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人教版高中物理选修3—4第十一章知识点总结 第十一章 机械振动一、机械振动：（一）简谐运动：1、简谐运动的特征：1）运动学特征：振动物体离开平衡位置的位移随时间按正弦规律变化在振动中位移常指是物体离开平衡位置的位移2）动力学特征：回复力的大小与振动物体离开平衡的位移成正比，方向与位移方向相反（指向平衡位置）kx F -=①回复力：使振动物体回到平衡位置的力叫做回复力。
②回复力是根据力的效果来命名的。
③回复力的方向总是指向平衡位置。
④回复力可以是物体所受的合外力，也可以是几个力的合力，也可以是一个力，或者某个力的分力。
⑤由回复力产生的加速度与位移成正比，方向与位移方向相反x mk a -= ⑥证明一个物体是否是作简谐运动，只需要看它的回复力的特征2、简谐运动的运动学分析：1）简谐运动的运动过程分析：（1）常用模型：弹簧振子（其运动过程代表了简谐运动的过程）（2）运动过程：简谐运动的基本过程是两个加速度减小的加速运动过程和两个加速度增大的减速运动过程（3）简谐运动的对称性：做简谐运动的物体在经过关于平衡位置对称的两点时，两处的加速度、速度、回复力大小相等 （大小相等、相等）。
动能、势能相等（大小相等、相等）。
2）表征简谐运动的物理量：（1）振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离叫做振动的振幅。
①振幅是标量。
②振幅是反映振动强弱的物理量。
（2）周期和频率：①振动物体完成一次全振动所用的时间叫做振动的周期。
②单位时间内完成全振动的次数叫做全振动的频率。
它们的关系是T=1/f 。
在一个周期内振动物体通过的路程为振幅的4倍；在半个周期内振动物体通过的路程为振幅2倍；在1/4个周期内物体通过的路程不一定等于振幅3）简谐运动的表达式：)sin(ϕω+=t A x4）简谐运动的图像：振动图像表示了振动物体的位移随时间变化的规律。
反映了振动质点在所有时刻的位移。
从图像中可得到的信息：①某时刻的位置、振幅、周期②速度：方向→顺时而去；大小比较→看位移大小③加速度：方向→与位移方向相反；大小→与位移成正比3、简谐运动的能量转化过程：1）简谐运动的能量：简谐运动的能量就是振动系统的总机械能。
选修3-4 第一章机械振动机械波第1节机械振动1. （2009·上海）做简谐运动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的1／2，则单摆振动的（）A．频率、振幅都不变B．频率、振幅都改变C．频率不变、振幅改变D．频率改变、振幅不变2. 一个质点做简谐运动的图象如图所示，下列说法正确的是（）A.质点振动频率为4 HzB.在10 s内质点经过的路程是20 cmC.在5 s末，质点速度为零，加速度最大D.在t=1.5 s和t=4.5 s两时刻质点位移大小相等3. 有一摆长为l的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部将被挡住，使摆长发生变化.现使摆球做小角度摆动，图为摆球从右边最高点M摆至左边最高点N的闪光照片（悬点和小钉未摄入），P为摆动中的最低点，每相邻两次闪光的时间间隔相等，则小钉距悬点的距离为（）A.l／4B.l／2C.3l／4D.条件不足，无法判断4. （创新题）如图所示，在一根张紧的水平绳上，悬挂有a、b、c、d、e五个单摆，让a摆略偏离平衡位置后无初速释放，在垂直纸面的平面内振动，接着其余各摆也开始振动.下列说法中正确的是（）A．各摆的振动周期与a摆相同B．各摆的振幅大小不同，c摆的振幅最大C．各摆的振动周期不同，c摆的周期最长D．各摆均做自由振动5. （2009·江苏）在t=0时刻，质点A开始做简谐运动，其振动图象如图所示.质点A振动的周期是s；t=8 s时，质点A的运动沿y轴的方向（填“正”或“负”）；质点B在波动的传播方向上与A相距16 m，已知波的传播速度为2 m/s，在t=9 s时，质点B偏离平衡位置的位移是cm.6. (2010·上海模拟)如图所示的三个图线分别是用不同的传感器测出的不同物体的振动图线.从三个图线可知，这个物体振动的共同特点是具有，三个物体中，最简单的振动是的振动.图中心脏跳动的图线是某人的心电图,方格纸每个小方格的宽度是0.5 cm，心电图记录仪拖动方格纸的速度是1.8 cm/s，则此人的心率是次／分.7. 