2020年九年级数学中考总复习与圆有关的位置关系课时作业同步练习答案解析2019中考真题

2019-2020中考数学圆的有关概念课时练一．选择题1．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm2．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）A．25°B．27.5°C．30°D．35°3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm4．如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（）A．64°B．58°C．32°D．26°5．如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A 上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°6．如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（）A．4 B．2 C．D．27．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（）A．50°B．60°C．80°D．100°8．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°9．如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（）A．B．C．D．10．（2018•威海）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（）A．B．5 C．D．511．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为（）A．6 B．8 C．5 D．512．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（）A．100°B．110°C．120° D．130°13．如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L 通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（）A．﹣2B．﹣2C．﹣8 D．﹣714．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm15．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8二．填空题16．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm．17．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC 于点D，则OD的长为．18．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为．19．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O 的半径为．三．解答题20．如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB=120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少B走了多少步？（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：≈1.732，π取3.142）21．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．答案提示1．【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM===3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC===4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm，在Rt△AMC中，AC===2cm．故选：C．2．【分析】直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC 度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠A=60°，∠ADC=85°，∴∠B=85°﹣60°=25°，∠CDO=95°，∴∠AOC=2∠B=50°，∴∠C=180°﹣95°﹣50°=35°故选：D．3．【分析】根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度．【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，∴CE=CD=4cm．在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，∴OE==3cm，∴AE=AO+OE=5+3=8cm．故选：A．4．【分析】根据垂径定理，可得=，∠OEB=90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据直角三角形的性质，可得答案．【解答】解：如图，由OC⊥AB，得=，∠OEB=90°．∴∠2=∠3．∵∠2=2∠1=2×32°=64°．∴∠3=64°，在Rt△OBE中，∠OEB=90°，∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°，故选：D．5．【分析】连接DC，利用三角函数得出∠DCO=30°，进而利用圆周角定理得出∠DBO=30°即可．【解答】解：连接DC，∵C（，0），D（0，1），∴∠DOC=90°，OD=1，OC=，∴∠DCO=30°，∴∠OBD=30°，故选：B．6．【分析】根据垂径定理得到CH=BH，=，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出BH，计算即可．【解答】解：∵OA⊥BC，∴CH=BH，=，∴∠AOB=2∠CDA=60°，∴BH=OB•sin∠AOB=，∴BC=2BH=2，故选：D．7．【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．【解答】解：圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°，故选：D．8．【分析】由图可知，OA=10，OD=5．根据特殊角的三角函数值求角度即可．【解答】解：由图可知，OA=10，OD=5，在Rt△OAD中，∵OA=10，OD=5，AD=，∴tan∠1=，∠1=60°，同理可得∠2=60°，∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，∴圆周角的度数是60°或120°．故选：D．9．【分析】根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长．【解答】解：设OA与BC相交于D点．∵AB=OA=OB=6∴△OAB是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA平分BC，利用勾股定理可得BD==3所以BC=6．故选：A．10．【分析】连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB即可．【解答】解：连接OC、OA，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵AB为弦，点C为的中点，∴OC⊥AB，在Rt△OAE中，AE=，∴AB=，故选：D．11．【分析】延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD 知∠BOE=∠COD，据此可得BE=CD=6，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．【解答】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB+∠BOE=180°，又∵∠AOB+∠COD=180°，∴∠BOE=∠COD，∴BE=CD=6，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∴AB===8，故选：B．12．【分析】根据互补得出∠AOC的度数，再利用圆周角定理解答即可．【解答】解：∵∠BOC=40°，∴∠AOC=180°﹣40°=140°，∴∠D=，故选：B．13．【分析】连接AC，根据线段垂直平分线的性质得到AC=BC，根据勾股定理求出OA，得到答案．【解答】解：连接AC，由题意得，BC=OB+OC=9，∵直线L通过P点且与AB垂直，∴直线L是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC=9，在Rt△AOC中，AO==2，∵a＜0，∴a=﹣2，故选：A．14．【分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm，在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8，在Rt△EBC中，BC=，∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°，∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴，即，解得：OF=，故选：D．15．【分析】根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式求出OD，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵半径OC垂直于弦AB，∴AD=DB=AB=，在Rt△AOD中，OA2=（OC﹣CD）2+AD2，即OA2=（OA﹣1）2+（）2，解得，OA=4∴OD=OC﹣CD=3，∵AO=OE，AD=DB，∴BE=2OD=6，故选：B．16．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD 在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF﹣OE=2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AF=8cm，CE=6cm，∵OA=OC=10cm，∴OF=6cm，OE=8cm，∴EF=OF+OE=14cm．∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．故答案为：2或14．17．【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可根据勾股定理计算出AC=4，再根据垂径定理得到BD=CD，则可判断OD为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC==4，∵OD⊥BC，∴BD=CD，而OB=OA，∴OD为△ABC的中位线，∴OD=AC=×4=2．故答案为2．18．【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可．【解答】解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：在CB的垂直平分线上找到一点D，CD═DB=DA=，所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，即D的坐标为（﹣1，﹣2），故答案为：（﹣1，﹣2），19．【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE=CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．20．【分析】作OC⊥AB于C，如图，根据垂径定理得到AC=BC，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A=30°，则OC=10，AC=10，所以AB≈69（步），然后利用弧长公式计算出的长，最后求它们的差即可．【解答】解：作OC⊥AB于C，如图，则AC=BC，∵OA=OB，∴∠A=∠B=（180°﹣∠AOB）=（180°﹣120°）=30°，在Rt△AOC中，OC=OA=10，AC=OC=10，∴AB=2AC=20≈69（步）；而的长=≈84（步），的长与AB的长多15步．所以这些市民其实仅仅少B走了15步．21．【分析】（1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）设CD=x，连接BD．利用勾股定理构建方程即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE，∵AE=EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC=AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD=x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，解得x=1或﹣8（舍弃）∴AC=8，BD==，=8．∴S菱形ABFC•π•42=8π．∴S半圆=。

九年级中考数学与圆有关的位置关系专题练习基础练1. 在平面直角坐标系中，⊙P的半径是2，点P(0，n)在y轴上移动，当⊙P与x轴相交时，n的取值范围是( )A. n＜2B. n＞2C. n＜－2D. －2＜n＜22. (2020重庆A卷)如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠B＝20°，则∠AOB的度数为( )第2题图A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°3. (2020天水)如图所示，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC，BC，若∠P＝70°，则∠ACB的度数为( )第3题图A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°4. (2020温州)如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D，若⊙O的半径为1，则BD的长为( )第4题图23A. 1B. 2C.D.5. (2020湘西州)如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O 于点D.下列结论不一定成立的是( )第5题图A. △BPA为等腰三角形B. AB与PD相互垂直平分C. 点A、B都在以PO为直径的圆上D. PC为△BPA的边AB上的中线6. (2020南京)如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC 的顶点C，与BC相交于点D.若⊙P的半径为5，点A的坐标是(0，8)，则点D的坐标是( )第6题图A. (9，2)B. (9，3)C. (10，2)D. (10，3)7. (人教九上P93练习第2题)如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，且AD＝DC，则∠ABD的度数为________．第7题图8. (2020泰州)如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4 cm，O为直线b上一动点，若以1 cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为________cm.第8题图9. (2018江西模拟)如图，已知AP为△ABC的中线，∠C＝90°，E为边AB上一点，以AE为直径作⊙O，⊙O与BC相切于点D，与AC交于点F.请你仅用无刻度的直尺按要求作图(保留作图痕迹，不写作法)．(1)在图①中，确定圆心O的位置；(2)在图②中，确定AF 的中点M 的位置．第9题图10. (2020北京)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，OF ⊥AD 于点E ，交CD 于点F .(1)求证：∠ADC ＝∠AOF ；(2)若sin C ＝，BD ＝8，求EF 的长．13第10题图11. (2020广东省卷)如图①，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB ＝90°，AB 是⊙O 的直径，CO 平分∠BC D.(1)求证：直线CD 与⊙O 相切；(2)如图②，记(1)中的切点为E ，P 为优弧上一点，AD ＝1，BC ＝2.求tan ∠APE 的值．AE ︵第11题图巩固练312. (2020东营)如图，在Rt△AOB中，OB＝2，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(其中点Q为切点)，则线段PQ长度的最小值为________．第12题图13. (2020滨州)如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F、G、H，ED与⊙O相交于点M，则sin∠MFG的值为________．第13题图14. (2020上海)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，⊙O的半径为2，如果⊙O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO的长取值范围是________．第14题图15. (2020宁波)如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点(不与点A重合)，过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连接OC，A C.当△OAC是直角三角形时，其斜边长为________．第15题图16. (2020江西样卷一)如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝BD ，DO 交⊙O 于点F ，点E 是线段OF 上一动点，连接BE 并延长交⊙O 于点C ，连接AC ，tan ∠ABC 的值会随着点E 的运动而发生变化．(1)如图①，当tan ∠ABC ＝，AC ∥OE 时，求证：BD 是⊙O 的切线；12(2)如图②，当tan ∠ABC ＝1，直线BD 与⊙O 相切，AB ＝4时，①求CD 的长；②求的值．EF OE第16题图参考答案1. D2. D 【解析】∵AB 是⊙O 的切线，∴∠OAB ＝90°，∴∠AOB ＝90°－∠B ＝90°－20°＝70°.3. B 【解析】如解图，连接OA ，0B.∵PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°，∵∠P ＝70°，∴∠AOB ＝180°－70°＝110°，∴∠ACB ＝∠AOB ＝55°.12第3题解图4. D 【解析】如解图，连接OB ，∵四边形OABC 是菱形，∴AB ＝OA ，又∵OA ＝OB ，∴△OAB 为等边三角形，∴∠AOB ＝60°，∵BD 是⊙O 的切线，∴∠DBO ＝90°，∵OB ＝1，∴BD ＝OB ＝.33第4题解图5. B　【解析】如解图，连接OB，OA，令M为OP中点，连接MA，MB，∵B，A为切点，∴∠OBP ＝∠OAP＝90°，∵OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△OPB≌Rt△OPA，∴BP＝AP，∠OPB＝∠OPA，∠BOC＝∠AOC，∴△BPA为等腰三角形，∴PC垂直平分AB，故A、D正确；∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，∴PM＝OM＝BM＝AM，∴点A、B都在以PO为直径的圆上，故C正确；无法证明AB垂直平分PD，故B错误．第5题解图6. A 【解析】设⊙P与y轴切点为N，与x轴切点为M，连接PN、PM，延长NP交CD于点E，得矩形ANEC，∴CE＝DE，∵OA＝8，PM＝PN＝5，∴DE＝CE＝AN＝8－5＝3，∴DB＝8－6＝2 ，连接PC2－CE252－32PC，由勾股定理可得：PE＝＝＝4，∴OB＝OM＋BM＝OM＋PE＝5＋4＝9，∴D点的坐标为(9，2)．第6题解图7. 45°　【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵BC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.∵AD＝DC，∴BD＝A D.∴△ADB为等腰直角三角形．∴∠ABD＝45°.8. 3或5　【解析】当圆在直线a的左边时，PO＝PH－OH＝4－1＝3；当圆在直线a的右边时，PO ＝PH＋OH＝4＋1＝5.9. 解：(1)作图如解图①，点O即为所求；(2)作图如解图②，点M即为所求．图①图②第9题解图10. (1)证明：如解图，连接OD ，∵CD 是⊙O 的切线，∴CD ⊥OD ，∴∠ODA ＋∠ADC ＝90°.∵OF ⊥AD ，∴∠DOF ＋∠ODA ＝90°，∴∠ADC ＝∠DOF .∵OD ＝OA ，OF ⊥AD∴OF 平分∠AOD ，∴∠AOF ＝∠DOF ，∴∠ADC ＝∠AOF ；第10题解图(2)解：设半径为r ，在Rt △OCD 中，sin C ＝，13∴＝.OD OC 13∴OD ＝r ，OC ＝3r .∴AC ＝OC －OA ＝2r .∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.又∵OF ⊥AD ，∴OF ∥B D.∴△AOE ∽△ABD ，∴＝＝.OE BD AO AB 12∴OE ＝4.同理得＝＝，OF BD OC BC 34∴OF ＝6.∴EF ＝OF －OE ＝2.11. (1)证明：如解图①，过点O 作OE ⊥CD 于点E ，∵AD ∥BC ，∠DAB ＝90°，∴∠ABC ＝90°，又∵CO 平分∠BCD ，∴OE ＝O B.∴CD 为⊙O 的切线；第11题解图①(2)解：如解图②，连接BE ，AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F .由题意得∠APE ＝∠ABE ，DE ＝AD ＝1，CE ＝CB ＝2，∵AD ∥BC ，∴△AED ∽△FEC ，∴＝＝，AE FE DE CE 12∵AB 是⊙O 的直径，∴BE ⊥AF ，∴∠ABE ＋∠BAE ＝90°，∠ABE ＋∠FBE ＝90°，∴∠BAE ＝∠FBE ，∴△ABE ∽△BFE ，∴＝＝，AE BE BE FE BE 2AE即＝，AE BE 22∴tan ∠APE ＝tan ∠ABE ＝＝.AE BE 22第11题解图②12. 2　【解析】如解图，连接OP 、OQ ，∵OB ＝2，∠A ＝30°，∴AO ＝6，AB ＝4，∵PQ 是233⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ，∴PQ ＝，∵OQ 是半径为定值，故当OP 最小时PQ 可取得最小OP 2－OQ 2值，设此时圆心为O ′，又∵OP ⊥AB 时取得最小值，此时PQ 值最小；当O ′P ⊥AB 时可证得△AOB ∽△APO ′，∴＝，∴O ′P ＝3，∴PQ 的最小值为＝2.AB AO ′OB PO ′32－122第12题解图13. 【解析】如解图，连接OE ，OF ，OG ，OH ，MG ，∵⊙O 是正方形ABCD 的内切圆，切点分55别为E ，F ，G ，H ，∴BE ＝BF ，BE ⊥BF ，OE ⊥BE ，OF ⊥BF ，∴四边形OEBF 是正方形，同理可证四边形OFCG 、四边形OGDH 、四边形OHAE 都是正方形，∴E 、O 、G 三点共线，DG ＝EG ，∠EGD ＝90°，12∵ED 与⊙O 相交于点M ，∴∠MFG ＝∠DEG ，设DG ＝x ，则EG ＝2x ，ED ＝ ＝ x ，∴sin DG 2＋EG 25∠MFG ＝sin ∠DEG ＝＝＝.DG ED x 5x 55第13题解图14.＜AO ＜　【解析】在矩形ABCD 中，∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10，∴sin ∠CAD ＝＝，10320361035如解图①，当⊙O 与AD 相切于点E 时，连接OE ，则OE ⊥AD ，在Rt △AOE 中，sin ∠CAD ＝＝，OE 35OE AO＝2，∴AO ＝；如解图②，当⊙O 与BC 相切于点F 时，同理可得OC ＝，∴AO ＝10－＝，∴103103103203103＜AO ＜.203图①图②第14题解图15. 2或2　【解析】如解图①，当∠AOC ＝90°时，∵BC ＝OA ＝2，又∵BC 是⊙O 的切线，∴23∠OBC ＝90°，∴OC ＝2，∴AC ＝＝＝2；如解图②，当∠OAC ＝90°时，即B 2OA 2＋OC 222＋（22）23与A 关于OC 对称，OC ＝＝＝2，∴斜边长为2或2.OB 2＋BC 222＋22223图①图②16. (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C ＝90°.∵tan ∠ABC ＝，12∴AC ＝B C.12∵AC ∥OD ，∴OD ⊥B C.∴BE ＝BC ，∴AC ＝BE .12∵AB ＝DB ，∴Rt △ACB ≌Rt △BE D.∴∠A ＝∠DBE .∵∠A ＋∠ABC ＝90°，∴∠DBE ＋∠ABC ＝90°，即∠DBO ＝90°，又∵OB 是⊙O 的半径，∴BD 是⊙O 的切线；(2)解：①∵直线BD 是⊙O 的切线，∴∠ABD ＝90°，∵tan ∠ABC ＝1，AB 是直径，∴∠ABC ＝45°，在Rt △ABC 中，AC ＝AB ·sin45°＝2.2∴∠DBC ＝45°，∴∠ABC ＝DB C.∵AB ＝BD ，BC ＝BC ，∴△ABC ≌△DB C.∴CD ＝AC ＝2；2②如解图，连接CO ，过点E 作EG ⊥AB 于点G .由①知△ABC ≌△DBC ，∠ACB ＝∠DCB ＝90°，∴∠ACB ＋∠DCB ＝180°.∴A ，C ，D 三点共线．∵OA ＝OB ，AC ＝DC ，∴OC 是△ABD 的中位线．∴OC ∥B D.∴＝＝.CE EB CO DB 12∴EB ＝BC ＝×2＝，∴EG ＝GB ＝.2323242343∴OG ＝OB －BG ＝.23∴OE ＝＝.OG 2＋EG 2253∴EF ＝OF －OE ＝2－.253∴＝－1.EF OE 355。

