12kπ(k=±1,±2,…)为第Ⅱ类间断点.1.4 习题解答本节给出了由张选群教授主编,人民卫生出版社出版的统编教材《医用高等数学》习题的解题思路及参考解题过程.1.求下列函数的定义域(1)y=(x+2)(x-1).解 由(x+2)(x-1)≥0定义域为(-∞,-2]∪[1,+∞).(2)y=arccos(x-3).解 由-1≤(x-3)≤1定义域为[2,4].(3)y=lg x-1 x+2.解 由x-1x+2>0定义域为(-∞,-2)∪(1,+∞).(4)y=ln(2+x) x(x-4).解 由ln(2+x)≥0(2+x)≥1x≥-1;又x≠0,x≠4从而定义域为[-1,0)∪(0,4)∪(4,+∞).(5)y=12-x2+arcsin12x-1.解 由(2-x2)>0-2<x<2; 又由-1≤12x-1≤10≤x≤2;故定义域为[0,2).(6)y=x sin x.解 由sin x≠0定义域为(kπ,(k+1)π)(k=0,±1,±2,…).2.设f(x)=1+x2,x<0,12,x=0,-x,x>0.求f(0),f12,f lg12.解 f(0)=12,f12=-12,f lg12=f(-lg2)=1+(-lg2)2=1+(lg2)2.3.设函数y=f(x)的定义域为[0,1],求下列函数的定义域(1)y=f x+13+f x-13.解 由0≤x+13≤10≤x-13≤1-13≤x≤2313≤x≤43定义域为13,23.(2)y=f(sin x).解 由0≤sin x≤1定义域为[2kπ,(2k+1)π](k=0,±1,±2,…).(3)y=f(ln x+1).解 由0≤ln x+1≤11e≤x≤1定义域为1e,1.(4)y=f(x2).解 由0≤x2≤1-1≤x≤1定义域为[-1,1].4.写出y关于x的复合函数(1)y=lg u, u=t an(x+1).解 y=lg[tan(x+1)].(2)y=u3, u=x2+1.解 y=(x2+1)32.(3)y=u+sin u, u=1-v, v=x3.解 y=1-x3+sin(1-x3).(4)y=e u, u=v2, v=sin w, w=1 x.解 y=exp sin21x.5.指出下列各函数是由哪些基本初等函数或简单函数复合而成(1)y=e arc tan(2x+1).解 y=e u, u=arct an v, v=2x+1.(2)y=sin3(x+2).解 y=u32, u=sin v, v=x+2.(3)y=tan 1+x 1-x.解 y=tan u, u=v, v=1+x 1-x.(4)y=cosln3x2+1.解 y=cos u, u=v3, v=12ln w, w=x2+1.6.已知f(e x+1)=e2x+e x+1,求f(x)的表达式.解 f(e x+1)=e2x+e x+1=(e x+1)2-(e x+1)+1f(x)= x2-x+1.7.已知f tan x+1tan x=tan2x+1t an2x+3,x≠kπ2(k=0,±1,±2,…),求f(x)的表达式.解 f t an x+1tan x=tan2x+1tan2x+3=tan x+1tan x2+1f(x)=x2+1.8.求下列函数的极限(1)limn→∞(n+1-n)=limn→∞1n+1+n=0;(2)limn→∞n sin nn+1=limn→∞1n+1/nsin n;因为对于任意的自然数n,有0≤1n+1/nsin n≤1n+1/n,注意到lim n→∞0=limn→∞1n+1/n=0,由夹逼法则得lim n→∞1n+1/nsin n=0,即lim n→∞1n+1/nsin n=0,故lim n→∞n sin nn+1=0. (3)limn→∞1n2+2n2+…+n-1n2=limn→∞1n2·12(n-1)n=limn→∞121-1n=12. 9.求下列函数的极限(1)limx→-1x3-1x-1=limx→-1(x2+x+1)=1;(2)limx→1x2-12x2-x-1=limx→1(x+1)(x-1)(2x+1)(x-1)=limx→1x+12x+1=23;(3)limx→∞x2-13x2-x-1=limx→∞1-1x23-1x-1x2=13;(4)因为limx→1x2-5x+42x-1=0,所以limx→12x-1x2-5x+4=∞;(5)limx→3x+13-2x+1x2-9=limx→33(3-x)(x2-9)(x+13+2x+1)=limx→3-3(x+3)(x+13+2x+1)=-116;(6)limx→+∞x2+1-1x=limx→+∞xx2+1+1=limx→+∞11+1x2+1x=1;(7)limx→111-x-21-x2=limx→1x-11-x2=limx→1-11+x=-12;(8)limx→01-cos xx sin x=limx→02sin2x2x·2sinx2cosx2=limx→0sinx2x cosx2=limx→0sinx22·x2·cosx2=12;(9)limx→1(1-x)tanπ2x=limt→0t tanπ2(1-t)=limt→0t cotπ2t=limt→02π·π2tsinπ2tcosπ2t=2π;(10)limx→0tan x-sin xx3=limx→0sin xx·1cos x·1-cos xx2=limx→0sin xx·12cos