工程数学(线性+概率)复习

工程数学（线、概、统）（高本）复习思考题一一、单选题（共40题，每题1.5分）1.如果=M，则=( )1A. 8MB. 2MC. MD. 6M2.已知可逆方阵则A=( )2A. B. C. D.3. 如果n阶方阵A的行列式|A|=0则下列正确的是( )2A. A=OB. r(A)>0C. r(A)<nD. r(A)=04.设，则取值为( )2A. λ=0或λ=-1/3B. λ=3C. λ≠0且λ≠-3D. λ≠05.在下列矩阵中可逆的是( )2A. B. C. D.6. 若齐次线性方程组有非零解,则常数λ=( )3A. 1B. 4C. 2D. 17.n阶方阵A可对角化的充分条件是( )2A. A有n个不同的特征值B. A的不同特征值的个数小于nC. A有n个不同的特征向量D. A有n个线性相关的特征向量8.设二次型的标准形为，则二次型的正惯性指标为( )3A. 2B. -1C. 1D. 39.设A是4阶方阵，且|A|=2，则|-2A|=( )3A. 16B. -4C. -32D. 3210.行列式中元素k的余子式和代数余子式值分别为( )2A. 20，-20B. 20，20C. -20，20D. -20，-2011.已知矩阵A4×4的四个特征值为4，2，3，1，则=( )3A. 2B. 3C. 4D. 2412.n阶方阵A可对角化的充分必要条件是( )2A. A有n个不同的特征值B. A为实对称矩阵C. A有n个不同的特征向量D. A有n个线性无关的特征向量13.行列式中元素y的余子式和代数余子式值分别为( )3A. 2，-2B. –2，2C. 2，2D. -2，-214.矩阵的秩为( )3A. 1B. 3C. 2D. 415.n阶实方阵A的n个行向量构成一组标准正交向量组，则A是( )3A. 对称矩阵B. 正交矩阵C. 反对称矩阵D. |A|=n16.n阶矩阵A是可逆矩阵的充要条件是( )2A. A的秩小于nB. A的特征值至少有一个等于零C. A的特征值都等于零D. A的特征值都不等于零17.设二次型的标准形为，则二次型的秩为( )4A. 2B. -1C. 1D. 318．如果总体服从正态分布，总体的期望和方差未知，在对总体的期望进行检验时要采用的检验方法是( )检验。

工程数学复习资料2020.7线性代数部分一、单选题1. 下列各式正确的是（ ）。

A 、a b cd d c b a =B 、cda b d c b a =C 、ba d c dc b a =D 、db ac dc b a =2. 行列式=987654321（ ）。

A 、-1B 、0C 、1D 、23. =k h g f e d c b a λλλλλλλλλ（ ）khg f ed c b a 。

A 、0λ B 、1λ C 、2λ D 、3λ4. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，=*A （ ）。

A 、-1B 、1C 、-2D 、25. 若行列式010143≠-a aa ，则（ ）。

A 、1≠aB 、3≠aC 、4≠aD 、1≠a 且3≠a6. 若行列式nnn n nna a a a a a a a a D 212222111211=，ij A 为元素ij a 的代数余子式，下列各式正确的是（ ）。

A 、kj nj ijA aD ∑==1 ，k i ≠ B 、kj nj ij A a D ∑==1 ，k i =C 、jk nj jiA aD ∑==1，k i ≠ D 、jk nj ji A a ∑==10 ，k i =7. =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛87654321（ ）。

A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛41026 B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12381C 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛121021 D 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛121086 8. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a λλλλλλλλλ=（ ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a 。

A 、0λ B 、1λ C 、2λ D 、3λ9. n⎪⎪⎭⎫⎝⎛1011 =（ ）。

A 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛101n B 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛101n C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n 011 D 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111n10. n⎪⎪⎭⎫⎝⎛1101 =（ ）。

