1.1基本计数原理(刘大川修改)

1.1基本计数原理一、教材分析计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想 . 本节课内容是学生在已有的利用列举法进行计数的基础上，进一步研究计数的规律，归纳出两种基本计数原理．从思想方法的角度看 , 一个是将问题进行分类思考 , 一个是将问题进行分步思考 , 从而达到分解问题﹑解决问题的目的．本节课由浅入深、螺旋上升，由特殊到一般，培养学生的抽象概括能力．所以，无论在知识的结构上，还是对学生的能力培养上，本节课都有十分重要的作用．二、教学目标知识与技能1. 准确理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理,弄清它们的区别；2. 会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题．过程与方法1. 培养学生的归纳概括能力,提高他们分析问题和解决问题的能力；2. 培养学生比较,类比,归纳等数学思想方法和灵活运用的能力．情感态度价值观1. 认识数学知识与现实生活的内在联系，激发学生的兴趣；2. 引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式．三、教学重点1. 用什么方法引导学生归纳出两个计数原理对分类计数原理和分步计数原理的理解，学生往往有困难，或是停留在一种朴素的阶段．使学生切实理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理的概念是上好本节课的关键，可多设置问题情境 , 用一些具体的﹑生活中的实例来帮助学生理解．2. 如何让学生正确区分〝分类〞和〝分步〞的含义让学生自主去探索，获取结论．通过比较分析分类加法计数原理与分步乘法计数原理的差异．分类加法计数原理中每类方法都能独立完成某件事；分步乘法计数原理中必须每步都做了，才能完成某件事．四、教学过程1. 问题情境情境：春天来了,要从海口到广州旅游,可以乘火车,也可以乘汽车.我们怎么选择自己的出行呢？把它抽象成一个简单的数学问题.问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.若一天中火车有3列,汽车有2辆.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的走法?2. 学生活动学生根据生活经验,解答问题1.1，并试图寻找规律.设问：从甲地到乙地的交通工具可分为_____类方式？第一类方式，乘火车，有_____种方法；第二类方式，乘汽车，有_____种方法；所以从甲地到乙地有_________种方法.问题2：若除了火车和汽车外,还可以乘飞机.一天中飞机有４架.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的走法?问题3：上述每类方式的每种方法能否单独实现从甲地到乙地的目的?问题4：从甲地到乙地有3条道路，从乙地到丙地有2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的方法？学生根据生活经验,解答问题2，并试图寻找规律.设问：从甲地到丙地须经_____再由_____到丙地，有_____个步骤？第一步，由甲地到乙地，有_____种方法；第二步，由乙地到丙地，有_____种方法；所以从甲地到丙地有_________种方法.问题5: 若从丙地到丁地的道路有４条．那么先从甲地到乙地，再从乙地到丙地，最后从丙地到丁地共有多少种不同的走法？问题6: 上述每步的每种方法能否单独实现从甲地到丁地的目的?3. 结论(1)分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有1m 种不同的方法，在第2类方式中有2m 种不同的方法，……在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =++⋅⋅⋅+ 种不同的方法．(2)分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，……做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⨯⨯⋅⋅⋅⨯种不同的方法．4. 数学运用例1 某班共有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会．(1)若学校分配给该班1名代表,有多少种不同的选法?(2)若学校分配给该班2名代表,且男、女生代表各1名,有多少种不同的选法?例2 (1)在图(1)的电路中,只合上一只开关以接通电路,有多少种不同的方法?(2)在图(2)的电路中,合上两只开关以接通电路,有多少种不同的方法?分析 (1)在图(1)中按要求接通电路,只要在A 中的两个开关或Ｂ中的三个开关中合上一只即可,故有2+3=5种不同的方法.(2)在图(2)中,按要求接通电路,必须分两步进行;第一步,合上A中的一只开关;第二步,合上B中的一只开关.故有2×3 = 6种不同的方法.例3苏州的部分电话号码是051265××××××,后面六个数字均来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同的电话号码?引申若要求最后6个数字不重复,则又有多少种不同的电话号码?例4 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?分析按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成，所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种.引申若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢？课堂小测试(6题中选2题完成)．（1）为了对某农作物新品选择最佳生产条件,在分别有3种不同土质,2种不同施肥量,4种不同种植密度,3种不同时间的因素下进行种植试验,则不同的实验方案共有_______种?（2）一个商店销售某种型号的电视机，其中国产品牌有4种，合资品牌有7种，要买1台这种型号的电视机，有多少种不同的选法？（3）设有5副不同的油画，2副不同的国画，7副不同的水彩画．从这些油画、国画、水彩画中各选一副布置房间，有几种不同的选法？（4）由数字1、2、3、4、5可以组成多少个不同的三位数？（5）我们班级里有4名同学参加学校里的京剧社、国画社、航模小组，每人限报其中的1个社团，不同的报名方法有多少种？（6）如图,从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路,从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路．从甲地到丁地共有多少种不同的走法？5. 回顾小结分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，它不仅是推导排列数与组合数计算公式的依据，而且其基本思想贯穿于解决本章应用问题的始终．要注意“类”间互相独立，“步”间互相联系．五、教学反思1. 本节课的设计意图（ 1 ）通过问题形式，引导学生在解决问题的过程中获取新知；（ 2 ）由浅入深，螺旋上升，由特殊到一般，充分体现新课程的理念；（ 3 ）引导学生自主学习的过程中，渗透了思想方法教育.2. 课堂亮点本节课的高潮在于课堂练习的形式，从中央台“幸运52”中得到启发，让两个同学进行PK的游戏, 给出6道题,两位选手各自为对方选不同的一道题来回答，答对得1分，比比哪个同学的得分高。

