全国各地高考数学三轮复习试题汇编 专题8 选修系列第3讲 不等式选讲(B卷)理(含解析)

【最新】数学《不等式选讲》高考知识点一、141．若，则不等式的解集为 A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】由绝对值三角不等式的性质得出，由，得出，借助正弦函数图象可得出答案。

【详解】 因为成立，所以，又，所以，，故选：D 。

【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用，再利用绝对值不等式时，需要注意等号成立的条件，属于基础题。

2．若集合{}2540A x x x =-+<，{}1B x x a =-<，则“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，由B A ⊆得出关于a 的不等式组，求出实数a 的取值范围，由此可判断出“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件. 【详解】解不等式2540x x -+<，解得14x <<，{}14A x x ∴=<<. 解不等式1x a -<，即11x a -<-<，解得11a x a -<<+，{}11B x a x a ∴=-<<+.B A ⊆Q ，则有1114a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得23a ≤≤.因此，“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查充分非必要条件的判断，一般将问题转化为集合的包含关系来判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.3．猜测使2n a n >对任意正整数n 恒成立的最小正整数a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合选项利用特殊值排除选项A ，然后利用数学归纳法证明选项B 正确即可. 【详解】注意到当2,4a n ==时，2n a n >不成立，则2a =不合题意， 当3a =时，不等式即23n n >， 当1n =时，不等式即31>， 当2n =时，不等式即94>，下面用数学归纳法证明该式对于*,3n N n ∈≥成立， 当3n =时，不等式即279>，明显成立， 假设()*3,n k k k N=≥∈时不等式成立，即23kk >,则当1n k =+时，123333k k k +=⋅>， 而()()222*31221k k k k k N-+=--∈，结合二次函数的性质可知，当2k >时，22221222210k k -->⨯-⨯->，故当*3,k k N ≥∈时，()()2222310,31k k k k -+>>+.综上可得，23n n >对任意的n 均成立. 则最小正整数a 的值为3. 故选：B . 【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，排除法处理选择题的技巧等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．若不等式23x a x -≤+对任意[]0,2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3- B ．[]1,3-C ．()1,3D ．[]1,3【答案】B 【解析】 【分析】将不等式去掉绝对值符号，然后变量分离转为求函数的最值问题. 【详解】不等式23x a x -≤+去掉绝对值符号得323x x a x --≤-≤+，即3223x x a x a x --≤-⎧⎨-≤+⎩对任意[]0,2x ∈恒成立，变量分离得333a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，只需min max (33)(3)a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，即31a a ≤⎧⎨≥-⎩所以a 的取值范围是[]1,3- 故选：B 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和恒成立问题的处理方法，属于基础题.5．已知点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，点(,)M a b 为平面上一点，O 为坐标原点，则当OM 取最小值时，椭圆的离心率为（ ） AB ．13CD【答案】D 【解析】 【分析】点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b为平面上一点，||OM =a ，b 关系，代入即可．【详解】解：点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b为平面上一点，||OM =所以||4OM ==，当且仅当223a b =时，取等号， 222213b e a =-=，e =． 故选D ． 【点睛】考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．6．325x -≥不等式的解集是（ ） A ．{|1}x x ≤-B ．{|14}x x -≤≤C ．{|14}x x x ≤-≥或D ．{|4}x x ≥【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值定义化简不等式，求得解集. 【详解】因为325x -≥，所以325x -≥或325x -≤-，即14x x ≤-≥或，选C. 【点睛】本题考查含绝对值不等式解法，考查基本求解能力.7．设x ∈R ，则“2x <”是4<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】首先求解绝对值不等式和根式不等式，然后分别考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】由2x <可得22x -<<4<可得016x ≤<，22x -<<是016x ≤<的既不充分也不必要条件，“2x <”是4<”的既不充分也不必要条件. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．设集合{}|22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B I 等于 A ．R B ．{}|,0x x R x ∈≠ C ．{}0D ．∅【答案】B 【解析】解：[0,2]A =，[4,0]B =-，所以(){}0R R C A B C ⋂=，故选B 。

新《不等式选讲》专题解析一、141．设全集U =R ，已知23{|0}2x A x x +=>-，{||1|2}B x x =-<，则()U A B =I ð（ ） A ．3(,1)2-- B ．(12]-， C ．(23]， D ．[2)3，【答案】B 【解析】 【分析】解分式不等式求得集合A ，由此求得U A ð，解绝对值不等式求得集合B ，由此求得()U A B I ð.【详解】由A 中不等式变形得：()()2320x x +->， 解得：32x <-或2x >，即3,(2,)2A ⎛⎫=-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ，∴U3A ,22⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ð， 由B 中不等式变形得：212x -<-<，解得：13x -<<，即1()3B =-，， ∴()(]12U A B =-I ，ð， 故选：B ． 【点睛】本小题主要考查集合交集交集、补集的概念和运算，考查分式不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题.2．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x „时，2()4f x x x =+，则(2)5f x +>的解集为（ ）A ．(,5)(5,)-∞-+∞UB ．(,5)(3,)-∞-+∞UC ．(,7)(3,)-∞-+∞UD ．(,7)(2,)-∞-+∞U【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数以及当0x „时，2()4f x x x =+,可得0x ≥时的表达式,由此求得(2)(|2|)f x f x +=+,再代入可解得.【详解】∵()f x 是定义域为R 的偶函数，∴当0x ≥时，0x -≤,所以22()()()4()4f x f x x x x x =-=-+-=-. 由()25f x +>以及()f x 为偶函数，得(|2|)5f x +>， ∴2|2|4|2|5x x +-+>， 所以(|2|5)(|2|1)0x x +-++>, 因为|2|10x ++>, 所以|2|5x +>,所以25x +>或25x +<-, 解得7<-x 或 3.x > 故选C 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式,绝对值不等式的解法,属于中档题.3．若不等式23x a x -≤+对任意[]0,2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3- B ．[]1,3-C ．()1,3D ．[]1,3【答案】B 【解析】 【分析】将不等式去掉绝对值符号，然后变量分离转为求函数的最值问题. 【详解】不等式23x a x -≤+去掉绝对值符号得323x x a x --≤-≤+，即3223x x a x a x --≤-⎧⎨-≤+⎩对任意[]0,2x ∈恒成立， 变量分离得333a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，只需min max (33)(3)a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，即31a a ≤⎧⎨≥-⎩所以a 的取值范围是[]1,3- 故选：B 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和恒成立问题的处理方法，属于基础题.4．若函数()(0)1af x ax a x =+>-在(1,)+∞上的最小值为15，函数()1=+++g x x a x ,则函数()g x 的最小值为（ ）.A ．2B ．6C ．4D ．1【答案】C 【解析】当1x >，0a >时，由基本不等式可得()3≥f x a ，又()f x 最小值为15，可得出5a =，再由绝对值三角不等式()()()g =5151=4+++≥+-+x x x x x ，即可得出结果. 【详解】当1x >，0a >时，()()111=+=+-+--a a f x ax a x a x x≥a 3=a ，当且仅当2x =时等号成立，由题可得315a =，即5a =，所以()1=+++g x x a x ()()=5151=4+++≥+-+x x x x ，当且仅当()()510++≤x x 即51x -≤≤-时等号成立，所以函数()g x 的最小值为4.故选：C 【点睛】本题主要考查基本不等式：)0,0a b ab +?>，当且仅当a b =时等号成立，绝对值的三角不等式： +≥-a b a b ，当且仅当0ab ≤时等号成立.5．已知点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，点(,)M a b 为平面上一点，O 为坐标原点，则当OM 取最小值时，椭圆的离心率为（ ）A B ．13C ．2D 【答案】D 【解析】 【分析】点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =a ，b 关系，代入即可．【详解】解：点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =所以||4OM ==，当且仅当223a b =时，取等号， 222213b e a =-=，e =．【点睛】考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．6．设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是 ( ) A ．|a+b|+|a-b|>2 B ．|a+b|+|a-b|<2 C ．|a+b|+|a-b|=2 D ．不能比较大小【答案】B 【解析】选B.当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2, 当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.7．设0x 为函数()sin f x x π=的零点，且满足001()112x f x ++<，则这样的零点有（ ） A ．18个 B ．19个C ．20个D ．21个【答案】D 【解析】从题设可得00()x k x k k Z ππ=⇒=∈，又001()sin()sin()(1)222k f x x k ππππ+=+=+=-，故(1)11k k +-<，当k 取奇数时，12k <，则1,3,5,7,9,11k =±±±±±±，共12个数；当k 取偶数时，10k <，则0,2,4,6,8k =±±±±，共9个数，所以这样的零点的个数共有21个，应选答案D 。