x·sinx2x22=12;(11)limx→1x21-x=limt→0(1-t)2t=limt→0(1-t)1-t2=limt→0(1-t)1-t2=e2;(12)limx→0(1-3x)1x=limx→0(1-3x)1-3x-3=limx→0(1-3x)1-3x-3=e-3;(13)limx→∞x-11+xx-1=limx→∞1-21+xx-1=limx→∞1-21+xx+11-21+x-2=limx→∞1-21+xx+1-2-21-21+x-2=limx→∞1-21+xx+1-2-2limx→∞1-21+x-2=e-2;(14)limx→0x+ln(1+x)3x-ln(1+x)=limx→01+1xln(1+x)3-1xln(1+x)=limx→01+ln(1+x)1x3-ln(1+x)1x=1+13-1=1;(15)limx→-1ln(2+x)31+2x+1=limx→-1[(1+2x)23-(1+2x)13+1]ln(2+x)1+2x+1=32limx→-1ln(2+x)1+x=32limt→0ln(1+t)t=32limt→0ln(1+t)1t =32ln limt→0(1+t)1t=32;(16)limx→∞2x+32x+1x+1=limx→∞1+22x+1x+1=limx→∞1+1x+12x+1=limx→∞1+1x+12x+121+1x+1212=limx→∞1+1x+12x+12limx→∞1+1x+1212=e.10.已知limx→1x2+bx+61-x=5,试确定b的值.解 由于分母极限为0,故只有分子的极限也为0时整个分式才可能有极限0型极限,其结果是个非0有限数值时,说明分子分母为同阶无穷小量,即limx→1(x2+bx+6)=0b=-7. 11.已知limx→+∞(2x-ax2-x+1)存在,试确定a的值,并求出极限值.解 limx→+∞(2x-a x2-x+1)=limx→+∞4x2-a x2+x-12x+ax2-x+1=limx→+∞(4-a)x2+x-12x+ax2-x+1存在.所以分子分母为同次式(分母本质上是一次式),即4-a= 0a=4.lim x→+∞(2x-4x2-x+1)=limx→+∞x-12x+4x2-x+1=limx→+∞1-1x2+4-1x+1x2=14. 12.当x→0时,将下列函数与x进行比较,哪些是高阶无穷小?哪些是低阶无穷小?哪些是同阶无穷小?哪些是等价无穷小?(1)tan3x.解 limx→0t an3xx=limx→0sin xx·tan2xcos x=limx→0sin xx·limx→0tan2xcos x=0当x→0时,tan3x是x的高阶无穷小;(2)1+x2-1.解 limx→01+x2-1x=limx→0x1+x2+1=0当x→0时,1+x2-1是x的高阶无穷小;(3)csc x-cot x.解 limx→0csc x-cot xx=limx→01-cos xx sin x=limx→0sin2x2x sinx2cosx2=limx→012sinx2x2cosx2=12当x→0时,csc x-cot x是x的同阶无穷小;(4)x+x2sin 1 x.解 limx→0x+x2sin1xx=limx→01+x sin1x=1当x→0时,x+x3sin 1x是x的等价无穷小;(5)cos π2(1-x).解 limx→0cosπ2(1-x)x=limx→0sinπ2xx=π2limx→0sinπ2xπ2x=π2当x→0时,cos π2(1-x)是x的同阶无穷小;(6)1+tan x -1-sin x .解lim x →01+tan x -1-sin x x=lim x →0tan x +sin x x (1+tan x +1-sin x)=limx →0sin xx 1+1cos x(1+tan x +1-sin x)=1当x →0时,1+t an x -1-sin x 是x 的等价无穷小.13．已知当x →0时,(1+ax 2-1)与sin 2x 是等价无穷小,求a 的值.解 limx →01+ax 2-1sin 2x =lim x →0ax 2(1+ax 2+1)sin 2x=a2=1a =2.14．设 f (x)=e x ,x <0,a +ln (1+x),x ≥0. 在(-∞,+∞)内连续,求a 的值.解 lim x →0-f (x)=lim x →0-e x=1,lim x →0+f (x)=lim x →0+[a +ln (1+x)]=a a =1.15．讨论函数f (x)=e 1x,x <0,0,x =0,x sin1x,x >0. 在点x =0处的连续性.解 因为lim x →0-f (x)=lim x →0-e 1x=0,lim x →0+f (x)=lim x →0+x sin 1x =lim x →0f (x)=0=f (0),所以f (x)在点x =0处连续.16．讨论函数f (x)=1,x =0,x sin 1x,x ≠0. 在点x =0处的连续性.解 因为lim x →0f (x)=lim x →0x sin1x=0≠f (0)=1,所以f (x)在点x =0处不连续.17．设f (x)=2,x =0,ln (1+a x)x,x ≠0. 在点x =0处连续,求a 的值.解 因为lim x →0f (x)=lim x →0ln (1+a x)x=a lim x →0ln (1+ax)1a x=a =f (0)=2,所以a =2.18．确定下列函数的间断点与连续区间:(1)y =x ln x．解 间断点为x =1;连续区间为(0,1)∪(1,+∞).(2)y =x -2x 2-5x +6.解 y =x -2(x -2)(x -3),间断点为x =2,x =3;连续区间为(-∞,2)∪(2,3)∪(3,+∞).