医用高等数学重点整理

第一章曲线与曲面
面面角：面面角的余弦值为法向量夹角余弦值的绝对值（0≤π≤90°）
点面距：
线线角：方向向量夹角（0≤π≤90°）
线面角：直线和它在平面投影直线的夹角。

方向向量与法向量夹角余弦的绝对值为线面角正
弦值。

第二章一元函数的极限及其连续性
收敛数列的基本性质：
极限的四则运算：
第三章一元函数的导数、微分及其应用存在
切线方程：
法线方程：
常数和基本初等函数的导数：
微分基本公式：
微分中值定理：罗尔定理：
拉格朗日中值定理：
柯西中值定理：
洛必达法则：
函数的凹凸性：若在某点二阶导数为0 ,在其两侧二阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变
第四章一元函数的积分及其应用
换元积分法：
分部积分：
已知平行截面面积函数的立体体积：平面曲线的弧长：
旋转体的侧面积：
第五章微分方程可分离变量方程：
齐次方程：
可化为齐次方程的方程：
一阶线性微分方程：
伯努利方程：
可降阶高阶微分方程：
线性齐次方程解的结构：
线性非齐次方程解的结构：
常系数线性齐次微分方程：
常系数非齐次线性微分方程：。

医用高等数学完整答案第一部分：导数及其应用导数是高等数学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

在医用高等数学中，导数的应用非常广泛，例如在药物动力学、生物力学等领域。

1. 导数的定义：导数可以理解为函数在某一点的变化率。

对于一个函数 f(x)，它在点 x=a 处的导数定义为：f'(a) = lim (h→0) [f(a+h) f(a)] / h其中，h 表示自变量 x 的微小变化量。

2. 导数的几何意义：导数还可以理解为函数图像在某一点的切线斜率。

切线是函数图像在该点附近最接近的直线，斜率则表示切线与x 轴的夹角。

3. 导数的计算：导数的计算方法有很多种，包括求导法则、微分法则、链式法则等。

下面列举一些常用的求导法则：常数函数的导数为 0。

幂函数的导数为幂指数乘以幂函数的导数。

指数函数的导数为指数函数乘以底数的对数。

对数函数的导数为底数的对数除以对数函数。

三角函数的导数可以根据三角函数的和差公式进行计算。

4. 导数的应用：导数在医用高等数学中的应用非常广泛，例如：药物动力学：通过求导可以计算药物在体内的浓度变化率，从而预测药物的疗效和副作用。

生物力学：通过求导可以计算生物体的运动速度和加速度，从而分析生物体的运动状态。

生理学：通过求导可以计算生理参数的变化率，从而分析生理过程的变化规律。

导数是医用高等数学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率，并在药物动力学、生物力学等领域有着广泛的应用。

第二部分：微积分的应用微积分是高等数学的另一个重要分支，它包括微分和积分两部分。

在医用高等数学中，微积分的应用同样非常重要，它可以帮助我们理解和分析医学问题。

1. 微分的应用：微分是微积分的基础，它描述了函数在某一点的变化情况。

在医学中，微分可以用来研究药物在体内的浓度变化、生物体的生长速度等。

例如，我们可以通过微分方程来描述药物在体内的代谢过程，从而预测药物的疗效和副作用。

2. 积分的应用：积分是微积分的另一个重要部分，它描述了函数在某个区间上的累积效果。

1.极限存在条件A x f x f A x f x x ==⇔=+-→)()()(lim 0002. 法则1(夹逼法则) 若在同一极限过程中,三个函数)(1x f 、)(2x f 及)(x f 有如下关系:)()()(21x f x f x f ≤≤且A x f x f ==)(lim )(lim 21 则A x f =)(lim3.法则2(单调有界法则) 单调有界数列一定有极限4.无穷小定理0])(lim[)(lim =-⇔=A x f A x f 以~-A 为无穷小，则以A 为极限。