2022年高考数学真题《不等式》专项汇编（含答案）1.【2022年 全国甲卷(文)，23】已知a ，b ，c 均为正数，且22243a b c ++=，证明： （1）23a b c ++≤； （2）若2b c =，则113a c+≥. 2.【2022年 全国乙卷(理)，23】已知a ，b ，c 都是正数，且3223231a b c ++=，证明： （1）19abc ≤；（2）a b c b c a c a b ++≤+++3.【2022年 陕西省模拟，23】设x 、y 、z 为正实数，且4x y z ++=. (1)≤(2)证明：()()()22241233x y z -+-+-≥4.【2022年 贵州贵阳模拟，23】已知实数a ，b ，c 满足0a b c ++=.（2）若0a <，0b <，1abc =，求c 的最小值.5.【2022年 安徽马鞍山模拟，23】已知函数()22f x ax x a =++-（a ∈R ） （1）当1a =时，求不等式()6f x <的解集． （2）当13a -≤≤时，求()1f a -的最大值与最小值．6.【2022年 内蒙古呼伦贝尔模拟，23】设函数()231f x x x =+--． (1)求不等式()0f x >的解集；(2)若()f x 的最小值是m ，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值． 7.【2022年 吉林长春模拟，23】设函数()1f x x =+，()21g x x =-. （1）解关于x 的不等式()()1f x g x ->；（2）若()()22f x g x ax +>+对一切实数恒成立，求实数a 的取值范围. 8.【2022年 四川宜宾模拟，23】 [选修4-5：不等式选讲]： 已知函数()22f x x x =-++. （1）求不等式()24f x x ≥+的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且实数,,a b c ，满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++≥9.【2022年 甘肃嘉陵关模拟，23】已知函数()|21||1|f x x x =-++. （1）解不等式()6f x ；（2）记函数()()|1|g x f x x =++的最小值为m ，若,,a b c ∈R ，且230a b c m ++-=，求222a b c ++的最小值.10.【2022年 重庆市模拟，23】已知函数()|2+=(0)f x ax bx a b ->>｜｜｜． (1)若22a b == ，解不等式()2|f x x ≥｜； (2)求证：()2b f x a≥．答案以及解析1.答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析解析：（1）解法一（平方转化基本不等式证明）因为22243a b c ++=， 所以2222(2)42(22)a b c a b c ab bc ac ++=+++++()2222223(2)(2)a b b c a c ⎡⎤⎡⎤≤++++++⎣⎦⎣⎦，当且仅当21a b c ===时取等号，所以2222(2)32(2)9a b c a b c ⎡⎤++≤+++=⎣⎦.又a ，b ，c 均为正数，所以23a b c ++≤.解法二（柯西不等式证明）因为22243a b c ++=，所以根据柯西不等式有()()2222222334111(2)a b c a b c ⨯=++++≥++， 当且仅当21a b c ===时取等号. 又a ，b ，c 均为正数，所以23a b c ++≤.解法三（权方和不等式证明）根据权方和不等式可得22221(2)43(111)111a b c a b c ++≤++=++（当且仅当21a b c ===时取等号），所以2(2)9a b c ++≤.又a ，b ，c 均为正数，所以23a b c ++≤. （2）因为2b c =，所以根据（1）有43a c +≤.1113314414114533333a c a c c a a c a c a c a c ⎛++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+≥+=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当21a b c ===时取得等号. 2.答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析解析：（1）因为a ，b ，c 都是正数，3332221a b c =++≥ 所以19abc ≤，当且仅当2313a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭时等号成立.（2）由基本不等式得b c +≥a b c ≤+， 同理得b ac ≤+c a b ≤+利用不等式的性质得a b cb c a c a b+++++≤333222bc=333222b c ==，当且仅当2313a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭时等号成立.3.答案：(1)见解析(1) 见解析 解析：(1)因为x,y,z 为正实数，由基本不等式可得422x x y z ⎛⎫⎛⎫=+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12x y z ===≤(2)由柯西不等式可得()()()()()()()2222222123123111x y z x y z ⎡⎤-+-+-≤-+-+-⋅++⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以，()()()()22226412333x y z x y z ++--+-+-≥=， 当且仅当123x y z -=-=-时，即当13x =，43y =，73z =时，等号成立，故()()()22241233x y z -+-+-≥.4、（1）答案：证明见解析解析：证明：由0a b <<，且0a b c ++=，得0c >，0a b ->->，5.答案：（1）75,33⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）最大值为9，最小值为3解析：（1）当1a =时，不等式()6f x <可化为2216x x ++-<，2316x x <-⎧⎨--<⎩，解得723x -<<-；或12236x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-+<⎩，解得122x -≤≤；或12316x x ⎧>⎪⎨⎪+<⎩，解得1523x << 综上可知，不等式的解集为75,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）()2212222f a a a a a a a -=-++-=-++-当12a -≤<时，()[]2222224133,7a a a a a a -+-+=-+=-+∈， 当23a ≤≤时，[]22224,9a a a a -++-=∈， 故所求最大值为9，最小值为3． 6.答案：(1) {|4x x <-或23x >-}（2）2514解析：(1)当32x -时，2310x x --+->，解得4x <-； 当312x -<<时，2310x x ++->，解得213x -<<；当1x 时，2310x x +-+>，解得1x ，综上，不等式()0f x >的解集为{|4x x <-或23x >-}；（2）()34,2332,124,1x x f x x x x x ⎧---⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪+⎪⎪⎩可知，当32x =-时，()min 52f x =-，即52m =-，则235a b c ++=，因为()()()222222223123a b c a b c ++++++，所以()2222514a b c ++，即2222514a b c ++a 2+b 2+c 2⩾2514， (当且仅当123a b c==时等号成立)， 故222a b c ++的最小值为25147.答案：（1）1(,1)3；（2）12a -<<.解析：（1）因函数()1f x x =+，()21g x x =-，则()()1|1||21|1f x g x x x ->⇔+-->， 当1x <-时，1211x x --+->，解得3x >，无解， 当112x -≤<时，1211x x ++->，解得13x >，则有1132x <<， 当12x ≥时，1211x x +-+>，解得1x <，则有112x ≤<，综上得：113x <<，所以不等式()()1f x g x ->的解集是1(,1)3.（2）依题意，R x ∀∈，()()22|22||21|2f x g x ax x x ax +>+⇔++->+，当1x ≤-时，3222124x x ax a x ---+>+⇔>--，而34x --在(,1]-∞-上单调递增，当1x =-时，max 3(4)1x--=-，于是得1a >-，当112x -<<时，2221210x x ax ax +-+>+⇔-<，则有110210a a ⎧-≤⎪⎨⎪--≤⎩，解得12a -≤≤，当12x ≥时，1222124x x ax a x ++->+⇔<-+，而14x -+在1[,)2+∞上单调递增，当12x =时，min 1(4)2x -+=，于是得2a <，于是得2a <，综上得12a -<<，所以实数a 的取值范围12a -<<. 8.答案：（1）(,0]-∞（2）见解析解析： （1）①当2x <-时，不等式即为224x x -≥+，解得1,2x x ≤-∴<-； ②当22x -≤≤时，不等式即为424x ≥+，020x x ≤∴-≤≤； ③当2x >时，不等式即为224x x ≥+，x ∈∅. 综上，不等式()24f x x ≥+的解集为(,0]-∞.（2）由绝对值不等式的性质可得：|2||2||(2)(2)|4x x x x -++≥--+=∴当22x -≤≤时，()f x 取最小值4，即4,()4k a b c =∴+=，即4ab ac +=()()22222222228a b c a b a c ab ac ∴++=+++≥+=当且仅当a b c ===. 9.答案：(1) {22}xx -∣(2) 914解析：(1)1,()61216x f x x x -⎧⇔⎨---⎩或11,21216x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++⎩或1,22116,x x x ⎧⎪⎨⎪-++⎩ 解得21x --或112x -<<或122x ， 所以22x -，即不等式()6f x 的解集为{22}xx -∣. (2)()()|1||21||1||1||21|2g x f x x x x x x x =++=-++++=-++∣2||21223x x ---=∣，当且仅当(21)(22)0x x -+时取等号，所以min () 3.g x m == 故233a b c ++=.由柯西不等式()()2222222123(23)9a b c a b c ++++++=，整理得222914a b c++， 当且仅当123a b c ==，即369,,141414a b c ===时等号成立. 所以222a b c ++的最小值为914. 10.答案：(1) 2{|3x x ≤或2}x ≥(2)见解析解析：(1)由题意，22a b ==时，()2|f x x ≥｜即|22|||x x -≥， 则22|22|||x x -≥，即2384|0x x -+≥ ，解得23x ≤ 或2x ≥ ，故不等式解集为2{|3x x ≤ 或2}x ≥ ；(2)证明：()2|2+=||+||,(0)f x ax bx a x b x a b a-->>＝｜｜｜， 当0x < 时，()2-()22f x ax bx a b x -=-++>=， 当20x a ≤≤时，()2-()2f x ax bx b a x +=-+=，由于0b a -< ，故()22()(0)2b f f x f a a=≤≤=，当2x a > 时，()22-2()2()b f x ax bx a b x f a a +=+->==，综合以上，()2b f x a≥.。

