4几何选讲难题解析一

高二数学几何选讲试题答案及解析1.如图，在梯形中，，若，，，则梯形与梯形的面积比是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】延长，相交于，由相似三角形知识，则有，设，，（），则梯形的面积，梯形的面积，所以梯形与梯形的面积比是，故选择D.【考点】平面几何中的相似三角形.2.如图⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于点N，过点N的切线交CA的延长线于P.（1）求证：;（2）若⊙O的半径为，OA=OM,求MN的长.【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】解题思路：（1）利用等腰三角形与切割线定理进行证明；（2）利用三角形的相似性进行求解. 规律总结：直线与圆的位置关系，是平面几何问题的常见题型，常考知识由：圆内接四边形、切割线定理、相似三角形、全等三角形等.试题解析：（1）连结ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，则∠OBN=∠ONB，∵∠PMN=∠OMB=900-∠OBN，∠PNM=900-∠ONB∴∠PMN=∠PNM, ∴PM=PN由条件，根据切割线定理，有所以（2）OM=2，在Rt△BOM中，延长BO交⊙O于点D，连接DN由条件易知△BOM∽△BND，于是即，得BN=6所以MN=BN-BM=6-4=2.【考点】1.切割线定理；2.相似三角形.3.如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，BD∥XY，AC、BD相交于E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）欲证三角形全等，需牢牢掌握这种证明方法和所需要的条件.本小题,(已知)，下寻找另外的边和角，考虑到这里有圆，所以运用同弧所对应的圆周角相等可得(弧所对)，接着证明(其他角和边不好证，同时这里有弦切角可以利用).（2）欲求,因,则可转化为求,考虑到，需将联系起来就得考虑三角形相似.注意到,.试题解析：(1)证明因为XY是⊙O的切线，所以.因为，所以，∴. 2分因为，所以. 4分因为，又因为，所以. 5分(2)解因为，，所以， 7分所以，即 8分因为，，所以.所以. 10分【考点】（1）三角形全等的证明；（2）三角形相似的证明与应用；（3）圆性质的应用.4.如图，是⊙的直径延长线上一点，与⊙相切于点，的角平分线交于点，则的大小为_________．【答案】【解析】如图所示，连接OC，则又因为∠APC的角平分线为PQ，，在中，又【考点】圆的切线的性质及判定定理5.如图所示，在△ABC中，AH⊥BC于H，E是AB的中点，EF⊥BC于F，若HC＝BH，则FC∶BF等于A．B．C．D．【答案】D【解析】由AH⊥BC，EF⊥BC知EF∥AH，又∵AE＝EB，∴BF＝FH，∴HC＝BH＝BF，∴FC＝BF.6.如图所示，⊙O的两条弦AD和CB相交于点E，AC和BD的延长线相交于点P，下面结论：①PA·PC＝PD·PB；②PC·CA＝PB·BD；③CE·CD＝BE·BA；④PA·CD＝PD·AB.其中正确的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】根据割线定理知①式正确，②③④不正确．7.如图所示，PA切圆于A，PA＝8，直线PCB交圆于C、B，连接AB、AC，且PC＝4，AD⊥BC于D，∠ABC＝α，∠ACB＝β，则的值等于A. B. C．2 D．4【答案】B【解析】要求，注意到sin α＝，sin β＝，即＝，又△PAC∽△PBA，得＝＝＝.8.如图，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若AD＝1，∠ABC＝30°，则圆O的面积是________．【答案】4π【解析】∵在⊙O中，∠ACD＝∠ABC＝30°，且在Rt△ACD中，AD＝1，∴AC＝2，AB＝4，又∵AB是⊙O的直径，∴⊙O的半径为2，∴圆O的面积为4π.9.若三角形的三条边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边为21 cm，则其余两边的长度之和为A．24 cm B．21 cm C．19 cm D．9 cm【答案】A【解析】设其余两边的长度分别为x cm，y cm，则＝＝，解得x＝15 cm，y＝9 cm.故x＋y＝24 cm.10.如图所示，设l1∥l2∥l3，AB∶BC＝3∶2，DF＝20，则DE＝________.【答案】8【解析】EF∶DE＝AB∶BC＝3∶2，∴＝，又DF＝20，∴DE＝8.11.若两个相似三角形的对应高的比为2∶3，且周长的和为50 cm，则这两个相似三角形的周长分别为________．【答案】20 cm,30 cm【解析】设较大的三角形的周长为x cm，则较小的三角形的周长为(50－x)cm.由题意得＝，解得x＝30,50－x＝50－30＝20.12.如图所示，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝8，BD＝7，求DC的长．【答案】9【解析】解∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA.∴＝＝.∴AC＝，AC＝.∴＝.设CD＝x，则＝，解得x＝9.故DC＝9.13.