A 的值，可判定D 正确.【详解】解：由函数()f x 图象，可得点C 的横坐标为π3，所以函数()f x 的最小正周期为ππ2[(π36T =--=，所以A 不正确；又由2π2Tω==，且π(06f -=，即ππsin[2(]sin()063ϕϕ⨯-+=-+=，根据五点作图法且0πϕ<<，可得π03ϕ-+=，解得π3ϕ=，因为7ππ,123(x --∈，可得π5ππ,3632()x +--∈，结合三角函数的性质，可得函数()f x 在7ππ,12(3--是先减后增的函数，所以B 错误；将函数()f x 的图象向左平移π12个单位后，得到()πsin(2cos 22g x A x A x =+=，可得对称轴的方程为2π,Z x k k =∈，即π,Z 2k x k =∈，所以π4x =不是函数()g x 的对称轴，所以C 错误；当0x =时，可得()π0sin32f A A ==，即2OM A =,若圆的半径为5π12，则满足222CM OM OC =+，即2225ππ())()1223A =+，解得A =，所以()f x 的解析式为()πsin 263f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以D 正确.故选：D.8.已知定义在R 上的函数()f x 满足，()()()1212f x x f x f x +=+，且当0x >时，()0f x >，()11f =，则关于x 的不等式()()()1122227f x f x f x +-++≤的解集为（）A.[)1,+∞B.[]1,1- C.[]22-,D.[)2,+∞【答案】B 【解析】【分析】根据题意得()f x 为R 上的奇函数，且为增函数，又由题得()()()27222f x f xf x -++≤，令()()()()222f x f xg x f x -=++，得()g x 为R 上的偶函数，且在[)0,∞+上单调递增，得()()1g x g ≤即可解决.【详解】由题知，定义在R 上的函数()f x 满足，()()()1212f x x f x f x +=+，且当0x >时，()0f x >，()11f =，所以()()()0000f f f +=+，即()00f =，又()()()(0)0f x f x f x x f +-=-==，所以()f x 为R 上的奇函数，设12x x <，()()()()()121121210f x f x f x f x x x f x x -=-+-=--<，所以()f x 为R 上的增函数，因为()()()1122227f x f x f x +-++≤()()()27222f x f x f x -⇔++≤，令()()()()222f x f x g x f x -=++，因为()()()()222f x f x g x f x -=++为R 上的偶函数，且在[)0,∞+上单调递增，()712g =，所以()()1g x g ≤，所以11x -≤≤，故选：B ．二、选择题：本大题共4小题、每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分、有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知平面向量()2,1a =- ，()4,2b = ，()2,c t =，则下列说法正确的是（）A.若bc ⊥，则4t =B.若//a c，则1t =-C.若1t =，则向量a 在c上的投影向量为35c - D.若4t >-，则向量b与c的夹角为锐角【答案】BC 【解析】【分析】根据向量线性运算即数量积公式可判断AB 选项，根据投影向量定义可得判断C 选项，由4t >-可得0b c ⋅>，但此时向量b与c的夹角可以为零角并非锐角，可得D 错误.【详解】解：已知平面向量(2,1)a =-，(4,2)b = ，(2,)c t = ，对于A ，若bc⊥，可得0b c ⋅=，即4220t ⨯+=，解得4t =-，所以A 选项错误；对于B ，若//a c，根据平面向量共线性质，可得221t-=，即1t =-，所以B 选项正确；对于C ，若1t =，则(2,1)c =，由投影向量定义可知向量a 在c 上的投影向量为222413215a c c c c c⋅-+⋅==-+，所以C 选项正确；对于D ，若4t >-，则422820b c t t ⋅=⨯+=+> ，所以cos ,0b c b c b c⋅=>⋅；但当1t =时，cos ,1b c b c b c ⋅====⋅，此时向量b与c的夹角为0︒，所以D 选项错误；故选：BC.10.已知22:10100A x y x y +--= ，22:62400B x y x y +-+-= ，则下列说法正确的是（）A.两圆位置关系是相交B.两圆的公共弦所在直线方程是3100x y ++=C.A 上到直线3100x y +-=的点有四个D.若(,)P x y 为B上任意一点，则22max (5)(5)90x y ⎡⎤-+-=+⎣⎦【答案】ACD【解析】【分析】先将A ，B 的一般方程化成标准方程，再利用圆心距与两半径之差和半径之和比较即可判断A ；联立两圆的方程，化简即可得到公共弦所在直线方程，进而即可判断B ；先求得()5,5A 到直线3100x y +-=的距离d ，再比较2d 与A R 的大小即可判断C ；依题意得22max (5)(5)x y ⎡⎤-+-⎣⎦的几何意义为()5,5A 到B 上点的距离的平方的最大值，再结合选项A 求解即可判断D ．【详解】对于A ，由22:10100A x y x y +--= ，即()()225550x y -+-=，其圆心为()5,5A ，半径为A R =，22:62400B x y x y +-+-= ，即()()223150x y -++=，其圆心为()3,1B -，半径为B R =，则两圆的圆心距为AB ==，则A B A B R R AB R R -<<+，即两圆相交，故A 正确；对于B ，联立两圆的方程22221010062400x y x y x y x y ⎧+--=⎨+-+-=⎩，化简得3100x y +-=，故B 错误；对于C ，由()5,5A 到直线3100x y +-=的距离为d==，且2d =<，所以A上到直线3100x y +-=的点有四个，故C 正确；对于D ，依题意得22max (5)(5)x y ⎡⎤-+-⎣⎦的几何意义为()5,5A 到B 上点的距离的平方的最大值，所以结合选项A 得()(2222max(5)(5)9040B x y AB R ⎡⎤-+-=+==+⎣⎦，故D 正确．故选：ACD ．11.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（）A.从中任取3球，恰有一个白球的概率是35B.从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43C.现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则第一次取到红球且第二次也取到红球的概率为35D.从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627【答案】ABD 【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解即可判断A ；根据二项分布求概率公式计算即可求判断B ；根据独立事件的概率公式计算即可判断C ；根据对立事件的概率求解即可判断D.【详解】A ：所求的概率为122436C C 3C 5P ==，故A 正确；B ：取到红球的次数2(6,)3X B ，所以其方差为2246(1)333⨯⨯-=，故B 正确；C ：第一次取到红球的概率为46，第二次取到红球的概率为35，所以第一次取到红球且第二次取到红球的概率为432655⨯=，故C 错误；D ：每次取到红球的概率为23，所以至少有一次取到红球的概率为32261(1)327--=，故D 正确.故选：ABD.12.下列说法中，其中正确的是（）A.命题：“30,10x x x ∃≥--≥”的否定是“30,10x x x ∀<--<”B.化简22cos 5sin 5sin 40sin 50︒︒︒︒-的结果为2C.012233C 2C 2C 2C n n n n ++++…2C 3nnnn +=D.在三棱锥-P ABC中，PA AB PB AC ====，CP =，点D 是侧棱PB的中点，且CD =，则三棱锥-P ABC 的外接球O 的体积为287π3.【答案】BCD 【解析】【分析】根据存在性量词命题的否定即可判断A ；根据二倍角的正弦、余弦公式和诱导公式计算即可判断B ；根据二项式定理即可判断C ；利用线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面PAB ，结合正弦定理、勾股定理和球的体积公式计算即可判断D.【详解】A ：命题：“30,10x x x ∃≥--≥”的否定是“30,10x x x ∀≥--<”，故A 错；B ：22cos 5sin 5cos10cos10sin80211sin40sin50sin40cos40sin80sin8022︒︒︒︒︒︒︒︒︒-====︒︒，故B 正确；C ：012233C 2C 2C 2C n n n n ++++…()2C 123nn n nn +=+=，故C 正确；D：如图所示，由PA AC ==CP =222PA AC CP +=，得PA AC ⊥，由D 是PB的中点，PA AB PB ===PAB 为等边三角形且3AD =，又CD =，所以222CA AD CD +=，得CA AD ⊥，又AD AP A = ，,AP AD ⊂平面PAB ，所以AC ⊥平面PAB .设球心为O 且在过△PAB 中心垂直于面PAB 的垂线上，点O 到底面PAB的距离为12d AC ==，由正弦定理得PAB的外接圆半径22sin 6032PA r == ，球O的半径OA R ==所以三棱锥-P ABC 的外接球O的体积为3344287πππ333V R ===.