专题一 第三讲 二次函数、指数函数、对数函数

一次函数、二次函数、指数函数、对数函数一、一次函数函数(0)y ax b a =+≠叫做一次函数，当a>0时，该函数是增函数，当a<0时，该函数是减函数。

由于函数是单调函数，故其在闭区间上的最大、小值一定在端点取得。

故若函数f(x)=ax+b 在[,]x p q ∈时恒为正（负），则在p 、q 处的函数值满足:f(p)、f(q)恒为正（负）；若函数f(x)=ax+b 在[,]x p q ∈上与x 轴有交点，则在p 、q 出的函数值满足f(p)、f(q)一正一负。

二、二次函数1、 一元二次函数的定义:形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数叫做一元二次函数。

2、二次函数的三种表示形式：（1） 一般式：2(0)y ax bx c a =++≠ （2） 顶点式: 2()y a x k h =++ （3） 零点式: 12()()y a x x x x h =+++ 3、 一元二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的性质（1） 定义域为R ，当a>0时，值域为 244(,)a c ba-+∞； 当a<0是，值域为 244(,)a c ba--∞ （2） 图像为抛物线，其对称轴方程为2b a -，顶点为：2424(,)b ac ba a --；（3） 当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下； （4） 当a>0时，在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，当a<0时，在区间 上是增函数，在区间 上是减函数（5） 当 时，该函数是偶函数，当 时，该函数是非奇非偶函数。

4、 一元二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[p,q]（p<q ）上的最值问题（以a>0为例）（1）若2b a q ≤-, 则该函数的最大值为 最小值为 （2）若22p q b a q +≤- ， 则该函数的最大值为 最小值为（3）若22p q b a p +≤-，则该函数的最大值为 最小值为（4）若2b a p - ， 则该函数的最大值为 最小值为 解决这种问题不能死记，应利用数形结合的方法来记忆，也就是抓住“三点一轴”（三点是指区间的端点和区间的中点，一轴是指对称轴。

