人教新课标版数学高二-2015版人教数学必修5第二章《数列》习题课(2)

人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。

2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。

3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。

4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。

5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。

6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式【难点】1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。

2、理解递推公式与通项公式的关系。

3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。

4、灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。

5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。

6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。

一、数列的概念与简单表示法1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：(1)数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项，…,第n项，….3.数列的一般形式：aj,az,ag, …,an, …,或简记为{a},其中a。

是数列的第n项4.数列的通项公式：如果数列{a}的第n项a。

与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意： (1)并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④;(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1,0,1,0,1,0, …它的通项公式可以是,也可以是； 1.(3)数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第召项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.5.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的函数an= f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

、选择题:1 .在等差数列｛an ｝中，首项 ai=0,公差 dw 喏 ak=a 〔 + a2+a3+ ••• + a7,则 k=()A. 22B. 23C. 24D. 25【答案】A【解析】•「数列｛a n ｝为等差数列，首项 a i = 0,公差d WQ a k= a [ +(k —i)d=a 〔 + a 2+a 3+…+ a 7= 7a4=21d.解得 k=22.故选 A.2,已知｛a n ｝为等差数列，a i+a 3+a 5= 105, a z+a 4+a 6=99,则 a ?。

等于( )A. - 1B. 1C. 3D. 7【答案】B【解析】 -- ｛a n ｝是等差数歹U, a[+a 3+a 5= 3a 3= 105,a 3= 35,a 2+a 4+a 6= 3a 4 = 99, -^4=33, • - d= a 4—a 3= — 2, a 20= a 4 + 16d= 33 — 32= 1.故选 B.3 .已知｛a n ｝为等差数列，a [+a 3+a 5=9,郎+如十比=15,则a 3+ a 4= ( )A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】 在等差数列｛a n ｝中，a 1+a 3+a 5= 3a 3= 9,，a 3= 3;又 a 2 + a 4+ a 6= 3a 4= 15, a 4= 5, •1- a 3+ a 4= 8.故选 D.4 .已知数列｛a n ｝满足 a 〔=15,且 3a n+〔 = 3a n —2.若 a k a k+1<0,则正整数 k=( )A. 2B. 23C. 2D. 21【答案】B由3a n+1 = 3a n —2得a n+1—a n=—2,所以数列｛a n ｝为首项a 1=15,公差d= —2的等差数 3 3 所以 a n=15-2(n- 1)=- |n + 47,则由 a k a k+1<0得 a k >0, a k+1<0,令 a n = -'2n+47=0 3 3 33 3 所以 a 23>0, a 24<0,所以 k=23,故选 B.5 .设｛a n ｝是公差为正数的等差数列，若 a 1+a 2 + a 3=15，a 1a 2a 3=80,则a n+a 〔2+a 13等于()A. 120B. 105C. 90D. 75【答案】B【解析】a 〔+a z+a 3= 3a 2= 15,a 2 = 5,又: a 1a 2a 3= 80,「• a 〔a 3= 16,即(a 2—d)(a 2 + d)=16, .^>0,，d=3.贝U an+a 12+a 13= 3a l2 = 3(a 2+10d)= 105.故选 B.6 .设数列｛a n ｝, ｛b n ｝都是等差数列，且 a 〔=25, b 1 = 75, a2+b2=100,则 a 37+b 37等于(C )A. 0B. 37C. 10D. - 37【答案】C【解析】•・•数列｛a n ｝, ｛b n ｝都是等差数列，，｛a n+b n ｝也是等差数列. 又「 a i + b i = 100, a 2+b 2 = 100,・・・｛a n+b n ｝的公差为0, •♦.数列｛a n+b n ｝的第37项为100.故选C.7 .下列命题中正确的个数是 ( )(1)若a, b, c 成等差数列，则a 2, b 2, C 2一定成等差数列；(2)若a, b, c 成等差数列，则2a ,2b,2c 可能成等差数列；(3)若a, b, c 成等差数列，则 ka+2, kb+2, kc+2一定成等差数列；(4)若a, b, c 成等差数列，则♦可能成等差数列.a b cA. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B列,/曰 47得n = ~【解析】对于(1)取a=1, b=2, c=3?a2=1, b2= 4, c2=9, (1)错.对于(2), a=b=c? 2a=2b=2c, (2)正确；对于(3), .a, b, c 成等差数列，.•-a+c= 2b.・. (ka+ 2)+ (kc+2)= k(a+c) +4= 2(kb+2), (3)正确;,一 1 1 1对于(4), a=b=cw? a=b=c, (4)正确，综上选B.点评；等差数列的性质；(1)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项等距离”的两项之和等于首项与末项的和.艮口a1 + a n=a?+ a n 1 =a3 + a n 2=(2)若｛a n｝、｛b n(3)｛a n｝的公差为则n为递增数列；n为递减数列；n｝为常数列.8.设｛a n｝是等差数列.下列结论中正确的是(C )A,若a1 + a2>0,则az + a3>0 B.若a1 + a3< 0,则a[+a2V0C.若0va1〈a2,则a2>\f a i a3D.若a1< 0,则(a2 —a1)(a2—a3)>0【答案】C【解析】先分析四个答案，A举一反例a1 = 2, a2=—1,则a3=—4, a1 + a2>0,而a2+a3<0, A 错误；B举同样反例a[=2, a2=- 1, a3=- 4, a[ + a3<0,而a〔 + a2>0, B错误；下面针对C进行研究，｛a n｝是等差数列，若0<a1<a2,则4>0,设公差为d,则d>0 ,数列各项均为正，由于a2—a1a3= (a1 + d)2—a〔(a〔 + 2d) = a2+2a〔d + d2—a2 —2a1d= d2>0,则a2>a〔a3? a2>V0面，选C -二、填空题：9.等差数列{a n}中，已知a2+a3+a〔0+ a〔1=36,则a s+a8 =【答案】18【解析】解法1：根据题意，有(a[ + d)+(a[ + 2d)+(a[ + 9d) + (a〔+ 10d)= 36, ・•・4a1+22d= 36,则2a l+ 11d = 18.a5+ a8= (a〔+ 4d) + (a[ + 7d) = 2a〔 + 11d = 18.解法2：根据等差数列性质，可得a s+a8= a3+a[o= a2+a[i= 36+2 = 18.10.已知等差数列｛a n｝中，a3、a15是方程x2—6x—1 = 0的两根，则a7+a g+a§+a〔o +a〔1=【答案】15【解析】.a3+a15=6,又a7 + a11 = a8 + a1o = 2a9= 23+ a15,1 . 5• ・a7 + a8+ a9+ a1o+ a11 = (2 + 2)( a3+ a15)= 2 ><6= 15.a2 —a111.若x守，两个数列x, a1, a2, a3, y和x, b1，b2, b3, b4, y都是等差数列，则 =.y=x+4d〔，4d1 = y—x, 【解析】设两个等差数列的公差分别为d1，d2,由已知，得｛即4|y=x+5d2, 15d2=y—x,解得电=5,即翌二詈=d1 = 5.d2 4 b3—b2 d2 412.已知△ ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列，则4 ABC的面积为 . 【答案】15 3.a2+ a-4 2—a+4 2 1 【解析】设^ ABC 的二边长为a- 4, a, a+4(a>4),则---------- ；----- ] ------- =-2a a 2 解得a= 10,三边长分别为6,10,14.所以S△ABC =；><6 M0 R2^= 15V3.三、解答题13.已知等差数列｛a n｝的公差d>0,且a3a7=-12, a4+a6= —4,求｛a n｝的通项公式. 【答案】2n—12. 【解析】由等差数列的性质，得a3+a7=a4+a6=-4,又< a3a7=—12,a3、a7是方程x2+4x—12 = 0 的两根.又< d>0, a3= —6, a7=2.''' a7 — a3 = 4d = 8,d=2.，a n=a3+(n — 3)d = — 6+2(n — 3) = 2n — 12.14.四个数成等差数列，其平方和为94,第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18,求此四个数.【答案】见解析【解析】设四个数为a-3d, a- d, a+d, a+3d,据题意得，(a- 3d)2 + (a — d)2+ (a+ d)2 + (a+3d)2= 94? 2a2 + 10d2= 47.①又(a—3d)(a+3d)= (a—d)(a+d)—18? 8d2=18? d=卷代入①得a=,，故所求四数为-1 或1 ) — 2 ) — 5, — 8 或一1,2,5,8 或一8, — 5, — 2 , 1.15.设数列｛a n｝是等差数列，b n=(1)a n 又b1+b2+ b3=21, b1b2b3 = ；,求通项a n. 2 8 8【答案】见解析【解析】「b1b2b3=1,又b n= Ja n，♦• 4)a1 J)a2 [同二. 8 2 2 2 2 8「•(2)a I+ a2+ a3= 8, •1- a1 + a2+ a3=3 ,又｛a n｝成等差数列，a2= 1 , a1 + a3 = 2 , ' ' b1b3 =3i, b〔+b3 = W，4 8a n= 2n — 3 或a n= — 2n+ 5. 8,5,2,b= 21 [b3=8a1= — 1a3= 3a1 = 3或|a3= - h=2,即・。

