Theta图的Merrifield-Simmons指数和Hosoya指数

一类三圈图关于 Merrifield-Simmons 指标和Hosoya 指标的排序柴文丽;田文文【摘要】文章研究了一类三圈图Tm, k, rn, p, q的Merrifield-Simmons指标和Hosoya指标,根据CP上两接点u和v之间的距离,给出了该类三圈图关于这两种指标的排序。

%The Merrifield-Simmons index and Hosoya index of the class of tricyclic graphs were inves-tigated according to the distance between and on.Their orderings with respect to these two indices had been obtained.【期刊名称】《西北民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(036)004【总页数】5页(P1-5)【关键词】三圈图;Merrifield-Simmons指标;Hosoya指标;排序【作者】柴文丽;田文文【作者单位】西北民族大学美术学院，甘肃兰州 730030;西北民族大学数学与计算机科学学院，甘肃兰州 730030【正文语种】中文【中图分类】O157.5Merrifield-Simmons指标是在1989年由美国化学家Richard E．Merrifield和Howard E．Simmons在文献[3]中引入的化学拓扑指标，它表示图G中所有独立集的数目，记为σ(G)，该指标与物质的沸点有着密切的联系．Hosoya指标是由日本化学家Haruo Hosoya于1971年在文献[2]中提出并进行研究的.它表示图G 中所有匹配的数目，记为μ(G).该指标与物质的沸点、熵、化学键的计算和化学结构等有着密切的联系．这两个拓扑指标在结构化学中有着重要的意义，它们常常被用来描述有机化合物的物理化学特征与药理特征，且有着较为广泛的应用，相关的应用参见文献[3～5]．文献[6～9]中确定了双圈图中最大和最小的Merrifield-Simmons指标和Hosoya指标，并刻画了相应的极图.文献[10]中研究了一类特殊双圈图的两种指标的排序.文献[11～13]中研究了三圈图中最大和最小的Merrifield-Simmons指标和Hosoya指标，并刻画了相应的极图.文献[14]中研究了给定悬挂顶点的树关于Merrifield-Simmons指标和Hosoya指标的排序．本文主要研究了一类特殊三圈图关于Merrifield-Simmons指标和Hosoya指标的排序问题．设G=(V,E)是一个简单的连通图，它的点集和边集分别为V(G)和E(G)．令e和x分别为图G的一条边和一个顶点，我们用G-{e}表示图G删去边e得到的图，用G-{x}表示图G删去顶点x(及关联的边)得到的图．用NG(v)表示G中点v的邻点集，且NG[v]={v}∪NG(v)．令fn表示第n个Fibonacci数，定义为f0=0,f1=1，满足fn=fn-1+fn-2,n≥2，其中(φn-(-φ)-n)．令ln表示第n个Lucas数，定义为l0=2,l1=1，满足ln=ln-1+ln-2，n≥2，其中ln=φn+(-φ)-n,而φ文中未加说明的符号及术语参见文献[1]．图表示一类具有n个顶点的特殊三圈图，它由三个圈CP，Cq，Cm和一条路Pr构成，其中Cp和Cq被一条路Pr连接，Pr和Cm与Cp的交点分别为u和v，且d(u，v)=k，如图1所示．引理1[4] 设G是一个简单的连通图，对任意的u，v∈V(G),uv∈E(G),则σ(G)=σ(G-{v})+σ(G-NG[v])；σ(G)=σ(G-{uv})-σ(G-(NG[u]∪NG[v]))．引理2[4] 设G是一个简单的连通图，对任意的v∈V(G),uv∈E(G)，则μ(G){v,x}).引理3[4] 若G1,G2,…，Gk是图G的连通分支，则引理4[4] 对于n阶的路Pn，有σ(Pn)=fn+2;μ(Pn)=fn+1.引理5[4] 对于n阶的圈Cn，有σ(Cn)=fn+1+fn-1;μ(Cn)=fn+1+fn-1.引理6[15] 对于正整数m≥n,有).由引理1～5可得以下结论：引理7 对于如图2所示的图H，有1) σ(H)=fm+2fn+2·(fq+1fr+fq-1fr-1)+fm+1fn+1·(fq+1fr-1+fq-1fr-2)；2) μ(H)= (fq+1+fq-1)(fm+1fn+1fr+fm+1fnfr-1+fmfn+1fr-1)+fq·(fm+1fn+1fr-1+fm+1fnfn-2+fmfn+1fr-2).该类三圈图关于Merrifield-Simmons指标和Hosoya指标的排序，我们将得出以下结论：定理1 设为如图1所示的图．令，且，则有).证明如图1所示，由引理1及引理7可知(fq+1fr-1+fq-1fr-2)(fm+1fkfp-k+fm-1fk-1fp-k-1).