2017届江苏省梁丰高级中学高三第一学期周日检测数学试卷10.13及答案

江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2017-2018学年高考数学模拟试卷（02）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）.1．已知A={﹣1，0，2}，B={﹣1，1}，则A∪B=__________．2．已知复数z=，（i为虚数单位）则复数z的实部为__________．3．已知，则=__________．4．如图是一个算法流程图，则输出S的值是__________．5．p：|5x﹣2|＜3，q：，则p是q的__________条件．6．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为__________．7．若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为__________．8．在等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，若a3=8，S3=20，则S5=__________．9．若一次函数f（x）满足f[f（x）]=x+1，则的值域为__________．10．若直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，则a=__________．11．已知函数f（x）=，为奇函数，则不等式f（x）＜4的解集为__________．12．在三角形ABC中，已知AB=3，A=120°，△ABC的面积为，则•的值=__________．13．设点P，M，N分别在函数y=2x+2，y=，y=x+3的图象上，且=2，则点P横坐标的取值范围为__________．14．已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）．若对满足题设条件的任意b，c，不等式f（c）﹣f（b）≤M（c2﹣b2）恒成立，则M的最小值为__________．二、解答题15．已知集合A={y|y=﹣2x，x∈[2，3]}，B={x|x2+3x﹣a2﹣3a＞0}．（1）当a=4时，求A∩B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB（1）求角C的大小；（2）若sinA=，求△ABC的面积．17．如图，在C城周边已有两条公路l1，l2在点O处交汇，且它们的夹角为75°．已知OC=（+）km，OC与公路l1的夹角为45°．现规划在公路l1，l2上分别选择A，B两处为交汇点（异于点O）直接修建一条公路通过C城．设OA=x km，OB=y km．（1）求y关于x的函数解析式，并指出它的定义域；（2）试确定点A，B的位置，使△OAB的面积最小．18．设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．过B1作直线l 交椭圆于P、Q两点．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若PB2⊥QB2，求直线l的方程．19．（16分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n2+2n，数列{b n}的前n项和T n=2﹣b n（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n2•b n，证明：当且仅当n≥3时，c n+1＜c n．20．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x﹣12，f′（x）为f（x）的导函数，满足f′（2﹣x）=f′（x）．（Ⅰ）设g（x）=x，m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；（Ⅱ）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1﹣t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．三、（A）（选修4-2：矩阵与变换）21．已知矩阵A=属于特征值λ的一个特征向量为α=．（1）求实数b，λ的值；（2）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为C′：x2+2y2=2，求曲线C的方程．四、（A）（选修4-4：坐标系与参数方程）22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．若点P是圆C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．23．如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，CC1=5，E是棱CC1上不同于端点的点，且=λ．（1）当∠BEA1为钝角时，求实数λ的取值范围；（2）若λ=，记二面角B1﹣A1B﹣E的大小为θ，求|cosθ|．24．某商店为了吸引顾客，设计了一个摸球小游戏，顾客从装有1个红球，1个白球，3个黑球的袋中一次随机的摸2个球，设计奖励方式如下表：结果奖励1红1白10元1红1黑5元2黑2元1白1黑不获奖（1）某顾客在一次摸球中获得奖励X元，求X的概率分布表与数学期望；（2）某顾客参与两次摸球，求他能中奖的概率．江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（02）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）.1．已知A={﹣1，0，2}，B={﹣1，1}，则A∪B={﹣1，0，1，2}．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：利用并集的性质求解．解答：解：∵A={﹣1，0，2}，B={﹣1，1}，∴A∪B{﹣1，0，1，2}，故答案为：{﹣1，0，1，2}．点评：本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．2．已知复数z=，（i为虚数单位）则复数z的实部为1．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．解答：解：∵复数z===i+1．∴复数z的实部为1．故答案为：1．点评：本题考查了复数的运算法则、实部的定义，属于基础题．3．已知，则=．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：根据诱导公式可知=sin（﹣α﹣），进而整理后，把sin（α+）的值代入即可求得答案．解答：解：=sin（﹣α﹣）=﹣sin（α+）=﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．属基础题．4．如图是一个算法流程图，则输出S的值是35．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行算法流程，写出每次循环得到的S，k的值，当k=7时满足条件k＞5，输出S的值35．解答：解：执行算法流程，有S=0，k=1不满足条件k＞5，S=1，k=3，不满足条件k＞5，S=10，k=5，不满足条件k＞5，S=35，k=7，满足条件k＞5，输出S的值35．故答案为：35．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．5．p：|5x﹣2|＜3，q：，则p是q的充分不必要条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用绝对值的性质和一元二次不等式的解法，求出p和q，再利用充分必要条件的定义，进行求解；解答：解：p：|5x﹣2|＜3，可得﹣3＜5x﹣3＜3，解得﹣＜x＜1；因为q：，可得﹣5＜x＜1，∴p⇒q，q推不出p，∴p是q的充分不必要条件故答案为：充分不必要；点评：此题主要考查充分不必要条件的定义，以及绝对值的性质，是一道基础题；6．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程，算出它的焦点为F（2，0），即为双曲线的右焦点，由此建立关于a的等式并解出a值，进而可得此双曲线的渐近线方程．解答：解：∵抛物线方程为y2=8x，∴2p=8，=2，可得抛物线的焦点为F（2，0）．∵抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，∴双曲线的右焦点为（2，0），可得c==2，解得a2=1，因此双曲线的方程为，可得a=1且b=，∴双曲线的渐近线方程为y=x，即．故答案为：点评：本题给出双曲线的右焦点与已知抛物线的焦点相同，求双曲线的渐近线方程．着重考查了抛物线的简单性质、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．7．若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为6．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组对应的平面区域如图，将直线l：z=x+2y进行平移，并观察它在轴上截距的变化，可得当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值．由此求出A点坐标，不难得到本题的答案．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如右图，是位于△ABO及其内部的阴影部分．将直线l：z=x+2y进行平移，可知越向上平移，z的值越大，当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值由解得A（2，2）∴z max=F（2，2）=2+2×2=6故答案为：6点评：本题给出线性约束条件，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单线性规划等知识点，属于基础题．8．在等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，若a3=8，S3=20，则S5=40．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的首项和公差，由已知列式求出首项和公差，则答案可求．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由若a3=8，S3=20，得，解得：．∴．故答案为：40．点评：本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．9．若一次函数f（x）满足f[f（x）]=x+1，则的值域为[2，+∞）．考点：函数的值域．专题：计算题．分析：函数f（x）的形式是一次函数，利用待定系数先设出f（x），代入等式f[f（x）]=x+1，解方程求出f（x）得到g（x）的解析式，然后利用基本不等式可求出函数g（x）的值域．解答：解：设f（x）=kx+b（k≠0）∴f[f（x）]=k（kx+b）+b=k2x+kb+b=k2x+（k+1）b…①依题意：f[f（x）]=1+x…②∴比较①和②的系数可得：k2=1…③（k+1）b=1…④由③④得：k=1，b=，k=﹣1（舍去）∴f（x）=x+则g（x）==x++1≥2+1=2当且仅当x=时取等号∴的值域为[2，+∞）故答案为：[2，+∞）点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及利用基本不等式求函数的值域，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．10．若直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，则a=﹣2．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由圆的方程，得到圆心与半径，根据直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，可得直线l：y=x+a过圆心，即可求出a的值．解答：解：∵圆（x﹣2）2+y2=1，∴圆心为：（2，0），半径为：1∵直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，∴直线l：y=x+a过圆心，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题主要考查直与圆的位置关系及其方程的应用，是常考题型，属中档题．11．已知函数f（x）=，为奇函数，则不等式f（x）＜4的解集为（﹣∞，4）．