2018中考相似三角形专题复习.docx

2018年中考复习 相似 动点 分类讨论1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？ 【答案】解：（1）MN BC ∥AMN ABC ∴△∽△68h x ∴=34xh ∴=（2）1AMN A MN △≌△1A MN ∴△的边MN 上的高为h ，①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时，1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤）②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<，设1A EF △的边EF 上的高为1h ，则132662h h x =-=- 11EF MNA EF A MN∴∥△∽△11A MN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△1216A EF S h S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ABC168242ABC S =⨯⨯=△22363224122462EFx S x x ⎛⎫- ⎪∴==⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭△△所291224(48)8y x x x =-+-<<综上所述：当04x <≤时，238y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2912248y x x =-+-，取163x =，8y =最大86>∴当163x =时，y 最大，8y =最大2．如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】解：（1）该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-．将(40)A ，，(10)B ，代入，得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩，解得1252a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-． （2）存在．如图，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为215222m m -+-， 当14m <<时，4AM m =-，215222PM m m =-+-． 又90COA PMA ∠=∠=°，∴①当21AM AO PM OC ==时，APM ACO △∽△，即21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭．解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，． ②当12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即2152(4)222m m m -=-+-． 解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）∴当14m <<时，(21)P ，．MNCBEFAA1类似地可求出当4m >时，(52)P -，．当1m <时，(314)P --，．综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，．3．如图，已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合． （1）求ABC △的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．【答案】（1）解：由28033x +=，得4x A =-∴．点坐标为()40-，． 由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，．∴()8412AB =--=． 由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，．解得56x y =⎧⎨=⎩，．∴C点的坐标为()56，．∴111263622ABC C S AB y ==⨯⨯=△·．（2）解：∵点D 在1l 上且2888833D B D x x y ==∴=⨯+=，．∴D 点坐标为()88，． 又∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=，．．∴E 点坐标为()48，． ∴8448OE EF =-==，．（3）解法一：①当03t <≤时，如图1，矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR （0t =时，为四边形C H F G ）．过C 作CM AB ⊥于M ，则∴BG RG BM CM =，即36t RG =，∴2RG t =． Rt Rt AFH AMC △∽△，∴()()11236288223ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-⨯⨯--⨯-△△△．即241644333S t t =-++．· 当83<≤t 时，如图2，为梯形面积，∵G （8－t,0）∴GR=32838)8(32t t -=+-,∴38038]32838)4(32[421+-=-++-⨯=t t t s当128<≤t 时，如图3,为三角形面积，4883)12)(328(212+-=--=t t t t s4．如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒．（1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；（2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，（图3）（图1）（图2）梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】解： （1）34PM =， （2）2t =，使PNB PAD △∽△，相似比为3:2 （3）PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠⊥，⊥，，AMP ABC △∽△，PM AMBN AB∴=即()PM a t t a t PM t a a--==，，(1)3t a QM a-∴=-当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，即()()22QP AD DQ MP BN BM++=()33(1)()22t a t t a a t t ta a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a=+，3t ≤，636aa∴+≤，则636a a ∴<≤，≤， （4）36a <≤时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则CN PM =()3t a t t a ∴-=-，把66at a=+代入，解之得a =±，所以a =． 所以，存在a ，当a =时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等．5．如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题：（1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由； （2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？【答案】 解：(1)△BPQ 是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP .又因为∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形. (2)过Q 作QE ⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t ·sin600=3t,由AP=t,得PB=6-t,所以S △BPQ=21×BP ×QE=21(6-t)×3t=－23t 2+33t ；(3)因为QR ∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600, 所以△QRC 是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ ·cos600=21×2t=t, 所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP ∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ 是平行四边形, 所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR ～△PRQ, 所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=PR QR ,即3326=-tt ,所以t=56,所以当t=56时, △APR ～△PRQ6．在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠CO A ＝90º，CB ＝3，OA ＝6，BA ＝35．分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B 的坐标；（2）已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点，OD ＝5，OE ＝2E B ，直线DE 交x 轴于点F ．求直线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ．使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．图7-2A D OBC 21MN图7-1图7-3AD OBC 21 MN（1）如图15-1，若AO = OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；（2）将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB ． 求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ；（3）将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到 图15-3，求ACBD的值． 【答案】 解：（1）AO = BD ，AO ⊥BD ；（2）证明：如图4，过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ，∴∠ACO = ∠BEO ．又∵AO = OB ，∠AOC = ∠BOE ，∴△AOC ≌ △BOE ．∴AC = BE ． 又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°．∴∠DEB = 45°．∵∠2 = 45°，∴BE = BD ，∠EBD = 90°．∴AC = BD ． 延长AC 交DB 的延长线于F ， 如图4．∵BE ∥AC ，∴∠AFD = 90°．∴AC ⊥BD ．（3）如图5，过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ，∴∠BEO = ∠ACO ． 又∵∠BOE = ∠AOC ， ∴△BOE ∽ △AOC ．∴AOBOAC BE =． 又∵OB = kAO ，由（2）的方法易得 BE = BD ．∴k ACBD=． 10．如图，已知过A （2，4）分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，若点P 从O 点出发，沿OM 作匀速运动，1分钟可到达M 点，点Q 从M 点出发，沿MA 作匀速运动，1分钟可到达A 点。

1、（2017重庆A卷）若厶ABC〜△ DEF,相似比为3： 2,则对应高的比为（A.3： 2B. 3： 5C. 9： 4D. 4： 9解：VAABC-ADEF,相似比为3： 2,・••对应高的比为：3： 2.故选：A.2、（2017 枣庄）如图，在AABC 中，ZA=78°, AB二4, AC=6,将AABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角和等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确.D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选C.成立的是（）ABC _ 1 已么人的度数_1 c △如^7的面积_ 1 ° AABC 的周长_ 1~DF~2'ZD 的度数飞 •△DEF 的面积一空'△DEF 的周长一㊁【答案】D 【解析】试题分析：根据相似三角形的性质，对应边的比等于相似比，面枳的比等于相似比的平方，周长比等于相似比,可知BC 、DF 不是对应边'故A 、B 、C 不正确. 故选：D考点：相似三角形的性质4、（2017眉山）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸, 入径四寸，问井深几何？"这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何"问题, 它的题意可以由图获得，则井深为（）21教育名师原创作品E .5 DA. 1.25尺B ・57.5尺C ・6.25尺 D ・56.5尺解：依题意有△ABFs^ADE,A AB ： AD=BF ： DE,即 5： AD 二0.4： 5, 解得 AD 二62.5,/f QE 5 DBD二AD - AB=62.5 - 5=57.5 尺.故选：B.5、（2017青海省卷）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE： EC=3： 1,连接AE交DB于点F,则厶DEF的面积与厶BAF的面积之比为（）A. 1： 3 B. 3： 4 C. 1： 9 D. 9： 16解：・・•四边形ABCD为平行四边形,・・・DC〃AB,・•・△DFEs^BFA,VDE： EC=3： 1,ADE： DC=3： 4,ADE： AB=3： 4,S ADFE：S ABFA-9： 16.故选：D.6、（2017 恩施州）如图，在AABC 中，DE〃BC, ZADE=ZEFC, AD： BD=5：3,CF=6,则DE的长为（）A. 6 B・ 8 C・ 10 D. 12解:・.・DE〃BC,・・・ZADE=ZB・VZADE=ZEFC,・\ZB=ZEFC,・・・BD〃EF,•・・DE〃BF,・・・四边形BDEF为平行四边形,・・・DE二BF・・.・DE〃BC,AAADE^AABC,■ DE-AD- AD _5 ** BC~AB AD+BD 8’.・.BC=5DE,5A CF=BC - BF仝DE=6,5・・・DE二10.故选C・7、（2017泰安）如图，止方形ABCD中，M为BC上一点，ME丄AM, ME交AD的延长线于点E.若AB二12, BM=5,则DE的长为（）A. 18B.学C.半D.孕5 5 3解：•・•四边形ABCD是正方形,AB二12, BM=5,AMC=12 ・ 5=7.•・・ME丄AM, :.ZAME=90°, .-.ZAMB+ZCMG=90°.VZAMB+ZBAM=90°,AZBAM=ZCMG, ZB=ZC=90°,A AABM^AMCG,•喘即耘，解得ADG=12 35 二109 12二12 •VAE//BC,A ZE=CMG, ZEDG=ZC,AAMCG^AEDG,35• 'C —CG 冃n 7 12 健彳旦pyp—_1°9••DE~DG，即DE_109 '解DE" 5 -^12~故选B・8、（2017 自贡）在AABC 中，MN〃BC 分别交AB, AC 于点M, N；若AM=1, MB=2, BC=3,则MN的长为________ ・解：・・・MN〃BC, A・・・AAMN^AABC, v/ \v.AM _MN pn_l__MN / \e<AB =BC， 1 1+2= 3 * / \AMN=1,故答案为：1・B M C9、（2017临沂）已知AB//CD, AD与BC相交于点。

2018中考数学：7个相似三角形考点归纳
考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小
考核要求：
(1)理解相似形的概念;
(2)掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小。

考点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理
考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算。

注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用。

考点3：相似三角形的概念
考核要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义。

考点4：相似三角形的判定和性质及其应用
考核要求：熟练掌握相似三角形的判定定理(包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理)和性质，并能较好地应用。

考点5：三角形的重心
考核要求：知道重心的定义并初步应用。

考点6：向量的有关概念
考点7：向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算。

相似三角形一、知识概述1。

平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

2。

平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

3。

相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形．4.相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等．②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比,即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出．5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交,所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两角对应相等的两个三角形相似；④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

温馨提示：(1）判定三角形相似的几条思路：①条件中若有平行，可采用判定定理1;②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角),可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．④条件中若有等腰关系,可找顶角相等或底角相等,也可找腰和底对应成比例。

(2)在综合题中,注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力。

（3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上,把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。

