几何中的线段最值问题

考向一 与线段有关的问题1、如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x -3与x 轴交于点A 、与Y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），点E 是直线AC 上一动点，若满足△AEB 与△AOC 相似，求点E 的坐标和ABAE的值。

2、如图，抛物线1412-=x y 与直线kx y =交于A 、B 两点。

（1）如图①，若k=1，求直线AB 的长度；（2）如图②，若43=k ,点C 是y 轴上一点，且满足AC=BC ，求点C 的坐标；（3）如图③，若21=k ，点C 是第四象限内抛物线上的点，过点C 作CD ⊥X 轴交x 轴于点D ，并延长交AB 于点E ，若点D 恰好为CE 的三等分点，求点C 的坐标；（4）如图④，若43=k ，点P 是线段OB 上一动点（不与O 、B 重合），PM ⊥x 轴交抛物线于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，连接MN ，交OB 于点Q ，若满足21=MQ NQ ，求点P 的坐标。

考向二 利用二次函数性质求线段最值（一阶）1、·如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OB=OC=3OA=3，当-2≤x≤2时，求函数最大值和最小值2、如图，已知抛物线32y 2++-=x x 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 。

连接BC ，点P 是线段BC 上方抛物线上的点，过点P 作x 轴垂线交BC 与点D ，交x 轴于点E ，求线段PD 的最大值。

3、如图，已知抛物线32y 2++-=x x 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 。

连接BC ，点P 是线段BC 上方抛物线上的点，过点P 作PM ⊥BC 于点M ，求PM 的最大值。

4、如图，直线343y +=x 分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，抛物线12y 2++-=x x 与y 轴交于点C 。

若点P （x,y ）是抛物线上任意一点，设点P 到直线AB 的距离为d ，求d 关于x 的函数关系式，并求d 取最小值时点P 的坐标。

几何中的最值问题在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

最值问题的解决方法通常有两种：（1）应用几何性质：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长。

⑵运用代数证法：①运用配方法求二次三项式的最值；②运用一元二次方程根的判别式。

例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。

变式1：A、B两点分别在直线L的两侧，在直线L上取一点P使P A－PB最大。

ALB例2、如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为边的△BCP是等边三角形，求AP的最大值、最小值。

A'例3、已知：如图⊙O1与⊙O2相交于C、D,A是⊙O1上一点，直线AD交⊙O2于点B。

⑴当点A在弧CAD上运动到A’点时，作直线A’D交⊙O2于点B’，连结A’C、B’C。

证明：△A’B’C ∽△ABC。

(2)问点A’在弧CAD上什么位置时，S△A’B’C最大，说明理由。

（3）当O1 O2＝11，CD＝9时，求S△A’B’C的最大值。

BB图1 图2例4、已知：如图△ABC是一块锐角三角形余料，边长BC＝120mm，高AD＝80mm,要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设矩形的长QM＝y mm ，宽MN＝x mm（1）求证：y=120- x(2)当x与y分别取什么值时，矩形PQMN的面积最大？最大面积是多少？。