第二章 数列一、选择题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若63S S ＝13，则126S S ＝( )．A ．310B ．13C ．18D ．192．数列{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( )． A ．a 3＋a 9＜b 4＋b 10B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小不确定3．在等差数列{a n }中，若a 1 003＋a 1 004＋a 1 005＋a 1 006＝18，则该数列的前2 008项的和为( )． A ．18 072B ．3 012C ．9 036D ．12 0484．△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列， ∠B ＝30°，△ABC 的面积为23，那么b ＝( )． A ．231+ B ．1＋3C ．232+ D ．2＋35．过圆x 2＋y 2＝10x 内一点(5，3)有k 条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列的首项a 1，最大弦长为数列的末项a k ，若公差d ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2131 ，，则k 的取值不可能是( )． A ．4B ．5C ．6D ．76．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )． A ．15B ．30C ．31D ．647．在等差数列{a n }中，3(a 2＋a 6)＋2(a 5＋a 10＋a 15)＝24，则此数列前13项之和为( )． A ．26B ．13C ．52D ．1568．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( )． A ．160B ．180C ．200D ．2209．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( )． A ．2n ＋1－2B ．3nC ．2nD ．3n －110．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝41，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )． A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C ．332(1－4－n )D ．332(1－2－n ) 二、填空题11．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n +1，S n ，S n +2成等差数列，则q 的值为 .12．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q ＝_____.13．已知数列{a n }中，a n ＝ 1221－n n 则a 9＝ (用数字作答)，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9＝ (用数字作答).14．已知等比数列{a n }的前10项和为32，前20项和为56，则它的前30项和为 ． 15．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＝8，a 4＋a 5＋a 6＝－4，则a 13＋a 14＋a 15＝ ，该数列的前15项的和S 15＝ .16．等比数列{a n }的公比q ＞0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝ ．三、解答题17．设数列{a n }是公差不为零的等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，且21S ＝9S 2，S 4＝4S 2，求数列{a n }的通项公式．(n 为正奇数)(n 为正偶数)18．设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)证明a 1＝d ；(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式.19．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1，a 2，a 4成等比数列．已知数列a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n a k ，…也成等比数列，求数列{k n }的通项k n ．20．在数列{a n }中，S n ＋1＝4a n ＋2，a 1＝1． (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，求证数列{b n }是等比数列； (2)设c n ＝n na 2，求证数列{c n }是等差数列； (3)求数列{a n }的通项公式及前n 项和的公式.参考答案一、选择题 1．A解析：由等差数列的求和公式可得63S S ＝da da 1563311＋＋＝31，可得a 1＝2d 且d ≠0所以126S S ＝d a da 661215611＋＋＝d d 9027＝103． 2．B解析：解法1：设等比数列{a n }的公比为q ，等差数列{b n }的公差为d ，由a 6＝b 7，即a 1q 5＝b 7． ∵ b 4＋b 10＝2b 7，∴ (a 3＋a 9)－(b 4＋b 10)＝(a 1q 2＋a 1q 8)－2b 7 ＝(a 1q 2＋a 1q 8)－2a 1q 5 ＝a 1q 2(q 6－2q 3＋1) ＝a 1q 2(q 3－1)2≥0． ∴ a 3＋a 9≥b 4＋b 10． 解法2：∵ a 3·a 9＝a 26，b 4＋b 10＝2b 7，∴ a 3＋a 9－(b 4＋b 10)＝a 3＋a 9－2b 7．又a 3＋a 9－293a a ⋅＝(3a －9a )2≥0， ∴ a 3＋a 9≥293 a a ·．∵ a 3＋a 9－2b 7≥293a a ⋅－2b 7＝2a 6－2a 6＝0， ∴ a 3＋a 9≥b 4＋b 10． 3．C解析：∵ a 1＋a 2 008＝a 1 003＋a 1 006＝a 1 004＋a 1 005， 而a 1 003＋a 1 004＋a 1 005＋a 1 006＝18，a 1＋a 2 008＝9， ∴ S 2 008＝21(a 1＋a 2 008)×2 008＝9 036，故选C ． 4．B解析：∵ a ，b ，c 成等差数列，∴ 2b ＝a ＋c ， 又S △ABC ＝21ac sin 30°＝23，∴ ac ＝6， ∴ 4b 2＝a 2＋c 2＋12，a 2＋c 2＝4b 2－12， 又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30°＝4b 2－12－63， ∴ 3b 2＝12＋63，b 2＝4＋23＝(1＋3)2． ∴ b ＝3＋1．5．A解析：题中所给圆是以(5，0)为圆心，5为半径的圆，则可求过(5，3)的最小弦长为8，最大弦长为10，∴ a k －a 1＝2，即(k －1)d ＝2，k ＝d2＋1∈[5，7]， ∴ k ≠4． 6．A解析：∵ a 7＋a 9＝a 4＋a 12＝16，a 4＝1，∴ a 12＝15． 7．A解析：∵ a 2＋a 6＝2a 4，a 5＋a 10＋a 15＝3a 10， ∴ 6a 4＋6a 10＝24，即a 4＋a 10＝4， ∴ S 13＝2＋13131)(a a ＝2＋13104)(a a ＝26．8．B解析：∵ ⎩⎨⎧78＝＋＋24＝－＋＋209118321a a a a a a∴ (a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18)＝54， 即3(a 1＋a 20)＝54， ∴ a 1＋a 20＝18， ∴ S 20＝2＋20201)(a a ＝180． 9．C解析： 因数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1．因数列{a n ＋1}也是等比数列， 则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒21＋n a ＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒(q －1)2＝0⇒q ＝1．由a 1＝2得a n ＝2，所以S n ＝2n ． 10．C解析：依题意a 2＝a 1q ＝2，a 5＝a 1q 4＝41，两式相除可求得q ＝21，a 1＝4，又因为数列{a n }是等比数列，所以{a n ·a n ＋1}是以a 1a 2为首项，q 2为公比的等比数列，根据等比数列前n 项和公式可得222111q q a a n －)－(＝332(1－4－n )．二、填空题11．－2．解析：当q ＝1时，S n +1＋S n +2＝(2n ＋3)a 1≠2na 1＝2S n ，∴ q ≠1． 由题意2S n ＝S n +1＋S n +2⇒S n +2－S n ＝S n －S n +1， 即－a n +1＝a n +2＋a n +1，a n +2＝－2a n +1，故q ＝－2． 12．1．解析：方法一 ∵ S n －S n －1＝a n ，又S n 为等差数列，∴ a n 为定值． ∴ {a n }为常数列，q ＝1-n n a a ＝1．方法二：a n 为等比数列，设a n ＝a 1q n －1，且S n 为等差数列，∴ 2S 2＝S 1＋S 3，2a 1q ＋2a 1＝2a 1＋a 1＋a 1q ＋a 1q 2，q 2－q ＝0， q ＝0(舍)q ＝1. 所以答案为1． 13．256，377． 解析：a 9＝28＝256，S 9＝(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)＋(a 2＋a 4＋a 6＋a 8) ＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15) ＝341＋36 ＝377． 14．74．解析：由{a n }是等比数列，S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10，S 20－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 20＝q 10S 10，S 30－S 20＝a 21＋a 22＋…＋a 30＝q 20S 10，即S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等比数列，得(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，得(56－32)2＝32(S 30－56)，∴ S 30＝3232－562)(＋56＝74．15．21，211．解析：将a 1＋a 2＋a 3＝8， ① a 4＋a 5＋a 6＝－4．②两式相除得q 3＝－21， ∴ a 13＋a 14＋a 15＝(a 1＋a 2＋a 3) q 12＝8·421－⎪⎭⎫ ⎝⎛＝21，S 15＝21＋121－－185⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛＝211．16．152．解析：由a n +2＋a n +1＝6a n 得q n +1＋q n ＝6q n －1，即q 2＋q －6＝0，q ＞0，解得q ＝2，又a 2＝1，所以a 1＝21，S 4＝2121214－)－(＝152．三、解答题17．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由前n 项和的概念及已知条件得a 21＝9(2a 1＋d )，① 4a 1＋6d ＝4(2a 1＋d )．②由②得d ＝2a 1，代入①有21a ＝36a 1，解得a 1＝0或a 1＝36． 将a 1＝0舍去． 因此a 1＝36，d ＝72，故数列{a n }的通项公式a n ＝36＋(n －1)·72＝72n －36＝36(2n －1)．18．解析：(1)证明：因a 1，a 2，a 4成等比数列，故22a ＝a 1a 4，而{a n }是等差数列，有a 2＝a 1＋d ，a 4＝a 1＋3d ，于是(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即21a ＋2a 1d ＋d 2＝21a ＋3a 1d ． d ≠0，化简得a 1＝d ．(2)由条件S 10＝110和S 10＝10a 1＋d 2910 ，得到10a 1＋45d ＝110， 由(1)，a 1＝d ，代入上式得55d ＝110，故d ＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ． 因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ＝1，2，3，…)．19．解析；由题意得22a ＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，d (d －a 1)＝0， 又d ≠0，∴ a 1＝d ．又a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n a k ，…，成等比数列， ∴ 该数列的公比为q ＝13a a ＝dd3＝3， ∴ n a k ＝a 1·3n +1． 又n a k ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n a 1， ∴ k n ＝3n +1为数列{k n }的通项公式． 20．解析：(1)由a 1＝1，及S n ＋1＝4a n ＋2，有a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5，∴ b 1＝a 2－2a 1＝3． 由S n ＋1＝4a n ＋2 ①，则当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2． ② ②－①得a n ＋1＝4a n －4a n －1，∴ a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)．又∵ b n ＝a n ＋1－2a n ，∴ b n ＝2b n －1．∴ {b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． ∴ b n ＝3×2 n －1．(2)∵ c n ＝n n a 2，∴ c n ＋1－c n ＝112++n n a －n n a 2＝1122++-n n n a a ＝12+n nb ＝11223+-⨯n n ＝43，c 1＝21a ＝21，∴ {c n }是以21为首项，43为公差的等差数列．(3)由(2)可知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧nn a 2是首项为21，公差为43的等差数列． ∴nn a 2＝21＋(n －1)43＝43n －41，a n ＝(3n －1)·2n －2是数列{a n }的通项公式． 设S n ＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n －1)·2n －2． S n ＝2S n －S n＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n －2)＋(3n －1)·2n－1＝－1－3×12121－－－n ＋(3n －1)·2n －1＝－1＋3＋(3n －4)·2n －1 ＝2＋(3n －4)·2n －1．∴ 数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝2＋(3n －4)·2n －1．。