相似三角形分类练习题(1)一、填空题1、如图,DE 是9BC 的中位线,那么4ADE 面积与z\ABC 面积之比是AD 12、如图,4ABC 中,DE//BC, AS 2且£但「8加,那么凡的= _________________________ 邮.3、如图,z^ABC 中,ZACB = 90° CD±AB,D 为垂足,AD = 8cm ,DB = 2cm ,那么 CD =cm4、如图,4ABC 中,D 、E 分别在 AC 、AB 上,且 AD:AB = AE:AC = 1:2 , BC = 5cm , WJ DE =题一 1国 颗一 2国 褒一 M 图 埋一 4图 墨一 b 图 思一 6图 题一 10国5、如图,AD 、BC 相交于点 O, AB//CD, OB = 2cm , OC=4cm , ^AOB 面积为 4.5cm 2,那么4 DOC 面积为 cm 2.6、如图,4ABC 中,AB = 7, AD =4, /B=/ACD,那么 AC =7、如果两个相似三角形对应高之比为 4:5,那么它们的面积比为 o 8、如果两个相似三角形面积之比为 1:9,那么它们对应高之比为 o9、两个相似三角形周长之比为 2:3,面积之差为10cm 2,那么它们的面积之和为 cm?.口 -S10、如图,4ABC 中,DE//BC, AD:DB=2:3,那么 皿-橙荒此前= 二、选择题1、两个相似三角形对应边之比是 1:5,那么它们的周长比是(). (A) 1：君；(B) 1:25; (C) 1:5; (D) B1.2、如果两个相似三角形的相似比为 1:4,那么它们的面积比为().(A) 1:16; (B) 1:8; (C) 1:4; (D) 1:2.锐角三角形ABC 的高CD 和高BE 相交于O,那么与ADOB 相似的三角形个数是().(B) 2; (C) 3; (D) 4.(A) 1:9; (B) 1:81 ; (C) 3:1 ; (D) l:3o三、如图,4ABC 中,DE//BC, BC = 6,梯形DBCE 面积是z\ADE 面积的2倍,求DE 长.3、如图,(A) 1;4、如图, 梯形 ABCD , AD //BC, AC 和BD 相交于O 点, 共同£皿“：品3 = 1:9,那么%8：为叼=甄二4四、如图,4ABE 中,AD:DB=5:2, AC:CE=4:3,求BF:FC的值.五、如图,直角梯形ABCD 中,ABXBC, BC //AD , BC<AD , BC = q , AB = 8 , AC LCD,求AD 〔用的式子表示〕六、如图,4ABC 中,点D 在BC 上,/DAC = /B, BD = 4, DC=5, DE//AC 交AB 于点E,求DE长.七、如图,ABCD是矩形,AH =2, HD =4, DE = 2, EC= 1 , F是BC上任一点〔F与点B、点C不重合〕,过F作EH的平行线交AB于G,设BF为# ,四边形HGFE面积为,写出?与彳的函数关系式,并指出自变量A的取值范围.相似三角形分类练习题〔2〕一、填空题ace._ = =__ =41、：b d丁,且那么&十八/=2、在一张比例尺为1:5000的地图上,某校到果园的图距为8cm ,那么学校到果园的实际距离为_______ m3、如图,4ABC 中,/ACB = 90° ,CD 是斜边AB 上的高,AD=4cm, BD = 16cm,那么CD =_______ c mo4、如图,/ACD = /B, AC= 6, AD =4,那么AB5、如图ABCD是平行四边形,F是DA延长线上一点,连CF交BD于G,交AB于E,那么图中相似三角形〔包括全等三角形在内〕共有________ 对.6、如图,MBC中,BC=15cm ,DE、FG均平行于BC且将9BC面积分成三等分,那么FG =cm.7、如图,AF //BE//CD, AF=12, BE=19, CD =28,那么FE:ED 的值等于s • s8、如图,AABC, DE //GF//BC,且AD = DG = GB,那么 '樟度翎10、如图,4ABC 重心为G, 3BC 和为BC 在BC 边上高之比为 (A) /1 = /2; (B) /2 = /C; (C) /1 = /BAC; (D) /2 =/B3、如图,AB//A' B' , BC//B' C' , AC//A' C',那么图中相似三角形组数为( (A) 5; (B) 6; (C) 7; (D) 8. BE 和CD 相交于点F, DF:FC=1:3,那么叫理：'©c = ( ) 0 三、?BC 中,AB = AC, AD 是底边BC 上高,BE 是AC 上中线,BE 和AD 相交于F, BC = 10 , AB= 13,求 BF 长.四、如图,ABFE 、EFCD 是全等的正方形,M 是CF 中点,DM 和AC 相交于N ,正方形边长为口, 求AN 的长.(用仪的式子表示)五、如图,AABC 中,AD ±BC, D 是垂足,E 是 BC 中点,FE± BC 交 AB 于 F, BD = 6, DC = 4, AB=8,求 BF 长.h p …A儿 _____ 口B zik — £ I P I Cc B t n .： n F 'MIEN*3晒 + S JI 兆V = ~~T六、如图,^ABC 中,〃 = 90° ,DEFG 是*BC 中内接矩形,AB = 3,AC = 4, 匕,求矩形DEFG 周长.AD = 3cm , BC = 6cm , CD = 4cm ,现要截出矩形 EFCG, ,设BE=x ,矩形EFCG 周长为y ,(1)写出?与工的(2)才取何值,矩形EFCG 面积等于直角梯形ABCD 的相似形〔3〕一、填空题1、如果两个相似三角形的周长比为 2:3,那么面积比为9、如图,ABCD 是正方形,E 是DC 上一点,DE:EC= 5:3, AELEF, WJ AE:EF=二、选择题1、两个相似三角形的相似比为 4:9, (A) 2:3; (B) 4:9; (C) 4:81 ;2、如图,D 是?BC 边BC 上一点, 那么这两个相似三角形的面积比为( (D) 16:81.△ABDsWAB,那么(). 4、如图,AABC 中,DE //BC, (A) 1:3; (B) 1:世 1:9; (D) 1:18.题六国七、如图,有一块直角梯形铁皮ABCD, (E 点在AB 上,与点A 、点B 不重合) 函数关系式,并指出自变量了取值范围; 5分O；(C) BE D C 0S-fE32、两个相似三角形相似比为2:3,且面积之和为13cm2,那么它们的面积分别为L3、三角形的三条边长分别为5cm , 9cm , 12cm ,那么连结各边中点所成三角形的周长为cm4、如图,PQ//BA, PQ = 6, BP=4, AB = 8,那么PC 等于AD _15、如图,4ABC 中,DE//BC, 万,、F=2cm2,贝〔J % 用地5=cm2.题T图题T图圈一6困6、如图,C为线段AB上一点,AACM > 3BN都是等边三角形,假设AC = 3, BC = 2,那么WCD与9ND面积比为7、AABC 中,〃ACB = 90° ,CD 是斜边AB 上的高,AB=4cm , AC = 2>^cm ,那么AD =cm.8、如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O, E是CD的中点,AE交BD于F,那么DF:FO=9、如图,AF //BE//CD, AB:BC=1:2, AF = 15, CD = 21,贝U BE=10、如图,DC //MN //PQ //AB, DC = 2, AB = 3.5 , DM =MP =PA,那么MN =; PQ =二、选择题1、如图,要使△ACD S/BCA,必须满足().AC _ AB CD _BC(A) CD AC; (B) AD AC; (C)AD2 = CDBD; (D)AC2=CDBC.2、如图,9BC中,CD LAB于D, DELAC于E, ZACB = 90°,那么与ABC相似的三角形个数为().(A) 2; (B) 3; (C) 4; (D) 5.3、如图,4ABC中,D是AC中点,AF//DE,工^濡皿的小飞,那么5但；“皿=().(A) 1:2; (B) 2:3; (C) 3:4; (D) 1:1.4、如图,平行四边形ABCD中,O i、02、03为对角线BD上三点,且BO i = 01.2 = 02.3 =03D,连结AO i并延长交BC于点E,连结E03并延长交AD于F,那么AD:FD等于().(A) 19:2 ; (B) 9:1 ; (C) 8:1 ; (D) 7:1.三、如图,矩形ABCD中,AB = 10cm , BC = 12cm , E为DC中点,AFLBE于点F,求AF长.四、如图,D、E分别是9BC边AB和AC上的点,/1 = /2,求证：ADAB=AEAC.五、如图,ABCD是平行四边形,点E在边BA延长线上,连CE交AD于点F, /ECA=/D,求证：ACBE=CEAD.六、如图,4ABC 中,/ACB=90° ,BC=8, AC=12, /BCD = 30°,求线段CD 长.七、如图,等腰梯形ABCD 中,AD //BC, AB=DC = 5, AD=6, BC=12, E 在AD 上,AE = 2, F为AB上任一点(点F与点A、点B不重合),过F作EC平行线交BC于G,设BF=k,四边形EFGC面积为,,(1)写出,与二的函数关系式；(2) K取何值,EGXBCo相似三角形分类练习题(3)一、填空题1、假设纱一加二°,贝U▼=x-y _ y_ _ + ♦2、I3彳,那么丁=3、如图,/B=/ACD, u旧= 2:1,那么AC:AB =4、如图,DE//BC, AD=4cm , DE = 2cm , BC = 5cm ,贝U AB =cm5、如图,DE//BC, AD:DB=1:2,那么小DE与?BC面积之比为6、如图,梯形ABCD 中,DC //EF//AB, DE = 4, AE = 6, BC = 5,那么BF =7、如图,平行四边形 ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于O, BC=18, E 为OD 中点,连结CE 并延长交AD 于F,那么DF =AD _BC _ AC _ 58、如图,AABC 和ABED 中,假设砧 1 BS DE 弓,且3BC 和z^BED 周长之差为10cm ,那么4 ABC 周长为 cm9、如图,△ACB S /ECD, AC:EC = 5:3, 1诚c = i8,那么 Me =510、如图,AABC 中,BE 平分/ABC, BD = DE, AD =万 cm , BD = 2cm,那么 BC =cm11、如图,ABCD 是平行四边形,BC = 2CE,那么用厘〜凡^^二12、如图,AABC 中,DE//BC, BE 、CD 相交于F,且用"^ =变心用,那么$山：氏皿=13、如图,4ABC 中,BC=15cm , DE 、FC 平行于BC,且将z\ABC 面积三等分,那么 DE+FC = _______ c m14、将长为^cm 的线段进行黄金分割,那么较长线段与较短线段之差为 cm115、如图,平行四边形 ABCD 中,延长AB 至ij E,使BE= 2 AB,延长CD 至U F,使DF = DC, EF 交BC 于G ,交AD 于H ,那么又期:“斑抹= 二、选择题1、如图,4ABC 中,DE//BC,那么以下等式中不成立的是〔〕2、两个相似三角形周长分别为 8和6,那么它们的面积比为〔(A) 4:3;(B) 16:9; (C) 2:仃；(D) 仃：及.3、如图,DE//BC, AB = 15 , AC = 9, BD = 4,那么 AE 长是()(A)AD _ AE AD _ AE AB = AC. g DB = EC. AD = DE DB BC .AD(D) 1-1" DEBCA题一 5图 蛊- 6徙一 i"2 22- 6-(A) 5；⑻(A) 2:1 ; (B) 2:3; (C) 4:9; (D) 5:4.5、如图,在边长为"的正方形ABCD 的一边BC 上,任取一点E,彳EF±AE 交CD 于点F,如 果BE= x , CF= ,那么用x 的代数式表示产是().y = - 一 + z y = - - x y ~x 2 + -j = x 2 + -(A) g ; (B) 口 ； (C)鼻；(D)阴.1、：3 4 6 ,求+ £的值.2、如图,菱形ABCD 边长为3 ,延长AB 至ij E 使BE=2AB ,连结EC 并延长交AD 延长线于点F, 求AF 的长.3、如图,4ABC 中,DE//BC,心皈 ：端心用觉：时=1:2 , BC =2^ ,求DE 长.4、如图,直角梯形 ABCD 中,DALAB, AB //DC , ZABC = 60° , ABC 平分线 BE 交 AD 于 E, CEXBE, BE=2,求 CD 长.5、如图,ABCD 是边长为"的正方形,E 是CD 中点,AE 和BC 的延长线相交于F, AE 垂直平 分线交AE 、BC 于H 、G,求线段FG 长.6、如图,z\ABC 中,AB>AC,边AB 上取一点D,在边AC 上取一点E,使AD=AE,直线DE BP BD=_ 的延长线和BC 延长线交于点P,求证：°尹CE o 四、(此题8分)如图,AABC 中,AB = AC, AD ±BC, D 为垂足,E 为 AC 中点,BE 交 AD 于 G, AD = 18cm , BE=15cm ,求小BC 面积.17工4、如图,DE//BC,11-B DC B控五图五、如图,4ABC中,点M在BC边上移动〔不与点B、C重合〕,作ME//CA交AB于E,作BM = xMF //BA交AC于F, S©c = 10cm2,设BC ,四边形AEMF面积为y,写出尸与x的函数关系式,并指出工取值范围.。

1中考复习--相似三角形1、比例对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如a cb d=(即ab ＝bc )，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 1.若322=-y y x , 则_____=yx； 2．以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ）A ．2，5，10，25B ．4，7，4，7C ．2，0.5，0.5，4D ．2，5，52，25 3．若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且6=-+c b a , 则___________,____,===c b a ；4．：若43===f e d c b a , 则______=++++fd be c a 5、已知023a b=≠，求代数式()225224a b a b a b -⋅--的值．2、平行线分线段成比例、定理： 推论：练习1、如下图，EF ∥BC ，若AE ∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,则AM ∶AN=____,BN ∶NC=_____2、已知：如图，ABCD ，E 为BC 的中点，BF ︰FA ＝1︰2，EF 与对角线BD 相交于G ， 求BG ︰BD 。