根据如图所示的振动图象：(1)算出下列时刻振子对平衡位置的位移.①t1=0.5 s;②t2=1.5 s.(2)将位移时间的变化规律写成x=A sin(ωt+φ)的形式并指出振动的初相位.8. 如图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置.设摆球向右运动为正方向.图乙是这个单摆的振动图象.根据图象回答：(1)单摆振动的频率是多大？（2）开始时刻摆球在何位置？（3）若当地的重力加速度为10 m/s2,试求这个摆的摆长是多少？9. 弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动．B、C相距20 cm．某时刻振子处于B点．经过0.5 s，振子首次到达C点．求：（1）振动的周期和频率.（2）振子在5 s内通过的路程及位移大小.（3）振子在B点的加速度大小跟距O点4 cm处P点的加速度大小的比值．10. 一物体做受迫振动，驱动力的频率小于该物体的固有频率.当驱动力的频率逐渐增大时，该物体的振幅将如何变化？11. 如图所示，两木块的质量为m 、M ，中间弹簧的劲度系数为k ，弹簧下端与M 连接，m 与弹簧不连接，现将m 下压一段距离释放，m 就做上下方向的简谐运动，振动过程中，m 始终没有离开弹簧，试求：（1）m 振动的振幅的最大值.（2）m 以最大振幅振动时，M 对地面的最大压力.答案部分第一章 机械振动 机械波第1节 机械振动 1.解析：由单摆的周期公式T=2π可知，单摆摆长不变，则周期不变，频率不变；振幅A 是反映单摆运动过程中的能量大小的物理量，由Ek=（1/2）mv 2可知，摆球经过平衡位置时的动能不变，质量改变，因此振幅改变，所以C 正确.答案：C2.解析：由振动图象，可直接得到周期T=4 s ，振动频率f=1/T=0.25 Hz ，故A 错误.一个周期内，做简谐运动的质点经过的路程是4A=8 cm ，10 s 为2.5个周期，质点经过的路程是20 cm ，B 正确.在5 s 末，质点位移最大为2 cm ，此时加速度最大，速度为零，C 正确.由图象知，在1.5 s 和4.5 s 两时刻，质点位移相等，故D 正确.答案：BCD3.解析：图中M 到P P 到N 为两个时间间隔，即在钉左侧单摆的周期是在钉右侧单摆周期的1/2，根据周期公式T=2,可得在钉左侧单摆的摆长为l/4，即小钉距悬点的距离为3l/4，故C 正确.答案：C4.解析：a 摆做的是自由振动，周期就等于a 摆的固有周期，其余各摆均做受迫振动，所以振动周期均与a摆相同. c摆与a摆的摆长相同，所以c摆所受驱动力的频率与其固有频率相等，故c摆发生共振，c摆的振幅最大.选项A、B正确.答案：AB5.解析：振动图象和波形图比较容易混淆，在读图时一定要注意横纵坐标的物理意义，避免出错.题图为波的振动图象，由图象可知周期为4 s，波源的起振方向与波头的振动方向相同且向上，t=6 s时质点在平衡位置向下振动，故8 s时质点在平衡位置向上（y轴正方向）振动；波传播到B点需要时间t1=x/v=16/2 s=8 s，故t=9 s时，质点又振动了1 s(1/4个周期)，处于正向最大位移处，位移为10 cm.答案：4 正106.解析：三个振动图线都是周期性变化的，因此，这三个物体的振动的共同特点是具有周期性；其中最简单的振动是弹簧振子的振动；由心脏跳动的图线可知，在心脏每跳一下的时间间隔内，方格纸前移距离为x=3.2×0.5 cm=1.6 cm,所以心脏跳动的时间间隔为T=x/v=8/9 s,此人的心率(每分钟心跳次数)为60/（8/9）次/分=67.5 次/分.答案：周期性弹簧振子67.57.解析：（1）由图象可知A=10 cm,T=4 s.故位移：x=Acos ωt=10 cos2πt/T=10cosπt /2 cm.①当t1=0.5 s时，cm.②当t2=1.5 s时，x2=-5（2）振子的位移表达式为x=10cosπt /2 cm=10sin(πt/ 2+π/2) cm初相位为φ=π/2.8.解析：（1）由题图乙可知T=0.8 s,则f=1/T=1.25 Hz.(2)由题图乙知t=0时刻摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以开始时摆球应在B点.（3）由T=2π,得l=gT2/4π2=0.16 m.9.解析：（1）设振幅为A，由题意BC＝2A＝20 cm，所以A＝10 cm．振子从B到C所用时间t＝0．5 s，为周期T的一半，所以T＝1．0 s；f＝1/T＝1．0 Hz．。
