重庆市巴蜀中学高二上学期期末考试数学理试题

【答案】
【解析】如图所示，先通过已知求出 ,再根据二面角求出 ，再解直角三角形求出外接球半径，即得解.
【详解】
如图所示，点E为AD的中点，连接PE,则PE⊥AD,设矩形ABCD的中心为 ,四棱锥的外接球的球心为O,由题得球心O在过点 且与平面ABCD垂直的直线上，
由题得O-PAD为正三棱锥，所以点O在底面△PAD的射影为底面△PAD的重心 ，
（1）当 时， ；当 时， ；
,
所以曲线C的直角坐标方程为 .
（2）将 代入 得 ，
∴ ，∴ ，
所以 ，∴ ， ，∴ .
【点睛】
本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．如图，在直三棱柱 中， ， 分别为 的中点， ．
①方程必有实数解；
②当 时，方程有且只有一个实根；
③若方程存在两个不同的实根 和 ，则有 ．
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】对每一个命题逐一分析判断得解.
【详解】
①,当k=0时，原方程为 ，所以原方程无实数解，所以该命题错误；
②，当 时，原命题等价于函数 与函数 的图象有且只有一个交点，两函数的图象如图所示，它们的图象有且只有一个交点，所以该命题正确；
【详解】
由题意可得 ， 的中点为 ， ，
直线 的斜率为 ，可得 的垂直平分线的斜率为 ，
即直线 的垂直平分线方程为 ，即为 ．
由双曲线 上存在点 满足 ，
可得 的垂直平分线与双曲线有交点，
由双曲线的渐近线方程为 ，
即有 ，即 ，可得 ，
可得 ，
故选： ．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的范围的求法，以及线段的垂直平分线方程的求法，注意运用渐近线的斜率与直线的斜率的关系．

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列函数中，是奇函数的是（）A. f(x) = x^2 - 1B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = e^x2. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 = 3，a4 = 9，则d = （）A. 2B. 3C. 4D. 63. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(1) = 2，f(2) = 5，则a +b +c = （）A. 3B. 4C. 5D. 64. 在△ABC中，若∠A = 30°，∠B = 45°，则sinC = （）A. √2/2B. √3/2C. 1/2D. √2/45. 下列复数中，不是纯虚数的是（）A. 3iB. -2iC. 4iD. -5i6. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，an = 2an-1 + 1（n ≥ 2），则a3 = （）A. 6B. 7C. 8D. 97. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 3B. 3x^2 - 2C. 3x^2 - 1D. 3x^28. 下列方程中，无解的是（）A. x^2 - 4x + 3 = 0B. x^2 - 4x + 4 = 0C. x^2 - 4x + 5 = 0D. x^2 - 4x + 6 = 09. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，则f(-1) = （）A. 0B. 1C. 2D. 310. 在△ABC中，若a = 3，b = 4，c = 5，则cosA = （）A. 1/2B. √3/2C. 1/4D. √3/4二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 若函数f(x) = 2x - 3在区间[1, 4]上单调递增，则k的取值范围是__________。

12. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 3，an = 5，则Sn =__________。

一、单选题1．若直线l 的方向向量是，则直线l 的倾斜角为（ ）(e = A ．B ．C ．D ．π6π32π35π6【答案】B【分析】由斜率与倾斜角，方向向量的关系求解【详解】由直线l 的方向向量是得直线(e = l设直线的倾斜角是， ()π0πtan 3αααα≤<=⇒=，故选：B.2．设向量不共面，空间一点满足，则四点共面的一,,OA OB OCP OP xOA yOB zOC =++ ,,,A B C P 组数对是（ ） (),,x y z A ．B ．C ．D ．111,,432⎛⎫ ⎪⎝⎭111,,436⎛⎫- ⎪⎝⎭131,,442⎛⎫- ⎪⎝⎭121,,332⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用空间共面向量定理的推论即可验证得到答案.【详解】空间一点满足，若四点共面，则P OP xOA yOB zOC =++,,,A B C P 1x y z ++=选项A ：.判断错误； 11113143212x y z =++++=≠选项B ：.判断错误；111114364x y z =++=+-+≠选项C ：.判断正确；1311442x y z =-+++=+选项D ：.判断错误.121513326x y z =++=+-+≠故选：C3．设为两个不同的平面，则的一个充分条件可以是（ ） ,αβαβ∥A ．内有无数条直线与平行 B ．垂直于同一条直线 αβ,αβC ．平行于同一条直线 D ．垂直于同一个平面,αβ,αβ【答案】B【分析】利用线面，面面平行垂直的判定或性质对各个选项进行分析即可得到答案. 【详解】对于A ，内有无数条直线与平行不能得出两个平面可以相交，故A 错； αβ,αβ∥对于B ，垂直于同一条直线可以得出，反之当时，若垂直于某条直线，则也垂,αβαβ∥αβ∥αβ直于该条直线，正确；对于C ，平行于同一条直线，则两个平面可以平行也可以相交，故错误； ,αβ对于D ，垂直于同一平面的两个平面可以平行也可以相交，故错误； 故选：B ．4．在等比数列中，，则（ ） {}n a 2481,16a a a =⋅=4a =A ．2 B ． C ．4 D ．2-4-【答案】A【分析】根据给定条件，求出等比数列公比的平方即可计算作答.【详解】设等比数列的公比，则，而，，{}n a q 264282,a a q a a q ==21a =4816a a ⋅=于是得，即，解得，所以.2616q q ⋅=24()16q =22q =2422a a q =⋅=故选：A5．已知直线与圆交于两点，且，则实数的值为0(0)x y m m ++=>22:1O x y +=,A B 23AOB π∠=m （ ）A ．BCD ．112【答案】B【分析】利用题给条件列出关于实数的方程，解之即可求得实数的值. m m 【详解】圆的圆心，半径， 22:1O x y +=(0,0)O 1r =由，可得圆心到直线的距离为，23AOB π∠=O 0(0)x y m m ++=>1122r =，解之得或（舍） 12=m =m =故选：B6．椭圆的左顶点为，点均在上，且关于轴对称．若直线2222:1(0)x y C a b a b+=>>A ,P Q C y 的斜率之积为，则的离心率为（ ）,AP AQ 13CA ．B C ．D 1323【答案】D【分析】设出，得到，根据斜率之积列出方程，得到，结合(),P m n (),Q m n -2223n a m =-，求出，求出离心率.222222b m a n a b +=2213b a =【详解】由题意得：，设，，故，(),0A a -(),P m n (),Q m n -222222b m a n a b +=，故， ,AP AQ n nk k m a m a ==+-+13n n m a m a ⋅=+-+解得：，2223n a m =-由，得到，即，22222a n m a b =-22223a n n b=2213b a =离心率e =故选：D7．