性质1 有限个无穷小的代数和或乘积还是无穷小 性质2 有界变量或常数与无穷小的乘积是无穷小.性质3 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 5.高阶同低阶无穷小，假设.0,,≠αβα且个无穷小是同一变化过程中的两)(,,0lim)1(αβαβαβo ==记作较高阶的无穷小是比就说如果 ;,,lim)2( 较高阶的无穷小是比或者说较低阶的无穷小是比就说如果βααβαβ∞= ;),0(lim)3(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C C C=1时，为等价无穷小。

无穷小阶的的是就说如果k k C C kαβαβ),0,0(lim )4( >≠= 6. 则有若,)(lim ,)(lim B x g A x f ==)0()(lim )(lim )()(lim)3()()(lim )]()(lim[)2()(lim )(lim )]()(lim[)1(≠==•=•=•±=±=±B BAx g x f x g x f B A x g x f x g x f B A x g x f x g x f推论 则为常数而存在若,,)(lim c x f )(lim )(lim x f c x cf =则为正整数而存在若,,)(lim n x f n n x f x f )]([lim )](lim [= 例题11lim 22--→x x x 11lim 22--→x x x 1lim 1lim lim 2222--=→→→x x x x x 31= 7. 为非负整数时有和所以当n m b a ,0,000≠≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--∞→,,,,0,,lim 0110110m n m n m n b a b x b x b a x a x a n n n m m m x 当当当ΛΛ 8.例题)2(lim 2x x x x -+∞→求 )2(lim 2x x x x -+∞→xx x x x x x x ++++-+=∞→2)2)(2(lim222xx x x ++=∞→22lim21212lim2++=∞→xx =1 9.两个重要的极限例题nx mx x sin sin lim0→求 nx mx x sin sin lim 0→nx nx mx mx n m x sin sin lim 0⋅⋅=→ n m nx nx mx mx n m x x =⨯=→→sin lim sin lim 00x x x 1sin lim ∞→求 所以时则当令.0,,1→∞→=t x x t x x x 1sin lim ∞→1sin lim 0==→ttt例题x x x 3)21(lim -∞→求 xx x3)21(lim -∞→)3)(2(2])21[(lim x xxx x --∞→-=662])21[(lim ---∞→=-=e x xx 例题2 x x x x )11(lim -+∞→求 x x x x )11(lim -+∞→xx x )121(lim -+=∞→⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-+=-∞→)121(])121[(lim 221x x x x 221e e =•=解法2 x x x x x )11()11(lim -+=∞→211])11[(lim )11(lim e ee xx x x xx ==-+=---∞→∞→10.函数在一点连续的充分必要条件是;)()1(0处有定义在点x x f ;)(lim )2(0存在x f x x →).()(lim )3(00x f x f x x =→11..)()(00处既左连续又右连续在是函数处连续在函数x x f x x f ⇔12.满足下列三个条件之一的点0x 为函数)(x f 的间断点.;)()1(0没有定义在点x x f ;)(lim )2(0不存在x f x x →).()(lim ,)(lim )3(00x f x f x f x x x x ≠→→但存在跳跃间断点.)(),(lim )(lim ,,)(000断点的跳跃间为函数则称点但右极限都存在处左在点如果x f x x f x f x x f x x x x +-→→≠可去间断点.)(,)(),()(lim ,)(00000的可去间断点为函数称点则处无定义在点或但处的极限存在在点如果x f x x x f x f A x f x x f x x ≠=→跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点为 左右极限都存在 第二类间断点 左右极限至少有一个是不存在的第二类间断点中包括 无穷间断点（有一段的极限为正或负无穷） 震荡间断点（xx 1sinlim 0→） 13.例题.)1ln(lim 0xx x +→求 xx x 10)1ln(lim +=→原式e ln ==114.（最值定理）若函数)(x f y = 闭区间],[b a 上连续，则)(x f y =在闭区间],[b a 上必有最大值和最小值．（有界性定理） 若函数)(x f y =闭区间],[b a 上连续，则其在闭区间上必有界（介值定理） 若函数)(x f y =闭区间],[b a 上连续，则对介于)(a f 和)(b f 之间的任何数C ，至少存在一个),(b a ∈ξ，使得c f =)(ξ 根的存在定理 两侧异号 至少有一根。

