8. 解三角形应用举例(优秀经典公开课比赛课件).
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《解三角形应用举例》人教版高二数学下册PPT课件
02 合作探究
(2)在一幢 20 m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为 60°，塔基的俯角为 45°，那么这座塔吊的高是( )
A ．201＋
3
3
m
B ．20(1＋ 3)m
C ．10( 6＋ 2)m
D ．20( 6＋ 2)m
思路探究：(1)解决本题关键是求 A B 时确定在哪一个三角形中求解，该三角形是否可解． (2 )解决本题关键是画出示意图．
图 126
02 合作探究
H
h
[解] 由 A B ＝ ，B D ＝ ，
tan α
tan β
H A D ＝ 及 A B ＋B D ＝A D ，
tan β
H
h
H
得
＋
＝
，
tan α tan β tan β
h tan α
4 ×1 .2 4
解得 H ＝
＝
＝1 2 4 .
tan α－tan β 1.24－1.20
3
即 2 0 0 2＝h 2＋( 3 h )2－2·h · 3h · ，
2
所以 h 2＝2 0 0 2，解得 h ＝2 0 0 (h ＝－2 0 0 舍去)， 即塔高 A B ＝200 米．
02 合作探究
母题探究：(变条件)若将例题中的条件“C D ＝200 米，在 C 点和 D 点测得塔顶 A 的仰角分别是 45°和 30°，且∠C B D
03 当堂达标
3．（2019 年镇江期中）一艘船上午 9：30 在 A 处，测得灯塔 S 在它的北偏东 30 °的方向，且与它相距 8 2海 里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 10 ：00 到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75°的方向，此船的 航速是( )海里/小时.
高三数学解三角形及应用PPT优秀课件
（从而进一步求出其他的边和角）； 利用余弦定理，可以解决以下两类问题： （1）已知三边，求三角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
内角和定理：
A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,
cos C =sin A B
2
2
sin C =cos A B
面积S的最大值．
例5：在某海滨城市附近海面有一台风，(据检测ar，c当c前o2台s)
风30中0 心km位的于海城面市P处O(，如并图以)的20东k偏m南/ h方的向速度向西偏北451的0方 向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ， 并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受 到台风的侵袭。
2
2
面积公式：
S= 1 absinC= 1 bcsinA= 1 casinB
2
2
2
S= pr = p (p a )p ( b )p ( c ) 其中p= abc , r为内切圆半径
2
射影定理： a = bcosC + ccosB； b = acosC + ccosA； c = aco 3 ,b= 2 ,B=45°， 求A,C及边c．
例2：ΔABC的三个内角A、B、C的对边
分别是 a,b,c ，如果 a2b(bc)，
求证：A＝2B
例3．已知锐角ΔABC中， siA n B ) ( 5 3 ,siA n B ) ( 1 5，
（1）求证：taA n 2taB n ；
高考数学复习 强化双基系列课件
29《平面向量 －解三角形及应用》
解三角形及应用举例
正余弦定理： a2=b2+c2-2bccosθ,
内角和定理：
A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,
cos C =sin A B
2
2
sin C =cos A B
面积S的最大值．
例5：在某海滨城市附近海面有一台风，(据检测ar，c当c前o2台s)
风30中0 心km位的于海城面市P处O(，如并图以)的20东k偏m南/ h方的向速度向西偏北451的0方 向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ， 并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受 到台风的侵袭。
2
2
面积公式：
S= 1 absinC= 1 bcsinA= 1 casinB
2
2
2
S= pr = p (p a )p ( b )p ( c ) 其中p= abc , r为内切圆半径
2
射影定理： a = bcosC + ccosB； b = acosC + ccosA； c = aco 3 ,b= 2 ,B=45°， 求A,C及边c．
例2：ΔABC的三个内角A、B、C的对边
分别是 a,b,c ，如果 a2b(bc)，
求证：A＝2B
例3．已知锐角ΔABC中， siA n B ) ( 5 3 ,siA n B ) ( 1 5，
（1）求证：taA n 2taB n ；
高考数学复习 强化双基系列课件
29《平面向量 －解三角形及应用》
解三角形及应用举例
正余弦定理： a2=b2+c2-2bccosθ,
解三角形的实际应用举例ppt课件
在 Rt△ACB 中，AB＝ACsin α＝msin α.