习题课 数列求和1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式.2.掌握数列求和的几种基本方法．1．基本求和公式(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2)等比数列前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .2．数列{a n }的a n 与S n 的关系数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.3．拆项成差求和经常用到下列拆项公式 (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)． (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .要点一 分组分解求和例1 求和：S n ＝(x ＋1x )2＋(x 2＋1x 2)2＋…＋(x n ＋1x n )2.解 当x ≠±1时，S n ＝(x ＋1x )2＋(x 2＋1x 2)2＋…＋(x n ＋1x n )2＝(x 2＋2＋1x 2)＋(x 4＋2＋1x 4)＋…＋(x 2n ＋2＋1x 2n )＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n )＋2n ＋(1x 2＋1x 4＋…＋1x 2n )＝x 2(x 2n －1)x 2－1＋x －2(1－x －2n )1－x －2＋2n＝(x 2n －1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n ；当x ＝±1时，S n ＝4n .综上知，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧4n ，x ＝±1，(x 2n－1)(x 2n ＋2＋1)x 2n(x 2－1)＋2n ，x ≠±1.规律方法 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．跟踪演练1 求数列{a n }：1,1＋a,1＋a ＋a 2，…，1＋a ＋a 2＋…＋a n －1，…的前n 项和S n (其中a ≠0)．解 当a ＝1时，则a n ＝n ，于是S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当a ≠1时，a n ＝1－a n 1－a ＝11－a (1－a n )．∴S n ＝11－a ＝11－a ＝n1－a －a (1－a n )(1－a )2.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，a ＝1，n1－a －a (1－a n )(1－a )2，a ≠1.要点二 错位相减法求和例2 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝6，a 1＋a 2＋…＋a 8＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得a 1＝3，d ＝－1，故a n ＝3－(n －1)＝4－n . (2)由(1)知，b n ＝n ·q n －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1， 若q ≠1，上式两边同乘以q .qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n ，两式相减得：(1－q )S n ＝1＋q 1＋q 2＋…＋q n －1－n ·q n ＝1－q n 1－q－n ·q n . ∴S n ＝1－q n(1－q )2－n ·q n 1－q＝n ·qn ＋1－(n ＋1)q n ＋1(1－q )2.若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (q ＝1)，nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(1－q )2(q ≠1).规律方法 用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和．跟踪演练2 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .解 (1)∵a n ＋1＝2S n ，∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝2S n ， ∴S n ＋1＝3S n .又∵S 1＝a 1＝1，∴数列{S n }是首项为1，公比为3的等比数列．∴S n ＝3n －1(n ∈N ＋)． 当n ≥2时，a n ＝2S n －1＝2·3n －2，且a 1＝1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2.(2)T n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ， 当n ＝1时，T 1＝1；当n ≥2时，T n ＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n ·3n －2， ① ∴3T n ＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n ·3n －1，②①－②得－2T n ＝2＋2(31＋32＋…＋3n －2)－2n ·3n －1 ＝2＋2·3(1－3n －2)1－3－2n ·3n －1＝－1＋(1－2n )·3n －1，∴T n ＝12＋(n －12)3n －1(n ≥2)，又∵T 1＝a 1＝1也满足上式， ∴T n ＝12＋(n －12)3n －1(n ∈N ＋)．要点三 裂项相消求和例3 求和：122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1，n ≥2.解 ∵1n 2－1＝1(n －1)(n ＋1)＝12(1n －1－1n ＋1)， ∴原式＝12＝12(1＋12－1n －1n ＋1)＝34－2n ＋12n (n ＋1). 规律方法 如果数列的通项公式可转化为f (n ＋1)－f (n )的形式，常采用裂项求和法． 跟踪演练3 求和：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n .解 ∵a n ＝11＋2＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)，∴S n ＝2(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝2nn ＋1.要点四 奇偶并项求和例4 求和：S n ＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n (2n －1)．解 当n 为奇数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋＋(－2n ＋1) ＝2·n －12＋(－2n ＋1)＝－n .当n 为偶数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋＝2·n2＝n .∴S n ＝(－1)n ·n (n ∈N ＋)．跟踪演练4 已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n ·(3n －2)，…，求其前n 项和S n . 解 n 为偶数时，令n ＝2k (k ∈N ＋)， S n ＝S 2k ＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)2k (6k －2) ＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋ ＝3k ＝32n ；当n 为奇数时，令n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)． S n ＝S 2k ＋1＝S 2k ＋a 2k ＋1＝3k －(6k ＋1)＝－3n ＋12.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋12(n 为奇数)，3n 2 (n 为偶数).1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1 B.56 C.16 D.130答案 B解析 ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 5＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(15－16)＝1－16＝56.2．数列112，214，318，4116，…的前n 项和为( )A.12(n 2＋n ＋2)－12n B.12n (n ＋1)＋1－12n －1 C.12(n 2－n ＋2)－12n D.12n (n ＋1)＋2(1－12n ) 答案 A解析 112＋214＋318＋…＋(n ＋12n )＝(1＋2＋…＋n )＋(12＋14＋…＋12n )＝n (n ＋1)2＋12(1－12n )1－12＝12(n 2＋n )＋1－12n ＝12(n 2＋n ＋2)－12n .3．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为( )A ．11B ．99C ．120D ．121 答案 C 解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.4．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________.答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝23a 1＋13，解得a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(23a n ＋13)－(23a n －1＋13)＝23a n －23a n －1，整理可得13a n ＝－23a n －1，即a na n －1＝－2，故数列{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列， 故a n ＝(－2)n －1.求数列前n 项和，一般有下列几种方法．1．错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 2．分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．3．拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．4．奇偶并项：当数列通项中出现(－1)n 或(－1)n ＋1时，常常需要对n 取值的奇偶性进行分类讨论．5．倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导方法．一、基础达标1．数列12·5，15·8，18·11，…，1(3n －1)·(3n ＋2)，…的前n 项和为( )A.n 3n ＋2B.n 6n ＋4C.3n 6n ＋4D.n ＋1n ＋2答案 B解析 由数列通项公式，得1(3n －1)·(3n ＋2)＝13(13n －1－13n ＋2)，所以S n ＝13(12－15＋15－18＋18－111＋…＋13n －1－13n ＋2)＝13(12－13n ＋2)＝n6n ＋4.2．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn 所确定的数列{b n }的前n 项之和是( ) A ．n (n ＋2) B.12n (n ＋4) C.12n (n ＋5) D.12n (n ＋7) 答案 C解析 a 1＋a 2＋…＋a n ＝n2(2n ＋4)＝n 2＋2n .∴b n ＝n ＋2，∴b n 的前n 项和S n ＝n (n ＋5)2.3．在数列{a n }中，已知S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是( ) A ．13 B ．－76 C ．46 D ．76答案 B解析 S 15＝－4×7＋a 15＝－28＋57＝29，S 22＝－4×11＝－44，S 31＝－4×15＋a 31＝－4×15＋121＝61，S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76.故选B.4．已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n－1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N ＋)，则以下结论一定正确的是( )A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 答案 C解析 ∵b n ＝a m (n －1)(q ＋q 2＋…＋q m )，∴b n ＋1b n ＝a nm (q ＋q 2＋…＋q m )a m (n －1)(q ＋q 2＋…＋q m )＝a nm a m (n －1)＝q m (常数)． ∴{b n }是等比数列，公比为q m . 又∵c n ＝(a m (n －1))m q1＋2＋…＋m＝(a m (n －1)21+m q)m∴c n ＋1c n ＝(a mn a m (n －1))m ＝(q m )m ＝2m q (常数)． ∴{c n }是等比数列，公比为2m q .5．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 50＝________. 答案 －25解析 S 50＝1－2＋3－4＋…＋49－50＝(－1)×25＝－25. 6．数列11,103,1 005,10 007，…的前n 项和S n ＝________. 答案109(10n－1)＋n 2 解析 数列的通项公式a n ＝10n ＋(2n －1)．所以S n ＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n ＋2n －1)＝(10＋102＋…＋10n )＋＝10(1－10n )1－10＋n (1＋2n －1)2＝109(10n －1)＋n 2. 7．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }公差为d .因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .所以，a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n . (2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14(1n －1n ＋1)，所以T n ＝14(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14(1－1n ＋1)＝n4(n ＋1)， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).8．已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n . 解 (1)∵{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列，∴a n ＝19－2(n －1)＝21－2n ， S n ＝19n ＋12n (n －1)×(－2)＝20n －n 2.(2)由题意得b n －a n ＝3n －1，即b n ＝a n ＋3n －1， ∴b n ＝3n －1－2n ＋21， T n ＝S n＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n －12. 二、能力提升9．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A.n 24＋7n 4 B.n 23＋5n 3 C.n 22＋3n 4 D ．n 2＋n答案 A解析 由题意设等差数列公差为d ，则a 1＝2，a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .又∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得2d 2－d ＝0.∵d ≠0，∴d ＝12，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 24＋74n .10．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后相邻两项之和，则这个数列的前2 014项之和S 2 014等于( ) A ．2 008 B ．2 010 C ．1 D ． 0答案 B解析 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)， ∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009. 由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0. ∵2 014＝6×335＋4，∴S 2 014＝S 4 ＝2 008＋2 009＋1＋(－2 008)＝2 010.11．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝______.答案 2n －12解析 ∵{a n }为等比数列，且a 1＝12，a 4＝－4，∴q 3＝a 4a 1＝－8，∴q ＝－2，∴a n ＝12(－2)n －1，∴|a n |＝2n －2，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1－2n )1－2＝2n －12.12．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.而a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1，①从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1. ② ①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，即S n ＝19． 三、探究与创新13．已知数列{a n }的首项a 1＝5，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N ＋.(1)证明数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式以及S n .(1)证明 由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N ＋，可得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4， 两式相减得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＝2a n ＋1，从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， 当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，所以a 2＋a 1＝2a 1＋6，又a 1＝5，所以a 2＝11，从而a 2＋1＝2(a 1＋1)，故总有a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ∈N ＋，又a 1＝5，a 1＋1＝6≠0，则a n ＋1≠0，从而a n ＋1＋1a n ＋1＝2， 所以数列{a n ＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．(2)解 由(1)得a n ＋1＝6·2n －1，所以a n ＝6·2n －1－1，于是S n ＝6·(1－2n )1－2－n ＝6·2n －n －6.。