3、如图，在ΔABC 中，EF//DC ，DE//BC ，求证： （1）AF ︰FD ＝AD ︰DB ；（2）AD 2＝AF ·AB 。

3 、相似三角形的判定方法判定0.平行于三角形一边的直线与其他两边或两边延长线相交，所截得的三角形与 判定1. 两个角对应相等的两个三角形__________．判定2. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 判定3. 三边对应成比例的两个三角形___________． 判定4.斜边和 对应成比例的两个直角三角形相似 常见的相似形式：1. 若DE∥BC （A型和X型）则______________．2.子母三角形（1） 射影定理：若CD 为Rt△ABC 斜边上的高（双直角图形） (2)∠ABD=∠c则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD 且AC 2=________，CD 2=_______，BC 2=__ ____．2练习1、如图，已知∠ADE=∠B ，则△AED ∽__________2、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于D ，则△ADE ∽_________3、如图；在∠C=∠B ，则_________ ∽_________,__________ ∽_________4.ACD ∽⊿BCA （）A CD AC =CD BD CD =25.6、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x的值（ ）A. 只有1个B. 可以有2个C. 可以有3个D. 有无数个 4 、相似三角形的性质与应用1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示．3. 相似三角形的对应边上的_______•线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．练习1、如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O ） 20米的A 处，则小明的影子AM 长为 米．3、如图，在△ABC 中，M 、N 分别是边AB 、AC 的中点，则△AMN 的面积与 四边形MBCN 的面积比为( )． (A)12 (B) 13 (C) 14 (D) 233、如图，Rt △ABC 中，∠A=90°，AD ⊥BC 于点D ，若BD ：CD=3：2，则tanB=（ ）4、如图，△ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 上的两点，且，若△AEF 的面积为2，则四边形EBCF 的面积为 ．5、如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°， 则AE 的长为 ．6.如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分） 的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是 ．7.如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF =4：25，则DE ：A ． B ． C ．D ． 第3题第1题B38、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发，沿着A →B →A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t ＜6），连接DE ，当△BDE 是直角三角形时，（1）对应边成比例，对应角相等的两个多边形叫做相似多边形． （2）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等（3）相似多边形对应边的比称为相似比． 相似多边形面积的比等于相似比的平方．练习1.如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）A. 2 cm 2B. 4 cm 2C. 8 cm 2D. 16 cm 22.（2011.潍坊）已知矩形ABCD 中，AB=1,在BC 上取一点E ,沿AE 将△AB E 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD=（ ） A ．215-B ．215+ C ． 3D ．24、将一个长为a ，宽为b 的矩形，（1）分为相同的两个矩形，且与原矩形相似，求a:b(2) 分为相同的三个矩形，且与原矩形相似，求a:b (3) 割掉一个正方形，剩余的矩形与原矩形相似，求a:b 5、如图，AB ∥EF ∥CD ，（1）AB ＝10，CD ＝15，AE ∶ED ＝2∶3，求EF 的长。

中考2018数学知识点：相似三角形新一轮中考复习备考周期正式开始，中考网为各位初三考生整理了各学科的复习攻略，主要包括中考必考点、中考常考知识点、各科复习方法、考试答题技巧等内容，帮助各位考生梳理知识脉络，理清做题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩！下面是《中考2018数学知识点：相似三角形》，仅供参考！
相似三角形
所谓的相似三角形,就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似三角形。

三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形的判定方法有：
平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似，
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似，
如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似，
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似，
直角三角形相似判定定理1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