专项训练一：直线与圆的位置关系名师点金：直线与圆的位置关系有相离、相切、相交三种情况，考查方向主要体现在：根据已知条件判断直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系求值或取值范围，有关直线与圆的位置关系的动态探究等．根据d与r的大小关系判断直线与圆的位置关系1．(中考·江西)在平面直角坐标系中，以点(2，3)为圆心，2为半径的圆必定( )A．与x轴相离，与y轴相切B．与x轴、y轴都相离C．与x轴相切，与y轴相离D．与x轴、y轴都相切2．已知⊙O的半径为2，圆心O到直线AB的距离为d，且方程x2－2x＋d＝0没有实数根，试确定直线AB与⊙O的位置关系．根据直线与圆的位置关系求值或取值范围3．如图，⊙P的半径为2，圆心P是抛物线y＝12x2－1上的点，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为________．(第3题)4．如图，直线l与⊙O相交于A，B两点，且与半径OC垂直，垂足为H，已知AB＝16 cm，cos∠OBH＝4 5 .(1)求⊙O的半径；(2)如果要将直线l向下平移到与⊙O相离的位置，平移的距离应满足什么条件？(第4题)有关直线与圆的位置关系的动态探究5．如图①，在四边形ABCD中，∠D＝∠C＝90°，AB＝4，BC＝6，AD＝8.点P，Q同时从A点出发，分别做匀速运动，其中点P沿AB，BC向终点C运动，速度为每秒2个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位．当这两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．设这两点运动了t秒．(第5题)(1)动点P与Q哪一点先到达终点？此时t为何值？(直接写出结果)(2)当0＜t＜2时，求证：以PQ为直径的圆与AD相切(如图②)．(3)以PQ为直径的圆能否与CD相切？若能，求出t的值或取值范围；若不能，请说明理由．专项训练二：证明切线的技巧名师点金：有关切线的证明分两种情况：一是直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”；二是直线和圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”．已知半径，证明垂直1．如图，已知⊙O的半径OB＝1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于点B，四边形BCOE是平行四边形．(1)求AD的长．(2)BC是⊙O的切线吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．(第1题)连半径，证垂直类型1：连一条半径证垂直2．如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE ⊥AC，垂足为点E.(1)求证：点D是AB的中点；(2)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．(第2题)类型2：连两条半径证垂直3．(中考·玉林)如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连结AD交BC于点F，若AC＝FC.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若BF＝8，DF＝40，求⊙O的半径r.(第3题)作垂直，证半径4．如图，AB＝AC，D为BC的中点，⊙D与AB切于E点．求证：AC与⊙D相切．(第4题)专项训练三：切线性质的应用名师点金：在应用切线的性质时，如果只有切线，没有半径，就要添加辅助线——连结过切点的半径，则此半径必垂直于切线．应用切线的性质能解决几何计算与证明中的有关问题．利用切线的性质求线段的长度1．如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB 于D.若PC＝4，⊙O的半径为3，求OD的长．(第1题)利用切线的性质求角的度数2．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于C，AE⊥CD于E，BC的延长线与AE 的延长线交于F，且AF＝BF，求∠A的度数．(第2题)利用切线的性质证明线段相等3．如图，AB是⊙O的直径，CO⊥AB，CD切⊙O于D，AD交CO于E.求证：CD ＝CE.(第3题)利用切线的性质证明角相等4．如图，AB是⊙O的直径，BD切⊙O于点B，延长AB到C，使BC＝OB，过点C作⊙O的切线，E为切点，与BD交于点F，AE的延长线交BD于点D.求证：∠D＝∠DFE.(第4题)答案专项训练一1．A2．解：∵方程x 2－2x ＋d ＝0没有实数根，∴(－2)2－4d ＜0，即d ＞1.当1＜d ＜2时，直线AB 与⊙O 相交；当d ＝2时，直线AB 与⊙O 相切；当d ＞2时，直线AB 与⊙O 相离．3．(6，2)或(－6，2)点拨：当⊙P 与x 轴相切时，由⊙P 的半径为2，且圆的切线垂直于过切点的半径，可得P 点纵坐标为2；又P 在抛物线y ＝12x 2－1上，故将y ＝2代入得：2＝12x 2－1，解得：x 1＝6，x 2＝－ 6. 4．解：(1)∵直线l 与半径OC 垂直，∴HB ＝12AB ＝12×16＝8(cm)． ∵cos ∠OBH ＝HB OB ＝45，∴OB ＝54HB ＝54×8＝10(cm)，即⊙O 的半径为10 cm. (2)在Rt △OBH 中，OH ＝OB 2－HB 2＝102－82＝6(cm)．∴CH ＝OC －OH ＝10－6＝4(cm)．∴将直线l 向下平移到与⊙O 相离的位置时，平移的距离必须大于4 cm.5．(1)解：点P 先到达终点，此时t ＝5.(2)证明：如图，过点B 作BM ⊥AD ，垂足为M ，设圆与AB 交于N ，易得AM ＝2.(第5题)又∵AB＝4，∴∠A＝60°.连结QN，∵PQ为直径，∴∠QNP＝90°，∴∠NQA＝30°.∵AQ＝t，AP＝2t，∴AN＝12t，∴PN＝32t，NQ＝32t，∴PQ＝PN2＋NQ2＝3t.∴AQ2＋PQ2＝AP2.∴△APQ为直角三角形，且∠AQP＝90°.∴以PQ为直径的圆与AD相切．(3)解：能．设圆心为F，作FE⊥CD于E，PH⊥AD于H.∵CP＝10－2t，DQ＝8－t，∴EF＝12(CP＋DQ)＝12(18－3t)，PQ＝2EF＝18－3t.∵PQ2＝PH2＋HQ2，且PH＝AB·sin60°＝23，HQ＝(8－t)－(10－2t)＝t－2，∴(t－2)2＋(23)2＝(18－3t)2.解得t＝13－152或t＝13＋152(舍去)．故当t＝13－152时，以PQ为直径的圆与CD相切．专项训练二1．解：(1)连结BD，∵DE是直径，∴∠DBE＝∠ABD＝90°. ∵四边形BCOE是平行四边形，∴BC∥OE，BC＝OE＝1.在Rt△ABD中，∵C为AD的中点，∴BC＝12AD＝1，∴AD＝2.(2)是，理由如下：∵BC∥OD，BC＝OD，∴四边形BCDO为平行四边形．∵AD为⊙O的切线，∴OD⊥AD，∴四边形BCDO为矩形．∴OB⊥BC.∴BC是⊙O的切线．2．(1)证明：连结CD.∵BC是⊙O的直径，∴CD⊥AB.又∵BC＝AC，∴点D是AB的中点．(2)解：DE与⊙O相切．证明如下：连结OD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.又∵BC＝AC，D是AB的中点，∴∠BCD＝∠ACD.∵DE⊥AC，∴∠ACD＋∠CDE＝90°，∴∠ODC＋∠CDE＝90°，∴OD⊥DE.又∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．3．(1)证明：如图，连结OA，OD，则OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵D为BE 的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODA＋∠OFD＝90°.∴∠OAD＋∠OFD＝90°，∵∠OFD＝∠AFC，∴∠OAD＋∠AFC＝90°.∵AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC，∴∠OAD ＋∠FAC＝90°，即∠OAC＝90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线．(2)解：∵BF＝8，OB＝r，∴OF＝8－r.∵在Rt△OFD中，OD2＋OF2＝DF2，∴r2＋(8－r)2＝(40)2，解得r＝2(舍去)或r＝6.点拨：圆中和中点有关的问题常常结合垂径定理寻找解题方法．(第3题)4．证法一：连结DE，作DF⊥AC，垂足为F.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.又∵BD＝CD，∴△BDE≌△CDF.∴DF＝DE.∴点F在⊙D上．∴AC与⊙D相切．证法二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足．∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠DAB＝∠DAC.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∴点F在⊙D上．∴AC与⊙D相切．专项训练三1．解：连结OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴△OPC为直角三角形．∵PC＝4，r＝3，∴OP＝5.易得OC2＝OD·OP，即5·OD＝9，∴OD＝9 5 .2．解：连结OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.∵AF⊥CD，∴AF∥OC.∴∠A＝∠BOC.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B.∵AF＝BF，∴∠A＝∠B，∴∠BOC＝∠B＝∠OCB.∴∠B＝60°，则∠A＝60°.3．证明：连结OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠CDE＋∠ODA＝90°.∵CO⊥AB，∴∠A＋∠AEO＝90°.∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∴∠CDE＝∠AEO＝∠CED.∴CD＝CE.4．证明：连结OE，∵CE切⊙O于点E，∴OE⊥EC.∵OB＝BC，OB＝OE，∴在Rt△OEC中，OC＝2OE，∴∠C＝30°，∴∠COE＝60°.∴∠A＝12∠COE＝30°.∵BD切⊙O于点B，∴AB⊥BD.在Rt△ABD中，∠D＝90°－∠A＝60°.在Rt△FBC中，∠BFC＝90°－∠C＝60°.∴∠DFE＝∠BFC＝60°. ∴∠D＝∠DFE.。

