广东省惠州市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题

2018-2019学年高二下学期期末考试一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4{|0}2x A x Z x -=∈≥+，1{|24}4x B x =≤≤，则A B I =（） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{1,0,1,2}-C ．{2,1,0,1,2}--D ．{0,1,2}2.已知i 为虚数单位，若复数11tiz i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（） A ．[1,1]- B ．(1,1)- C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞3.若命题“∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．1≤a ≤3 B ．－1≤a ≤3 C ．－3≤a ≤3D ．－1≤a ≤14.已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（）A.它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C.它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等5.在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知直线l 过点P (1，0，－1)，平行于向量a ＝(2，1，1)，平面α过直线l 与点M (1，2，3)，则平面α的法向量不可能是( ) A.(1，－4，2)B.⎝⎛⎭⎫14，－1，12 C.⎝⎛⎭⎫－14，1，－12 D.(0，－1，1)7.在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为( )A.14 B.3－34 C.2－34 D.138.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 9.设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 10.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110由K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d算得，K 2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”11.焦点为F 的抛物线C ：28y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C.22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12.定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（）A ．11(,)[,)88-∞-+∞UB ．11[,0)(0,]48-U C.(0,8]D ．11(,][,)48-∞-+∞U二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知(1,)a λ=r ，(2,1)b =r，若向量2a b +r r 与(8,6)c =r 共线，则a r 和b r 方向上的投影为．14.将参数方程⎩⎨⎧x ＝a2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝⎛⎭⎫t －1t (t 为参数)转化成普通方程为________．15.已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X >2)＝________. 16.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，23AB =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(10分)已知直线l 的参数方程为24,222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点.（1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求ABP ∆的面积的最大值18.(12分)设函数()1f x x x =+-的最大值为m .（1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值.19.(12分)点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为AOC ∆的垂心. （1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.20.(12分)2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？21. (12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1 (a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)是否存在实数m ，使直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在圆 x 2＋y 2＝5上？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.22. (12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋k2x2(k≥0)．(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．参考答案一、选择题1-5:BBBDA 6-10:DBDBC 11-12：AD 二、填空题13.35514：x 2a 2－y 2b 2＝1 . 15.0.1 16.[2,4]ππ三、解答题17.解：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.将直线l 的参数方程代入圆:C 22(2)4x y -+=，并整理得2220t t +=，解得10t =，222t =-.所以直线l 被圆C 截得的弦长为12||22t t -=. （2）直线l 的普通方程为40x y --=.圆C 的参数方程为22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），可设曲线C 上的动点(22cos ,2sin )P θθ+，则点P 到直线l 的距离|22cos 2sin 4|2d θθ+--=|2cos()2|4πθ=+-，当cos()14πθ+=-时，d 取最大值，且d 的最大值为22+. 所以122(22)2222ABP S ∆≤⨯⨯+=+， 即ABP ∆的面积的最大值为22+.18.解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，2x ＋1，－1＜x ＜1，1， x ≥1，由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )有最大值1．所以m ＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝13(a 2b ＋1＋b 2a ＋1)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝13[a 2＋b 2＋a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2(b ＋1)a ＋1]≥13(a 2＋b 2＋2a 2(a ＋1)b ＋1·b 2(b ＋1)a ＋1) ＝13(a ＋b )2＝13．当且仅当a ＝b ＝12时取等号． 即a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为13． 19.解：（1）延长OG 交AC 于点M .因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点. 因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥. 又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A =I ， 所以OM ⊥平面PAC .即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ， 所以平面OPG ⊥平面PAC .（2）以点C 为原点，CB u u u r ，CA u u u r ，AP u u u r方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则(0,0,0)C ，(0,1,0)A ，(3,0,0)B ，31(,,0)22O ，(0,1,2)P ，1(0,,0)2M ，则3(,0,0)2OM =-u u u u r ，31(,,2)22OP =-u u u r .平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则30,23120,22n OM x n OP x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩r u u u u r r u u u r 令1z =，得(0,4,1)n =-r . 过点C 作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PA AB A =I ，所以CH ⊥平面PAB ，即CH u u u r为平面PAO 的一个法向量.在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，1322CH CB ==. 所以3cos 4H x CH HCB =∠=，3sin 4H y CH HCB =∠=. 所以33(,,0)44CH =u u u r .设二面角A OP G --的大小为θ，则||cos ||||CH n CH n θ⋅==⋅u u u r r u u ur r 2233|0410|251441739411616⨯-⨯+⨯=+⨯+. 20.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则333101()120C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为1()()14400P P A P A =⋅=.（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0，600，700，1000.333101(0)120C P X C ===，21373107(600)40C C P X C ===， 123731021(700)40C C P X C ===，373107(1000)24C P X C ===， 故X 的分布列为，所以17217()06007001000120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯17646=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-，由已知可得3~(3,)10Y B ，故39()31010E Y =⨯=， 所以()(1000200)E Z E Y =-=1000200()820E Y -=（元）.因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.21.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＝2b ，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0). 联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，所以Δ＝(2m )2－4×3×(m 2－2)＞0，即m 2＜3， 且x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m3， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3，2m 3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 32＝5，解得m ＝±3，与m 2＜3矛盾.故实数m 不存在.22. 解： (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2， f ′(x )＝11＋x－1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x .所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )>0； 在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)， 单调递减区间是(0，＋∞)．当0<k <1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk>0.所以，在区间(－1,0)和(1－kk，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(0，1－kk)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和(1－kk，＋∞)，单调递减区间是(0，1－kk )．当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x .故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)．当k >1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝1－kk∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间(－1，1－kk)和(0，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(1－kk，0)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1，1－kk)和(0，＋∞)，单调递减区间是(1－kk ，0)．。

博罗县2024-2025学年度第一学期高二阶段性教学质量检测数学试题本试卷共4页，共19小题，总分150分，检测用时：120分钟第I 卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线的倾斜角为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知，，且，则实数的值为（ ）A ．B ．3C ．4D ．63．已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（ ）A ． B ． C ．D ． 4．在三棱锥中，为的中点，设，则（ ）A ．B．C ．．5．已知圆经过点，则圆在点处的切线方程为（ ）A ．B．C．D ．6．已知在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．以上皆有可能7．已知点，过点的直线与线段（含端点）有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）020233=++y x 6π-3π-32π65π)3,1,2(-=a ),1,4(t b -=b a ⊥3-)1,2(-P 0132=++y x 0732=-+y x 0823=-+y x 0132=--y x 0823=--y x BCD A -O CD c BD b BC a BA ===，,=AO a +-b a +-b -c -2)1()1(:22=-+-y x C )2,2(P P 04=-+y x 0=+y x 0=-y x 04=--y x ),(b a P 422=+y x 04=-+by ax )2,5(),3,2(---B A )1,1(-P AB kA ．B ．C ．D ．8．阅读下面材料：在数轴上，方程Ax +B =0(A ≠0)可以表示数轴上的点，在平面直角坐标系xO y 中，方程A x +By +C =0（A 、B 不同时为0）可以表示坐标平面内的直线，在空间直角坐标系O ―xyz 中，方程Ax +By +Cz +D =0（A 、B 、C 不同时为0）可以表示坐标空间内的平面。

2023-2024学年广东省惠州市博罗县高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑。

1．已知直线l 过点（√3，2）和点（0，1），则直线l 的倾斜角大小为（ ） A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°2．若a →=(2，3，−1)，b →=(2，0，3)，c →=(0，2，2)，则a →⋅(b →+c →)的值为（ ） A ．（4，6，﹣5）B ．5C ．7D ．363．一个学习小组有3名同学，其中2名男生，1名女生．从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为（ ） A ．13B ．25C ．35D ．234．以点（2，﹣1）为圆心且与直线3x ﹣4y +5＝0相切的圆的方程为（ ） A ．（x ﹣2）2+（y +1）2＝3 B ．（x +2）2+（y ﹣1）2＝3C ．（x ﹣2）2+（y +1）2＝9D ．（x +2）2+（y ﹣1）2＝95．直线l 1：ax +2y +a ＝0与直线l 2：2x +ay ﹣a ＝0互相平行，则实数a ＝（ ） A ．﹣4B ．4C ．﹣2D ．26．如图所示，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1和B 1D 1的交点，若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则CM →=（ ）A ．−12 a →−12 b →+c →B ．12a →−12 b →+c →C ．−12 a →+12 b →+c →D ．12a →+12 b →+c →7．手机支付已经成为人们常用的付费方式．某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如表：从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在[40，60）内且未使用手机支付的概率为（ ） A ．2150B ．25C ．2350D ．21258．已知圆C 1：（x ﹣1）2+（y +1）2＝1，圆C 2：（x ﹣4）2+（y ﹣5）2＝9．点M 、N 分别是圆C 1、圆C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PN |﹣|PM |的最大值是（ ） A ．2√5+4B ．9C ．7D ．2√5+2二、多项选择题：共4小题，每小题满分20分，共20分。

惠州市2013-2014学年第一学期期末考试高二数学（理科）试题说明：1、全卷满分150分，时间120分钟。

2、答卷前，考生将自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号，填写在答题卷上。

3、考试结束后，考生将答题卷交回。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．椭圆13610022=+y x 的焦距等于（ ）A ．20B ．16C ．12D ．82．某企业为了监控产品质量，从产品流转均匀的生产线上每间隔10分钟抽取一个样本进行检测，这种抽样方法是（ ）A ．抽签法B ．随机数表法C ．系统抽样法D ．分层抽样法3．空间中，与向量(3,0,4)a =同向共线的单位向量e 为（ ） A ．(1,0,1)e = B ．(1,0,1)e = 或(1,0,1)e =--C ．34(,0,)55e =D ．34(,0,)55e = 或34(,0,)55e =--4.已知点F 是抛物线24y x =的焦点，点P 在该抛物线上，且点P 的横坐标是2，则||PF =（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5 5.已知事件A 与事件B 发生的概率分别为()P A 、()P B ，有下列命题：①若A 为必然事件，则()1P A =． ②若A 与B 互斥，则()()1P A P B +=． ③若A 与B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=+． 其中真命题有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．36．“0a >”是“方程2y ax =表示的曲线为抛物线”的（ ）条件。