射影定理
相似三角形的性质
1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

2018中考数学试题分类汇编：考点36相似三角形一•选择题（共28小题）1. （2018?重庆）制作一块3m x 2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A. 360 元B. 720 元C. 1080 元D. 2160 元【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可.【解答】解：3m x 2m=6m2，•••长方形广告牌的成本是120-6=20元/m 2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，•扩大后长方形广告牌的面积=9x 6=54m2，•••扩大后长方形广告牌的成本是54x 20=1080*，故选：C.2. （2018?玉林）两三角形的相似比是2：3,则其面积之比是（）A. . ■:: 「；B. 2：3C. 4：9D. 8：27【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.【解答】解：•••两三角形的相似比是2：3，•其面积之比是4: 9，故选：C.3. （2018?重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm, 6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为 2.5cm,则它的最长边为（）A. 3cmB. 4cmC. 4.5cmD. 5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得.【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm,根据题意，得：一=^-,解得：x=4.5,即另一个三角形的最长边长为 4.5cm,故选：C.4. （2018?内江）已知△ ABC与厶A i B i C i相似，且相似比为1：3,则厶ABC与厶A i B i C的面积比为（）A. i：iB. i：3C. i：6D. i：9【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可.【解答】解：已知厶ABC与厶A i B i C i相似，且相似比为i：3,则△ABC与△ A i B i C i的面积比为i：9,故选：D.5. （20i8?铜仁市）已知△ ABS A DEF相似比为2,且厶ABC的面积为i6,则厶DEF的面积为（）A. 32B. 8C. 4D. i6【分析】由厶AB3A DEF相似比为2,根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得厶ABC与厶DEF的面积比为4,又由△ ABC的面积为i6,即可求得厶DEF的面积.【解答】解：•••△AB3A DEF,相似比为2,•••△ ABC与△ DEF的面积比为4,•••△ABC的面积为i6,• △ DEF 的面积为：i6X 丁=4.故选：C.A. 1：4B. 4：1C. 1：2D. 2：16. （2017?重庆）已知△ ABS A DEF且相似比为1：2,则厶ABC与厶DEF的面积比为（）【分析】禾I」用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可.【解答】解：•••△ AB3A DEF,且相似比为1: 2,•••△ ABC与△ DEF的面积比为1: 4,故选：A.7. （2018?临安区）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与厶ABC相似的是（）【分析】根据正方形的性质求出/ ACB根据相似三角形的判定定理判断即可.【解答】解：由正方形的性质可知，/ ACB=180 - 45°135°,A、C、D图形中的钝角都不等于135° 由勾股定理得，BC= ':, AC=2 对应的图形B 中的边长分别为1和•••图B中的三角形（阴影部分）与厶ABC相似,故选：B.8. （2018?广东）在厶ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ ADE与△ ABC的面积之比为（）【分析】由点D、E分别为边AB AC的中点，可得出DEABC的中位线，进而可得出DE// BC及△ ADE^^ ABC,再利用相似三角形的性质即可求出△ ADE与△ ABC 的面积之比.【解答】解：•••点D、E分别为边AB AC的中点，A. 1：4B. 4：1C. 1：2D. 2：1••• DE%A ABC 的中位线,••• DE// BC,•••△ ADE^A ABC,9. （2018?自贡）如图，在△ ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若△ ADE 的面积为4,则厶ABC 的面积为（ ）的判定与性质得出答案.【解答】解：•••在△ ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点,••• DE / BC, DE=-BC, •••△ ADE^A ABC, DE 1~214•••△ ADE 的面积为4,•••△ ABC 的面积为：16,故选：D .【分析】直接利用三角形中位线定理得出 DE / BC, DE^BC,再利用相似三角形 ) 2 L14 D . 1610. （2018?崇明县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE: EC=3 1,连接AE交BD于点卩，则厶DEF的面积与厶BAF的面积之比为（）D ECA. 3: 4B. 9: 16C. 9: 1D. 3: 1【分析】可证明△ DF0A BFA根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案.【解答】解：•••四边形ABCD为平行四边形，••• DC// AB，•••△DFE^^ BFA•••DE: EC=3 1，••• DE: DC=3 4，DE: AB=3: 4，5 DFE S\ BFA=9 : 16.故选:B.D £ C11. （2018?随州）如图，平行于BC的直线DE把厶ABC分成面积相等的两部分, 则=「的值为（）A. 1B. -C. _ 1D..'【分析】由DE/ BC可得出△ ADE^A ABC,利用相似三角形的性质结合S ADE=S故选：D .【解答】解：：DE// BC, •••/ ADE=/ B,Z AED=Z C, •••△ ADE^A ABC,12. （2018?哈尔滨）如图，在△ ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ,点G 在线 段AD 上, GE// BD ,且交AB 于点E, GF// AC,且交CD 于点F ,则下列结论一定【分析】由GE// BD GF// AC 可得出△ AEG^A ABD A DFG^A DCA 根据相似 【解答】解：TGE// BD , GF// AC, •••△ AEG^A ABD,A DFG^A DCAAE AGCF_DG __ !.AE AG CF BE - ~D G ' =DF ， 三角形的性质即可找出 此题得解.四边形 BCED 可得出AB~， 结合BD=AB- AD 即可求出 B D A 的值，此题得解. AB _AG B DF _DG C-亠一 D 里亠 AC =BD D.观=DFAE AGAB _ ~AD ' -S A ADE =S 四边形 BCED-1.13. （2018?遵义）如图，四边形ABCD中，AD// BC, / ABC=90, AB=5,BC=1Q连接AC、BD,以BD为直径的圆交AC于点E.若DE=3,则AD的长为（）A. 5B. 4C. 3 仃D. 2 -【分析】先求出AC,进而判断出△ ADF^A CAB,即可设DF=x AD=!x，禾U用勾股定理求出BD,再判断出厶DEF^A DBA得出比例式建立方程即可得出结论.【解答】解：如图，在Rt A ABC中，AB=5, BC=10,••• AC=5 辽过点D作DF丄AC于F,•/ AFD=/ CBA••• AD// BC,•/ DAF=/ ACB•△ADF^A CAB.DF __AE• ! ■■，设DF=x则AD=女,在Rt A ABD中，BD= .| = ^ '■.,•••/ DEF=/ DBA / DFE=/ DAB=90 ,• △DEF^A DBA.DE••而"AD，故选：D.•x=2,•AD= _x=2 匚,故选：D.14. （2018?扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt^ABC和等腰Rt A ADE, CD与BE、AE分别交于点P, M.对于下列结论：①厶BAE^A CAD ② MP?MD=MA?ME;③2C^=CP?CM 其中正确的是（）B A2A.①②③B.① C•①② D.②③【分析】(1)由等腰Rt A ABC和等腰Rt A ADE三边份数关系可证;(2)通过等积式倒推可知，证明△ PAM sA EMD即可；(3)2CR转化为AC2,证明△ ACP^A MCA,问题可证.【解答】解：由已知：AC= -AB, AD= :AE.[AC _ADvZ BACK EAD•••/ BAE=/ CAD•••△BAE^A CAD所以①正确vA BAE^A CAD•••/ BEA=/ CDAv/ PME=Z AMD•••△PME^A AMD.I MP _ ME••狀5••• MP?MD=MA?ME所以②正确vZ BEAN CDA/ PME=Z AMD••• P、E、D、A四点共圆•••Z APD=Z EAD=90vZ CAE=180-Z BAC-Z EAD=90•△CAP^A CMAAG=CP?CMv AC= :'AB•2C^=CP?CM所以③正确故选：A.15. （2018?贵港）如图，在△ ABC中，EF// BC, AB=3AE 若S四边形BCF=16，则SA. 16B. 18C. 20D. 24【分析】由EF/ BC,可证明△ AEF^A ABC,禾用相似三角形的性质即可求出则S\ ABC的值.【解答】解：v EF/ BC,•△AEF^A ABC,v AB=3AE•AE： AB=1：3 ,•S\AEF：S^ABC=1 : 9 ,设S\AEF=X,-S四边形BCF F16,解得：x=2,S ABC=18,故选：B.16. （2018?孝感）如图，△ ABC是等边三角形，△ ABD是等腰直角三角形，/ BAD=90, AE丄BD于点E,连CD分别交AE, AB于点F, G,过点A作AH丄CD 交BD于点H.则下列结论：①/ ADC=15:②AF=AG③AH=DF；④厶AF3A【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知厶CAD是等腰三角形且顶角/ CAD=150,据此可判断；②求出/ AFP和/FAG度数，从而得出/ AGF度数，据此可判断；③证△ ADF^A BAH即可判断；④由/AFG=/ CBG=60、/ AGF=Z CGB 即可得证；⑤设PF=x贝U AF=2x人卩彳人国叩卩?*^,设EF=a由厶ADF^ABAH知BH=AF=2x根据△ ABE是等腰直角三角形之BE=AE=+2x,据此得出EH=aPF' AP证厶PA3A EAH得■•…—，从而得出a与x的关系即可判断.【解答】解：•••△ ABC为等边三角形，△ ABD为等腰直角三角形，•••/ BAC=60、/ BAD=90、AC=AB=AD / ADB=Z ABD=45 ,•••△CAD是等腰三角形，且顶角/ CAD=150,•••/ ADC=15,故①正确；••• AE丄BD,即/ AED=90,•••/ DAE=45,•••/AFG=/ADO/DAE=60,/ FAG=45,•••/ AGF=75,由/ AFG^Z AGF知AF M AG,故②错误;记AH与CD的交点为P,由AH 丄CD且Z AFG=60知Z FAP=30 ,贝UZ BAH=Z ADC=15,在厶ADF和厶BAH中，r ZADF=ZBAH•••〔DA訓,ZDAF=ZABH=45°l•••△ADF^A BAH (ASA),••• DF=AH故③正确；vZ AFG=/ CBG=60,Z AGF=/ CGB•••△AFG^A CBG 故④正确；在Rt A APF中,设PF=x 贝U AF=2x AP= ] ＞一一= Ux , 设EF=a •••△ADF^A BAH ,BH=AF=2X△ABE中，vZ AEB=90、Z ABE=45 ,BE=AE=A+EF=a+2x ,.EH=B E BH=a+2x- 2x=a,vZ APF=Z AEH=90 , Z FAP=Z HAE,•••△PAF^A EAH•理翌即昱后.EH=AE ,即白一廿加,整理，得：2«=（翻-1）ax,由X M 0得2x=（善-1）a,即AF=（頂-1）EF,故⑤正确；故选：B.17. （2018?泸州）如图，正方形ABCD中，E, F分别在边AD, CD上, AF, BE 相交于点G,若AE=3ED DF=CF 则聲的值是（）Gi*【分析】如图作，FN// AD,交AB于N ,交BE于M.设DE=a则AE=3a,利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；【解答】解：如图作,FN// AD ,交AB于N ,交BE于M .•••四边形ABCD是正方形,A E D••• AB// CD, T FN// AD ,•••四边形ANFD是平行四边形,•••/ D=90 ,•••四边形ANFD是解析式,••• AE=3DE 设DE=a 贝U AE=3a, AD=AB=CD=FN=4,a AN=DF=2qT AN=BN MN // AE,••• BM=ME ,3••• MN=—a ,••• FM—a,••• AE// FM,GF故选：C.18. （2018?临安区）如图，在△ ABC中，DE// BC, DE分别与AB, AC相交于点D, E,若AD=4，DB=2,则DE： BC的值为（）A. B.【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解则可.【解答】解：：DE// BC,•••△ ADE^A ABC,DE AD AD42BC"ALH-飞=3故选：A.19. （2018?恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG 并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点.已知FG=2则线段AE的长度为（）A. 6B. 8C. 10D. 12【分析】根据正方形的性质可得出AB//CD,进而可得出△ ABI A GDF,根据相似三角形的性质可得出亠丄=2,结合FG=2可求出AF AG的长度，由CG// AB、lirAB=2CG可得出EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解.【解答】解：•••四边形ABCD为正方形，••• AB=CD AB// CD, •••/ ABF=Z GDF, / BAF=Z DGF,•••△ABF^A GDF,AB,GFf_G••• AF=2GF=4 ••• AG=6 •••CG// AB, AB=2CG•••EAB的中位线,••• AE=2AG=1220. (2018?杭州)如图，在△ ABC中，点D在AB边上，DE// BC,与边AC交于点E,连结BE.记厶ADE △ BCE的面积分别为Si, S2 ( )B.若2AD> AB,则3Si V 2③C.若 2AD v AB ,贝U 3Si >2®D.若 2AD v AB,则 3Si V 2S 2【分析】根据题意判定△ ADE^A ABC,由相似三角形的面积之比等于相似比的 平方解答.【解答】解：•••如图，在△ ABC 中，DE// BC,•••△ ADE^A ABC,•••若2AD > AB,即器〉寺时,A D 2此时3S > S?+S\BDE ,而S?+S\BDE V 2S2 .但是不能确定3S 与29的大小, 故选项A 不符合题意，选项21. （2018?永州）如图，在△ ABC 中，点D 是边AB 上的一点，/ ADCh ACB, AD=2, BD=6,则边 AC 的长为（ ）A . 2 B. 4 C. 6 D . 8AC AD【分析】只要证明厶ADS A ACB 可得篇菱，即AC 2=AD?AB,由此即可解决 问题；B 不符合题意. AD 若 2AD v AB,即=-<二时 ABS 1+ S 24S ABEE 1v7, 此时 3S v S 2+S\BDE V 2S 2,故选项C 不符合题意，选项 D 符合题意. 2Si^1 + S 2+S Z\BDE【解答】 解：I/ A=Z A ,/ ADC=/ ACB•••△ ADS A ACB•- AG=AD?AB=2<8=16, •/ AC >0 , • AC=4故选：B.解：• DE// BC,AD AE …BD HE ，用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论. 【分析】 【解答】 22.（2018?香坊区）如图，点D 、E 、F 分别是△ ABC 的边AB AC BC 上的点,•••DE// BC,• △AD3A ABC,• DE// BC, EF// AB,•四边形BDEF是平行四边形,故选：C.23. （2018?荆门）如图，四边形 ABCD 为平行四边形，E 、F 为CD 边的两个三 等分点，连接AF 、BE 交于点G ，则SxEFG ： SxABG =（）A . 1: 3B . 3: 1 C. 1: 9 D . 9: 1【分析】禾U 用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题; 【解答】解：•••四边形ABCD 是平行四边形， ••• CD=AB CD// AB ，v DE=EF=FC ••• EF: AB=1: 3，•••△ EFG^A BAG故选：C.24. （2018?达州）如图，E,F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE=CF=AC.连^AAD （J接DE, DF 并延长'分别交AB, BC 于点G, H ，连接GH ，则亠：的值为（CE _CF _^L AE5••• DE=BF EF=BDAD AE BF AB "AC 一BC '1 ? 3 A•虫 B •虫 C t D - 1【分析】 首先证明AG : AB=CH BC=1: 3,推出GH// AC,推出△ BGH^A BAC,可得尹竺尹匚（閑）2=（「）耳，号匹"4，由此即可解决问题. b ABGH 旳 1 4^AADC J【解答】解：•••四边形ABCD 是平行四边形 ••• AD=BC DC=AB ••• AC=CA•••△ ADC ^A CBA--SA ADC =S A ABC ,••• AE=CF=AC, AG / CD , CH// AD ,• AG ： DC=AE CE=1： 3, CH ： AD=CF AF=1： 3, • AG ： AB=CH BC=1： 3, • GH// AC, • △ BGH^A BAC25. （2018?南充）如图，正方形 ABCD 的边长为2, P 为CD 的中点，连结 AP , 过点B 作BE X AP 于点E,延长CE 交AD 于点F ,过点C 作CH 丄BE 于点G ,交BA BG故选：C.AB于点H,连接HF•下列结论正确的是（)A. CE二匚B. EF二-C. cos/ CEP=：D. HF2=EF?CF2 5【分析】首先证明BH=AH,推出EG=BG推出CE=CB再证明△ CEH^A CBH Rt A HFE^ Rt A HFA利用全等三角形的性质即可——判断.【解答】解：连接EH.•••四边形ABCD是正方形，••• CD=AB-BC=AD=2 CD// AB,••• BE! AP , CH 丄BE,••• CH// PA,•••四边形CPAH是平行四边形,••• CP=AHv CP=PD=1AH=PC=1••• AH=BH,在Rt A ABE中 , v AH=HB,.EH=HB v HC丄BE,.BG=EG.CB=CE=2故选项A错误,v CH=CH CB=CE HB=HE.△ABC^A CEH,•••/ CBH2 CEH=90,••• HF 二HF HE 二HA ••• Rt A HFE ^ Rt A HFA, ••• AF=EF 设 EF=AF=x 在 Rt A CDF 中，有 22+ (2 -x ) 2= (2+x ) 2, •x 亍，• EF 丄，故B 错误，2••• PA// CH,• / CEP / ECH=g BCH'一— 1二二.，故 C 错误. ••• HF 甞•HF 2=EF?FC 故 D 正确, 故选：D .26. （2018?临沂）如图.利用标杆BE 测量建筑物的高度.已知标杆BE 高1.2m ， 测得AB=1.6m. BC=12.4m.则建筑物CD 的高是（）A 3 CA . 9.3mB . 10.5m C. 12.4m D . 14m【分析】先证明ABE^^ACD,则利用相似三角形的性质得 」匚「.丄二, 然后利用比例性质求出CD 即可. 【解答】解：：EB// CD,• △ ABE^A ACD,AB BE 即 1.2 AC - _C ，即 L 6+12. =CD ，• CD=10.5(米) 故选：B. 27.（ 2018?长春）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五 百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，••• cos / CEP 二co gBCH=—，EF 7，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A.五丈B.四丈五尺C. 一丈D.五尺【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论.【解答】解：设竹竿的长度为x尺，•••竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺, 送帶,解得x=45（尺）.故选：B.28. （2018?绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB丄BD,CD丄BD，垂足分别为B, D, AO=4m, AB=1.6m,CO=1m则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（）【分析】由/ ABO=Z CDO=9°、/ AOB=Z COD知厶ABO^A CDO,据此得将已知数据代入即可得.【解答】解：：AB丄BD, CD丄BD,•••/ ABO=Z CDO=9°,0.4m D. 0.5m又•••/ AOB=Z COD•••△ABO^A CDQAO-_ABCO-■/ A0=4m, AB=1.6m, C0=1m,•厶.6…Il ，解得：CD=0.4故选：C.二•填空题（共7小题）29. （2018?邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE,交CD于点F,连接BF.写出图中任意一对相似三角形：△ AD4A ECF .【分析】利用平行四边形的性质得到AD// CE则根据相似三角形的判定方法可判断△ ADF^A ECF【解答】解：•••四边形ABCD为平行四边形，•AD// CE,•△ADF^A ECF故答案AD2A ECF30. （2018?北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F,若AB=4, AD=3,则CF的长为丄-.D C【分析】根据矩形的性质可得出 AB// CD,进而可得出/ FAE 二/ FCD 结合/ AFE= / CFD （对顶角相等）可得出△ AFE^A CFD,利用相似三角形的性质可得出 —^=2,禾U 用勾股定理可求出 AC 的长度，再结合 CF^^.-?AC,即可求出 CF 的长. 【解答】解：•••四边形ABCD 为矩形, ••• AB=CD AD=BC AB / CD ,•••/ FAE=/ FCD ,又•••/ AFE=/ CFD ,/.△ AFE^A CFD-■-CD,AF f _AB••• AC==5 ,31. （2018?包头）如图,在?ABCD 中 , AC 是一条对角线,EF// BC,且EF 与AB 相交于点E ,与AC 相交于点F , 3AE=2EB 连接DF.若&AEF =1 ,则压ADF 的值为 525结合 S A A EF =1 知S A A DC =S A ABC =^-10:'.••• CF^-?AC~ X 5~ 【分析】由3AE=2EB 可设AE=2a BE=3q 根据EF / BC 得" 一bAABC2」=泮）「，AE2FC _B'3^AADF|2=故答案为:,再由 2 ,继而根据 S\ ADF^S△ ADC 可得答案.【解答】解：：3AE=2EB•••可设 AE=2a BE=3a••• EF// BC,•••△ AEF^A ABC,=（—）2=（^）2」_I S\AEF =1,• S ―--S\AB ~ ,•••四边形ABCD 是平行四边形,••• EF / BC, AE亦2332. （2018?资阳）已知：如图，△ ABC 的面积为12,点D 、E 分别是边AB 、AC的中点，则四边形BCED 的面积为 9 .【分析】设四边形BCED 勺面积为X ,则Sx ADE =12- x ,由题意知DE / BC 且DE^BC,^AADFAF 2^ACDF_CF' _3 22 2 S\ADF=_S\ADC=7' X故答案为:从而得=（_）2,据此建立关于x的方程，解之可得.【解答】解：设四边形BCED的面积为x,则S X ADE=12- x,•••点D、E分别是边AB AC的中点，•••。

2018中考数学知识点：相似三角形
新一轮中考复习备考周期正式开始，中考网为各位初三考生整理了各学科的复习攻略，主要包括中考必考点、中考常考知识点、各科复习方法、考试答题技巧等内容，帮助各位考生梳理知识脉络，理清做题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩！下面是《2018中考数学知识点：相似三角形》，仅供参考！
相似三角形
所谓的相似三角形,就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似三角形。

三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形的判定方法有：
平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似，
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似，如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似，如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似，
直角三角形相似判定定理1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