如图，教室里悬挂着日光灯管，灯线，将灯管绕着过中点的,120cm AB AB =AC BD =AB AB O 铅垂线顺时针旋转至，且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高了，则的OO '60 A B ''20cm AC 长为（ ）A ．B ．C ．D ．70cm 80cm 90cm 100cm 【答案】D【分析】设与交于点，过点作于，连接，在中求出，A B ''OO 'N A 'A M AC '⊥M MN A MN '△A M '在中根据勾股定理求解.R t A MC A ¢【详解】设与交于点，过点作于，连 A B ''OO 'N A 'A M AC '⊥M 接，如图所示，则中，， MN 20,CM AC A MN ='-A 1602A N AB ='=，所以，在中，由勾 60,60MN A NM ∠'== 60A M '=R t A MC A ¢股定理得，，解得．222(20)60AC AC -+=()100cm AC =故选：D8．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两2:4E y x =F l x C m C E ,A B 点，在线段上，若，则（ ） B AC AB BF ⊥AF =A ．B ．C ．D ．2+3【答案】C【分析】根据和抛物线的方程可求得，再联立直线与抛物线的方程根据韦达AB BF⊥22x =m 定理可得，即可求，根据抛物线的定义即可得结果. 121=xx 12x =【详解】由题意可得：，()()1,0,1,0F C -设，则有，()()1122,,,A x y B x y 2222,11BC BF y yk k x x ==+-∵，则，可得，AB BF ⊥222222221111BC BF y y y k k x x x ===-+--22221x y +=又∵在抛物线上，则，B 2:4E y x =2224y x =联立，解得或（舍去），222222214x y y x⎧+=⎨=⎩22x =-22x =-设直线，联立方程，消去y 得，():1m y k x =+()214y k x y x ⎧=+⎨=⎩()2222220k x k xk +-+=则，即， 121=xx 1212x x ==故132pAF x =+=+故选：C ．二、多选题9．有一组样本数据，由这组数据得到新的样本数据，则（ ） 12,,,n x x x ⋯123,3,,3n x x x ⋯A ．新样本数据的极差是原样本数据极差的3倍 B ．新样本数据的方差是原样本数据方差的3倍 C ．新样本数据的中位数是原样本数据中位数的3倍 D ．新样本数据的平均数是原样本数据平均数的3倍 【答案】ACD【分析】根据平均数、极差、方差、中位数的定义及性质判断即可. 【详解】设样本数据，，…，的最大值为，最小值为， 1x 2x n x max x min x 平均数为，中位数为，方差为，则极差为，x x 2S max min x x -所以新的样本数据，，…，的最大值为，最小值为，13x 23x 3n x max 3x min 3x 平均数为，中位数为，方差为，则极差为， 3x 3x 22239S S =()max min max min 333x x x x -=-即新样本数据的极差是原样本数据极差的倍，新样本数据的方差是原样本数据方差的倍， 39新样本数据的中位数是原样本数据中位数的倍，新样本数据的平均数是原样本数据平均数的倍. 33故选：ACD10．记为数列的前项和，下列说法正确的是（ ） n S {}n a n A ．若对，有，则数列是等差数列*2,n n N ∀≥∈112n n n a a a -+=+{}n a B ．若对，有，则数列是等比数列 *2,n n N ∀≥∈211n n n a a a -+=⋅{}n a C ．已知，则是等差数列()2,n S pn qn p q =+∈R {}n a D ．已知，则是等比数列()0nn S a m a a =⋅-≠{}n a 【答案】AC【分析】利用等差和等比数列的定义及性质，以及等差和等比数列前项和的形式，可逐一判断. n 【详解】对A ，由等差中项的性质，可知数列是等差数列，故A 正确；112n n n a a a -+=+{}n a 对B ，若，满足，，但不为等比数列，故B 错误；0n a =211n n n a a a -+=⋅2n ≥{}n a 对C ，当时，，当时，，时符合该式，易知1n =11a S p q ==+2n ≥12n n n a S S pn p q -=-=-+1n =是以为首项，为公差的等差数列，故C 正确；{}n a 1a p q =+2p 对D ，当时，，1n =11(1)a S m a ==-时，，2n ≥111(1)n n n n n n a S S a m a a m a a m m ---=-=⋅--⋅+=⋅-时符合该式，1n =当时，易知是以为首项，为公比的等比数列， 1m ≠{}n a 1(1)a m a =-m 当时，则是等于零的常数列，故D 错误. 1m ={}n a 故选：AC.11．如图，棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）．则下列结论1111ABCD A B C D -P 11B D 正确的是（ ）A ．当点为中点时，P 11B D 1A P BD ⊥B ．当点在线段上运动时，点到平面的距离为定值 P 11B D P 1A BD C ．当点为中点时，二面角的余弦值为P 11B D 1B A P D --13D ．过点平行于平面的平面截正方体截得多边形的周长为P 1A BD α1111ABCD A B C D -【答案】ABC【分析】求得位置关系判断选项A ；求得点到平面的距离变化情况判断选项B ；1A P BD 、P 1A BD 求得二面角的余弦值判断选项C ；求得截面多边形的周长判断选项D. 1B A P D --【详解】对于，当点为中点时，由于为正方形，所以， A P 11B D 1111D C B A 111A P B D ⊥又，所以，故A 正确；11//BD B D 1A P BD ⊥对于，由于，平面，平面 B 11//B D BD 11B D ⊄1A BD BD ⊂1A BD 则 平面，又，11B D //1A BD 11P B D ∈所以在任何位置时到平面的距离为定值，故B 正确；P 1A BD 对于，易得平面，平面，所以， C 1D D ⊥11BB D D 1A P ⊂11BB D D 11D D A P ⊥因为，平面，1BD D D D ⋂=1,BD D D ⊂11BB D D 所以平面，由平面可得，1A P ⊥11BB D D ,BP DP ⊂11BB D D 11,BP A P DP A P ⊥⊥则为二面角的平面角， ，故C BPD ∠1B A P D --2221cos 23BP DP BD BPD BP DP ∠+-===⋅正确；对于，连接.D 11B C D C 、因为，所以四边形是平行四边形， 1111,A B //CD A B =CD 11A B CD 所以，又平面，平面 11//A D B C 1B C ⊄1A BD 1A D ⊂1A BD 则 平面，又平面，1B C //1A BD 11B D //1A BD ，平面，平面， 1111B C B D B ⋂=1B C ⊂11B CD 11B D ⊂11B CD 则平面平面，则截面为， 11B CD //1A BD 11B CD A所以截面周长为错误. D 故选：ABC ．12．已知为双曲线上的动点，过点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为M 22:13x C y -=M C ,P Q，设直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） ,MP MQ 12,k k A ． B ． 23PMQ π∠=123k k =C ．D ． 38MP MQ ⋅=- 32PQ ≥【答案】ACD【分析】求出双曲线的渐近线即可判断选项A ；根据渐近线的方程即可判断选项B ；根据条件得出C ；利用余弦定理和基本不等式即可判断选项D.