考点：其他不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义，求出a，b，即可得到结论．解答：解：若x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）=bx2+3x，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即bx2+3x=﹣x2﹣ax，则b=﹣1，a=﹣3，即f（x）=，若x≥0，则不等式f（x）＜4等价x2﹣3x＜4，即x2﹣3x﹣4＜0，解得﹣1＜x＜4，此时0≤x＜4，若x＜0，不等式f（x）＜4等价﹣x2﹣3x＜4，即x2+3x+4＞0，此时不等式恒成立，综上x＜4．即不等式的解集为（﹣∞，4）．点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．12．在三角形ABC中，已知AB=3，A=120°，△ABC的面积为，则•的值=．考点：平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：利用三角形面积公式列出关系式，将c，sinA及已知面积代入求出b的值，再利用余弦定理列出关系式，把b，c，cosA的值代入计算即可求出a的值，然后利用余弦定理求cosB，结合数量积的定义求•的值．解答：解：∵AB=c=3，A=120°，△ABC的面积为，∴S△ABC=bcsinA=b=，即b=5，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=25+9+15=49，则BC=a=7．由余弦定理得cosB=•=accosB=7×3×=．点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式以及向量的数量积的运算，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．13．设点P，M，N分别在函数y=2x+2，y=，y=x+3的图象上，且=2，则点P横坐标的取值范围为．．考点：向量数乘的运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，由=2，可得点P是线段MN的中点．设M（x1，y1），P（x，y），N （x2，y2）．可得，，，（0≤x1≤4），y2=x2+3，y=2x+2．化为2x=﹣1﹣x1（0≤x1≤4）．令f（t）=（0≤t≤4）．利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出．解答：解：如图所示，∵=2，∴点P是线段MN的中点．设M（x1，y1），P（x，y），N（x2，y2）．∴，，，（0≤x1≤4），y2=x2+3，y=2x+2．化为2x=﹣1﹣x1（0≤x1≤4）．令f（t）=（0≤t≤4）．f′（t）=﹣1，当2≤t≤4时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．当0≤t＜2时，f′（t）=0，解得，则当时，函数f（t）单调递增；当时，函数f（t）单调递减．而极大值即最大值=﹣3，又f（0）=﹣1，f（4）=﹣5．∴点P横坐标的取值范围为．故答案为：．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、向量的共线、分类讨论思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．14．已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）．若对满足题设条件的任意b，c，不等式f（c）﹣f（b）≤M（c2﹣b2）恒成立，则M的最小值为．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：f′（x）=2x+b，由题设，x2+（b﹣2）x+c﹣b≥0恒成立，从而（b﹣2）2﹣4（c﹣b）≤0，进而c，由此利用导数性质能求出M的最小值为．解答：解：f′（x）=2x+b，由题设，对任意的x∈R，2x+b≤x2+bx+c，即x2+（b﹣2）x+c﹣b≥0恒成立，所以（b﹣2）2﹣4（c﹣b）≤0，从而c，于是c≥1，且c=|b|=|b|，当c＞|b|时，有M==，令t=，则﹣1＜t＜1，，而函数g（t）=2﹣（﹣1＜t＜1）的值域是（﹣）；因此，当c＞|b|时，M的取值集合为[）；当c=|b|时，由（Ⅰ）知，b=±2，c=2，此时f（c）﹣f（b）=﹣8或0，c2﹣b2=0，从而f（c）﹣f（b）≤（c2﹣b2）恒成立；综上所述，M的最小值为．故答案为：．点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．二、解答题15．已知集合A={y|y=﹣2x，x∈[2，3]}，B={x|x2+3x﹣a2﹣3a＞0}．（1）当a=4时，求A∩B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）先利用函数的值域化简A，利用一元二次不等式的解化简B，最后利用交集的定义求出A∩B即可；（2）题中条件：“A⊆B”说明集合A是集合B的子集，即不等式：（x﹣a）（x+a+3）＞0的解集是B的子集，对a进行分类讨论，结合端点的不等关系列出不等式求解即可．解答：解：（1）A=[﹣8，﹣4]当a=4时，B={x|x2+3x﹣28＞0}={x|x＜﹣7或x＞4}，∴A∩B=[﹣8，﹣7）（2）B={x|（x﹣a）（x+a+3）＞0}①当时，，∴恒成立；②当时，B={x|x＜a或x＞﹣a﹣3}∵A⊆B，∴a＞﹣4或﹣a﹣3＜﹣8解得a＞﹣4或a＞5（舍去）所以﹣4＜a＜﹣③当时，B={x|x＜﹣a﹣3或x＞a}∵A⊆B，∴﹣a﹣3＞﹣4或a＜﹣8（舍去）解得综上，当A⊆B，实数a的取值范围是（﹣4，1）．点评：本小题主要考查函数的值域、函数的定义域、不等式的解法、集合的包含关系判断及应用、交集及其运算等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于基础题．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB（1）求角C的大小；（2）若sinA=，求△ABC的面积．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（1）利用倍角公式、两角和差的正弦公式可得，由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π），可得，即可得出．（2）利用正弦定理可得a，利用两角和差的正弦公式可得sinB，再利用三角形的面积计算公式即可得出．解答：解：（1）由题意得，，∴，化为，由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π），得，即，∴；（2）由，利用正弦定理可得，得，由a＜c，得A＜C，从而，故，∴．点评：本题考查了正弦定理、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．如图，在C城周边已有两条公路l1，l2在点O处交汇，且它们的夹角为75°．已知OC=（+）km，OC与公路l1的夹角为45°．现规划在公路l1，l2上分别选择A，B两处为交汇点（异于点O）直接修建一条公路通过C城．设OA=x km，OB=y km．（1）求y关于x的函数解析式，并指出它的定义域；（2）试确定点A，B的位置，使△OAB的面积最小．考点：在实际问题中建立三角函数模型．专题：应用题；三角函数的图像与性质．分析：（1）由△AOC的面积与△BOC的面积之和等于△AOB的面积可得x（+）sin45°+y（+）sin30°=xysin75°，从而求得y=（x＞2）．（2）△AOB的面积S=xysin75°=•（（x﹣2）++4）；利用基本不等式求最值．解答：解：（1）因为△AOC的面积与△BOC的面积之和等于△AOB的面积，所以x（+）sin45°+y（+）sin30°=xysin75°，即x（+）+y（+）=xy，所以y=（x＞2）．（2）△AOB的面积S=xysin75°=•x••sin75°=•=•（（x﹣2）++4）≥×8=4（+1），当且仅当x﹣2=，即x=4时取等号，此时y==4．故当OA=4km，OB=4km时，△OAB的面积最小，最小值为4（+1）km2．点评：本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了基本不等式，属于中档题．18．设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．过B1作直线l 交椭圆于P、Q两点．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若PB2⊥QB2，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设所求椭圆的标准方程为，由已知得c=2b，，由此能求出椭圆的标准方程．（2）B1（﹣2，0），B2（2，0），设直线PQ的方程为x=my﹣2代入椭圆方程，得（m2+5）y2﹣4my﹣16=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线l的方程．解答：解：（1）设所求椭圆的标准方程为，右焦点为F2（c，0）．因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2=90°，得c=2b，在Rt△AB1B2中，，从而a2=b2+c2=20，因此所求椭圆的标准方程为：=1．（2）由（1）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，设直线PQ的方程为x=my﹣2代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∵=0，∴，，又，∴，=﹣=0，解得m=±2，∴满足条件的直线有两条，其方程分别为：x+2y+2=0和x﹣2y+2=0．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．19．（16分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n2+2n，数列{b n}的前n项和T n=2﹣b n（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n2•b n，证明：当且仅当n≥3时，c n+1＜c n．考点：数列的应用．分析：（1）由题意知a1=S1=4，a n=S n﹣S n﹣1化简可得，a n=4n，n∈N*，再由b n=T n﹣T n﹣1=（2﹣b n）﹣（2﹣b n﹣1），可得2b n=b n﹣1知数列b n是等比数列，其首项为1，公比为的等比数列，由此可知数列{a n}与{b n}的通项公式．（2）由题意知，=．由得，解得n≥3．由此能够导出当且仅当n≥3时c n+1＜c n．解答：解：（1）由于a1=S1=4当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n2+2n）﹣[2（n﹣1）2+2（n﹣1）]=4n，∴a n=4n，n∈N*，又当x≥n时，Tn=2﹣b n，∴b n=2﹣T n，b n=T n﹣T n﹣1=（2﹣b n）﹣（2﹣b n﹣1），∴2b n=b n﹣1∴数列b n是等比数列，其首项为1，公比为，∴．（2）由（1）知，=．由得＜1，解得n≥3．又n≥3时，c n＞0恒成立．因此，当且仅当n≥3时c n+1＜c n．点评：由可求出b n和a n，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出b n和a n后，进而得到c n，接下来用作商法来比较大小，这也是一常用方法．20．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x﹣12，f′（x）为f（x）的导函数，满足f′（2﹣x）=f′（x）．（Ⅰ）设g（x）=x，m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；（Ⅱ）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1﹣t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）f′（x）=x2+2bx+c，由f′（2﹣x）=f′（x），解得b=﹣1．由直线y=4x﹣12与x 轴的交点为（3，0），解得c=1，d=﹣3．由此能求出函数g（x）在[0，m]上的最大值．（Ⅱ）h（x）=ln（x﹣1）2=2ln|x﹣1|，则h（x+1﹣t）=2ln|x﹣t|，h（2x+2）=2ln|2x+1|，由当x∈[0，1]时，|2x+1|=2x+1，知不等式2ln|x﹣t|＜2ln|2x+1|恒成立等价于|x﹣t|＜2x+1，且x≠t 恒成立，由此能求出实数t的取值范围．