高中数学二级结论贴吧整理

重点高中高考数学所有二级结论《完整版》————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点5.导数题常用放缩1+≥x e x、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx③过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+byy a x x③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-byy a x x④抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=⑤二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =-10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-= 14.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--111115.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a xx f x =∝+→)(lim，b ax x f x =-∝+→])([lim16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222b k a mb +21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)AC C B B A S zA C y CB x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ace =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线23.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=⋅+-24.A 、B 、C 三点共线⇔OD nm OB OC n OA m OD +=+=1,(同时除以m+n ) 25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab26.反比例函数)0(>=k xky 为双曲线，其焦点为)2,2(k k 和)2,2(k k --，k <0 27.面积射影定理：如图，设平面α外的△ABC 在平面α内的射影为△ABO ，分别记△ABC 的面积和△ABO 的面积为S 和S′ ，记△ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ = S′ : S28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 29.数列不动点：定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.x x f =)()(x f )(x f )(1-=n n a f a ),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p )(x f n a )1(),(1>=-n a f a n n )(1p a a p a n n -=--}{p a n -a定理2：设，满足递推关系，初值条件(1)若有两个相异的不动点，则 （这里）(2)若只有唯一不动点，则（这里）定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,30.(1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+==-=++342cos 2cos 2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA ，*N ∈k(2)若πC B A =++，则： ①2sin 2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin CB AC B A C B A =++++②2sin 2sin 2sin41cos cos cos CB AC B A +=++ ③2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin222CB AC B A -=++ ④4sin 4sin 4sin 412sin 2sin 2sinC B A C B A ---+=++πππ ⑤2sin 2sin 2sin4sin sin sin CB AC B A =++ ⑥2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cotCB AC B A =++ )0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f }{n a 1),(1>=-n a f a n n )(11a f a ≠)(x f q p ,q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11qca pca k --=)(x f p k p a p a n n +-=--111da c k +=2)0,0()(2≠≠+++=e af ex cbx ax x f 21,x x )(1n n u f u =+}{n u a e b 2,0==2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan=++A C C B B A ⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+ (3)在任意△ABC 中，有： ①812sin 2sin 2sin≤⋅⋅C B A ②8332cos 2cos 2cos ≤⋅⋅C B A ③232sin 2sin 2sin≤++C B A ④2332cos 2cos 2cos≤++C B A ⑤833sin sin sin ≤⋅⋅C B A ⑥81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A ⑨432sin 2sin 2sin222≥++C B A ⑩12tan 2tan 2tan222≥++CB A ⑪32tan 2tan 2tan≥++CB A ⑫932tan 2tan 2tan≤⋅⋅C B A ⑬332cot 2cot 2cot≥++CB A ⑭3cot cot cot ≥++C B A(4)在任意锐角△ABC 中，有： ①33tan tan tan ≥⋅⋅C B A②93cot cot cot ≤⋅⋅C B A③9tan tan tan 222≥++C B A④1cot cot cot 222≥++C B A31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森(Simpson )公式]：设拟柱体的高为H ，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为H S S S V )4(61201++=，式中，1S 和2S 是两底面的面积，0S 是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离2H h =时得到的截面的面积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积33.三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么∠OAC ,∠BAC ,∠OAB 三角的余弦关系为：cos ∠OAC=cos ∠BAC ·cos ∠OAB (∠BAC 和∠OAB 只能是锐角)34.在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABC 的内切圆半径为2cb a -+ 35.立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=-立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则OC OB OA OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a b a38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x e Λ 推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx推论：①)0(ln 21>≥-t t tt②)20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx 40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦 41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长)42.向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心(2)⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心 (3)O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心 (4)OC OB OA ==⇔O 为ABC ∆的外心43.正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin 22βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x47.圆锥曲线统一的极坐标方程：θρcos 1e ep-=(e 为圆锥曲线的离心率)48.超几何分布的期望：若),,(M N n X~H ，则N nM X E =)((其中NM为符合要求元素的频率)，)111)(1()(----=N n N M N M nX D 49.{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公比为q 的等比数列，若数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，则数列{}n c 的前n项和n S 为2121)1(-+-=+q c c q c S n n n 50.若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--= 51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n k n nC kC53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心 (3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心第 11 页 (4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心(5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2222c b a AC AB -+=⋅ 55.m >n 时，22n m nm n m e nm e e e e +>-->+。

高中数学常用二级结论在高中数学的学习中，掌握一些常用的二级结论，往往能够帮助我们在解题时节省时间，提高效率。

下面就为大家介绍一些常见且实用的高中数学二级结论。

一、函数部分1、若函数＼（f(x)＼）的图像关于直线＼（x ＝ a\）对称，则＼（f(a ＋ x) ＝ f(a x)＼）；反之，若＼（f(a ＋ x) ＝ f(a x)＼），则函数＼（f(x)＼）的图像关于直线＼（x ＝ a\）对称。

这个结论在解决函数对称性问题时非常有用，例如判断函数的对称轴或者根据对称性来简化函数表达式。

2、若函数＼（f(x)＼）是偶函数，则＼（f(x) ＝ f(x)＼）；若函数＼（f(x)＼）是奇函数，则＼（f(x) ＝ f(x)＼）。

利用奇偶性可以简化函数的运算和分析函数的性质。

3、对于函数＼（f(x) ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）（＼（a ＼neq 0\）），当＼（a ＞ 0\）时，函数在＼（x ＝＼frac{b}｛2a}＼）处取得最小值；当＼（a ＜ 0\）时，函数在＼（x ＝＼frac{b}｛2a}＼）处取得最大值。

这有助于快速找到二次函数的最值点。

二、三角函数部分1、在三角形＼（ABC\）中，＼（A ＋ B ＋ C ＝＼pi\），则＼（sin(A ＋ B) ＝ sinC\），＼（cos(A ＋ B) ＝ cosC\）。

这对于在三角形中求解三角函数值很有帮助。

2、＼（sin^2\alpha ＋ cos^2\alpha ＝ 1\），＼（tan\alpha ＝＼frac{sin\alpha}｛cos\alpha}＼）（＼（cos\alpha ＼neq 0\））。

这是三角函数中最基本的恒等式，许多问题的解决都基于此。

3、＼（sin(2k\pi ＋＼alpha) ＝ sin\alpha\），＼（cos(2k\pi ＋＼alpha) ＝ cos\alpha\）（＼（k ＼in Z\））。

周期性是三角函数的重要性质之一，这个结论可以帮助我们快速化简一些复杂的三角函数表达式。

高中数学200个二级结论回复一、概述在高中数学学习过程中，二级结论是非常重要的一部分，对于学生来说，掌握这些结论可以更好地理解和运用数学知识。

本文整理了200个高中数学的二级结论，希望对广大学生有所帮助。

二、代数部分1. 二项式定理：(1+x)^n=C(n,0)+C(n,1)x+C(n,2)x^2+...+C(n,n)x^n2. 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式为零。

3. 若a^m=a^n，则a=1或a=-1。

三、函数部分1. 对于函数y=f(x)，若f'(x)>0，则f(x)在区间上单调递增。

2. 对于函数y=f(x)，若f''(x)>0，则f(x)在区间上凹3. 函数y=f(x)的周期为T，则对于任意实数a，函数y=f(ax)的周期为T/|a|。

四、解析几何部分1. 设AB=a,BC=b,CA=c，则有a^2+b^2+c^2=2（AB^2+BC^2+CA^2）2. 三点共线的必要充分条件是它们的混合积为零。

3. 在一个凸多边形内部，作相邻边的平行四边形，得到的图形面积之和等于该多边形的面积。

五、三角部分1. 若在角A处2. sinA≈A，当A趋近于0时，sinA与A的差的绝对值趋近于0。

3. 若sinA=cosB，则tan(A+B)=1。

六、概率统计部分1. 设A1,A2,...,An是n个不相交事件，则P(A1∪A2∪...∪An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)。

