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R2 EIII dr
Q1
Q2
IO
II
III
Q1 ( 1 1 ) Q1 Q2 1 1 ( Q1 Q2 ) 40 R1 R2 40 R2 40 R1 R2
II区 :I (r)
E dl
r
R2 r
E II
dl
R2 E III
dr
Q1 4 0
(1 r
1 ) Q1 Q2 R2 40
S1 S2
匀强电场, 在讨论空间内无净电荷分布,
高 斯 定 理 保 证 了 任 意 闭合 曲 面 内E通 量 为 零
选取半径为R的圆为S0 , S0与半球面S1构成闭合曲面; S0与任意曲面S2 , 可构成闭合曲面.
S0
S1
S
2
S0 E dS R2 E,
S0
S1 R2 E ,
2 0 r
Uin (r)
R E dl
r
R r dr (R2 r 2 )
r 2 0
4 0
§17 真空中的静电场 P27
17-12.电量均为
4.0×10-9C的四个点 电荷置于正方形的 四个顶点, 各顶点距 正方形中心O点 5.0cm. 试求: (1)O 点的场强和电势.
1 b
q0
2 ( a )2
3 2
b
q0 a2
(q0
3 )
3
A
B a/2
cos 30 3 a / 2 2 OA
OA a 3
FAy FAx 0
3 3 q0;
(对B, C的 分 析 完 全 一 样)
这里: 物理系统的平衡决定于一个函数f ( ) 0; 这个平衡点的稳定
决定于f ( )在这个 *处的导数 0,不稳定;小于0,稳定.
如果是多元函数, 那就是只要有一个偏导数正的就是不稳定的.
FAx
*
3 0,
极 大 值, 不 稳 定 平 衡.
(可以在那里放电量不同,各顶点受力各分量为f ( ).
f ( ) 0, f '( ) 0 or 0,稳定性分析,........(它若是哪个函数的极值,就好了.
E通量为得到q q' 4 (R 1400m)2 E 0 9.04104 C
V大 气
4 (R 1400m)3
3
4 R3
3
7.1456 1017 m3 ,
q' V大 气
q' /V 8.146 105 C / 7.1456 1017 m3 1.14 1012C / m3
§17 真空中的静电场 P27
Q1 40r 2
er
(3)III区 : r R2 : 高斯定理(Q1 Q2 ) / 0 E''4r 2
EIII
Q1 Q2 40r 2
er
(4)电势分布: III区 : I (r)
E
dl
Q1
Q2
1
,
r
40 r
II (r) Q1 40r 2
§17 真空中的静电场 P27
17-1. 三个相同的点电荷放置在等边三角形的顶点上. (1) 在此三角形的心应放
置怎样的电荷, 才能使作用在每一点电荷上的合力为零? (2) 这样的平衡是否
是稳定平衡?
in the centre O, 放置电量q. 有FO Fi 0
x : Fi cos 30 Fi cos 30 0
1 R2
1 ( Q1 40 r
Q2 ) R2
§17 真空中的静电场 P27
场源具有球对称性, 激发的电场也具有球对称性.
不 挖 小 球 时,以O为 球 心, 取 讨 论 位 置 点 到O点 的 距 离 为 半 径
构造闭合球面应用高斯定理, 电场线方向沿球半径方向,
(1)O点 : r 0, 0 / 0 ES EO1 0
y C q0
y:
Fi
(2Fi
sin30 )
0;
中 心 放 任 意 电 荷 都 可 以.
顶点A : FA Fi FBA FCA FOA
x : FAB FAB cos 60 FO cos 30 0
a
y : FAB sin60 FO sin30 0
x
FAy FAx
3 2
b
q0q0 a2
2 0
2 0
§17 真空中的静电场 P27
17-8. 求电荷面密度为σ 的无限长均匀带电圆柱面(半径为R)的
场强分布, 并画出E-r曲线.