指数与对数函数幂函数知识点总结指数函数、对数函数和幂函数是高中数学中的重要内容，是数学中常见的数学函数类型。

下面将对这三种函数进行详细介绍和总结。

1.指数函数指数函数是以底数为常数，指数为自变量的函数。

通常表示为f(x)=a^x，其中a>0且不等于1、指数函数的特点有：-当a>1时，函数为增函数，曲线向上开口。

-当0<a<1时，函数为减函数，曲线向下开口。

-当x=0时，f(0)=1，即指数为0时，函数值等于1-当x为正无穷大时，函数趋于正无穷大；当x为负无穷大时，函数趋于0。

指数函数的应用广泛，例如在金融领域中的复利计算、生物学中的生长模型、物理学中的放射性衰变等都可以使用指数函数模型来描述。

2.对数函数对数函数是指输出的指数与给定的底数相等的函数，常用的对数函数有以e为底的自然对数函数ln(x)和以10为底的通用对数函数log(x)。

对数函数的特点有：-对数函数的定义域为正实数。

- 对数函数的基本性质是函数值等于对应的指数值，即log_a(a^x) = x。

- 自然对数函数ln(x)与指数函数e^x互为反函数。

-对数函数可以帮助解决指数方程和指数不等式等问题。

对数函数在数学中广泛应用，例如在科学计算、数据压缩、信号传输和信息论等领域都有应用。

3.幂函数幂函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a是常数且大于0。

幂函数的特点有：-当a>1时，函数为增函数，曲线向上开口。

-当0<a<1时，函数为减函数，曲线向下开口。

-当x=0时，f(0)=1，即幂为0时，函数值等于1-当x为正无穷大时，函数趋于正无穷大；当x为负无穷大时，函数趋于0。

幂函数与指数函数相似，但是幂函数的底数是常数。

幂函数在自然科学领域中经常出现，例如在物理学中的速度、加速度和质量等计算中经常使用幂函数模型。

指数函数、对数函数和幂函数是数学中的基本函数类型，它们在实际问题中有着广泛的应用。

在学习指数函数、对数函数和幂函数时，需要熟练掌握其定义、性质和应用。

题目 高中数学复习专题讲座二次函数、指数函数、对数函数、幂函数课程标准：（二）函数概念与基本初等函数Ⅰ1．指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景.(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义,掌握有理指数幂的运算.(3)理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点；会画底数为2、3、10、12、13的指数函数的图象.(4)体会指数函数是一类重要的函数模型.2. 对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2、3、10、12、13的对数函数的图象.(3)体会对数函数是一类重要的函数模型.(4)了解指数函数 xy a =（a > 0,且 a≠1） 与对数函数log a y x = （a > 0,且a ≠1）互为反函数. 3. 幂函数(1)了解幂函数的概念.(2)结合函数y=x ,y=x 2,y=x 3, 121,y y x x== 的图象，了解它们的变化情况.5．函数与方程（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性与根的个数.（2）根据具体函数的图象，能够借助计算器运用二分法求方程的近似解. （十三）不等式1．不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式（组）的实际背景. 2．一元二次不等式（1）会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. （3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式会设计求解的程序框图.典型题例示范讲解例1已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 和一次函数g (x )=－bx ，其中a 、b 、c 满足a >b >c ,a +b +c =0,(a ,b ,c ∈R ) (1)求证两函数的图象交于不同的两点A 、B ；(2)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围解： (1)证明由⎩⎨⎧-=++=bxy cbx ax y 2消去y 得ax 2+2bx +c =0Δ=4b 2－4ac =4(－a －c )2－4ac =4(a 2+ac +c 2)=4［(a +43)22+c c 2］∵a +b +c =0,a >b >c ,∴a >0,c <0，∴43c 2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点(2)解设方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1和x 2,则x 1+x 2=－ab 2,x 1x 2|A 1B 1|2=(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4x 1x 22222224444()4()b c b aca c acaaaa----=--==22134[()1]4[()]24c c c a a a =++=++∵a >b >c ,a +b +c =0,a >0,c <0，∴a >－a －c >c ,解得ac ∈(－2,－21)∵]1)[(4)(2++=ac acacf 的对称轴方程是1-=ac c∈(－2,－21)时，为减函数∴|A 1B 1|2∈(3,12),故|A 1B 1|∈(32,3)点评：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力解答本题的关键点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合例2已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为（1，3）. （1）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （2）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围.解：（1）()20f x x +>Q 的解集为(1,3).()2(1)(3),0.f x x a x x a +=--<且 ∴.3)42(2)3)(1()(2a x a ax x x x a x f ++-=---=…………① 由方程.09)42(06)(2=++-=+a x a ax a x f 得……………… ② 因为方程②有两个相等的根，所以094)]42([2=⋅-+-=∆a a a ， 即 .511.01452-===--a a a a 或解得由于51.1,0-==<a a a 将舍去代入①得)(x f 的解析式.535651)(2---=x x x f（2）由aa a a a x a a x a ax x f 14)21(3)21(2)(222++-+-=++-=及.14)(,02aa a x f a ++-<的最大值为可得由⎪⎩⎪⎨⎧<>++-,0,0142a a a a 解得 .03232<<+---<a a 或故当)(x f 的最大值为正数时，实数a 的取值范围是).0,32()32,(+----∞点评：本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.例3. 已知函数)(x f y =的图象与函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称，记]1)2(2)()[()(-+=f x f x f x g ．若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．),2[+∞B ．)2,1()1,0(C ．)1,21[ D ．]21,0(解析：已知函数)(x f y =的图象与函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称,则()log a f x x =，记()()[()(2)1]g x f x f x f =+-=2(log )(log 21)log a a a x x +-．（1）当a >1时，若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，lo g a y x =为增函数，令log a t x =，t ∈[1log 2a, lo g 2a ]，要求对称轴log 211log 22a a--≤，矛盾；（2）当0<a <1时，若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，log a y x =为减函数，令log a t x =，t ∈[log 2a ,1log 2a]，要求对称轴log 211log 22a a--≥，解得12a ≤,所以实数a 的取值范围是]21,0(,选D.点评：.