A 1CA ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 7．执行右边的程序框图，如果输入5a =， 那么输出=n ()．A ．2B ．3C ．4D ．58．已知椭圆22219x y b+=(03)b <<，左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，若22||||AF BF +的最大值为8，则b 的值是（ ）A ．BC D二、填空题：(本大题共6题，每小题5分，共30分．请将答案填写在答卷相应位置上．)9的渐近线方程为 ．10.样本2-，1-，0，1，2的方差为 ．11.已知(1,5,2)a =- ，(,2,2)b m m =+，若a b ⊥ ，则m 的值为 ．12.命题“2,210x R x ∀∈+>”的否定是 ．13.某城市近10年居民的年收入x 与支出y 之间的关系大致符合 0.90.2y x =+（单位：亿元），预计今年该城市居民年收入为20亿元，则年支出估计是 亿元． 14.如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -内（含正方体表面）任取一点M ，则11≥⋅AM AA 的概率=p ．三、解答题：(本大题共6题，满分80．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．（本小题满分12分）某社团组织20名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动，志愿者中，年龄在20至40岁的有12人，年龄大于40岁的有8人．（1）在志愿者中用分层抽样方法随机抽取5名，年龄大于40岁的应该抽取几名?（2）上述抽取的5名志愿者中任取2名，求取出的2人中恰有1人年龄大于40岁的概率．16．（本小题满分12分）已知22x -≤≤，22y -≤≤，点P 的坐标为(,)x y ．（1）求当,x y R ∈时，点P 满足22(2)(2)4x y -+-≤的概率； （2）求当,x y Z ∈时，点P 满足22(2)(2)4x y -+-≤的概率．17．（本小题满分14分）设命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >； 命题q ：实数x 满足2560x x -+≤；（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为3，直线:2l y x =+与圆222x y b +=相切．ABCD1A 1B 1C 1D E FG（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 的交点为,A B ，求弦长||AB ．19．（本小题满分14分）如图，已知正方体1AC 棱长为2，E 、F 、G 分别是1CC 、BC 和CD 的中点．（1）证明：1AG ⊥面EFD ； （2）求二面角E DF C --的余弦值．20．（本小题满分14分）已知动直线l 与椭圆C ：22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆=2，其中O 为坐标原点． （1）证明2212x x +和2212y y +均为定值；（2）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；（3）椭圆C 上是否存在点D E G 、、，使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===？ 若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．惠州市2013-2014学年第一学期期末考试高二数学（理科）试题答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号12345 6 7 8答案 B C C B C A B D1．【解析】由8c ===，所以焦距为16.∴选B ．2．【解析】因为间隔相同，所以是系统抽样法，∴选C ．3．【解析】||5a == ，∴134(3,0,4)(,0,)555||a e a ==⋅=，∴选C ．4．【解析】抛物线24y x =知12p =，||2132P pPF x =+=+=，∴选B ． 5．【解析】由概率的性质知①③为真命题，∴选C ．6．【解析】当且仅当0a ≠时，方程2y ax =表示的曲线为抛物线，∴选A ． 7．【解析】5a =，进入循环后各参数对应值变化如下表：p15 20 结束 q5 25 n23∴选B ．8．【解析】∵|AF 1|+|AF 2|=6，|BF 1|+|BF 2|=6，∴△AF 2B 的周长为|AB|+|AF 2|+|BF 2|=12；若|AB|最小时，|BF 2|+|AF 2|的最大，又当AB ⊥x 轴时，|AB|最小，此时|AB|=22223b b a =，故221283b b -=⇒=．∴选D ． 二、填空题：(本大题共6题，每小题5分，共30分．) 9.23y x =±10.2 11.6 12. 200,210.x R x ∃∈+≤ 13.18.2 14.349． 10．【解析】222222(20)(10)(00)(10)(20)25s --+--+-+-+-==． 11．【解析】a b ⊥(1,5,2)⇒-⋅(,2,2)0m m +=102406m m m ⇒+--=⇒=．12．【解析】全称命题的否定为特称命题． 13．【解析】0.9200.218.2y =⋅+=．14．【解析】以A 为原点AB 为x 轴建立空间直角坐标系，则()10,0,2AA =,设(),,M x y z ，则(),,AM x y z = ,则111212AA AM z z ⋅≥⇒⋅≥⇒≥ ，从而12-2232==2224M V p V ⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭=⋅⋅正． 三、解答题：(本大题共6题，满分80．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．（本小题满分12分）解：(1)若在志愿者中随机抽取5名，则抽取比例为51204=………………………2分 ∴年龄大于40岁的应该抽取1824⨯=人. ……………………………4分 (2)上述抽取的5名志愿者中，年龄在20至40岁的有3人，记为1,2,3年龄大于40岁的有2人，记为4,5，……………………………………………6分 从中任取2名，所有可能的基本事件为：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)(3,4),(3,5),(4,5)，共10种，…8分其中恰有1人年龄大于40岁的事件有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5)(3,4),(3,5)，共6种，………………………………10分∴恰有1人年龄大于40岁的概率63105P ==.…………………………………12分 16．（本小题满分12分）解：（1）点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部（含边界），……………（1分）满足22(2)(2)4x y -+-≤的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面（含边界）． ……………………（3分）∴所求的概率211244416P ππ⨯==⨯． …………………………（5分） （2）满足,x y ∈Z ，且22x -≤≤，22y -≤≤的整点有25个 …………（8分）满足,x y ∈Z ，且22(2)(2)4x y -+-≤的整点有6个，……………（11分）∴所求的概率2625P =． ………………………………（12分）解 (1)由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a -⋅-<.……………………………1分 又0a >，所以3a x a <<，………2分当1a =时，13x <<，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是13x <<……4分 由2560x x -+≤得23x ≤≤.所以q 为真时实数x 的取值范围是23x ≤≤.…………………………………6分 若p q ∧为真，则23x ≤<，所以实数x 的取值范围是[)2,3．……………8分 (2) 设{}|3A x a x a =<<，{}|23B x x =≤≤…………………………………10分q 是p 的充分不必要条件，则B A ⊂…………………………………………12分所以021233a a a <<⎧⇒<<⎨>⎩，所以实数a 的取值范围是()1,2．………14分18．（本小题满分12分）解：（1）又由直线:2l y x =+与圆222x y b +=相切得b ==2分由e =得3a == 4分 ∴椭圆方程为22132x y +=…………………………………………………6分 （2）2222123(2)60322x y x x y x ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩251260x x ⇒++=…………8分 21245624∆=-⋅⋅=，设交点,A B 坐标分别为()()1122,,,x y x y ………9分则1212126,,55x x x x +=-⋅=…………………………………………………11分从而||5AB ==所以弦长||AB =14分解：以D 为原点建立如图空间直角坐标系，正方体棱长为2， 则D (0，0，0)、E (0，2，1)、F (1，2，0) 、G (0，1，0) 、A 1 (2，0，2) 、C (0，2，0)，…… 2 (1)则1(2,1,2)AG =-- ，(0,2,1)DE =， (1,2,0)DF =………………………… 3分 ∵1(2,1,2)AG DE ⋅=-- (0,2,1)0⋅=， ∴1A G DE ⊥………………………… 4分 ∵1(2,1,2)AG DF ⋅=-- (1,2,0)0⋅=， ∴1A G DF ⊥………………………… 5分又DE DF D ⋂=，DE DEF ⊂面，DF DEF ⊂面……………… 6分∴1AG ⊥面EFD …………………………………………………………7分 (2)由(1)知1(2,1,2)AG =--为面EFD 的法向量，………………………… 8分 ∵CE ⊥面CFD ，(0,0,1)CE =为面CFD 的法向量，……………… 9分设1A G 与CE 夹角为θ，则11cos AG CE AG CE θ⋅==⋅231-⋅23=-……… 12分 由图可知二面角E DF C --的平面角为πθ-， ∴二面角E DF C --的余弦值为23．…………………………………… 14分 20．（本小题满分14分）解：（1）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以2121,.x x yy ==-因为11(,)P x y在椭圆上，因此2211132x y += ①又因为OPQ S ∆=所以11||||x y ⋅= ②由①、②得11||| 1.2x y ==此时222212123,2,x x y y +=+=…………… 2分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+由题意知0m ≠，将其代入22132x y +=，得222(23)63(2)0k x kmx m +++-=，其中22223612(23)(2)0,k m k m ∆=-+->即2232k m +>…（*）又212122263(2),,2323km m x x x x k k-+=-=++所以||PQ == 因为点O 到直线l 的距离为d =所以1||2OPQS PQ d ∆=⋅=2|23m k =+又OPQ S ∆=整理得22322,k m +=且符合（*）式， 此时222221212122263(2)()2()23,2323km m x x x x x x k k -+=+-=--⨯=++ 222222121212222(3)(3)4() 2.333y y x x x x +=-+-=-+=综上所述，222212123;2,x x y y +=+=结论成立。