故D 正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.13.某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm ）的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为______.【答案】10.8【解析】【分析】将数据从小到大排序后，运用百分位数的运算公式即可.【详解】数据从小到大排序为：8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7，共有12个，所以1280%=9.6⨯，所以这组数据的第80百分位数是第10个数即：10.8.故答案为：10.814.二项式6x ⎛⎝展开式中常数项是________．（填数字）【答案】240【解析】【分析】根据二项式的展开通项公式求解即可.【详解】展开式的通项公式为3662166C 2C rrr r r r r T x x--+==，令3602r -=，解得4r =，所以常数项为44562C 240T ==，故答案为:240.15.已知a ，b 为正实数，直线2y x a =-与曲线()ln 2y x b =+相切，则41a b+的最小值为______．【答案】9【解析】【分析】由直线2y x a =-与曲线()ln 2y x b =+相切可得1a b +=，后由基本不等式可得答案.【详解】设切点为()00,x y ，()222ln x b x b '⎡⎤+=⎣⎦+，则切线斜率可表示为022,x b +由题有0022212x b x b =⇒+=+.又切线可表示为：()()()0000002222222ln ln x y x x x b x a a x b x b x b=-++=-⇒=-+++，代入021x b +=可得021a x a b =⇒+=，又a ，b 为正实数，则()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即21,33a b ==时取等号.故答案为：9.16.经过坐标原点O 的直线与椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>相交于A ，B 两点，过A 垂直于AB 的直线与C 交于点D ，直线DB 与y 轴相交于点E ，若22OB OE OE ⋅= ，则C 的离心率为_______．【答案】2【解析】【分析】设直线BD 的方程为(0)y kx m k =+≠，与椭圆方程联立，由22OB OE OE ⋅=求得点B 的纵坐标，进而利用韦达定理得到其横坐标，从而得到点D 的坐标，然后根据AB AD ⊥，由1AD ABk k =-化简求解.【详解】解：设直线BD 的方程为()11(0),,y kx m k B x y =+≠，()22,D x y ，则()()11,,0,A x y E m --，由22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22222222220b a k x kma x a m a b +++-=，显然存在,k m ，使得0∆>，故由韦达定理得222121222222222,2kma k ma x x y y m b a k b a k +=-+=-++，因为22OB OE OE ⋅= ，则212y m m =，即12y m =，则2211222212,,2,2,AB y m m k ma x B m k k y k k x b a k ⎛⎫====- ⎪+⎝⎭，因为AB AD ⊥，所以121212ADy y k x x k +==-+，即22222222221222k ma kma m b a k k b a k ⎛⎫-+=-- ⎪++⎝⎭，即222222222k a b k a a -++=，化简得222a b =，所以22c e a ===，故答案为：2.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=（1）求tan tan AB的值；（2）若点D 为边AB 的中点，10,5AB CD ==，求BC 的值．【答案】（1）4；（2）【解析】【分析】（1）由3cos cos 5a B b A c -=，带入余弦定理整理可得22235a b c -=，所以222222222222tan sin cos 2tan cos sin 2a c b a A A B a c b ac b c a B A B b c a bbc+-⋅+-===+-+-⋅，带入22235a b c -=即可得解；（2）作AB 边上的高CE ，垂足为E ，因为tan ,tan CE CE A B AE BE ==，所tan tan A BEB AE=．又tan 4tan AB=，所以4BE AE =，因为点D 为边AB 的中点且10AB =，所以5,2,3BD AE DE ===，再根据勾股定理即可得解.【详解】（1）因为3cos cos 5a Bb Ac -=，所以2222223225c a b b c a a b ca bc +-+-⋅-⋅=，即22235a b c -=．又222222tan sin cos 2tan cos sin 2a c b a A A B ac b c a B A B bbc +-⋅==+-⋅，所以22222222tan 854tan 52A a c b c B b c a c +-==⨯=+-．（2）如图，作AB 边上的高CE ，垂足为E ，因为tan ,tan CE CE A B AE BE ==，所以tan tan A BEB AE=．又tan 4tan AB=，所以4BE AE =．因为点D 为边AB 的中点，10AB =，所以5,2,3BD AE DE ===．在直角三角形CDE 中，5CD =，所以22534CE =-=．在直角三角形BCE 中，8BE =，所以224845BC =+=．18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n S S ++=，11a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）记121n n b a a a +=⋅⋅⋅，2log n n c b =，数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）21n n T n =-+【解析】【分析】（1）采用作差法，验证1a 是否符合通式，即可求解{}n a 的通项公式；（2）求得()122n n n b +-=，化简得()12n n n c +=-，结合裂项求和法可求n T .【小问1详解】∵122n n S S ++=，∴122n n S S -+=()2n ≥，两式相减得120n n a a ++=()2n ≥.∴12nn a a +=-，又11a =，()12122a a a ++=，解得212a =-，∴112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则{}n a 的通项公式为112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；【小问2详解】∵121···n n b a a a +=⋅⋅⋅=01211112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅-⋅⋅⋅- ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1212n n +⎛⎫=- ⎪⎝⎭()122n n +-=，∴()21log 2n n n n c b +==-，()1211211n c n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭，111111111212233411n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-+-⋅⋅⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1211n ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭21n n =-+19.如图所示，在三棱柱ABF DCE -中，点G 、M 分别是线段AD 、BF 的中点.（1）求证：//AM 平面BEG ；（2）若三棱柱ABF DCE -的侧面ABCD 和ADEF 都是边长为2的正方形，平面ABCD ⊥平面ADEF ，求二面角E BG F --的余弦值；【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】取BE 中点N ，则MN 平行且等于12FE ，AG 也平行且等于12BC ，而BC 平行且等于EF ，所以MN 平行且等于AG ，因此四边形AMNG 为平行四边形，AM ∥GN ，又AM ⊄平面BEG ，GN ⊂平面BEG ，所以//AM 平面BEG ；【小问2详解】由已知易证,,AF AD AF AB AB AD ⊥⊥⊥建立以A 为原点，以,,AB AD AF的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,2,2)E ，(0,0,2)F ，(0,1,0)G ，(1,0,1)M ，所以(2,2,2),(2,1,0)=-=-BE BG ，设(,,)n x y z =为面BEG 的法向量，则()22201,2,120n BE x y z n n BG x y ⎧⋅=-++=⎪⇒=--⎨⋅=-+=⎪⎩，同理可求平面BFG 的法向量为(1,2,1)m =---，2cos ,3n m m n n m ⋅==⋅.