2020年湖南省娄底市中考数学试卷(含详细解析)

2020年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）2020-的倒数是( )A ．2020-B ．2020C ．12020D ．12020- 2．（3分）下列运算正确的是( )A ．236a a a =B ．222()a b a b +=+C ．33(2)8a a -=-D ．224a a a +=3．（3分）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果128∠=︒，那么2∠的度数为( )A ．62︒B ．56︒C ．28︒D ．72︒4．（3分）一组数据7，8，10，12，13的平均数和中位数分别是( )A ．7、10B ．9、9C ．10、10D ．12、115．（3分）我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．6．（3分）2020年中央财政下达义务教育补助经费1695.9亿元，比上年增长8.3%．其中1695.9亿元用科学记数法表示为( )A ．1016.95910⨯元B ．81695.910⨯元C ．101.695910⨯元D ．111.695910⨯元7．（3分）正多边形的一个外角为60︒，则这个多边形的边数为( )A ．5B ．6C ．7D ．88．（3分）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂1cos L L α=，阻力臂2cos L l β=，如果动力F 的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是( )A ．越来越小B ．不变C ．越来越大D ．无法确定9．（3分）如图，平行于y 轴的直线分别交1k y x =与2k y x =的图象（部分）于点A 、B ，点C 是y 轴上的动点，则ABC ∆的面积为( )A ．12k k -B ．121()2k k -C ．21k k -D ．211()2k k - 10．（3分）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为( )A ．135B ．153C ．170D ．18911．（3分）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是( )A ．22y x x =++B ．1y x =C ．1y x x =+D ．||1y x =-12．（3分）二次函数()()2()y x a x b a b =---<与x 轴的两个交点的横坐标分别为m 和n ，且m n <，下列结论正确的是( )A ．m a n b <<<B ．a m b n <<<C ．m a b n <<<D ．a m n b <<<二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）一元二次方程220x x c -+=有两个相等的实数根，则c = ． 14．（3分）口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球3个，白色球2个，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是 ．15．（3分）若1()2b d ac a c ==≠，则bd a c -=- ． 16．（3分）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m （米)，某车在标有300R =处的弯道上从点A 行驶了100π米到达点B ，则线段AB = 米．17．（3分）如图，四边形ABDC 中，3AB AC ==，2BD CD ==，则将它以AD 为轴旋转180︒后所得分别以AB 、BD 为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为 ．18．（3分）由4个直角边长分别为a ，b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积2c 等于小正方形的面积2()a b -与4个直角三角形的面积2ab 的和证明了勾股定理222a b c +=，还可以用来证明结论：若0a >、0b >且22a b +为定值，则当a b 时，ab 取得最大值．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：011|31|3tan30(3.14)()2π---︒+-+． 20．（6分）先化简22()339m m m m m m -÷+--，然后从3-，0，1，3中选一个合适的数代入求值． 四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）我市开展“温馨家园，创文同行”活动，某初中学校倡议学生利用双休日进社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间():t h A ．00.5t ，B ．0.51t <，C ．1 1.5t <，D ． 1.5t >，将所得数据绘制成了如图不完整的统计图：（1）本次调查参加义务劳动的学生共 人，a = ．（2）补全条形统计图．（3）扇形图中“00.5t ”部分的圆心角是 度．22．（8分）如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E 点距地面5m ，从E 点处测得D 点俯角为30︒，斜面ED 长为4m ，水平面DC 长为2m ，斜面BC 的坡度为1:4，求处于同一水平面上引桥底部AB 的长．（结果精确到0.1m 2 1.413 1.73)．五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花7200元购进洗手液与84消毒液共400瓶，已知洗手液的价格是25元/瓶，84消毒液的价格是15元/瓶．求：（1）该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？（2）若购买洗手液和84消毒液共150瓶，总费用不超过2500元，请问最多能购买洗手液多少瓶？24．（9分）如图，ABCD中，2⊥，分别在边BC、AD上的点E与点FBC AB=，AB AC关于AC对称，连接EF、AE、CF、DE．（1）试判定四边形AECF的形状，并说明理由；（2）求证：AE DE⊥．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）如图，点C在以AB为直径的O上，BD平分ABC∠交O于点D，过D作BC 的垂线，垂足为E．（1）求证：DE与O相切；（2）若5BE=，求BD的长；AB=，4（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．26．（10分）如图，抛物线经过点(3,0)A-、(1,0)C．B、(0,3)（1）求抛物线的解析式；（2）点(,)P m n是抛物线上的动点，当30∆的面积最-<<时，试确定m的值，使得PACm大；（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足226-=，若存在，请求出点D的DA DC坐标；若不存在，请说明理由．2020年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）2020-的倒数是( )A ．2020-B ．2020C ．12020D ．12020- 【分析】乘积是1的两数互为倒数．依据倒数的定义回答即可．【解答】解：2020-的倒数是12020-， 故选：D ．2．（3分）下列运算正确的是( )A ．236a a a =B ．222()a b a b +=+C ．33(2)8a a -=-D ．224a a a += 【分析】利用同底数幂的乘法、积的乘方的运算法则、合并同类项法则和完全平方公式分别化简求出答案即可判断．【解答】解：A 、235a a a =，原计算错误，故此选项不符合题意；B 、222()2a b a ab b +=++，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、33(2)8a a -=-，原计算正确，故此选项符合题意；D 、2222a a a +=，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：C ．3．（3分）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果128∠=︒，那么2∠的度数为( )A ．62︒B ．56︒C ．28︒D ．72︒【分析】由两锐角互余的性质可求DAC ∠度数，由平行线的性质可求解．【解答】解：如图，标注字母，由题意可得：90BAC∠=︒，162DAC BAC∠=∠-∠=︒，//EF AD，262DAC∴∠=∠=︒，故选：A．4．（3分）一组数据7，8，10，12，13的平均数和中位数分别是() A．7、10B．9、9C．10、10D．12、11【分析】根据平均数、中位数的计算方法求出结果即可．【解答】解：78101213105x++++==，从小到大排列处在中间位置的一个数是10，因此中位数是10，故选：C．5．（3分）我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是()A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形．故错误；B、是中心对称图形．故正确；C、不是中心对称图形．故错误；D、不是中心对称图形．故错误．故选：B．6．（3分）2020年中央财政下达义务教育补助经费1695.9亿元，比上年增长8.3%．其中1695.9亿元用科学记数法表示为( )A ．1016.95910⨯元B ．81695.910⨯元C ．101.695910⨯元D ．111.695910⨯元 【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【解答】解：1695.9亿元169590000000=元111.695910=⨯元，故选：D ．7．（3分）正多边形的一个外角为60︒，则这个多边形的边数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】多边形的外角和等于360︒，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成60n ︒，列方程可求解．【解答】解：设所求正n 边形边数为n ，则60360n ︒=︒，解得6n =．故正多边形的边数是6．故选：B ．8．（3分）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂1cos L L α=，阻力臂2cos L l β=，如果动力F 的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是( )A ．越来越小B ．不变C ．越来越大D ．无法确定【分析】根据杠杆原理及cos α的值随着α的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．【解答】解：动力⨯动力臂=阻力⨯阻力臂，∴当阻力及阻力臂不变时，动力⨯动力臂为定值，且定值0>，∴动力随着动力臂的增大而减小，杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cos α的值越来越大， 又动力臂1cos L L α=，∴此时动力臂也越来越大，∴此时的动力越来越小，故选：A ．9．（3分）如图，平行于y 轴的直线分别交1k y x =与2k y x =的图象（部分）于点A 、B ，点C 是y 轴上的动点，则ABC ∆的面积为( )A ．12k k -B ．121()2k k -C ．21k k -D ．211()2k k - 【分析】AB 的长是两个函数当自变量为x 时，因变量的差的绝对值，再根据三角形的面积公式进行计算即可．【解答】解：由题意可知，12k k AB x x=-，AB 边上的高为x ， 121211()()22ABC k k S x k k x x ∆∴=⨯-=-， 故选：B ．10．（3分）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为( )A ．135B ．153C ．170D ．189【分析】分析前三个正方形可知，规律为左上方的数等于序号数，左下方的数比左上方数大1，右上方数是左下方数的2倍，右下方数为左下方数的平方数的2倍加上序号数，由此解决问题．【解答】解：根据规律可得，218b =，9b ∴=，18a b ∴=-=，221628170x b a ∴=+=+=，故选：C ．11．（3分）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是( )A ．22y x x =++B ．1y x =+C ．1y x x =+D ．||1y x =-【分析】根据函数的零点的意义，逐项代入求解进行判断即可．【解答】解：当0y =时，方程220x x ++=无实数根，因此选项A 不符合题意；方程10x +=无实数根，因此选项B 不符合题意；方程10x x+=无实数根，因此选项C 不符合题意； 方程||10x -=的解为1x =±，因此选项D 符合题意，故选：D ．12．（3分）二次函数()()2()y x a x b a b =---<与x 轴的两个交点的横坐标分别为m 和n ，且m n <，下列结论正确的是( )A ．m a n b <<<B ．a m b n <<<C ．m a b n <<<D ．a m n b <<<【分析】依照题意画出二次函数()()y x a x b =--及()()2y x a x b =---的图象，观察图象即可得出结论．【解答】解：二次函数()()y x a x b =--与x 轴交点的横坐标为a 、b ，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数()()2y x a x b =---的图象，如图所示．观察图象，可知：m a b n <<<．故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）一元二次方程220x x c -+=有两个相等的实数根，则c = 1 ． 【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△240b ac =-=，建立关于c 的不等式，求出c 的值即可．【解答】解：一元二次方程220x x c -+=有两个相等的实数根，∴△224(2)40b ac c =-=--=，解得1c =．故答案为1．14．（3分）口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球3个，白色球2个，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是 25． 【分析】从袋中任取一球有325+=种可能，其中摸出白球有3种可能，利用概率公式进行求解．【解答】解：袋子中共有5个小球，其中白色小球有2个，∴从中任意摸出一球，有5种等可能结果，其中摸到白色小球的有2种可能，∴从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是25， 故答案为：25． 15．（3分）若1()2b d a c a c ==≠，则b d a c -=- 12 ． 【分析】根据分比的性质即可求解．【解答】解：1()2b d a c a c ==≠， ∴12b d ac -=-． 故答案为：12． 16．（3分）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m （米)，某车在标有300R =处的弯道上从点A 行驶了100π米到达点B ，则线段AB = 300 米．【分析】根据弧长公式求出AOB ∠的度数，根据等边三角形的性质即可求解．【解答】解：300100180180n R n πππ==， 60n ∴=︒， 又AO BO =，AOB ∴∆是等边三角形，300AB AO BO ∴===（米)， 故答案为：300．17．（3分）如图，四边形ABDC 中，3AB AC ==，2BD CD ==，则将它以AD 为轴旋转180︒后所得分别以AB 、BD 为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为 3:2 ．【分析】根据两个圆锥的底面圆相同，设底面圆的周长为l ，根据圆锥的侧面积公式可得上面圆锥的侧面积为：12l AB ，下面圆锥的侧面积为：12l BD ，即可得出答案． 【解答】解：两个圆锥的底面圆相同，∴可设底面圆的周长为l ，∴上面圆锥的侧面积为：12l AB ， 下面圆锥的侧面积为：12l BD ， 3AB AC ==，2BD CD ==，:3:2S S ∴=下上，故答案为：3:2．18．（3分）由4个直角边长分别为a ，b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积2c 等于小正方形的面积2()a b -与4个直角三角形的面积2ab 的和证明了勾股定理222a b c +=，还可以用来证明结论：若0a >、0b >且22a b +为定值，则当a = b 时，ab 取得最大值．【分析】作斜边c 上高h ，由完全平方公式可得ab 最大值为22c ，由三角形的面积公式可得2c h =，由等腰直角三角形的性质可求解． 【解答】解：如图，作斜边c 上高h ，2()0a b -，2220a b ab ∴+-，又222a b c +=，22a b +为定值， 22c ab ∴， ab ∴最大值为22c ， a ，b 为直角边的直角三角形面积1122a b c h ==， ∴22c c h =， 2c h ∴=， 等腰直角三角形斜边上的高是斜边的一半，∴当a b =时，2c h =， 故答案为：=．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：01131|3tan30(3.14)()2π--︒+-+． 【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式331312=-+112=++2=．20．（6分）先化简22()339m m m m m m -÷+--，然后从3-，0，1，3中选一个合适的数代入求值．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m 的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式(3)2(3)(3)(3)[](3)(3)(3)(3)m m m m m m m m m m m -++-=-+-+- [(3)2(3)](3)(3)(3)(3)m m m m m m m m--++-=+- (3)2(3)m m =--+326m m =---9m =--，当3m =-，0，3时，原式没有意义，舍去；当1m =时，原式1910=--=-． 四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 21．（8分）我市开展“温馨家园，创文同行”活动，某初中学校倡议学生利用双休日进社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间():t h A ．00.5t ，B ．0.51t <，C ．1 1.5t <，D ． 1.5t >，将所得数据绘制成了如图不完整的统计图：（1）本次调查参加义务劳动的学生共 100 人，a = ．（2）补全条形统计图．（3）扇形图中“00.5t ”部分的圆心角是 度．【分析】（1）根据图形得出本次调查参加义务劳动的学生3535%=÷，求出即可；（2）求出劳动时间在0.51t <范围内的学生，再画出图形即可；（3）先求出劳动时间在00.5t 范围内的学生占总数的百分比，再求出圆心角即可．【解答】解：（1）本次调查参加义务劳动的学生共3535%100÷=（人)，100%40a ⨯=，40a ∴=，故答案为：100，40；（2）如图所示：；（3）40120%35%100%5%100---⨯=， ∴扇形图中“00.5t ”部分的圆心角是3605%18︒⨯=︒，故答案为：18．22．（8分）如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E 点距地面5m ，从E 点处测得D 点俯角为30︒，斜面ED 长为4m ，水平面DC 长为2m ，斜面BC 的坡度为1:4，求处于同一水平面上引桥底部AB 的长．（结果精确到0.1m ，2 1.41≈，3 1.73)≈．【分析】作DF AE ⊥于F ，DG AB ⊥于G ，CH AB ⊥于H ，则DF GA =，2DC GH ==，AF DG CH ==，由含30︒角的直角三角形的性质得出122EF DE ==，323DF EF ==求出3CH AF ==，由斜面BC 的坡度求出412BH CH ==，进而得出答案．【解答】解：作DF AE ⊥于F ，DG AB ⊥于G ，CH AB ⊥于H ，如图所示：则DF GA =，2DC GH ==，AF DG CH ==，由题意得：30EDF ∠=︒，114222EF DE ∴==⨯=，323DF EF = 5AE =，523CH AF AE EF ∴==-=-=，斜面BC 的坡度为1:4CH BH=， 412BH CH ∴==， 3212231417.5()AB AG GH BH m ∴=++=+=≈，答：处于同一水平面上引桥底部AB 的长约为17.5m ．五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花7200元购进洗手液与84消毒液共400瓶，已知洗手液的价格是25元/瓶，84消毒液的价格是15元/瓶．求：（1）该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？（2）若购买洗手液和84消毒液共150瓶，总费用不超过2500元，请问最多能购买洗手液多少瓶？【分析】（1）设该校购进洗手液x 瓶，该校购进84消毒液y 瓶，根据“共400瓶；花费7200元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设能购买洗手液a 瓶，则能购买洗手液(150)a -瓶，根据总费用不超过2500元，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）设该校购进洗手液x 瓶，该校购进84消毒液y 瓶，依题意有40025157200x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得120280x y =⎧⎨=⎩． 故该校购进洗手液120瓶，该校购进84消毒液280瓶；（2）设能购买洗手液a 瓶，则能购买洗手液(150)a -瓶，依题意有2515(150)2500a a +-，解得25a ．故最多能购买洗手液25瓶．24．（9分）如图，ABCD 中，2BC AB =，AB AC ⊥，分别在边BC 、AD 上的点E 与点F 关于AC 对称，连接EF 、AE 、CF 、DE ．（1）试判定四边形AECF 的形状，并说明理由；（2）求证：AE DE ⊥．【分析】（1）由轴对称的性质得出AE AF =，CE CF =，OE OF =，证()AOF COE AAS ∆≅∆，得出AF CE =，则AE AF CE CF ===，即可得出四边形AECF 是菱形；（2）证30ACB ∠=︒，ABE ∆是等边三角形，则AE AB BE ==，60AEB ∠=︒，120AEC ∠=︒，证出12CE BE BC AB CD ====，则30CED CDE ∠=∠=︒，进而得出结论． 【解答】（1）解：四边形AECF 是菱形，理由如下：四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，OAF OCE ∴∠=∠，点E 与点F 关于AC 对称，AE AF ∴=，CE CF =，OE OF =，在AOF ∆和COE ∆中，OAF OCF AOF COE OF OE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOF COE AAS ∴∆≅∆，AF CE ∴=，AE AF CE CF ∴===，∴四边形AECF 是菱形；（2）证明：2BC AB =，AB AC ⊥，30ACB ∴∠=︒，60B ∴∠=︒，AE CE =，30EAC ACB ∴∠=∠=︒，903060BAE B ∴∠=︒-︒=︒=∠，ABE ∴∆是等边三角形，AE AB BE ∴==，60AEB ∠=︒，120AEC ∴∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，AB CD =，180120DCE B ∴∠=︒-∠=︒，又CE AE =， 12CE BE BC AB CD ∴====， 30CED CDE ∴∠=∠=︒，1203090AED ∴∠=︒-︒=︒，AE DE ∴⊥．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）如图，点C 在以AB 为直径的O 上，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，过D 作BC 的垂线，垂足为E ．（1）求证：DE 与O 相切；（2）若5AB =，4BE =，求BD 的长；（3）请用线段AB 、BE 表示CE 的长，并说明理由．【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到ODB CBD ∠=∠，根据平行线的性质得到OD DE ⊥，于是得到结论；（2）根据圆周角定理得到90ADB ∠=︒，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）过D 作DH AB ⊥于H ，根据角平分线的性质得到DH DE =，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OD ，OD OB =，ODB OBD ∴∠=∠，BD 平分ABC ∠，OBD CBD ∴∠=∠，ODB CBD ∴∠=∠，//OD BE ∴，BE DE ⊥，OD DE ∴⊥，DE ∴与O 相切；（2）解：AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，BE DE ⊥，90ADB BED ∴∠=∠=︒， BD 平分ABC ∠，OBD CBD ∴∠=∠，ABD DBE ∴∆∆∽， ∴AB BD BD BE =， ∴54BD BD =，BD ∴=；（3）解：CE AB BE =-，过D 作DH AB ⊥于H ， BD 平分ABC ∠，DE BE ⊥，DH DE ∴=，在Rt BED ∆与Rt BHD ∆中，DE DH BD BD =⎧⎨=⎩， Rt BED Rt BHD(HL)∴∆≅∆，BH BE ∴=，DCE A ∠=∠，90DGA DEC ∠=∠=︒，()ADH CDE AAS ∴∆≅∆，AH CE ∴=，AB AH BH =+，AB BE CE ∴=+，CE AB BE ∴=-．26．（10分）如图，抛物线经过点(3,0)A -、(1,0)B 、(0,3)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点(,)P m n 是抛物线上的动点，当30m -<<时，试确定m 的值，使得PAC ∆的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B 的点D ，满足226DA DC -=，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）据题意可设抛物线的解析式为3)(1)y dx x =+-，将点代入(0.3)C 解出a ，即可求出抛物线的解析．（2）先求出直线AC 的解析式，然后根据当30m -<<时，点(,)P m n 在直线AC 上方，过点P 作x 轴的垂线与线段AC 相交于点Q ，可将x m =分别代入y =一223x x -+和3y x =+得2(,23)P m m m --+，(,3)Q m m +，从而得出PQ 的代数式，从而可求出m 的值；（3）由题意可得4AB =，1OB =，3CO =，根据210BC =，45CAO ∠=’，可求出226BA BC -=，连接BC ，过B 作AC 的垂线交抛物线于点D ，交AC 于点H ，可得2222226DA DC HA HC BA BC -=-=-=，根据CAO DBA ∠=∠，可得BD 与AC 关于AB 的垂直平分线对称，即关于抛物线的对称轴1x =-对称，即点D 与点C 关于抛物线的对称轴1x =-对称，从而可求出点D 的坐标．【解答】解：（1）由题意可以假设抛物线的解析式为(3)(1)y a x x =+-，把(0,3)C 代入，可得1a =-，∴抛物线的解析式为223y x x =--+．（2）设直线AC 的解析式为y kx b =+，将(3,0)A -，(0,3)C 代入得到033k b b =-+⎧⎨=⎩， 解得13k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为3y x =+．当30m -<<时，点(,)P m n 在直线AC 的上方，过点P 作x 轴的垂线交AC 于Q ．则2(,23)P m m m --+，(,3)Q m m +，223(3)PQ m m m ∴=--+-+23m m =--，239()24m =-++， 30m -<<，∴当32m =-时，PQ 的值最大， 此时1322PAC S PQ AO PQ ∆=⋅⋅=最大， 32m ∴=-．（3）由(3,0)A -，(1,0)B ，(0,3)C ，可得4AB =，1OB =，3OC =， 210BC =，45CAO ∠=︒，226BA BC ∴-=，连接BC ，过点B 作AC 的垂线交抛物线于D ，交AC 于H ． 则90AHB ∠=︒，45DBA CAO ∠=∠=︒，2222226DA DC HA HC AB BC ∴-=-=-=，CAO DBA ∠=∠，BD ∴，AC 关于AB 的垂直平分线的对称，即关于抛物线的对称轴1x =-对称，x=-对称，∴点D与点C关于抛物线的对称轴1C，(0,3)-．∴点D的坐标为(2,3)。

中考数学试题答案及解析一、精心选一选，旗开得胜（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分）1、（2011•娄底）﹣2011的相反数是（）A、2011B、﹣2011C、12011D、﹣12011考点：相反数。

专题：计算题。

分析：根据相反数的意义，只有符号不同的数互为相反数．解答：解：﹣2011的相反数是2011，故选A．点评：本题考查了相反数的概念．只有符号不同的数互为相反数，0的相反数为0．2、（2011•娄底）2011年4月28日，国家统计局发布2010年第六次全国人口普查主要数据公报，数据显示，大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共1339724852人，大陆总人口这个数据用科学记数法表示（保留3个有效数字）为（）A、1.33×109人B、1.34×109人C、13.4×108人D、1.34×1010人考点：科学记数法与有效数字。