第二章 习题课2 简单的递推数列及应用自主学习知识梳理在实际考查中常常涉及求一些简单的递推数列的通项公式问题． 1．累加法：a n ＋1＝a n ＋f (n ) (f (n )可求和) a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝a 1＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)2．累乘法：a n ＋1＝a n ·f (n ) (f (n )为含n 的代数式) a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a 1·f (1)·f (2)·…·f (n －1)3．转化法：a n ＋1＝pa n ＋q (pq ≠0，p ≠1)方法一 设a n ＋1－x ＝p (a n －x )，则a n ＋1＝pa n ＋(1－p )x ∴(1－p )x ＝q ，∴x ＝q 1－p .∴a n －q 1－p ＝⎝⎛⎭⎫a 1－q 1－p ·p n －1∴a n ＝⎝⎛⎭⎫a 1－q 1－p p n －1＋q 1－p.方法二 ∵a n ＋1＝pa n ＋q ，∴a n ＝pa n －1＋q∴a n ＋1－a n ＝p (a n －a n －1)＝…＝p n －1(a 2－a 1)转化为迭加法求解． 4．S n 与a n 的混合关系式有两个思路： (1)消去S n ，转化为a n 的递推关系式，再求a n ；(2)消去a n ，转化为S n 的递推关系式，求出S n 后，再求a n . 自主探究1．试写出用累加法推导等差数列通项公式的过程．2．试写出用累乘法推导等比数列通项公式的过程．对点讲练知识点一累加法与累乘法求通项例1已知：a1＝2，a n＋1＝a n＋(2n＋1)，求a n. 变式训练1已知：a1＝1，a n＋1＝2n·a n，求a n.知识点二化为基本数列求通项例2已知：a1＝1，a n＋1＝2a n＋3，求a n.变式训练2 设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝53，a n ＋2＝53a n ＋1－23a n (n ＝1,2，…)．令b n ＝a n＋1－a n .(1)求证：数列{b n }是等比数列，并求b n ； (2)求数列{a n }的通项公式．知识点三 已知a n 与S n 的混合关系式，求a n .例3 已知{a n }是各项为正的数列，且S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n .求a n 与S n .变式训练3 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的n ∈N *，都有S n ＝2a n －3n . (1)求数列{a n }的首项a 1及递推关系式a n ＋1＝f (a n )； (2)求通项公式a n .1．近几年高考常以递推公式为依托，设计出一些新颖灵活、难度适中、富有时代气息的试题．在学习时对递推公式及其应用应给予适当的重视．2．递推公式是表示数列的一种重要方法．由一些简单的递推公式可以求得数列的通项公式．本课时主要学习了累加法、累乘法以及化归为等差数列或等比数列的基本方法.课时作业一、选择题1．数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋n ，且a 1＝1，则a 5的值为( ) A ．9B ．10C ．11D ．122．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于( )A ．13B ．10C ．9D ．63．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1，则a n 的表达式为( ) A ．3n －2B ．n 2－2n ＋2C ．3n －1D ．4n －34．数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，则a 11的值为( )A ．1B.12C.13D.145．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1－a n －2 (n ≥3)．那么S 2 011的值是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4题 号 1 2 3 4 5 答 案6．数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝a 2n ＋(－1)n ＋1(n ∈N *)，则a 4a 2＝________. 7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝n n ＋1a n，则a n ＝________.8．在数列{a n }中，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，对所有正整数n 都成立，且a 7＝12，则a 5＝______.三、解答题9．已知S n ＝4－a n －12n －2，求a n 与S n .10．某地区位于沙漠边缘，人与沙漠进行长期不懈的斗争，到2002年底全地区的绿化率已达到30%，从2003年开始，每年将出现以下变化：原有沙漠面积的16%将栽上树，改造为绿洲，同时，原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠．(1)设全区面积为1,2002年底绿洲面积为a 1＝310，经过1年(指2003年底)绿洲面积为a 2，经过n 年绿洲面积为a n ＋1，求证：数列{a n －45}为等比数列；(2)问：至少经过多少年的努力才能使全区的绿洲面积超过60%(年数取正整数)．习题课2 简单的递推数列及应用自主探究1．解 ∵a n ＋1－a n ＝d∴⎭⎪⎬⎪⎫a 2－a 1＝da 3－a 2＝d … …a n－a n －1＝d n －1个式子相加得： a n －a 1＝(n －1)d ，∴a n ＝a 1＋(n －1)d . 或a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝a 1＋(n －1)d .2．解 ∵a n ＋1a n＝q (q ≠0)，∴⎭⎪⎬⎪⎫a 2a 1＝q a3a2＝q ……a n an －1＝qn －1个式子相乘得： a n a 1＝q n －1，∴a n ＝a 1q n －1或a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a 1q n －1. 对点讲练例1 解 a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋3＋5＋…＋(2n －1)＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＋1＝n 2＋1. 变式训练1 解 a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·21·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n (n －1)2. 例2 解 方法一 ∵a 1＝1，a 2＝5，a 2－a 1＝4. a n ＋1－a n ＝2(a n －a n －1)＝2n －1(a 2－a 1)＝2n ＋1 ∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋22＋23＋…＋2n ＝21＋22＋…＋2n －1 ＝2n ＋1－3.方法二 设a n ＋1－x ＝2(a n －x )，则a n ＋1＝2a n －x . ∴x ＝－3，a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．∴a n ＋3＝(a 1＋3)·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3.变式训练2 (1)证明 ∵b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫53a n ＋1－23a n －a n ＋1＝23(a n ＋1－a n )＝23b n ∴b n ＋1b n ＝23(n ＝1,2,3，…) ∴{b n }是等比数列，公比q ＝23，首项b 1＝a 2－a 1＝23.∴b n ＝⎝⎛⎭⎫23n.(2)解 a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫23n .∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋b 1＋b 2＋…＋b n －1 ＝1＋⎝⎛⎭⎫23＋⎝⎛⎭⎫232＋…＋⎝⎛⎭⎫23n －1 ＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n . 例3 解 ∵S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ，∴2S n ＝a n ＋1a n ， ∴2S n ＝S n －S n －1＋1S n －S n －1，∴S n ＋S n －1＝1S n －S n －1，∴S 2n －S 2n －1＝1，∴{S 2n }是一个等差数列，公差为1，首项为S 21，易求得S 21＝1.∴S 2n ＝1＋(n －1)×1＝n .∴S n ＝n ， ∴a n ＝n －n －1.变式训练3 解 (1)a 1＝S 1＝2a 1－3，∴a 1＝3. ∵S n ＝2a n －3n ，∴S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)． ∴S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n －3.∴a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －3，∴a n ＋1＝2a n ＋3. (2)∵a n ＋1＝2a n ＋3，∴a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)． ∴{a n ＋3}是等比数列，公比为2，首项为a 1＋3＝6. ∴a n ＋3＝(a 1＋3)·2n －1＝6·2n －1＝3·2n ， ∴a n ＝3·2n －3. 课时作业1．C [a 5＝a 4＋4＝a 3＋3＋4＝a 2＋2＋3＋4 ＝a 1＋1＋2＋3＋4＝11.] 2．D [∵a n ＝2n －12n ＝1－12n ，∴S n ＝n －⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＝n －1＋12n ， 又∵S n ＝32164＝5＋164，∴n －1＋12n ＝5＋164，∴n ＝6.]3．B [a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝1＋(n －1)2＝n 2－2n ＋2.]4．B [设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋1的公差为d ，则1a 7＋1＝1a 3＋1＋4d ， ∴12＝13＋4d ，d ＝124，1a 11＋1＝1a 7＋1＋4d ， ∴1a 11＋1＝12＋16＝23，∴a 11＋1＝32，∴a 11＝12.]5．A [∵a n ＋1＝a n －a n －1＝(a n －1－a n －2)－a n －1， ∴a n ＋1＝－a n －2，∴a n ＋3＝－a n . ∴a n ＋6＝－a n ＋3＝－(－a n )＝a n . ∴{a n }是周期数列且T ＝6. ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 4)＋(a 2＋a 5)＋(a 3＋a 6)＝0，∴S 2 010＝0，∴S 2 011＝S 2 010＋a 2 011＝a 2 011＝a 1＝1.] 6.1312解析 a 2＝2，a 3＝32，a 4a 2＝a 4a 3a 2a 3＝a 23＋1a 22－1＝1312.7.1n解析 由a n ＋1a n ＝n n ＋1得：a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ＝1n ，∴a n a 1＝1n ，a n ＝1n 或(n ＋1)a n ＋1＝na n ＝…＝2a 2＝a 1＝1，∴a n ＝1n . 8．1解析 ∵a n ＋1＝2a n 2＋a n ，∴1a n ＋1＝1a n ＋12. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列且公差d ＝12.∴1a 7＝1a 5＋2d ＝1a 5＋1＝2，∴a 5＝1. 9．解 ∵S n ＝4－a n －12n －2，∴S n －1＝4－a n －1－12n －3∴S n －S n －1＝a n ＝a n －1－a n ＋12n －3－12n －2∴a n ＝12a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，∴a n⎝⎛⎭⎫12n －a n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＝2.∴2n a n －2n －1a n －1＝2.∴{2n a n }是等差数列，d ＝2，首项为2a 1. ∵a 1＝S 1＝4－a 1－12－1＝2－a 1，∴a 1＝1.∴2n a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，∴a n ＝n ·⎝⎛⎭⎫12n －1. ∴S n ＝4－a n －12n －2＝4－n ·12n －1－12n －2＝4－n ＋22n －1.10．(1)证明 因为2002年底绿洲面积为a 1＝310，所以2002年底的沙漠面积为1－a 1＝710，经过n －1年后绿洲面积为a n ，沙漠面积为1－a n ， 由题意得，再过一年，即经过n 年后， 绿洲面积为a n ＋1＝(1－a n )×16%＋a n (1－4%)， 即a n ＋1＝45a n ＋425.所以a n ＋1－45＝45(a n －45)．又因为a 1－45＝310－45＝－12，所以数列{a n －45}是以45为公比，－12为首项的等比数列．(2)解 由(1)知，a n －45＝⎝⎛⎭⎫－12×⎝⎛⎭⎫45n －1，所以a n ＝45－12·⎝⎛⎭⎫45n －1， 设经过n 年的努力可使全区的绿洲面积超过60%，即a n ＋1>60%. 所以45－12·⎝⎛⎭⎫45n >35，所以⎝⎛⎭⎫45n <25. 验证n ＝1,2,3,4时，⎝⎛⎭⎫45n >25. 当n ＝5时，⎝⎛⎭⎫455＝1 0243 125<25，故至少需要5年的努力，全区的绿洲面积超过60%.高中数学-打印版精校版。

