2014-2017年浙江省学考立体几何(分块)

2014年高考真题立体几何汇编解析版16．（2014江苏）(本小题满分14 分)如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，，的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．（1）求证：直线P A ∥平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ．【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系， 考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. （1）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴DE ∥P A ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF （2）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴13DE PA == ∵E F ，为AC AB ，中点 ∴142EF BC == ∴222DE EF DF += ∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥ ∵AC EF E = ∴DE ⊥平面ABC∵DE ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ．17.（2014山东）（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60,DAB ∠=22AB CD ==，M 是线段AB 的中点.（I ）求证：111//C M A ADD 平面；B 1C 1D 1A 1DCBMA（II ）若1CD 垂直于平面ABCD且1CD 平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值. 解：（Ⅰ）连接1AD1111D C B A ABCD - 为四棱柱，11//D C CD ∴ 11D C CD =又M 为AB 的中点，1=∴AM AM CD //∴,AM CD =11//D C AM ∴,11D C AM =11D AMC ∴为平行四边形 11//MC AD ∴又111ADD A M C 平面⊄ 111A D D A AD 平面⊂111//ADD A AD 平面∴（Ⅱ）方法一：11//B A AB 1111//D C B A共面与面1111D ABC M C D ∴作AB CN ⊥,连接N D 1 则NC D 1∠即为所求二面角在ABCD 中， 60,2,1=∠==DAB AB DC 23=∴CN 在CN D Rt 1∆中，31=CD ,23=CN 2151=∴N D 方法二：作AB CP ⊥于p 点以C 为原点，CD 为x 轴，CP 为y 轴，1CD 为z 轴建立空间坐标系，)0,23,21(),3,0,0(),3,0,1(11M D C -∴)3,23,21(),0,0,1(111-==∴M D D C设平面M D C 11的法向量为),,(111z y x =⎪⎩⎪⎨⎧=-+=∴03232101111z y x x )1,2,0(1=∴n 显然平面ABCD 的法向量为)0,0,1(2=n5551,cos 21==<∴n n 显然二面角为锐角，所以平面M D C 11和平面ABCD 所成角的余弦值为555515321523cos 11====∠∴N D NC CN D18．三棱锥A BCD -及其侧视图、俯视图如图所示。

一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。

每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均你不得分。

） 1.已知集合A=｛1,2,3｝，B ｛1,3,4,｝，则A ∪B=A.｛1,3｝B.｛1,2,3｝C.｛1,3,4｝D.｛1,2,3,4｝ 2.已知向量a=（4,3），则|a|=A.3B.4C.5D.7 3.设θ为锐角，sin θ=31，则cos θ= A.32 B.32 C.36 D.3224.log 241= A.-2 B.-21 C.21D.2 5.下面函数中，最小正周期为π的是A.y=sin xB.y=cos xC.y=tan xD.y=sin 2x6.函数y=112++-x x 的定义域是 A.(-1,2] B.[-1,2] C.(-1,2) D.[-1,2) 7.点（0,0）到直线x +y-1=0的距离是 A.22 B.23 C.1 D.2 8.设不等式组⎩⎨⎧-+-0＜420＞y x y x ，所表示的平面区域为M ，则点（1,0）（3,2）（-1,1）中在M内的个数为A.0B.1C.2D.3 9.函数f(x )=x ·1n|x |的图像可能是10.若直线l 不平行于平面a ，且a l ⊄则A.a 内所有直线与l 异面B.a 内只存在有限条直线与l 共面C.a 内存在唯一的直线与l 平行D.a 内存在无数条直线与l 相交11.图（1）是棱长为1的正方体ABCD —A1B1C1D1截去三棱锥A1—AB1D1后的几何体，将其绕着棱DD1逆时针旋转45°，得到如图（2）的集合体的正视图为（1） （2） （第11题图）2222 22222222222212.过圆x 2=y 2-2x-8=0的圆心，且与直线x=2y=0垂直的直线方程是 A.2x=y=2=0 B.x=2y-1=0 C.2x=y-2=0 D.2x-y-2=013.已知a,b 是实数，则“|a|＜1且|b|＜1”是“a 2+b 2＜1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件14.设A ，B 为椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点，P 为椭圆上异于A ，B 的点，直线PA ，PB 的斜率分别为k 1k 2.若k 1·k 2=-43，则该椭圆的离心率为 A.41 B.31 C.21D.2315.数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =23a n -n ·n ∈N ﹡,则下列为等比数列的是 A.{a n +1} B.{a n -1} C.{S n +1} D.{S n -1} 16.正实数x ，y 满足x+y=1，则yx y 11++的最小值是A.3+2B.2+22C.5D.211 17.已知1是函数f (x )=a x 2+b x +c(a ＞b ＞c)的一个零点，若存在实数0x ，使得f (0x ) ＜0,则f (x )的另一个零点可能是A.0x -3B.0x -21C.0x +23D.0x +2 18.等腰直角△ABC 斜边BC 上一点P 满足CP ≤41CB ，将△CAP 沿AP 翻折至△C ′AP ，使两面角C ′—AP —B 为60°记直线C ′A ，C ′B ，C ′P 与平面APB 所成角分别为a ，β，γ，则 A.a ＜β＜γ B.a ＜γ＜β C.β＜a ＜γ D.γ＜a ＜β 二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分。

2017年高考真题分类汇编（理数）：专题6 立体几何（解析版）一、单选题（共7题；共14分）1、（2017•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（）A、+1B、+3C、+1D、+32、（2017•浙江）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，= =2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D ﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）A、γ＜α＜βB、α＜γ＜βC、α＜β＜γD、β＜γ＜α3、（2017•北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A、3B、2C、2D、24、（2017•新课标Ⅰ卷）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A、10B、12C、14D、165、（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A、B、C、D、6、（2017•新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A、90πB、63πC、42πD、36π7、（2017•新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A、πB、C、D、二、填空题（共5题；共5分）8、（2017•山东）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．9、（2017·天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．10、（2017•江苏）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．11、（2017•新课标Ⅰ卷）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为________．12、（2017•新课标Ⅲ）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最小值为60°；其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）三、解答题（共9题；共60分）13、（2017•山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（12分）（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．14、（2017·天津）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．15、（2017•浙江）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．16、（2017•北京卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD= ，AB=4．（14分）(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角B﹣PD﹣A的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．17、（2017•江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°．（Ⅰ）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．18、（2017•江苏）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（Ⅰ）EF∥平面ABC；（Ⅱ）AD⊥AC．19、（2017•新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．20、（2017•新课标Ⅲ）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ABC；（Ⅱ）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．21、（2017•新课标Ⅰ卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（12分）(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．答案解析部分一、单选题1、【答案】A【考点】由三视图求面积、体积，由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为× ×π×12×3+ × × × ×3= +1，故选：A【分析】根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出图形，结合图中数据即可求出它的体积．2、【答案】B【考点】用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法【解析】【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，﹣6，0），D（0，0，6 ），Q ，R ，= ，=（0，3，6 ），=（，5，0），= ，= ．设平面PDR的法向量为=（x，y，z），则，可得，可得= ，取平面ABC的法向量=（0，0，1）．则cos = = ，取α=arccos ．同理可得：β=arccos ．γ=arccos ．∵＞＞．∴α＜γ＜β．解法二：如图所示，连接OD，OQ，OR，过点O发布作垂线：OE⊥DR，OF⊥DQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接PE，PF，PG．设OP=h．则cosα= = = ．同理可得：cosβ= = ，cosγ= = ．由已知可得：OE＞OG＞OF．∴cosα＞cosγ＞cosβ，α，β，γ为锐角．∴α＜γ＜β．故选：B．【分析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，﹣6，0），D（0，0，6 ），Q ，R ，利用法向量的夹角公式即可得出二面角．解法二：如图所示，连接OD，OQ，OR，过点O发布作垂线：OE⊥DR，OF⊥DQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接PE，PF，PG．设OP=h．可得cosα= = = ．同理可得：cosβ= = ，cosγ= = ．由已知可得：OE＞OG＞OF．即可得出．3、【答案】B【考点】由三视图求面积、体积，由三视图还原实物图【解析】【解答】解：由三视图可得直观图，再四棱锥P﹣ABCD中，最长的棱为PA，即PA= ==2 ，故选：B．【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．4、【答案】B【考点】由三视图求面积、体积，组合几何体的面积、体积问题，由三视图还原实物图【解析】【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形= ×2×（2+4）=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可5、【答案】C【考点】余弦定理的应用，异面直线及其所成的角【解析】【解答】解：如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN= AB1= ，NP= BC1= ；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ= AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC= ，∴MQ= ；在△MQP中，MP= = ；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP= = =﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．【分析】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．