高考数学二轮复习专题 8 选修专题第三讲不等式选讲文从历年全国高考题中知，考绝对值不等式解法或与解绝对值不等式有关问题可能性大，另证明不等式思想在试题中必有表现，注意书写规范，明确每步理论依照．绝对值不等式1．绝对值三角不等式．(1)定理 1：假如a，b是实数，则 | a＋b| ≤ | a| ＋ | b| ，当且仅当ab≥0时，等号建立．(2)定理 2：假如a，b，c是实数，那么 | a－c| ≤ | a－b| ＋ | b－c| ，当且仅当 ( a－b)( b －c)≥0时，等号建立．2．绝对值不等式的解法．(1)不等式 | x|< a与 | x|> a的解集：不等式a >0＝ 0a<0a| x|< a{ x| －a<x<a}??| x|> a{ x| x>a或x<－a}{ x| x≠0}R(2)|ax＋ b|≤ c( c>0)和| ax＋ b|≥c( c>0)型不等式的解法：①| ax＋b| ≤c? －c≤ax＋b≤c；②| ax＋b| ≥c? ax＋b≥c或ax＋b≤－c．(3)| － | ＋|－|≥ ( >0)和|－| ＋ |x －| ≤ (>0) 型不等式的解法：x a x b c c x a b c c方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，表现了数形联合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，表现了分类议论的思想；方法三：经过结构函数，利用函数的图象求解，表现了函数与方程的思想．柯西不等式3．柯西不等式的二维形式．(1) 柯西不等式的代数形式：设1， 2， 1， 2 均为实数，则(a 12＋22)(12＋ 22)≥( 1 1＋a ab b a b b a b a2b2)2(当且仅当 a1b2＝a2b1时，等号建立)．(2) 柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则 |α||βα·β|.| ≥| (3) 二 维 形 式 的 三 角 不 等 式 ： 设 x 1 ， y 1 ， x 2 ， y 2 ∈ R ， 那 么22＋ 22≥x 1＋ y 1 x 2＋ y 2 （ x 1－ x 2） 2＋（ y 1－ y 2） 2. 4．柯西不等式的一般形式．柯西不等式的一般形式： 设 a ，a ， ，a ，b ，b ， ，b2 2 2 2为实数，则( a ＋ a ＋ ＋ a ) ·(b1 2 n 12 n12n1222.＋b 2＋ ＋ b ) ≥(a 1b 1＋ a 2b 2＋ ＋ a b )nn n5．基本不等式的一般形式．a ＋ a 2＋ ＋ a n n1 2n12n*n ≥a a a ( a ， a ， ， a∈N) ．1．函数 y ＝ | x － 4| ＋ | x －6| 的最小值为 ( A)A ．2B.2C ．4D ．6分析： y ＝ | x － 1| ＋ | x －6| ≥|x －4＋ 6－ x | ＝ 2.2．不等式 3≤|5 － 2x |<9 的解集为 (D)A ．[ －2，1) ∪[4 ， 7)B ．( －2，1] ∪(4， 7]C ．( －2，－1] ∪[4 ， 7)D ． ( －2，1] ∪[4 ， 7)|2 x － 5|<9 ， － 9<2x － 5<9， － 2<x <7，分析：? 2x －5≥3或 2x －5≤－ 3?得( －2，1] ∪[4 ， 7)．|2 x －5| ≥3x ≥ 4或x ≤1，3．(2015 ·皖南八校联考 ) 不等式 | x ＋ 3| ＋| x －1| ≥ a 2－ 3a 对随意实数 x 恒建立，则实数 a 的取值范围为 ( A)A ． [ －1， 4]B ． ( －∞，－ 2] ∪[5 ，＋∞)C ． [ －2， 5]D ． ( －∞，－ 2) ∪[4 ，＋∞)分析： 由绝对值的几何意义易知 | x ＋ 3| ＋ | x － 1| 的最小值为 4，因此不等式 | x ＋ 3| ＋ | x－1| ≥ a 2－ 3a 对随意实数 x 恒建立，只要 a 2－ 3a ≤4，解得－ 1≤ a ≤ 4.x 2 ＋5x ＋ 154．(2015 ·延边州质检 ) 函数 y ＝( x ≥0) 的最小值为 ( B)x ＋ 2A ．6B ．7 C. 7D ．9（ x ＋ 2） 2＋（ x ＋ 2）＋ 99分析： 原式变形为 y ＝x ＋ 2＝ x ＋ 2＋ x ＋ 2＋1，由于 x ≥0，因此 x9＋2>0，因此x＋ 2＋x＋2≥ 6.因此 y≥7，当且仅当x＝1时取等号．因此y min＝7(当且仅当 x ＝1时)．。

专题8 选修系列 第1讲 几何证明选讲(B 卷)1．（2015·肇庆市高中毕业班第三次统一检测题·15）（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，且AB=6，CD 是弦，BA 、CD 的延长线交于点P ，PA=4，PD=5，则∠COD= ．2．（2015·佛山市普通高中高三教学质量检测（二）·15）（几何选讲） 如图1，AB 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，且AD ＝2BD ，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F ，若2=CD ，则EF ＝ ．3.(江西省新八校2014-2015学年度第二次联考·22)（本小题满分10分）如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于C B ,两点，20=PA ，10=PB ，BAC ∠的平分线与BC 和圆O 分别交于D 和E . （1)求证：AC PA PC AB ⋅=⋅； （2）求AE AD ⋅的值.4.（2015·南京市届高三年级第三次模拟考试·21）如图，AB ，AC 是⊙O 的切线，ADE 是⊙O 的割线，求证：BE · CD ＝BD · CE ．AB图15．(江西省九江市2015届高三第三次模拟考试·22)（本小题满分10分）选修4---1 几何证明选讲如图，已知O 中，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为M ，P 是CD 延长线上一点，PE 切O 于点E ，连结BE 交CD 于F ． 证明：（1）BFM PEF ∠=∠；（2）2PF PD PC =．6．(2015·乌鲁木齐第二次诊断性测验·22）（本小题满分10）如图AB 是半圆的直径，C 是圆上一点，CH AB ⊥于点H ，CD 是圆的切线，F 是AC 上一点，DF DC =,延长DF 交AB 于E ． （Ⅰ）求证：DE ∥CH ；（第21A 题图）（Ⅱ）求证：22AD DF AE AB -=7．(2015·河南郑州高三第二次模拟考试·22) (本小题满分10分)如图，已知圆O 是ABC ∆的外接圆，BC AB =,AD 是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径．过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ． （1）求证：AE AD BC AC ⋅=⋅； （2）若2=AF ,22=CF ,求AE 的长．8. （2015·重庆市巴蜀中学高三下学期第二次模拟考试·14）如图，AB 与圆O 相切于点,A 又点D 在圆内，DB 与圆相交于点,C 若3,2,6,BC DC OD AB ====那么该圆的半径的长为 ．9．(2015·苏锡常镇四市高三教学情况调研·21)如图，AB 为圆O 的切线，A 为切点，C 为线段AB 的中点，过C 作圆O 的割线CED （E 在C ，D 之间），求证：∠CBE=∠BDE ．10.（2015.南京师大附中模拟·23）专题8 选修系列 第1讲 几何证明选讲(B 卷)参考答案与解析1.【答案】60°【命题立意】本题主要考查与圆有关的比例线段、圆周角定理、圆中的切割线定理． 【解析】由割线定理得， PA ×PB=PC ×PD ， ∵PA=4，PC=5，∴4×10=5×PD ，∴PD=8， ∴CD=8-5=3，∴△CDO 是等边三角形， ∴∠COD=60°． 故答案为：60°2.【命题立意】本题旨在考查相交弦定理和三角形的相似．【解析】在Rt ABC ∆中，CD ⊥AB 于D ，所以CD 2＝AD ·BD ＝2BD 2＝2，∴DB ＝AE ＝ED ＝1∴CE BC ===ACE ∽△FBE ，AE CE EF BE ∴=，故3AE BE EF CE ⨯==．故答案为：33.【答案】（1）详见解析；（2）360.【命题立意】考查三角形相似，切割线定力理，考查转化能力，中等题. 【解析】（1）∵ PA 为圆O 的切线， ,PAB ACP ∴∠=∠又P ∠为公共角，（2）∵PA 为圆O 的切线，BC 是过点O 的割线， 2,PA PB PC ∴=⋅40,30PC BC ∴== 又∵022290,900CAB AC AB BC ∠=∴+==又由（1连接EC ，则,CAE EAB ∠=∠ADB ACE ∆∆∽，则4．【答案】略。

选修(xu ǎnxi ū)4—5 不等式选讲随堂演练稳固R ,不等式|x +10|-|x -2|的解集为 .【答案】【解析】 令y =|x +10|-|x -2|=那么可画出其函数图象如下图:由图象可以观察出使的x 的范围为[0),+∞.∴|x +10|-|x -2|8≥的解集为[0),+∞.2.〔2021高考，理15〕对于实数x ,y ,假设|x -1||y -2|1,那么|x -2y +1|的最大值为 . 【答案】 5【解析】 |x -2y +1|=|x -1-2(y -2)-2|≤|x -1|+2|y -2|+1+2+2=5. 3.设函数f (x )=|2x -4|+1. (1)画出函数y =f (x )的图象;(2)假设(jiǎshè)不等式的解集非空,求a 的取值范围.【解】 (1)由于f (x )= 那么函数y =f (x )的图象如下图.(2)由函数y =f (x )与函数y =ax 的图象可知,当且仅当或者a <-2时,函数y =f (x )与函数y =ax 的图象有交点,故不等式()f x ax 的解集非空时,a 的取值范围为.4.设a ,b 是非负实数,求证:.【证明】 由a ,b 是非负实数,作差得.当时从而(cóng ér)得;当a <b 时从而得.∴3322()a b ab a b +≥+.a >b >c ,且a +b +c =0,证明:.【证明】c )>0.∵a >b >c ,a +b +c =0,∴a -c >0,2a +c =a +(a +c )=a -b >0, 即知(a -c )(2a +c )>0.故23b ac a-<. 6.求证:(1-a )b ,(1-b )c ,(1-c )a 不能同时大于.【证法一】 假设三式同时大于即有三式同向相乘,得(1-a )a (1-b )b .又.同理.∴(1-a)a(1-b与假设(jiǎshè)矛盾,∴结论正确.【证法二】假设三式同时大于∵0<a<1,∴1-a>0,.同理都大于.三式相加,得矛盾.∴原命题成立.课后作业夯基根底稳固1.假设不等式|x+1|+|x-2|对任意x∈R恒成立,那么a的取值范围是 . 【答案】【解析】方法一:∵|x+1|+|x-2||(x+1)-(x-2)|=3,∴使原不等式恒成立的a的取值范围是.方法二:|x+1|+|x-2|表示数轴上一点A(x)到B(-1)与C(2)的间隔之和,而|BC|=3,a≤.∴|AB|+|AC|.∴3方法三:设f(x)=|x+1|+|x-2|=∴f(x)的图象如下图,∴.∴3a ≤.2.不等式||的解集是 .【答案(dá àn)】【解析】 ∵|22x x --|=||,而恒成立,∴原不等式等价于即2x >-6,x >-3.∴原不等式的解集为(3)-,+∞.3.〔2021高考，理13〕集合A ={x ∈R ||x +3|+|x -4|≤9},B ={x ∈R |},那么集合.【答案】 {x |}【解析】 解不等式|x +3|+|x -4|.(1)当x <-3时,|x +3|+|x -4|=-x -3+4-9,∴即;(2)当时,|x +3|+|x -4|=x +3+4-x ≤9恒成立,∴34x -≤≤;(3)当x >4时,|x +3|+|x -4|∴即.综上所述,A={x ∈R |}.∵∴当且仅当时等号成立(chénglì).∴B={x ∈R |}.∴A B ⋂={x ∈R |45x -≤≤}{x ∈R |2x ≥-}={x ∈R |25x -≤≤}.4.假如关于x 的不等式|x -3|-|x -4|<a 的解集不是空集,那么实数a 的取值范围是 . 【答案】 a >-1 【解析】 a >(|x -3|-|x -4|令y =|x -3|-|x -4|,由几何意义得故a >-1.5.假设不等式||>|a -2|+1对于一切非零实数x 均成立,那么实数a 的取值范围是 . 【答案】 (1,3) 【解析】 ∵|1x x+|∴|a -2|+1<2,即|a -2|<1,解得1<a <3. 6.解不等式|3x -2|>4.【解法一】 由|3x -2|>4,得3x -2<-4或者3x -2>4, 即或者x >2.所以原不等式的解集为{x |23x <-或者x >2}.【解法二】 (数形结合法):画出函数y =|3x -2|= 的图象,如下列图所示:|3x-2|=4,解得x=2或者(huòzhě)∴|3x-2|>4时或者x>2.∴原不等式的解集为{x|23x<-或者x>2}.7.解不等式:|x|+|2x+7|<5.【解】当时,-x-(2x+7)<5,x>-4,∴-4<x≤; 当时,-x+2x+7<5,x<-2,∴72-<x<-2;当x>0时,x+2x+7舍去.∴原不等式的解集为(-4,-2).8.假设关于x的不等式x+|x-1|有解,务实数a的取值范围. 【解】设f(x)=x+|x-1|,那么f(x)=所以f(x)的最小值为1.所以当时有解,即实数a的取值范围是.9.解不等式x+|2x-1|<3.【解】原不等式可化为或者(huòzhě)解得或者.所以原不等式的解集是{x |}.10.求证:.【证明】 设定义域为{x |x ∈R 且},f (x )分别在上是增函数.又|a +b |≤|a |+|b |,∴f (|a +b ||a |+|b |),即.∴原不等式成立.11.设函数f (x )=|x -a |+3x ,其中a >0. (1)当a =1时,求不等式的解集;(2)假设不等式的解集为{x |},求a 的值.【解】 (1)当a =1时可化为|x -1|.由此可得或者1x ≤-.故不等式()32f x x ≥+的解集为{x |3x ≥或者x ≤-1}. (2)由()0f x ≤得|x -a |.此不等式化为不等式组或者(huòzhě)即 或者因为a >0,所以不等式组的解集为{x |}.由题设可得故a =2.12.且求证:假设a ,b ,c 成等差数列,那么不可能成等差数列.【证明】 假设111a b c,,成等差数列,那么化简得b (a +c )=2ac . ①因为a ,b ,c 成等差数列,所以a +c =2b . ② 把②代入①,得由此得.这与相矛盾,因此假设不成立,故原命题正确.13.(2021高考,理19)(1)设证明x +y +;(2)设证明log log log log log log .【证明】 (1)由于11x y ≥,≥,所以.将上式中的右式减左式,得[y [xy (x +y )+1]y )-(x +y )]=(xy +1)(xy -1)-(x +y )(xy -1) =(xy -1)(xy -x -y +1) =(xy -1)(x -1)(y -1).既然(jìrán)11x y ≥,≥,所以(xy -1)(x -1.从而所要证明的不等式成立. (2)设loglog由对数的换底公式得loglogloglog.于是,所要证明的不等式即为其中x =log log .故由(1)可知所要证明的不等式成立. 拓展延伸14.函数f (x )=|x -a |, (1)假设不等式的解集为{x |},务实数a 的值;(2)在(1)的条件下,假设对一实在数x 恒成立,务实数m 的取值范围. 【解法一】 (1)由()3f x ≤得|x -a |解得x ≤a +3.又不等式()3f x ≤的解集为{x |15x -≤≤},所以解得a =2.(2)当a =2时,f (x )=|x -2|. 设g (x )=f (x )+f (x +5),于是g (x )=|x -2|+|x +3|=所以当x <-3时,g (x )>5; 当时,g (x )=5;当x >2时,g (x )>5.综上可得,g (x )的最小值为5.从而(cóng ér),假设即对一实在数x 恒成立,那么m 的取值范围为. 【解法二】 (1)同解法一.(2)当a =2时,f (x )=|x -2|.设g (x )=f (x )+f (x +5).由|x -2|+|x +3|≥|(x -2)-(x +3)|=5(当且仅当32x -≤≤时等号成立)得,g (x )的最小值为5.从而,假设()(5)f x f x m ++≥,即()g x m ≥对一实在数x 恒成立,那么m 的取值范围为(5]-∞,.内容总结。