七、解答与讨论本文所列举的二级结论只是高中数学知识的冰山一角，希望广大学生能够在学习过程中多加总结，掌握更多的数学规律和技巧。

也欢迎读者对本文中的结论进行补充和讨论，共同进步。

八、结论高中数学的二级结论是学生们打好数学基础的重要一步，通过熟练掌握这些结论，可以更好地理解和运用数学知识。

希望本文所列举的二级结论能够对广大学生有所帮助，同时也希望学生们能够在学习过程中勤加练习，不断提升数学水平。

高中数学二级结论(最新整理)在高中数学学习过程中，掌握和理解一些基本的数学结论是非常重要的。

这些数学结论不仅有助于提高我们的数学思维，还能帮助我们解决复杂的数学问题。

下面是一些高中数学二级结论的最新整理。

一、角度与三角函数1.同角三角函数的互化关系：$\\sin(\\pi - \\theta) = \\sin \\theta$，$\\cos(\\pi - \\theta) = -\\cos \\theta$，$\\tan(\\pi - \\theta) = -\\tan\\theta$。

2.角平分线的性质：设角xOy的角平分线为Oz，则 $\\angle xOz =\\angle yOz$。

3.和角公式：$\\sin (x \\pm y) = \\sin x \\cos y \\pm \\cos x \\sin y$，$\\cos (x \\pm y) = \\cos x \\cos y \\mp \\sin x \\sin y$。

4.差角公式：$\\sin (x - y) = \\sin x \\cos y - \\cos x \\sin y$，$\\cos(x - y) = \\cos x \\cos y + \\sin x \\sin y$。

5.倍角公式：$\\sin(2x) = 2\\sin x \\cos x$，$\\cos(2x) = \\cos^2 x -\\sin^2 x$。

二、数列与函数1.等差数列前 n 项和：$S_n = \\frac{n}{2} \\cdot (a_1 + a_n)$。

2.等比数列前 n 项和：$S_n = \\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。

3.数列的递推公式：对于数列 $\\{a_n\\}$ 和 $\\{b_n\\}$，如果b1=a1，b n+1=a n+1−a n，那么 $\\{b_n\\}$ 就是数列 $\\{a_n\\}$ 的递推公式。

