渐开线计算函数方程
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齿轮渐开线方程图解
小端球面渐开线：
建立方法同大端，但球面半径rx变为rx-bc
大端齿根圆：
以默认的笛卡尔坐标为基准，用从方程功能建立基准曲线，方程关系式如下：
x=bb1*cos(t*360)
y=bb1*sin(t*360)
z=ob1
小端齿根圆：
建立方法同大端，但半径bb1变为b2b3,x方向尺寸ob1变为ob3。
齿根过度曲线：
3.齿顶圆压力角为参数控制的“极坐标”表示的渐开线方程B：
FAI=T*TAN(ACOS(DB/DW))*180/PI
Rb=DB/2
R=Rb/COS(ATAN(FAI*PI/180))
THETA=FAI-ATAN(FAI*PI/180)
Z=0
B.设ω为滚角参数，设定一个参数值，如45°，将ω用个人习惯的字母符号代替，如FAI。根据“勾股定理”，极轴R的长度R=( Rb^2+NK^2)^0.5。因式中NK=Rb*FAI*PI/180，将其代入。即可写成：
Z=0
滚角为参数“笛卡尔”坐标表示的渐开线：
A=T*45
X=DB/2*COS(A)+DB/2*SIN(A)*A*PI/180
Y=DB/2*SIN(A)-DB/2*COS(A)*A*PI/180
Z=0
所以创建齿轮模型时，如果对渐开线方程不熟悉，尽可能采用“极坐标”方程表达式：式1。
控制渐开线长度的方法：
C.在所有的“极坐标”渐开线方程表达式中，式1是最直接最简单的表达方法，公式简单，容易理解或记忆。而直角渐开线方程式表达式比较繁琐，不容易理解或记忆，如以下两种方程式的比较：
压力角为参数“极坐标”表示的渐开线方程1：
FAI=T*45
Rb=DB/2
R=Rb/COS(FAI)
建立方法同大端，但球面半径rx变为rx-bc
大端齿根圆：
以默认的笛卡尔坐标为基准，用从方程功能建立基准曲线，方程关系式如下：
x=bb1*cos(t*360)
y=bb1*sin(t*360)
z=ob1
小端齿根圆：
建立方法同大端，但半径bb1变为b2b3,x方向尺寸ob1变为ob3。
齿根过度曲线：
3.齿顶圆压力角为参数控制的“极坐标”表示的渐开线方程B：
FAI=T*TAN(ACOS(DB/DW))*180/PI
Rb=DB/2
R=Rb/COS(ATAN(FAI*PI/180))
THETA=FAI-ATAN(FAI*PI/180)
Z=0
B.设ω为滚角参数，设定一个参数值，如45°，将ω用个人习惯的字母符号代替，如FAI。根据“勾股定理”，极轴R的长度R=( Rb^2+NK^2)^0.5。因式中NK=Rb*FAI*PI/180，将其代入。即可写成：
Z=0
滚角为参数“笛卡尔”坐标表示的渐开线：
A=T*45
X=DB/2*COS(A)+DB/2*SIN(A)*A*PI/180
Y=DB/2*SIN(A)-DB/2*COS(A)*A*PI/180
Z=0
所以创建齿轮模型时，如果对渐开线方程不熟悉，尽可能采用“极坐标”方程表达式：式1。
控制渐开线长度的方法：
C.在所有的“极坐标”渐开线方程表达式中，式1是最直接最简单的表达方法，公式简单，容易理解或记忆。而直角渐开线方程式表达式比较繁琐，不容易理解或记忆，如以下两种方程式的比较：
压力角为参数“极坐标”表示的渐开线方程1：
FAI=T*45
Rb=DB/2
R=Rb/COS(FAI)
圆的渐开线方程
圆的渐开线方程圆的渐开线方程是数学上重要的概念，它是用于描述圆形的函数。
它可以用来精确计算圆的几何参数，为实体几何图形的制作提供便捷性。
下面就将介绍圆的渐开线方程的定义、解析圆的渐开线方程以及渐开线方程的应用。
一、定义圆的渐开线方程是表示圆的参数方程，可以用来描述二维的圆形的函数。
它使用参数表示方式，可以在直观上更容易处理圆形的相关重要参数：半径、圆心位置，以及圆心到圆周交点的距离。