广东省惠州市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．已知直线l经过点A和0,3B ⎛ ⎝⎭两点，则直线l 的倾斜角是（）A ．30︒B ．45°C ．60°D ．120°2．直线1l ：()2410a x y -+-=，直线2l ：()230x a y +-+=，则直线12l l ⊥是3a =-的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知两个非零向量()()123123,,,,a a a a b b b b ==，，它们平行的充要条件是（）A ．11a b ab =B ．312123a a ab b b ==C ．1122330a b a b a b ++=D ．存在非零实数k ，使a kb=4．如图，四棱锥P OABC -的底面是矩形，设OA a = ，OC b = ，OP c =，E 是棱PC 上一点，且2PE EC =，则BE =（）A ．111333a b c --+B ．1133a b c--+C ．1133a b c-++ D ．1133a b c---5．已知椭圆221259x y C +=：的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 作直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，设()()1122,,,A x y B x y ，若2ABF △内切圆的面积为π，则12y y -=（）A ．54B ．2C ．52D ．36．已知圆2221:210C x y mx m +-+-=和圆2222:290C x y ny n +-+-=恰有三条公共切线，则22(6)(8)m n -+-的最小值为（）A ．6B ．36C ．10D7．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 翻折，使得二面角A BD C --的平面角的大小为π3，若点E ,F 分别是线段AC 和BD 上的动点，则BE CF ⋅ 的取值范围为（）A ．[1,0]-B ．1[1,]4-C ．1[,0]2-D ．11[,24-8．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A B ，及动点P ，若(0PB PAλλ=>且1)λ≠，则点P 的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知(0,0),O Q ，直线1:30l kx y k -++=，直线2:310l x ky k +++=，若P 为12,l l 的交点，则3PO PQ +的最小值为（）AB ．13-C ．14-D 二、多选题9．已知椭圆2212x y m +=，1c =，则c a （2a 为椭圆上的点到两焦点的距离之和，2c 为两焦点之间的距离）为（）A ．13B ．3C D 10．已知点()21P --，到直线l ：()()131225x y λλλ+++=+的距离为d ，则d 的可能取值是（）A ．0B ．1CD ．411．如图，八面体Ω的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B C D E ，，，在同一个平面内．若点M 在四边形BCDE 内（包含边界）运动，N 为AE 的中点，则（）A ．当M 为DE 的中点时，异面直线MN 与CF 所成角为π3B ．当//MN 平面ACD 时，点M 的轨迹长度为C ．当MA ME ⊥时，点M 到BCD ．存在一个体积为10π3的圆柱体可整体放入Ω内三、填空题12．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=︒，且13A A =，则1AC 的长为．13．已知椭圆22221y x a b +=（0a b >>）的长轴长为4若A ，B 分别是椭圆的上、下顶点，1F ，2F 分别为椭圆的上、下焦点，P 为椭圆上任意一点，且12PA PB ⋅=- ，则12PF F 的面积为.14．在平面直角坐标系xOy 中，点(4,0)A -，(0,4)B ，从直线AB 上一点P 向圆22(1)(1)4x y -++=引两条切线,PC PD ，切点分别为,C D ，则直线CD 过定点，定点坐标为．四、解答题15．已知()1,1A ，()2,3B ，()4,0C ．求：(1)BC 边上的中线所在的直线方程；(2)AB 边垂直平分线方程；16．著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式S ab π=，（,a b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C ：221189x y +=．(1)求C 的面积；(2)若直线:230l x y +-=交C 于,A B 两点，求AB ．17．如图，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，2AB AD ==，3AE BC ==，1CF =(1)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；(2)求平面BDE 与平面BDF 的夹角．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，3l 过椭圆的焦点以及点(0,23-.点P 是椭圆C 上与左、右顶点不重合的点，且12PF F 的面积最大值2(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()2,0E -的直线m 交椭圆C 于点M 、N，且满足13tan OM ON MON⋅=∠ （O 为坐标原点），求直线m 的方程.19．蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来．如图，已知圆M 的方程为222()x y b r +-=，直线x my =与圆M 交于()11,C x y ，()22,D x y ，直线x ny =与圆M 交于()33,E x y ，()44,F x y ．原点O 在圆M 内．设CF 交x 轴于点P ，ED 交x 轴于点Q．(1)当0b =，r =12m =-，2n =时，分别求线段OP 和OQ 的长度；(2)①求证：34121234y y y y y y y y ++=．②猜想O 和O 的大小关系，并证明．。

2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为20000人，其中持各种态度的人数如表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出的人数为（）A．25，25，25，25 B．48，72，64，16 C．20，40，30，10 D．24，36，32，82．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．10403. 在中，，，则等于（）A. 3B.C. 1D. 24．（1+tan20°）（1+tan25°）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．如图，给出的是的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜99 B．i≤99 C．i＞99 D．i≥997. 已知直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8．已知过点P（0，2）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣2y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．4 C．﹣4 D．19．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（ +1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.1511．在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间[﹣，﹣]单调递增D．在[﹣，]单调递减二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图所示，则f（x）的解析式为．14．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若bsinA﹣acosB=0，则A+C= ．15. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为__________．16．已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为8y的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x ）的图象．若y=g （x ）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18. 在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值.19．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣． （1）若0＜α＜，且sin α=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．21．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．22．（12分）（2016秋•德化县校级期末）已知f（x）=sin2（2x﹣）﹣2t•sin（2x﹣）+t2﹣6t+1（x∈[，]）其最小值为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．参考答案：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D2．D3.D4．A5．C6．B7. B8．C9．A10．B11．C12.C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．．14．120°． 15. 16． 8；（1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18. (1) ；（2）. 19．（﹣4，0]．20．（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．．21．1） P==．（2）a=0.00422．（1）∵x∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（x）=[sin（2x﹣﹣t]2﹣6t+1，当t＜﹣时，则当sinx=﹣时，f（x）min=；当﹣≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）min=﹣6t+1；当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2﹣8t+2；∴g（t）=（2）k≤﹣8或k≥﹣5．。

空间几何体的表面积和体积【学习目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法；2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系；3.了解球的表面积和体积公式推导的基本思想，掌握球的表面积和体积的计算公式，并会求球的表面积和体积；4.会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积. 【要点梳理】要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．1．圆柱的表面积（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r ，母线长l ，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr ，宽等于圆柱侧面的母线长l （也是高），由此可得S 圆柱侧=C l =2πr l ．（2）圆柱的表面积：2222()S r rl r r l πππ=+=+圆柱表．2．圆锥的表面积（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr ，半径等于圆锥侧面的母线长为l ，由此可得它的侧面积是12S Cl rl π==圆锥侧． （2）圆锥的表面积：S 圆锥表=πr 2+πr l ．3．圆台的表面积（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r ＇、r ，母线长为l ，那么这个扇形的面积为π(r ＇+r)l ，即圆台的侧面积为S 圆台侧=π(r ＇+r)l ．（2）圆台的表面积：22('')S r r r l rl π=+++圆台表．要点诠释：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．4．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示．要点三、柱体、锥体、台体的体积 1．柱体的体积公式棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S 和高h 的乘积，即V 棱柱=Sh ． 圆柱的体积：底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是V 圆柱=Sh=πr 2h ． 综上，柱体的体积公式为V=Sh ． 2．锥体的体积公式棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =棱锥． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =圆锥；如果底面积半径是r ，用πr 2表示S ，则213V r h π=圆锥． 综上，锥体的体积公式为13V Sh =． 3．台体的体积公式棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S ＇、S ，高是h ，那么它的体积是1(')3V h S S =棱台．圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r ＇、r ，高是h ，那么它的体积是2211(')('')33V h S S h r rr r π=+=++圆台．综上，台体的体积公式为1(')3V h S S =． 4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示．要点四、球的表面积和体积 1．球的表面积（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积公式 S 球=4πR 2． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2．球的体积设球的半径为R ，它的体积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数． 球的体积公式为343V R π=球． 要点五、侧面积与体积的计算 1．多面体的侧面积与体积的计算在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用．（1）棱锥平行于底的截面的性质：在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：S S S S S S ===小锥底小锥全小锥侧大锥底大锥全大锥侧对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比．要点诠释：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．（2）有关棱柱直截面的补充知识．在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：S 棱柱侧=C 直截l （其中C 直截、l 分别为棱柱的直截面周长与侧棱长）， V 棱柱=S 直截l （其中S 直截、l 分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）． 2．旋转体的侧面积和体积的计算（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键．（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关问题的关键．【典型例题】类型一、简单几何体的表面积例1．如右图，有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为345(0)a a a a >、、．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是 ．【答案】03a <<． 【解析】底面积为26a ，侧面面积分别为6、8、10，拼成四棱柱时，有三种情况：221(86)2462428s a a =+⨯+⨯=+222242(108)2436,s a a =++=+ 223242(106)2432,s a a =++=+拼成三棱柱时也有三种情况：表面积为22262(1086)1248a a ⨯+++=+，24a 2+36, 24a 2+32由题意得2224281248a a +<+，解得03a <<． 【总结升华】（1）直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积；表面积等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和．（2）求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法．所谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求，公式法即直接用公式求解．举一反三：【变式1】一个圆柱的底面面积是S ，侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为（ ）A ．4S πB ．2S πC ．S πD S 【答案】A【解析】由圆柱的底面面积是S ，求出圆柱的半径为r =4S π．例2．在底面半径为R ，高为h 的圆锥内有一内接圆柱，求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高，并求此时侧面积的最大值．【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求解。

干货提取之2019届高三数学最新模拟试题精选精析 01一.选择题精选1.【广东省惠州市2019届高三第一次调研考试】已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三 角形，2AB =， 2SA SB SC ===，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是（ ）A B ．1 C D 2. 【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ).注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 3. 【河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试】在中，为的中点，，则（ ） A ． B ．C ．3D ．4. 【河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试】设函数，若，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．5. 【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( ).A．B．C．D．6.【河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试】在三棱锥中，,是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．D．7.【安徽省定远重点中学2019届高三上学期期末考试】过抛物线（）的焦点作斜率大于的直线交抛物线于，两点（在的上方），且与准线交于点，若，则（）A．B．C．D．8.【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球.若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖.按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( ).A．B．C．D．9.【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】函数的图像大致为( )A．B．C．D．10.【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】如图，图中的大、小三角形分别为全等的等腰直角三角形，向图中任意投掷一飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为( )A．B．C．D．11.【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】已知双曲线，分别过其左、右焦点，作圆：的切线，四条切线围成的四边形的面积为（），则双曲线的离心率为( )A．B．C．2D．12.【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】设双曲线()的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于点，连结，若，，则双曲线的离心率为( ).A．B．C．D．13.【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】已知函数，若在区间内无最值，则的取值范围是( )A．B．C．D．14.【河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试】函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．15.【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】已知函数有两个不同的极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是( ).A．B．C．D．二．填空题精选1．【山西省长治二中、忻州一中、 临汾一中、康杰中学、晋城一中2019届高三上学期第一次联考】已知ABC ∆的面积为S ，三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．若2224c b a S +=+，则)4πco s(si n +-B C 取最大值时C = ．2. 【河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试】已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且,则该三棱锥的外接球的体积为____．3. 【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】在中，，，，过作交于，则__________．4. 【安徽省定远重点中学2019届高三上学期期末考试】设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为_________. 5. 【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】在锐角中，，，则中线AD 长的取值范围是_________.6. 【河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试】已知函数的定义域为，若其值域也为，则称区间为的保值区间．若的保值区间是，则的值为_____．7. 【安徽省定远重点中学2019届高三上学期期末考试】设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则以1S ，3S ， 4S 为前三项的等差数列的第8项与第4项之比为________.8. 【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】已知函数在区间上恒满足，则实数的取值范围是____．9. 【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，且，过点分别作于点，于点，连接，则三棱锥的体积的最大值为__________．10. 【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】在平面直角坐标系中，点()()，记的面积为，则____________.二．解答题精选1.【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】【理】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若函数的两个零点分别为，（），证明：.【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】【文】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数的图像不在轴上方，求的取值范围.2.【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】【理】如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）若点在线段上，且满足，求直线与平面所成角的正弦值.【河南省周口市2019届高三上学期期末调研考试】【文】如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）若为的中点，求点到平面的距离.3.【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】【理】每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如右的频率分布直方图：(Ⅰ)求这100人睡眠时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；(Ⅱ)由直方图可以认为，人的睡眠时间近似服从正态分布，其中近似地等于样本平均数，近似地等于样本方差，.假设该辖区内这一年龄层次共有10000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数.附：.若随机变量服从正态分布，则，.【河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试】【文】未了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人，将这100人的年龄数据分成5组：，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图.在这100人中不支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：（1）由频率分布直方图，估计这100人年龄的平均数；（2）由频率分布直方图，若在年龄，，的三组内用分层抽样的方法抽取12人做问卷调查，求年龄在组内抽取的人数；（3）根据以上统计数据填写下面的列联表，据此表，能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的不支持态度存在差异？附：，其中.参考数据：4.【广东省雷州市2019届高三上学期期末考试】【文理】已知正项数列满足，且对任意，．（I）求数列的通项公式；（II）设，求数列的前项和．5.【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测】【理】设椭圆()的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.【河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试】【文】已知抛物线上一点的纵坐标为6，且点到焦点的距离为7.（1）求抛物线的方程；（2）设为过焦点且互相垂直的两条直线，直线与抛物线相交于两点，直线与抛物线相交于点两点，若直线的斜率为，且，试求的值.。