例4 已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图像交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图像交于C 、D 两点(1)证明 点C 、D 和原点O 在同一条直线上；(2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标(1)证明 设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,由题意知 x 1>1,x 2>1,则A 、B 纵坐标分别为log 8x 1,log 8x 2 因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =,点C 、D 坐标分别为(x 1,log 2x 1),(x 2,log 2x 2),由于log 2x 1=2log log 818x ===2log log log ,log 38282218x x x 3log 8x 2,所以OC 的斜率 k 1=118212log 3log x x x x =, OD 的斜率 k 2=228222log 3logx x x x =，由此可知 k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一条直线上(2)解 由BC 平行于x 轴知 log 2x 1=log 8x 2即 log 2x 1=31log 2x 2,代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2得x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1>1知log 8x 1≠0,∴x 13=3x 1 又x 1>1,∴x 1=3,则点A 的坐标为(3，log 83)点评：(1)证明三点共线的方法 k OC =k OD (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A 点坐标学生巩固练习1．若函数()()2122+-+=x a x x f 在区间 ()4，∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是( B )A ．a ≥3B ． a ≤-3C ． a ≥-3D ． a ≤52．将函数253212++=x x y 的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得函数的解析式为( C )A ．()15212-+=x yB ． ()51212-+=x y C ． ()11212++=x y D ．()1521-+=x y 3．二次函数()c bx ax x f ++=2中，a >0且a ≠1，对任意x R ∈，都有()()x f x f -=+21，设()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==a f n a f m aa1log 3log，，则（ B ）A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．m n 、的大小关系不确定4 若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A (－∞,2]B [－2,2]C (－2,2]D (－∞,－2)解析 当a －2=0即a =2时,不等式为－4＜0,恒成立∴a =2,当a －2≠0时，则a 满足⎩⎨⎧<∆<-002a ,解得－2＜a ＜2,所以a 的范围是－2＜a ≤2答案 C5 设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m －1)的值为( )A 正数B 负数C 非负数D 正数、负数和零都有可能解析∵f (x )=x 2－x +a 的对称轴为x =21,且f (1)>0,则f (0)>0,而f (m )＜0,∴m ∈(0,1),∴m －1＜0,∴f (m －1)>0 答案A6 当a >1时，函数y =log a x 和y =(1－a )x 的图像只可能是( )解析 当a >1时，函数y =log a x 的图像只能在A 和B 中选，又a >1时，y =(1－a )x 为减函数 答案 B7． 设137x=，则( )（A ）-2<x<-1 （B ）-3<x<-2 （C ）-1<x<0 （D ）0<x<1解析211111,373973---<<\<<Q答案 A8．已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则( )A ．()22()xf x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => C ．()22()xf x e x R =∈ D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+>解：函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，所以()f x 是x y e =的反函数，即()f x =ln x ，∴ ()2ln 2ln ln 2(0)f x x x x ==+>，选D.9.函数)(x f ＝xa （a ＞0，且a ≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则a =( ) (A) 2=a (B)12=a (C) 4=a (D) 14=a解析：由互为反函数关系知，)(x f 过点(1,2)-，代入得：1122a a -=⇒=；故选择B .10．把函数e xy =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ C ）A ．3e2x -+ B ．3e2x +- C ．2e3x -+ D ．2e3x +-11．若函数3()()f x x x =∈R ，则函数()y f x =-在其定义域上是（ B ） A ．单调递减的偶函数 B ．单调递减的奇函数 C ．单调递增的偶函数 D ．单调递增的奇函数12.设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ） Ａ．R Q P <<Ｂ．P R Q <<Ｃ．Q R P <<Ｄ．R P Q <<解析：2323log 31,0log 21,log (log 2)0,P Q R =><=<=< 则R Q P <<，选A.13.已知0loglog,10<<<<n m a aa，则( )(A)1＜n ＜m (B) 1＜m ＜n (C)m ＜n ＜1 (D) n ＜m ＜1 解析：由10<<a 知函数()x x f a log =为减函数， 由0loglog<<n m aa得1>>n m ，故选择A.14.设12log 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则（ A ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<15. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数y x a =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（ A ）A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,316.设1a >，函数()lo g a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a =（ A ） A．B ．2 C． D ．417. 若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则( C) (A)a<b<c (B)c<b<a (C)c<a<b (D)b<a<c18.设a ＞1,且2log (1)log (1)log (2)a a a m a n a p a =+=-=，，,则p n m ,,的大小关系为( B )(A) n ＞m ＞p(B) m ＞p ＞n (C) m ＞n ＞p(D) p ＞m ＞n19．设a b c ，，均为正数，且122log a a =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则( )A.c b a <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b <<解析: 因为a b c ，，均为正数，所以12121log 1;2aa a >⇒>⇒<1211010log 1122bb b ⎛⎫<<⇒<<⇒<< ⎪⎝⎭；21010log 1122c c c ⎛⎫<<⇒<<⇒<< ⎪⎝⎭，故选A20. 在x y x y x y y x2cos ,,log,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是（ B ）A ．0B ．1C ．2D ．321. 函数2()cos 3cos 2f x x x =-+的最小值为 ．（答案：0） 22．指数函数xa y )1(2-=在R 上是减函数.则实数a 的取值范围是[1]--U .23．若0a >，2349a =，则14log a = ．324．函数1(1)xy a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0m x n ym n +-=>上，则11mn+的最小值为 4 ．25．设函数1()f x =21323()()x f x x f x x -==，，，则123(((2007)))f f f =12007．26. 2()21f x x ax a =-++-在[01]，上有最大值2，则a 的值为 ． 解：22()()1f x x a a a =--+-+．（1）当0a <时，max ()(0)2f x f ==，得1a =-．（2）当01a ≤≤时，m ax ()()2f x f a ==，解得[01]2a =，，故该方程在[01]，上无解．（3）当1a >时，max ()(1)2f x f ==，得2a =． 综上：1a =-或2a =．。