第三节不等式选讲(选修45)绝对值不等式考向聚焦绝对值不等式的解法和性质运用是高考考查的一个重点.以绝对值不等式为载体,求参数的取值范围也是常见的考查题型,如恒成立问题、存在性问题等.多以填空题和解答题的形式出现,中等难度,分值5~10分备考指津含有绝对值不等式的问题主要包括两类:一类是解不等式,另一类是以绝对值不等式为载体求参数的取值范围,解答这两类问题的关键是去掉绝对值符号.(1)依据绝对值的意义;(2)先令每一个绝对值等于零,找到分界点,通过讨论每一区间内的代数式的符号去掉绝对值1.(2012年陕西卷,文15A,5分)若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是. 解析:由题意知左边的最小值小于或等于3,根据不等式的性质得|(x-a)-(x-1)|≤3,∴|a-1|≤3,∴-2≤a≤4.答案:-2≤a≤42.(2011年陕西卷,文15)若不等式|x+1|+|x-2|≥a对任意x∈R恒成立,则a的取值范围是.解析:法一:由题意,只需求|x+1|+|x-2|的最小值,由绝对值的几何意义知,此式表示数轴上的点P到-1,2两点的距离之和,当点P位于-1,2对应两点之间的距离之和最小值为3,∴a≤3.法二:∵|x+1|+|x-2|=|x+1|+|2-x|≥|x+1+2-x|=3,∴|x+1|+|x-2|的最小值为3.当且仅当-1≤x≤2时取最小值,若|x+1|+|x-2|≥a对任意x∈R恒成立,则a≤3.答案:(-∞,3]3.(2011年江西卷,文15)对于x∈R,不等式|x+10|-|x-2|≥8的解集为.解析:法一:①当x<-10时,原不等式等价于-x-10+x-2≥8,即-12≥8,∴x无解;②当-10≤x≤2时,原不等式等价于x+10+x-2≥8即2x≥0,∴0≤x≤2,③当x>2时,原不等式等价于x+10-x+2≥8,即12≥8,∴x>2由①②③得x ≥0.法二:由绝对值的几何意义知|x+10|-|x-2|表示数轴上到-10与到2两点距离差,则当|x+10|-|x-2|≥8时,则x ≥0.答案:[0,+∞)4.(2010年陕西卷,文15A)不等式|2x-1|<3的解集为.解析:由|2x-1|<3得-3<2x-1<3,∴-1<x<2.答案:{x|-1<x<2}5.(2012年新课标全国卷,文24,10分)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.解:(1)当a=-3时,f(x)=当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;当2<x<3时,由f(x)≥3无解;当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4.所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.(2)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|,当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔|x+a|≤2⇔-2≤x+a≤2⇔-2-a≤x≤2-a由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即得-3≤a≤0,故满足条件的a的取值范围是[-3,0].6.(2012年辽宁卷,文24,10分)已知f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1}.(1)求a的值;(2)若|f(x)-2f()|≤k恒成立,求k的取值范围.解:(1)由|ax+1|≤3得-4≤ax≤2,又f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1},所以当a≤0时,不合题意.当a>0时,-≤x≤,得a=2.(2)记h(x)=f(x)-2f(),则h(x)=所以|h(x)|≤1,因此k≥1.7.(2012年浙江自选模块,03,10分)已知a∈R,设关于x的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集为A.(1)若a=1,求A;(2)若A=R,求a的取值范围.解:(1)当x≤-3时,原不等式化为-3x-2≥2x+4,得x≤-3.当-3<x≤时,原不等式化为4-x≥2x+4,得-3<x≤0.当x>时,原不等式化为3x+2≥2x+4,得x≥2.综上,A={x|x≤0或x≥2}.(2)当x≤-2时,|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4成立.当x>-2时,|2x-a|+x+3=|2x-a|+|x+3|≥2x+4.得x≥a+1或x≤,所以a+1≤-2或a+1≤,得a≤-2综上,a的取值范围为a≤-2.8.(2011年全国新课标卷,文24)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.解:(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2.由此可得x≥3或x≤-1,故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}.(2)由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0,此不等式化为不等式组或即或.∵a>0,所以不等式组的解集为{x|x≤-}.由题设可得-=-1,故a=2.9.(2011年辽宁卷,文24)已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.(1)证明:-3≤f(x)≤3;(2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.(1)证明:f(x)=|x-2|-|x-5|=当2<x<5时,-3<2x-7<3.所以-3≤f(x)≤3.(2)解:由(1)可知,当x≤2时,f(x)≥x2-8x+15的解集为空集;当2<x<5时,f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-≤x<5};当x≥5时,f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5≤x≤6}.综上,不等式f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-≤x≤6}.10.(2010年全国新课标卷,文24)设函数f(x)=|2x-4|+1.(1)画出函数y=f(x)的图象;(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围.解:(1)由于f(x)=则函数y=f(x)的图象如图所示.(2)由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,(l1,l2,l3,l4都代表y=ax的图象),l1与y=f(x)相交于点A,由l1转到l2时有交点,∴a≥.同理当l1转到l3时也有交点,当转到l4即斜率为-2时,此时l4与y=-2x+5平行无交点,∴a<-2.故不等式f(x)≤ax的解集非空时,a的取值范围为(-∞,-2)∪[,+∞).本题主要考查分段函数画图和利用数形结合找出a的取值范围. 不等式的证明考向聚焦高考中主要考查利用基本不等式证明不等式问题(有时也是利用基本不等式求最值问题)对于不等式的证明,一般用比较法、分析法、综合法等证明简单的不等式,能够利用基本不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值以及对一些不等式问题的证明等,为中档题,主要为解答题,分值10分左右备考指津(1)利用基本不等式证明条件不等式,关键是恰当地利用条件,构造基本不等式所需要的形式;利用基本不等式求最值时,还一定要注意“一正二定三相等”.(2)如果已知条件与待证结论之间的联系不明显,可考虑使用分析法.(3)如果待证的命题以“至少”“至多”“恒成立”等方式给出,可考虑使用反证法.用反证法证明命题时,推导出的矛盾多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与事实相违背等.(4)放缩法的依据是不等式的传递性,运用放缩法证明不等式时,要放缩适度,放得过大或过小都不能达到证明目的,常用方法:一是舍去或添加一些已知正负的项;二是将分子或分母放大或缩小.(5)利用柯西不等式证明不等式的关键是正确构造左边的数组,从而利用题目的条件正确求解11.(2011年浙江卷自选模拟,03)设正数x,y,z满足2x+2y+z=1.(1)求3xy+yz+zx的最大值;(2)证明:++≥.(1)解:原式=3xy+(x+y)z=3xy+[1-2(x+y)](x+y)=3xy+(x+y)-2(x+y)2≤(x+y)2+(x+y)-2(x+y)2=-(x+y)2+(x+y)=-[(x+y)2-(x+y)]=-[(x+y-)2-]=-(x+y-)2+≤.当且仅当x=y=z=时,等号成立,3xy+yz+zx的最大值为.(2)证明:法一:由柯西不等式和(1)得[++]·[3(1+xy)+(1+yz)+(1+zx)]≥[·+·+·]2=(3+1+1)2=25.∴++≥≥=.法二:由基本不等式得++≥5≥5=≥=.12.(2010年江苏卷,21D)设a,b是非负实数,求证a3+b3≥(a2+b2).证明:a3+b3-(a2+b2)=(a3-a2)+(b3-b2)=a2(-)-b2(-)=(-)(-).当a≥b时,≥且≥,当a<b时,<且<,∴a3+b3-(a2+b2)≥0,∴a3+b3≥(a2+b2).证明不等式,常用方法是作差比较法.13.(2010年辽宁卷,文24)已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+(++)2≥6,并确定a,b,c为何值时,等号成立.证明:法一:因为a,b,c均为正数,由均值不等式得a2+b2+c2≥3(abc,①++≥3(abc,所以(++)2≥9(abc.②故a2+b2+c2+(++)2≥3(abc+9(abc.又3(abc+9(abc≥2=6,③当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.当且仅=9(abc时,③式等号成立.即当且仅当a=b=c=时,原式等号成立.所以原不等式成立.法二:因为a,b,c均为正数,由基本不等式得a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac.所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①同理++≥++②故a2+b2+c2+(++)2≥ab+bc+ac+3+3+3≥6.③当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,③式等号成立. 即当且仅当a=b=c=时,原式等号成立.所以原不等式成立.。