射影定理
相似三角形的性质
1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

2018 中考数学专题相似形（共 40 题）1．如图，△ ABC和△ ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点 P 为射线 BD，CE的交点．（ 1）求证： BD=CE；（ 2）若 AB=2，AD=1，把△ ADE绕点 A 旋转，当∠ EAC=90°时，求 PB的长；2．如图，直角△ ABC中，∠ BAC=90°，D 在 BC上，连接 AD，作 BF⊥ AD 分别交 AD 于 E，AC于 F．1）如图 1，若 BD=BA，求证：△ ABE≌△ DBE；2）如图 2，若 BD=4DC，取 AB 的中点 G，连接 CG交 AD 于 M，求证：①GM=2MC；② AG2=AF?AC．3．如图，在锐角三角形ABC中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上， AG⊥BC于点 G，AF⊥DE 于点 F，∠ EAF=∠GAC．1）求证：△ ADE∽△ ABC；2）若 AD=3，AB=5，求的值．4．如图，点 E 是正方形 ABCD的边 BC延长线上一点，连结DE，过顶点 B 作 BFDE，垂足为 F， BF分别交 AC 于 H，交 CD于G．（ 1）求证： BG=DE；（ 2）若点 G 为 CD的中点，求的值．5．（ 1）如图 1，在正方形 ABCD中，点 E，F 分别在 BC，CD上， AE⊥BF 于点 M ，求证： AE=BF；2）如图 2，将（ 1）中的正方形 ABCD改为矩形 ABCD， AB=2， BC=3， AE⊥BF 于点 M ，探究 AE与 BF 的数量关系，并证明你的结论．6．如图，四边形 ABCD中， AB=AC=AD， AC平分∠ BAD，点 P 是 AC 延长线上一点，且 PD⊥AD．1）证明：∠ BDC=∠PDC；2）若 AC 与 BD相交于点 E，AB=1，CE： CP=2： 3，求 AE 的长．7．△ ABC和△ DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠ BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点 E 与△ ABC的斜边 BC 的中点重合，将△ DEF绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于点 P，线段 EF与射线 CA 相交于点 Q．1）如图①，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP=AQ时，求证：△ BPE≌△ CQE；2）如图②，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证：△ BPE∽△ CEQ；并求当BP=2，CQ=9时 BC的长．8．如图，在矩形 ABCD中， E 为 AB 边上一点， EC平分∠ DEB，F 为 CE的中点，连接 AF，BF，过点 E 作 EH∥BC分别交 AF， CD于 G，H 两点．1）求证： DE=DC；2）求证： AF⊥BF；3）当 AF?GF=28时，请直接写出 CE的长．9．在 Rt△ABC中，∠ BAC=90°，过点 B 的直线 MN∥AC，D 为 BC 边上一点，连接 AD，作 DE⊥AD 交 MN 于点 E，连接AE．（ 1）如图 1，当∠ ABC=45°时，求证：AD=DE；（ 2）如图 2，当∠ ABC=30°时，线段 AD 与 DE有何数量关系？并请说明理由．精选10．如图 1，边长为 2 的正方形 ABCD中，E 是 BA 延长线上一点，且 AE=AB，点P 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度沿 D→ C→B向终点 B 运动，直线 EP交 AD 于点 F，过点 F 作直线 FG⊥DE于点 G，交 AB 于点 R．1）求证： AF=AR；2）设点 P 运动的时间为 t ，①求当 t 为何值时，四边形PRBC是矩形？②如图 2，连接 PB．请直接写出使△ PRB是等腰三角形时t 的值．11．如图，正方形 ABCD的对角线 AC，BD相交于点 O，延长 CB至点 F，使CF=CA，连接 AF，∠ ACF的平分线分别交 AF， AB， BD于点 E，N，M ，连接EO．1）已知 BD= ，求正方形 ABCD的边长；2）猜想线段 EM 与 CN的数量关系并加以证明．12．将两块全等的三角板如图 1 摆放，其中∠ A1CB1=∠ACB=90°，∠ A1=∠A=30°．1）将图 1 中△ A1B1C 绕点 C 顺时针旋转 45°得图 2，点 P1是 A1C 与 AB 的交点，点 Q 是 A1B1与 BC的交点，求证： CP1=CQ；2）在图 2 中，若 AP1=a，则 CQ等于多少？精选AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△ CP1P2？这时线段 CP1与 P1P2之间存在一个怎样的数量关系？．13．把 Rt△ABC和 Rt△ DEF按如图（ 1）摆放（点 C 与 E 重合），点 B、 C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠ EDF=90°，∠ DEF=45°， AC=8cm， BC=6cm，EF=10cm．如图（ 2），△ DEF从图（ 1）的位置出发，以1cm/s 的速度沿 CB向△ABC匀速移动，在△ DEF移动的同时，点 P 从△ ABC的顶点 A 出发，以 2cm/s 的速度沿 AB 向点 B 匀速移动；当点 P 移动到点 B 时，点 P 停止移动，△ DEF也随之停止移动． DE与 AC交于点 Q，连接 PQ，设移动时间为 t（ s）．1）用含 t 的代数式表示线段 AP 和 AQ 的长，并写出 t 的取值范围；2）连接 PE，设四边形 APEQ的面积为 y（cm2），试探究 y 的最大值；3）当 t 为何值时，△ APQ是等腰三角形．14．△ ABC，∠ A、∠ B、∠ C 的对边分别是 a、b、c，一条直线 DE 与边 AC相交于点 D，与边 AB 相交于点 E．（ 1）如图①，若 DE将△ ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE 等于多少；（用a、b、c 表示）（ 2）如图②，若AC=3， AB=5， BC=4．DE 将△ ABC分成周长、面积相等的两部分，求 AD；（ 3）如图③，若 DE将△ ABC分成周长、面积相等的两部分，且DE∥BC，则 a、b、c 满足什么关系？15．已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，∠ PAQ=45°，将∠ PAQ 绕着正方形的顶点 A 旋转，使它与正方形 ABCD的两个外角∠ EBC和∠ FDC的平分线分别交于点 M 和 N，连接 MN．1）求证：△ ABM∽△ NDA；2）连接 BD，当∠ BAM 的度数为多少时，四边形 BMND 为矩形，并加以证明．16．如图，在锐角△ ABC中， D，E 分别为 AB， BC中点， F 为 AC 上一点，且∠AFE=∠A，DM∥ EF交 AC于点 M．1）点 G 在 BE上，且∠ BDG=∠C，求证： DG?CF=DM?EG；2）在图中，取 CE上一点 H，使∠ CFH=∠B，若 BG=1，求 EH的长．17．△ ABC中， AB=AC，点 D、E、F 分别在 BC、AB、 AC上，∠ EDF=∠B．1）如图 1，求证： DE?CD=DF?BE2） D 为 BC中点如图 2，连接EF．①求证： ED平分∠ BEF；②若四边形 AEDF为菱形，求∠ BAC的度数及的值．18．如图，在△ ABC 中，点 P 是 AC边上的一点，过点 P 作与 BC平行的直线 PQ，交 AB 于点 Q，点 D 在线段 BC上，联接 AD 交线段 PQ 于点 E，且=，点G在 BC延长线上，∠ ACG的平分线交直线 PQ 于点F．（ 1）求证： PC=PE；（ 2）当 P 是边 AC的中点时，求证：四边形 AECF是矩形．19．如图，已知△ ABC中， AC=BC，点 D、E、F 分别是线段 AC、BC、AD 的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接 GC．1）求证： AB=GD；（ 2）如图 2，当 CG=EG时，求的值．20．如图，在△ ABC中，D、E 分别为 AB、AC上的点，线段 BE、CD相交于点 O，且∠ DCB=∠EBC= ∠A．（ 1）求证：△ BOD∽△ BAE；2）求证： BD=CE；3）若 M 、N 分别是 BE、CE的中点，过 MN 的直线交 AB 于 P，交 AC于 Q，线段 AP、 AQ 相等吗？为什么？21．如图，在矩形 ABCD和矩形 PEFG中， AB=8， BC=6， PE=2， PG=4． PE 与 AC 交于点 M ，EF与 AC交于点 N，动点 P 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动，伴随点 P 的运动，矩形 PEFG在射线 AB 上滑动；动点 K 从点 P 出发沿折线 PE﹣﹣ EF以每秒 1 个单位长的速度匀速运动．点 P、K 同时开始运动，当点 K 到达点 F 时停止运动，点 P 也随之停止．设点 P、 K 运动的时间是秒（ t＞0）．（ 1）当 t=1 时， KE=，EN=；2）当 t 为何值时，△ APM 的面积与△ MNE 的面积相等？3）当点 K 到达点 N 时，求出 t 的值；4）当 t 为何值时，△ PKB是直角三角形？22．如图（ 1），在△ ABC中， AD 是 BC边的中线，过 A 点作 AE∥BC与过 D 点作DE∥AB 交于点 E，连接 CE．1）求证：四边形 ADCE是平行四边形．2）连接 BE，AC 分别与 BE、DE 交于点 F、G，如图（ 2），若 AC=6，求 FG的精选长．23．已知：在正方形 ABCD中，点 E、F 分别是 CB、CD延长线上的点，且BE=DF，联结 AE、AF、 DE、DE交 AB 于点 M．1）如图 1，当 E、A、F 在一直线上时，求证：点 M 为 ED中点；2）如图 2，当 AF∥ED，求证： AM2=AB?BM．24．已知，如图 1，点 D、 E分别在 AB， AC上，且=．1）求证： DE∥BC．2）已知，如图 2，在△ ABC中，点 D 为边 AC上任意一点，连结 BD，取 BD 中点 E，连结 CE并延长 CE交边 AB 于点 F，求证：=．（ 3）在（ 2）的条件下，若 AB=AC，AF=CD，求的值．25．已知△ ABC，AC=BC，点 E， F 在直线 AB 上，∠ ECF=∠ A．1）如图 1，点 E，F 在 AB 上时，求证： AC2=AF?BE；2）如图 2，点 E，F 在 AB 及其延长线上，∠ A=60°，AB=4，BE=3，求 BF的长．26．如图，正方形 ABCD，∠ EAF=45°．交 BC、CD于 E、F，交 BD 于 H、G．1）求证： AD2=BG?DH；2）求证： CE= DG；3）求证： EF= HG．27．如图，C 为线段 BD上一动点，过 B、D 分别作 BD 的垂线，使 AB=BC，DE=DB，连接 AD、AC、BE，过 B 作 AD 的垂线，垂足为 F，连接 CE、 EF．1）求证： AC?DF= BF?BD；2）点 C 运动的过程中，∠ CFE的度数保持不变，求出这个度数；3）当点 C 运动到什么位置时， CE∥BF？并说明理由．28．如图，在△ ABC中，点 D 在边 AB 上（不与 A，B 重合），DE∥BC交 AC于点E，将△ ADE沿直线 DE翻折，得到△ A′ DE，直线 DA′，EA′分别交直线 BC于点精选N．1）求证： DB=DM．2）若 =2，DE=6，求线段 MN 的长．（ 3）若=n（ n≠ 1），DE=a，则线段 MN 的长为（用含n的代数式表示）．29．如图，已知四边形 ABCD和四边形 DEFG为正方形，点 E 在线段 DC上，点 A、D、G 在同一直线上，且 AD=3，DE=1，连接 AC、CG、AE，并延长 AE交 OG于点H．1）求证：∠ DAE=∠DCG．2）求线段 HE 的长．30．如图，△ ABC中，点 E、F 分别在边 AB，AC上， BF与 CE相交于点 P，且∠1=∠2= ∠ A．（ 1）如图 1，若 AB=AC，求证： BE=CF；（ 2）若图 2，若 AB≠AC，①（ 1）中的结论是否成立？请给出你的判断并说明理由；②求证：=．31．如图 1，在锐角△ ABC中， D、E 分别是 AB、 BC的中点，点 F 在 AC 上，且满足∠ AFE=∠A，DM∥ EF交 AC于点 M ．1）证明： DM=DA；2）点 G 在 BE上，且∠ BDG=∠C，如图 2，求证：△ DEG∽△ ECF；3）在图 2 中，取 CE上一点 H，使得∠ CFH=∠B，若 BG=5，求 EH 的长．32．如图，正方形ABCD中，边长为 12，DE⊥DC 交 AB 于点 E， DF 平分∠ EDC 交 BC于点 F，连接EF．