高中数学二级结论3V单n 面体内切球半径为 (V 是简单 n 面体的体积， S 表 是简单 n 面体的表面积 ) S 表2.在任意 △ ABC 内，都有 tan A +tan B+tan C=tan A · tanB · tanC推论： 在 △ ABC 内，若 tanA +tan B+tan C<0，则 △ ABC 为钝角三角形3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的2 倍44.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点5.导数题常用放缩 exx 1、1 x 1 ln x x 1、 e xex( x 1)x xx 2 y 2 1(a0, b 0) 的面积 S 为 Sπab6.椭圆b 2a 27.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论： ①过圆 (x a)2( y b) 2 r 2 上任意一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为 (x 0 a)( x a) ( y 0 b)( y b) r 2①过椭圆x 2 y a 2b2xx 0yy 01(a 0,b 0) 上任意一点P( x 0 12, y 0 ) 的切线方程为2b 2ax 2 y 2 1(a 0,b 0) 上任意一点P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为xx 0 yy 0 1①过双曲线b 2a 2b 2a 28.切点弦方程： 平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆 x 2y 2 DxEyF 0 的切点弦方程为 x 0 xy 0 yx 0 x Dy 0 y E F 02 2①椭圆 x 2y 2 1( a 0,b0) 的切点弦方程为x 0 x y 0 y 122a 2b 2a bx 2 y 21(a0,b0) 的切点弦方程为x 0 x y 0 y 1①双曲线b 2a 2b 2a 2①抛物线 y 22 px( p 0) 的切点弦方程为y 0 yp( x 0 x)①二次曲线的切点弦方程为Ax 0 x Bx 0yy 0 x Cy 0 y Dxx EyyF222229.①椭圆 x2y 2 1(a0,b 0) 与直线 AxBy C0( A ·B 0) 相切的条件是 A 2 a 2 B 2b 2C 2ab②双曲线 x 2y 21(a 0,b0) 与直线 Ax By C0( A ·B 0) 相切的条件是 A 2a 2 B 2b 2C 2a 2b 210.若 A 、B 、C 、D 是圆锥曲线 (二次曲线 )上按序四点 ,则四点共圆 (常用订交弦定理 )的一个充要条件是 :直线 AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有 k AC k BD 0 ,( k AC , k BD 分别表示 AC 和 BD 的斜率 )111. 已知椭圆方程为x 2y 2 b0) ，两焦点分别为 F 1 ， F 2 ，设焦点三角形PF 1F 2 中 PF 1F 2，则a2b21(acos 12e 2 ( cos m ax 1 2e 2 )12. 椭圆的焦半径 (椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为 x 0 的点 P 的距离 )公式 r 1, 2 a ex 013. 已知 k 1 ， k 2 ， k 3 为过原点的直线 l 1 ， l 2 ， l 3 的斜率，此中 l 2 是 l 1 和 l 3 的角均分线，则 k 1 ， k 2 ， k 3 满足下述转变关系：k 12k 2 k 3 k 3k 22k 1k 3 1(1 k 1k 3 ) 2 ( k 1 k 3 ) 22k 2 k 1 k 1k 221 k 22， k 2k 1 k 3， k 31 k 22 2k 1k 22k 2 k 314. 任意满足 axnby n r 的二次方程，过函数上一点( x 1 , y 1) 的切线方程为 ax 1 x n 1 by 1 y n 1 r 15. 已知 f(x)的渐近线方程为f (x) a ， lim [ f ( x) ax]by=ax+b ，则 limx xx16. 椭圆 x2y 2 1(a b0) 绕 Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为V4πaba 2b 2317. 平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18. 在锐角三角形中 sin A sin B sin C cos A cosB cosC19. 函数 f(x)拥有对称轴 xa ， xb ( a b) ，则 f(x)为周期函数且一个正周期为| 2a2b |20.y=kx+m 与椭圆x 2 y 2 1(ab 0) 订交于两点，则纵坐标之和为2mb 2a2b2a 2k 2 b221. 已知三角形三边x ， y ， z ，求面积可用下述方法 (一些状况下比海伦公式更适用，如27 ， 28 ， 29 )A B x 2B C y 2C A z 22SAB BC C A22.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义： 平面上到定点 F 距离与到定直线间距离之比为常数 e(即椭圆的偏爱率，c)的点的会集 (定e点 F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)a双曲线第二定义： 平面内，到给定一点及向来线的距离之比大于 1 且为常数的点的轨迹称为双曲线23.到角公式： 若把直线 l 1 依逆时针方向旋转到与 l 2 第一次重合时所转的角是，则 tan θ=k 2k 11 k 1 k 2、 B 、 C 三点共线ODmOA nOC ,OB1OD (同时除以 m+n )m nx 2 y 21(a 0, b 0) 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为ab 25.过双曲线b 22a 2226.反比率函数 y k2k ) 和 (2k , 2k ) ，k<0 (k 0) 为双曲线，其焦点为 ( 2k ,x27.面积射影定理：如图，设平面α外的①ABC 在平面α内的射影为①ABO ，分别记①ABC 的面积和①ABO 的面积为 S 和 S′，记①ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则 cos θ= S′: S28,角均分线定理：三角形一个角的均分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比率角均分线定理逆定理：假如三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比率，那么该点与对角极点的连线是三角形的一条角均分线29.数列不动点：定义：方程 f ( x)x 的根称为函数 f (x) 的不动点利用递推数列 f ( x) 的不动点，可将某些递推关系a n f (a n 1 ) 所确立的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这类方法称为不动点法定理 1 ：若f (x)ax b(a0, a1),p 是 f ( x)的不动点，a n满足递推关系a n f (a n 1 ), (n1) ，则a n p a(a n 1p) ，即 { a n p} 是公比为 a 的等比数列.定理 2：设f ( x)ax b(c0, ad bc0) ，{ a n}满足递推关系a n f (an 1 ), n 1 ，初值条件a1 f (a1 )cx d(1) 若f (x)有两个相异的不动点p,q ，则a n p a n1p a pc）a nka n（这里 kqc q1q a(2) 若f (x)只有独一不动点p，则11k（这里 k2c）a n p a n 1 p a d定理3：设函数f ( x)ax 2bx c( a0, e0) 有两个不一样的不动点x1 , x2, 且由u n 1 f (u n ) 确立着数列ex f{ u n } ,那么当且仅当 b0,e2a时,u n1x1(unx1 ) 2u n1x2u n x2 30.3nAsinnB nCn 4k4sinsin22 2nA nBnC n 4k14 cos coscos2(1) sin(nA) sin(nB) sin(nC)22，k N *4 sinnAsinnBsinnCn 4k22224cosnAcosnBcosnCn 4k3222(2) 若 A B C π，则： ① sin 2 A sin 2Bsin 2C 8sin A sin Bsin Csin A sin Bsin C2 2 2 ② cos A cos BcosC 1 4 sin A sin B sin C2 2 2 ③ sin 2Asin 2Bsin2C 12 sin A sin B sin C2222 2 2④ sinAsin Bsin C1 4 sinAsinBsinC 2224 44⑤ sin Asin Bsin CA B C4 sinsin sin2 2 2 A BCA B C⑥cotcotcotcot cotcot2 22222⑦ tan A tanBtan Btan C tan C tan A122 2 2 2 2⑧ sin( B C A)sin(CAB) sin( A B C ) 4 sin A sin B sin C(3) 在任意 ①ABC 中，有： ① sinAsin B sin C1⑥ cos A cos B cosC1? tanAtanBtanC3 22 2 882 229 ② cosAcosBcosC3 3⑦ sin Asin B sin C3 3A B C 3 3 22282? cotcotcot③ sinAsinBsinC33222⑧ cos A cos B cosC? cot A cot Bcot C3222 22④ cosAcosBcosC3 3 ⑨ sin 2Asin 2B sin 2C322 24 2222⑩ tan 2Atan 2B tan 2C13 32 2 2⑤ sin A sin B sin CAB C38? tantantan2 2 2(4) 在任意锐角 ①ABC 中，有：① tan A tan B tan C 3 3③ tan 2 Atan 2 B tan 2 C9 3④ cot 2 A cot 2 B cot 2 C1② cot A cot B cot C931.帕斯卡定理： 假如一个六边形内接于一条二次曲线( 椭圆、双曲线、抛物线) ，那么它的三对对边的交点在同4一条直线上32.拟柱体：全部的极点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式 [ 辛普森 ( Simpson) 公式 ] ：设拟柱体的高为 H ，假如用平行于底面的平面γ去截该图形，所获得的截面面积是平面γ与一个底面之间距离 h 的不超出 3 次的函数，那么该拟柱体的体积V 为1102，式中， S1和 S2是两底面的面积， S0是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离H (S4S S )H6)2时获得的截面的面积事实上，不但是拟柱体，其余吻合条件( 全部极点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所获得的截面面积是该平面与一底之间距离的不超出 3 次的函数 ) 的立体图形也可以利用该公式求体积33.三余弦定理：设 A 为面上一点，过 A 的斜线 AO 在面上的射影为AB ， AC 为面上的一条直线，那么①OAC , ①BAC , ①OAB 三角的余弦关系为：cos ①OAC= cos ①BAC · cosOAB① ( ①BAC 和①OAB 只好是锐角 )a b c34.在 Rt △ ABC 中， C 为直角，内角A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，则△ ABC 的内切圆半径为2 35.立方差公式： a3b3( a b)(a2ab b2 )立方和公式： a3b3(a b)(a2ab b2 )36.已知△ ABC ， O 为其外心， H 为其垂心，则OH OA OB OC37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右极点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值a2(a b0)b22推论：椭圆上不与左右极点重合的任一点与左右极点构成的直线斜率乘积为定值a2(a b 0)b38. e x1x x2x n eθx x n 12!n!(n 1)!推论： e x1x x2239.e x e x ax(a2)推论：① t10)② ln xax0,0 a2) t2 ln t (t( xx a40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点 F 的连线垂直于该焦点弦41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a( 长半轴长 )542.向量与三角形四心：在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c(1) OAOB OC 0O 是 ABC 的重心(2) OA OB OB OCOC OA O 为 ABC 的垂心(3) aOA bOB cOC 0O 为 ABC 的心里(4) OAOBOCO 为 ABC 的外心43.正弦平方差公式： sin 2sin 2sin( )sin( )44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点sin( x1) sin(x1 ) 45.三角函数数列乞降裂项相消：sin x222 cos1246. 点 (x,y)关于直线 Ax+ By+ C=0 的对称点坐标为x2A( Ax By C ) , y 2B( Ax ByC )A 2B 2 A 2 B 247. 圆锥曲线一致的极坐标方程：ep)(e 为圆锥曲线的离心率1 ecosnM (此中M为吻合要求元素的频率)，48. 超 几 何 分 布 的 期 望 ： 若 X~H (n, N , M ) ， 则 E( X )nM(1M)(1n 1 ) NND(X)a n NNN 1b n 为公比为 q 的等比数列，若数列c n 满足 c na nb n ，则数列c n 的前 n49. 为公差为 d 的等差数列，cn 1q 2c n c 1 项和 S n 为 S n (q 1)250. 若圆的直径端点A x 1, y 1 ,B x 2 , y 2 ，则圆的方程为 x x 1 x x 2y y 1 y y 2 051. 过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于 A 、 B 两点，则直线AB 的斜率为定值52. 二项式定理的计算中不定系数变成定系数的公式：kC n k nC n k 1153. 三角形五心的一些性质：(1) 三角形的重心与三极点的连线所构成的三个三角形面积相等 (2) 三角形的垂心与三极点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心 (3) 三角形的垂心是它垂足三角形的心里；也许说，三角形的心里是它旁心三角形的垂心 (4) 三角形的外心是它的中点三角形的垂心 (5) 三角形的重心也是它的中点三角形的重心 (6) 三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7) 三角形的任一极点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a 2 b 2 c 2a ，b ，c ，则 AB AC2 eme nemenm ne 255.m>n 时，2m n6。

完整版)高中数学常用二级结论大全高中数学常用二级结论大全一、基础常用结论在数学研究中，基础常用结论是我们必须要掌握的。

以下是几个常用的基础结论：1.两个不等式相加，其左边的和大于右边的和。

2.两个不等式相乘，其左边的积大于右边的积。

3.两个相等的式子同时加上或减去一个相同的式子，仍然相等。

二、圆锥曲线相关结论圆锥曲线是高中数学中的重要内容，以下是一些常用的结论：1.椭圆的离心率小于1，双曲线的离心率大于1，抛物线的离心率等于1.2.椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上；双曲线的长轴在x轴上，短轴在y轴上；抛物线的对称轴在x轴上或y轴上。

3.椭圆的焦点到中心的距离为c，半轴长为a和b，满足c²=a²-b²；双曲线的焦点到中心的距离为c，半轴长为a和b，满足c²=a²+b²；抛物线的焦点到顶点的距离为p，满足p=1/4a。

三、与角相关结论角是数学中的重要概念，以下是一些与角相关的结论：1.两条互相垂直的直线的斜率之积为-1.2.一条直线与过原点的直线的夹角等于该直线的斜率。

3.余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]；正弦函数和余切函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]；正切函数的定义域为实数集，值域为R。