解答：（本小题满分14分）解：（Ⅰ）f′（x）=x2+2bx+c，∵f′（2﹣x）=f′（x），∴函数y=f′（x）的图象关于直线x=1对称，则b=﹣1．∵直线y=4x﹣12与x轴的交点为（3，0），∴f（3）=0，且f′（x）=4，即9+9b+3c+d=0，且9+6b+c=4，解得c=1，d=﹣3．则．故f′（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，g（x）=x=x|x﹣1|=，如图所示．当时，x=，根据图象得：（ⅰ）当x＜m时，g（x）最大值为m﹣m2；（ⅱ）当时，g（x）最大值为；（ⅲ）当m时，g（x）最大值为m2﹣m．…（Ⅱ）h（x）=ln（x﹣1）2=2ln|x﹣1|，则h（x+1﹣t）=2ln|x﹣t|，h（2x+2）=2ln|2x+1|，∵当x∈[0，1]时，|2x+1|=2x+1，∴不等式2ln|x﹣t|＜2ln|2x+1|恒成立等价于|x﹣t|＜2x+1，且x≠t恒成立，由|x﹣t|＜2x+1恒成立，得﹣x﹣1＜t＜3x+1恒成立，∵当x∈[0，1]时，3x+1∈[1，4]，﹣x﹣1∈[﹣2，﹣1]，∴﹣1＜t＜1，又∵当x∈[0，1]时，由x≠t恒成立，得t∉[0，1]，因此，实数t的取值范围是﹣1＜t＜0．…点评：本题考查函数最大值的求法，考查实数的取值范围的求法．考查推理论证能力的应用，考查计算推导能力．综合性强，难度大，是2015届高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．三、（A）（选修4-2：矩阵与变换）21．已知矩阵A=属于特征值λ的一个特征向量为α=．（1）求实数b，λ的值；（2）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为C′：x2+2y2=2，求曲线C的方程．考点：几种特殊的矩阵变换．专题：计算题；矩阵和变换．分析：（1）由矩阵的特征向量的定义，即可求出b=0，λ=2；（2）设曲线C上任一点M（x，y）在矩阵A对应的变换作用后变为曲线C′上一点P（x0，y0），由矩阵变换的特点，即可得到它们的关系式，再代入已知曲线方程即可．解答：解：（1）因为矩阵A=属于特征值λ的一个特征向量为α=，所以=λ，即=，从而2﹣b=λ，﹣2=﹣λ，解得b=0，λ=2．（2）由（1）知，A=．设曲线C上任一点M（x，y）在矩阵A对应的变换作用后变为曲线C′上一点P（x0，y0），则==，从而因为点P在曲线C′上，所以x02+2y02=2，即（2x）2+2（x+3y）2=2，从而3x2+6xy+9y2=1．所以曲线C的方程为3x2+6xy+9y2=1．点评：本题考查矩阵的特征值和特征向量，以及矩阵变换下的曲线方程，属于中档题．四、（A）（选修4-4：坐标系与参数方程）22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．若点P是圆C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．考点：参数方程化成普通方程．专题：直线与圆；坐标系和参数方程．分析：法一、化直线的参数方程为普通方程，设出圆上点的坐标，由点到直线的距离公式到关于θ三角函数式，则点P到直线l的距离的最小值可求；法二、化化直线的参数方程为普通方程，化圆的参数方程为普通方程，求出圆心坐标和半径，再求出圆心到直线的距离，则点P到直线l的距离的最小值可求．解答：解：（方法一）由消掉参数t得直线l的普通方程为x﹣y+=0．∵点P在圆C上，故设P（+cosθ，sinθ），从而点P到直线l的距离d==．∴d min=﹣1．即点P到直线l的距离的最小值为﹣1．（方法二）直线l的普通方程为x﹣y+=0．由，得．∴圆C的圆心坐标为（，0），半径为1．从而圆心C到直线l的距离为d==．∴点P到直线l的距离的最小值为﹣1．点评：本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆的位置关系，训练了点到直线的距离公式，是中档题．23．如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，CC1=5，E是棱CC1上不同于端点的点，且=λ．（1）当∠BEA1为钝角时，求实数λ的取值范围；（2）若λ=，记二面角B1﹣A1B﹣E的大小为θ，求|cosθ|．考点：二面角的平面角及求法；向量数乘的运算及其几何意义．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．根据∠BEA1为钝角时，cos∠BEA1＜0，即•＜0，进而求出实数λ的取值范围；（2）求出平面BEA1的一个法向量为，平面BA1B1的一个法向量为，代入向量夹角公式，可得|cosθ|的值．解答：解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设知B（2，3，0），A1（2，0，5），C（0，3，0），C1（0，3，5）．因为=λ，所以E（0，3，5λ），从而=（2，0，﹣5λ），=（2，﹣3，5﹣5λ）．…当∠BEA1为钝角时，cos∠BEA1＜0，且与不共线，所以•＜0，即2×2﹣5λ（5﹣5λ）＜0，解得＜λ＜．即实数λ的取值范围是（，）．…（2）当λ=时，=（2，0，﹣2），=（2，﹣3，3）．设平面BEA1的一个法向量为=（x，y，z），由，即取x=1，得y=，z=1，所以平面BEA1的一个法向量为=（1，，1）．…易知，平面BA1B1的一个法向量为=（1，0，0）．因为|cosθ|=|cos＜，＞|===，从而|cosθ|=．…点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，向量数量积，其中建立空间坐标系，将空间直线夹角和二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．24．某商店为了吸引顾客，设计了一个摸球小游戏，顾客从装有1个红球，1个白球，3个黑球的袋中一次随机的摸2个球，设计奖励方式如下表：结果奖励1红1白10元1红1黑5元2黑2元1白1黑不获奖（1）某顾客在一次摸球中获得奖励X元，求X的概率分布表与数学期望；（2）某顾客参与两次摸球，求他能中奖的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）由已知得X=10，5，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布表和E （X）．（2）记该顾客一次摸球中奖为事件A，由（1）知，P（A）=，由此能求出他两次摸球中至少有一次中奖的概率．解答：解：（1）因为P（X=10）==，P（X=5）==，P（X=2）==，P（X=0）==，所以X的概率分布表为：X 10 5 2 0P…从而E（X）=10×+5×+2×+0×=3.1元．…（2）记该顾客一次摸球中奖为事件A，由（1）知，P（A）=，从而他两次摸球中至少有一次中奖的概率P=1﹣[1﹣P（A）]2=．答：他两次摸球中至少有一次中奖的概率为．…．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的概率分布表与数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．。

江苏省苏州市梁丰高级中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于x=对称C．关于点（，0）对称D．关于x=对称参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由已知求出满足条件的ω，φ值，求出函数的解析式，进而分析出函数f（x）的对称性，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，∴ω=2，则f（x）=sin（2x+φ），将其图象向右平移个单位后得到的函数g（x）=sin[2（x﹣）+φ]的图象，若得到的函数为奇函数，则g（0）=sin[2?（﹣）+φ]=0，即φ﹣=kπ，k∈Z∵|φ|＜，故φ=，故f（x）=sin（2x+），∵当2x+=+kπ，即x=+，k∈Z时，函数取最值，故函数f（x）的图象的对称轴方程为：x=+，k∈Z当k=0时，x=为函数f（x）的图象的一条对称轴，故选：D2.已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（） A． B． C． D．参考答案：答案：A3. 的展开式中的系数是（）B. C.5 D.20参考答案：A4. 若直线与圆交于两点,且关于直线对称,动点P在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：D5. 等比数列的前项和为，，若成等差数列，则( ）A． 7 B． 8 C． 16 D．15参考答案：D6. 已知两个单位向量，满足，则的夹角为（）A．B．C．D．参考答案：C∵，∴，∴，∴，∴．7. 如图，F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若，则等于A．6 B．4C．3 D．2参考答案：A8. 复数A．i B．－i C．D．参考答案：C据已知得：【点睛】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．9. 设全集，集合则集合（A）（B）（C）（D）参考答案：B略10. 定义两种运算：，，则是（）函数．（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 等比数列{}的公比, 已知=1，，则{}的前4项和= 。

江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2017-2018学年高考数学模拟试卷（19）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．集合A={1，t}中实数t的取值范围是__________．2．若不等式x2﹣3x≤0的解集为M，函数f（x）=lg（1﹣x）的定义域为N，则M∪N=__________．3．如果p和q是两个，若¬p是¬q的必要不充分条件，则p是q的__________条件．4．将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为__________．5．已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影为__________．6．若tanα=3，则=__________．7．设变量x，y满足|x|+|y|≤1，则x+2y的最大值为__________．8．函数的单调减区间为__________．9．已知关于x的不等式（ax﹣1）（x+1）＜0的解集是，则实数a的取值范围是__________．10．已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，若数列的前n项和为S n，则S2013的值为__________．11．在锐角△ABC中，若A=2B，则的取值范围是__________．12．已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，若对任意x∈（0，+∞），都有，则的值是__________．13．若数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，则a n=__________．14．已知a，b，c＞0，则的最小值为__________．二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知函数的值域为集合A，关于x的不等式的解集为B，集合，集合D={x|m+1≤x＜2m﹣1}（m＞0）（1）若A∪B=B，求实数a的取值范围；（2）若D⊆C，求实数m的取值范围．16．如图，在直角坐标系xOy中，锐角△ABC内接于圆x2+y2=1．已知BC平行于x轴，AB所在直线方程为y=kx+m（k＞0），记角A，B，C所对的边分别是a，b，c．（1）若的值；（2）若的值．17．某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工，现要在公路AC上找一点D，修一条公路BD，并在D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A、B、C中任意两点间的距离均是1km，设∠BDC=α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S．（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；（2）问食堂D建在距离A多远时，可使总路程S最少？18．