【详解】双曲线的渐近线方程为，即，，，故正y x =0x =π3POQ ∠∴=2π3PMQ ∠=A 确；分别与两条渐近线垂直，，故B 错误；MP MQ ､(123k k ∴==-设，则，即，00(,)P x y 220013x y -=220033x y -=MQ，故C 正确；2200313cos 428x y MP MQ MP MQ PMQ ∠-⎛⎫∴⋅==⋅-=- ⎪⎝⎭222222π9||||||2||||cos||||||||3||||34PQ MP MQ MP MQ MP MQ MP MQ MP MQ =+-=++≥=当且仅当时等号成立，，故D 正确． MP MQ =32PQ ∴≥故选：．ACD三、填空题13．甲乙两名实习生每人各加工一个零件，若甲实习生加工的零件为一等品的概率为，乙实习生13加工的零件为一等品的概率为，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好14有一个一等品的概率为__________． 【答案】512【分析】两个零件中恰好有一个一等品，即甲加工的零件为一等品且乙加工的零件不是一等品，或乙加工的零件为一等品且甲加工的零件不是一等品，计算概率即可.【详解】甲加工的零件为一等品且乙加工的零件不是一等品的概率为，1111344⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭乙加工的零件为一等品且甲加工的零件不是一等品的概率为，1111436⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭所以两个零件中恰好有一个一等品的概率为.1156412+=故答案为：. 51214．写出与圆和都相切的一条直线的方程221:(1)(3)1C x y +++=222:(3)(1)9C x y -++=__________．【答案】######0x =4y =-430x y -=34100x y ++=【分析】判断两个圆是相离的，得到应该有四条公切线，画出图形易得或为公切线，0x =4y =-设切线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列出关于方程组，求解. y kx b =+,k b 【详解】因为圆的圆心为，半径 1C ()11,3C --11r =圆的圆心为，半径2C ()23,1C -23r =又因为 14C C =>所以圆与圆相离，所以有4条公切线.1C 2C易得或是圆和的公切线:0a x =:4n y =-221:(1)(3)1C x y +++=222:(3)(1)9C x y -++=设另两条公切线方程为： y kx b =+圆到直线1C y kx b =+圆到直线2C y kx b =+所以3133k b b k ++=-+所以或 31339k b b k ++=-+31339k b b k ++=-+-或34k b =+52b =-当52b =-1所以，切线方程为34k =-34100x y ++=当34k b =+3=所以 ()()225249b b +=++所以 240b b +=所以或 0b =4b =-当时，切线方程为 0b =43k =430x y -=当时，切线方程为4b =-0k =4y =-故答案为：或或或0x =4y =-430x y -=34100x y ++=15．已知是各项为整数的递增数列，且，若，则的最大值为{}n a 13a ≥12350n a a a a +++⋯+=n ____．【分析】先由题意确定数列是公差为1的等差数列，进而求得的最大值. {}n a n 【详解】数列是递增的整数数列， {}n a 要取最大，递增幅度尽可能为小的整数，n ∴假设递增的幅度为， 11,3,2n a a n =∴=+ 则， ()232522nn n n n S +++==数列为递增数列，252n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭， 74250S =<， 85250S =>即为最大值． 7n =故答案为：716．已知正三棱柱的所有棱长为111ABC A B C -1A 11BCC B 的交线长为__________． 【答案】4π3【分析】根据题意结合正三棱柱的性质和球的性质即可求解.【详解】设的中点为，易知，又因为面面，且面11B C M 111A M B C ⊥111A B C ⊥11BCC B 11B C =111A B C Ç面，所以面，所以题中所求交线即为以为圆心，11BCC B 1A M ⊥11BCC B M为半径的一段圆弧．设该圆弧与的交点分别为，球与侧2==11,BB CC ,P Q面的交线如图所示，则 11BCC B 12,PM B M ==易知， 11π6PMB QMC ∠∠==所以该圆弧所对的圆心角为， 2π3PMQ ∠=故所求弧长为， 2π4π233⨯=故答案为：. 4π3四、解答题17．已知是公差为的等差数列，是数列的前项和，是公比为的等比数列，且{}n a d n S {}n a n {}n b q ． 73447,2S b b a ==(1)求；q (2)若，证明：． 684b a =11a b =【答案】(1)2； (2)证明见解析.【分析】（1）由,，得，再根据，得到即可.747S a =737S b =43a b =442b a =432b b =（2）由两式相除得，再将和代入，得，再由得68444,2b a b a ==842a a =1a d 1n a na =442b a =即可.11824b a =⋅【详解】（1）由等差数列得,{}n a ()1774772a a S a +==又， 737Sb =得， 43a b =又， 442b a =得， 432b b =因此.2q =（2）证明：由两式相除得， 68444,2b a b a ==842a a =即， ()11723a d a d +=+则，因此．1a d =1n a na =再由得，即．442b a =11824b a =⋅11a b =18．已知两点及圆为经过点的一条动直线． ()()4,2,5,0D M 22:(2)(1)5,C x y l -+-=M (1)若直线经过点，求证：直线与圆相切；l D l C (2)若直线与圆相交于两点，从下列条件中选择一个作为已知条件，并求的面积．l C ,A B ABD △条件①：直线平分圆；条件②：直线的斜率为．l C l 13-【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】(1)求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与半径比较得l l 出结论；(2) 选择条件①可得直线过圆心，直线的方程为，利用点到直线的距离和三l ()2,1C l 350x y +-=角形面积公式即可求解；若选择条件②：若直线的斜率为，则直线的方程为，l 13-l 350x y +-=利用点到直线的距离和三角形面积公式即可求解；【详解】（1）若直线经过点，则直线的方程为，即． l D l ()25y x =--2100x y +-=由题意，圆的圆心为，半径， C ()2,1C r =则圆心到直线，所以直线与圆相切．()2,1C l r =l C （2）选择条件①：若直线平分圆，l C 则直线过圆心，直线的方程为．l ()2,1C l 350x y +-=到直线的距离 2AB r ==()4,2D l h =所以． 1122ABD S AB h =⨯=⨯=△选择条件②：若直线的斜率为，则直线的方程为，l 13-l 350x y +-=此时圆心在直线上，则，点到直线的距离 ()2,1C l 2AB r ==()4,2D l h =所以． 1122ABD S AB h =⨯=⨯=△19．已知数列的前项和． {}n a n 22n S n n =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设各项均为正数的等比数列的前项和为，且成等差数列，求{}n b n n T 322115314,,,T a b a b a b =+++．