(fq+1fr-1+fq-1fr-2)(fm+1fk+1fp-k-1+fm-1fkfp-k-2).所以，由引理6可知-fkfp-k)]+(fq+1fr-1+fq-1fr-2)[fm+1·(fk+1fp-k-1-fkfp-k)+fm-1·(fkfp-k-2-fk-1fp-k-1)]+(fq+1fr-1+fq-1fr-2)[fm+1·(lp-2k+lp-2k-2)+fm+1·(-lp-2k-lp-2k-2)]}而fm·(-fq+1fr-2-fq-1fr-3)<0.故当k为偶数时，有；当k为奇数时,有).下面比较)与)的大小关系.因为+(fq+1fr-1+fq-1fr-2)(fm+1fk+2fp-k-2+fm-1fk+1fp-k-3),所以由引理6可知-fkfp-k)]+(fq+1fr-1+fq-1fr-2)[fm+1·(fk+2fp-k-2-fkfp-k)+fm-1·(fk+1fp-k-3-fk-1fp-k-1)]+(fq+1fr-1+fq-1fr-2)[fm+1·(lp-2k-lp-2k-4)+fm+1·(lp-2k-4-lp-2k)]}而fm·(lp-2k-4-lp-2k)(fq+1fr-2+fq-1fr-3)<0，故当k为偶数时，有；当k为奇数时,有).综上所述，对，有).定理2 设为如图1所示的图.令，且，则有).证明由引理2及引理7可知fm·(fkfp-k-1fr+fkfp-k-2fr-1+2fk-1fp-k-1fr-1+fk-1fp-kfr+fk-2fp-kfr-1)]+fq·[(fm+1+fm-1)(fkfp-kfr-1+fkfp-k-1fr-2+fk-1fp-kfr-2)+fm(fkfp-k-1fr-1+ fkfp-k-2fr-2+2fk-1fp-k-1fr-2+fk-1fp-kfr-1+fk-2fp-kfr-2)].+fm·(fk+1fp-k-2fr+fk+1fp-k-3fr-1+2fkfp-k-2fr-1+fkfp-k-1fr+fk-1fp-k-1fr-1)]fq·[(fm+1+fm-1)(fk+1fp-k-1fr-1+fk+1fp-k-2fr-2+fkfp-k-1fr-2)+fm·(fk+1fp-k-2fr-1+fk+1fp-k-3fr-2+2fkfp-k-2fr-2+fkfp-k-1fr-1+fk-1fp-k-1fr-2)].所以，由引理6可知-fk-1fp-kfr-1)+fm·(fk+1fp-k-2fr+fk+1fp-k-3fr-1+fkfp-k-2fr-1-fk-1fp-k-1fr-1-fk-1fp-kfr-fk-2fp-kfr-1)]+fq·[(fm+1+fm-1)(fk+1fp-k-1fr-1+fk+1fp-k-2fr-2-fkfp-kfr-1-fk-1fp-kfr-2)+fm·(fk+1fp-k-2fr-1+fk+1fp-k-3fr-2+fkfp-k-2fr-2-fk-1fp-k-1fr-2-fk-1fp-kfr-1-fk-2fp-kfr-2)]).[fr-1·(fq+1+fq-1)(fm+1+fm-1)+fr-2fm·(fq+1+fq-1)+fr-2fq·(fm+1+fm-1)+fr-3fqfm]}.又因(lp-2k+lp-2k+2)-(lp-2k+lp-2k-2)>0,(fm+1+fm-1)(fq+1fr+fq-1fr+fqfr-1)-[fr-1·(fq+1+ fq-1)(fm+1+fm-1)+fr-2fm·(fq+1+ fq-1)+fr-2fq·(fm+1+fm-1)+fr-3fqfm]=2fm-1fr-2·(fq+1+ fq-1)+2fm-1fr-3fq>0, 所以(fm+1+fm-1)(fq+1fr+fq-1fr+fqfr-1)(lp-2k+lp-2k+2)-(lp-2k+lp-2k-2)[fr-1·(fq+1+ fq-1)(fm+1+fm-1)+fr-2fm·(fq+1+ fq-1)+fr-2fq·(fm+1+fm-1)+fr-3fqfm]>0.故当k为偶数时，有；当k为奇数时,有).下面比较)与)的大小关系.因为+fm·(fk+2fp-k-3fr+fk+2fp-k-4fr-1+2fk+1fp-k-3fr-1+fk+1fp-k-2fr+fkfp-k-2fr-1)]+fq·[(fm+1+fm-1)(fk+2fp-k-2fr-1+fk+2fp-k-3fr-2+fk+1fp-k-2fr-2)+fm·(fk+2fp-k-3fr-1+fk+2fp-k-4fr-2+2fk+1fp-k-3fr-2+fk+1fp-k-2fr-1+fkfp-k-2fr-2)].