白噪声
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白噪声
白噪声
物理学概念
01 定义
03 参数 05 应用
目录
02 起源 04 通信中的
白噪声（white noise）是指功率谱密度在整个频域内是常数的噪声。所有频率具有相同能量密度的随机噪声 称为白噪声。
定义
白噪声是指在较宽的频率范围内，各等带宽的频带所含的噪声功率谱密度相等的噪声。
一般在物理上把它翻译成白噪声（white noise）。
人生充满声音和噪声干扰,如轿车鸣喇叭、汪汪狗叫、吵邻打鼾、警报器、大喊大叫.白噪声并不增加烦躁， 而是包含所有同等频率的声音.研究表明,一个稳定、平和的声音流,如白噪声、可过滤和分散噪音，可以帮助减轻 噪音分心，这也正是为什么它用来帮助人们放松、睡眠。
上市销售的白噪声机器产品有睡眠辅助器、私密性增强器以及掩饰耳鸣。
白噪声可以用于放大器或者电子滤波器的频率响应测试，有时它与响应平坦的话筒或和自动均衡器一起使用。 这个设计的思路是系统会产生白噪声，话筒接收到扬声器产生的白噪声，然后在每个频率段进行自动均衡从而得 到一个平坦的响应。这种系统用在专业级的设备、高端的家庭立体声系统或者一些高端的汽车收音机上。
白噪声也作为一些随机数字生成器的基础使用，常用于计算机科学领域。
白噪声的应用领域之一是建筑声学，为了减弱内部空间中分散人注意力并且不希望出现的噪声（如人的交谈)， 使用持续的低强度噪声作为背景声音。
在电子通信中也有白噪声的应用，它被直接或者作为滤波器的输入信号以产生其它类型的噪声信号，尤其是 在信号合成中，经常用来重现有很高噪声成分信号。
白噪声也用来产生冲击响应。为了在一个演出地点保证音乐会或者其它演出的均衡效果，从P A系统发出一 个瞬间的白噪声或者粉红噪声，并且在不同的地方监测噪声信号，这样工程师就能够建筑物的声学效应能够自动 地放大或者削减某些频率，从而就可以调整总体的均衡效果以得到一个平衡的和声。
物理学概念
01 定义
03 参数 05 应用
目录
02 起源 04 通信中的
白噪声（white noise）是指功率谱密度在整个频域内是常数的噪声。所有频率具有相同能量密度的随机噪声 称为白噪声。
定义
白噪声是指在较宽的频率范围内，各等带宽的频带所含的噪声功率谱密度相等的噪声。
一般在物理上把它翻译成白噪声（white noise）。
人生充满声音和噪声干扰,如轿车鸣喇叭、汪汪狗叫、吵邻打鼾、警报器、大喊大叫.白噪声并不增加烦躁， 而是包含所有同等频率的声音.研究表明,一个稳定、平和的声音流,如白噪声、可过滤和分散噪音，可以帮助减轻 噪音分心，这也正是为什么它用来帮助人们放松、睡眠。
上市销售的白噪声机器产品有睡眠辅助器、私密性增强器以及掩饰耳鸣。
白噪声可以用于放大器或者电子滤波器的频率响应测试，有时它与响应平坦的话筒或和自动均衡器一起使用。 这个设计的思路是系统会产生白噪声，话筒接收到扬声器产生的白噪声，然后在每个频率段进行自动均衡从而得 到一个平坦的响应。这种系统用在专业级的设备、高端的家庭立体声系统或者一些高端的汽车收音机上。
白噪声也作为一些随机数字生成器的基础使用，常用于计算机科学领域。
白噪声的应用领域之一是建筑声学，为了减弱内部空间中分散人注意力并且不希望出现的噪声（如人的交谈)， 使用持续的低强度噪声作为背景声音。
在电子通信中也有白噪声的应用，它被直接或者作为滤波器的输入信号以产生其它类型的噪声信号，尤其是 在信号合成中，经常用来重现有很高噪声成分信号。
白噪声也用来产生冲击响应。为了在一个演出地点保证音乐会或者其它演出的均衡效果，从P A系统发出一 个瞬间的白噪声或者粉红噪声，并且在不同的地方监测噪声信号，这样工程师就能够建筑物的声学效应能够自动 地放大或者削减某些频率，从而就可以调整总体的均衡效果以得到一个平衡的和声。
通信原理之白噪声
§3.7通信原理之白噪声
通信原理之白噪声综述
1.1 白噪声
定义：凡功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，称为白噪声。
即：
双边谱密度：
单边谱密度：
其中：n0为常数，W/Hz。
一般默认白噪声为平稳的。
1.2 白噪声的功率
由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大。
即或。
因此，真正“白”的噪声是不存在的，它只是构造的一种理想化的噪声形式。