工具
第三章 三角函数
栏目导引
探究点二 ：测量高度问题
＝γ，∠BDC＝β.
在△BCD 中，∠CBD＝π－γ－β. 由正弦定理得sin∠BCBDC＝sin∠CDCBD， ∴BC＝CDsi·ns∠in∠CBBDDC＝sibn·sβin＋βγ. 在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan ∠ACB＝bs·sininββ＋tanγα.
注：还可以用向量法求解.
工具
第三章 三角函数
栏目导引
解三角形的实际应用举例
第二课时
工具
第三章 三角函数
栏目导引
探究点二 ：测量高度问题
测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯
角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何知识，先把
立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决．
2≈1.4， 3≈1.7， 7≈2.6)
分析：本题解决的关键是什么？ 分布在哪个三角形中？能直接利 用正、余弦定理求解吗？若不能， 则需要在哪几个三角形中先求出 哪几条边的长度？
工具
第三章 三角函数
栏目导引
解析： 在△ACD 中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，
CD＝6 000 m，∠ACD＝45°， 根据正弦定理 AD＝CDsinsin604°5°＝
(1)求出发后 3 小时两船相距多少海里？
(2)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？
工具
第三章 三角函数
栏目导引
课时小结
解生活实际问题的一般步骤 (1)分析题意，准确理解题意． 分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语 如坡度、仰角、俯角、方位角等．
解三角形的实际应用举例课件ppt
方法点评 函数关系的建立及最值的求法 (1)依据条件，确定适当的变量，如时间、距离、角度等． (2)利用正、余弦定理在三角形中寻找关系． (3)建立相应函数关系式，利用二次函数或三角函数求最值 的方法使问题得到解决．
谢谢！
解 如图所示，易知 ∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD 中， cos B＝3122×＋3210×2－22012＝2331，
所以 sin B＝12313.
在△ABC 中，AC＝BCsinsinAB＝31s× in 162301°3＝24(千米)．
由BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos A 得AB2－24AB－385＝0，解得AB＝35或AB＝－11(舍去)． ∴AD＝AB－BD＝15(千米)． ∴故此人在D处距A还有15千米．
∴BC＝ 6，且 sin∠ABC＝ABCC·sin∠BAC＝ 26·23＝ 22， ∴∠ABC＝45°，∴BC 与正北方向成 90°角．(8 分)
∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得 sin∠BCD＝BD·siCn∠D CBD＝10t1s0in 132t 0°＝12，(10 分) ∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东 60°方向能最快追上走私
解三角形的实际应用举例课件ppt
自学导引
1．仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水 平视线和目标视线的夹角．目标视 线在水平视线_上__方__时叫仰角，目标 视线在水平视线_下__方__时叫俯角，如 图所示．
2．方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水 平角，如B点的方位角为α(如图所示)．
∵sin10300°＝sinBC15°.∴BC＝50( 6－ 2) m
设倾斜角为 θ，则sin9B0C°＋θ＝sin5045°，
解三角形的实际应用举例PPT教学课件
• 其解题的一般步骤：
• ①分析题意，准确理解题意，分清已知与 所求，尤其要理解应用题中的有关名词、 术语，如坡度、仰角、视角、方位角等；
• ②根据题意，画出示意图；
• ③将需求解的问题归结到一个或几个三角 形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理 等有关知识正确求解．演算过程中，要注 意算法简练、正确计算并作答；
• 2．方位角：从指北方向线顺时针旋转到目 标方向线的水平角．
• 3．坡度与坡角：把坡面的铅直高度h与水 平宽度l的比叫做坡度；坡面与水平面的夹 角叫做坡角．
• 三、解斜三角形应用题的步骤
• 1．审题：弄清题意，分清已知与所求， 准确理解应用题中的有关名称和术语，如 仰角、俯角、方位角等；
• 2．画图：将文字语言转化为图形语言和 符号语言；
• 解三角形应用题的一般步骤是：(1)准确理 解题意，分析题意，分清已知和所求，特 别要理解题中的有关名词、术语；(2)根据 题意画出示意图；(3)将需要求解的问题归 纳为数学问题，即归结到一个或几个三角 形中，合理地运用正、余弦定理求解．
• [例1] 某观测站C在城A的南偏西20°的方 向，由城A出发的一条公路，走向是南偏 东40°，在C处测得公路上B处有一人距C 为31千米正沿公路向城A走去，走了20千 米后到达D处，此时CD间的距离为21千米， 问这人还要走多少千米可到达城A?