所以由引理6可知(fk+2fp-k-3+fk+1fp-k-2-fkfp-k-1-fk-1fp-k)·fr-1+fmfr·(fk+2fp-k-3+fk+1fp-k-2-fkfp-k-1-fk-1fp-k)+fmfr-1·(fk+2fp-k-4+2fk+1fp-k-3-2fk-1fp-k-1-fk-2fp-k)]+fq·[(fm+1+fm-1)(fk+2fp-k-2-fkfp-k)·fr-1+(fm+1+fm-1)(fk+2fp-k-3+fk+1fp-k-2-fkfp-k-1-fk-1fp-k)·fr-2+fmfr-1·(fk+2fp-k-3+fk+1fp-k-2-fkfp-k-1-fk-1fp-k)+fmfr-2·(fk+2fp-k-4+2fk+1fp-k-3-2fk-1fp-k-1-fk-2fp-k)]-fqfr-3fm](lp-2k-1+lp-2k-3)].而2fm-1fr-2·(fq+1+ fq-1)+2fqfm-1fr-3>0.故当k为偶数时，有；当k为奇数时,有).综上所述，对，有).通过观察可知，该类特殊三圈图关于Merrifield-Simmons指标和Hosoya指标的排序恰好相反．[1] Bondy J A，Murty U S R．Graph theory with applications[M]．New York：The Macmillan Press，1976．[2] Hosoya H．Topological index[J]．Bull Chem Soc Japan，1971，44：2332-2339．[3] Merrfield R E，Simmons H E．Topological Methods inChemistry[M].New York：Wiley，1989．[4] Gutman I，Polansky O E．Mathematical Concepts in OrganicChemistry[M]．Berlin：Spring-er，1986．[5] Gutman I，Cyvin S J．Introduction to the Theory of Benzenoid Hydrocarbons[M]．Berlin：Springer，1989．[6] Deng H Y，Chen S B，Zhang J．The Merrifield-Simmons index in-graphs[J]．Journal of Mathematical Chemistry,2008，43(1)：75-91．[7] Deng H Y．The smallest Merrifield-Simmons index of -graphs[J]．Math Comput Model,2009，49(1-2)：320-326．[8] Deng H Y．The smallest Hosoya index in -graphs[J]．Journal of Mathematical Chemistry，2008，43(1)：119-133．[9] Xu Kexiang，Gutman I．The Greatest Hosoya Index of Bicyclic Graphs with Given Maximum Degree[J]．MATCH Commun Math ComputChem,2011，66(3)：795-824．[10] 周旭冉，王力工．一类双圈图的两种指标的排序[J]．山东大学学报(理学版),2011，46(11)：44-47．[11] Zhu Zhongxun，Li Shuchao，Tan Liansheng．Tricyclic graphs with maximum Merrifield-Simmons index[J]．Discrete Applied Mathematics,2010，158(3)：204-212．[12] Dolati A，Haghighat M，Golalizadeh S，Safari M．The Smallest Hosoya index of Connected Tricyclic Graphs[J]．MATCH Commun Math Comput Chem,2011，65(1)：57-70．[13] Zhu Zhongxun，Yu Qigang．The number of independent sets of tricyclic graphs[J]．Applied Mathematics Letters,2012，25(10)：1327-1334．[14] Xuezheng Lv，Yan Yan，Aimei Yu，Jingjing Zhang．Ordering strees with given pendent vertices with respect to Merrifield-Simmons indicesand Hosoya indices[J]．Journal of Mathemati-cal Chemistry,2010，47：11-20．[15] Stephan G Wagner．Extremal trees with respect to Hosoya index and Merrifield-Simmons index[J]．MATCH Commun Math Comput Chem,2007，57(1)：221-233．。