历年（2014-2023）全国高考数学真题分项（不等式选讲）好题汇编题型一：含绝对值不等式的解法1．(2021年高考全国乙卷理科·第23题)已知函数()3f x x a x =-++．(1)当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集; (2)若()f x a >-，求a 的取值范围．2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第23题)已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+．(1)当2a =时，求不等式()4f x …的解集；(2)若()4f x …，求a 的取值范围．3．(2020江苏高考·第23题)设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤． 4．(2019·全国Ⅱ·理·第23题)已知函数()()2f x x a x x x a =-+--．()1当1a =时，求不等式()0f x <的解集；()2当(),1x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．5．(2019·江苏·第23题)设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.6．(2015高考数学新课标1理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数()12,0f x x x a a =+-->． (Ⅰ)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(Ⅱ)若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围7．(2015高考数学江苏文理·第24题)解不等式|23|2x x ++≥8．(2014高考数学课标2理科·第24题)(本小题满分10)选修4-5：不等式选讲．设函数()f x =1(0)x x a a a++->(Ⅰ)证明：()f x ≥2；(Ⅱ)若()35f <，求a 的取值范围．9．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第23题)[选修4—5:不等式选讲]已知函数,．()24f x x ax =-++()11g x x x =++-(1)当时,求不等式的解集;(2)若不等式的解集包含,求的取值范围10．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数． (1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．11．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第24题)选修4—5:不等式选讲已知函数()2f x x a a =-+.(Ⅰ)当2a =时,求不等式()6f x ≤的解集;(Ⅱ)设函数()21g x x =-,当R x ∈时,()()3f x g x +≥,求a 的取值范围.题型二：不等式的最值1．(2018年高考数学江苏卷·第24题)[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值． 2．(2014高考数学课标1理科·第24题)选修4—5:不等式选讲若,且． (1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并说明理由．3．(2015高考数学陕西理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． (Ⅰ)求实数a ，b 的值；的最大值．4．(2015高考数学福建理科·第23题)选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4．(Ⅰ)求a b c ++的值； (Ⅱ)求2221149a b c ++的最小值． 题型三：含绝对值不等式的成立问题1．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第23题)[选修4－5：不等式选讲](10分)1a =()()f x g x ≥()()f x g x ≥[]1,1-a ()12f x x x =+--()1f x ≥()2f x x x m ≥-+m 0,0a b >>11a b+=33a b +,a b 236a b +=设函数()5|||2|f x x a x =-+--． (1)当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； (2)若()1f x ≤，求a 的取值范围．2．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第23题)[选修4–5：不等式选讲](10分)已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．题型四：含绝对值函数的图像及其应用1．(2023年全国甲卷理科·第23题)设0a >，函数()2f x x a a =--．(1)求不等式()f x x <的解集；(2)若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ．2．(2023年全国乙卷理科·第23题)已知()22f x x x =+-．(1)求不等式()6f x x ≤-的解集； (2)在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积．3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第23题)已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．(1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集．4．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数(x)123f x x =+--． (I )画出(x)y f =的图像；(II )求不等式(x)1f ൐的解集．(I )见解析 (II )()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，5．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23题)【选修4—5：不等式选讲】(10分)设函数()211f x x x =++-． (1)画出()y f x =的图象；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．题型五：不等式证明1．(2017年高考数学江苏文理科·第24题)[选修4-5:不等式选讲]已知为实数,且证明2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第23题)已知a ，b ，c 均为正数，且22243a b c ++=，证明：(1)23a b c ++≤； (2)若2b c =，则113a c+≥． 3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第23题)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．(1)证明：ab +bc +ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c．,,,a b c d 22224,16,a b c d +=+=8.ac bd +≤4．(2019·全国Ⅲ·理·第23题)设,,x y z R ∈，且1x y z ++=．(1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a -≤或1a -≥． 5．(2019·全国Ⅰ·理·第23题)已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．证明：(1)222111a b c a b c++++≤； (2)333()()()24a b b c c a +++++≥．6．(2014高考数学辽宁理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N ． (1)求M ；(2)当x M N ∈ 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤． 7．(2014高考数学江苏·第24题)【选修4 - 5：不等式选讲】已知0,0x y >>，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥．8．(2014高考数学福建理科·第23题)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知定义在R 上的函数21)(+++=x x x f 的最小值为a ． (I )求a 的值；(II )若r q p ,,为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p ．9．(2015高考数学新课标2理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：(Ⅰ)若ab cd >>+>是a b c d -<-的充要条件．10．(2015高考数学湖南理科·第18题)设0,0a b >>，且11a b a b+=+．证明: (1)2a b +≥；(2)22a a +<与22b b +<不可能同时成立．11．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知，证明：(1)；(2)．12．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． (I )求M ；(II )证明：当,a b M ∈时，1a b ab +<+．330,0,2a b a b >>+=33()()4a b a b ++≥2a b +≤13．(2016高考数学江苏文理科·第24题)[选修4-5：不等式选讲]设0a >，13a x -<，23ay -<，求证：24x y a +-<．参考答案题型一：含绝对值不等式的解法1．(2021年高考全国乙卷理科·第23题)已知函数()3f x x a x =-++．(1)当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集; (2)若()f x a >-，求a 的取值范围． 【答案】(1)(][),42,-∞-+∞ ．(2)3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 答案解析：(1)当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和， 则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，故4x ≤-或2x ≥， 所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞ ．(2)依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<， 解得32a >-． 所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第23题)已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+．(1)当2a =时，求不等式()4f x …的解集；(2)若()4f x …，求a 的取值范围．【答案】(1)32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；(2)(][),13,-∞-+∞ ．答案解析：(1)当2a =时，()43f x x x =-+-． 当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤； 当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解； 当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭． (2)()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-(当且仅当221a x a -≤≤时取等号)，()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ ．【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型． 3．(2020江苏高考·第23题)设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案解析】1224x x x <-⎧⎨---≤⎩ 或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧⎨++≤⎩21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤,所以解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4．(2019·全国Ⅱ·理·第23题)已知函数()()2f x x a x x x a =-+--．()1当1a =时，求不等式()0f x <的解集；()2当(),1x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 【答案】()1(),1-∞；()2[)1,+∞【官方答案解析】()1当1a =时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---.当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥. 所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞.()2因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x ----- 所以，a 的取值范围是[1,)+∞.【分析】()1根据1a =，将原不等式化为()1210x x x x -+--<，分别讨论1x <，12x <≤，2x ≥三种情况，即可求出结果；()2分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.