如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，连接OP交AB于C，连接OA、OB，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为A．1,2 B．2,2 C．2,6 D．1,6【答案】C【解析】∵PA、PB为⊙O切线，∴OA⊥AP，OB⊥PB，PA＝PB，OP平分∠APB，∴OP⊥AB.∴直角三角形有6个，等腰三角形有2个．即直角三角形有：△OAP，△OBP，△OCA，△OCB，△ACP，△CBP；等腰三角形有：△OAB，△ABP.14.如图所示，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA＝1，ED＝2，则BC的长为________．【答案】3【解析】∵CE为⊙O切线，D为切点，∴ED2＝EA·EB.又∵EA＝1，ED＝2，∴EB＝4，又∵CB、CD均为⊙O切线，∴CD＝CB.在Rt△EBC中，设BC＝x，则EC＝x＋2.由勾股定理：EB2＋BC2＝EC2得42＋x2＝(x＋2)2，得x＝3，∴BC＝3.15.如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F.已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE、OF、DE、DF，那么∠EDF等于A．40° B．55°C．65° D．70°【答案】B【解析】∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°，∴∠EOF＝110°，∴∠EDF＝55°.16.如图所示，AD切⊙O于点F，FB，FC为⊙O的两弦，请列出图中所有的弦切角________________________．【答案】∠AFB、∠AFC、∠DFC、∠DFB【解析】弦切角的三要素：(1)顶点在圆上，(2)一边与圆相交，(3)一边与圆相切．三要素缺一不可．17.如图所示，已知BC是⊙O的弦，P是BC延长线上一点，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，∠ACB＝80°，求∠P的度数．【答案】55°【解析】解因为PA与⊙O相切于点A，所以∠PAC＝∠ABP＝25°.又因为∠ACB＝80°，所以∠ACP＝100°.又因为∠PAC＋∠PCA＋∠P＝180°，所以∠P＝180°－100°－25°＝55°.18.如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于A．4π B．8πC．12π D．16π【答案】D【解析】连接OA、OB，∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，又AB＝4，∴OA＝OB＝4，∴S＝π·42＝16π.⊙O19.如图所示，AB是⊙O的直径，弦AC＝3 cm，BC＝4 cm，CD⊥AB，垂足为D，求AD、BD 和CD的长．【答案】cm cm cm【解析】解∴AB是⊙O的直径，∵AC⊥BC.∵CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.∵AC＝3 cm，BC＝4 cm，∴AB＝5 cm.∴AD＝cm，BD＝cm.∵CD2＝AD·BD＝×＝cm2.∴CD＝＝cm，AD＝cm，BD＝cm.20.如图所示，四边形ABCD是矩形，∠BEF＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是__________．【答案】①③【解析】因为四边形ABCD为矩形，所以∠A＝∠D＝90°.因为∠BEF＝90°，所以∠1＋∠2＝90°.因为∠1＋∠ABE＝90°，所以∠ABE＝∠2.又因为∠A＝∠D＝90°，所以△ABE∽△DEF.21.如图，已知Rt△ABC的周长为48 cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分．(1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长．【答案】(1) 20 cm,12 cm,16 cm (2)cm， cm【解析】解(1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，则BC＝8x，过D作DE⊥AB，由Rt△ADC≌Rt△ADE可知，DE＝3x，BE＝4x，∴AE＋AC＋12x＝48，又AE＝AC，∴AC＝24－6x，AB＝24－2x，∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，解得：x1＝0(舍去)，x2＝2，∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，∴三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm.(2)作CF⊥AB于F点，∴AC2＝AF·AB，∴AF＝＝＝ (cm)；同理：BF＝＝＝ (cm)．∴两直角边在斜边上的射影长分别为cm， cm.22.如图，设AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB＝A1B1.若△AOB的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为__________．【答案】2【解析】∵AB∥A1B1且AB＝A1B1，∴△AOB∽△A1OB1，∴两三角形外接圆的直径之比等于相似比．