四、数列相关结论数列是数学中的重要内容，以下是一些常用的数列结论：1.等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d；等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)。

2.等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)；等比数列的前n项和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

3.斐波那契数列的通项公式为an=1/√5[((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n]。

五、三角形与三角函数相关结论三角形和三角函数是高中数学中的重要内容，以下是一些常用的结论：1.三角形的内角和为180°。

2.正弦定理：a/sin A=b/sin B=c/sin C；余弦定理：a²=b²+c²-2bc cos A。

高中数学常用二级结论在高中数学的学习中，掌握一些常用的二级结论可以大大提高解题的效率和准确性。

下面就为大家整理和介绍一些在解题中经常能用到的二级结论。

一、函数相关1、若函数\（f(x)＼）的定义域为\（a,b\），且\（f(x)＼）在\（a,c\）和\（c,b\）上均单调递增（减），则\（f(x)＼）在\（a,b\）上不一定单调递增（减），但如果\（f(x)＼）在\（a,c\）和\（c,b\）上均单调递增（减）且\（f(x)＼）在\（x ＝ c\）处连续，则\（f(x)＼）在\（a,b\）上单调递增（减）。

2、对于函数\（f(x)＼），若\（f(a ＋ x) ＝ f(b x)＼），则函数\（f(x)＼）的图象关于直线\（x ＝＼frac{a ＋ b}｛2}＼）对称。

3、函数\（y ＝ f(x)＼）的图象与直线\（x ＝ a\），＼（x ＝ b\）及\（x\）轴所围成的曲边梯形的面积为\（S ＝＼int_{a}＾｛b} ｜f(x)｜dx\）。

4、若函数\（f(x)＼）为奇函数，且\（f(0)＼）有定义，则\（f(0) ＝0\）。

二、数列相关1、在等差数列\（＼｛a_{n}＼｝＼）中，若\（m ＋ n ＝ p ＋ q\）（＼（m\），＼（n\），＼（p\），＼（q ＼in N^＼）），则\（a_{m} ＋ a_{n} ＝ a_{p} ＋ a_{q}＼）；特别地，若\（m ＋ n ＝ 2p\），则\（a_{m} ＋ a_{n} ＝ 2a_{p}＼）。

2、在等比数列\（＼｛a_{n}＼｝＼）中，若\（m ＋ n ＝ p ＋ q\）（＼（m\），＼（n\），＼（p\），＼（q ＼in N^＼）），则\（a_{m} ＼cdot a_{n} ＝ a_{p} ＼cdot a_{q}＼）；特别地，若\（m ＋ n ＝ 2p\），则\（a_{m} ＼cdot a_{n} ＝ a_{p}＾｛2}＼）。

3、若数列\（＼｛a_{n}＼｝＼）的前\（n\）项和为\（S_{n}＼），且\（S_{n} ＝ An^｛2} ＋ Bn ＋ C\）（＼（A\neq 0\）），则当\（C ＝0\）时，数列\（＼｛a_{n}＼｝＼）为等差数列；当\（C ＼neq 0\）时，数列\（＼｛a_{n}＼｝＼）从第二项起为等差数列。

高中数学二级结论总结1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--①过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx①过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-by y a x x①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=①二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-= 14.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--111115.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a xx f x =∝+→)(lim，b ax x f x =-∝+→])([lim16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222bk a mb + 21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)AC C B B A S zA C y CB x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ace =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线 23.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=⋅+-24.A 、B 、C 三点共线⇔OD nm OB OC n OA m OD +=+=1,(同时除以m+n ) 25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab26.反比例函数)0(>=k xky 为双曲线，其焦点为)2,2(k k 和)2,2(k k --，k <0 27.面积射影定理：如图，设平面α外的①ABC 在平面α内的射影为①ABO ，分别记①ABC 的面积和①ABO 的面积为S 和S′ ，记①ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ = S′ : S28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 29.数列不动点：定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.定理2：设，满足递推关系，初值条件(1)若有两个相异的不动点，则 （这里）(2)若只有唯一不动点，则（这里）定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,30.x x f =)()(x f )(x f )(1-=n n a f a ),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p )(x f n a )1(),(1>=-n a f a n n )(1p a a p a n n -=--}{p a n -a )0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f }{n a 1),(1>=-n a f a n n )(11a f a ≠)(x f q p ,q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11qca pca k --=)(x f p k p a p a n n +-=--111da c k +=2)0,0()(2≠≠+++=e af ex cbx ax x f 21,x x )(1n n u f u =+}{n u a e b 2,0==2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++(1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+==-=++342cos 2cos 2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA ，*N ∈k(2)若πC B A =++，则：①2sin 2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin CB AC B A C B A =++++②2sin 2sin 2sin 41cos cos cos CB AC B A +=++③2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222C B A C B A -=++④4sin4sin 4sin 412sin 2sin 2sin C B A C B A ---+=++πππ ⑤2sin 2sin 2sin 4sin sin sin CB AC B A =++⑥2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A =++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+ (3)在任意①ABC 中，有： ①812sin 2sin 2sin≤⋅⋅C B A ②8332cos 2cos 2cos ≤⋅⋅C B A ③232sin 2sin 2sin≤++C B A ④2332cos 2cos 2cos≤++C B A ⑤833sin sin sin ≤⋅⋅C B A ⑥81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A ⑨432sin 2sin 2sin 222≥++C B A⑩12tan 2tan 2tan 222≥++C B A⑪32tan 2tan 2tan ≥++CB A⑫932tan 2tan 2tan ≤⋅⋅C B A ⑬332cot 2cot 2cot≥++CB A ⑭3cot cot cot ≥++C B A(4)在任意锐角①ABC 中，有： ①33tan tan tan ≥⋅⋅C B A②93cot cot cot ≤⋅⋅C B A ③9tan tan tan 222≥++C B A④1cot cot cot 222≥++C B A31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森(Simpson )公式]：设拟柱体的高为H ，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为H S S S V )4(61201++=，式中，1S 和2S 是两底面的面积，0S 是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离2Hh =时得到的截面的面积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积 33.三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么①OAC ,①BAC ,①OAB 三角的余弦关系为：cos①OAC=cos①BAC ·cos①OAB (①BAC 和①OAB 只能是锐角)34.在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABC 的内切圆半径为2cb a -+ 35.立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=- 立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则OC OB OA OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a b a38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x e 推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx推论：①)0(ln 21>≥-t t tt②)20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx 40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长) 42.向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心(2)⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心 (3)O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心==⇔O 为ABC ∆的外心43.正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin 22βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x 47.圆锥曲线统一的极坐标方程：θρcos 1e ep-=(e 为圆锥曲线的离心率)48.超几何分布的期望：若),,(M N n X~H ，则N nM X E =)((其中NM为符合要求元素的频率)，)111)(1()(----=N n N M N M n X D49.{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公比为q 的等比数列，若数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，则数列{}n c 的前n项和n S 为2121)1(-+-=+q c c q c S n n n50.若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--= 51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n k n nC kC53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 (4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心 (5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2222c b a AC AB -+=⋅55.m >n 时，22nm nm n m e nm e e e e +>-->+。

高中数学二级结论1、任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积)2、在任意ABC △内，都有t a n A +t a n B +t a n C =t a n A ·t a n B ·t a n C3、若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x )定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x )是周期函数，且2|a |是它的一个周期。