(3)f (x)=1-x 2,x ≥0,sin |x |x ,x <0.解 lim x →0-f (x)=limx →0-sin |x |x =-1,lim x →0+f (x)=lim x →0+(1-x 2)=1lim x →0-f (x)≠lim x →0+f (x).因此,间断点为x =0;连续区间为(-∞,0)∪(0,+∞).(4)f (x)=limn →+∞11+xn (x ≥0).解 f(x)=1,0≤x<1,12,x=1,0,x>1,间断点为x=1;连续区间为[0,1)∪(1,+∞).1．5 自测题1．选择题(以下各题均有4个答案,其中只有1个正确答案)(1)对1～6个月的婴儿,由月龄估计体重的经验公式为y= f(t)=3+0．6t(t表示月龄,y表示体重),则在这个实际问题中f(t)的定义域是.A.(-∞,+∞);B.(0,+∞);C.[1,6];D.以上都不是.(2)函数f(x)=3-x+arccos x-23+1的定义域是.A.(-1,3);B.[-1,3);C.(-1,3];D.[-1,3].(3)设f(x)=x+1x,则下式成立的是.A.f(x)=f 1x;B.f(x)=1f(x);C.f(x)=f1f(x);D.f(x)=1f1x.(4)函数y=a x8+8是由复合而成.A.y=a u,u=v12,v=x8+8;B.y=a u,u=x8+8;C.y=au12,u=x8+8;D.y=a12u,u=x8+8.列表讨论如下:t (0,t 1)t 1(t 1,t 2)t 2(t 2,+∞)C ′(t)+0--C ″(t)--0+C(t)↗凸极大值↘凸拐点↘凹 C(t)的最大值:C max=C(t 1)=A σ1σ2σ1σ2σ1-σ2;C(t)的拐点值:C(t 2)=A(σ1+σ2)σ21σ2σ12σ2σ1-σ2.请读者描绘出函数图像.2.4 习题解答本节给出了由张选群教授主编,人民卫生出版社出版的统编教材《医用高等数学》习题的解题思路及参考解题过程.1.若一质点作直线运动,已知路程s 与时间t 的关系是s =3t 2+2t +1.试计算从t =2到t =2+Δt 之间的平均速度,并计算当Δt =0．1,Δt =0．01时的平均速度,再计算t =2时的瞬时速度.解 平均速度 珔v =Δs Δt =s(2+Δt)-s(2)Δt=3Δt +14.当Δt =0．1时,珔v =14．3;当Δt =0．01时,珔v =14．03;因此,t =2时的瞬时速度v ′(2)=lim Δt →0珔v =lim Δt →0(3Δt +14)=14. 2.按导数定义计算下列函数在指定点的导数.(1)f (x)=sin2x,x =0.解 f ′(0)=lim Δx →0f (0+Δx)-f (0)Δx =lim Δx →0sin2ΔxΔx=2.(2)f (x)=11+x,在x(x ≠-1)点.解 f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx=limΔx→011+(x+Δx)-11+xΔx=limΔx→0-1(1+x+Δx)(1+x)=-1(1+x)2.(3)f(x)=x+1,在x=0点.解 f′(0)=limΔx→0f(0+Δx)-f(0)Δx=limΔx→0Δx+1-1Δx=limΔx→0 1Δx+1+1=2.(4)f(x)=2x-x2,在x点.解 f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx=limΔx→0(2-2x-Δx)=2-2x.3.设f(x)在x=x0点处可导,试计算下列极限(1)limx→x0f(x)-f(x0)x-x0.解 设x=x0+Δx,则原式=limx→x0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=f′(x0).(2)limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)Δx.解 原式=12limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)2Δx=12f′(x0).(3)limΔx→0f(x0)-f(x0-Δx)Δx.解 原式=lim-Δx→0f(x0-Δx)-f(x0)-Δx=f′(x0).(4)limn→∞n f x0+1n-f(x0).解 原式=lim1 n →0f x0+1n-f(x0)1n=f′(x0).(5)limh→0f(x0+h)-f(x0-h)h.解 原式=limh→0f(x0+h)-f(x0)-[f(x0-h)-f(x0)]h=2f′(x0).(6)limt→0f(x0+αt)-f(x0+βt)t.解 原式=limt→0α·f(x0+αt)αt-β·f(x0+βt)βt=(α-β)f′(x0).4.讨论下列函数在x=0点是否可导.(1)f(x)=x32sin1x,x>0 0,x≤0.解 f′(0)=limΔx→0f(0+Δx)-f(0)Δx=limΔx→0f(Δx)Δx,而f′-(0)=limΔx→0-f(Δx)Δx=limx→0-0=0,f′+(0)=limΔx→0+f(Δx)Δx=limx→0+(Δx)32sin1ΔxΔx=0.所以,f(x)在x=0点可导且f′(0)=0.(2)f(x)=x1+e1x,x≠0, 0,x=0.解 f′(0)=limΔx→0f(0+Δx)-f(0)Δx=limΔx→0f(Δx)Δx=limΔx→011+e1Δx.