概率统计A(大题)

第一部分 基本题一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分，选错0分） 1. 事件表达式A B 的意思是 ( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生(C) 事件B 发生但事件A 不发生 (D) 事件A 与事件B 至少有一件发生答：选D ，根据A B 的定义可知。

2. 假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( )(A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件 答：选A ，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。

3. 已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 ( ) (A) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 (C) 自由度为1的F 分布 (D) 自由度为2的F 分布答：选B ，因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的χ2分布。

4. 已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( ) (A) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3)答：选C ，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2-2=0, D (X +Y )=D (X )+D (Y )=4+1=5, 所以有X +Y ~N (0,5)。

5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) (A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B)1233X X X ++是μ的无偏估计(C) 22X 是σ2的无偏估计(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计答：选B ，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。

2002-2003学年第一学期概率论与数理统计（A ）期末考试试卷答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中 1．掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为6，则其中有一颗为1点的概率为________． 解：两颗骰子的点数之和为6共有5种可能情况：()()()()()1,5,2,4,3,3,4,2,5,1，而其中有一颗为1点有两种可能：()()1,5,5,1，因此所求概率（条件概率）为52． 应填：52． 2．设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()()⎩⎨⎧<<<<--=其它042,206,y x y x k y x f 则=k ________． 解：由()1,=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ，得()()()⎰⎰⎰⎰⎰---=--==+∞∞-+∞∞-422024220626,1dy y x k dx y x k dy dxdy y x f()()[]k dy y y k 84624222=---=⎰所以，81=k ． 应填：813．设总体()2,~σμNX ，()1021,,,X X X 是从X 中抽取的一个样本，样本量为10，则()1021,,,X X X 的联合概率密度函数()=1021,,,x x x g _________________________．解：由于总体()2,~σμNX ，所以总体X 的概率密度函数为()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=222exp 21σμσπx x f ()+∞<<∞-x ， 并且()1021,,,X X X 是从中抽取的一个样本，即()1021,,,X X X 是简单随机样本，所以样本中的n 个分量n X X X ,,,21 是独立同分布的随机变量，而且其分布与总体分布相同．因此样本()1021,,,X X X 的联合概率密度函数()()()()10211021,,,x f x f x f x x x g =()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--⎭⎬⎫⎩⎨⎧--⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=22102222212exp 212exp 212exp 21σμσπσμσπσμσπx x x ()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=∑=10122210221exp 21i i x μσπσ ()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=∑=101225221exp 21i i x μσπσ 应填：()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--∑=101225221exp 21i i x μσπσ． 4．设总体X其中10<<θ是未知参数，()n X X X ,,,21 是从中抽取的一个样本，则参数θ的矩估计量=θˆ__________________．解：()()()()θθθθθθθθθθ232134413122122222-=+-+-+=-⨯+-⨯+⨯=X E所以，()()X E -=321θ．将()X E 替换成样本均值X ，得参数θ的矩估计量为 ()X -=321ˆθ． 应填：()X -321．5．显著性检验是指____________________________________． 解：显著性检验是指只控制犯第Ⅰ类错误的概率，而不考虑犯第Ⅱ类错误的概率的检验． 应填：只控制犯第Ⅰ类错误的概率，而不考虑犯第Ⅱ类错误的概率的检验．二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．设随机变量()2,1~-N X ，()2,1~N Y ，而且X 与Y 不相关，令Y aX U +=，bY X V +=，且U 与V 也不相关，则有()A .0==b a ； ()B .0≠=b a ； ()C .0=+b a ； ()D .0=ab ．【 】解：()()bY X Y aX V U ++=,cov ,cov()()()()()()()()Y bD Y X ab X aD Y Y b Y X ab X X a +++=+++=,cov 1,cov ,cov 1,cov再由于随机变量()2,1~-N X ，()2,1~N Y ，而且X 与Y 不相关，所以()2=X D ，()2=Y D ，()0,cov =Y X ． 因此，()()b a V U +=2,cov ．这表明：随机变量U 与V 不相关，当且仅当()()02,cov =+=b a V U ，当且仅当0=+b a ． 应选：()C ．2．对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为1p ，第二台仪器发生故障的概率为2p ．令X 表示测试中发生故障的仪器数，则()=X E()A .21p p +； ()B .()()122111p p p p -+-； ()C .()211p p -+； ()D .21p p ．【 】解：由于X 表示测试中发生故障的仪器数，所以X 的取值为2,1,0，并且X 的分布律为所以()()()()()21211221212111110p p p p p p p p p p X E +=⨯+-+-⨯+--⨯=． 应选：()A ．3．若Y X ,ρ表示二维随机变量()Y X ,的相关系数，则“1,=Y X ρ”是“存在常数a 、b 使得{}1=+=bX a Y P ”的()A .必要条件，但非充分条件； ()B .充分条件，但非必要条件； ()C .充分必要条件； ()D .既非充分条件，也非必要条件．【 】解：由相关系数的性质，可知“1,=Y X ρ”是“存在常数a 、b 使得{}1=+=bX a Y P 的充分必要条件． 应选：()C ．4．根据辛钦大数定律，样本均值X 是总体期望()μ=X E 的()A .矩估计量； ()B .最大似然估计量； ()C .无偏估计量； ()D .相合估计量．【 】解：辛钦大数定律指出：设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且()μ=n X E 存在，则对任意给定的0>ε，有01lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∑=∞→εμn i i n X n P ， 即{}0lim =≥-∞→εμX P n这表明，样本均值X 是总体期望()μ=X E 的相合估计量． 应选：()D ．5．设总体X 服从参数10=λ的泊松（Poisson ）分布，现从该总体中随机选出容量为20一个样本，则该样本的样本均值的方差为()A . 1； ()B . 5.0； ()C . 5； ()D . 50．【 】解：由于总体服从参数10=λ的泊松（Poisson ）分布，所以()10==λX D ．又从该总体中随机选出容量为20一个样本，则若令X 是其样本均值，则()()5.02010===n X D X D ． 应选：()B ．三．（本题满分10分）某学生接连参加同一课程的两次考试．第一次考试及格的概率为p ，如果他第一次及格，则第二次及格的概率也为p ，如果他第一次不及格，则第二次及格的概率为2p． ⑴ 求他第一次与第二次考试都及格的概率． ⑵ 求他第二次考试及格的概率．⑶ 若在这两次考试中至少有一次及格，他便可以取得某种证书，求该学生取得这种证书的概率． ⑷ 若已知第二次考试他及格了，求他第一次考试及格的概率． 解：设{}该学生第一次考试及格=A ，{}该学生第二次考试及格=B ． 则由题设，()p A P =，()p A B P =，()2p B A P =． ⑴ ()()()2p A B P A P AB P ==．⑵ ()()()()()()()21212p p p p p A B P A P A B P A P B P +=-+=+=． ⑶ ()()()()()()23212p p p p p p AB P B P A P B A P -=-++=-+=⋃． ⑷ ()()()()p pp p p B P AB P B A P +=+==12212．四．（本题满分10分）设顾客在某银行等待服务的时间X （单位：分钟）是服从5=θ的指数分布．某顾客在窗口等待服务，若等待时间超过10分钟，他便离开．⑴ 求某次该顾客因等待时间超过10分钟而离开的概率．⑵ 若在某月中，该顾客来到该银行7次，但有3次顾客的等待时间都超过10分钟，该顾客是否有理由推断该银行的服务十分繁忙． 解：由于随机变量X 服从5=θ的指数分布，所以X 的概率密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00515x x ex f x． ⑴ {}{}135335283.05110102105105==-==≥=-+∞-∞+-⎰e e dx e X P P x x分钟顾客等待时间超过 ⑵ 设Y 表示该顾客在一个月内等待时间超过10分钟的次数，则()2,7~-e b Y ．所以，()()()048494457.013423237=-==--e eC Y P ．这表明，()3=Y 是一个小概率事件，由于小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的，现在发生了．因此该顾客有理由推断该银行的服务十分繁忙． 五．（本题满分10分）一射手进行射击，击中目标的概率为p ()10<<p ，射击直至击中2次目标时为止．令X 表示首次击中目标所需要的射击次数，Y 表示总共所需要的射击次数． ⑴ 求二维随机变量()Y X ,的联合分布律．⑵ 求随机变量Y 的边缘分布律．⑶ 求在n Y =时，X 的条件分布律．并解释此分布律的意义． 解：⑴ 随机变量Y 的取值为 ,4,3,2；而随机变量X 的取值为1,,2,1-n ，并且(){}次第次，第二次命中目标在第一次命中目标在第n m P n Y m X P ===, 2211p q p q p q n m n m ----=⋅=， （其中p q -=1） ()1,,2,1;,4,3,2-==n m n ．⑵ ()()()221122111,p q n p q n Y m X P n Y P n n m n n m --=--=-======∑∑，() ,4,3,2=n ． 即随机变量Y 的边缘分布律为()()221p q n n Y P n --== () ,4,3,2=n ．⑶ 由于()()()()111,2222-=-=======--n p q n p q n Y P n Y m X P n Y m X P n n 因此在n Y =时，X 的条件分布律为 ()11-===n n Y m X P ()1,,2,1-=n m 这表明，在n Y =的条件下，X 的条件分布是一个“均匀”分布．它等可能地取值1,,2,1-n ．六．（本题满分10分）一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、2.1元、5.1元各个值的概率分别为3.0、2.0、5.0．某天该食品店出售了300只蛋糕．试用中心极限定理计算，这天的收入至少为395元的概率． （附表：标准正态分布()x Φ的数值表：解：设k X 表示该食品店出售的第k 只蛋糕的价格()300,,2,1 =k ，则k X 的分布律为所以，()29.15.05.12.02.13.01=⨯+⨯+⨯=k X E ，()713.15.05.12.02.13.012222=⨯+⨯+⨯=k X E ， 所以，()()()[]0489.029.1713.1222=-=-=k k k X E X E X D ．因此，30021,,,X X X 是独立同分布的随机变量，故()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-<--=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑∑∑∑======3001300130013001300130013951395k k k k k k k k k k k k X D X E X D X E X P X P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯-<⨯⨯--=∑=0489.030029.130********.030029.130013001k k X P ()0183.09817.0109.2109.20489.030029.130013001=-=Φ-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⨯⨯--=∑=k k X P ．七．（本题满分10分） 设总体X 的密度函数为()()⎩⎨⎧≤>=+-cx cx x c x f 01θθθ． 其中0>c 是已知常数，而1>θ是未知参数．()m X X X ,,,21 是从该总体中抽取的一个样本，试求参数θ的最大似然估计量． 解：似然函数为()()()()()121111+-=+-====∏∏θθθθθθθn n n ni i n i i x x x c x c x f L所以，()()∑=+-+=ni ixc n n L 1ln 1ln ln ln θθθθ．所以，()∑=-+=ni i x c n nL d d 1ln ln ln θθθ．令：()0ln =θθL d d ，即0ln ln 1=-+∑=n i i x c n nθ， 得到似然函数的唯一驻点cxnni iln ln 1-=∑=θ．所以参数θ的最大似然估计量为cXnni iln ln ˆ1-=∑=θ．八．（本题满分10分） 设总体()21,~σμNX ，总体()22,~σμN Y ，()m X X X ,,,21 是从总体X 中抽取的一个样本，()n Y Y Y ,,,21 是从总体Y 中抽取的一个样本．并且随机变量n m Y Y Y X X X ,,,,,,,2121相互独立．记21S 是样本()m X X X ,,,21 的样本方差，22S 是样本()n Y Y Y ,,,21 的样本方差．再设()()21122212-+-+-=n m S n S m S W证明：2W S 是2σ的无偏估计．解：由于总体()21,~σμNX ，()m X X X ,,,21 是从总体X 中抽取的一个样本，所以()()1~12221--m S m χσ．又由于总体()22,~σμNY ，()n Y Y Y ,,,21 是从总体Y 中抽取的一个样本，所以()()1~12222--n S n χσ．所以，()()()()()222122212211111σσσσσ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-m S m E S m E Sm E ， ()()()()()222222222221111σσσσσ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-n S n E S n E S n E ． 所以， ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=21122212n m S n S m E S E W()[]()[]22211121S n E S m E n m -+--+=()()[]2221121σσσ=-+--+=n m n m 所以，()()21122212-+-+-=n m S n S m SW是2σ的无偏估计．九．（本题满分10分）检验某批矿砂中的含镍量，随机抽取7份样品，测得含镍量百分比分别为：67.2 33.3 69.3 01.3 98.3 15.3 69.3假设这批矿砂中的含镍量的百分比服从正态分布，试在05.0=α下检验这批矿砂中的含镍量的百分比为25.3．（附表：t 分布的分位点表：()9432.1605.0=t ()4469.26025.0=t ()8946.1705.0=t ()3646.27025.0=t解：设X 表示这批矿砂中的含镍量的百分比，则()2,~σμNX ．25.3:0=μH ()25.3:1≠μH由于总体方差未知，故用检验统计量n SX T 25.3-=当0H 成立时，()1~25.3--=n t n SX T ．由于显著性水平05.0=α，7=n ，所以()4469.26025.0=t ．因此检验的拒绝域为()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=4469.225.3:,,,7211n sx x x x W由样本观测值，得36.3=x ，455668007.0=s 所以，4469.2638694486.0745*******.025.336.325.3<=-=-n sx 所以，不拒绝0H ，可以认为这批矿砂中的含镍量的百分比为25.3．。