考点20.与圆有关的位置关系及计算（精讲）【命题趋势】与圆相关的位置关系也是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。

关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。

【知识清单】1：点、直线与圆的位置关系类（☆☆）1）点和圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：图1图2(1)d<r⇔点在⊙O内，如图1；(2)d=r⇔点在⊙O上，如图2；(3)d>r⇔点在⊙O外，如图3．解题技巧：掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系。

2）直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下：图1图2图3(1)d>r⇔相离，如图1；(2)d=r⇔相切，如图2；(3)d<r⇔相交，如图3。

2：切线的性质与判定（☆☆☆）1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于经过切点的半径。

解题技巧：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题。

2）切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）；（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（数量关系法）；（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。

切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径。

3）切线长定理定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

24.2点与圆、直线与圆的位置关系18-20年中考真题同步练习（含详细答案）一、选择题1．（2020•桂林）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°2．（2019•益阳）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是()A．PA PB∠=∠C．AB PD⊥D．AB平分PD=B．BPD APD3．（2018•河池）如图，等边△ABC的边长为2，⊙A的半径为1，D是BC上的动点，DE与⊙A相切于E，DE的最小值是（）A．1 B．C．D．24．（2020•徐州）如图，AB是O的弦，点C在过点B的切线上，OC OA∠=︒，BPC⊥，OC交AB于点P．若70则ABC∠的度数等于()A．75︒B．70︒C．65︒D．60︒5．（2020•南京）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若P的半径为5，点A的坐标是(0,8)．则点D的坐标是()A ．(9,2)B ．(9,3)C ．(10,2)D ．(10,3)6．（2019•苏州）如图，AB 为O 的切线，切点为A ，连接AO 、BO ，BO 与O 交于点C ，延长BO 与O 交于点D ，连接AD ．若36ABO ∠=︒，则ADC ∠的度数为( )A ．54︒B ．36︒C ．32︒D ．27︒7．（2018•常州）如图，AB 是O 的直径，MN 是O 的切线，切点为N ，如果52MNB ∠=︒，则NOA ∠的度数为( )A ．76︒B ．56︒C ．54︒D ．52︒8．（2019•阜新）如图，CB 为O 的切线，点B 为切点，CO 的延长线交O 于点A ，若25A ∠=︒，则C ∠的度数是( )A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒9．（2019•泰安）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠A ＝119°，过点C 的圆的切线交BO 于点P ，则∠P 的度数为（ ）A ．32°B ．31°C ．29°D ．61°10．（2020•雅安）如图，ABC ∆内接于圆，90ACB ∠=︒，过点C 的切线交AB 的延长线于点P ，28P ∠=︒．则(CAB ∠= )A ．62︒B ．31︒C ．28︒D ．56︒11．（2019•泸州）如图，等腰ABC ∆的内切圆O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且5AB AC ==，6BC =，则DE 的长是( )A ．31010B ．3105C ．355D ．655二、填空题12．（2020•枣庄）如图，AB 是⊙O 的直径，P A 切⊙O 于点A ，线段PO 交⊙O 于点C ．连接BC ，若∠P ＝36°，则∠B ＝ ．13．（2019•河池）如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠OAB ＝38°，则∠P ＝ °．14．（2019•宿迁）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为 ．15．（2020•苏州）如图，已知AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，连接OC 交O 于点D ，连接BD ．若40C ∠=︒，则B ∠的度数是 ︒．16．（2019•眉山）如图，在Rt AOB ∆中，42OA OB ==O 的半径为2，点P 是AB 边上的动点，过点P 作O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则线段PQ 长的最小值为 ．三、解答题17．（2020•辽阳）（改编）如图，在平行四边形ABCD 中，AC 是对角线，90CAB ∠=︒，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作A ，交BC 边于点E ，交AC 于点F ，连接DE ．求证：DE 与A 相切；18．（2019•营口）如图，在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥，垂足为点E ，以AE 为直径的O 与边CD 相切于点F ，连接BF 交O 于点G ，连接EG ．求证：CD AD CE =+．19．（2020•绵阳）（改编）如图，ABC ∆内接于O ，点D 在O 外，90ADC ∠=︒，BD 交O 于点E ，交AC 于点F ，EAC DCE ∠=∠，CEB DCA ∠=∠，6CD =，8AD =．（1）求证：//AB CD ；（2）求证：CD 是O 的切线；20．（2020•内江）（改编）如图，AB是O的直径，C是O上一点，OD BC⊥于点D，过点C作O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是O的切线；BC=，求线段EF的长；（2）设OE交O于点F，若2DF=，4321．（2020•遂宁）（改编）如图，在Rt ABC∠=︒，D为AB边上的一点，以AD为直径的O交BC于∆中，90ACBQ EP不是直径），点E，交AC于点F，过点C作CG AB⊥交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点(点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为O的切线．（1）求证：BC是O的切线．=．（2）求证：EF ED22．（2020•盘锦）（改编）如图，BC是O的直径，AD是O的弦，AD交BC于点E，连接AB，CD，过点E 作EF AB⊥，垂足为F，AEF D∠=∠．（1）求证：AD BC⊥；（2）若点G在BC的延长线上，连接AG，2∠=∠．求证：AG与O相切；DAG D23．（2020•葫芦岛）如图，四边形ABCD内接于O，AC是直径，AB BC=，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且EDA ACD∠=∠．（1）求证：直线DE是O的切线；（2）若6CD=，求BD的长．AD=，824．（2020•沈阳）如图，在ABC∆中，90∠=︒，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边ACBAB相交于点D，连接DC，当DC为O的切线时．（1）求证：DC AC=；（2）若DC DB=，O的半径为1，请直接写出DC的长为．25．（2020•丹东）（改编）如图，已知ABC∆，以AB为直径的O交AC于点D，连接BD，CBD∠的平分线交O 于点E，交AC于点F，且AF AB=．（1）判断BC所在直线与O的位置关系，并说明理由；（2）若BD=6，2DF=，求O的半径．26．（2019•朝阳）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作O交AB于点F，连接DB交O于点H，E是BC 上的一点，且BE BF=，连接DE．（1）求证：DE是O的切线．DH=，求O的半径．（2）若2BF=，527．（2020•宿迁）如图，在ABC∆中，D是边BC上一点，以BD为直径的O经过点A，且CAD ABC∠=∠．（1）请判断直线AC是否是O的切线，并说明理由；（2）若2CA=，求弦AB的长．CD=，428．（2020•盐城）如图，O是ABC∆的外接圆，AB是O的直径，DCA B∠=∠．（1）求证：CD是O的切线；（2）若DE AB⊥，垂足为E，DE交AC于点F，求证：DCF∆是等腰三角形．29．（2020•邵阳）如图，在等腰ABC∆中，AB AC=，点D是BC上一点，以BD为直径的O过点A，连接AD，CAD C∠=∠．（1）求证：AC是O的切线；（2）若4AC=，求O的半径．30．（2020•张家界）如图，在Rt ABC∠=︒，以AB为直径作O，过点C作直线CD交AB的延长线∆中，90ACB于点D，使BCD A∠=∠．（1）求证：CD为O的切线；（2）若DE平分ADCCE=时，求EF的长．∠，且分别交AC，BC于点E，F，当231．（2020•湘潭）如图，在ABC∆中，AB AC⊥，垂足为=，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作DE AC点E．（1）求证：ABD ACD∆≅∆；（2）判断直线DE与O的位置关系，并说明理由．32．（2020•恩施州）(改编)如图1，AB是O的直径，直线AM与O相切于点A，直线BN与O相切于点B，点C（异于点)A在AM上，点D在O上，且CD CA=，延长CD与BN相交于点E，连接AD并延长交BN于点F．（1）求证：CE是O的切线；（2）求证：BE EF=；答案：一、选择题1．（2020•桂林）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°解：∵AC与⊙O相切于点A，∴AC⊥OA，∴∠OAC＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA．∵∠O＝130°，∴∠OAB25°，∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．故选：B．2．（2019•益阳）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是()A．PA PB⊥D．AB平分PD=B．BPD APD∠=∠C．AB PD解：PA，PB是O的切线，∴=，所以A成立；PA PB∠=∠，所以B成立；BPD APD∴⊥，所以C成立；AB PDPA，PB是O的切线，∴⊥，且AC BCAB PD=，只有当//BD PA时，AB平分PD，所以D不一定成立．AD PB，//故选：D．3．（2018•河池）如图，等边△ABC的边长为2，⊙A的半径为1，D是BC上的动点，DE与⊙A相切于E，DE的最小值是（）A．1 B．C．D．2解：如图，连接AE，AD，作AH⊥BC于H，∵DE与⊙A相切于E，∴AE⊥DE，∵⊙A的半径为1，∴DE，当D与H重合时，AD最小，∵等边△ABC的边长为2，∴BH＝CH＝1，∴AH，∴DE的最小值为：．故选：B．4．（2020•徐州）如图，AB是O的弦，点C在过点B的切线上，OC OA∠=︒，⊥，OC交AB于点P．若70BPC则ABC∠的度数等于()A．75︒B．70︒C．65︒D．60︒解：OC OA⊥，∴∠=︒，90AOC∠=∠=︒，APO BPC70∴∠=︒-︒=︒，907020A=，OA OBOBA A∴∠=∠=︒，20BC为O的切线，∴⊥，OB BCOBC∴∠=︒，90ABC∴∠=︒-︒=︒．902070故选：B．5．（2020•南京）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若P的半径为5，点A的坐标是(0,8)．则点D的坐标是()A ．(9,2)B ．(9,3)C ．(10,2)D ．(10,3)解：设O 与x 、y 轴相切的切点分别是F 、E 点，连接PE 、PF 、PD ，延长EP 与CD 交于点G ，则PE y ⊥轴，PF x ⊥轴，90EOF ∠=︒，∴四边形PEOF 是矩形，PE PF =，//PE OF ，∴四边形PEOF 为正方形，5OE PF PE OF ∴====，(0,8)A ，8OA ∴=，853AE ∴=-=，四边形OACB 为矩形，8BC OA ∴==，//BC OA ，//AC OB ，//EG AC ∴，∴四边形AEGC 为平行四边形，四边形OEGB 为平行四边形，3CG AE ∴==，EG OB =，PE AO ⊥，//AO CB ，PG CD ∴⊥，26CD CG ∴==，862DB BC CD ∴=-=-=，5PD =，3DG CG ==，4PG ∴=，549OB EG ∴==+=，(9,2)D ∴．故选：A ．6．（2019•苏州）如图，AB 为O 的切线，切点为A ，连接AO 、BO ，BO 与O 交于点C ，延长BO 与O 交于点D ，连接AD ．若36ABO ∠=︒，则ADC ∠的度数为( )A ．54︒B ．36︒C ．32︒D ．27︒解：AB 为O 的切线，90OAB ∴∠=︒，36ABO ∠=︒，9054AOB ABO ∴∠=︒-∠=︒，OA OD =，ADC OAD ∴∠=∠，AOB ADC OAD ∠=∠+∠， 1272ADC AOB ∴∠=∠=︒； 故选：D ．7．（2018•常州）如图，AB 是O 的直径，MN 是O 的切线，切点为N ，如果52MNB ∠=︒，则NOA ∠的度数为( )A ．76︒B ．56︒C ．54︒D ．52︒解：MN 是O 的切线，ON NM ∴⊥，90ONM ∴∠=︒，90905238ONB MNB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，ON OB =，38B ONB ∴∠=∠=︒，276NOA B ∴∠=∠=︒．故选：A ．8．（2019•阜新）如图，CB 为O 的切线，点B 为切点，CO 的延长线交O 于点A ，若25A ∠=︒，则C ∠的度数是( )A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒解：如图：连接OB ，25A ∠=︒，222550COB A ∴∠=∠=⨯︒=︒，BC 与O 相切于点B ，90OBC ∴∠=︒，90905040C BOC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故选：D ．9．（2019•泰安）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠A ＝119°，过点C 的圆的切线交BO 于点P ，则∠P 的度数为（ ）A ．32°B ．31°C ．29°D ．61°解：设BP 与圆O 交于点D ，连接OC 、CD ，如图所示：∵PC 是⊙O 的切线，∴PC ⊥OC ，∴∠OCP ＝90°，∵∠A ＝119°，∴∠ODC ＝180°﹣∠A ＝61°，∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ＝61°，∴∠DOC ＝180°﹣2×61°＝58°，∴∠P ＝90°﹣∠DOC ＝32°；故选：A ．10．（2020•雅安）如图，ABC ∆内接于圆，90ACB ∠=︒，过点C 的切线交AB 的延长线于点P ，28P ∠=︒．则(CAB ∠= )A ．62︒B ．31︒C ．28︒D ．56︒ 解：连接OC ，如图， PC 为切线，OC PC ∴⊥，90PCO ∴∠=︒，90902862POC P ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，OA OC =，A OCA ∴∠=∠，而POC A OCA ∠=∠+∠，162312A ∴∠=⨯︒=︒． 故选：B ．11．（2019•泸州）如图，等腰ABC∆的内切圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且5AB AC==，6BC=，则DE的长是()A．310B．310C．35D．65解：连接OA、OE、OB，OB交DE于H，如图，等腰ABC∆的内切圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，OA∴平分BAC∠，OE BC⊥，OD AB⊥，BE BD=，AB AC=，AO BC∴⊥，∴点A、O、E共线，即AE BC⊥，3BE CE∴==，在Rt ABE∆中，22534AE=-=，3BD BE==，2AD∴=，设O的半径为r，则OD OE r==，4AO r=-，在Rt AOD∆中，2222(4)r r+=-，解得32r=，在Rt BOE∆中，223353()2OB=+=，BE BD=，OE OD=，OB∴垂直平分DE，DH EH∴=，OB DE⊥，1122HE OB OE BE=，3335235OE BEHEOB⨯∴===，652DE EH∴==．