丰台区2013年高三年级第二学期统一练习(一)

丰台区2013年高三年级第二学期统一练习（一）数学（理科）一、选择题 1.复数z=1i i−在复平面内对应的点位于 (A ) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 2. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3420a a +=，则31S a (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 3. 执行右边的程序框图，输出k 的值是(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 64．已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪−≤⎩，则2x ye+的最大值是 (A) 3e (B) 2e (C) 1 (D) 4e − 5.已知命题p:(0,),32xxx ∀∈+∞>；命题q:(,0),32x x x ∃∈−∞>,则下列命题为真命题的是(A) p q ∧ (B) ()p q ∧¬ (C) ()p q ¬∧ (D) ()()p q ¬∧¬6. 已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a −+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是(A) 13 (B) 18 (C) 21 (D) 267. 如果函数y=f(x)图像上任意一点的坐标（x,y）都满足方程 lg()lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是(A) y=f(x)是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y 4≤ (B) y=f(x)是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y 4≥ (C) y=f(x)是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y 4≥ (D) y=f(x)是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y 4≤8．动圆C 经过点F(1,0)，并且与直线x=-1相切，若动圆C与直线1y x =++总有公共点，则圆C 的面F 积(A) 有最大值8π (B) 有最小值2π (C) 有最小值3π (D) 有最小值4π 二 填空题9.在平面直角坐标系中，已知直线C 1:1x t y t =⎧⎨=−⎩（t 是参数）被圆C 2:cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ是参数）截得的弦长为 ；10. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70,80)内的人数是___。

11．如图，已知直线PD 切⊙O 于点D，直线PO 交⊙O 于点E,F.若21PF PD =+=，则⊙O 的半径为 ；EFD ∠= .12.在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=1，BC=2，E 是CD 的中点， 则CD BE ⋅=uuu r uuu r.13.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是_______.14. 已知M 是集合{}1,2,3,,21(*,2)k k N k −∈≥L 的非空子集，且当x M ∈时，有2k x M −∈.记满足条件的集合M 的个数为()f k ，则(2)f = ；()f k = 。

三、解答题15. 已知函数22()(sin cos )2cos .f x x x x =+− （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在3[,]44ππ上的值域.16．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且NB=1，MD=2；（Ⅰ）求证：AM∥平面BCN; （Ⅱ）求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；（Ⅲ）E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC，求ME MN的值.17．在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。

抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元。

（Ⅰ）求甲和乙都不获奖的概率；（Ⅱ）设X 是甲获奖的金额，求X 的分布列和均值EX 。

18.已知函数1()f x x a=+，2()3g x bx x =+. (Ⅰ)若曲线()()()h x f x g x =−在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b 的值； (Ⅱ)当[3,)a ∈+∞，且ab=8时，求函数()()()g x x f x ϕ=的单调区间，并求函数在区间[-2，-1]上的最小值。

19． 已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C 过)，直线l ：y=kx+m(k≠0)交椭圆C 于不同的两点A，B。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在实数k，使线段AB 的垂直平分线经过点Q（0,3）？若存在求出 k 的取值范围；若不存在，请说明理由。

20． 设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为n（n=2,3,4,…,）阶“期待数列”： ① 1230n a a a a ++++=L ； ② 1231n a a a a ++++=L .（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）若某2k+1(*k N ∈)阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； （错误！未找到引用源。

）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n =L ， 试证：（1）21≤k S ； （2）111.22nii a in=≤−∑丰台区2013年高三年级第二学期统一练习（一）数学（理科）参考答案一、选择题题号 1 23 4 5 6 78答案 A B A B B C C D二 填空题，15° （第一个空2分，第二个空3分）； 12. -1；13. 2； 14.3，21k−(第一个空2分，第二个空3分)。