计算机系《线性代数与概率统计》（概率统计）(A)参考答案及评分标准一、选择题（本大题共 5题，每小题 3 分，共 15 分)1. 一射手向目标射击3 次，i A 表示第i 次射击击中目标这一事件)3,2,1(=i ，则3次射击中至多2次击中目标的事件为( B )321321321321)()()()(A A A D A A A C A A A B A A A A ⋃⋃⋃⋃2. 若x x cos )(=ϕ可以成为随机变量X 的概率密度函数，则X 的可能取值区间为（ A ）(A )]2,0[π(B) ],2[ππ(C ) ],0[π (D ) ]47,23[ππ 3. 设随机变量X 的概率密度为()p x ,且{}01P x ≥=,则必有( C ) (A ) ()p x 在()0+∞，内大于零(B ) ()p x 在(),0-∞内小于零(C ) 01p(x)dx +∞=⎰(D ) ()p x 在()0+∞，上单调增加4. 下列数列是随机变量的分布律的是（ A ）.(A ) )5,4,3,2,1,0(15==i ip i(B ) )3,2,1,0(652=-=i i p i(C ) )4,3,2,1(51==i p i (D ) )5,4,3,2,1(251=+=i i p i5. 设X 1,X 2,X 3,X 4是来自总体N (?,?2)的简单随机样本，则四个统计量:μ1=( X 1+X 2+X 3+X 4 )/4, μ2=X 1,μ3=X 1/2+X 2/3+X 3/6,μ4=X 1/2+X 2/3+X 3/4中，是?的无偏估计量的个数为（ C ） (A ) 1(B ) 2 (C ) 3 (D ) 4二、填空题（本大题共 5 题，每小题 3 分，共 15 分)1．设()0.4,()0.3,()0.6P A P B P A B ===U ，则()P AB =__0.3___.2．将3个球随机地放入3个盒子中（每个盒子中装多少个球不限），则每盒中各有一球的事件的概率等于____2/9___.3．设离散随机变量X的分布函数为00;1,01;3()=2,12;31, 2.xxF xxx<⎧⎪⎪≤<⎪⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩, 则122P X⎧⎫<≤=⎨⎬⎩⎭___2/3______.4．连续型随机变量取任何给定实数值a的概率为 0 .5．设随机变量X与Y服从分布：X～(1,2)N，Y～(100,0.2)B，则(23)-+=E X Y -15 .三、计算题（本大题共 6 题，其中1、2小题每题8分，3、4小题每题10分，5、6小题每题12分，共 60 分)1．设一口袋装有10只球，其中有4只白球，6只红球，从袋中任取一只球后，不放回去，再从中任取一只球。

2020-2021大学《概率论与数理统计》期末课程考试试卷A适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一.填空题（每题2分，共10分）1设事件A,B 互不相容，若P (A )=0.3,P (B )=0.7,则P (AB )为_________。

设事件A,B 相互独立，若P (A )=0.3,P (B )=0.7,则P (AB )为______.3.设母体X 服从正态分布N (μ,σ2)，X 1,X 2⋯,X n 为取自母体的子样，X̄为子样均值，则X ̄服从的分布为__________.4.设X 1,X 2⋯,X n 相互独立，且都服从正态分布N (0,1)，则∑X i 2n i=1服从的分布为_____________.5. 将一枚硬币重复掷N 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于__________.二、选择题（每小题2分共10分）1.设A,B 为互不相容事件，且P (A )>0,P (B )>0,则结论正确的有（ ）（A ）P (A |B )>0 （B ）P (A |B )>P(A) (C) P (A |B )=0 (D) P (A |B )=P (A )P (B ) 2、设随机变量ξ,η相互独立，且有Dξ=6,Dη=3.则D (2ξ+η)为（ ） （A ）9 （B ）15 （Ｃ）21 （Ｄ）27 3、设随机变量X 服从正态分布N (μ,σ2)，则随着σ的增大，P (|X −μ|<σ)（ ）（A ）单调增大 （B ）单调减少 （C ）保持不变 （D ）增减不定4、任一连续型随机变量的概率密度函数ϕ(x )一定满足（ ）（A ）0≤ϕ(x )≤1；（B ）定义域内单调不减；（C ）∫ϕ(x )+∞−∞dx =1；（D ）lim x→+∞ϕ(x )=1。

5、设随机变量ξ,η满足条件D (ξ+η)=D (ξ−η)，则有（ ）事实上 （A ） Dη=0 （B ）ξ,η不相关 （C ）ξ,η相互独立 （D ）Dξ⋅Dη=0三、综合题（每小题5分共30分）1.某射击小组共有20名射手，其中一级射手4名，二级射手8名，三级射手7名，四级射手1名，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9,0.7,0.5,0.2，求在小组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。

