高中数学《函数对称性》重要结论—优享文档

抽象函数的对称性常用结论知识与方法1.轴对称：如果函数()y f x =满足122x x a +=，就有()()12f x f x =，则()f x 的图象关于直线x a =对称.记法：自变量关于a 对称，函数值相等.例如，()()2f x f x +=-表示()f x 关于1x =对称，()()f m x f n x +=-表示()f x 关于2m n x +=对称.2.中心对称：若函数()y f x =满足122x x a +=，就有()()122f x f x b +=，则()f x 关于点(),a b 对称.记法：自变量关于a 对称，函数值关于b 对称.例如，()()112f x f x ++-=表示()f x 关于()1,1对称，()()f m x f n x a ++-=表示()f x 关于,22m n a +⎛⎫ ⎪⎝⎭对称.3.常用结论（视频中有推导这些结论）：（1）如果函数()f x 有两条对称轴，则()f x 一定是周期函数，周期为对称轴距离的2倍.（2）如果函数()f x 有一条对称轴，一个对称中心，则()f x 一定是周期函数，周期为对称中心与对称轴之间距离的4倍.（3）如果函数()f x 有在同一水平线上的两个对称中心，则()f x 一定是周期函数，周期为对称中心之间距离的2倍.典型例题【例1】已知函数()y f x =满足()()20f x f x --=()x ∈R ，且在[)1,+∞上为增函数，则（）A.()()()112f f f ->> B.()()()121f f f >>-C.()()()121f f f ->> D.()()()211f f f >->【解析】()()()()()202f x f x f x f x f x --=⇒=-⇒的图象关于直线1x =对称，所以()()13f f -=，因为123<<，且()f x 在[)1,+∞上为增函数，所以()()()123f f f <<，从而()()()121f f f ->>【答案】C【例2】己知函数()f x 满足()()2f x f x =-()x ∈R ，若函数()1y x f x =--共有3个不同的零点1x 、2x 、3x ，则123x x x ++=_________.【解析】()()()2f x f x f x =-⇒的图象关于1x =对称，()()101x f x x f x --=⇒-=，由于1y x =-的图象也关于1x =对称，故它们的交点关于1x =对称，设123x x x <<，则必有1312x x +=且21x =，故1233x x x ++=.【答案】3【例3】已知函数()f x 满足()()22f x f x -=-()x ∈R ，若()()104f f -+=，则()()23f f +=_______.【解析】()()()()2222f x f x f x f x -=-⇒-+=，分别取3x =和2x =得：()()()()132022f f f f ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相加得：()()()()13024f f f f -+++=，又()()104f f -+=，所以()()230f f +=.【答案】0【例4】偶函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，若()33f =，则()1f -=_______.【解析】由题意，()f x 周期为4，故()()133f f -==.【答案】3【反思】对称轴+对称轴=周期，周期为对称轴之间距离的2倍.【例5】（2018·新课标Ⅱ卷）若()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()12f =，则()()()1250f f f +++ =（）A.50- B.0 C.2 D.50【解析】因为()f x 是奇函数，且()()11f x f x -=+，所以()()11f x f x +=--，故()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 是以4为周期的周期函数，故()()()3112f f f =-=-=-，在()()11f x f x -=+中取1x =-知()()200f f ==，又()()400f f ==，所以()()()()()123420200f f f f +++=++-+=，故()()()1250f f f +++ ()()()()()()()()145845484950f f f f f f f f =+++++++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()()4950122f f f f =+=+=.【答案】C【反思】对称轴+对称中心=周期，周期为二者之间距离的4倍，熟悉这一结论，可直接得出本题()f x 的周期为4.【例6】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x ++-=，当[]1,0x ∈-时，()f x x =，则92f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=_______.【解析】由题意，()f x 有对称中心()0,0和()1,0，故其周期为2，所以91112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【答案】12【反思】若()f x 有位于同一水平线上的两个对称中心，则()f x 为周期函数，周期为二者之间距离的2倍.强化训练1.已知函数()y f x =满足()()40f x f x +--=()x ∈R ，且()f x 在[)2,+∞上为减函数，则（）A.()()()22log 3log 5.13f f f >> B.()()()22log 5.1log 33f f f >>C.()()()22log 5.13log 3f f f >> D.()()()22log 33log 5.1f f f >>【解析】()()()40f x f x f x +--=⇒的图象关于2x =对称，结合()f x 在[)2,+∞上为减函数知当自变量与2的距离越大时，函数值越小，如图，而22234log 32log log 43-==，225.1log 5.12log 4-=，321-=，所以225.14log log 143<<，故()()()223log 3log 5.1f f f <<.【答案】B2.函数()y f x =满足()()2f x f x =-，且当[)1,x ∈+∞时，()1122x x f x e e x --=--+，则（）A.()()()121f f f <<- B.()()()211f f f <-<C.()()()121f f f -<< D.()()()112f f f -<<【解析】()()()()213f x f x f f =-⇒-=，当1x ≥时，()11220x x f x e e --'=+-≥-=，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增，故()()()()1231f f f f <<=-.【答案】A3.已知函数()f x 满足()()20f x f x ---+=()x ∈R ，若函数()22y x x f x =+-共有3个零点1x ，2x ，3x ，则123x x x ++=________.【解析】()()()()()202f x f x f x f x f x ---+=⇒-=-+⇒的图象关于1x =-对称，()()22202x x f x x x f x +-=⇔+=，而22y x x =+的图象也关于1x =-对称，故它们的交点也关于1x =-对称，所以1233x x x ++=-.。