医科高等数学教材高等数学是一门重要的学科，对于医科学生来说尤为重要。

本教材旨在为医科学生提供一套全面、系统的高等数学知识体系，以帮助他们建立扎实的数学基础，为今后的医学学习和临床实践打下坚实的基础。

第一章：函数与极限1.1 函数的概念1.2 函数的性质与分类1.3 极限的概念与性质1.4 极限的计算方法1.5 极限存在准则第二章：导数与微分2.1 导数的概念与几何意义2.2 导数的基本运算法则2.3 高阶导数与导数的应用2.4 微分的概念与性质2.5 隐函数与参数方程的微分第三章：积分与定积分3.1 不定积分与积分的概念3.2 不定积分的基本方法3.3 定积分的概念与性质3.4 定积分的计算方法3.5 积分中值定理与应用第四章：微分方程与应用4.1 微分方程的概念与分类4.2 一阶微分方程的解法4.3 高阶微分方程的解法4.4 微分方程的应用第五章：级数与函数项级数5.1 数列的极限与收敛性5.2 级数的概念与性质5.3 收敛级数的判别法5.4 函数项级数的收敛性5.5 幂级数与泰勒级数第六章：多元函数与偏导数6.1 多元函数的概念与性质6.2 偏导数与全微分6.3 隐函数求导与参数方程的导数6.4 多元函数的极值与条件极值6.5 多元函数的泰勒公式与应用第七章：多重积分与曲线积分7.1 二重积分与三重积分的概念7.2 二重积分的计算与应用7.3 三重积分的计算与应用7.4 广义积分的概念与性质7.5 曲线积分与曲面积分第八章：向量与空间解析几何8.1 向量的基本运算法则8.2 空间直线与平面的方程8.3 空间曲线与曲面的方程8.4 空间直线与平面之间的位置关系8.5 空间几何问题的解析第九章：常微分方程与拉普拉斯变换9.1 常微分方程的基本概念与性质9.2 一阶常微分方程的解法9.3 高阶常微分方程的解法9.4 拉普拉斯变换的定义与性质9.5 拉普拉斯变换的应用本教材同时附有大量的习题和解析，以帮助学生巩固所学知识，并提供实际应用的例题，让学生了解数学在医学上的实际运用。