而f′-(0)=limΔx→0-11+e1Δx=1, f′+(0)=limΔx→0+11+e1Δx=0.所以f(x)在x=0点不可导.5.确定a,b的值,使f(x)=x2,x≤1,ax+b,x>1在x=1点处可导.解 要使f(x)在x=1处连续,必须有limx→1+f(x)=limx→1-f(x)=f(1).而lim x→1-f(x)=limx→1-x2=1, lim x→1+f(x)=limx→1+(ax+b)=a+b,f(1)=1,从而a+b=1.f′(1)=limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=limΔx→0f(1+Δx)-1Δx,f′-(1)=limΔx→0-f(1+Δx)-1Δx=limΔx→0-(1+Δx)2-1Δx=2,f′+(1)=limΔx→0+f(1+Δx)-1Δx=limΔx→0+a(1+Δx)+b-1Δx=a.要使f(x)在x=1处可导,应有f′-(1)=f′+(1),即a=2,又a+b= 1,从而得b=-1.＊6.若函数f(x)在x0点可导,且f(x0)≠0,试计算极限lim n→∞f x0+1nf(x0)n.解 limn→∞f x0+1nf(x0)n=limn→∞exp n lnf x0+1nf(x0)=limn→∞expln f x0+1n-ln f(x0)1n=exp limn→∞ln f x0+1n-ln f(x0)1n=expdln f(x)d x x=x0=exp1f(x)·f(x)′x=x=exp1f(x0)·f′(x0)7.设曲线y=2x-x3.(1)求(1,1)点处曲线的切线方程及法线方程;(2)在(x0,y0)点处,曲线的切线通过点(0,-2),求(x0,y0)点及该点处曲线的切线方程和法线方程.解 y′=2-3x2.(1)在(1,1)点处曲线的切线斜率为k切=y′(1)=-1,因此切线方程:y-1=-1·(x-1), 即y=-x+2.法线方程:y-1=1·(x-1), 即y=x.(2)在(x0,y0)点处曲线的切线斜率为k切=y′(x0)=2-3(x0)2,切线方程为y-y0=[2-3(x0)2](x-x0),由于曲线过点(0,-2),有x0=-1,y0=-1.在(-1,-1)点, k切=-1,因此切线方程:y+1=-1·(x+1), 即y=-x-2.法线方程:y+1=1·(x+1), 即y=x.8.求下列函数的导数.(1)y=2x2+x22.解 y′=(2x-2)′+12x2′=-4x-3+x.(2)y=3x+3x+1 x.解 y′=3·x12′+x13′+(x-1)′=32x-12+13x-23-x-2.(3)y=x(2x-1)(3x+2).解 y′=(x)′(2x-1)(3x+2)+x(2x-1)′(3x+2) +x(2x-1)(3x+2)′=(2x-1)(3x+2) +2x(3x+2)+3x(2x-1).(4)y=x sin x+cos x.解 y′=(x)′sin x+x(sin x)′=sin x+x cos x.(5)y=x3+1x2-x-2.解 y′=(x3+1)′(x2-x-2)-(x3+1)(x2-x-2)′(x2-x-2)2=3x2(x2-x-2)-(x3+1)(2x-1)(x2-x-2)2.(6)y=1-ln x 1+ln x.解 y′=(1-ln x)′(1+ln x)-(1-ln x)(1+ln x)′(1+ln x)2=-2x(1+ln x)2.(7)y=x arctan x+sin x x.解 y′=(x)′arctan x+x(arctan x)′+sin xx′=12xarctan x+x1+x2+x cos x-sin xx2.(8)y=x tan x+x4x+xcos x.解 y′=tan x+x sec2x+4x-x4x ln442x+cos x+x sin xcos2x.(9)y=(2x2+3)3.解 y′=3(2x2+3)2·(2x2+3)′=12x(2x2+3)2.(10)y=ln(cot x).解 y′=1cot x·(cot x)′=1cot x·(-csc2x)=-1sin x cos x.(11)y=e sin x+arccos1-x2.解 y′=(e sin x)′+(arccos1-x2)′=e sin x cos x-11-(1-x2)2·-2x21-x2=e sin x cos x+x|x|1-x2.(12)y=x a2-x2+a2arcsin x a.解 y′=(x a2-x2)′+a2arcsin x a=a2-x2+x-2x2a2-x2+a211-xa2·1a=2a2-x2.(13)y= x+x+x.解 y′=12x+x+x(x+x+x)′=12x+x+x 1+12x+x(x+x)′=12x+x+x 1+12x+x1+12x.(14)y=sin(ln x)+ln(cos x).解 y′=cos(ln x)·1x+1cos x(-sin x)=1xcos(ln x)-tan x.(15)y=log2(x2-sin x).解 y′=1(x2-sin x)ln2(x2-sin x)′=2x-cos x(x2-sin x)ln2.(16)y=14ln1+x1-x+12arctan x+sinπ5.解 y′=14ln1+x1-x′+12(arctan x)′+sinπ5′=14·1-x1+x·1+x1-x′+12·11+x2=14·1-x1+x·2(1-x)2+12·11+x2=11-x4.(17)y=x ln x.