函数对称性和周期性的一些重要结论1.函数的对称性函数的对称性可以分为自对称和互对称。

其中，自对称指函数图像关于某一条直线对称，互对称指两个函数图像关于某一条直线对称。

自对称的函数满足以下条件：满足f(x) = f(-x)的函数y = f(x)的图像关于y轴对称，对称轴为x = 0.满足f(a+x) = f(a-x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = a对称。

互对称的函数满足以下条件：满足f(x) = f(2a-x)或f(-x) = f(2a+x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = a对称。

满足f(a+x) = f(b-x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = (a+b)/2对称。

满足f(a+wx) = f(b-wx)的函数y = f(x)的图像关于直线x = (b-a)/(2w)对称。

满足f(a+x) + f(b-x) = c的函数y = f(x)的图像关于直线x = (a+b)/2对称。

2.函数的周期性函数的周期性指函数满足f(x+T) = f(x)的性质，其中T为函数的周期。

常见的函数周期有以下几种：周期为T的函数，其图像在横轴上每隔T个单位长度就会重复一次。

周期为2T的函数，其图像在横轴上每隔2T个单位长度就会重复一次。

周期为2T的奇函数，其图像关于原点对称，即满足f(x+2T) = -f(x)。

周期为2T的偶函数，其图像关于y轴对称，即满足f(x+2T) = f(x)。

3.函数的一些结论周期为T的函数f(x)的平均值为f(x)在一个周期内的积分除以T。

两个周期为T的函数f(x)和g(x)满足f(x) + g(x) = c的解析式为f(x) = (c/2) + h(x)，g(x) = (c/2) - h(x)，其中h(x)为周期为T的函数。

如果y = f(x)和y = f(-x)的图像关于y轴对称，则f(x)为奇函数，其图像关于原点对称。

如果y = f(x)和y = f(-x) + b的图像关于y轴对称，则f(x)为奇函数，其图像关于原点上下平移b个单位。

函数对称性与周期性几个重要结论一、几个重要的结论（一）函数图象本身的对称性（自身对称）1、函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是 )(x f y =的图象关于直线 T x =对称。

2、函数 )(x f y =满足 )2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件是 )(x f y =的图象关于直线 T x =对称。

3、函数 )(x f y =满足 )()(x b f x a f -=+的充要条件是 )(x f y =图象关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称。

4、如果函数 )(x f y =满足 )()(11x T f x T f -=+且 )()(22x T f x T f -=+，（ 1T 和 2T 是不相等的常数），则 )(x f y =是以为 )(212T T -为周期的周期函数。