（16分）已知函数f（x）=x2ln|x|，（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=kx﹣1有实数解，求实数k的取值范围．19．（16分）若数列{a n}的相邻两项a n，a n+1是关于x的方程x2﹣2n x+b n=0，（n∈N*）的两根，且a1=1．（1）求证：数列是等比数列．（2）设是S n数列{a n}的前n项和，问是否存在常数λ，使得b n﹣λS n＞0对任意n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．20．（16分）已知函数，（1）若x＜a时，f（x）＜1恒成立，求实数a的取值范围；（2）若a≥﹣4时，函数f（x）在实数集R上有最小值，求实数a的取值范围．四、加试部分21．已知M=，，计算M5β．22．已知圆的极坐标方程为：，将此方程化为直角坐标方程，并求圆心的极坐标．23．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机地抽取4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分．（1）求得分X不大于6的概率；（2）求得分X的数学期望．24．设函数f（x）=x﹣sinx，数列{a n}满足a n+1=f（a n）．（1）若a1=2，试比较a2与a3的大小；（2）若0＜a1＜1，求证：0＜a n＜1对任意n∈N*恒成立．江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（19）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．集合A={1，t}中实数t的取值范围是{t|t≠1}．考点：集合的确定性、互异性、无序性．专题：计算题．分析：根据集合元素的互异性及已知中集合A={1，t}，及分析出实数t的取值范围，写成集合形式即可．解答：解：∵集合A={1，t}由集合元素的互异性可得t≠1故实数t的取值范围是{t|t≠1}故答案为：{t|t≠1}点评：本题考查的知识点是集合元素的互异性，熟练掌握集合元素的性质并真正理解，是解答的关键．2．若不等式x2﹣3x≤0的解集为M，函数f（x）=lg（1﹣x）的定义域为N，则M∪N=（﹣∞，3]．考点：一元二次不等式的解法；对数函数的定义域．专题：不等式的解法及应用．分析：分别解不等式可得集合M，N，由并集的定义可得答案．解答：解：由不等式x2﹣3x≤0可得0≤x≤3，故M={x|0≤x≤3}；由1﹣x＞0可得x＜1，故N={x|x＜1}所以M∪N={x|0≤x≤3}∪{x|x＜1}=（﹣∞，3]故答案为：（﹣∞，3]点评：本题考查集合并集的运算，解对不等式正确写出集合M，N是解决问题的关键，属基础题．3．如果p和q是两个，若¬p是¬q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：转化思想．分析：根据互为逆否真假性相同，可将已知转化为q是p的必要不充分条件，进而根据充要条件的定义得到答案．解答：解：∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件故答案为：充分不必要点评：本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否真假性相同，转化为q是p的必要不充分条件，是解答的关键．4．将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：直接利用左加右减、上加下减的平移原则，推出平移后的函数解析式即可．解答：解：将函数的图象向左平移个单位，得到=，再向下平移1个单位，得到函数的图象，所以g（x）的解析式为．故答案为：．点评：本题考查三角函数的图象的平移变换，值域左加右减以及上加下减的法则，值域平移的方向与x的系数的关系．5．已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影为．考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：平面向量及应用．分析：由投影的定义可得：在方向上的投影为：，代值计算即可．解答：解：由投影的定义可得：在方向上的投影为：，而=cos=故答案为：点评：本题考查向量投影的定义，熟练记准投影的定义是解决问题的关键，属基础题．6．若tanα=3，则=．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用同角三角函数的关系，弦化切，利用tanα=3，即可求得结论．解答：解：==∵tanα=3，∴==∴=故答案为：点评：本题考查同角三角函数的关系，考查学生的计算能力，利用同角三角函数的关系，弦化切是关键．7．设变量x，y满足|x|+|y|≤1，则x+2y的最大值为2．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：化约束条件为不等式组，进而作出其对应的平面区域，变形目标函数经平移直线得最优解，代值得答案．解答：解：约束条件|x|+|y|≤1可化为：其表示的平面区域如图所示的正方形及内部：设目标函数z=x+2y，变形可得y=，经平移直线可知当直线经过点（0，1）时z=x+2y取最大值2故答案为：2点评：本题考查简单线性规划，画出满足条件的可行域及确定最优解是解决问题的关键，属中档题．8．函数的单调减区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）．考点：函数单调性的判断与证明．专题：计算题．分析：函数的定义域x≠﹣1，由于函数===，对函数求导可得＜恒成立，从而可求函数的单调递减区间解答：解：函数的定义域x≠﹣1∵函数===＜恒成立函数f（x）=的单调递减区间为：（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）故答案为：（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）点评：本题主要考查了函数单调区间的求解，利用了函数的导数的知识求解，本题还可以利用函数的单调性的定义或结合反比例函数y=的单调区间的求解．9．已知关于x的不等式（ax﹣1）（x+1）＜0的解集是，则实数a的取值范围是﹣1≤a＜0．考点：一元二次不等式的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：对于小于零型的一元二次不等式，它的解集应该在两根之间．而对于题中不等式的解集为，是两根之外，说明原不等式不是标准型，与标准型相差了一个负号．故可得a＜0且，联解这两个不等式可得实数a的取值范围．解答：解：由题意，实数a不为零，不等式（ax﹣1）（x+1）＜0可化为：而不等式的解集为说明一方面a＜0，另一方面解之得﹣1≤a＜0∴实数a的取值范围是﹣1≤a＜0故答案为：﹣1≤a＜0点评：本题以一元二次不等式的解集为例，考查了一元二次方程与不等式的联系等知识点，属于基础题．10．已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，若数列的前n项和为S n，则S2013的值为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在x=1处的斜率，然后根据直线平行时斜率相等的条件可求b，代入可求f（n），利用裂项求和即可求得结论．解答：解：由f（x）=x2+bx求导得：f′（x）=2x+b，∵函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，∴f′（1）=2+b=3，∴b=1，∴f（x）=x2+x所以f（n）=n（n+1），∴=∴S2013的值为1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=故答案为：点评：本题考查了导函数的几何意义，考查利用利用裂项相消法求数列的前n项和的方法，属于中档题．11．在锐角△ABC中，若A=2B，则的取值范围是（，）．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理列出关系式，将A=2B代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，约分得到结果为2cosB，根据三角形的内角和定理及三角形ABC为锐角三角形，求出B的范围，进而确定出cosB的范围，即可得出所求式子的范围．解答：解：∵A=2B，∴根据正弦定理=得：====2cosB，∵A+B+C=180°，∴3B+C=180°，即C=180°﹣3B，∵C为锐角，∴30°＜B＜60°，又0＜A=2B＜90°，∴30°＜B＜45°，∴＜cosB＜，即＜2cosB＜，则的取值范围是（，）．故答案为：（，）点评：此题考查了正弦定理，余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．12．已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，若对任意x∈（0，+∞），都有，则的值是6．考点：函数单调性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且f（f（x）﹣）=2，知f（x）﹣为一个常数，令这个常数为n，则有f（x）﹣=n，f（n）=2，所以n+=2，解得n=1，由此能求出f（）=6．解答：解：∵函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且f（f（x）﹣）=2，∴f（x）﹣为一个常数，令这个常数为n，则有f（x）=n+，且f（n）=2．再令x=n可得n+=2，解得n=1，因此f（x）=1+，所以f（）=6．故答案为：6．点评：本题考查利用函数的单调性求函数值，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题．13．若数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，则a n=．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用递推式的意义即可得出．解答：解：∵a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，∴当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2a n﹣1=，∴3n﹣1a n=，化为a n=．当n=1时，a1=．∴a n=，故答案为：，点评：本题考查了递推式的应用，属于基础题．14．已知a，b，c＞0，则的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：注意到分母只有ab，bc，拆分分子为+，利用基本不等式性质即可得出．解答：解：，当且仅当，取等号．∴的最小值为．故答案为：．点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知函数的值域为集合A，关于x的不等式的解集为B，集合，集合D={x|m+1≤x＜2m﹣1}（m＞0）（1）若A∪B=B，求实数a的取值范围；（2）若D⊆C，求实数m的取值范围．考点：对数函数的值域与最值；指数函数综合题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用对数函数的单调性求对数函数的值域A，解指数不等式求出B，再根据A⊆B 可得﹣＞1，由此求得实数a的取值范围．（2）解分式不等式求得C，对于集合D={x|m+1≤x＜2m﹣1}（m＞0），由D⊆C，分D=∅和D≠∅两种情况，分别求出实m的取值范围，再取并集，即得所求．解答：解：（1）因为f（x）在[，4]上，单调递增，∵f（）==﹣2，f（4）=log44=1，所以，A=[﹣2 1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又由关于x的不等式可得（2）﹣3x﹣a＞2x，﹣3x﹣a＞x x＜﹣，所以，B=（﹣∞，﹣）．﹣﹣﹣﹣﹣又A∪B=B，∴A⊆B．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以，﹣＞1，a＜﹣4，即实数a的取值范围为（﹣∞，﹣4）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）因为，所以有，所以﹣1＜x≤5，所以，C=（﹣1，5]，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣对于集合D={x|m+1≤x＜2m﹣1}（m＞0），若D⊆C，有：①当m+1≥2m﹣1时，即0＜m≤2时，D=∅，满足D⊆C．