6、【答案】B【考点】由三视图求面积、体积，组合几何体的面积、体积问题，由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，V=π•32×10﹣•π•32×6=63π，故选：B．【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．7、【答案】B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，∴该圆柱底面圆周半径r= = ，∴该圆柱的体积：V=Sh= = ．故选：B．【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r= = ，由此能求出该圆柱的体积．二、填空题8、【答案】2+【考点】由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2，圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2= ×π×12×1= ，则该几何体的体积V=V1+2V1=2+ ，故答案为：2+ ．【分析】由三视图可知：长方体长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径为1，高为1圆柱的，根据长方体及圆柱的体积公式，即可求得几何体的体积．9、【答案】【考点】球的体积和表面积【解析】【解答】解：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为18，∴6a2=18，则a2=3，即a= ，∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即a=2R，即R= ，则球的体积V= π•（）3= ；故答案为：．【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．10、【答案】【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），球的体积和表面积【解析】【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则= = ．故答案为：．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．11、【答案】4 cm3【考点】棱锥的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG= BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2 x，DG=5﹣x，三棱锥的高h= = = ，=3 ，则V= = = ，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，则f（x）≤f（2）=80，∴V≤ =4 cm3，∴体积最大值为4 cm3．故答案为：4 cm3．【分析】由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG= BC，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h= ，求出S△ABC=3 ，V= =，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，f （x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．12、【答案】②③【考点】异面直线及其所成的角，用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】【解答】解：由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故|AC|=1，|AB|= ，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量=（0，1，0），| |=1，直线b的方向单位向量=（1，0，0），| |=1，设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0，2π），∴AB′在运动过程中的向量，=（﹣cosθ，﹣sinθ，1），| |= ，设与所成夹角为α∈[0，]，则c osα= = |sinθ|∈[0，]，∴α∈[ ，]，∴③正确，④错误．设与所成夹角为β∈[0，]，cosβ= = = |cosθ|，当与夹角为60°时，即α= ，|sinθ|= = = ，∵cos2θ+sin2θ=1，∴cosβ= |cosθ|= ，∵β∈[0，]，∴β= ，此时与的夹角为60°，∴②正确，①错误．故答案为：②③．【分析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，|AC|=1，|AB|= ，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．三、解答题13、【答案】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；（Ⅱ）解法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BEGH为菱形，∴AE=GE=AC=GC= ．取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC为所求二面角的平面角．又AM=1，∴EM=CM= ．在△BEC中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴，因此△EMC为等边三角形，故所求的角为60°．解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，，3），C（﹣1，，0），故，，．设为平面AEG的一个法向量，由，得，取z1=2，得；设为平面ACG的一个法向量，由，可得，取z2=﹣2，得．∴cos＜＞= ．∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（Ⅰ）由已知利用线面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，结合∠EBC=120°求得∠CBP=30°；（Ⅱ）法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，可得四边形BEGH为菱形，取AG中点M，连接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，CM⊥AG，说明∠EMC为所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E﹣AG﹣C的大小．法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出A，E，G，C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣AG﹣C的大小．14、【答案】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则，，设平面MEN的一个法向量为，由，得，取z=2，得．由图可得平面CME的一个法向量为．∴cos＜＞= ．∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为，则正弦值为；（Ⅲ）解：设AH=t，则H（0，0，t），，．∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为，∴|cos＜＞|=| |=| |= ．解得：t=4．∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为4．【考点】异面直线及其所成的角，平面与平面平行的判定，平面与平面平行的性质，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（Ⅰ）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值，进一步求得正弦值；（Ⅲ）设AH=t，则H（0，0，t），求出的坐标，结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为列式求得线段AH的长．15、【答案】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角系，设PC=AD=2DC=2CB=2，则C（0，1，0），D（0，0，0），P（1，0，1），E（），A（2，0，0），B（1，1，0），=（），=（1，0，﹣1），=（0，1，﹣1），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（1，1，1），∵= =0，CE⊄平面PAB，∴CE∥平面PAB．解：（Ⅱ）=（﹣1，1，﹣1），设平面PBC的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（0，1，1），设直线CE与平面PBC所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|= = = ．∴直线CE与平面PBC所成角的正弦值为．【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，向量方法证明线、面的位置关系定理，用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z 轴，建立空间直角系，利用向量法能证明CE∥平面PAB．（Ⅱ）求出平面PBC的法向量和，利用向量法能求出直线CE与平面PBC所成角的正弦值．16、【答案】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，∴PD∥OM，则，即M为PB的中点；（2）解：取AD中点G，∵PA=PD，∴PG⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，由PA=PD= ，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，），，．设平面PBD的一个法向量为，则由，得，取z= ，得．取平面PAD的一个法向量为．∴cos＜＞= = ．∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°；（3）解：，平面PAD的一个法向量为．∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜＞|=| |=| |=．【考点】直线与平面平行的性质，平面与平面垂直的性质，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（1.）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；（2.）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；（3.）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值．17、【答案】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°，∴A（0，0，0），B（），C（，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，），C1（）．=（），=（），，．（Ⅰ）∵cos＜＞= = ．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（Ⅱ）设平面BA1D的一个法向量为，由，得，取x= ，得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞= = ．∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【考点】异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的性质，用空间向量求直线间的夹角、距离，二面角的平面角及求法【解析】【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1，C1的坐标，进一步求出，，，的坐标．（Ⅰ）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（Ⅱ）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．18、【答案】证明：（Ⅰ）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊊平面ABC，AB⊆平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（Ⅱ）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，所以FG⊥BC，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定【解析】【分析】（Ⅰ）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（Ⅱ）通过取线段CD 上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．19、【答案】（Ⅰ）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF AD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，∴直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP= ，∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，可得：BN=MN，CN= MN，BC=1，可得：1+ BN2=BN2，BN= ，MN= ，作NQ⊥AB于Q，连接MQ，所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ== ，二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：= ．【考点】直线与平面平行的判定，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（Ⅰ）取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明CE∥BF，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．（Ⅱ）利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角M ﹣AB﹣D的余弦值即可．20、【答案】（Ⅰ）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜边，∴∠ADC=90°．∴DO= AC．∴DO2+BO2=AB2=BD2．∴∠BOD=90°．∴OB⊥OD．又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．又OB⊂平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．（Ⅱ）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为h D，h E．则= ．∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，∴= = =1．∴点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB=2．则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），E ．=（﹣1，0，1），= ，=（﹣2，0，0）．设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则，即，取=．同理可得：平面ACE的法向量为=（0，1，）．∴cos = = =﹣．∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．【考点】平面与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（Ⅰ）如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．△ABC是等边三角形，可得OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD=CD．△ACD是直角三角形，可得AC是斜边，∠ADC=90°．可得DO= AC．利用DO2+BO2=AB2=BD2．可得OB⊥OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．（Ⅱ）设点D，B到平面ACE的距离分别为h D，h E．则= ．根据平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，可得= = =1，即点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．设AB=2．利用法向量的夹角公式即可得出．21、【答案】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD= ．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥AD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞= = ．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．【考点】平面与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（1.）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；（2.）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD= ．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．。

【全国卷·新课标I ·第19题】如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C ． （1）证明：AC=AB 1；（2）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60°，AB=BC ，求二面角A-A 1B 1-C 1的余弦值．解：（1）∵面BB 1C 1C 为菱形∴BC 1⊥B 1C ，O 为B 1C 和BC 1的中点 ∵AB ⊥B 1C ∴B 1C ⊥面ABC 1令BC 1与B 1C 交于点O ，连接AO ∵AO ⊂面ABC 1 ∴B 1C ⊥AO ∵B 1O=CO∴AO 是B 1C 的中垂线 ∴AC=AB 1（2）因为AO 、BC 1、B 1C 两两互相垂直，以O 为坐标原点，分别以OB 、1OB 、OA 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系令|OB|=1，由AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60°，AB=BC 易得：11B C BC =设向量n =(x ，y ，z )是平面AA 1B 1的一个法向量，则：1113n AB =0n A B=0y z x z ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅-=⎪⎩由此，可取n =(1，3同理可得，平面A 1B 1C 1的一个法向量为：m =(1∴n m 1cos n,m =7|n ||m |7⋅〈〉==⋅1【全国卷·新课标II ·第18题】如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：PB ∥平面AEC ；（2）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，E-ACD 的体积．解：（1）连接BD 交AC 于O ，连接OE∵底面ABCD 为矩形 ∴O 为BD 的中点 ∵E 为PD 的中点 ∴PB ∥OE∵OE ⊂面AEC ，PB ⊄面AEC ∴PB ∥平面AEC （2）∵PA ⊥平面ABCD∴PA ⊥AB ，PA ⊥AD又AB ⊥AD ，即PA 、AB 、AD 两两互相垂直，以z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系∵平面ADE与平面yOz 重合∴可取平面ADE 的一个法向量为n =(1，0，0) 设CD=a，由（a ∴AC =（a ，由∴AE =（0，设向量m =(x ，y ，z )是平面ACE的一个法向量，则m AC=031m AE=02ax y z ⎧⋅=⎪⎨⋅+=⎪⎩ 由此，可取m =(3，，3)∵二面角D-AE-C为60° ∴3n m 1cos n,m =cos602|n ||m |9o ⋅〈〉===⋅ 过点E 作EF ⊥AD 于F ∵PA ⊥平面ABCD ，即PA ⊥平面ACD ∴EF ⊥平面ACD∴EF 是三棱锥E-ACD 的高∴V E-ACD【全国卷·大纲版·第19题】如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC 1=2． （1）证明：AC 1⊥A 1B ；解：（1）∵点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上∴A 1D ⊥平面ABC ∵A 1D ⊂平面ACC 1A 1 ∴平面ACC 1A 1⊥平面ABC ∵∠ACB=90°，即BC ⊥AC ∴BC ⊥平面ACC 1A 1 ∵AC 1⊂平面ACC 1A 1 ∴AC 1⊥BC连接A 1C ，由AC=CC 1知，侧面ACC 1A 1为菱形 ∴AC 1⊥A 1C∵BC 、A 1C ⊂平面A 1BC ∴AC 1⊥平面A 1BC ∵A 1B ⊂平面A 1BC ∴AC 1⊥A 1B（2）过点D 作DF ⊥AB 于F ，连接A 1F∵A 1D ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ∴AB ⊥A 1D ∴AB ⊥平面A 1DF ∴A 1F ⊥AB∴∠A 1FD 是二面角A 1-AB-C 的平面角∵AC=CC 1=2，A 1D ⊥AC在Rt △A 1DA 中，A 1A= CC 1=2ABCD A 1C 1EF【北京市·第17题】如图，正方形AMDE 的边长为2，B 、C 分别为AM 、MD 的中点，在五棱锥P-ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD 、PC 分别交于点G 、H ． （1）求证：AB ∥FG ；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA=AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长PABMCDEFGH解：（1）∵AB ∥DE ，DE ⊂平面PDE且AB ⊄平面PDE ∴AB ∥平面PDE∵平面AFGB ∩平面PDE=FG AB ⊂平面AFGB ，FG ⊂平面PDE ∴AB ∥FG（2）由题知，AP 、AM 、AE 两两互相垂直，以A 为坐标原点，分别以AM 、AE 、AP 为x 轴、y 轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系由AM=AE=PA=2，易得：B （1，0，0），F （0，1，1），C （2，1，0），P （0，0，2）∴BC =（1，1，0），AB =（1，0，0），AF =（0，1，1），PC =（2，1，-2）设向量m =(x ，y ，z )是平面ABF 的一个法向量则m AB=0m AF=0x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅+=⎪⎩ 由此，可取m =(0，1，-1)设直线BC 与平面ABF 所成角为θ，则m BC 1sin cos m,BC =2|m ||BC |2θ⋅=〈〉==⋅∴直线BC 与平面ABF 所成角θ=6π设H （a ，b ，c ），点H 在棱PC 上，不妨PH =k PC ，其中0＜k ＜1∵PC =（2，1，-2），PH =（a ，b ，c -2） ∴（a ，b ，c -2）=k （2，1，-2） ∴a =2k ，b =k ，c =2-2k ∴AH =（2k ，k ，2-2k ）∵m =(0，1，-1)为平面ABF 的一个法向量且AH ⊂平面ABF∴m AH 0⋅= ∴k -2+2k =0，得k =23∴|PH|=2【天津市·第17题】如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD=DC=AP=2，AB=1，点E 为棱PC 的中点． （1）证明：BE ⊥DC ；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F-AB-P 的余弦值．解：（1）由题意知，AP 、AB 、AD 两两互相垂直，以A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系易得：B （1，0，0），D （0，2，0），C （2，2，0），P （0，0，2）∴DC =（2，0，0）∵E 是PC 的中点 ∴E （1，1，1） ∴BE =（0，1，1）∵DC ·BE =0 ∴BE ⊥CD （2）∵PB =（-1，0，2），DB =（-1，2，0）设向量m =(x ，y ，z )是平面PBD 的一个法向量则m PB=20m DB=20x z x y ⎧⋅-+=⎪⎨⋅-+=⎪⎩ 由此，可取m =(2，1，1)设直线BE 与平面PBD 所成角为θ，则m BE sin cos m,BE =|m ||BE|6θ⋅=〈〉=⋅∴直线BE 与平面PBD（3）点F 在PC 上，不妨设PF =k PC ，其中0≤k ≤1设F （a ，b ，c ），由PC =（2，2，-2）得： （a ，b ，c -2）=k （2，2，-2） ∴a =2k ，b =2k ，c =2-2k ∴F （2k ，2k ，2-2k ） ∴BF =（2k -1，2k ，2-2k ） ∵BF ⊥AC ，且AC =（2，2，0）∴BF ·AC =0 即2(2k -1)+4k =0，得14k =∴AF =（2k ，2k ，2-2k ）=（12，12，32） 又AB =（1，0，0）设向量n =(x ，y ，z )是平面ABF 的一个法向量则n AB=0113n AF=0222x x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅++=⎪⎩ 由此，可取n =(0，3，-1)因为平面ABP 与平面xOz 重合，则可取平面ABP 的一个法向量为t =（0，1，0）n t cos n,t =|n||t |101⋅〈〉=⋅⋅∴二面角F-AB-P【重庆市·第19题】如图，四棱锥P-ABCD ，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB=2，∠BAD=3π，M 为BC 上的一点，且BM=12，MP ⊥AP ． （1）求PO 的长；（2）求二面角A-PM-C 的正弦值解：（1）连接BD 、AC∵底面ABCD 是菱形，中心为O 且PO ⊥底面ABCD ∴OP 、AC 、BD 两两互相垂直以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OP 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系由AB=2，∠BAD=3π，易得A ，C （，B （0，1，0） ∴BC =（- ∵BM=12，BC=2 ∴BM - ∴M （设P（0，0，a ），则AP =（-，MP =∵AP ⊥MP∴=-3∴a =（2）由(1)知：AP =（-，MP =（3 设向量n =(x ，y ，z )是平面APM 的一个法向量则n AP=3033n MP=04z x y ⎧⋅-+=⎪⎪⎨⎪⋅-=⎪⎩由此，可取n =(1，52)同理可得，平面CPM 的一个法向量为： m=(1-2)∴n m cos n,m =|n ||m |40⋅〈〉==⋅∴二面角A-PM-C【江苏省·第16题】如图，在三棱锥P-ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，已知PA ⊥AC ，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA ∥平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC解：（1）∵D 、E 分别是PC 、AC 的中点∴PA ∥DE∵DE ⊂平面DEF ，PA ⊄平面DEF ∴直线PA ∥平面DEF（2）∵D 、E 分别是PC 、AC 的中点∴DE=12PA=3 ∵E 、F 分别是AC 、AB 的中点 ∴EF=12BC=4 ∵DF=5 ∴DE 2+EF 2=DF 2∴∠DEF=90°，即DE ⊥EF ∵DE ∥PA ，PA ⊥AC ∴DE ⊥AC∵AC∩EF=E ∴DE ⊥平面ABC ∵DE ⊂平面BDE ∴平面BDE ⊥平面ABCPACDEF【浙江省·第20题】如图，在四棱锥A-BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，（1）证明：DE ⊥平面ACD； （2）求二面角B-AD-E 的大小解：（1）在直角梯形BCDE 中，易求得∵在△ABC 中，∴AB 2+BC 2=AB 2∴∠ACB=90°，即AC ⊥BC∵平面ABC ⊥平面BCDE 且AC ⊂平面ACD ∴AC ⊥平面BCDE ∵DE ⊂平面BCDE∴AC ⊥DE∵∠CDE=90° ∴DE ⊥CD ∵CD ⊂平面ACD ∴DE ⊥平面ACD（2）由题，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系易得E （1，0，0），B （1，1，0），A （0，2∴DE = （1，0，0），DA =（0，2DB = （1，1，0）设向量n =(x ，y ，z )是平面ADE 的一个法向量则n DE=0n DA=20x y ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 由此，可取n =(0，-1同理可得，平面ADB 的一个法向量为：m =(1，-1∴n m cos n,m=|n ||m |3⋅〈〉==⋅⋅∴二面角B-AD-E【山东省·第17题】如图，在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M 是线段AB 的中点．（1）求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；1解：（1）连接AD 1.