学习札记第15、16课时 数列复习课(2课时)【学习导航】知识网络【自学评价】 （一）数列的概念数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法。

数列的通项公式。

求数列通项公式的一个重要方法：对于任一数列}{n a ,其通项n a 和它的前n 项和n s 之间的关系是 ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n s s n s a n nn（二）等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质 1.等差数列(1)定义(2)通项公式n a =1a +（ ）d=k a +（ ）d=dn +1a -d(3)求和公式nd a n d d n n na a a n s n n )2(22)1(2)(1211-+=-+=+=(4)中项公式A=2b a + 推广：2n a =(5)性质①若m+n=p+q 则②若}{n k 成A.P （其中N k n ∈）则}{n k a 也为A.P 。

③n n n n n s s s s s 232,,-- 成 数列。

④1________()1n a a d m n n -==≠-2.等比数列 (1)定义 (2)通项公式 (3)求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q qqa a q q a q na s n n n (4)中项公式ab G =2。

推广： (5)性质①若m+n=p+q ，则②若}{n k 成等比数列 （其中N k n ∈），则}{n k a 成等比数列。

③n n n n n s s s s s 232,,--④11a a q n n =- ______n mq-= )(n m ≠ 3. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法: (2)通项公式法。

(3)中项公式法: 4. 在等差数列{}n a 中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足10m m a a +≥⎧⎨≤⎩的项数m使得m s 取 。

(2)当1a <0,d>0时，满足10m m a a +≤⎧⎨≥⎩的项数m使得m s 取 。

必修5 数列2．等差数列{}n a 中，()46810129111120,3a a a a a a a ++++=-则的值为A ．14B ．15C ．16D ．173．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前 项的和最大．解：0912129=-=S S S S ， 10111211111030,00a a a a a a ∴++=∴=∴=>，，又4．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 ．解：∵ ，，，，，1001102030102010S S S S S S S ---成等差数列，公差为D 其首项为10010=S ，6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，，．①求出公差d 的范围；②指出1221S S S ，，， 中哪一个值最大，并说明理由． 解：①)(6)(610312112a aa a S +=+=36(27)0a d =+>②12671377666()013000S a a S a a a S =+>=<∴<>∴， 最大。