解 利用对数求导法,有ln y=ln x·ln x1 y ·y′=2ln x·1x,故 y′=2x l n x-1ln x.(18)y=x sin x.解 利用对数求导法,有ln y=sin x·ln x,1 y ·y′=cos x·ln x+sin x·1x,故 y′=x sin x cos x ln x+sin xx.(19)y=(sin x)co s x.解 利用对数求导法,有ln y=cos x·lnsin x,1 y ·y′=-sin x·lnsin x+cos x·cos xsin x,y′=(sin x)co s x(cos x cot x-sin x lnsin x). (20)y=(2x)x.解 利用对数求导法,有ln y=x·ln2x,1 y ·y′=12xln x+x·22x,故y′=(2x)x ln(2x)+22x.(21)y=x2x+(2x)x.解 y=e2x l n x+e x ln(2x).利用对数求导法,有ln y=ln x·ln x,y′=e2x ln x·(2x ln x)′+e x ln(2x)(x ln2x)′=2x2x(ln x+1)+(2x)x(ln2x+1). (22)y=3x(x3+1)(x-1)2.解 利用对数求导法,有ln y=13[ln x+ln(x3+1)-2ln(x-1)],1 y ·y′=131x+3x2x3+1-2x-1,y′=133x(x3+1)(x-1)21x+3x2x3+1-2x-1. (23)y=(x-2)3x-55x+1.解 利用对数求导法,有ln y=3ln(x-2)+12ln(x-5)-15ln(x+1),1 y ·y′=31x-2+121x-5-151x+1,y′=(x-2)3x-53x+13x-2+12(x-5)-13(x+1). (24)y= (x sin x)1-e x.解 利用对数求导法,有ln y=12ln x+lnsin x+12ln(1-e x),1 y ·y′=121x+cos xsin x+12·-e x1-e x,y′=14(x sin x)1-e x2x+2cot x-ex1-e x. 9.求由下列方程确定的隐函数y=f(x)的导数(1)y=1+x e y.解 等式两边关于x求导,有y′=e y+x e y y′y′=e y1-x e y. (2)y=tan(x+y).解 等式两边关于x求导,有y′=sec2(x+y)·(1+y′),y′=sec2(x+y)1-sec2(x+y)=sec2(x+y)-tan2x=-csc2(x+y). (3)x y=y x.解 等式两边取对数,有y ln x=x ln y 等式两边关于x求导,有y′ln x+y·1x =ln y+x·1y·y′,y′=y(x ln y-y) x(y ln x-x). (4)x y=e x+y.解 等式两边关于x求导,有y+xy′=e x+y(1+y′),y′=e x+y-yx-e x+y=xy-yx-x y=y(x-1)x(1-y). 10.试证明曲线x+y=a上任一点处的切线,截两个坐标的截距之和为a.解 对曲线方程两边关于x求导,得1 2x +12y·y′=0, y′=-yx. 曲线上任一点(x0,y0)处的切线方程为y-y0=- y0x0·(x-x0).令x=0,得曲线在y轴上的截距:y0+x0y0;令y=0,得曲线在x轴上的截距:x0+x0y0;曲线在两坐标轴上的截距之和为:y0+x0+2x0y0=(x0+y0)2=a. 11.求下列函数的二阶导数(1)y=x x.解 等式两边取对数,有ln y=x ln x,等式两边关于x求导,有1yy′=ln x+1, y′=x x(1+ln x),对此式关于x再求导,有y″=(x x)′(1+ln x)+x x(1+ln x)′=x x(1+ln x)2+x x-1. (2)ln x2+y2=arctan y x.解 等式两边关于x求导,有1x2+y2·12x2+y2(2x+2yy′)=11+(y/x)2y′x-yx2, x+yy′=x y′-y, y′=x+yx-y,对此式关于x再求导,得y″=(x+y)′(x-y)-(x+y)(x-y)′(x-y)2=(1+y′)(x-y)-(x+y)(1-y′)(x-y)2. 代入y′=x+yx-y, 有y″=2x2+y2(x-y)3.12.设f″(x)存在,求下列函数的二阶导数(1)y=f(x2).解 y′=f′(x2)·2x,y″=[f′(x2)]′·2x+f′(x2)·2=4x2f″(x2)+2f′(x2).(2)y=ln[f(x)].解 y′=1f(x)·f′(x),y″=1f(x)′·f′(x)+1f(x)·f″(x) =-[f′(x)]2f2(x)+f″(x)f(x).13.求下列函数的n阶导数(1)y=sin x.解 y′=cos x=sin π2+x,y″=cos π2+x=sinπ2+π2+x=sin2·π2+x,y=cos2·π2+x=sinπ2+2·π2+x=sin3·π2+x, ⁝y(n)=sin n·π2+x.(2)y=sin2x.解 y′=2sin x cos x=sin2x,y″=2cos2x=2sin π2+2x,y=22cos π2+2x=22sinπ2+π2+2x=22sin2·π2+2x, ⁝y(n)=2n-1sin(n-1)·π2+2x.14.一质点作直线运动,其运动规律为s=t,其中路程s的单位为米,时间t的单位为秒,求质点在第4秒末的速度与加速度?解 质点在时刻t的速度 v(t)=d sd t=12t,加速度a(t)=d v(t)d t=-14t3.