分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．解答：解：1339724852=1.339724852≈1.34×109．故选B．点评：此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．3、（2011•娄底）若|x﹣3|=x﹣3，则下列不等式成立的是（）A、x﹣3＞0B、x﹣3＜0C、x﹣3≥0D、x﹣3≤0考点：绝对值。

专题：常规题型。

分析：根据绝对值的意义，任何数的绝对值都是非负数，从结果入手直接得出答案．解答：解：∵|x﹣3|=x﹣3，∵x﹣3≥0．故选：C．点评：此题主要考查了绝对值的意义，从去绝对值后的结果入手分析是解决问题的关键．4、（2011•娄底）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=5x的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有（）A、y1＜0＜y2B、y2＜0＜y1C、y1＜y2＜0D、y2＜y1＜0考点：反比例函数图象上点的坐标特征。

【解析版】2020年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）﹣2020的倒数是（）A．﹣2020B．2020C．D．﹣【解答】解：﹣2020的倒数是，故选：D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a+b）2＝a2+b2C．（﹣2a）3＝﹣8a3D．a2+a2＝a4【解答】解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；C、（﹣2a）3＝﹣8a3，原计算正确，故此选项符合题意；D、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：C．3．（3分）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为（）A．62°B．56°C．28°D．72°【解答】解：如图，标注字母，由题意可得：∠BAC＝90°，∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝62°，∵EF∥AD，∴∠2＝∠DAC＝62°，故选：A．4．（3分）一组数据7，8，10，12，13的平均数和中位数分别是（）A．7、10B．9、9C．10、10D．12、11【解答】解：＝＝10，从小到大排列处在中间位置的一个数是10，因此中位数是10，故选：C．5．（3分）我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形．故错误；B、是中心对称图形．故正确；C、不是中心对称图形．故错误；D、不是中心对称图形．故错误．故选：B．6．（3分）2020年中央财政下达义务教育补助经费1695.9亿元，比上年增长8.3%．其中1695.9亿元用科学记数法表示为（）A．16.959×1010元B．1695.9×108元C．1.6959×1010元D．1.6959×1011元【解答】解：1695.9亿元＝169590000000元＝1.6959×1011元，故选：D．7．（3分）正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：设所求正n边形边数为n，则60°•n＝360°，解得n＝6．故正多边形的边数是6．故选：B．8．（3分）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1＝L•cosα，阻力臂L2＝l•cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（）A．越来越小B．不变C．越来越大D．无法确定【解答】解：∵动力×动力臂＝阻力×阻力臂，∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，∴动力随着动力臂的增大而减小，∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cosα的值越来越大，又∵动力臂L1＝L•cosα，∴此时动力臂也越来越大，∴此时的动力越来越小，故选：A．9．（3分）如图，平行于y轴的直线分别交y＝与y＝的图象（部分）于点A、B，点C是y轴上的动点，则△ABC的面积为（）A．k1﹣k2B．（k1﹣k2）C．k2﹣k1D．（k2﹣k1）【解答】解：由题意可知，AB＝﹣，AB边上的高为x，＝×（﹣）•x＝（k1﹣k2），∴S△ABC故选：B．10．（3分）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（）A．135B．153C．170D．189【解答】解：根据规律可得，2b＝18，∴b＝9，∴a＝b﹣1＝8，∴x＝2b2+a＝162+8＝170，故选：C．11．（3分）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（）A．y＝x2+x+2B．y＝+1C．y＝x+D．y＝|x|﹣1【解答】解：当y＝0时，方程x2+x+2＝0无实数根，因此选项A不符合题意；方程+1＝0无实数根，因此选项B不符合题意；方程x+＝0无实数根，因此选项C不符合题意；方程|x|﹣1＝0的解为x＝±1，因此选项D符合题意，故选：D．12．（3分）二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m 和n，且m＜n，下列结论正确的是（）A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b 【解答】解：二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象，如图所示．观察图象，可知：m＜a＜b＜n．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝1．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4c＝0，解得c＝1．故答案为1．14．（3分）口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球3个，白色球2个，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是．【解答】解：∵袋子中共有5个小球，其中白色小球有2个，∴从中任意摸出一球，有5种等可能结果，其中摸到白色小球的有2种可能，∴从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是，故答案为：．15．（3分）若＝＝（a≠c），则＝．【解答】解：∵＝＝（a≠c），∴＝．故答案为：．16．（3分）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝300米．【解答】解：∵100π＝＝，∴n ＝60°，又AO ＝BO ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝AO ＝BO ＝300（米），故答案为：300．17．（3分）如图，四边形ABDC 中，AB ＝AC ＝3，BD ＝CD ＝2，则将它以AD 为轴旋转180°后所得分别以AB 、BD 为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为3：2．【解答】解：∵两个圆锥的底面圆相同，∴可设底面圆的周长为l ，∴上面圆锥的侧面积为：l•AB ，下面圆锥的侧面积为：l•BD ，∵AB ＝AC ＝3，BD ＝CD ＝2，∴S 上：S 下＝3：2，故答案为：3：2．18．（3分）由4个直角边长分别为a ，b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c 2等于小正方形的面积（a ﹣b ）2与4个直角三角形的面积2ab 的和证明了勾股定理a 2+b 2＝c 2，还可以用来证明结论：若a ＞0、b ＞0且a 2+b 2为定值，则当a ＝b 时，ab 取得最大值．【解答】解：如图，作斜边c上高h，∵（a﹣b）2≥0，∴a2+b2﹣2ab≥0，又∵a2+b2＝c2，a2+b2为定值，∴ab≤，∴ab最大值为，∵a，b为直角边的直角三角形面积＝a•b＝c•h，∴＝c•h，∴h＝，∵等腰直角三角形斜边上的高是斜边的一半，∴当a＝b时，h＝，故答案为：＝．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：|﹣1|﹣3tan30°+（3.14﹣π）0+（）﹣1．【解答】解：原式＝﹣1﹣3×+1+2＝﹣1﹣+1+2＝2．20．（6分）先化简（﹣）÷，然后从﹣3，0，1，3中选一个合适的数代入求值．【解答】解：原式＝[﹣]•＝•＝（m﹣3）﹣2（m+3）＝m﹣3﹣2m﹣6＝﹣m﹣9，当m＝﹣3，0，3时，原式没有意义，舍去；当m＝1时，原式＝﹣1﹣9＝﹣10．四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）我市开展“温馨家园，创文同行”活动，某初中学校倡议学生利用双休日进社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间t（h）：A．0≤t≤0.5，B．0.5＜t≤1，C．1＜t≤1.5，D．t＞1.5，将所得数据绘制成了如图不完整的统计图：（1）本次调查参加义务劳动的学生共100人，a＝40．（2）补全条形统计图．（3）扇形图中“0≤t≤0.5”部分的圆心角是18度．【解答】解：（1）本次调查参加义务劳动的学生共35÷35%＝100（人），∵100×a%＝40，∴a＝40，故答案为：100，40；（2）如图所示：；（3）∵1﹣20%﹣35%﹣×100%＝5%，∴扇形图中“0≤t≤0.5”部分的圆心角是360°×5%＝18°，故答案为：18．22．（8分）如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E点距地面5m，从E点处测得D点俯角为30°，斜面ED长为4m，水平面DC长为2m，斜面BC 的坡度为1：4，求处于同一水平面上引桥底部AB的长．（结果精确到0.1m，≈1.41，≈1.73）．【解答】解：作DF⊥AE于F，DG⊥AB于G，CH⊥AB于H，如图所示：则DF＝GA，DC＝GH＝2，AF＝DG＝CH，由题意得：∠EDF＝30°，∴EF＝DE＝×4＝2，DF＝EF＝2，∵AE＝5，∴CH＝AF＝AE﹣EF＝5﹣2＝3，∵斜面BC的坡度为1：4＝，∴BH＝4CH＝12，∴AB＝AG+GH+BH＝2+2+12＝2+14≈17.5（m），答：处于同一水平面上引桥底部AB的长约为17.5m．五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花7200元购进洗手液与84消毒液共400瓶，已知洗手液的价格是25元/瓶，84消毒液的价格是15元/瓶．求：（1）该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？（2）若购买洗手液和84消毒液共150瓶，总费用不超过2500元，请问最多能购买洗手液多少瓶？【解答】解：（1）设该校购进洗手液x瓶，该校购进84消毒液y瓶，依题意有，解得．故该校购进洗手液120瓶，该校购进84消毒液280瓶；（2）设能购买洗手液a瓶，则能购买洗手液（150﹣a）瓶，依题意有25a+15（150﹣a）≤2500，解得a≤25．故最多能购买洗手液25瓶．24．（9分）如图，▱ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC、AD上的点E与点F 关于AC对称，连接EF、AE、CF、DE．（1）试判定四边形AECF的形状，并说明理由；（2）求证：AE⊥DE．【解答】（1）解：四边形AECF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，∵点E与点F关于AC对称，∴AE＝AF，CE＝CF，OE＝OF，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE，∴AE＝AF＝CE＝CF，∴四边形AECF是菱形；（2）证明：∵BC＝2AB，AB⊥AC，∴∠ACB＝30°，∴∠B＝60°，∵AE＝CE，∴∠EAC＝∠ACB＝30°，∴∠BAE＝90°﹣30°＝60°＝∠B，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，∴∠AEC＝120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠DCE＝180°﹣∠B＝120°，又∵CE＝AE，∴CE＝BE＝BC＝AB＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，∴AE⊥DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．【解答】（1）证明：连接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BE，∵BE⊥DE，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵BE⊥DE，∴∠ADB＝∠BED＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴△ABD∽△DBE，∴，∴＝，∴BD＝2；（3）解：CE＝AB﹣BE，过D作DH⊥AB于H，∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，∴DH＝DE，在Rt△BED与Rt△BHD中，，∴Rt△BED≌Rt△BHD（HL），∴BH＝BE，∵∠DCE＝∠A，∠DGA＝∠DEC＝90°，∴△ADH≌△CDE（AAS），∴AH＝CE，∵AB＝AH+BH，∴AB＝BE+CE，∴CE＝AB﹣BE．26．（10分）如图，抛物线经过点A （﹣3，0）、B （1，0）、C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P （m ，n ）是抛物线上的动点，当﹣3＜m ＜0时，试确定m 的值，使得△PAC 的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B 的点D ，满足DA 2﹣DC 2＝6，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可以假设抛物线的解析式为y ＝a （x+3）（x ﹣1），把C （0，3）代入，可得a ＝﹣1，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x+3．（2）设直线AC 的解析式为y ＝kx+b ，将A （﹣3，0），C （0，3）代入得到，解得，∴直线AC 的解析式为y ＝x+3．当﹣3＜m ＜0时，点P （m ，n ）在直线AC 的上方，过点P 作x 轴的垂线交AC 于Q ．则P （m ，﹣m 2﹣2m+3），Q （m ，m+3），∴PQ ＝﹣m 2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m 2﹣3m ，＝﹣（m+）2+，∵﹣3＜m ＜0，∴当m ＝﹣时，PQ 的值最大，此时S △PAC ＝•PQ•AO ＝PQ 最大，∴m＝﹣．（3）由A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），可得AB＝4，OB＝1，OC＝3，∵BC2＝10，∠CAO＝45°，∴BA2﹣BC2＝6，连接BC，过点B作AC的垂线交抛物线于D，交AC于H．则∠AHB＝90°，∠DBA＝∠CAO＝45°，∴DA2﹣DC2＝HA2﹣HC2＝AB2﹣BC2＝6，∵∠CAO＝∠DBA，∴BD，AC关于AB的垂直平分线的对称，即关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，∴点D与点C关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，∵C（0，3），∴点D的坐标为（﹣2，3）．。

娄底市2020年九年级学业考试试题卷数学一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里)1.2020的相反数是（ ）A ．12018B ．2020C ．-2020D ．120182.一组数据-3，2，2，0，2，1的众数是（ ） A ．-3B ．2C ．0D ．13.随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（ ）A ．70.2110B ．6 2.110C ．52110D ．72.110 A ．2510a aaB ．326(3a )6aC ．222()ab a bD ．2(2)(3)6aaa aA.有两不相等实数根B.有两相等实数根C.无实数根D.不能确定6.不等式组22314x x x的最小整数解是（ ）A ．-1B ．0C ． 1D ． 27.下图所示立体图形的俯视图是（ ）ABC D8.函数23x yx 中自变量x 的取值范围是（ ）A ．2xB ．2xC ．2x 或D ．3x9.将直线23y x向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ）A ．24yxB ．24yxC ．22yxD ．22yx10.如图，往竖直放置的在A 处山短软管连接的粗细均匀细管组成的“U 形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm ，现将右边细管绕A 处顺时针方向旋转60到AB 位置，则AB 中水柱的长度约为（ ）A ．4cmB ．C ．8cmD ．12cm11.如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sin cos（ ）A ．513 B ．513 C ．713D ．71312.已知: []x 表示不超过x 的最大整数例: [3.9]3,[ 1.8]2令关于k 的函数1()[][]44kk f x (k 是正整数)例：313()[][]44f x 则下列结论错误．．的是（ ）A ．(1)0fB ．(4)()f k f kC ．(1)()f kf k D ．()0f k 或113.如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，点P 是反比例函数2yx 二图像上的一点， PAx 轴于点A ，则POA 的面积为 .14.如图， P 是ABC 的内心，连接PA PB PC 、、，PAB PBC PAC 、、的面积分别为123S S S 、、，则1S23S S +.(填“<”或“=”或“>”)15.从2020年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科日参加等级考试.学生A 已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科日中选1科.若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为 . 16.如图，ABC 中，AB AC ，AD BC 于D 点，DE AB 于点E ，BF AC 于点F ，3cm DE，则BF cm .17.如图，已知半圆O 与四边形ABCD 的边AD AB BC 、、都相切，切点分别为D E C 、、，半径1OC，则AE BE.18.设123,,a a a 是一列正整数，其中1a 表示第一个数，2a 表示第二个数，依此类推，na 表示第n 个数(n 是正整数)已知11a ，2214(1)(1)n nna a a .则2018a .三、解答题(本大题共2小题，每小题6分，共12分)19.计算:21(3.14)()3|12|4cos30.20.先化简，再求值:2211()1121xx x x x，其中2x.四、解答题（本大题2小题，每小题8分，共16分）21.为了取得扶贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A B C D、、、四个不同的等级，绘制成不完整统计图如下图，请根据图中的信息，解答下列问题；(1)求样本容量；(2)补全条形图，并填空:n；(3)若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多少?22.如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为45，五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)23.“绿水青山，就是金山银山”，某旅游景区为了保护环境，需购买A B、两种型号的垃圾处理设备共10台，已知每台A型设备日处理能力为12吨:;每台B型设备日处理能力为15吨;购回的设备日处理能力不低于140吨.(2)已知每台A 型设备价格为3万元，每台B 型设备价格为44万元.厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠;问:采用(1)设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么? 24.如图，已知四边形ABCD 中，对角线AC BC 、相交于点O ，且OA=OC ，OBOD ，过O 点作EFBD ，分别交AD BC 、于点E F 、.(1)求证:AOECOF ；六、解答题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)25.如图， C D 、是以AB 为直径的O 上的点， AC BC ，弦CD 交AB 于点E .(1)当PB 是O 的切线时，求证:PBD DAB ；(2)求证:22BC CE CE DE ；(3)已知OA=4，E 是半径OA 的中点，求线段DE 的长.(1)求抛物线的解析式，并写出D点的坐标;(2)(,)F x y是抛物线上的动点；①当1,0x y时，求BDF的面积的最大值；②当AEF DBE时，求点F的坐标.一、选择题1—5 CBBDA 6—10 BBCAC 11—12 DC二、填空题⒀、1 ⒁、＜⒂、⒃、6⒄、1 ⒅、4035三、解答题19、1020、=3+222、解：设AB的高度为x米，过点E作EF⊥AC于F，则FC＝DE＝340米∴BF＝452－340＝112米∴AF＝（112+x）米在Rt△AEF中，∠FAB＝∠AEF＝45°∴EF＝AF＝CD＝（112+x）米Rt△ACD中，sinａ=，则tanａ=Rt△ACD中，AC=（452+x）米tanａ＝AC/CD=解得X＝2823、解：（1）设购买x台A型，则购买（10－x）台B型12x+15（10－x）≥140解得x≤∵x是非负整数∴x＝3，2，1，0∴B型相应的台数分别为7，8，9，10∴共有3种方案：方案一，A 3台、 B 7台方案二，A 2台、B 8台方案三，A 1台、B 9台方案四，A 0台、B 10台（2）3x+4.4（10－x）≥40解得x≤24、（1）易证四边形ABCD是平行四边形，得AD∥BC则∠DAC＝∠BCA，易证△AOE≌△COF（ASA）（2）四边形BEDF是菱形理由如下：先证△DOE≌△BOF∴DE＝BF∴DE∥＝BF∴四边形DEBF是平行四边形又∵EF⊥BD∴平行四边形DEBF是菱形25、（1）∵AB是直径∴∠ADB＝90°即∠DAB+∠ABD＝90°又∵ PB是⊙O的切线，∴PB⊥AB∴∠ABP＝90°，即∠ABD+∠PBD＝90°∴∠PBD＝∠DAB（2）、∵弧AC＝弧BC∴∠BDC＝∠EBC又∵∠BCE＝BCD∴△BCE∽△DCB∴BC/CE=CD/BC∴BC2＝CE×CD∴BC2＝CE(CE+DE)∴BC2＝CE2+CE×DE∴BC2- CE2= CE×DE(3)连接OC∵E是OA的中点∴AE＝OE＝2∴BE＝4+2＝6∵弧AC＝弧BC∴∠AOC＝∠BOC＝90°Rt△ACD中，OC＝4由勾股定理得CE＝2√5∵弧BD＝弧BD∴∠DAB＝∠BCD又∵∠AED＝∠BEC∴△ADE∽△BCE∴AE/CE＝DE/BE∴=∴DE＝ (1.2)26、（1）y=-x2+2x+3D(1,4)(2) ∵x＞1,y＞0∴点F是直线BD上方抛物线上的动点则F（x, -x2+2x+3）过点F作FH⊥x轴交直线BD于M∵B（3，0） D（1，4）∴y BD=-2x+6则M（x, -2x+6）∴FM=-x2+2x+3-(-2x+6)= -x2+4x-3=-(x-2)2+1∴当x=2时，S最大值＝1（3）①当 FE∥BD，且点F在x轴上方抛物线上时，设CE的解析式为y=-2x+b∵直线CE过点E（1，0）∴b=2y CE=-2x+2联立y=-2x+2与y=-x2+2x+3解得F（2－√5，－2+2√5）②当F在x轴下方、y轴左侧抛物线上时，设直线EF与直线BD交于点H ∵∠AEF=∠HEB又∵∠AEF＝∠DBE∴∠HEB＝∠DBEHE=HB∴点Ｈ的横坐标为２又∵点Ｈ在直线y BD=-2x+6上∴Ｈ（２，２）∴yＥＨ＝２x-2联立y=2x-2与y=-x2+2x+3解得Ｆ（－，－2－２）综上所述Ｆ（－，－2－２）或（2－，－2+2）第11页共11页。