学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]1．振动周期指振动物体( )A ．从任何一个位置出发又回到这个位置所用的时间B ．从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用时间C ．从某一位置出发又沿同一运动方向回到这个位置所用时间D ．经历了四个振幅的时间E ．完成一次全振动的时间【解析】 振动周期是振子完成一次全振动所用的时间，C 、D 、E 正确．【答案】 CDE2．关于振幅的各种说法中，正确的是( )【导学号：23570011】A ．振幅是振子离开平衡位置的最大距离B ．位移是矢量，振幅是标量，位移的大小等于振幅C ．振幅等于振子运动轨迹的长度D ．振幅越大，表示振动越强E ．振幅的大小与周期无关【解析】 振幅是振子离开平衡位置的最大距离，是标量，在简谐运动中大小不变，而位移是变化的，故A 对，B 、C 错；振幅越大，振动越强，但与周期无关，D 、E 对．【答案】 ADE3．在1 min 内甲振动30次，乙振动75次，则( )A ．甲的周期为0.5 sB ．乙的周期为0.8 sC ．甲的频率为0.5 HzD ．乙的频率为0.8 HzE ．甲、乙的圆频率之比为2∶5【解析】 T 甲＝60 s 30＝2 s ，f 甲＝1T 甲＝0.5 Hz ；T 乙＝60 s 75＝0.8 s ，f 乙＝1T 乙＝1.25 Hz.ω甲ω乙＝f 甲f 乙＝25. 【答案】 BCE4.如图11-2-3所示，弹簧振子在B 、C 间振动，O 为平衡位置，BO ＝OC ＝5 cm ，若振子从B 到C 的运动时间是1 s ，则下列说法正确的是( ) 【导学号：23570012】图11-2-3A ．振子从B 经O 到C 完成一次全振动B ．振动周期是2 sC ．振幅是5 cmD ．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cmE ．从B 开始经过3 s ，振子通过的路程是30 cm【解析】 振子从B →O →C 仅完成了半次全振动，所以周期T ＝2×1 s ＝2 s ，振幅A ＝BO ＝5 cm.弹簧振子在一次全振动过程中通过的路程为4A ＝20 cm ，所以两次全振动中通过路程为40 cm,3 s 的时间为1.5T ，所以振子通过的路程为30 cm.故B 、C 、E 正确，A 、D 错误．【答案】 BCE5.一个质点以O 为中心做简谐运动，位移随时间变化的图象如图11-2-4所示，a 、b 、c 、d 表示质点在不同时刻的相应位置，下列说法正确的是( )图11-2-4A ．质点在位置b 比位置d 时相位超前π2B ．质点通过位置b 时，相对平衡位置的位移为A 2C ．质点从位置a 到c 和从位置b 到d 所用时间相等D ．质点从位置a 到b 和从b 到c 的平均速度相等E ．质点在b 、d 两位置速度相同【解析】 质点在位置b 比位置d 时相位超前π2，选项A 正确；质点通过位置b 时，相对平衡位置的位移大于A 2，选项B 错误；质点从位置a 到c 和从位置b 到d 所用时间相等，选项C 正确；质点从位置a 到b 和从b 到c 的时间相等，位移不等，所以平均速度不相等，选项D 错误．由对称性知选项E 正确．【答案】 ACE6．两个简谐运动的表达式分别为x 1＝4sin 4πt (cm)和x 2＝2sin 2πt (cm)，它们的振幅之比、各自的频率之比是( )A ．2∶1,2∶1B ．1∶2,1∶2C ．2∶1,1∶2D ．1∶2,2∶1【解析】 由题意知A 1＝4 cm ，A 2＝2 cm ，ω1＝4π rad /s ，ω2＝2π rad/s ，则A 1∶A 2＝2∶1，f 1∶f 2＝ω1∶ω2＝2∶1，故A 正确，B 、C 、D 错误．【答案】 A7．有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm ，周期为0.5 s ，初始时具有负方向的最大加速度，则它的运动表达式是( )A ．x ＝8×10－3sin(4πt ＋π2)mB ．x ＝8×10－3sin(4πt －π2)m C ．x ＝8×10－1sin(πt ＋32π)m D ．x ＝8×10－1sin(4π＋π2)m 【解析】 由题意知，ω＝2πT＝4π，t ＝0时具有负方向的最大加速度，所以t ＝0时振子具有最大的正位移，故初相位φ＝π2，故A 正确，B 、C 、D 错误． 