∴△A1OB1的外接圆直径为2.23.如图所示，AD是△ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为A．2∶1B．3∶1C．4∶1D．5∶1【答案】C【解析】要求AF∶FD的比，需要添加平行线寻找与之相等的比．注意到D是BC的中点，可过D作DG∥AC交BE于G，则DG＝EC，又AE＝2EC，故AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶EC＝4∶1.24.如图所示，在△ABC中，MN∥DE∥BC，若AE∶EC＝7∶3，则DB∶AB的值为________．【答案】3∶10【解析】由AE∶EC＝7∶3，有EC∶AC＝3∶10.根据MN∥DE∥BC，可得DB∶AB＝EC∶AC，即得DB∶AB＝3∶10．25.如图所示，在△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD与CE相交于F，求＋的值．【答案】【解析】解过点D作DG∥AB交EC于G，则＝＝＝，而＝，即＝，所以AE＝DG，从而有AF＝DF，EF＝FG＝CG，故＋＝＋＝＋1＝.26.如图所示，已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c交于点A、B、C和A′、B′、C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝，则B′C′＝________.【答案】【解析】由平行线等分线段定理可直接得到B′C′＝.27.已知梯形的中位线长10 cm，一条对角线将中位线分成的两部分之差是3 cm，则该梯形中的较大的底是________ cm.【答案】13【解析】设梯形较大，较小的底分别为a，b，则有可得：a＝13.28.如图，在▱ABCD中，设E和F分别是边BC和AD的中点，BF和DE分别交AC于P、Q 两点．求证：AP＝PQ＝QC.【答案】见解析【解析】证明∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD边上的中点，∴DF綉BE，∴四边形BEDF是平行四边形．∵在△ADQ中，F是AD的中点，FP∥DQ.∴P是AQ的中点，∴AP＝PQ.∵在△CPB中，E是BC的中点，EQ∥BP，∴Q是CP的中点，∴CQ＝PQ，∴AP＝PQ＝QC.29.如图，直线交圆于两点，是直径，平分，交圆于点，过作丄于.(1)求证：是圆的切线；(2)若,求的面积【答案】（1）连结OD，则OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA．，然后利用∠EDA＋∠ODA＝90°，即DE⊥OD来得到证明。

高考数学试题汇编第一节几何证明选讲(选修41)理（含解析）第一节几何证明选讲(选修41)相似三角形的判定与性质考向聚焦该考点主要考查相似三角形的判定与性质、直角三角形射影定理及平行线分线段成比例定理,一般不单独考查,常结合圆的有关知识,解决比例线段的计算与证明问题,难度不大,以填空题、解答题为主,分值5~10分备考指津(1)判定三角形相似的思路:①条件中若有一对角相等,可找另一对角相等或找夹这对角的两边成比例;②条件中若有两边的比相等,可找夹角相等或证另一组对应边的比等于已知两边的比;③条件中若有等腰三角形,可找顶角相等或找一对底角相等或两三角形的底和腰的比对应相等;(2)解题中要注意观察图形特点,巧添辅助线,构造平行或相似三角形,可起到事半功倍的效果1.(2012年北京卷,理5,5分)如图,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,以BD为直径的圆与BC交于点E,则( )(A)CE·CB=AD·DB (B)CE·CB=AD·AB(C)AD·AB=CD2(D)CE·EB=CD2解析:∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴△ADC∽△CDB,∴=,∴CD2=AD·DB①又∵E为以BD为直径的圆上一点,∴DE⊥EB.又CD⊥AB,∴△CDB∽△CED,∴=,∴CD2=CB·CE,②由①②得,CB·CE=AD·DB.答案:A.2.(2012年陕西卷,理15B,5分)如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF·DB= .解析:由圆内相交弦定理,知:CE·DE=AE·EB且CE=DEDE2=1×5=5.Rt△BDE中,由三角形相似知DE2=DF·DB∴DF·DB=5.答案:53.(2012年天津卷,理13,5分)如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD的长为.解析:连接BC,由相交弦定理得AF·BF=EF·CF,∴3×1=×CF,∴CF=2.∵BD是圆的切线,∴∠1=∠2.∵CF∥BD,∴∠3=∠4且=.∴=,∴BD=.∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴△ACF∽△BDC,∴=.∴=,∴CD·AC=,又∵==3,∴AC=3CD.∴3CD2=,∴CD2=,∴CD=.答案:4.(2011年陕西卷,理15)如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,则BE= .解析:∵AC=4,AD=12,∠ACD=90°,∴CD2=AD2-AC2=128,∴CD=8,即DC=8,又∵AE⊥BC,∠B=∠D,∴△ABE∽△ADC,∴=,∴BE===4.