所以二面角E BG F --的余弦值为23.20.为了推进产业转型升级，加强自主创新，发展高端制造､智能制造，把我国制造业和实体经济搞上去，推动我国经济由量大转向质强，许多企业致力于提升信息化管理水平.一些中小型工厂的规模不大，在选择管理软件时都要进行调查统计.某一小型工厂自己没有管理软件的高级技术员，欲购买管理软件服务公司的管理软件，并让其提供服务，某一管理软件服务公司有如下两种收费方案.方案一：管理软件服务公司每月收取工厂4800元，对于提供的软件服务，每次另外收费200元；方案二：管理软件服务公司每月收取工厂7600元，若每月提供的软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次另外收费500元.（1）设管理软件服务公司月收费为y元，每月提供的软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；（2）该工厂对该管理软件服务公司为另一个工厂过去20个月提供的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形统计图，该工厂要调查服务质量，现从服务次数为13次和14次的月份中任选3个月求这3个月，恰好是1个13次服务､2个14次服务的概率；（3）依据条形统计图中的数据，把频率视为概率从节约成本的角度考虑该工厂选择哪种方案更合适，请说明理由.【答案】（1）方案一：y=200x+4800，x∈N，方案二：7600,15,500100,15,x x Nyx x x N∈⎧=⎨+>∈⎩；（2）715；（3）从节约成本的角度考虑，该工厂选择方案一更合适，理由见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得方案一：y=200x+4800，x∈N，方案二：y=7600,15,, 500100,15,.x x Nx x x N≤∈⎧⎨+>∈⎩（2）记选择的3个月恰好是1个13次服务､2个14次服务为事件A，根据条形图，利用组合数可得P(A)=12 28310 C C C=715，即求.（3）根据方案分别列出方案一与方案二中月收费的分布列，根据分布列求出数学期望，比较均值即可求解.【详解】解：（1）由题意知，方案一：中管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系式为y=200x+4800，x∈N，方案二：当15x>，x∈N时，()760015500500100y x x=+-⨯=+，x∈N所以管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系为：y=7600,15,, 500100,15,.x x Nx x x N≤∈⎧⎨+>∈⎩（2）记选择的3个月恰好是1个13次服务､2个14次服务为事件A，则P(A)=1228310C CC=715.（3）对于方案一，设管理软件服务公司的月收费为ξ元，由条形统计图得ξ的取值为7400，7600，7800，8000，8200，P(ξ=7400)=0.1，P(ξ=7600)=0.4，P(ξ=7800)=0.1，P(ξ=8000)=0.2，P(ξ=8200)=0.2，∴ξ的分布列为：ξ74007600780080008200 P0.10.40.10.20.2 E(ξ)=7400×0.1+7600×0.4+7800×0.1+8000×0.2+8200×0.2=7800.对于方案二，设管理软件服务公式的月收费为η元，由条形统计图得η的可能取值为7600，8100，8600，P(η=7600)=0.6，P(η=8100)=0.2，P(η=8600)=0.2，∴η的分布列为：η760081008600P0.60.20.2E(η)=7600×0.6+8100×0.2+8600×0.2=7900.∵E (ξ)<E (η)，∴从节约成本的角度考虑，该工厂选择方案一更合适.21.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 到双曲线E 的一条渐近线y =（1）求双曲线E 的方程；（2）如图，过圆O ：221x y +=上一点M 作圆O 的切线l 与双曲线E 的左右两支分别交于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆经过双曲线E 的右顶点A ，求直线l 的方程．【答案】（1）2213y x -=（2）33y x =+或33y x =--【解析】【分析】（1）利用双曲线的性质即可求出双曲线的标准方程；（2）由已知直线l 的斜率存在，设l ：y kx m =+，联立双曲线E 与直线l 的方程，由根与系数的关系得12221222333mk x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩，由0AP AQ ⋅= ，即可求出m 与k 的关系，由l 与圆O ：221x y +=相切，则2211d m k ==⇒=+，联立求出k 值即可．【小问1详解】由题可得21bc a a b ⎧⎧==⎪⎪⇒=⎨⎪==⎩，E 的方程：22 1.3y x -=【小问2详解】由已知直线l 的斜率存在，设l ：y kx m =+，l 与圆O ：221x y +=相切，则2211d m k ==⇒=+，联立双曲线E 与直线l 的方程：()222223303230x y k x mkx m y kx m⎧--=⇒----=⎨=+⎩，，设直线l 与双曲线E 的左右两支交于()()1122,,,P x y Q x y 两点，所以()()2222221223044330303k k m m k m x x k ⎧⎪-≠⎪⎪∆=++->⎨⎪+⎪=-<⎪-⎩，可得203k ≤<，所以212122223,33mk m x x x x k k++==---，又()()()112210,,A P x y Q x y ，,,，以P ，Q 为直径的圆经过双曲线的右顶点A ，所以AP AQ ⊥，0AP AQ ⋅=，又()()()()()()121212121111AP AQ x x y y x x kx m kx m ⋅=--+=--+++()()()2212121110k x x mk x x m =++-+++=，即()()()22222221321102033k m mk mk mm mk k k k ++--+++=⇒--=--()()202m k m k m k ⇒-+=⇒=或m k =-，①当m k =-时，点M 与右顶点A 重合，不合题意舍去；②当2m k =时，代入221m k =+，得213k =，3k =±，满足条件，所以直线l的方程为33y x =+或.33y x =--22.已知函数2()2ln f x x mx x =-+（m R ∈）.（1）若()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的取值范围；（2）若45m <<，且()f x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <，求12()()f x f x -的取值范围.【答案】（1）4m ≤；（2）1504ln 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，.【解析】【分析】（1）由题意结合导数与函数单调性的关系可转化条件为22m x x≤+在(0,)+∞上恒成立，利用基本不等式求得22x x +的最小值即可得解；（2）由题意结合函数极值点的概念可得122m x x +=，121x x ⋅=，进而可得1112x <<，转化条件为21211211()()4ln f x f x x x x -=-+，令221()4ln g x x x x =-+（112x <<），利用导数求得函数()g x 的值域即可得解.【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，∵()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴2()20f x x m x '=-+≥在(0,)+∞上恒成立，即22m x x ≤+在(0,)+∞上恒成立，又224x x +≥=，当且仅当1x =时等号成立，∴4m ≤；（2）由题意2222()2x mx f x x m x x-+'=-+=，∵()f x 有两个极值点12,x x ，∴12,x x 为方程2220x mx -+=的两个不相等的实数根，由韦达定理得122m x x +=，121x x ⋅=，∵120x x <<，∴1201x x <<<，又121112()2()(4,5)m x x x x =+=+∈，解得1112x <<，∴()()2212111222()()2ln 2ln f x f x x mx x x mx x -=-+--+()()()()22121212122ln ln 2x x x x x x x x =-+--+-()()2221122ln ln x x x x =-+-2112114ln x x x =-+，设221()4ln g x x x x =-+（112x <<），则4222333242(21)2(1)()20x x x g x x x x x x---+--=-+='=<，∴()g x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，又1111544ln 4ln 22424g ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，(1)1100g =-+=，∴150()4ln 24g x <<-，即12()()f x f x -的取值范围为1504ln 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，牢记函数单调性与导数的关系、合理转化条件是解题关键，属于中档题.。