n T 【答案】(1)； 21n a n =+(2).41162n n T -=-【分析】（1）利用数列通项与前项和的关系即可求得数列的通项公式；n {}n a （2）先利用题给条件求得等比数列的首项与公比的值，再利用公式即可求得等比数列的{}n b {}n b 前项和.n n T 【详解】（1）当时，；1n =112123S a ==+=当时，，2n ≥2212(1)2221n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦满足，故数列的通项公式． 13a =21n a n =+{}n a 21n a n =+（2）设等比数列的公比为， {}n b (0)q q >因为成等差数列，221153,,a b a b a b +++所以，即．()1225132a b a b a b +=+++()211123511b b q b q +=+++因为，所以．314T =211114b b q b q ++=联立，解之得或（舍）． ()21112111231614b b q b q b b q b q ⎧+=++⎨++=⎩1812b q =⎧⎪⎨=⎪⎩1832b q =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以． 418121161212n n n T -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫- ⎪⎝⎭20．如图，已知四边形和四边形都是直角梯形，，，，ABCDCDEF //AB DC //DC EF 5AB =，，．设分别为的中点．3DC =1EF =60BAD CDE CBF ∠=∠=∠= ,M N ,AE BC(1)证明：；FN AD ⊥(2)求直线与平面所成角的正弦值． BM ADE 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）依题意可得平面，即可得到，再判断是等边三角形，得到CD ⊥CBF CD FN ⊥BCF △，即可得到平面，从而得到，即可得到平面，从而得CB FN ⊥DC ⊥FCB DC FN ⊥FN⊥ABCD 证；（2）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）证明：由于，，平面， ,CD CB CD CF ⊥⊥CB CF C = ,CB CF ⊂CBF 则平面，又平面，所以． CD ⊥CBF FN ⊂CBF CD FN ⊥又，，，， 5AB =3DC =1EF =60BAD CDE CBF ∠=∠=∠=所以))CF CD EF CB AB CD =-==-=则是等边三角形，则，BCF △CB FN ⊥因为平面平面， ,,,DC FC DC BC FC BC C FC ⊥⊥⋂=⊂,FCB BC ⊂FCB 所以平面，因为平面，所以， DC ⊥FCB FN ⊂FCB DC FN ⊥又因为平面平面， ,DC CB C DC ⋂=⊂,ABCD CB ⊂ABCD 所以平面，因为平面，故； FN⊥ABCD AD ⊂ABCD FN AD⊥（2）解：由于平面，如图建立空间直角坐标系，FN ⊥ABCD于是，()()()()()0,,5,,0,0,3,1,0,3,B A F E D 则，，33,2M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()()3,2,,2,2BM DA DE ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面的法向量，ADE (),,n x y z =r则，，令00n DA n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 20230x x z ⎧-=⎪∴⎨-+=⎪⎩x =1,y z ==平面的法向量，∴ADE n =设与平面所成角为，则BM ADE θsin θ所以直线与平面 BM ADE 21．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组[)75,85[)85,95[)95,105 [)105,115 []115,125 频数 62638228(1)在下表中作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)已知在这些数据中，质量指标值落在区间内的产品的质量指标值的平均数为94，方差为[)75,10540，所有这100件产品的质量指标值的平均数为100，方差为202，求质量指标值在区间[]105,125内的产品的质量指标值的方差． 【答案】(1)答案见解析 (2)平均数为100，方差为104.(3)300【分析】（1）计算每组频率，从而画出频率分布直方图；（2）由频率分布直方图中的数据结合平均数，方差的求法求解即可； （3）先计算区间内的平均数以及，再由方差公式求解.[)105,125y 3021i i y =∑【详解】（1）由题意可知，分组，，，，，对应的频率[)75,85[)85,95[)95,105[)105,115[]115,125分别为. 0.06,0.26,0.38,0.22,0.08则频率分布直方图如下图所示：（2）质量指标值的样本平均数为．800.06900.261000.381100.221200.08100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=质量指标值的样本方差为2222(10080)0.06(10090)0.26(100100)0.38s =-⨯+-⨯+-⨯22(100110)0.22(100120)0.08+-⨯+-⨯104=（3）由题，质量指标值落在区间内的产品有70件，[)75,105设质量指标值分别为，则平均数为，方差为，1270,,,x x x 94x =240x s =质量指标值落在区间内的产品有30件，[)105,125设质量指标值分别为，则平均数为，方差为， 1230,,,y y y y 2y s 设这100件产品的质量指标值的平均数为，100z =方差为，则，2202z s =1007030z x y =+所以，又因为，则， 114y =702221170xi i s x x ==-∑7021621320i i x ==∑又因为，则， 7030222111100zi i i i s x y z ==⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑∑3021398880i i y ==∑所以302221130030yi i s y y ==-=∑22．已知抛物线的焦点为，直线，点，点在抛物线上，2:4C y x =F :250l x y -+=()1,1P ,M N C 直线与直线交于点，线段的中点为． l MN Q MN D (1)求的最小值； 2PD MF NF ++(2)若，求的值．,QM aMP QN bNP ==a b +【答案】(1)4 (2)2【分析】（1）求出抛物线的准线方程，设点和点到准线的距离为，， C D P l 1d 2d 由抛物线定义得到，求出； 12MF NF d +=2224PD MF NF d ++≥=（2）设点，由向量比例关系求出，代入抛物线()()()001122,,,,,Q x y M x y N x y 0011,11x a y ax y a a++==++方程，结合点在直线上，化简得到，同理得到()00,Q x y :250l x y -+=22003640a a x y -+-=，故是关于的方程，求出两根之和.22003640b b x y -+-=,a b x 22003640x x x y -+-=【详解】（1）依题意，抛物线的准线方程为． C :1l x =-设点到准线的距离为，点到准线的距离为 D l 1d P l 2d 由抛物线的定义可知，，12MF NF d +=，()112222242PD MF NF PD d PD d d ++=++≥==故的最小值为4．2PD MF NF ++（2）设点，且，()()()001122,,,,,Q x y M x y N x y ()1,1P 则， ()()101011,,1,1QM x x y y MP x y =--=-- 因为，所以，QM aMP =()()101011,1,1x x y y a x y --=--因此，即， ()()1011011,1x x a x y y a y -=--=-0011,11x a y ax y a a++==++又在抛物线上，所以， ()11,M x y 2:4C y x =()200411x a y a a a ++⎛⎫= ⎪++⎝⎭故①．()220000322240a x y a x y ++-+-=由于点在直线上，()00,Q x y :250l x y -+=所以，把此式代入①式并化简得：②，00223x y +-=-22003640a a x y -+-=同理由可得③，QN bNP = 22003640b b x y -+-=由②③得是关于的方程的两根，此时判别式大于0，,a b x 22003640x x x y -+-=由根与系数的关系，得．2a b +=【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．。