解析几何的常用结论一．有关椭圆的经典结论焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 范围 顶点轴长焦点焦距 对称性离心率1.椭圆的两焦点分别为12,F F ,P 是椭圆上任意一点,则有以下结论成立:(1)第一定义：122PF PF a +=； (2)焦半径的最大值与最小值：1a c PF a c -≤≤+；(3)2212b PF PF a ≤⋅≤；2.设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,12,F F 为其焦点，记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+；(2)焦点三角形的面积： 122||=tan 2PF F P S c y b θ∆=；(3)当P 点位于短轴顶点处时,θ最大,此时12PF F S ∆也最大；3.有关22b a-的经典结论(1).AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.(2).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），12,A A 为椭圆的长轴顶点，P 点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有1222PA PA b K K a=-(3). 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），12,B B 为椭圆的短轴顶点，P 点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有1222PB PB b K K a=-(4). 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PBb K K a=-4. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为ab 225. 从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.6. 椭圆内接矩形最大面积：2ab .二．有关双曲线的经典结论焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 范围 顶点轴长焦点焦距 对称性 离心率渐近线方程1.设P 点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-. (2)焦点三角形的面积 122||=cot 2PF F P S c y b θ∆=.2.有关22b a的经典结论(1)AB 是双曲线22221x y a b -=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=，即2020ABb x K a y =。