∵M 是线段AB 的中点，AB=2 ∴AM=1∵C 1D 1=CD=1 ∴C 1D 1=AM ∵AM ∥CD ，CD ∥C 1D 1∴C 1D 1∥AM∴四边形AM C 1D 1是平行四边形 ∴C 1M ∥AD 1∵C 1M ⊄平面A 1ADD 1，AD 1⊂平面A 1ADD 1 ∴C 1M ∥平面A 1ADD 1（2）过点C 作CE ⊥AB 于E ，则CE ⊥CD∵CD 1⊥平面ABCD∴CD 1⊥CD ，CD 1⊥CE以C 为坐标原点，分别以CD 、CE 、1CD 为x轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系由由∠DAB=60°，AB=2CD=2，在等腰梯形ABCD22∴MD =（11=（1，设向量n =(x ，y ，z )是平面C 1D 1M 的一个法向量则111n C D =01n MD =02x x y ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 的一个法向量为m =∴n m cos n,m =|n ||m |5⋅〈〉==⋅⋅∴平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角的余弦值为【江西省·第20题】如图，四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ． （1）求证：AB ⊥PD ；（2）若∠BPC=90°，PC=2，问AB 为何值时，四棱锥P-ABCD 的体积最大？并求此时平面BPC 与平面DPC 夹角的余弦值．解：（1）∵底面ABCD 是矩形 ∴AB ⊥AD∵平面PAD ⊥平面ABCD 平面PAD ∩平面ABCD=AD ∴AB⊥平面PAD∵PD ⊂平面PAD ∴AB ⊥PD（2）∵∠BPC=90°，PC=2∴过点P 作PO ⊥AD 于O∵平面PAD ⊥平面ABCD ∴PO ⊥平面ABCD ∴V P-ABCD 过点O 作OE ⊥AD 交BC 于E ，连接PE设AB=x ，则OE=x 由前述，可建立如图所示的空间直角坐标系3∴PB =（6，BC =（-PD =（-2，DC = （0，设向量n =(x ，y ，z )是平面PBC 的一个法向量则n BC=606n PB=0x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩由此，可取n =(0，1，1)同理可得，平面PDC 的一个法向量为：∴n m cos n,m =|n ||m |2⋅〈〉=⋅∴平面BPC 与平面DPC【广东省·第18题】如图，四边形ABCD 为正方形．PD ⊥平面ABCD ，∠DPC=30°，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E ．（1）证明：CF ⊥平面ADF ； （2）求二面角D-AF-E 的余弦值．解：（1）∵PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD∴AD ⊥PD∵四边形ABCD 为正方形 ∴AD ⊥CD ∵PD 、CD ⊂平面PCD ∴AD ⊥平面PCD∵CF ⊂平面PCD ∴CF ⊥AD ∵AF ⊥PC ，即CF ⊥AF 且AD 、AF ⊂平面ADF ∴CF ⊥平面ADF（2）因为PD 、CD 、AD 两两互相垂直，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设正方形ABCD 的边长为1，则AD=CD=1 ∴A （0，0，1），则DA =（0，0，1）由(1)知，DF ⊥PC ，在Rt △PDC 中，由∠DPC=30°，444∴EF =（0，，AE =（3DF =（34）设向量n =(x ，y ，z )是平面AEF 的一个法向量则3n EF=043n AE=0y x z ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅-=⎪⎩ 由此，可取n =(4，0同理可得，平面ADF 的一个法向量为：m =(31，0)∴n m cos n,m =|n ||m |19⋅〈〉==⋅∴二面角D-AF-E【湖南省·第19题】如图，四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC∩BD=O ，A 1C 1∩B 1D 1=O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形． （1）证明：O 1O ⊥底面ABCD ；（2）若∠CBA=60°，求二面角C 1-OB 1-D 的余弦值解：（1）∵四边形ACC 1A 1为矩形∴A 1A ⊥AC由题知，四边形ABCD 和A 1B 1C 1D 1是菱形 ∴点O 是AC 、BD 的中点 点O 1是A 1C 1、B 1D 1的中点 ∴OO 1∥A 1A ∴OO 1⊥AC 同理可证：OO 1⊥BD ∵AC 、BC ⊂底面ABCD ∴O 1O ⊥底面ABCD （2）∵底面ABCD 是菱形∴AC ⊥BD由（1）知，AC 、BD 、O 1O 两两互相垂直 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。

1.【2014高考安徽卷理第7题】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A.21+3B.18+3C.21D.18考点：多面体的三视图与表面积.2. 【2014高考北京版理第7题】在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A ．123S S S ==B ．21S S =且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠考点：三棱锥的性质，空间中的投影，难度中等.3. 【2014高考福建卷第2题】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱4. 【2014高考广东卷理第7题】若空间中四条直线两两不同的直线1l 、2l 、3l 、4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是（ ）A.14l l ⊥B.14//l lC.1l 、4l 既不平行也不垂直D.1l 、4l 的位置关系不确定5. 【2014高考湖南卷第7题】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A.1B.2C.3D.46.【2014高考安徽卷理第8题】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有（）A.24对B.30对C.48对D.60对考点：1.直线的位置关系；2.异面直线所成的角.O-中，一个四面体的7.【2014高考湖北卷理第5题】在如图所示的空间直角坐标系xyz顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②【答案】D【解析】试题分析：设)2,2,2(),1,2,1(),0,2,2(),2,0,0(D C B A ，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D.考点：空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，正视图与俯视图面积，容易题.8. 【2014高考湖北卷理第8题】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A.227 B.258 C.15750 D.3551139. 【2014高考江苏卷第8题】 设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为12,S S ，体积为12,V V ，若它们的侧面积相等且1294S S ，则12V V 的值是 .【考点】圆柱的侧面积与体积．10. 【2014江西高考理第5题】一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）【答案】B【解析】试题分析：俯视图为几何体在底面上的投影，应为B 中图形.考点：三视图11. 【2014江西高考理第10题】如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）【答案】C【解析】试题分析：12. 【2014辽宁高考理第4题】已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥13. 【2014辽宁高考理第7题】某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．82π-B ．8π-C ．82π-D ．84π-14. 【2014全国1高考理第12题】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）（A ）62 （B ）6 （C ）62 （D ）4【考点定位】三视图．15.【2014全国2高考理第6题】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A. 1727 B.59 C.1027D.1316. 【2014全国2高考理第11题】直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ） A. 110 B. 25C.3010D.22 17.【2014山东高考理第13题】 三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V =________.18. 【2014四川高考理第8题】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（ ） A ．3[,1]3 B ．6[,1]3 C ．622[,]33 D ．22[,1]319. 【2014浙江高考理第3题】某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm答案：Ｄ解析：有三视图可知，此几何体如下图，故几何体的表面积为1S=⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯=，故选D．246234363334352341382考点：三视图,几何体的表面积.20.【2014重庆高考理第7题】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.54B.60C.66D.72【答案】B【解析】试题分析：21. 【2014陕西高考理第5题】已知底面边长为1，侧棱长为2则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π22. 【2014天津高考理第10题】已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_______3m ．23. 【2014大纲高考理第8题】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π【答案】A ．24.【2014大纲高考理第11题】已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 （ ）A．14B．24C．34D．12【答案】B.。

第十章 立体几何一．基础题组1. 【2014年.浙江卷.理3】某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm【答案】：Ｄ2. 【2013年.浙江卷.理12】若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于__________cm 3.【答案】：243. 【2012年.浙江卷.理10】已知矩形ABCD，AB＝1，BC ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，( )A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直【答案】B4. 【2012年.浙江卷.理11】已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于__________ cm3．【答案】15. 【2011年.浙江卷.理3】若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是【答案】 D【解析】：A，B与正视图不符，C与俯视图不符，故选D6. 【2011年.浙江卷.理4】下列命题中错误的是（A ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β （B ）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面 （D ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【答案】 D7. 【2009年.浙江卷.理5】在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( )A ．30B ．45C ．60D ．90【答案】：C8. 【2009年.浙江卷.理12】若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是3cm ．【答案】：189. 【2008年.浙江卷.理14】如图，已知球O 点面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 点体积等于【答案】9π210. 【2007年.浙江卷.理6】若P 是两条异面直线,l m 外的任意一点，则（A ）过点P 有且仅有一条直线与,l m 都平行 （B ）过点P 有且仅有一条直线与,l m 都垂直 （C ）过点P 有且仅有一条直线与,l m 都相交 （D ）过点P 有且仅有一条直线与,l m 都异面 【答案】B选项D 不正确，因为过点P 与,l m 都异面的直线有数条. 故选B.11. 【2005年.浙江卷.理6】设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β． 那么(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题【答案】D12. 【2005年.浙江卷.理12】设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．【答案】90° 【解析】：13. 【2015高考浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ） A.38cm B. 312cm C.3323cm D. 3403cm【答案】C.14. 【2015高考浙江，理13】如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是 ．【答案】87.15. 【2015高考浙江，理17】如图，在三棱柱111ABC A B C --中，90BAC ∠=，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.（1）证明：1A D ⊥平面1A B C ；（2）求二面角1A -BD-1B 的平面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）18-.【考点定位】1.线面垂直的判定与性质；2.二面角的求解16.二．能力题组1. 【2013年.浙江卷.理10】在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ(A)．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1＝fβ[fα(P)]，Q2＝fα[fβ(P)]，恒有PQ1＝PQ2，则( )．A．平面α与平面β垂直B．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C．平面α与平面β平行D．