《概率论与数理统计（A ）》期末复习资料一、选择题：1.设A ，B 为两个任意事件，那么与事件B A B A B A ++相等的事件是（）．(A) AB (B) B A + (C) A (D) B2.设B A ,为两个随机事件，若0)(=AB P ，则( ).(A)A 和B 两事件互不相容(互斥)； (B)AB 是不可能事件； (C)AB 未必是不可能事件； (D)0)(=A P 或0)(=B P . 3.如果0)(=AB P ，则( ).(A))()(A P B A P =-； (B)A 与B 不相容； (C)A 与B 不相容； (D))()()(B P A P B A P -=-. 4.如果1)()(=+B P A P ，则( ).(A)1)(=⋃B A P ； (B)0)(=⋂B A P ； (C))()(B A P B A P ⋂=⋂； (D))()(B A P B A P ⋃=⋂. 5.设A 和B 相互独立，则下列结论错误的是( ).(A)B ,A 独立； (B)B ,A 独立； (C))()()(B P A P B A P =； (D)φ=AB .6.设B A ⊂且相互独立，则( ).(A)0)(=A P ； (B)1)(0)(==B P A P 或； (C)1)(=A P ； (D)上述都不对. 7.设随机变量~(2,)X B p ，若()159X P ≥=，则p =( ). (A)32； (B)21； (C)31； (D)2719.8.设随机变量X 概率分布为,,2,1)1()( =+==k k k ak X P ，则a 为( ).(A)0； (B)1； (C)2； (D)3.9.设随机变量X 服从泊松分布，且(1)(2)P X P X ===，则λ=( ). (A)2； (B)1； (C)4； (D)0.5.10.若)(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数,则等式（ ）成立．(A) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤⎰=bax x F b d )()(C) X a P <(≤⎰=b ax x f b d )() (D) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x f b d )()11.设随机变量),(~2σμN X ，且022=++X x x 无实根的概率为0.5，=μ( ). (A)-1； (B)0； (C)1； (D)2.12.随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其他,0,20,20,),(y x cx y x f ，则c 为( ).(A)0.25； (B)1； (C)2； (D)4.13.设随机变量Y X ,相互独立，它们的密度函数分别为⎩⎨⎧≤>=-000x ,;x ,e )x (f x X ，⎩⎨⎧≤>=-00022y ,;y ,e )y (f y Y ，则=>)Y X (P ( ).(A)31； (B)21； (C)32； (D)43.14.设X ～)4,2(N 且b aX +～)1,0(N ，则( ). (A)22-==b a ，； (B)12-=-=b a ，； (C)121==b a ，； (D)121-==b a ，.15.设)1(~P X ,)2(~P Y ,且X 与Y 相互独立,则~Y X +( ). (A) (1,2)b (B) (3)P (C) (1.5)P(D) (2,1)b16.设随机变量)6.0,20(~b X ,)6.0,10(~b Y ,且X 与Y 相互独立,则~Y X +( ). (A) (10,0.6)b (B) (20,0.6)b (C) b(30,0.6) (D) (18)P17.设),(~p n b X 且6 3.6EX DX ==，,则有()(A) 100.6n p ==， (B) 200.3n p ==，(C) 150.4n p ==， (D) 120.5n p ==， 18.设12,,n X X X 是取自正态总体X ～)1,0(N 的样本，2,S X 分别是样本均值和样本方差，则下列结论正确的是( ).(A)X ～)1,0(N ； (B)X n ～)1,0(N ； (C)S X /～)1(-n t ； (D)∑=ni i X 12～)(2n χ.19.设n X X X 21,是取自正态总体X ～),(2σμN 的样本（2>n ）, 2,S X 分别是样本均值和样本方差，则下列结论正确的是( ).(A)1--n SX μ～)1(-n t ； (B)22)(S X n μ-～)1,1(-n F ； (C)22σS ～)1(2-n χ； (D)122X X -～),(2σμN .20.设12,,,n X X X 为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，2211(())1ni i S X X n ==--∑ X 分别为样本方差和样本均值，则下面结论中不正确的是( ). (A)2~(,)X N n σμ ；(B)22()E S σ=； (C)22()1nE S n σ=-； (D)222(1)/~(1)n S n σχ--. 21.已知随机变量X 与Y 相互独立,且2~(40)X χ,2~(80)Y χ,则~/2Y X ().(A)2(40)χ (B) (20,40)F (C) (40,80)F (D) 2(80)χ22.设n X X X ,,,21 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（ ）是μ无偏估计．(A) 321X X X ++ (B) 321525252X X X ++ (C) 321515151X X X ++ (D) 321535151X X X ++23.对正态总体),(2σμN 的假设检验问题中,Z 检验解决的问题是（ ）． (A) 已知方差,检验均值 (B) 未知方差,检验均值(C) 已知均值,检验方差 (D) 未知均值,检验方差24.对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,,则下列各式中（ ）不是统计量．(A)1X (B) μ+X(C)221σX (D)1X μ25.设n X X X ,,,21 是正态总体),(~2σμN X （2σ已知）的一个样本,按给定的显著性水平α检验0H ：0μμ=（已知）；1H ：0μμ≠时,判断是否接受0H 与（ ）有关.(A) 样本值,显著水平α (B) 样本值,样本容量(C) 样本容量n ,显著水平α (D) 样本值,样本容量n ,显著水平α 26.在对单正态总体N (,)μσ2的假设检验问题中,T 检验法解决的问题是（ ）． (A) 已知方差,检验均值 (B) 未知方差,检验均值 (C) 已知均值,检验方差 (D) 未知均值,检验方差 27.假设检验时,若增大样本容量,则犯两类错误的概率（ ）． (A) 有可能都增大 (B) 有可能都减小(C) 有可能都不变 (D) 一定一个增大,一个减小二、填空题：1.设B A ,是两个事件，且=)(B A P 1，则=-)(A B P .2.设()0.7P A =，()0.3P A B -=，则()AB P = ，()B A P = .3.设事件B A ,和B A ⋃的概率分别为0.2，0.3和0.4，则=)(A B P _______.4.设B A ,是两个随机事件，()0.4()0.3P A P B ==，，若B A ,相互独立，则()P A B ⋃= ，则()P B A = .5.三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为 .6.设甲、乙两人投篮命中率分别为0.7和0.8，每人投篮3次，则有人投中的概率为 .7.从0,1,2,,9这10个数字中任意选出3个不同的数字，则3个数字中不含0或5的概率为 .8.某工厂一个班组共有男工9人，女工5人，现在要选出3个代表，则选的3 个代表中至少有1个女工的概率为 .9.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且()2D X =，则(1)p X ==________. 10.设随机变量),(N ~X 42，则~X Y 22-=. 11.设随机变量Y 在]5,0[上服从均匀分布，则关于x 的一元二次方程02442=+++Y xY x 有实根的概率为 .12.设)(1x F 与)(2x F 分别是任意两个随机变量分布函数，令=)(x F)()(21x bF x aF +，则下列各组数中使)(x F 为某随机变量的分布函数的有 =a ， =b .13.已知连续随机变量X 的分布函数为1,0()0,0x e x F x x λ--≥=<⎧⎨⎩，0λ>，则其密度函数为 ，(2)P x ≤= ；已知随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧≤≤=其它 , 010,2)(x x x f 则:)5.15.0(<<X p = .14.设随机变量X 分布律为令,12+=X Y 则随机变量X 分布律为 ;=)(Y E _________.15.若二维随机变量(,)X Y 具有分布律：则(21)P Y X ===________. 16.设随机变量X 分布列如下表则E (X )=________，D (X )=________.17.两独立随机变量X Y 和都服从正态分布，且()()~3,4~2,9X N Y N ，，则()D X Y +=________;又两个相互独立的随机变量~(3),V ~P(2)U E ,则(22)D U V ++=________.18.设X 服从[-1，2]上的均匀分布，令⎩⎨⎧<-≥=,01,01X X Y ，，则=)(Y E ，=)(Y D .19.设相互独立的随机变量X ,Y 均服从参数为5的指数分布，则当0,0x y >>时，(,)X Y 的概率密度(,)f x y =________.20.设总体)1,0(~N X ,1210,,,X X X 是来自总体X 的样本，则~X .21.设总体2~(0,)X N σ，921,X X X 为总体的一个样本，则)(9196521X X X X X X ++++++= 分布为 .22.设),(21n X X X 是取自参数为λ泊松分布的样本，则统计量i ni X Y ∑==1服从分布.23.设12n X X X ,,,为来自总体X 的样本，且~(0,1)X N ，则统计量21~nii X=∑ .24.设12,,,n X X X 是来自总体)1,0(~N X 的简单随机样本，则21()ni i X X =-∑服从的分布为 .25.设n X X X 21,是来自正态总体X ～N (μ，2σ)的样本，即它们是独立同分布，则~X ，~)1(22σS n - .26.在单边假设检验中,原假设为0H ：μ≤0μ,则其备择假设为1H ：_______________.27.设总体X 服从正态分布2(,)N μσ,其中2σ未知,12,,n X X X 为其样本.若假设检验问题为0010:,:,H H μμμμ=≠则采用的检验统计量表达式应为_______________.三、计算题1.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.2.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求： (1)两粒都发芽的概率；(2)至少有一粒发芽的概率；(3)恰有一粒发芽的概率.3.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求： (1)在下雨条件下下雪的概率；(2)这天下雨或下雪的概率.4.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.5.某工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.6.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？8.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： (1)保险公司亏本的概率；(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.9.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求：(1)在开始150小时内没有电子管损坏的概率；(2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率； (3)F (x ).10.某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.11.由某机器生产的螺栓长度（cm ）~(10.05,0.062)X N ,规定长度在10.050.12±内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率..12.设一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布),160(2δN ,若要求{}8.0200120≥≤<X P ,允许δ最大不超过多少？13.设X ~N （3，22），(1)求P {2<X ≤5}，P {4<X ≤10}，P {｜X ｜＞2}，P {X ＞3}; (2)确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }.14.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律.（2）求（X ，Y ）的边缘分布律； （3）求W =X +Y 的分布律.16.设随机变量(X ，Y )的概率密度为()⎩⎨⎧<<<<--=.,0,42,20),6(,其他y x y x k y x f (1)确定常数k ；(2)求P {X ＜1，Y ＜3}； (3)求P {X <1.5}； (4)求P {X +Y ≤4}.17.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为()⎩⎨⎧>>--=--.,0,0,0),e 1)(e 1(,24其他y x y x F y x求(X ，Y )的联合分布密度.18.设随机变量X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-+=.,0,10 ,1,01 ,1其他x x x x x f求)()(X D X E ，.19.设随机变量X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=.,0,21,2,10,其他x x x x x f求)()(X D X E ，.20.设随机变量(X ，Y )的概率密度为()⎩⎨⎧<<<<=.,0,0,10,,其他x y x k y x f 试确定常数k ，并求)(XY E .21.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为()⎩⎨⎧≤≤=;,0,10,2其他x x x f X ()(5)e ,5,0,.y Y y f y --⎧>=⎨⎩其他 求E (XY ).22.设总体X 服从二项分布b (n ，p )，n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩估计.23.设总体X 的密度函数()2(x )2,,f x e x R μμ--=∈X 1，X 2，…，X n 为其样本，试求参数μ的矩估计. 24.设12,,,n x x x 为来自正态总体2~N(,)X μδ的一个样本的X1，X2， (X)观测值，试求总体未知参数2,μδ的极大似然估计.25.设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=-.,0,10,),(1其他x x x f θθθn X X X 21,为其样本，求θ 的极大似然估计.26.某车间生产的螺钉，其直径2~N(,)X μδ，由过去的经验知道2δ=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm ）如下：14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 求μ的置信概率为0.95的置信区间.27.来自正态总体2~N(,)X μδ的一个样本为X 1，X 2，…，X n ，并且2μδ未知，已知，求μ的置信概率为1α-的置信区间.28.在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为1.008（克），样本方差2s =0.1(2g ).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=0.05）.。