• 2．数学建模和运算问题
• (1)解三角形应用问题时，通常都是根据题 意，从实际问题中抽象出一个或几个三角 形，然后通过解这些三角形，得出三角形 的边、角的大小，从而得出实际问题的解， 这就是数学建模思想，即从实际问题出发， 经过抽象概括，把它转化为具体问题中的 数学模型，然后经过推理演算，得出数学 模型的解，再还原成实际问题的解．
《解三角形应用举例》优质课教学课件
《解三角形应用举例》优质课教学课件1.2解三角形应用举例安阳县实验中学申现军1.什么是正弦定理？运用正弦定理能解怎样的三角形？（1）②已知三角形的任意两边与其中一边的对角.（2）正弦定理能解决的三角形类型①已知三角形的任意两角及其一边2.什么是余弦定理？运用余弦定理能解怎样的三角形？（1）①已知三边求三角；（2）余弦定理能解决的三角形类型：②已知两边及它们的夹角，求第三边.③已知三角形的任意两边与其中一边的对角.2、两边及其一边的对角：正弦、余弦皆可用，三角形求解可能无解、可能一解、也可能两解。
1两角一边用正弦，三边或两边及其夹角用余弦。
边多用余，角多用正，且三角形有解的情况下只有一解有这样一个问题:2016年7月19日晚，河南省安阳市遭遇历史罕见的强降雨过程，部分地区发生严重的洪涝灾害，安阳彰武、双泉水库、小南海水库告急，为了确保市区安全，抗洪救灾指挥部决定在安阳河崇义段北岸开口放水，放水几分钟后河北岸已经无法到达，那么站在南岸如何测量北岸放水口子的宽度呢？对于求未知的距离、高度等，有很多测量的方案，如利用全等三角形、相似三角形或借助直角三角形，但是，如果在实际测量问题的真实背景下不能直接测量或计算，很多方法不能实施，就需要同学们借助经纬仪等测量工具，利用学过的正、余弦定理来解决在实际生活中的应用，今天我们就来研究解三角形的应用举例---测量距离.1.能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.(重点、难点)2.激发学生学习数学的兴趣,培养学生应用转化思想解决数学实际问题的能力.例1.设A,B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离.测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC ＝51°，∠ACB＝75°，求A，B两点间的距离（精确到0.1m）.探究点1：关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题【解析】根据正弦定理，得答：A,B两点间的距离为65.7米.【解题关键】已知两角一边，可以用正弦定理解三角形.已知：AC的距离是55m，∠BAC＝51°，∠ACB＝75°求AB？【变式练习】∠A=30°，∠B=45°，AB=120m，如何求得AB边上的高？已知：（1）先分别沿A、B延长断边，确定交点C，∠C=180°-∠A-∠B，用正弦定理算出AC或BC ；例2如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A，B两点间距离的方法.AB探究点2：关于测量两个都不可到达的点之间的距离的问题【解题关键】这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题.AB首先需要构造三角形，所以需要确定C，D两点.用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A，B两点间的距离.CDAB?【解析】测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在ΔADC和ΔBDC中，应用正弦定理得DC数学符号的读法：α（阿而法）β（贝塔）γ（伽马）δ（德尔塔）AB?计算出AC和BC后，再在ΔABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离DC规律总结测量不可到达的两点间的距离时：若是其中一点可以到达，利用一个三角形即可解决，一般用正弦定理；若是两点均不可到达，则需要用两个三角形才能解决，一般正、余弦定理都要用到．例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达）例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。
《解三角形的实际应用举例》公开课教学PPT课件【高中数学必修5(北师大版)】
新课学习
（2）当 l 340mm ， r 85mm ， 800 时，利用计算器得： A0 A 340 85 85cos800 3402 852 sin 2 800 81(mm) 答：此时活塞移动的距离约为 81mm
新课学习
例2：a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测 点，另两个监测点B,C分别在A的正东方20km和54km处，某时刻，监测点B收 到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一 信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s （1）设A到P的距离为xkm，用x表示B,C到P的距离，并求x的值 （2）求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）
1200 A2
10 2
B2
B1 乙
1050 A1
甲 20
新课学习
解：如图，连结 A1B2 ，由已知 A2 B2 10
2 ， A1 A2 30
2 20 10 60
2，
∴ A1 A2 A2 B2 ，又∠ A1 A2 B2 180 0 120 0 60 0 ，
∴ A1 A2 B2 是等边三角形， ∴ A1B2 A1 A2 10 2 ． 由已知， A1B1 20 ，∠ B1 A1B2 105 0 60 0 = 450 在 A1B2B1 中， 由余弦定理， B1B2 2 A1B12 A1B2 2 2 A1B1 A1B2 cos 45 0
c2 a2 b2 2abcosC ， cosC a 2 b2 c 2 2ab
例题讲解
新课学习
引例： （课本P62题2）飞机的飞行线路和山顶在同一个铅直平 面内，已知飞机的高度为海拔20250m,速度为189km/h,飞行员先 看到山顶的俯角为18°30′,经过960s（秒）后又看到山顶的俯 角为81°, 求山顶的海拔高度（精确到1m）.