【答案】 A8．(2015·浙江高考)某个质点的简谐运动图象如图11-2-5所示，求振动的振幅和周期. 【导学号：23570013】图11-2-5【解析】 由题图读出振幅A ＝10 2 cm简谐运动方程x ＝A sin(2πTt ) 代入数据－10＝102sin(2πT×7) 得T ＝8 s.【答案】 10 2 cm 8 s[能力提升]9．一弹簧振子做简谐运动，周期为T ( )A ．若t 时刻和(t ＋Δt )时刻振子运动速度、位移的大小相等、方向相反，则Δt 一定等于T 2的奇数倍B ．若t 时刻和(t ＋Δt )时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt 一定等于T 的整数倍C ．若Δt ＝T 2，则在t 时刻和(t ＋Δt )时刻弹簧的长度一定相等D ．若Δt ＝T 2，则在t 时刻和(t ＋Δt )时刻弹簧的长度可能相等 E ．若Δt ＝T ，则在t 时刻和(t ＋Δt )时刻振子运动的加速度一定相等【解析】 若Δt ＝T 2或ΔT ＝nT －T 2(n ＝1,2,3，…)，则在t 和(t ＋Δt )两时刻振子必在关于平衡位置对称的两位置(包括平衡位置)，这两时刻，振子的位移、加速度、速度等均大小相等、方向相反，但在这两时刻弹簧的长度并不一定相等[只有当振子在t 和(t ＋Δt )两时刻均在平衡位置时，弹簧长度才相等]．反过来，若在t 和(t ＋Δt )两时刻振子的位移、加速度和速度均大小相等、方向相反，则Δt 一定等于T 2的奇数倍，即Δt ＝(2n －1)T 2(n ＝1,2,3，…)．如果仅仅是振子的速度在t 和(t ＋Δt )两时刻大小相等、方向相反，那么不能得出Δt ＝(2n －1)T 2，更不能得出Δt ＝n T 2(n ＝1,2,3，…)．根据以上分析，C 选项错，A 、D 项正确．若t 和(t ＋Δt )两时刻，振子的位移、加速度、速度等均相同，则Δt ＝nT (n ＝1,2,3，…)，但仅仅根据两时刻振子的位移相同，不能得出Δt ＝nT ，所以B 选项错．若Δt ＝nT ，在t 和(t ＋Δt )两时刻，振子的位移、加速度、速度等均大小相等、方向相同，E 选项正确．【答案】 ADE10．一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T ，振幅为A ，设振子第一次从平衡位置运动到x ＝A 2处所经历的时间为t 1，第一次从最大位移处运动到x ＝A 2所经历的时间为t 2，t 1与t 2的大小关系是________．【解析】 画出x -t 图象，从图象上，我们可以很直观地看出：t 1＜t 2.【答案】 t 1＜t 211.一个做简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过相距10 cm 的A 、B 两点，且由A 到B 的过程中速度方向不变，历时0.5 s(如图11-2-6)．过B 点后再经过t ＝0.5 s 质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B 点，则质点振动的周期是________．图11-2-6【解析】 根据题意，由振动的对称性可知：AB 的中点(设为O )为平衡位置，A 、B 两点对称分布于O 点两侧，质点从平衡位置O 向右运动到B 的时间应为t OB ＝12×0.5 s ＝0.25 s ，质点从B 向右到达右方极端位置(设为D )的时间t BD ＝12×0.5 s ＝0.25 s ，所以质点从O 到D 的时间t OD ＝14T ＝0.25 s ＋0.25 s ＝0.5 s ，所以T ＝2.0 s. 【答案】 2.0 s12．如图11-2-7为一弹簧振子的振动图象，试求：图11-2-7(1)写出该振子简谐运动的表达式；(2)在第2 s 末到第3 s 末这段时间内弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？(3)该振子在前100 s 的位移是多少？路程是多少？【解析】 (1)由振动图象可得A ＝5 cm ，T ＝4 s ，φ＝0则ω＝2πT ＝π2rad/s 故该振子简谐运动的表达式为x ＝5sin π2t cm. (2)由题图可知，在t ＝2 s 时，振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的推移，位移不断变大，加速度也不断变大，速度不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大．