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当m+1＜2m﹣1 时，即m＞2时，D≠∅，所以有：，解得﹣2＜m≤3，又m＞2，2＜m≤3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上：由①②可得：实m的取值范围为（0，3]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题主要考查利用对数函数的单调性求值域，指数不等式、分式不等式的解法，集合间的包含关系，属于中档题．16．如图，在直角坐标系xOy中，锐角△ABC内接于圆x2+y2=1．已知BC平行于x轴，AB所在直线方程为y=kx+m（k＞0），记角A，B，C所对的边分别是a，b，c．（1）若的值；（2）若的值．考点：三角函数的恒等变换及化简求值；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：（1）将k=tanB=代入，利用余弦定理求出sinB；利用三角形的内角和为π、三角函数的诱导公式、二倍角公式求出值（2）将直线方程与圆方程联立，消去y，利用韦达定理得到A，B的横坐标的关系，利用单位圆中的三角函数的定义，将sin（α+β）用A，B的坐标表示，求出值．解答：解：（1）变式得：，原式=；（2）点评：在解三角形时，若已知条件中有边的平方一般思路考虑余弦定理；注意在单位圆中，角的正弦、余弦值是角终边与单位圆交点的坐标．17．某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工，现要在公路AC上找一点D，修一条公路BD，并在D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A、B、C中任意两点间的距离均是1km，设∠BDC=α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S．（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；（2）问食堂D建在距离A多远时，可使总路程S最少？考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．专题：综合题．分析：（1）在△BCD中先利用正弦定理求得BD，和CD的表达式，进而表示出AD，则总路程S与α的关系可得．（2）对函数S进行求导，令S'=0求得cosα的值，进而根据导函数判断函数的单调性的方法，可推断出当时，当和当函数的单调性和函数的最小值，进而求得总路程最小时AD的长．解答：解：（1）在△BCD中，∵，∴，．则．，其中．（2）令S'=0，得．当时，S'＜0，S是α的单调减函数；当时，S'＞0，S是α的单调增函数．∴当时，S取得最小值．此时，，=．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决实际问题的能力．18．（16分）已知函数f（x）=x2ln|x|，（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=kx﹣1有实数解，求实数k的取值范围．考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）根据函数f（x）的解析式，求得f（﹣x），看f（x）与f（x）的关系式，进而判断函数的奇偶性．（Ⅱ）先看当x＞0时，根据导函数f'（x）大于0或小于0时的f（x）的单调区间，再根据函数的奇偶性判断求得其它的单调区间．（Ⅲ）要使方程f（x）=kx﹣1有实数解，即要使函数y=f（x）的图象与直线y=kx﹣1有交点，先看当k＞0时，用导函数求出当直线y=kx﹣1与f（x）的图象相切时k的值，再根据对称性求出k＜0时直线y=kx﹣1与f（x）的图象相切时k的值，进而求出f（x）=kx﹣1有实数解，求实数k的取值范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}f（﹣x）=（﹣x）2ln|﹣x|=x2lnx=f（x）∴f（x）为偶函数（Ⅱ）当x＞0时，若，则f'（x）＜0，f（x）递减；若，则f'（x）＞0，f（x）递增．递增区间是和；递减区间是和．（Ⅲ）要使方程f（x）=kx﹣1有实数解，即要使函数y=f（x）的图象与直线y=kx﹣1有交点．函数f（x）的图象如图．先求当直线y=kx﹣1与f（x）的图象相切时k的值．当k＞0时，f'（x）=x•（2lnx+1）设切点为P（a，f（a）），则切线方程为y﹣f（a）=f'（a）（x﹣a），将x=0，y=﹣1代入，得﹣1﹣f（a）=f'（a）（﹣a）即a2lna+a2﹣1=0（*）显然，a=1满足（*）而当0＜a＜1时，a2lna+a2﹣1＜0，当a＞1时，a2lna+a2﹣1＞0∴（*）有唯一解a=1此时k=f'（1）=1再由对称性，k=﹣1时，y=kx﹣1也与f（x）的图象相切，∴若方程f（x）=kx﹣1有实数解，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用．在解决函数的单调性问题时，常利用导函数的性质．19．（16分）若数列{a n}的相邻两项a n，a n+1是关于x的方程x2﹣2n x+b n=0，（n∈N*）的两根，且a1=1．（1）求证：数列是等比数列．（2）设是S n数列{a n}的前n项和，问是否存在常数λ，使得b n﹣λS n＞0对任意n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．考点：数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意，可利用根与系数的关系得出a n+a n+1=2n，观察发现a n+1=﹣（a n），由此方程可以得出数列是等比数列；λ＜，对任意正偶数n都成立，求出，的最小值即可得到参数的取值范围，若此范围是空集则说明不存在，否则，存在．解答：解：（1）∵a n+a n+1=2n，∴a n+1﹣•2n+1=（2n﹣a n）﹣•2n+1=﹣a n+2n（1﹣）=﹣（a n），∴数列是首项为a1﹣=，公比为﹣1的等比数列．（2）由（1）得a n=[2n﹣（﹣1）n]，∴S n=a1+a2+…+a n=[（2+22+…+2n）﹣（（﹣1）+（﹣1）2+…+（﹣1）n）] =[﹣]=[2n+1﹣2﹣]=又b n=a n•a n+1=[2n﹣（﹣1）n][2n+1﹣（﹣1）n+1]=[2n+1﹣（﹣2）n﹣1]∵b n﹣λs n＞0，∴[2n+1﹣（﹣2）n﹣1]﹣λ[2n+1﹣2﹣]＞0，∴当n为奇数时，[2n+1﹣（﹣2）n﹣1]﹣λ（）＞0，∴λ＜（2n+1）对∀n∈{奇数}都成立，∴λ＜1；当n为偶数时，[2n+1﹣（﹣2）n﹣1]﹣λ（﹣）＞0，∴λ＜（2n+1+1）对∀n∈{偶数}都成立，∴λ＜，综上所述，λ的取值范围为λ＜1．点评：本是考查数列与不等式的综合，此类题一般难度较大，解题的关键是熟练掌握不等式证明的技巧与数列通项求和的技巧，本题中用构造法求数列的通项，是递推关系知道的情况下求数列通项的常用方法，对于不等式恒成立求参数的问题，本题采用了分离常数法的思想将参数独立出来，通过求关于n的代数式的最小值求出参数的取值范围，本题考查了转化化归的思想，方程的思想，构造法的技巧，综合性强，技巧性强，题后应注意总结本题解法上的规律．20．（16分）已知函数，（1）若x＜a时，f（x）＜1恒成立，求实数a的取值范围；（2）若a≥﹣4时，函数f（x）在实数集R上有最小值，求实数a的取值范围．考点：指数函数综合题；二次函数的性质．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）令2x=t，则有0＜t＜2a，f（x）＜1当x＜a时恒成立，可转化为，分离参数可得在t∈（0，2a）上恒成立，求出右边的最值，即可得到结论；（2）当x≥a时，f（x）=x2﹣ax+1，利用配方法，分类讨论，可求函数的最小值；当x＜a 时，f（x）=4x﹣4×2x﹣a，令2x=t，t∈（0，2a），利用配方法，分类讨论，可求函数的最小值，从而可得函数f（x）在实数集R上有最小值时，实数a的取值范围．解答：解：（1）因为x＜a时，f（x）=4x﹣4×2x﹣a，所以令2x=t，则有0＜t＜2a，所以f（x）＜1当x＜a时恒成立，可转化为，即在t∈（0，2a）上恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．令，则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．所以在（0，2a）上单调递增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．所以，所以有：．所以，所以（2a）2≤5，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．（2）当x≥a时，f（x）=x2﹣ax+1，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．①当，∴a≥0时，此时对称轴在区间左侧，开口向上，所以f（x）在[a，+∞）单调递增，所以f（x）min=f（a）=1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．②当，∴﹣4≤a＜0时，此时对称轴在区间内，开口向上，所以f（x）在单调递减，在单调递增，所以．所以由①②可得：当x≥a时有：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．当x＜a时，f（x）=4x﹣4×2x﹣a，令2x=t，t∈（0，2a），则，③当，∴22a＞2，∴时，h（t）在单调递减，在上单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．④当，∴22a≤2，∴时，h（t）在（0，2a）单调递减，h（t）∈（h（2a），h（0））=（4a﹣4，0）所以，此时，h（t）在（0，2a）上无最小值；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．所以由③④可得当x＜a时有：当时，；当时，无最小值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．所以，由①②③④可得：当时，因为，所以函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．当时，因为4a﹣4＜0＜1，函数f（x）无最小值；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．当﹣4≤a＜0时，，函数f（x）无最小值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．综上所述，当时，函数f（x）有最小值为；当时，函数f（x）无最小值．所以函数f（x）在实数集R上有最小值时，实数a的取值范围为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）．点评：本题考查分段函数，考查函数的最值，考查配方法的运用，考查分离参数法，属于中档题．四、加试部分21．已知M=，，计算M5β．考点：几种特殊的矩阵变换；特征值与特征向量的计算．专题：计算题．分析：分别求出特征值所对应的特征向量，然后将向量用两特征向量线性表示，根据公式M5=M5（4﹣3）=4（M4）﹣3（M5）=4﹣3，进行求解即可．解答：解：矩阵M的特征多项式为f（λ）==（λ﹣3）（λ+1）由f（λ）=0，得λ1=3，λ2=﹣1，从而求得对应的一个特征向量分别为=，=．令所以求得m=4，n=﹣3．M5=M5（4﹣3）=4（M5）﹣3（M）=4﹣3=4×﹣3（﹣1）5=．点评：本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题．22．已知圆的极坐标方程为：，将此方程化为直角坐标方程，并求圆心的极坐标．考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：选作题．分析：先将方程：展开并化为ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，再利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可化为普通方程．解答：解：由，得ρ=2cosθ﹣2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，∴x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心直角坐标是（1，﹣1），∴，，∴，∴圆心的极坐标为．点评：本题考查了极坐标方程化为普通方程，掌握互化公式及化简方法是解题的关键．23．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机地抽取4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分．