z
E
r
0 R
场源具有圆柱对称性, 激发的电场也具有圆柱对称性. 以 圆 柱 中 心 轴 线 为z轴,电 场 线 沿 所 讨 论 位 置 到z轴 垂 线rer 取 无 限 长(h)的 圆 柱 面(半 径r )构 造 对 应 的 闭 合 曲 面
m 4 R3 ,
4 R3 g
q 3
3
E
0.851 103 (kg / cm 3 )* 4 * * (1.64 104 cm)3 * 9.8(m / s2 )
q
3 1.92 105
80.2554535 1034445 C 8.025545 1019
1e 1.6022 1019C q 5e
EO2
a 3 0
er
(3)P点距O'点b
a
: 高斯定理EP2
r 3 3(b a)2 0
er
M P O O’
(4) M点 距O'点c
a
: 高斯定理
4r 3 3
/0
EM1 4c2
r 3
EM 2 3(c a)2 0 er
由叠加原理得: EO
a 3 0
er , Eo'
a 3 0
er , EP
3 0
(b
r3 (b a)2 )er ; EM
3 0
R3 ( c2
r3 (c a)2 )er
§17 真空中的静电场 P27
17-11.半径为R的无限长圆柱体均匀带电, 电荷体密度为ρ ,求 场强和电势分布, 参考点选在该圆柱面上.
z r
R
场源具有圆柱对称性, 激发的电场也具有圆柱对称性. 以 圆 柱 中 心 轴 线 为z轴,电 场 线 沿 所 讨 论 位 置 到z轴 垂 线rer
取 长h的 圆 柱 面(半 径r )构 造 对 应 的 闭 合 曲 面
(1)r
R
: r 2h
/0
E(2rh), Ein
r 2 0
er
(2)r
R : R2h
/0
E'2rh, Eout
R2 2 0r
er
以R面为参考势零点,Uout (r)
R E dl
r
R R2
R2 R
dr ln( )
r 2 0r
(1)相对于地心, 地球的球体表面电场强度的大小是球对称的
高斯定理保证了地球表面附近的闭合球面内E通量为 4R2E
q
0
R 6371km 6.371 106 m, 0 8.854 1012(C 2 / N m2 ),
地球所带总电量q 4R2 E 0 9.05105 C
(2)高斯定理保证了对地心在R 1400m半径的闭合球面内
er
drer
R2 r
Q1 40r 2
dr
Q1 40
(1 r
1 R2
)
III (r)
r
E III
dr
Q1 Q2 40
1 r
,
III区 : I (r)
E dl
Q1
Q2
1
r
40 r
I区 :I (r)
E dl
r
R1 r
EI
dl
R2 R1
E
II
dl
3 / 2 Rd
b
/2
R2
(cosi
sinj )
EO
3 / 2 cosd
b
i
/2
R
3 / 2 sind
b
/2
R
j
b {sin
R
i 3 / 2
/2
cos
3 / 2 /2
j}
b b
(2)i
i
R
20 R
§17 真空中的静电场 P27
17-4. 如图所示, 匀强电场E与半径为R的半球面S1的轴线平行. 试计算此半球面的E通量. 若以半球面的边线为边, 另取一个任 意形状的曲面S2, 问S2的通量多大?
§17 真空中的静电场 P27
17-3. 半径为R, 电荷线密度为η的半圆形带电线如图所示, 求圆
心O点的场强.
y
R
Oθ x
微元法: 小元弧的电荷dq dl Rd ,
对O点的电场强度的元贡献: dEOdl
Rd
b R2
(cosi
sinj )
求场强的矢量和:
EO
3 / 2 / 2 dEOdl
17-7. 一厚度为d的无限大平板均匀带电, 电荷的体密度为ρ , 求 板内外的电场分布
z
d
场源具有平面对称性, 激发的电场也具有平面对称性.
板 的 厚 度 中 线 所 在 平 面是 电 场 为 零 的 面,电 场 线 沿Z轴
取无限大的上下表面(面积S ),一定厚度的长方体,
构 造 所 讨 论 的 位 置 的 电场 强 度 对 应 的 闭 合 曲 面
电荷体密度为ρ 的 均匀带电球体内, 挖去一个半径为r 的小球, 如图所示. 试求: O,O’,P,M各
点的场强
O'点 的 距 离 为 半 径 构 造 闭合 球 面 应 用 高 斯 定 理,电 场 线 方 向 沿 球 半 径,