南京林业大学试卷(A 卷)（答案）课程 概率统计A 2018~2019学年第2学期3分，共15分）,A B ，若0()1,0()1P A P B <<<<，且(|)1P A B =，则(|)P B A = 1 . X 的概率密度为()f x ，且()3E X =，则(1)()x f x dx +∞-∞-=⎰2 .X ~(0,1)N ，Y ~(2,1)N -，且X 和Y 独立，21Z X Y =-+，则2()E Z = 14 . X ~2(,)N μσ，12,,,n X X X （1n >）为其样本，X 和2S 分别是样本均值和样本μ的置信度为1α-的置信区间为/2/2((1),(1))X n X n αα-+-.y a bx =+,通过对样本观测值计算得y bˆ1.6,3,3===，则y 关于x 的线性回归方程是 3 1.8y x =-. 3分，共15分）,A B 为任意事件，则关于()P AB 有（ D ）.）()()P AB P A ≥ （B ）()()()P AB P A P B = ）()()()P AB P A P B ≥+ （D ）1()[()()]2P AB P A P B ≤+ X 的分布函数为()F x ，12,X X 为其样本，又{}12max ,Y X X =，则Y 的分布函数为 A ）.）2()F y （B ）2[1()]F y - （C ）21()F y - （D ）1()F y -设随机变量X 的概率密度是21,0()20,xe xf x -⎧>⎪=⎨⎪⎩其它，用切比雪夫不等式估计概率(|2|3)P X =-≥，有（ C ）.题号 一 二 三 四 总分 得分（A ）59p ≤（B ）59p ≥ （C ）49p ≤ （D ）49p ≥ 4．设总体X ~(,1)N μ，12,,,n X X X （1n >）为其样本，X 是样本均值，则以下统计量服 从2χ分布的是（ D ）. （A ）1()nii Xμ=-∑ （B ）212()n X X - （C ）2()X μ- （D ）21()ni i X X =-∑5．在假设检验问题中，显著性水平α意义是（ A ）. （A ）在0H 成立的条件下，经检验0H 被拒绝的概率 （B ）在0H 成立的条件下，经检验0H 被接受的概率 （C ）在0H 不成立的条件下，经检验0H 被拒绝的概率 （D ）在0H 不成立的条件下，经检验0H 被接受的概率 三、计算下列各题（第1-5题每题12分，第6题10分，共70分）1．设随机变量X 的分布律为21312XPa b-，且()0E X =．试求：（1）,a b 的值；（2）X 的分布函数；（3）()D X ．解：（1）由()130,1/2E X a b a b =-++=+=解得1/4a b ==，从而X 的分布律2131/21/41/4XP -（4分）（2）0,21/2,21()3/4,131,3x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩（8分）（3）()0E X =，222()9/2,()()()9/2 4.5E X D X E X E X ==-==. （12分）2．设随机变量,X Y 相互独立，且X 的分布律为12(0),(1)33P X P X ====，Y 的概率密度2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他，求：（1）(())P Y E Y ≤；（2）3()2P X Y +≤．解： （1）12/32()22/3,(())24/9E Y y dy P Y E Y ydy ==≤==⎰⎰,（6分）（2）333((0)(|0)(1)(|1)222P X Y P X P X Y X P X P X Y X +≤==+≤=+=+≤=13211211()()132323342P Y P Y =≤+≤=⨯+⨯=. （12分）3．对于上题中的随机变量Y ，求2Z Y =的概率密度()Z f z . 解：由于2(01)z y y =<<严格单调，反函数y =连续可导且z y '=()(0,1)R Z = （6分）由公式得011,01()0,0,Z z z f z ⎧<<<<⎧⎪==⎨⎨⎩⎪⎩其他其他. （12分）4．设(,)X Y 的概率密度,01,1(,)0,xk x y ey f x y ⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩其它，求：（1）k 的值；（2）求关于X和Y 的边缘概率密度，并判断X 与Y 是否独立；（3）求(2)P Y <.解：（1）由规范性111/21ekxdx dy k y==⎰⎰得2k =； （4分）（2）12()(,)2eX xf x f x y dy dy x y+∞-∞===⎰⎰，(01)x <<， 1021()(,)Y x f y f x y dx dx y y+∞-∞===⎰⎰，(1)y e <<， 由于(,)()()X Y f x y f x f y =， 故X 与Y 相互独立； （8分）（3）(2)P Y <12:211(,)2ln 2D y f x y d xdx dy yσ<===⎰⎰⎰⎰. （12分）5．设总体X 的概率密度233,0(,)0,x x f x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，其中θ为未知参数，又设12,,,nX X X 为来自总体X 容量为n 的样本，试求：（1）θ的矩估计量ˆθ；（2）θ的最大似然估计量ˆLθ．解：（1）31333()4E X x dx θθμθ===⎰，解得143θμ=，从而4ˆ3X θ=； （6分）（2）22331133()nnni ini i x L xθθθ====∏∏，1ln ()ln 33ln 2ln nii L n n xθθ==-+∑，由于ln ()30d L nd θθθ=-<，故()L θ单调减少，又0,max(),1,2,,i i x x i n θθ<<>= ,故12ˆmax(,,,)L nX X X θ= . （12分）6．某厂生产的某种铝材长度X ~2(,)N μσ，其均值μ设定为240cm ．现从该厂抽取9件产品，测得239.5x =cm ，20.16s =，试判断该厂这批铝材的长度是否满足设定要求？（取0.05α=）．（附：0.05(8) 1.86t =，0.025(8) 2.31t =） 解：由题意，即在0.05α=下检验假设00:240H μμ==vs 10:H μμ≠（2分）检验统计量X T =，拒绝域/2||(1)T t n α-（7分）又0.025239.5240|| 3.75(8) 2.310.4/3t t -==>=，从而拒绝0H ，认为不满足设定要求.（10分）。

东莞理工学院（本科）试卷（A 卷）答案2010 --2011 学年第二学期《概率论与数理统计》试卷开课单位：计算机学院数学教研室 ，考试形式：闭卷，允许带 计算器 入场选择填空题（共80分, 其中第1-25小题每题2分,第26-353分） A 、B 是两个随机事件，P( A ) = 0.3，P( B ) = 0.4，且A 与B 相互独立， 则()P A B = B ;(A) 0.7 (B) 0.58 (C) 0.82 (D) 0.12A 、B 是两个随机事件，P( A ) = 0.3，P( B ) = 0.4，且A 与B 互不相容,则()P A B = D ;(A) 0 (B) 0.42 (C) 0.88 (D) 1已知B,C 是两个随机事件,P( B | C ) = 0.5，P( BC ) = 0.4,则P( C ) = C ; (A) 0.4 (B) 0.5(C) 0.8(D) 0.9袋中有6只白球,4只红球,从中抽取两只,如果作不放回抽样,则抽得的两个球颜色不同的概率为: A ; (A)815(B)415(C)1225(D)625袋中有6只白球,4只红球,从中抽取两只,如果作放回抽样,则抽得的两个球颜色不同的概率为: C ; (A)815(B)415(C)1225(D)6256.在区间[0,1]上任取两个数,则这两个数之和小于12的概率为 C ;(A) 1/2 (B) 1/4 (C) 1/8(D) 1/167.在一次事故中，有一矿工被困井下，他可以等可能地选择三个通道之一逃生.假设矿工通过第一个通道逃生成功的可能性为1/2，通过第二个通道逃生成功的可能性为1/3，通过第三个通道逃生成功的可能性为1/6.请问：该矿工能成功逃生的可能性是 C .(A) 1 (B) 1/2(C) 1/3(D) 1/68.已知某对夫妇有四个小孩，但不知道他们的具体性别。

设他们有Y 个儿子，如果生男孩的概率为0.5，则Y 服从 B 分布. (A) (01)- 分布 (B) (4,0.5)B (C) (2,1)N(D) (2)π9.假设某市公安机关每天接到的110报警电话次数X 可以用泊松(Poisson)分布()πλ来描述.已知{99}{100}.P X P X ===则该市公安机关平均每天接到的110报警电话次数为 C 次. (A) 98 (B) 99(C) 100(D) 10110.指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。

| | | | | | | |装| | | | |订| | | | | |线| | | | | | | | ||防灾科技学院2008~2009学年 第一学期期末考试概率论与数理统计试卷（A ）使用班级07601/ 07602/07103 答题时间120分钟一填空题（每题2分，共20分）1、已知事件A ，B 有概率4.0)(=A P ，条件概率3.0)|(=A B P ，则=⋂)(B A P 0.28 ；2、设),(~1p n b X ，),(~2p n b Y 则~Y X +),(21p n n b +；3、若)2(~πX ，则=)(2X E 6 ；4、随机变量X 的分布函数是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤--<=x x x x x F 3,131,8.011,6.01,0)(，则=≤<-)31(X P0.4 ；5、连续型随机变量的概率密度函数为)0(0,)(>⎩⎨⎧≤>=-λλλx x ex f x，则分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-000,1)(x x e x F x λ；6、若)1,0(~),1,0(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，则~2/)(22Y X X +)2(t ；7、若随机变量X ，1)(,2)(==X D X E ，则利用切比雪夫不等式估计概率()≥<-32X P 98；8、若总体),(~2σμN X ，则样本方差的期望=)(2S E 2σ；9、设随机变量)2,1(~-U X ，令⎩⎨⎧<≥=.0,0,0,1X X Y ，则Y10、已知灯泡寿命)100,(~2μN X ，今抽取25只灯泡进行寿命测试，得样本1200=x 小时，则μ的置信度为95%的置信区间是 (1160.8,1239.2) （96.1025.0=z ）。

二、单项选择题（本大题共5小题，每题2分，共10分）1、若6.0)(,4.0)(,5.0)(===B A P B P A P ，则=)(A B P （ C ）(A) 0.2 ； (B) 0.45； (C) 0.6； (D) 0.75；2、设离散型随机变量X 的分布律为k k X P αβ==}{， ,2,1=k 且0>α，则参数=β（ C ）（A ）11-=αβ ；（B ）1+=αβ；（C ）11+=αβ；（D ）不能确定； 3、设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ B ）（A ）X 与Y 独立； （B ）)(4)()2(Y D X D Y X D +=-；（C ）)(2)()2(Y D X D Y X D +=-； （D ）)(4)()2(X D Y D Y X D -=-；4、若)1,0(~N X ，则)2|(|>X P =（ A ）（A ）)]2(1[2Φ-；（B ）1)2(2-Φ；（C ）)2(2Φ-；（D ）)2(21Φ-； 5、下列不是评价估计量三个常用标准的是（ D ）)(A 无偏性； )(B 有效性； )(C 相合性； )(D 正态性。

广州大学2008-2009学年第二学期考试卷概率论与数理统计（A 卷）参考解答与评分标准一、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题3分，总计15分）1．对于任意两个事件A 与B,若A ⊆B,则P(A −B)= ( B )。

A. P(A)−P(B) B. 0 C. 1 D. P(A)2．设B A ,是两个概率不为0且互不相容的事件，则下列成立的是（ D ）。

A. A 与B 互不相容 B. A 与B 独立C.)(B A P = )()(B P A PD. )(B A P = )(A P3．设)(x f 为某连续型随机变量的概率密度函数, 则必有( B )。

A ．1)(0≤≤x f B. 1)(=⎰+∞∞-dx x fC. 在定义域内单调不减D.1)(lim =+∞→x f x4．设一个连续型随机变量的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=a x a x k x x x F 1000)(则（ C ）。

A. 21,0==a kB. 21,21==a kC. 1,0==a kD. 1,21==a k学院专业班 级 姓 名学号5．设二维随机变量()的联合分布概率为若X 与Y 独立,则}3{=+Y X P =( A )。

A. 1/3 B. 5/6 C. 1/6 D. 2/3二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）(1) 三阶方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a A 000000中的c b a ,,取3,2,1,0的概率都相同，则该阵为可逆阵的概率为_27/64____。