广东省惠州市综合高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷（B）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列说法正确的是（）A ．若a b < ，则a b<r rB ．若a ，b 互为相反向量，则0a b +=C ．空间中两平行向量相等D ．在四边形ABCD 中，AB AD DB-=2．若向量(1,1,2),(2,1,3),a b =-=- 则a ，b的夹角的余弦值为（）A B ．21C ．42-D ．3．已知点(),3,5A a -，()0,,2B b ，()2,7,1C -，若A ，B ，C 三点共线，则a ，b 的值分别是（）A ．2-，3B ．1-，2C ．1，3D ．2-，24．已知4a = ，空间向量e 为单位向量，23,a e π= ，则空间向量a在向量e 方向上的投影向量的模长为（）A ．2B ．2-C ．12-D ．125．已知()2,1,3a =- ，()4,,2b y =- ，且()a ab ⊥+，则y 的值为（）A ．6B ．10C ．12D ．146．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 的中点，若PA a = ,PB b = ,PC c =，则用基底{},,a b c 表示向量BE为（）A ．111222a b c→→→-+B ．111222a b c→→→--C ．131222a b c→→→-+D ．113222a b c→→→-+7．O 为空间任意一点，若1148AP OA OB tOC =-++，若A ，B ，C ，P 四点共面，则t =（）A ．1B ．98C ．18D ．148．在空间中，已知平面的一个法向量(),,e A B C =和平面上一点()000,,P x y z ，平面上任意一点的坐标(),,x y z 满足的关系式为()()()0000A x x B y y C z z -+-+-=．则该方程称为这个平面的方程，若两平面的方程分别为21x y z +-=和2x y z --=则这两平面的夹角的余弦值为（）A ．13-B ．13C ．16-D ．16二、多选题9．在空间直角坐标系O －xyz 中，以下结论正确的是（）A ．点()1,3,4A -关于x 轴对称的点的坐标为(－1，－3，4)B ．点()1,2,3P -关于xOy 平面对称的点的坐标为(－1，2，－3)C ．点()3,1,5B -关于原点对称的点的坐标为(3，－1，－5)D ．()()1,1,2,1,3,3M N -两点间的距离为310．已知直线l 的一个方向向量为(),1,3a m =，平面α的一个法向量为()2,,1b n =- ，则（）A ．若//l α，则23m n -=B ．若l α⊥，则23m n -=C ．若//l α，则20mn +=D ．若l α⊥，则20mn +=11．如图，在底面为等边三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，2AC =，1BB =D ，E 分别为棱BC ，1BB 的中点，则（）A ．1AB ∥平面1ADC B ．1AD C D⊥C ．异面直线AC 与DED ．平面1ADC 与平面ABC 三、填空题12．已知点()0,1,0A -，平面PAD 的一个法向量为()1,2,2m =，点()1,1,0B -在平面PAD 外，则点B 到平面PAD 的距离为.13．向量(),1,1a x = ，()1,,1b y = ，()2,4,2c =- ，且a c ⊥ ，//b c，则2a b += .14．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、Q 分别在11A B 、11C D 上，且112A P PB =，112C Q QD =，则异面直线BP 与DQ 所成角的余弦值为四、解答题15．已知向量()1,0,1a =- ，()1,2,0b =-(1)求a与()a b - 的夹角；(2)若2a b + 与a tb -垂直，求实数t 的值．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB a = ，AD b = ，c AP =.(1)试用,,a b c 表示向量BM；(2)求BM 的长.17．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点.(1)证明：11BC A C^(2)求点1C 到平面1AD E 的距离18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，E 为1AA 的中点，F 为BC 的中点．(1)证明：//EF 平面11A BC ；(2)若12AC BC CC ===，求平面11A BC 与平面AEF 的夹角的余弦值．19．如图1，在平行四边形ABCD 中，60,22D DC AD =︒==，将ADC △沿AC 折起，使点D 到达点P 位置，且PC BC ⊥，连接PB 得三棱锥P ABC -，如图2．(1)证明：平面PAB ⊥平面ABC ；(2)在线段PC 上是否存在点M ，使平面AMB 与平面MBC 的夹角的余弦值为58，若存在，求出||||PM PC 的值，若不存在，请说明理由．参考答案：题号12345678910答案D CDACCCDBCDAD题号11答案ABD1．D【分析】根据向量的相关定义即可求解ABC,根据向量的减法运算即可求解D.【详解】对于A ，向量不可以比较大小，所以A 错误；对于B,若a ，b互为相反向量，则0a b += ，故B 错误；对于C ，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C 错误；对于D ，四边形ABCD 中，AB AD DB -=，故D 正确.故选：D 2．C【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式计算即得.【详解】向量(1,1,2),(2,1,3)a b=-=-，则1211235a b ⋅=⨯-⨯-⨯=-，|||a b == 所以a ，b 的夹角的余弦值为cos ,42||||a b a b a b ⋅〈〉==-.故选：C 3．D【分析】由A ，B ，C 三点共线，得AB与BC 共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可.【详解】因为(),3,5A a -，()0,,2B b ，()2,7,1C -，所以(,3,3)AB a b =-+- ，(2,7,3)BC b =--，因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数k ，使AB k BC =，所以(,3,3)(2,7,3)a b k b -+-=--，所以23(7)33a k b k b k -=⎧⎪+=-⎨⎪-=-⎩，解得1,2,2k a b ==-=.故选：D4．A【分析】由空间向量a在向量e 方向上的投影数量为e a e⋅，运算即可得解.【详解】由题意，4a = ，1e = ，23,a e π=，则空间向量a 在向量e 方向上的投影数量为2cos 13242e e a ea eπ⋅⋅==⎛⎫-=- ⎪⎝⨯⎭.所以所求投影向量的模长为2.故选：A 5．C【分析】根据空间向量坐标运算以及空间向量垂直的坐标表示可以计算得到答案.【详解】因为()a ab ⊥+，所以()()(2,1,3)24,1,3241150a a b y y ⋅+=-⋅--++=-+-+=r r r ，解得12y =，故选：C.6．C【分析】根据空间向量的加法、减法、数乘运算求解即可.【详解】连接BD ， E 为PD的中点，111()()222BE BP BD PB BA BC =+=-++111111()()222222PB BA BC PB PA PB PC PB =-++=-+-+-311131222222PB PA PC a b c =-++=-+．故选：C ．7．C【分析】将1148AP tOC =-++化简为：3148OP OA OB OC t =++ ，利用四点共面定理可得31148t ++=，即可求解.【详解】因为AP OP OA =- ，所以1148AP OA OB tOC =-++，可化简为：1148OP OA OA OB tOC -++-=，即3148OP OA OB OC t =++ ，由于A ，B ，C ，P 四点共面，则31148t ++=，解得：18t =；故选：C 8．D【分析】确定两个平面的法向量，根据向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】因为两个平面的方程为21x y z +-=和2x y z --=由题意可得，两个平面的法向量分别为12(1,2,1),(2,1,1)n n =-=--，故两平面夹角的余弦值为1212121|cos ,|6n n n n n n ⋅〈〉===.故选：D.9．BCD【分析】结合空间直角坐标系的对称关系可判断A ，B ，C ；结合两点间距离公式可求D.【详解】点()1,3,4A -关于x 轴的对称点的坐标为()1,3,4-，故A 错误；点()1,2,3P -关于xOy 平面对称的点的坐标为()1,2,3--，故B 正确；()3,1,5B -关于原点的对称的点的坐标为()3,1,5--，故C 正确；()()1,1,2,1,3,3M N -3=，故D 正确.故选：BCD 10．AD【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明逐项计算判断即得.【详解】直线l 的一个方向向量为(),1,3a m =，平面α的一个法向量为()2,,1b n =- ，当//l α时，则有a b ⊥，因此230a b m n ⋅=-++= ，即23m n -=，A 正确，C 错误；当l α⊥时，则有//a b ，因此1321m n ==-，则120,6,3mn m n +==-=，B 错误，D 正确.故选：AD 11．ABD【分析】选项A 由线面平行的判定定理可证；选项B 由线面垂直可证线线垂直；选项CD 可由空间向量法可得.【详解】选项A：如图连接1AC 交1AC 于F ，连接DF ，由题意可知F 为1AC 的中点，又D 为BC 的中点，故1//AB DF ，又1A B ⊄平面1ADC ，DF ⊂平面1ADC ，故1A B ∥平面1ADC ，故A 正确；选项B ：由题意ABC V 为等边三角形，D 为BC 的中点，故AD BC ⊥,又棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，故1AD BB ⊥，又1BC BB B = ，⊂BC 平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，故AD ⊥平面11BCC B ，又1C D ⊂平面11BCC B ，故1AD C D ⊥，故B 正确；选项C：如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,1,0C -，0,12E ⎛ ⎝⎭，，因22AD =⨯=3,0,0，所以()1,0AC =- ，0,12DE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，设异面直线AC 与DE 所成角为α，则cos cos,6AC DEα==故C错误；选项D：由题意平面ABC的一个法向量为()0,0,1i=，(10,C-，)DA=，(10,DC=-，设平面1ADC的法向量为(),,j x y z=，则1j DAjDC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1y=-⨯+=⎪⎩，设y，则0x=，1z=，故()j=，设平面1ADC与平面ABC的夹角为β，则cos cos,i jβ==故sinβ===，故sintancosβββ==D正确，故选：ABD12．13【分析】根据题意，利用空间向量的距离公式，即可求解.【详解】由点()0,1,0A-和()1,1,0B-，可得()1,0,0AB=，又由平面PAD的一个法向量为()1,2,2m=，所以点B到平面PAD的距离为13ABmm⋅=.故答案为：13.13．【分析】利用向量平行、垂直的坐标表示求出x，y，再利用坐标求出向量的模作答.【详解】因(),1,1a x=，()2,4,2c=-，而a c⊥，则有2420a c x⋅=-+=，解得1x=，即()1,1,1a=又()1,,1b y = ，且//b c ，则有11242y ==-，解得2y =-，即()1,2,1b =- ，于是得2(3,0,3)a b +=，2a b +==所以2a b +=故答案为：14．45/0.8【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BP 与DQ 所成角的余弦值.【详解】设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为3，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,1,3Q ，()3,3,0B ，()3,2,3P ，()0,1,3BP =- ，()0,1,3DQ =，设异面直线BP 与DQ 所成角为θ，则4cos 5BP DQ BP DQθ⋅===⋅.即异面直线BP 与DQ 所成角的余弦值为45.故答案为：45.15．(1)π4(2)1【分析】(1)结合向量数量积性质夹角公式的坐标表示即可求解；(2)由向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】（1） ()1,0,1a =- ，()1,2,0b =-，∴()2,2,1a b -=-，a =3a b -== ，令a 与()a b - 的夹角为θ，则cos 2a a b a a b θ=→→→→→→⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭==⋅-，则a 与()a b - 的夹角为π4.（2） ()21,2,2a b +=-- ，()1,2,1a tb t t -=-- ，又2a b + 与a tb - 垂直，∴()()20a b a tb +-= ，即()()1122120t t -⨯--+⨯-+⨯=，解得1t =.16．(1)111222b ac -+(2)2【分析】利用空间向量基本定理用基底表示BM ；（2）在第一问的基础上运用空间向量数量积运算法则进行运算.【详解】（1）()1122BM BC CM AD CP AD CB BA AP =+=+=+++ 111111222222AD AD AB AP b a c =--+=-+ （2）22222111111111222444222BM c b a c a b c b a c ⎛⎫=-+=++-⋅+⋅-⋅ ⎪⎝⎭ 11111131021214422222=++-+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，所以BM = BM的长为2.17．(1)证明见解析(2)23【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出110BC AC ⋅= ，得到垂直关系；（2）求出平面1AD E 的法向量，利用点到平面距离公式求出答案.【详解】（1）以A 为坐标原点，1,,AD AB AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()110,2,0,2,2,2,0,0,2,2,2,0B C A C ，则()()()()()()112,2,20,2,02,0,2,2,2,00,0,22,2,2BC A C =-==-=- ，()()112,0,22,2,2440BC AC ⋅=⋅-=-= ，所以11BC AC ^u u u ur u u r u ，即11BC A C ^.（2）设平面1AD E 的法向量为 =s s ，()()()10,0,0,2,0,2,0,2,1A D E ，则()()()()1,,2,0,2220,,0,2,120m AD x y z x z m AE x y z y z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩，令1y =，则2,2x z ==-，故()2,1,2m =- ，点1C 到平面1AD E 的距离为123AC m d m ⋅==.18．(1)证明见解析；(2)5【分析】（1）证明四边形1OFEA 是平行四边形即可；（2）建立坐标系，求出两个平面的法向量即可求得两平面所成二面角的余弦值.【详解】（1）证明：取1BC 的中点O ，连接OF ,1A O ，∵1BO OC =，BF CF =，∴1OF CC ∥且112OF CC =，∵1112A E AA =，11AA CC ∥，∴1OF A E ∥，且1A E OF =,∴四边形1OFEA 是平行四边形，∴1EF O A ∥，∵1EF O A ∥，EF ⊄平面11A BC ，1AO ⊂平面11A BC ，∴EF ∥平面11A BC .（2）因为AC ，BC ，1CC 两两垂直，故以C 为原点，CA ,CB ,1CC 分别为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：()0,0,0C ，2,0,0，()0,1,0F ，()2,0,1E ，()0,2,0B ，()10,0,2C ，()12,0,2A ，设平面AEF 的法向量为 =s s ，由()0,0,1AE = ，()2,1,0AF =- ，有020AE m z AF m x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1x =，2y =，0z =，可得平面AEF 的一个法向量为()1,2,0m = ，设平面11A BC 的法向量为 =s s ，由()112,0,0C A = ，()10,2,2BC =- ，有11120220C A n a BC n b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取0a =，1b =，1c =，可得平面11A BC 的一个法向量为()0,1,1n = ，有2m n ⋅=，m =n =可得cos ,m n ==故平面11A BC 与平面AEF 的夹角的余弦值为5．19．(1)证明见解析(2)存在；23【分析】（1）推导出PA AC ⊥，证明出⊥BC 平面PAB ，可得出PA BC ⊥，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，BC 、AC 、AP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设PM PC λ= ，其中01λ≤≤，利用空间向量法可得出关于λ的等式，结合01λ≤≤求出λ的值，即可得出结论.【详解】（1）证明：翻折前，因为四边形ABCD 为平行四边形，60D ∠= ，则60B ∠= ，因为22DC AD ==，则2AB DC ==，1BC AD ==，由余弦定理可得22212cos 4122132AC AB BC AB BC B =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以，222AC BC AB +=，则BC AC ⊥，同理可证AD AC ⊥，翻折后，则有BC AC ⊥，PA AC ⊥，因为PC BC ⊥，AC PC C = ，AC 、PC ⊂平面PAC ，所以，⊥BC 平面PAC ，因为PA ⊂平面PAC ，则PA BC ⊥，因为AC BC C = ，AC 、⊂BC 平面ABC ，所以，PA ⊥平面ABC ，所以平面PAB ⊥平面ABC .（2）因为PA ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，以点A 为坐标原点，BC 、AC 、AP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则0,0,0、0,0,1、()C、()B -，设()()1,PM PC λλλ==-=- ，其中01λ≤≤，则()()()0,0,1,,1AM AP PM λλ=+=+-=-，()AB =- ，设平面ABM 的法向量为(),,m x y z =，则()010m AB x m AM y z λ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1y λ=-，则z =，)1x λ=-，所以，))1,1,m λλ=-- ，平面MBC 的一个法向量为(),,n a b c =，()1PB =--，()1PC =- ，则00n PB a c n PC c ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令b =()n = ，则5cos ,8m n m n m n ⋅==⋅ ，整理可得23λ=，因此，线段PC 上存在点M ，使平面AMB 与平面MBC 的夹角的余弦值为58，且23PM PC =.。