答案:45.(2010年天津卷,理14)如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P.若=,=,则的值为.解析:如图,令PB=t,PA=2t,PC=x,PD=3x,由割线定理得:PB·PA=PC·PD,即2t2=3x2,∴=,=.又易知△PBC∽△PDA,∴===.答案:6.(2012年新课标全国卷,理22,10分)如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC 的外接圆于F,G两点.若CF∥AB,证明:(1)CD=BC;(2)△BCD∽△GBD.证明:(1)∵D、E分别为AB、AC的中点,∴DE∥BC又∵CF∥AB,∴四边形BCFD为平行四边形,∴CF=BD=AD,而CF∥AD,连结AF,则ADCF为平行四边形,∴CD=AF又∵CF∥AB∴BC=AF,故CD=BC.(2)∵FG∥BC,∴GB=BD,∴∠DGB=∠BDG,而∠DGB=∠EFC=∠DBC=∠GDB,故△BCD∽△GBD.本题涉及平面几何中圆的简单性质应用,来证线段相等及三角形相似,难度不大.7.(2012年辽宁卷,理22,10分)如图,☉O和☉O'相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连结DB并延长交☉O于点E.证明:(1)AC·BD=AD·AB;(2)AC=AE.证明:(1)由AC与☉O'相切于A,得∠CAB=∠ADB,同理∠ACB=∠DAB,所以△ACB∽△DAB.从而=.即AC·BD=AD·AB.(2)由AD与☉O相切于A,得∠AED=∠BAD,又∠ADE=∠BDA,得△EAD∽△ABD,从而=.即AE·BD=AD·AB.结合(1)的结论得AC=AE.8.(2010年辽宁卷,理22)如图,△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明:△ABE∽△ADC;(2)若△ABC的面积S=AD·AE,求∠BAC的大小.(1)证明:由已知条件,可得∠BAE=∠DAC.因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角,所以∠AEB=∠ACD,故△ABE∽△ADC.(2)解:因为△ABE∽△ADC,所以=,即AB·AC=AD·AE.又S=AB·ACsin ∠BAC,且S=AD·AE,故AB·ACsin ∠BAC=AD·AE,则sin ∠BAC=1.又∠BAC为三角形内角,所以∠BAC=90°.直线与圆的位置关系考向聚焦主要以填空题或解答题的形式考查应用圆的切线的性质与判定定理、相交弦定理、切割线定理、切线长定理、弦切角定理、圆周角定理及圆内接四边形的判定与性质定理等进行的有关计算或证明(求线段长度,线段成比例、线段相等、角相等、四点共圆等),难度中等,5~10分备考指津(1)解决与圆有关的成比例线段问题的一般思路是:①直线应用相交弦定理、切割线定理等;②当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时,可转化为证三角形相似(2)圆周角定理、弦切角定理在解决圆内有关等角问题时普遍应用(3)与圆有关辅助线的作法:①有弦,作弦心距;②有直径,作直径所对的圆周角;③有切点,作过切点的半径;④两圆相交,作公共弦;⑤两圆相切,作公切线9.(2012年广东卷,理15,5分)如图,圆O的半径为1,A、B、C是圆周上的三点,满足∠ABC=30°,过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P,则PA= .解析:如图,连OA,∠AOC=2∠ABC=60°,Rt△AOP中,PA=OA=×1=.答案:10.(2012年湖北卷,理15,5分)如图,点D在☉O的弦AB上移动,AB=4,连接OD,过点D作OD 的垂线交☉O于点C,则CD的最大值为.解析:因为CD=,且OC为☉O的半径,是定值,所以当OD取最小值时,CD取最大值.显然当OD⊥AB时,OD取最小值,故此时CD=AB=2,即为所求的最大值.答案:2本题将求解CD的最大值转化为求OD的最小值,进而转化为点到直线的距离,体现了转化与化归的数学思想.11.(2012年湖南卷,理11,5分)如图,过点P的直线与☉O相交于A,B两点.若PA=1,AB=2,PO=3,则☉O的半径等于.解析:如图,设PO与圆O相交于E,并延长PO交圆O于F,由割线定理PE·PF=PA·PB,得(3-r)(3+r)=1×(1+2),r=.答案:12.(2011年广东卷,理15)如图所示,过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=7,C是圆上一点使得BC=5,∠BAC=∠APB,则AB= .解析:∵PA为圆O的切线,∴∠PAB=∠ACB,又∠APB=∠CAB,∴△APB∽△CAB,∴=,∴AB2=PB·CB=35.∴AB=.答案:13.(2011年天津卷,理12)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DF=CF=,AF∶FB∶BE=4∶2∶1.若CE与圆相切,则线段CE的长为.解析:设AF,FB,BE分别为4x,2x,x.由相交弦定理得AF·FB=DF·FC,即4x·2x=×,∴x=,∴AF=2,FB=1,BE=.又由切割线定理得EC2=BE·EA=×=,∴EC=.答案:14.