(2) 某人射击某一个目标的命中率为0.6，现不停的射击，直到命中为止，则第3次才命中目标的概率为_0.096__。

(3)设)6,1(~U X ，则方程012=++Xx x 有实数根的概率为__5/6 。

(4)设X 和Y 是相互独立的两个随机变量，且)3,2(~-U X ，)4,1(~N Y ，则=+)(Y X E __1.5__。

南京工业大学概率统计课程考试试题（A 、闭）（江浦）（第二学期）1.假设P (A )=0.4， P (A ∪B )=0.7，那么(1)若A 与B 互不相容，则P (B )= ______ ；(2)若A 与B 相互独立，则P (B )= ____ 。

2.将英文字母C,C,E,E,I,N,S 随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为____________。

3.设随机变量X 的概率密度为442e 1)(-+-=x xx f π，则=2EX 。

4.设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从参数为0.6的0-1分布，则{}Y X p =＝______。

5.某人有外观几乎相同的n 把钥匙，只有一把能打开门，随机地取出一把开门，记X 为直到把门打开时的开门次数，则平均开门次数为__________。

6.设随机变量X 服从)21,8(B （二项分布）, Y 服从参数为3的泊松分布，且X 与Y 相互独立，则)32(--Y X E ＝__________；)32(--Y X D =__________。

7.设总体X ~),(2σμN ， (X 1，X 2，…X n )是来自总体X 的样本，已知2111)(∑-=+-⋅n i i i X Xc 是2σ的无偏估计量，则=c 。

二、选择题（每题3分，计9分）1.当事件A 和B 同时发生时，必然导致事件C 发生，则下列结论正确的是( )。

（A ）P (C )≥ P (A )+ P (B )1－ （B ）P (C )≤P (A )+ P (B )1－ （C ）P (C )=P (A ⋃B ) （D ）P (C )= P (AB )2.设X 是一随机变量，C 为任意实数，E X 是X 的数学期望，则( )。

(A )E (X －C )2=E (X －E X )2 (B ) E (X －C )2≥E (X －E X )2 (C ) E (X －C )2 <E (X －E X )2 (D ) E (X －C ) 2 = 03.设总体X ~),(2σμN ， (X 1，X 2, X 3)是来自总体X 的样本,则下列估计总体X 的均值μ的估计量中最好的是( )。

大题概率统计(精选30题)1(2024·浙江绍兴·二模)盒中有标记数字1，2的小球各2个.(1)若有放回地随机取出2个小球，求取出的2个小球上的数字不同的概率；(2)若不放回地依次随机取出4个小球，记相邻小球上的数字相同的对数为X(如1122，则X=2)，求X的分布列及数学期望E X.【答案】(1)1 2；(2)分布列见解析，1.【分析】(1)根据组合知识求得取球的方法数，然后由概率公式计算概率；(2)确定X的所有可能取值为0，1，2，然后分别计算概率得分布列，再由期望公式计算出期望．【详解】(1)设事件A=“取出的2个小球上的数字不同”，则P A=C12C12+C12C12C14C14=12.(2)X的所有可能取值为0，1，2.①当相邻小球上的数字都不同时，如1212，有2×A22×A22种，则P X=0=2×A22×A22A44=13.②当相邻小球上的数字只有1对相同时，如1221，有2×A22×A22种，则P X=1=2×A22×A22A44=13.③当相邻小球上的数字有2对相同时，如1122，有2×A22×A22种，则P X=2=2×A22×A22A44=13.所以X的分布列为X012P 131313所以X的数学期望E X=0×13+1×13+2×13=1.2(2024·江苏扬州·模拟预测)甲､乙两人进行某棋类比赛，每局比赛时，若决出输赢则获胜方得2分，负方得0分；若平局则各得1分.已知甲在每局中获胜､平局､负的概率均为13，且各局比赛结果相互独立.(1)若比赛共进行了三局，求甲共得3分的概率；(2)规定比赛最多进行五局，若一方比另一方多得4分，则停止比赛，求比赛局数X的分布列与数学期望.【答案】(1)7 27；(2)分布列见解析，31781.【分析】(1)写出所有可能情形,利用互斥事件的概率和公式即可求出；(2)算出X为不同值时对应的概率并填写分布列，之后求出数学期望即可.【详解】(1)设“三局比赛后，甲得3分”为事件A，甲得3分包含以下情形：三局均为平局，三局中甲一胜一平一负，所以P A=133+A3313 3=727，故三局比赛甲得3分的概率为727.(2)依题意知X 的可能取值为2,3,4,5，P X =2 =2×13 2=29，P X =3 =2×C 1213 3=427，P X =4 =2×C 1213 4+C 1313 4=1081，P X =5 =1-P X =2 -P X =3 -P X =4 =1-29-427-1081=4181，故其分布列为：X2345P2942710814181期望E X =2×29+3×427+4×1081+5×4181=31781.3(2024·江苏南通·二模)某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练.(1)从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？(2)某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为17.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？【答案】(1)9种(2)349.【分析】(1)法一，利用分步乘法计数原理集合组合数的计算，即可求得答案；法二，利用间接法，即用不考虑队长人选对甲的限制的所有选法，减去甲担任队长的选法，即可得答案；(2)考虑第一次传球，老师传给了甲还是传给乙、丙、丁中的任一位，继而确定第二次以及第三次传球后球回到老师手中的情况，结合乘法公式以及互斥事件的概率求法，即可求得答案.【详解】(1)法一，先选出队长，由于甲不担任队长，方法数为C 13；再选出副队长，方法数也是C 13，故共有方法数为C 13×C 13=9(种).方法二先不考虑队长人选对甲的限制，共有方法数为A 24=4×3=12(种)；若甲任队长，方法数为C 13，故甲不担任队长的选法种数为12-3=9(种)答：从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任队长和副队长，甲不担任队长的选法共有9种.(2)①若第一次传球，老师传给了甲，其概率为14；第二次传球甲只能传给乙、丙、丁中的任一位同学，其概率为67；第三次传球，乙、丙、丁中的一位传球给老师，其概率为17，故这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为：14×67×17=398.②若第一次传球，老师传给乙、丙、丁中的任一位，其概率为34，第二次传球，乙、丙、丁中的一位传球给甲，其概率为27，第三次传球，甲将球传给老师，其概率为1 7，这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为34×27×17=398，所以，前三次传球中满足题意的概率为：398+398=349.答：前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是3 49 .4(2024·重庆·模拟预测)中国在第75届联合国大会上承诺，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)．新能源电动汽车作为战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．赛力斯汽车有限公司为了调查客户对旗下AITO问界M7的满意程度，对所有的意向客户发起了满意度问卷调查，将打分在80分以上的客户称为“问界粉”．现将参与调查的客户打分(满分100分)进行了统计，得到如下的频率分布直方图：(1)估计本次调查客户打分的中位数(结果保留一位小数)；(2)按是否为“问界粉”比例采用分层抽样的方法抽取10名客户前往重庆赛力斯两江智慧工厂参观，在10名参观的客户中随机抽取2名客户赠送价值2万元的购车抵用券．记获赠购车券的“问界粉”人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ ．【答案】(1)73.3分(2)分布列见解析；期望为35【分析】(1)根据频率分布直方图求解中位数的方法可得答案；(2)确定抽取的“问界粉”人数，再确定ξ的取值，求解分布列，利用期望公式求解期望.【详解】(1)由频率分布直方图可知：打分低于70分的客户所占比例为40％，打分低于80分的客户的所占比例为70％，所以本次调查客户打分的中位数在[70，80)内，由70+10×0.50-0.400.70-0.40=2203≈73.3，所以本次调查客户打分的中位数约为73.3分；(2)根据按比例的分层抽样：抽取的“问界粉”客户3人，“非问界粉”客户7人，则ξ的所有可能取值分别为0，1，2，其中：P(ξ=0)=C03C27C210=715，P(ξ=1)=C13C17C210=715，P(ξ=2)=C23C07C210=115，所以ξ的分布列为：ξ012P 715715115所以数学期望E(ξ)=0×715+1×715+2×115=35．5(2024·福建三明·三模)某校开设劳动教育课程，为了有效推动课程实施，学校开展劳动课程知识问答竞赛，现有家政、园艺、民族工艺三类问题海量题库，其中家政类占14，园艺类占14，民族工艺类占12.根据以往答题经验，选手甲答对家政类、园艺类、民族工艺类题目的概率分别为25，25，45，选手乙答对这三类题目的概率均为12.(1)求随机任选1题，甲答对的概率；(2)现进行甲、乙双人对抗赛，规则如下：两位选手进行三轮答题比赛，每轮只出1道题目，比赛时两位选手同时回答这道题，若一人答对且另一人答错，则答对者得1分，答错者得-1分，若两人都答对或都答错，则两人均得0分，累计得分为正者将获得奖品，且两位选手答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响，求甲获得奖品的概率.【答案】(1)35(2)4411000【分析】(1)利用全概率公式，即可求得答案；(2)求出乙答对的概率，设每一轮比赛中甲得分为X ，求出X 的每个值对应的概率，即可求得三轮比赛后，甲总得分为Y 的每个值相应的概率，即可得答案.【详解】(1)记随机任选1题为家政、园艺、民族工艺试题分别为事件A i i =1,2,3 ,记随机任选1题，甲答对为事件B ，则P A 1 =14,P A 2 =14,P A 3 =12,P B |A 1 =25,P B |A 2 =25,P B |A 3 =45，则P B =P A 1 P B |A 1 +P A 2 P B |A 2 +P A 3 P B |A 3=14×25+14×25+12×45=35；(2)设乙答对记为事件C ，则P C =P A 1 P C |A 1 +P A 2 P C |A 2 +P A 3 P C |A 3=14×12+14×12+12×12=12，设每一轮比赛中甲得分为X ，则P X =1 =P BC =P B P C =35×1-12 =310，P X =0 =P BC ∪BC =P BC +P CB =35×12+1-35 ×1-12 =12，P (X =-1)=P B C =1-35 ×12=15，三轮比赛后，设甲总得分为Y ，则P Y =3 =310 3=271000，P Y =2 =C 23310 2×12=27200，P Y =1 =C 13×310×12 2+C 23×310 2×15=2791000，所以甲最终获得奖品的概率为P =P Y =3 +P Y =2 +P Y =1 =271000+27200+2791000=4411000.6(2024·江苏南京·二模)某地5家超市春节期间的广告支出x (万元)与销售额y (万元)的数据如下：超市A B C D E 广告支出x 24568销售额y3040606070(1)从A ，B ，C ，D ，E 这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X ，求随机变量X 的分布列及期望E (X )；(2)利用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．附：线性回归方程y =b x +a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =ni =1x i y i -nx yni =1x 2i -nx 2，a =y -b x．【答案】(1)X 的分布列见解析，期望E (X )=95(2)y=7x +17；预测广告费支出10万元时的销售额为87万元．【分析】(1)根据超几何分布的概率公式求解分布列，进而可求解期望，(2)利用最小二乘法求解线性回归方程即可.【详解】(1)从A ，B ，C ，D ，E 这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市有C ，D ，E 这3家超市，则随机变量X 的可能取值为1，2，3P (X =1)=C 13C 22C 35=310，P (X =2)=C 23C 12C 35=35，P (X =3)=C 33C 35=110，∴X 的分布列为：X123P31035110数学期望E (X )=1×310+2×35+3×110=95．(2)x =2+4+5+6+85=5，y =30+40+60+60+705=52，b =ni =1x i y i -nx yn i =1x 2i -nx 2=60+160+300+360+560-5×5×524+16+25+36+64-5×52=7，a=52-7×5=17．∴y 关于x 的线性回归方程为y=7x +17；在y =7x +17中，取x =10，得y =7×10+17=87．∴预测广告费支出10万元时的销售额为87万元．7(2024·重庆·三模)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.记随机变量X i =1,第i 局乙当裁判0,第i 局甲或丙当裁判, i =1,2,⋅⋅⋅,n ，p i =P X i =1 ，X 表示前n 局中乙当裁判的次数.(1)求事件“n =3且X =1”的概率；(2)求p i ；(3)求E X ，并根据你的理解，说明当n 充分大时E X 的实际含义.附：设X ，Y 都是离散型随机变量，则E X +Y =E X +E Y .【答案】(1)34；(2)p i =-13 ×-12 i -1+13；(3)p i ，答案见解析。