1． 已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，===+等于( )A ．15B ．30C ．31D ．64794121215a a a a a +=+∴= A2． 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-== ．543． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则 ． 4． 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知50302010==a a ，． ①求通项n a ；②若n S =242，求n ． 解：d n a a n )1(1-+=111020193012305021019502n a d a a a a n a d d +==⎧⎧==∴∴=+⎨⎨+==⎩⎩，解方程组5．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m ，以后每分钟比前一分钟多走1m ，乙每分钟走5m ，①甲、乙开始运动后几分钟相遇? ②如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么，开始运动几分钟后第二次相遇?故第一次相遇是在开始运动后7分钟． 故第二次相遇是在开始运动后15分钟 10．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(21-++=n n a n S ． ①求证：数列{}n a 是等差数列； ②求数列{}n a 的通项公式； ③设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立? 若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由．12122(1)(1)()2n n n n n n n a n a a a a a ++++∴+=++∴=+ ∴数列{}n a 为等差数列．②1)1(311-+==+n n a n na a ，{}212121522n a a a a a ∴=-=∴-=即等差数列的公差为1(1)3(1)221n a a n d n n ∴=+-=+-⋅=+121n +++n 三、等比数列 知识要点1. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为()0q q ≠，．2. 递推关系与通项公式mn m n n n n n q a a q a a qa a --+⋅=⋅==推广：通项公式：递推关系：111 3. 等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为a 与c 的等比中项，且ac b ac b =±=2，注：是成等比数列的必要而不充分条件． 4. 前n 项和公式)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a qq a q na S n nn5. 等比数列的基本性质，),,,(*∈N q p n m 其中①q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若，反之不成立！ ②)(2*+--∈⋅==N n a a a a a qm n m n n mn mn ， ③{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列．④若项数为()*2n n N ∈，则S q S =偶奇．⑤nn m n m S S q S +=+⋅．⑥ ，，，时，n n n n n S S S S S q 2321---≠仍成等比数列． 6. 等比数列与等比数列的转化 ①{}n a 是等差数列⇔{})10(≠>c c cna ，是等比数列；②{}n a 是正项等比数列⇔{})10(log ≠>c c a n c ，是等差数列；③{}n a 既是等差数列又是等比数列⇔{}n a 是各项不为零的常数列． 7. 等比数列的判定法 ①定义法：⇒=+（常数）q a a nn 1{}n a 为等比数列； ②中项法：⇒≠⋅=++)0(221n n n n a a a a {}n a 为等比数列；③通项公式法：⇒⋅=为常数）q k q k a nn ,({}n a 为等比数列； ④前n 项和法：⇒-=为常数）（q k q k S nn ,)1({}n a 为等比数列． 性质运用1．103107422222)(++++++=n n f 设()()()n N f n *∈，则等于1342222(81)(81)(81)(81)7777n n n n A B C D +++----．．．．D2．已知数列{}n a 是等比数列，且===m m m S S S 323010，则， ．3．⑴在等比数列{}n a 中，143613233+>==+n n a a a a a a ，，． ①求n a ，②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++= ．⑵在等比数列{}n a 中，若015=a ，则有等式n n a a a a a a -+++=+++292121)29(*∈<N n n ，成立，类比上述性质，相应的在等比数列{}n b 中，若119=b ，则有等式成立．解：⑴①由等比数列的性质可知：16341616163233321a a a a a a a a a a ⋅=⋅=+=>==又，解得，②由等比数列的性质可知，{}n a lg 是等差数列，因为⑵由题设可知，如果0=m a 在等差数列中有n m n a a a a a a --+++=+++122121)12(*∈-<N n m n ，成立，我们知道，如果q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若，而对于等比数列{}n b ，则有q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若所以可以得出结论，若n m n m b b b b b b b --==1221211 ，则有)12(*∈-<N n m n ，成立，在本题中 n n b b b b b b -=372121 则有)37(*∈<N n n ，1．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为 ( ) ①{a n 2}也是等比数列；②{ca n }(c ≠0)也是等比数列；③{na 1}也是等比数列；④{ln a n }也是等比数列． A ．4 B ．3C ．2D ．12．等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为 ( ) A ．216 B ．－216 C ．217 D ．－2173．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为 ( )A ．1B ．－21 C ．1或－1 D ．－1或214．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 ( )A ．4B ．23 C ．916 D ．25．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 ( )A ．x 2－6x ＋25=0B ．x 2＋12x ＋25=0C ．x 2＋6x －25=0D ．x 2－12x ＋25=06．某工厂去年总产a ，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是 ( )A ．1.1 4 aB ．1.1 5 aC ．1.1 6 aD ．(1＋1.1 5)a7．等比数列{a n }中，a 9＋a 10=a (a ≠0)，a 19＋a 20=b ，则a 99＋a 100等于 ( ) A ．89abB ．(ab )9C ．910abD ．(ab )108．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为( )A ．32B ．313C ．12D ．159．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2001年度产值的月平均增长率为 ( ) A ．11n B ．11n C ．112-n D ．111-n10．已知等比数列{}n a 中，公比2q =，且30123302a a a a ⋅⋅⋅⋅=，那么36930a a a a ⋅⋅⋅⋅等于 ( )A ．102 B ．202 C ．162 D ．15211．等比数列的前n 项和S n =k ·3n ＋1，则k 的值为 ( )A ．全体实数B ．－1C ．1D ．312．某地每年消耗木材约20万3m ，每3m 价240元，为了减少木材消耗，决定按%t 征收木材税，这样每年的木材消耗量减少t 25万3m ，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元，则t 的范围是 ( )A ．[1，3]B ．[2，4]C ．[3，5]D ．[4，6]一、选择题： BDCAD BACDB BC13．在等比数列{a n }中，已知a 1=23，a 4=12，则q =_____ ____，a n =____ ____．14．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q =___ ___．15．在等比数列｛a n ｝中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，求a 10＝ ．16．数列｛n a ｝中，31=a 且n a a n n (21=+是正整数)，则数列的通项公式=n a ．二、填空题：13.2， 3·2n －2． 14.251+．15.512 ．16.123-n ． 17．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1 (n ∈N *)．(1)求证数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式． (1)证明由a n ＋1=2a n ＋1得a n ＋1＋1=2(a n ＋1)又a n ＋1≠0 ∴111+++n n a a =2即{a n ＋1}为等比数列．(2)解析： 由(1)知a n ＋1=(a 1＋1)q n－1即a n =(a 1＋1)q n －1－1=2·2n －1－1=2n －118．在等比数列｛a n ｝中，已知对n ∈N *，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，求a 12＋a 22＋…＋a n 2．解析： 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1 ① n ∈N *，知a 1＝1且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1－1 ②由①－②得a n ＝2n －1，n ≥2 又a 1＝1，∴a n ＝2n －1，n ∈N *212221)2()2(-+=n n nn a a ＝4 即｛a n 2｝为公比为4的等比数列 ∴a 12＋a 22＋…＋a n 2＝)14(3141)41(21-=--nn a 19．在等比数列｛a n ｝中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n ．解析一： ∵S 2n ≠2S n ，∴q ≠1 根据已知条件121(1)481(1)601n na q qa q q ⎧-=⎪-⎪⎨-=⎪⎪-⎩①②②÷①得：1＋q n ＝45即q n ＝41 ③ ③代入①得q a -11＝64 ④解析二：∵｛a n｝为等比数列∴(S2n－S n)2＝S n(S3n－S2n)20．求和：S n＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)x n－1 (x≠0)．解析：当x=1时，S n=1＋3＋5＋…＋(2n－1)=n2当x≠1时，∵S n=1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)x n－1，①等式两边同乘以x得：xS n=x＋3x2＋5x3＋7x4＋…＋(2n－1)x n．②21．在等比数列｛a n｝中，a1＋a n=66，a2·a n－1=128，且前n项和S n=126，求n及公比q．解析：∵a1a n=a2a n－1=128，又a1＋a n=66，∴a1、a n是方程x2－66x＋128=0的两根，解方程得x1=2，x2=64，∴a1=2，a n=64或a1=64，a n=2，显然q≠1．22．某城市1990年底人口为50万，人均住房面积为16 m2，如果该市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该市人均住房的面积数．(已知1.015≈1.05，精确到0.01 m2)解析：依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列{a n}：a1=50，q=1＋1%=1．01，n=11 则a11=50×1．0110=50×(1．015)2≈55.125(万)，又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{b n}：b1=16×50=800，d=30，n=11∴b11=800＋10×30=1100(万米2)因此2000年底人均住房面积为：1100÷55.125≈19．95(m2)。