①f(x ＋a )＝f(x －a ) ②f(x ＋a )＝－f(x ) ③f(x ＋a )＝1/f(x ) ④f(x ＋a )＝－1/f(x )4、若函数y ＝f(x )同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b|5、若函数y ＝f(x )同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b|6、若函数y ＝f(x )既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝4|a －b|7、斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 8、过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点9、导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<-x x xx x、)1(>>x ex e x 10、椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =11、圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--①过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为1220=+b yy a xx ①过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为1220=-b yy a xx 12、切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E yy D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-byy a x x①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ①二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x Bx Ax 13、①椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+②双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是||22222A a -B b =C14、椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±= （左加右减）15、双曲线的焦半径(双曲线上横坐标为x 的点P 到焦点的距离)公式，且F 1为左焦点，F 2为右焦点，e 为双曲线的离心率。

高中数学二级结论贴吧整理数学作为一门重要的学科，对于我们的学习和日常生活都有着重要的影响。

在高中数学的学习中，结论是我们需要掌握和理解的重要内容之一。

然而，由于结论众多，我们有时候很难全面地掌握和理解它们。

因此，我在贴吧整理了一些高中数学二级结论，旨在帮助同学们整理思路，提高学习效果。

第一部分：几何相关结论1. 三角形的内角和定理三角形的三个内角和等于180度。

即∠A + ∠B + ∠C = 180°，其中∠A、∠B和∠C分别是三角形的三个内角。

2. 三角形的外角和定理三角形的一个外角等于其两个对角的和。

即∠D = ∠A + ∠B或∠D = ∠A + ∠C或∠D = ∠B + ∠C，其中∠D是三角形的一个外角，∠A、∠B和∠C是三角形的三个内角。

3. 同位角定理同位角是指两条直线被一条直线切割所得到的相似角。

同位角相等。

即∠A = ∠C或∠B = ∠D。

4. 三角形边长关系在三角形ABC中，若a、b和c分别表示边BC、AC和AB的长度，则有c^2 = a^2 + b^2。

这被称为直角三角形的勾股定理。

5. 正方形的性质正方形的特点是四个边相等且四个角都是直角，对角线相等且互相垂直。

第二部分：代数相关结论1. 平方差公式a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。

这个公式可以帮助我们快速计算平方差。

2. 平方根的乘积公式a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。

当a和b都是正数时，我们可以利用该公式求解平方根的乘积。

3. 一元二次方程的求解一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0。

通过求解一元二次方程，我们可以求得其根的值。

4. 因式分解因式分解是指将多项式表示为两个或多个乘积形式的过程。

它可以帮助我们简化复杂的计算和推导。

第三部分：概率与统计相关结论1. 加法原理当两个事件A和B互斥时，它们的概率可以通过加法原理求得。

即P(A∪B) = P(A) + P(B)。

高中数学16个二级结论结论一　奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在集合D 上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D 上有最值,则f(x)max +f(x)min =0,且若0∈D,则f(0)=0.例1　设函数的最大值为M,最小值为m,则M+m= .22(1)sin ()1x xf x x ++=+跟踪集训1.(1)已知函数,则 =( ) ()3)1f x x =-+1(lg 2)(lg 2f f +A.-1B.0C.1D.2(2)对于函数f(x)=asin x+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c 的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是( )A.4和6 B.3和1C.2和4D.1和2结论二 函数周期性问题已知定义在R 上的函数f(x),若对任意的x∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T 为其一个周期.常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(2)如果f(x+a)=(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.1()f x (3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.例2　已知定义在R 上的函数f(x)满足f =-f(x),且f(-2)=f(-1)=-1, f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 3()2x +014)+f(2 015)=( )A.-2B.-1C.0D.1跟踪集训2.(1)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=( ) A.-2B.-1C.0D.1(2)定义在R 上的函数f(x)满足f(x)= 则f(2 014)=( )A.-1B.0 C.1D.22log (1),0,(1)(2),0,x x f x f x x -≤⎧⎨--->⎩结论三　函数的对称性已知函数f(x)是定义在R 上的函数.(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x= 对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)2a b+的图象关于直线x=a 对称.(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点中心对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b 恒成立,则(,22a b c+y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称.例3　已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且在[1,+∞)上是增函数,不等式f(ax+2)≤f(x-1)对任意的x∈恒成立,则实数a 的取值范围是( )A.[-3,-1] B.[-2,0] C.[-5,-1]D.[-2,1]1[,1]2跟踪集训3.(1)若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)= .(2)函数y=f(x)对任意x∈R 都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为 .结论四　反函数的图象与性质 若函数y=f(x)是定义在非空数集D 上的单调函数,则存在反函数y=f -1(x).特别地,y=a x 与y=log a x(a>0且a≠1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x 对称,即(x 0, f(x 0))与(f(x 0),x 0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f -1(x)的图象上.例4　设点P 在曲线y=e x上,点Q 在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为( )12A.1-ln 2B.(1-ln 2)C.1+ln 2D.(1+ln 2)跟踪集训4.若x 1满足2x+2x =5,x 2满足2x+2log 2(x-1)=5,则x 1+x 2=( )A.B.3C.D.45272结论五　两个对数、指数经典不等式 1.对数形式:1-≤ln(x+1)≤x(x>-1),当且仅当x=0时,等号成立.11x +2.指数形式:e x ≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时,等号成立.例5　设函数f(x)=1-e -x .证明:当x>-1时, f(x)≥.1x x +跟踪集训5.(1)已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为( )1ln(1)x x+-(2)已知函数f(x)=e x ,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=x 2+x+1有唯一公共点.12结论六　三点共线的充要条件设平面上三点O,A,B 不共线,则平面上任意一点P 与A,B 共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得,且.特别地,当P 为线段AB 的中点时, .OP OA OB λμ=+1λμ+=1122OP OA OB =+ 例6　已知A,B,C 是直线l 上不同的三个点,点O 不在直线l 上,则使等式成立的实数x 的取20x OA xOB BC ++=值集合为( )A.{-1}B. C.{0} D.{0,-1}∅跟踪集训6.在梯形ABCD 中,已知AB∥CD,AB=2CD,M、N 分别为CD 、BC 的中点.若,则 .AB AM AN λμ=+λμ+=结论七　三角形“四心”的向量形式设O 为△ABC 所在平面上一点,角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c,则(1)O 为△ABC 的外心⇔ .||||||2sin aOA OB OC A===(2)O 为△ABC 的重心⇔ .0OA OB OC ++=(3)O 为△ABC 的垂心⇔ .OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅(4)O 为△ABC 的内心⇔ .0aOA bOB cOC ++=例7　已知A,B,C 是平面上不共线的三点,动点P 满足,则点P1[(1)(1)(12)],3OP OA OB OC R λλλλ=-+-++∈的轨迹一定经过( ) A.△ABC 的内心 B.△ABC 的垂心 C.△ABC 的重心D.AB 边的中点跟踪集训7.(1)P 是△ABC 所在平面内一点,若,则P 是△ABC 的( )PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅A.