在第4秒末的速度v(4)=12t t=4=14,在第4秒末的加速度a(4)=-14t3t=4=-132. 15.许多肿瘤的生长规律为v=v0e A a(1-e-a t).其中,v表示t时刻的肿瘤的大小(体积或重量),v0为开始(t=0)或观察时肿瘤的大小,a和A为正常数,问肿瘤t时刻的增长速度是多少?解 肿瘤的t时刻的增长速度d vd t=v0e A a(1-e-at)′=v0A e A a(1-e-a t)-a t.16.病人服药后,药物通过肾脏排泄的血药浓度c和时间t的关系为c(t)=c0(1-e-k t),c0为血药初始浓度,k为常数,求药物的排泄速率.解 药物排泄速率 v(t)=d(c(t))d t=c0k e-k t.17.设某种细菌繁殖的数量为N=1000+52t+t2,其中时间t 以小时(h)计,求t=2h,t=5h时细菌的繁殖速度.解 在t时刻细菌的繁殖速度:v(t)=d Nd t=52+2t,在t=2h的繁殖速度:v(2)=(52+2t)t=2=56个/h,在t=5h的繁殖速度:v(5)=(52+2t)t=5=62个/h.18.求下列函数的微分(1)y=x2+1-31+x2.解 d y=(x2+1-31+x)′d x=2x-2x33(1+x2)2d x.(2)y=x(1+sin2x).解 d y=[x(1+sin2x)]′d x=1+sin2x2x+x·2sin2x d x(3)y=arctane x+arctan 1 x.解 d y=arctane x+arctan 1x′d x=e x1+e2x+11+1/x2·-1x2d x=e x1+e x-11+x2d x.(4)y=sin(x e x).解 d y=[sin(x e x)]′d x=(1+x)e x cos(x e x)d x.(5)y=x2-x,在x=1处.解 d y=(x2-x)′d x=(2x-1)d x.在x=1处,d y=(2x-1)x=1d x=d x.(6)y=x+1,在x=0,Δx=0．01时.解 d y=(x+1)′d x=12x+1d x.在x=0,Δx=0．01处,d y=12x+1Δxx=0Δx=0．01=0．005.19.在下列各划线处,填入适当的函数(1)d(x)=12xd x; (2)d-1x=1x2d x;(3)d(ax+b)=a d x;(4)d 1ae a x=e a x d x;(5)d 12arctanx2=14+x2d x;(6)d(lnφ(x))=φ′(x)φ(x)d x.20.若函数f(x)可导,且f(0)=0,|f′(x)|<1,试证明x≠0时,|f(x)|<|x|.证明 由拉格朗日中值定理,有f(x)-f(0)=f′(ξ)(x-0),ξ介于x,0之间,从而f(x)=f′(ξ)x,|f(x)|=|f′(ξ)||x|<1·|x|=|x|. ＊21.试证明,若对于任意x∈R,有f′(x)=a,则f(x)=ax+b.证明 设F(x)=f (x)-ax,则有F ′(x)=f ′(x)-(ax)′=0,F(x)=b (常数),故 f (x)=a x +b .22.利用洛必达法则求下列函数极限(1)lim x →0e x-e -x-2x x -sin x =lim x →0e x+e -x-21-cos x =limx →0e x-e-xsin x=lim x →0e x +e -x cos x=2.(2)lim x →π2lnsin x (π-2x)2=lim x →π2cot x -4(π-2x)=lim x →π2-csc 2x8=limx →π2-18sin 2x =-18.(3)lim x →+∞x e x 2x +e x =lim x →+∞e x 2+12x e x 21+e x =lim x →+∞e x 2+14x ex 2ex=lim x →+∞4+x 4e x 2=lim x →+∞=12ex 2=0.(4)lim x →π2tan x tan3x =lim x →π2sec 2x 3sec 23x =13lim x →π2cos 23x cos 2x =lim x →π2sin6xsin2x =3.(5)lim x →0x 2ln x =limx →0ln x 1x 2=lim x →01x-2·1x3=-2lim x →0x 2=0.(6)lim x →01x -1e x -1=lim x →0e x -x -1x(e x -1)=lim x →0e x -1e x -1+x ex=lim x →0e x 2e x +x e x=12.(7)lim x →π2(tan x)2cos x=lim x →π2e2co s x lnt an x=el im x →π22co s x lnt an x .因为lim x →π22cos x lntan x =lim x →π22lntan x sec x =lim x →π22·1tan x·sec 2xsec x tan x=lim x →π22cos x sin 2x =0,所以原式=e 0=1. (8)lim x →0(e x+x)1x=lim x →0eln (e x +x)x=e lim x →0ln (e x+x)x.因为 lim x →0ln (e x +x)x=lim x →0e x +1e x+x =2,所以 原式=e 2.＊(9)设函数f (x)存在二阶导数,f (0)=0,f ′(0)=1,f ″(0)=2,试求lim x →0f (x)-xx2.解 lim x →0f (x)-x x2=lim x →0f ′(x)-12x =12lim x →0f ′(x)-f ′(0)x -0=12f ″(0)=1.