2020年湖南省娄底市中考数学试卷和答案解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）﹣2020的倒数是（）A．﹣2020B．2020C．D．﹣解析：乘积是1的两数互为倒数．依据倒数的定义回答即可．参考答案：解：﹣2020的倒数是，故选：D．点拨：本题主要考查的是倒数的定义，掌握倒数的定义是解题的关键．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a+b）2＝a2+b2C．（﹣2a）3＝﹣8a3D．a2+a2＝a4解析：利用同底数幂的乘法、积的乘方的运算法则、合并同类项法则和完全平方公式分别化简求出答案即可判断．参考答案：解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；C、（﹣2a）3＝﹣8a3，原计算正确，故此选项符合题意；D、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：C．点拨：此题主要考查了整式的运算．正确掌握同底数幂的乘法、积的乘方的运算法则、合并同类项法则和完全平方公式等知识，熟练掌握相关法则和公式是解题的关键．3．（3分）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为（）A．62°B．56°C．28°D．72°解析：由两锐角互余的性质可求∠DAC度数，由平行线的性质可求解．参考答案：解：如图，标注字母，由题意可得：∠BAC＝90°，∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝62°，∵EF∥AD，∴∠2＝∠DAC＝62°，故选：A．点拨：本题考查了平行线的性质，两锐角互余的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．4．（3分）一组数据7，8，10，12，13的平均数和中位数分别是（）A．7、10B．9、9C．10、10D．12、11解析：根据平均数、中位数的计算方法求出结果即可．参考答案：解：＝＝10，从小到大排列处在中间位置的一个数是10，因此中位数是10，故选：C．点拨：本题考查平均数、中位数的意义和计算方法，理解平均数、中位数的意义和计算方法是得出正确答案的前提．5．（3分）我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解析：根据中心对称图形的概念求解．参考答案：解：A、不是中心对称图形．故错误；B、是中心对称图形．故正确；C、不是中心对称图形．故错误；D、不是中心对称图形．故错误．故选：B．点拨：本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．6．（3分）2020年中央财政下达义务教育补助经费1695.9亿元，比上年增长8.3%．其中1695.9亿元用科学记数法表示为（）A．16.959×1010元B．1695.9×108元C．1.6959×1010元D．1.6959×1011元解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．参考答案：解：1695.9亿元＝169590000000元＝1.6959×1011元，故选：D．点拨：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．7．（3分）正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．8解析：多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成60°n，列方程可求解．参考答案：解：设所求正多边形边数为n，则60°•n＝360°，解得n＝6．故正多边形的边数是6．故选：B．点拨：本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．8．（3分）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1＝L•cosα，阻力臂L2＝l•cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（）A．越来越小B．不变C．越来越大D．无法确定解析：根据杠杆原理及cosα的值随着α的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．参考答案：解：∵动力×动力臂＝阻力×阻力臂，∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，∴动力随着动力臂的增大而减小，∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cosα的值越来越大，又∵动力臂L1＝L•cosα，∴此时动力臂也越来越大，∴此时的动力越来越小，故选：A．点拨：本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性等知识；熟练掌握相关知识是解决本题的关键．9．（3分）如图，平行于y轴的直线分别交y＝与y＝的图象（部分）于点A、B，点C是y轴上的动点，则△ABC的面积为（）A．k1﹣k2B．（k1﹣k2）C．k2﹣k1D．（k2﹣k1）解析：AB的长是两个函数当自变量为x时，因变量的差的绝对值，再根据三角形的面积公式进行计算即可．参考答案：解：由题意可知，AB＝﹣，AB边上的高为x，∴S△ABC＝×（﹣）•x＝（k1﹣k2），故选：B．点拨：本题考查反比例函数图形上点的坐标特征，表示三角形的底和高是正确解答的关键．10．（3分）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（）A．135B．153C．170D．189解析：分析前三个正方形可知，规律为左上方的数等于序号数，左下方的数比左上方数大1，右上方数是左下方数的2倍，右下方数为左下方数的平方数的2倍加上序号数，由此解决问题．参考答案：解：根据规律可得，2b＝18，∴b＝9，∴a＝b﹣1＝8，∴x＝2b2+a＝162+8＝170，故选：C．点拨：此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于找出各个数之间的关系．11．（3分）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（）A．y＝x2+x+2B．y＝+1C．y＝x+D．y＝|x|﹣1解析：根据函数的零点的意义，逐项代入求解进行判断即可．参考答案：解：当y＝0时，方程x2+x+2＝0无实数根，因此选项A不符合题意；方程+1＝0无实数根，因此选项B不符合题意；方程x+＝0无实数根，因此选项C不符合题意；方程|x|﹣1＝0的解为x＝±1，因此选项D符合题意，故选：D．点拨：本题考查函数值的意义，当函数值为0时，求出自变量的值是正确判断的前提．12．（3分）二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（）A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜nD．a＜m＜n＜b解析：依照题意画出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）及y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象，观察图象即可得出结论．参考答案：解：二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y＝（x ﹣a）（x﹣b）﹣2的图象，如图所示．观察图象，可知：m＜a＜b＜n．故选：C．点拨：本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象，依照题意画出图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝1．解析：若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，建立关于c的方程，求出c的值即可．参考答案：解：∵一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4c＝0，解得c＝1．故答案为1．点拨：此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．14．（3分）口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球3个，白色球2个，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是．解析：从袋中任取一球有3+2＝5种可能，其中摸出白球有3种可能，利用概率公式进行求解．参考答案：解：∵袋子中共有5个小球，其中白色小球有2个，∴从中任意摸出一球，有5种等可能结果，其中摸到白色小球的有2种可能，∴从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是，故答案为：．点拨：本题主要考查概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．15．（3分）若＝＝（a≠c），则＝．解析：根据分比的性质即可求解．参考答案：解：∵＝＝（a≠c），∴＝．故答案为：．点拨：考查了比例线段，关键是熟练掌握比例的分比的性质．16．（3分）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝300米．解析：根据弧长公式求出∠AOB的度数，根据等边三角形的性质即可求解．参考答案：解：设线段AB对应的圆心角度数为n，∵100π＝＝，∴n＝60°，又AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝BO＝300（米），故答案为：300．点拨：本题考查了弧长的计算，等边三角形的判定和性质，根据弧长公式求得∠AOB的度数是解题的关键．17．（3分）如图，四边形ABDC中，AB＝AC＝3，BD＝CD＝2，则将它以AD为轴旋转180°后所得分别以AB、BD为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为3：2．解析：根据两个圆锥的底面圆相同，设底面圆的周长为l，根据圆锥的侧面积公式可得上面圆锥的侧面积为：l•AB，下面圆锥的侧面积为：l•BD，即可得出答案．参考答案：解：∵两个圆锥的底面圆相同，∴可设底面圆的周长为l，∴上面圆锥的侧面积为：l•AB，下面圆锥的侧面积为：l•BD，∵AB＝AC＝3，BD＝CD＝2，∴S上：S下＝3：2，故答案为：3：2．点拨：本题考查了圆锥的侧面积公式，掌握圆锥侧面积公式是解题关键．18．（3分）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积（a ﹣b）2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2+b2＝c2，还可以用来证明结论：若a＞0、b＞0且a2+b2为定值，则当a＝b时，ab取得最大值．解析：作斜边c上高h，由完全平方公式可得ab最大值为，由三角形的面积公式可得h＝，由等腰直角三角形的性质可求解．参考答案：解：如图，作斜边c上高h，∵（a﹣b）2≥0，∴a2+b2﹣2ab≥0，又∵a2+b2＝c2，a2+b2为定值，∴ab≤，∴ab最大值为，∵a，b为直角边的直角三角形面积＝a•b＝c•h，∴＝c•h，∴h＝，∵等腰直角三角形斜边上的高是斜边的一半，∴当a＝b时，h＝，故答案为：＝．点拨：本题考查了勾股定理，完全平方公式，等腰直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：|﹣1|﹣3tan30°+（3.14﹣π）0+（）﹣1．解析：原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．参考答案：解：原式＝﹣1﹣3×+1+2＝﹣1﹣+1+2＝2．点拨：此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（6分）先化简（﹣）÷，然后从﹣3，0，1，3中选一个合适的数代入求值．解析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．参考答案：解：原式＝[﹣]•＝•＝（m﹣3）﹣2（m+3）＝m﹣3﹣2m﹣6＝﹣m﹣9，当m＝﹣3，0，3时，原式没有意义，舍去；当m＝1时，原式＝﹣1﹣9＝﹣10．点拨：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）我市开展“温馨家园，创文同行”活动，某初中学校倡议学生利用双休日进社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间t（h）：A．0≤t≤0.5，B．0.5＜t≤1，C．1＜t≤1.5，D．t＞1.5，将所得数据绘制成了如图不完整的统计图：（1）本次调查参加义务劳动的学生共100人，a＝40．（2）补全条形统计图．（3）扇形图中“0≤t≤0.5”部分的圆心角是18度．解析：（1）根据图形得出本次调查参加义务劳动的学生＝35÷35%，求出即可；（2）求出劳动时间在0.5＜t≤1范围内的学生，再画出图形即可；（3）先求出劳动时间在0≤t≤0.5范围内的学生占总数的百分比，再求出圆心角即可．参考答案：解：（1）本次调查参加义务劳动的学生共35÷35%＝100（人），∵100×a%＝40，∴a＝40，故答案为：100，40；（2）如图所示：（3）∵1﹣20%﹣35%﹣×100%＝5%，∴扇形图中“0≤t≤0.5”部分的圆心角是360°×5%＝18°，故答案为：18．点拨：本题考查了条形统计图和扇形统计图，能根据图形得出正确的信息是解此题的关键．22．（8分）如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E点距地面5m，从E点处测得D点俯角为30°，斜面ED长为4m，水平面DC长为2m，斜面BC的坡度为1：4，求处于同一水平面上引桥底部AB的长．（结果精确到0.1m，≈1.41，≈1.73）．解析：作DF⊥AE于F，DG⊥AB于G，CH⊥AB于H，则DF ＝GA，DC＝GH＝2，AF＝DG＝CH，由含30°角的直角三角形的性质得出EF＝DE＝2，DF＝EF＝2，求出CH＝AF＝3，由斜面BC的坡度求出BH＝4CH＝12，进而得出答案．参考答案：解：作DF⊥AE于F，DG⊥AB于G，CH⊥AB于H，如图所示：则DF＝GA，DC＝GH＝2，AF＝DG＝CH，由题意得：∠EDF＝30°，∴EF＝DE＝×4＝2，DF＝EF＝2，∵AE＝5，∴CH＝AF＝AE﹣EF＝5﹣2＝3，∵斜面BC的坡度为1：4＝，∴BH＝4CH＝12，∴AB＝AG+GH+BH＝2+2+12＝2+14≈17.5（m），答：处于同一水平面上引桥底部AB的长约为17.5m．点拨：本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题以及坡度问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花7200元购进洗手液与84消毒液共400瓶，已知洗手液的价格是25元/瓶，84消毒液的价格是15元/瓶．求：（1）该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？（2）若购买洗手液和84消毒液共150瓶，总费用不超过2500元，请问最多能购买洗手液多少瓶？解析：（1）设该校购进洗手液x瓶，该校购进84消毒液y瓶，根据“共400瓶；花费7200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设能购买洗手液a瓶，则能购买洗手液（150﹣a）瓶，根据总费用不超过2500元，列出不等式求解即可．参考答案：解：（1）设该校购进洗手液x瓶，该校购进84消毒液y瓶，依题意有，解得．故该校购进洗手液120瓶，该校购进84消毒液280瓶；（2）设能购买洗手液a瓶，则能购买洗手液（150﹣a）瓶，依题意有25a+15（150﹣a）≤2500，解得a≤25．故最多能购买洗手液25瓶．点拨：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准不等关系，正确列出一元一次不等式．24．（9分）如图，▱ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC、AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF、AE、CF、DE．（1）试判定四边形AECF的形状，并说明理由；（2）求证：AE⊥DE．解析：（1）由轴对称的性质得出AE＝AF，CE＝CF，OE＝OF，证△AOF≌△COE（AAS），得出AF＝CE，则AE＝AF＝CE＝CF，即可得出四边形AECF是菱形；（2）证∠ACB＝30°，△ABE是等边三角形，则AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，∠AEC＝120°，证出CE＝BE＝BC＝AB＝CD，则∠CED＝∠CDE＝30°，进而得出结论．参考答案：（1）解：四边形AECF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，∵点E与点F关于AC对称，∴AE＝AF，CE＝CF，OE＝OF，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE，∴AE＝AF＝CE＝CF，∴四边形AECF是菱形；（2）证明：∵BC＝2AB，AB⊥AC，∴∠ACB＝30°，∴∠B＝60°，∵AE＝CE，∴∠EAC＝∠ACB＝30°，∴∠BAE＝90°﹣30°＝60°＝∠B，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，∴∠AEC＝120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠DCE＝180°﹣∠B＝120°，又∵CE＝AE，∴CE＝BE＝BC＝AB＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，∴AE⊥DE．点拨：本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC 交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．解析：（1）连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到∠ODB＝∠CBD，根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得到结论；（2）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）过D作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH＝DE，根据全等三角形的性质即可得到结论．参考答案：（1）证明：连接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BE，∵BE⊥DE，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵BE⊥DE，∴∠ADB＝∠BED＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴△ABD∽△DBE，∴，∴＝，∴BD＝2；（3）解：结论CE＝AB﹣BE，理由：过D作DH⊥AB于H，∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，∴DH＝DE，在Rt△BED与Rt△BHD中，，∴Rt△BED≌Rt△BHD（HL），∴BH＝BE，∵∠DCE＝∠A，∠DHA＝∠DEC＝90°，∴△ADH≌△CDE（AAS），∴AH＝CE，∵AB＝AH+BH，∴AB＝BE+CE，∴CE＝AB﹣BE．点拨：本题考查了切线的判定，角平分线的性质，圆的有关性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定及全等三角形的判定与性质是本题的关键．26．（10分）如图，抛物线经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当﹣3＜m＜0时，试确定m的值，使得△PAC的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足DA2﹣DC2＝6，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）由题意可设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），将点代入C（0，3）解出a，即可求出抛物线的解析式．（2）先求出直线AC的解析式，然后根据当﹣3＜m＜0时，点P（m，n）在直线AC上方，过点P作x轴的垂线与线段AC相交于点Q，可将x＝m分别代入y＝一x2﹣2x+3和y＝x+3得P（m，﹣m2﹣2m+3），Q（m，m+3），从而得出PQ的代数式，从而可求出m的值；（3）由题意可得AB＝4，OB＝1，CO＝3，根据BC2＝10，∠CAO ＝45’，可求出BA2﹣BC2＝6，连接BC，过B作AC的垂线交抛物线于点D，交AC于点H，可得DA2﹣DC2＝HA2﹣HC2＝BA2﹣BC2＝6，根据∠CAO＝∠DBA，可得BD与AC关于AB的垂直平分线对称，即关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，即点D与点C 关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，从而可求出点D的坐标．参考答案：解：（1）由题意可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），把C（0，3）代入，可得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A（﹣3，0），C（0，3）代入得到，解得，∴直线AC的解析式为y＝x+3．当﹣3＜m＜0时，点P（m，n）在直线AC的上方，过点P作x 轴的垂线交AC于Q．则P（m，﹣m2﹣2m+3），Q（m，m+3），∴PQ＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，＝﹣（m+）2+，∵﹣3＜m＜0，∴当m＝﹣时，PQ的值最大，此时S△PAC＝•PQ•AO＝PQ最大，∴m＝﹣．（3）由A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），可得AB＝4，OB＝1，OC＝3，∵BC2＝10，∠CAO＝45°，∴BA2﹣BC2＝6，连接BC，过点B作AC的垂线交抛物线于D，交AC于H．则∠AHB＝90°，∠DBA＝∠CAO＝45°，∴DA2﹣DC2＝HA2﹣HC2＝AB2﹣BC2＝6，∵∠CAO＝∠DBA，∴点H在AB的垂直平分线上，即点H在抛物线的对称轴x＝﹣1上，∴点D与点C关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，∵C（0，3），∴点D的坐标为（﹣2，3）．点拨：本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，三角形的面积，勾股定理，轴对称等知识，解题的关键是学会利用参数，构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。

2020年娄底市中考数学试卷附答案1.6的相反数是______。

答案：-6.2.已知函数y=2x-3，那么当x=4时，y的值为______。

答案：5.3.直角三角形的斜边长为5，一条直角边长为3，则另一条直角边长为______。

答案：4.4.已知等差数列的首项为3，公差为2，那么它的第5项是______。

答案：11.5.已知函数y=x²+2x，那么当x=3时，y的值为______。

答案：15.6.一个正方形的周长是16，那么它的面积是______。

答案：16.7.已知函数y=3x-1，那么当y=8时，x的值为______。

答案：3.8.一个长方形的长是5，宽是3，那么它的面积是______。

答案：15.9.已知等比数列的首项为2，公比为3，那么它的第4项是______。

答案：54.10.已知函数y=4x+2，那么当y=18时，x的值为______。

答案：4.XXX家所在的居民楼与大厦AB相距多少米？已知大厦顶部A的仰角为37°，底部B的俯角为48°，AB=80米。

解题思路：根据三角函数的定义，可以列出以下两个方程：XXX 和tan48°=(h-80)/CD，其中h表示XXX家所在居民楼与大厦之间的距离。

通过解这两个方程，可以得到CD的长度为410米（结果保留整数）。

化简表达式(－a＋1)÷(a＋1)，并代入a=2，得到(-2+1)/(2+1)=-1/3.甲公司的绿化养护服务费用y与绿化面积x之间是一次函数关系，可以表示为y=kx+b。

已知当x=0时，y=6000；当x=3时，y=7500.通过这两个点可以求出k和b的值，进而得到函数解析式y=1500x+6000.乙公司的收费方案可以分为两种情况，当绿化面积不超过1000平方米时，每月收费5500元；当绿化面积超过1000平方米时，每月收费5500元加上超过部分每平方米收取4元。

假设某学校的绿化面积为1200平方米，那么甲公司的收费为y=1500*1200+6000=元，乙公司的收费为5500+4*(1200-1000)=5900元，因此选择乙公司的服务每月的绿化养护费用较少。