故选：D．二、填空题12．（2020•枣庄）如图，AB 是⊙O 的直径，P A 切⊙O 于点A ，线段PO 交⊙O 于点C ．连接BC ，若∠P ＝36°，则∠B ＝ 27° ．见试题解答内容解：∵P A 切⊙O 于点A ，∴∠OAP ＝90°，∵∠P ＝36°，∴∠AOP ＝54°，∵＝，∴∠B ＝∠AOP ＝27°．故答案为：27°．13．（2019•河池）如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠OAB ＝38°，则∠P ＝ 76 °．见试题解答内容 解：∵P A ，PB 是⊙O 的切线，∴P A ＝PB ，P A ⊥OA ，∴∠P AB ＝∠PBA ，∠OAP ＝90°，∴∠PBA ＝∠P AB ＝90°﹣∠OAB ＝90°﹣38°＝52°，∴∠P ＝180°﹣52°﹣52°＝76°；故答案为：76．14．（2019•宿迁）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为 2 ．解：直角三角形的斜边2251213=+=，所以它的内切圆半径5121322+-==． 故答案为2．15．（2020•苏州）如图，已知AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，连接OC 交O 于点D ，连接BD ．若40C ∠=︒，则B ∠的度数是 25 ︒．解：AC 是O 的切线，OA AC ∴⊥，90OAC ∴∠=︒，90904050AOC C ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，OB OD =，OBD ODB ∴∠=∠，而AOC OBD ODB ∠=∠+∠， 1252OBD AOC ∴∠=∠=︒， 即ABD ∠的度数为25︒，故答案为：25．16．（2019•眉山）如图，在Rt AOB ∆中，42OA OB ==．O 的半径为2，点P 是AB 边上的动点，过点P 作O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则线段PQ 长的最小值为 23 ．解：连接OQ ．PQ 是O 的切线，OQ PQ ∴⊥； 根据勾股定理知222PQ OP OQ =-，∴当PO AB ⊥时，线段PQ 最短，在Rt AOB ∆中，42OA OB ==，28AB OA ∴==，4OA OB OP AB∴==， 2223PQ OP OQ ∴=-=．故答案为23．三、解答题17．（2020•辽阳）（改编）如图，在平行四边形ABCD 中，AC 是对角线，90CAB ∠=︒，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作A ，交BC 边于点E ，交AC 于点F ，连接DE ．求证：DE 与A 相切；（1）证明：连接AE ，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，//AD BC ，DAE AEB ∴∠=∠，AE AB =，AEB ABC ∴∠=∠，DAE ABC ∴∠=∠，()AED BAC SAS ∴∆≅∆，DEA CAB ∴∠=∠，90CAB ∠=︒，90DEA ∴∠=︒，DE AE ∴⊥， AE 是A 的半径，DE ∴与A 相切；18．（2019•营口）如图，在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥，垂足为点E ，以AE 为直径的O 与边CD 相切于点F ，连接BF 交O 于点G ，连接EG ．求证：CD AD CE =+．证明：四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，AE BC ⊥，AD OA ∴⊥， AO 是O 的半径，AD ∴是O 的切线，又DF 是O 的切线，AD DF ∴=，同理可得CE CF =，CD DF CF =+，CD AD CE ∴=+．19．（2020•绵阳）（改编）如图，ABC ∆内接于O ，点D 在O 外，90ADC ∠=︒，BD 交O 于点E ，交AC 于点F ，EAC DCE ∠=∠，CEB DCA ∠=∠，6CD =，8AD =．（1）求证：//AB CD ；（2）求证：CD是O的切线；（1）证明：BAC CEB∠=∠，∠=∠，CEB DCA∴∠=∠，BAC DCAAB CD∴；//（2）证明：连接EO并延长交O于G，连接CG，如图1所示：则EG为O的直径，∴∠=︒，90ECG=，OC OG∴∠=∠，OCG EGC∠=∠，EAC DCEEAC EGC∠=∠，∴∠=∠=∠，DCE EGC OCG∠+∠=∠=︒，90OCG OCE ECGDCO∴∠+∠=︒，即90∠=︒，DCE OCE90OC是O的半径，∴是O的切线；CD20．（2020•内江）（改编）如图，AB是O的直径，C是O上一点，OD BC⊥于点D，过点C作O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是O的切线；BC=，求线段EF的长；（2）设OE交O于点F，若2DF=，43（1）证明：连接OC，如图，CE为切线，OC CE∴⊥，∴∠=︒，90OCEOD BC ⊥，CD BD ∴=，即OD 垂直平分BC ，EC EB ∴=，在OCE ∆和OBE ∆中OC OB OE OE EC EB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()OCE OBE SSS ∴∆≅∆，90OBE OCE ∴∠=∠=︒，OB BE ∴⊥，BE ∴与O 相切；（2）解：设O 的半径为x ，则2OD OF DF x =-=-，OB x =，在Rt OBD ∆中，1232BD BC ==， 222OD BD OB +=，222(2)(23)x x ∴-+=，解得4x =，2OD ∴=，4OB =，30OBD ∴∠=︒，60BOD ∴∠=︒，28OE OB ∴==，844EF OE OF ∴=-=-=．21．（2020•遂宁）（改编）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 为AB 边上的一点，以AD 为直径的O 交BC 于点E ，交AC 于点F ，过点C 作CG AB ⊥交AB 于点G ，交AE 于点H ，过点E 的弦EP 交AB 于点(Q EP 不是直径），点Q 为弦EP 的中点，连结BP ，BP 恰好为O 的切线．（1）求证：BC 是O 的切线．（2）求证：EF ED =．（1）证明：连接OE ，OP ，AD 为直径，点Q 为弦EP 的中点，PE AB ∴⊥，点Q 为弦EP 的中点，AB ∴垂直平分EP ，PB BE ∴=，OE OP =，OB OB =，()BEO BPO SSS ∴∆≅∆，BEO BPO ∴∠=∠，BP 为O 的切线，90BPO ∴∠=︒，90BEO ∴∠=︒，∴⊥，OE BC∴是O的切线．BC（2）证明：90∠=∠=︒，BEO ACBAC OE∴，//∴∠=∠，CAE OEA=，OA OE∴∠=∠，EAO AEOCAE EAO∴∠=∠，=．∴EF ED22．（2020•盘锦）（改编）如图，BC是O的直径，AD是O的弦，AD交BC于点E，连接AB，CD，过点E 作EF AB∠=∠．⊥，垂足为F，AEF D（1）求证：AD BC⊥；（2）若点G在BC的延长线上，连接AG，2∠=∠．求证：AG与O相切；DAG D（1）证明：EF AB⊥，∴∠=︒，AFE90∴∠+∠=︒，AEF EAF90∠=∠，∠=∠，ABE DAEF DABE EAF∴∠+∠=︒，90∴∠=︒，90AEB∴⊥．AD BC（2）①证明：连接OA，AC．⊥，AD BC∴=，AE ED∴=，CA CDD CAD∴∠=∠，GAE D∠=∠，2∴∠=∠=∠，CAG CAD D=，OC OA∴∠=∠，OCA OAC∠=︒，CEA90∴∠+∠=︒，CAE ACE90∴∠+∠=︒，90CAG OAC∴⊥，OA AG∴是O的切线．AG23．（2020•葫芦岛）如图，四边形ABCD内接于O，AC是直径，AB BC=，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且EDA ACD∠=∠．（1）求证：直线DE是O的切线；（2）若6CD=，求BD的长．AD=，8（1）证明：连接OD ， OC OD =，OCD ODC ∴∠=∠， AC 是直径，90ADC ∴∠=︒，EDA ACD ∠=∠，90ADO ODC EDA ADO ∴∠+∠=∠+∠=︒，90EDO EDA ADO ∴∠=∠+∠=︒，OD DE ∴⊥， OD 是半径，∴直线DE 是O 的切线．（2）：过点B 作BH BD ⊥交DC 延长线于点H ．90DBH ∴∠=︒， AC 是直径，90ABC ∴∠=︒，9090ABD DBC CBH DBC ∠=︒-∠∠=︒-∠，ABD CBH ∴∠=∠，四边形ABCD 内接于O ，180BAD BCD ∴∠+∠=︒，180BCD BCH ∠+∠=︒，BAD BCH ∴∠=∠，AB CB =，()ABD CBH ASA ∴∆≅∆，AD CH ∴=，BD BH =，6AD =，8CD =，14DH CD CH ∴=+=，在Rt BDH ∆中，22298BD DH BH =-=，∴72BD =．24．（2020•沈阳）如图，在ABC∆中，90∠=︒，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边ACBAB相交于点D，连接DC，当DC为O的切线时．（1）求证：DC AC=；（2）若DC DB=，O的半径为1，请直接写出DC的长为3．证明：（1）如图，连接OD，CD是O的切线，∴⊥，CD OD∴∠=︒，90ODC∴∠+∠=︒，BDO ADC90ACB∠=︒，90A B∴∠+∠=︒，90=，OB OD∴∠=∠，OBD ODB∴∠=∠，A ADC∴=；CD AC（2）DC DB=，∴∠=∠，DCB DBC∴∠=∠=∠，DCB DBC BDO180∠+∠+∠+∠=︒，DCB DBC BDO ODC∴∠=∠=∠=︒，30DCB DBC BDO∴==，DC OD33故答案为：3．25．（2020•丹东）（改编）如图，已知ABC∆，以AB为直径的O交AC于点D，连接BD，CBD∠的平分线交O 于点E，交AC于点F，且AF AB=．（1）判断BC所在直线与O的位置关系，并说明理由；（2）若BD=6，2DF=，求O的半径．解：（1）BC所在直线与O相切；理由：AB为O的直径，∴∠=︒，90ADBAB AF=，∴∠=∠，ABF AFBBF平分DBC∠，DBF CBF∴∠=∠，∴∠+∠=∠+∠，ABD DBF CBF C∴∠=∠，ABD C∠+∠=︒，A ABD90∴∠+∠=︒，A C90∴∠=︒，ABC90∴⊥，AB BCBC∴是O的切线；（2）设AB AF x==，∴=-，AD x2222=+，AB AD BD222∴=-+，(2)6x x解得：10x=，∴=，AB10∴的半径为5．O26．（2019•朝阳）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作O交AB于点F，连接DB交O于点H，E是BC 上的一点，且BE BF=，连接DE．（1）求证：DE是O的切线．DH=，求O的半径．（2）若2BF=，5（1）证明：如图1，连接DF，四边形ABCD为菱形，∠=∠，AD BC，DAB CAB BC CD DA∴===，//=，BF BE∴-=-，AB BF BC BE即AF CE=，∴∆≅∆，()DAF DCE SAS∴∠=∠，DFA DECAD是O的直径，∴∠=︒，DFA90DEC∴∠=︒90AD BC，//ADE DEC∴∠=∠=︒，90∴⊥，OD DEOD是O的半径，∴是O的切线；DE（2）解：如图2，连接AH，AD是O的直径，90AHD DFA∴∠=∠=︒，90DFB∴∠=︒，AD AB=，5DH=，225DB DH∴==，在Rt ADF∆和Rt BDF∆中，222DF AD AF=-，222DF BD BF=-，2222AD AF DB BF∴-=-，2222()AD AD BF DB BF∴--=-，∴2222(2)(25)2AD AD--=-，5AD∴=．O∴的半径为52．27．（2020•宿迁）如图，在ABC∆中，D是边BC上一点，以BD为直径的O经过点A，且CAD ABC∠=∠．（1）请判断直线AC是否是O的切线，并说明理由；（2）若2CD=，4CA=，求弦AB的长．解：（1）直线AC是O的切线，理由如下：如图，连接OA，BD为O的直径，90BAD OAB OAD∴∠=︒=∠+∠，OA OB=，OAB ABC∴∠=∠，又CAD ABC∠=∠，OAB CAD ABC∴∠=∠=∠，90OAD CAD OAC∴∠+∠=︒=∠，AC OA∴⊥，又OA是半径，∴直线AC是O的切线；（2）过点A作AE BD⊥于E，222OC AC AO=+，22(2)16OA OA ∴+=+，3OA ∴=，5OC ∴=，8BC =， 1122OAC S OA AC OC AE ∆=⨯⨯=⨯⨯， 341255AE ⨯∴==， 2214499255OE AO AE ∴=-=-=， 245BE BO OE ∴=+=， 225761441252525AB BE AE ∴=+=+=． 28．（2020•盐城）如图，O 是ABC ∆的外接圆，AB 是O 的直径，DCA B ∠=∠．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若DE AB ⊥，垂足为E ，DE 交AC 于点F ，求证：DCF ∆是等腰三角形．证明：（1）连接OC ，OC OA =，OCA A ∴∠=∠，AB 是O 的直径，90BCA ∴∠=︒，90A B ∴∠+∠=︒，DCA B ∠=∠，90OCA DCA OCD ∴∠+∠=∠=︒，OC CD ∴⊥，CD ∴是O 的切线；（2）90OCA DCA ∠+∠=︒，OCA A ∠=∠，90A DCA ∴∠+∠=︒，DE AB ⊥，90A EFA ∴∠+∠=︒，DCA EFA ∴∠=∠，EFA DFC ∠=∠，DCA DFC ∴∠=∠，DCF ∴∆是等腰三角形． 29．（2020•邵阳）如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，点D 是BC 上一点，以BD 为直径的O 过点A ，连接AD ，CAD C ∠=∠．（1）求证：AC 是O 的切线；（2）若4AC =，求O 的半径．（1）证明：如图：连接OA ，OA OB =，OBA OAB ∴∠=∠，AB AC =，OBA C ∴∠=∠，OAB C ∴∠=∠，CAD C ∠=∠，OAB CAD ∴∠=∠， BD 是直径，90BAD ∴∠=︒，90OAC BAD OAB CAD ∠=∠-∠+∠=︒，AC ∴是O 的切线；（2）解：由（1）可知AC 是O 的切线，90OAC ∴∠=︒，2AOD B ∠=∠，AB AC =，B C ∴∠=∠，2390AOC C B C C ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，30B C ∴∠=∠=︒，在Rt ABD ∆中，483cos cos30AB BD B ===︒， 43OB ∴=， O ∴的半径为43．30．（2020•张家界）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以AB 为直径作O ，过点C 作直线CD 交AB 的延长线于点D ，使BCD A ∠=∠．（1）求证：CD 为O 的切线；（2）若DE 平分ADC ∠，且分别交AC ，BC 于点E ，F ，当2CE =时，求EF 的长．（1）证明：如图，连接OC ，AB 为O 的直径，90ACB ∴∠=︒，即90A ABC ∠+∠=︒，又OC OB =，ABC OCB ∴∠=∠，BCD A ∠=∠，90BCD OCB ∴∠+∠=︒，即90OCD ∠=︒， OC 是圆O 的半径，CD ∴是O 的切线；（2）解：DE 平分ADC ∠，CDE ADE ∴∠=∠，又BCD A ∠=∠，A ADE BCD CDF ∴∠+∠=∠+∠，即CEF CFE ∠=∠，90ACB ∠=︒，2CE =， 2CE CF ∴==，2222EF CE CF ∴=+=．31．（2020•湘潭）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，过点D 作DE AC ⊥，垂足为点E ．（1）求证：ABD ACD ∆≅∆；（2）判断直线DE 与O 的位置关系，并说明理由．（1）证明：AB 为O 的直径，AD BC ∴⊥， 在Rt ADB ∆和Rt ADC ∆中AD AD AB AC =⎧⎨=⎩， Rt ABD Rt ACD(HL)∴∆≅∆； （2）直线DE 与O 相切，理由如下：连接OD ，如图所示：由ABD ACD ∆≅∆知：BD DC =，又OA OB =，OD ∴为ABC ∆的中位线，//OD AC ∴，DE AC ⊥，OD DE ∴⊥，OD 为O 的半径，DE ∴与O 相切．32．（2020•恩施州）(改编)如图1，AB 是O 的直径，直线AM 与O 相切于点A ，直线BN 与O 相切于点B ，点C （异于点)A 在AM 上，点D 在O 上，且CD CA =，延长CD 与BN 相交于点E ，连接AD 并延长交BN 于点F ．（1）求证：CE是O的切线；（2）求证：BE EF=；解：（1）如图1中，连接OD，=，CD CACAD CDA∴∠=∠，=OA OD∴∠=∠，OAD ODA直线AM与O相切于点A，∴∠=∠+∠=︒，90CAO CAD OAD∴∠=∠+∠=︒，ODC CDA ODA90∴是O的切线．CE（2）如图1中，连接BD，OD OB=，∴∠=∠，ODB OBDCE是O的切线，BF是O的切线，∴∠=∠=︒，90OBD ODE∴∠=∠，EDB EBD∴=，ED EB⊥，BN ABAM AB⊥，∴，//AM BN∴∠=∠，CAD BFD∠=∠=∠，CAD CDA EDF∴∠=∠，BFD EDFEF ED∴=，∴=．BE EF。