当将多个圆叠加在一起时，它也可以表示各种复杂的圆形，帮助人们快速处理多个圆形的几何结构。
二、解析圆的渐开线方程圆的渐开线方程的简单形式可以表示为：(x-a)*(x-a) + (y-b)*(y-b) = r*r，其中a、b、r分别代表圆心的横纵坐标以及圆的半径，而x、y分别代表待求点的横纵坐标。
通过推导可以知道，任何一个点都符合这个方程，因此方程可以用于求出圆形上的任意一点，从而分析出这个圆形的几何参数。
同时，根据这个方程可以知道圆形上任意点到圆心的距离都是半径r，即r = sqrt((x-a)*(x-a) + (y-b)*(y-b)) 。
三、应用圆的渐开线方程有可以被广泛的用于各种几何结构的构造，如：- 可以用来描写圆形对象，定义圆形对象的几何参数，诸如半径、圆心位置、弧度等；- 可以用来求出圆相关参数，比如求取任意两点之间的圆弧长度、圆弧面积等；- 可以用来判断一点是否在一个圆范围内，也可以求得圆的内切线、外切线的几何参数。
显而易见，圆的渐开线方程对于对几何结构的构造和分析带来了很大的方便性，是实体几何结构制作的不可或缺的一部分。
因此，圆的渐开线方程与数学、几何和工程领域有着广泛的应用。
invαa的计算公式
invαa的计算公式
在齿轮设计等领域中，invαa(即渐开线函数) 是一个常用的参数。
它表示当压力角为αa 时，渐开线的展开角度，通常用弧度表示。
invαa 的计算公式可以有多种，其中一种常见的计算方法是:
invαa = 180° / (π - αa)
其中，180°是圆周角的大小，π是圆周率，αa 是压力角。
这个计算公式可以理解为：当压力角为αa 时，渐开线在一个圆周内展开的角度大小为 180°-(π-αa)。
因此，将这个角度大小除以π，可以得到 invαa 的弧度值。
另外，在齿轮跨棒距计算公式中，invαa 的数值也可以在其中起到重要作用。
具体来说，跨棒距的计算需要考虑齿轮的模数、压力角、齿厚等因素，而 invαa 是其中的一个重要参数。
在机械设计手册或机械原理教科书中，可以找到有关 invαa 的更多信息和计算公式。
渐开线圆柱齿轮公法线长度及其上下偏差的确定
aaaaaa
0
cccccc dddddd
500 630 800 100 5
77.5
gggggg
3 4 4
55 7 62 00
8 1 1
0
hhhhhh iiiiii
5
jjjjjj kkkkkk
llllll
0
mmmmmm nnnnnn
0
oooooo pppppp
qqqqqq
0
0
70
15
(2)齿轮副齿厚下偏差Esni的计算
ii
jj
kk
ll
mm
nn
oo
pp
rr
ss
tt
-
vv
ww
xx
yy
zz
aaa
bbb
ccc
ddd
eee
fff
(2)超出上表的适用范围时，可采用分别计算补偿温度变形所需的最小极限侧隙jnmin1和 保证正常润滑所需的最小极限侧隙jnmin2（见表2）方法。
jn min = jn min 1 + jn min 2 ……………………………………………（10） jn min 1 = a (α1 ⋅ ∆t1 − α 2 ⋅ ∆t 2 ) ⋅ 2 sin α n ……………………………（11）
18 30 50 80 12
kkkk
mmmm
26 31 37
oooo
pppp
rrrr
ssss
tttt
uuuu
5
aaaaa bbbbb
23 27 31
ccccc
xxxx
yyyy
zzzz
43.5
hhhhh
ddddd
反解渐开线inv
返回目录
反解渐开线函数inv
条件
符号
数值
备注
已知invθ的值
invθ=
0.0893423 请尽量精确
反解θ角度值(°)
θ=
35.00000
令α=
35.00000 0~90°全域已
验证(可不做)
求得vα= 误差值=
0.0893423 经过验证，误 2.32213E-09 差＜10-6°
说明：