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°【答案】：A∴点Q1与Q2重合于同一点由此可得，四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α-l-β的平面角∵∠P1Q1P2是直角，∴平面α与平面β垂直，故选A2. 【2009年.浙江卷.理17】如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．【答案】：1,12⎛⎫⎪⎝⎭3. 【2007年.浙江卷.理16】已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在α内，且45POB ∠=︒.若对于β内异于O 的任意一点Q ，都有45POQ ∠≥︒，则二面角AB αβ--的取值范围是_____________. 【答案】,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】4. 【2006年.浙江卷.理14】正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是.【答案】1] 42【解析】5. 【2015高考浙江，理8】如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D. A CB α'∠≤【答案】B.在Rt A BP '∆中，2222222(2cos )4cos A P A B BP t t θθ''=-=-=-，三．拔高题组1. 【2014年.浙江卷.理20】（本题满分15分）如图，在四棱锥BCDE A -中，平面⊥ABC 平面======∠=∠AC BE DE CD AB BED CDE BCDE ,1,2,90,02.（1）证明：⊥DE 平面ACD ; （2）求二面角E AD B --的大小4681012141618EA【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角E AD B --的大小是6π． 【解析】试题分析：（Ⅰ）求证：⊥DE 平面ACD ，证明线面垂直，先证线线垂直，即证线和平面内两条相交直线垂直，由已知可得DE DC ⊥，只需证明AC DE ⊥，或AD DE ⊥，由已知平面⊥ABC 平面BCDE ，只在Rt AED 中，1DE =，AD =，得AE =R t A B D中，BD =2AB =，AD =，得3BF =23AF AD =，从而23GF =，在,ABE ABG中，利用余弦定理分别可得2cos ,143BAE BG ∠==，在BFG中，222cos 22GF BF BG BFG BF GF +-∠==⋅，所以6BFG π∠=，即二面角E AD B --的大小是6π．方法二：以D 为原点，分别以射线,DE DC 为,x y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -如图所示，由题意可知各点坐标如下：()()()(()0,0,0,1,0,0,0,2,0,,1,1,0D E C A B ，设平面ADE 的法向量为()111,,m x y z =，平面ABD 的法向量为()222,,n x y z =，可算得(0,2,AD =-，()(1,1,0,1,2,DB AE ==-，由00m AD m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得，1111102020y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，可取(0,1,m =，由00n AD n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得，22220200y x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，可取(1,1,2n =，于是3cos ,2m n m n m n ⋅〈〉==，由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角E AD B --的大小是6π． 4681012141618试题点评：本题主要考查空间点，线，面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用 ，同时考查空间想象能力，与推理论证，运算求解能力．2. 【2013年.浙江卷.理20】(本题满分15分)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝.M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC ．(1)证明：PQ ∥平面BCD ；(2)若二面角C －BM －D 的大小为60°，求∠BDC 的大小． 【答案】在Rt△BDM中，23BG DMHGBMθ⋅==.在Rt△CHG中，tan∠CHG＝3cossin CGHGθθ==所以tan θ从而θ＝60°.即∠BDC＝60°.方法二：(1)证明：如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知A (0，2)，B (0，0)，D (0，0)． 设点C 的坐标为(x 0，y 0,0)．因为3AQ QC =，所以Q 00331,,4442x y ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭. 因为M 为AD 的中点，故M (0，1)．又P 为BM 的中点，故P 10,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以PQ＝0033,,0444x y ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭. 又平面BCD 的一个法向量为u ＝(0,0,1)，故PQ ·u ＝0. 又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD ．(2)解：设m ＝(x ，y ，z )为平面BMC 的一个法向量． 由CM ＝(－x 00y ,1)，BM ＝(0,1)，知000,0.x x y y z z ⎧-+)+=⎪⎨+=⎪⎩ 取y ＝－1，得m＝001,y x ⎛- ⎝. 又平面BDM 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，于是|cos 〈m ，n 〉|＝||1||||2⋅==m n m n，即200y x ⎛= ⎝⎭① 又BC ⊥CD ，所以CB ·CD ＝0，故(－x 0，0y ,0)·(－x 00y ,0)＝0， 即x 02＋y 02＝2.②联立①，②，解得000,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(舍去)或00,22x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以tan ∠BDC=.又∠BDC 是锐角，所以∠BDC ＝60°.3. 【2012年.浙江卷.理20】如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为∠BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD，PA =M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MN ∥平面ABCD ；(2)过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值． 【答案】（1）详见解析；（2.【解析】A(，0,0)，B (0，－3,0)，C，0,0)，D (0,3,0)，P(，0,)，M(2-，32-)，N(32)，Q，0)． 设m ＝(x，y ，z )为平面AMN的法向量．由33(22AM =-，33(22AN =，，知30230.2x y x y -+=+=，取z ＝－1，得m ＝(0，－1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面QMN 的法向量．由3(2QM =-，3(2QN =，知30,230.623x y z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩取z ＝5，得n ＝(，0,5)．于是cos 〈m ，n〉＝||||⋅=⋅m n m n ． 所以二面角A ­MN ­Q 的平面角的余弦值为33． 方法二：在菱形ABCD 中，∠BAD=120°，得AC=AB=BC=CD=DA ，BD=AB ．又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥AD ． 所以PB =PC =PD ． 所以△PBC ≌△PDC ．而M ，N 分别是PB ，PD 的中点， 所以MQ =NQ ，且AM =12PB =12PD =AN ． 取线段MN 的中点E ，连结AE ，EQ ，则AE ⊥MN ，QE ⊥MN ，所以∠AEQ 为二面角A －MN －Q 的平面角．由AB =PA = 故在△AMN 中，AM =AN =3，MN =12BD =3，得2AE =． 在直角△PAC 中，AQ ⊥PC，得AQ =QC =2，PQ =4，在△PBC 中，2225cos 26PB PC BC BPC PB PC +-∠==⋅，得MQ ==在等腰△MQN 中，MQ =NQMN =3，得2QE ==． 在△AEQ中，2AE =，2QE =，AQ =222cos 2AE QE AQ AEQ AE QE +-∠==⋅．所以二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值为33． 4. 【2011年.浙江卷.理20】（本题满分15分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A-MC-β为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由。

2014--2018浙江省《立体几何》高考真题汇编2014年浙江理（3）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是A. 902cm D. 1382cmcm C. 1322cm B. 12922014年浙江理 17、如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A 处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若15BCM∠=︒,则tanθ的最大值是=，30AB m=，25AC m(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)2014年浙江理 20.（本题满分15分）如图，在四棱锥A BCDE-中，平面ABC?平面BCDE ,AC=.==,190AB CD∠=∠=︒，2CDE BEDDE BE==,2(Ⅰ)证明：DE?平面ACD;(Ⅱ)求二面角B AD E--的大小.2014年浙江文 2. 设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD为菱形”是“BDAC⊥”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不成分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2014年浙江文 3. 某几何体的三视图（单位：cm）若图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 372cmB. 390cmC. 3108cmD. 3138cm2014年浙江文 10.如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 刀枪面对而距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角），若m AB 15=，m AC 25=，ο30=∠BCM ，则θtan 的最大值是（ ） A. 530 B. 1030 C.934 D. 9352014年浙江文6. 设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（ ）A.若n m ⊥，α//n ，则α⊥mB.若β//m ，αβ⊥，则α⊥mC.若β⊥m ，β⊥n ，α⊥n ，则α⊥mD.若n m ⊥，β⊥n ，αβ⊥，则α⊥m2014年浙江文 20、（本小题满分15分）如图，在四棱锥BCDE A -中，平面ABC ⊥平面BCDE ；90CDE BED ∠=∠=︒，2AB CD ==，1DE BE ==，2AC =. （1）证明：AC ⊥平面BCDE ；（2）求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值.2015年浙江理 2．（5分）（2015?浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ． 8cm 3B ． 12cm 3C ．D ．2015年浙江理 8．（5分）（2015?浙江）如图，已知△ABC，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD ﹣B 的平面角为α，则（ ）A ． ∠A′DB≤αB ． ∠A′DB≥αC ． ∠A′CB≤αD ． ∠A′CB≥α2015年浙江理 13．（4分）（2015?浙江）如图，三棱锥A ﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是 ．2015年浙江理 17．（15分）（2015?浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A 1A=4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D是B 1C 1的中点．（1）证明：A 1D⊥平面A 1BC ；（2）求二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值．2015年浙江文 2．（5分）与2015年浙江理的第2题相同2015年浙江文 7、如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线B ．C ．椭圆D ．双曲线的一支AB α60o B αP 30∠PAB =o P2015年浙江文 4、设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则2015年浙江文 18. （本题满分15分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A 1A=4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点．(1)证明: ；(2)求直线和平面所成的角的正弦值.αβl m l α⊂m β⊂l β⊥αβ⊥αβ⊥l m ⊥//l β//αβ//αβ//l m 11D A BC A ⊥平面1A B 11B C B C2016浙江文 2. 已知互相垂直的平面 交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则（ ）∥l ∥n ⊥l ⊥n2016浙江文 9. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______cm 2,体积是______cm 3.2016浙江文 14．