2020年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）（2020•娄底）﹣2020的倒数是（）A．﹣2020B．2020C．12020D．−120202．（3分）（2020•娄底）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a+b）2＝a2+b2C．（﹣2a）3＝﹣8a3D．a2+a2＝a43．（3分）（2020•娄底）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为（）A．62°B．56°C．28°D．72°4．（3分）（2020•娄底）一组数据7，8，10，12，13的平均数和中位数分别是（）A．7、10B．9、9C．10、10D．12、115．（3分）（2020•娄底）我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（3分）（2020•娄底）2020年中央财政下达义务教育补助经费1695.9亿元，比上年增长8.3%．其中1695.9亿元用科学记数法表示为（）A．16.959×1010元B．1695.9×108元C ．1.6959×1010元D ．1.6959×1011元7．（3分）（2020•娄底）正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．88．（3分）（2020•娄底）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L 1＝L •cos α，阻力臂L 2＝l •cos β，如果动力F 的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）A ．越来越小B ．不变C ．越来越大D ．无法确定 9．（3分）（2020•娄底）如图，平行于y 轴的直线分别交y =k 1x 与y =k 2x 的图象（部分）于点A 、B ，点C 是y 轴上的动点，则△ABC 的面积为（ ）A ．k 1﹣k 2B ．12（k 1﹣k 2）C ．k 2﹣k 1D ．12（k 2﹣k 1） 10．（3分）（2020•娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）A ．135B ．153C ．170D ．18911．（3分）（2020•娄底）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（ ）A ．y ＝x 2+x +2B ．y =√x +1C ．y ＝x +1xD ．y ＝|x |﹣112．（3分）（2020•娄底）二次函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣2（a ＜b ）与x 轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（）A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2020•娄底）一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝．14．（3分）（2020•娄底）口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球3个，白色球2个，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是．15．（3分）（2020•娄底）若ba=dc=12（a≠c），则b−da−c=．16．（3分）（2020•娄底）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝米．17．（3分）（2020•娄底）如图，四边形ABDC中，AB＝AC＝3，BD＝CD＝2，则将它以AD 为轴旋转180°后所得分别以AB、BD为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为．18．（3分）（2020•娄底）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积（a﹣b）2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2+b2＝c2，还可以用来证明结论：若a＞0、b＞0且a2+b2为定值，则当a b时，ab取得最大值．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2020•娄底）计算：|√3−1|﹣3tan30°+（3.14﹣π）0+（12）﹣1． 20．（6分）（2020•娄底）先化简（m m+3−2m m−3）÷m 2，然后从﹣3，0，1，3中选一个合适的数代入求值． 四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2020•娄底）我市开展“温馨家园，创文同行”活动，某初中学校倡议学生利用双休日进社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间t （h ）：A ．0≤t ≤0.5，B ．0.5＜t ≤1，C ．1＜t ≤1.5，D ．t ＞1.5，将所得数据绘制成了如图不完整的统计图：（1）本次调查参加义务劳动的学生共 人，a ＝ ．（2）补全条形统计图．（3）扇形图中“0≤t ≤0.5”部分的圆心角是 度．22．（8分）（2020•娄底）如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E 点距地面5m ，从E 点处测得D 点俯角为30°，斜面ED 长为4m ，水平面DC 长为2m ，斜面BC 的坡度为1：4，求处于同一水平面上引桥底部AB 的长．（结果精确到0.1m ，√2≈1.41，√3≈1.73）．五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2020•娄底）为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花7200元购进洗手液与84消毒液共400瓶，已知洗手液的价格是25元/瓶，84消毒液的价格是15元/瓶．求：（1）该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？（2）若购买洗手液和84消毒液共150瓶，总费用不超过2500元，请问最多能购买洗手液多少瓶？24．（9分）（2020•娄底）如图，▱ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC、AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF、AE、CF、DE．（1）试判定四边形AECF的形状，并说明理由；（2）求证：AE⊥DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2020•娄底）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．26．（10分）（2020•娄底）如图，抛物线经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当﹣3＜m＜0时，试确定m的值，使得△P AC 的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足DA2﹣DC2＝6，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．2020年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）（2020•娄底）﹣2020的倒数是（）A．﹣2020B．2020C．12020D．−12020【解答】解：﹣2020的倒数是−1 2020，故选：D．2．（3分）（2020•娄底）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a+b）2＝a2+b2C．（﹣2a）3＝﹣8a3D．a2+a2＝a4【解答】解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；C、（﹣2a）3＝﹣8a3，原计算正确，故此选项符合题意；D、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：C．3．（3分）（2020•娄底）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为（）A．62°B．56°C．28°D．72°【解答】解：如图，标注字母，由题意可得：∠BAC＝90°，∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝62°，∵EF∥AD，∴∠2＝∠DAC＝62°，故选：A．4．（3分）（2020•娄底）一组数据7，8，10，12，13的平均数和中位数分别是（）A．7、10B．9、9C．10、10D．12、11【解答】解：x=7+8+10+12+135=10，从小到大排列处在中间位置的一个数是10，因此中位数是10，故选：C．5．（3分）（2020•娄底）我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形．故错误；B、是中心对称图形．故正确；C、不是中心对称图形．故错误；D、不是中心对称图形．故错误．故选：B．6．（3分）（2020•娄底）2020年中央财政下达义务教育补助经费1695.9亿元，比上年增长8.3%．其中1695.9亿元用科学记数法表示为（）A．16.959×1010元B．1695.9×108元C．1.6959×1010元D．1.6959×1011元【解答】解：1695.9亿元＝169590000000元＝1.6959×1011元，故选：D．7．（3分）（2020•娄底）正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：设所求正多边形边数为n，则60°•n＝360°，解得n＝6．故正多边形的边数是6．故选：B．8．（3分）（2020•娄底）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1＝L•cosα，阻力臂L2＝l•cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（）A．越来越小B．不变C．越来越大D．无法确定【解答】解：∵动力×动力臂＝阻力×阻力臂，∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，∴动力随着动力臂的增大而减小，∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cosα的值越来越大，又∵动力臂L1＝L•cosα，∴此时动力臂也越来越大，∴此时的动力越来越小，故选：A．9．（3分）（2020•娄底）如图，平行于y轴的直线分别交y=k1x与y=k2x的图象（部分）于点A、B，点C是y轴上的动点，则△ABC的面积为（）A ．k 1﹣k 2B ．12（k 1﹣k 2） C ．k 2﹣k 1 D ．12（k 2﹣k 1） 【解答】解：由题意可知，AB =k 1x −k 2x ，AB 边上的高为x ，∴S △ABC =12×（k 1x −k 2x ）•x =12（k 1﹣k 2）， 故选：B ． 10．（3分）（2020•娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）A ．135B ．153C ．170D ．189【解答】解：根据规律可得，2b ＝18，∴b ＝9，∴a ＝b ﹣1＝8，∴x ＝2b 2+a ＝162+8＝170，故选：C ．11．（3分）（2020•娄底）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（ ）A ．y ＝x 2+x +2B ．y =√x +1C ．y ＝x +1xD ．y ＝|x |﹣1【解答】解：当y ＝0时，方程x 2+x +2＝0无实数根，因此选项A 不符合题意；方程√x +1＝0无实数根，因此选项B 不符合题意；方程x +1x=0无实数根，因此选项C 不符合题意； 方程|x |﹣1＝0的解为x ＝±1，因此选项D 符合题意， 故选：D ．12．（3分）（2020•娄底）二次函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣2（a ＜b ）与x 轴的两个交点的横坐标分别为m 和n ，且m ＜n ，下列结论正确的是（ ） A ．m ＜a ＜n ＜bB ．a ＜m ＜b ＜nC ．m ＜a ＜b ＜nD ．a ＜m ＜n ＜b【解答】解：二次函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）与x 轴交点的横坐标为a 、b ，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣2的图象，如图所示． 观察图象，可知：m ＜a ＜b ＜n ． 故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2020•娄底）一元二次方程x 2﹣2x +c ＝0有两个相等的实数根，则c ＝ 1 ． 【解答】解：∵一元二次方程x 2﹣2x +c ＝0有两个相等的实数根， ∴△＝b 2﹣4ac ＝（﹣2）2﹣4c ＝0， 解得c ＝1． 故答案为1．14．（3分）（2020•娄底）口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球3个，白色球2个，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是 25．【解答】解：∵袋子中共有5个小球，其中白色小球有2个，∴从中任意摸出一球，有5种等可能结果，其中摸到白色小球的有2种可能， ∴从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是25，故答案为：25．15．（3分）（2020•娄底）若b a=d c=12（a ≠c ），则b−d a−c=12．【解答】解：∵b a=d c=12（a ≠c ），∴b−d a−c=12．故答案为：12．16．（3分）（2020•娄底）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m （米），某车在标有R ＝300处的弯道上从点A 行驶了100π米到达点B ，则线段AB ＝ 300 米．【解答】解：∵100π=nπR 180=nπ⋅300180， ∴n ＝60°， 又AO ＝BO ，∴△AOB 是等边三角形， ∴AB ＝AO ＝BO ＝300（米）， 故答案为：300．17．（3分）（2020•娄底）如图，四边形ABDC 中，AB ＝AC ＝3，BD ＝CD ＝2，则将它以AD 为轴旋转180°后所得分别以AB 、BD 为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为 3：2 ．【解答】解：∵两个圆锥的底面圆相同， ∴可设底面圆的周长为l ，∴上面圆锥的侧面积为：12l •AB ，下面圆锥的侧面积为：12l •BD ，∵AB ＝AC ＝3，BD ＝CD ＝2， ∴S 上：S 下＝3：2， 故答案为：3：2．18．（3分）（2020•娄底）由4个直角边长分别为a ，b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c 2等于小正方形的面积（a ﹣b ）2与4个直角三角形的面积2ab 的和证明了勾股定理a 2+b 2＝c 2，还可以用来证明结论：若a ＞0、b ＞0且a 2+b 2为定值，则当a ＝ b 时，ab 取得最大值．【解答】解：如图，作斜边c 上高h ，∵（a ﹣b ）2≥0， ∴a 2+b 2﹣2ab ≥0，又∵a 2+b 2＝c 2，a 2+b 2为定值，∴ab ≤c 22，∴ab 最大值为c 22，∵a ，b 为直角边的直角三角形面积=12a •b =12c •h ， ∴c 22=c •h ，∴h =c2，∵等腰直角三角形斜边上的高是斜边的一半， ∴当a ＝b 时，h =c2，故答案为：＝．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2020•娄底）计算：|√3−1|﹣3tan30°+（3.14﹣π）0+（12）﹣1．【解答】解：原式=√3−1﹣3×√33+1+2=√3−1−√3+1+2 ＝2．20．（6分）（2020•娄底）先化简（mm+3−2mm−3）÷mm 2−9，然后从﹣3，0，1，3中选一个合适的数代入求值． 【解答】解：原式＝[m(m−3)(m+3)(m−3)−2m(m+3)(m+3)(m−3)]•(m+3)(m−3)m=m[(m−3)−2(m+3)](m+3)(m−3)•(m+3)(m−3)m＝（m ﹣3）﹣2（m +3） ＝m ﹣3﹣2m ﹣6 ＝﹣m ﹣9，当m ＝﹣3，0，3时，原式没有意义，舍去； 当m ＝1时，原式＝﹣1﹣9＝﹣10．四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2020•娄底）我市开展“温馨家园，创文同行”活动，某初中学校倡议学生利用双休日进社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间t （h ）：A ．0≤t ≤0.5，B ．0.5＜t ≤1，C ．1＜t ≤1.5，D ．t ＞1.5，将所得数据绘制成了如图不完整的统计图：（1）本次调查参加义务劳动的学生共 100 人，a ＝ 40 ． （2）补全条形统计图．（3）扇形图中“0≤t ≤0.5”部分的圆心角是 18 度．【解答】解：（1）本次调查参加义务劳动的学生共35÷35%＝100（人），∵100×a%＝40，∴a＝40，故答案为：100，40；（2）如图所示：；（3）∵1﹣20%﹣35%−40100×100%＝5%，∴扇形图中“0≤t≤0.5”部分的圆心角是360°×5%＝18°，故答案为：18．22．（8分）（2020•娄底）如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E点距地面5m，从E点处测得D点俯角为30°，斜面ED长为4m，水平面DC长为2m，斜面BC的坡度为1：4，求处于同一水平面上引桥底部AB的长．（结果精确到0.1m，√2≈1.41，√3≈1.73）．【解答】解：作DF⊥AE于F，DG⊥AB于G，CH⊥AB于H，如图所示：则DF＝GA，DC＝GH＝2，AF＝DG＝CH，由题意得：∠EDF＝30°，∴EF=12DE=12×4＝2，DF=√3EF＝2√3，∵AE＝5，∴CH＝AF＝AE﹣EF＝5﹣2＝3，∵斜面BC的坡度为1：4=CH BH，∴BH＝4CH＝12，∴AB＝AG+GH+BH＝2√3+2+12＝2√3+14≈17.5（m），答：处于同一水平面上引桥底部AB的长约为17.5m．五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2020•娄底）为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花7200元购进洗手液与84消毒液共400瓶，已知洗手液的价格是25元/瓶，84消毒液的价格是15元/瓶．求：（1）该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？（2）若购买洗手液和84消毒液共150瓶，总费用不超过2500元，请问最多能购买洗手液多少瓶？【解答】解：（1）设该校购进洗手液x 瓶，该校购进84消毒液y 瓶， 依题意有{x +y =40025x +15y =7200，解得{x =120y =280．故该校购进洗手液120瓶，该校购进84消毒液280瓶； （2）设能购买洗手液a 瓶，则能购买洗手液（150﹣a ）瓶， 依题意有25a +15（150﹣a ）≤2500， 解得a ≤25．故最多能购买洗手液25瓶．24．（9分）（2020•娄底）如图，▱ABCD 中，BC ＝2AB ，AB ⊥AC ，分别在边BC 、AD 上的点E 与点F 关于AC 对称，连接EF 、AE 、CF 、DE ． （1）试判定四边形AECF 的形状，并说明理由； （2）求证：AE ⊥DE ．【解答】（1）解：四边形AECF 是菱形，理由如下： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∴∠OAF ＝∠OCE ，∵点E 与点F 关于AC 对称， ∴AE ＝AF ，CE ＝CF ，OE ＝OF ，在△AOF 和△COE 中，{∠OAF =∠OCF∠AOF =∠COE OF =OE，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE，∴AE＝AF＝CE＝CF，∴四边形AECF是菱形；（2）证明：∵BC＝2AB，AB⊥AC，∴∠ACB＝30°，∴∠B＝60°，∵AE＝CE，∴∠EAC＝∠ACB＝30°，∴∠BAE＝90°﹣30°＝60°＝∠B，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，∴∠AEC＝120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠DCE＝180°﹣∠B＝120°，又∵CE＝AE，∴CE＝BE=12BC＝AB＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，∴AE⊥DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2020•娄底）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．【解答】（1）证明：连接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BE，∵BE⊥DE，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵BE⊥DE，∴∠ADB＝∠BED＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴△ABD∽△DBE，∴ABBD =BDBE，∴5BD =BD4，∴BD＝2√5；（3）解：CE＝AB﹣BE，过D作DH⊥AB于H，∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，∴DH ＝DE ，在Rt △BED 与Rt △BHD 中，{DE =DHBD =BD ，∴Rt △BED ≌Rt △BHD （HL ）， ∴BH ＝BE ，∵∠DCE ＝∠A ，∠DGA ＝∠DEC ＝90°， ∴△ADH ≌△CDE （AAS ）， ∴AH ＝CE ， ∵AB ＝AH +BH ， ∴AB ＝BE +CE ， ∴CE ＝AB ﹣BE ．26．（10分）（2020•娄底）如图，抛物线经过点A （﹣3，0）、B （1，0）、C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）点P （m ，n ）是抛物线上的动点，当﹣3＜m ＜0时，试确定m 的值，使得△P AC 的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B 的点D ，满足DA 2﹣DC 2＝6，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可以假设抛物线的解析式为y ＝a （x +3）（x ﹣1），把C （0，3）代入，可得a ＝﹣1∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3．（2）设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，将A （﹣3，0），C （0，3）代入得到{0=−3k +b 3=b， 解得{k =1b =3， ∴直线AC 的解析式为y ＝x +3．当﹣3＜m ＜0时，点P （m ，n ）在直线AC 的上方，过点P 作x 轴的垂线交AC 于Q ．则P （m ，﹣m 2﹣2m +3），Q （m ，m +3），∴PQ ＝﹣m 2﹣2m +3﹣（m +3）＝﹣m 2﹣3m ，＝﹣（m +32）2+94，∵﹣3＜m ＜0，∴当m =−32时，PQ 的值最大，此时S △P AC =12•PQ •AO =32PQ 最大，∴m =−32．（3）由A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3），可得AB ＝4，OB ＝1，OC ＝3，∵BC 2＝10，∠CAO ＝45°，∴BA 2﹣BC 2＝6，连接BC ，过点B 作AC 的垂线交抛物线于D ，交AC 于H ．则∠AHB ＝90°，∠DBA ＝∠CAO ＝45°，∴DA 2﹣DC 2＝HA 2﹣HC 2＝AB 2﹣BC 2＝6，∵∠CAO ＝∠DBA ，∴BD ，AC 关于AB 的垂直平分线的对称，即关于抛物线的对称轴x ＝﹣1对称， ∴点D 与点C 关于抛物线的对称轴x ＝﹣1对称，∵C （0，3），∴点D 的坐标为（﹣2，3）．方法二：设D点的坐标为（n，﹣n2﹣2n+3），然后用两点间的距离公式表示DA和DC，最后会得到关于n的一元二次方程，最后解的n＝1和﹣2，由题意可知，1不符合舍弃最后得到n＝﹣2，所以D的坐标就是（﹣2，3）．。

2020年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）﹣2020的倒数是（）A．﹣2020B．2020C．D．﹣2．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a+b）2＝a2+b2C．（﹣2a）3＝﹣8a3D．a2+a2＝a43．（3分）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为（）A．62°B．56°C．28°D．72°4．（3分）一组数据7，8，10，12，13的平均数和中位数分别是（）A．7、10B．9、9C．10、10D．12、11 5．（3分）我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（3分）2020年中央财政下达义务教育补助经费1695.9亿元，比上年增长8.3%．其中1695.9亿元用科学记数法表示为（）A．16.959×1010元B．1695.9×108元C．1.6959×1010元D．1.6959×1011元7．（3分）正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．88．（3分）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1＝L•cosα，阻力臂L2＝l•cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（）A．越来越小B．不变C．越来越大D．无法确定9．（3分）如图，平行于y轴的直线分别交y＝与y＝的图象（部分）于点A、B，点C是y轴上的动点，则△ABC的面积为（）A．k1﹣k2B．（k1﹣k2）C．k2﹣k1D．（k2﹣k1）10．（3分）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（）A．135B．153C．170D．189 11．（3分）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（）A．y＝x2+x+2B．y＝+1C．y＝x+D．y＝|x|﹣1 12．（3分）二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（）A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜nD．a＜m＜n＜b二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，则c ＝．14．（3分）口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球3个，白色球2个，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是．15．（3分）若＝＝（a≠c），则＝．16．（3分）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝米．17．（3分）如图，四边形ABDC中，AB＝AC＝3，BD＝CD＝2，则将它以AD为轴旋转180°后所得分别以AB、BD为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为．18．（3分）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积（a ﹣b）2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2+b2＝c2，还可以用来证明结论：若a＞0、b＞0且a2+b2为定值，则当a b时，ab取得最大值．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：|﹣1|﹣3tan30°+（3.14﹣π）0+（）﹣1．20．（6分）先化简（﹣）÷，然后从﹣3，0，1，3中选一个合适的数代入求值．四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）我市开展“温馨家园，创文同行”活动，某初中学校倡议学生利用双休日进社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间t（h）：A．0≤t≤0.5，B．0.5＜t≤1，C．1＜t≤1.5，D．t＞1.5，将所得数据绘制成了如图不完整的统计图：（1）本次调查参加义务劳动的学生共人，a＝．（2）补全条形统计图．（3）扇形图中“0≤t≤0.5”部分的圆心角是度．22．（8分）如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E点距地面5m，从E点处测得D点俯角为30°，斜面ED长为4m，水平面DC长为2m，斜面BC的坡度为1：4，求处于同一水平面上引桥底部AB的长．（结果精确到0.1m，≈1.41，≈1.73）．五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花7200元购进洗手液与84消毒液共400瓶，已知洗手液的价格是25元/瓶，84消毒液的价格是15元/瓶．求：（1）该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？（2）若购买洗手液和84消毒液共150瓶，总费用不超过2500元，请问最多能购买洗手液多少瓶？24．（9分）如图，▱ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC、AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF、AE、CF、DE．（1）试判定四边形AECF的形状，并说明理由；（2）求证：AE⊥DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC 交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．26．（10分）如图，抛物线经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当﹣3＜m＜0时，试确定m的值，使得△PAC的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足DA2﹣DC2＝6，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．参考答案：解：﹣2020的倒数是，故选：D．2．参考答案：解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；C、（﹣2a）3＝﹣8a3，原计算正确，故此选项符合题意；D、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：C．3．参考答案：解：如图，标注字母，由题意可得：∠BAC＝90°，∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝62°，∵EF∥AD，∴∠2＝∠DAC＝62°，故选：A．4．参考答案：解：＝＝10，从小到大排列处在中间位置的一个数是10，因此中位数是10，故选：C．5．参考答案：解：A、不是中心对称图形．故错误；B、是中心对称图形．故正确；C、不是中心对称图形．故错误；D、不是中心对称图形．故错误．故选：B．6．参考答案：解：1695.9亿元＝169590000000元＝1.6959×1011元，故选：D．7．参考答案：解：设所求正多边形边数为n，则60°•n＝360°，解得n＝6．故正多边形的边数是6．故选：B．8．参考答案：解：∵动力×动力臂＝阻力×阻力臂，∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，∴动力随着动力臂的增大而减小，∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cosα的值越来越大，又∵动力臂L1＝L•cosα，∴此时动力臂也越来越大，∴此时的动力越来越小，故选：A．9．参考答案：解：由题意可知，AB＝﹣，AB边上的高为x，∴S△ABC＝×（﹣）•x＝（k1﹣k2），故选：B．10．参考答案：解：根据规律可得，2b＝18，∴b＝9，∴a＝b﹣1＝8，∴x＝2b2+a＝162+8＝170，故选：C．11．参考答案：解：当y＝0时，方程x2+x+2＝0无实数根，因此选项A不符合题意；方程+1＝0无实数根，因此选项B不符合题意；方程x+＝0无实数根，因此选项C不符合题意；方程|x|﹣1＝0的解为x＝±1，因此选项D符合题意，故选：D．12．参考答案：解：二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y ＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象，如图所示．观察图象，可知：m＜a＜b＜n．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．参考答案：解：∵一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4c＝0，解得c＝1．故答案为1．14．参考答案：解：∵袋子中共有5个小球，其中白色小球有2个，∴从中任意摸出一球，有5种等可能结果，其中摸到白色小球的有2种可能，∴从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是，故答案为：．15．参考答案：解：∵＝＝（a≠c），∴＝．故答案为：．16．参考答案：解：设线段AB对应的圆心角度数为n，∵100π＝＝，∴n＝60°，又AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝BO＝300（米），故答案为：300．17．参考答案：解：∵两个圆锥的底面圆相同，∴可设底面圆的周长为l，∴上面圆锥的侧面积为：l•AB，下面圆锥的侧面积为：l•BD，∵AB＝AC＝3，BD＝CD＝2，∴S上：S下＝3：2，故答案为：3：2．18．参考答案：解：如图，作斜边c上高h，∵（a﹣b）2≥0，∴a2+b2﹣2ab≥0，又∵a2+b2＝c2，a2+b2为定值，∴ab≤，∴ab最大值为，∵a，b为直角边的直角三角形面积＝a•b＝c•h，∴＝c•h，∴h＝，∵等腰直角三角形斜边上的高是斜边的一半，∴当a＝b时，h＝，故答案为：＝．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．参考答案：解：原式＝﹣1﹣3×+1+2＝﹣1﹣+1+2＝2．20．参考答案：解：原式＝[﹣]•＝•＝（m﹣3）﹣2（m+3）＝m﹣3﹣2m﹣6＝﹣m﹣9，当m＝﹣3，0，3时，原式没有意义，舍去；当m＝1时，原式＝﹣1﹣9＝﹣10．四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．参考答案：解：（1）本次调查参加义务劳动的学生共35÷35%＝100（人），∵100×a%＝40，∴a＝40，故答案为：100，40；（2）如图所示：（3）∵1﹣20%﹣35%﹣×100%＝5%，∴扇形图中“0≤t≤0.5”部分的圆心角是360°×5%＝18°，故答案为：18．22．参考答案：解：作DF⊥AE于F，DG⊥AB于G，CH⊥AB于H，如图所示：则DF＝GA，DC＝GH＝2，AF＝DG＝CH，由题意得：∠EDF＝30°，∴EF＝DE＝×4＝2，DF＝EF＝2，∵AE＝5，∴CH＝AF＝AE﹣EF＝5﹣2＝3，∵斜面BC的坡度为1：4＝，∴BH＝4CH＝12，∴AB＝AG+GH+BH＝2+2+12＝2+14≈17.5（m），答：处于同一水平面上引桥底部AB的长约为17.5m．五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．参考答案：解：（1）设该校购进洗手液x瓶，该校购进84消毒液y瓶，依题意有，解得．故该校购进洗手液120瓶，该校购进84消毒液280瓶；（2）设能购买洗手液a瓶，则能购买洗手液（150﹣a）瓶，依题意有25a+15（150﹣a）≤2500，解得a≤25．故最多能购买洗手液25瓶．24．参考答案：（1）解：四边形AECF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，∵点E与点F关于AC对称，∴AE＝AF，CE＝CF，OE＝OF，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE，∴AE＝AF＝CE＝CF，∴四边形AECF是菱形；（2）证明：∵BC＝2AB，AB⊥AC，∴∠ACB＝30°，∴∠B＝60°，∵AE＝CE，∴∠EAC＝∠ACB＝30°，∴∠BAE＝90°﹣30°＝60°＝∠B，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，∴∠AEC＝120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠DCE＝180°﹣∠B＝120°，又∵CE＝AE，∴CE＝BE＝BC＝AB＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，∴AE⊥DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．参考答案：（1）证明：连接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BE，∵BE⊥DE，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵BE⊥DE，∴∠ADB＝∠BED＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴△ABD∽△DBE，∴，∴＝，∴BD＝2；（3）解：结论CE＝AB﹣BE，理由：过D作DH⊥AB于H，∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，∴DH＝DE，在Rt△BED与Rt△BHD中，，∴Rt△BED≌Rt△BHD（HL），∴BH＝BE，∵∠DCE＝∠A，∠DHA＝∠DEC＝90°，∴△ADH≌△CDE（AAS），∴AH＝CE，∵AB＝AH+BH，∴AB＝BE+CE，∴CE＝AB﹣BE．26．参考答案：解：（1）由题意可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），把C（0，3）代入，可得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A（﹣3，0），C（0，3）代入得到，解得，∴直线AC的解析式为y＝x+3．当﹣3＜m＜0时，点P（m，n）在直线AC的上方，过点P作x 轴的垂线交AC于Q．则P（m，﹣m2﹣2m+3），Q（m，m+3），∴PQ＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，＝﹣（m+）2+，∵﹣3＜m＜0，∴当m＝﹣时，PQ的值最大，此时S△PAC＝•PQ•AO＝PQ最大，∴m＝﹣．（3）由A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），可得AB＝4，OB＝1，OC＝3，∵BC2＝10，∠CAO＝45°，∴BA2﹣BC2＝6，连接BC，过点B作AC的垂线交抛物线于D，交AC于H．则∠AHB＝90°，∠DBA＝∠CAO＝45°，∴DA2﹣DC2＝HA2﹣HC2＝AB2﹣BC2＝6，∵∠CAO＝∠DBA，∴点H在AB的垂直平分线上，即点H在抛物线的对称轴x＝﹣1上，∴点D与点C关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，∵C（0，3），∴点D的坐标为（﹣2，3）．第21页（共21页）。