2021-2022学年重庆市巴蜀中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知椭圆方程为2212x y +=，则该椭圆的焦距为（ ）A ．1B ．2CD ．答案：B根据椭圆中,,a b c 之间的关系，结合椭圆焦距的定义进行求解即可.解：由椭圆的标准方程可知：222222,11a b c a b ==⇒=-=，则焦距为22c =， 故选：B.2．下列说法正确的是（ ） A ．空间中的任意三点可以确定一个平面 B ．四边相等的四边形一定是菱形 C ．两条相交直线可以确定一个平面 D ．正四棱柱的侧面都是正方形 答案：C根据立体几何相关知识对各选项进行判断即可.解：对于A ，根据公理2及推论可知，不共线的三点确定一个平面，故A 错误； 对于B ，在一个平面内，四边相等的四边形才一定是菱形，故B 错误； 对于C ，根据公理2及推论可知，两条相交直线可以确定一个平面，故C 正确； 对于D ，正四棱柱指上、下底面都是正方形且侧棱垂直于底面的棱柱，侧面可以是矩形，故D 错误. 故选：C3．已知数列{}n a 中，1111,31n na a a +==-，则5a =（ ） A ．13B ．32-C ．2-D ．32答案：D由数列{}n a 的递推公式依次去求，直到求出5a 即可. 解：由1111,31n na a a +==-，可得2111311213a a ===--，321123112a a ===---， 3411111(2)3a a ===---， 4511311213a a ===-- 故选： D.4．已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若m n ⊥，n ⊂α，则m α⊥ B ．若m n ∥，n ⊂α，则m α∥ C ．若m n ⊥，n α⊥，则m α∥ D ．若m n ∥，n α⊥，则m α⊥答案：D根据空间直线与平面间的位置关系判断． 解：若m n ⊥，n ⊂α，也可以有m α⊂，A 错； 若m n ∥，n ⊂α，也可以有m α⊂，B 错； 若m n ⊥，n α⊥，则m α∥或m α⊂，C 错；若m n ∥，n α⊥，则m α⊥，这是线面垂直的判定定理之一，D 正确 故选：D ．5．《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问第11日到第20日这10日共织布（ ） A ．30尺 B ．40尺C ．6尺D ．60尺答案：A由题意可知，每日的织布数构成等差数列，由等差数列的求和公式得解. 解：由题女子织布数成等差数列，设第n 日织布为n a ，有1305,1a a ==，所以()()1120111220130105302a a a a a a a ++++=⨯=+=，故选:A.6．已知正三棱柱111ABC A B C -中，12,1AB AA ==，点D 为AB 中点，则异面直线BC 与1C D 所成角的余弦值为（ ）A ．34BC．3D ．12答案：A根据异面直线所成角的定义，取AC 中点为E ，则1EDC ∠为异面直线BC 和1C D 所成角或其补角，再解三角形即可求出．解：如图所示：设AC 中点为E ，则在三角形ABC 中，,D E 为中点，DE 为中位线，所以有//DE BC ，112DE BC ==，所以1EDC ∠为异面直线BC 和1C D 所成角或其补角，在三角形1EDC 中，112,2DC C E ==22211113cos 24C D DE C E EDC DE C D ∠+-==⋅， 故选：A.7．已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线C 相交于,A B 两点，且3AF FB =，则直线l 的斜率为（ ）A ．3B ．3C ．±1D ．3答案：B设直线倾斜角为θ，由3AF FB =，及112AF BF p +=，可求得13313AF BF ==⨯=，当点A 在x 轴上方，又1cos p AF θ=-，求得1cos ,tan 32θθ==，利用对称性即可得出结果.解：设直线倾斜角为θ，由3AF FB =，所以3AF BF =，由12p =， 112411433BF AF BF p BF +=⇒⨯=⇒=∣，所以13313AF BF ==⨯=，当点A 在x 轴上 方，又1cos p AF θ=-，所以1cos ,tan 32θθ=，所以由对称性知，直线l 的斜率3故选：B.8．已知四面体P ABC -中，,2,23PC a PA PB AC BC a AB a ======，若该四面体的外接球的球心为O ，则OAC 的面积为（ ） A 273 B 215 C 230 D 23a答案：C根据四面体的性质，结合线面垂直的判定定理、球的性质、正弦定理进行求解即可. 解：由图设点D 为AB 中点，连接,PD CD ，由PA PB AC BC ===，所以,PD AB CD AB ⊥⊥，,,PD CD D PD CD ⋂=⊂面PCD ，则AB ⊥面PCD ，且PAB ABC ≌，所以球心O ∈面PCD ，所以平面PCD 与球面的截面为大圆，CD 延长线与此大圆交 于E 点.在三角形ABC 中，由2,23AC BC a AB a ===，所以130,120,sin 22A B C CD BC B a a =====⨯=，由正弦定理知：三角形ABC 的外接圆半径为122sin120ABr a =⨯=，设三角形ABC 的外接圆圆心为点M ，则OM ⊥面ABC ，有2r ME MC a ===，则MD a =，设PAB △的外接圆圆心为点N ，则ON ⊥面PAB ，由正弦定理知：三角形PAB 的外接圆半径为122sin120ABr a =⨯=，所以OM ON =，又三角形PDC 中，PC PD CD a ===， 所以OD 为PDC ∠的角平分线，则30ODM ∠=， 在直角三角形OMD 中，3tan 303OM MD ==， 在直角三角形OED 中，22222213433a R OM EM a a =+=+=，在三角形OAC 中，取中点S ，由OA OC OS AC =⇒⊥2222131033OS OA AS a a a =-=-=，所以211303022233OACSAC OS a a a =⨯=⨯⨯=， 故选：C.【点睛】关键点睛：运用正弦定理、勾股定理、线面垂直的判定定理是解题的关键. 二、多选题9．如图，正四棱锥P ABCD -中，O 为正方形ABCD 的中心，2PA AB ==，点,E F 分别为侧棱,PA PB 的中点，则（ ）A ．OE PA ⊥B ．//OF PDC ．四棱锥P ABCD -的体积为43D ．AC ⊥平面PBD 答案：ABD证明OP ⊥平面ABCD ，OP OA =，故选项A 正确；证明//OF PD ，故选项B 正确； 42P ABCD V -=，故选项C 错误；证明,OP AC BD AC ⊥⊥，则AC ⊥平面PBD 即得证，故选项D 正确.解：由点O 为正方形ABCD 的中心，则OP ⊥平面ABCD ，直角三角形POA 中，2212,22OA AC OP PA OA ==-所以OP OA =，当E 为中点时，OE PA ⊥，故选项A 正确；在三角形PBD 中，,O F 为中点，所以//OF PD ，故选项B 正确；11422433P ABCD ABCD V OP S -=⨯==C 错误； 由OP ⊥面,,ABCD OP AC BD AC ⊥⊥，,,OP BD O OP BD =⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ，故选项D 正确. 