外心B.内心C.重心D.垂心(2)O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足,则P 点,(0,)2OB OC OP AP λλ+=+∈+∞的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心(3)O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足,则P (),[0,)||||AB ACOP OA AB AC λλ=++∈+∞的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心 B.内心C.重心D.垂心结论八　等差数列 1.若S m ,S 2m ,S 3m 分别为等差数列{a n }的前m 项,前2m 项,前3m 项的和,则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等差数列.2.若等差数列{a n }的项数为2m,公差为d,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为S 偶,则所有项之和S 2m =m(a m +a m+1),S 偶-S 奇=md,.1m m S a S a +=奇偶3.若等差数列{a n }的项数为2m-1,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为S 偶,则所有项之和S 2m-1=(2m-1)a m ,S奇=ma m ,S 偶=(m-1)a m ,S 奇-S 偶=a m ,.1S mS m =-奇偶例8　(1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则m=( ) A.3B.4C.5D.6(2)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a m-1+a m+1- =0,S 2m-1=38,则m 等于 . 2m a 跟踪集训8.(1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 10=20,S 20=50,则S 30= .(2)一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则数列的公差d=　.结论九　等比数列已知等比数列{a n },其公比为q,前n 项和为S n .(1)数列也为等比数列,其公比为.1{}na 1q (2)若q=1,则S n =na 1,且{a n }同时为等差数列.(3)若q≠1,则S n = .11111(1)(11111n n n n a a q a q a a aq q q q q q qλλλ--==-=-=-----(4)S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…仍为等比数列(q≠-1或q=-1且n 为奇数),其公比为q n .(5)S n ,, ,…仍为等比数列,公比为.2n n S S 32n nS S 2n q 例9　(1)已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列的前5项和为( ) 1{}na A.或5 B.或5 C.D.15831163116158(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若=3,则 =( )A.2 B.C.D.363S S 96SS 7383跟踪集训9.在等比数列{a n }中,公比为q,其前n 项和为S n .已知S 5=,a 3= ,则 .3116141234511111a a a a a ++++=结论十　多面体的外接球和内切球1.长方体的体对角线长d 与共点三条棱长a,b,c 之间的关系为d 2=a 2+b 2+c 2;若长方体外接球的半径为R,则有(2R)2=a 2+b 2+c2.2.棱长为a 的正四面体内切球半径r=,外接球半径R=.例10　已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计),现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,若注入的水的体积是该三棱锥体积的时,小球与该三棱锥的各侧面均相切(与水面也相切),则小球的表面积78等于( )A.B.C.D.76π43π23π2π跟踪集训10.(1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形,直角边长是1,且其外接球的表面积是16π,则该三棱柱的侧棱长为( )A. B. C.D.3(2)已知正三角形ABC 的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O 到平面ABC 的距离为1,点E 是线段AB的中点,过点E 作球O 的截面,则截面面积的最小值是( )A.B.2πC.D.3π74π94π结论十一　焦点三角形的面积公式1.在椭圆 (a>b>0),F 1,F 2分别为左、右焦点,P 为椭圆上一点,则△PF 1F 2的面积,其中22221x y a b+=122tan 2PF F S b θ=A θ=∠F 1PF 2.2.在双曲线1(a>0,b>0)中,F 1,F 2分别为左、右焦点,P 为双曲线上一点,则△PF 1F 2的面积,22221x y a b -=122tan 2PF F b S θ=A 其中θ=∠F 1PF 2.例11　已知F 1,F 2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F 1PF 2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒3π数之和的最大值为( ) A. B. C.3 D.2跟踪集训11.(1)如图,F 1,F 2是椭圆C 1: 与双曲线C 2的公共焦点,A,B 分别是C 1,C 2在第二、2214x y +=四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是( ) A. B. C.D.32 (2)已知F 1,F 2是椭圆C: (a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 一上点,且.若△PF 1F 2的面积为9,22221x y a b+=12PF PF ⊥ 则b= .结论十二　圆锥曲线的切线问题1.过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R 2上一点P(x 0,y 0)的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=R2.2.过椭圆上一点P(x 0,y 0)的切线方程为.22221x y a b+=00221x x y y a b +=3.已知点M(x 0,y 0),抛物线C:y 2=2px(p≠0)和直线l:y 0y=p(x+x 0).(1)当点M 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线.(2)当点M 在抛物线C 外时,直线l 与抛物线C 相交,其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切线,即直线l 为切点弦所在的直线.(3)当点M 在抛物线C 内时,直线l 与抛物线C 相离.例12　已知抛物线C:x 2=4y,直线l:x-y-2=0,设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线PA,PB,其中A,B 为切点,当点P(x 0,y 0)为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程.跟踪集训12.(1)过点(3,1)作圆(x-1)2+y 2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB 的方程为( )A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0(2)设椭圆C: ,点P ,则椭圆C 在点P 处的切线方程为 .22143x y +=3(1,)2结论十三　圆锥曲线的中点弦问题1.在椭圆E: (a>b>0)中:22221x y a b+=(1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E 交于A,B 两点,过A,B 两点作椭圆的切线l,l',有l∥l',设其斜率为k 0,则k 0·k= .22b a-(2)如图②所示,若直线y=kx 与椭圆E 交于A,B 两点,P 为椭圆上异于A,B 的点,若直线PA,PB 的斜率存在,且分别为k 1,k 2,则k 1·k 2= .22b a-(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E 交于A,B 两点,P 为弦AB 的中点,设直线PO 的斜率为k 0,则k 0·k= .22b a-[提醒]该结论常变形为:以椭圆内任意一点(x 0,y 0)为中点的弦AB 的斜率k=.22221x y a b+=2020x b a y -⋅2.在双曲线E: (a>0,b>0)中,类比上述结论有:(1)k 0·k=.(2)k 1·k 2=.(3)k 0·k=.22221x y a b -=22b a 22b a 22b a 例13　已知椭圆E: (a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点.若AB 的中点坐22221x y a b+=标为(1,-1),则椭圆E 的方程为( )A.B. C. D. 2214536x y +=2213627x y +=2212718x y +=221189x y +=跟踪集训13.(1)椭圆C: 的左,右顶点分别为A 1,A 2,点P 在椭圆上且直线PA 2的斜率的取值范围是[-2,-22143x y +=1],那么直线PA 1的斜率的取值范围是 .(2)如图,在平面直角坐标系xOy 中,过坐标原点的直线交椭圆于P,A 两点,其中P 在第一象限,过P 作x22142x y +=轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA 的斜率为k.对任意k>0,求证:PA⊥PB.结论十四　圆锥曲线中的一类定值问题在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B 满足直线PA 与PB 的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB 的斜率为定值.图示条件结论已知椭圆 (a>b>0),定点22221x y a b+=P(x 0,y 0)(x 0y 0≠0)在椭圆上,A,B 是椭圆上的两个动点,直线PA,PB 的斜率分别为k PA ,k PB ,且满足k PA +k PB =0直线AB 的斜率k AB 为定值202b x a y 已知双曲线 (a,b>0),定点22221x y a b-=P(x 0,y 0)(x 0y 0≠0)在双曲线上,A,B 是双曲线上的两个动点,直线PA,PB 的斜率分别为k PA ,k PB ,且满足k PA +k PB =0直线AB 的斜率k AB 为定值202b x a y -已知抛物线y 2=2px(p>0),定点P(x 0,y 0)(x 0y 0≠0)在抛物线上,A,B 是抛物线上两个动点,直线PA,PB 的斜率分别为k PA ,k PB ,且满足k PA +k PB =0直线AB 的斜率k AB 为定值0py -例14　已知抛物线C:y 2=2x,定点P(8,4)在抛物线上,设A,B 是抛物线上的两个动点,直线PA,PB 的斜率分别为k PA ,k PB ,且满足k PA +k PB =0.证明:直线AB 的斜率k AB 为定值,并求出该定值.跟踪集训14.已知椭圆C: ,A 为椭圆上的定点且坐标为,E,F 是椭圆C 上的两个动点,如果直线AE 22143x y +=31,2（的斜率与AF 的斜率互为相反数.证明:直线EF 的斜率为定值,并求出这个定值.结论十五　圆锥曲线中的一类定点问题若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.