《基本计数原理》讲义一、引言计数问题在我们的日常生活和数学研究中都有着广泛的应用。

无论是计算物品的数量、安排活动的方案，还是解决概率问题，都离不开基本的计数原理。

掌握这些原理，将为我们解决各种复杂的计数问题提供有力的工具。

二、基本计数原理的分类（一）加法原理如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m₁种不同的方法，在第二类方式中有 m₂种不同的方法，……，在第 n 类方式中有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m₁＋ m₂＋… ＋ mₙ 种不同的方法。

比如说，从甲地到乙地，可以坐火车、汽车或者飞机。

如果坐火车有 3 种车次可选，坐汽车有 2 种车次可选，坐飞机有 4 种航班可选，那么从甲地到乙地一共有 3 ＋ 2 ＋ 4 ＝ 9 种不同的交通方式可供选择。

（二）乘法原理如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m₁种不同的方法，做第二步有m₂种不同的方法，……，做第 n 步有mₙ 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m₁ × m₂ × … × mₙ 种不同的方法。

例如，从 A 城市到 C 城市需要经过 B 城市中转。

从 A 到 B 有 2 条路线，从 B 到 C 有 3 条路线，那么从 A 城市到 C 城市就有 2×3 ＝ 6 条不同的路线。

三、加法原理与乘法原理的区别与联系（一）区别加法原理是分类计数，每一类中的方法都能独立完成这件事；而乘法原理是分步计数，每一步都不能独立完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成。

（二）联系加法原理和乘法原理常常结合使用。

在解决复杂的计数问题时，需要先判断是分类还是分步，或者是分类与分步相结合。

四、基本计数原理的应用（一）排列问题从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的排列数，记为 A(n, m) 。

其计算公式为：A(n, m) ＝ n ×（n 1) ×（n 2) × … × （n m ＋ 1) 。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．创设情境，提出问题人造天体的编号规则：①发射年份+四位编码；②四位编码前三位为阿拉伯数字，第四位为英文字母；③前三位数字不能同时为0；④英文字母不得选用I，O（I易与1混淆，O易与0混淆）．按照这样的编号规则，2013年的人造天体所有可能的编码有多少种？2．实例探究，归纳原理（1）师生共同探究，得出分类加法计数原理问题1：如果用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给卫星编号，那么总共能够编出多少种不同的号码？问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车．一天中，火车有26班，汽车有10班．那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?探究：以上两个计数问题有什么共同特点呢？分类加法计数原理：例1 在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A ，B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A 大学B 大学生物学 数 学化 学 会计学医 学 信息技术学物理学 法 学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？变式：在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A ，B ，C 三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A 大学B 大学C 大学生物学 数 学 新闻学化 学 会计学 金融学医 学 信息技术学 人力资源学物理学 法 学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？推广：一般地，如果完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类中有2m 种不同的方法…，在第n 类中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同方法．（2）类比转化探究，得出分步乘法计数原理问题3：如果用前六个大写英文字母中的一个和1～9九个阿拉伯数字中的一个，组成编码形如A 1，B 2的方式给卫星编号，那么总共能编出多少个不同的号码?问题4：从甲地到丙地，要从甲地先乘火车到乙地，再于次日从乙地乘汽车到丙地．一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到丙地共有多少种不同的走法？分步乘法计数原理：例2某班有男生30名，女生24名，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加公益活动，共有多少种不同的选法？变式：某班有男生30名，女生24名，任课老师10名，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加公益活动，还要从中选派1名老师作领队，组成代表队，共有多少种不同选法？推广：一般地，如果完成一件事要n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有 不同方法．3．演练反馈，巩固提升练1： 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．（1）从书架的第1，2，3层各取一本书，有多少种不同取法？（2）从书架中任取1本书，有多少种不同的取法？变式：从书架中取2本不同种类的书，有多少种不同的取法？练2 【引例回放】“神十”的国际编号为2013-029A．人造天体的编号规则：①发射年份+四位编码；②四位编码前三位为阿拉伯数字，第四位为英文字母；③前三位数字不能同时为0；④英文字母不得选用I，O（I易与1混淆，O易与0混淆）．这样的编号规则，2013年的人造天体所有可能的编码有多少种？4．归纳小结，认知升华这节课我们收获了什么？5．课后检测，拓展铺垫（1）阅读作业：阅读教材第6页至第10页；（2）书面作业：教材第6页练习1，2，教材第12页1，2，3，4（3）（思考题）2018高考改革方案——改革考试科目设置：“考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试中的3个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物等6个科目中自主选择．”如果按照这样的报考要求，某位考生可以有多少种不同的选择？。