工程数学 复习题 填空题1．设A 是2阶矩阵，且9=A ，='-)(31A ．2．已知齐次线性方程组0=AX 中A 为53⨯矩阵，且该方程组有非零解，则≤)(A r ．3．2.0)(,5.0)(==A B P A P ，则=+)(B A P ．4．若连续型随机变量X 的密度函数的是⎩⎨⎧≤≤=其它,010,2)(x x x f ，则=)(X E ．5．若参数θ的两个无偏估计量1ˆθ和2ˆθ满足)ˆ()ˆ(21θθD D >，则称2ˆθ比1ˆθ更 ．单项选择题1．设B A ,都是n 阶矩阵)1(>n ，则下列命题正确的是（ ）．A . 若AC AB =，且0≠A ，则C B = B . 2222)(B AB A B A ++=+C . A B B A '-'='-)(D . 0=AB ，且0≠A ，则0=B 2．在下列所指明的各向量组中，（ ）中的向量组是线性无关的． A . 向量组中含有零向量B . 任何一个向量都不能被其余的向量线性表出C . 存在一个向量可以被其余的向量线性表出D . 向量组的向量个数大于向量的维数3．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211102113A ，则A 的对应于特征值2=λ的一个特征向量α=( ) ．A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100 4. 甲、乙二人射击，A B ,分别表示甲、乙射中目标，则AB 表示（ ）的事件． A . 至少有一人没射中 B . 二人都没射中C . 至少有一人射中D . 两人都射中5．设)1,0(~N X ，)(x Φ是X 的分布函数，则下列式子不成立的是（ ）．A . 5.0)0(=ΦB . 1)()(=Φ+-Φx xC . )()(a a Φ=-ΦD . 1)(2)(-Φ=<a a x P6．设321,,x x x 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（ ）是μ无偏估计． A . 321x x x ++ B . 321525252x x x ++ C .321515151x x x ++ D . 321535151x x x ++ 7．对正态总体),(2σμN 的假设检验问题中，U 检验解决的问题是（ ）． A . 已知方差，检验均值 B . 未知方差，检验均值C . 已知均值，检验方差D . 未知均值，检验方差 计算题1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=500050002,322121011B A ，问：A 是否可逆？若A 可逆，求B A 1-．2．线性方程组的增广矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1123132111511求此线性方程组的全部解．3．用配方法将二次型32212322213214242),,(x x x x x x x x x x f ++++=化为标准型，并求出所作的满秩变换．4．两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。

工程数学（一）一、、计算下列行列式： 1、29092280923521534215 =100028092100034215 =10002809206123 =61230002、D n =n 333333333233331 解：D n =n 333333333233331 (把第三列的-1倍加到其余各列) =3n 3030003100302=3n 0030000100002=6(n -3)! (n 3) 二、已知X=AX+B ，其中A= 101111010, B=350211，求X解：(E -A)X=B X=(E -A)-1BE -A= 100010001- 101111010= 201101011,(E -A)-1= 11012312031X= 11012312031 350211=1102133133063931 三、求向量组 1=(1,-2,3,-1,2), 2=(3,-1,5,-3,-1), 3=(5,0,7,-5,-4), 4=(2,1,2,-2,-3)的一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组线性表示出其它向量。

解：令A=( 1T , 2T , 3T , 4T )=~34122531275310122531~242000004840510502531000000000000121025311, 2,为一极大线性无关组，且 3= - 1+2 2, 4=- 1+ 2四、求方程组0x x 0x 0x x 41241的一个基础解系。

解：A= 100100101001~ 200000101001~100000100001 同解方程组是： 0x x x 0x 0x 43321 所以基础解系是：0100五、已知线性方程组 2x x 3x 3x 4x 5b x 6x 2x 2x 0x 3x x x 2x 3ax x x x x 5432154325432154321，问a,b 为何值时,方程组有解?并求其通解。