(1)对于椭圆 (a>b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB 为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线l AB 过定点22221x y a b +=.同理,当以AB 为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线l AB 过定点.2222(,0)a b a a b -⋅+2222(,0)a b a a b--⋅+(2)对于双曲线 (a>0,b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB 为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线l AB 过22221x y a b -=定点.同理,对于左顶点(-a,0),则定点为.2222(,0)a b a a b +⋅-2222(,0)a b a a b+-⋅-(3)对于抛物线y 2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若,则弦AB 所在直线过点(2p,0).同理,抛物线0OA OB ⋅=x 2=2py(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若,则直线AB 过定点(0,2p).OA OB ⊥例15　已知抛物线y 2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B 满足以AB 为直径的圆过顶点.求证:AB 所在的直线过定点,并求出该定点的坐标.跟踪集训15.已知椭圆,直线l:y=kx+m 与椭圆交于A,B 两点(A,B 不是左、右顶点),且以AB 为直径的圆22143x y +=过椭圆的右顶点.求证:直线l 过定点,并求该定点的坐标.结论十六　抛物线中的三类直线与圆相切问题AB 是过抛物线y 2=2px(p>0)焦点F 的弦(焦点弦),过A,B 分别作准线l:的垂线,垂足分别为A 1,B 1,E 为A 1B 1的中2p -点.(1)如图①所示,以AB 为直径的圆与准线l 相切于点E.(2)如图②所示,以A 1B 1为直径的圆与弦AB 相切于点F,且|EF|2=|A 1A|·|BB 1|.(3)如图③所示,以AF 为直径的圆与y 轴相切.例16　过抛物线y 2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于M,N 两点,自M,N 向直线l:x=-a 作垂线,垂足分别为M 1,N 1.当a= 时,求证:AM 1⊥AN 1.2p跟踪集训16.已知抛物线C:y 2=8x 与点M(-2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点,若,0MA MB ⋅= 则k= . 答案全解全析结论一　奇函数的最值性质跟踪集训1.(1)D 令g(x)=ln(-3x),x∈R,则g(-x)=ln(+3x),因为g(x)+g(-x)=ln(-3x)+ln(+3x)=ln(1+9x 2-9x 2)=ln 1=0,所以g(x)是定义在R 上的奇函数.又lg =-lg 2,所以g(lg 2)+g=0,所以f(lg 2)+f =g(lg 2)+1+g +1=2.故选D.(2)D 令g(x)=f(x)-c=asin x+bx,易证g(x)是奇函数.又g(-1)+g(1)=f(-1)-c+f(1)-c=f(-1)+f(1)-2c,而g(-1)+g(1)=0,c 为整数,∴f(-1)+f(1)=2c 为偶数.1+2=3是奇数,故不可能,选D.结论二 函数周期性问题跟踪集训2.(1)D 由f(x+2)是偶函数可得f(-x+2)=f(x+2),又由f(x)是奇函数得f(-x+2)=-f(x-2),所以f(x+2)=-f(x-2), f(x+4)=-f(x), f(x+8)=f(x),故f(x)是以8为周期的周期函数,所以f(9)=f(8+1)=f(1)=1,又f(x)是定义在R 上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(8)=f(0)=0,故f(8)+f(9)=1,故选D.(2)C 当x>0时,有f(x)=f(x-1)-f(x-2),①同理有f(x+1)=f(x)-f(x-1),②①+②得f(x+1)=-f(x+2),即f(x+3)=-f(x).所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),T=6.故f(2 014)=f(4)=-f(1)=f(-1)-f(0)=log 22-0=1,故选C.结论三　函数的对称性跟踪集训3.(1)答案　3解析　因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x),又f(-x)=f(x),所以f(x)=f(4+x),则f(-1)=f(4-1)=f(3)=3.(2)答案　4解析　因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x)是R上的奇函数. f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.所以f(2 017)=f(504×4+1)=f(1)=4,所以f(2 016)+f(2 018)=-f(2 014)+f(2 014+4)=-f(2 014)+f (2 014)=0,所以f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.结论四　反函数的图象与性质跟踪集训4.C　因为2x+2x=5,所以x+2x-1=,同理x+log2(x-1)=,令t=x-1,则x=t+1,即t1是t+2t=的解,t2是t+log2t=的解,且t1=x1-1,t2=x2-1.如图所示,t1为函数y=2t与y=-t的图象交点P的横坐标,t2为函数y=log2t与y=-t的图象交点Q的横坐标,所以P(t1, ),Q(t2,log2t2),所以P,Q为对称点,且t1+t2=t1+=t1+=.所以x1+x2=t1+1+t2+1=+2=.故选C.结论五　两个对数、指数经典不等式跟踪集训5.(1)B　由题意得f(x)的定义域为{x|x>-1且x≠0},所以排除选项D.令g(x)=ln(x+1)-x,则由经典不等式ln(x+1)≤x知,g(x)≤0恒成立,故f(x)=<0恒成立,所以排除A,C,故选B.(2)证明　令g(x)=f(x)-=e x-x2-x-1,x∈R.g'(x)=e x-x-1,由经典不等式e x≥x+1恒成立可知,g'(x)≥0恒成立,所以g(x)在R上为单调递增函数,且g(0)=0,所以函数g(x)有唯一零点,即两曲线有唯一公共点.结论六　三点共线的充要条件跟踪集训6.答案　解析　解法一:由=λ+μ及题意得=λ·(+)+μ·(+),则++=0,得++=0,得λ+μ-1+=0.又因为,不共线,所以由平面向量基本定理得解得所以λ+μ=.解法二:如图,连接MN并延长交AB的延长线于T.由已知易得AB=AT,∴==λ+μ.∴=λ+μ,∵T、M、N三点共线,∴λ+μ=1,则λ+μ=.结论七　三角形“四心”的向量形式跟踪集训7.(1)D　由·=·,可得·(-)=0,即·=0,∴⊥,同理可证⊥,⊥,∴P是△ABC的垂心.(2)C　设BC的中点为M,则=,则有=+λ,即=λ,∴P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的重心.(3)B　解法一:为上的单位向量,为上的单位向量,则+的方向为∠BAC的平分线的方向.又λ∈[0,+∞),∴λ的方向与+的方向相同.=+λ,∴点P在上移动.∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.故选B.解法二:由于P点轨迹通过△ABC内一定点且该定点与O点位置和△ABC的形状无关,故取O点与A点重合,由平行四边形法则很容易看出P点在∠BAC的平分线上,故选B.结论八　等差数列跟踪集训8.(1)答案　90解析　(S20-S10)-S10=(S30-S20)-(S20-S10),S30=3S20-3S10=3×50-3×20=90.(2)答案　5解析　设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,由已知条件,得解得又S偶-S奇=6d,所以d==5.结论九　等比数列跟踪集训9.答案　31解析　由等比数列的性质知,a1a5=a2a4=,则++++=++====31.结论十　多面体的外接球和内切球跟踪集训10.(1)A　因为该三棱柱外接球的表面积是16π,所以外接球的半径R=2.又直三棱柱底面是等腰直角三角形,直角边长是1,故该三棱柱的侧棱长是=,故选A.(2)C　由题意知,正三角形ABC的外接圆半径为=,则AB=3,过点E的截面面积最小时,截面是以AB为直径的圆面,截面面积S=π×=.结论十一　焦点三角形的面积公式跟踪集训11.(1)D　设双曲线C2的方程为-=1,则有+===4-1=3.又四边形AF1BF2为矩形,所以焦点三角形AF1F2的面积为tan 45°=,即==1.所以=-=3-1=2.故双曲线的离心率e====.故选D.(2)答案　3解析　在焦点三角形PF1F2中,⊥,故=|PF1||PF2|,又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,|PF1|+|PF2|=2a,则(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=|F1F2|2,4a2-2|PF1|·|PF2|=4c2,所以|PF1||PF2|=2b2,则=b2=9,故b=3.结论十二　圆锥曲线的切线问题跟踪集训12.(1)A　如图,圆心坐标为C(1,0),易知A(1,1).又k AB·k PC=-1,且k PC==,∴k AB=-2.故直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,故选A.(2)答案　x+2y-4=0解析　由于点P在椭圆+=1上,故所求的切线方程为+=1,即x+2y-4=0.结论十三　圆锥曲线的中点弦问题跟踪集训13.(1)答案　解析　设PA2的斜率为k2,PA1的斜率为k1,则k1·k2=-=-,又k2∈[-2,-1],所以k1∈.(2)证明　设P(x 0,y0),则A(-x0,-y0),C(x0,0),k AC==,又k PA==k,所以k AC=,由k BA·k BP =-知,k BP·k BA=k BP·k AC=·k PB=-,所以k PB·k=-1,即PA⊥PB.结论十四　圆锥曲线中的一类定值问题跟踪集训14.解析　设直线AE的方程为y=k(x-1)+,联立得消去y,整理得(4k2+3)x2+(12k-8k2)x+4-12=0,则x E==.①同理,可得x F=.②所以k EF===,将①②代入上式,化简得k EF=.所以直线EF的斜率为定值,这个定值为.结论十五　圆锥曲线中的一类定点问题跟踪集训15.解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得消y,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,则有Δ=(8km)2-4(4k2+3)·(4m2-12)>0,即m2<4k2+3,即m2<4k2+3,①因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),所以(x1-2,y1)·(x2-2,y2)=0,即x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0,即x1x2-2(x1+x2)+4+(kx1+m)(kx2+m)=0.把①代入化简得7m2+16km+4k2=0,得m=-2k或m=-.当m=-2k时,直线l:y=kx-2k过右顶点(2,0),与题意不符,故舍去;当m=-时,直线l:y=kx-过定点,且满足m2<4k2+3,符合题意.所以l:y=kx+m过定点.结论十六　抛物线中的三类直线与圆相切问题跟踪集训16.答案　2解析　如图所示,因为·=0,所以MA⊥MB,故点M在以AB为直径的圆上,又准线为x=-2,直线AB经过焦点F(2,0),所以有MF⊥AB,又k MF==-,所以k AB=2.。