如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，AD=，∠ADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD'，直线AC 与BD'所成角的余弦的最大值是______．αβ，52016浙江文 18. （本题满分15分）如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（I）求证：BF ⊥平面ACFD；（II）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.2016浙江理 2．（5分）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（）A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n2016浙江理 11．（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是______cm2，体积是______cm3．2016浙江理 14．（4分）如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD 的体积的最大值是______．2016浙江理 17．（15分）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE ⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．2017年浙江3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．+1B．+3 C．+1 D．+3π2π23π23π22017年浙江 9．如图，已知正四面体D–ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，，分别记二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角为α，β，γ，则（）A．γ<α<βB．α<γ<βC．α<β<γD．β<γ<α2017年浙江 19．（本题满分15分）如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD 是以AD为斜边的等腰直角三角形，，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E 为PD的中点．（Ⅰ）证明：平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC 所成角的正弦值．2BQ CRQC RA==//BC AD//CE2018年浙江省 3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82018年浙江省 8．已知四棱锥S ?ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S ?AB ?C 的平面角为θ3，则（ ）A ．θ1≤θ2≤θ3B ．θ3≤θ2≤θ1C ．θ1≤θ3≤θ2D ．θ2≤θ3≤θ12018年浙江省 19．（本题满分15分）如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，A 1A =4，C 1C =1，AB =BC =B 1B =2．（Ⅰ）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（Ⅱ）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．俯视图正视图。

专题15：立体几何高考真题浙江卷赏析（解析版）题型一：三视图1．2019年浙江省高考数学试卷祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A ．158B ．162C ．182D ．32【答案】B 【分析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查. 【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.2．2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是A ．+12πB ．+32πC ．3+12πD ．3+32π 【答案】A 【解析】由三视图可知几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体， ∴2111V 1213322π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=12π+,故选A. 3．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷） 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．83cmB ．123cmC ．3233cm D ．4033cm 【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是四棱柱与同底的四棱锥的组合体,所以其体积为,故应选C.考点：三视图及体积的计算．4．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：由三视图知，原几何体是由一个长方体与一个三棱柱组成，其体积为，故选B.考点：根据三视图还原几何体，求原几何体的体积，容易题.5．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是A．90B．129C．132D．138【答案】D【解析】试题分析：分析题意可知，该几何体为三棱柱与长方体的组合，其表面积=⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯-=S c m (644363)212342435332138(2)，故选D．考点：1．三视图；2．空间几何体的表面积．题型二：点线面的基本关系6．2011年浙江省普通高等学校招生统一考试文科数学，则若直线l不平行于平面a，且l aA．a内的所有直线与l异面B．a内不存在与l平行的直线C．a内存在唯一的直线与l平行D．a内的直线与l都相交【答案】B【解析】试题分析：根据线面关系的定义，我们根据已知中直线l不平行于平面α，且l⊄α，判断出直线l与α的关系，利用直线与平面相交的定义，我们逐一分析四个答案，即可得到结论．解：直线l不平行于平面α，且l⊄α，则l与α相交l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行故A，C，D错误故选B．考点：平面的基本性质及推论．7．（2013•浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【答案】C【解析】A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选C．8．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则（）A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，，则D ．若，，，则【答案】C 【解析】试题分析：对A ，若，，则或或，错误；对B ，若，，则或或，错误；对C ，若，，，则，正确； 对D ，若，，，则或或，错误.故选C.考点：空间中的线线、线面、面面的位置关系，容易题.9．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷）设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ） A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若//l β，则//αβ D ．若//αβ，则//l m【答案】A 【解析】试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得l β⊥，l α⊂ 可得αβ⊥考点：空间线面平行垂直的判定与性质 10．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷）已知互相垂直的平面αβ，交于直线l.若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则 A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥l D ．m ⊥n【答案】C 【解析】 试题分析：由题意知,l l αββ⋂=∴⊂，,n n l β⊥∴⊥．故选C ．【考点】空间点、线、面的位置关系．【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．题型三：夹角问题11．浙江省2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试题已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆为正三角形，PA PB PC >>，且P 在底面ABC 内的射影在ABC ∆的内部（不包括边界），二面角PAB C ，二面角P BC A --，二面角P AC B --的大小分别为α，β，γ，则（ ） A ．αβγ>> B ．γαβ>>C ．αγβ<<D ．αβγ<<【答案】C 【分析】作出三个二面角，再根据PA PB PC >>，确定二面角大小. 【详解】设P 在底面ABC 内的射影为O ，过O 分别作AB,BC,CA 垂线，垂足分别为D,E,F,则PDO α=∠，PEO β=∠，PFO γ=∠，从而tan PO OD α=，tan PO OE β=，tan POOFγ=， 因为PA PB PC >>，所以OA OB OC >>, O D OF OE >>,即tan tan tan αγβ<<,即αγβ<<，选C. 【点睛】本题考查二面角，考查基本分析与判断能力，属中档题.12．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷）如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD ∆'，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）A ．A DB α∠'≤ B ．A DB α∠'≥C ．A CB α∠'≤D ．A CB α∠'≤【答案】B 【详解】设ADC θ∠=，设2AB =，则由题意1AD BD ==，在空间图形中，设A B t '=，在A DB ∆'中，2222222112cos 22112A D DB AB t t A DB A D DB +-+--∠===⨯'⨯''⨯， 在空间图形中，过A '作AN DC ⊥，过B 作BM DC ⊥，垂足分别为N ，M ， 过N 作//NP MB ，连结A P '，∴NP DC ⊥，则A NP ∠'就是二面角A CD B '--的平面角，∴A NP α∠'=， 在Rt A ND ∆'中，cos cos DN A D A DC θ=∠=''，，同理，sin BM PN θ==，cos DM θ=，故2cos BP MN θ==， 显然BP ⊥面A NP '，故BP A P ⊥'，在Rt A BP ∆'中，2222222(2cos )4cos A P A B BP t t θθ=-==-'-'， 在A NP ∆'中，222cos cos 2A N NP A P A NP A N NP α'''∠'+-==⨯2222sin sin (4cos )2sin sin t θθθθθ+--=⨯ 222222222222cos 2cos 1cos cos 2sin 2sin sin sin sin t t A DB θθθθθθθθ+--==+=∠+'， ∵210sin θ>，22cos 0sin θθ≥，∴cos cos A DB α≥∠'（当2πθ=时取等号）， ∵，[0,]A DB π∠∈'，而cos y x =在[0,]π上为递减函数，∴A DB α≤∠'，故选B.考点：立体几何中的动态问题13．2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为α,β,γ，则A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α【答案】B 【解析】设O 为三角形ABC 中心，则O 到PQ 距离最小，O 到PR 距离最大，O 到RQ 距离居中，而高相等，因此αγβ<<，所以选B ．【名师点睛】立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考重点考查的考点与热点．这类问题的设置一般有线面位置关系的证明与角度距离的计算等两类问题．解答第一类问题时一般要借助线面平行与垂直的判定定理进行；解答第二类问题时先建立空间直角坐标系，运用空间向量的坐标形式及数量积公式进行求解． 14．2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则（ ） A ．123θθθ≤≤B ．321θθθ≤≤C ．132θθθ≤≤D ．231θθθ≤≤【答案】D 【分析】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系. 【详解】设O 为正方形ABCD 的中心，M 为AB 中点，过E 作BC 的平行线EF ，交CD 于F ，过O 作ON 垂直EF 于N ，连接SO 、SN 、OM ，则SO 垂直于底面ABCD ，OM 垂直于AB ，因此123,,,SEN SEO SMO θθθ∠=∠=∠= 从而123tan ,tan ,tan ,SN SN SO SOEN OM EO OMθθθ==== 因为SN SO EO OM ≥≥，，所以132tan tan tan ,θθθ≥≥即132θθθ≥≥，选D.【点睛】线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.15．2020年浙江省高考数学试卷如图，三棱台ABC —DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ．（I ）证明：EF ⊥DB ；（II ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．【答案】（I ）证明见解析；（II ）3【分析】（I ）作DH AC ⊥交AC 于H ，连接BH ，由题意可知DH ⊥平面ABC ，即有DH BC ⊥，根据勾股定理可证得BC BH ⊥，又//EF BC ，可得DH EF ⊥，BH EF ⊥，即得EF ⊥平面BHD ，即证得EF DB ⊥；（II ）由//DF CH ，所以DF 与平面DBC 所成角即为CH 与平面DBC 所成角，作HG BD ⊥于G ，连接CG ，即可知HCG ∠即为所求角，再解三角形即可求出DF 与平面DBC 所成角的正弦值． 【详解】（Ⅰ）作DH AC ⊥交AC 于H ，连接BH ． ∵平面ADFC ⊥平面ABC ，而平面ADFC平面ABC AC =，DH ⊂平面ADFC ，∴DH ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，即有DH BC ⊥． ∵45ACB ACD ∠=∠=︒，∴2CD BC CH ==⇒=．在CBH 中，22222cos 45BH CH BC CH BC BC =+-⋅︒=，即有222BH BC CH +=，∴BH BC ⊥．由棱台的定义可知，//EF BC ，所以DH EF ⊥，BH EF ⊥，而BH DH H =，∴EF ⊥平面BHD ，而BD ⊂平面BHD ，∴EF DB ⊥．（Ⅱ）因为//DF CH ，所以DF 与平面DBC 所成角即为与CH 平面DBC 所成角． 作HG BD ⊥于G ，连接CG ，由（1）可知，BC ⊥平面BHD ， 因为所以平面BCD ⊥平面BHD ，而平面BCD平面BHD BD =，HG ⊂平面BHD ，∴HG ⊥平面BCD ．即CH 在平面DBC 内的射影为CG ，HCG ∠即为所求角．在Rt HGC △中，设BC a =，则CH =，BH DH HG a BD ⋅===，∴sin3HG HCG CH ∠===．故DF 与平面DBC 所成角的正弦值为3．中学教育【点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成的角的求法，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题．中学教育。

