荆门市2014-2015学年度高三年级元月调研考试数 学（理）全卷满分150分。
考试用时120分钟。
【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的应用、三角函数、解三角形、数列、平面向量、立体几何、导数的应用、直线与圆、圆锥曲线、集合、排列组合、命题、简单的线性规划等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1．集合{}{}26,30A x N x B x R x x =∈=∈->≤，则A B =IA ．{}3,4,5B ．{}4,5,6C ．{}36x x <≤D ．{}36x x <≤【知识点】集合的运算A1【答案】【解析】B解析：因为{}{}{}{}260,1,2,3,4,5,6,303A x N x B x R x x x x =∈==∈->=>≤或x<0，所以A B =I {4，5，6},则选B .【思路点拨】先明确集合A 中的元素及集合B 中的元素范围，再求交集.【题文】2．下列命题中，真命题是 A ．0x R ∃∈，使得00xe ≤ B ．22sin 3(π,)sin x x k k Z x+≠∈≥ C ．2,2xx R x ∀∈> D ．1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件【知识点】命题A2 【答案】【解析】D解析：因为0xe >,所以A 是假命题，当x=2π-时，22sin 13sin x x+=-<，所以B 错误，当x=2时，222=2，所以C 错误，则只有D 正确，所以选D.【思路点拨】判断命题的真假若直接推导不方便时，可利用特例法进行排除判断. 【题文】3．要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数πsin(2)3y x =-的图象A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度【知识点】三角函数的图象C4 【答案】【解析】B解析：因为πsin(2)=sin236y x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，可知用6x π+换x 即可得到函数y=sin2x 的图象，所以向左平移6π个长度单位，则选B.. 【思路点拨】由函数解析式判断两个函数的图象的左右平移，只需观察x 的变换，结合左加右减进行判断.【题文】4．对于函数2(),f x x mx n =++若()0,()0f a f b >>，则函数()f x 在区间(,)a b 内 A ．一定有零点 B ．一定没有零点 C ．可能有两个零点 D ．至多有一个零点 【知识点】函数与方程B9 【答案】【解析】C解析：由二次函数的图象可知，若a,b 在二次函数的两个零点外侧，则有()0,()0f a f b >>，所以函数()f x 在区间(,)a b 内可能有两个零点，所以选C. 【思路点拨】判断二次函数的零点，可结合其图象进行判断.【题文】5．设x R ∈, 对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+ 的上确界. 若,a b R +∈，且1a b +=，则122ab--的上确界为A ．5-B ．4-C ．92D ．92-【知识点】基本不等式E6 【答案】【解析】D 解析：因为()121252592222222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，所以12292a b --≤-，则选D.【思路点拨】由题意可知上确界即为函数的最大值，利用基本不等式求所给式子的最大值即可.【题文】6．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为 A ．3π32+ B ．π3+ C ．3π2D ．5π32+【知识点】三视图G2 【答案】【解析】A第6题图解析：由三视图可知该几何体为半个圆锥，其底面面积为211122ππ⨯=，侧面面积为21222ππ⨯+=+3π2+ A.【思路点拨】由三视图求表面积与体积时，可先通过三视图分析原几何体的特征，再进行求值.【题文】7．点(,)x y 是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标函数 z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则y x a-的最大值是A ．23B ．25C ．16D ．14【知识点】简单的线性规划E5 【答案】【解析】B【思路点拨】由题设条件，目标函数z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个，知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，故目标函数中系数必为负，最小值应在左上方边界AC 上取到，即x+ay=0应与直线AC 平行，进而计算可得a 值，最后结合目标函数yx a-的几何意义求出答案即可．【题文】8. 在直角坐标平面上，(1,4),(3,1)OA OB ==-uu r uu u r, 且OA uu r 与OB uu u r 在直线l 的方向向量上的投影的长度相等，则直线l 的斜率为A ．14-B ．25C ．25或43- D ．52【知识点】向量的数量积F3 【答案】【解析】C第7题图解析：设直线l 的一个方向向量为()1,v k =r，由题意可得OA v OB v v v••=u u u r r u u u r r rr ,∴|1+4k|=|-3+k|，解得k=25或43-,故选C ． 【思路点拨】可先结合直线的斜率设出直线的方向向量坐标，再利用向量的投影得到斜率的方程，解答即可.【题文】9．对于一个有限数列12(,,,)n p p p p =⋅⋅⋅，p 的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为121()n S S S n++⋅⋅⋅+，其中12(1,)k k S p p p k n k N =++⋅⋅⋅+∈≤≤．