基本计数原理
基本计数原理是组合数学中的一个基本概念，它用于计算由一系列独立事件组成的样本空间中某个事件发生的总数。

简而言之，基本计数原理告诉我们，如果一个任务可以通过若干个步骤完成，第 i 个步骤有 n（i）种选择方式，那么完成整个任务
的总方法数为 n(1) × n(2) × ... × n(k) 。

举个例子来说明基本计数原理的应用。

假设我们要选择一件衣服的颜色和一双鞋子的颜色，衣服有红、黄、蓝三种颜色可选，鞋子有黑、白两种颜色可选。

如果我们按照基本计数原理来计算，衣服的选择有 3 种，鞋子的选择有 2 种，那么整个搭配的方式就有 3 × 2 = 6 种。

在实际应用中，基本计数原理常常用于解决组合、排列、分配等问题。

例如，我们要将 5 台电脑分配给 3 个班级，每个班级至少分配一台电脑。

这个问题可以通过基本计数原理求解。

首先，我们可以将其中一台电脑分配给每个班级，这样每个班级至少有一台电脑。

然后，剩余的两台电脑可以按照自由分配的原则，每个班级都可以选择或不选择。

因此，总的分配方案数为 C(3,1) × 2² = 12。

基本计数原理在计算中的应用十分广泛，可以帮助我们解决各种复杂的计数问题。

它是组合数学中的重要基础，也是深入理解概率论、组合优化等领域的基石。

基本计数原理基本计数原理是概率论中的一个重要概念，它是指在一系列独立事件中，所有可能的结果总数等于各个事件可能结果数的乘积。

基本计数原理在概率计算和组合数学中有着广泛的应用，它可以帮助我们计算各种排列和组合的可能性，解决各种实际问题。

首先，我们来看一个简单的例子，假设你有一件红色、一件蓝色和一件绿色的衬衫，一条黑色和一条白色的裤子，以及一双黑色和一双棕色的鞋子。

现在你要从这些衣物中挑选一套搭配，问你有多少种不同的搭配方式？根据基本计数原理，我们可以分别计算每种衣物的选择方式，然后将它们相乘即可得到总的搭配方式数。

首先，你有3种衬衫选择方式，然后有2种裤子选择方式，最后有2种鞋子选择方式，所以总的搭配方式数为3×2×2=12种。

这就是基本计数原理的应用，通过分别计算每个事件的可能结果数，然后将它们相乘得到总的可能结果数。

基本计数原理不仅可以用于简单的搭配问题，还可以用于更复杂的排列和组合问题。

例如，如果我们要从10个人中选出3个人组成一个委员会，那么根据基本计数原理，总共有10×9×8=720种不同的选委员会的方式。

这个例子中，我们可以看到基本计数原理的计算方法，首先选择第一个人有10种可能，然后选择第二个人有9种可能，最后选择第三个人有8种可能，将它们相乘得到总的可能结果数。

除了排列和组合问题，基本计数原理还可以应用于更复杂的情况，比如多阶段的选择问题。

例如，如果你要从一副扑克牌中抽取5张牌，问你有多少种不同的抽牌方式？根据基本计数原理，我们可以分别计算每次抽牌的可能结果数，然后将它们相乘即可得到总的可能结果数。

首先，第一次抽牌有52种可能，然后第二次抽牌有51种可能，以此类推，最后得到总的可能结果数为52×51×50×49×48。

通过这个例子，我们可以看到基本计数原理在解决多阶段选择问题时的应用。

总的来说，基本计数原理是概率论中的一个重要概念，它可以帮助我们计算各种排列和组合的可能性，解决各种实际问题。