实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。
如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高斯白噪声。
高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。
1.3 自相关函数
据：功率信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅氏变换对。
图3-6 白噪声的功率谱密度与自相关函数
图3-6 白噪声的功率谱密度与自相关函数
2.1 带限白噪声
1.低通白噪声白噪声经理想低通滤波器| f |≤后而形成的噪声，被称为低通白噪声，即其功率谱密度为：
由上式可见，白噪声的功率谱密度被限制在| f |≤内，通常把这样的噪声也称为带限白噪声。
2.2带通白噪声
白噪声经理想带通滤波器后而形成的噪声，被称为低通白噪声，即其功率谱密度为：
式中：f c －中心频率，B－通带宽度则其输出噪声的功率谱密度为：
2.3窄带高斯白噪声
通常，带通滤波器的 B << fc ，因此称窄带滤波器，相应地把带通白高斯噪声称为窄带高斯白噪声。
其统计特性与一般窄带随机过程相同：
平均功率N=n0B。
声学知识之白噪音与粉红噪音解析
声学知识之白噪音与粉红噪音解析或许你会觉得奇怪，噪音还有颜色？有的。
比如我们今天要讲解的自然界常见的＂白噪声＂和＂粉红噪声＂。
之所以叫白噪声，粉红噪声，是由光波的谱线图就是光谱图类比而来。
白噪声各频段的能量均匀（频谱类似太阳光谱即白光光谱），在人耳可听的频率范围内，具有相同能量的噪声称为白噪声。
白噪声广泛用于环境声学测量中。
粉红噪声是在低频段强在高频段弱的噪声（频谱图类似偏红的光谱即粉红光谱）。
白噪音所谓白噪音是指一段声音中的频率分量功率在整个人耳可听的频率范围（0～20KHz）内都是均匀的，具有相同能量的噪声。
由于人耳对高频敏感一点这种声音听上去是很吵耳的沙沙声。
电视机无信号时的背景噪声和调频收音机无台时的背景噪声均是白噪声。
白噪声广泛用于环境声学测量中，可用来测量扬声器和耳机的谐振和灵敏度等。
粉红噪音简单说来，粉红噪音的频率分量功率主要分布在中低频段。
粉红噪音从人耳中听到的是平直的频率响应——"非常悦耳的一种噪声"。
粉红噪音最常用于进行声学测试的声音，可以测试出音域是否平坦或过多或不足。
从频谱图分析，两种噪音的区别：图一是粉红噪声（pink noise）的频谱，图二是白噪声（white noise）的频谱，两个图的频率都是对数座标(X轴)我们知道，由于噪声频谱分配不同，使得在听感上会有差异。
由上图可知：1、从频谱仪的图形上看，白噪声在全频谱内是一条平直的线，在一定的范围内音频数据具有相同或类似的能量。
粉红噪声，从波形角度看，粉红噪音是分形的，是-3dB/Oct的斜率，以其倍数频率向下衰减。
即1倍频，2倍频……频率越高谱线高度越低。
粉红噪声与白噪声一样都是无规噪声，都具有连续的噪声谱，不同之处在于,粉红噪声的功率谱密度与频率成反比。
2、在对数坐标中，起输出为一水平线，白噪声的能量是以每倍频程增加3dB分布的，粉红噪声是均匀分布的；3、在线性坐标中，白噪声的能量分布是均匀的，粉红噪声是以每倍频程下降3dB分布的；噪声能量在每倍频程内是相等的。
白噪声_高斯噪声_高斯白噪声的区别
这几个概念的区别和联系：（转自：研学论坛）白噪声，就是说功率谱为一常数；也就是说，其协方差函数在delay=0时不为0，在delay不等于0时值为零；换句话说，样本点互不相关。
（条件：零均值。
）所以，“白”与“不白”是和分布没有关系的。
当随机的从高斯分布中获取采样值时，采样点所组成的随机过程就是“高斯白噪声”；同理，当随机的从均匀分布中获取采样值时，采样点所组成的随机过程就是“均匀白噪声”。
那么，是否有“非白的高斯”噪声呢？答案是肯定的，这就是”高斯色噪声“。
这种噪声其分布是高斯的，但是它的频谱不是一个常数，或者说，对高斯信号采样的时候不是随机采样的，而是按照某种规律来采样的。
仿真时经常采用高斯白噪声是因为实际系统（包括雷达和通信系统等大多数电子系统）中的主要噪声来源是热噪声，而热噪声是典型的高斯白噪声，高斯噪声下的理想系统都是线性系统。
相关讨论：1、白噪声是指功率谱在整个频域内为常数的噪声，其付氏反变换是单位冲击函数的n倍（n取决于功率谱的大小），说明噪声自相关函数在t=0时不为零，其他时刻都为0，自相关性最强。