（ 1）求证：EF=CF；（ 2）当 = 时，求 EF的长．33．如图，已知在△ ABC中， P 为边 AB 上一点，连接CP，M 为 CP 的中点，连接 BM 并延长，交 AC 于点 D， N 为 AP的中点，连接 MN．若∠ ACP=∠ ABD．（ 1）求证： AC?MN=BN?AP；（ 2）若 AB=3，AC=2，求 AP 的长．精选34．如图，已知 AC、EC分别为四边形ABCD和 EFCG的对角线，点 E 在△ ABC内，CAE+∠ CBE=90°，当四边形 ABCD和 EFCG均为正方形时，连接 BF．（ 1）求证：△ CAE∽△ CBF；（ 2）若 BE=1，AE=2，求 CE的长．35．如图①，矩形 ABCD中， AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠ MPN 绕点 P 从 PB 处开始按顺时针方向旋转，PM 交边 AB（或 AD）于点 E， PN 交边 AD（或CD）于点 F，当 PN旋转至 PC处时，∠ MPN 的旋转随即停止．（ 1）特殊情形：如图②，发现当 PM 过点 A 时，PN 也恰巧过点 D，此时，△ABP △ PCD（填“≌”或“～”）；（ 2）类比探究：如图③，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．36．如图，点 M 是△ ABC内一点，过点 M 分别作直线平行于△ ABC的各边，所形成的三个小三角形△ 1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1、4、25．则△ ABC的面积是．37．如图，△ ABC中，∠ ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥ AB 于点 O， D 是线段 OB 上一点， DE=2，ED∥AC（∠ ADE＜ 90°），连接 BE、CD．设 BE、CD的中点分别为P、Q．1）求 AO 的长；2）求 PQ 的长；3）设 PQ 与 AB 的交点为 M，请直接写出 | PM﹣MQ| 的值．38．尤秀同学遇到了这样一个问题：如图 1 所示，已知 AF，BE是△ ABC的中线，且 AF⊥ BE，垂足为 P，设 BC=a，AC=b，AB=c．求证： a2+b2=5c2该同学仔细分析后，得到如下解题思路：先连接 EF，利用 EF 为△ ABC的中位线得到△ EPF∽△ BPA，故，设 PF=m，PE=n，用 m，n 把 PA， PB 分别表示出来，再在 Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计算，消去 m，n 即可得证（ 1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程．（ 2）利用题中的结论，解答下列问题：在边长为 3 的菱形 ABCD中， O 为对角线 AC， BD 的交点， E， F 分别为线段 AO，DO 的中点，连接 BE，CF并延长交于点 M， BM， CM 分别交 AD 于点 G，H，如图 2 所示，求 MG2+MH2的值．39．如图，在△ ABC中，点 D，E 分别在边 AB， AC上，∠ AED=∠B，射线 AG 分别交线段 DE， BC于点 F，G，且．1）求证：△ ADF∽△ ACG；2）若，求的值．40．如图，四边形中 ABCD中， E，F 分别是 AB， CD 的中点， P 为对角线 AC 延长线上的任意一点， PF交 AD 于 M，PE交 BC于 N，EF交 MN 于 K．求证： K 是线段 MN 的中点．参考答案与试题解析（共 40 题）1．（2017?阿坝州）如图，△ ABC和△ ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点 P 为射线 BD，CE的交点．1）求证： BD=CE；2）若 AB=2，AD=1，把△ ADE绕点 A 旋转，当∠ EAC=90°时，求 PB的长；【解答】解：（1）∵△ ABC和△ ADE是等腰直角三角形，∠ BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE．∴△ ADB≌△ AEC．BD=CE．2）解：①当点 E 在 AB 上时， BE=AB﹣ AE=1．∵∠ EAC=90°，∴CE==．同（ 1）可证△ ADB≌△ AEC．∴∠ DBA=∠ECA．∵∠ PEB=∠AEC，∴△ PEB∽△ AEC．= ．= ．PB=．②当点 E在 BA 延长线上时， BE=3．∵∠ EAC=90°，∴CE==．同（ 1）可证△ ADB≌△ AEC．∴∠ DBA=∠ECA．∵∠ BEP=∠CEA，∴△ PEB∽△ AEC．= ．= ．PB=．综上所述， PB的长为或．2．（2017?常德）如图，直角△ ABC中，∠ BAC=90°，D 在 BC上，连接 AD，作 BF AD 分别交 AD 于 E，AC 于 F．1）如图 1，若 BD=BA，求证：△ ABE≌△ DBE；2）如图 2，若 BD=4DC，取 AB 的中点 G，连接 CG交 AD 于 M，求证：①GM=2MC；② AG2=AF?AC．【解答】证明：（1）在 Rt△ABE和 Rt△ DBE中，，∴△ ABE≌△ DBE；（ 2）①过 G 作 GH∥AD 交 BC于 H，∵ AG=BG，∴ BH=DH，∵ BD=4DC，设 DC=1，BD=4，∴ BH=DH=2，∵ GH∥ AD，∴= =，∴ GM=2MC；②过 C 作 CN⊥ AC交 AD 的延长线于 N，则 CN∥ AG，∴△ AGM∽△ NCM，∴=，由①知 GM=2MC，2NC=AG，∵∠ BAC=∠AEB=90°，∴∠ ABF=∠CAN=90°﹣∠ BAE，∴△ ACN∽△ BAF，= ，AB=2AG，∴ =，∴ 2CN?AG=AF?A，AG2=AF?AC．3．（ 2017?杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，AG BC于点 G，AF⊥DE于点 F，∠ EAF=∠GAC．（ 1）求证：△ ADE∽△ ABC；（ 2）若 AD=3，AB=5，求的值．【解答】解：（1）∵ AG⊥BC， AF⊥DE，∴∠ AFE=∠AGC=90°，∵∠ EAF=∠GAC，∴∠ AED=∠ACB，∵∠ EAD=∠BAC，∴△ ADE∽△ ABC，（ 2）由（ 1）可知：△ ADE∽△ ABC，∴=由（ 1）可知：∠ AFE=∠AGC=90°，∴∠ EAF=∠GAC，∴△ EAF∽△ CAG，∴，=4．（2017?眉山）如图，点 E 是正方形 ABCD的边 BC 延长线上一点，连结 DE，过顶点 B 作 BF⊥DE，垂足为 F，BF分别交 AC于 H，交 CD于 G．1）求证： BG=DE；（ 2）若点 G 为 CD的中点，求的值．【解答】解：（1）∵ BF⊥ DE，∴∠ GFD=90°，∵∠ BCG=90°，∠ BGC=∠DGF，∴∠ CBG=∠CDE，在△ BCG与△ DCE中，∴△ BCG≌△ DCE（ ASA），BG=DE，2）设 CG=1，∵G为 CD的中点，GD=CG=1，由（ 1）可知：△ BCG≌△ DCE（ASA），CG=CE=1，∴由勾股定理可知： DE=BG= ，sin∠CDE= = ，GF= ，AB∥CG，∴△ ABH∽△ CGH，∴=，∴BH=，GH=，=5．（2017?河池）（1）如图 1，在正方形 ABCD中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，AE⊥BF于点 M，求证： AE=BF；2）如图 2，将（ 1）中的正方形 ABCD改为矩形 ABCD， AB=2， BC=3， AE⊥BF 于点 M ，探究 AE与 BF 的数量关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ ABC=∠C，AB=BC．AE⊥BF，∴∠ AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ ABM+∠CBF=90°，∴∠ BAM=∠CBF．在△ ABE和△ BCF中，，∴△ ABE≌△ BCF（ASA），AE=BF；2）解： AE= BF，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ ABC=∠C，AE⊥BF，∴∠ AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ ABM+∠CBF=90°，∴∠ BAM=∠CBF，∴△ ABE∽△ BCF，∴=，AE= BF．6．（2017?泰安）如图，四边形 ABCD 中， AB=AC=AD， AC 平分∠ BAD，点 P 是AC延长线上一点，且 PD⊥ AD．1）证明：∠ BDC=∠PDC；2）若 AC 与 BD相交于点 E，AB=1，CE： CP=2： 3，求 AE 的长．【解答】（1）证明：∵ AB=AD，AC平分∠ BAD，AC⊥BD，∴∠ ACD+∠BDC=90°，AC=AD，∴∠ ACD=∠ADC，∴∠ ADC+∠BDC=90°，PD⊥AD，∴∠ ADC+∠PDC=90°，∴∠ BDC=∠PDC；2）解：过点 C 作 CM⊥PD 于点 M ，∵∠ BDC=∠PDC，CE=CM，∵∠ CMP=∠ADP=90°，∠ P=∠P，∴△ CPM∽△ APD，= ，设 CM=CE=x，∵ CE：CP=2：3，∴ PC= x，∵ AB=AD=AC=1，∴=，解得： x=，故 AE=1﹣=．7（．2017?天水）△ABC和△ DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠ EDF=90°，DEF的顶点 E 与△ ABC的斜边 BC的中点重合，将△ DEF绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于点 P，线段 EF与射线 CA 相交于点 Q．（ 1）如图①，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP=AQ时，求证：△ BPE≌△ CQE；（ 2）如图②，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证：△ BPE∽△ CEQ；并求当BP=2，CQ=9时 BC的长．【解答】（1）证明：∵△ ABC是等腰直角三角形，∴∠ B=∠ C=45°，AB=AC，AP=AQ，∴ BP=CQ，E 是 BC的中点，∴ BE=CE，在△ BPE和△ CQE中，∵，∴△ BPE≌△ CQE（SAS）；（ 2）解：∵△ ABC和△ DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠ B=∠ C=∠DEF=45°，∵∠ BEQ=∠EQC+∠C，即∠ BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠ BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠ BEP=∠EQC，∴△ BPE∽△ CEQ，= ，BP=2， CQ=9， BE=CE，∴ 2BE=18，BE=CE=3 ，BC=6 ．8．（2017?绥化）如图，在矩形ABCD中， E 为 AB 边上一点， EC 平分∠ DEB，F 为 CE的中点，连接 AF，BF，过点 E 作 EH∥BC分别交 AF，CD于 G， H 两点．（ 1）求证： DE=DC；（ 2）求证： AF⊥BF；（ 3）当 AF?GF=28时，请直接写出 CE的长．【解答】解：（1）∵四边形 ABCD是矩形，AB∥CD，∴∠ DCE=∠CEB，EC平分∠ DEB，∴∠ DEC=∠CEB，∴∠ DCE=∠DEC，DE=DC；（ 2）如图，连接 DF，DE=DC， F 为 CE的中点，∴ DF⊥EC，∴∠ DFC=90°，在矩形 ABCD中， AB=DC，∠ABC=90°，∴ BF=CF=EF=EC，∴∠ ABF=∠CEB，∵∠ DCE=∠CEB，∴∠ ABF=∠DCF，在△ ABF和△ DCF中，，∴△ ABF≌△ DCF（SAS），∴∠ AFB=∠DFC=90°，AF⊥BF；（ 3） CE=4 ．理由如下：∵ AF⊥BF，∴∠ BAF+∠ABF=90°，EH∥BC，∠ ABC=90°，∴∠ BEH=90°，∴∠ FEH+∠CEB=90°，∵∠ ABF=∠CEB，∴∠BAF=∠FEH，∵∠EFG=∠AFE，∴△EFG∽△ AFE，∴ = ，即 EF2=AF?GF，AF?GF=28，EF=2 ，CE=2EF=4 ．9．（2017?雨城区校级自主招生）在Rt△ABC中，∠ BAC=90°，过点 B 的直线 MNAC，D 为 BC边上一点，连接 AD，作 DE⊥ AD 交 MN 于点 E，连接AE．（ 1）如图 1，当∠ ABC=45°时，求证： AD=DE；（ 2）如图 2，当∠ ABC=30°时，线段 AD 与 DE有何数量关系？并请说明理由．