2020中考数学 专题复习：圆的综合（含答案）类型一 与基本性质有关的证明与计算1. 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是AE ︵上的一点，且∠BDE ＝∠CBE ，BD 与AE 交于点F . (1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若BD 平分∠ABE ，求证：DE 2＝DF ·DB ；(3)在(2)的条件下，延长ED ，BA 交于点P ，若P A ＝AO ，DE ＝2，求PD 的长．第1题图(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°， ∴∠EAB ＋∠ABE ＝90°，∵∠BDE ＝∠EAB ，∠BDE ＝∠CBE ， ∴∠EAB ＝∠CBE ，∴∠ABE ＋∠CBE ＝∠ABE ＋∠EAB ＝90°，即CB ⊥AB . 又∵AB 是⊙O 的直径， ∴BC 是⊙O 的切线； (2)证明：∵BD 平分∠ABE ， ∴∠ABD ＝∠DBE ，AD ︵＝DE ︵， ∴∠ABD ＝ ∠DEA ， ∴∠DEA ＝ ∠DBE ， ∵∠EDB ＝∠BDE ， ∴△DEF ∽△DBE ，∴DE DB ＝DF DE， ∴DE 2＝ DF ·DB ；(3)解：如解图，连接OD ，延长ED 交BA 的延长线于点P ，第1题解图∵OD ＝OB ， ∴∠ODB ＝∠OBD ， ∵BD 平分∠ABE ， ∴∠OBD ＝ ∠EBD ， ∴∠EBD ＝∠ODB ， ∴OD ∥BE ， ∴△PDO ∽△PEB ， ∴PD PE ＝POPB， ∵P A ＝AO ， ∴P A ＝AO ＝OB ， ∴PO PB ＝PD PE ＝23， ∵PD PE ＝PD PD ＋DE ＝23，DE ＝2， ∴PD ＝4.2. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是BD ︵的中点，CE ⊥AB ，垂足为E ，BD 交CE 于点F . (1)求证：CF ＝BF ；(2)若BE ＝4，EF ＝ 3，求⊙O 的半径．第2题图(1)证明：连接AC ，如解图，∵点C 是BD ︵的中点，∴∠DBC ＝∠BAC ， 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CE ⊥AB ，第2题解图∴∠BCE ＋∠ECA ＝∠BAC ＋∠ECA ＝90°， ∴∠BCE ＝∠BAC ， 又∵C 是BD ︵的中点， ∴∠DBC ＝∠CDB ， ∴∠BCE ＝∠DBC ， ∴CF ＝ BF ；(2)解：∵BE ＝ 4，EF ＝ 3， ∴BF ＝32＋42＝ 5，∴CF ＝ 5，∴CE ＝ 5＋3＝ 8， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝ 90°， ∴CE 2＝BE ·AB ， ∴AB ＝CE 2BE ＝ 644＝ 16，∴AO ＝ 8，∴⊙O 的半径为8.3. 如图，⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于E ，AM ⊥BC 于M ，交CD 于N ，连接AD . (1)求证：AD ＝AN;(2)若AB ＝8，ON ＝ 1，求⊙O 的半径．第3题图(1)证明：∵CD ⊥AB ， ∴∠CEB ＝ 90°， ∴∠C ＋∠B ＝ 90°， 同理∠C ＋∠CNM ＝ 90°， ∴∠CNM ＝∠B ， ∵∠CNM ＝ ∠AND ， ∴∠AND ＝ ∠B ， ∵AC ︵＝AC ︵， ∴∠ADN ＝ ∠B ， ∴∠AND ＝ ∠ADN ， ∴AN ＝AD ；第3题解图(2)解：设OE 的长为x ，连接OA ， ∵AN ＝AD ，CD ⊥AB ， ∴DE ＝ NE ＝x ＋1，∴OD ＝OE ＋ED ＝x ＋x ＋1＝2x ＋1， ∴OA ＝ OD ＝ 2x ＋1，∴在Rt △OAE 中，OE 2＋AE 2＝ OA 2， ∴x 2＋42＝(2x ＋1)2，解得x ＝53或x ＝－3(不合题意，舍去)，∴OA ＝ 2x ＋1＝ 2×53＋1＝ 133，即⊙O 的半径为133.4. 如图，A 、B 、C 为⊙O 上的点，PC 过O 点，交⊙O 于D 点，PD ＝ OD ，若OB ⊥AC 于E 点．第4题图(1)判断A 是否是PB 的中点，并说明理由； (2)若⊙O 半径为8，试求BC 的长． 解：(1)A 是PB 的中点， 理由：连接AD ，如解图，第4题解图∵CD 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥AC ， ∵OB ⊥AC ， ∴AD ∥OB ， ∵PD ＝ OD ，∴AD 是△PBO 的中位线， ∴P A ＝AB ， ∴A 是PB 的中点； (2)∵AD ∥OB ， ∴△APD ∽△BPO ， ∴AD BO ＝PD PO ＝ 12， ∵⊙O 半径为8， ∴OB ＝ 8， ∴AD ＝4， ∴AC ＝CD 2－AD 2＝ 415，∵OB ⊥AC ， ∴AE ＝CE ＝ 215， ∴OE ＝12AD ＝ 2，∴BE ＝6， ∴BC ＝BE 2＋CE 2＝4 6.5. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、E 是⊙O 上的点，且AC ︵＝EC ︵，连接AC 、BE ，并延长交于点D ，已知AB ＝2AC ＝6.第5题图(1)求DC 的长； (2)求EC ︵的长．解：(1)如解图，连接BC ，第5题解图∵ AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，CB ⊥AD ， ∵AC ︵＝EC ︵， ∴∠ABC ＝∠DBC ， ∴△ABD 为等腰三角形， ∵AB ＝2AC ＝6， ∴DC ＝AC ＝3；(2)如解图，连接OC 、OE ， ∵AB ＝2AC ＝6，∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＝30°，OC ＝OE ＝3， ∴∠DBC ＝∠ABC ＝30°∴∠COE ＝2∠DBC ＝60°，∴l EC ︵＝60×π×3180＝π.6. 如图，AB 为圆O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，交圆O 于点D ，OF ⊥AC 于点F .第6题图(1)求证：OF ＝12BD ；(2)当∠D ＝30°，BC ＝1时，求圆中阴影部分的面积． (1)证明：如解图，连接OC ，第6题解图∵OF ⊥AC ，OA ＝OC ， ∴AF ＝FC ，∵OA ＝OB ，∴OF 是△ABC 的中位线，∴OF ＝12BC ，∵AB ⊥CD ，∴BC ︵＝BD ︵， ∴BC ＝BD ， ∴OF ＝12BD ；(2)解：∵∠D ＝30°， ∴∠A ＝∠D ＝30°， ∴∠COB ＝2∠A ＝60°， ∴∠AOC ＝120°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，BC＝1，∴AB＝2，AC＝3，由(1)可知OF＝12BC＝1 2，∵∠COB＝60°，OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OA＝OB＝BC＝1，∴S△AOC＝12AC ·OF＝12×3×12＝34，S扇形AOC＝120πOA2360＝π3，∴S阴影＝S扇形AOC－S△AOC＝π3－34.7. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，OD⊥AB交⊙O于点D，AC、OD的延长线交于点E，连接CD.(1)求证：∠ECD＝∠BCD；(2)当AC＝CD时，求证：CE＝CB.第20题图证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ECB＝90°，∵OD⊥AB，∴∠DOB＝90°，∴∠BCD＝12∠DOB＝45°，∴∠ECD＝∠ECB－∠BCD＝90°－45°＝45°，∴∠ECD ＝∠BCD ；(2)如解图，连接OC 、BD ，第7题解图∵AC ＝CD ，∴∠AOC ＝∠DOC ，∠ABC ＝∠DBC ， 又∵∠E ＋∠A ＝∠ABC ＋∠A ＝90°， ∴∠E ＝∠ABC ＝∠DBC ， 在△ECD 和△BCD 中⎩⎨⎧∠E ＝∠DBC∠ECD ＝∠BCD CD ＝CD， ∴△ECD ≌△BCD (AAS)， ∴CE ＝ CB .8. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，且BD 为直径，∠ACB ＝ 45°，过A 点的AC 的垂线交BC 的延长线于点E . (1)求证：BE ＝ DC ； (2)如果AD ＝2，求图中阴影的面积．第8题图解：(1)∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠BAD ＝90°，∵∠ACB ＝45°，∴∠ADB ＝∠ACB ＝ 45°， ∵AE ⊥AC ，∴△ACE 与△ABD 是等腰直角三角形，∴AE ＝ AC ，AB ＝ AD ，∠EAC ＝ ∠BAD ＝ 90°， ∴∠EAB ＝ ∠CAD ， 在△ABE 与△ADC 中，⎩⎨⎧AE ＝AC∠EAB ＝ ∠CAD AB ＝AD， ∴△ABE ≌△ADC ， ∴BE ＝DC ；第8题解图(2)如解图，连接AO ，则∠AOD ＝ ∠ABD ＝90°， ∵AD ＝ 2， ∴AO ＝ OD ＝ 1， ∴S 阴影＝ S 扇形－S △AOD ＝90 ·π×12360－12×1×1＝ π4－12. 9. 如图，在△ABC 中，以AC 为直径的⊙O 分别交AB ，BC 于点D ，E ，连接DE ，AD ＝BD ，∠ADE ＝120°. (1)证明：△ABC 是等边三角形； (2)若AC ＝2，求图中阴影部分的面积．第9题图(1)证明：如解图，连接CD ， ∵AC 为⊙O 的直径， ∴CD ⊥AB ， ∵AD ＝BD ， ∴AC ＝BC ，∵∠ADE ＝120°，∴∠ACE ＝60°， 又∵AC ＝BC ，∴△ABC 是等边三角形；第9题解图(2)解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠CAB ＝∠ACB ＝∠B ＝60°，∵∠ADE ＝120°，∴∠BED ＝∠BDE ＝∠B ＝60°， ∴△BDE 是等边三角形， ∴BD ＝ED ， ∵AD ＝BD ，∴DE ＝AD ＝ BE ＝12AB ＝ 12BC ，∴DE ︵＝AD ︵，DE 为△ABC 的中位线，E 为BC 的中点， ∴S 弓形DE ＝S 弓形AD ，∴S 阴影＝S △DEB ＝ 12S △BDC ，∵AC ＝2，∴AD ＝BD ＝1，∴DC ＝3，∴S 阴影＝12×12×1×3＝ 34.10. 如图，在△ABC 中，AB ＝ AC ，以AB 为直径的半圆分别交AC ，BC 边于点D ，E ，连接BD .第10题图(1)求证：点E 是BD ︵的中点；(2)当BC ＝ 12，且AD ∶CD ＝1∶2，求⊙O 的半径． (1)证明：如解图，连接AE ，DE ，第10题解图∵AB 是直径， ∴AE ⊥BC ， ∵AB ＝ AC ， ∴BE ＝ EC ，∵∠CDB ＝90°，DE 是斜边BC 的中线， ∴DE ＝ EB ， ∴ED ︵＝ EB ︵，即点E 是BD ︵的中点； (2)设AD ＝x ，则CD ＝ 2x ， ∴AB ＝AC ＝3x ，∵AB 为直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴BD 2＝ (3x )2－x 2＝8x 2， 在Rt △CDB 中， (2x )2＋8x 2＝122， ∴x ＝23， ∴OA ＝ 32x ＝33，即⊙O 的半径是3 3.类型二 与切线有关的证明与计算1. 如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，圆心O 在AC 上，∠A ＝ 30°，D 为BC ︵的中点．