高三数学月考试卷解读一、试卷概述本次高三数学月考试卷主要目的是检验学生在本阶段学习的数学知识掌握情况，涵盖了高中数学的主要知识点，难度适中，题目类型包括选择题、填空题、解答题等。

二、试题解析选择题解析选择题主要考察了学生的基本知识掌握和逻辑思维能力，每个选项都有其合理性，需要学生仔细分析。

例如：1. 选择题第1题，考察了函数的基本概念，正确答案为C。

填空题解析填空题则更加注重学生的计算能力和对知识点的理解深度，例如：2. 填空题第2题，需要学生运用导数知识求函数极值，答案为\(-\frac{1}{2}\)。

解答题解析解答题是试卷中分值最高也是最重要的部分，主要考察学生的综合运用能力和解题策略。

例如：3. 解答题第3题，是一道应用题，需要学生将所学知识应用到实际问题中，考查学生的建模能力。

三、错误类型分析通过对试卷的批改，发现学生主要存在以下几种错误类型：1. 基础知识掌握不牢固，对基本概念、定理理解不深。

2. 计算能力不足，出现简单的算术错误。

3. 解题策略不当，缺乏分析问题和规划解题步骤的能力。

4. 写作不规范，尤其是解答题的步骤不清晰，逻辑混乱。

四、建议与总结针对以上错误类型，建议学生在接下来的学习中：1. 加强对基础知识的学习，理解和记忆基本概念、定理。

2. 提高计算能力，多做练习，尤其是基础算术题。

3. 学习并掌握解题策略，培养分析问题和规划解题步骤的能力。

4. 注意解答题的书写规范，步骤要清晰，逻辑要严密。

本次考试总体上反映了学生在数学学习中的不足之处，希望通过这次的考试，学生能够总结经验，改进学习方法，为接下来的高考做好充分的准备。

2024届高三4月大联考（新课标卷）数学·全解全析及评分标准阅卷注意事项：1．阅卷前请各学科教研组长，组织本学科改卷老师开会，强调改卷纪律，统一标准。

2．请老师改卷前务必先做一遍试题，了解自己所改试题的答案、评分细则、答题角度后，再开始改卷。

3．请老师认真批阅，不可出现漏改、错改现象，如果不小心漏改或错改了，可以返回上一题重评。

4．成绩发布后，如果有学校反馈错评乱评，平台定位阅卷老师，进行通报批评。

5．解答题要在学生的答案中找寻有用的文字说明、证明过程或演算步骤，合理即可给分。

6．解答题不要只看结果，结果正确，但中间的文字说明、证明过程或演算步骤无法建立有效衔接的，不能给满分；同样，结果错误，但正确写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤应给分，因第(1)问中结果算错，使后面最终结果出错(过程列式正确)，不宜重复扣分。

7．阅卷平台出现的相关问题，如果刷新页面重新登录未能解决，请将问题反馈给学校负责技术的老师(或考试负责人），由其统一在技术QQ 群里反馈问题并协助解决。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】由题意，知{0,1}A ，{1,0,1}B ，所以{0,1}A B ．故选B ．2．C 【解析】因为点(32,2)M p p 在抛物线C 上，所以2(32)2(2)p p p ，整理，得271640p p ， 解得2p 或27p．故选C ． 3．A 【解析】由||3||2 a b ，得2||||||23 a b a .由2()32 a a a b ，得222|||33| a a a b ，所以2|1|3a b a ， 所以1cos ||||2a b a b ．因为[0,π] ，所以 2π3．故选A ． 4．C 【解析】因为数据1234,,,x x x x 的平均数为x ，方差为2s ，所以414i i x x ，4221()4i i x x s ，所以数据1234,,,,x x x x x 的平均数为45x xx ，方差为4221(()5ii xx x x245s .故选C. 5．A 【解析】因为781a a ，所以780a a ，所以695100a a a a . 因为10456789100S S a a a a a a ，所以104S S .故选A.6．D 【解析】易知函数()f x 的最大值为4.设()f x 的最小正周期为T ，依题意，得2224()254TMN ，解得12T ，所以2π12，解得π6，所以π()4cos()6f x x .又点9(,0)4N 在函数()f x 的图象上，所以9π9(4cos()0464f ，结合图象，知π9π642 ，解得π8 ，所以ππ()4cos()68f x x ，所以5π5ππ()4cos()4cos 246483f ．故选D ．7．A 【解析】由题意，知双曲线C 的渐近线方程为0bx ay . 设双曲线C 的半焦距为c ，则右焦点(,0)F c 到渐近线的距离||DF b．设点00(,)E x y ,则2200221x y a b,即22222200b x a y a b .又||||DE EG=222a b c,所以2222||||11||3DE EG a DF c e ,解得e ．故选A. 8．B 【解析】由题意，知4为函数()y f x 的一个周期且函数()f x 的图象关于直线2x 对称． 当[0,2]x 时，由函数()y f x 的解析式，画出函数()f x 的大致图象如图所示． 当(0,1)x 时，函数()y f x 的图象与函数|lg |y x 的图象有且仅有一个交点；当[1,10]x 时，总有()1f x ．而函数|lg |y x 在区间[1,10]上单调递增且|lg10|1 ，5(10)(2)12f f ，所以函数()y f x 的图象与函数|lg |y x 的图象在区间[1,10]上没有交点． 综上，函数()()|lg |F x f x x 在区间(0,10]上的零点个数为1．故选B ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学4月份调研考试试题文〔含解析〕一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数不等式的解法得到集合=，再由集合的交集的概念得到结果.【详解】集合，=根据集合的交集的概念得到.故答案为：B.【点睛】这个题目考察了集合的交集的解法，以及指数不等式的解法.，那么以下关系式中正确的选项是〔〕A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的模的计算得到进而判断其它选项的正误.【详解】复数，排除AB，故得到故答案为：D.【点睛】这个题目考察了复数的模长的计算，属于简单题.3.，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据同角三角函数关系得到再由，进而得到结果.【详解】，，那么因为故答案为：B.【点睛】此题主要考察了同角三角函数根本关系的应用．此题利用了sin2θ+cos2θ=1巧妙的完成弦切互化．常用的还有三姐妹的应用，一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三.的离心率为，那么双曲线的渐近线方程为〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的离心率公式得到进而得到渐近线方程.【详解】双曲线的离心率为，即双曲线的渐近线方程为：故答案为：B.【点睛】这个题目考察了双曲线的离心率的求法，以及设计了离心率和渐近线的表达式间的关系，属于根底题.5.如图，正方体中，，，，分别为，，，的中点，那么直线，所成角的大小为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过做平行线，得到直线，所成角的大小，可转化为的夹角，三角形,三边均为正方体的面对角线，是等边三角形，进而得到结果.【详解】连接，根据，，，分别为，，，的中点，可得到是三角形的中位线，故得到同理可得到，进而直线，所成角的大小，可转化为的夹角，三角形,三边均为正方体的面对角线，是等边三角形，故得到的夹角为故答案为：C.【点睛】这个题目考察了异面直线的夹角的求法，常见方法有：通过做平行线将异面直线转化为同一个平面的直线，进而将空间角转化为平面角.是定义域为的奇函数，当时，，那么不等式的解集为〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】,函数是定义域为的奇函数，根据函数表达式可得到函数单调递增，故只需要.【详解】当时，,,函数是定义域为的奇函数，当时，,可得到函数是单调递增的，故在整个实属范围内也是单调递增的，故只需要.故答案为：A.【点睛】这个题目考察了函数奇偶性的应用，以及函数单调性的应用，对于解不等式的问题，假设不等式的解析式未知或者者表达式，直接解不等式非常复杂，那么通常是研究函数的奇偶性和单调性来到达解不等式的目的.7.，，向量，那么〔〕A.-22B.22C.6D.-6【答案】A【解析】【分析】根据点的坐标得到，再由向量点积的坐标公式得到结果.【详解】，向量,,故答案为：A.【点睛】这个题目考察了向量的点积运算以及向量的坐标表示和运算，属于根底题目.在区间上是增函数，其在区间上恰好获得一次最大值2，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的单调性得到，又因为在区间上恰好获得一次最大值，进而得到两者取交集即可.【详解】函数在区间上是增函数，故得到当时，，函数在区间上恰好获得一次最大值，故得到综上：故答案为：A.【点睛】这个题目考察了三角函数的单调性的应用以及三角函数最值的求法，属于根底题.在研究函数的单调性和最值时，一般采用的是整体思想，将ωx+φ看做一个整体，地位等同于sinx中的x.的底面边长为3，外接球外表积为，那么正三棱柱的体积为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正三棱柱的几何特点得到外接球的半径为2，找到球心位置，由勾股定理得到棱柱的高，进而得到体积.【详解】正三棱柱的底面边长为3,故底面的外接圆的半径为：外接球外表积为外接球的球心在上下两个底面的外心MN的连线的中点上，记为O点，如下列图在三角形中，解得故棱柱的体积为：故答案为：D.【点睛】此题考察了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象才能，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点间隔相等，这样可先确定几何体中局部点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的间隔相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点间隔相等的直线〔这两个多边形需有公一共点〕，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的间隔，球心到底面中心的间隔，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.中，给出以下说法：①假设，那么一定有；②恒有；③假设，那么为锐角三角形.其中正确说法的个数有〔〕A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据三角形中大边对大角以及正弦定理得到①正确；由正弦函数的单调性得到②正确；由前两个判断的根底得到故最后一个错误.【详解】在中，假设，根据大边对大角可得到，故①正确；在中，正弦函数在这一区间内是单调递增的，故得到故②正确；假设，即故三角形为钝角三角形，故③错误.故答案为：C.11.生活中人们常用“通五经贯六艺〞形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺〞其实源于中国周朝的贵族教育体系，详细包括“礼、乐、射、御、书、数〞.为弘国传统文化，某校在学生业余兴趣活动中开展了“六艺〞知识讲座，现从中任选两门，其中“礼〞和“书〞至少有一门被选出来的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】从中任选两门有种选法，其中“礼〞和“书〞至少有一门被选出来，分两种情况，将两种情况加到一起即可.【详解】从中任选两门有种选法，其中“礼〞和“书〞至少有一门被选出来，分两种情况，其一两者有一个被选出来，选法有：种，两个都被选中有1种选法，一共有9种选法，概率为故答案为：C.【点睛】解排列组合问题要遵循两个原那么：①按元素(或者位置)的性质进展分类；②按事情发生的过程进展分步．详细地说，解排列组合问题常以元素(或者位置)为主体，即先满足特殊元素(或者位置)，再考虑其他元素(或者位置)．的图像上存在两个点关于轴对称，那么实数的取值范围为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函数的图像上存在两个点关于轴对称,即的图像关于y轴变换后和有交点，有正根，构造函数求导得到函数的单调性和最值，进而得到结果.【详解】函数的图像上存在两个点关于轴对称,即的图像关于y轴变换后和有交点，即有正根，有正根，令，，故导函数恒大于0，原函数单调递增，故得到，故只需要故答案为：B.【点睛】此题考察函数的零点，导数的综合应用．在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用别离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论．二、填空题。