＊(10)设函数f (x)具有二阶连续导数,且lim x →0f(x)x=0,f ″(0)=4,求lim x →01+f (x)x1x.解 lim x →01+f (x)x1x=lim x →0exp ln 1+f (x)x x =exp limx →0ln 1+f (x)xx, limx →0ln 1+f (x)xx=lim x →01+f (x)x-1·f (x)x′1=lim x →0f ′(x)x -f (x)x 2=lim x →012f ″(x)=12×4=2,所以 limx→01+f(x)x1x=e2.23.试确定下列函数的单调区间(1)f(x)=x e-x.解 定义域为(-∞,+∞): f′(x)=e-x(1-x).令f′(x)=0,得驻点x=1．x∈(-∞,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)的单调递增区间为(-∞,1);单调递减区间为(1,+∞).(2)f(x)=x1+x.解 定义域为[0,+∞); f′(x)=1-x2x(1+x)2.令f′(x)=0,得驻点x=1．x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)的单调递增区间为(0,1);单调递减区间为(1,+∞).24.求下列函数极值(1)f(x)=3x-x3.解 定义域为(-∞,+∞);f′(x)=3-3x2=3(1-x)(1+ x).令f′(x)=0,得驻点x=-1,x=1．x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(-1,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以x=-1为f(x)的极小值,极小值f(-1)=-2;x=1为f(x)的极大值,极大值f(1)=2. (2)f(x)=xln x.解 定义域为x>0,x≠1; f′(x)=ln x-1ln2x.令f′(x)=0,得驻点x=e．x∈(1,e)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(e,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以,x=e为f(x)的极小值,极小值f(e)=e.(3)f(x)=6xx2+1.解 定义域为(-∞,+∞);f′(x)=6-6x2(x2+1)2=6(1-x)(1+x)(x2+1)2.令f′(x)=0,得驻点x=-1,x=1．x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(-1,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以x=-1为f(x)的极小值,极小值f(-1)=-3;x=1为f(x)的极大值,极大值f(1)=3. (4)f(x)=(2x-1)3(x-3)2.解 定义域为(-∞,+∞);f′(x)=23(x-3)2+(2x-1)·23·(x-3)-13=10(x-2)3(x-3)13. 令f′(x)=0,得驻点x=2,不可导点x=3.x<2时,f′(x)>0, x>2时,f′(x)<0;2<x<3时,f′(x)>0, 3<x时,f′(x)>0.所以,x=2为f(x)的极大值,极大值f(2)=3.25.试问a为何值时,函数f(x)=a sin x+13sin3x,在x=π3处具有极值?它是极大值,还是极小值?并求此极值.解 f′(x)=a cos x+cos3x．因为x=π3为极值点,所以有f′π3=a cosπ3+cos3·π3=a2-1=0,即a=2,f(x)=2sin x+13sin3x, f′(x)=2cos x+cos3x,f″(x)=-2sin x-3sin3x,而f″π3=-3<0,所以x=π3为f(x)的极大值,极大值为f π3=3.26.测量某个量,由于仪器的精度和测量的技术等原因,对量A进行n次测量,其测量的数据分别为x1,x2,x3,…,x n,取数x 为量A的近似值.问x取何值时,才能使其与x i(i=1,2,…,n)之差的平方和最小?解 设x与x i(i=1,2,…,n)之差的平方和为y,则y=(x-x1)2+(x-x2)2+(x-x3)2+…+(x-x n)2, y′=2[nx-(x1+x2+x3+…+x n)]. 令y′=0,得x=x1+x2+x3+…+x nn (惟一驻点)．因此,当x=x1+x2+x3+…+x nn时,才能使其与x i(i=1,2,…,n)之差的平方和最小.27.1～9个月婴儿体重W(g)的增长与月龄t的关系有经验公式ln W-ln(341．5-W)=k(t-1.66).问t为何值时,婴儿的体重增长率v最快?解 对经验公式两边关于t求导,得1 W ·d Wd t+1341．5-W·d Wd t=k,婴儿的体重增长率v=d Wd t=k345．1W(345．1-W).而v′=d vd t=k345．1(345．1-2W), 令v′=0,则有W=345．12,从而t=1．66时,婴儿的体重增长率v最快.28.口服一定剂量的某种药物后,其血药浓度c与时间t的关系可表示为c=40(e-0．2t-e-2．3t),问t为何值时,血药浓度最高,并求其最高浓度.解 c=40(e-0．2t-e-2．3t), c′=d cd t=40(-0．2e-0．2t+2．3e-2．3t).