人教版高中数学第一章解三角形应用举例--测量高度的问题(共17张PPT)教育课件
•
•
在当今社会，大 家 都 生 活 得匆 匆 忙 忙 ， 比房 子 、 比 车 子、 比 票 子 、 比小 孩 的 教 育 、比 工 作 ， 往 往被 压 得 喘 不 过 气来 。 而 另 外 总有 一 些 人 会 运用 自 己 的 心 智去 分 辨 哪 些 快乐 或 者 幸 福 是必 须 建 立 在 比较 的 基 础 上 的， 而 哪 些 快 乐和 幸 福 是 无 需比 较 同 样 可 以获 得 的 ， 然 后把 时 间 花 在 寻找 甚 至 制 造 那些 无 需 比 较 就可 以 获 得 的 幸福 和 快 乐 ， 然后 无 怨 无 悔 地生 活 ， 尽 情 欢乐 。 一 位 清 洁阿 姨 感 觉 到 快乐 和 幸 福 ， 因为 她 刚 刚 通 过自 己 的 双 手 还给 路 人 一 条 清洁 的 街 道 ； 一位 幼 儿 园 老 师感 觉 到 快 乐 和幸 福 ， 因 为 他刚 给 一 群 孩 子讲 清 楚 了 吃 饭前 要 洗 手 的 道理 ； 一 位 外 科医 生 感 觉 到 幸福 和 快 乐 ， 因为 他 刚 刚 从 死神 手 里 抢 回 了一 条 人 命 ； 一位 母 亲 感 觉 到幸 福 和 快 乐 ，因 为 他 正 坐 在孩 子 的 床 边 ，孩 子 睡 梦 中 的脸 庞 是 那 么 的安 静 美 丽 ， 那么 令 人 爱 怜 。。 。 。 。 。
•
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学习重要还是人 脉 重 要 ?现 在 是 一 个 双赢 的 社 会 ， 你的 价 值 可 能 更多 的 决 定 了 你的 人 脉 ， 我 们所 要 做 的 可 能 更多 的 是 专 心 打造 自 己 ， 把 自己 打 造 成 一 个优 秀 的 人 、 有用 的 人 、 有 价值 的 人 ， 当 你真 正 成 为 一 个优 秀 有 价 值 的人 的 时 候 ， 你会 惊 喜 地 发 现搞 笑 人 脉 会 破门 而 入 。 从 如下 方 面 改 进 ： 1 、 专 心 做可 以 提 升 自 己的 事 情 ； 2、 学 习 并 拥 有更 多 的 技 能 ；3 、 成 为 一个 值 得 交 往 的人 ； 4 学 会独 善 其 身 ， 尽量 少 给 周 围 的人 制 造 麻 烦 ，用 你 的 独 立 赢得 尊 重 。
解三角形的实际应用举例PPT精品课件
900t2 600t 400 900(t 1)2 300， 故当t= 时航行距离最小为3 海里,
1
3
S 10 3
此时 v 10
3
(海里/小时), 30 3
1
即小艇以 3 海里/小时的速度航行,相遇时航行距离
30 3 最小.