【答案解析】()1当1a =时，原不等式可化为()1210x x x x -+--<；当1x <时，原不等式可化，即()210x ->，显然成立， 此时解集为(),1-∞；当12x <≤时，原不等式可化为()()()1210x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集； 当2x ≥时，原不等式可化为()()()1210x x x x -+--<，即()210x -<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(),1-∞；()2当1a ≥时，因为(),1x ∈-∞，所以由()0f x <可得()()()20a x x x x a -+--<，即()()10x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，()()()2,1()21,x a a x f x x a x x a -<⎧⎪=⎨--<⎪⎩≤，因1a x <≤时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值范围是[)1,+∞.【点评】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.5．(2019·江苏·第23题)设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【答案】见答案解析【答案解析】当0x <时，原不等式可化为122x x -+->，解得13x <-；当12x 0≤≤时，原不等式可化为122x x +->，即1x <-，无解；当12x >时，原不等式可化为212x x +->，解得1x >. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.6．(2015高考数学新课标1理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数()12,0f x x x a a =+-->．为为(Ⅰ)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(Ⅱ)若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围 【答案】(Ⅰ)2{|2}3x x <<(Ⅱ)(2，+∞) 分析：(Ⅰ)利用零点分析法将不等式f (x )>1化为一元一次不等式组来解；(Ⅱ)将()f x 化为分段函数，求出()f x 与x 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a 的不等式，即可解出a 的取值范围．答案解析：(Ⅰ)当a =1时，不等式f (x )>1化为|x +1|-2|x -1|＞1，等价于11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<， 所以不等式f (x )>1的解集为2{|2}3x x <<．(Ⅱ)由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +． 由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >． 所以a 的取值范围为(2，+∞)．7．(2015高考数学江苏文理·第24题)解不等式|23|2x x ++≥【答案】153x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或分析：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可答案解析：原不等式可化为3232x x ⎧<-⎪⎨⎪--≥⎩或32332x x ⎧≥-⎪⎨⎪+≥⎩．解得5x ≤-或13x ≥-．综上，原不等式的解集是153x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或．8．(2014高考数学课标2理科·第24题)(本小题满分10)选修4-5：不等式选讲．设函数()f x =1(0)x x a a a++->(Ⅰ)证明：()f x ≥2；(Ⅱ)若()35f <，求a 的取值范围．【答案】答案解析：(Ⅰ)11112x x a x a x x a x a a a a a++-=++-≥++-=+≥，仅当1a =时等号成立，所以()f x ≥2．(Ⅱ)()3f =1133335a a a a++-=-++<当03a <<时，()3f =165a a -+<，解得12a +>当3a ≥时，()3f =15a a +<，解得52a +>综上所述，a的取值范围为15(,22++．9．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第23题)[选修4—5:不等式选讲]已知函数,．(1)当时,求不等式的解集;(2)若不等式的解集包含,求的取值范围【答案】(1);(2)．【分析】(1)将代入,不等式等价于,对按,,讨论,得出最值的解集;(2)当时,．若的解集包含,等价于当时,,则在的最小值必为与之一,所以且,得,所以的取值范围为．【答案解析】(1)当时,不等式等价于①当时,①式化为,无解;当时,①式化为,从而;当时,①式化为,从而 所以不等式的解集为(2)当时,所以的解集包含,等价于当时,又在的最小值必为与之一,所以,得． 所以的取值范围为．10．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数．()24f x x ax =-++()11g x x x =++-1a =()()f x g x ≥()()f x g x ≥[]1,1-a 112x x ⎧-+⎪-≤≤⎨⎪⎪⎩⎭[]1,1-1a =()()f x g x ≥2|1||1|40x x x x -+++--≤x 1x <-11x -≤≤1x >[1,1]x ∈-()2g x =()()f x g x ≥[1,1]-[]1,1x ∈-()2f x ≥()f x []1,1-()1f -()1f ()12f -≥()12f ≥11a -≤≤a []1,1-1a =()()f x g x ≥21140x x x x -+++--<1x <-2340x x --≤11x -≤≤220x x --≤11x -≤≤1x >240x x +-≤112x -<≤()()f x g x≥112xx ⎧-+⎪-≤≤⎨⎪⎪⎩⎭[]1,1x ∈-()2g x =()()f x g x ≥[]1,1-[]1,1x ∈-()2f x ≥()f x []1,1-()1f -()1f ()()1212f f -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩11a -≤≤a []1,1-()12f x x x =+--(1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)【答案解析】(1)因为所以不等式等价于或或由无解；由；由 综上可得不等式的解集为．(2)解法一：先求不等式的解集为空集时的取值范围不等式的解集为空集等价于不等式恒成立记，则当时， 当时，当时， 所以 所以不等式的解集为空集时， 所以不等式的解集非空时，的取值范围为．解法二：原式等价于存在，使成立，即设()1f x ≥()2f x x x m ≥-+m {}1x x ≥5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦()3, 11221, 123, 2x f x x x x x x -<-⎧⎪=+--=-≤≤⎨⎪>⎩()1f x ≥131x <-⎧⎨-≥⎩12211x x -≤≤⎧⎨-≥⎩231x >⎧⎨≥⎩131x <-⎧⎨-≥⎩⇒x 1222x x -≤≤⎧⎨≥⎩12x ⇒≤≤231x >⎧⎨≥⎩2x ⇒≥()1f x ≥[)1,+∞()2f x x x m ≥-+m ()2f x x x m ≥-+()2m f x x x >-+()()2F x f x x x =-+2223, 131, 123, 2x x x x x x x x x ⎧-+-<-⎪-+-≤≤⎨⎪-++>⎩()max m F x >⎡⎤⎣⎦1x <-()()2211131524F x x x x F ⎛⎫=-+-=---<-=- ⎪⎝⎭12x -≤≤()223535312424F x x x x F ⎛⎫⎛⎫=-+-=--+≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2x >()()2211332124F x x x x F ⎛⎫=-++=--+<= ⎪⎝⎭()max 3524F x F ⎛⎫==⎡⎤⎪⎣⎦⎝⎭()2f x x x m ≥-+54m >()2f x x x m ≥-+m 5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦x R ∈2()f x x x m -+≥2max [()]f x x x m -+≥2()()g x f x x x =-+由(1)知当时，，其开口向下，对称轴 所以当时，，其开口向下，对称轴为 所以 当时，，其开口向下，对称轴为 所以 综上 所以的取值范围为．11．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第24题)选修4—5:不等式选讲已知函数()2f x x a a =-+.(Ⅰ)当2a =时,求不等式()6f x ≤的解集;(Ⅱ)设函数()21g x x =-,当R x ∈时,()()3f x g x +≥,求a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ){}13x x -≤≤;(Ⅱ)[)2,+∞.【答案解析】(Ⅰ)当2a =时,()222f x x =-+.解不等式2226x -+≤,得13x -≤≤.因此,()6f x ≤的解集为{}13x x -≤≤. (Ⅱ)当R x ∈时,()()2122121f x g x x a a x x a x a a a +=-++--+-+=-+≥ 当12x =时等号成立. 所以当R x ∈时,()()3f x g x +≥等价于13a a -+≥.① 当1a ≤时,①等价于13a a -+≥,无解. 当1a >时,①等价于13a a -+≥,解得2a ≥2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩1x ≤-2()3g x x x =-+-112x =>-()()11135g x g ≤-=---=-12x -<<()231g x x x =-+-32x =()399512424g x g ⎛⎫≤=-+-= ⎪⎝⎭2x ≥()23g x x x =-++12x =()()24231g x g ≤=-++=()max 54g x =⎡⎤⎣⎦m 5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦所以的取值范围是[)2,+∞.题型二：不等式的最值1．(2018年高考数学江苏卷·第24题)[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值． 【答案】4证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， 当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，，所以222x y z ++的最小值为4．2．(2014高考数学课标1理科·第24题)选修4—5:不等式选讲若,且． (1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并说明理由． 【答案】答案解析:(1,得,且当时等号成立,故,且当∴的最小值为．(2)由,得,又由(1)知,二者矛盾, 所以不存在,使得成立．3．(2015高考数学陕西理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． (Ⅰ)求实数a ，b 的值；的最大值．【答案】(Ⅰ)3a =-，1b =；(Ⅱ)4．分析：(Ⅰ)先由x a b +<可得b a x b a --<<-，再利用关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<可得a ，b +变形为，再利用柯西不等式的最大值．答案解析：(Ⅰ)由||x a b +<，得b a x b a --<<- 则2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得3a =-,1b =0,0a b >>11a b+=33a b +,a b 236a b +=11a b =+?2ab ³a b ==33a b +?a b =33a b +623a b =+?32ab £2ab ³,a b 236a b +==≤4==1=，即1t=时等号成立，故max4=．4．(2015高考数学福建理科·第23题)选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c>>>，函数()||||f x x a x b c=++-+的最小值为4．(Ⅰ)求a b c++的值；(Ⅱ)求2221149a b c++的最小值．【答案】(Ⅰ)4；(Ⅱ)87．答案解析：(Ⅰ)因为(x)|x||x||(x)(x)||a|f a b c a b c b c=++++?-++=++，当且仅当a x b-＃时，等号成立，又0,0a b>>，所以|a b|a b+=+,所以(x)f的最小值为a b c++, 所以a b c4++=．