2020年娄底市中考数学试卷附答案一、选择题1．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（）A．9B．8C．7D．62．在数轴上，与表示6的点距离最近的整数点所表示的数是()A．1B．2C．3D．43．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB 和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．4．如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为（）A．x＞32B．x＜32C．x＞3D．x＜35．直线y =﹣kx +k ﹣3与直线y =kx 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ）A ．三棱柱B ．四棱锥C ．长方体D ．正方体 7．若关于x 的一元二次方程()2110k x x -++=有两个实数根，则k 的取值范围是（）A ．54k ≤B ．54k ＞ C ．514k k ≠＜且 D ．514k k ≤≠且 8．如图，在矩形ABCD 中，AD=3，M 是CD 上的一点，将△ADM 沿直线AM 对折得到△ANM ，若AN 平分∠MAB ，则折痕AM 的长为（ ）A ．3B ．23C ．32D ．69．如图，在⊙O 中，AE 是直径，半径OC 垂直于弦AB 于D ，连接BE ，若AB=27，CD=1，则BE 的长是( )A ．5B ．6C ．7D ．810．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )A ．2cm ，3cm ，5cmB ．7cm ，4cm ，2cmC ．3cm ，4cm ，8cmD ．3cm ，3cm ，4cm11．均匀的向一个容器内注水，在注水过程中，水面高度h 与时间t 的函数关系如图所示，则该容器是下列中的（ ）A．B．C．D．12．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题13．如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格格点上，则tan∠BAC=_____________．14．在一个不透明的袋子中有若千个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：摸球实验次数100100050001000050000100000“摸出黑球”的次数36387201940091997040008“摸出黑球”的频率（结果保留小数点后三0.3600.3870.4040.4010.3990.400位）根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是_______（结果保留小数点后一位）．15．分解因式：x3﹣4xy2=_____．16．已知62x =+，那么222x x -的值是_____．17．如图：在△ABC 中，AB=13，BC=12，点D ，E 分别是AB ，BC 的中点，连接DE ，CD ，如果DE=2.5，那么△ACD 的周长是_____．18．如图，在Rt △AOB 中，OA=OB=32，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则切线PQ 的最小值为 ．19．二元一次方程组627x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为_____． 20．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF=4，BC=10，CD=6，则tanC=________．三、解答题21．某大学生利用业余时间参与了一家网店经营,销售一种成本为30元/件的文化衫,根据以往的销售经验,他整理出这种文化衫的售价y 1(元/件),销量y 2(件)与第x(1≤x<90)天的函数图象如图所示(销售利润=(售价-成本)×销量).(1)求y 1与y 2的函数解析式.(2)求每天的销售利润W 与x 的函数解析式.(3)销售这种文化衫的第多少天,销售利润最大,最大利润是多少?22．在□ABCD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF ＝BE ，连接AF ，BF.（1）求证：四边形BFDE 是矩形；（2）若CF ＝3，BF ＝4，DF ＝5，求证：AF 平分∠DAB ．23．小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数）（参考数据：o o o o 33711sin 37tan37s 48tan48541010in ，，，≈≈≈≈） 24．先化简(31a +－a ＋1)÷2441a a a -++，并从0，－1，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值．25．甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．甲公司方案：每月的养护费用y （元）与绿化面积x （平方米）是一次函数关系，如图所示．乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．（1）求如图所示的y 与x 的函数解析式：（不要求写出定义域）；（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】分析：根据多边形的内角和公式计算即可.详解：.答:这个正多边形的边数是9.故选A.点睛：本题考查了多边形，熟练掌握多边形的内角和公式是解答本题的关键. 2．B解析：B【解析】【分析】6的大小，即可得到结果．【详解】<<，46 6.25∴<<，26 2.56的点距离最近的整数点所表示的数是2，故选：B．【点睛】此题考查了实数与数轴，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．3．B解析：B【解析】【分析】①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．【详解】①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；②点P在BC上时，3＜x≤5，∵∠APB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠APB=∠PAD，又∵∠B=∠DEA=90°，∴△ABP∽△DEA，∴ABDE=APADAB APDE AD=，即34xy=，∴y=12x，纵观各选项，只有B选项图形符合，故选B．4．B解析：B【解析】【分析】根据点A的坐标找出b值，令一次函数解析式中y=0求出x值，从而找出点B的坐标，观察函数图象，找出在x轴上方的函数图象，由此即可得出结论．【详解】解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象交y轴于点A（0，3），∴b＝3，令y＝﹣2x+3中y＝0，则﹣2x+3＝0，解得：x＝32，∴点B（32，0）．观察函数图象，发现：当x＜32时，一次函数图象在x轴上方，∴不等式﹣2x+b＞0的解集为x＜32．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是找出交点B的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系解不等式是关键．5．B解析：B【解析】【分析】若y=kx过第一、三象限，则k＞0，所以y=-kx+k-3过第二、四象限，可对A、D进行判断；若y=kx过第二、四象限，则k＜0，-k＞0，k-3＜0，所以y=-kx+k-3过第一、三象限，与y轴的交点在x轴下方，则可对B、C进行判断．【详解】A、y=kx过第一、三象限，则k＞0，所以y=-kx+k-3过第二、四象限，所以A选项错误；B、y=kx过第二、四象限，则k＜0，-k＞0，k-3＜0，所以y=-kx+k-3过第一、三象限，与y轴的交点在x轴下方，所以B选项正确；C、y=kx过第二、四象限，则k＜0，-k＞0，k-3＜0，所以y=-kx+k-3过第一、三象限，与y轴的交点在x轴下方，所以C选项错误；D、y=kx过第一、三象限，则k＞0，所以y=-kx+k-3过第二、四象限，所以D选项错误．故选B．【点睛】本题考查了一次函数的图象：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象为一条直线，当k＞0，图象过第一、三象限；当k＜0，图象过第二、四象限；直线与y轴的交点坐标为（0，b）．6．A解析：A【解析】【分析】本题可以根据三棱柱展开图的三类情况分析解答【详解】三棱柱的展开图大致可分为三类：1.一个三角在中间,每边上一个长方体,另一个在某长方形另一端.2.三个长方形并排,上下各一个三角形.3.中间一个三角形,其中两条边上有长方形,这两个长方形某一个的另一端有三角形,在这三角形的一条(只有一条,否则拼不上)边有剩下的那个长方形.此题目中图形符合第2种情况故本题答案应为：A【点睛】熟练掌握几何体的展开图是解决本题的关键，有时也可以采用排除法．7．D解析：D【解析】【分析】运用根的判别式和一元二次方程的定义，组成不等式组即可解答【详解】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+x +1＝0有两个实数根，∴210=1-41)10k k -⎧⎨∆⨯-⨯≥⎩≠（ ，解得：k ≤54且k ≠1． 故选：D ．【点睛】此题考查根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的情况与判别式的关系是解题关键8．B解析：B【解析】【分析】根据折叠的性质可得∠MAN=∠DAM ，再由AN 平分∠MAB ，得出∠DAM=∠MAN=∠NAB ，最后利用三角函数解答即可.【详解】由折叠性质得：△ANM ≌△ADM ，∴∠MAN=∠DAM ，∵AN 平分∠MAB ，∠MAN=∠NAB ，∴∠DAM=∠MAN=∠NAB ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，∴== 故选：B ．【点睛】本题考查了矩形 的性质及折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质求得∠MAN=∠DAM, 9．B解析：B【解析】【分析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵半径OC 垂直于弦AB ，∴AD=DB=12在Rt △AOD 中，OA 2=(OC-CD)2+AD 2,即OA 2=(OA-1)2 )2，解得，OA=4∴OD=OC-CD=3，∵AO=OE,AD=DB,∴BE=2OD=6故选B【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键10．D解析：D【解析】【详解】A ．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A 错误；B ．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B 错误；C ．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C 错误；D ．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D 正确．故选D ．11．D解析：D【解析】【分析】由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解．【详解】根据图象折线可知是正比例函数和一次函数的函数关系的大致图象；切斜程度（即斜率）可以反映水面升高的速度；因为D 几何体下面的圆柱体的底圆面积比上面圆柱体的底圆面积小,所以在均匀注水的前提下是先快后慢;故选D.【点睛】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据用的时间长短来判断相应的函数图象．12．A解析：A【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；②证△OMB≌△OEB得△EOB≌△CMB；③先证△BEF是等边三角形得出BF=EF，再证▱DEBF得出DE=BF，所以得DE=EF；④由②可知△BCM≌△BEO，则面积相等，△AOE和△BEO属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：BE，由直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半得出BE=2OE=2AE，得出结论S△AOE：S△BOE=AE：BE=1：2．【详解】试题分析：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故①正确；②∵FB垂直平分OC，∴△CMB≌△OMB，∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，∴△FOC≌△EOA，∴FO=EO，易得OB⊥EF，∴△OMB≌△OEB，∴△EOB≌△CMB，故②正确；③由△OMB≌△OEB≌△CMB得∠1=∠2=∠3=30°，BF=BE，∴△BEF是等边三角形，∴BF=EF，∵DF∥BE且DF=BE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE=BF，∴DE=EF，故③正确；④在直角△BOE中∵∠3=30°，∴BE=2OE，∵∠OAE=∠AOE=30°，∴AE=OE，∴BE=2AE，∴S△AOE：S△BOE=1：2，又∵FM:BM=1:3,∴S△BCM =34S△BCF=34S△BOE∴S△AOE：S△BCM=2:3故④正确；所以其中正确结论的个数为4个考点：（1）矩形的性质；（2）等腰三角形的性质；（3）全等三角形的性质和判定；（4）线段垂直平分线的性质二、填空题13．【解析】分析：在图形左侧添加正方形网格分别延长ABAC连接它们延长线所经过的格点可构成直角三角形利用正切的定义即可得出答案详解：如图所示由图形可知∴tan∠BAC=故答案为点睛：本题考查了锐角三角函解析：1 3分析：在图形左侧添加正方形网格，分别延长AB 、AC ，连接它们延长线所经过的格点，可构成直角三角形，利用正切的定义即可得出答案.详解：如图所示，由图形可知，90AFE ∠=︒，3AF AC =，EF AC =，∴tan ∠BAC =133EF AC AF AC ==. 故答案为13. 点睛：本题考查了锐角三角函数的定义. 利用网格构建直角三角形进而利用正切的定义进行求解是解题的关键.14．4【解析】【分析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率据此求解【详解】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在04附近故摸到白球的频率估计值为04；故答案为：04【点睛】本题考查了利用频率解析：4【解析】【分析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解.【详解】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近，故摸到白球的频率估计值为0.4；故答案为：0.4．【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．15．x （x+2y ）（x ﹣2y ）【解析】分析：原式提取x 再利用平方差公式分解即可详解：原式=x （x2-4y2）=x （x+2y ）（x-2y ）故答案为x （x+2y ）（x-2y ）点睛：此题考查了提公因式法与公式解析：x （x+2y ）（x ﹣2y ）【解析】分析：原式提取x ，再利用平方差公式分解即可．详解：原式=x （x 2-4y 2）=x （x+2y ）（x-2y ），故答案为x（x+2y）（x-2y）点睛：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．16．4【解析】【分析】将所给等式变形为然后两边分别平方利用完全平方公式即可求出答案【详解】∵∴∴∴∴故答案为：4【点睛】本题考查了二次根式的运算解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式注意正确解析：4【解析】【分析】将所给等式变形为x=【详解】∵x=，∴x-=x=，∴(22∴226x-+=，∴24x-=，故答案为：4【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式.注意正确的变形可以使得运算简便.17．18【解析】【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5AC∥DE根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD根据三角形的周长公式计算即可【详解】∵DE分别是A解析：18【解析】【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】∵D，E分别是AB，BC的中点，∴AC=2DE=5，AC∥DE，AC2+BC2=52+122=169，AB2=132=169，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∵AC∥DE，∴∠DEB=90°，又∵E是BC的中点，∴直线DE是线段BC的垂直平分线，∴DC=BD，∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18，故答案为18．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．18．【解析】试题分析：连接OPOQ∵PQ是⊙O的切线∴OQ⊥PQ根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2∴当PO⊥AB时线段PQ最短此时∵在Rt△AOB中OA=OB=∴AB=OA=6∴OP=AB=3∴解析：22【解析】试题分析：连接OP、OQ，∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ．根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短．此时，∵在Rt△AOB中，OA=OB=，∴AB=OA=6．∴OP=AB=3．∴．19．【解析】【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解【详解】②﹣①得③将③代入①得∴故答案为：【点睛】本题考查的是二元一次方程组的基本解法本题属于基础题比较简单解析：15 xy=⎧⎨=⎩【解析】【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解．【详解】627x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， ②﹣①得1x =③将③代入①得5y =∴15x y =⎧⎨=⎩故答案为：15x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查的是二元一次方程组的基本解法，本题属于基础题，比较简单．20．【解析】【分析】连接BD 根据中位线的性质得出EFBD 且EF=BD 进而根据勾股定理的逆定理得到△BDC 是直角三角形求解即可【详解】连接BD 分别是ABAD 的中点EFBD 且EF=BD 又△BDC 是直角三角形解析：43 【解析】 【分析】连接BD ，根据中位线的性质得出EF //BD ，且EF=12BD ，进而根据勾股定理的逆定理得到△BDC 是直角三角形，求解即可．【详解】连接BD ,E F 分别是AB 、AD 的中点∴EF //BD ，且EF=12BD 4EF =8BD ∴=又8106BD BC CD ===，，∴△BDC 是直角三角形，且=90BDC ∠︒∴tanC=BD DC =86=43. 故答案为：43.三、解答题21．（1）y2与x的函数关系式为y2=-2x+200(1≤x<90)；（2）W=22x180x2?000(1x50),120?x12?000(50x90).⎧-++≤<⎨-+≤<⎩（3）销售这种文化衫的第45天，销售利润最大，最大利润是6050元．【解析】【分析】（1）待定系数法分别求解可得；（2）根据：销售利润=（售价-成本）×销量，分1≤x＜50、50≤x＜90两种情况分别列函数关系式可得；（3）当1≤x＜50时，将二次函数关系式配方后依据二次函数性质可得此时最值情况，当50≤x＜90时，依据一次函数性质可得最值情况，比较后可得答案．【详解】(1)当1≤x<50时，设y1=kx+b，将(1，41)，(50，90)代入，得k b41,50k b90,+=⎧⎨+=⎩解得k1,b40,=⎧⎨=⎩∴y1=x+40，当50≤x<90时，y1=90，故y1与x的函数解析式为y1=x40(1x50), 90(50x90);+≤<⎧⎨≤<⎩　设y2与x的函数解析式为y2=mx+n(1≤x<90)，将(50，100)，(90，20)代入，得50m n100,90m n20,+=⎧⎨+=⎩解得:m2,n200,=-⎧⎨=⎩故y2与x的函数关系式为y2=-2x+200(1≤x<90)．(2)由(1)知，当1≤x<50时，W=(x+40-30)(-2x+200)=-2x2+180x+2000；当50≤x<90时，W=(90-30)(-2x+200)=-120x+12000；综上，W=22x180x2?000(1x50), 120?x12?000(50x90).⎧-++≤<⎨-+≤<⎩(3)当1≤x<50时，∵W=-2x2+180x+2000=-2(x-45)2+6050，∴当x=45时，W取得最大值，最大值为6050元；当50≤x<90时，W=-120x+12000，∵-120<0，W随x的增大而减小，∴当x=50时，W取得最大值，最大值为6000元；综上，当x=45时，W取得最大值6050元．答:销售这种文化衫的第45天，销售利润最大，最大利润是6050元．22．（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平行线的性质，可得∠DF A=∠F AB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DF A，根据角平分线的判定，可得答案．试题分析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DF A=∠F AB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC=，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DF A，∴∠DAF=∠F AB，即AF平分∠DAB．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DF A是解题关键．23．43米【解析】【分析】【详解】解：设CD = x．在Rt△ACD中，tan37AD CD︒=，则34ADx =，∴34 AD x=.在Rt△BCD中，tan48° =BD CD，则1110BDx=，∴1110 BD x=∵AD＋BD = AB，∴31180 410x x+=．解得：x≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米．24．【解析】试题分析：首先把括号的分式通分化简，后面的分式的分子分解因式，然后约分化简，接着计算分式的乘法，最后代入数值计算即可求解．试题解析：原式=223111(2)a aa a-++⨯+-=2(2)(2)11(2)a a aa a-+-+⨯+-=22aa+--；当a=0时，原式=1．考点：分式的化简求值．25．（1）y=5x+400．（2）乙.【解析】试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）绿化面积是1200平方米时，求出两家的费用即可判断；试题解析：（1）设y=kx+b，则有400100900bk b=⎧⎨+=⎩，解得5400kb=⎧⎨=⎩，∴y=5x+400．（2）绿化面积是1200平方米时，甲公司的费用为6400元，乙公司的费用为5500+4×200=6300元，∵6300＜6400∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．。

2020年湖南省娄底市中考数学试卷和答案解析一.选择题（本大题共12小题I每小题3分,满分36分.每小题给题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1・（3分）・2020的倒数是（）故选：D.点拨:本题主要考查的是倒数的定义I掌握倒数的定义是解题的关2.(3分)下列运算正确的是(A ・ a2∙a3 = a6C .(・ 2a) 3= - 8a3解析:利用同底数黑的乘法■积的乘方的运算法则■合并同类项法则和完全平方公式分别化简求出答案即可判断・参考答案：解:A. a2∙a3二｛原计算错误,故此选项不符合题意；B. （a÷b ）2 = a2+2ab÷b2r原计算错误,故此选项不符合题意；出的个选项中•只有个选项是符合题目要求的,请把你认为符合A ・・ 2020B ・ 2020解析:乘积是1的两数互为倒参考答案：解: -2020的倒数是- 12020)B ・(a+b ) 2 =a2+b2［计算正确r故此选项符合题意;2020 2020•依据倒数的定义回答即可.D、a2÷a2 = 2a2I原计算错误r故此选项不符合题意•故选：C.点拨:此题主要考查了整式的运算・正确掌握同底数冨的乘法■积 的乘方的运算法则.合并同类项法则和完全平方公式等知识I 熟练 掌握相关法则和公式是解题的关｝3.（3分）如图■将直尺与三角尺叠放在一起,如果Zl = 28o r 那么Z解.参考答案：解：如图■标注字母,由题意可得:ZBAC = 90o, ZDAC = ZBAC ・ Zl =62° ,VEFllAD ,.∖Z2 = ZDAC = 62o r故选：A.点拨:本题考查了平行线的性质,两锐角互余的性质•掌握平行线C ・ 28°D ・ 72°解析：由两锐角互余的性质可求ZDAC 度数 ,由平行线的性质可求C的性质是本题的关键.4 •（ 3分）一组数据7r 8r 10r 12f 13的平均数和中位数分别是（解析:根据平均数、中位数的计算方法求出结果即可.参考答案：解门 L 7÷8÷10r hl2+13-10,从小到大排列处在中间位置5的一个数是IO r 因此中位数是10, 故选：C.点拨：本题考查平均数.中位数的意义和计算方法r 理解平均数、 中位数的意义和计算方法是得出正确答案的前提.5.（3分）我国汽车工业迅速发展I 国产汽车技术成熟■下列汽车图解析:根据中心对称图形的概念求解.参考答案：解：A.不是中心对称图形.故错误；B 、是中心对称图形・故正确；U 不是中心对称图形・故错误；D 、不是中心对称图形・故错误・故选：B ・点拨：本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对第3页（共27页）A ・ 7. IOB ・ 9. 9C ・ 10、 10D ・ 12. 11标是中心对称 形的是（称中心,旋转180度后与原图重合•6 • （ 3分）2020年中央财政下达义务教育补助经费1695.9亿元r 比上年增长&3% •其中1695.9亿元用科学记数法表示为（）A ・ 16.959×10,° 元 B ・ 1695.9×108元解析:科学记数法的表示形式为a× 10啲形式■其中l≤lal<10l n 为整数•确定n 的值时r 要看把原数变成a 时f 小数点移动了多少 位r n 的绝对值与小数点移动的位数相同•当原数绝对值≥ 10时rn 是正数；当原数的绝对值V ］时.n 是负数.参考答案：解：1695.9 亿元=169590000000 元=1.6959× IO 11元 r 故选：D.点拨:此题考查了科学记数法的表示方法・科学记数法的表示形式 为ax W 的形式■其中l≤lal<10f n 为整数r 表示时关键要正确 确定a 的值以及n 的值•7（3分）正多边形的一个外角为60。