5、如果奇函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。

6、如果偶函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于X 轴对称。

2、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于Y 轴对称。

3、曲线 )(x f y =与 )2(x a f y -=关于直线 a x =对称。

4、曲线 0),(=y x f 关于直线 b x =对称曲线为 0)2,(=-y b x f 。

5、曲线 0),(=y x f 关于直线 0=++c y x 对称曲线为 0),(=----c x c y f 。

6、曲线 0),(=y x f 关于直线 0=+-c y x 对称曲线为 0),(=+-c x c y f 。

有关函数对称性的几个重要结论函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。

函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。

本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。

一函数自身的对称性［重要结论1］函数y＝f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）＋f（2a－x）＝2b。

证明：（必要性）设点 P（x，y）是 y＝f（x）图像上任一点，∵点 P（x，y）关于点 A（a，b）的对称点P’（2a－x，2b－y）也在 y＝f（x）图像上，∴ 2b－y＝f（2a－x）。

即 y＋f（2a－x）＝2b，故 f（x）＋f（2a－x）＝2b，必要性得证。

（充分性）设点 P（x0，y0）是 y＝f（x）图像上任一点，则 y0＝f（x0）。

∵f（x）＋f（2a－x）＝2b，∴f（x0）＋f（2a－x0）＝2b，即 2b－y0＝f（2a－x0）。

故点P’（2a－x0，2b－y0）也在 y＝f（x）图像上，而点 P与点P’关于点 A（a，b）对称，充分性得征。

推论 1：函数 y＝f（x）的图像关于原点 O对称的充要条件是 f（x）＋f（－x）＝0。

［重要结论 2］函数 y＝f（x）的图像关于直线 x＝a对称的充要条件是：f（a＋x）＝f（a－x），即 f（x）＝f（2a－x）（证明同上）推论 2：函数 y＝f（x）的图像关于 y轴对称的充要条件是 f（x）＝f（－x）［重要结论 3］（1）若函数 y＝f（x）图像同时关于点 A（a， c）和点 B（b，c）成中心对称（a≠b），则 y＝f（x）是周期函数，且 2|a－b|是其一个周期。

（2）若函数 y＝f（x）图像同时关于直线 x＝a和直线 x＝b成轴对称（a≠b），则 y＝f（x）是周期函数，且 2|a－b|是其一个周期。

高中函数对称性总结新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。

尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。

以笔者的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是抽象函数的对称性判断。

所以这里我对高中阶段所涉及的函数对称性知识做一个粗略的总结。

一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)。

④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。

⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。

⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。

⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。

⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。

⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。

函数对称性的总结函数对称性是数学中一个重要的概念，可以帮助我们更好地理解和分析各种函数。

在本文中，我将总结函数对称性的基本概念、性质和应用，以及如何判断函数的对称性。

首先，什么是函数对称性？函数对称性指的是函数在某种变换下保持不变的性质。

具体来说，如果函数在某个变换下满足等式 f(x) = f(-x)，那么我们称这个函数具有对称性。

这个变换可以是关于原点对称、关于y轴对称、关于x轴对称等。

常见的函数对称性包括：1. 关于原点对称：如果一个函数满足 f(x) = f(-x)，则称该函数关于原点对称。

这意味着函数的图像在原点处对称，即图像的左右两侧是镜像关系。

2. 关于y轴对称：如果一个函数满足 f(x) = f(-x)，则称该函数关于y轴对称。

这意味着函数的图像在y轴上对称，即在图像的左右两侧相互重合。

3. 关于x轴对称：如果一个函数满足 f(x) = -f(-x)，则称该函数关于x轴对称。

这意味着函数的图像在x轴上对称，即图像关于x轴对称。

函数对称性的性质也值得我们注意：1. 对称性可以简化函数的分析和计算。

例如，如果一个函数是关于y轴对称的，那么我们只需要计算出函数在y轴右侧的部分，然后将结果镜像到左侧即可。

2. 对称性可以帮助我们发现函数的特点。

例如，如果一个函数是关于x轴对称的，那么当 x = a 是函数的零点时，可以确定 x = -a 也是函数的零点。

现在，让我们来看看如何判断一个函数是否具有对称性。

一般来说，我们可以通过一些简单的方法来进行判断。

1. 对称性的代数判断方法：通过代数运算，我们可以验证函数的对称性。

例如，对于关于原点对称的函数，我们可以将 x 替换为 -x，然后将两边进行比较来判断函数是否具有对称性。

2. 对称性的图形判断方法：通过函数的图形来判断函数是否具有对称性。

我们可以绘制函数的图像，并观察图像是否在某个变换下保持不变。

3. 对称性的性质判断方法：通过函数的性质来判断函数是否具有对称性。

有关函数对称性的几个重要结论作者：赵建刚来源：《学园》2010年第05期函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的基础。