2004−2019浙江高考真题《立体几何》汇编三视图1. （2009浙江文12理12）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ．2. （2010浙江文8）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ）A ．3352cm 3B ．3320cm 3C ．3224cm 3D ．3160cm 33. （2010浙江理12）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ．侧视图俯视图正视图侧视图俯视图侧视图俯视图4. （2011浙江文7）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）5. （2011浙江理3）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）6. （2012浙江文3）已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A ．13cmB ．23cmC ．33cmD ．63cmDC BA侧视图俯视图正视图DCB A 侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图7. （2012浙江理11）已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积等于 3cm ．8. （2013浙江文5）已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．1083cmB ．1003cmC ．923cmD ．843cm9. （2013浙江理12）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于 3cm ．侧视图俯视图正视图俯视图侧视图正视图侧视图正视图3410. （2014浙江文3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．723cmB ．903cmC ．1083cmD ．1383cm11. （2014浙江理3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．902cmB ．1292cmC ．1322cmD ．1382cm12. （2015浙江文2理2）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．83cmB ．123cmC ．3233cmD ．403cm俯视图侧视图正视图俯视图侧视图正视图侧视图正视图13. （2016浙江理11）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 2cm ，体积是 3cm ．14. （2016浙江文9）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 2cm ，体积是 3cm ．15. （2017浙江3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（）A ．12π+B ．32π+C ．312π+D ．332π+俯视图正视图316. （2018浙江3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．817. （2019浙江4）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh 柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：3cm ）是（ ） A ．158B ．162C ．182D ．324俯视图正视图俯视图侧视图正视图点、直线、平面位置关系18. （2005浙江文7理6）设α，β为两个不同的平面，l ，m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂．有如下两个命题：①若αβ∥，则l m ∥；②若l m ⊥，则αβ⊥．那么（ ） A ．①是真命题，②是假命题 B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题19. （2007浙江文7理6）若P 是两条异面直线l ，m 外的任意一点，则（ ）A ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都异面20. （2008浙江文9）对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得（ ）A ．a α⊂，b α⊂B ．a α⊂，b α∥C ．a α⊥，b α⊥D ．a α⊂，b α⊥21. （2009浙江文4）设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）A ．若l α⊥，αβ⊥，则l β⊂B ．若l α∥，αβ∥，则l β⊂C ．若l α⊥，αβ∥，则l β⊥D ．若l α⊥，αβ⊥，则l β⊥22. （2010浙江理6）设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，l m ∥，则m α⊥C ．若l α∥，m α⊂，则l m ∥D ．若l α∥，m α∥，则l m ∥23. （2011浙江文4）若直线l 不平行于平面α，且l α⊄，则（ ）A ．α内的所有直线与l 异面B ．α内不存在与l 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与l 平行D ．α内的直线与l 都想交24. （2011浙江理4）下列命题中错误的是（ ）A ．如果αβ平面⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果αβ平面不垂直于平面，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果αγ平面⊥平面，βγ平面⊥平面，l αβ=，那么l γ⊥平面D ．如果αβ平面⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β25. （2012浙江文5）设直线l 是直线，α，β是两个不同的平面．（ ）A ．若l α∥，l β∥，则αβ∥B ．若l α∥，l β⊥，则αβ⊥C ．若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥D ．若αβ⊥，l α∥，则l β⊥26. （2013浙江文4）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．（ ）A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥B ．若m α∥，m β∥，则αβ∥C ．若m n ∥，m α⊥，则n α⊥D ．若m α∥，αβ⊥，则m β⊥27. （2014浙江文6）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．（ ）A ．若m n ⊥，n α∥，则m α⊥B ．若m β∥，βα⊥，则m α⊥C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥28. （2015浙江文4）设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂．（ ）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若l β∥，则αβ∥D ．若αβ∥，则l m ∥29. （2016浙江文2理2）已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m α∥，n β⊥，则（ ） A ．m l ∥ B ．m n ∥C ．n l ⊥D ．m n ⊥30. （2018浙江6）已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“m n ∥”是“m α∥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件小题31. （2004浙江文15）已知α平面⊥β平面，l αβ=，P 是空间一点，且P 到平行α，β的距离分别是1，2，则点P 到l 的距离为 ．32. （2004浙江理16）已知平面α和平面β相交于直线l ，P 是空间一点，P A ⊥α，垂足为A ，PB ⊥β，垂足为B ，且1PA =，2PB =，若点A 在β内的射影与点B 在α内的射影重合，则点P 到l 的距离为 ．33. （2004浙江文10理10）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，D 在棱1BB 上，且1BD =，若AD 与平面11AA C C 所成的角为α，则sin α=（ ） ABCDDB 1A 1C 1CBA34. （2005浙江文12理12）设M ，N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E （如图）．现将△ADE沿DE 折起，使二面角A DE B --为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影为点B ，则M ，N 的连线与AE 所成角的大小等于 ．35. （2006浙江文8）如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都为2，E ，F 分别是AB ，11A C 的中点，则EF 的长是（ ） A ．2BCD36. （2006浙江理9）如图，O 是半径为1的球的球心，点A ，B ，C 在球面上，OA ，OB ，OC 两两垂直，E ，F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点，则点E ，F 在该球面上的球面距离是（ ） A ．4π B ．3π C ．2π D．4B 1C 1A 1FE CBA37. （2006浙江文14）如图，正四面体ABCD 的棱长为1，平面α过棱AB ，且CD α∥，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积是 ．38. （2006浙江理14）正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 ．39. （2007浙江文17理16）已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在α内，且45POB ∠=︒．若对于β内异于O 的任意一点Q ，都有45POQ ∠≥︒，则二面角AB αβ--的大小是 ．40. （2008浙江文15理14）如图，已知球O 的面上四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA AB BC ===O 的体积等于 ．BDACαBDACαDBCA41. （2008浙江理10）如图，AB 是平面α的斜线段．．．，A 为斜足．若点P 在平面α内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线42. （2009浙江理5）在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°43. （2009浙江理17）如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点，现将AFD △沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ，在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足，设AK t =，则t 的取值范围是 ．PABαKFDCBA44. （2012浙江理10）已知矩形ABCD ，1AB =，BC ．将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，（ ）A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对于任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直45. （2013浙江理10）在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记()B f A π=．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，()1Q f f P βα=⎡⎤⎣⎦，()2Q f f P αβ⎡⎤=⎣⎦，恒有12PQ PQ =，则（ ） A ．α平面与β平面垂直 B ．α平面与β平面所成的（锐）二面角为45° C ．α平面与β平面平行 D ．α平面与β平面所成的（锐）二面角为60°46. （2014浙江文10理17）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若15m AB =，25m AC =，30BCM ∠=︒，则tan θ的最大值是 ．（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角）PMCB A47. （2015浙江文7）如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60︒，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30PAB ∠=︒，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支48. （2015浙江理8）如图，已知ABC △，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD △翻折成A CD '△，所成（ ） A ．A DB α'∠≤B ．A DB α'∠≥C ．A CB α'∠≤D ．A CB α'∠≥49. （2015浙江理13）如图，在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是 ．αPBAA'DCBAMNDCBA50. （2016浙江文14）如图，已知平面四边形ABCD ，3AB BC ==，1CD =，AD =90ADC ∠=︒．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD'，直线AC 与BD'所成角的余弦的最大值是 ．51. （2016浙江理14）如图，在△ABC 中，2AB BC ==，120ABC ∠=︒．若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD DA =，PB BA =，则四面体PBCD 的体积的最大值是 ．