2022年湖北省高考数学调研试卷（4月份）（二模）1.设，，则( )A. B.C. D.2.若复数z的满足是虚数单位，则复数z的实部是( )A. 1B. 2C. iD.3.函数的部分图象如图所示，则函数的解析式是( )A.B.C.D.4.已知平行四边形ABCD中，，，，，则( )A. 9B.C. 18D.5.已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中的系数为( )A. 160B.C. 60D.6.在四棱锥中，平面ABCD，，点M是矩形ABCD内含边界的动点，且，，直线PM与平面ABCD所成的角为记点M的轨迹长度为，则( )A. B. 1 C. D. 27.已知、是双曲线的左，右焦点，过的直线l与双曲线C交于M，N 两点，且，则C的离心率为( )A. B. C. D. 38.已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是( )A. B.C. D.9.已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示，则下列说法正确的是( )A. 甲组数据的极差大于乙组数据的极差B. 若甲，乙两组数据的平均数分别为，则C. 若甲，乙两组数据的方差分别为，，则D. 甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数10.定义空间两个非零向量的一种运算：，，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有( )A. B.C. 若，则D.11.设动直线l：交圆C：于A，B两点点C为圆心，则下列说法正确的有( )A. 直线l过定点B. 当取得最小值时，C. 当最小时，其余弦值为D. 的最大值为2412.在棱长为1的正方体中，已知E为线段的中点，点F和点P分别满足，其中，，则( )A. 当时，三棱锥的体积为定值B. 当时，四棱锥的外接球的表面积是C. 若直线CP与平面ABCD所成角的正弦值为，则D. 存在唯一的实数对，使得平面EFP13.若随机变量，且，则等于______.14.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．用表示解下个圆环所需的最少移动次数．若，且，则解下6个圆环所需的最少移动次数为______.15.设抛物线的焦点为F，准线为l，过第一象限内的抛物线上一点A作l的垂线，垂足为设，AF与BC相交于点若，且的面积为，则直线AC的斜率______，抛物线的方程为______.16.已知函数，，若，则的最大值为______.17.如图，在平面四边形ABCD中，，，若，求；若，求四边形ABCD的面积．18.已知正项等差数列满足：，且，，成等比数列．求的通项公式；设，是数列的前n项和，若对任意均有恒成立，求的最小值．19.某企业使用新技术对某款芯片进行试生产．在试产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率．20.如图，在斜三棱柱中，，，侧面底面ABC，点M，N分别为，BC的中点，点D为线段AC上一点，且求证：平面；求二面角的正弦值．21.在平面直角坐标系中xOy，椭圆的离心率为，点在椭圆C上．求椭圆C的方程；设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线AB的斜率为，直线QB的斜率为，已知①求证：直线PQ恒过x轴上一定点；②设和的面积分别为，，求的最大值．22.已知函数，若不等式恒成立，求正实数a的值；证明：答案和解析1.【答案】B【解析】解：，，，故选：解不等式求出B，求出A的补集，求出即可．本题考查了集合的运算，是基础题．2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查复数的概念以及复数的乘除法法则，属于基础题．根据已知条件得，结合复数的乘除法法则，即可求解．【解答】解：，，复数z的实部为故选：3.【答案】D【解析】解：根据函数的部分图象，可得，再根据五点法作图，可得，，故，故选：由周期期求出，由五点作图求出，可得函数的解析式．本题主要考查由函数的部分图象求函数的解析式，由周期求出，由五点作图求出，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：设与之间的夹角为，则故选：利用平面向量的数量积运算进行求解即可．本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：由已知得，解得，故二项式为，故展开式中含的项为：故选：根据二项式系数的性质求出n的值，然后结合组合的知识求出的系数．本题考查二项式系数的性质以及展开式系数的求法，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：因为平面ABCD，所以即为直线PM与平面ABCD所成的角，所以，因为，所以，所以点M位于矩形ABCD内的以点A为圆心，2为半径的圆上，则点M的轨迹为圆弧EF，连接AF，则，因为，，所以，则弧EF的长度，所以故选：根据题意即为直线PM与平面ABCD所成的角，故问题转化为以点A为圆心在平面ABCD内做2为半径的圆，圆弧在矩形ABCD内的部分即为点M的轨迹，进而利用几何关系求解即可．本题考查了线面角的计算，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：设，则，设，则由双曲线的定义得，解得，所以，，，，所以为等边三角形，所以，则，在中，由余弦定理得，，即，化简得，，所以双曲线的离心率为，故选：由已知条件结合双曲线的定义可得为等边三角形，从而得，然后在中，利用余弦定理化简可得到，从而可求出离心率的值．本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解等知识，属于中等题．8.【答案】D【解析】解：由，得，得或，的定义域为或又，是偶函数．当时，为增函数，设，则，为增函数，为增函数，则不等式等价为不等式，，，解得或，即不等式的解集为故选：根据条件判断函数的奇偶性和单调性，再利用函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，函数的奇偶性和单调性，结合函数的单调性和奇偶性进行转化是解决本题的关键，是中档题．9.【答案】BD【解析】解：由折线图得：对于A，甲组数据的极差小于乙组数据的极差，故A错误；对于B，甲组数据除第二天数据图低于乙组数据，其它天数数据都高于乙组数据，可知，故B正确；对于C，甲组数据比乙组数据稳定，，故C错误；对于D，甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，故D正确．故选：根据折线图中的数据，结合极差的概念、平均数的求法、方差的求法及意义、中位数的概念，即可判断各项的正误．本题考查命题真假的判断，考查极差、平均数、方差、中位数、折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】BD【解析】解：对于A，若为负数，可知，故A错误，对于B，由定义知B正确，对于C，若，则共线，故C错误，对于D，由定义知，故D正确．故选：理解新定义，对选项逐一判断即可．本题考查了平面向量数量积的计算，属于基础题．11.【答案】AD【解析】解：对于A：由l：整理得，当，即时，不论m为何值时都成立，所以直线l过定点，故A正确；对于B：因为直线l过定点，将定点代入圆C：，所以定点在圆C的内部，当直线l过圆心时，取得最大值，此时解得，故B错误；对于C：设直线l过的定点，当时，最小，而，所以，所以在中，由余弦定理计算可得，故C不正确；对于D：，而表示在方向上的投影，所以当、共线即A、C、B、M四点共线，且方向相同时，取得最大值，此时，所以的最大值为24，故D正确．