(2)设小艇航行速度的大小是v海里/小时,小艇与轮船 在B处相遇如图,
当
时,同1理5 可3 得
综上t 可3得00,当v220
v≤2 v<67350时, 900
15 3
2 t 4； 33 t 2； 3
②当v=30时,可求得t 2； 3
综合①②可知,当v=30时,t取得最小值,且最小值是 2， 此时,在△OAB中,有OA=OB=AB=20,所以可设计方3案如下 小艇的航行方向是北偏东30°,航行速度为30海里/小 时,此时小艇能以最短的时间与轮船相遇.
第2课时 解三角形的实际应用举例
——高度、角度问题
【题型探究】 类型一:测量高度问题 【典例1】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹 射型”气象观测仪器的垂直弹射高度,如图,在C处进行 该仪器的垂直弹射,观测点A,B两地相距100m,
∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比B地晚 2 s. 17
A地测得该仪器在C处时俯角为15°,A地测得最高点H时
的仰角为30°,求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空
气中的传播速度为340m/s)
【解题指南】由声速可得AC和BC之间的关系,再结合 已知A,B之间的距离,则可在△ABC中求解得到AC的长, 进而在△ACH内由正弦定理求得CH.
【解析】由题意,设AC=x,则BC=x-2 ×340=x-40, 17
解三角形的应用举例优秀课件
（2）设 AB＝3，求 AB 边上的高。
例 4：在ΔABC 中，a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边长，已知 a,b,c 成 2 2 等比数列，且 a -c =ac-bc，求角 A
b sin B 的大小及 c
的值。
例 5．已知⊙O 的半径为 R， ，在它 的内接三角形 ABC 中，有
2R sin A sin C
利用余弦定理，可以解决以下两类问题：
1 ）已知三边，求三角； 2 ）已知两边和它们的 夹角，求第三边和其他两角。
内角和定理：
A+B+C=180°， sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,
cos C =sin A B 2
2
sin C =cos A B
2
2
面积公式：
1 1 1 S= absinC= bcsinA= casinB 2 b ) ( p c )
a b c 其中p= ,r为内切圆半径 2
射影定理(日本的余弦定理）：
a = bcosC + ccosB； b = acosC + ccosA； c = acosB + bcosA
注意事项：
一、判断三角形的形状的方法（P169结论）
2 2
2a b sin B 成立，
求△ABC 面积 S 的最大值．
例 6 如图，在△ABC 中，
3 AC=2,BC=1,cosC＝ 4
， （1）求 AB 的
值； （2）求 sin（2A＋C）的值。 A （2006 天津）
B
C
小结： 1．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：
（ 1 ）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （ 2 ）已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角（从而进一步求出其他的边和角）； 2.利用余弦定理，可以解决以下两类问题： （ 1 ） 已知三边，求三角；（ 2 ）已知两边和 它们的夹角，求第三边和其他两角。 3．边角互化是解三角形问题常用的手段．
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前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得 塔顶的最大仰角为30°，求塔高. 思维启迪 依题意画图，某人在C 处,AB为塔高,他沿CD前进，CD= 40米，此时∠DBF=45°,从C到D 沿途测塔的仰角，只有B到测试点 的距离最短时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB = AB , AB为定值，BE最小时，仰角最大.要求出
解析 由已知∠BAD=60°,∠CAD=70°,
∴∠BAC=60°+70°=130°.
2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔
A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏
东60°，则灯塔A在灯塔B的（B ）
A.北偏东10°
B.北偏西10°
C.南偏东10°
D.南偏西10°
解析 灯塔A、B的相对位置如图所示，
由余弦定理得
a2=162+552-2×16×55×cos 60°=2 401,
∴a=49.
5.(2010·湖南)在锐角△ABC中,BC=1,B=2A, 则
AC 的值等于 2 ,AC的取值范围为( 2, 3) . cos A
解析 由正弦定理 : BC AC , sin A sin B
BC AC AC , AC 2BC 2. sin A sin 2A 2sin Acos A cos A
A B C ,3A C ,C 3A,
0
A
2
,
0
2
A
2
,
0
3A
2
,
A , 2 cos A 3 ,又AC 2cos A,
6
42
2
2 AC 3.
题型一 利用方向角构造三角形
余弦定理
由A+B+C=180°，求出 角C；再利用正弦定理 或余弦定理求c.