高中数学50个二级结论汇总5. 平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和。

12. 过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点.13. 圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导.推论：14. 切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程.22. 过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B两点，则直线AB的斜率为定值.24. 抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F的连线垂直于该焦点弦.25. 双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a(长半轴长).26. 对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两直线斜率之积为定值，两直线交曲线于A，B两点，则直线AB恒过定点.32. 角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线.39. 帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上。

45. 三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；(4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心；(5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心；(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心；(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.。

高中数学二级结论1．任意的简单n面体内切球半径为3V/S表V是简单n面体的体积，S表是简单n 面体的表面积，2．在任意三角形内都有tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，至于有什么用，，，:三个tan加起来如果是负的那就是钝角三角形了3．矩阵和矩阵逆的行列式，特征值都互为倒数，4．斜二测画法画出的图形面积变小了，为原来的√2/4倍5．过椭圆准线上一点作椭圆切线，两切点所在直线必过椭圆相应焦点，椭圆准线广义称极线，那个是极线的性质之一6．在做导数题的时候要熟练以下不等式便于放缩等。

e^x≥x+1lnx≤x-1泰勒基数展开，这个常用，一般前一问有提示7．球的体积：V(r)=(4/3pi)r^38．求导：V'R=4pir^2=表面积，，，神奇！:这个我们老师的解释是，球的体积可以看成无穷个表面积的积分，所以体积的微分就应该是表面积9．椭圆的面积S=派ab应该很难用上，直接换元，转换成圆，再换回去就行了10．圆锥曲线切线，隐函数求导高考不让用:用于秒杀选择填空，大题找思路以及验证等x不用处理11．来个非常有用的，。

过椭圆x2/a2+y2/b2上任意一点(x0,y0)的切线方程为xx0/a2+yy0/b2既用xx0替换x2用yy0替换y2。

双曲线也一样这个椭圆切线的结论可以用的，同理圆、双曲线、抛物线的切线方程都可以直接用12．来个比较少用，但是选择填空一考到你可以捞大把时间的⊙▽⊙。

过椭圆外一点(x0,y0)作椭圆的两条切线，过两切点的直线方程为xx0/a2+yy0/b2=1这个叫做切点弦方程13．分享个最最有用的。

椭圆x2/a2+y2/b2=1与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2+B2b2=C2至于椭圆焦点在y轴上的情况，，。

欢迎讨论?把a、b换个位置就行了个最屌，双曲线的话上面的+号变-号，秒出答案14．设双曲线方程x^2/a^2-y^2/b^2=1,双曲线焦点到渐近线距离为b15．托密勒定理有道证明题用过这个16．椭圆焦点三角形设顶角为A.焦点三角形面积为b平方tanA/2，双曲线是cot 17． 1.函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c的充要条件是函数关于((a+b)/2,c/2)中心对称18． 2.函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)的充要条件是函数关于x=(a+b)/2轴对称19． 3.L*Hospital*srule20． 4.三角形中射影定理：a=bcosC+ccosB21． 5.任意三角形内切圆半径r=2S/(a+b+c)22． 6.任意三角形外切圆半径R=abc/4S=a/2sinA23．7.Euler不等式：R>2r24．8.海伦公式的变式：设三角形内切圆分三角形三边为不相邻的线段x,y,z则25．S=sqrt(xyz(x+y+z))=1/4*sqrt(∑a∏(a+b-c))26．9.边角边面积公式：S=a^2sinBsinC/2sin(B+C)27．10.各种三角恒等式28．11.各种三角不等式：29．1）在锐角三角形中成立不等式:∑sinA>∑cosA30．2)嵌入不等式：x^2+y^2+z^2>=∑2yzcosA,x,y,z为实数31．12.权方和不等式32．13.赫尔德不等式33．14.卡尔松不等式34．15.切比雪夫不等式35．16.舒尔不等式及舒尔分拆36．17.琴生不等式37．18.幂平均不等式38．19.pqr、uvw、sos法39．20.拉格朗日插值定理40．21.拉格朗日中值定理41．22.泰勒级数与迈克劳林级数42．23.积分放缩于常用对数不等式43．对与椭圆交于四点的两条直线，四点共圆的充要条件是两直线与x正半轴夹角互补曲线系44．p为椭圆上一点，∠F1PF2=θ45．则cos（θmax）=1-2e^246．焦半径公式也不知道高考让不让用47．R=a±ex也可以用可以一步推出来他就没话说了用x0y0表示出椭圆上的点然后求其到（c,0）的距离然后将椭圆里的y^2移动到一边替代前文的距离看起来很复杂也就两个式子48．49．50．51．52．这个是无意中发现的，k2为k1、k3的角分线（其中k1、k2、k3为斜率）则有以上关系式53．（也就是知二求一）54．对于任意二次方程满足一下形式55．ax^n+by^n=r56．则过该函数上一点（x1，y1）的切线方程为57．ax1x^(n-1)+by1y^(n-1)=r隐函数很好推的58．关于弧长的59．弧长L=∫(x*)^2+(y*)^2dθ60．实在不行了套公式怒解吧汗少打个根号还是给微分形式吧（dL）^2=(dx)^2+(dy)^261．若已知函数f（x）的渐近线方程y=ax+b62．则63．lim(x→+∞)f（x）/x=a64．lim(x→+∞)f（x）-ax=b另一种渐近线就是当x的取值令函数无意义的时候那条垂直于x轴的直线也是渐近线，比如1/0就是x=0是渐近线:对勾函数65．函数的凹凸（辅助画图）66．当函数f（x）的二阶微分大于0时函数为凹67．当函数f（x）的二阶微分小于0时函数为凸椭圆绕x^2/a^2+y^2/b^2=1绕ox轴旋转所得的旋转体的面积68．V=4/3*πab椭圆标准方程不是关于x轴对称吗，绕着x轴旋转就行了69．若圆1与圆2相交，则联立两个方程式得到的直线方程为交点连线方程两个方程相减70．正方体体对角线是边长的根号3倍勾股定理71．洛必达法则?遇到0/0或无穷/无穷时非常实用选择题的图像题，导数的分离参数72．内角平分线定理73．在锐角三角形中成立不等式:∑sinA>∑cosA，这个里面∑是什么意思？？还有还有，循环求和是什么意思？简单介绍一下吧。