高斯噪声是一种随机噪声，其幅度的统计规律服从高斯分布。
高斯白噪声是幅度统计规律服从高斯分布而功率谱为常数的噪声如果在系统通带内功率谱为常数，成为带限白噪声“高斯”与“白”没有直接关系，有时人们还会提出高斯型噪声，这指的是噪声功率谱呈高斯分布函数的形状而已。
2、有一个问题我想提出来：连续白噪声和离散白噪声序列的关系是什么？它们之间不应该是简单的采样关系。
因为连续白噪声的功率谱在整个频率轴上为常数，按照随机信号采样定理，对这样的信号采样，采样后的序列的功率谱必然发生混叠，而且混叠过后的功率谱是什么？应该是在整个频率轴上都为无穷大。
这显然不满足离散白噪声序列的定义。
那离散白噪声序列跟连续白噪声有何关系？我觉得是对带限的连续白噪声进行采样后得到的，这个带限的连续白噪声信号的带宽刚好满足Nyquist抽样定理。
白噪声
0.2188 0.3359 -0.9531 -0.7188 0.6875 -0.8359
-0.0156 0.9219 0.5703 0.4531 -0.2500 -0.4844
0.1016 -0.3672 0.8047 -0.1328 0.2188 0.3359
-0.9531 -0.7188 0.6875 -0.8359
0.0234 0.1406 0.8438 0.0820 0.4922 0.9609
0.7852 0.7266 0.3750 0.2578 0.5508 0.3164
0.9023 0.4336 0.6094 0.6680 0.0234 0.1406
0.8438 0.0820 0.4922 0.9609 0.7852 0.7266
0.0234 0.1406 0.8438 0.0820
。
1编程如下：
A=6;x0=1;M=255;f=2; N=100；%初始化；
x0=1;M=255;
fork=1:N %乘同余法递推100次；
x2=A*x0;%分别用x2和x0表示xi+1和xi-1；
x1=mod (x2,M);%取x2存储器的数除以M的余数放x1（xi）中；
白噪声
如果一个零均值、平稳随机过程的谱密度为常数，我们称之为白噪声（由白色光联想∞，τ=0
0，τ≠0
3 ，其中， 为Dirac函数，即 =
且
4 无记忆性，即t时刻的数值与t时刻以前的过去值无关，也不影响t时刻以后的将来值。从另一意义上说，即不同时刻的随机信号互不相关。
Columns 31 through 40
-1 1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1
Columns 41 through 50
-0.0156 0.9219 0.5703 0.4531 -0.2500 -0.4844
0.1016 -0.3672 0.8047 -0.1328 0.2188 0.3359
-0.9531 -0.7188 0.6875 -0.8359
0.0234 0.1406 0.8438 0.0820 0.4922 0.9609
0.7852 0.7266 0.3750 0.2578 0.5508 0.3164
0.9023 0.4336 0.6094 0.6680 0.0234 0.1406
0.8438 0.0820 0.4922 0.9609 0.7852 0.7266
0.0234 0.1406 0.8438 0.0820
。
1编程如下：
A=6;x0=1;M=255;f=2; N=100；%初始化；
x0=1;M=255;
fork=1:N %乘同余法递推100次；
x2=A*x0;%分别用x2和x0表示xi+1和xi-1；
x1=mod (x2,M);%取x2存储器的数除以M的余数放x1（xi）中；
白噪声
如果一个零均值、平稳随机过程的谱密度为常数，我们称之为白噪声（由白色光联想∞，τ=0
0，τ≠0
3 ，其中， 为Dirac函数，即 =
且
4 无记忆性，即t时刻的数值与t时刻以前的过去值无关，也不影响t时刻以后的将来值。从另一意义上说，即不同时刻的随机信号互不相关。
Columns 31 through 40
-1 1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1
Columns 41 through 50
通信原理之白噪声
谱密度为：
H
(
f
)
1
0
fc
B 2
f
fc
B 2
其他f
n0 / 2 Pn f
B
o
fc
fc
f
式中： fc － 中心频率，B － 通带宽度则其输出噪声的功率谱密度为