泰尔指数的大小泰尔指数是一种统计学上的分布曲线，是通过描述一个随机变量X的概率分布，用来反映该随机变量分布密集的程度。

由于概率分布常用无偏估计或者称作无偏向估计，也可简称为无偏估计或者无偏。

按照统计学的定义，如果一个概率分布有f个参数，其中第i个参数i为该参数服从的分布。

那么，这样的概率分布被称为参数可决系统或者参数可决空间。

而对于概率分布的参数估计问题，相应地也存在多种可行的方法，比如使用最大似然估计（ MLE）、贝叶斯估计（ BI）等。

通过搜索引擎的使用，我们还可以进行相应分析。

但是，从古至今的很多文献都没有给出一个合适的定义，这也让广大读者迷茫。

现在我们再来看看泰尔指数和贝塔系数。

泰尔指数又叫做哈尔指数或者哈尔-洛德指数，是描述一个随机变量概率分布密集程度的一个数值。

是某一随机变量取值X0时，用其后取X的平均值，除以X0得到的商。

是x-->，用f(x)/f(x0)。

这样的分布式样与x1， x2的数值密集程度无关，所以泰尔指数是独立于两个变量的，而且是完全依赖于随机变量的。

从上面两个例子，我们可以看出贝塔系数不同于泰尔指数。

它是指一个随机变量的数值密集度。

也就是一个随机变量y的值域。

当贝塔系数越大，说明一个随机变量越集中；泰尔指数的值与z无关。

以前我曾经认为在生活中只要遇到了高分就是最好的，但是，慢慢地我发现这是错误的。

人们更注重的是自己想要什么，并不会盲目崇拜高分数，更何况在学习的道路上，不可能永远处在优势。

在期末考试中，能得到一个高分固然是令人高兴的事情，但是真正重要的是得到了多少个高分，即在每次考试中得到多少个高分才算优秀？如果把一个人的成绩按照100分为满分计算，那么高分的总和为100分。