(2011年湖南卷,理11)如图,A,E是半圆周上的两个三等分点,直径BC=4,AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交于点F,则AF的长为.解析:连接AO,AB,CE.∵A、E为半圆周上的三等分点,∴∠AOB=∠ECB=60°,∴∠EBO=30°,∴△AOB为正三角形,边长为2.又∵AD⊥BO,BE为∠ABO的角平分,∴F为△AOB的中心,∴AF=AD=×2×=.答案:15.(2010年广东卷,理14)如图,AB,CD是半径为a的圆O的两条弦,它们相交于AB的中点P,PD=,∠OAP=30°,则CP= .解析:由题意知OP⊥AB,∠OAP=30°,∴OP=a,且AP=a,根据相交弦定理得AP2=CP·PD,∴a2=CP·a,解得CP= a.答案: a16.(2012年江苏数学,21A,10分)如图,AB是圆O的直径,D,E为圆O上位于AB异侧的两点,连结BD并延长至点C,使BD=DC,连结AC,AE,DE.求证:∠E=∠C.证明:连接OD,因为BD=DC,O为AB的中点,所以OD∥AC,于是∠ODB=∠C.因为OB=OD,所以∠ODB=∠B.于是∠B=∠C.因为点A,E,B,D都在圆O上,且D,E为圆O上位于AB异侧的两点,所以∠E=∠B为同弧所对的圆周角,故∠E=∠B,所以∠E=∠C.17.(2011年全国新课标卷,理22)如图,D,E分别为△ABC的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根.(1)证明:C,B,D,E四点共圆;(2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径.(1)证明:连接DE,根据题意在△ADE和△ACB中,AD·AB=mn=AE·AC,即=.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB,因此∠ADE=∠ACB,∴∠ACB+∠EDB=180°,∴C、B、D、E四点共圆.(2)解:m=4,n=6时,方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12,故AD=2,AB=12.取CE的中点G,DB的中点F,分别过G、F作AC、AB的垂线,两垂线相交于H点,连接DH.因为C、B、D、E四点共圆,∴C、B、D、E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.由于∠A=90°,故GH∥AB,HF∥AC,从而HF=AG=5,DF=×(12-2)=5,故C、B、D、E四点所在圆的半径为5.18.(2011年辽宁卷,理22)如图,A,B,C,D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于E 点,且EC=ED.(1)证明:CD∥AB;(2)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明:A,B,G,F四点共圆.证明:(1)因为EC=ED,所以∠EDC=∠ECD.因为A,B,C,D四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA.故∠ECD=∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知,AE=BE.因为EF=EG,故∠EFD=∠EGC,从而∠FED=∠GEC.连接AF,BG,则△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE.又CD∥AB,∠EDC=∠ECD,所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180°.故A,B,G,F四点共圆.19.(2010年全国新课标卷,理22)如图,已知圆上的弧=,过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点,证明:(1)∠ACE=∠BCD;(2)BC2=BE×CD.证明:(1)因为=,所以∠BCD=∠ABC.又因为EC与圆相切于点C,故∠ACE=∠ABC.所以∠ACE=∠BCD.(2)因为∠ECB=∠BDC,∠EBC=∠BCD,所以△BDC∽△ECB,故=,即BC2=EB×CD.即BC2=BE×CD.11。

几何概型课题1：题型讲解几何概型中事件A 的概率计算公式:积等）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积等）的区域长度（面积或体构成事件）（A A P =.其次要学会构造随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率． 1.几何概型的两个特征： (1)试验结果有无限多； (2)每个结果的出现是等可能的．事件A 可以理解为区域Ω的某一子区域，事件A 的概率只与区域A 的度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关． 2..解决几何概型的求概率问题关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率． 3.用几何概型解简单试验问题的方法(1)适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解． (2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D. (3)把随机事件A 转化为与之对应的子区域d. (4)利用几何概型概率公式计算． 