可有两解，一解或无解
2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面 积问题、航海问题、物理问题等.
3.实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 视线的夹角,目标视线在水平视线 上方 叫仰角, 目标视线在水平视线 下方 叫俯角（如图①）.
例1 在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A( 3 -1)
n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的 方向,距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以
10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜, 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
BE
塔高AB,必须先求BE，而要求BE，需先求BD （或BC）.
解 如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD 前进，CD=40，此时∠DBF=45°，过点B作BE⊥ CD于E，则∠AEB=30°，
在△BCD中,CD=40,∠BCD=30°,∠DBC=135°,
由正弦定理,得 CD BD , sin DBC sin BCD
由已知得∠ACB=80°，
∠CAB=∠CBA=50°，
则α=60°-50°=10°.
3.在△ABC中，AB=3，BC=13 ，AC=4，则边AC
上的高为（ B）
A. 3 2 2
B. 3 3 C. 3
2
2
解析 由余弦定理可得：
D.3 3
cos A AC2 AB2 BC2 42 32 ( 13)2 1 .
3
故所求的塔高为 10 (3 3)米.
3
题型四 测量角度问题
例4、(2011.陕西模拟)在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被
设为警戒水域.点E正北 55海里处有一个雷达观测站A 某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东
450且与点A相距40 2 海里的位置B，经过40分钟又测得
题型二 与距离有关的问题
例2 某观测站C在城A的南偏西200的方向，由城出
发的一条公路，走向是南偏东400，在C处测得公路 上B处有一人距C为31公理，正沿公路向A城走去， 走了20公里后到达D处，此时CD间的距离为21公里， 问此人还要走多少公里才能到达A城？
题型三 与高度有关的问题
例3 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向
由余弦定理求第三边c; 由正弦定理求出小 余弦定理 边所对的角；再由A+B 正弦定理 +C=180°求出另一角. 在有解时只有一解
由余弦定理求出角
三边 (a,b,c)
余弦定理
A、B；再利用A+B +C=180°,求出角C.
在有解时只有一解
由正弦定理求出角B；
两边和其中 正弦定理
一边的对角 （如a,b,A)
该船已行驶到点A北偏东 450+ (其中sin= 26 ,00<
<900) 且与点A相距10 13 海里的位置C. 26
2AC AB
2 3 4
2
sin A 3 ,则AC边上的高 2
h AB sin A 3 3 3 3. 22
4.△ABC中,若A=60°,b=16,此三角形面积S 220 3,
则a的值为（D ）
A.20 6
B.25
C.55
D.49
解析 由S= 1 bcsin A=220 3 ,得c=55. 2
BD 40sin 30 20 2. sin 135
∠BDE=180°-135°-30°=15°.
在Rt△BED中， BE=DBsin 15° 20 2 6 2 10( 3 1).
4
在Rt△ABE中，∠AEB=30°， ∴AB=BEtan 30°=10 (3 3)(米).
(2)方位角 指从 正北 方向顺时针转到目标方向线的水平角， 如B点的方位角为α（如图②）. （3）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.
基础自测
1.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B
点的仰角是60°,C点的俯角是70°，则∠BAC
等于（ D）
A.10°
B.50°
C.120°
D.130°
8. 解三角形应用举例
知识归纳
1.解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的6个元素中要已知三个（除三角外） 才能求解，常见类型及其解法如表所示.
已知条件
一边和两角 (如a,B,C)
应用定理 正弦定理
一般解法
由A+B+C=180°,求 角A；由正弦定理求 出b与c. 在有解时只有一解
两边和夹角 (如a,b,C)
解析 由已知∠BAD=60°,∠CAD=70°,
∴∠BAC=60°+70°=130°.
2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔
A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏
东60°，则灯塔A在灯塔B的（B ）
A.北偏东10°
B.北偏西10°
C.南偏东10°
D.南偏西10°
解析 灯塔A、B的相对位置如图所示，
由余弦定理得
a2=162+552-2×16×55×cos 60°=2 401,
∴a=49.