1 / 14线段最值问题一、将军饮马问题作法图形原理在直线l 上求作点P ，使PA ＋PB 最小．连接AB ，与l 交点即为P.两点之间，线段最短． PA ＋PB 最小值即为AB 长．在直线l 上求一点P ，使AP BP +最短将A 对称到'A ，连接'A B ，与l 的交点即为点P两点之间，线段最短.'AP BP A B +=在直线12l l 、上分别求点M N 、，使PMN △周长最小分别将点P 关于两直线对称到'''P P 、，连接'''P P 与两直线交点即为M N 、两点之间，线段最短.'''PM MN PN P P ++=在直线l 1、l 2上分别求点M N 、，使四边形PMNQ 周长最小将P Q 、分别对称到P ′、Q ′，连接''P Q 与直线的交点即为M N 、两点之间，线段最短.''PM MN NQ P Q ++=直线l 1∥l 2，在l 1、l 2上分别求点M N 、，使MN ⊥l 1，且AM ＋MN ＋NB 最小．将点A 向下平移MN 的长度 得A ′，连接A ′B ，交l 2于点N ，过点N 作MN⊥l 1于点M.两点之间，线段最短. AM ＋MN ＋NB 的最小值为A ′B+MN ．2 / 14在直线l 上求两点M N 、（M在左），使得MN =a ，并使AM MN NB ++最短将B 向左平移a 个单位到B ′，对称A 到A′，连接A′B′与l 交点即为M ，右平移a 个单位即为N.两点之间，线段最短.AM MN NB ++的最小值为A′B′+MN .在OA 上求点M ，在OB 上求点B ，使PM+PN 值最小.作点P 关于OA 的对称点P ′，作P ′N ⊥OB 于点N ，交OA 于点M.点到直线，垂线段最短.PA+AB 的最小值为线段P ′N 的长.P ，Q 为OA ，OB 的定点，在OA ，OB 上求作点M ，N ，使PN ＋NM ＋MQ 的值最小．作点P 关于OA 的对称点P ′，作点Q 关于OB 的对称点Q ′，连P ′Q′交OA 于点M ，交OB 于点N.两点之间，线段最短. PN ＋NM ＋MQ 最小值为线段P′Q′的长．在直线l 上求作点P ，使|PA －PB|的值最小．连AB ，作AB 的垂直平分线与直线l 的交点即为P.垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.|PA －PB|最小为0.在直线l 上求作点P ，使|PA －PB|的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P.三角形任意两边之差小于第三边. |PA －PB|最大值即为AB 长．在直线l 上求点P ，使AP BP -最大 作点B 关于l 的对称点B ′，作直线'AB ，与l 的交点即为点P .三角形任意两边之差小于第三边. |AP −BP |最大值即为AB′.3 / 14二、垂线段最值问题作法图形原理在直线l 上求作点P ，使线段AP 的值最小． 过点A 作AP ′⊥l于点P ′.连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短． AP ′即为最小值.三、轨迹问题问题作法图形原理如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上的任意一点（点E 不与点B 重合），沿DE 翻折△DBE 使点B 落在点F 处，连接AF ，则线段AF 长的最小值是________.由翻折得到，DF=DB=3.所以点F 在以点D 为圆心以3为半径的圆上.连接A 与圆心D ，AD 与圆的交点即为F'所以AF 的最小值是AD-DF'=5-3=2.利用“画圆”来确定动点问题解决最值问题. 如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE=DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是________.取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD ，然后根据三角形的三边关系可知当O 、D 、H 三点共线求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小时，DH的长度最小．值为其他两线段之差.4/ 14巩固练习类型一、将军饮马问题1.如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=BC=8，CD=2，点P是AB上的一的动点，求：PC+PD的最小值。

动点产生的几何最值问题
1.线段上的最短路径问题：给定两个固定点A和B，求在连接A和B的线段上距离点A的最短路径。

2.圆上的最大面积问题：给定一个固定半径的圆，求在圆上的点中，以其中一点为圆心的圆所围成的面积的最大值。

3.圆外的最短路径问题：给定一个固定的圆和一个固定圆心外的点P，求从P点到圆上的一点之间的最短路径。

4.抛物线上的最大值问题：给定一条抛物线，求在给定区间上的点中，使得这些点到抛物线的距离的平方和最小。

5.曲线上的最大斜率问题：给定一条曲线，求在给定区间上的点中，使得这些点切线的斜率的绝对值最大。

这些问题可以通过不同的数学方法来解决，如微积分、向量分析、几何推理等。

根据具体问题的特点，选择最适合的方法进行求解。

通过建立数学模型，运用最优化理论和几何性质，可以得到问题的最优解。

初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：m m mmABmn m nnmn（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：nnm Bnn2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。

(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：mnmmmmm过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

（2）点A 、B 在直线m 同侧： 练习题1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为 ．2、 如图1，在锐角三角形ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ． 3、如图，在锐角三角形ABC 中 ，AB=52，∠BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是多少mABB'EQ PmABQPQ4、如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.5、如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB 上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．6、如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =AB =2，OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.v1.0 可编辑可修改二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。

几何图形中的最值问题引言:最值问题可以分为最大值和最小值。

在初中包含三个方面的问题:1.函数:①二次函数有最大值和最小值；②一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。

2.不等式: ①如x ≤7，最大值是7；②如x ≥5，最小值是5.3.几何图形： ①两点之间线段线段最短。

②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短，③在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

一、最小值问题例1. 如图4，已知正方形的边长是8，M 在DC 上，且DM=2，N 为线段AC 上的一动点，求DN+MN 的最小值。

解: 作点D 关于AC 的对称点D /，则点D /与点B 重合，连BM,交AC 于N ，连DN ，则DN+MN 最短,且DN+MN=BM 。

∵CD=BC=8,DM=2, ∴MC=6, 在Rt △BCM 中,BM=6822 =10,∴DN+MN 的最小值是10。

例2，已知，MN 是⊙O 直径上，MN=2,点A 在⊙O 上，∠AMN=300,B 是弧AN 的中点，P 是MN 上的一动点，则PA+PB 的最小值是解:作A 点关于MN 的对称点A /,连A /B,交MN 于P ，则PA+PB 最短。