渐开线函数invθ=tanθ-θ（此处为弧度值），反求INV是没有理论公式
的，一般是依靠查表，但是由于计算机的计算速度快，因此有两种方法可
以求解
1，一般黄金分割法或者牛顿迭代法来优化求解，需要在excel中编写宏
函数，采用有限次迭代计算让结果趋近真值。
2，利用专家(比如沈守范)研究的公式计算，全域精度可达到1E-6以
上，也正是本软件使用的方法,。
文档信息 编写：图惜 参考：《反渐开线函数的综合解算方法》——沈守范
2018.8.8
反解渐开线函数inv
条件
符号
数值
备注
已知invθ的值
invθ=
0.0893423 请尽量精确
反解θ角度值(°)
θ=
35.00000
令α=
35.00000 0~90°全域已
验证(可不做)
求得vα= 误差值=
0.0893423 经过验证，误 2.32213E-09 差＜10-6°
说明：
渐开线函数invθ=tanθ-θ（此处为弧度值），反求INV是没有理论公式
的，一般是依靠查表，但是由于计算机的计算速度快，因此有两种方法可
以求解
1，一般黄金分割法或者牛顿迭代法来优化求解，需要在excel中编写宏
函数，采用有限次迭代计算让结果趋近真值。
2，利用专家(比如沈守范)研究的公式计算，全域精度可达到1E-6以
上，也正是本软件使用的方法,。
文档信息 编写：图惜 参考：《反渐开线函数的综合解算方法》——沈守范
2018.8.8
UG渐开线表达式
引用UG渐开线表达式引用鹰击长空的UG渐开线表达式编程方法：t=1 ;自动增值变量，由0到1逐渐累加pi=3.1415926 ;定义圆周率rb=31.144 ;定义基圆半径a=40 ;定义压力角上限为40s=a*t ;压力角变量r=rb/cos(s) ;渐开线函数（极坐标——半径）w=tan(s)*180/pi-s ;渐开线函数（极坐标——转角）x=r*cos(w) ;转换成直角坐标系y=r*sin(w) ;转换成直角坐标系§5.5 UG环境下渐开线直齿轮参数化建模的步骤UG环境下有多种方法对齿轮进行建模。
本文采用的方法是实体切除，即先建立圆柱齿胚，再根据齿廓曲线建立齿槽轮廓线，最后利用齿槽轮廓线拉伸切除齿胚形成轮齿。
具体步骤如下：1)利用UG表达式建立齿轮的参数列表2)利用列表中的参数（齿顶圆半径、齿宽）建立圆柱齿胚3)利用渐开线参数方程通过UG中的法则曲线命令绘制渐开线4)根据不同齿数对渐开线进行相应操作形成齿槽轮廓线5)利用齿槽轮廓线拉伸切除齿胚6)对拉伸切除特征进行圆周阵列形成轮齿由于首先建立了齿轮的参数列表，所以整个建模过程将完全实现参数化，即需要数据输入的地方可直接键入参数列表中对应的参数符号。
§5.6 互相啮合的一对齿轮的建模实例本实例中互相啮合的一对齿轮的基本参数为：z1=18、z2=54，m=3mm，= 20?，B=30mm，h a*=1，c*=0.25。
大齿轮建模。
1）新建一文本文件用以建立参数列表。
在文本文件中输入齿轮参数及相关数据如下：z=54 //大齿轮齿数m=3 //模数a=20 //压力角b=30 //齿宽hak=1 //齿顶高系数ck=0.25 //顶隙系数r=m*z/2 //大齿轮分度圆半径ra=r+hak*m //大齿轮齿顶圆半径rb=r*cos(a) //大齿轮基圆半径rf=r-(hak+ck)*m //大齿轮齿根圆半径a0=0 //渐开线发生角ae=360 //渐开线终止角t=1 //UG系统参数s=(1-t)*a0+t*ae //渐开线参数方程的自变量xt=rb*cos(s)+rb*rad(s)*sin(s)yt=rb*sin(s)-rb*rad(s)*cos(s)//渐开线在X、Y、Z三个方向的参数方程zt=0注意：1.为适应UG表达式的命名规则，以上一些参数符号与公式（1）中略有差别。
渐开线方程
名 称Βιβλιοθήκη 代号计算公式齿形角
α
标准齿轮为20°
模数
m
m=p／π
齿厚
s
s=p／2
齿槽宽
e
e=p／2
齿距