概率与统计A 检测题1专业 学号 姓名一．填空题1. 设A ，B ，C 是三个随机事件，用字母A 、B 、C 表示下列事件：事件A 、B 都发生，事件C 不发生为 ； 事件A ，B ，C 都不发生为 ；事件A ，B 至少一个发生，事件C 不发生为 ； 2. 设()0.4,P A =且B A ⊂，则 ()P A B ⋅= ；3. 设A B 和是两个随机事件，()()0.9,0.36P A P AB ==，则()P A B ⋅= ； 4.设()()()0.3,0.2,0.4P A P B P AB ===，则()P AB = ；5. 设A B 和是两个随机事件， ()()0.5,0.2P A P A B =-=，则()P AB = ；()P AB .二．选择题1.设,A B 为任意两个事件，表达式AB 表示( ).(A)A 与B 同时发生； (B)A 发生但B 不发生； (C)B 发生但A 不发生；(D)A 与B 至少有一件发生.2.设,A B 为两个事件，则关系式AB A =当（ ）时成立. (A)A B ⊂ ； (B)B A ⊂ ； (C)A B ⊂ ； (D)B A ⊂3.设任意的两个事件,A B ,若AB =Φ，则必有（ ）. (A)()1P AB =； (B) 事件A 与B 互不相容；(C) ()()00P A P B ==或； (D)事件A 与B 互为对立.三．解答题1.设,A B 是两个随机事件，已知 ()()()0.45,0.3,0.8P A P B P AB ===，求()()()(),,,P AB P A B P B A P A B ⋅-.2.若已知()111()()(),()(),(),4816P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =======求概率)(C B A P 和).(C B A P概率与统计A 检测题2专业 学号 姓名一．填空题1. 掷两枚质地均匀的骰子，则点数之和为9的概率P = .2. 在电话号码簿中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率P = .3. 盒子中有5红2白共7只质量、大小相同的球，不放回取两次，则两次取不同颜色球的概率P = .4. 设, A B 是两个随机事件，()()()0.7,0.6,0.4P A P B P B A ===，则()P A B = .二．选择题1. 设有10件产品，其中8件是合格品，2件是次品.现从中不放回任意抽取3件产品，求这3件产品中恰有一件是次品的概率为（ ）.(A)715； (B) 169； (C) 43； (D) 1615. 2. 袋中有3白1红共4只质量、大小相同的球，甲先任取一球，观察后放回；然后乙再任取一球，则二人取相同颜色球的概率为（ ）.(A)816； (B) 916 ； (C) 1016； (D) 1116. 3. 设有10件产品，其中8件是合格品，2件是次品.现从中每次抽取1件产品，有放回抽取3次，求这3次抽取中恰有一次抽取是合格品的概率是 （ ）.(A) 0.096； (B) 1120 ； (C) 16； (D) 430. 三．解答题1. 已知 ()()()0.5,0.4,0.6P A P B P AB ===，求 ()(),P A B P A B .2.甲组有3男生1女生，乙组有1男生3女生.今从甲组随机抽一人编入乙组，然后再从乙组随机抽一人编入甲组，求（1）甲组仍为3男生1女生的概率；（2）甲组为4男生的概率.3.袋中有5个白球与10个黑球，每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回.求第二次取出的球与第一次取出的球颜色相同的概率.4.某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，由于设备差别，各车间的生产量分别占总产量的60%、 25%、 15%；各车间生产的产品优质品率分别70%、 80%、 90%. 现从总产品中随机挑选一件，求此产品为优质品的概率.概率与统计A 检测题3专业 学号 姓名一．填空题1. 张、王二人独立地向同一目标射击一次，他们各自击中目标的概率分别为0.9和0.8，则目标被击中的概率为=p .2. 甲乙两个实验员各自独立的做同一实验,且知甲,乙实验成功能够的概率分别为0.6和0.8,则实验成功的概率为=p .3. 已知3.0)(=B P ,7.0)(=⋃B A P ,且A 与B 相互独立，则=)(A P .4. 掷一颗骰子4次，只出现一次“一点”的概率=p .5. 随机事件B A ,相互独立，且(),2.0)(==B P A P ，则（1）A 、B 都不发生的概率为________； (2)A 、B 不都发生的概率为_____________． 二．选择题1. 抛掷3枚均匀对称的硬币，恰好有两枚正面向上的概率是( ).(A) 0.125； (B) 0.25； (C) 0.375； (D) 0.5 . 2. 若随机事件A ，B ，C 相互独立，则下列事件对中（ ）可能不相互独立.(A) A 与BC ； (B) A 与C B ； (C) A 与C B -； (D) AB 与AC . 3. 设一系统由两个元件并联而成，如下图所示已知各个元件独立地工作，且每个元件能正常工作的概率均为 (01)p p <<. 则系统能正常工作的概率为（ ）12(A) 2p ； (B) 2p ； (C) 2(1)p -； (D) 22p p -. 三．解答题1. 某灯泡厂有甲、乙两条流水线，它们所出产的灯泡中，寿命大于2500小时的分别占80%和90%，从它们生产的灯泡中各自随机地抽取一个，求下列事件的概率：（1）两个灯泡寿命均大于2500小时；（2）两灯泡中至少有一个寿命大于2500小时；（3）两个灯泡中至多有一个寿命大于2500小时.2. 设两个随机事件A 和B 相互独立，且1(),9P AB =()()P AB P AB =，试求)(A P .概率与统计A 检测题4专业 学号 姓名一．填空题1. 若随机变量X 的概率函数为1.03.03.02.01.043210p X ，则=≤)2(X P ；=>)3(X P ；()4≠X P .2. 若随机变量X 服从泊松分布)2(P ，则=>)2(X P .3. 若随机变量X 的概率函数为).,3,2,1(,2)( =⋅==-k c k X P k则=c . 4. 一批零件中有10个合格品和2个废品，每次取出废品后不再放回去，每次从中任取一个，则取得合格品以前，已取出的废品数X 的概率函数为.二．选择题1. 设随机变量X 的分布列为01230.10.30.40.2X p ,)(x F 为其分布函数，则)2(F =（ ）.(A) 0.2 (B) 0.4 (C) 0.8 (D) 1 2. 一枚均匀骰子掷两次，用X 表示两次的点数的和，则==)4(X P （ ）.(A)363； (B) 361； (C) 364； (D) 367. 3. 设每次试验成功的概率为(01)p p <<，现独立进行10次这样的试验，记X 为实验成功的次数，则()==4X P （ ）．(A) 44610(1)C p p - (B) 3469(1)C p p -(C) 4459(1)C p p - (D) 3369(1).C p p -三．解答题1. 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数，求X 的概率函数．2. 一个袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5. 在其中同时取3个球，以X 表示取出的3个球中的最大号码，试求X 的概率函数．概率与统计A 检测题5专业 学号 姓名一．填空题1. 若随机变量X 的概率密度为(),(0)xf x ae x -=<<+∞，则=a ；==)0(X P .2. 若连续型随机变量X 的分布函数为0,11(),111,1x x F x x Ax <-⎧⎪+⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩ 则=A ；(0.20.8)P X <<= ；X 的概率密度为().f x =3. 若随机变量X 的概率密度为 41,0()40,0xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则(4)P X ≤= ；(48)P X <<= .二．选择题1. 若随机变量X 的概率密度sin ,[0,],()20,A x x f x π⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他 , 则=A （ ）.(A) 1； (B)12； (C) 0； (D) 2. 2. 若连续型随机变量X 的分布函数为)(x F ，则以下结论错误的是（ ）.(A) ()()()P a X b F b F a <≤=-； (B) ()()()P a X b F b F a <<=-；(C) ()()()P a X b F b F a <<≠-； (D) ()0P X a ==.三.解答题1. 设随机变量X 的概率密度,01(),0240,2x ae x f x x x ⎧≤⎪⎪=<<⎨⎪≥⎪⎩(1)求a 值； （2）求分布函数)(x F ； （3）求概率(1)P X >-2.设连续型随机变量X 的分布函数为()arctan F x A B x =+()x -∞<<+∞，（1）求B A ,的值；（2）求概率密度)(x f ；（3）求概率(1)P X <.3.设某型号电子元件的使用寿命X （单位：小时）具有以下的概率密度函数21000,1000;()0,x f x x ⎧>⎪=⎨⎪⎩其他.；现有一批此种元件（各元件工作相互独立），（1）求概率(1500)P X ≥；（2）任取4只中至少有1只寿命大于1500小时的概率.概率与统计A 检测题6专业 学号 姓名一．填空题1. 若二维随机变量),(Y X 的联合概率分布列为12311116918213Y Xαβ，且X 与Y 相互独立，则α= ；β= .2. 设相互独立的随机变量X Y 与都服从(0,2)上的均匀分布，则它们的联合概率密度函数=),(y x f ；(1)P X Y ≤=－ .3. 设随机变量,X Y 相互独立，概率密度分别为22,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩， 33,0()0,y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩，则概率(2,1)P X Y <>= . 4. 设X 和Y 是独立的随机变量，其分布密度函数为⎩⎨⎧=01)(x f X 01x ≤≤其他 ，⎩⎨⎧=-0)(y Y e y f 00≤>y y则),(Y X 的联合概率密度函数为(,).f x y =二．解答题1.设X 与Y 是相互独立的随机变量，~(0,2)X U ，Y 的概率密度21,0()20,0yY e y f y y -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩.写出二维随机变量),(Y X 的联合概率密度),(y x f ，并求概率()P X Y ≤.2. 若二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为,(,)0,kxy f x y ⎧=⎨⎩01,01,.x y ≤≤≤≤其他，求解以下各题：（1）求k 值；（2）求两个边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ；（3）讨论随机变量X 与Y 的相互独立性；（4）求概率(0.5)P Y ≤及(0.5,0.2).P X Y ≥≤概率与统计A 检测题7专业 学号 姓名一．填空题1．若随机变量X 的概率分布为2.02.01.02.03.051012P X --，记2+=X Y ，1+-=X Z ，2X W =，则随机变量Y 、Z 和W 的概率分布分别为：； ； . 2. 设随机变量X 的概率分布为3.03.01.01.02.032101P X -，则12-X ，12+X 的概率分布为； .二．选择题1.设X 的分布函数为)(x F ，则随机变量函数13+=X Y 的分布函数为 .(A) 1()3y F -； (B) )13(+y F ； (C) 1)(3+y F ； (D) 31)(31-y F 2.设随机变量~(0,6)X U ，则3Y X =-的概率密度函数为 .(A) 633()0Y y f y -<<⎧=⎨⎩，，其他； (B) 133()60Y y f y ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩，，其他；(C) 106()60Y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，，其他； (D) 606()0Y y f y <<⎧=⎨⎩，，其他二．解答题1. 若随机变量X 的概率密度为21(), (1)X f x x x π=∈+ ，求随机变量31X Y -=的概率密度函数()Y f y .2. 设随机变量~(0,)X U π，求随机变量X Y 46-=的概率密度函数()Y f y .3. 若随机变量X 的概率密度为()X f x =,0480,xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他，求随机变量82+=X Y 的概率密度函数)(y f Y .概率与统计A 检测题8专业 学号 姓名一．填空题1. 若随机变量X 的概率分布列为1.03.03.02.01.043210p X ，则=)(X E ；=)(2X E ；=)(X D ；=+)53(2X E .2. 设(4)Xp ,则=)(X D ,2() E X = .3. 已知随机变量X 服从二项分布B(n,p)，且4.2)(=X E ，68.1)(=X D ，二项分布的参数=n ，=p .4.设随机变量X 的概率密度为,01()0,kx x f x α⎧<<=⎨⎩其他，且75.0)(=X E ，则=k ；=α .5. 若相互独立的随机变量X 与Y 满足2)(=X E ，1)(=X D ，1)(=Y E ，4)(=Y D ，则=-)2(Y X E ；=-)2(Y X D . 二．选择题1. 已知随机变量~(2)X P ，设23-=X Y ，则=)(Y E （ ）.(A) 2； (B) 4； (C)41； (D) 212. 设X 为一随机变量，若(10)10D X =，则()D X =（ ）.(A) 0.1； (B) 1； (C) 10； (D) 100 3. 设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量Y X 23-的方差是（）.(A) 8； (B) 16； (C) 28； (D) 44三．解答题1. 设随机变量X的概率密度函数为2,01()0,x xf x≤≤⎧=⎨⎩其他，求X的数学期望)(XE和方差()D X.2. 设随机变量X的概率密度函数为,01()2,120,x xf x x x<≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其他，求X的数学期望)(XE和方差()D X.概率与统计A 检测题9专业 学号 姓名一．填空题1. 若随机变量X 服从区间(0,1)上的均匀分布(0,1)U ，则X 的k 阶原点矩()k X ν= .2. 若随机变量X 与Y 满足()()1D X D Y ==，相关系数21),(-=Y X R ，则=-)(Y X D ；=+)23(Y X D .3. 若随机变量X 与Y 的协方差cov(,)0X Y =，则X 与Y . 二．选择题1. 若两个方差均不为0的随机变量X 与Y 满足1Y X =-，则相关系数=),(Y X R （ ）.(A) 1； (B) -1； (C) 0.5； (D) -0.5. 2. 随机变量X 与Y 相互独立是0),cov(=Y X 的（ ）条件.(A) 充要； (B) 充分； (C) 必要； (D) 即非充分又非必要. 三．解答题1.设随机变量(,)X Y 的联合概率分布为求：（1）cov(,)X Y ；（2）(,)R X Y .2.设随机变量X 有均值4和方差25.为了使得rX s -有均值0和方差1,应该怎样选择,r s 的值.3.已知随机变量X 与Y 都服从二项分布(20,0.1)B ，并且X 与Y 的相关系数(,)0.5R X Y =，试求()D X Y +及(,2)Cov X Y X -.4.若二维随机变量),(Y X 的概率密度4,(,)0,xy f x y ⎧=⎨⎩01,01x y ≤≤≤≤其他，求相关系数(,)R X Y .