故选：ABD.10．已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上第一象限的点，点12,A A 为双曲线的左右顶点，过点P 向x 轴作垂线，垂足为点Q ，记212PQt AQ A Q =⋅，则（ ）A ．bt a=B ．双曲线的离心率为1e t =+C ．当1t =时，双曲线的渐近线互相垂直 D ．t 的值与P 点在双曲线上的位置无关 答案：BCD根据双曲线左右顶点坐标，结合双曲线的离心率公式、渐近线方程进行逐一判断即可. 解：因为点12,A A 为双曲线的左右顶点，所以12(,0),(,0)A a A a -设点()12,(0,0),,,p x y x y PQ y AQ x a A Q x a >>==+=-， 则222212||PQ y t AQ A Q x a ==⋅-，又点P 在该双曲线上，满足22221x y a b -=，所以2222222212(1)||x b PQ b a t A Q A Q x a a-===⋅-，所以选项A 错，选项D 对；又c e a ==B 对，对选项C ，221b t a ==，则1b a =，双曲线的渐近线方程为y x =±，故C 对.故选：BCD11．已知欧拉函数()()*n n N ϕ∈的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互素的正整数的个数.例如：()11ϕ=，()42ϕ=，设数列{}n a 中：()()*n a n n N ϕ=∈，则（ ） A ．数列{}n a 是单调递增数列 B ．{}n a 的前8项中最大项为7a C ．当n 为素数时，1n a n =- D ．当n 为偶数时，2n n a = 答案：BC根据欧拉函数的概念可写出数列{}n a 的前8项，根据前8项，可判断选项A,B,D ；根据n 为素数时，n 与前1n -个数都互素，从而可判断选项C.解：由题知数列{}n a 前8项为：1,1,2,2,4,2,6,4，不是单调递增数列，故选项A 错误； 由选项A 可知，{}n a 的前8项中最大项为76a =，故选项B 正确； 当n 为素数时，n 与前1n -个数互素，故1n a n =-，所以C 对正确； 因为62a =，故选项D 错误. 故选：BC .12．已知正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，点E 是棱1DD 的中点，点F 在正方体表面上运动，以下命题正确的有（ ） A ．平面1A BE 截正方体所得的截面面积为92B ．三棱锥1B ACE -C ．当点F 在棱1CC 运动时，平面1FA B 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值可以取到2D ．当点F 在底面ABCD 上时，直线1B F 与1CC 所成角为30，则动点F答案：ACD对于选项A ，取CD 中点为N ，则1//EN A B ，可知平面1A BE 截正方体所得的截面为梯形1A BNE ，由对称性知，梯形1A BNE 为等腰梯形，利用平面几何知识即可求出梯形1A BNE 的面积，进而判断A 是否正确；对于B ，设点M 为AC 中点，AC ⊥面1B ME ，再根据内切球的性质和几何体提及的关系1=3V rS （其中V ,S ，r 分别是几何体的的体积、表面和内切球的半径），由此即可判断B 是否正确；对于C ，利用空间向量法求二面角，即可判断C 是否正确；对于D ，由于11//BB AA ，可得130BB F ∠=，所以123tan 303BF BB ==，可知点F 的轨迹为以点B 为圆心，半径为233的圆上，作出草图，即可求出动点F 的轨迹长度，进而判断D 是否正确.解：选项A ，设CD 中点为N ，连接,BN EN ，则1//EN A B ，所以平面1A BE 截正方体所得的截面为梯形1A BNE ，由对称性知，梯形1A BNE 为等腰梯形，过点E 作1EG A B ⊥，在直角三角形1GA B 中，1125,EA AG == 所以2211922EG EA AG =-所以()1139322222ABNE S EN AB EG =+⨯=⨯⨯=，所以A 正确； 选项B ，在三棱锥1B ACE -中，11122,5,3B A BC AC EA EC B E ====== 设点M 为AC 中点，所以1,B M AC EM AC ⊥⊥，则AC ⊥面1B ME ，16,3B M EM ==，所以11,11122632332A B CE B MEV AC S-=⨯=⨯⨯⨯⨯= 又三棱锥1B ACE -表面积为1116236ACB ACEB EB CE S S SSS =+++=++表面和又1123A B CE V r S -=⨯=表面积，则666236621r ==++++，故B 错误；选项C ，以点B 为坐标原点，1,,BC BA BB 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设点()()2,0,,02F t t ≤≤，则()()12,0,,0,1,1==BF t BA ， 设平面1FA B 的法向量为(),,nx y z =，所以1200⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n BF x tz n BA y z ，取2=-=y z ，则x t =，所以平面1FA B 的法向量为(),2,2n t =-，又平面ABCD 法向量为()0,0,1m =平面1FA B 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值2211cos ,328m n m nt θ⋅⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦⋅+∣ 又()111232,32322⎡⎤-=∈⎢⎥+⎣⎦，所以选项C 正确； 选项D ，11//BB CC ，所以1∠BB F 直线1B F 与1CC 所成角，即130BB F ∠=， 所以123tan 303BF BB ==， 所以点F 的轨迹为以点B 为圆心，半径为233BF =的圆上， 又点F 在底面ABCD 上，如下图所示：所以动点F 2332ππ=，故D 正确； 故选：ACD. 三、填空题13．已知圆锥底面半径为13_____． 答案：2π由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解．解：由已知可得r=1，3132+=, ∴圆锥的侧面积S=πrl=2π． 故答案为2π．【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.14．已知数列{}n a 满足下列条件：①数列{}n a 是等比数列；②数列{}n a 是单调递增数列；③数列{}n a 的公比q 满足01q <<.请写出一个符合条件的数列{}n a 的通项公式__________.答案：12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（答案不唯一）根据题意判断数列特征，写出一个符合题意的数列{}n a 的通项公式即可.解：因为数列{}n a 是等比数列，数列{}n a 是单调递增数列，数列{}n a 的公比q 满足01q <<，所以等比数列{}n a 公比01q <<，且各项均为负数， 符合题意的一个数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为：12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（答案不唯一）15．已知数列{}n a 满足()()11121,2n n n a n a a ++=+=，则320222023212320222023a a aa a +++++=__________. 