大二上学期末工程数学进阶知识点速查在大二上学期末复习工程数学时，有很多进阶知识点需要我们重点掌握。

这些知识点对于我们的学习和应用都非常重要，因此在复习时需要有针对性地进行整理和归纳。

下面就是一些大二上学期末工程数学进阶知识点的速查，希望能够帮助大家更好地复习和掌握这些知识点。

1. 矩阵和行列式矩阵和行列式是工程数学中非常重要的一部分。

在大二上学期末复习时，需要重点掌握矩阵的定义、性质、运算法则以及矩阵的逆和转置等内容。

同时，对于行列式的求解方法和性质也需要进行深入理解和掌握。

2. 线性代数线性代数是工程数学中的基础知识，也是大二上学期末复习的重点内容之一。

在复习时，需要对向量、矩阵、线性方程组、特征值和特征向量等知识点进行系统地梳理和总结。

3. 概率论与数理统计概率论与数理统计是工程数学中的一门重要课程，也是大二上学期末复习的难点之一。

在复习时，需要对概率的基本概念、常见概率分布、随机变量的性质，以及统计推断的基本方法和原理等内容进行深入地学习和掌握。

4. 微分方程微分方程是工程数学中的核心内容之一，也是大二上学期末复习的难点和重点。

在复习时，需要对常微分方程和偏微分方程的基本理论、解法和应用进行系统地梳理和总结。

5. 多元函数多元函数是工程数学中的重要内容之一，也是大二上学期末复习的重点知识。

在复习时，需要对多元函数的概念、偏导数、全微分、方向导数、梯度、散度和旋度等知识点进行深入地学习和掌握。

以上就是一些大二上学期末工程数学进阶知识点的速查，希望能够帮助大家更好地复习和掌握这些知识点，取得更好的学习成绩。

希望大家在复习过程中有所收获，顺利通过工程数学的考试。

第一章随机事件与随机事件的概率本章考核内容小结（一）了解随机事件的概率的概念，会用古典概型的计算公式M”砲含的基本車件数）2（基本事件总勲）计算简单的古典概型的概率（不返回抽样、返回抽样）（二）知道事件的四种关系（1）包含：表示事件A发生则事件B必发生（2）相等詞=E Q詞二召曰E!□■也（3）互不相容：与B互不相容（4）对立：A与B对立nAB=①，且A+B=Q（三）知道事件的四种运算（1）事件的和（并）A+B表示A与B中至少有一个发生性质：（1）若，则A+B=A（2）且丄+丑二苏（2）事件积（交）AB表示A与B都发生性质：（1）若川二万，则AB=B,A+B=A QB=B且''（2）月n独Qn朋（3）事件的差：A-B表示A发生且B不发生・•・）-&二屈，且A-B=A-AB （4）刁表示A不发生性质4+4=中（四）运算关系的规律（1）A+B=B+A，AB=BA叫交换律（2）（A+B）+C=A+（B+C）（AB）C=A（BC）叫结合律（3）A（B+C）=AB+AC（A+B）（A+C）=A+BC叫分配律⑷A+B=AB^AB=A+B叫对偶律(五)掌握概率的计算公式(1)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)特别情形①A与B互斥时：P(A+B)=P(A)+P(B)②A与B独立时：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)推广：F（朋⑷尸忙宓）推广P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)(2) (3) X 〜B (n,p )=P (x=k )= x 〜p ⑴n P (x=k )=划迅-戸y当事件独立时，P (AB )=P (A )P (B )P (ABC )=P (A )P (B )P (C )P (ABCD )=P (A )P (B )P (C )P (D )性质若A 与B 独立与B ,A 与万，力与万均独立(六) 熟记全概率公式的条件和结论=F 仏月十凡启十彰)=尸帆启)+F ■仏丘)+0帆丘)若A 1?A 2,A 3是。