2020年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）（2020•娄底）﹣2020的倒数是（）A．﹣2020B．2020C．12020D．−120202．（3分）（2020•娄底）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a+b）2＝a2+b2C．（﹣2a）3＝﹣8a3D．a2+a2＝a43．（3分）（2020•娄底）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为（）A．62°B．56°C．28°D．72°4．（3分）（2020•娄底）一组数据7，8，10，12，13的平均数和中位数分别是（）A．7、10B．9、9C．10、10D．12、115．（3分）（2020•娄底）我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（3分）（2020•娄底）2020年中央财政下达义务教育补助经费1695.9亿元，比上年增长8.3%．其中1695.9亿元用科学记数法表示为（）A．16.959×1010元B．1695.9×108元C ．1.6959×1010元D ．1.6959×1011元7．（3分）（2020•娄底）正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．88．（3分）（2020•娄底）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L 1＝L •cos α，阻力臂L 2＝l •cos β，如果动力F 的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）A ．越来越小B ．不变C ．越来越大D ．无法确定9．（3分）（2020•娄底）如图，平行于y 轴的直线分别交y =k1x 与y =k2x 的图象（部分）于点A 、B ，点C 是y 轴上的动点，则△ABC 的面积为（ ）A ．k 1﹣k 2B ．12（k 1﹣k 2）C ．k 2﹣k 1D ．12（k 2﹣k 1）10．（3分）（2020•娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为（ ）A ．135B ．153C ．170D ．18911．（3分）（2020•娄底）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（ ） A ．y ＝x 2+x +2B ．y =√x +1C ．y ＝x +1xD ．y ＝|x |﹣112．（3分）（2020•娄底）二次函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣2（a ＜b ）与x 轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（）A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2020•娄底）一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝．14．（3分）（2020•娄底）口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球3个，白色球2个，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是．15．（3分）（2020•娄底）若ba=dc=12（a≠c），则b−da−c=．16．（3分）（2020•娄底）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝米．17．（3分）（2020•娄底）如图，四边形ABDC中，AB＝AC＝3，BD＝CD＝2，则将它以AD 为轴旋转180°后所得分别以AB、BD为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为．18．（3分）（2020•娄底）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积（a﹣b）2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2+b2＝c2，还可以用来证明结论：若a＞0、b＞0且a2+b2为定值，则当a b时，ab取得最大值．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2020•娄底）计算：|√3−1|﹣3tan30°+（3.14﹣π）0+（12）﹣1．20．（6分）（2020•娄底）先化简（mm+3−2mm−3）÷mm 2−9，然后从﹣3，0，1，3中选一个合适的数代入求值．四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2020•娄底）我市开展“温馨家园，创文同行”活动，某初中学校倡议学生利用双休日进社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间t （h ）：A ．0≤t ≤0.5，B ．0.5＜t ≤1，C ．1＜t ≤1.5，D ．t ＞1.5，将所得数据绘制成了如图不完整的统计图：（1）本次调查参加义务劳动的学生共 人，a ＝ ． （2）补全条形统计图．（3）扇形图中“0≤t ≤0.5”部分的圆心角是 度．22．（8分）（2020•娄底）如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E 点距地面5m ，从E 点处测得D 点俯角为30°，斜面ED 长为4m ，水平面DC 长为2m ，斜面BC 的坡度为1：4，求处于同一水平面上引桥底部AB 的长．（结果精确到0.1m ，√2≈1.41，√3≈1.73）．五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2020•娄底）为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花7200元购进洗手液与84消毒液共400瓶，已知洗手液的价格是25元/瓶，84消毒液的价格是15元/瓶．求：（1）该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？（2）若购买洗手液和84消毒液共150瓶，总费用不超过2500元，请问最多能购买洗手液多少瓶？24．（9分）（2020•娄底）如图，▱ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC、AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF、AE、CF、DE．（1）试判定四边形AECF的形状，并说明理由；（2）求证：AE⊥DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2020•娄底）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．26．（10分）（2020•娄底）如图，抛物线经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当﹣3＜m＜0时，试确定m的值，使得△P AC 的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足DA2﹣DC2＝6，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．2020年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）（2020•娄底）﹣2020的倒数是（）A．﹣2020B．2020C．12020D．−12020【解答】解：﹣2020的倒数是−1 2020，故选：D．2．（3分）（2020•娄底）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a+b）2＝a2+b2C．（﹣2a）3＝﹣8a3D．a2+a2＝a4【解答】解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；C、（﹣2a）3＝﹣8a3，原计算正确，故此选项符合题意；D、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：C．3．（3分）（2020•娄底）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为（）A．62°B．56°C．28°D．72°【解答】解：如图，标注字母，由题意可得：∠BAC＝90°，∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝62°，∵EF∥AD，∴∠2＝∠DAC＝62°，故选：A．4．（3分）（2020•娄底）一组数据7，8，10，12，13的平均数和中位数分别是（）A．7、10B．9、9C．10、10D．12、11【解答】解：x=7+8+10+12+135=10，从小到大排列处在中间位置的一个数是10，因此中位数是10，故选：C．5．（3分）（2020•娄底）我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形．故错误；B、是中心对称图形．故正确；C、不是中心对称图形．故错误；D、不是中心对称图形．故错误．故选：B．6．（3分）（2020•娄底）2020年中央财政下达义务教育补助经费1695.9亿元，比上年增长8.3%．其中1695.9亿元用科学记数法表示为（）A．16.959×1010元B．1695.9×108元C．1.6959×1010元D．1.6959×1011元【解答】解：1695.9亿元＝169590000000元＝1.6959×1011元，故选：D．7．（3分）（2020•娄底）正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：设所求正多边形边数为n，则60°•n＝360°，解得n＝6．故正多边形的边数是6．故选：B．8．（3分）（2020•娄底）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1＝L•cosα，阻力臂L2＝l•cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（）A．越来越小B．不变C．越来越大D．无法确定【解答】解：∵动力×动力臂＝阻力×阻力臂，∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，∴动力随着动力臂的增大而减小，∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cosα的值越来越大，又∵动力臂L1＝L•cosα，∴此时动力臂也越来越大，∴此时的动力越来越小，故选：A．9．（3分）（2020•娄底）如图，平行于y轴的直线分别交y=k1x与y=k2x的图象（部分）于点A、B，点C是y轴上的动点，则△ABC的面积为（）A ．k 1﹣k 2B ．12（k 1﹣k 2）C ．k 2﹣k 1D ．12（k 2﹣k 1）【解答】解：由题意可知，AB =k1x −k2x ，AB 边上的高为x ，∴S △ABC =12×（k 1x−k 2x）•x =12（k 1﹣k 2），故选：B ．10．（3分）（2020•娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为（ ）A ．135B ．153C ．170D ．189【解答】解：根据规律可得，2b ＝18， ∴b ＝9， ∴a ＝b ﹣1＝8，∴x ＝2b 2+a ＝162+8＝170， 故选：C ．11．（3分）（2020•娄底）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（ ） A ．y ＝x 2+x +2B ．y =√x +1C ．y ＝x +1xD ．y ＝|x |﹣1【解答】解：当y ＝0时，方程x 2+x +2＝0无实数根，因此选项A 不符合题意； 方程√x +1＝0无实数根，因此选项B 不符合题意；方程x +1x=0无实数根，因此选项C 不符合题意； 方程|x |﹣1＝0的解为x ＝±1，因此选项D 符合题意， 故选：D ．12．（3分）（2020•娄底）二次函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣2（a ＜b ）与x 轴的两个交点的横坐标分别为m 和n ，且m ＜n ，下列结论正确的是（ ） A ．m ＜a ＜n ＜bB ．a ＜m ＜b ＜nC ．m ＜a ＜b ＜nD ．a ＜m ＜n ＜b【解答】解：二次函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）与x 轴交点的横坐标为a 、b ，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣2的图象，如图所示． 观察图象，可知：m ＜a ＜b ＜n ． 故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2020•娄底）一元二次方程x 2﹣2x +c ＝0有两个相等的实数根，则c ＝ 1 ． 【解答】解：∵一元二次方程x 2﹣2x +c ＝0有两个相等的实数根， ∴△＝b 2﹣4ac ＝（﹣2）2﹣4c ＝0， 解得c ＝1． 故答案为1．14．（3分）（2020•娄底）口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球3个，白色球2个，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是 25．【解答】解：∵袋子中共有5个小球，其中白色小球有2个，∴从中任意摸出一球，有5种等可能结果，其中摸到白色小球的有2种可能， ∴从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是25，故答案为：25．15．（3分）（2020•娄底）若b a=d c=12（a ≠c ），则b−d a−c=12．【解答】解：∵b a=d c=12（a ≠c ），∴b−d a−c=12．故答案为：12．16．（3分）（2020•娄底）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m （米），某车在标有R ＝300处的弯道上从点A 行驶了100π米到达点B ，则线段AB ＝ 300 米．【解答】解：∵100π=nπR 180=nπ⋅300180， ∴n ＝60°， 又AO ＝BO ，∴△AOB 是等边三角形， ∴AB ＝AO ＝BO ＝300（米）， 故答案为：300．17．（3分）（2020•娄底）如图，四边形ABDC 中，AB ＝AC ＝3，BD ＝CD ＝2，则将它以AD 为轴旋转180°后所得分别以AB 、BD 为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为 3：2 ．【解答】解：∵两个圆锥的底面圆相同， ∴可设底面圆的周长为l ，∴上面圆锥的侧面积为：12l •AB ，下面圆锥的侧面积为：12l •BD ，∵AB ＝AC ＝3，BD ＝CD ＝2， ∴S 上：S 下＝3：2， 故答案为：3：2．18．（3分）（2020•娄底）由4个直角边长分别为a ，b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c 2等于小正方形的面积（a ﹣b ）2与4个直角三角形的面积2ab 的和证明了勾股定理a 2+b 2＝c 2，还可以用来证明结论：若a ＞0、b ＞0且a 2+b 2为定值，则当a ＝ b 时，ab 取得最大值．【解答】解：如图，作斜边c 上高h ，∵（a ﹣b ）2≥0， ∴a 2+b 2﹣2ab ≥0，又∵a 2+b 2＝c 2，a 2+b 2为定值，∴ab ≤c 22，∴ab 最大值为c 22，∵a ，b 为直角边的直角三角形面积=12a •b =12c •h ， ∴c 22=c •h ，∴h =c2，∵等腰直角三角形斜边上的高是斜边的一半， ∴当a ＝b 时，h =c2，故答案为：＝．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2020•娄底）计算：|√3−1|﹣3tan30°+（3.14﹣π）0+（12）﹣1．【解答】解：原式=√3−1﹣3×√33+1+2=√3−1−√3+1+2 ＝2．20．（6分）（2020•娄底）先化简（mm+3−2mm−3）÷mm 2−9，然后从﹣3，0，1，3中选一个合适的数代入求值． 【解答】解：原式＝[m(m−3)(m+3)(m−3)−2m(m+3)(m+3)(m−3)]•(m+3)(m−3)m=m[(m−3)−2(m+3)](m+3)(m−3)•(m+3)(m−3)m＝（m ﹣3）﹣2（m +3） ＝m ﹣3﹣2m ﹣6 ＝﹣m ﹣9，当m ＝﹣3，0，3时，原式没有意义，舍去； 当m ＝1时，原式＝﹣1﹣9＝﹣10．四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2020•娄底）我市开展“温馨家园，创文同行”活动，某初中学校倡议学生利用双休日进社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间t （h ）：A ．0≤t ≤0.5，B ．0.5＜t ≤1，C ．1＜t ≤1.5，D ．t ＞1.5，将所得数据绘制成了如图不完整的统计图：（1）本次调查参加义务劳动的学生共 100 人，a ＝ 40 ． （2）补全条形统计图．（3）扇形图中“0≤t ≤0.5”部分的圆心角是 18 度．【解答】解：（1）本次调查参加义务劳动的学生共35÷35%＝100（人），∵100×a%＝40，∴a＝40，故答案为：100，40；（2）如图所示：；（3）∵1﹣20%﹣35%−40100×100%＝5%，∴扇形图中“0≤t≤0.5”部分的圆心角是360°×5%＝18°，故答案为：18．22．（8分）（2020•娄底）如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E点距地面5m，从E点处测得D点俯角为30°，斜面ED长为4m，水平面DC长为2m，斜面BC的坡度为1：4，求处于同一水平面上引桥底部AB的长．（结果精确到0.1m，√2≈1.41，√3≈1.73）．【解答】解：作DF⊥AE于F，DG⊥AB于G，CH⊥AB于H，如图所示：则DF＝GA，DC＝GH＝2，AF＝DG＝CH，由题意得：∠EDF＝30°，∴EF=12DE=12×4＝2，DF=√3EF＝2√3，∵AE＝5，∴CH＝AF＝AE﹣EF＝5﹣2＝3，∵斜面BC的坡度为1：4=CH BH，∴BH＝4CH＝12，∴AB＝AG+GH+BH＝2√3+2+12＝2√3+14≈17.5（m），答：处于同一水平面上引桥底部AB的长约为17.5m．五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2020•娄底）为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花7200元购进洗手液与84消毒液共400瓶，已知洗手液的价格是25元/瓶，84消毒液的价格是15元/瓶．求：（1）该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？（2）若购买洗手液和84消毒液共150瓶，总费用不超过2500元，请问最多能购买洗手液多少瓶？【解答】解：（1）设该校购进洗手液x 瓶，该校购进84消毒液y 瓶， 依题意有{x +y =40025x +15y =7200，解得{x =120y =280．故该校购进洗手液120瓶，该校购进84消毒液280瓶； （2）设能购买洗手液a 瓶，则能购买洗手液（150﹣a ）瓶， 依题意有25a +15（150﹣a ）≤2500， 解得a ≤25．故最多能购买洗手液25瓶．24．（9分）（2020•娄底）如图，▱ABCD 中，BC ＝2AB ，AB ⊥AC ，分别在边BC 、AD 上的点E 与点F 关于AC 对称，连接EF 、AE 、CF 、DE ． （1）试判定四边形AECF 的形状，并说明理由； （2）求证：AE ⊥DE ．【解答】（1）解：四边形AECF 是菱形，理由如下： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∴∠OAF ＝∠OCE ，∵点E 与点F 关于AC 对称， ∴AE ＝AF ，CE ＝CF ，OE ＝OF ，在△AOF 和△COE 中，{∠OAF =∠OCF∠AOF =∠COE OF =OE，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE，∴AE＝AF＝CE＝CF，∴四边形AECF是菱形；（2）证明：∵BC＝2AB，AB⊥AC，∴∠ACB＝30°，∴∠B＝60°，∵AE＝CE，∴∠EAC＝∠ACB＝30°，∴∠BAE＝90°﹣30°＝60°＝∠B，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，∴∠AEC＝120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠DCE＝180°﹣∠B＝120°，又∵CE＝AE，∴CE＝BE=12BC＝AB＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，∴AE⊥DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2020•娄底）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．【解答】（1）证明：连接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BE，∵BE⊥DE，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵BE⊥DE，∴∠ADB＝∠BED＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴△ABD∽△DBE，∴ABBD =BDBE，∴5BD =BD4，∴BD＝2√5；（3）解：CE＝AB﹣BE，过D作DH⊥AB于H，∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，∴DH ＝DE ，在Rt △BED 与Rt △BHD 中，{DE =DHBD =BD ，∴Rt △BED ≌Rt △BHD （HL ）， ∴BH ＝BE ，∵∠DCE ＝∠A ，∠DGA ＝∠DEC ＝90°， ∴△ADH ≌△CDE （AAS ）， ∴AH ＝CE ， ∵AB ＝AH +BH ， ∴AB ＝BE +CE ， ∴CE ＝AB ﹣BE ．26．（10分）（2020•娄底）如图，抛物线经过点A （﹣3，0）、B （1，0）、C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）点P （m ，n ）是抛物线上的动点，当﹣3＜m ＜0时，试确定m 的值，使得△P AC 的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B 的点D ，满足DA 2﹣DC 2＝6，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可以假设抛物线的解析式为y ＝a （x +3）（x ﹣1），把C （0，3）代入，可得a ＝﹣1∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3．（2）设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，将A （﹣3，0），C （0，3）代入得到{0=−3k +b 3=b， 解得{k =1b =3， ∴直线AC 的解析式为y ＝x +3．当﹣3＜m ＜0时，点P （m ，n ）在直线AC 的上方，过点P 作x 轴的垂线交AC 于Q ．则P （m ，﹣m 2﹣2m +3），Q （m ，m +3），∴PQ ＝﹣m 2﹣2m +3﹣（m +3）＝﹣m 2﹣3m ，＝﹣（m +32）2+94，∵﹣3＜m ＜0，∴当m =−32时，PQ 的值最大，此时S △P AC =12•PQ •AO =32PQ 最大，∴m =−32．（3）由A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3），可得AB ＝4，OB ＝1，OC ＝3，∵BC 2＝10，∠CAO ＝45°，∴BA 2﹣BC 2＝6，连接BC ，过点B 作AC 的垂线交抛物线于D ，交AC 于H ．则∠AHB ＝90°，∠DBA ＝∠CAO ＝45°，∴DA 2﹣DC 2＝HA 2﹣HC 2＝AB 2﹣BC 2＝6，∵∠CAO ＝∠DBA ，∴BD ，AC 关于AB 的垂直平分线的对称，即关于抛物线的对称轴x ＝﹣1对称， ∴点D 与点C 关于抛物线的对称轴x ＝﹣1对称，∵C （0，3），∴点D 的坐标为（﹣2，3）．方法二：设D点的坐标为（n，﹣n2﹣2n+3），然后用两点间的距离公式表示DA和DC，最后会得到关于n的一元二次方程，最后解的n＝1和﹣2，由题意可知，1不符合舍弃最后得到n＝﹣2，所以D的坐标就是（﹣2，3）．。