函数的性质是竞赛和高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决,对称关系还充分体现了数学之美。

本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。

一函数自身的对称性[重要结论1]函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a-x)=2b。

证明:(必要性)设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点,∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P’(2a-x,2b-y)也在y=f(x)图像上,∴2b-y=f(2a-x)。

即y+f(2a-x)=2b,故f(x)+f(2a-x)=2b,必要性得证。

(充分性)设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点,则y0=f(x0)。

∵f(x)+f(2a-x)=2b,∴f(x0)+f(2a-x0)=2b,即2b-y0=f(2a-x0)。

故点P’(2a-x0,2b-y0)也在y=f(x)图像上,而点P与点P’关于点A(a,b)对称,充分性得征。

推论1:函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(-x)=0。

[重要结论2]函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是:f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x)(证明同上)推论2:函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(-x)[重要结论3](1)若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期。

(2)若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期。

高一数学《函数的对称性》知识点总结高一数学《函数的对称性》知识点总结一、函数自身的对称性探究定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。

故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2 a－b是其一个周期。

②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2 a－b是其一个周期。

③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4 a－b是其一个周期。

高中数学函数对称性和周期性小结一、函数对称性：1.f(a+x) = f(a-x) ==> f(x) 关于x=a对称2.f(a+x) = f(b-x) ==> f(x) 关于x=(a+b)/2 对称3.f(a+x) = -f(a-x) ==> f(x) 关于点（a，0）对称4.f(a+x) = -f(a-x) + 2b ==> f(x) 关于点（a，b）对称5.f(a+x) = -f(b-x) + c ==> f(x) 关于点[（a+b）/2 ，c/2] 对称6.y = f(x) 与y = f(-x) 关于x=0 对称7.y = f(x) 与y = -f(x) 关于y=0 对称8.y =f(x) 与y= -f(-x) 关于点(0,0) 对称例1：证明函数y = f(a+x) 与y = f(b-x) 关于x=(b-a)/2 对称。

【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a+x) 上，令关于x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a+m) = f[ b – (2t – m)]∴b – 2t =a ，==> t = (b-a)/2 ，即证得对称轴为x=(b-a)/2 .例2：证明函数y = f(a - x) 与y = f(x – b) 关于x=(a + b)/2 对称。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a - x) 上，令关于x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a-m) = f[ (2t – m) – b]∴2t - b =a ，==> t = (a + b)/2 ，即证得对称轴为x=(a + b)/2 .二、函数的周期性令a , b 均不为零，若：1.函数y = f(x) 存在f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期T=|a|2.函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期T=|b-a|3.函数y = f(x) 存在f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期T=|2a|4.函数y = f(x) 存在f(x + a) =1/f(x) ==> 函数最小正周期T=|2a|5.函数y = f(x) 存在f(x + a) = [f(x) + 1]/[1 – f(x)] ==> 函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。

高中函数对称性的总结
什么是函数的对称性？对称可以被定义为当某一对象被某种对
称变换（包括旋转，移动等）后，依然能够得到完全相同的对象。

函数的对称性指的是在函数的几何图像上，经过某种变换，图形的形状仍然不变。

在函数的对称性中，常见的有偶函数和奇函数。

偶函数是指函数图形以y轴中点为中心对称，也就是说，把函数图形经过水平翻转得到的图形与原函数图形完全相同。

而奇函数是指函数图形以极点为中心对称，也就是说，把函数图形经过垂直翻转得到的图形与原函数图形完全相同。

此外，在函数的对称性中，还有可以定义为函数的X轴对称性和Y轴对称性。

X轴对称性是指函数图形以X轴中点为中心对称，也就是说，把函数图形经过垂直翻转得到的图形与原函数图形完全相同。

而Y轴对称性是指函数图形以Y轴中点为中心对称，也就是说，把函数图形经过水平翻转得到的图形与原函数图形完全相同。

除了以上这些，我们还可以从参数的角度来看函数的对称性，有时候我们会将函数的参数的取值范围改变，会发现函数的图形也会发生变化，比如函数形如y=f(x+a)的参数a的取值变化，会使得函数的图形发生水平移动的变化，当a的取值为负值时，可以使得函数的图形整体向左移动，当a的取值为正值时，可以使得函数图形整体向右移动。