惠州市2025届高三第一次调研考试试题数学2024.07全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上．2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效．3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1.已知集合{}{}230,ln 0A x x x B x x =-<=>，则A B = （）A.{}01x x << B.{}0x x > C.{}03x x << D.{}13x x <<2.若i(1)1z -=，则z z +=（）A.2- B.1- C.1D.23.在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2+a 3＝13，则a 4+a 5+a 6等于（）A.40B.42C.43D.454.732x⎛⎝的展开式中常数项是（）A.14B.14- C.42D.42-5.在正三棱柱111ABC A B C -中，若12,1AB AA ==，则点A 到平面1A BC 的距离为（）A.32B.334C.D.6.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．向量(,),(,)p a c b q b a c a =+=-- ．若//p q，则角C 的大小为（）A.π6 B.π4C.π3D.2π37.设点A,B 在曲线2log y x =上．若AB 的中点坐标为(5,2)，则||AB =（）A.6B. C. D.8.已知函数π5π()sin(3)sin(2)46f x x x ωω=-+在区间(0,π)恰有6个零点，若0ω>，则ω的取值范围为（）A.313(,)412B.1317(,)1212C.1719(,]1212D.197(,124二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.现有甲、乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表（满分100分）．设事件M 表示“从甲机构测评分数中任取3个，至多1个超过平均分”，事件N 表示“从甲机构测评分数中任取3个，恰有2个超过平均分”．下列说法正确的是（）机构名称甲乙分值90989092959395929194A.甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分B.甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差C.乙机构测评分数的中位数为92.5D.事件,M N 互为对立事件10.设公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若1916a a =，则（）A .54a = B.当11a =时，q =C.29log 18T = D.223732a a +≥11.在平面直角坐标系xOy 中，动点(,)P x y 的轨迹为曲线C ，且动点(,)P x y 到两个定点12(1,0),(1,0)F F -的距离之积等于3．则下列结论正确的是（）A.曲线C 关于y 轴对称B.曲线C 的方程为221x y ++=C.12F PF △面积的最大值32D.||OP 的取值范围为2]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.双曲线221-=x ky 的一个焦点是(2,0)，则k =_______．13.若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(),sin(66B ππθθ++，写出θ的一个取值为___．14.已知函数()f x 的定义域为[0,1]，对于1201x x ≤<≤，恒有12()()f x f x ≤，且满足1()(1)1,(()52x f x f x f f x +-==，则1(2024f =_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()ln 2f x x x ax =++在点()()1,1f 处的切线与直线220x y -+=相互垂直．（1）求实数a 的值；（2）求()f x 的单调区间和极值．16.某企业举行招聘考试，共有1000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分100分，初试通过后参加复试．（1）若所有考生的初试成绩X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中65,10μσ==，试估计初试成绩不低于75分的人数；（精确到个位数）（2）复试共三道题，每答对一题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为34，后两题答对的概率均为35，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y ，求Y 的分布列及期望．附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则：()0.6827P X μσμσ-<<+=，(22)0.9545,(33)0.9973P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=．17.在三棱锥-P ABC 中，PC ⊥平面π,3,2ABC PC ACB =∠=．,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且22CD DE CE EB ====．（1）证明：DE ⊥平面PCD ；（2）求平面PAD 与平面PCD 夹角的余弦值．18.如图，已知椭圆221:14x C y +=和抛物线()22:20C x py p =>，2C 的焦点F 是1C 的上顶点，过F 的直线交2C 于M 、N 两点，连接NO 、MO 并延长之，分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ，设OMN 、OAB 的面积分别为OMN S △、OAB S．（1）求p 的值；（2）求OM ON ⋅的值；（3）求OMN OABS S 的取值范围.19.如果数列{}n a 对任意的*N n ∈，211n n n n a a a a +++->-，则称{}n a 为“速增数列”.（1）判断数列{}2n是否为“速增数列”？说明理由；（2）若数列{}n a 为“速增数列”.且任意项Z n a ∈，121,3,2023k a a a ===，求正整数k 的最大值；（3）已知项数为2k （2,Z k k ≥∈）的数列{}n b 是“速增数列”，且{}n b 的所有项的和等于k ，若2n bn c =，1,2,3,,2n k = ，证明：12k k c c +.。

惠州市2014-2015学年第一学期期末考试高二理科数学试题说明：1.全卷满分150分，时间120 分钟；2.答卷前，考生务必将自己的姓名、县区、学校、班级、试室、座位号，填写在答题卷上；3.考试结束后，考生将答题卷交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．从集合1234{}5，，，，中随机抽取一个数为a ，则3a >的概率是（ ）A ．45 B ．35 C ．25 D ．152.已知命题p ：若x y =p 的否命题是（ ）A，则x y =B ．若x y ≠≠C ．若x y =D≠，则x y ≠3.若()2,1,a x =3，()1,3,9b =，如果a 与b 为共线向量，则（ ）A.1x =B. 12x =C. 16x =D. 16x =-4.在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是（ ）A ．84B ．85C ．86D ．87 5.若:,sin 1,p x R x ∀∈≤则( )A ．:,sin 1p x R x ⌝∃∈>B ．:,sin 1p x R x ⌝∀∈>C ．:,sin 1p x R x ⌝∃∈≥D ． :,sin 1p x R x ⌝∀∈≥ 6.十进制数15化为二进制数为（ ）A ． 1011B ．1001 （2）C ．1111（2）D ．1111 7.空间四边形OABC 中， 2AOB AOC π∠∠=＝，则OA BC ⋅的值是（ ）A ．21B ．22 C ．－21 D ．08. 以双曲线221124y x -=的顶点为焦点，长半轴长为4的椭圆方程为（ ） 8 4 4 6 4 7m 9 310 7 9乙（第4题图）A ．2216452x y += B ．2211612x y += C ．221164x y += D ．221416x y += 9. 如图，在一个不规则多边形内随机撒入200粒芝麻（芝麻落到任何位置的可能性相等），恰有40粒落入半径为1的圆内，则该多边形的面积约为（ ） A ．4π B ．5π C ．6π D ．7π10. 已知双曲线2222100a x y a bb >>-=（，）的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与 双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．（1,2） B ．（1,2] C ．[2,+∞） D ．（2,+∞） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，请将答案填在答题卡相应位置. 11. 交警部门随机测量了高架桥南下口某一时间段经过的2000辆汽车的时速，时速的频率分布直方图如下图所示，则时速超过70 km/h 的汽车数量为 辆.12.若两个平面βα,的法向量分别是)0,1,1(),1,0,1(-==v u ，则这两个平面所成的锐二面角的度数是 。

高二理科数学试题 第1页（共6页） 高二理科数学试题 第2页（共6页）绝密★启用前|学科网试题命制中心2018-2019学年上学期期末原创卷04高二理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：人教必修3+选修2-1。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某学校准备调查高三年级学生完成课后作业所需的时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机对24名同学进行调查；第二种由教务处对年级的240名学生编号，由001到240，请学号最后一位为3的同学参加调查，则这两种抽样方式依次为 A ．分层抽样，简单随机抽样 B ．简单随机抽样，分层抽样 C ．分层抽样，系统抽样D ．简单随机抽样，系统抽样2．若点(1,2)P --在抛物线y =ax 2(a ∈R ,a ≠0)的准线上，则实数a 的值为 A ．8B ．18C ．4D ．143．用秦九韶算法计算多项式6532()25238103,4f x x x x x x x =++-+-=-时，4v 的值为 A ．92B ．1529C ．602D ．148-4．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数4, 5.6x y ==，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是 A ．0.44y x =+B ． 1.20.7y x =+C ．0.68y x =-+D ．0.78.2y x =-+5．已知命题p :方程22153x y k k+=+-表示椭圆，命题q :-5<k <3，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是 A ．34B ．23C ．12D ．137．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与x 2+(y -2)2=1没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(1,+∞)D ．(2,+∞)8．有一个容量为200的样本,其频率分布直方图如图所示,根据样本的频率分布直方图估计,通过分层抽样抽取一些样本进行数据分析,如果在区间[2,4)内抽取2个样本,那么在区间[10,12)内应抽取的样本个数为A ．2B ．4C ．6D ．99．2018年平昌冬季奥运会于2月9日~2月25日举行，为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例P ，某学生设计了如下的计算机模拟，通过计算机模拟在长为8，宽为5的长方形内随机取了N 个点，经统计，落入五环及其内部的点数为，圆环半径为1，则比值的近似值为A ．325πnNB ．32πnNC ．8πnND ．5π32nN。

2018-2019学年广东省深圳外国语学校高二（上）期末数学试卷（理科）1.（单选题，5分）命题“∃x∈R，2x+x2≤1”的否定是（）A.∀x∈R，2x+x2＞1B.∀x∈R，2x+x2≥1C.∃x∈R，2x+x2＞1D.∃x∈R，2x+x2≥12.（单选题，5分）复数z=1+ 1−i1+i（是虚数单位）在复平面内对应的点落在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（单选题，5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）在区间[a，b]上的极值点的个数为（）A.2B.3C.4D.54.（单选题，5分）函数f（x）=e-x sinx的单调递增区间（）（k∈Z）A. [2kπ−5π4，2kπ−π4]B. [2kπ−3π4，2kπ+π4]C. [2kπ−π4，2kπ+3π4]D. [2kπ+π4，2kπ+5π4]5.（单选题，5分）将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足BP⃗⃗⃗⃗⃗= 12CA⃗⃗⃗⃗⃗ + BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则| BP⃗⃗⃗⃗⃗ |2的值为（）A. 32B.2C. 10−√24 D. 946.（单选题，5分）若抛物线y2=ax的焦点与椭圆x26+y22=1的左焦点重合，则a的值为（）A.-8B.-16C.-4D.47.（单选题，5分）命题“∀x∈（1，+∞），都有x2-lnx＞ax成立”为真命题，则实数a的取值范围是（）A.（-∞，1]B.（-∞，1）C.[1，+∞）D.（1，+∞）8.（单选题，5分）已知F1、F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1的左右焦点，P是C上一点，3| PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |•|PF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4b2，则C的离心率的取值范围是（）A. (0，12]B. (0，√32]C. [√32，1)D. [12，1)9.（单选题，5分）正四棱锥P-ABCD的底面积为3，体积为√22，E为侧棱PC的中点，则PA 与BE所成的角为（）A. π6B. π3C. π4D. π210.（单选题，5分）已知正四面体A-BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（）A.∀F∈BC，EF⊥ADB.∃F∈BC，EF⊥ACC.∀F∈BC，EF≥ √3D.∃F∈BC，EF || AC11.（单选题，5分）已知函数f（x）=x3+ax2+x在区间（-1，1）内有且仅有一个极值并且为极小值，则实数a的取值范围是（）A.（2，+∞）B.[2，+∞）C.（-∞，-2）∪（2，+∞）D.（-∞，-2]∪[2，+∞）12.（单选题，5分）把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表，设a ij（i，j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，若a ij=2015，则i与j的和为（）A.104B.102C.80D.8113.（填空题，5分）计算定积分∫1(√1−x2−1)dx =___ ．14.（填空题，5分）曲线y=e-2x+1在点（0，2）处的切线方程是___ ．15.（填空题，5分）已知双曲线 C：x2a2 - y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为√3，A B 为左、右顶点，点 P 为双曲线 C 在第一象限的任意一点，点 O 为坐标原点，若直线PA，PB，PO 的斜率分别为k1，k2，k3，记m=k1k2k3，则 m 的取值范围为___ ．16.（填空题，5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为274，则a的值为___ ．17.（问答题，10分）设命题p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足x−3x−2≤0．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18.（问答题，12分）已知a是实数，函数f（x）=x2（x-a）．（Ⅰ）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．19.（问答题，12分）如图1所示，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD || BC，AD=6，DC=BC=3．过B作BE⊥AD于E，P是线段DE上的一个动点．将△ABE沿BE向上折起，使平面AEB⊥平面BCDE．连结PA，PC，AC（如图2）．（Ⅰ）取线段AC的中点Q，问：是否存在点P，使得PQ || 平面AEB？若存在，求出PD的长；不存在，说明理由；（Ⅱ）当EP= 23ED时，求平面AEB和平面APC所成的锐二面角的余弦值．20.（问答题，12分）已知函数f（x）=x-ln（x+a）（a是常数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当y=f（x）在x=1处取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x=x2+b在[ 12，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）求证：当n≥2，n∈N*时，（1+ 122）（1+ 132）…（1+ 1n2）＜e．21.（问答题，12分）已知A，B是椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的左，右顶点，B（2，0），过椭圆C的右焦点F的直线交于其于点M，N，交直线x=4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若记△AMB，△ANB的面积分别为S1，S2求S1S2的取值范围．22.（问答题，12分）已知函数f(x)=x+a2x，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a 的取值范围．。