n0
Pn(f )
2
0
fc
B
2
f
fc
B
2
其它f
2.3窄带高斯白噪声
通常，带通滤波器的 B << fc ，因此称窄带滤波器，相
低通白噪声，即其功率谱密度为：
Pn() Nhomakorabean0 2
,
0,
( fH , fH ) 其它
Pn ()
n0 / 2
fH 0 fH
f
H 0 H
由上式可见，白噪声的功率谱密度被限制在| f | fH 内，通常把这样的 噪声也称为带限白噪声。
2.2带通白噪声
白噪声经理想带通滤波器后而形成的噪声，被称为低通白噪声，即其功率
实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系 统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。
如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高斯白噪声。
高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间， 不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。
1.3 自相关函数
据：功率信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅氏变换对。
应地把带通白高斯噪声称为窄带高斯白噪声。其统计特 性与一般窄带随机过程相同：
平均功率N=n0B
白噪声检验公式了解白噪声检验的计算公式
白噪声检验公式了解白噪声检验的计算公式白噪声检验是一种经典的统计检验方法，用于判断时间序列数据是否存在自相关性，即是否存在与时间相关的模式。
在金融领域、信号处理、经济学等领域中，白噪声检验被广泛应用。
本文将介绍白噪声检验的基本概念以及常用的计算公式。
一、白噪声检验的基本概念白噪声是指具有等间隔时间间隔和相同振幅的随机信号。
在时间序列分析中，我们常常需要判断某个数据序列是否符合白噪声的特征。
如果序列中存在自相关性，则表明序列中存在某种模式，不符合白噪声的特征。
二、白噪声检验的计算公式1. 自相关系数计算公式自相关系数是衡量序列内部各观测值之间相关性的一种指标。
其计算公式如下：其中，ρ(k)表示序列在时间间隔k下的自相关系数；x(i)表示序列中第i个观测值；x表示序列的平均值；n表示序列的观测值个数。
2. 白噪声检验统计量计算公式Ljung-Box Q检验是一种常用的白噪声检验方法，可以用来判断时间序列数据是否具有自相关性。
其计算公式如下：其中，Q(m)表示Ljung-Box Q统计量；ρ(k)表示序列在时间间隔k下的自相关系数；n表示序列的观测值个数；m表示滞后期数（通常取序列长度的1/4到1/2）。
3. 白噪声检验的拒绝域白噪声检验的拒绝域可以根据显著性水平确定。
常见的显著性水平有0.01和0.05。
一般情况下，当Q(m)大于拒绝域的临界值时，我们拒绝原假设，认为序列具有自相关性，不符合白噪声的特征。
三、实例分析以股票市场的每日收盘价为例，假设我们有100个观测值，想要判断该时间序列是否符合白噪声的特征。
我们可以按照以下步骤进行计算和判断：1. 计算自相关系数ρ(k)，其中k的取值范围可以根据需求进行设定。
2. 根据自相关系数计算Q(m)统计量，其中m的取值一般为观测值个数的1/4到1/2。
白噪声的统计特性与应用
白噪声的统计特性与应用在我们的日常生活中，我们会常常遇到各种各样的噪声。
有些噪声可能会引起我们的不适，使我们无法集中注意力，甚至影响我们的工作和学习。
但有一种噪声却被认为是非常特殊和有用的，那就是白噪声。
白噪声具有一些独特的统计特性，这使得它在各个领域中得到了广泛的应用。
首先，让我们来了解一下白噪声的定义。
白噪声是一种随机信号，具有恒定的频谱密度，在整个频谱范围内的能量都是均匀分布的。
这意味着在任何一个频率上，白噪声的能量都是相等的。
因此，白噪声可以被认为是具有各种频率成分的随机信号。
白噪声的统计特性之一是其自相关函数的特点。
自相关函数描述了信号在不同时间点的相关性。
对于白噪声，自相关函数表现为在不同时间点上的相关性非常小，几乎为零。
这意味着白噪声中的任意两个时间点之间的信号没有关联性。
这种特性使得白噪声非常适合用作一种无偏估计的基准信号，用来检验其他信号的相关性。
白噪声的另一个重要统计特性是其功率谱密度为常数。
功率谱密度描述了信号在不同频率上的能量分布。