综上所述，高中函数对称性主要有偶函数，奇函数，X轴对称函
数，Y轴对称函数，以及参数变换引起的函数对称性等。

这些函数的对称性都是高中函数的有趣的特点，并且这些特性也可以帮助我们更好地理解函数，从而更好地解决函数相关的数学问题。

函数对称性总结函数的对称性三角函数图像的对称性三角函数包括y=sin x。

y=cos x。

y=tan x。

两个函数的图像对称性1、y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称。

换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)=-g(x)，那么它们关于y=0对称。

2、y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称。

换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)=g(-x)，那么它们关于x=0对称。

3、y=f(x)与y=f(2a-x)关于直线x=a对称。

换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)=g(2a-x)，那么它们关于x=a对称。

4、y=f(x)与y=2a-f(x)关于直线y=a对称。

换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)+g(x)=2a，那么它们关于y=a对称。

5、y=f(x)与y=2b-f(2a-x)关于点(a,b)对称。

换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)+g(2a-x)=2b，那么它们关于点(a,b)对称。

6、y=f(a-x)与y=f(x-b)关于直线x=a+b/2对称。

单个函数的对称性1、函数的轴对称：定理1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2对称。

推论1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称。

推论2：如果函数y=f(x)满足f(x)=f(-x)，则函数y=f(x)的图像关于y轴对称。

特别地，推论2就是偶函数的定义和性质。

2、函数的点对称：定理2：如果函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=2b，则函数y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。

推论3：如果函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=0，则函数y=f(x)的图像关于点(a,0)对称。

推论4：如果函数y=f(x)满足f(x)+f(π-x)=π/2，则函数y=f(x)的图像关于点(π/2,π/4)对称。

函数对称性的总结1. 两个关于函数图象对称性的结论1.x=02.x=(a+b)/2.∵y=f(a+x)=f[(a+b)/2+(a-b)/2+x]=f[(a+b)/2+t]，其中t=(a-b)/2+x,而y=f(b-x)=f[(a+b)/2-(a-b)/2-x]=f[(a+b)/2-((a-b)/2+x)]=f[(a+b )/2-t],所以：函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=(a+b)/2对称。

楼主你好：2的答案就是x=(a+b)/2.不是x=(b-a)/2.若是后者，当a=b时对称轴就成x=0了，这明显错误。

其实当a=b时对称轴明显是x=a，与我这里的答案符合。

2. 函数对称性结论是怎样推出的周期函数是指函数值随自变量的变化而呈周期性变化，正弦、余弦函数都是周期函数.表达式是f(x+T)=f(x)(x取任意值)，假如一个函数能找到满意这一条件的T，那么这个函数就叫做周期函数，周期为T.f(1+x)=f(1-x) (1+x)+(1-x)=2 也就是说在这个函数中假如两个自变量的平均值为1，则它们的函数值相等，也就是此函数关于x=1对称.同理，f(2+x)=f(2-x),(2+x)+(2-x)=4 也就是说在这个函数中假如两个自变量的平均值为2，则它们的函数值相等，也就是此函数关于x=2对称.假如一个函数同时具备两个对称轴，那么，相临的轴的间距就是函数的半个周期，你可以对比正弦、余弦函数的图像发觉这个规律.这样，本题的函数周期为2，那么函数必定还关于x=0对称，所以函数是偶函数.依据定义或者画图象，不过画图象比较麻烦，一般选择用定义3. 求真正有用的函数周期性对称性结论对于函数y=f(x)周期性1.关于x=a and x=b(a&amp;gt;b) 都对称函数周期2(a-b)2.关于（a,0） (b,0)都对称周期同上3.关于（a,0）和x=b 都对称周期是4(a-b)对称性1. f(a+x)=f(b-x) 那么y=f(x)的图像关于y=(a+b)/2对称2.f(a-x)=-f(b+x)，那么y=f(x)的图像关于（（a+b）/2 ,0 ）对称…………许多可以搜一下，更具体的现在考得不多了我感觉开辟思路吧。