指数函数与对数函数知识点总结指数函数与对数函数是高中数学中的重要内容，也是应用数学中常见的数学模型。

指数函数与对数函数既有相似之处又有一些不同点，下面是对这两个函数的一些基本特点进行总结。

一、指数函数指数函数的定义形式为：y=a^x，其中a为底数，x为指数，a>0，且a≠1。

1. 基本性质：（1）当a>1时，指数函数是增函数；当0<a<1时，指数函数是减函数。

（2）当x>0时，指数函数是正值函数；当x<0时，指数函数是正值函数。

（3）当x=0时，指数函数的值为1。

（4）当x为无穷大时，指数函数可能趋于无穷大或者趋于0。

2. 反函数：指数函数的反函数称为对数函数，记作y=logₐx，其中a为底数，x为真数，a>0，且a≠1。

3. 基本性质：（1）对数函数y=logₐx是定义在（0，+∞）上的减函数。

（2）当x=1时，对数函数的值为0。

（3）当x>1时，对数函数是正值函数；当0<x<1时，对数函数是负值函数。

（4）当x趋近于0时，对数函数趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，对数函数趋近于无穷大。

4. 常用公式：（1）换底公式：logₐb=logₐc·log_cb，可用于将对数函数的底数换成我们熟悉的底数，如换底公式常用来求解以10为底和以e为底的对数函数。

（2）指数函数的复合函数性质：如果f(x)是指数函数y=a^x，g(x)是一个函数，那么(f°g)(x)=a^(g(x))。

二、对数函数对数函数是指数函数的反函数，对数函数的定义形式为：y=logₐx，其中a为底数，x为真数，a>0，且a≠1。

1. 基本性质：（1）对数函数y=logₐx是定义在（0，+∞）上的减函数。

（2）当x=1时，对数函数的值为0。

（3）当x>1时，对数函数是正值函数；当0<x<1时，对数函数是负值函数。

（4）当x趋近于0时，对数函数趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，对数函数趋近于无穷大。

指数与对数函数知识点小结在数学的世界里，指数函数和对数函数是非常重要的两类函数，它们在数学的各个领域以及实际生活中都有着广泛的应用。

下面让我们一起来梳理一下这两个函数的相关知识点。

一、指数函数指数函数的一般形式为\（y ＝ a^x\）（＼（a ＞ 0\）且\（a ≠ 1\）），其中\（a\）被称为底数，＼（x\）是自变量，＼（y\）是因变量。

1、定义域指数函数的定义域是\（R\），也就是全体实数。

2、值域当\（a ＞ 1\）时，值域为\（（0, ＋∞）＼）；当\（0 ＜ a ＜ 1\）时，值域同样为\（（0, ＋∞）＼）。

3、单调性当\（a ＞ 1\）时，函数在\（R\）上单调递增；当\（0 ＜ a ＜ 1\）时，函数在\（R\）上单调递减。

4、图像特点（1）当\（a ＞ 1\）时，指数函数的图像是上升的，且过点\（（0, 1)＼）。

（2）当\（0 ＜ a ＜ 1\）时，指数函数的图像是下降的，同样过点\（（0, 1)＼）。

5、指数运算性质（1）＼（a^m × a^n ＝ a^｛m ＋ n}＼）（2）＼（（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＼）（3）＼（（ab)＾n ＝ a^n b^n\）6、指数函数的应用（1）在经济领域，常常用于计算复利。

（2）在生物学中，可以描述细胞的分裂增长等现象。

二、对数函数对数函数是指数函数的反函数，一般形式为\（y ＝ log_a x\）（＼（a ＞ 0\）且\（a ≠ 1\））。

1、定义域当\（a ＞ 1\）时，定义域为\（（0, ＋∞）＼）；当\（0 ＜ a ＜ 1\）时，定义域也是\（（0, ＋∞）＼）。

2、值域对数函数的值域是\（R\），即全体实数。

3、单调性当\（a ＞ 1\）时，函数在\（（0, ＋∞）＼）上单调递增；当\（0 ＜a ＜ 1\）时，函数在\（（0, ＋∞）＼）上单调递减。

4、图像特点（1）对数函数的图像都过点\（（1, 0)＼）。

（2）当\（a ＞ 1\）时，图像在\（（0, ＋∞）＼）上是上升的；当\（0 ＜ a ＜ 1\）时，图像在\（（0, ＋∞）＼）上是下降的。

精选文档指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质理解有理数指数幂的含义，掌握幂的运算；理解指数函数的观点，理解指数函数的单一性，掌握指数函数图象经过的特别点；理解对数的观点及其运算性质，理解对数函数的观点，理解对数函数的单一性，掌握对数函数图象经过的特别点。