【解答】（1）证明：如图 1，过点 D 作 DF⊥ BC，交 AB 于点F，则∠ BDE+∠FDE=90°，DE⊥AD，∴∠ FDE+∠ADF=90°，∴∠ BDE=∠ADF，∵∠ BAC=90°，∠ ABC=45°，∴∠ C=45°，MN∥AC，∴∠ EBD=180°﹣∠ C=135°，∵∠ BFD=45°， DF⊥BC，∴∠ BFD=45°， BD=DF，∴∠ AFD=135°，∴∠ EBD=∠AFD，在△ BDE和△ FDA中，∴△ BDE≌△ FDA（ASA），AD=DE；2）解： DE= AD，理由：如图 2，过点 D 作 DG⊥ BC，交 AB 于点G，则∠ BDE+∠GDE=90°，DE⊥AD，∴∠ GDE+∠ADG=90°，∴∠ BDE=∠ADG，∵∠ BAC=90°，∠ ABC=30°，∴∠ C=60°，MN∥AC，∴∠ EBD=180°﹣∠ C=120°，∵∠ ABC=30°，DG⊥ BC，∴∠ BGD=60°，∴∠ AGD=120°，∴∠ EBD=∠AGD，∴△ BDE∽△ GDA，= ，在 Rt△BDG中， =tan30°= ，∴DE= AD．10．（2017?深圳模拟）如图 1，边长为 2 的正方形 ABCD中，E 是 BA 延长线上一点，且 AE=AB，点 P 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度沿 D→C→B向终点 B 运动，直线 EP交 AD 于点 F，过点 F 作直线 FG⊥ DE 于点 G，交 AB 于点 R．1）求证： AF=AR；（ 2）设点 P 运动的时间为 t ，①求当 t 为何值时，四边形PRBC是矩形？②如图 2，连接 PB．请直接写出使△ PRB是等腰三角形时t 的值．【解答】（1）证明：如图，在正方形ABCD中， AD=AB=2，AE=AB，∴ AD=AE，∴∠ AED=∠ADE=45°，又∵ FG⊥ DE，∴在 Rt△ EGR中，∠ GER=∠GRE=45°，∴在 Rt△ ARF中，∠ FRA=∠AFR=45°，∴∠ FRA=∠RFA=45°，AF=AR；2）解：①如图，当四边形 PRBC是矩形时，则有 PR∥BC，∴ AF∥PR，∴△ EAF∽△ ERP，∴，即：由（1）得AF=AR，∴，解得：或（不合题意，舍去），∴，∵点 P 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度沿 D→C→B向终点 B 运动，∴（秒）；②若 PR=PB，过点 P 作 PK⊥AB于 K，设 FA=x，则 RK= BR= （2﹣x），∵△ EFA∽△ EPK，∴，即：=，解得： x=±﹣3（舍去负值）；∴ t=（秒）；若 PB=RB，则△ EFA∽△ EPB，∴=，∴，BP= AB= ×2=CP=BC﹣BP=2﹣ = ，（秒）．综上所述，当 PR=PB时， t=；当PB=RB时，秒．11．（2017?江汉区校级模拟）如图，正方形 ABCD的对角线 AC，BD 相交于点 O，延长 CB至点 F，使 CF=CA，连接 AF，∠ ACF的平分线分别交 AF，AB，BD于点 E，N，M ，连接 EO．1）已知 BD= ，求正方形 ABCD的边长；2）猜想线段 EM 与 CN的数量关系并加以证明．【解答】解：（1）∵四边形 ABCD是正方形，∴△ ABD是等腰直角三角形，2AB2=BD2，∵BD= ，AB=1，∴正方形 ABCD的边长为 1；2） CN=2EM证明方法一、理由：∵四边形ABCD是正方形，AC⊥BD，OA=OCCF=CA，CE是∠ ACF的平分线，∴ CE⊥AF，AE=FEEO为△ AFC的中位线EO∥BC∴∴在 Rt△ AEN中， OA=OCEO=OC= AC，CM= EMCE平分∠ ACF，∴∠OCM=∠ BCN，∵∠NBC=∠COM=90°，∴△ CBN∽△ COM，∴，CN= CM，即 CN=2EM．证明方法二、∵四边形ABCD是正方形，∴∠ BAC=45°=∠DBC，由（ 1）知，在 Rt△ ACE中， EO= AC=CO，∴∠ OEC=∠OCE，CE平分∠ ACF，∴∠ OCE=∠ECB=∠OEC，EO∥BC，∴∠ EOM=∠DBC=45°，∵∠ OEM=∠ OCE∴△ EOM∽△ CAN，∴，CN=2CM．12．（2017?济宁二模）将两块全等的三角板如图1 摆放，其中∠ A1CB1=∠ACB=90°，A1=∠ A=30°．1）将图 1 中△ A1B1C 绕点 C 顺时针旋转 45°得图 2，点 P1是 A1C 与 AB 的交点，点 Q 是 A1B1与 BC的交点，求证： CP1=CQ；2）在图 2 中，若 AP1=a，则 CQ等于多少？3）将图 2 中△ A1B1C 绕点 C 顺时针旋转到△ A2B2C（如图 3），点 P2是 A2C 与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△ CP1P2？这时线段 CP1与 P1P2之间存在一个怎样的数量关系？．【解答】（1）证明：∵∠ B1 CB=45°，∠ B1CA1=90°，∴∠ B1CQ=∠ BCP1=45°；又 B1C=BC，∠ B1 =∠ B，∴△ B1CQ≌△ BCP1（ASA）∴ CQ=CP1；2）解：如图：作 P1D⊥AC于 D，∵∠ A=30°，∴ P1D= AP1；∵∠ P1CD=45°，∴=sin45 °=，CP1= P1D= AP1；又 AP1=a，CQ=CP1，∴ CQ= a；3）解：当∠ P1CP2=∠ P1 AC=30°时，由于∠ CP1P2=∠AP1C，则△ AP1C∽△ CP1P2，所以将图 2 中△ A1B1C 绕点 C 顺时针旋转 30°到△ A2B2C 时，有△ AP1C∽△ CP1P2．这时==，P1P2= CP1．13．（ 2017?惠阳区模拟）把Rt△ABC和 Rt△ DEF按如图（ 1）摆放（点 C 与 E 重合），点 B、C（E）、F 在同一条直线上．已知：∠ACB=∠ EDF=90°，∠ DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△ DEF从图（ 1）的位置出发，以 1cm/s 的速度沿 CB 向△ ABC 匀速移动，在△ DEF移动的同时，点 P 从△ ABC的顶点 A 出发，以 2cm/s 的速度沿 AB 向点 B 匀速移动；当点 P 移动到点 B 时，点 P 停止移动，△DEF也随之停止移动． DE与 AC 交于点 Q，连接 PQ，设移动时间为 t （s）．1）用含 t 的代数式表示线段 AP 和 AQ 的长，并写出 t 的取值范围；2）连接 PE，设四边形 APEQ的面积为 y（cm2），试探究 y 的最大值；3）当 t 为何值时，△ APQ是等腰三角形．精选【解答】（1）解： AP=2t∵∠ EDF=90°，∠ DEF=45°，∴∠ CQE=45°=∠ DEF，CQ=CE=t，AQ=8﹣t，的取值范围是： 0≤t ≤5；2）过点 P 作 PG⊥x 轴于 G，可求得 AB=10，SinB= ，PB=10﹣2t，EB=6﹣t ，∴ PG=PBSinB=（10﹣2t）y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE==∴当（在 0≤t≤ 5 内），y 有最大值， y 最大值 =（cm2）（ 3）若 AP=AQ，则有 2t=8﹣t 解得：（s）若 AP=PQ，如图①：过点P 作 PH⊥AC，则 AH=QH=，PH∥BC∴△ APH∽△ ABC，∴，即，解得：（ s）若 AQ=PQ，如图②：过点 Q 作 QI⊥ AB，则 AI=PI= AP=t∵∠ AIQ=∠ACB=90°∠ A=∠A，∴△ AQI∽△ ABC∴即，解得：（ s）综上所述，当或或时，△ APQ是等腰三角形．14．（ 2017?庐阳区一模）△ ABC，∠ A、∠ B、∠ C 的对边分别是 a、 b、c，一条直线 DE 与边 AC相交于点 D，与边 AB 相交于点 E．（ 1）如图①，若 DE将△ ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE 等于多少；（用a、b、c 表示）2）如图②，若 AC=3， AB=5， BC=4．DE 将△ ABC分成周长、面积相等的两部分，求 AD；3）如图③，若 DE将△ ABC分成周长、面积相等的两部分，且 DE∥BC，则 a、b、c 满足什么关系？【解答】解：（1）∵ DE将△ ABC分成周长相等的两部分，AD+AE=CD+BC+BE= （ AB+AC+BC）= （a+b+c）；2）设AD=x，AE=6﹣x，∵ S△ADE= AD?AE?sinA=3，即： x（6﹣x） ? =3，解得： x1 （舍去）， 2 ，= x =∴AD=；3）∵ DE∥ BC，∴△ ADE∽△ ABC，∴，= ，AD= b， AE= c，b c= （a+b+c），= ﹣1．15．（ 2017?嘉兴模拟）已知：如图，四边形 ABCD是正方形，∠ PAQ=45°，将∠ PAQ绕着正方形的顶点 A 旋转，使它与正方形 ABCD的两个外角∠ EBC和∠FDC 的平分线分别交于点 M 和 N，连接 MN．1）求证：△ ABM∽△ NDA；2）连接 BD，当∠ BAM 的度数为多少时，四边形 BMND 为矩形，并加以证明．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ ABC=∠ADC=∠BAD=90°，BM、 DN 分别是正方形的两个外角平分线，∴∠ ABM=∠ADN=135°，∵∠ MAN=45°，∴∠ BAM=∠AND=45°﹣∠ DAN，∴△ ABM∽△ NDA；（ 2）解：当∠ BAM=22.5°时，四边形 BMND 为矩形；理由如下：∵∠ BAM=22.5°，∠ EBM=45°，∴∠ AMB=22.5°，∴∠ BAM=∠AMB，AB=BM，同理 AD=DN，∵ AB=AD，∴ BM=DN，∵四边形 ABCD是正方形∴∠ ABD=∠ADB=45°，∴∠ BDN=∠DBM=90°∴∠ BDN+∠DBM=180°，BM∥ DN∴四边形 BMND 为平行四边形，∵∠ BDN=90°，∴四边形 BMND 为矩形．16．（ 2017?肥城市三模）如图，在锐角△ABC中， D，E 分别为 AB，BC中点， F 为 AC上一点，且∠ AFE=∠ A， DM∥EF交 AC于点 M．1）点 G 在 BE上，且∠ BDG=∠C，求证： DG?CF=DM?EG；2）在图中，取 CE上一点 H，使∠ CFH=∠B，若 BG=1，求 EH的长．【解答】（1）证明：如图 1 所示，D， E 分别为 AB， BC中点，DE∥ACDM∥EF，∴四边形 DEFM是平行四边形，DM=EF，如图 2 所示，∵ D、 E 分别是 AB、 BC的中点，DE∥AC，∴∠ BDE=∠A，∠ DEG=∠ C，∵∠ AFE=∠A，∴∠ BDE=∠AFE，∴∠ BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，∵∠ BDG=∠C，∴∠ GDE=∠FEC，∴△ DEG∽△ ECF；∴，∴，∴，DG?CF=DM?EG；（ 2）解：如图 3 所示，∵∠ BDG=∠C=∠DEB，∠ B=∠B，∴△ BDG∽△ BED，∴，BD2 =BG?BE，∵∠ AFE=∠A，∠ CFH=∠B，∴∠ C=180°﹣∠ A﹣∠ B=180°﹣∠ AFE﹣∠CFH=∠EFH，又∵∠ FEH=∠CEF，∴△ EFH∽△ ECF，∴=，∴ 2EF=EH?EC，DE∥AC，DM∥EF，∴四边形 DEFM是平行四边形，∴ EF=DM=DA=BD，∴ BG?BE=EH?EC，BE=EC，EH=BG=1．17．（ 2017?肥城市模拟）△ ABC中， AB=AC，点 D、E、F 分别在 BC、AB、AC 上，EDF=∠ B．1）如图 1，求证： DE?CD=DF?BE2） D 为 BC中点如图 2，连接EF．①求证： ED平分∠ BEF；②若四边形 AEDF为菱形，求∠ BAC的度数及的值．【解答】（1）证明：∵△ ABC中， AB=AC，∴∠ B=∠ C．∵∠ B+∠ BDE+∠ DEB=180°，∠ BDE+∠ EDF+∠ FDC=180°，∠ EDF=∠ B，∴∠ FDC=∠DEB，∴△ BDE∽△ CFD，∴，即 DE?CD=DF?BE；（ 2）解：①由（ 1）证得△ BDE∽△ CFD，∴，D 为 BC中点，∴BD=CD，∴ = ，∵∠ B=∠ EDF，∴△ BDE～△ DFE，∴∠ BED=∠DEF，ED平分∠ BEF；②∵四边形 AEDF为菱形，∴∠ AEF=∠DEF，∵∠ BED=∠DEF，∴∠ AEF=60°，精选∴∠ BAC=60°，∵∠ BAC=60°，∴△ ABC是等边三角形，∴∠ B=60°，∴△ BED是等边三角形，BE=DE，∵ AE=DE，AE= AB，= ．18．（ 2017?长宁区二模）如图，在△ ABC 中，点 P 是 AC边上的一点，过点 P作与 BC平行的直线 PQ，交 AB 于点 Q，点 D 在线段 BC上，联接 AD 交线段 PQ 于点 E，且=，点G在BC延长线上，∠ ACG的平分线交直线PQ 于点 F．1）求证： PC=PE；2）当 P 是边 AC的中点时，求证：四边形 AECF是矩形．【解答】（1）证明：∵ PQ∥BC，∴△ AQE∽△ ABD，△ AEP∽△ ADC，∴=，，= ，∵ = ，。