答案：20232024由题112n n n a a n ++=+，用累乘法求得通项公式：11n a n =+，则()11111n a n n n n n ==-++，通过裂项求和即可得出结果. 解：由题112n n n a a n ++=+，所以累乘法求通项公式： 2132123,,341n n n a a a a a a n -==⋯=+，所以12313411n n a a n n =⨯⨯⨯=++，经验证1n =时，112a =符合. 所以()11111n a n n n n n ==-++，则3202220232111111120231123202220232232023202420242024a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：2023202416．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点为1F ，2F ，直线(0)y kx k =>与双曲线交于,M N 两点，且2OM OF =，O 为坐标原点，又()222216MF NMF NF S +=，则该双曲线的离心率为__________.根据直线和双曲线的对称性，结合圆的性质、双曲线的定义、三角形面积公式、双曲线离心率公式进行求解即可.解：由直线(0)y kx k =>与双曲线的对称性可知，点M 与点N 关于原点对称， 在三角形2MF N ∆中，2OM OF =，所以22MF NF ⊥， ,M N 是以12F F 为直径的圆与双曲线的交点，不妨设()11,M x y 在第一象限， 212NF MMF F SS=，因为圆是以12F F 为直径，所以圆的半径为c ，因为点()11,M x y 在圆上，也在双曲线上，所以有221122222111x y a b x y c⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，联立化简可得()222222211b c y a y a b --=，整理得2222222211b c a bb y a y ，242211,b b c y y c==，所以2121122MF F Sc y b =⋅⋅=，由()2222216MF NMF NF S b +==所以124MF MF b ，又因为122MF MF a ，联立121242MF MF bMF MF a +=⎧⎨-=⎩可得12MF b a ，22MF b a ，因为12F F 为圆的直径，所以2221212MF MF F F +=，即222222222(2)(2)4,824,42b a b a c b a c b a c ++-=+=+=，222222223442,23,2c c a a c c a a -+===，所以离心率62cea .【点睛】关键点睛：利用直线和双曲线的对称性，结合圆的性质进行求解是解题的关键. 四、解答题17．已知公差不为0的等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，首项为12a =，且1241,1,1a a a +++成等比数列. (1)求n a 和n S ；(2)设(1)1nn n b a =-+，记12n n T b b b =+++，求n T .答案：(1)2331,2n n n na n S +=-=(2)**1,,25,,2n n n N n T n n N n +⎧-∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩为奇数为偶数（1）由题意解得等差数列{}n a 的公差d ，代入公式即可求得n a 和n S ； （2）把n 分为奇数和偶数两类，分别去数列{}n b 的前n 项和n T . (1)设等差数列{}n a 公差为d ，由题有()()()2214111a a a +=++，即()2(3)333d d +=+，解之得3d =或0，又0d ≠，所以3d =，所以()()2113131,22n n n a a n n n a a n d n S ++=+-=-==. (2)()(1)1(1)311n n n n b a n =-+=--+，当n 为正奇数，()()11(1)(1)313113n n n n a a n n ++-+-=--++-=，()()()12123421n n n n n T b b b a a a a a a a n --=+++=-++-+++-+-+()1133122n n n n -+=⨯--+=- 当n为正偶数，()()()12123415322n n n n n nT b b b a a a a a a n n -=+++=-++-+++-++=⨯+=， 所以**1,,25,,2n n n N n T n n N n +⎧-∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩为奇数为偶数18．如图①，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，,E F 分别为AB CD ､的中点，224CD AB EF ===，现将四边形BEFC 沿EF 折起，使平面BEFC ⊥平面AEFD ，得到如图②所示的多面体，在图②中：(1)证明：平面//AEB 平面DFC ；(2)求四棱锥F ABCD -的体积. 答案：(1)证明见解析. (2)2（1）根据面面平行的判定定理结合已知条件即可证明； （2）将所求四棱锥F ABCD -的体积转化为求32E CDF V -即可.(1)证明：因为//AE DF ，AE ⊄面DFC ，DF ⊂面DFC ， 所以//AE 面DFC ， 同理//BE 面DFC ， 又因为,AE BE ⊂面ABE ,AE BE E =所以面//ABE 面DFC . (2)解：因为在图①等腰梯形ABCD 中，,E F 分别为,AB CD 的中点， 所以EF CD ⊥，在图②多面体中，因为,EF DF EF FC ⊥⊥，,DF FC ⊂面DFC ，DF FC F ⋂=， 所以EF ⊥面DFC .因为CF EF ⊥，面BEFC ⊥面AEFD ，CF ⊂面BEFC ，面BEFC ⋂面AEFD EF =, 所以CF ⊥面AEFD ， 又因为DF ⊂面AEFD ， 所以CFDF ，在直角三角形DFC 中，因为2DF FC ==,所以CD =，同理，AB = 所以2CD AB =， 则2ACDABCSS=，有32ABCD ABC ACD ACD S S S S =+=△△△△， 所以33331222223F ABCD F ACD A CDF E CDFCDF V V V V EF S ----⎛⎫====⨯⨯= ⎪⎝⎭△. 所以四棱锥F ABCD -的体积为2.19．已知抛物线2:2C y px =的焦点F ，点()2,2M 在抛物线C 上. (1)求MF ；(2)过点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，过点N 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，证明：AOB 为直角三角形（O 为坐标原点）.答案：(1)52(2)证明见解析（1）点代入即可得出抛物线方程，根据抛物线的定义即可求得MF .（2）由题()2,0N ，设直线AB 的方程为：2x my =+，与抛物线方程联立，可得2240y my --=，利用韦达定理证得0OA OB ⋅=即可得出结论.(1)点()2,2M 在抛物线2:2C y px =上.∴44p =，则1p =，所以252,22M p y x MF x ==+=. (2)证明：由题()2,0N ，设直线AB 的方程为：2x my =+，点()()1122,,,A x y B x y联立方程222x my y x =+⎧⎨=⎩，消x 得：2240y my --=，由韦达定理有121224y y m y y +=⎧⎨=-⎩，由22y x =，所以221212422y y x x =⨯=，所以1212440OA OB x x y y ⋅=+=-=，所以OA OB ⊥，所以AOB 为直角三角形. 20．三棱锥P ABC -中，PAB PAC ≅△△，2BC AB ，PA AB ⊥，直线PC 与平面ABC 所成的角为3π，点D 在线段PA 上.