工程数知识点总结工程数学是工程领域中的一门基础学科，它是数学的一个分支，旨在为工程问题建立数学模型，并使用数学方法解决工程中的问题。

工程数学的研究内容非常广泛，包括微积分、线性代数、概率统计、离散数学等多个方面的知识。

本文将从工程数学的基本概念和基本原理出发，系统地介绍工程数学的各个知识点。

一、微积分微积分是工程数学中最重要的一个分支，它是研究函数的极限、导数、积分和级数的数学方法。

在工程领域中，微积分被广泛应用于求解各种问题，包括曲线的长度、曲线下面积、物体的体积和表面积、动力学分析、电路分析等。

因此，对微积分的学习是工程学生的必修课程。

1.1 函数的极限与连续性几乎所有的微积分知识都是建立在函数的极限和连续性基础上的。

函数的极限是描述函数在某一点附近的变化趋势，它是微积分的基本概念。

函数在某一点处的极限存在的充分必要条件是函数在该点处连续。

因此，函数的连续性也是微积分中的重要内容。

1.2 导数与微分导数是描述函数在某一点处的变化率，它是微积分的重要概念。

在工程中，导数被广泛应用于求解问题的最优解，如最小化成本、最大化收益等。

微分是导数的一种近似表达，它被应用在函数近似和微分方程的求解中。

1.3 积分与不定积分积分是描述函数下方的面积，它是微积分的另一重要概念。

在工程领域中，积分被广泛应用于求解曲线下的面积、物体的体积和表面积等。

不定积分是积分的一种形式，它是积分的反运算，常用于求解不定积分方程。

1.4 微分方程微分方程是描述自变量和因变量及其导数之间关系的方程，它是微积分在实际问题中的应用。

在工程领域中，微分方程被广泛应用于描述动力学系统、电路系统、热传导系统、弹性系统等，因此它是工程数学中非常重要的知识点。

二、线性代数线性代数是研究向量空间和线性变换的数学方法，它是工程数学中的另一个重要分支。

在工程问题中，线性代数被广泛应用于解决线性方程组、矩阵运算、特征值和特征向量等问题，因此对线性代数的学习也是工程学生的必修课程。

《工程数学》（概率统计）期末复习提要工科普专的《工程数学》（概率统计）课程的内容包括《概率论与数理统计》（王明慈、沈恒范主编，高等教育出版社）教材的全部内容 . 在这里介绍一下教学要求，供同学们复习时参考 .第一部分：随机事件与概率⒈了解随机事件的概念学习随机事件的概念时，要注意它的两个特点：⑴在一次试验中可能发生，也可能不发生，即随机事件的发生具有偶然性；⑵在大量重复试验中，随机事件的发生具有统计规律性 .⒉掌握随机事件的关系和运算，掌握概率的基本性质要了解必然事件、不可能事件的概念，事件间的关系是指事件之间的包含、相等、和、积、互斥（互不相容）、对立、差等关系和运算 .在事件的运算中，要特别注意下述性质：概率的主要性质是指：①对任一事件，有③对于任意有限个或可数个事件，若它们两两互不相容，则⒊了解古典概型的条件，会求解简单的古典概型问题在古典概型中，任一事件的概率为其中是所包含的基本事件个数，是基本事件的总数 .⒋熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，理解条件概率，掌握全概公式⑴加法公式：对于任意事件，有特别地，当时有⑵条件概率：对于任意事件，若，有称为发生的条件下发生条件概率 .⑶乘法公式：对于任意事件，有（此时），或（此时） .⑷全概公式：事件两两互不相容，且，则⒌理解事件独立性概念，会进行有关计算若事件满足（当时），或（当时），则称事件与相互独立 . 与相互独立的充分必要条件是.第二部分：随机变量极其数字特征⒈理解随机变量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函数的概念，掌握有关随机变量的概率计算常见的随机变量有离散型和连续型两种类型 . 离散型随机变量用概率分布来刻画，满足：连续型随机变量用概率密度函数来刻画，满足：随机变量的分布函数定义为对于离散型随机变量有对于连续型随机变量有⒉了解期望、方差与标准差的概念，掌握求随机变量期望、方差的方法⑴期望：随机变量的期望记为，定义为（离散型随机变量，是的概率分布），（连续型随机变量，是的概率密度） .⑵方差：随机变量的方差记为，定义为（离散型随机变量），（连续型随机变量） .⑶随机变量函数的期望：随机变量是随机变量的函数，即，若存在，则在两种形式下分别表示为（离散型随机变量，是的概率分布），（连续型随机变量，是的概率密度），由此可得方差的简单计算公式⑷期望与方差的性质①若为常数，则；②若为常数，则；③若为常数，则.⒊掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差，熟练掌握正态分布的概率计算，会查正态分布表（见附表）常用分布：⑴二项分布的概率分布为特别地，当时，，叫做两点分布；⑵均匀分布的密度函数为⑶正态分布的密度函数为其图形曲线有以下特点：① ，即曲线在x 轴上方；② ，即曲线以直线为对称轴，并在处达到极大值；③在处，曲线有两个拐点；④当时，，即以轴为水平渐近线；特别地，当时，，表示是服从标准正态分布的随机变量 .将一般正态分布转化为标准正态分布的线性变换：若，令，则，且Y 的密度函数为服从标准正态分布的随机变量的概率为那么一般正态分布的随机变量的概率可以通过下列公式再查表求出常见分布的期望与方差：二项分布：；均匀分布：；正态分布：；⒋了解随机变量独立性的概念，了解两个随机变量的期望与方差及其性质对于随机变量，若对任意有则称与相互独立 .对随机变量，有若相互独立，则有第三部分：统计推断⒈理解总体、样本，统计量等概念，知道分布，分布，会查表所研究对象的一个或多个指标的全体称为总体，组成整体的基本单位称为个体，从总体中抽取出来的个体称为样品，若干个样品组成的集合称为样本 . 样本中所含的样品个数称为样本容量 .统计量就是不含未知参数的样本函数 .⒉掌握参数的最大似然估计法最大似然估计法：设是来自总体（其中未知）的样本，而为样本值，使似然函数达到最大值的称为参数的最大似然估计值 . 一般地，的最大似然估计值满足以下方程⒊了解估计量的无偏性，有效性概念参数的估计量若满足则称为参数的无偏估计量 .若都是的无偏估计，而且，则称比更有效 .⒋了解区间估计的概念，熟练掌握方差已知条件下单正态总体期望的置信区间的求法，掌握方差未知条件下单正态总体期望的置信区间的求法当置信度确定后，方差已知条件下单正态总体期望的置信区间是其中是总体标准差，是样本均值，是样本容量，由确定 .方差未知条件下单正态总体期望的置信区间是其中称为样本标准差，满足.⒌知道假设检验的基本思想，掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验方法单正态总体均值的检验方法包括检验法和检验法：⑴ 检验法：设是正态总体的一个样本，其中未知，已知 . 用检验假设（是已知数），。