连OB ，OA /,∵∠AMN=300,B 是弧AN 的中点， ∴∠BOA /=300, 根据对称性可知 ∴∠NOA /=600, ∴∠MOA /=900, 在Rt △A /BO 中，OA /=OB=1, ∴A /B=2 即PA+PB=2图4CDMNMMNB例3. 如图6，已知两点D(1,-3),E(-1,-4),试在直线y=x 上确定一点P ，使点P 到D 、E 两点的距离之和最小，并求出最小值。

解:作点E 关于直线y=x 的对称点M ， 连MD 交直线y=x 于P ，连PE ， 则PE+PD 最短；即PE+PD=MD 。

∵E(-1,-4), ∴M(-4,-1),过M 作MN ∥x 轴的直线交过D 作DN ∥y 轴的直线于N ， 则MN ⊥ND, 又∵D(1,-3),则N(1,-1),在Rt △MND 中,MN=5,ND=2, ∴MD=2522+=29。

初中几何最值问题常用解法初中几何最值问题一直是学生们的难点，但通过一些常用的解法，我们可以轻松解决这些问题。

以下将介绍9种常用的解法，帮助您更好地理解和学习。

一、轴对称法轴对称法是一种常用的解决最值问题的方法。

通过将图形进行轴对称变换，可以将问题转化为相对简单的问题，从而找到最值。

二、垂线段法垂线段法是指在几何图形中，利用垂线段的性质来求取最值。

例如，在矩形中，要使矩形的周长最小，可以将矩形的一条边固定，然后通过调整其他边的长度，使得矩形的周长最小。

三、两点之间线段最短两点之间线段最短是几何学中的基本原理。

在解决最值问题时，我们可以利用这个原理，找到两个点之间的最短距离。

四、利用三角形三边关系三角形三边关系是指在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

利用这个关系，可以解决一些与三角形相关的最值问题。

五、利用余弦定理求最值余弦定理是三角学中的基本定理，它可以用来解决一些与角度和边长相关的问题。

通过余弦定理，我们可以找到一个角的最大或最小余弦值，从而求得最值。

六、利用基本不等式求最值基本不等式是指在一个数列中，平均值总是小于等于几何平均值。

利用这个不等式，可以解决一些与数列相关的最值问题。

七、代数运算求最值代数运算是一种基本的数学运算方法，它可以用来解决一些与代数式相关的最值问题。

例如，通过求导数或微分的方法，可以找到一个函数的最大或最小值。

八、代数方程求最值代数方程是一种基本的数学方程形式，它可以用来解决一些与代数方程相关的最值问题。

例如，通过解二次方程或不等式的方法，可以找到一个表达式的最大或最小值。

九、几何变换求最值几何变换是指在几何图形中，通过平移、旋转、对称等方式改变图形的形状和大小。

利用几何变换的方法，可以解决一些与图形变换相关的最值问题。

例如，在矩形中，要使矩形的面积最大。

初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

基本图形解析：一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P,使PA+PB最小; （1 ）点A B在直线m两侧：■: m（2）点A B在直线同侧:2、在直线m n上分别找两点P、Q,（1）两个点都在直线外侧: 使PA+PQ+Q最小。

BPA'B(2)一个点在内侧，一个点在外侧:Q (3)两个点都在内侧:B'B'* 2（4 ）、台球两次碰壁模型变式一：已知点 A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得 围成的四边形ADEB 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线 m 上找一点P ,使PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点B ） 1两点在直线两侧：（二）动点在圆上运动点B 在O O 上运动，在直线 m 上找一点P ,使PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点B ） 1点与圆在直线两侧：变式二：已知点 A 位于直线m,n 的内侧，在直线 m n 分别上求点 周长最短.P 、Q 点 PA+PQ+QA 2、两点在直线同侧:-：mP'A"B'2、点与圆在直线同侧:三)、已知A B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+Q的值最小。

(原理用平移知识解)(1 )点A、B在直线m两侧:A■作法：过A点作AC// m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。

B'(2)点A B在直线m同侧：1.如图1, / AOB45。

，P是/ AOB^一点，PO10, Q R分别是OA 0B上的动点，求厶PQR周长的最小值为______________________________2、如图2，在锐角三角形ABC中，AB=4』^, / BAC=45，/ BAC的平分线交BC于点D, M,N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+M的最小值为 ___________________________ .3、如图3,在锐角三角形ABC中，AB=5j2，/ BAC=45 BAC的平分线交BC于D, M N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN勺最小值是______________ 。