令c′=0,则有t=ln2322．1=1．1630(惟一驻点),所以t=1．1630时,血药浓度最高,此最高血药浓度c(1．1630)=28．9423.29.已知半径为R的圆内接矩形,问它的长和宽为多少时矩形的面积最大?解 设圆内接矩形的面积为s,其长为x,宽为y= (2R)2-x2,则有s=xy=x4R2-x2,s′=d sd x=4R2-x2-x24R2-x2=4R2-2x24R2-x2,令s′=0,则有x=2R(惟一驻点),此时y=(2R)2-x2=2R.故,长x=2R,宽y=2R时矩形面积最大.30.已知某细胞繁殖的生长率为r=36t-t2,问时间t为何值时,细胞的生长率最大?最大生长率为多少?解 r=36t-t2,r′=d rd t=36-2t.令r′=0,则有t=18(惟一驻点),所以t=18时,细胞的生长率最大,此最大生长率为r(18)=324.31.在研究阈值水平时电容放电对神经的刺激关系中,Hoor－weg发现引起最小的反应(肌肉的收缩)时,电压U与电容器的电容量c有关,其经验公式为U=aR-bc,其中R是电阻(假设为定值),a,b为正常数.若电容的单位为微法(μF),电容器的电压为伏特(V),由物理知识可知,与负荷相对应的电能为E=5cU2(erg),从而有E=5c aR+bc2.试问,当电容为多少微法时,电能最小,其最小电能为多少?解 E=5c aR+bc2=5a2R2c+10aRb+5b2c,E′=d Ed c=5a2R2-5b2c2.令E′=0,则有c=ba R(惟一驻点),所以c=baR(μF)时,电能最小,此最小电能为EbaR=20abR(erg).32.判别下列曲线的凹凸性(1)y=x arctan x.解 函数定义域为(-∞,+∞).y′=arctan x+x1+x2, y″=2(1+x2)2>0,所以函数在(-∞,+∞)上为凹的.(2)y=4x-x2.解 函数定义域为(-∞,+∞),y′=4-2x, y″=-2<0.所以函数在(-∞,+∞)上为凸的.33.求下列曲线的凹凸区间与拐点(1)y=3x4-4x3+1.解 函数定义域为(-∞,+∞),y′=12x3-12x2, y″=36x2-24x=12x(3x-2).令f″(x)=0,得x=0,x=2/3.当x∈(-∞,0)时,f″(x)>0,函数为凹的;当x∈0,23时,f″(x)<0,函数为凸的;当x∈23,+∞时,f″(x)>0,函数为凹的.所以函数在(-∞,0),23,+∞上为凹的,在0,23上为凸的,拐点为(0,f(0))=(0,1),23,f23=23,1127.(2)y=ln(1+x2).解 函数定义域为(-∞,+∞),y′=2x1+x2, y″=2(1-x)(1+x)(1+x2)2. 令f″(x)=0,得x=-1,x=1.当x∈(-∞,-1)时,f″(x)<0,函数为凸的;当x∈(-1,1)时,f″(x)>0,函数为凹的;当x∈(1,+∞)时,f″(x)<0,函数为凸的.所以函数在(-∞,-1),(1,+∞)上为凸的,在(-1,1)上为凹的,拐点为(-1,f(-1))=(-1,ln2),(1,f(1))=(1,ln2).(3)y=2x ln x.解 函数定义域为(0,+∞),y′=2ln x-2ln2x, y″=4-2ln xx ln3x.令f″(x)=0,得x=e2,f″(x)的不可导点为x=1.当x∈(0,1)时,f″(x)<0,函数为凸的;当x∈(1,e2)时,f″(x)>0,函数为凹的;当x∈(e2,+∞)时,f″(x)<0,函数为凸的.所以函数在(0,1),(e2,+∞)上为凸的,在(1,e2)上为凹的,拐点为(e2,f(e2))=(e2,e2).(4)y=(x-5)53+2.解 函数定义域为(-∞,+∞)．y′=53(x-5)23, y″=109·13x-5,f″(x)的不可导点为x=5.当x∈(-∞,5)时,f″(x)<0,函数为凸的;当x∈(5,+∞)时,f″(x)>0,函数为凹的.所以函数在(-∞,5)上为凸的,在(5,+∞)上为凹的,拐点为(5, f(5))=(5,2).34.已知曲线y=ax3+bx2+c x+d在(1,2)点处有水平切线,且原点为该曲线上的拐点,求a,b,c,d之值,并写出此曲线的方程.解 y′=3ax2+2bx+c,y″=6a x+2b,根据题意有y(1)=a+b+c+d=2,y(0)=d=0,y′(1)=3a+2b+c=0,y″(0)=2b=0,从而解得 a=-1,b=0,c=3,d=0.35.求下列曲线渐近线(1)y=x2x2-1.解 因为limx→±1x2x2-1=∞,所以曲线有垂直渐近线x=±1;又因为 limx→∞x2x2-1=1,所以曲线有水平渐近线y=1.(2)y=x e 1x2.解 因为limx→0x e1x2=limx→0e1x21x=limx→02e1x2x=∞,所以曲线有垂直渐近线x=0;又因为 limx→∞x e1x2x=1,且limx→∞(x e1x2-x)=0,所以曲线有斜渐近线y=x.2.5 自测题1．选择题(以下各题均有4个答案,其中只有1个正确答案)(1)设f(x)=|x-8|,则f(x)在x=8处的导数是.A.8;B.不存在;C.0;D.-8.(2)设f(x-1)=x2-1,则f′(x)=.A.2x+2;B.2x+1;C.2x-1;D.2x.(3)设f(x)是可导函数,且limt→0f(x0+2t)-f(x0)t=1,则f′(x0)为.A.1;B.2;C.0;D.0．5.(4)设f(x)=x,当x0>0时,limt→0tf(x0-2t)-f(x0)=.。