中考2018数学知识点：相似三角形新一轮中考复习备考周期正式开始，中考网为各位初三考生整理了各学科的复习攻略，主要包括中考必考点、中考常考知识点、各科复习方法、考试答题技巧等内容，帮助各位考生梳理知识脉络，理清做题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩！下面是《中考2018数学知识点：相似三角形》，仅供参考！
相似三角形
所谓的相似三角形,就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似三角形。

三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形的判定方法有：
平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似，
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似，
如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似，
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似，
直角三角形相似判定定理1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

射影定理
相似三角形的性质
1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

1.如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD＝6cm，DC＝8cm，BC＝12cm．动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1cm．两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．（1）求线段AB的长．（2）当t为何值时，MN∥CD？（3）设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（4）如图②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．2．（2017?二模）如图①，已知矩形ABCD中，AB＝60cm，BC＝90cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，以20cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动的时间为t（s）．（1）当t＝s时，△BPQ为等腰三角形；（2）当BD平分PQ时，求t的值；（3）如图②，将△BPQ沿PQ折叠，点B的对应点为E，PE、QE分别与AD交于点F、G．探索：是否存在实数t，使得AF＝EF？如果存在，求出t的值：如果不存在，说明理由．3．（2016?苏州一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．动点P从点A出发沿AC 向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q 也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）求线段AC的长度；（2）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；②当l经过点B时，求t的值．4.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q 两点运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）5.如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，OA＝10，cos∠COA＝．一个动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OA方向运动，过点P作PQ⊥OA，交折线段OC﹣CB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线OA 上，当P点到达A点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）C点的坐标为，当t＝时N点与A点重合；（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与菱形OABC的重合部分面积为S，直接写出S 与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）如图2，在运动过程中，过点O和点B的直线将正方形PQMN分成了两部分，请问是否存在某一时刻，使得被分成的两部分中有一部分的面积是菱形面积的？若存在，请求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．6.在Rt△AOB中，OA＝3，sin B＝，P、M、分别是BA、BO边上的两个动点．点M从点B出发，沿BO以1单位/秒的速度向点O运动；点P从点B出发，沿BA以a单位/秒的速度向点A运动；P、M两点同时出发，任意一点先到达终点时，两点停止运动．设运动的时间为t．（1）线段AP的长度为（用含a、t的代数式表示）；（2）如图①，连结PO、PM，若a＝1，△PMO的面积为S，试求S的最大值；（3）如图②，连结PM、AM，试探究：在点P、M运动的过程中，是否存在某个时刻，使得△PMB为直角三角形且△PMA是等腰三角形？若存在，求出此时a和t的取值，若不存在，请说明理由．7．（2018?常熟市一模）如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作PE⊥PB，交射线DC于点E，已知AD＝3，sin∠BAC＝．设AP的长为x．（1）AB＝；当x＝1时，＝；（2）①试探究：否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；②连接BE，设△PBE的面积为S，求S的最小值．（3）当△PCE是等腰三角形时．请求出x的值；8.△ABC，△DEC均为直角三角形，B，C，E三点在一条直线上，过D作DM⊥AC于M．（1）如图1，若△ABC≌△DEC，且AB＝2BC．①过B作BN⊥AC于N，则线段AN，BN，MN之间的数量关系为：；（直接写出答案）②连接ME，求的值；（2）如图2，若AB＝CE＝DE，DM＝2，MC＝1，求ME的长．9.如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG 重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD．已知正方形ABCD 的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x （s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5．（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y＝3时相应x的值；（2）记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1﹣S2是常数；（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．10．已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．（1）如图①，当PA的长度等于时，∠PAD＝60°；当PA的长度等于时，△PAD是等腰三角形；（2）如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．设P 点坐标为（a，b），试求2S1S3﹣S22的最大值，并求出此时a、b的值．11.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于A、B两点．直线OD⊥直线AB于点D．现有一点P从点D出发，沿线段DO向点O运动，另一点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到O时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）点A的坐标为；线段OD的长为．（2）设△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系（不要求写出取值范围），并确定t 为何值时S的值最大？（3）是否存在某一时刻t，使得△OPQ为等腰三角形？若存在，写出所有满足条件的t的值；若不存在，则说明理由．12.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（）A．18B．C．D．13.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=．14.如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC 交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF=，则CE=．15.如图，在一块直角三角板ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将另一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若△CEF与△DEF相似，则AD=．16.如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）A．B．C．D．17.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3B．1：4C．1：5D．1：2518.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM=AB．若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是．19.如图，AC⊥BC，AC=BC，D是BC上一点，连接AD，与∠ACB的平分线交于点E，连接BE．若S△ACE=，S△BDE=，则AC=．。

2018中考数学知识点：相似三角形
新一轮中考复习备考周期正式开始，为各位初三考生整理了各学科的复习攻略，主要包括中考必考点、中考常考知识点、各科复习方法、考试答题技巧等内容，帮助各位考生梳理知识脉络，理清做题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩！
相似三角形
所谓的相似三角形,就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似三角形。

三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形的判定方法有：。

2018中考数学相似三角形课时练一．选择题1．（2018•重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．720元C．1080元D．2160元2．（2018•铜仁市）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（）A．32 B．8 C．4 D．163．（2018•临安区）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．4．（2018•崇明县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：15．（2018•随州）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A．1 B．C． 1 D．6．（2018•哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．=B．=C．=D．=7．（2018•扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①②D．②③8．（2018•孝感）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD 交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．29.（2018•泸州）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（）A．B．C．D．10．（2018•恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG 并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．1211．（2018•达州）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为（）A．B．C．D．112．（2018•南充）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF．下列结论正确的是（）A．CE=B．EF=C．cos∠CEP=D．HF2=EF•CF二．填空题13．（2018•北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．14．（2018•包头）如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB=1，则S△ADF的值相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF为．三．解答题15．（2018•株洲）如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB 和AD，其中AM=AN．（1）求证：Rt△ABM≌Rt△AND；（2）线段MN与线段AD相交于T，若AT=，求tan∠ABM的值．16．（2018•江西）如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．17．（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如课=．求证：EF=EP．18．（2018•杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB 于点E．（1）求证：△BDE∽△CAD．（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长．19．（2018•陕西）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．20．（2018•济宁）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．21．（2018•聊城）如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．（1）求证：AE=BF．（2）若正方形边长是5，BE=2，求AF的长．答案提示1．【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．【解答】解：3m×2m=6m2，∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080m2，故选：C．2．【分析】由△ABC∽△DEF，相似比为2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得△ABC与△DEF的面积比为4，又由△ABC的面积为16，即可求得△DEF的面积．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，∴△ABC与△DEF的面积比为4，∵△ABC的面积为16，∴△DEF的面积为：16×=4．故选：C．3．【分析】根据正方形的性质求出∠ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可．【解答】解：由正方形的性质可知，∠ACB=180°﹣45°=135°，A、C、D图形中的钝角都不等于135°，由勾股定理得，BC=，AC=2，对应的图形B中的边长分别为1和，∵=，∴图B中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，故选：B4．【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE ：S△BFA=9：16．故选：B．5．【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S△ADE=S 四边形BCED，可得出=，结合BD=AB﹣AD即可求出的值，此题得解．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴（）2=．∵S△ADE =S四边形BCED，∴=，∴===﹣1．故选：C．6．【分析】由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA，根据相似三角形的性质即可找出==，此题得解．【解答】解：∵GE∥BD，GF∥AC，∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，∴=，=，∴==．故选：D．7．【分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP•MD=MA•ME所以②正确∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC=AB∴2CB2=CP•CM所以③正确故选：A．8．【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得=，从而得出a与x的关系即可判断．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，∴∠ADC=15°，故①正确；∵AE⊥BD，即∠AED=90°，∴∠DAE=45°，∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°，∴∠AGF=75°，由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误；记AH与CD的交点为P，由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，则∠BAH=∠ADC=15°，在△ADF和△BAH中，∵，∴△ADF≌△BAH（ASA），∴DF=AH，故③正确；∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，∴△AFG∽△CBG，故④正确；在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，∵△ADF≌△BAH，∴BH=AF=2x，△ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°，∴BE=AE=AF+EF=a+2x，∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a，∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE，∴△PAF∽△EAH，∴=，即=，整理，得：2x2=（﹣1）ax，由x≠0得2x=（﹣1）a，即AF=（﹣1）EF，故⑤正确；故选：B．9．【分析】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；【解答】解：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是解析式，∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=a，∴FM=a，∵AE∥FM，∴===，故选：C．10．【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG ∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．10．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故选：D．11．【分析】首先证明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GH∥AC，推出△BGH∽△BAC，可得==（）2=（）2=，=，由此即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，DC=AB，∵AC=CA，∴△ADC≌△CBA，∴S△ADC =S△ABC，∵AE=CF=AC，AG∥CD，CH∥AD，∴AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，∴AG：AB=CH：BC=1：3，∴GH∥AC，∴△BGH∽△BAC，∴==（）2=（）2=，∵=，∴=×=，故选：C．12．【分析】首先证明BH=AH，推出EG=BG，推出CE=CB，再证明△CEH≌△CBH，Rt△HFE≌Rt△HFA，利用全等三角形的性质即可一一判断．【解答】解：连接EH．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AB═BC=AD=2，CD∥AB，∵BE⊥AP，CH⊥BE，∴CH∥PA，∴四边形CPAH是平行四边形，∴CP=AH，∵CP=PD=1，∴AH=PC=1，∴AH=BH，在Rt△ABE中，∵AH=HB，∴EH=HB，∵HC⊥BE，∴BG=EG，∴CB=CE=2，故选项A错误，∵CH=CH，CB=CE，HB=HE，∴△ABC≌△CEH，∴∠CBH=∠CEH=90°，∵HF=HF，HE=HA，∴Rt△HFE≌Rt△HFA，∴AF=EF，设EF=AF=x，在Rt△CDF中，有22+（2﹣x）2=（2+x）2，∴x=，∴EF=，故B错误，∵PA∥CH，∴∠CEP=∠ECH=∠BCH，∴cos∠CEP=cos∠BCH==，故C错误．∵HF=，EF=，FC=∴HF2=EF•FC，故D正确，故选：D．13．【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE=∠FCD，结合∠AFE=∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出==2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF=•AC，即可求出CF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠FAE=∠FCD，又∵∠AFE=∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴==2．∵AC==5，∴CF=•AC=×5=．故答案为：．14．【分析】由3AE=2EB可设AE=2a、BE=3a，根据EF∥BC得=（）2=，结合S△AEF =1知S△ADC=S△ABC=，再由==知=，继而根据S△ADF=S△ADC可得答案．【解答】解：∵3AE=2EB，∴可设AE=2a、BE=3a，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴=（）2=（）2=，=1，∵S△AEF=，∴S△ABC∵四边形ABCD是平行四边形，=S△ABC=，∴S△ADC∵EF∥BC，∴===，∴==，=S△ADC=×=，∴S△ADF故答案为：．15．【分析】（1）利用HL证明即可；（2）想办法证明△DNT∽△AMT，可得由AT=，推出，在Rt △ABM中，tan∠ABM=．【解答】解：（1）∵AD=AB，AM=AN，∠AMB=∠AND=90°∴Rt△ABM≌Rt△AND（HL）．（2）由Rt△ABM≌Rt△AND易得：∠DAN=∠BAM，DN=BM∵∠BAM+∠DAM=90°；∠DAN+∠ADN=90°∴∠DAM=∠AND∴ND∥AM∴△DNT∽△AMT∴∵AT=，∴∵Rt△ABM∴tan∠ABM=．16．【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD，求出BC=CD=4，证△AEB∽△CED，得出比例式，求出AE=2CE，即可得出答案．【解答】解：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠D=∠ABD，∴∠D=∠CBD，∴BC=CD，∵BC=4，∴CD=4，∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴=，∴=，∴AE=2CE，∵AC=6=AE+CE，∴AE=4．17．【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用=和AF=BE得到=，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE；（2）如图，∵=，而AF=BE，∴=，∴=，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．18．【分析】（1）想办法证明∠B=∠C，∠DEB=∠ADC=90°即可解决问题；（2）利用面积法：•AD•BD=•AB•DE求解即可；【解答】解：（1）∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠B=∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB=∠ADC，∴△BDE∽△CAD．（2）∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD===12，∵•AD•BD=•AB•DE，∴DE=．19．【分析】由BC∥DE，可得=，构建方程即可解决问题．【解答】解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴=，∴=，∴AB=17（m），经检验：AB=17是分式方程的解，答：河宽AB的长为17米．20．【分析】（1）结论：CF=2DG．只要证明△DEG∽△CDF即可；（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC 的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK；【解答】解：（1）结论：CF=2DG．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴==，∴CF=2DG．（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC 的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==，∴EH=2DH=2，∴HM==2，∴DM=CN=NK==1，在Rt△DCK中，DK===2，∴△PCD的周长的最小值为10+2．21．【分析】（1）根据ASA证明△ABE≌△BCF，可得结论；（2）根据（1）得：△ABE≌△BCF，则CF=BE=2，最后利用勾股定理可得AF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵BH⊥AE，∴∠BHE=90°，∴∠AEB+∠EBH=90°，∴∠BAE=∠EBH，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：∵AB=BC=5，由（1）得：△ABE≌△BCF，∴CF=BE=2，∴DF=5﹣2=3，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=5，∠ADF=90°，由勾股定理得：AF====．。