(1)求证：BD AC ⊥； (2)若点E 在PC 上，满足34PE PC =，点D 满足(01)AD AP λλ=<<，求实数λ使得二面角A BE D --的余弦值为25.答案：(1)证明见解析； (2)12λ=.（1）证明AC ⊥平面PAB ，利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）设1AB AC ==，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得出关于实数λ的等式，即可解得实数λ的值. (1)证明：因为PAB PAC ≅△△，PA AB ⊥，则PA AC ⊥且AB AC =， AB AC A ⋂=，PA ∴⊥平面ABC ，所以PCA ∠为直线PC 与平面ABC 所成的线面角，即3PCA π∠=，22BC AB AC ==，故222AB AC BC +=，AC AB ∴⊥，PA AB A =，AC ∴⊥平面PAB ， BD ⊂平面PAB ，因此，BD AC ⊥.(2)解：设1AB AC ==，由（1）可知3PCA π∠=且PA AC ⊥，tan33PA AC π∴==，因为PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0B 、()0,1,0C 、(3P 、330,4E ⎛ ⎝⎭、()()301D λλ<<，设平面ABE 的法向量为()111,,m x y z =，()1,0,0AB =，330,4AE ⎛= ⎝⎭，则1113304m AB x y z m AE ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，取1y =，可得(0,1,3m =， 设平面BDE 的法向量为()222,,n x y z =，()1,0,3DB λ=-，331,4BE ⎛=- ⎝⎭， 由22222303304n DB x z n BE x y λ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取23x λ=，则(3,43n λλ=-，由已知可得2412cos ,522584m n m n m nλλλ⋅-<>===⋅-+，解得12λ=.当点D 为线段AP 的中点时，二面角A BE D --的平面角为锐角，合乎题意. 综上所述，12λ=.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率32e =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P 在椭圆22149x y +=上，且在第一象限内，点12,A A 分别为椭圆C 的左､右顶点，直线12,PA PA 分别与椭圆C 交于点,M N ，过2A 作直线1PA 的平行线与椭圆C 交于点D ，问直线DN 是否过定点，若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.答案：(1)2214x y +=(2)过定点，8,05⎛⎫⎪⎝⎭（1）根据椭圆上的点及离心率求出a ,b 即可；（2）设点()()()112200,,,,,D x y N x y P x y ，设直线DN 的方程为x t my =+，联立方程，得到根与系数的关系，利用条件122212,PA DA DA NA PA PA k k k k k k =⋅=⋅化简，结合椭圆方程，求出t 即可得解.(1) 由2223c e a b c a ===+，有2a b =， 又221341a b+=，所以22a b ==，椭圆C 的标准方程为2214x y +=.(2)设点()()()112200,,,,,D x y N x y P x y ，设直线DN 的方程为x t my =+. 如图，联立2214x y x t my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消x 有：()2224240m y mty t +++-=，韦达定理有：()()1222222212224*,Δ4444044mt y y m m t t m t y y m ⎧+=-⎪⎪+=--+>⎨-⎪=⎪+⎩由12//PA DA ，所以()()122212222000,224PA DA DA NA PA PA y y k k k k k k x x x =⋅=⋅==-+-， 又()22220000914494x y y x +=⇒=-，所以222020944DA NA y k k x ⋅==-- 又221212,22DA NA y yk k x x ==--， 所以()()2211129224DA NA y y k k x x ⋅==---.又()()()()()()221212121222222(2)x x my t my t m y y m t y y t --=+-+-=+-++-所以有()()2212121242(2)9y y m y y m t y y t -=+-++-， 把()*代入有：()22444(2)9t t --=-， 解得85t =或2，又直线DN 不过右端点，所以2t ≠，则85t =， 所以直线DN 过定点8,05⎛⎫⎪⎝⎭.22．已知函数()ln 1f x x x =+.(1)求函数()y f x =在x e =处的切线方程；(2)设()f x '为()y f x =的导数，若方程()'2a f x a x =+的两根为12,x x ，且12x x <，当0t >时，不等式()122a t x tx <-+对任意的()12,(0,x x ∞∈+恒成立，求正实数t 的最小值. 答案：(1)21y x e =-+ (2)1（1）先求导数，根据导数的几何意义可求得切线方程； （2）将已知方程结合其两根，进行变式，求得()21212ln x x a x x -=，利用该式再将不等式()122a t x tx <-+变形，然后将不等式的恒成立问题变为函数的最值问题求解.(1)由题意可得()()()ln 1,2,1f x x f e f e e '+'===+， 所以切点为(),1e e +，则切线方程为：()2121y x e e x e =-++=-+. (2)由题意有：()ln 12a x x a +=+，则ln 2a x x =， 因为12,x x 分别是方程ln 20a x x -=的两个根，即1122ln 2,ln 2a x x a x x ==.两式相减()()2121ln ln 2a x x x x -=-， 则()21212ln x x a x x -=， 则不等式()122(0)a t x tx m <-+>，可变为()()21122122ln x x t x tx x x -<-+， 两边同时除以1x 得，212211212ln x x txt x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<-+，令21x k x =，则()212ln k t tk k-<-+在()1,k ∈+∞上恒成立. 整理可得()21ln 02k k t tk-->-+，在()1,k ∈+∞上恒成立，令()()21ln 2k h k k t tk-=--+，则()()()22222222(2)11(2)14(2)(2)(2)t t k k k t k t t h k k t tk k t tk k t tk ⎡⎤---⎢⎥⎡⎤---⎣⎦⎣⎦=-==-+-+-+'， ①当22(2)1t t -≤，即1t ≥时，()0h k '>在()1,+∞上恒成立，则()h k 在()1,+∞上单调递增，又()10h =，则()0h k >在()1,+∞上恒成立；②当22(2)1t t ->，即01t <<时，当22(2)1,t k t ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭时，()0h k '<， 则()h k 在22(2)1,t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则()()10h k h <=，不符合题意.综上：1t ≥，所以t 的最小值为1.。