(Ⅱ)由(1)知a b c4++=，由柯西不等式得()()22222114912+3+1164923a ba b c c a b c⎛⎫⎛⎫++++≥⨯⨯⨯=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即222118497a b c++?．当且仅当1132231ba c==,即8182,,777a b c===时，等号成立所以2221149a b c++的最小值为87．题型三：含绝对值不等式的成立问题1．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第23题)[选修4－5：不等式选讲](10分)设函数()5|||2|f x x a x=-+--．(1)当1a=时，求不等式()0f x≥的解集；(2)若()1f x≤，求a的取值范围．【答案】答案解析：(1)当1a=时，24,1,()2,12,26, 2.x xf x xx x+-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤可得()0≥f x的解集为{}|23≤≤x x-．(2)()1f x≤等价于|||2|4≥x a x++-．而|||2||2|≥x a x a ++-+，且当2x =时等号成立，故()1f x ≤等价于|2|4≥a +． 由|2|4≥a +可得6≤a -或2≥a ，所以a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞ ． 2．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第23题)[选修4–5：不等式选讲](10分)已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【答案】答案解析：(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(0,2]．题型四：含绝对值函数的图像及其应用1．(2023年全国甲卷理科·第23题)设0a >，函数()2f x x a a =--．(1)求不等式()f x x <的解集；(2)若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ． 【答案】(1),33a a ⎛⎫⎪⎝⎭(2)2答案解析：(1)若x a ≤,则()22f x a x a x =--<, 即3x a >,解得3a x >,即3ax a <≤, 若x a >,则()22f x x a a x =--<, 解得3x a <,即3a x a <<, 综上,不等式的解集为,33a a ⎛⎫⎪⎝⎭．(2)2,()23,x a x a f x x a x a -+≤⎧=⎨->⎩． 画出()f x 的草图,则()f x 与x 轴围成ABC ,ABC 的高为3,,0,,022a a a A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以||=AB a ,所以211||222ABC S AB a a =⋅== ,解得2a =．2．(2023年全国乙卷理科·第23题)已知()22f x x x =+-．(1)求不等式()6f x x ≤-的解集；(2)在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积． 【答案】(1)[2,2]-； (2)8．答案解析：(1)依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x ->⎧⎪=+≤≤⎨⎪-+<⎩，不等式()6f x x ≤-化为：2326x x x >⎧⎨-≤-⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩或0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩， 解2326x x x >⎧⎨-≤-⎩，得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩，得02x ≤≤，解0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，得20x -≤<，因此22x -≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]-(2)作出不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC ，由326y x x y =-+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A -，由26y x x y =+⎧⎨+=⎩, 解得(2,4)C ，又(0,2),(0,6)B D ， 所以ABC 的面积11|||62||2(2)|822ABC C A S BD x x =⨯-=-⨯--= ． 3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第23题)已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．(1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集． 【答案】(1)详解答案解析；(2)7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭． 【答案解析】(1)因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：(2)将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-． 所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．4．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数(x)123f x x =+--． (I )画出(x)y f =的图像； (II )求不等式(x)1f ൐的解集．【答案】 (I )见答案解析 (II )()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，【官方解答】(I )()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥ ，()y f x =如图所示：(II )由()f x 得表达式及图像，当()1f x =时，得1x =或3x =当()1f x =-时，得13x =或5x = 故()1f x ൐的解集为{}13x x <<；()1f x -൏的解集为153x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 ()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，，，．【民间解答】(I )如上图所示：(II )()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥()1f x >当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <1x -∴≤ 当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <113x -<<∴或312x << 当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x < 332x <∴≤或5x >综上，13x <或13x <<或5x > ()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，，，．5．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23题)【选修4—5：不等式选讲】(10分)设函数()211f x x x =++-． (1)画出()y f x =的图象；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．【答案】【官方答案解析】(1)()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示(2)由(1)知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5．【民间答案解析】(1)()211f x x x =++-3,112,12132x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩，可作出函数()f x 的图象如下图(2)依题意可知()f x ax b ≤+在[)1,+∞上恒成立，在[)0,1上也恒成立 当1x ≥时，()3f x x ax b =≤+恒成立即()30a x b -+≥在[)1,+∞上恒成立 所以30a -≥，且30a b -+≥，此时3a ≥，3a b +≥当01x ≤<时，()2f x x ax b =+≤+即()120a x b -+-≥恒成立 结合3a ≥，可知20b -≥即2b ≥综上可知32a b ≥⎧⎨≥⎩，所以当3a =，2b =时，a b +取得最小值5．题型五：不等式证明1．(2017年高考数学江苏文理科·第24题)[选修4-5:不等式选讲]已知为实数,且证明【答案】答案解析:证明:由柯西不等式得,直线的普通方程为．因为, ,所以, 因此2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第23题)已知a ，b ，c 均为正数，且22243a b c ++=，证明：(1)23a b c ++≤； (2)若2b c =，则113a c+≥． 【答案】(1)见答案解析 (2)见答案解析【答案解析】(1)证明：由柯西不等式有()()()222222221112a b c a b c ⎡⎤++++≥++⎣⎦， 所以23a b c ++≤，当且仅当21a b c ===时，取等号，所以23a b c ++≤； (2)证明：因为2b c =，0a >，0b >，0c >，由(1)得243a b c a c ++=+≤， 即043a c <+≤，所以1143a c ≥+， 由权方和不等式知()22212111293444a c a c a c a c++=+≥=≥++，当且仅当124a c =，即1a =，12c =时取等号， 所以113a c+≥ 3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第23题)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．(1)证明：ab +bc +ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c． 【答案】(1)证明见答案解析(2)证明见答案解析．答案解析：(1)2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++= ，,,,a b c d 22224,16,a b c d +=+=8.ac bd +≤l 22222()()()ac bd a b c d +++≤224a b +=2216c d +=2()64ac bd +≤8.ac bd +≤()22212ab bc ca a b c ∴++=-++ 1,,,abc a b c =∴ 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； (2)不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=．当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即max{,,}a b c ．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题．4．(2019·全国Ⅲ·理·第23题)设,,x y z R ∈，且1x y z ++=．(1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a -≤或1a -≥． 【答案】(1)43；(2)见详解． 【官方答案解析】(1)由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤-++++⎣⎦…故由已知得232(1)(1)143()x y z -++++≥，当且仅当511,,333x y z ==-=-时等号成立．所以232(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43． (2)由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-.222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦…故由已知得2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-…，当且仅当4122,,333aa a x y z ---===时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +由题设知2(2)133a +…，解得3a -≤或1a -≥．