故选：对于A：整理得，由此可求得直线所过的定点；对于B：由直线l过定点，且定点在圆C的内部，当直线l过圆心时，取得最大值，由此求得m的值；对于C：设直线l过的定点，当时，最小，由余弦定理计算可判断；对于D：当、共线，且方向相同时，取得最大值，由此可判断．本题考查了直线过定点、直线与圆的关系，难点在于C、D两项中直线在什么情况才能使选项中的最值成立，属于中档题．12.【答案】ABC【解析】解：对于A，当时，F是的中点，连接与交于点E，则E为的中点，，面EFD，又点P在上，点P到面EFD的距离为定值，三棱锥的体积为定值，故A正确；对于B，当时，点P为的中点，设四棱锥的外接球的半径为R，则球心O在PM延长线上，由得，由得，解得，外接球的表面积为，故B正确；对于C，连接BD，过点P作于M，连接CM，平面ABCD：平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，为CP与平面ABCD所成角，，，在由余弦定理有，在中由勾股定理有，，解得，故C正确；对于D，点F在上，又E在上，P在上，平面PEF即为平面，又易证平面，是平面的法向量，要使平面EFP，须与共线，即须与共线，显然不可能，不存在实数对使得平面EFP，故D错误．故选：根据锥体体积的求法、几何体外接球表面积的求法、线面角、线面垂直等知识对选项进行分析，由此确定正确选项．本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．13.【答案】【解析】解：随机变量，且，，故答案为：根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．14.【答案】64【解析】解：由，且，，，，，故答案为：根据数列递推关系式，采用归纳推理即可求解．本题考查由数列递推关系式，采用归纳推理求指定的项，属基础题．15.【答案】【解析】解：如图所示，，所以轴，，，，所以四边形ABFC为平行四边形，，，解得，代入可取，，解得，，故答案为：；由抛物线定义可得四边形ABFC为平行四边形，故，可得点，即得抛物线方程．本题主要考查抛物线的几何性质，抛物线方程的求解等知识，属于中等题．16.【答案】【解析】解：由题意，可得，所以，则，所以，又，得，因为在上的单调递增，所以，所以，令，则，令，得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，故答案为：由题意，可得，则，又由，得，结合在上的单调递增，可得，推出，令，求导分析单调性，再求出的最大值．本题考查导数的综合应用，函数与方程之间的关系，解题中需要理清思路，属于中档题．17.【答案】解：连接BD，在中，，且，，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以在中，由余弦定理得，即，解得，或，舍去，所以四边形ABCD的面积为【解析】连接BD后由余弦定理与两角和的正弦公式即可求解．由余弦定理与面积公式即可求解．本题考查了余弦定理与两角和的正弦公式与三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：由数列为正项等差数列，设首项为，公差为d，则，，又，则，即，①又，，成等比数列，则，②将①代入②得：，即；由得，则，又对任意均有恒成立，则，则的最小值为【解析】先设首项为，公差为d，则，，再由已知条件可得，然后可求得通项公式；由，再累加求和即可得解．本题考查了数列通项公式的求法，重点考查了累加求和，属中档题．19.【答案】解：该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率设该批次智能自动检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，则，，则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率【解析】根据已知条件，结合相互独立事件的概率公式，以及对立事件概率和为1，即可求解．根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．本题主要考查条件概率公式，考查转化能力，属于中档题．20.【答案】解：证明：取BN中点O，连接AO，OM，点M，N分别为，BC的中点，，平面，平面，，又，，平面，平面，，平面平面，又平面AOM，平面；取AC的中点K，连接KB，，由已知可证，，又侧面底面ABC，，以K为原点，KB，KC，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面AMN的一个法向量为，则，令，，，平面AMN的一个法向量为，又平面ABC，为平面ANC的一个法向量，，二面角的正弦值为【解析】取BN中点O，连接AO，OM，平面，平面，可证平面平面，由面面平行的性质可得平面；取AC的中点K，连接KB，，易证KB，KC，两两垂直，以K为原点，KB，KC，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求两平面的法向量，利用向量法可求二面角的正弦值．本题考查线面平行的证明，以及二面角的正弦值的求法，属中档题．21.【答案】解：由题意可得解得，所以椭圆C的方程为①证明：方法一：第三定义转化：依题意，点，，设，，因为若直线PQ的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有，不合题意．所以直线PQ斜率必不为0，设其方程为，与椭圆C联立，整理得：，所以，且因为点是椭圆上一点，即，所以，所以，即因为，所以，此时，故直线PQ恒过x轴上一定点方法二：依题意，点，，设，因为若直线PQ的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有，不合题意所以直线PQ斜率必不为0，设其方程为，与椭圆C联立得：所以整理得：，所以，且依题意，，即算法1：和积关系转化法：因为，所以，所以解得：算法2：韦达定理代入消元：因为，所以，所以解得：方法三：分设两线再联立：依题意，点，，设，，设，，并设直线AP：，直线BQ：，因为联立直线AP与椭圆C得：所以整理得：，解得：因为联立直线BQ与椭圆C得：，所以整理得：，解得：因为，且，此时，设直线PQ与x轴交于点，则由P，D，Q三点共线易知，，即线段PQ过点②解：由①得，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最大值为【解析】由题意列方程组求解；①设PQ直线方程，与椭圆方程联立，由题意列方程通过韦达定理化简求解②由面积公式与韦达定理化简后转化为函数求最值．本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，直线恒过定点问题等知识，属于中等题．22.【答案】解：因为不等式恒成立，所以，令，，当时，单调递增，的值域为R，不符合题意，当时，则，也不符合题意，当时，令，得，令，则，所以在上单调递增，且，所以有唯一实数根，即有唯一实数根，设为，即，所以在上为减函数，在上为增函数，所以，故只需，令，上式即转化为，设，则，所以在上单调递增，在上单调递减，从而，所以，所以，解得，从而有，则，所以满足条件的实数为证明：由可知，所以只需证明，，恒有，注意到前面已经证明：，只需要证明，当时，恒有，且等号不能同时成立，当时，设，则，当时，是单调递增函数，且，所以当时恒有，所以当时，单调递减，所以，即，所以【解析】问题可转化为不等式恒成立，令，求导得，分三种情况：当时，当时，当时，讨论的单调性，最小值，只需，即可得出答案．由可知，只需证明，，恒有，注意到前面已经证明：，只需要证明，即可得出答案．本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的关系，解题中注意转化思想及分类讨论方法的应用，属于中档题．。