52. （2017浙江9）如图，已知正四面体D ABC -（所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D PR Q --，D PQ R --，D QR P --的平面角 为α，β，γ，则（ ） A ．γαβ<<B ．αγβ<<C ．αβγ<<D ．βγα<<D'DC APDCBARCQBP A D53. （2018浙江8）已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则（ ） A ．123θθθ≤≤ B ．321θθθ≤≤ C ．132θθθ≤≤ D ．231θθθ≤≤54. （2019浙江8）设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ） A ．,βγαγ<< B ．,βαβγ<< C ．,βαγα<< D ．,αβγβ<<大题55. （2004浙江文19）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB =1AF =，M 是线段EF 的中点． （1）求证：AM ∥平面BDE ； （2）求证：AM ⊥平面BDF ； （3）求二面角A DF B --的大小．M FEDCBA56. （2004浙江理19）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB =1AF =，M 是线段EF 的中点． （1）求证：AM ∥平面BDE ； （2）求二面角A DF B --的大小；（3）试在线段AC 上确定一点P ，使得PF 与BC 所成的角是60︒．57. （2005浙江文18）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，12AB BC PA ==，点O ，D 分别是AC ，PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．（1）求证：OD ∥平面PAB ；（2）求直线OD 与平面PBC 所成角的大小．58. （2005浙江理18）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，AB BC kPA ==，点O ，D 分别是AC ，PC 的中点，OP ⊥底面ABC ． （1）求证：OD ∥平面PAB ；（2）当12k =，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小；（3）当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为PBC △的重心？MFEDCBA59. （2006浙江文17）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===，M ，N 分别为PC ，PB 的中点． （1）求证：PB DM ⊥；（2）求BD 与平面ADMN 所成角．60. （2006浙江理17）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===，M ，N 分别为PC ，PB 的中点． （1）求证：PB DM ⊥；（2）求CD 与平面ADMN 所成的角．61. （2007浙江理19）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点．（1）求证：CM EM ⊥；（2）求CM 与平面CDE 所成的角．62. （2007浙江文20）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点．（1）求证：CM EM ⊥；（2）求DE 与平面EMC 所成角的正切值．63. （2008浙江文20理18）如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，90BCF CEF ∠=∠=︒，AD ，2EF =．（1）求证：AE DCF ∥平面；（2）当AB 的长为何值时，二面角A EF C --的大小为60°？64. （2009浙江文19）如图，DC ⊥平面ABC ，EB DC ∥，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=︒，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点． （1）证明：PQ ACD ∥平面；（2）若AD 与平面ABE 所成角的正弦值．FEDCBA QPCDEBA65. （2009浙江理20）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC △是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为P A ，PB ，AC 的中点，16AC =，10PA PC ==． （1）设G 是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE ；（2）证明：在ABO △内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并求点M 到OA ，OB 的距离．66. （2010浙江文20）如图，在平行四边形ABCD 中，2AB BC =，120ABC ∠=︒，E 为线段AB 的中点，将ADE △沿直线DE 翻折成A DE '△，使平面A DE '⊥平面BCD ，F 为线段A C '的中点． （1）求证：BF ∥平面A DE '；（2）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A DE '所成角的余弦值．67. （2010浙江理20）如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，243AE EB AF FD ====， 沿直线EF 将AEF △翻折成A EF '△，使平面A EF '⊥平面BEF ． （1）求二面角A FD C '--的余弦值；（2）点M ，N 分别在线段FD ，BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与A '中和，求线段FM 的长．GF EPOCBAA'MFED CBANM A'F EDCB A68. （2011浙江文20）如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上． （1）证明：AP BC ⊥；（2）已知8BC =，4PO =，3AO =，2OD =，求二面角B AP C --的大小．69. （2011浙江理20）如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知8BC =，4PO =，3AO =，2OD =． （1）证明：AP BC ⊥；（2）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A MC B --为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．70. （2012浙江文20）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱1111ABCD A B C D -中，AD ⊥AB，AB =2AD =，4BC =，12AA =，E 是1DD 的中点，F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点．（1）证明：（i ）11EF A D ∥；（ii ）111BA B C EF ⊥平面；（2）求1BC 与11B C EF 平面所成角的正弦值．OPDCBAOPDCBAD 1C 1B 1A 1EF B D CA71. （2012浙江理20）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为的菱形，120BAD ∠=︒，且PA ABCD ⊥平面，PA =，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．（1）证明：MN ∥平面ABCD ；（2）过点A 作AQ PC ⊥，垂足为点Q ，求二面角A MN Q --的平面角的余弦值．72. （2013浙江文20）如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥平面ABCD ，2AB BC ==，AD CD ==PA 120ABC ∠=︒．G 为线段PC 上的点． （1）证明：BD ⊥平面P AC ；（2）若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正切值；（3）若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PGGC的值．73. （2013浙江理20）如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，2AD =，BD =．M是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =． （1）证明：PQ BCD ∥平面；（2）若二面角C BM D --的大小为60°，求BDC ∠的大小．QMNDABPGDB APQPMDBA74. （2014浙江文20）如图，在四棱锥A BCDE -中，平面ABC ⊥平面BCDE ，90CDE BED ∠=∠=︒，2AB CD ==，1DE BE ==，AC =（1）证明：AC BCDE ⊥平面；（2）求直线AE 与平面ABC 所成角的正切值．75. （2014浙江理20）如图，在四棱锥A BCDE -中，平面ABC ⊥平面BCDE ，90CDE BED ∠=∠=︒，2AB CD ==，1DE BE ==，AC（1）证明：DE ACD ⊥平面； （2）求二面角B AD E --的大小．76. （2015浙江文18）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，14AA =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点． （1）证明：11A D A BC ⊥平面；（2）求直线1A B 和平面11BB C C 所成的角的正弦值．BED CABED CAC 1B 1A 1DC BA77. （2015浙江理17）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，14AA =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点． （1）证明：11A D A BC ⊥平面；（2）求二面角11A BD B --的平面角的余弦值．78. （2016浙江文18）如图，三棱台ABC DEF -中，平面BCFE ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，1BE EF FC ===，2BC =，3AC =．（1）求证：BF ⊥平面ACFD ；（2）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．79. （2016浙江理17）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面BCFE ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，1BE EF FC ===，2BC =，3AC =．（1）求证：BF ⊥平面ACFD ；（2）求二面角B AD F --的平面角的余弦值．C 1B 1A 1DC BA80. （2017浙江19）如图，已知四棱锥P −ABCD ，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点． （1）证明：CE ∥平面P AB ；（2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．81. （2018浙江19）如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===． （1）证明：1111AB A B C ⊥平面；（2）求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．82. （2019浙江19）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，11A A AC AC ==，E ，F 分别是AC ，11A B 的中点． （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值．ED CBAPC 1B 1A 1CBAC 1B 1A 1FECBA。

2014年普通高等学校招生全国统一考试分类汇编（12）立体几何2014年高考数学试题汇编 立体几何一．选择题1. （2014福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱A2. (2014新课标I)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A. B. C .6 D .4【答案】：C【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥D ABC -，其中4,AB BC AC DB DC =====6DA ==，故最长的棱的长度为6DA =，选C3. (2014新课标II)如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A. 1727 B. 59 C. 1027 D. 13【答案】 C..2710π54π34-π54π.342π944.2342π.546π96321C v v 故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为==∴=•+•=∴=•=∴π 4（2014浙江）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是A. 902cmB. 1292cmC. 1322cmD. 1382cmD5. (2014江西)一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）【答案】B【解析】俯视图为在底面上的投影，易知选：B6(2014重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.54B.60C.66D.72 【答案】B 【解析】BS S S S S S 选，，，何体表的面积的上部棱锥后余下的几；截掉高为，高原三棱柱：底面三角形侧上下侧上下∴60s 2273392318152156344*3=++=+=•++===7. （2014辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．82π-B ．8π-C ．82π-D ．84π-【答案】B 【解析】..π-82)21*π-2*2(2B sh V 选几何体为直棱柱，体积===8(2014湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.49(2014安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A ）321+ （B ）318+ （C ）21 （D ）18 7 A10. (2014湖北)在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②点评：本题考查空间由已知条件 ，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图，容易题。