低分的总和则为0分，零分的总和则为负100分。

那么请问，谁是最终的赢家？所以，现在我觉得把评价的标准多元化，对于我们的成长才是有利的。

回到语文教学上来，虽然评价标准也很重要，但是绝对不是最主要的因素。

ace 指数、chao 指数、shannon 指数、simpson 指数等多种评估指数。

生物多样性评估生物多样性是指地球上生命体的多种形式、基因组成、物种和生态系统的丰富性。

评估生物多样性可以帮助我们更好地了解生态系统的状态和变化，同时加强对生物多样性的保护和管理。

以下是一些常用的生物多样性评估指数。

1. Ace指数Ace指数（Abundance-based Coverage Estimator）是衡量样本覆盖率的指标，它可以根据样本中物种的个体数和种类丰富度等信息来计算样本中未被观察到的物种数。

Ace指数常用于评估生态系统中物种的多样性和稳定性。

2. Chao指数Chao指数是一种基于样本中物种个体丰度分布的多样性估计指数，它可以根据物种种类数和每种物种的个体数来计算样本中物种的总个体数。

Chao指数可以用来预测未被发现的物种数量和物种丰度的分布情况。

3. Shannon指数Shannon指数是衡量生态系统中物种丰富度和均匀度的指标。

它考虑了各物种在样本中的相对丰度，越多的物种相对丰度分布均匀越高，Shannon指数也就越高。

4. Simpson指数Simpson指数是另一种测量生态系统中物种多样性的指标。

它考虑了物种的丰度和物种的数目，有时被称为优势度指数，因为它更加关注的是样本中最多个体数的物种。

5. Jaccard指数Jaccard指数可以用来评估两个生态系统之间的相似度。

它根据两个生态系统共有的物种和独特的物种数量来计算它们之间的相似度。

6. Bray–Curtis指数Bray–Curtis指数也可以用来评估两个生态系统之间的相似度，但它不仅考虑物种是否存在，还考虑物种的相对数量。

总结这些生物多样性指标常被用于评估生态系统和群落的物种多样性和均匀度。

单独使用这些指标可能会遗漏某些重要的信息，因此，在评估生态系统多样性时，需要综合考虑各项指标以形成全面的视角。

ace 指数、chao 指数、shannon 指数、simpson 指数等多种评估指数。

评估指数是一种用于评价和度量某种特定现象或情况的指标。

在不同领域中，常用的评估指数有很多种，其中包括ACE指数、CHAO指数、Shannon指数和Simpson指数等。

1. ACE指数（Abundance-based Coverage Estimator）：ACE指数是一种用于估计未观测到的物种丰富度的一种指标。

它基于统计模型，通过对已观测到的物种丰富度进行推断，来估计未观测到的物种数量。

一般来说，ACE指数越高，表示物种丰富度越大。

2. CHAO指数：CHAO指数也是一种用于估计未观测到的物种丰富度的指标。

它是在ACE指数的基础上发展而来的，通过对已观测到的物种数量和种群中每个物种的存在次数进行计算，来估计未观测到的物种数量。

与ACE指数类似，CHAO指数越高，表示物种丰富度越大。

3. Shannon指数：Shannon指数是用于衡量生物群落物种多样性的一种指标。

它综合了物种丰富度和物种均匀度两个方面，通过计算各物种的丰富度和相对丰度的乘积，并进行加权求和，来反映物种多样性的程度。

Shannon指数越高，表示物种多样性越丰富。

4. Simpson指数：Simpson指数也是用于衡量生物群落物种多样性的一种指标。

它与Shannon指数类似，也综合考虑了物种丰富度和物种均匀度，但是更加注重物种均匀度的影响。

Simpson指数的计算基于物种相对丰度，其值越小表示物种多样性越高。

这些评估指数在生态学、生物多样性研究以及社会科学等领域中得到广泛应用。

它们可以帮助人们更全面地了解生态系统的结构和功能，并提供参考依据用于保护和管理生物资源。

此外，这些评估指数还可以用于统计学分析、生物多样性评估、物种丰富度预测等方面，为科学研究和实践提供有力支持。

总结起来，ACE指数、CHAO指数、Shannon指数和Simpson指数等评估指数都在不同领域中发挥着重要作用，它们可以帮助人们评估和度量特定现象或情况，并提供决策支持和科学依据。

ace 指数、chao 指数、shannon 指数、simpson 指数等多种评估指数。

评估指数是用于评估和度量某个领域或系统的多样性、均匀性或复杂性的工具。

这些指数提供了一种量化多样性或均匀性的方式，可以帮助研究人员、生态学家、经济学家等更好地理解和比较不同系统的特征。

下面将介绍几种常用的评估指数：1. ACE指数（Abundance-based Coverage Estimator）是用于评估生物多样性的一种非参数方法。

该指数基于给定样本中物种的数量和频率来预测其完全样本覆盖的结果。

ACE指数通过对物种的出现次数进行统计分析，估计未观测到的物种丰富度。

2. Chao指数（Chao1）是一种用于评估物种丰富度的非参数方法。

该指数基于已经观测到的物种数量和样本中物种的频率，估计未观测到的物种丰富度。

Chao指数可以理解为总的物种数目，包括已观测到的和未观测到的物种。

3. Shannon指数（Shannon index）是用于评估物种多样性的一种常用指数。

该指数基于不同物种的丰富度和均匀度对样本的多样性进行统计分析。

Shannon指数考虑了物种的数量和相对丰度，因此可以比较物种多样性较高的样本和物种多样性较低的样本。

4. Simpson指数（Simpson index）也是用于评估物种多样性的一种常用指数。

Simpson指数计算了同一物种在样本中出现的概率的平方和，并用1减去该值来反映物种的均匀度。

Simpson指数越接近1，表示物种均匀度越高，越接近0，表示物种均匀度越低。

这些指数可以帮助我们了解不同系统或领域的多样性、均匀性或复杂性。

例如，在生态学研究中，这些指数可以用于比较不同生态系统的物种多样性或评估物种灭绝的风险；在经济学研究中，这些指数可以用于评估市场竞争的程度或企业创新的能力。

需要注意的是，以上介绍的只是一小部分评估指数，并且在不同领域有不同的应用和变种。

此外，评估指数的选择应该根据具体研究目的和数据特点来确定，并且需要结合其他统计方法和领域专家的意见进行综合分析。

一类特殊三圈图关于Merrifield-Simmons指标和Hosoya指标的排序田文文;田双亮【期刊名称】《宁夏大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)003【摘要】研究了一类三圈图Tk 的Merrifield-Simmons指标和 Hosoya指标，根据Cq 上2接点u和v之间的距离，给出了该类三圈图关于这2种指标的排序。

%The Merrifield-Simmons index and Hosoya index of a class of tricyclic graphs Tk is investigated. According to the distance between u and v on Cq ,their orderings with respect to these two indices are obtained.【总页数】4页(P212-215)【作者】田文文;田双亮【作者单位】西北民族大学数学与计算机科学学院，甘肃兰州 730030;西北民族大学数学与计算机科学学院，甘肃兰州 730030【正文语种】中文【中图分类】O157.5【相关文献】1.一类特殊单圈图关于Merrifield-Simmons指标和Hosoya指标的排序 [J], 王燕凤;马宁;2.一类特殊双圈图关于Merrifield-Simmons指标和Hosoya指标的排序 [J], 张静;田文文;田双亮3.一类特殊单圈图关于Merrifield-Simmons指标和Hosoya指标的排序 [J], 王燕凤;马宁4.一类三圈图关于 Merrifield-Simmons 指标和Hosoya 指标的排序 [J], 柴文丽;田文文5.一类特殊(n,n+1)-图关于Merrifield-Simmons指标和Hosoya指标的排序 [J], 尚娅璇;因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。