武汉市2024届高中毕业生四月调研考试数学试卷参考答案及评分标准填空题：12. 1213.14.解答题：15.（13分）解： （1）由题意，cos cos sin 3sin sin C A C B A=−，得：3sin cos sin cos cos sin B C A C A C −=.所以3sin cos sin cos cos sin sin()B C A C A C A C =+=+.又sin()sin()sin A C B B π+=−=，且sin 0B ≠，所以1cos 3C =.由sin 0C >，故sin C ==. …………6分（2）1sin 2S ab C ==15ab =.由余弦定理，222222cos 10c a b ab C a b =+−=+−. 又22226()6()180c a b a b =−=+−.联立得：2234a b +=，c =8a b +==.所以ABC ∆的周长为8a b c ++=+.…………13分16.（15分）解：（1）1a =−时，2()ln f x x x x =++，1'()12f x x x=++.'(1)4f =，(1)2f =.所求切线方程为4(1)2y x =−+，整理得：42y x =−.…………5分（2）2121'()2x ax f x a x x x−+=−+=. 因为0x >，故0a ≤时，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上递增.当0a >时，对于221y x ax =−+，28a ∆=−.若0a <≤0∆≤，此时'()0f x ≥，()f x 在(0,)+∞上递增.若a >2210x ax −+=，得0x =>.0x <<时，'()0f x >，()f x 递增；x >'()0f x >，()f x 递增；x <<'()0f x <，()f x 递减；综上所述：a ≤()f x 在(0,)+∞上递增；a >()f x 在上递增，在上递减，在)+∞上递增， …………15分17.（15分）解：（1）连接,DA EA ，11DA =，12AA =，160DA A ∠=︒，2212212cos 603DE =+−⋅⋅⋅︒=.满足22211DA DA AA +=，所以1DA DA ⊥，即DA AB ⊥.平面11ABB A ⊥平面ABC ，且交线为AB ，由DA AB ⊥，得DA ⊥平面ABC . 由BC ⊂平面ABC ，得DA BC ⊥，又DE BC ⊥，且DA DE D =，所以BC ⊥平面DAE .由AE ⊂平面DAE ，得BC AE ⊥.设,3BE t CE t ==，有2222(3)BA t AC t −=−，解得：1t =.所以4BC =，满足222BA AC BC +=，即AC AB ⊥，所以AC ⊥平面11ABB A . 由1BB ⊂平面11ABB A ，得1AC BB ⊥.…………8分（2）以A 为坐标原点，,,AB AC AD 为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系. (0,0,3)D ，33(,,0)22E ，1(1,0,3)A −，1(1,0,0)DA =−，135(,,3)22EA =−−.设平面1DEA 的法向量(,,)n x y z =，由1100n DA n EA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0353022x x y z −=⎧⎪⎨−−+=⎪⎩，取1z =，得到平面PBD 的一个法向量(0,2,1)n =.又11(1,0,3)BB AA ==−，设直线1与平面1所成角的大小为， 则11||315sin |cos ,|||||54n BB n BB n BB θ⋅=<>===⋅⋅所以直线1BB 与平面1DEA 所成角的正弦值为1510.…………15分18.（17分）解：（1）设1122(,),(,),(,)P P A x y B x y P x y . 由2y x =，得'2y x =，所以1l 方程为：1112()y x x x y =−+，整理得：2112y x x x =−. 同理，2l 方程为：2222y x x x =−.联立得：122P x x x +=，12P y x x =. 设直线AB 的方程为(1)2y k x =−+，与抛物线方程联立得：220x kx k −+−=故12x x k +=，122x x k =−，所以2P k x =，2P y k =−，有22P P y x =−.所以点P 在定直线22y x =−上. …………6分（2）在12,l l 的方程中，令0y =，得12(,0),(,0)22x xM N ， 所以PMN ∆面积121211|||||()|24P S MN y x x x x =⋅=−= 故221212()()32x x x x −=，带入可得：22(48)(44)32k k k k −+−+=.22[(2)8][(2)4]0k k −+−−=，解得：0k =或4k =.所以点P 的坐标为(0,2)−或(2,2).…………11分（3）抛物线焦点1(0,)4F ，由1(,0)2xM 得直线MF 斜率1112MF MPk x k =−=−，所以MF MP ⊥，同理NF NP ⊥，所以PF 是PMN ∆外接圆的直径. 若点T 也在该圆上，则TF TP ⊥. 由74TF k =，得直线TP 的方程为：4(1)27y x =−−+.又点P 在定直线22y x =−上，联立两直线方程，解得点P 的坐标为1614(,)99.…………17分19.（17分）解：（1）1()(1)k P X k p p −==−， 1211(1)[12(1)3(1)...(1)]nk n k k p p p p p n p −−=−=+−+−++−∑，记2112(1)3(1) (1)n n S p p n p −=+−+−++−，则21(1)(1)2(1)...(1)(1)(1)n n n p S p p n p n p −−=−+−++−−+−，相减得：211(1)(1)...(1)(1)n n n pS p p p n p −=+−+−++−−−1(1)1(1)(1)(1)1(1)n n n n p p n p n p p p−−−−=−−=−−−−由题意：1(1)1()lim()lim[(1)]nn n n n p E X pS n p p p→∞→∞−−==−−=.…………5分（2）（i ）2222(1)(1)2(1)(2)E p E p p p E =−⋅++⋅+−⋅+.解得：221pE p+=. …………8分 （ii ）期待在1n E −次试验后，首次出现连续(1)n −次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为1(1)n E −+；若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是n E ，此时总的试验次数为1(1)n n E E −++.即11(1)(1)(1)n n n n E p E p E E −−=⋅++−⋅++.整理得：11(1)n n E E p−=+，即1111()11n n E E p p p −+=+−−.所以11111()11n n E E p pp −+=+−−. 由（1）知11E p=，代入得：1(1)nn np E p p−=−.…………17分。