广东省惠州市惠城区2018-2019学年八年级上学期期末考试地理试卷一．单项选择题（请把正确答案填写在表格上，每小题6分，共60分）2017年5月，落实《南海各方行为宣言》高官会在贵阳市举行。

如图是亚洲局部图。

读图和根据相关知识回答第1～3题。

1．会议举行期间，参会者在当地最常见的车牌是（）A．贵A B．川A C．云A D．桂A2．南海（）A．通过新加坡与大西洋沟通B．是我国唯一的海域C．周边国家盛产温带水果D．属于太平洋的一部分3．下列国家与我国接壤但不临南海的是（）A．菲律宾B．越南C．老挝D．马来西亚4．从图示获得关于我国的信息不正确的是（）A．位于东半球B．南部位于热带C．位于北半球D．地形复杂多样5．新疆地处东经73°40′至东经96°18′、北纬34°25′至48°10′，东西相距约1950公里，南北相距约1550公里，总面积约166万平方千米，2015年新疆常住人口是2359.73万人，回答5﹣6题。

我国广东的学生通常比新疆乌鲁木齐的学生上学时间早，原因是（）A．两地有时差B．两地天气不同C．两地海拔不同D．两地气候不同6．新疆地处东经73°40′至东经96°18′、北纬34°25′至48°10′，东西相距约1950公里，南北相距约1550公里，总面积约166万平方千米，2015年新疆常住人口是2359.73万人，回答5﹣6题。

新疆塔里木盆地气候干燥，而同纬度的北京气候则较湿润，导致这种差异的主要因素是（）A．纬度因素B．海陆因素C．地形因素D．人为因素如图是我国六次人口普查中人口数量与年龄结构的基本情况（不包括港澳台）。

据图和相关知识回答第7～9题。

7．下列关于我国人口数量的叙述，正确的是（）A．人口总量变化明显，2010年比1953年增长了2倍多B．与1990年﹣2000年相比较，2000年﹣2010年人口净增量上升C．1964年0﹣14岁人口数量多于1982年0﹣14岁人口数量D．2010年15﹣64岁人口数量高于世界上大多数国家的全国人口数量8．从人口结构柱状图可以看出，自1964年以来（）①0﹣14岁人口在总人口中的比重呈下降趋势②15﹣64岁人口数量逐年增加③0﹣14岁人口数量在减少④65岁及以上人口比重呈上升趋势A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④9．据图推测，1964年以来，我国人均耕地面积占有量如何变化（）A．减少B．增加C．稳定D．难以判断读图1图2，回答第10～12题。

一、选择题1.设集合[]{}2=12230M N x Z x x M N =∈--<⋂=，，，则( ) A ．[1，2] B ．(－1，3) C ．{1} D ．{l ，2}2.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（ ）A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数 3.“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.程序框图如右图所示，当12=13A 时，输出的k 的值为（ ）A. 11B. 12C. 13D. 145.在ABC ∆中，若2sin cos sin()B A A B =+，则ABC ∆的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形6.设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =（ ） A ．5 BC．547.在等差数列{}n a 中，0>n a ，且408321=++++a a a a ，则54a a ⋅的最大值是( ) A.5 B.10 C.25 D.508.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾,，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1 匹=40 尺，一丈=10 尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5 尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（ ） A ．12尺 B ．815尺 C ．1629尺 D ．1631尺 9.已知椭圆的左焦点为1F ，有一小球A 从1F 处以速度v 开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，方向相反，小球半径忽略不计），若小球第一次回到1F 时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（ ） A.13C. 35D. 23 10.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点 中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（ ） AC．．11.关于x 的不等式0ax b +>的解集为(),1-∞， 则关于x 的不等式02bx ax ->+的解集为 （ ） A ．()2,1- B ．()(),21,-∞--+∞ C.()2,1--D ．()(),21,-∞-+∞12.在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e =（ ） A ．38 B.12 C.58 D.78二、填空题13.某校今年计划招聘女教师x 人，男教师y 人，若x 、y 满足2526x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，则该学校今年计划招聘教师 最多_______人．14.已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于 ．15.已知命题p ：[2,3]x ∀∈，20x a -≥；q ：x R ∃∈，2220x ax a ++-=．若p q ∧是真命题，则实数a 的取值范围为 ．16.如图在平面四边形ABCD 中，45,60,150,24A B D AB BC ∠=︒∠=︒∠=︒==， 则四边形ABCD 的面积为 ．三、解答题17.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 满足38a =，416a =，1n n b a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n S 为数列{}n b 的前n 项和，试判断n ，n b ，n S 是否成等差数列； (3)记1+=n n nn b b a c ，求数列}{n c 的前n 项和n T ．18.（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为直角梯形，//,AB DC AB AD ⊥, 且11,2AD CD AA AB ====,侧棱1A A ⊥底面ABCD ，E 为棱1AA 的中点. (1)证明：11B C CE ⊥； (2)求点C 到平面11B C E 的距离.DCB19.（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.0.420.50（1）求直方图中a的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（3）估计居民月均用水量的中位数.20.（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且椭圆的右顶点为(2,0)，离心率为12e=﹒(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左右顶点分别为A，B，P为椭圆C上一动点，直线PA，PB分别交直线4x=于点D，E．试探究D，E两点纵坐标的乘积是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数2()2x x af x b+=+．（1）当4a =，2b =-时，求满足()2x f x =的x 的值； （2）若函数()f x 是定义在R 上的奇函数．①存在[1,1]t ∈-，使得不等式22()(2)f t t f t k -<-有解，求实数k 的取值范围；②若函数()g x 满足[]()()222xxf xg x -⋅+=-，若对任意x ∈R 且0x ≠，不等式(2)()10g x m g x ⋅-≥恒成立，求实数m 的最大值．22．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲. 已知函数(),0.f x x m m =-<(1)当1m =-时，解不等式()()2f x f x x +-≥-；(2)若不等式()(2)1f x f x +<的解集非空，求m 的取值范围.高二理科数学第一学期二阶考试参考答案：一、选择题 二、填空题13.10 14.8 15.]4,1[]2 , ( --∞ 16．6三、解答题17.解：(1)设等比数列的公比为q ，则2131816a q a q ⎧=⎨=⎩ ………………1分 则122a q =⎧⎨=⎩……………………3分 数列{}n a 的通项公式为2nn a =. ………4分(2)由于12-=nn b 则22212211--=---=++n n S n n n ………6分此时n n n n b n n n S 2222211=-=--+=+++ ………7分 则n ，n b ，n S 成等差数列………8分(3)由于121121)12)(12()12()12()12)(12(211111---=-----=--==+++++n n n n n n n n n n n n n b b a c ………10分 从而)121121()121121()121121()121121(1433221---++---+---+---=+n n n T ………11分12221211111--=--=+++n n n ． ………12分 18.【解析】（1）由题易知侧棱1CC ⊥平面1111A B C D ，11B C ⊂平面1111A B C D ，111CC B C ∴⊥. （1分）1AD CD ==，12AA AB ==，且E 为棱1AA 的中点，1111B E BC EC ∴===（3分） 则2221111B E B C EC =+，1190,BC E ∴∠=即111B C C E ⊥.（4分） 又11,CC C E ⊂平面1CC E ，111CC C E C =，11B C ∴⊥平面1CC E .（5分）又CE ⊂平面1CC E ，11BC CE ∴⊥.（6分）（2）解法一：由（1）知，111111122B C E S B C EC ∆=⋅=， 1111113B CC E CC E V B C S -∆=⋅. （7分） 取1CC 的中点M ，连接EM ，设点C 到平面11B C E 的距离为d .11,CE C E EM CC =∴⊥， （8分）1111112222CC ES CC EM CC ∆∴=⋅==⨯=1112,33B CC E V -∴== （9分）11111.3C B C E B C E V d S -∆=⋅= （10分）由1111C B C E B CC E V V --=23=，解得d =∴点C 到平面11B C E （12分）解法二：由（1）知11B C ⊥平面1CC E 及11B C ⊂平面11B C E ，∴平面11B C E ⊥平面1CC E .在平面1CC E 内作1CH EC ⊥交1EC 于H ，则CH ⊥平面11B C E ， 即CH 之长为点C 到平面11B C E 的距离. （8分） 取1CC 的中点M ，连接EM ，由1CE C E =，知1EM CC ⊥，EM ∴===（9分）由等面积法，得11EM CC CH EC ⋅===，∴点C 到平面11B C E（12分）19.解：（1）由频率分布直方图，可知：月用水量在[]0,05.的频率为0.080.5=0.04.⨯………2分同理，在[)(][)[)[)[)0.5,1 1.5,222.53,3.5 3.5,44,4.5，，，，，，等组的频率分别为 0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.………4分由()10.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.020=0.5+0.5a a -⨯⨯，解得0.30.a =………5分（2）由（1）得，100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12 (6)分由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为3000000.13=36000.⨯………8分（3）设中位数为x 吨.因为前5组的频率之和为0.040.080.15+0.21+0.250.730.5++=>，而前4组的频率之和为0.040.080.150.210.480.5+++=<，所以2 2.5.x <…………9分由()0.5020.50.48x ⨯-=-，解得 2.04.x =………11分 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.………12分20.解：（1）设椭圆E 的方程为222210)x ya b a b +=>>（,由已知得：212a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩ ………1分21a c =⎧∴⎨=⎩………2分 2223b ac ∴=-=………3分 ∴椭圆E 的方程为22143x y += …………4分 （2）由（1）可知A （﹣2，0），B （2，0）， …………5分 设P （x 0，y 0），则直线PA 的方程为y=（x +2）①， …………6分直线PB 的方程为y=（x ﹣2）②． …………7分将x=4代入①②，可得y D =，y E =， …………8分∴y D •y E =•=，…………10分 ∵P （x 0，y 0）在椭圆上，∴=﹣（﹣4），…………11分∴y D •y E ==﹣9 ∴D ，E 两点纵坐标的乘积是定值﹣9．…………12分21.解：（1）因为4a =，2b =-，所以24222x x x+=-，化简得2(2)3240x x -⋅-=………………1分解得()2124x x=-=舍或，…………………3分 所以2x =． ………………4分（2）因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以22022x x xx a ab b--+++=++， 化简并变形得：()(22)220x xa b ab -++++=．要使上式对任意的x 成立，则010a b ab +=+=且， 解得：1111a a b b ⎧==-⎧⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩或，因为()f x 的定义域是R ，所以11a b =⎧⎨=-⎩舍去，所以1,1a b =-=，所以()2121x x f x -=+．…………………………………5分① ()21212121x x x f x -==-++．对任意12,x x ∈R ，12x x <有：12212112222(22)()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++． 因为12x x <，所以12220x x -<，所以()()12f x f x <，因此()f x 在R 上递增．………………………………………6分因为22()(2)f t t f t k -<-，所以222t t t k -<-，即2k t t <+在[1,1]t ∈-时有解．当[1,1]t ∈-时，2max ()2t t +=，所以2k <．…………………………8分②因为[]()()222x x f x g x -⋅+=-，所以()22x x g x -=+(0x ≠)， ………9分所以()222222(22)2x x x x g x --=+=+-．不等式(2)()10g x m g x ⋅-≥恒成立，即2(22)222)10(x x x x m --+-+-⋅≥，令22x x t -=+，2t >，则8m t t+≤在2t >时恒成立． ………………10分 因为2t >，由基本不等式可得：8t t +≥t =所以m ≤m的最大值为12分22.【解析】（1）当1m =-时，()()11f x f x x x +-=++-，设()2,1,112,11,2,1,x x F x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-≤<⎨⎪≥⎩当1x <-时，22x x -≥-，解得2x ≤-；当11x -≤<时，22x ≥-，解得01x ≤<； 当1x ≥时，22x x ≥-，解得1x ≥.综上，原不等式的解集为{}20x x x ≤-≥或.（5分）（2）()()22,0.f x f x x m x m m +=-+-<设()()()2g x f x f x =+，当x m ≤时，()223g x m x m x m x =-+-=-，则()g x m ≥-； 当2m m x <<时，()2g x x m m x x =-+-=-，则()2m g x m -<<-； 当2m x ≥时，()232g x x m x m x m =-+-=-，则()2m g x ≥-.则()g x 的值域为,2m ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 由题知不等式()()21f x f x +<的解集非空，则12m >-，解得2m >-， 由于0m <，故m 的取值范围是()2,0-.（10分）。