二次函数背景下的几何问题——线段最值问题线段最值问题是在二次函数背景下的一种几何问题，主要是求解一个线段的最大值或最小值。

这个问题可以通过二次函数的图像和相关的数学理论来解决。

在解决这类问题时，我们可以利用二次函数的性质和相关的数学技巧来找到线段的最值点，从而得出最值。

首先，我们来回顾一下二次函数的一般形式：f(x) = ax^2 + bx+ c，其中a、b、c都是常数且a不等于0。

根据二次函数的图像特点，我们知道它是一个抛物线，可以是开口向上（a>0）或开口向下（a<0）的。

对于线段最值问题，我们通常要确定线段的端点，然后找出其中的最大值或最小值点。

这可以通过以下步骤来完成：1.确定二次函数的图像形状：根据二次函数的参数a的值，确定抛物线是开口向上还是开口向下。

2.确定线段的端点：线段的端点可以是给定的数值，也可以通过求解二次函数的解来确定。

根据二次函数的性质，它的两个解（也就是x的值）对应着抛物线与x轴的交点，即抛物线的顶点和x轴的两个交点。

3.求解最值点：对于线段的最大值点，我们需要找到抛物线的顶点，并通过计算确定它的y坐标值。

通过二次函数的解析式，我们可以知道抛物线的顶点坐标是(-b/2a, f(-b/2a))。

同样的，对于线段的最小值点，我们也可以通过类似的方法来解决。

4.判断最值点是否在线段上：在找到最值点之后，我们需要判断它是否在给定的线段上。

这可以通过将最值点的x坐标值与线段的端点的x坐标值进行比较来实现。

如果最值点的x坐标值位于线段的端点之间，则最值点就在线段上。

通过以上步骤，我们可以很容易地求解线段的最值问题。

当然，在实际应用中，可能会碰到更复杂的情况，例如线段与其他二次函数曲线的交点等。

但是，通过理解二次函数的性质和运用相关的数学知识，我们可以应对这些情况并解决问题。

总结而言，线段最值问题是在二次函数背景下的一种几何问题，通过确定二次函数的图像形状、线段的端点、求解最值点和判断最值点是否在线段上，我们可以解决线段的最值问题。

二次函数背景下的几何问题——线段最值问题一、【教学内容分析】二次函数是一次函数和反比例函数的继续和发展，是初中数学学习的重点和难点，也为以后更高层次函数的学习奠定了基础.以二次函数为背景的试题常受命题者的青睐，它能够全面考察学生的数形结合能力与计算能力，同时它也是学生学习高中数学知识所必备的.而此命题一般不会用以纯函数的形式出现，而是结合几何图形或点的运动使几何图形发生变化，从而让代数与几何有机结合起来. 二次函数背景下的线段最值问题是利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、垂线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边等）及二次函数的性质求最值.这类问题大多是“将军饮马”模型的变式应用，试题通过考查点在直线上运动时与它相关线段的最值情况，不但能了解学生综合运用数学知识的能力，而且还能通过学生对“动”与“定”之间的关系的思考，深入了解学生在图形的运动变化中探索几何元素之间位置关系和数量关系的能力和识别能力，体现新课程对学生几何探索活动过程、合情推理能力的要求.二【疑难点分析】培养学生能正确运用将军饮马等几何模型、函数模型，解决二次函数背景下的线段最值问题.三、【教学目标】（1）掌握利用基本事实——两点之间线段最短、三角形的三边关系构建几何模型，解决因动点产生的二次函数背景下的线段最值问题.（2）根据问题构建函数模型，解决因动点产生的二次函数背景下的线段最值问题.四、【教学重难点】重点：能运用几何模型和函数模型解决因动点产生的二次函数背景下的线段最值问题.难点：提高学生运用二次函数知识与几何知识解决数学综合题的能力.五、【教学媒体】PPT 课件、微课、导学练六、【教法】讲练结合法、问题教学法七、【学法】小组合作交流法、自主探究法、观察发现法八、【教学流程框图】教学过程设计：教学内容（一）微课助手，忆旧知播放微课视频短片，让学生回顾下数学史上著名的“将军饮马”问题（二）重点难点，细解读1、模型一：如图 1，点 P 在直线 l 上运动，找出一点 p 使得PA+PB 取最小值.观察模型并回答以下两个问题：教学策略让学生通过观察模型一，总结出模型一的特点和所运用的方法.