第1题图(1)求证：AB ＝BC ；(2)试判断四边形BOCD 的形状，并说明理由． 解：(1)∵AB 是⊙O 的切线，∴∠OBA ＝ 90°，∠AOB ＝ 90°－30°＝ 60°. ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∠OCB ＝ ∠A ＝ 30°， ∴AB ＝ BC ；(2)四边形BOCD 为菱形，理由如下：连接OD 交BC 于点M ， ∵D 是BC ︵的中点，第1题解图∴OD 垂直平分BC ， 在Rt △OMC 中， ∵∠OCM ＝ 30°， ∴OC ＝2OM ＝OD ， ∴OM ＝MD ，∴四边形BOCD 为菱形．2. 如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上两点，∠BAC ＝∠DAC ，过点C 作直线EF ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，连接BC .(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝1，BC ＝2，求劣弧BC ︵的长l .第2题图(1)证明：如解图，连接OC ， ∵OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝∠OCA ， ∵∠BAC ＝∠DAC ， ∴∠DAC ＝∠OCA ， ∴AD ∥OC ， ∵EF ⊥AD ， ∴∠AEC ＝90°，∴∠OCF ＝∠AEC ＝90°， ∴EF 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，连接OD ，DC .第2题解图∵∠DAC ＝12∠DOC ，∠OAC ＝12∠BOC ，∠DAC ＝∠OAC ， ∴∠DOC ＝∠BOC ， ∴DC ＝BC ＝2， 在Rt △EDC 中， ∵ED ＝1，DC ＝2， ∴sin ∠ECD ＝DE DC ＝12， ∴∠ECD ＝30°，∴∠OCD ＝90°－30°＝60°， 又∵OC ＝OD ，∴△DOC 为等边三角形，∴∠BOC ＝∠COD ＝60°，OC ＝2， ∴l ＝60π×2180＝23π. 3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC ，AC 分别交于D ，E 两点，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F .第3题图(1)求证：DF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，cos A ＝25，求DF 的长．(1)证明：如解图，连接OD ，第3题解图∵OB ＝OD ， ∴∠ODB ＝∠B . 又∵AB ＝AC ， ∴∠C ＝∠B . ∴∠ODB ＝∠C . ∴OD ∥AC ， ∵DF ⊥AC ， ∴∠DFC ＝90°.∴∠ODF ＝∠DFC ＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴DF 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，过点O 作OG ⊥AC ，垂足为点G . ∴AG ＝12AE ＝2.∵cos A ＝AG OA ＝25，∴OA ＝225＝5.∴OG ＝OA 2－AG 2＝21.∵∠ODF ＝∠DFG ＝∠OGF ＝90°. ∴四边形OGFD 为矩形， ∴DF ＝OG ＝21.4. 如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，边BC是⊙O的切线，切点为D，AB经过圆心O并与圆相交于点E，连接AD.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若AC＝8，tan∠DAC＝34，求⊙O的半径．第4题图(1)证明：如解图，连接OD，第4题解图∵BC是⊙O的切线，∴OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，又∵∠C＝90°，∴AC∥OD，∴∠CAD＝∠ADO，又∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠OAD，∴AD平分∠BAC；(2)解：∵AC＝8，tan∠P AC＝CDAC＝34，∴CD＝6，在Rt△ACD中，AD＝AC2＋CD2＝10，如解图，连接DE ，∵AE 为⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝ 90°， ∴∠ADE ＝ ∠C ， ∵∠CAD ＝∠OAD ， ∴△ACD ∽△ADE ， ∴AD AC ＝ AE AD ，即108＝ AE10， ∴AE ＝252，∴⊙O 的半径是254.5. 如图，AB 为⊙O 的直径，CB ，CD 分别切⊙O 于点B ，D ，CD 交BA 的延长线于点E ，CO 的延长线交⊙O 于点G ，EF ⊥OG 于点F .(1)求证：∠FEB ＝∠ECF ； (2)若BC ＝6，DE ＝4，求EF 的长．第5题图(1)证明：∵EF ⊥OG ，BC 是⊙O 的切线， ∴∠CBA ＝ ∠EFC ＝90°，∴∠EOF ＋∠FEB ＝ 90°，∠BOC ＋∠BCO ＝90°， ∵∠EOF ＝ ∠COB ， ∴∠FEB ＝ ∠BCO ， ∵CB ，CD 是⊙O 的切线， ∴∠ECF ＝ ∠BCO ， ∴∠FEB ＝ ∠ECF ；(2)解：如解图，连接OD ，则OD ⊥CE ，第5题解图∵CB，CD为⊙O的切线，BC＝6，DE＝4，∴CD＝BC＝6，∴CE＝CD＋DE＝6＋4＝10，在Rt△CBE中，根据勾股定理得BE＝CE2－BC2＝102－62＝8，设OD＝x，则OE＝8－x，在Rt△ODE中，根据勾股定理得OE2＝OD2＋ED2，即(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3，则OE＝5.在Rt△ODC中，根据勾股定理得OC＝CD2＋OD2＝62＋32＝35，∵∠EOF＝∠COB，∠EFO＝∠CBO，∴△EFO∽△CBO，∴EFCB＝OEOC，即EF6＝535，解得EF＝2 5.6. 如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB＝30°，延长CB至点D，使得CB＝BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE.(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)当BE＝3时，求图中阴影部分的面积．第6题图 (1)证明：如解图，连接OB,第6题解图∵OB ＝OC ，∠ACB ＝30°，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°，∵DE ⊥AC ，∴∠DEC ＝90°，∴∠D ＝60°，∵CB ＝BD ，∴BE ＝BD ，∴△BDE 为等边三角形，∴∠DBE ＝60°，∴∠EBO ＝180°－∠DBE －∠OBC ＝180°－60°－30°＝90°，即OB ⊥BE ，又∵OB 为⊙O 的半径，∴BE 是⊙O 的切线；(2)解：∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，在Rt △ABC 中，BC ＝BD ＝BE ＝3，∠ACB ＝30°，∴AB ＝BC ·tan30°＝ 3，AC ＝ 2AB ＝23，∴OA ＝12AC ＝3，∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝ 12×3×3＝332， ∴S 阴影＝ S 半圆－S △ABC ＝ 12π×(3)2－332＝3π－332. 7. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于C ，BE ∥CO .(1)求证：BC 是∠ABE 的平分线；(2)若DC ＝ 8，⊙O 的半径OA ＝6，求CE 的长．第7题图(1)证明：∵BE ∥CO ，∴∠OCB ＝∠EBC ，∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∴∠OBC ＝∠EBC ，∴BC 是∠ABE 的平分线；(2)解：∵CD 是⊙O 的切线，∴CD ⊥CO ，∴∠DCO ＝90°，在Rt △DCO 中，有DC 2＋CO 2＝DO 2，即82＋62＝DO 2，∴DO ＝10，∵CO ∥BE ，∴CE DC ＝BO DO ，即CE 8＝610， ∴CE ＝4.8.8. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，BD 是⊙O 的弦，点E 是BC 的中点，连接DE .第8题图(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若CD ∶AD ＝1∶3，BC ＝2，求线段BD 的长． （1）证明：如解图，连接OD .第8题解图∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠CDB ＝90°，在Rt △CDB 中，∵点E 是BC 的中点，∴DE 是Rt △CDB 斜边BC 上的中线，∴ED ＝12BC ，EB ＝12BC ， ∴ED ＝EB ，∴∠EDB ＝∠EBD ，∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD ，∠OBD ＋∠EBD ＝∠ODB ＋∠EDB ＝∠ABC ＝90°，∴∠ODE ＝90°，∴OD ⊥DE ，又∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：在Rt △CDB 和在Rt △CBA ，∵∠C=∠C ，∠CDB=∠ABC=90°，∴Rt △CDB ≌Rt △CBA.∴CD ：BC= BC ：AC ，∵CD ：AD=1：3，∴设CD 为x ,则AD =3x ，AC=4x ，∴x ：2=2：4x ，解得x 1=1， x 2=-1（舍），∴CD =1，∴BD=222221 3.BC CD -=-=9. 如图，在⊙O 中，AB 为直径，C 为圆上一点且∠P ＋12∠AOC ＝90°. (1)求证：P A 是⊙O 的切线；(2)cos B ＝45，P A ＝8，求⊙O 的半径．第9题图(1)证明：∵∠B 与∠AOC 所对的弧都为弧AC ，∴∠B ＝12∠AOC ， 又∵∠P ＋12∠AOC ＝90°， ∴∠P ＋∠B ＝90°.在△ABP 中，∠BAP ＝180°－90°＝90°，∴P A ⊥AB .又∵AB 为⊙O 的直径，∴P A 是⊙O 的切线；(2)解：在Rt △ABP 中，∵cos B ＝45，P A ＝8，∴AB PB ＝45. ∴设AB ＝4x ，则PB ＝5x ，根据勾股定理得P A 2＋AB 2＝PB 2，∴82＋(4x )2＝(5x )2，化简得：9x 2＝64，解得x ＝83. ∴AB ＝4×83＝323， ∴AO ＝12AB ＝12×323＝163. ∴⊙O 的半径为163.10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC ＝ BC ＝ DC .(1)若∠CDB ＝39°，求∠BAD 的度数；(2)求证：∠1＝∠2.第10题图(1)解：∵BC ＝DC ，∴∠CBD ＝∠CDB ＝ 39°，∵∠BAC ＝∠CDB ＝ 39°，∠CAD ＝ ∠CBD ＝ 39°，∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝ 39°＋39°＝ 78°；(2)证明：∵BC ＝ EC ，∴∠CBE ＝∠CEB ，∵∠CEB ＝∠2＋∠BAE ，∠CBE ＝∠1＋∠CBD ，∴∠2＋∠BAE ＝ ∠1＋∠CBD ，∵∠BAE ＝∠CBD ，∴∠1＝ ∠2.。