认识指目标数函数y=a x与对数函数ylog a x 互为反函数〔a0,且a1〕。

认识幂函数的概11念。

联合函数y=x ，y=x 2，y=x 3，y ，y x 2的图象，认识它们的变化状况。

x要点指数、对数的运算性质；指数函数、对数函数的图像与性质的综合应用；幂函数图像的应用。

难点 指数函数、对数函数的图像与性质的综合应用，幂函数图像的应用。

方法建议第一回首指数、对数的运算性质；指数函数、对数函数的图像与性质等根底知识。

再经过经典例题的解析，帮助学生理解根底知识，加深对知识的认识和记忆。

再通过精题精练，使学生形成能力。

在例题和习题的选择上能够依据学生的实质状况进 行。

讲堂精讲例题 搭配讲堂训练题 课后作业程度及数目A 类 〔4 〕道 〔4 〕道 〔11 〕道B 类 〔3 〕道 〔3 〕道 〔10 〕道C 类 〔0〕道 〔0〕道 〔0〕道理解有理数指数幂的含义，掌握幂的运算；理解指数函数的观点，理解指数函数的单一性，掌握指数函数图象经过的特别点。

理解对数的观点及其运算性质。

理解对数函数的观点， 理解对数函数的单一性，掌握对数函数图象经过的特别点。

认识指数函数 y=a x 与对数函数y log a x 互为反函数〔 a 0,且a 1〕。

认识幂函数的观点。

联合函数 y=x ，y=x 2，y=x 3，1y1，yx 2的图象，认识它们的变化状况。

指数函数、对数函数在高中数学中据有十x分重要的地位，是高考要点考察的对象， 热门是指数函数、 对数函数的图象与性质的综合应用．同时考察分类议论思想和数形联合思想；多以选择、填空题的形式出现，有时会与其余知识联合在知识交汇点处命题。

高三数学二次函数、函数的图像、指数、对数方程知识精讲一. 本周教学内容：二次函数、函数的图像、指数、对数方程（一）基本知识 1. 二次函数（1）定义：形如y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数。

（2）图像：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像是以直线x ba=-2为对称轴的抛物线，其开口方向由a 的符号确定，顶点坐标为()--b a ac b a2442，。

（）性质：单调性，以顶点横坐标为分界线，即分为和，，322(][)-∞--+∞b a ba（4）解析式：一般式：f x ax bx c a ()()=++≠20 顶点式：f x a x k h a ()()()=++≠20 零点式：f x a x x x x a ()()()()=--≠120 求解析式一般用待定系数法。

（5）二次函数的应用 有关二次函数图像的应用：1° 利用二次函数图像解一元二次方程； 2° 利用二次函数图像解一元二次不等式；3° 利用二次函数图像讨论，一元二次方程根的分布：如下表（设f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a>0)）二次函数在闭区间上的最值设，，f x ax bx c a x m n ()()[]=++≠∈20 当，x bam n =-∈2[]时，f(x)在顶点处取得一个最值，另一个在区间端点处取得；当x bam n =-∉2[]，时，f(x)的最大值和最小值分别为f(m)，f(n)或f(n)，f(m)。

2. 函数的图像（1）画函数图像的方法： 描点法：利用函数性质画图像； 利用图像变换和坐标平移变换。

（2）能熟练地画出基本函数的图像：如：一次函数、二次函数、幂、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等，通过这些图像的变换组合可得复杂函数的图像。

（3）画函数图像的一般步骤： 1° 确定函数解析式；2° 化简函数解析式；3° 讨论函数图像的性质（定义域、值域、截距、奇偶性、单调性、渐近线、图像上的特殊点）。

指数函数与对数函数知识点总结一、指数函数的定义与性质1. 定义指数函数是以底数a（a>0且a≠1）为底的函数，一般表示为y=a^x，其中a是底数，x是指数，y是函数值。