对于白噪声，其功率谱密度在整个频谱范围内保持恒定，这意味着信号的能量在不同频率上是分散的。
由于这种特性，白噪声被广泛应用于通信领域中的信道建模和设计中。
在通信系统中，白噪声可以用来模拟信道中的背景噪声。
这种噪声是不可避免的，会对信号的传输和接收造成干扰。
通过研究白噪声的统计特性，我们可以更好地理解信道的性能特点，并设计相应的调制和编码方案，以提高通信系统的容错性和可靠性。
另外一个应用领域是音频工程中的消除噪声。
在一些场合，我们常常需要提取出某一特定声音，而排除其他背景噪声。
通过使用白噪声，我们可以对背景噪声进行模拟和匹配，从而实现噪声的消除。
这种技术在音频录制和后期处理中非常常见。
此外，白噪声在科学研究和实验中也有很多应用。
例如，在神经科学领域，白噪声经常被用来研究大脑信号的特性和神经元的工作机制。
通过向大脑输入白噪声，我们可以了解神经元的响应能力和信息处理能力。
白噪声
白噪声白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。
所有频率具有相同能量密度的随机噪声称为白噪声。
从我们耳朵的频率响应听起来它是非常明亮的“咝”声（每高一个八度，频率就升高一倍。
因此高频率区的能量也显著增强）。
1概述白噪声是指在较宽的频率范围内，各等带宽的频带所含的噪声能量相等的噪声。
一般在物理上把它翻译成白噪声（white noise）。
白噪声或白杂讯，是一种功率频谱密度为常数的随机信号或随机过程。
换句话说，此信号在各个频段上的功率是一样的，由于白光是由各种频率（颜色）的单色光混合而成，因而此信号的这种具有平坦功率谱的性质被称作是“白色的”，此信号也因此被称作白噪声。
相对的，其他不具有这一性质的噪声信号被称为有色噪声。
理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大，这在现实世界是不可能存在的。
实际上，我们常常将有限带宽的平整讯号视为白噪音，因为这让我们在数学分析上更加方便。
然而，白噪声在数学处理上比较方便，因此它是系统分析的有力工具。
一般，只要一个噪声过程所具有的频谱宽度远远大于它所作用系统的带宽，并且在该带宽中其频谱密度基本上可以作为常数来考虑，就可以把它作为白噪声来处理。
例如，热噪声和散弹噪声在很宽的频率范围内具有均匀的功率谱密度，通常可以认为它们是白噪声。
当你需要专心工作，而周遭总是有繁杂的声音时，就可以选用这两种声音来加以遮蔽。
一般来说，通常的情况下你可以选用白色噪音，而粉红色噪音则是特别针对说话声的遮蔽材料。
粉红色噪音又被称做频率反比(1/f) 噪音，因为它的能量分布与频率成反比，或者说是每一个八度音程(Octave) 能量就衰退3 dB。
高斯白噪声高斯白噪声：如果一个噪声，它的幅度分布服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的，则称它为高斯白噪声。
热噪声和散粒噪声是高斯白噪声。
所谓高斯白噪声中的高斯是指概率分布是正态函数，而白噪声是指它的二阶矩不相关，一阶矩为常数，是指先后信号在时间上的相关性。
数学中的白噪声强度
数学中的白噪声强度
数学中的白噪声强度
白噪声是英语White noise的简写，这种噪声是一种随机性噪声源，其频谱密度函数（即能量密度和频率之间的关系）与频率无关，在所有频率有相同的能量，用于抽搐可以在任何频率上被找到，而不会有偏倚。
白噪声被用于模拟自然环境的噪声，广泛应用在计算机视频、数字处理、数学计算、物理实验等学科中。
由于白噪声和其他能量密度函数的强度值不同，因此在数学中，强度是用来表示能量密度函数的强度的度量。
通常情况下，白噪声的强度是指每秒声能量吞吐量的单位，即音量单位，简称dB。
通常来说，一个白噪声的强度值会比一个普通人在安静状态下能听到的声音的强度值要大得多，大约是50到90dB之间，具体强度值取决于所使用的噪声源。
白噪声的强度往往与发出源的功率有关，因此，强度的值可以用功率来表示。
一般来说，功率会与空间距离成反比，即功率越大，声音强度越大，而空间距离越远，声音强度越小。
当空间距离为1米时，功率为1瓦，声音强度为10dB；当空间距离为2米时，功率为1瓦，声音强度为7 dB；当空间距离为100米时，功率为1瓦，声音强度为0dB，即声音强度为安静状态。
另外，强度不仅与功率有关，还与噪声源的持续时间有关，即持续性噪声的强度会比瞬态噪声的强度大，具体强度值的差异取决于噪声源的持续时间的长短。