若一个99项的数列（1299,,,)p p p ⋅⋅⋅的蔡查罗和为1000，那么100项数列1299(9,,,,)p p p ⋅⋅⋅的蔡查罗和为 A ．991 B ．992 C ．993D ．999【知识点】数列求和D4 【答案】【解析】D∴129999000S S S +++=K ，则100项的数列()12999,,,,p pp K “蔡查罗和”为【思路点拨】理解新定义的含义，结合新定义列出已知和所求，即可得到解答.【题文】10．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈u u r u u r u u r，316λμ⋅=，则双曲线的离心率为A3B5C 2D ．98【知识点】双曲线的性质H6 【答案】【解析】A解析：双曲线的渐近线为：y=±b a x ，设焦点F （c ，0），则A （c ，bc a ），B （c ，－bca），P （c ，2b a ），∵OP OA OB λμ=+uu r uu r uu r ，∴（c ，2b a ）=（（λ+μ）c ，（λ－μ）bca），∴λ+μ=1，λ－μ=b c ，解得λ=2c b c + ，μ=2c b c -，又由316λμ⋅=，得2c b c +×2c b c -=316，解得2234a c =∴e=c a = A. 【思路点拨】可结合向量关系寻求点的坐标关系，得到a,b,c 的关系再求离心率即可.【题文】二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分) 【题文】11．已知函数|1|(1)()3(1)x x x f x x -⎧=⎨>⎩≤，若()2f x =，则x = ▲ ．【知识点】分段函数B1【答案】【解析】－1解析：因为当x ＞1时，f(x) ＞3，所以若()2f x =，则1,12x x ≤-=，解得x=－1. 【思路点拨】可先分析分段函数当x ＞1时的函数值的取值范围，再由所给函数值求自变量的值.【题文】12．由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为▲ ．【知识点】直线与圆的位置关系H4 【答案】解析：若切线长最小，则直线上的点到圆心的距离最小，而直线上的点到圆心的距离最小值==.【思路点拨】一般遇到与圆有关的最值问题，通常转化为与圆心的关系进行解答.【题文】13．若函数21()ln 12f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则实数a 的取值范围 ▲ ． 【知识点】导数的应用B12【答案】【解析】31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：因为()()()21211'222x x f x x x x +-=-=,由x ＞0可知函数的极值点只有x=12,若函数21()ln 12f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则1012112a a ⎧≤-<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得312a ≤<，所以实数a 的范围是31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【思路点拨】因为所给函数已知，则可先求出函数的极值点，再结合函数的定义域及极值点得到关于a 满足的条件求解即可.【题文】14．在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比．如果20N 的力能使弹簧伸长4cm ，则把弹簧从平衡位置拉长8cm （在弹性限度内）时所做的功为 ▲ （单位：焦耳）. 【知识点】定积分B13 【答案】【解析】1.6解析：由F=kl 可知20N 的力能使弹簧伸长4cm,若使弹簧伸长8cm ，由公式可求伸长到8cm 时需40N 的力，由定积分可知有关力与距离的函数F=kl 图像中函数与x 轴在（0,8）围成的面积即为力做的功180.4 1.62W J =⨯⨯= . 【思路点拨】由力与伸长距离的函数关系求得所需的力，再由定积分求得力所做的功.【题文】15．已知：对于给定的*q N ∈及映射:,*f A B B N →⊆，若集合C A ⊆，且C 中所有元素在B 中对应的元素之和大于或等于q ，则称C 为集合A 的好子集．①对于{}3,,,,q A a b c d ==，映射:1,f x x A →∈，那么集合A 的所有好子集的个数为 ▲ ；②对于给定的q ，{}1,2,3,4,5,6,πA =，映射:f A B →的对应关系如下表：若当且仅当中含有和至少中3个整数或者中至少含有中5个整数时，C 为集合A 的好子集，则所有满足条件的数组(,,)q y z 为 ▲ ．【知识点】映射 排列组合的应用B11 J2 【答案】【解析】①5；②(5,1,2)解析：①因为A 中的每个元素对应的B 中的元素都是1，所以所A 的子集所有元素之和大于等于3，则子集的元素个数最少为3个，所以集合A 的所有好子集的个数为34445C C += ;②由当且仅当C 中含有π和至少A 中3个整数时C 为A 的好子集，知：z+1+1+1大于等于q 且z+1+1+y 大于等于q ，（1）同时，z+1+1小于q 且z+y+1小于q ，（2），又B 包含于正整数集所以y 大于等于1，（3），由上（1）（2）（3）知y=1，∵C 中至少含有A 中5个整数时，得出5大于等于q ，且4小于q ．所以q=5，将q=5代入（1）式，得：z 大于等于2 且z 小于3，∴z=2，综上（q ，y ，z ）=（5，1，2）．【思路点拨】本题主要考查的是映射、排列组合的综合应用，注意分类讨论思想的运用. 【题文】三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【题文】16．（本小题满分12分）已知向量2(cos ,1),,cos )222x x x m n =-=r r ，设函数()f x m n =u r r g ．