（1）求得分X不大于6的概率；（2）求得分X的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：（1）取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，所以得分x=5，6，8，因为从袋中随机地抽取4个球，总共有种取法，然后根据概率公式进行求解；（2）根据题意求得分X的数学期望，x可以取5，6，7，8，分别求出相对应的概率，然后列出分布列，然后利用数学期望公式进行求解；解答：解：（1），，（2）得分X的所有可能值为：5，6，7，8，，，，，得分X的分布列为X 5 6 7 8PEX=．点评：此题主要考查离散型随机变量的期望与公式，这是2015届高考必考的热点问题，比较简单，是一到中档题；24．设函数f（x）=x﹣sinx，数列{a n}满足a n+1=f（a n）．（1）若a1=2，试比较a2与a3的大小；（2）若0＜a1＜1，求证：0＜a n＜1对任意n∈N*恒成立．考点：数学归纳法；数列与函数的综合．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）直接利用函数f（x）=x﹣sinx，数列{a n}满足a n+1=f（a n），可得a3﹣a2＜0，从而可得结论；（2）证题的关键是n=k+1时，结论成立，利用函数是（0，1）上的单调递增函数即可．解答：（1）解：a1=2时，a2=f（2）=2﹣sin2∈（0，2），所以sina2＞0，所以a3﹣a2=﹣sina2＜0，所以a2＞a3．（2）证明：①n=1时，结论成立；②设n=k时，0＜a k＜1，则当n=k+1时，a k+1﹣a k=﹣sina k＜0，即a k+1＜a k＜1，当x∈（0，1）时，f'（x）=1﹣cosx＞0，即f（x）是（0，1）上的单调递增函数，所以a k+1=f（a k）＞f（0）=0，即0＜a k+1＜1即n=k+1时，结论成立，综上可得，当0＜a1＜1时，0＜a n＜1对任意n∈N*恒成立，点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，掌握数学归纳法的证题步骤是关键．。

江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2017-2018学年高考数学模拟试卷（05）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．复数+i2014对应的点位于复平面的第__________象限．2．已知函数y=lg（4﹣x）的定义域为A，集合B={x|x＜a}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围__________．3．若实数x满足log2log2x=log4log4x，则x=__________．4．已知角α终边上一点P的坐标是（2sin3，﹣2cos3），则sinα=__________．5．已知0＜a＜1，若log a（2x﹣y+1）＞log a（3y﹣x+2），且λ＜x+y，则λ的最大值为__________．6．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2a8=2a3a6，S5=﹣62，则a1的值是__________．7．设α，β为锐角，且（1+sinα﹣cosα）（1+sinβ﹣cosβ）=2sinαsinβ，则α+β=__________．8．若x∈（0，），则不等式+sin2x≥5恒成立的正实数a的取值范围为__________．9．如图，将正偶数排列如表，其中第i行第j个数表示为a ij（i，j∈N*），例如a43=18，若a ij=2010，则i+j=__________．10．如图，在△ABC中，∠A=60°，∠A的平分线交BC于D，若AB=4，且=+λ（λ∈R），则AD的长为__________．11．设等比数列{a n}的前n项的和为S n，且对任意正整数n，都有a2a8=2a3a6，S5=﹣62，则a1=__________．12．设定义域为R的函数f（x），若关于x的方程2f2（x）+2bf（x）+1=0有8个不同的实数根，则b的取值范围是__________．13．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是__________．14．设实数b，c满足b2+c2=1，且f（x）=ax+bsinx+ccosx的图象上存在两条切线垂直，则a+b+c的取值范围是__________．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若=﹣，b=，求a+c的值；（2）求2sinA﹣sinC的取值范围．16．已知向量=（2sin（ωx+），2），=（2cosωx，0）（ω＞0），函数f（x）=•的图象与直线y=﹣2+的相邻两个交点之间的距离为π．（1）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．17．某园林公司计划在一块以O为圆心，R（R为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形CMDC区域用于观赏样板地，△OCD区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售．已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元．（1）设∠COD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形CMDC的面积S弓=f（θ）；（2）园林公司应该怎样规划这块土地，才能使总利润最大？并求相对应的θ．（参考公式：扇形面积公式，l表示扇形的弧长）18．已知函数，g（x）=log a x．如果函数h（x）=f（x）+g（x）没有极值点，且h′（x）存在零点．（1）求a的值；（2）判断方程f（x）+2=g（x）根的个数并说明理由；（3）设点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函数y=g（x）图象上的两点，平行于AB 的切线以P（x0，y0）为切点，求证：x1＜x0＜x2．19．已知k为给定正整数，数列{a n}满足a1=3，，其中S n是数列{a n}的前n项和，令b n=．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记T k=，若T k∈Z+，求k的所有可能值．20．（16分）已知函数f（x）=a﹣blnx（a，b∈R），其图象在x=e处的切线方程为x﹣ey+e=0．函数g（x）=（k＞0），h（x）=．（Ⅰ）求实数a、b的值；（Ⅱ）以函数g（x）图象上一点为圆心，2为半径作圆C，若圆C上存在两个不同的点到原点O的距离为1，求k的取值范围；（Ⅲ）求最大的正整数k，对于任意的p∈（1，+∞），存在实数m、n满足0＜m＜n＜p，使得h（p）=h（m）=g（n）．三、周日附加题卷（7）21．选修4﹣2：矩阵与变换已知圆C：x2+y2=1在矩阵（a＞0，b＞0）对应的变换作用下变为椭圆=1，求a，b的值．22．（极坐标与参数方程）已知直线l经过点P（2，1），倾斜角，（Ⅰ）写出直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆O：ρ=2相交于两点A，B，求线段AB的长度．23．某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x，“实用性”得分为y，统计结果如下表：y作品数量x 实用性1分2分3分4分5分创新性1分13 10 12分10 75 13分21 09 34分1b 60 a5分00 11 3（1）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率；（2）若“实用性”得分的数学期望为，求a、b的值．24．把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第i行共有2i﹣1个正整数，设a ij（i，j∈N*）表示位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右第j个数．（Ⅰ）若a ij=2013，求i和j的值；（Ⅱ）记A n=a11+a22+a33+…+a nn（n∈N*），求证：当n≥4时，A n＞n2+C．江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（05）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．复数+i2014对应的点位于复平面的第二象限．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解答：解：∵i4=1，∴i2014=（i4）503•i2=﹣1．∴复数+i2014=﹣1=﹣1=﹣1+i对应的点（﹣1，1）位于复平面的第二象限．故答案为：二．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义、周期性，属于基础题．2．已知函数y=lg（4﹣x）的定义域为A，集合B={x|x＜a}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围a＞4．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；元素与集合关系的判断；对数函数的定义域．专题：计算题．分析：先利用对数函数的性质求出集合A，再根据集合之间的关系结合数轴看端点坐标之间的大小关系即可．解答：解：∵A={x|x＜4}，∵P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，∴集合A是集合B的子集，由图易得a＞4．故答案为：a＞4．点评：本题主要考查了元素与集合关系的判断、必要条件、充分条件与充要条件的判断，以及对数函数的定义域，属于基础题．3．若实数x满足log2log2x=log4log4x，则x=．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：实数x满足log 2log2x=log4log4x，可得，即=log 4x=，化为=0，解出即可．解答：解：∵实数x满足log2log2x=log4log4x，∴，∴=log 4x=，∴=0，∴=0，∵log2x≠0，∴，解得，经过验证满足条件．故答案为：．点评：本题考查了对数函数的单调性、运算性质，属于基础题．4．已知角α终边上一点P的坐标是（2sin3，﹣2cos3），则sinα=﹣cos3．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由题意，先求出点P到原点的距离，再由定义求出即可．解答：解：∵角α终边上一点P的坐标是（2sin3，﹣2cos3），∴|OP|==2，∴sinα==﹣cos3．故答案为：﹣cos3．点评：本题考查任意角三角函数的定义，属于基础题，熟记定义是解答的关键．5．已知0＜a＜1，若log a（2x﹣y+1）＞log a（3y﹣x+2），且λ＜x+y，则λ的最大值为﹣2．考点：简单线性规划；对数函数的单调性与特殊点．专题：不等式的解法及应用．分析：根据题意得出约束条件，再作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过A时，z最小，从而得出目标函数z=x+y的取值范围，最后根据λ＜x+y，得出λ的最大值．解答：解：根据题意得：即画出不等式表示的平面区域设目标函数z=x+y，则z表示直线在y轴上截距，截距越大，z越大作出目标函数对应的直线L：y=﹣x由得A（﹣1，﹣1）直线过A（﹣1，﹣1）时，直线的纵截距最小，z最小，最小值为z=﹣2则目标函数z=x+y的取值范围是（﹣2，+∞）．又λ＜x+y，则λ的最大值为﹣2故答案为：﹣2．点评：本题考查对数函数的单调性与特殊点、画不等式组表示的平面区域，考查数形结合求函数的最值．6．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2a8=2a3a6，S5=﹣62，则a1的值是﹣2．考点：等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意可知，q≠1，结合等比数列的通项公式及求和公式可得，解方程可求解答：解：∵a2a8=2a3a6，S5=﹣62∴q≠1∴解方程可得，q=2，a1=﹣2故答案为：﹣2点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题7．设α，β为锐角，且（1+sinα﹣cosα）（1+sinβ﹣cosβ）=2sinαsinβ，则α+β=．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角和的正切公式求得tan（α+β）=1，结合α，β为锐角，可得α+β的值．