2013年武汉市高三四调数学试卷点评文科数学一、试卷结构选择题10题，共计50分；填空题7题，共计35分；解答题5题，共计65分（分值分别为12、12、13、14、14）。

二、试题难度本次考试试卷难度适中，信息量、计算量都不算大，像选择题1,2,3,4,5和填空题11,12都是计算量很小且容易得分的。

总体来说，题目的知识点覆盖还是相当全面的，除选填题覆盖了大部分知识点以外，解答题第一题考察了解三角形和三角函数，第二题考察了立体几何中的垂直以及平行的判定，第三题考察了统计中的分层抽样以及概率中的古典概型，第四题考察了导数中的含参问题以及证明问题，最后一题考察了椭圆的相关知识且第二问是探索问题。

本套试卷对于成绩好的学生来说考130以上的难度并不大，对于基础一般的学生来说及格不成问题，而对于基础比较差的学生来说也可以针对个别知识考查相对孤立的题目拿分。

三、复习策略文化生：1.回归课本，复习基础知识点；2.套题训练中，着重加强弱项训练（注意：不是要攻难题，而是要攻不难且自己易出问题的题）；3.加强选填题技巧性训练（目的：一方面可节省出时间给解答题，另一方面可利用技巧来检验选填题的正误）。

艺术生：放弃全面复习，选择简单的知识点逐个突破。

理科数学一、试卷结构选择题10题，共计50分；填空题5题，共计25分；解答题6题，共计75分（分值分别为12、12、12、12、13、14）。

二、试题难度本次考试试卷部分题目稍微偏难，总体来说计算量不算大。

试题知识点覆盖非常全面，解答题第一题考察解三角形和三角函数，第二题考察数列求通项，第三题考察立体几何中垂直关系的证明及线面角，第四题考察概率及随机变量的分布列，第五题考察了椭圆（第二问是探索问题），最后一题考察函数与导数。

其中选择题后三题和填空题13,14题以及解答题的最后一题都不容易，对学生的综合实力有很高的要求。

本套试卷对于基础还可以的学生来说及格并不难，但要想达到140绝非易事。

高三四月调考数学试卷评析二月调考全面考查基础知识、基本技巧；四月调考则全方位考查学生的能力，武汉市四月调考数学试题立意平和朴实，寓含深意但又不失新颖，重视基础，突出能力，体现数学本质，凸显数学思想，深化课改理念，恰当、合理的设计与打磨，无不闪现出命题人的独具匠心、数学功底和对高中数学教学的整体把握。

试题的主要特点1、注重基础，难易适当文、理科数学试题的起点都较低，由易到难，前6道选择题都是容易题，稍加计算就能选择正确结果，在考场上能够稳定学生情绪。

理科学生的情绪从第9题开始起伏波动直到填空题的第14题；而文科生的情绪从第8题开始起伏波动直到填空题的第14题。

此次填空题的能力起点上移。

解答题分层设问，难易搭配适当，控制了较难题的比例，通性通法与能力考查相得益彰。

六道解答题由易到难，坡度恰当。

理科第21、22题和文科第22题知识运用具有综合性，要求细致的分析和严密的推理，蕴含了数学的理性精神和审慎的思维习惯。

试卷注重基础，但完全答对则需具备扎实的功底。

试题立足课本，题目多数选材源于教材（文1源于必修1P11练习4、文4源于P73练习2、文5源于P91练习2改编、文12源于1-1P54习题1，文18理17（1）源于必修4P137习题3等；理1改编自必修4P120习题4理5改编自2-3P40习题8、理18改编自必修5P45例4、理22源于2-2导数复习参考题B组等），都是学生学习中遇见过的问题，体现了一定的人文关怀，障碍设计合理，要求考生深入掌握数学的概念、性质、公式、定理和基本的数学思维方法与技能，以达到举一反三、事半功倍之效，促使学生把知识学活。

试卷强调综合性，以能力立意，难度适中，虽然问题入手很容易，感觉很简单，想合理算出结果还要有较强的数学思维能力和知识的综合能力，整套试题很好地考查了《考试说明》中的基本数学思想：如函数与方程的思想（理10题、文5、15题等）、数形结合的思想（文科第七题）、化归与转化的思想（理14、文17）、特殊与一般的思想（理8文9）、分类与整合的思想（理16、22）等。

广西高三2023年4月模拟考试数学试卷分析一、试卷总体评价本次模拟考试的数学试卷在难度和题型上与高考相当，覆盖面广，重点突出，难易适中，特别注重学生能力的考察。

整张试卷既关注数学基础知识的考察，也关注数学思想方法的考察，同时对数学应用题的考察也相当重视。

试卷的题型丰富，有选择题、填空题和解答题，能全面检测学生的数学素养。

二、学生完成情况分析从整体上看，大部分学生对数学概念和数学规律的掌握比较好，对数学知识的理解与应用也表现较好。

学生能掌握基本的方法和解题技巧，但在解题的灵活性和变通性方面还有待提高。

选择题和填空题是学生的薄弱环节，一些学生解题的正确率不高，需要加强训练。

在解答题方面，学生的得分率也相对较低，反映出学生对一些难题的解题方法掌握不够熟练。

三、试题特点分析1. 试卷整体难度适中，重点突出。

本次模拟考试数学试卷覆盖面较广，重点考察了函数、三角函数、数列、立体几何、解析几何等知识点，同时对一些基础知识、基本技能和方法进行了重点考察。

2. 试题题型多样，难易适中。

试卷中的题型包括选择题、填空题和解答题，各题型难度适中，选择题注重基础，填空题和解答题注重对学生综合能力素质的考察。

3. 联系实际生活，考察应用能力。

本次模拟考试数学试卷中有一道应用题，考察了学生运用数学知识解决实际问题的能力，有助于提高学生的应用意识。

四、备考建议针对以上特点，我们建议学生在备考过程中要注意以下几点：1. 注重基础知识的学习和巩固，加强基本技能和方法的训练。

2. 加强选择题和填空题的训练，提高解题的正确率。

3. 加强对难题的解题方法的训练和掌握，提高解题能力。

4. 注重联系实际生活的问题，加强应用意识的训练。

5. 学会总结和反思，及时发现和解决学习中存在的问题，不断提高自己的数学素养。

总之，本次模拟考试数学试卷难度适中，重点突出，考察内容全面，有助于学生了解自己的学习情况。

学生在备考过程中要注重基础知识的巩固和应用能力的提高，为即将到来的高考做好充分的准备。