2020年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.−2020的倒数是()A. 2020B. −2020C. 12020D. −120202.下列运算正确的是()A. a2⋅a3=a6B. (a+b)2=a2+b2C. (−2a)3=−8a3D. a2+a2=a43.如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1=28°，那么∠2的度数为()A. 62°B. 56°C. 28°D. 72°4.一组数据7，8，10，12，13的平均数和中位数分别是()A. 7、10B. 9、9C. 10、10D. 12、115.我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是()A. B. C. D.6.2020年中央财政下达义务教育补助经费1695.9亿元，比上年增长8.3%.其中1695.9亿元用科学记数法表示为()A. 16.959×1010元B. 1695.9×108元C. 1.6959×1010元D. 1.6959×1011元7.若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是()A. 5B. 6C. 7D. 88.如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1=L⋅cosα，阻力臂L2=l⋅cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是()A. 越来越小B. 不变C. 越来越大D. 无法确定9.如图，平行于y轴的直线分别交y=k1x 与y=k2x的图象(部分)于点A、B，点C是y轴上的动点，则△ABC的面积为()A. k1−k2B. 12(k1−k2) C. k2−k1 D. 12(k2−k1)10.下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为()A. 135B. 153C. 170D. 18911.函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是()A. y=x2+x+2B. y=√x+1C. y=x+1xD. y=|x|−112.二次函数y=(x−a)(x−b)−2(a<b)与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m<n，下列结论正确的是()A. m<a<n<bB. a<m<b<nC. m<a<b<nD. a<m<n<b二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.一元二次方程x2−2x+c=0有两个相等的实数根，则c=______．14.口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球3个，白色球2个，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是______．15.若ba =dc=12(a≠c)，则b−da−c=______．16.如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m(米)，某车在标有R=300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB=______米．17.如图，四边形ABDC中，AB=AC=3，BD=CD=2，则将它以AD为轴旋转180°后所得分别以AB、BD为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为______．18.由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积(a−b)2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2+b2=c2，还可以用来证明结论：若a>0、b>0且a2+b2为定值，则当a______b时，ab取得最大值．三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）19.计算：|√3−1|−3tan30°+(3.14−π)0+(12)−1．20.先化简(mm+3−2mm−3)÷mm2−9，然后从−3，0，1，3中选一个合适的数代入求值．21.我市开展“温馨家园，创文同行”活动，某初中学校倡议学生利用双休日进社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间t(ℎ)：A.0≤t≤0.5，B.0.5<t≤1，C.1<t≤1.5，D.t>1.5，将所得数据绘制成了如图不完整的统计图：(1)本次调查参加义务劳动的学生共______人，a=______．(2)补全条形统计图．(3)扇形图中“0≤t≤0.5”部分的圆心角是______度．22.如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”.该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E点距地面5m，从E点处测得D点俯角为30°，斜面ED长为4m，水平面DC长为2m，斜面BC的坡度为1：4，求处于同一水平面上引桥底部AB的长．(结果精确到0.1m，√2≈1.41，√3≈1.73)．23.为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花7200元购进洗手液与84消毒液共400瓶，已知洗手液的价格是25元/瓶，84消毒液的价格是15元/瓶．求：(1)该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？(2)若购买洗手液和84消毒液共150瓶，总费用不超过2500元，请问最多能购买洗手液多少瓶？24.如图，▱ABCD中，BC=2AB，AB⊥AC，分别在边BC、AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF、AE、CF、DE．(1)试判定四边形AECF的形状，并说明理由；(2)求证：AE⊥DE．25.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．(1)求证：DE与⊙O相切；(2)若AB=5，BE=4，求BD的长；(3)请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．26.如图，抛物线经过点A(−3,0)、B(1,0)、C(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P(m,n)是抛物线上的动点，当−3<m<0时，试确定m的值，使得△PAC的面积最大；(3)抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足DA2−DC2=6，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：−2020的倒数是−12020，故选：D ．乘积是1的两数互为倒数．依据倒数的定义回答即可．本题主要考查的是倒数的定义，掌握倒数的定义是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：A 、a 2⋅a 3=a 5，原计算错误，故此选项不符合题意； B 、(a +b)2=a 2+2ab +b 2，原计算错误，故此选项不符合题意； C 、(−2a)3=−8a 3，原计算正确，故此选项符合题意； D 、a 2+a 2=2a 2，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：C ．利用同底数幂的乘法、积的乘方的运算法则、合并同类项法则和完全平方公式分别化简求出答案即可判断．此题主要考查了整式的运算．正确掌握同底数幂的乘法、积的乘方的运算法则、合并同类项法则和完全平方公式等知识，熟练掌握相关法则和公式是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：如图，标注字母，由题意可得：∠BAC =90°，∠DAC =∠BAC −∠1=62°， ∵EF//AD ，∴∠2=∠DAC =62°， 故选：A ．由两锐角互余的性质可求∠DAC 度数，由平行线的性质可求解．本题考查了平行线的性质，两锐角互余的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．4.【答案】C 【解析】解：x −=7+8+10+12+135=10，从小到大排列处在中间位置的一个数是10，因此中位数是10， 故选：C ．根据平均数、中位数的计算方法求出结果即可．本题考查平均数、中位数的意义和计算方法，理解平均数、中位数的意义和计算方法是得出正确答案的前提．5.【答案】B【解析】解：A、不是中心对称图形．故错误；B、是中心对称图形．故正确；C、不是中心对称图形．故错误；D、不是中心对称图形．故错误．故选：B．根据中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．6.【答案】D【解析】解：1695.9亿元=169590000000元=1.6959×1011元，故选：D．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．7.【答案】B【解析】解：设所求正n边形边数为n，则60°⋅n=360°，解得n=6．故正多边形的边数是6．故选：B．多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成60°n，列方程可求解．本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．8.【答案】A【解析】解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值>0，∴动力随着动力臂的增大而减小，∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cosα的值越来越大，又∵动力臂L1=L⋅cosα，∴此时动力臂也越来越大，∴此时的动力越来越小，故选：A．根据杠杆原理及cosα的值随着α的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性等知识；熟练掌握相关知识是解决本题的关键．9.【答案】B【解析】解：由题意可知，AB=k1x −k2x，AB边上的高为x，∴S△ABC=12×(k1x−k2x)⋅x=12(k1−k2)，故选：B．AB的长是两个函数当自变量为x时，因变量的差的绝对值，再根据三角形的面积公式进行计算即可．本题考查反比例函数图形上点的坐标特征，表示三角形的底和高是正确解答的关键．10.【答案】C【解析】解：根据规律可得，2b=18，∴b=9，∴a=b−1=8，∴x=2b2+a=162+8=170，故选：C．分析前三个正方形可知，规律为左上方的数等于序号数，左下方的数比左上方数大1，右上方数是左下方数的2倍，右下方数为左下方数的平方数的2倍加上序号数，由此解决问题．此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于找出各个数之间的关系．11.【答案】D【解析】解：当y=0时，方程x2+x+2=0无实数根，因此选项A不符合题意；方程√x+1=0无实数根，因此选项B不符合题意；=0无实数根，因此选项C不符合题意；方程x+1x方程|x|−1=0的解为x=±1，因此选项D符合题意，故选：D．根据函数的零点的意义，逐项代入求解进行判断即可．本题考查函数值的意义，求出当函数值为0时，自变量的求值是正确判断的前提．12.【答案】C【解析】解：二次函数y=(x−a)(x−b)与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y=(x−a)(x−b)−2的图象，如图所示．观察图象，可知：m<a<b<n．故选：C．依照题意画出二次函数y=(x−a)(x−b)及y=(x−a)(x−b)−2的图象，观察图象即可得出结论．本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象，依照题意画出图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．13.【答案】1【解析】解：∵一元二次方程x2−2x+c=0有两个相等的实数根，∴△=b2−4ac=(−2)2−4c=0，解得c=1．故答案为1．若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2−4ac=0，建立关于c的不等式，求出c的值即可．此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．14.【答案】25【解析】解：∵袋子中共有5个小球，其中白色小球有2个，∴从中任意摸出一球，有5种等可能结果，其中摸到白色小球的有2种可能，∴从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是25，故答案为：25．从袋中任取一球有3+2=5种可能，其中摸出白球有3种可能，利用概率公式进行求解．本题主要考查概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．15.【答案】12【解析】解：∵ba =dc=12(a≠c)，∴b−da−c =12．故答案为：12．根据分比的性质即可求解．考查了比例线段，关键是熟练掌握比例的分比的性质．16.【答案】300【解析】解：∵100π=nπR180=nπ⋅300180，∴n=60°，又AO=BO，∴△AOB是等边三角形，∴AB=AO=BO=300(米)，故答案为：300．根据弧长公式求出∠AOB的度数，根据等边三角形的性质即可求解．本题考查了弧长的计算，等边三角形的性质，根据弧长公式求得∠AOB的度数是解题的关键．17.【答案】3：2【解析】解：∵两个圆锥的底面圆相同，∴可设底面圆的周长为l，∴上面圆锥的侧面积为：12l⋅AB，下面圆锥的侧面积为：12l⋅BD，∵AB=AC=3，BD=CD=2，∴S上：S下=3：2，故答案为：3：2．根据两个圆锥的底面圆相同，设底面圆的周长为l，根据圆锥的侧面积公式可得上面圆锥的侧面积为：12l⋅AB，下面圆锥的侧面积为：12l⋅BD，即可得出答案．本题考查了圆锥的侧面积公式，掌握圆锥侧面积公式是解题关键．18.【答案】=【解析】解：如图，作斜边c上高h，∵(a−b)2≥0，∴a2+b2−2ab≥0，又∵a2+b2=c2，a2+b2为定值，∴ab≤c22，∴ab最大值为c22，∵a，b为直角边的直角三角形面积=12a⋅b=12c⋅ℎ，∴c22=c⋅ℎ，∴ℎ=c2，∵等腰直角三角形斜边上的高是斜边的一半，∴当a=b时，ℎ=c2，故答案为：=．作斜边c上高h，由完全平方公式可得ab最大值为c22，由三角形的面积公式可得ℎ=c2，由等腰直角三角形的性质可求解．本题考查了勾股定理，完全平方公式，等腰直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．19.【答案】解：原式=√3−1−3×√33+1+2=√3−1−√3+1+2=2．【解析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】解：原式=[m(m−3)(m+3)(m−3)−2m(m+3)(m+3)(m−3)]⋅(m+3)(m−3)m=m[(m−3)−2(m+3)](m+3)(m−3)⋅(m+3)(m−3)m=(m−3)−2(m+3)=m−3−2m−6=−m−9，当m=−3，0，3时，原式没有意义，舍去；当m=1时，原式=−1−9=−10．【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21.【答案】100 40 18【解析】解：(1)本次调查参加义务劳动的学生共35÷35%=100(人)，∵100×a%=40，∴a=40，故答案为：100，40；(2)如图所示：；(3)∵1−20%−35%−40100×100%=5%，∴扇形图中“0≤t≤0.5”部分的圆心角是360°×5%=18°，故答案为：18．(1)根据图形得出本次调查参加义务劳动的学生=35÷35%，求出即可；(2)求出劳动时间在0.5<t≤1范围内的学生，再画出图形即可；(3)先求出劳动时间在0≤t≤0.5范围内的学生占总数的百分比，再求出圆心角即可．本题考查了条形统计图和扇形统计图，能根据图形得出正确的信息是解此题的关键．22.【答案】解：作DF⊥AE于F，DG⊥AB于G，CH⊥AB于H，如图所示：则DF=GA，DC=GH=2，AF=DG=CH，由题意得：∠EDF=30°，∴EF=12DE=12×4=2，DF=√3EF=2√3，∵AE=5，∴CH =AF =AE −EF =5−2=3，∵斜面BC 的坡度为1：4=CH BH ，∴BH =4CH =12，∴AB =AG +GH +BH =2√3+2+12=2√3+14≈17.5(m)，答：处于同一水平面上引桥底部AB 的长约为17.5m ．【解析】作DF ⊥AE 于F ，DG ⊥AB 于G ，CH ⊥AB 于H ，则DF =GA ，DC =GH =2，AF =DG =CH ，由含30°角的直角三角形的性质得出EF =12DE =2，DF =√3EF =2√3，求出CH =AF =3，由斜面BC 的坡度求出BH =4CH =12，进而得出答案．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题以及坡度问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．23.【答案】解：(1)设该校购进洗手液x 瓶，该校购进84消毒液y 瓶，依题意有{x +y =40025x +15y =7200， 解得{x =120y =280． 故该校购进洗手液120瓶，该校购进84消毒液280瓶；(2)设能购买洗手液a 瓶，则能购买洗手液(150−a)瓶，依题意有25a +15(150−a)≤2500，解得a ≤25．故最多能购买洗手液25瓶．【解析】(1)设该校购进洗手液x 瓶，该校购进84消毒液y 瓶，根据“共400瓶；花费7200元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设能购买洗手液a 瓶，则能购买洗手液(150−a)瓶，根据总费用不超过2500元，列出不等式求解即可．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准不等关系，正确列出一元一次不等式．24.【答案】(1)解：四边形AECF 是菱形，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC ，∴∠OAF =∠OCE ，∵点E 与点F 关于AC 对称，∴AE =AF ，CE =CF ，OE =OF ，在△AOF 和△COE 中，{∠OAF =∠OCF∠AOF =∠COE OF =OE，∴△AOF≌△COE(AAS)，∴AF =CE ，∴AE =AF =CE =CF ，∴四边形AECF 是菱形；(2)证明：∵BC =2AB ，AB ⊥AC ，∴∠ACB =30°，∴∠B =60°，∵AE =CE ，∴∠EAC =∠ACB =30°，∴∠BAE=90°−30°=60°=∠B，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，∴∠AEC=120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD，∴∠DCE=180°−∠B=120°，又∵CE=AE，∴CE=BE=12BC=AB=CD，∴∠CED=∠CDE=30°，∴∠AED=120°−30°=90°，∴AE⊥DE．【解析】(1)由轴对称的性质得出AE=AF，CE=CF，OE=OF，证△AOF≌△COE(AAS)，得出AF=CE，则AE=AF=CE=CF，即可得出四边形AECF是菱形；(2)证∠ACB=30°，△ABE是等边三角形，则AE=AB=BE，∠AEB=60°，∠AEC=120°，证出CE=BE=12BC=AB=CD，则∠CED=∠CDE=30°，进而得出结论．本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．25.【答案】(1)证明：连接OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=∠CBD，∴∠ODB=∠CBD，∴OD//BE，∵BE⊥DE，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵BE⊥DE，∴∠ADB=∠BED=90°，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=∠CBD，∴△ABD∽△DBE，∴ABBD =BDBE，∴5BD =BD4，∴BD=2√5；(3)解：CE=AB−BE，过D作DH⊥AB于H，∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，∴DH=DE，在Rt △BED 与Rt △BHD 中，{DE =DH BD =BD， ∴Rt △BED≌Rt △BHD(HL)，∴BH =BE ，∵∠DCE =∠A ，∠DGA =∠DEC =90°，∴△ADH≌△CDE(AAS)，∴AH =CE ，∵AB =AH +BH ，∴AB =BE +CE ，∴CE =AB −BE ．【解析】(1)连接OD ，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到∠ODB =∠CBD ，根据平行线的性质得到OD ⊥DE ，于是得到结论；(2)根据圆周角定理得到∠ADB =90°，根据相似三角形的性质即可得到结论；(3)过D 作DH ⊥AB 于H ，根据角平分线的性质得到DH =DE ，根据全等三角形的性质即可得到结论．本题考查了切线的判定，角平分线的性质，圆的有关性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定及全等三角形的判定与性质是本题的关键．26.【答案】解：(1)由题意可以假设抛物线的解析式为y =a(x +3)(x −1)， 把C(0,3)代入，可得a =−1，∴抛物线的解析式为y =−x 2−2x +3．(2)设直线AC 的解析式为y =kx +b ，将A(−3,0)，C(0,3)代入得到{0=−3k +b 3=b， 解得{k =1b =3， ∴直线AC 的解析式为y =x +3．当−3<m <0时，点P(m,n)在直线AC 的上方，过点P 作x 轴的垂线交AC 于Q.则P(m,−m 2−2m +3)，Q(m,m +3)，∴PQ =−m 2−2m +3−(m +3)=−m 2−3m ，=−(m +32)2+94， ∵−3<m <0，∴当m =−32时，PQ 的值最大，此时S △PAC =12⋅PQ ⋅AO =32PQ 最大，∴m =−32．(3)由A(−3,0)，B(1,0)，C(0,3)，可得AB =4，OB =1，OC =3，∵BC 2=10，∠CAO =45°，∴BA 2−BC 2=6，连接BC ，过点B 作AC 的垂线交抛物线于D ，交AC 于H ．则∠AHB =90°，∠DBA =∠CAO =45°，∴DA2−DC2=HA2−HC2=AB2−BC2=6，∵∠CAO=∠DBA，∴BD，AC关于AB的垂直平分线的对称，即关于抛物线的对称轴x=−1对称，∴点D与点C关于抛物线的对称轴x=−1对称，∵C(0,3)，∴点D的坐标为(−2,3)．【解析】(1)据题意可设抛物线的解析式为y=dx+3)(x−1)，将点代入C(0.3)解出a，即可求出抛物线的解析．(2)先求出直线AC的解析式，然后根据当−3<m<0时，点P(m,n)在直线AC上方，过点P作x轴的垂线与线段AC相交于点Q，可将x=m分别代入y=一x2−2x+3和y= x+3得P(m,−m2−2m+3)，Q(m,m+3)，从而得出PQ的代数式，从而可求出m的值；(3)由题意可得AB=4，OB=1，CO=3，根据BC2=10，∠CAO=45’，可求出BA2−BC2=6，连接BC，过B作AC的垂线交抛物线于点D，交AC于点H，可得DA2−DC2= HA2−HC2=BA2−BC2=6，根据∠CAO=∠DBA，可得BD与AC关于AB的垂直平分线对称，即关于抛物线的对称轴x=−1对称，即点D与点C关于抛物线的对称轴x=−1对称，从而可求出点D的坐标．本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，三角形的面积，勾股定理轴对称等知识，解题的关键是学会利用参数，构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。

2020年娄底市中考数学试卷一、选择题（共12小题）.1．﹣2020的倒数是（）A．﹣2020B．2020C．D．﹣2．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a+b）2＝a2+b2C．（﹣2a）3＝﹣8a3D．a2+a2＝a43．如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为（）A．62°B．56°C．28°D．72°4．一组数据7，8，10，12，13的平均数和中位数分别是（）A．7、10B．9、9C．10、10D．12、115．我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．2020年中央财政下达义务教育补助经费1695.9亿元，比上年增长8.3%．其中1695.9亿元用科学记数法表示为（）A．16.959×1010元B．1695.9×108元C．1.6959×1010元D．1.6959×1011元7．正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．88．如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1＝L•cosα，阻力臂L2＝l•cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（）A．越来越小B．不变C．越来越大D．无法确定9．如图，平行于y轴的直线分别交y＝与y＝的图象（部分）于点A、B，点C是y 轴上的动点，则△ABC的面积为（）A．k1﹣k2B．（k1﹣k2）C．k2﹣k1D．（k2﹣k1）10．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（）A．135B．153C．170D．18911．函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（）A．y＝x2+x+2B．y＝+1C．y＝x+D．y＝|x|﹣112．二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（）A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝．14．口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球3个，白色球2个，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是．15．若＝＝（a≠c），则＝．16．如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有R ＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝米．17．如图，四边形ABDC中，AB＝AC＝3，BD＝CD＝2，则将它以AD为轴旋转180°后所得分别以AB、BD为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为．18．由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积（a﹣b）2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2+b2＝c2，还可以用来证明结论：若a＞0、b＞0且a2+b2为定值，则当a b 时，ab取得最大值．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．计算：|﹣1|﹣3tan30°+（3.14﹣π）0+（）﹣1．20．先化简（﹣）÷，然后从﹣3，0，1，3中选一个合适的数代入求值．四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．我市开展“温馨家园，创文同行”活动，某初中学校倡议学生利用双休日进社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间t（h）：A．0≤t≤0.5，B．0.5＜t≤1，C．1＜t≤1.5，D．t＞1.5，将所得数据绘制成了如图不完整的统计图：（1）本次调查参加义务劳动的学生共人，a＝．（2）补全条形统计图．（3）扇形图中“0≤t≤0.5”部分的圆心角是度．22．如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E点距地面5m，从E点处测得D点俯角为30°，斜面ED长为4m，水平面DC长为2m，斜面BC的坡度为1：4，求处于同一水平面上引桥底部AB的长．（结果精确到0.1m，≈1.41，≈1.73）．五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花7200元购进洗手液与84消毒液共400瓶，已知洗手液的价格是25元/瓶，84消毒液的价格是15元/瓶．求：（1）该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？（2）若购买洗手液和84消毒液共150瓶，总费用不超过2500元，请问最多能购买洗手液多少瓶？24．如图，▱ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC、AD上的点E与点F关于AC 对称，连接EF、AE、CF、DE．（1）试判定四边形AECF的形状，并说明理由；（2）求证：AE⊥DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．26．如图，抛物线经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当﹣3＜m＜0时，试确定m的值，使得△PAC 的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足DA2﹣DC2＝6，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．﹣2020的倒数是（）A．﹣2020B．2020C．D．﹣【分析】乘积是1的两数互为倒数．依据倒数的定义回答即可．解：﹣2020的倒数是，故选：D．2．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a+b）2＝a2+b2C．（﹣2a）3＝﹣8a3D．a2+a2＝a4【分析】利用同底数幂的乘法、积的乘方的运算法则、合并同类项法则和完全平方公式分别化简求出答案即可判断．解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；C、（﹣2a）3＝﹣8a3，原计算正确，故此选项符合题意；D、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：C．3．如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为（）A．62°B．56°C．28°D．72°【分析】由两锐角互余的性质可求∠DAC度数，由平行线的性质可求解．解：如图，标注字母，由题意可得：∠BAC＝90°，∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝62°，∵EF∥AD，∴∠2＝∠DAC＝62°，故选：A．4．一组数据7，8，10，12，13的平均数和中位数分别是（）A．7、10B．9、9C．10、10D．12、11【分析】根据平均数、中位数的计算方法求出结果即可．解：＝＝10，从小到大排列处在中间位置的一个数是10，因此中位数是10，故选：C．5．我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念求解．解：A、不是中心对称图形．故错误；B、是中心对称图形．故正确；C、不是中心对称图形．故错误；D、不是中心对称图形．故错误．故选：B．6．2020年中央财政下达义务教育补助经费1695.9亿元，比上年增长8.3%．其中1695.9亿元用科学记数法表示为（）A．16.959×1010元B．1695.9×108元C．1.6959×1010元D．1.6959×1011元【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：1695.9亿元＝169590000000元＝1.6959×1011元，故选：D．7．正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．8【分析】多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成60°n，列方程可求解．解：设所求正n边形边数为n，则60°•n＝360°，解得n＝6．故正多边形的边数是6．故选：B．8．如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1＝L•cosα，阻力臂L2＝l•cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（）A．越来越小B．不变C．越来越大D．无法确定【分析】根据杠杆原理及cosα的值随着α的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．解：∵动力×动力臂＝阻力×阻力臂，∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，∴动力随着动力臂的增大而减小，∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cosα的值越来越大，又∵动力臂L1＝L•cosα，∴此时动力臂也越来越大，∴此时的动力越来越小，故选：A．9．如图，平行于y轴的直线分别交y＝与y＝的图象（部分）于点A、B，点C是y 轴上的动点，则△ABC的面积为（）A．k1﹣k2B．（k1﹣k2）C．k2﹣k1D．（k2﹣k1）【分析】AB的长是两个函数当自变量为x时，因变量的差的绝对值，再根据三角形的面积公式进行计算即可．解：由题意可知，AB＝﹣，AB边上的高为x，∴S△ABC＝×（﹣）•x＝（k1﹣k2），故选：B．10．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（）A．135B．153C．170D．189【分析】分析前三个正方形可知，规律为左上方的数等于序号数，左下方的数比左上方数大1，右上方数是左下方数的2倍，右下方数为左下方数的平方数的2倍加上序号数，由此解决问题．解：根据规律可得，2b＝18，∴b＝9，∴a＝b﹣1＝8，∴x＝2b2+a＝162+8＝170，故选：C．11．函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（）A．y＝x2+x+2B．y＝+1C．y＝x+D．y＝|x|﹣1【分析】根据函数的零点的意义，逐项代入求解进行判断即可．解：当y＝0时，方程x2+x+2＝0无实数根，因此选项A不符合题意；方程+1＝0无实数根，因此选项B不符合题意；方程x+＝0无实数根，因此选项C不符合题意；方程|x|﹣1＝0的解为x＝±1，因此选项D符合题意，故选：D．12．二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（）A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b 【分析】依照题意画出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）及y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象，观察图象即可得出结论．解：二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象，如图所示．观察图象，可知：m＜a＜b＜n．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝1．【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，建立关于c的不等式，求出c的值即可．解：∵一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4c＝0，解得c＝1．故答案为1．14．口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球3个，白色球2个，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是．【分析】从袋中任取一球有3+2＝5种可能，其中摸出白球有3种可能，利用概率公式进行求解．解：∵袋子中共有5个小球，其中白色小球有2个，∴从中任意摸出一球，有5种等可能结果，其中摸到白色小球的有2种可能，∴从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是，故答案为：．15．若＝＝（a≠c），则＝．【分析】根据分比的性质即可求解．解：∵＝＝（a≠c），∴＝．故答案为：．16．如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有R ＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝300米．【分析】根据弧长公式求出∠AOB的度数，根据等边三角形的性质即可求解．解：∵100π＝＝，∴n＝60°，又AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝BO＝300（米），故答案为：300．17．如图，四边形ABDC中，AB＝AC＝3，BD＝CD＝2，则将它以AD为轴旋转180°后所得分别以AB、BD为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为3：2．【分析】根据两个圆锥的底面圆相同，设底面圆的周长为l，根据圆锥的侧面积公式可得上面圆锥的侧面积为：l•AB，下面圆锥的侧面积为：l•BD，即可得出答案．解：∵两个圆锥的底面圆相同，∴可设底面圆的周长为l，∴上面圆锥的侧面积为：l•AB，下面圆锥的侧面积为：l•BD，∵AB＝AC＝3，BD＝CD＝2，∴S上：S下＝3：2，故答案为：3：2．18．由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积（a﹣b）2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2+b2＝c2，还可以用来证明结论：若a＞0、b＞0且a2+b2为定值，则当a＝b 时，ab取得最大值．【分析】作斜边c上高h，由完全平方公式可得ab最大值为，由三角形的面积公式可得h＝，由等腰直角三角形的性质可求解．解：如图，作斜边c上高h，∵（a﹣b）2≥0，∴a2+b2﹣2ab≥0，又∵a2+b2＝c2，a2+b2为定值，∴ab≤，∴ab最大值为，∵a，b为直角边的直角三角形面积＝a•b＝c•h，∴＝c•h，∴h＝，∵等腰直角三角形斜边上的高是斜边的一半，∴当a＝b时，h＝，故答案为：＝．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．计算：|﹣1|﹣3tan30°+（3.14﹣π）0+（）﹣1．【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．解：原式＝﹣1﹣3×+1+2＝﹣1﹣+1+2＝2．20．先化简（﹣）÷，然后从﹣3，0，1，3中选一个合适的数代入求值．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．解：原式＝[﹣]•＝•＝（m﹣3）﹣2（m+3）＝m﹣3﹣2m﹣6＝﹣m﹣9，当m＝﹣3，0，3时，原式没有意义，舍去；当m＝1时，原式＝﹣1﹣9＝﹣10．四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．我市开展“温馨家园，创文同行”活动，某初中学校倡议学生利用双休日进社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间t（h）：A．0≤t≤0.5，B．0.5＜t≤1，C．1＜t≤1.5，D．t＞1.5，将所得数据绘制成了如图不完整的统计图：（1）本次调查参加义务劳动的学生共100人，a＝40．（2）补全条形统计图．（3）扇形图中“0≤t≤0.5”部分的圆心角是18度．【分析】（1）根据图形得出本次调查参加义务劳动的学生＝35÷35%，求出即可；（2）求出劳动时间在0.5＜t≤1范围内的学生，再画出图形即可；（3）先求出劳动时间在0≤t≤0.5范围内的学生占总数的百分比，再求出圆心角即可．解：（1）本次调查参加义务劳动的学生共35÷35%＝100（人），∵100×a%＝40，∴a＝40，故答案为：100，40；（2）如图所示：；（3）∵1﹣20%﹣35%﹣×100%＝5%，∴扇形图中“0≤t≤0.5”部分的圆心角是360°×5%＝18°，故答案为：18．22．如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E点距地面5m，从E点处测得D点俯角为30°，斜面ED长为4m，水平面DC长为2m，斜面BC的坡度为1：4，求处于同一水平面上引桥底部AB的长．（结果精确到0.1m，≈1.41，≈1.73）．【分析】作DF⊥AE于F，DG⊥AB于G，CH⊥AB于H，则DF＝GA，DC＝GH＝2，AF＝DG＝CH，由含30°角的直角三角形的性质得出EF＝DE＝2，DF＝EF＝2，求出CH＝AF＝3，由斜面BC的坡度求出BH＝4CH＝12，进而得出答案．解：作DF⊥AE于F，DG⊥AB于G，CH⊥AB于H，如图所示：则DF＝GA，DC＝GH＝2，AF＝DG＝CH，由题意得：∠EDF＝30°，∴EF＝DE＝×4＝2，DF＝EF＝2，∵AE＝5，∴CH＝AF＝AE﹣EF＝5﹣2＝3，∵斜面BC的坡度为1：4＝，∴BH＝4CH＝12，∴AB＝AG+GH+BH＝2+2+12＝2+14≈17.5（m），答：处于同一水平面上引桥底部AB的长约为17.5m．五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花7200元购进洗手液与84消毒液共400瓶，已知洗手液的价格是25元/瓶，84消毒液的价格是15元/瓶．求：（1）该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？（2）若购买洗手液和84消毒液共150瓶，总费用不超过2500元，请问最多能购买洗手液多少瓶？【分析】（1）设该校购进洗手液x瓶，该校购进84消毒液y瓶，根据“共400瓶；花费7200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设能购买洗手液a瓶，则能购买洗手液（150﹣a）瓶，根据总费用不超过2500元，列出不等式求解即可．解：（1）设该校购进洗手液x瓶，该校购进84消毒液y瓶，依题意有，解得．故该校购进洗手液120瓶，该校购进84消毒液280瓶；（2）设能购买洗手液a瓶，则能购买洗手液（150﹣a）瓶，依题意有25a+15（150﹣a）≤2500，解得a≤25．故最多能购买洗手液25瓶．24．如图，▱ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC、AD上的点E与点F关于AC 对称，连接EF、AE、CF、DE．（1）试判定四边形AECF的形状，并说明理由；（2）求证：AE⊥DE．【分析】（1）由轴对称的性质得出AE＝AF，CE＝CF，OE＝OF，证△AOF≌△COE （AAS），得出AF＝CE，则AE＝AF＝CE＝CF，即可得出四边形AECF是菱形；（2）证∠ACB＝30°，△ABE是等边三角形，则AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，∠AEC＝120°，证出CE＝BE＝BC＝AB＝CD，则∠CED＝∠CDE＝30°，进而得出结论．【解答】（1）解：四边形AECF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，∵点E与点F关于AC对称，∴AE＝AF，CE＝CF，OE＝OF，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE，∴AE＝AF＝CE＝CF，∴四边形AECF是菱形；（2）证明：∵BC＝2AB，AB⊥AC，∴∠ACB＝30°，∴∠B＝60°，∵AE＝CE，∴∠EAC＝∠ACB＝30°，∴∠BAE＝90°﹣30°＝60°＝∠B，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，∴∠AEC＝120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠DCE＝180°﹣∠B＝120°，又∵CE＝AE，∴CE＝BE＝BC＝AB＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，∴AE⊥DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到∠ODB＝∠CBD，根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得到结论；（2）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）过D作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH＝DE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BE，∵BE⊥DE，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵BE⊥DE，∴∠ADB＝∠BED＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴△ABD∽△DBE，∴，∴＝，∴BD＝2；（3）解：CE＝AB﹣BE，过D作DH⊥AB于H，∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，∴DH＝DE，在Rt△BED与Rt△BHD中，，∴Rt△BED≌Rt△BHD（HL），∴BH＝BE，∵∠DCE＝∠A，∠DGA＝∠DEC＝90°，∴△ADH≌△CDE（AAS），∴AH＝CE，∵AB＝AH+BH，∴AB＝BE+CE，∴CE＝AB﹣BE．26．如图，抛物线经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当﹣3＜m＜0时，试确定m的值，使得△PAC 的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足DA2﹣DC2＝6，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）据题意可设抛物线的解析式为y＝dx+3）（x﹣1），将点代入C（0.3）解出a，即可求出抛物线的解析．（2）先求出直线AC的解析式，然后根据当﹣3＜m＜0时，点P（m，n）在直线AC上方，过点P作x轴的垂线与线段AC相交于点Q，可将x＝m分别代入y＝一x2﹣2x+3和y＝x+3得P（m，﹣m2﹣2m+3），Q（m，m+3），从而得出PQ的代数式，从而可求出m的值；（3）由题意可得AB＝4，OB＝1，CO＝3，根据BC2＝10，∠CAO＝45’，可求出BA2﹣BC2＝6，连接BC，过B作AC的垂线交抛物线于点D，交AC于点H，可得DA2﹣DC2＝HA2﹣HC2＝BA2﹣BC2＝6，根据∠CAO＝∠DBA，可得BD与AC关于AB的垂直平分线对称，即关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，即点D与点C关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，从而可求出点D的坐标．解：（1）由题意可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），把C（0，3）代入，可得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A（﹣3，0），C（0，3）代入得到，解得，∴直线AC的解析式为y＝x+3．当﹣3＜m＜0时，点P（m，n）在直线AC的上方，过点P作x轴的垂线交AC于Q．则P（m，﹣m2﹣2m+3），Q（m，m+3），∴PQ＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，＝﹣（m+）2+，∵﹣3＜m＜0，∴当m＝﹣时，PQ的值最大，此时S△PAC＝•PQ•AO＝PQ最大，∴m＝﹣．（3）由A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），可得AB＝4，OB＝1，OC＝3，∵BC2＝10，∠CAO＝45°，∴BA2﹣BC2＝6，连接BC，过点B作AC的垂线交抛物线于D，交AC于H．则∠AHB＝90°，∠DBA＝∠CAO＝45°，∴DA2﹣DC2＝HA2﹣HC2＝AB2﹣BC2＝6，∵∠CAO＝∠DBA，∴BD，AC关于AB的垂直平分线的对称，即关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，∴点D与点C关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，∵C（0，3），∴点D的坐标为（﹣2，3）．。