设计意图通过回顾“将军饮马”问题，烘托问题情境，利用微课吸引学生的注意力，在历史经典中唤起学生的兴趣，激发学生探究问题的欲望，让学生回忆起旧知.为了落实好下面的模型应用，把知识背景归纳成一般化的数学模型. 在温故中实现引新，为展开模型应值时，求点 P 的坐标 (1)该模型有什么特征？(2)基本解法是什么？特征：定点 A 、B 同侧，P 为动点； 原理：两点之间，线段最短； 思想：转化（化同侧为异侧）；方法：轴对称法.模型运用：（2016•漳州）已知：如图，A （-1,0）,B （3,0）,C（0,3）,抛物线经过点 A 、B 、C ， 抛物线的顶点为 D ．（1） 求抛物线的解析式和抛物线的顶点 D ；（2） 点 P 在对称轴上，PA+PC取最小 .解题思路分析：（1）利用两点式或者一般式求抛物线的解析式；通过小组讨论，再请学生代表解析.教师给予点评，并板演解答过程.用提供知识、方法及经验的支持.二次函数类的压轴题第一问通常为求点坐标、解析式，本小问要求学生能够熟练地掌握待定系数法求函数解析式或利用函数解析式求点坐标，相对较简单，通过第一小问的解答增进学生解压轴题的信心. 同时在具体的实例中学习把知识迁移应用并体会“将军饮马”问题中蕴含的数学本 质.利用对称思想（2）步骤：板书解题过程：（2）解：连接 BC，与对称轴的点即为点 P，如图所示，点 P为所求，则可得 P 的横坐标为1.设直线BC 的解析式为y=kx+b(k≠0），将点 B（3,0）、C（0,3）代入y=kx+b(k≠0），可得：⎧3k +b = 0 ⎧k = -1⎨，解得：⎨⎩b = 3 ⎩b = 3则直线 BC 的表达式为：y = -x + 3 .当x =1时，y =-1+3 = 2 .∴当点 P 的坐标为（1,2）时，PA+PC 取最小值.让学生独立思考，通过类比上一把复杂的问题简单化.变式 1：已知：如图，A（-1,0）,B （3,0）,C（0,3）,抛物线经过点 A、B、C.点 P 在对称轴上.（1）求抛物线的解析式和抛物线的顶点 D；（2）△PAC周长最小时，求点P 的坐标.解题思路分析：由于AC 为定值，要使△PAC周长最小，则此问题转化成在对称轴上找一点 P，使得PA+PC 最小即可.2、模型二：在直线 l 上，找出一点P，使|PA－PB|的值最大.观察模型并回答以下两个问题：(1)该模型有什么特征？还能利用对称轴的知识去解决？（2）小组成员间每人找一点 P，进行比较，你有什么发现？（3）这个模型的基本解法是什么？题，规范书写解题过程.再与学生强调此类型题解题步骤：（1）找对称点；（2）连线并求直线解析式；（3）求点坐标.这一环节问题一个接着一个，形成了问题串，具有挑战性，能极大引起学生的思考，教师在这一环节中要善于运用语言不断鼓励学生.引导学生得出这一模型的基本解法：使A、B、P 三点共线，原理是:三角形两边之差小于第三边.经历画图-观察-说理等活动，得出作图原理，将该问题归类建模，熟悉并理解该几何模型，培养学生的逻辑思维能力.对于问题教师要给学生足够的时间进行讨论、交流，让学生对图象进行细致的观察、类比、分析、及时检测学生对所学知识的掌握情况，加深对这一模型的理解 .基本解法：使A、B、P 三点共线；基本原理：三角形两边之差小于第三边；基本思想：转化（化折为直）.变式 2：已知：如图，A（-1,0）,B （3,0）,C（0,3）,抛物线经过点 A、B、C.点 P 在对称轴上.（1）求抛物线的解析式和抛物线的顶点 D；（2）|PA－PC|最大，求点 P 的坐标.解题思路分析：交流，同时鼓励学生尽可能多的从图象中获取信息，以小组的形式对信息进行分析、综合、概括、归纳，形成知识系统.教师鼓励学生先独立完成，然后共同交流，总结知识，提炼方法.(2)解：连接直线 AC 交对称轴于点P，如图所示，点P 为所求，则可得P 的横坐标为1. 设直线AC 的解析式为y =kx +b(k ≠ 0），将点A （ -1,0 ）、 C （0,3 ）代入y=kx+b(k≠0），可得：⎧-k +b = 0 ⎧k = 3⎨，解得：⎨⎩b = 3 ⎩b = 3则直线 AC 的表达式为：y = 3x + 3.当x =1时，y = 3 +3 = 6 .∴当点 P 的坐标为（1,6）时，|PA－PC|最取大值.模型三：如图，在平面直角坐标系中如何表示线段 AB 的长度. 对于这个探究，教师利用微课进行讲解，组织学生先观看微课。