2. 性质⑴当a>1时，指数函数是递增函数，图像上开；当0<a<1时，指数函数是递减函数，图像下降。

⑵当x=0时，a^0=1。

⑶当a>1时，随着x的增大，函数值y=a^x也会增大；当0<a<1时，随着x的增大，函数值y=a^x会减小。

3. 图像当底数a>1时，指数函数的图像是递增的曲线，图像上翘；当0<a<1时，指数函数的图像是递减的曲线，图像下降。

4. 应用指数函数在科学计算、生物增长、财经复利、工程技术等领域都有着重要的应用。

例如在计算机科学中，指数函数常用于指数衰减算法、指数增长算法等；在生物学中，指数函数常用于描述生物的增长规律；在金融领域中，指数函数用以描述利息的复利增长等。

二、对数函数的定义与性质1. 定义对数函数是指数函数的逆运算，一般表示为y=log_a(x)，其中a是底数，x是真数，y是对数。

2. 性质⑴对数函数的定义域为x>0，值域为实数集。

⑵对数函数的图像是单调递增的曲线，在0处没有定义。

⑶特殊情况下，当底数a=10时，我们称为常用对数函数，一般表示为y=log(x)；当底数a=e时，我们称为自然对数函数，一般表示为y=ln(x)。

3. 图像对数函数的图像是单调递增的曲线，图像在x轴的右侧。

4. 应用对数函数在科学计算、信息论、统计学、工程技术等领域都有着广泛应用。

例如在信息论中，对数函数用于计算信息量、信息熵等；在统计学中，对数函数用于描述正态分布、伯努利分布等；在工程技术中，对数函数用于解决指数增长问题、指数衰减问题等。

三、指数函数与对数函数的关系1. 反函数关系指数函数与对数函数是一对反函数，它们的定义域和值域互为对方的值域和定义域。

具体而言，对数函数y=log_a(x)中，x=a^y。

2019年暑期高一课程大纲
高一课程大纲高中角度-黄金四讲
第一讲：一次函数（解析式，图像性质及应用）；
第二讲：二次函数（解析式，图像性质，二次拓展，三次函数）；第三讲：反比例（幂）函数（解析式，图像性质及应用）
第四讲：函数与方程（三个二次，函数综合，解不等式）高一衔接课程
专题一因式分解
专题二指数运算
专题三方程与方程组
专题四函数
专题五不等式
专题六集合及其表示
专题七集合的运算
专题八集合复习课
专题九函数的概念
专题十函数的单调性（1）
专题十一函数的单调性（2）
专题十二函数的值域
专题十三函数的奇偶性（1）
专题十四函数的奇偶性（2）
专题十五函数性质复习课
专题十六指数函数
专题十七函数的图象
专题十八函数与方程
专题十九一元二次方程根的分布专题二十测试与评讲
高一拓展课程
第一讲集合拓展（1）
第二讲集合拓展（2）
第三讲函数值域问题
第四讲函数三要素（1）
第五讲函数三要素（2）
第六讲函数性质（1）
第七讲函数性质（2）
第八讲函数性质综合
第九讲函数图像变换（1）
第十讲函数图像变换（2）
第十一讲函数与方程（1）
第十二讲函数与方程（2）。

指数函数与对数函数知识点总结
指数函数知识点：
定义：对于任意实数x和正数a（a≠1），函数y=a^x称为指数函数。

性质：指数函数的图象总是通过点(0,1)。

指数函数在其定义域内是单调的。

当a>1时，函数是增函数；当0<a<1时，函数是减函数。

指数函数的值域是(0, +∞)。

指数函数的导数：如果y=a^x，则
y'=a^x * lna（a>0，a≠1）。

对数函数知识点：
定义：如果a^x=N（a>0，a≠1），则称x为以a为底N的对数，记作x=log_aN。

性质：对数的定义域是正数集，值域是实数集。

以a 为底的对数，a>0且a≠1。

对数的换底公式：log_bN = log_aN /
log_aA。

对数的运算性质：log_a(MN) = log_aM + log_aN；
log_a(M/N) = log_aM - log_aN；log_aM^n = n * log_aM。