总而言之，白噪声的强度取决于所使用的噪声源和空间距离的大小。
在计算机视频、数字处理、数学计算以及物理实验中，白噪声的强度会被用来衡量视频图像的质量以及推断声音的大小。
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其中，I0(x)称为零阶修正贝塞尔函数(Bessel)
I0 ( x ) = ∫
2π
0
1 exp ( − x cos θ ) dθ 2π
p (θ ) = ∫ p ( r,θ ) dr = ∫
0 2 2
∞
∞
0
( r − A cosθ )2 + ( Asin θ )2 r exp − dr 2 2 2πσ 2σ
循环平稳过程
定义
随机过程X(t)的统计平均值和自相关函数是时 间的周期函数，则称为循环平稳随机过程。
• 如：
X (t ) =
n =−∞
∑ a g ( t − nT )
n
∞
E ( an ) = ma , E an an +k = Ra ( k )
*
循环平稳过程的统计特性
期望 E ( X ( t ) ) = m a 自相关
包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布。
窄带平稳高斯过程（零均值）
包络 R ( t ) = nc ( t ) + ns ( t )
2 2
瑞利分布
ns ( t ) 相位 θ ( t ) = arctg nc ( t ) 均匀分布
r2 p ( r ) = 2 exp − 2 σ 2σ r
, r ≥ 0
要求：
会判断过程是否平稳 会求平稳过程的自相关、功率谱密度 会分析与高斯平稳过程相关的一些性质
1 p (θ ) = 2π
证明
因为nc(t),ns(t)是正交的均值为0，方差为 2的高斯随机变 量，因此它们独立（窄带高斯过程的性质），则
2 nc + ns2 p ( nc , ns ) = exp − 2 2 2πσ 2σ ns 令 r = n2 + n2 , θ = arctg c s nc
p (r) = ∫ r
2π 0
r 2 + A2 2π 1 Ar cos θ p ( r,θ ) dθ = 2 exp − ∫0 2π exp − σ 2 dθ 2 σ 2σ r
r 2 + A2 Ar = 2 exp − I0 σ 2 2 σ 2σ
x 2 + y 2 − 2 Ax + A2 = exp − 2 2πσ 2σ 2
r 2 − 2 Ar cos θ + A2 p ( r, θ ) = exp − J 2 2 2πσ 2σ 1 r 2 + A2 − 2 Ar cos θ r exp − = 2 2πσ 2σ 2
窄带高斯平稳过程（零均值）
• 正交分解形式、分量独立、功率相等
• 包络瑞利分布、相位均匀分布
余弦波＋窄带高斯过程 *
• 包络莱斯分布、
本章小节
循环平稳
自相关、期望是周期函数的时间平均。（平均自相关、 平均期望） 其他关系与平稳随机过程类似
• 自相关与功率谱密度（傅氏变换对） • 均值（期望）－常数 • 自相关只与时间差有关
余弦波加窄带高斯平稳过程
形式 x ( t ) = A cos ω c t + n ( t ) = A cos ω c t + nc ( t ) cos ω c t − ns ( t ) sin ω c t 包络
R (t ) =
( A + n (t ))
c
2
+ ns2 r p( r) = 2 exp − I , 2 0 2 σ 2σ σ ns ( t ) 相位 θ ( t ) = arctg A + nc ( t ) r
nc(t),ns(t)正交
窄带平稳高斯过程（零均值）
可以分解成两个互相独立的零均值平稳高 斯过程，且功率相同。
n ( t ) = E nc ( t ) = E ns ( t ) = σ 2 E
2 2 2
E nc ( t ) ns ( t ) = 0
σ
1
则
⇒ nc = r cos θ ,
ns = r sin θ
r2 1 p ( r, θ ) = exp − 2 2 2πσ 2σ
|J|
|J|为Jacobian行列式 因此 ∂nc ∂ns
∂r | J |= ∂nc ∂θ
p ( r, θ ) =
p (r ) = p (θ ⇒ p (r,θ
Px ( f ) = ∫ Rx (τ )e − j 2π f τ dτ
例：3.5, 3.6
3.7,3.10
本章小节及掌握内容
平稳随机过程
定义、期望、自相关、功率谱密度
平稳随机过程经过线性系统