2020年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）（2020•娄底）﹣2020的倒数是（）A．﹣2020B．2020C．12020D．−120202．（3分）（2020•娄底）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a+b）2＝a2+b2C．（﹣2a）3＝﹣8a3D．a2+a2＝a43．（3分）（2020•娄底）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为（）A．62°B．56°C．28°D．72°4．（3分）（2020•娄底）一组数据7，8，10，12，13的平均数和中位数分别是（）A．7、10B．9、9C．10、10D．12、115．（3分）（2020•娄底）我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（3分）（2020•娄底）2020年中央财政下达义务教育补助经费1695.9亿元，比上年增长8.3%．其中1695.9亿元用科学记数法表示为（）A．16.959×1010元B．1695.9×108元C ．1.6959×1010元D ．1.6959×1011元7．（3分）（2020•娄底）正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．88．（3分）（2020•娄底）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L 1＝L •cos α，阻力臂L 2＝l •cos β，如果动力F 的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）A ．越来越小B ．不变C ．越来越大D ．无法确定 9．（3分）（2020•娄底）如图，平行于y 轴的直线分别交y =k 1x 与y =k 2x 的图象（部分）于点A 、B ，点C 是y 轴上的动点，则△ABC 的面积为（ ）A ．k 1﹣k 2B ．12（k 1﹣k 2）C ．k 2﹣k 1D ．12（k 2﹣k 1） 10．（3分）（2020•娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）A ．135B ．153C ．170D ．18911．（3分）（2020•娄底）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（ ）A ．y ＝x 2+x +2B ．y =√x +1C ．y ＝x +1xD ．y ＝|x |﹣112．（3分）（2020•娄底）二次函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣2（a ＜b ）与x 轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（）A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2020•娄底）一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝．14．（3分）（2020•娄底）口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球3个，白色球2个，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是．15．（3分）（2020•娄底）若ba=dc=12（a≠c），则b−da−c=．16．（3分）（2020•娄底）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝米．17．（3分）（2020•娄底）如图，四边形ABDC中，AB＝AC＝3，BD＝CD＝2，则将它以AD 为轴旋转180°后所得分别以AB、BD为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为．18．（3分）（2020•娄底）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积（a﹣b）2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2+b2＝c2，还可以用来证明结论：若a＞0、b＞0且a2+b2为定值，则当a b时，ab取得最大值．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2020•娄底）计算：|√3−1|﹣3tan30°+（3.14﹣π）0+（12）﹣1． 20．（6分）（2020•娄底）先化简（m m+3−2m m−3）÷m 2，然后从﹣3，0，1，3中选一个合适的数代入求值． 四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2020•娄底）我市开展“温馨家园，创文同行”活动，某初中学校倡议学生利用双休日进社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间t （h ）：A ．0≤t ≤0.5，B ．0.5＜t ≤1，C ．1＜t ≤1.5，D ．t ＞1.5，将所得数据绘制成了如图不完整的统计图：（1）本次调查参加义务劳动的学生共 人，a ＝ ．（2）补全条形统计图．（3）扇形图中“0≤t ≤0.5”部分的圆心角是 度．22．（8分）（2020•娄底）如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E 点距地面5m ，从E 点处测得D 点俯角为30°，斜面ED 长为4m ，水平面DC 长为2m ，斜面BC 的坡度为1：4，求处于同一水平面上引桥底部AB 的长．（结果精确到0.1m ，√2≈1.41，√3≈1.73）．五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2020•娄底）为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花7200元购进洗手液与84消毒液共400瓶，已知洗手液的价格是25元/瓶，84消毒液的价格是15元/瓶．求：（1）该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？（2）若购买洗手液和84消毒液共150瓶，总费用不超过2500元，请问最多能购买洗手液多少瓶？24．（9分）（2020•娄底）如图，▱ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC、AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF、AE、CF、DE．（1）试判定四边形AECF的形状，并说明理由；（2）求证：AE⊥DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2020•娄底）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．26．（10分）（2020•娄底）如图，抛物线经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当﹣3＜m＜0时，试确定m的值，使得△P AC 的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足DA2﹣DC2＝6，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．2020年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）（2020•娄底）﹣2020的倒数是（）A．﹣2020B．2020C．12020D．−12020【解答】解：﹣2020的倒数是−1 2020，故选：D．2．（3分）（2020•娄底）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a+b）2＝a2+b2C．（﹣2a）3＝﹣8a3D．a2+a2＝a4【解答】解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；C、（﹣2a）3＝﹣8a3，原计算正确，故此选项符合题意；D、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：C．3．（3分）（2020•娄底）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为（）A．62°B．56°C．28°D．72°【解答】解：如图，标注字母，由题意可得：∠BAC＝90°，∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝62°，∵EF∥AD，∴∠2＝∠DAC＝62°，故选：A．4．（3分）（2020•娄底）一组数据7，8，10，12，13的平均数和中位数分别是（）A．7、10B．9、9C．10、10D．12、11【解答】解：x=7+8+10+12+135=10，从小到大排列处在中间位置的一个数是10，因此中位数是10，故选：C．5．（3分）（2020•娄底）我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形．故错误；B、是中心对称图形．故正确；C、不是中心对称图形．故错误；D、不是中心对称图形．故错误．故选：B．6．（3分）（2020•娄底）2020年中央财政下达义务教育补助经费1695.9亿元，比上年增长8.3%．其中1695.9亿元用科学记数法表示为（）A．16.959×1010元B．1695.9×108元C．1.6959×1010元D．1.6959×1011元【解答】解：1695.9亿元＝169590000000元＝1.6959×1011元，故选：D．7．（3分）（2020•娄底）正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：设所求正多边形边数为n，则60°•n＝360°，解得n＝6．故正多边形的边数是6．故选：B．8．（3分）（2020•娄底）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1＝L•cosα，阻力臂L2＝l•cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（）A．越来越小B．不变C．越来越大D．无法确定【解答】解：∵动力×动力臂＝阻力×阻力臂，∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，∴动力随着动力臂的增大而减小，∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cosα的值越来越大，又∵动力臂L1＝L•cosα，∴此时动力臂也越来越大，∴此时的动力越来越小，故选：A．9．（3分）（2020•娄底）如图，平行于y轴的直线分别交y=k1x与y=k2x的图象（部分）于点A、B，点C是y轴上的动点，则△ABC的面积为（）A ．k 1﹣k 2B ．12（k 1﹣k 2） C ．k 2﹣k 1 D ．12（k 2﹣k 1） 【解答】解：由题意可知，AB =k 1x −k 2x ，AB 边上的高为x ，∴S △ABC =12×（k 1x −k 2x ）•x =12（k 1﹣k 2）， 故选：B ． 10．（3分）（2020•娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）A ．135B ．153C ．170D ．189【解答】解：根据规律可得，2b ＝18，∴b ＝9，∴a ＝b ﹣1＝8，∴x ＝2b 2+a ＝162+8＝170，故选：C ．11．（3分）（2020•娄底）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（ ）A ．y ＝x 2+x +2B ．y =√x +1C ．y ＝x +1xD ．y ＝|x |﹣1【解答】解：当y ＝0时，方程x 2+x +2＝0无实数根，因此选项A 不符合题意；方程√x +1＝0无实数根，因此选项B 不符合题意；方程x +1x=0无实数根，因此选项C 不符合题意； 方程|x |﹣1＝0的解为x ＝±1，因此选项D 符合题意， 故选：D ．12．（3分）（2020•娄底）二次函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣2（a ＜b ）与x 轴的两个交点的横坐标分别为m 和n ，且m ＜n ，下列结论正确的是（ ） A ．m ＜a ＜n ＜bB ．a ＜m ＜b ＜nC ．m ＜a ＜b ＜nD ．a ＜m ＜n ＜b【解答】解：二次函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）与x 轴交点的横坐标为a 、b ，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣2的图象，如图所示． 观察图象，可知：m ＜a ＜b ＜n ． 故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2020•娄底）一元二次方程x 2﹣2x +c ＝0有两个相等的实数根，则c ＝ 1 ． 【解答】解：∵一元二次方程x 2﹣2x +c ＝0有两个相等的实数根， ∴△＝b 2﹣4ac ＝（﹣2）2﹣4c ＝0， 解得c ＝1． 故答案为1．14．（3分）（2020•娄底）口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球3个，白色球2个，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是 25．【解答】解：∵袋子中共有5个小球，其中白色小球有2个，∴从中任意摸出一球，有5种等可能结果，其中摸到白色小球的有2种可能， ∴从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是25，故答案为：25．15．（3分）（2020•娄底）若b a=d c=12（a ≠c ），则b−d a−c=12．【解答】解：∵b a=d c=12（a ≠c ），∴b−d a−c=12．故答案为：12．16．（3分）（2020•娄底）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m （米），某车在标有R ＝300处的弯道上从点A 行驶了100π米到达点B ，则线段AB ＝ 300 米．【解答】解：∵100π=nπR 180=nπ⋅300180， ∴n ＝60°， 又AO ＝BO ，∴△AOB 是等边三角形， ∴AB ＝AO ＝BO ＝300（米）， 故答案为：300．17．（3分）（2020•娄底）如图，四边形ABDC 中，AB ＝AC ＝3，BD ＝CD ＝2，则将它以AD 为轴旋转180°后所得分别以AB 、BD 为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为 3：2 ．【解答】解：∵两个圆锥的底面圆相同， ∴可设底面圆的周长为l ，∴上面圆锥的侧面积为：12l •AB ，下面圆锥的侧面积为：12l •BD ，∵AB ＝AC ＝3，BD ＝CD ＝2， ∴S 上：S 下＝3：2， 故答案为：3：2．18．（3分）（2020•娄底）由4个直角边长分别为a ，b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c 2等于小正方形的面积（a ﹣b ）2与4个直角三角形的面积2ab 的和证明了勾股定理a 2+b 2＝c 2，还可以用来证明结论：若a ＞0、b ＞0且a 2+b 2为定值，则当a ＝ b 时，ab 取得最大值．【解答】解：如图，作斜边c 上高h ，∵（a ﹣b ）2≥0， ∴a 2+b 2﹣2ab ≥0，又∵a 2+b 2＝c 2，a 2+b 2为定值，∴ab ≤c 22，∴ab 最大值为c 22，∵a ，b 为直角边的直角三角形面积=12a •b =12c •h ， ∴c 22=c •h ，∴h =c2，∵等腰直角三角形斜边上的高是斜边的一半， ∴当a ＝b 时，h =c2，故答案为：＝．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2020•娄底）计算：|√3−1|﹣3tan30°+（3.14﹣π）0+（12）﹣1．【解答】解：原式=√3−1﹣3×√33+1+2=√3−1−√3+1+2 ＝2．20．（6分）（2020•娄底）先化简（mm+3−2mm−3）÷mm 2−9，然后从﹣3，0，1，3中选一个合适的数代入求值． 【解答】解：原式＝[m(m−3)(m+3)(m−3)−2m(m+3)(m+3)(m−3)]•(m+3)(m−3)m=m[(m−3)−2(m+3)](m+3)(m−3)•(m+3)(m−3)m＝（m ﹣3）﹣2（m +3） ＝m ﹣3﹣2m ﹣6 ＝﹣m ﹣9，当m ＝﹣3，0，3时，原式没有意义，舍去； 当m ＝1时，原式＝﹣1﹣9＝﹣10．四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2020•娄底）我市开展“温馨家园，创文同行”活动，某初中学校倡议学生利用双休日进社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间t （h ）：A ．0≤t ≤0.5，B ．0.5＜t ≤1，C ．1＜t ≤1.5，D ．t ＞1.5，将所得数据绘制成了如图不完整的统计图：（1）本次调查参加义务劳动的学生共 100 人，a ＝ 40 ． （2）补全条形统计图．（3）扇形图中“0≤t ≤0.5”部分的圆心角是 18 度．【解答】解：（1）本次调查参加义务劳动的学生共35÷35%＝100（人），∵100×a%＝40，∴a＝40，故答案为：100，40；（2）如图所示：；（3）∵1﹣20%﹣35%−40100×100%＝5%，∴扇形图中“0≤t≤0.5”部分的圆心角是360°×5%＝18°，故答案为：18．22．（8分）（2020•娄底）如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E点距地面5m，从E点处测得D点俯角为30°，斜面ED长为4m，水平面DC长为2m，斜面BC的坡度为1：4，求处于同一水平面上引桥底部AB的长．（结果精确到0.1m，√2≈1.41，√3≈1.73）．【解答】解：作DF⊥AE于F，DG⊥AB于G，CH⊥AB于H，如图所示：则DF＝GA，DC＝GH＝2，AF＝DG＝CH，由题意得：∠EDF＝30°，∴EF=12DE=12×4＝2，DF=√3EF＝2√3，∵AE＝5，∴CH＝AF＝AE﹣EF＝5﹣2＝3，∵斜面BC的坡度为1：4=CH BH，∴BH＝4CH＝12，∴AB＝AG+GH+BH＝2√3+2+12＝2√3+14≈17.5（m），答：处于同一水平面上引桥底部AB的长约为17.5m．五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2020•娄底）为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花7200元购进洗手液与84消毒液共400瓶，已知洗手液的价格是25元/瓶，84消毒液的价格是15元/瓶．求：（1）该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？（2）若购买洗手液和84消毒液共150瓶，总费用不超过2500元，请问最多能购买洗手液多少瓶？【解答】解：（1）设该校购进洗手液x 瓶，该校购进84消毒液y 瓶， 依题意有{x +y =40025x +15y =7200，解得{x =120y =280．故该校购进洗手液120瓶，该校购进84消毒液280瓶； （2）设能购买洗手液a 瓶，则能购买洗手液（150﹣a ）瓶， 依题意有25a +15（150﹣a ）≤2500， 解得a ≤25．故最多能购买洗手液25瓶．24．（9分）（2020•娄底）如图，▱ABCD 中，BC ＝2AB ，AB ⊥AC ，分别在边BC 、AD 上的点E 与点F 关于AC 对称，连接EF 、AE 、CF 、DE ． （1）试判定四边形AECF 的形状，并说明理由； （2）求证：AE ⊥DE ．【解答】（1）解：四边形AECF 是菱形，理由如下： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∴∠OAF ＝∠OCE ，∵点E 与点F 关于AC 对称， ∴AE ＝AF ，CE ＝CF ，OE ＝OF ，在△AOF 和△COE 中，{∠OAF =∠OCF∠AOF =∠COE OF =OE，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE，∴AE＝AF＝CE＝CF，∴四边形AECF是菱形；（2）证明：∵BC＝2AB，AB⊥AC，∴∠ACB＝30°，∴∠B＝60°，∵AE＝CE，∴∠EAC＝∠ACB＝30°，∴∠BAE＝90°﹣30°＝60°＝∠B，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，∴∠AEC＝120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠DCE＝180°﹣∠B＝120°，又∵CE＝AE，∴CE＝BE=12BC＝AB＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，∴AE⊥DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2020•娄底）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．【解答】（1）证明：连接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BE，∵BE⊥DE，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵BE⊥DE，∴∠ADB＝∠BED＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴△ABD∽△DBE，∴ABBD =BDBE，∴5BD =BD4，∴BD＝2√5；（3）解：CE＝AB﹣BE，过D作DH⊥AB于H，∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，∴DH ＝DE ，在Rt △BED 与Rt △BHD 中，{DE =DHBD =BD ，∴Rt △BED ≌Rt △BHD （HL ）， ∴BH ＝BE ，∵∠DCE ＝∠A ，∠DGA ＝∠DEC ＝90°， ∴△ADH ≌△CDE （AAS ）， ∴AH ＝CE ， ∵AB ＝AH +BH ， ∴AB ＝BE +CE ， ∴CE ＝AB ﹣BE ．26．（10分）（2020•娄底）如图，抛物线经过点A （﹣3，0）、B （1，0）、C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）点P （m ，n ）是抛物线上的动点，当﹣3＜m ＜0时，试确定m 的值，使得△P AC 的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B 的点D ，满足DA 2﹣DC 2＝6，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可以假设抛物线的解析式为y ＝a （x +3）（x ﹣1），把C （0，3）代入，可得a ＝﹣1∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3．（2）设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，将A （﹣3，0），C （0，3）代入得到{0=−3k +b 3=b， 解得{k =1b =3， ∴直线AC 的解析式为y ＝x +3．当﹣3＜m ＜0时，点P （m ，n ）在直线AC 的上方，过点P 作x 轴的垂线交AC 于Q ．则P （m ，﹣m 2﹣2m +3），Q （m ，m +3），∴PQ ＝﹣m 2﹣2m +3﹣（m +3）＝﹣m 2﹣3m ，＝﹣（m +32）2+94，∵﹣3＜m ＜0，∴当m =−32时，PQ 的值最大，此时S △P AC =12•PQ •AO =32PQ 最大，∴m =−32．（3）由A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3），可得AB ＝4，OB ＝1，OC ＝3，∵BC 2＝10，∠CAO ＝45°，∴BA 2﹣BC 2＝6，连接BC ，过点B 作AC 的垂线交抛物线于D ，交AC 于H ．则∠AHB ＝90°，∠DBA ＝∠CAO ＝45°，∴DA 2﹣DC 2＝HA 2﹣HC 2＝AB 2﹣BC 2＝6，∵∠CAO ＝∠DBA ，∴BD ，AC 关于AB 的垂直平分线的对称，即关于抛物线的对称轴x ＝﹣1对称， ∴点D 与点C 关于抛物线的对称轴x ＝﹣1对称，∵C （0，3），∴点D 的坐标为（﹣2，3）．方法二：设D点的坐标为（n，﹣n2﹣2n+3），然后用两点间的距离公式表示DA和DC，最后会得到关于n的一元二次方程，最后解的n＝1和﹣2，由题意可知，1不符合舍弃最后得到n＝﹣2，所以D的坐标就是（﹣2，3）．。