1．数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．2．求数列的通项(1)数列前n 项和S n 与通项a n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. (2)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用累加法求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)．(3)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1a n＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用累积法求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1.(4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．(5)归纳、猜想、证明法．3．等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0)⇔{a n }是等比数列． (2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列；a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0)⇔{a n }是等比数列．(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＝c ·q n (c ，q 为非零常数)⇔{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；S n ＝aq n －a (a ，q 为常数，且a ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．4．求数列的前n 项和的基本方法(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n 项和S n 公式；(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．(5)倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导．题型一 方程的思想解数列问题在等差数列和等比数列中，通项公式a n 和前n 项和公式S n 共涉及五个量：a 1，a n ，n ，d (q )，S n ，其中首项a 1和公差d (公比q )为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a 1，a n ，n ，d (q )，S n 的方程组，通过方程的思想解出需要的量．例1 已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 2＋a 1＝2⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2，a 3＋a 4＋a 5＝64⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 4＋1a 5. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n2，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由已知得⎩⎨⎧ a 1＋a 1q ＝2⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 1q ，a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝64⎝⎛⎭⎫1a 1q 2＋1a 1q 3＋1a 1q 4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 6＝64. ∵a 1＞0，∴q ＝2，a 1＝1.∴a n ＝2n －1.(2)b n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n 2＝a 2n ＋1a 2n＋2 ＝4n －1＋⎝⎛⎭⎫14n －1＋2，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝1＋4＋42＋…＋4n －1＋1＋14＋…＋⎝⎛⎭⎫14n －1＋2n ＝1－4n1－4＋1－⎝⎛⎭⎫14n 1－14＋2n ＝13(4n －41－n )＋2n ＋1. 跟踪演练1 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，设S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .解 设数列{}a n 的公差为d ，依题设有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1(a 3＋1)＝a 22，a 1＋a 2＋a 3＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＋2a 1d －d 2＋2a 1＝0，a 1＋d ＝4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝8，d ＝－4. 因此S n ＝12n (3n －1)或S n ＝2n (5－n )． 题型二 转化与化归思想求数列通项由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出． 例2 已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1 (n ≥2且n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．(3)求通项公式a n .解 (1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13，a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ2n 为等差数列． 设b n ＝a n ＋λ2n ，由{b n }为等差数列， 则有2b 2＝b 1＋b 3.∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23， 13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8. 解得λ＝－1.事实上，b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12n ＋1－a n －12n ＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )＋1]＝12n ＋1[(2n ＋1－1)＋1]＝1.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ2n 为首项是2、公差是1的等差数列． (3)由(2)知，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n －12n 为首项是2，公差为1的等差数列． ∴a n －12n＝2＋(n －1)×1＝n ＋1， ∴a n ＝(n ＋1)2n ＋1.跟踪演练2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．(1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2； 当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8.(2)证明 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2. ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2，∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0，∴S n ＋2S n －1＋2＝2， 故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．题型三 函数思想求解数列问题数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围，最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的思想指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集，这一特殊性对问题结果可能造成影响．例3 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n (a n ＋3)(n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在最大的整数t ，使得对任意的n 均有S n >t 36总成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由． 解 (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2，整理得2a 1d ＝d 2.∵a 1＝1，解得(d ＝0舍)，d ＝2.∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)b n ＝1n (a n ＋3)＝12n (n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 2(n ＋1). 假设存在整数t 满足S n >t 36总成立， 又S n ＋1－S n ＝n ＋12(n ＋2)－n 2(n ＋1)＝12(n ＋2)(n ＋1)>0， ∴数列{S n }是单调递增的．∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t <9. 又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8.跟踪演练3 已知函数f (x )＝2x ＋33x，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n ，n ∈N *， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n .解 (1)∵a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n ＝2a n ＋33a n＝2＋3a n 3＝a n ＋23， ∴{a n }是以23为公差的等差数列．又a 1＝1， ∴a n ＝23n ＋13.(2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－43·n ⎝⎛⎭⎫53＋4n 3＋132＝－49(2n 2＋3n )． 题型四 数列的交汇问题数列是高中代数的重点内容之一，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识有较多交汇处．它包涵知识点多、思想丰富、综合性强，已成为近年高考的一大亮点．例4 已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围．解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.∴a 2＋a 4＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32. 又{a n }单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2n . (2)b n ＝2n ·log 122n ＝－n ·2n ， ∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，②①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2(1－2n)1－2－n×2n＋1＝2n＋1－n×2n＋1－2.由S n＋(n＋m)a n＋1<0，得2n＋1－n×2n＋1－2＋n×2n＋1＋m×2n＋1<0对任意正整数n恒成立，∴m·2n＋1<2－2n＋1，即m<12n－1对任意正整数n恒成立．∵12n－1>－1，∴m≤－1，即m的取值范围是(－∞，－1]．跟踪演练4设数列{a n}为单调递增的等差数列，a1＝1，且a3，a6，a12依次成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若b n＝a n·2a n，求数列{b n}的前n项和S n；(3)若c n＝2a n(2a n)2＋3·2a n＋2，求数列{c n}的前n项和T n.解(1)∵数列{a n}为单调递增的等差数列，a1＝1，且a3，a6，a12依次成等比数列，∴a12a6＝a6a3＝a12－a6a6－a3＝6d3d＝2，∴1＋5d＝2(1＋2d)，解得d＝1，∴a n＝n.(2)∵a n＝n，∴b n＝a n·2a n＝n·2n∴数列{b n}的前n项和S n＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①∴2S n＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，②①－②，得－S n＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－n×2n＋1＝2×(1－2n)1－2－n×2n＋1＝－(2－2n＋1＋n×2n＋1)，∴S n＝2－2n＋1＋n×2n＋1＝(n－1)·2n＋1＋2.(3)∵a n＝n，∴c n ＝2a n (2a n )2＋3·2a n ＋2＝2n (2n )2＋3×2n ＋2＝2n (2n ＋1)(2n ＋2)＝2n －1(2n ＋1)(2n －1＋1) ＝12n －1＋1－12n ＋1， ∴数列{c n }的前n 项和T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋1－121＋1＋⎝ ⎛ 121＋1 ⎭⎪⎫－122＋1 ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋1－12n ＋1＝12－12n ＋1.1.等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题．2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．。

阶段质量检测(二) 数 列(时间90分钟，满分120分)一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n 等于( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋1 2．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A ．1，12，13，14，… B ．－1,2，－3,4，…C ．－1，－12，－14，－18，… D ．1，2，3，…，n3．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝________.( )A ．2B ．3C ．6D ．74．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101 的值为( )A ．49B ．50C ．51D ．525．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A ．90B ．100C ．145D ．1906．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 5＝( )A ．1B ．2C ．4D ．87．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于( )A ．0 B.12C.23D ．－1 8．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项B ．第12项C ．第13项D ．第6项9．设数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10等于()A．1 033 B．1 034C．2 057 D．2 05810．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如下图所示：则第七个三角形数是()A．27 B．28C．29 D．30二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．若数列{a n}满足：a1＝1，a n＋1＝2a n(n∈N*)，则a5＝________；前8项的和S8＝________(用数字作答)．12．数列{a n}满足a1＝1，a n＝a n－1＋n(n≥2)，则a5＝________.13．等比数列{a n}中，a2＋a4＋…＋a20＝6，公比q＝3，则前20项和S20＝________.14．在等差数列{a n}中，其前n项的和为S n，且S6＜S7，S7＞S8，有下列四个命题：①此数列的公差d＜0；②S9一定小于S6；③a7是各项中最大的一项；④S7一定是S n中的最大项．其中正确的命题是________．(填入所有正确命题的序号)三、解答题(共4小题，共50分)15．(12分)等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16，(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n.16．(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1.(1)求证：数列{c n }是等比数列；(2)求数列{b n }的通项公式．17．(12分)已知{a n }是公差不为零的等差数列，{b n }是各项都是正数的等比数列，(1)若a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列，求数列{a n }的通项公式；(2)若b 1＝1，且b 2，12b 3,2b 1成等差数列，求数列{b n }的通项公式．18．(14分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n ＋1a n a n ＋2n (n ∈N *)． (1)证明：数列{2na n}是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n ；(3)设b n ＝n (n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .答 案阶段质量检测(二) 数 列1．选B 由于3＝2＋1,5＝22＋1,9＝23＋1，…，所以通项公式是a n ＝2n ＋1.2．选C A 为递减数列，B 为摆动数列，D 为有穷数列．3．选B S 4－S 2＝a 3＋a 4＝20－4＝16，∴a 3＋a 4－S 2＝(a 3－a 1)＋(a 4－a 2)＝4d ＝16－4＝12，∴d ＝3.4．选D ∵2a n ＋1－2a n ＝1，∴a n ＋1－a n ＝12， ∴数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列， ∴a 101＝2＋12(101－1)＝52. 5．选B 设公差为d ，∴(1＋d )2＝1×(1＋4d )，∵d ≠0,∴d ＝2，从而S 10＝100.6．选A 因为a 3a 11＝a 27，又数列{a n }的各项都是正数，所以解得a 7＝4， 由a 7＝a 5·22＝4a 5，求得a 5＝1.7．选B 设数列{b n }的通项b n ＝11＋a n ，因{b n }为等差数列，b 3＝11＋a 3＝13，b 7＝11＋a 7＝12，公差d ＝b 7－b 34＝124， ∴b 11＝b 3＋(11－3)d ＝13＋8×124＝23，即得1＋a 11＝32，a 11＝12. 8．选C 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项．9．选A 由已知可得a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，于是ab n ＝b n ＋1，因此ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝(b 1＋1)＋(b 2＋1)＋…＋(b 10＋1)＝b 1＋b 2＋…＋b 10＋10＝20＋21＋…＋29＋10＝1－2101－2＋10＝1 033. 10．选B 法一：∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，a 5＝15，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，∴a 6－a 5＝6，a 6＝21，a 7－a 6＝7，a 7＝28.法二：由图可知第n 个三角形数为n (n ＋1)2， ∴a 7＝7×82＝28. 11．解析：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)知{a n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，由通项公式及前n 项和公式知a 5＝a 1q 4＝16，S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝1·(1－28)1－2＝255. 答案：16 25512．解析：由a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，得a n －a n －1＝n .则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，把各式相加，得a 5－a 1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a 5＝14＋a 1＝14＋1＝15.答案：1513．解析：S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 20，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 19，则S 偶S 奇＝q ， ∴S 奇＝S 偶q ＝63＝2. ∴S 20＝S 偶＋S 奇＝6＋2＝8.答案：814．解析：∵S 7＞S 6，即S 6＜S 6＋a 7，∴a 7＞0.同理可知a 8＜0.∴d ＝a 8－a 7＜0.又∵S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＜0，∴S 9＜S 6.∵数列{a n }为递减数列，且a 7＞0，a 8＜0，∴可知S 7为S n 中的最大项．答案：①②③15．解：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2， ∴a n ＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝8， b 1＋4d ＝32， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12. 从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28， 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n . 16．解：(1)证明：∵a 1＝S 1，a n ＋S n ＝n ①，∴a 1＋S 1＝1，得a 1＝12. 又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1②，①②两式相减得2(a n ＋1－1)＝a n －1， 即a n ＋1－1a n －1＝12，也即c n ＋1c n ＝12， 故数列{c n }是等比数列．(2)∵c 1＝a 1－1＝－12， ∴c n ＝－12n ，a n ＝c n ＋1＝1－12n ， a n －1＝1－12n －1. 故当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝12n －1－12n ＝12n . 又b 1＝a 1＝12，即b n ＝12n . 17．解：(1)由题意可设公差为d ，则d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得1＋2d 1＝1＋8d 1＋2d， 解得d ＝1或d ＝0(舍去)，故数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由题意可设公比为q ，则q ＞0，由b 1＝1，且b 2，12b 3,2b 1成等差数列得b 3＝b 2＋2b 1，∴q 2＝2＋q ，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)， 故数列{b n }的通项公式为b n ＝1×2n －1＝2n －1. 18．解：(1)证明：由已知可得a n ＋12n ＋1＝a n a n ＋2n， 即2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋1，即2n ＋1a n ＋1－2na n ＝1. ∴数列{2na n}是公差为1的等差数列． (2)由(1)知2n a n ＝2a 1＋(n －1)×1＝n ＋1， ∴a n ＝2nn ＋1. (3)由(2)知b n ＝n ·2n .S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1， 相减得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1 ＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1， ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.。