解答：解：∵==1+tan，同理可得=1+tan，∴由（1+sinα﹣cosα）（1+sinβ﹣cosβ）=2sinαsinβ可得•=2，∴（1+tan）（1+tan）=1+tan+tan+tan tan=2，tan+tan=1﹣tan tan，故tan==1，∴=，α+β=故答案为：．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和的正切公式，属于基础题．8．若x∈（0，），则不等式+sin2x≥5恒成立的正实数a的取值范围为[，+∞）．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：由题意可得sin2x＞0，++sin2x≥恒成立．利用基本不等式可得++sin2x≥2，可得2≥，由此求得a的范围．解答：解：由题意可得sin2x＞0，且+sin2x≥5恒成立，即++sin2x≥恒成立．利用基本不等式可得即++sin2x+sin2x≥4=2，当且仅当==sin2x 时取等号．∴2≥，求得a≥，故答案为：[，+∞）．点评：本题主要考查半角公式、基本不等式的应用，函数的恒成立问题，属于基础题．9．如图，将正偶数排列如表，其中第i行第j个数表示为a ij（i，j∈N*），例如a43=18，若a ij=2010，则i+j=60．考点：等差数列的性质；等差数列的通项公式．专题：归纳法．分析：根据题目中给出的图形，归纳总结出各行各列与各偶数的关系是解题的关键．解答：解：由图形可知：第1行1个偶数，第2行2个偶数，…第n行n个偶数；∵2010是第1005个偶数，设它在第n行，则之前已经出现了n﹣1行，共1+2+…+（n﹣1）个偶数，∴＜1005，解得n＜45，∴2010在第45行，∵前44行有990个偶数，∴2010在第45行，第15列，即i=45，j=15，∴i+j=60，故答案为60．点评：本题集数列和图形计数于一体，题目设计新颖，既考查了数列的知识，又考查了归纳推理的过程，是2015届高考考查的重点内容．10．如图，在△ABC中，∠A=60°，∠A的平分线交BC于D，若AB=4，且=+λ（λ∈R），则AD的长为3．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：因为B，D，C三点共线，所以有+λ=1，解得λ=，再确定=，=，AMDN是菱形，即可得出结论．解答：解：因为B，D，C三点共线，所以有+λ=1，解得λ=，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则=，=，∵△ABC中，∠A=60°，∠A的平分线交BC于D，∴AMDN是菱形，∵AB=4，∴AN=AM=3，∴AD=3．故答案为：3．点评：本题考查向量在几何中的应用，考查学生的计算能力，确定AN=AM=3是关键．11．设等比数列{a n}的前n项的和为S n，且对任意正整数n，都有a2a8=2a3a6，S5=﹣62，则a1=﹣2．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等比数列的性质和已知可得公比q，代入求和公式可得a1解答：解：由等比数列的性质可得a2a8=a52，a3a6=a4a5，∵a2a8=2a3a6，∴a52=2a4a5，解得a5=2a4，∴=2，即等比数列{a n}的公比q=2，∵S5==31a1=﹣62，∴a1=﹣2故答案为：﹣2点评：本题考查等比数列的性质，求出公比是解决问题的关键，属基础题．12．设定义域为R的函数f（x），若关于x的方程2f2（x）+2bf（x）+1=0有8个不同的实数根，则b的取值范围是﹣1.5＜b＜﹣．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；压轴题．分析：题中原方程2f2（x）+2bf（x）+1=0有8个不同实数解，即要求对应于f（x）=某个常数K，有2个不同的K，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解故先根据题意作出f（x）的简图：由图可知，只有满足条件的K在开区间（0，1）时符合题意．再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案．解答：解：根据题意作出f（x）的简图：由图象可得当f（x）∈（0，1）时，有四个不同的x与f（x）对应．再结合题中“方程2f2（x）+2bf（x）+1=0有8个不同实数解“，可以分解为形如关于K的方程2k2+2bK+1=0有两个不同的实数根K1、K2，且K1和K2均为大于0且小于1的实数．列式如下：，即，可得﹣1.5＜b＜﹣故答案为：﹣1.5＜b＜﹣点评：本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，属于难题，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．13．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数奇偶性和单调性之间的关系，解不等式即可．解答：解：∵当x≥0时，f（x）=x2，∴此时函数f（x）单调递增，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数f（x）在R上单调递增，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则x+a≥3x+1恒成立，即a≥2x+1恒成立，∵x∈[a，a+2]，∴（2x+1）max=2（a+2）+1=2a+5，即a≥2a+5，解得a≤﹣5，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]；故答案为：（﹣∞，﹣5]；点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及不等式恒成立问题，综合考查函数的性质．14．设实数b，c满足b2+c2=1，且f（x）=ax+bsinx+ccosx的图象上存在两条切线垂直，则a+b+c的取值范围是．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式在最值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：先利用辅助角公式和b2+c2=1将函数f（x）化简为f（x）=ax+sin（x+φ），求出f′（x）=a+cos（x+φ），根据f（x）=ax+bsinx+ccosx的图象上存在两条切线垂直，不妨设在x=m与x=n处的切线互相垂直，则由导数的几何意义，分别求出两条切线的斜率k1=f′（m）=a+cos（m+φ），k2=f′（n）=a+cos（n+φ），则[a+cos（m+φ）][a+cos（n+φ）]=﹣1，化简为关于a的一元二次方程要有实数根，从而得到△≥0，再利用三角函数的有界性，即可得到cos（m+φ）=1，cos （n+φ）=﹣1或者cos（m+φ）=﹣1，cos（n+φ）=1，代入到[a+cos（m+φ）][a+cos（n+φ）]=﹣1，求出a=0，将a+b+c的取值范围转化为求b+c的取值范围，根据b2+c2=1，利用基本不等式，求出bc的范围，结合（b+c）2=b2+c2+2bc=1+2bc，即可求出b+c的取值范围，从而得到a+b+c的取值范围．解答：解：∵f（x）=ax+bsinx+ccosx∴f（x）=ax+sin（x+φ），∵b2+c2=1，∴f（x）=ax+sin（x+φ），∴f′（x）=a+cos（x+φ），∵f（x）=ax+bsinx+ccosx的图象上存在两条切线垂直，设在x=m与x=n处的切线互相垂直，则k1=f′（m）=a+cos（m+φ），k2=f′（n）=a+cos（n+φ），∴k1•k2=﹣1，即[a+cos（m+φ）][a+cos（n+φ）]=﹣1，∴关于a的二次方程a2+[cos（m+φ）+cos（n+φ）]a+cos（m+φ）cos（n+φ）+1=0有实数根，∴△=[cos（m+φ）+cos（n+φ）]2﹣4×[cos（m+φ）cos（n+φ）+1]=[cos（m+φ）﹣cos（n+φ）]2﹣4≥0，又∵﹣2≤cos（m+φ）﹣cos（n+φ）≤2，∴[cos（m+φ）﹣cos（n+φ）]2≤4，即[cos（m+φ）﹣cos（n+φ）]2﹣4≤0，∴[cos（m+φ）﹣cos（n+φ）]2﹣4=0∴cos（m+φ）=1，cos（n+φ）=﹣1或者cos（m+φ）=﹣1，cos（n+φ）=1，∵[a+cos（m+φ）][a+cos（n+φ）]=﹣1，∴a2﹣1=﹣1，∴a=0，根据基本不等式，则有b2+c2=1≥2=2|bc|（当且仅当b=c时取等号），∴1≥2|bc|，即|bc|≤，∴﹣≤bc≤，又（b+c）2=b2+c2+2bc=1+2bc，∴0≤1+2bc≤2∴0≤（b+c）2≤2，∴﹣≤b+c≤，∵a=0，∴a+b+c=b+c，∴a+b+c的取值范围即为b+c的取值范围为[﹣，]．故答案为：[﹣，]．点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，基本不等式在最值问题中的应用．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若=﹣，b=，求a+c的值；（2）求2sinA﹣sinC的取值范围．考点：余弦定理的应用；数列的应用；向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：（1）通过A，B，C成等差数列，求得B的值，通过已知的向量积求得ac的值，代入余弦定理即可求出a+c．（2）通过两角和公式对2sinA﹣sinC，再根据C的范围和余弦函数的单调性求出2sinA﹣sinC 的取值范围．解答：解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴B=．∵•=﹣，∴accos（π﹣B）=﹣，∴ac=，即ac=3．∵b=，b2=a2+c2﹣2accosB，∴a2+c2﹣ac=3，即（a+c）2﹣3ac=3．∴（a+c）2=12，所以a+c=2．（2）2sinA﹣sinC=2sin（﹣C）﹣sinC=2（cosC+sinC）﹣sinC=cosC．∵0＜C＜，∴cosC∈（﹣，）．∴2sinA﹣sinC的取值范围是（﹣，）．点评：本题主要考查了余弦定理的应用．解决本题的关键就是充分利用了余弦定理的性质．16．已知向量=（2sin（ωx+），2），=（2cosωx，0）（ω＞0），函数f（x）=•的图象与直线y=﹣2+的相邻两个交点之间的距离为π．（1）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，利用余弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间，即可求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间；（2）通过将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．求出g（x）的表达式，求出函数的零点在一个周期内的个数，利用y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，判断b的位置，即可求b的最小值．解答：解：（1）函数f（x）=•=4sin（ωx+）cosωx=[4sinωx（）+4×ωx]cosωx=2cos2ωx﹣sin2ωx==，由题意得：T=π，ω＞0，∴，∴ω=1，故f（x）=2cos（2x+）+.2kπ﹣π≤2x≤2kπ（k∈Z），∴kπ﹣≤x≤kπ﹣（k∈Z），∴y=cos（2x+）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）．当k=1时，函数的单调增区间[]．当k=2时，函数的单调增区间[]．函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间[]，[]．（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）=2cos2x+的图象．令g（x）=0得，x=kπ或x=k，k∈Z，∴函数g（x）在每个周期内恰好有两个零点，若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，则x不小于第10个零点即可，∴b的最小值为4=．点评：本题考查复合三角函数的单调性，三角函数的图象的平移变换，函数的零点．着重考查余弦函数的性质，属于中档题．17．某园林公司计划在一块以O为圆心，R（R为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形CMDC区域用于观赏样板地，△OCD区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售．