2022年自考27391工程数学(线性代数\复变函数)复习资料2022年自考27391工程数学(线性代数\复变函数)复习资料线性代数部分本课程考试采纳教材：《工程数学——线性代数》〔附大纲〕，申亚男、卢刚主编，外语教学与讨论出版社，2022年版。

考试的重点内容第一章行列式1.行列式的定义了解行列式的定义，掌控行列式的余子式与代数余子式，牢记上〔下〕三角行列式的计算公式，掌控用行列式定义计算含0特别多或结构非常的行列式。

2.行列式的性质理解行列式的性质，会用行列式性质化简行列式。

3.行列式按一行〔或一列〕开展娴熟掌控行列式按一行〔或一列〕开展的方法计算行列式。

第二章矩阵1.矩阵的概念理解矩阵的概念，掌控非常的方阵：上〔下〕三角形矩阵、对角矩阵和单位矩阵、对称矩阵和反对称矩阵。

2.矩阵的运算娴熟掌控矩阵的线性运算〔加法及数乘〕、乘法、方阵的方幂、转置等运算。

3.可逆矩阵4.矩阵的初等变换与初等矩阵娴熟掌控矩阵的初等变换，理解初等矩阵和初等变换的关系，会用初等行变换法求可逆矩阵的逆矩阵。

5.矩阵的秩知道矩阵的秩的定义，会用初等行变换求矩阵的秩。

第三章向量空间1.维向量空间2.向量间的线性关系会判断向量组的线性相关或线性无关，将给定的向量由向量组线性表出。

3.向量组的极大线性无关组掌控用矩阵的初等行变换求向量组的极大线性无关组。

4.向量组的秩与矩阵的秩掌控用矩阵的初等行变换求向量组的秩或矩阵的秩。

第四章线性方程组1.齐次线性方程组会判断齐次线性方程组是否有非零解，娴熟掌控用初等行变换求齐次线性方程组的基础解系及其通解。

2.非齐次线性方程组会判断非齐次线性方程组解的状况〔无解、有唯一解、有无穷解〕，娴熟掌控用初等行变换求非齐次线性方程组的通解。

第五章矩阵的相像对角化1.特征值与特征向量理解特征值与特征向量的定义，掌控求特征值与特征向量的方法。

2.相像矩阵与矩阵对角化理解矩阵相像的概念，掌控将矩阵化为相像对角矩阵的方法。