广东省惠州市第九中学2020年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 极坐标方程ρ=cos（﹣θ）表示的曲线是（）A．双曲线B．椭圆C．抛物线D．圆参考答案：D【考点】极坐标系和平面直角坐标系的区别．【分析】分析根据极坐标系与直角坐标系的关系，把极坐标方程方程转化为直角坐标系下的方程，再分析其所表示的曲线是什么．【解答】解：原坐标方程可化简为即又有公式所以可化为一般方程．是圆的方程故答案选择D．2. 哈六中15届高二有名学生, 现采用系统抽样方法, 抽取人做问卷调查, 将人按随机编号, 则抽取的人中, 编号落入区间的人数为（）参考答案：B3. 设函数，若对于任意∈[0，2]都有成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．.参考答案：A4. 双曲线x2－ay2＝1的焦点坐标是（）A．(, 0) , (－, 0) B．(, 0), (－, 0)C．（－, 0）,（, 0） D．(－, 0), (, 0)参考答案：B略5. 已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为()A. B.C．0D．－参考答案：C6. 已知集合A={－1,0,1,2}，，则A∩B=（）A. {－1,0,1,2}B. {－1,0,1}C.{0,1,2}D. {0,1}参考答案：D【分析】由交集运算直接求解即可【详解】由题故选：B【点睛】本题考查集合运算，准确计算是关键，是基础题7. 若函数的图象如图所示，则a：b：c：d=（）A．1：6：5：（﹣8）B．1：6：5：8 C．1：（﹣6）：5：8 D．1：（﹣6）：5：（﹣8）参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】根据图象可先判断出分母的表达式的零点，然后利用特殊点关系式即可．【解答】解：由图象可知x≠1，5，∴分母上必定可分解为k（x﹣1）（x﹣5）=ax2﹣bx+c，可得a=k，b=6k，c=5k，∵在x=3时有y=2，即2=，∴d=﹣8k∴a：b：c：d=1：6：5：（﹣8），故选：A．8. 已知抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率为（）A． B． C. D．参考答案：B9. 下列命题为真命题的是( )A．所有的素数是奇数； B．，C．对每一个无理数，也是无理数；D．所有的平行向量均相等参考答案：D略10. 已知函数.若方程在内有实数解，则实数m的最小值是（）A．B． C. D．参考答案：D由题意得为单调递减函数,所以实数m的最小值是,选D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. .蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数.则=_____;=_____________．参考答案：37，f(n)=3n2 3n+112. 已知函数的定义域是，，若对任意，则不等式的解集为 .参考答案：试题分析：令函数,则不等式可等价转化为.因,故函数是单调递减函数,而,所以原不等式可化为,故,应填.考点：导数与函数的单调性等基本性质的综合运用．【易错点晴】本题先构造函数,再运用题设条件及导数与函数的单调性的关系判断出函数是单调递减函数,然后运用假设算出,进而将不等式从进行等价转化为,最后借助函数的单调性,使得问题简捷巧妙地获解.13. 已知函数在[1,2]上为单调函数，则a的取值范围为______.参考答案：【分析】分别利用、上恒成立求得取值范围.【详解】由题意得：若在上单调递增，则在上恒成立若在上单调递减，则在上恒成立综上所述：本题正确结果：14. 一个长方体的长、宽、高之比为2：1：3，全面积为88cm2，则它的体积为___________．参考答案：48 cm15. 曲线上的点到直线的最短距离是___________参考答案：略16. 已知数列的前项和为则数列的通项公式为=____ .参考答案：17. 的值等于．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2023-2024学年广东省惠州市博罗县博罗中学高二上学期10月月考数学试题1.已知空间中两点，，则（）A．B．C．D．2.已知空间向量，，且与垂直，则x等于（）A．4 B．1 C．3 D．23.平行六面体中，化简（）A．B．C．D．4.端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来广州旅游的概率分别是，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来广州旅游的概率为（）A．B．C．D．5.在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）A．0.55，0.55 B．0.55，0.5 C．0.5，0.5 D．0.5，0.556.某学校举办作文比赛，共设6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文．则甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的概率为（）A．B．C．D．7.已知空间向量，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则与共线C．若，则D．8.定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（）A．B．4 C．D．9.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（）A．B．C．事件与互斥D．事件与相互独立10.有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（）A．的平均数等于的平均数B．的中位数等于的中位数C．的标准差不小于的标准差D．的极差不大于的极差11.给出下列命题，其中正确的是（）A．若空间向量，，且，则实数B．若，则存在唯一的实数，使得C．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量是D．点关于平面对称的点的坐标是12.已知某养老院75岁及以上的老人占60%．75岁以下的老人中，需要有人全天候陪同的占10%；75岁及以上的老人中，需要有人全天候陪同的占30%．如果从该养老院随机抽取一位老人，则以下结论中，正确的是（）A．抽到的老人年龄在75岁以下的概率为35%B．抽到的老人需要有人全天候陪同的概率为22%C．抽到的老人年龄在75岁以下且需要有人全天候陪同的概率为4%D．抽到的老人年龄大于等于75岁且不需要有人全天候陪同的概率为40%13.某生物实验室有颗开紫花的豌豆种和颗开白花的豌豆种，若从这些豌豆种中随机选取颗，则这颗种子是开白花的豌豆种的概率为________14.已知空间四边形，其对角线为、，M、N分别是对边、的中点，点G在线段上，且，现用基底表示向量，有__________．15.天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为，用随机模拟的方法进行试验，由､､､表示下雨，由､､､､､表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生之间随机整数的组如下：通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为___________.16.如图，在平行六面体中，，，，，．则____________；该平行六面体的体积为__________．17.已知，.(1)若，求的值；(2)若，求实数k的值.18.一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异，采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”.（1）求､；（2）求､.19.如图，在长方体中，，分别是的中点，，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)写出四点的坐标；(2)求．20.为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲､乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为，，甲､乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．(1)从甲､乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？(2)若甲､乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．21.为进一步加强中华传统文化教育，提高学生的道德素养，培养学生的民族精神，更好地让学生传承和发扬中国传统文化和传统美德，某校组织了一次知识竞赛．现对参加活动的1280名学生的成绩（满分100分）做统计，得到了如图所示的频率分布直方图．请大家完成下面问题：(1)求参赛同学的平均数（以每个区间的中点作为本区间的取值）；(2)若从该校80分至100分之间的同学按分层抽样抽取一个容量为7的样本，再从该样本任选2人参加与其他学校之间的比赛，求抽到的两人至少一人来自90分至100分的概率．22.如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点．(1)用，，表示向量；(2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由．。