三、解答题15. （本题13分）已知函数22()(sin cos)2cos.f x x x x=+−（Ⅰ）求()f x的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求函数()f x在3[,44ππ上的值域.解：（Ⅰ）2()1sin22cos)4f x x x xπ=+−=−，………………………………………3分∴最小正周期T=π, …………………………………………………………………………………4分单调增区间3[,)88k k k Zππππ−+∈, …………………………………………………………7分 （Ⅱ）33,24422x xππππ≤≤∴≤≤Q，52444xπππ∴≤−≤， ………………………………………………………………………………10分∴()f x在3[,]44ππ上的值域是[−. ………………………………………………………13分 16．（本题14分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且1=NB，MD=2；（Ⅰ）求证：AM∥平面BCN;（Ⅱ）求AN与平面MNC所成角的正弦值；（Ⅲ）E为直线MN上一点，且平面ADE⊥平面MNC，求MEMN的值.解：（Ⅰ）∵ABCD是正方形,∴BC∥AD.∵BC ⊄平面AMD,AD ⊂平面AMD, ∴BC∥平面AMD. ∵NB∥MD,∵NB ⊄平面AMD,MD ⊂平面AMD, ∴NB∥平面AMD.∵NB I BC=B,NB ⊂平面BCN, BC ⊂平面BCN,∴平面AMD∥平面BCN…………………………………………………………………………………3分 ∵AM ⊂平面AMD,∴AM∥平面BCN…………………………………………………………………………………………4分 (也可建立直角坐标系，证明AM 垂直平面BCN 的法向量，酌情给分)（Ⅱ）Q ⊥MD 平面ABCD，ABCD 是正方形，所以，可选点D 为原点，DA,DC,DM 所在直线分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系（如图）…………………………………………………………………5分 则()0,0,2A ，()2,0,0M ，()0,2,0C ,()1,2,2N .∴)1,2,0(=AN , ………………………………………6分 )1,2,2(−=MN ，)2,2,0(−=MC ,设平面MNC 的法向量()z y x n ,,=,则⎩⎨⎧=−=−+022022z y z y x ，令2=z ，则()1,2,2,n =−r … 7分 设AN 与平面MNC 所成角为θ,∴sin =θ分 （Ⅲ）设(,,)E x y z ，MEMNλ=，ME MN λ∴=uuur uuuu r ，又(,,2),(2,2,1)ME x y z MN =−=−uuur uuuu rQ ，∴E 点的坐标为(2,2,2)λλλ−， …………………………………………………………………11分 AD ⊥Q 面MDC,AD MC ∴⊥，欲使平面ADE ⊥平面MNC，只要AE MC ⊥，(22,2,2),AE λλλ=−−uuu r Q (0,2,2)MC =−uuu u r ，0AE MC ⋅=uuu r uuu u rQ 42(2)0λλ∴−−=，23λ∴=∴23ME MN =. ………………………………………………………………………………14分17．（本题13分）在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。

抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元。

（Ⅰ）求甲和乙都不获奖的概率；（Ⅱ）设X 是甲获奖的金额，求X 的分布列和均值EX 。

解：（Ⅰ）设“甲和乙都不获奖”为事件A , ……………………………………………………1分则P（A）=211422211644110C C C C C C ⋅⋅=，答：甲和乙都不获奖的概率为110. …………………………………………………………………5分 （Ⅱ）X 的所有可能的取值为0，400，600，1000，…………………………………………………6分P(X=0)=38, P(X=400)= 2526311448C C ⋅⋅=, P(X=600)= 2526131448C C ⋅⋅=,P(X=1000)=12552266113448C C C C +⋅⋅= , ……………………………………………………………………10分∴X 的分布列为…………………………………11分 ∴E(X)=0×38+400×18+600×18+1000×38=500(元). 答: 甲获奖的金额的均值为500(元). ……………………………………………………………13分18. （本题13分）已知函数1()f x x a=+，2()3g x bx x =+. (Ⅰ)若曲线()()()h x f x g x =−在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b 的值； (Ⅱ)当[3,)a ∈+∞，且ab=8时，求函数()()()g x x f x ϕ=的单调区间，并讨论函数在区间[-2，-1]上的最小值. 解：(Ⅰ)函数h(x)定义域为{x|x≠-a}，……………………………………………………………1分则21()()()23()h x f x g x bx x a ′′′=−=−−−+， …………………………………………………3分 Q h(x)在点（1，0）处的切线斜率为0，∴(1)0,(1)0.h h =⎧⎨′=⎩即2130,11230.(1)b ab a ⎧−−=⎪+⎪⎨⎪−−−=+⎪⎩,解得0,2,a b =⎧⎨=−⎩或4,36.a b ⎧=−⎪⎨⎪=−⎩……………………6分(Ⅱ)记ϕ(x)=()()g x f x ，则ϕ(x)=(x+a)(bx 2+3x)(x≠-a), Q ab=8，所以8b a=，∴28()()(3)x x a x x a ϕ=++(x≠-a),∴2211()(24223)(43)(6)x x ax a x a x a a aϕ′=++=++,令()0x ϕ′=，得34x a =−，或16x a =−, …………………………………………………8分Q 因为[)3,a ∈+∞，∴所以3146a a −<−，∴故当34x a <−，或16x a >−时，()0x ϕ′>，当3146a x a −<<−时，()0x ϕ′<，∴函数ϕ(x)的单调递增区间为31(,),(,),(,)46a a a a −∞−−−−+∞，单调递减区间为31(,)46a a −−, ……………………………………………………………………10分Q [3,)a ∈+∞,∴3944a −≤−,162a −≤−，① 当26a−≤−，即12a ≥时, Q ϕ(x)在[-2,-1]单调递增,∴ϕ(x)在该区间的最小值为64(2)446a aϕ−=−+−， ………………………………………11分② 当216a−<−<−时,即612a <<,Q ϕ(x)在[-2,6a−)单调递减, 在(,1]6a −−单调递增，∴ϕ(x)在该区间的最小值为(6a ϕ−=225108a −，………………………………………………12分③当16a−≥−时,即36a ≤≤时,Q ϕ(x)在[-2,-1]单调递减, ∴ϕ(x)在该区间的最小值为8(1)113a aϕ−=−+−，………13分综上所述，当36a ≤≤时，最小值为8113a a −+−；当612a <<时，最小值为225108a −；当12a ≥时，最小值为64446a a−+−. （不综述者不扣分） 19．（本题13分）已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C 过点)，直线l ：y=kx+m(k≠0)交椭圆C 于不同的两点A、B。