p
p=mπ
基圆齿距
pb
pb=pcosα
齿顶高
ha
ha=ha*m=m
齿根高
hf
hf=（ha*+c*）m=1.25m
齿高
h
h=ha+hf=2.25m
分度圆直径
d
d=mz
齿顶圆直径
da
da=m(z+2)
齿根圆直径
渐开线方程为：
x=r×cos(θ+α)+(θ+α)×r×sin(θ+α)
y=r×sin(θ+α)-(θ+α)×r×cos(θ+α)
z=0
式中，r为基圆半径；θ为展角，其单位为弧度
展角θ和压力角α之间的关系称为渐开线函数
θ=inv(α)=tan(α)-α
式中，inv为渐开线involute的缩写
外啮合标准直径圆柱齿轮的几何尺寸的计算公式
df
df=d-2hf=m(z-2.5)
基圆直径
db
db=dcosα
标准中心距
a
a=m（z1+z2）/2
齿数
Z
举例：
模数m：4
齿数z：10
压力角：20
D=mz=40
Da=48
Df=30
为展角其单位为弧度invtan式中inv为渐开线involute的缩写外啮合标准直径圆柱齿轮的几何尺寸的计算公式代号计算公式齿形角标准齿轮为20模数pbpbhaha齿根高hfhfhahahf225m分度圆直径mz齿顶圆直径dadamz2齿根圆直径dfdfd2hfmz25基圆直径dbdbcos标准中心距举例
α
标准齿轮为20°
模数
m
m=p／π
齿厚
s
s=p／2
齿槽宽
e
e=p／2
齿距
p
p=mπ
基圆齿距
pb
pb=pcosα
齿顶高
ha
ha=ha*m=m
齿根高
hf
hf=（ha*+c*）m=1.25m
齿高
h
h=ha+hf=2.25m
分度圆直径
d
d=mz
齿顶圆直径
da
da=m(z+2)
齿根圆直径
渐开线方程为：
x=r×cos(θ+α)+(θ+α)×r×sin(θ+α)
y=r×sin(θ+α)-(θ+α)×r×cos(θ+α)
z=0
式中，r为基圆半径；θ为展角，其单位为弧度
展角θ和压力角α之间的关系称为渐开线函数
θ=inv(α)=tan(α)-α
式中，inv为渐开线involute的缩写
外啮合标准直径圆柱齿轮的几何尺寸的计算公式
df
df=d-2hf=m(z-2.5)
基圆直径
db
db=dcosα
标准中心距
a
a=m（z1+z2）/2
齿数
Z
举例：
模数m：4
齿数z：10
压力角：20
D=mz=40
Da=48
Df=30
为展角其单位为弧度invtan式中inv为渐开线involute的缩写外啮合标准直径圆柱齿轮的几何尺寸的计算公式代号计算公式齿形角标准齿轮为20模数pbpbhaha齿根高hfhfhahahf225m分度圆直径mz齿顶圆直径dadamz2齿根圆直径dfdfd2hfmz25基圆直径dbdbcos标准中心距举例
度压力角渐开线花键设计公式
度压力角渐开线花键设计公式
在设计渐开线花键时，压力角是一个重要的参数。
压力角是指花键工
作时，压力线与法线之间的夹角。
理想情况下，压力角应该尽量小，以减
小花键的开端载荷和磨损。
度压力角渐开线花键设计公式通过考虑压力角
的变化，以获得更好的性能。
1.渐开线参数计算：
首先，需要确定渐开线的参数。
渐开线参数包括宽度系数b和压力角theta。
宽度系数b是花键的一个尺寸参数，用于确定花键的宽度。
一般来说，宽度系数取值范围为0.1到0.5之间。
压力角theta是花键工作时花键压力面与法线之间的夹角。
压力角的
取值范围一般为10度到30度之间。
2.渐开线花键尺寸计算：
渐开线花键尺寸计算主要包括花键长度L和端面半径R。
花键长度L是花键的一个重要尺寸参数，用于确定花键的长短。
L = (1+3b)*d / (2*tan(theta))
其中，d为花键的直径。
端面半径R是花键的一个尺寸参数，用于确定花键的强度。
端面半径
的计算公式如下：
R=d/6
其中，d为花键的直径。
综上所述，度压力角渐开线花键设计公式主要包括渐开线参数计算和渐开线花键尺寸计算两个部分。