2020年人教版九年级数学上册24.2.2《直线和圆的位置关系》课后练习知识点 1 直线与圆的位置关系的判定1．如图，直线l与⊙O有三种位置关系：(1)图①中直线l与⊙O________，有________个公共点，这条直线叫做圆的________；(2)图②中直线l与⊙O________，有________个公共点，这条直线叫做圆的________；(3)图③中直线l与⊙O________，________公共点．2．已知半径为5的圆，其圆心到一条直线的距离是3，则此直线和圆的位置关系为( ) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定3．如图，已知点A，B在半径为1的⊙O上，∠AOB=60°，延长OB至点C，过点C作直线OA的垂线，记为l，则下列说法正确的是( )A．当BC=0.5时，l与⊙O相离B．当BC=2时，l与⊙O相切C．当BC=1时，l与⊙O相交D．当BC≠1时，l与⊙O不相切4．在平面直角坐标系中，以点(3，2)为圆心，3为半径的圆，一定( )A．与x轴相切，与y轴相切B．与x轴相切，与y轴相交C．与x轴相交，与y轴相切D．与x轴相交，与y轴相交5．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是________．6．在Rt△ABC中，∠A=30°，直角边AC=6 cm，以点C为圆心，3 cm为半径作圆，则⊙C 与AB的位置关系是________．知识点 2 直线与圆的位置关系的应用7．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是( ) A．r＜6 B．r=6 C．r＞6 D．r≥68．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是关于x的方程x2－4x＋m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为________．9．如图所示，已知Rt△ABC的斜边AB=8 cm，AC=4 cm.(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？(2)分别以点C为圆心，2 cm和4 cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？10．已知⊙O 的半径为7 cm ，圆心O 到直线l 的距离为6.5 cm ，则直线l 与⊙O 的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．无法确定11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为(－3，0)，将⊙P 沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为( )A ．1B ．1或5C ．3D ．512．如图，⊙O 的半径OC=5 cm ，直线l ⊥OC ，垂足为H ，且l 交⊙O 于A ，B 两点，AB=8 cm ，若l 沿OC 所在直线平移后与⊙O 相切，则平移的距离是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．8 cmD ．2 cm 或8 cm13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，若以点C 为圆心，r 为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是______________________________．14．如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y=12x 2－1上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为______________．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，若AO=x cm ，⊙O 的半径为1 cm ，当x 在什么范围内取值时，直线AC 与⊙O 相离、相切、相交？16．如图所示，P 为正比例函数y=32x 的图象上的一个动点，⊙P 的半径为3，设点P 的坐标为(x ，y)．(1)求当⊙P 与直线x=2相切时，点P 的坐标；(2)请直接写出当⊙P 与直线x=2相交、相离时，x 的取值范围．17．如图，有两条公路OM ，ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点80米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿公路ON 方向行驶时，在以点P 为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大．已知重型运输卡车P 沿公路ON 方向行驶的速度为18千米/时．(1)求对学校A 的噪声影响最大时，卡车P 与学校A 的距离；(2)求卡车P 沿公路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间．参考答案1．(1)相交 两 割线 (2)相切 一 切线(3)相离 没有2．C3．D [解析] 若BC ≠1，则OC=OB ＋BC ≠2.∵∠AOB=60°，∴∠ACO=30°，∴点O 到直线l 的距离=12OC ≠1， ∴l 与⊙O 不相切，故D 正确．4．C 5.相离6．相切 [解析] 如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D.∵∠A=30°，AC=6 cm ，∴CD=3 cm. ∵CD=3 cm=r ，∴⊙C 与AB 相切．7．C [解析] ∵直线l 与⊙O 相交，∴圆心O 到直线l 的距离d ＜r ，即r ＞d=6.故选C.8．4 [解析] ∵R ，d 是关于x 的方程x 2－4x ＋m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切，∴d=R ，∴方程有两个相等的实数根，∴Δ=b 2－4ac=16－4m=0，解得m=4.故答案为4.9．解：(1)如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D.在Rt △ABC 中，BC=82－42=4 3(cm)，所以CD=4 3×48=2 3(cm)． 因此，当半径为2 3 cm 时，直线AB 与⊙C 相切．(2)由(1)可知，圆心C 到直线AB 的距离d=2 3 cm ，所以当r=2 cm 时，d ＞r ，⊙C 与直线AB 相离；当r=4 cm 时，d ＜r ，⊙C 与直线AB 相交．10．C [解析] ∵⊙O 的半径为7 cm ，圆心O 到直线l 的距离为6.5 cm ，7 cm ＞6.5 cm ，∴直线l 与⊙O 相交，∴直线l 与⊙O 有两个交点．故选C.11．B [解析] 根据题意和图形可判断出⊙P 与x 轴的两个交点坐标，如图所示．∵点P 的坐标为(－3，0)，⊙P 的半径为2，∴点A 的坐标为(－5，0)，点C 的坐标为(－1，0)．当圆心到y 轴的距离为2时，⊙P 与y 轴相切，也就是当点A 或点C 与点O 重合时，⊙P 与y 轴相切．当点C 与点O 重合时，点P 的坐标为(－2，0)，此时点P 沿x 轴正方向平移了1个单位长度；当点A 与点O 重合时，点P 的坐标为(2，0)，此时点P 沿x 轴正方向平移了5个单位长度．故选B.12．D [解析] 连接OB.∵AB ⊥OC ，∴AH=BH ，∴BH=12AB=12×8=4(cm)．在Rt △BOH 中，OB=OC=5 cm ，∴OH=OB 2－BH 2=52－42=3(cm)．∵直线l 通过平移与⊙O 相切，∴直线l 垂直于过点C 的直径，垂足为直径的两个端点，∴当直线l 向下平移时，平移的距离=5－3=2(cm)；当直线l 向上平移时，平移的距离=5＋3=8(cm)．13．5＜r ≤12或r=6013[解析] 根据勾股定理求得直角三角形的斜边长=52＋122=13.当圆和斜边相切时，半径即为斜边上的高，等于6013； 当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而不大于长直角边，即5＜r ≤12.14．(6，2)或(－6，2) [解析] 依题意，可设P(x ，2)或P(x ，－2)．①当点P 的坐标是(x ，2)时，将其代入y=12x 2－1，得2=12x 2－1，解得x=±6， 此时P(6，2)或(－6，2)；②当点P 的坐标是(x ，－2)时，将其代入y=12x 2－1，得－2=12x 2－1，即－1=12x 2， 此时方程无实数根．综上所述，符合条件的点P 的坐标是(6，2)或(－6，2)．15．解：作OD ⊥AC 于点D.∵∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=30°.∵AO=x cm ，∴OD=12x cm. (1)若⊙O 与直线AC 相离，则有OD>r ，即12x ＞1，解得x ＞2； (2)若⊙O 与直线AC 相切，则有OD=r ，即12x=1，解得x=2； (3)若⊙O 与直线AC 相交，则有OD<r ，即12x ＜1，解得x ＜2，∴0<x<2. 综上可知：当x ＞2时，直线AC 与⊙O 相离；当x=2时，直线AC 与⊙O 相切；当0＜x ＜2时，直线AC 与⊙O 相交．16．解：(1)过点P 作直线x=2的垂线，垂足为A.当点P 在直线x=2的右侧时，AP=x －2=3，∴x=5，此时y=32×5=152，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫5，152； 当点P 在直线x=2的左侧时，AP=2－x=3，∴x=－1，此时y=32×(－1)=－32， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32. 综上所述，当⊙P 与直线x=2相切时，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫5，152或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32. (2)当－1＜x ＜5时，⊙P 与直线x=2相交；当x ＜－1或x ＞5时，⊙P 与直线x=2相离．17．解：(1)过点A 作ON 的垂线段，交ON 于点P ，如图①.在Rt △AOP 中，∠APO=90°，∠POA=30°，OA=80米，所以AP=12OA=80×12=40(米)，即对学校A 的噪声影响最大时，卡车P 与学校A 的距离是40米．(2)以点A 为圆心，50米长为半径画弧，交ON 于点D ，E ，连接AD ，AE ，如图②.在Rt △ADP 中，∠APD=90°，AP=40米，AD=50米，所以DP=AD 2－AP 2=502－402=30(米)．同理可得EP=30米，所以DE=60米．又因为18千米/时=5米/秒，605=12(秒)， 所以卡车P 沿公路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间为12秒．。