对数函数的导数：如果y=log_ax，则y'=1/(x * lna)（a>0，a≠1）。

指数函数与对数函数之间的关系：
指数函数和对数函数是互为反函数的关系，即如果y=a^x，则
x=log_ay。

指数函数与对数函数之间可以通过换底公式相互转换。

这些是指数函数与对数函数的一些基本知识点，掌握这些知识点对于理解它们在数学中的应用非常有帮助。

一、基础知识复习：（一）一次函数：1、函数叫做一次函数（也叫线性函数），k叫做，b叫做2、一次函数的图像和性质（二）二次函数：1、函数叫做二次函数，定义域为2、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：（2）顶点式：（3）两根式：3、研究二次函数的基本方法——配方法、数形结合（图像）4、二次函数的图像和性质（三）函数零点：1、零点：如果函数()y f x=在实数α处的值，即，则叫做这个函数的零点2、函数的零点就是函数图像，也就是方程()0f x=的，求函数()f x的零点即求3、根的存在性定理：函数()y f x=在一个区间[a,b]上的图像连续不断，若()()0f a f b<，则在区间[a,b]上，存在一点，使说明：①该定理只能判断变号零点的存在，不能确定零点的个数，也无法判断不变号零点的情况②若函数()f x在区间[a,b]内单调，且()()0f a f b<，则函数在[a,b]内4、二分法求函数的零点（变号零点）：二分法的基本步骤：第一步：确定定义域的一个子区间[,]a b,验证: ，给定精确度第二步：取区间(,)a b的中点x0= ，计算判断：（1）如果，则x0就是函数的零点，计算终止；（2）如果，令b=，则零点位于区间中，（3）如果，令a=，则零点位于区间中，第三步：判断是否达到精确度，即区间端点的近似值按照给定精确度相同时，得到近似零点，计算终止，否则重复第二步。

（四）指数运算1、根式的性质：___(1,)n n N+=>∈且⎧=⎨⎩____,当n为奇数时____,当n为偶数时2、0a= （）na-= （）mna= = (0,,,ma m n Nn+>∈且为既约分数）（分数指数幂与根式互化）3、有理指数幂的运算性质：设0,0,,a bαβ>>为有理数⑴a aαβ= ⑵()aαβ= ⑶()abα=注意：指数运算最重要的是“同底运算”（五）指数函数1、定义：一般地，形如的函数叫做指数函数。

一、知识点1.二次函数的图像及性质（重点）2.指数函数的图像及性质3.对数函数的图像及性质（重点及难点）4.简单复合函数问题（初步掌握） 二．典型例题1．二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为（1，3）.（1）若方程()60f x a +=有两个相等的根，求()f x 的解析式；1. 已知二（2）若()f x 的最大值为正数，求a 的取值范围.2. 已知函数()(0x k f x a a +=>且1a ≠）的图象过点（1-，1），其反函数1()f x -的图象过点（8，2）.（1）求a ，k 的值；（2）若将1()y f x -=的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，就得到函数()y g x =的图象，写出函数()y g x =的解析式； （3）若函数21()()()F x g x f x -=-，求()F x 的最小值及取得最小值时x的值.3. 求实数m 的取值范围，使关于x 的方程22(1)260x m x m +-++=有两个实数根，且分别满足：（1）一个根比2大，另一个根比2小；4. （1）已知函数22()()x x y e a e a -=-+-（a R ∈，且0a ≠），求y 的最小值.（2）求函数()sin cos sin cos f x x x x x =++的值域.5．. 已知函数311()()12x f x x a =+⋅-（0a >且1a ≠）. （1）求函数()f x 的定义域； （2）讨论函数()f x 的奇偶性；（3）求a 的取值范围，使()0f x >在定义域上恒成立.6． 已知函数2()log (1)f x x =+，将()y f x =的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象.（1）求()y g x =的解析式及定义域； （2）求函数()()()F x f x g x =-的最大值. 三课后练习1. 22(12)y x x x =-≤≤的反函数是（ ） A. 211(11)y x x =+--≤≤ B. 211(01)y x x =+-≤≤C. 211(11)y x x =---≤≤D. 211(01)y x x =--≤≤2. 设()log (0,1)a f x x a a =>≠满足(9)2f =，则19(log 2)f -等于（ ）A. 3log 2B.22C. 2D. 2.3 函数()3(02)x f x x =<≤的反函数的定义域是（ ）A.（0，+∞）B.（1，9]C.（0，1）D. [9，+∞）4. 设P （3，1）为二次函数2()2(1)f x ax ax b x =-+≥的图象与其反函数1()y f x -=的图象的一个交点，则（ ）A. 12a =，52b = B. 12a =，52b =-C. 12a =-，52b =D. 12a =-，52b =-5 不等式224122x x +-≤的解集为 .6. 若221log 01aa a+<+，则a 的取值范围是（ ） A. 1(,)2+∞B. (1,)+∞C. 1(,1)2D.1(0,)27. 已知函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）满足23()()f f a a >，则1(1)1f x->的解是（ ）A. 10x a<<B. 101x a<<- C. 11x a<<D.111x a<<-。