5.(2010·湖南)在锐角△ABC中,BC=1,B=2A, 则
AC 的值等于 2 ,AC的取值范围为( 2, 3) . cos A
解析 由正弦定理 : BC AC , sin A sin B
BC AC AC , AC 2BC 2. sin A sin 2A 2sin Acos A cos A
A B C ,3A C ,C 3A,
0
A
2
,
0
2
A
2
,
0
3A
2
,
A , 2 cos A 3 ,又AC 2cos A,
6
42
2
2 AC 3.
题型一 利用方向角构造三角形
余弦定理
由A+B+C=180°，求出 角C；再利用正弦定理 或余弦定理求c.
可有两解，一解或无解
2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面 积问题、航海问题、物理问题等.
3.实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 视线的夹角,目标视线在水平视线 上方 叫仰角, 目标视线在水平视线 下方 叫俯角（如图①）.
例1 在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A( 3 -1)
n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的 方向,距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以
10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜, 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
BE
塔高AB,必须先求BE，而要求BE，需先求BD （或BC）.
解 如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD 前进，CD=40，此时∠DBF=45°，过点B作BE⊥ CD于E，则∠AEB=30°，
在△BCD中,CD=40,∠BCD=30°,∠DBC=135°,
由正弦定理,得 CD BD , sin DBC sin BCD
由已知得∠ACB=80°，
∠CAB=∠CBA=50°，
则α=60°-50°=10°.
3.在△ABC中，AB=3，BC=13 ，AC=4，则边AC
上的高为（ B）
A. 3 2 2
B. 3 3 C. 3
2
2
解析 由余弦定理可得：
D.3 3
cos A AC2 AB2 BC2 42 32 ( 13)2 1 .
3
故所求的塔高为 10 (3 3)米.
3
题型四 测量角度问题
例4、(2011.陕西模拟)在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被
设为警戒水域.点E正北 55海里处有一个雷达观测站A 某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东
450且与点A相距40 2 海里的位置B，经过40分钟又测得
题型二 与距离有关的问题
例2 某观测站C在城A的南偏西200的方向，由城出
发的一条公路，走向是南偏东400，在C处测得公路 上B处有一人距C为31公理，正沿公路向A城走去， 走了20公里后到达D处，此时CD间的距离为21公里， 问此人还要走多少公里才能到达A城？
题型三 与高度有关的问题
例3 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向
由余弦定理求第三边c; 由正弦定理求出小 余弦定理 边所对的角；再由A+B 正弦定理 +C=180°求出另一角. 在有解时只有一解
由余弦定理求出角
三边 (a,b,c)
余弦定理
A、B；再利用A+B +C=180°,求出角C.
在有解时只有一解
由正弦定理求出角B；
两边和其中 正弦定理
一边的对角 （如a,b,A)
该船已行驶到点A北偏东 450+ (其中sin= 26 ,00<
<900) 且与点A相距10 13 海里的位置C. 26
2AC AB
2 3 4
2
sin A 3 ,则AC边上的高 2
h AB sin A 3 3 3 3. 22
4.△ABC中,若A=60°,b=16,此三角形面积S 220 3,
则a的值为（D ）
A.20 6
B.25
C.55
D.49
解析 由S= 1 bcsin A=220 3 ,得c=55. 2
BD 40sin 30 20 2. sin 135
∠BDE=180°-135°-30°=15°.
在Rt△BED中， BE=DBsin 15° 20 2 6 2 10( 3 1).
4
在Rt△ABE中，∠AEB=30°， ∴AB=BEtan 30°=10 (3 3)(米).
(2)方位角 指从 正北 方向顺时针转到目标方向线的水平角， 如B点的方位角为α（如图②）. （3）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.
基础自测
1.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B
点的仰角是60°,C点的俯角是70°，则∠BAC
等于（ D）
A.10°
B.50°
C.120°
D.130°
8. 解三角形应用举例
知识归纳
1.解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的6个元素中要已知三个（除三角外） 才能求解，常见类型及其解法如表所示.
已知条件
一边和两角 (如a,B,C)
应用定理 正弦定理
一般解法
由A+B+C=180°,求 角A；由正弦定理求 出b与c. 在有解时只有一解
两边和夹角 (如a,b,C)