概率与统计A 检测题10专业 学号 姓名一、填空题1. 设随机变量123,,X X X 相互独立，其中1(0,6)X U ，22(0,2)X N ，3(3)X P ，记12323Y X X X =-+，则()D Y = . 2. 根据标准正态分布表填写：(0)Φ= ；(1)Φ= ；(1)Φ-= ；(1.96)Φ= ；若()0.975x Φ=，则x = ；若()0.95y Φ=，则y = . 3. 若随机变量(10,4)X N ，则(69)P X <<= ，(712)P X ≤≤= .4. 若随机变量2(3,)X N σ，且)()(c X P c X P ≥=≤，则=c .5. 若随机变量2(2,)X N σ，且(23)0.3P X <<=，则(1)P X <= .二、选择题 1. 设随机变量2(,)XN μσ，则随σ的增大，概率{}P X μσ-<应（ ）.(A) 单调增大； (B) 单调减少； (C) 保持不变； (D) 增减不定. 2. 设随机变量X 的概率密度为2(3)4()x f x e+-=则服从标准正态分布的随机变量是（ ）.(A)32X +；； (C) 32X -；. 3. 若随机变量Y X ,相互独立，且都服从正态分布2(12,4)N .设Y X +=ξ，Y X -=η，则=),cov(ηξ（ ）.(A) 12； (B) 4； (C) -16； (D) 0.三、解答题1. 已知随机变量(3,1)XN -，(2,1)Y N ，且X 与Y 相互独立，设随机变量27Z X Y =-+，试求()E Z 和()D Z ，并求出Z 的概率密度函数.2. 设随机变量X 服从正态分布(10,4)N ，求a ，使{10}0.9P X a -<=.3.某工厂生产的电子管的寿命X （小时）服从2(160,)N σ.若要求概率{120200}0.80P X <≤≥，则允许σ最大为多少？4. 若随机变量)1,0(~N X ，设XY e -=，求随机变量Y 的概率密度)(y f Y .概率与统计A 检测题11专业 学号 姓名一．填空题1. 若随机变量U 与V 相互独立，且都服从标准正态分布(0,1)N ，则(,)U V 的联合概率密度为(,)f u v = .2. 设12,,,n X X X 独立同分布，且1()E X μ=和21() (0)D X σσ=>都存在，则当n 充分大时，用中心极限定理得1{}nii P Xa =≥∑（a 为常数）的近似值为 . 二．选择题1. 若随机变量序列 ,,,,21n X X X 相互独立，且都服从密度函数为1,0()0, 0xe xf x x λλ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩的指数分布1()e λ，当=X （ ）时，)()(lim x x X P n Φ=≤∞→.（其中)(x Φ为标准正态分布的分布函数）.(A)nn Xni i∑=-1λ； (B)λλn n Xni i∑=-1； (C)λλn n Xni i∑=-1； (D)λλn n Xni i∑=-1.三．解答题1.一加法器同时收到300个噪声电压 (1,2,,300)k V k =⋅⋅⋅，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0,6)上服从均匀分布，记3001kk V V==∑，求{930}P V >的近似值.2. 某保险公司多年的资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，用X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.（1）写出X的概率函数；（2）利用棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理，求索赔户中被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值.3. 车间有100台机床，它们独立工作着，每台机床正常工作的概率均为0.8，正常工作时耗电功率各为1kw，问供电所至少要供给这个车间多少电功率，才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？概率与统计A 检测题12专业 学号 姓名一．填空题1. 设总体X 具有分布函数()12, ,,,n F x X X X 为取自该总体的容量为n 的样本，则样本联合分布函数_________________________________________.2.设总体~()X P λ，12,,...,n X X X 是来自总体X 的样本,()E X = ______________，()D X =_______ .二．选择题 设总体()2~,X N μσ，其中2σ已知，但μ未知，而12,,,n X X X 为它的一个简单随机样本，则下列量中（ ）是统计量，（ ）不是统计量：(A) 11n i i X n =∑； (B) ()211n i i X n μ=-∑； (C) ()211n i i X Xn =-∑；(D)； (E).三．解答题 1. 证明公式：()22211nnii i i XXX nX ==-=-∑∑，其中11ni i X X n ==∑．2. 设总体X 的密度函数为1,01( )0,x x f x θθθ-⎧<<=⎨⎩；其他，其中0θ> .n X X X ,,,21 为取自总体X 的简单随机样本，试写出样本的联合概率密度函数.3. 设总体X ～),(2σμN ，而12,,,n X X X 为它的一个简单随机样本，X 和2S 分别是样本均值和样本方差，证明：()E X μ=；()2D X nσ=；()22E S σ=．概率与统计A 检测题13专业 学号 姓名一．填空题1. 设4321,,,X X X X 相互独立且服从相同分布2(6),χ则1234~3X X X X ++ ．2. 设总体)1,0(~N X ，随机抽取样本125,,,X X X ，且()()()1212222345~3c X X t XX X+++，则c = ．3. 设随机变量~()X t n ，则2~Y X =________．二．选择题1. 设总体2~(,)X N μσ，X 为该总体的样本均值，则()P X μ>________．(A)14<(B) 14= (C) 12> (D) 12= 2. 设),,,(21n X X X 为总体)2,1(2N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正确的是_______．(A))(~/21n t nX -； (B) )1,(~)1(4112n F X ni i ∑=-；(C))1,0(~/21N nX -； (D))(~)1(41212n X ni i χ∑=-.三．解答题1. 设总体()~0,1X N ,126,,,X X X 为来自总体的样本，()()22123456Y X X X X X X =+++++，试确定常数c ，使cY 服从2χ分布.2. 设总体X ～),(2σμN ，从中取得16个样本1216,,,X X X ，已知2σ=，求：（1）1324P X μ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭；（2）()26.6656P S <.3. 设总体()2~,X N μσ，1210,,,X XX 是取自总体X 的样本，试求下列概率：（1）10222110.256() 2.32110i i P X σμσ=⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭∑；（2）10222110.27() 2.3610i i P X X σσ=⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭∑.概率与统计A 检测题14专业 学号 姓名一．填空题1. 设总体~(6,)X B p ,n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本，则未知参数p 的矩估计量为 ．2. 设1234,,,X X X X 为来自总体X 的样本，1234ˆ(2)X X X X μθ=++-是总体均值μ的无偏估计量，则θ= ．3. 设随机变量 X 与Y 相互独立，已知3,4,EX EY ==2,DX DY σ==当k =_____时，222()Z k X Y Y =-+是 2σ 的无偏估计．4. 判断估计量好坏的标准有：____________、___________、_____________.5. 若在未知参数θ的所有无偏估计量中，θˆ的方差)ˆ(θD 最小，则称θˆ是参数θ的______估计量. 二．选择题1. 设总体X 的均值()E X μ=，方差2()D X σ=，2,μσ未知，1210,,,X X X 为来自总体X 的样本，下列说法正确的是 ( ) (A) 总体未知参数的矩估计量必存在；(B) 总体未知参数的最大似然估计值与矩估计值可能不相等；(C) 10211()10i i X X =-∑是未知参数2σ的无偏估计量； (D) 1X 和X 均为μ的无偏估计，且1X 比X 有效.2. 样本123,,X X X 取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) (A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计 (B)1233X X X ++是μ的无偏估计(C) 22X 是σ2的无偏估计 (D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计三．解答题1. 设离散总体X 的概率函数为1(1x P x pp p -=-；）（） 1,2,x =.若样本观测值为12,,,n x x x ，求未知参数p 的最大似然估计值.2. 设连续总体X 的概率密度函数为1,01( )0,x x f x θθθ-⎧<<=⎨⎩；其他其中0θ>.n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本，求未知参数θ的矩估计量和最大似然估计量.3. 设10~(,)(0)0xex X f x θθθθ-⎧>⎪=>⎨⎪⎩其它12,,...,n x x x 为 X 的一组观察值，求θ的极大似然估计，并判断所求最大似然估计是否为参数θ的无偏估计.概率与统计A 检测题15专业 学号 姓名一．填空题 1. 设12,,,n x x x 为正态总体2(, )N μσ的一组样本观测值，若σ已知，则参数μ的置信水平为1α-的置信区间为___________ ；假设样本容量为16，样本均值4.364x =，0.108σ=，则参数μ的置信水平为0.95的置信区间为 ．2. 设12,,,n x x x 为正态总体2(, )N μσ的一组样本观测值，若σ未知，则参数μ的置信水平为1α-的置信区间为__________ ；若样本容量为16，样本均值2.705x =，样本标准差0.029s =，则参数μ的置信水平为0.95的置信区间为 ． 3. 设12,,,n x x x 为正态总体2(, )N μσ的一组样本观测值，若μ未知，则参数2σ的置信水平为1α-的置信区间为_______________；若样本容量为25，样本方差20.81s =，则参数2σ的置信水平为0.95的置信区间的区间长度为 ．二．选择题1. 下列关于正态总体均值μ的1α-的置信区间叙述正确的是（ ）.(A) 一定包含μ (B) 一定不包含μ (C) 不一定包含μ (D) 与μ无关 2. 若总体2~(,)X N μσ，其中2σ已知，当置信水平1α-保持不变时，如果样本容量n 增大，则μ的置信区间长度会（ ）(A) 变小 (B) 变大 (C) 不变 (D) 无法确定 3. 区间估计的置信水平1α-的提高会使区间估计的精确度（ ）.(A) 降低 (B) 升高 (C)不变 (D) 无法确定 三．解答题1. 某品牌清漆的干燥时间（小时）2~(, )X N μσ，现随机抽取9个样品，算得样本均值6x =，样本标准差0.5745s =.（1）若由以往经验知0.6σ=，求μ的置信水平为0.95的置信区间； （2）若σ未知，求μ的置信水平为0.95的置信区间.2. 一批零件的长度（cm ）2~(, )X N μσ，其中,μσ均未知. 现随机地测量了25个零件的长度，计算得2=x ，1062512=∑=i ix.（1）求样本方差的观测值2s ；（2）求2σ的置信水平为0.90的置信区间.3. 生产一个零件所需时间（单位：秒）2~(,)X N μσ，观察25个零件的生产时间，得5.5, 1.73x s ==，试求在置信水平为0.95下2σ的置信区间.概率与统计A 检测题16专业 学号 姓名一．填空题1. 在假设检验中，当原假设0H 为真时拒绝0H ，这一错误称为 ；当原假设0H 为假时接受0H ，这一错误称为 .2. 某厂生产的某种铝材的长度2~(,)X N μσ，其均值设定为240cm ．经过一段时间生产之后，需要检验该厂此类铝材的长度是否满足设定要求，取显著性水平0.05α=，则此问题的原假设0H 为 ；备择假设1H 为 ；犯第一类错误的概率为 .3. 设),,,(21n X X X 为来自正态总体),(2σμN 的样本，2σ未知，11ni i X X n ==∑，2211()1ni i S X X n ==--∑，现要检验假设0:0H μ=，则应选取的检验统计量是 ；当0H 成立时，该统计量服从 分布.二、选择题1. 对正态总体的总体方差2σ进行假设检验，如果在显著性水平05.0=α下，接受220:σσ=H ，那么在0.01α=下，下列结论正确的是( ). (A) 必接受0H ； (B) 可能接受，也可能拒绝0H ； (C) 必拒绝0H ； (D) 不接受，也不拒绝0H .2. 对于μ未知的正态总体),(2σμN 的假设检验问题2200:H σσ=，2210:H σσ≠，记检验统计量2220(1)n S χσ-=，取显著性水平05.0=α，则其拒绝域为( ).(A) 221/2()n αχχ->或22/2()n αχχ<； (B) 221/2()n αχχ-<或22/2()n αχχ>； (C) 221/2(1)n αχχ->-或22/2(1)n αχχ<-； (D) 221/2(1)n αχχ-<-或22/2(1)n αχχ>-. 三．解答题１．要求烟草中焦油含量不得超过24（mg ）.从某地出产的烟草中抽取9例测试，测得样本平均值67.25=x ，设焦油含量近似服从标准差6=σ的正态分布.在显著水平0.05α=下，是否可以认为烟草中焦油平均含量为24？2．设计规定由自动机床生产的产品尺寸为35mm ，随机的抽取出20个产品，测得其产品的平均尺寸为35.07,0.166x s ==，设该产品的尺寸服从正态分布，问在显著性水平0.05α=下，产品是否符合规定？３．一细纱车纺出某种细纱支数的方差是1.2，从某日纺出的一批细纱中，随机的抽取16缕进行支数测量，算得样本标准差1.2=s ，假设细纱支数服从正态分布，问细纱支数的均匀度有无显著变化？（0.05α=）概率与统计A 检测题17专业 学号 姓名1. 为了研究老鼠体内血糖的减少量y 和注射胰岛素A 的剂量x 的关系，将同样条件下繁殖的7只老鼠注射不同剂量的胰岛素A ，观测数据（略）的散点图显示y 与x 间的相关关系可表示为y x αβε=++，其中ε为一切随机因素影响的总和，且2~(0, )N εσ.依据观测数据经计算得0.35x =，44.14y =，0.07xx l =，9.2xy l =，1372.8572yy l =. 求回归方程ˆˆˆyx αβ=+.2. 为研究儿子的身高y (单位：cm)与父亲的身高x (单位：cm)之间的关系，现调查10对父子，得到10对身高数据（略）. 经计算得169.68x =,171.13y =,1108.1xx l =,588.986xy l =,317.461yy l =.求y 关于x 的经验回归直线方程.3. 考察硫酸铜晶体在100克水中的溶解量()y 与温度()x 间的相关关系时，做了9组独立试验，结果见下表： 温度x （０Ｃ） 0 10 20 30 40 50 60 70 80 溶解量y (g)14.017.521.226.129.233.340.048.054.8已算得x =40,y =31.567,xx l =6000,xy l =2995,yy l =1533.38.求回归方程ˆˆˆyx αβ=+.4. 现有全国31个主要城市2007年的年平均气温（x ，单位：℃）和年均相对湿度（y ，单位：%）的观测数据.经计算得15.12x =，65.17y =，701.48xx l =，978.62xy l =，2550.17yy l =.求y 关于x 的经验回归直线方程.。