课后巩固作业（十五）(30分钟 50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.等比数列{a n }的前n 项和S n =4n +a,则a 的值等于（ ） （A ）-4 （B ）-1 （C ）0 （D ）12.设数列{a n }是公比为2，首项为1的等比数列，S n 是它的前n 项和，对任意的*n N ∈，点（S n ,S n+1）在（ ）（A ）直线y=2x-1上 （B ）直线y=x+2上 （C ）直线y=x-2上 （D ）直线y=2x+1上 3.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若63S 4S =，则96SS =（ ） （A ）73（B ）134 （C ）37 （D ）4134.数列11111,2,3,4,24816…,n 1n 2前n 项的和等于（ ）（A ）2n 1n n 22++ （B ）2n 1n n122+-++ （C ）2n 1n n 22+-+ （D ）2n 11n n22+--+二、填空题(每小题4分，共8分)5.等比数列{a n }中，31a 2=，a 9=8，则a 5a 6a 7=______. 6.数列{a n }中， a 1=2， a n+1-a n =2n ，则数列的通项a n =_____. 三、解答题(每小题8分，共16分)7.（2011· 大纲版全国高考）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a2=6,6a1+a3=30,求a n和S n.8.已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=2a n+3,数列{b n}中,b1=1,且点(b n+1,b n)在直线y=x-1上.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）若c n=a n+3,求数列{b n c n}的前n项和S n.【挑战能力】（10分）把一个正方形等分成9个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉（如图①）；再将剩余的每个正方形都分成9个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图②)；如此下去……（1）图③共挖掉了多少个正方形？（2）第n个图共挖掉了多少个正方形？若原正方形的边长为a(a＞0)，则这些正方形的面积之和为多少？答案解析1.【解析】选B.当n=1时，a 1=4+a ，当n ≥2时，a n =3·4n-1.所以当n=1时，4+a=3，∴a=-1.2.【解析】选D.因为n n n 112S 2112⨯-==--（）.n 1n 1n 1112S 2112+++⨯-==--（）.所以S n+1=2S n +1，故选D.3.【解析】选B.设公比为q ，则336333S 1q S 1q 4S S +==+=（），∴q 3=3,于是36936S 1q q 13913S 1q 134++++===++. 4.【解题提示】利用拆项分组求和. 【解析】选B.n n 11111S 1234n 248162=++++⋯+n 1111(12n)()2482=++⋯+++++⋯+2n 1n n1.22+=-++ 5.【解析】∵391a a 82==，，∴2639a a a 4,== ∴a 6=±2,35676a a a a 8==±. 答案：±86.【解题提示】利用累加法以及等比数列的前n 项和公式. 【解析】∵a 1=2，a n+1-a n =2n ，∴a 2-a 1=2，a 3-a 2=22，a 4-a 3=23,…,a n -a n-1=2n-1,以上各式累加得： a n -a 1=2+22+23+…+2n-1,故n 1n n 212a 2212--=+=-（）. 答案：2n7.【解题提示】利用方程的思想建立关于a 1和公比q 的方程，求出a 1和q ，然后利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解即可. 【解析】设{a n }的公比为q ，由题意得1211a q 66a a q 30=⎧⎨+=⎩，解得1a 3q 2=⎧⎨=⎩或1a 2q 3=⎧⎨=⎩， 当a 1=3,q=2时，a n =3×2n-1,S n =3×(2n -1) 当a 1=2,q=3时，a n =2×3n-1,S n =3n -1.8.【解析】（1）由a n+1=2a n +3得a n+1+3=2(a n +3), 所以{a n +3}是首项为a 1+3=4，公比为2的等比数列. 所以a n +3=4×2n-1=2n+1,故a n =2n+1-3. （2）因为(b n+1,b n )在直线y=x-1上， 所以b n =b n+1-1即b n+1-b n =1，又b 1=1, 故数列{b n }是首项为1,公差为1的等差数列, 所以b n =n.（3）c n =a n +3=2n+1-3+3=2n+1,故b n c n =n ·2n+1. 所以S n =1×22+2×23+3×24+…+n ×2n+1 故2S n =1×23+2×24+…+(n-1)×2n+1+n ×2n+2 相减得-S n =22+23+24+…+2n+1-n ×2n+2()()n n 2n 2421n 21n 2421++-=-⨯=---，所以S n =(n-1)2n+2+4.【方法技巧】a n+1=Aa n +B 型数列的通项求法在近几年高考试题中常出现涉及a n+1=Aa n +B 型的题目，我们称之为线型递推数列问题.下面探讨这类数列通项的求法. 一般地，已知a 1及a n+1=Aa n +B(*n N ∈),（1）若A=0，a 1=B,则{a n }是常数数列，且a n =a 1; （2）若A=1，则{a n }是等差数列，a n =a 1+(n-1)B; （3）若A ≠0,B ＝0，则{a n }是等比数列，a n =a 1A n-1;（4）若A ≠0,A ≠1,B ≠0，则数列{a n }既不是等差数列，也不是等比数列，但我们可以将其转化为等比数列. 令a n+1+x=A(a n +x),则a n+1=Aa n +(A-1)x 对比a n+1=Aa n +B,∴(A-1)x=B,即Bx A 1=-. ∴n 1n B Ba A(a )A 1A 1++=+-- 也就是说数列{n Ba A 1+-}是等比数列.【挑战能力】【解析】（1）8×9+1=73.（2）我们把由图①分割为图②看作是一次操作，则一次操作挖去8个小正方形，且由图①分割为图②时，增加了8个图①，所以n-1次操作后得到第n 个图，共挖掉了n n 2n 118811888187---+++⋯+==-个正方形，这些正方形的面积和为a 2［1×(13)2+8×(13)4+82×(13)6+…+8n-1×(13)2n ］=n 2n 2181()899a 1()a 8919-=--［］［］.。