（Ⅰ）求()f x 在区间[]0,π上的零点；（Ⅱ）在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别是,,a b c ，且满足2b ac =，求()f B 的取值范围．【知识点】向量的数量积 解三角形C8 F3【答案】【解析】（Ⅰ）π3和π；（Ⅱ）(－1,0]解析：因为2(cos ,1),,cos )222x x xm n =-=r r ，函数()f x m n =r r g ．所以21cos ()cos cos 22222x x x x f x x +=-=- ………………………2分11π1cos sin()2262x x x =--=--………………………4分 （Ⅰ）由()0f x =，得π1sin()62x -=．ππ=+2π66x k -∴，或π5π=+2π66x k k Z -∈，π=+2π3x k ∴，或=+2πx k k Z π∈， ………………………6分又[]0,πx ∈，π3x ∴=或π．所以()f x 在区间[]0,π上的零点是π3和π． ………………………8分（Ⅱ）在△ABC 中，2b ac =，所以222221cos 2222a cb ac ac ac B ac ac ac +-+-===≥． 由1cos 2B ≥且(0,π)B ∈，得π(0,],3B ∈从而πππ(]666B -∈-， ……………10分π11sin()(,]622B -∈-∴， π1()sin()(1,0]62f B B =-+∈-∴． ………………12分【思路点拨】一般研究三角函数的性质时，通常先化简成一个角的三角函数再进行解答.【题文】17．（本小题满分12分） 已知等比数列{}n a 满足：28432=++a a a ，且23+a 是42,a a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n }是单调递增的，令n n n a a b 21log =，12n S b b =++…n b +，求使5021>⋅++n n n S 成立的正整数n 的最小值．【知识点】等差数列 等比数列 数列求和D2 D3 D4【答案】【解析】（Ⅰ）2n n a =或612n n a -=；(Ⅱ)5解析：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为.q依题意，有3242(2)a a a +=+，代入23428a a a ++=，可得38a =，………2分2420a a ∴+=，∴213118,20,a q a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解之得12,2q a =⎧⎨=⎩ 或11,232.q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩…………4分 当12,2q a =⎧⎨=⎩时， 2nn a =； 当11,232.q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩时， 612n n a -=． ∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =或612n n a -=．…………………6分(Ⅱ)∵等比数列{a n }是单调递增的，∴2n n a =，∴122log 22n n nn b n ==-⋅，∴ 2(12222)n n S n =-⨯+⨯++⋅L③ ……………8分2312[1222(1)22]n n n S n n +=-⨯+⨯++-⋅+⋅L ④ 由③－④，得 2311122222222.n n n n n S n n +++=++++-⋅=--⋅L ………10分1250n n S n +∴+⋅>即12250n +->，即1252.n +>易知：当4n ≤时，15223252n +=<≤，当5n ≥时，16226452n +=>≥故使1250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为5.……………………12分【思路点拨】遇到与和有关的不等式可考虑先求和再解答，对于数列求和可先明确数列的通项公式，在结合通项公式特征确定求和思路. 【题文】18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA AB =, 点M 是SD 的中点，AN SC ⊥，且交SC 于点N ． （Ⅰ）求证://SB 平面ACM ；（Ⅱ）求证：平面SAC ⊥平面AMN ； （Ⅲ）求二面角D AC M --的余弦值．【知识点】平行关系 垂直关系 二面角G4 G5 G11 【答案】【解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）33解析：方法一：（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于E ，连结ME ．ABCD Q 是正方形，∴ E 是BD 的中点．M Q 是SD 的中点，∴ME 是△DSB 的中位线．∴//ME SB ． ………………………2分 又ME ⊂平面ACM ，SB ⊄平面ACM ，∴SB //平面ACM ． ………………………4分 （Ⅱ）证明：由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥∴ DC ⊥平面SAD ，且AM ⊂平面,SAD ∴.AM DC ⊥又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥ ∴AM ⊥平面.SDC SC ⊂平面,SDC ∴.SC AM ⊥ ……………6分 由已知SC AN ⊥ ∴SC ⊥平面.AMN第18题图又SC ⊂平面,SAC ∴平面SAC ⊥平面.AMN ……………………8分 （Ⅲ）取AD 中点F ，则MF //SA ．作FQ AC ⊥于Q ，连结MQ ． ∵SA ⊥底面ABCD ，∴MF ⊥底面ABCD ． ∴FQ 为MQ 在平面ABCD 内的射影．