输出自相关、输入输出互相关、功率谱密度关系
高斯白噪声
概念、功率谱密度
窄带平稳随机过程
性质：
• 正交分解形式、功率相等
莱斯分布
r ≥0
证明
令 x = A + nc , x = r cos θ
y = ns ，则
y = r sin θ 2 2 x 其中， ~ N A, σ , y ~ N 0, σ 则 ( x − A)2 + y 2 1
(
)
(
)
p ( x, y ) = 1
exp − 2πσ
2
2σ
2
n =−∞
∑ g ( t − nT )
*
∞
RX ( t, t +τ ) = ∑∑Ra ( n − m) g ( t − nT ) g ( t +τ − mT)
n m
功率谱密度
1 Rx ( t , t + τ ) = T
∞ −∞
∫
T /2
−T / 2
Rx ( t , t + τ ) dt = Rx (τ )
( r − A cosθ )2 A sin θ ∞ r 1 exp − = dr ∫0 2 exp − 2 2 2π 2σ 2σ σ A2 sin2 θ ∞ x2 1 x + A cosθ = exp − exp − 2 dx ∫− Acosθ 2 2 2π 2σ σ 2σ A2 sin2 θ A2 cos2 θ 2π A cosθ A cosθ 1 = Q− exp − exp − 2σ 2 + 2 σ σ 2π 2σ A2 A2 sin2 θ 1 1 A cosθ A cosθ = exp − 2 + Q− exp − σ σ 2π 2σ 2σ 2 2π
r 2πσ
2π 0 ∞
2
e
−
r
cos θ ∂r = ∂ns − r sin θ ∂θ 2
sin θ =r r cos θ
2σ 2
则
r
∫
p (r,θ ) dθ =
σ
2
e
−
r2 2σ
2
) = ∫0 )=
1 p (r,θ ) dr = 2π p ( r ) p (θ
)
结论
窄带高斯过程（零均值）的正交分量、同 相分量正交 其包络和相位独立。
白噪声
定义
凡是功率谱密度在整个频带内均匀分布的噪声， 称为白噪声。
n0 P(ω ) = 2 n0 R(τ ) = δ (τ ) 2
窄带平稳高斯过程
高斯白噪声经过带通系统
n ( t ) = nc ( t ) cos ω c t − ns ( t ) sin ω c t
n ( t )2 = E nc ( t )2 = E ns ( t )2 = σ 2 E
I0 ( x ) = ∫
2π
0
1 exp ( − x cos θ ) dθ 2π
p (θ ) = ∫ p ( r,θ ) dr = ∫
0 2 2
∞
∞
0
( r − A cosθ )2 + ( Asin θ )2 r exp − dr 2 2 2πσ 2σ
循环平稳过程
定义
随机过程X(t)的统计平均值和自相关函数是时 间的周期函数，则称为循环平稳随机过程。
• 如：
X (t ) =
n =−∞
∑ a g ( t − nT )
n
∞
E ( an ) = ma , E an an +k = Ra ( k )
*
循环平稳过程的统计特性
期望 E ( X ( t ) ) = m a 自相关
包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布。
窄带平稳高斯过程（零均值）
包络 R ( t ) = nc ( t ) + ns ( t )
2 2
瑞利分布
ns ( t ) 相位 θ ( t ) = arctg nc ( t ) 均匀分布
r2 p ( r ) = 2 exp − 2 σ 2σ r
, r ≥ 0
要求：
会判断过程是否平稳 会求平稳过程的自相关、功率谱密度 会分析与高斯平稳过程相关的一些性质
1 p (θ ) = 2π
证明
因为nc(t),ns(t)是正交的均值为0，方差为 2的高斯随机变 量，因此它们独立（窄带高斯过程的性质），则
2 nc + ns2 p ( nc , ns ) = exp − 2 2 2πσ 2σ ns 令 r = n2 + n2 , θ = arctg c s nc
p (r) = ∫ r
2π 0
r 2 + A2 2π 1 Ar cos θ p ( r,θ ) dθ = 2 exp − ∫0 2π exp − σ 2 dθ 2 σ 2σ r
r 2 + A2 Ar = 2 exp − I0 σ 2 2 σ 2σ
x 2 + y 2 − 2 Ax + A2 = exp − 2 2πσ 2σ 2