医学高数必考知识点归纳医学高数，即医学高等数学，是医学专业学生在学习过程中必须掌握的数学基础课程之一。

它不仅对理解医学现象有着重要作用，而且在数据分析、医学统计等方面也发挥着关键作用。

以下是医学高数中的一些必考知识点归纳：1. 函数与极限：- 函数的概念、性质、图像。

- 极限的定义、性质和求法。

- 无穷小量的比较。

2. 导数与微分：- 导数的定义、几何意义、物理意义。

- 基本初等函数的导数公式。

- 高阶导数、隐函数及参数方程所确定的函数的导数。

- 微分的概念、几何意义和应用。

3. 积分学：- 不定积分与定积分的概念、性质、计算方法。

- 换元积分法、分部积分法。

- 定积分在几何、物理中的应用，如面积、体积、功等。

4. 多元函数微分学：- 多元函数的极限、连续性、偏导数、全微分。

- 多元函数的极值问题。

5. 级数：- 数项级数的收敛性判别。

- 幂级数、泰勒级数。

- 函数展开成幂级数的应用。

6. 常微分方程：- 一阶微分方程的求解方法，如可分离变量方程、一阶线性微分方程。

- 高阶微分方程的特解和通解。

7. 线性代数基础：- 矩阵的概念、运算、秩、逆矩阵。

- 线性方程组的解法，如高斯消元法、克拉默法则。

8. 概率论基础：- 随机事件的概率、条件概率、独立性。

- 随机变量及其分布，包括离散型和连续型随机变量。

- 数学期望、方差、协方差等统计量的计算。

9. 数理统计基础：- 抽样分布、参数估计、假设检验。

- 回归分析、方差分析的基本概念。

10. 数值分析基础：- 数值计算误差、插值法、数值积分与微分。

医学高数的学习不仅要求掌握这些基本的数学概念和计算方法，还要求能够将这些数学工具应用到医学研究和实践中去。

通过不断练习和应用，可以提高解决实际问题的能力。

医用高等数学》考点归纳医用高等数学》第1章介绍了函数与极限的基本概念。

其中，1.1节介绍了基本初等函数的图像和性质，而1.2节则重点讲解了极限的定义和四则运算。

该节还介绍了两种重要的极限形式，即sinx/x和(1+x)^(1/x)，以及无穷大与无穷小量的定义和基本性质。

最后，1.3节讲解了函数的连续性的定义和判定方法。

在第2章中，§2.1介绍了导数的概念。

导数的定义是指函数在某一点处的变化率，其计算方法是求函数在该点处的斜率。

该节还介绍了导数的几何意义和物理意义，以及导数的基本性质。

除了以上内容之外，本章还包括了§2.2导数的计算方法、§2.3高阶导数和§2.4微分的概念和计算方法等内容。

这些知识点对于医学专业的学生来说，具有重要的理论和实际意义。

因此，学生在研究本章内容时，应该认真对待，多做练，掌握好基本概念和计算方法。

如果在区间I上每一点都存在导数，那么我们称该函数在该区间上可导，导函数简称为导数，通常表示为y'、dy/dx或f'(x)。

判断函数在x点是否可导的方法是从导数定义出发，判断lim(Δy/Δx)是否存在，若存在，则可导；否则不可导。

函数y=f(x)在x点的导数值实际上就是曲线y=f(x)在x点处的切线斜率。

函数在某点可导和该点存在切线的关系为：可导必有切线，有切线未必可导。

函数连续与可导的关系为：函数在某点可导必连续，连续未必可导。

函数四则运算和基本初等函数的求导法则如下：u±v)'=u'±v'ku)'=ku'（k为常数）uv)'=u'v+v'u复合函数的求导法则为：设y=f(u),u=φ(x)，则(dy/dx)=(dy/du)(du/dx)。

隐函数求导法则的基本方法是等号两侧分别对x求导，且将y视为x的函数，利用复合函数求导法则求导。

对数求导法的基本方法是等式两侧分别取自然对数，化简后再求导。

《医用高等数学》主要知识点概要第1章 函数与极限§1.1 函数基本初等函数的图像和性质（教材第5页） §1.2 极限 1、 极限的定义：1) 两种基本形式lim ()x f x A →∞=和0lim ()x x f x A →=2) 左极限和右极限的概念 3) 极限的四则运算【重点】[]lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x ±=± lim ()lim ()kf x k f x =()lim ()im()lim ()f x f xg x g x = []lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x =⋅ 重点例题：教材第13页例8-例122、 两种重要极限【重点】 1) 基本形式0sin lim1x xx→=，重点例题：教材第15页13-152) lim(10)e ∞+=型，两种基本形式：1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭和()10lim 1x x x e →+=重点例题：教材第16页，例16-173、 无穷大与无穷小量【重点】 1) 无穷大与无穷小的定义2) 无穷小的基本性质①有限个无穷大的乘积或代数和也是无穷大 ②非零常数与无穷大乘积也是无穷大③常数或有界函数与无穷大的代数和也是无穷大 3) 无穷小的基本性质①有限个无穷小的代数和或乘积也是无穷小 ②有界函数或常数与无穷小的乘积是无穷小③在求0x →的极限时，一些等价无穷小可以直接互相替换，但须注意替换时只能替换乘除因子中的无穷小，不能替换加减因子中的无穷小。

主要的代换有：~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1xx x x x x x e +-以及：211cos ~2x x - 重要例题：教材17页，例18-19，教材第20页，练习1-2,第2题第（1）、（5）-（7）§1.3 函数的连续性 1、 函数连续的定义2、 判定函数在0x 连续的方法：1)[]000lim lim ()()0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=2)0lim ()()x x f x f x →=基本初等函数以及由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合构成的初等函数在其定义域内均是连续的。