高一数学《函数的对称性》知识点总结一、函数自身的对称性探究定理1.函数y=f的图像关于点A对称的充要条件是f+f=2b证明：（必要性）设点P是y=f图像上任一点，∵点P 关于点A的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y=f图像上，∴2b－y=f即y+f=2b故f+f=2b，必要性得证。

（充分性）设点P是y=f图像上任一点，则y0=f∵f+f=2b∴f+f=2b，即2b－y0=f。

故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y=f图像上，而点P与点P'关于点A对称，充分性得征。

推论：函数y=f的图像关于原点o对称的充要条件是f+f=0定理2.函数y=f的图像关于直线x=a对称的充要条件是f=f即f=f（证明留给读者）推论：函数y=f的图像关于y轴对称的充要条件是f=f 定理3.①若函数y=f图像同时关于点A和点B成中心对称（a≠b），则y=f是周期函数，且2a－b是其一个周期。

②若函数y=f图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f是周期函数，且2a－b是其一个周期。

③若函数y=f图像既关于点A成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f是周期函数，且4a－b是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：∵函数y=f图像既关于点A成中心对称，∴f+f=2c，用2b－x代x得：f+f[2a－]=2c………………（*）又∵函数y=f图像直线x=b成轴对称，∴f=f代入（*）得：f=2c－f[2+x]…………（**），用2（a－b）－x代x得f[2+x]=2c－f[4+x]代入（**）得：f=f[4+x],故y=f是周期函数，且4a－b是其一个周期。

二、不同函数对称性的探究定理4.函数y=f与y=2b－f的图像关于点A成中心对称。

定理5.①函数y=f与y=f的图像关于直线x=a成轴对称。

②函数y=f与a－x=f的图像关于直线x+y=a成轴对称。

③函数y=f与x－a=f的图像关于直线x－y=a成轴对称。

函数对称性、周期性和奇偶性规律一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)(x f y =都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周)()(x f T x f =+)(x f y =期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

2、对称性定义（略），请用图形来理解。

3、对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数关于对称)(x f y =a x =⇔)()(x a f x a f -=+也可以写成 或 )()(x a f x a f -=+)2()(x a f x f -=)2()(x a f x f +=- 简证：设点在上，通过可知，),(11y x )(x f y =)2()(x a f x f -=，即点上，而点与点)2()(111x a f x f y -==)(),2(11x f y y x a =-也在),(11y x 关于x=a 对称。

得证。

),2(11y x a - 若写成：，函数关于直线对)()(x b f x a f -=+)(x f y =22)()(ba xb x a x +=-++=称（2）函数关于点对称)(x f y =),(b a ⇔bx a f x a f 2)()(=-++ 或 b x f x a f2)()2(=-++上述关系也可以写成bx f x a f 2)()2(=+- 简证：设点在上，即，通过可知，),(11y x )(x f y =)(11x f y =b x f x a f 2)()2(=+-，所以，所以点b x f x a f 2)()2(11=+-1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-也在上，而点与关于对称。

【最新】高中函数对称性总结高中函数的对称性是一个重要的数学概念，对于理解和运用函数有着重要的意义。

在高中数学的教学中，对称性是一个常见的考点和解题方法。

本文将对高中函数的对称性进行总结，包括函数关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称以及关于直线对称等四种对称性。

一、函数关于x轴对称函数关于x轴对称是指当函数图象关于x轴对称时，函数具有关于x轴对称的性质。

具体表现为当函数中的每一个点(x, y)在图象中时，其对称点(x, -y)也在图象中。

函数关于x轴对称的特点包括：1. 函数的解析式中只包含偶次幂的项，如x²、x⁴等；2. 函数的图象关于x轴对称；3. 函数的奇偶性为偶函数，即f(-x) = f(x)。