r 2 − 2 Ar cos θ + A2 p ( r, θ ) = exp − J 2 2 2πσ 2σ 1 r 2 + A2 − 2 Ar cos θ r exp − = 2 2πσ 2σ 2
窄带高斯平稳过程（零均值）
• 正交分解形式、分量独立、功率相等
• 包络瑞利分布、相位均匀分布
余弦波＋窄带高斯过程 *
• 包络莱斯分布、
本章小节
循环平稳
自相关、期望是周期函数的时间平均。（平均自相关、 平均期望） 其他关系与平稳随机过程类似
• 自相关与功率谱密度（傅氏变换对） • 均值（期望）－常数 • 自相关只与时间差有关
余弦波加窄带高斯平稳过程
形式 x ( t ) = A cos ω c t + n ( t ) = A cos ω c t + nc ( t ) cos ω c t − ns ( t ) sin ω c t 包络
R (t ) =
( A + n (t ))
c
2
+ ns2 r p( r) = 2 exp − I , 2 0 2 σ 2σ σ ns ( t ) 相位 θ ( t ) = arctg A + nc ( t ) r
nc(t),ns(t)正交
窄带平稳高斯过程（零均值）
可以分解成两个互相独立的零均值平稳高 斯过程，且功率相同。
n ( t ) = E nc ( t ) = E ns ( t ) = σ 2 E
2 2 2
E nc ( t ) ns ( t ) = 0
σ
1
则
⇒ nc = r cos θ ,
ns = r sin θ
r2 1 p ( r, θ ) = exp − 2 2 2πσ 2σ
|J|
|J|为Jacobian行列式 因此 ∂nc ∂ns
∂r | J |= ∂nc ∂θ
p ( r, θ ) =
p (r ) = p (θ ⇒ p (r,θ
Px ( f ) = ∫ Rx (τ )e − j 2π f τ dτ
例：3.5, 3.6
3.7,3.10
本章小节及掌握内容
平稳随机过程
定义、期望、自相关、功率谱密度
平稳随机过程经过线性系统
输出自相关、输入输出互相关、功率谱密度关系
高斯白噪声
概念、功率谱密度
窄带平稳随机过程
性质：
• 正交分解形式、功率相等
莱斯分布
r ≥0
证明
令 x = A + nc , x = r cos θ
y = ns ，则
y = r sin θ 2 2 x 其中， ~ N A, σ , y ~ N 0, σ 则 ( x − A)2 + y 2 1
(
)
(
)
p ( x, y ) = 1
exp − 2πσ
2
2σ
2
n =−∞
∑ g ( t − nT )
*
∞
RX ( t, t +τ ) = ∑∑Ra ( n − m) g ( t − nT ) g ( t +τ − mT)
n m
功率谱密度
1 Rx ( t , t + τ ) = T
∞ −∞
∫
T /2
−T / 2
Rx ( t , t + τ ) dt = Rx (τ )
( r − A cosθ )2 A sin θ ∞ r 1 exp − = dr ∫0 2 exp − 2 2 2π 2σ 2σ σ A2 sin2 θ ∞ x2 1 x + A cosθ = exp − exp − 2 dx ∫− Acosθ 2 2 2π 2σ σ 2σ A2 sin2 θ A2 cos2 θ 2π A cosθ A cosθ 1 = Q− exp − exp − 2σ 2 + 2 σ σ 2π 2σ A2 A2 sin2 θ 1 1 A cosθ A cosθ = exp − 2 + Q− exp − σ σ 2π 2σ 2σ 2 2π
r 2πσ
2π 0 ∞
2
e
−
r
cos θ ∂r = ∂ns − r sin θ ∂θ 2
sin θ =r r cos θ
2σ 2
则
r
∫
p (r,θ ) dθ =
σ
2
e
−
r2 2σ
2
) = ∫0 )=
1 p (r,θ ) dr = 2π p ( r ) p (θ
)
结论
窄带高斯过程（零均值）的正交分量、同 相分量正交 其包络和相位独立。
白噪声
定义
凡是功率谱密度在整个频带内均匀分布的噪声， 称为白噪声。
n0 P(ω ) = 2 n0 R(τ ) = δ (τ ) 2
窄带平稳高斯过程
高斯白噪声经过带通系统
n ( t ) = nc ( t ) cos ω c t − ns ( t ) sin ω c t
n ( t )2 = E nc ( t )2 = E ns ( t )2 = σ 2 E