【解法2】柯西不等式法(1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z -++++++-++++=+++=≥，故2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当511,,333x y z ==-=-时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43． (2)2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a -+-+-++≥．当且仅当4122,,333aa a x y z ---===时等号成立． 22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a -+-+-++=-+-+-=+成立．所以2(2)1a +≥成立，所以有3a -≤或1a -≥．【点评】本题两问思路一样，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，属于中档题型．5．(2019·全国Ⅰ·理·第23题)已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．证明：(1)222111a b c a b c++++≤； (2)333()()()24a b b c c a +++++≥．【答案】解：(1)因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +++≥≥≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++++==++≥．所以222111a b c a b c++++≤.(2)因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥3(+)(+)(+)a b b c a c =324⨯⨯⨯=≥所以333()()()24a b b c c a +++++≥．6．(2014高考数学辽宁理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N ． (1)求M ；(2)当x M N ∈ 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤． 【答案】(1)[0，43]；(2)见答案解析． 答案解析：(1)由f (x )=2|x ﹣1|+x ﹣1≤1 可得1331x x ≥⎧⎨-≤⎩①，或111x x <⎧⎨-≤⎩②． 解①求得1≤x ≤43，解②求得 0≤x ＜1．综上，原不等式的解集为[0，43]．(2)由g (x )=16x 2﹣8x +1≤4，求得14-≤x ≤34，∴N =[14-，34]，∴M ∩N =[0，34]．∵当x ∈M ∩N 时，f (x )=1﹣x ，x 2f (x )+x [f (x )]2=xf (x )[x +f (x )]=21142x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤14，故要证的不等式成立．7．(2014高考数学江苏·第24题)【选修4 - 5：不等式选讲】已知0,0x y >>，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥． 【答案】[选修4—4：不等式证明选讲]． 答案解析：本小题主要考查本小题满分10分．证法一：因为0,0x y >>，所以210x y ++≥>，故22(1)(1)9x y x y xy ++++≥=．证法二：(柯西不等式)22222(1)(1)(1)(1)(x y x y x y y x y x ++++=++++≥+29xy ≥+=．证法三：因为0,0x y >>，所以212x y x y ++≥+，212y x y x ++≥+．故222(1)(1)(2)(2)2()99x y x y x y y x x y xy xy ++++≥++=-+≥． (江苏苏州 褚小光) 证法四：因为0,0x y >>，所以212x y x y ++≥+，212y x y x ++≥+． 故2222(1)(1)(2)(2)225459x y x y x y y x x y xy xy xy xy ++++≥++=++≥+=． 8．(2014高考数学福建理科·第23题)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知定义在R 上的函数21)(+++=x x x f 的最小值为a ． (I )求a 的值；(II )若r q p ,,为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p ．(II22222222111()()(111)()9.p p q r p q r q r ≥⨯+⨯+⨯=++++=++即2223q pr ++≥．9．(2015高考数学新课标2理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：(Ⅰ)若ab cd >+>+>是a b c d -<-的充要条件．【答案】(Ⅰ)详见答案解析；(Ⅱ)详见答案解析．答案解析：(Ⅰ)因为2ab=++2cd=++由题设a b c d +=+，ab cd >，得22+>+>．(Ⅱ)(ⅰ)若a b c d -<-，则22()()a bc d -<-．即22()4()4ab abcd cd +-<+-．因为a bc d +=+，所以ab cd >>+>，则22>+，即a b ++>c d ++a b c d +=+，所以ab cd >，于是22()()4aba b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-．因此a b c d -<->a b c d -<-的充要条件．10．(2015高考数学湖南理科·第18题)设0,0a b >>，且11a b a b+=+．证明:(1)2a b +≥；(2)22a a +<与22b b +<不可能同时成立．【答案】(1)详见答案解析；(2)详见答案解析．分析：(1)将已知条件中的式子可等价变形为1=ab ，再由基本不等式即可得证；(2)利用反证法， 假设假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，可求得10<<a ，10<<b ，从而与1=ab 矛盾，即可得证答案解析：由abba b a b a +=+=+11，0>a ，0>b ，得1=ab ，(1)由基本不等式及1=ab ，有22=≥+ab b a ，即2≥+b a ；(2)假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，则由22<+a a 及0>a 得10<<a ，同理10<<b ，从而1<ab ，这与1=ab 矛盾，故22<+a a 与22<+b b 不可能成立．11．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知，证明：(1)；(2)．【答案】【命题意图】不等式证明，柯西不等式【基本解法】(1)解法一：由柯西不等式得：解法二：330,0,2a b a b >>+=33()()4a b a b ++≥2a b +≤55222222332()()))()4a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤++=+⋅+≥+=⎣⎦⎣⎦5566553325533()()()2a b a b a b ab a b a b ab a b a b++=+++=+++-33233332()2()4a b a b a b ≥++-=+=解法三：又，所以．当时，等号成立． 所以，，即．(2)解法一：由及得所以．解法二：(反证法)假设，则，两边同时立方得：，即，因为， 所以，即，矛盾，所以假设不成立，即．解法三：因为，所以：．又，所以: 。

高三数学不等式选讲专项测试题含答案（120分钟 每小题10分，共15小题，总分150分）1．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ， 证明：（I ）(1)ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；（II ）a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．2.【2017课标II ，理23】已知330,0,2a b a b >>+=. 证明：（I ）55()()4a b a b ++≥；（II ）2a b +≤。

3.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. （I ）当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；（II ）若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围.4.已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a ＞0.（I ）当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；（II ）若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．5.对于任意的实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，记实数M 的最大值是m .（I ）求m 的值；（II ）解不等式|x －1|＋|x －2|≤m .6.已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|.（I ）求不等式f (x )≥1的解集；（II ）若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围.7. 设0,0a b >>，且11a b a b+=+. 证明：（I ）2a b +≥； （II ）22a a +<与22b b +<不可能同时成立.8．（黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知函数a x x x f 212)(-+-=.(I)当1=a 时,求3)(≤x f 的解集;(II)当[]2,1∈x 时,3)(≤x f 恒成立,求实数a 的集合.9．（吉林省吉林市2013届高三三模（期末）试题 数学理 ）设()|3||4|.f x x x =-+-(Ⅰ)求函数)(2)(x f x g -=的定义域;(Ⅱ)若存在实数x 满足()1f x ax ≤-,试求实数a 的取值范围.10．【2018年全国卷Ⅲ理】设函数．（I ）画出的图像；（II ）当，，求的最小值．11．（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.12．（黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟考试数学理）已知c b a ,,均为正数（I ）证明:36)111(2222≥+++++cb ac b a ,并确定c b a ,,如何取值时等号成立; （II ）若1=++c b a ,求131313+++++c b a 的最大值.13．【山东省济南省2018届三模】已知函数 .（I ）解不等式； （II ）若，且,证明:，并求时，的值.14.【2015高考福建，理21】已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4． (Ⅰ)求a b c ++的值； (Ⅱ)求2221149a b c ++的最小值．15．【2015高考陕西，理24】已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． （I ）求实数a ，b 的值；（II 12at bt +的最大值．参考答案1.[解析] (1)∵a，b，c，d为正数，且a＋b＝c＋d，欲证a＋b＞c＋d，只需证明(a＋b)2＞(c＋d)2，也就是证明a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd，只需证明ab＞cd，即证ab＞cd.由于ab＞cd，因此a＋b＞c＋d. ………………5分(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd. 由(1)，得a＋b>c＋d.②若a＋b>c＋d，则(a＋b)2>(c＋d)2，即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd. 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|<|c－d|.综上，a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件. ………………10分【类题通法】1．本题将不等式证明与充要条件的判定渗透命题，考查推理论证能力和转化与化归的思想方法，由于两个不等式两边都是正数，可通过两边平方来证明．2．当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．3．分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件2.【解析】……5分(2)因为()()()()()3322323332332432,4a b a a b ab b ab a b a b a b a b +=+++=+++≤+++=+所以()38a b +≤，因此2a b +≤。