二、函数关于y轴对称函数关于y轴对称是指当函数图象关于y轴对称时，函数具有关于y轴对称的性质。

具体表现为当函数中的每一个点(x, y)在图象中时，其对称点(-x, y)也在图象中。

函数关于y轴对称的特点包括：1. 函数的解析式中只包含偶次幂的项，如x²、x⁴等；2. 函数的图象关于y轴对称；3. 函数的奇偶性为偶函数，即f(-x) = f(x)。

三、函数关于原点对称函数关于原点对称是指当函数图象关于原点对称时，函数具有关于原点对称的性质。

具体表现为当函数中的每一个点(x, y)在图象中时，其对称点(-x, -y)也在图象中。

函数关于原点对称的特点包括：1. 函数的解析式中只包含偶次幂的项，如x²、x⁴等；2. 函数的图象关于原点对称；3. 函数的奇偶性为偶函数，即f(-x) = f(x)。

四、函数关于直线对称函数关于直线对称是指当函数图象关于一条直线对称时，函数具有关于直线对称的性质。

具体表现为当函数中的每一个点(x, y)在图象中时，其对称点关于直线的对称点也在图象中。

函数关于直线对称的特点包括：1. 函数的图象关于直线对称；2. 函数的解析式中可能包含奇次幂的项，如x³、x⁵等；3. 函数的奇偶性为奇函数，即f(-x) = -f(x)。

有关函数对称性的几个重要结论发表时间：2010-10-15T11:36:34.293Z 来源：《学园》2010年第5期供稿作者：赵建刚[导读] 函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。

赵建刚河北省石家庄二中函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。

函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。

本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。

一函数自身的对称性［重要结论 1］函数 y＝f（x）的图像关于点 A（a，b）对称的充要条件是 f（x）＋f（2a－x）＝2b。

证明：（必要性）设点 P（x，y）是 y＝f（x）图像上任一点，∵点 P（x，y）关于点 A（a，b）的对称点 P’（2a－x，2b－y）也在 y ＝f（x）图像上，∴ 2b－y＝f（2a－x）。

即 y＋f（2a－x）＝2b，故 f（x）＋f（2a－x）＝2b，必要性得证。

（充分性）设点 P（x0，y0）是 y＝f（x）图像上任一点，则 y0＝f（x0）。

∵f（x）＋f（2a－x）＝2b，∴f（x0）＋f（2a－x0）＝2b，即 2b－y0＝f（2a－x0）。

故点 P’（2a－x0，2b－y0）也在 y＝f（x）图像上，而点 P与点 P’关于点 A（a，b）对称，充分性得征。

推论 1：函数 y＝f（x）的图像关于原点 O对称的充要条件是 f（x）＋f（－x）＝0。

［重要结论 2］函数 y＝f（x）的图像关于直线 x＝a对称的充要条件是： f（a＋x）＝f（a－x），即 f（x）＝f（2a－x）（证明同上）推论 2：函数 y＝f（x）的图像关于 y轴对称的充要条件是 f（x）＝f（－x）［重要结论 3］（1）若函数 y＝f（x）图像同时关于点 A （a， c）和点 B（b，c）成中心对称（ a≠b），则 y＝f（x）是周期函数，且 2|a－b|是其一个周期。

GAGGAGAGGAFFFFAFAF函数对称性与周期性几个重要结论一、几个重要的结论（一）函数图象本身的对称性（自身对称） 1、函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（T为常数）的充要条件是 )(x f y =的图象关于直线 T x =对称。

2、函数 )(x f y =满足 )2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件是 )(x f y =的图象关于直线 T x =对称。

3、函数 )(x f y =满足 )()(x b f x a f -=+的充要条件是 )(x f y =图象关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称。

4、如果函数 )(x f y =满足 )()(11x T f x T f -=+且 )()(22x T f x T f -=+，（ 1T 和 2T 是不相等的常数），则 )(x f y =是以为 )(212T T -为周期的周期函数。

5、如果奇函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。

GAGGAGAGGAFFFFAFAF6、如果偶函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于X 轴对称。