通过这些公式，可以根据需要设计出满足特定要求的渐开线花键。
在实际应用中，还需要考虑其他因素，如载荷、材料强度等，并进行合理的工程设计。
UG渐开线表达式
引用UG渐开线表达式2009-03-25 10:25:37| 分类：学习内容| 标签：|字号大中小订阅引用鹰击长空的UG渐开线表达式编程方法：t=1 ;自动增值变量，由0到1逐渐累加pi=3.1415926 ;定义圆周率rb=31.144 ;定义基圆半径a=40 ;定义压力角上限为40s=a*t ;压力角变量r=rb/cos(s) ;渐开线函数（极坐标——半径）w=tan(s)*180/pi-s ;渐开线函数（极坐标——转角）x=r*cos(w) ;转换成直角坐标系y=r*sin(w) ;转换成直角坐标系§5.5 UG环境下渐开线直齿轮参数化建模的步骤UG环境下有多种方法对齿轮进行建模。
本文采用的方法是实体切除，即先建立圆柱齿胚，再根据齿廓曲线建立齿槽轮廓线，最后利用齿槽轮廓线拉伸切除齿胚形成轮齿。
具体步骤如下：1)利用UG表达式建立齿轮的参数列表2)利用列表中的参数（齿顶圆半径、齿宽）建立圆柱齿胚3)利用渐开线参数方程通过UG中的法则曲线命令绘制渐开线4)根据不同齿数对渐开线进行相应操作形成齿槽轮廓线5)利用齿槽轮廓线拉伸切除齿胚6)对拉伸切除特征进行圆周阵列形成轮齿由于首先建立了齿轮的参数列表，所以整个建模过程将完全实现参数化，即需要数据输入的地方可直接键入参数列表中对应的参数符号。
§5.6 互相啮合的一对齿轮的建模实例本实例中互相啮合的一对齿轮的基本参数为：z1=18、z2=54，m=3mm，= 20?，B=30mm，h a*=1，c*=0.25。
大齿轮建模。
1）新建一文本文件用以建立参数列表。
在文本文件中输入齿轮参数及相关数据如下：z=54 //大齿轮齿数m=3 //模数a=20 //压力角b=30 //齿宽hak=1 //齿顶高系数ck=0.25 //顶隙系数r=m*z/2 //大齿轮分度圆半径ra=r+hak*m //大齿轮齿顶圆半径rb=r*cos(a) //大齿轮基圆半径rf=r-(hak+ck)*m //大齿轮齿根圆半径a0=0 //渐开线发生角ae=360 //渐开线终止角t=1 //UG系统参数s=(1-t)*a0+t*ae //渐开线参数方程的自变量xt=rb*cos(s)+rb*rad(s)*sin(s)yt=rb*sin(s)-rb*rad(s)*cos(s) //渐开线在X、Y、Z三个方向的参数方程zt=0注意：1.为适应UG表达式的命名规则，以上一些参数符号与公式（1）中略有差别。
关于圆的渐开线的参数方程的推导方法问题
关于圆的渐开线的参数方程的推导方法问题
渐开线是由点之间连续不间断的曲线组成。
其中最常见的一种渐开线是圆渐开线，也称为圆参数方程。
它通过用一对参数表示圆上每一点，从而满足圆的几何性质，完整地表示圆围。
首先，圆的定义是满足距离原点相等的所有点的集合。
由于圆周上的点数不可能有限，而且至少有一个圆的中心作为原点，因此，可以将圆的参数方程表示为一个参数未知的连续不断的曲线。
其次，可以通过利用三角函数的几何性质和圆上点的距离来求解圆的参数方程。
它的算法是：首先，将圆的中心定义为原点，其坐标为（0，0）；其次，根据圆的定义，每一点到圆心的距离都相等且确定，令此距离为r，从而我们可以求出圆上一点的绝对坐标（x，y）；最后，可以求出圆对应的参数t，t=arctan(y/x)，满足公式x=rcos(t)，y=rsin(t)，即可得到圆的参数方程。
另外，由于圆渐开线在其参数t的取值范围[0,2π]内是闭合的，因此可以使用一个常数来表示它们，即圆渐开线的几何性质不受t参数取值范围的影响。
圆渐开线参数方程的求解可以说是圆围建模的核心，它可以精确描述和表示出几何图形，便于几何计算和几何变换。
因此，圆渐开线的参数方程求解一直受到许多工程技术领域的关注和应用。