与圆有关的位置关系一、中考考点透视：本章包括圆中的三种位置关系的判断即点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，还有就是直线与圆相切的判定与性质. 二、应考策略：与圆有关的三种位置关系，在中考试题中多数题目出现在选择、填空题中，题目难度也比较低.复习时只要掌握好点与圆位置关系的判断方法即点到圆心的距离与半径就可以了；对于直线与圆有关的位置关系，则要很好的掌握切线的性质和判定，中考对于切线的性质和判定出现在解答题情况较多. 三、典例借鉴与剖析：例1.已知矩形ABCD 的边AB ＝15，BC ＝20，以点B 为圆心作圆，使A 、C 、D 三点至少有一点在⊙B 内，且至少有一点在⊙B 外，则⊙B 的半径r 的取值范围是（ ） A ．r ＞15B ．15＜r ＜20C ．15＜r ＜25D ．20＜r ＜25分析：以B 为圆心，只能使A 、C 两点在圆内，D 点在圆外，所以其r 的范围大于BC 的长度小于矩形对角线AD 的长度. 解：本题选D .点拨：点与圆的位置判断 可根据点与圆心的距离与半径进行比较做出判断. 例2.如图2，ABC △内接于⊙O ，点D 在半径OB 的延长线上，30BCD A ∠=∠=°．（1）试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O 的半径长为1，求由弧BC 、线段CD 和BD 所围成的阴影部分面积（结果保留π和根号）．分析：可以直观的判断直线CD 与⊙O 相切．理由就是想办法证明OC CD ⊥，根据30BCD A ∠=∠=°条件可以判断OBC △是正三角形，从而求出90OCD ∠=°从而得到证明，至于阴影部分的面积可以利用间接法即求出Rt △OCD 的面积再减去扇形OBC 的面积. 解：（1）直线CD 与⊙O 相切．理由如下：在⊙O 中，223060COB CAB ∠=∠=⨯=°°． 又OB OC =∵， OBC ∴△是正三角形， 60OCB ∠=∴°．又30BCD ∠=∵°，603090OCD ∠=+=∴°°°，OC CD ⊥∴．又OC ∵是半径，∴直线CD 与⊙O 相切．（2）由（1）得COD △是Rt △，60COB ∠=°．1OC =∵，CD =∴．AC D图2122COD S OC CD ==△∴· 又1π6OCB S =扇形∵，1ππ266COD OCB S S S =-=-=△阴影扇形∴． 点拨：判断直线与圆相切，当切点比较明确时，可以证明圆心与切点的连线互相垂直.四、备战中考实战演练：基础巩固训练一、选择题1.如图3，是奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在的位置关系是（ ）A ．内含B ．相交C ．相切D ．外离2.已知⊙1O 半径为3cm ，P 1O =4cm ，则点P 到⊙1O 上一点A 距离的最大值为（ ）A .1； B .3； C .4； D .7．3.如图4，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，PA =3，OA =4，则cos ∠APO 的值为（ ）A .34 B .35 C .45 D . 434.如图5，两等圆⊙O 和⊙O ′相外切，过O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB 等于( )A .90° B .60° C .45°D .30°5.图6中，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB 的延长线上，AD 切半圆O 于点D ，BC ⊥AD 于点C ，AB ＝2，半圆O 的半径为2，则BC 的长为（ ） A ．2 B ．1 C ．1.5 D ．0.56.正三角形内切圆半径r 与外接圆半径R 之间的关系为（ ）A ．4R =5rB ．3R =4rC ．2R =3rD ．R =2r7.如图8，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．已知50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，那么EDF ∠等于（ ）Ａ．40° Ｂ．55° Ｃ．65° Ｄ．70°8.如图9，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，⊙A 与轴相切于B ，与轴交于C （0，1），D （0，4）两点，则点A 的坐标是 （ ）D图8 图3图4A .35(,)22B .3(,2)2C .5(2,)2D .53(,)22二、填空题9.在平面内，⊙O 的半径为5cm ，点P 到圆心O 的距离为3cm ，则点P 与⊙O 的位置关系是.10.如图10，⊙O 的半径为5，PA 切⊙O 于点A ，30APO ∠=°，则切线长PA 为 ．（结果保留根号）11.相交两圆的半径分别为5 cm 和4 cm ，公共弦长为6 cm ．，则这两圆的圆心距为_____．12.林业工人为调查树木的生长情况，常用一种角卡为工具，可以很快测出大树的直径，其工作原理如图11所示．现已知∠ＢＡＣ＝６０°,AB ＝0.5米，则这棵大树的直径为 _______米． 三、解答题13.已知：如图13，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．求证：DE 是⊙O 的切线． 14.如图14，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，∠DAB ＝22.5º，延长AB 到点C ，使得∠ACD＝45º．（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AB ＝22，求BC 的长．15.如图15-1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图15-2．已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm ），设铁环中心为O ，铁环钩与铁环相切点为M ，铁环与地面接触点为A ，MOA α=∠，且3sin 5α=． （1）求点M 离地面AC 的高度BM （单位：厘米）；（2）设人站立点C 与点A 的水平距离AC 等于11个单位，求铁环钩MF 的长度（单位：厘米）．图10图15-2图15-1图11图13图14探究创新提高1.如24-16，在平面直角坐标系中，点A 1是以原点O 为圆心，半径为2的圆与过点（0，1）且平行于x 轴的直线l 1的一个交点；点A 2是以原点O 为圆心，半径为3的圆与过点（0，2）且平行于x 轴的直线l 2的一个交点；……按照这样的规律进行下去，点A n 的坐标为．2.如图17，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，10cm OP =，射线PN 与⊙O 相切于点Q ．A B ，两点同时从点P 出发，点A 以5cm /s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm /s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t s ． （1）求PQ 的长；（2）当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？答案一、1.D 2.D 3.B 4.B 5.B 6.D 7.B 8.C 二、10. 点P 在⊙O 内11.5三、13.连结OD ，则OD OB =，1B ∴∠=∠． AB AC = ，B C ∴∠=∠．1C ∴∠=∠． OD AC ∴∥．图16图17CBODE DEC ∴∠=∠．DE AC ⊥ ，90DEC ∴∠= ． 90ODE ∴∠= ，即DE OD ⊥．DE ∴是⊙O 的切线．14.（1）证明：如图，连接．， ．又，，即． 是⊙O 的切线．（2）解：由（1）可得：是等腰直角三角形．是直径， ． ．15.如图，过M 作与AC 平行的直线，与OA、 FC 分别相交于H 、 N .（1）在 RtΔOHN 中，∠OHN =900, OM =5, HM =OM .sin α=3 ∴OH =4, MB =HA =1 ∴铁环钩离地面的高度为5cm .（2）∵∠MOH +∠OMH =∠OMH +∠FMN =900, ∠FMN =∠OMH =α∴3sin 5FN FM α== 即得FN =35FM在RtΔFMN 中，∠FNM =900,MN =BC =AC -AB =8 ∴FM =10∴铁环钩的长度为50cm .探究创新提高1.（12+n ，n ）．2.（1）连接OQ ．PN 与⊙O 相切于点Q ，OQ PN ∴⊥，即90OQP ∠= ． 10OP = ，6OQ =，OD 22.52DAB DOC DAB ∠=∠=∠ ，45DOC ∴∠= 45ACD ∠=18090ODC ACD DOC ∴∠=-∠-∠= OD CD ⊥CD ∴ODC △AB = AB OD OB ∴==2OC ∴==2BC OC OB ∴=-=17题图8(cm)PQ ∴==．（2）过点O 作OC AB ⊥，垂足为C ．点A 的运动速度为5cm /s ，点B 的运动速度为4cm /s ，运动时间为t s ， 5PA t ∴=，4PB t =． 10PO = ，8PQ =，PA PBPO PQ∴=． P P ∠=∠ ，PAB POQ ∴△∽△．90PBA PQO ∴∠=∠= ．90BQO CBQ OCB ∠=∠=∠= ， ∴四边形OCBQ 为矩形． BQ OC ∴=．⊙O 的半径为6，6BQ OC ∴==时，直线AB 与⊙O 相切． ①当AB 运动到如图1所示的位置．84BQ PQ PB t =-=-． 由6BQ =，得846t -=． 解得0.5(s)t =．②当AB 运动到如图2所示的位置．48BQ PB PQ t =-=-． 由6BQ =，得486t -=． 解得 3.5(s)t =．所以，当t 为0.5s 或3.5s 时直线AB 与⊙O 相切．图图。