2、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于Y 轴对称。

3、曲线 )(x f y =与 )2(x a f y -=关于直线 a x =对称。

4、曲线 0),(=y x f 关于直线 b x =对称曲线为 0)2,(=-y b x f 。

5、曲线),(=y x f 关于直线=++c y x 对称曲线为0),(=----c x c y f 。

《函数的对称性》高一数学知识点总结定理1.函数 = f (*)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (*) + f (2a－*) = 2b证明：〔须要性〕设点P(* ,)是 = f (*)图像上任一点，∵点P( * ,)关于点A (a ,b)的对称点P〔2a－*，2b－〕也在 = f (*)图像上，∴ 2b－ = f (2a－*)即 + f (2a－*)=2b故f (*) + f (2a－*) = 2b，须要性得证。

〔充分性〕设点P(*0,0)是 = f (*)图像上任一点，那么0 = f (*0) ∵ f (*) + f (2a－*) =2b∴f (*0) + f (2a－*0) =2b，即2b －0 = f (2a－*0) 。

故点P〔2a－*0，2b－0〕也在 = f (*) 图像上，而点P与点P 关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

推论：函数 = f (*)的图像关于原点O对称的充要条件是f (*) + f (－*) = 0定理2. 函数 = f (*)的图像关于直线* = a对称的充要条件是f (a +*) = f (a－*) 即f (*) = f (2a－*) 〔证明留给读者〕推论：函数 = f (*)的图像关于轴对称的充要条件是f (*) = f (－*)定理3. ①假设函数 = f (*) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称〔a≠b〕，那么 = f (*)是周期函数，且2 a－b是其一个周期。

②假设函数 = f (*) 图像同时关于直线* = a 和直线* = b成轴对称〔a≠b〕，那么 = f (*)是周期函数，且2 a－b是其一个周期。

③假设函数 = f (*)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线* =b成轴对称〔a≠b〕，那么 = f (*)是周期函数，且4 a－b 是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：∵函数 = f (*)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，∴f (*) + f (2a－*) =2c，用2b－*代*得：f (2b－*) + f [2a－(2b－*) ] =2c………………〔*〕又∵函数 = f (*)图像直线* =b成轴对称，∴ f (2b－*) = f (*)代入〔*〕得：f (*) = 2c－f [2(a－b) + *]…………〔**〕，用2〔a－b〕－*代*得f [2 (a－b)+ *] = 2c－f [4(a－b) + *]代入〔**〕得：f (*) = f [4(a－b) + *],故 = f (*)是周期函数，且4 a－b 是其一个周期。

高一数学《函数的对称性》知识点总结高一数学《函数的对称性》知识点总结一、函数自身的对称性探究定理1函数= f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条是f (x) + f (2a－x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,)是= f (x)图像上任一点，∵点P( x ,)关于点A (a ,b)的对称点P’（2a－x，2b－）也在= f (x)图像上，∴2b－= f (2a－x)即+ f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,0)是= f (x)图像上任一点，则0 = f (x0)∵f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－0 = f (2a－x0) 。

故点P’（2a－x0，2b－0）也在= f (x) 图像上，而点P与点P’关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

推论：函数= f (x)的图像关于原点对称的充要条是f (x) + f (－x) = 0定理2 函数= f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）推论：函数= f (x)的图像关于轴对称的充要条是f (x) = f (－x)定理3 ①若函数= f (x) 图像同时关于点A (a ,)和点B (b ,)成中心对称（a≠b），则= f (x)是周期函数，且2 a－b是其一个周期。

②若函数= f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则= f (x)是周期函数，且2 a－b是其一个周期。

③若函数= f (x)图像既关于点A (a ,) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则= f (x)是周期函数，且4 a－b是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：∵函数= f (x)图像既关于点A (a ,) 成中心对称，∴f (x) + f (2a－x) =2，用2b－x代x得：f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2………………（*）又∵函数= f (x)图像直线x =b成轴对称，∴f (2b－x) = f (x)代入（*）得：f (x) = 2－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得f [2 (a－b)+ x] = 2－f [4(a－b) + x]代入（**）得：f (x) = f [4(a－b) + x],故= f (x)是周期函数，且4 a－b是其一个周期。