4.均匀随机数在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率．一般地．利用计算机或计算器的rand （）函数可以产生0～1之间的均匀随机数．a ～b 之间的均匀随机数的产生：利用计算机或计算器产生0～1之间的均匀随机数x= rand( )，然后利用伸缩和平移变换x= rand( )*(b-a)+a,就可以产生[a ，b]上的均匀随机数，试验的结果是产生a ～b 之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的． 5.均匀随机数的应用(1)用随机模拟法估计几何概率； (2)用随机模拟法计算不规则图形的面积． 6.几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关，即试验结果具有无限性，另一方面，二者的试验结果都具有等可能性。

一.与长度有关的几何概型【例】已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.110B.19C.111D.18【解析】设乘客到达站台立即乘上车为事件A ，试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝110.答案：A【例】如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？【解析】记 E ：“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30×31=10米，∴313010)(==E P .方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．【例】在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R 的概率。

数学几何选讲试题答案及解析1.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，圆O的半径OB垂直于直径AC,M为AO上一点，BM的延长线交圆O于N，点是线段延长线上一点，连接PN,且满足（Ⅰ）求证：是圆O的切线；(Ⅱ)若圆O的半径为，OA=OM，求MN的长.【答案】（Ⅰ）见解析(Ⅱ) 2【解析】（Ⅰ）证明：如图，连接ON，∵，则，……2分又，则.,∴，……4分∴，故是圆O的切线．……5分(Ⅱ) .在△BOM中，，,延长BO交圆O于点D，连接DN，由条件知△BOM∽△BND,于是,，即MN=BN-BM=6-4=2.……10分【考点】本题考查切线的判定定理、三角形相似等基础知识，意在考查学生推理证明和逻辑思维能力.2.如图，，是圆的两条弦，它们相交于的中点，若，，,求圆的半径.【答案】1【解析】解：由，,，得 5分又为中点，，， 10分【考点】本题考查圆的基本性质，相交弦定理等知识，意在考查推理论证能力.3.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，Δ是内接于圆，,直线切于点，弦，与相交于点．（1）求证：≌；（2）若求．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）在ΔABE和ΔACD中，∵，∠ABE=∠ACD．又∠BAE=∠EDC，∵BD∥MN，∴∠EDC=∠DCN，∵直线是圆的切线，∴∠DCN=∠CAD，∴∠BAE=∠CAD，∴Δ≌Δ（角、边、角）． 5分（2）∵∠EBC=∠BCM，∠BCM=∠BDC，∴∠EBC=∠BDC=∠BAC，BC=CD=4，又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB，∴BC=BE=4．设AE=，易证ΔABE∽ΔDEC，∴，从而.又，，∴，解得.因此. 10分【命题意图】本题考察弦切角定理、等腰三角形的性质、三角形相似等基础知识，意在考察学生推理证明和逻辑思维能力.4.如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.（1）证明：B、D、H、E四点共圆；（2）证明：CE平分∠DEF.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）在△ABC中，因为∠ABC＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD、CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°，于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B、D、H、E四点共圆．（2）连结BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°.由（1）知B、D、H、E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD.可得∠CEF＝30°.所以CE平分∠DEF.【点评】熟记圆的切线性质、圆周角定理、切割线定理、相交弦定理，这些知识点是解决有关圆的问题的关键，要好好理解．5.如图, 弦AB与CD相交于内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD＝2DA＝2, 则PE＝ .【答案】【解析】本题考查平面几何证明，利用三角形相似即可求解，属于容易题。