《概率统计》试卷(A)学习形式____________班级__________姓名_________学号_________-------------------密---------封----------线------------------一、 填空题 (1—7题，每空1分，共20分；8—10题，每空2分，共10分；总共30分)1、在自然界与社会生活的一切活动中，存在着两种现象，一种是_______________，另一种是____________________，概率统计就是研究_____________________统计规律的学科。

2、随机试验的三个特点:________________ 、________________、________________。

3、A ，B ，C 是三个事件，则A 发生而B 与C 都不发生表示为____________;A 与B 都发生而C 不发生表示为_____________；所有事件发生表示为________；三个事件恰好发生一个表示为______________________； 三个事件至少发生一个表示为______________________.4、若X 服从正态分布),(2σμN ，则EX=___________,DX=____________.5、估计量的评价标准有________________、___________________、__________________.6、统计推断包括_______________________、________________________.7、假设检验的两类错误，第一类为____________________，第二类为__________________。

8、5对夫妇参加宴会，围同一圆桌而坐，有___________种坐法；若要求每对夫妇必须相邻有_______________种坐法，同时又要求女士必须坐在男士右边有_______________种坐法。

深圳大学期末考试试卷参考解答及评分标准开/闭卷 闭卷A/B 卷A 课程编号 2219002801-2219002811课程名称概率论与数理统计学分3命题人(签字) 审题人(签字) 年 月 日 基本题6小题，每小题5分，满分30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一（每道选择题选对满分，选0分）事件表达式A B 的意思是 ( ) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生 事件B 发生但事件A 不发生 (D) 事件A 与事件B 至少有一件发生 D ，根据A B 的定义可知。

假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( ) 是不可能事件 (B) 是可能事件 发生的概率为1 (D) 是必然事件 A ，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。

已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 ( ) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 自由度为1的F 分布 (D) 自由度为2的F 分布选B ，因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的2分布。

已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( ) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3) 选C ，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2-2=0, (X +Y )=D (X )+D (Y )=4+1=5, 所以有X +Y ~N (0,5)。

样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B)1233X X X ++是μ的无偏估计22X 是σ2的无偏估计(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计B ，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。