已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元．（1）设∠COD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形CMDC的面积S弓=f（θ）；（2）园林公司应该怎样规划这块土地，才能使总利润最大？并求相对应的θ．（参考公式：扇形面积公式，l表示扇形的弧长）考点：已知三角函数模型的应用问题．专题：应用题；综合题；转化思想．分析：（1）设∠COD=θ（单位：弧度），利用扇形面积减去三角形的面积，即可求出弓形CMDC的面积S弓=f（θ）；（2）设总利润为y元，草皮利润为y1元，花木地利润为y2，观赏样板地成本为y3，求出y 的表达式，利用导数确定函数的最大值，得到结果．解答：解：（1），，．（2）设总利润为y元，草皮利润为y1元，花木地利润为y2，观赏样板地成本为y3，，，∴．=设g（θ）=5θ﹣10sinθθ∈（0，π）．g′（θ）=5﹣10cosθ上为减函数；上为增函数．当时，g（θ）取到最小值，此时总利润最大．答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润最大．点评：本题是中档题，考查三角函数的应用题中的应用，三角函数的化简求值，导数的应用，考查计算能力，转化思想的应用．18．已知函数，g（x）=log a x．如果函数h（x）=f（x）+g（x）没有极值点，且h′（x）存在零点．（1）求a的值；（2）判断方程f（x）+2=g（x）根的个数并说明理由；（3）设点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函数y=g（x）图象上的两点，平行于AB 的切线以P（x0，y0）为切点，求证：x1＜x0＜x2．考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．专题：计算题；综合题．分析：（1）因为h′（x）存在零点，所以h′（x）=0有解，又因为h（x）没有极值点，所以在h′（x）=0的解的两侧函数的导数符号相同，所以对于方程h′（x）=0，满足△=0，就可求出a的值．（2）方程f（x）+2=g（x）可变形为，把方程的左右两边都看做是函数解析式，则只需在同一坐标系中作出这两个函数的图象，图象有几个交点，则方程f（x）+2=g（x）有几个不相等的实数根．（3）因为以P（x0，y0）为切点的切线平行于直线AB，所以切线斜率等于直线AB的斜率，即，就可把x0用A，B点的横坐标x1，x2表示，令，则，利用导数判断函数y=t﹣1﹣lnt的单调性，就可得到x1＜x0＜x2．解答：解：（1）依题意，∵h（x）无极值，h′（x）存在零点∴x2lna﹣2xlna+1=0的△=0，即4（lna）2﹣4lna=0，解得a=e或1，∵g（x）=log a x，∴a≠1，∴所求的a的值为e．（2）方程f（x）+2=g（x）可变形为在同一坐标系中作出函数和函数y=lnx的图象，如右图，观察图象，有两个交点，∴方程f（x）+2=g（x）有两个不相等的实数根．（3）由已知，所以=设得：（t＞1）．构造函数y=t﹣1﹣lnt当t≥1时，，所以函数y=t﹣1﹣lnt在当t≥1时是增函数所以t＞1时，t﹣1﹣lnt＞0，所以x0﹣x1＞0得x0＞x1成同理可得x0＜x2成立，所以x1＜x0＜x2点评：本题主要考查函数极值与导数的关系，以及图象法判断方程解的个数，以及借助导数判断函数单调性的应用，属于综合题．19．已知k为给定正整数，数列{a n}满足a1=3，，其中S n是数列{a n}的前n项和，令b n=．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记T k=，若T k∈Z+，求k的所有可能值．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得{a n}是首项为3，公比为的等比数列，由此能求出（n∈Z+），b n===，由此能求出（n∈Z+）．（2）由已知得，故．由此能求出k的所有可能值只有1．解答：解：（1）∵a1=3，，∴n≥2时，a n=（）S n﹣1+3，∴a n+1﹣a n=，∴a n，∴{a n}是首项为3，公比为的等比数列，∴（n∈Z+），b n=====1+．∴（n∈Z+）．（2），∴当n≤k时，，当n≥k+1时，，故．∵，设k2=t（2k﹣1）（t∈Z+），即k2﹣2tk+t=0有正整数解，∴△=4t2﹣4t=s2（s∈Z+），∴（2t﹣1﹣s）（2t﹣1+s）=1，∴t=1，故k的所有可能值只有1．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的k的所有可能值的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．20．（16分）已知函数f（x）=a﹣blnx（a，b∈R），其图象在x=e处的切线方程为x﹣ey+e=0．函数g（x）=（k＞0），h（x）=．（Ⅰ）求实数a、b的值；（Ⅱ）以函数g（x）图象上一点为圆心，2为半径作圆C，若圆C上存在两个不同的点到原点O的距离为1，求k的取值范围；（Ⅲ）求最大的正整数k，对于任意的p∈（1，+∞），存在实数m、n满足0＜m＜n＜p，使得h（p）=h（m）=g（n）．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）x=e时，y=2，由f′（e）=，f（e）=2可得方程组，解出即可；（Ⅱ）问题即为圆C与以O为圆心1为半径的圆有两个交点，即两圆相交．设，则，即，只需保证该方程组有解即可；（Ⅲ）易知g（n）＞g（p），若h（p）=g（n），则对任意p＞1，有h（p）＞g（p）．当x＞1时，，令，利用导数可求得φ（x）在（1，+∞）上的最小值φ（x0）=x0∈（3，4），从而k≤3．可证明：当k=3时，对0＜x＜1，有h（x）＜g（x）．同时，当x∈（0，+∞）时，．当x∈（0，1）时，h（x）∈R；当x∈（1，+∞）时，h（x）∈（0，+∞）．结合函数的图象可知，结论成立时k的最大值；解答：解：（Ⅰ）当x=e时，y=2，f′（x）=﹣，故，解得．（Ⅱ）问题即为圆C与以O为圆心1为半径的圆有两个交点，即两圆相交．设，则，即，∵，∴，∴必定有解；∵，∴，故有解，须，又k＞0，从而．（Ⅲ）显然在区间（1，+∞）上为减函数，于是g（n）＞g（p），若h（p）=g（n），则对任意p＞1，有h（p）＞g（p）．当x＞1时，，令，则．令ϕ（x）=x﹣2﹣lnx（x＞1），则，故ϕ（x）在（1，+∞）上为增函数，又ϕ（3）=1﹣ln3＜0，ϕ（4）=2﹣ln4＞0，因此存在唯一正实数x0∈（3，4），使ϕ（x0）=x0﹣2﹣lnx0=0．故当x∈（1，x0）时，φ′（x）＜0，φ（x）为减函数；当x∈（x0，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）为增函数，因此φ（x）在（1，+∞）上有最小值，又x0﹣2﹣lnx0=0，化简得φ（x0）=x0∈（3，4），∴k≤3．下面证明：当k=3时，对0＜x＜1，有h（x）＜g（x）．当0＜x＜1时，h（x）＜g（x）⇔3﹣2x+xlnx＞0．令ψ（x）=3﹣2x+xlnx（0＜x＜1），则ψ′（x）=lnx﹣1＜0，故ψ（x）在（0，1）上为减函数，于是ψ（x）＞ψ（1）=1＞0．同时，当x∈（0，+∞）时，．当x∈（0，1）时，h（x）∈R；当x∈（1，+∞）时，h（x）∈（0，+∞）．结合函数的图象可知，对任意的正数p，存在实数m、n满足0＜m＜n＜p，使得h（p）=h （m）=g（n）．综上所述，正整数k的最大值为3．点评：本题考查导数的几何意义、圆与圆的位置关系、导数的综合运用，该题综合性强，能力要求高．三、周日附加题卷（7）21．选修4﹣2：矩阵与变换已知圆C：x2+y2=1在矩阵（a＞0，b＞0）对应的变换作用下变为椭圆=1，求a，b的值．考点：几种特殊的矩阵变换．专题：计算题．分析：设P（x，y）为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点P'（x'，y'），代入椭圆方程，对照圆的方程即可求出a和b的值．解答：解：设P（x，y）为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点P'（x'，y'），则，即…又因为点P'（x'，y'）在椭圆上，所以．由已知条件可知，x2+y2=1，所以a2=9，b2=4．因为a＞0，b＞0，所以a=3，b=2．…点评：本题主要考查了特殊矩阵的变换，同时考查了计算能力，属于基础题．22．（极坐标与参数方程）已知直线l经过点P（2，1），倾斜角，（Ⅰ）写出直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆O：ρ=2相交于两点A，B，求线段AB的长度．考点：直线的参数方程；直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）设直线l上任意一点为Q（x，y），根据直线的斜率公式与同角三角函数的商数关系，引入参数t可得y﹣1=t且x﹣2=t，由此即可得到直线l的参数方程；（2）将圆O化为直角坐标下的标准方程得x2+y2=4，将l的参数方程代入，化简整理得．再利用一元二次方程根与系数的关系和两点间的距离公式加以计算，可得求线段AB的长度．解答：解：（1）设直线l上任意一点为Q（x，y），∵直线l经过点P（2，1），倾斜角，∴PQ的斜率k==tan=，因此，设y﹣1=tsin=t，x﹣2=tcos=t，可得直线l的参数方程为（t为参数）．（2）圆O的方程为ρ=2，平方得ρ2=4，即x2+y2=4，将直线l的参数方程代入x2+y2=4，整理得．设A（2+t1，1+t1），B（2+t2，1+t2），∴，t 1t2=1，可得线段AB长为：==．点评：本题将直线l的方程化成参数方程，并求直线被圆截得的弦长．着重考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．23．某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x，“实用性”得分为y，统计结果如下表：y作品数量x 实用性1分2分3分4分5分创新性1分13 10 12分10 75 13分21 09 34分1b 60 a5分00 11 3（1）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率；（2）若“实用性”得分的数学期望为，求a、b的值．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．专题：计算题．分析：（1）由题意从表中可以看出，“创新性4分且实用性3分”的作品数量6件，利用古典概型可知创新性4分且实用性3分”的概率值；（2）由题意及图表可知“实用性”得y1分，2分，3分，4分5分，五个等级，且每个等级分别5件，b+4件，15件，15件，a+8件，利用古典概型求出每一个值对应的事件的概率，利用分布列及期望定义即可求得．解答：解：（1）从表中可以看出，“创新性4分且实用性3分”的作品数量6件，∴“创新性4分且实用性3分”的概率．（2）由表可知“实用性”得y1分，2分，3分，4分5分，五个等级，且每个等级分别5件，b+4件，15件，15件，a+8件．∴“实用性”得y的分布列为：y 1 2 3 4 5P又∵“实用性”得分的数学期望，∴+．∵作品数量共50件，a+b=3解a=1，b=2．点评：此题考查了古典概型随机事件的概率公式，离散型随机变量的定义及其分布列，随机变量的期望，还考查了学生的理解与计算能力．24．把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第i行共有2i﹣1个正整数，设a ij（i，j∈N*）表示位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右第j个数．（Ⅰ）若a ij=2013，求i和j的值；（Ⅱ）记A n=a11+a22+a33+…+a nn（n∈N*），求证：当n≥4时，A n＞n2+C．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由数表中前i﹣1行共有1+21+22+…+2i﹣2=2i﹣1﹣1个数，可知第i行的第一个数是2i﹣1，因此，由于210＜2013＜211，a ij=2013，于是i﹣1=10，即可得出i，进而得到j．（Ⅱ）利用（I），可得，利用等差数列和等比数列的前n项和公式可得A n，再利用二项式定理可证明．解答：解：（Ⅰ）∵数表中前i﹣1行共有1+21+22+…+2i﹣2=2i﹣1﹣1个数，则第i行的第一个数是2i﹣1，∴，∵210＜2013＜211，a ij=2013，则i﹣1=10，即i=11．令210+j﹣1=2013，则j=2013﹣210+1=990．（Ⅱ）∵，∴，∴=，当n≥4时，=．∴当n≥4时，A n＞n2+C．点评：本题考查了等差数列与等比数列的前n项和公式、二项式定理等基础知识与基本技能方法，属于难题．。