∵FQ AC ⊥,∴MQ ⊥AC ． ∴FQM ∠为二面角D AC M --的平面角． ………………………10分 设SA AB a ==，在Rt MFQ ∆中，112,222a MF SA FQ DE a ====， ∴2tan 224aFQM a∠==． ∴ 二面角D AC M --的余弦的大小为33． ………………………12分方法二：（II ）如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，由SA AB =,可设1AB AD AS ===，则11(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(,0,)22A B C D S M ．Q 11(,0,)22AM =uuu r ， ()1,1,1CS =--uu r ，11022AM CS ∴⋅=-+=uuu r uu r AM CS ∴⊥uuu r uu r ,即有SC AM ⊥…6分又SC AN ⊥且AN AM A =I ．SC ∴⊥平面AMN ． 又SC ⊂平面,SAC∴平面SAC ⊥平面AMN ． ………………………8分（Ⅲ） Q SA ⊥底面ABCD ，∴AS uu r 是平面ABCD 的一个法向量，(0,0,1)AS =u u r．设平面ACM 的法向量为(,,)n x y z =r ,11(1,1,0),(,0,)22AC AM ==uuruuu r, 则0,0.AC AM n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uur r uuu r 即00,1100.22x y x z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩, ∴,.y x z x =-⎧⎨=-⎩ 令1x =-,则(1,1,1)n =-r． ……………………10分cos ,3||||AS AS AS n n n <>===⋅uu r ruu r r g uu r r , 由作图可知二面角D AC M --为锐二面角 ∴二面角D AC M --………………………12分 【思路点拨】证明线面平行于面面垂直通常结合其判定定理进行证明，求二面角时可通过寻求二面角的平面角解答也可以建立空间直角坐标系用空间向量解答. 【题文】19．（本小题满分12分） 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10,100]（单位:万元）．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位:万元）随投资收益x （单位:万元）的增加而增加，且奖金不超过5万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（Ⅰ）若建立函数模型()y f x =制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励模型函数应满足的条件；（Ⅱ）现有两个奖励函数模型：1(1)120y x =+；2(2)log 2y x =-．试分析这两个函数模型是否符合公司要求．【知识点】函数模型及其应用B10【答案】【解析】（Ⅰ）①当[]10,100x ∈时，()f x 是增函数；②当[]10,100x ∈时，()5f x ≤恒成立；③当[]10,100x ∈时，()5xf x ≤恒成立．（Ⅱ）函数模型2log 2y x =-符合公司要求解析：（Ⅰ）设奖励函数模型为()y f x =，则该函数模型满足的条件是：①当[]10,100x ∈时，()f x 是增函数； ②当[]10,100x ∈时，()5f x ≤恒成立；③当[]10,100x ∈时，()5xf x ≤恒成立．………………………5分（Ⅱ）（1）对于函数模型1(1)120y x =+，它在[]10,100上是增函数，满足条件①； 但当80x =时，5y =，因此，当80x >时，5y >，不满足条件②；故该函数模型不符合公司要求．……………7分（2）对于函数模型2(2)log 2y x =-，它在[]10,100上是增函数．满足条件①∴100x =时max 22log 10022log 55y =-=<，即()5f x ≤恒成立．满足条件②…9分设21()log 25h x x x =--，则2log 1()5e h x x '=-，又[]10,100x ∈ 11110010x ∴≤≤∴2log 121()0105105e h x '<-<-=，所以()h x 在[]10,100上是递减的，因此2()(10)log 1040h x h <=-<，即()5xf x ≤恒成立．满足条件③故该函数模型符合公司要求综上所述，函数模型2log 2y x =-符合公司要求．…………12分【思路点拨】本题主要考查函数模型的选择，其实质是考查函数的基本性质，可先将文字语言转化为数学符号语言，再用数学方法定量计算得出所要求的结果. 【题文】20．（本小题满分13分）如图，已知圆E :22(3)16x y ++=，点(3,0)F ，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ．（Ⅰ）求动点Q 的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）设直线l 与(Ⅰ)中轨迹Γ相交于B A ,两点, 直线OBl OA ,,的斜率分别为12,,k k k (其中0k >)．△OAB 的面积为S , 以,OA OB 为直径的圆的面积分别为12,S S ．若21,,k k k 恰好构成等比数列, 求12S S S+的取值范围． 【知识点】圆 椭圆 直线与圆锥曲线 等比数列H3 H5 H8 D3【答案】【解析】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）5π[)4+∞，解析：（Ⅰ）连结QF ，根据题意，|QP |＝|QF |，则|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝4||23EF >=， 故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆．……………2分设其方程为22221(0)x x a b a b+=>>，可知2a =，223c a b =-=，则1b =，…3分所以点Q 的轨迹Γ的方程为2214x y +=．…………4分(Ⅱ)设直线l 的方程为m kx y +=，),(11y x A ，),(22y x B由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y 可得0)1(48)41(222=-+++m kmx x k ， 由韦达定理有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+222122141)1(4418k m x x k km x x 且0)41(1622>-+=∆m k ………………………6分 ∵21,,k k k 构成等比数列，∴212k k k ==2121))((x x m kx m kx ++，即：0)(221=++m x x km由韦达定理代入化简得：412=k ．∵ 0>k ，∴21=k ．…………………8分此时0)2(162>-=∆m ，即)2,2(-∈m ．又由A O B 、、三点不共线得0m ≠从而(2,0)(0,2)m ∈-U ． 故d AB S ⋅=||2122121||||121km x x k +⋅-+=第20题图||4)(2121221m x x x x ⋅-+=||22m m ⋅-=…………………………10分 ∵22221212144x x y y +=+= 则 =+21S S )(422222121y x y x +++⋅π)24343(42221++⋅=x x π2]2)[(16321221ππ+-+⋅=x x x x 45π=为定值．…………………12分 ∴S S S 21+⋅=45π||212m m ⋅-5π4≥当且仅当1m =±时等号成立．综上：12S S S +的取值范围是5π[)4+∞，．……………13分 【思路点拨】求圆锥曲线的轨迹方程若出现定义条件，注意利用定义判断轨迹并求方程，遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，一般设出方程，联立方程结合韦达定理建立系数的对应关系，再进行解答.【题文】21．(本小题满分14分)设函数2()ln af x x x=+，32()3g x x x =--． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若存在121,[,3]3x x ∈-，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足条件的最大整数M ；（Ⅲ）如果对任意的1,[,2]3s t ∈，都有()()sf s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．【知识点】导数的应用B12【答案】【解析】（Ⅰ）当0a ≤时，在(0,)+∞上单调递增，当0a >时，单调递增区间为)+∞，单调递减区间为；（Ⅱ）18；（Ⅲ）1a ≥解析：(Ⅰ)233212()a x a f x x x x -'=-+=, 定义域（0，+∞）………………1分①当0a ≤时，()0f x '≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增,………2分②当0a >时，()0f x x '⇒≥()f x 的单调递增区间为)+∞.()00f x x '⇒<≤()f x 的单调递减区间为.………4分 (Ⅱ)存在121,[,3]3x x ∈-，使得12()()g x g x M -≥成立, 等价于12max [()()]g x g x M -≥.………………5分 考察3222()3,()323()g x x x g x x x x x '=--=-=-…7分由上表可知min 1285()()()3327g x g g =-==-，max ()(3)15g x g == 12max max min 490[()()]()()27g x g x g x g x --==， 所以满足条件的最大整数18M =．……………9分（Ⅲ）当1[,2]3x ∈时，由（Ⅱ）可知，()g x 在12[,]33上是减函数，在2[,2]3上增函数，而183()(2)1327g g =-<=()g x ∴的最大值是1.…………………………10分要满足条件，则只需当1[,2]3x ∈时，()ln 1a xf x x x x =+≥恒成立, 等价于2ln a x x x -≥恒成立,记2()ln h x x x x =-，()12ln h x x x x '=--，(1)0h '=.…………11分当1[,1)3x ∈时,10,ln 0,()0x x x h x '-><>即函数2()ln h x x x x =-在区间1[,1)3上递增， 当12]x ∈（，时,10,ln 0,()0x x x h x '-<><即函数2()ln h x x x x =-在区间(12]，上递减，∴1,()x h x =取到极大值也是最大值(1)1h =．…………13分所以1a ≥.……………14分另解:设()12ln ,()32ln m x x x x m x x '=--=--，由于1[,2],()32ln 03x m x x '∈=--<，所以在1[,2]3上递减，又(1)0h '=∴当1[,1)3x ∈时，()()12ln m x h x x x x '==--()0,(1,2]h x x '>∈时()0h x '<，即函数2()ln h x x x x =-在区间1[,1)3上递增，在区间(1,2]上递减，…13分所以max ()(1)1h x h ==，所以1a ≥.…………14分【思路点拨】理解函数的单调性与导数的关系是解题的关键，遇到不等式恒成立问题通常转化为函数的最值问题进行解答.。