初中数学的二次函数与指数函数知识点汇总二次函数与指数函数是初中数学中的重要内容，对于学生来说，掌握这些知识点至关重要。

本文将对初中数学的二次函数与指数函数进行知识点汇总，以帮助学生更好地理解和应用这些概念。

首先，我们来介绍二次函数的概念和性质。

二次函数是指具有形如y=ax²+bx+c 的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。

其中，a决定了抛物线的开口方向，若a>0，则抛物线开口向上；若a<0，则抛物线开口向下。

顶点坐标为（-b/2a, f(-b/2a)），对称轴方程为x=-b/2a。

其次，我们需要了解二次函数的图像特征。

二次函数的图像通常是一个抛物线，有两种特殊情况需要注意。

当a>0时，抛物线开口向上，且最低点为最小值，函数的值范围为(-∞, 最小值]；当a<0时，抛物线开口向下，且最高点为最大值，函数的值范围为[最大值, +∞)。

接下来，让我们来详细了解二次函数的解法和应用。

求解二次函数的零点是我们经常要做的操作，一般可以通过因式分解、配方法或使用求根公式来实现。

对于一元二次方程ax²+bx+c=0，其中a、b、c是实数且a≠0，我们可以使用求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)来求解。

二次函数的解有可能是实数，也有可能是复数，这取决于判别式Δ=b²-4ac的值。

若Δ>0，则方程有两个不相等的实根；若Δ=0，则方程有两个相等的实根；若Δ<0，则方程无实根。

除了求解零点，二次函数还可以应用于解决实际问题。

在物理学、经济学等领域中，二次函数经常被用来表示某种变化规律。

比如，一个抛物线的轨迹、一个物体的自由落体运动等，都可以用二次函数来刻画。

学生应该学会如何将实际问题转化为二次函数的模型，并能够使用二次函数解答相应的问题。

接下来，我们来了解指数函数的概念和性质。

指数函数是以底数大于0且不等于1的常数为底的函数，函数的形式为y=a^x，其中a是底数，x是指数。

第三讲：二次函数、指数函数、对数函数【主干知识整合】二次函数、指数函数、对数函数是中学数学的重要函数模型，也是函数内容的主体部分，因此是高考重点考查的对象，在每年的高考试题中都会涉及到对这几种函数模型的考查，当前三次函数的考查是一个热点，而三次函数的导数是二次函数，所以高考对二次函数的考查不断升温，我们应特别重视对以上三种函数的复习与研究。

1、二次函数的三种形式；2、区间上二次函数的最值；3、指数与对数的运算；4、指数函数、对数函数的图象与性质。

【经典真题感悟】1、（某某)已知函数M ，最小值为m ，则m M的值为A ．14B ．12C ．2D 2、（某某）设1a >,且)2(log ),1(log )1(log 2a p a n a m a a a =-=+=,则p n m ,,的大小关系为A ．n m P >>B ．m p n >>C ．m n p >>D ．p m n >>3、（某某)函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是 A.4 B.3 C.2 D.14、（某某）()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a 的取值为． 【考点热点探究】考点一：二次函数的基本问题例1：已知函数[]2()23,4,6f x x ax x =++∈-. （1）当2a =-时，求()f x 的最值;（2）某某数a 的取值X 围，使 ()y f x =在区间[]4,6-是单调函数；（3）当1a =时，求()f x 的单调区间.考点二：指数与对数的运算问题例2：已知函数⎩⎨⎧>≤=)0(log )0(3)(2x x x x f x ，则=)]21([f f ________考点三：指数函数、对数函数的图象与性质例3：（1）函数y ＝lncos x (-2π＜x ＜)2π的图象是（2）已知log (2)a y ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则a 的取值X 围是A. （0，1）B. （1，2）C. （0，2）D. [)2,+∞ （3）若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x f x g x e -=，则有A.(2)(3)(0)f f g <<B. (0)(3)(2)g f f <<C.(2)(0)(3)f g f <<D.(0)(2)(3)g f f <<考点四：二次函数的综合问题例4：设x ax x x f 32131)(23+-= （1）若)(x f 在区间]3,1[内单调递增，求a 的取值X 围；（2）如果点0x 使得00)(x x f =，则称点0x 为函数)(x f y =的一个不动点，若已知)(x f 的导数)('x f 在区间]1,1[-内恰有一个不动点，求a 的取值X 围考点五：指数函数、对数函数的综合问题。