当t ＝3 s 时，加速度达到最大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值．(3)振子经一周期位移为零，路程为5×4 cm ＝20 cm ，前100 s 刚好经过了25个周期，所以前100 s 振子位移x ＝0，振子路程x ′＝20×25 cm ＝500 cm ＝5 m.【答案】 (1)x ＝5sin π2t cm (2)见解析 (3)0 5 m小课堂：如何培养学生的自主学习能力？ 自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
高二物理选修3-4第十一章机械振动全教案11．1简谐运动教学目的（1）了解什么是机械振动、简谐运动（2）正确理解简谐运动图象的物理含义，知道简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线。
2．能力培养通过观察演示实验，概括出机械振动的特征，培养学生的观察、概括能力教学重点：使学生掌握简谐运动的回复力特征及相关物理量的变化规律教学难点：偏离平衡位置的位移与位移的概念容易混淆；在一次全振动中速度的变化课型：启发式的讲授课教具：钢板尺、铁架台、单摆、竖直弹簧振子、皮筋球、气垫弹簧振子、微型气源教学过程（教学方法）教学内容[引入]我们学习机械运动的规律，是从简单到复杂：匀速运动、匀变速直线运动、平抛运动、匀速圆周运动，今天学习一种更复杂的运动——简谐运动。
1．机械振动振动是自然界中普遍存在的一种运动形式，请举例说明什么样的运动就是振动？[讲授]微风中树枝的颤动、心脏的跳动、钟摆的摆动、声带的振动……这些物体的运动都是振动。
请同学们观察几个振动的实验，注意边看边想：物体振动时有什么特征？[演示实验]（1）一端固定的钢板尺[见图1（a）]（2）单摆[见图1（b）]（3）弹簧振子[见图1（c）（d）] （4）穿在橡皮绳上的塑料球[见图1（e）]{提问}这些物体的运动各不相同：运动轨迹是直线的、曲线的；运动方向水平的、竖直的；物体各部分运动情况相同的、不同的……它们的运动有什么共同特征？{归纳}物体振动时有一中心位置，物体（或物体的一部分）在中心位置两侧做往复运动，振动是机械振动的简称。
2．简谐运动简谐运动是一种最简单、最基本的振动，我们以弹簧振子为例学习简谐运动。
（1）弹簧振子演示实验：气垫弹簧振子的振动[讨论] a．滑块的运动是平动，可以看作质点b．弹簧的质量远远小于滑动的质量，可以忽略不计,一个轻质弹簧联接一个质点，弹簧的另一端固定，就构成了一个弹簧振子c．没有气垫时，阻力太大，振子不振动；有了气垫时，阻力很小，振子振动。
物理选修3-4课后习题答案第^一章机械振动1简谐运动L肚题町以比慄坐逋过憎tS怵或烦麻PV俄號料.培斥学生收集侑凤的旄力匕世林菠L的坐杯代表时间.细樂标代点馆离平希何覺的侍毬・网为博用柿尊的齿移k小相齐的时闾•所以貝有习也拖动白址才能保证时阊均匀喪化F期枭殖动白醯的遽廈J2「• tO ni i A f 咿杯紬I皿炖縮，rut为1格.炳恪扎小丨^X fft< I J质我离开屮育他監的就大晚离h⑷g(?> fi I「、阳z. 5 s时・应点的旳讹都金跖腎樹心賞的7 rm 卜分別忡JT袖忖w⑶金这购小时划*崛点郁向*轴的H/f向运动.乩n：(I)第】耳内和第工、内.位移方向梨■?时述度的方輛UIHL那2 z内柿第1 *内.忖棉方I 対锻般吋谨堆的方向郴反.(21亿⑶ 2u ^u.2简谐运动的描述1. 祚：它们的孤锚分别射加和九*比Vi为E s 3;頻¥分别沟跻H叭I2. n：酣侍墨为了.£r依聽叫仆别竹出屮，乙曲化运副中『Rtu奄化的矣系式.屮t j-2sin｛；『+专｝乙工-珈(fr+j)3. 菩：忖公式町得这脚个简谐适动的位移H拠帼钦如阁Ml.3简谐运动的回复力和能量"HiniKr QL 1f( Ai JB t r O. 2sin(2« 5?tf+1-证明:小球静止时受到加力、料ift的支持力和歼法的拉力三个力的n用.平勘时禅竇仲枪『片・则范話iW“・鼻賞技长后.设离开平醫位置的位移为,規罐丁方向为疋方向，的拉力住索Q|| 厅=-事5+工）爪球沿斜向万冋愛齢力即为小球覺的回腿力卜十#w耳sin Q E— jfr（_r P+ j）十jfe_r“ = —k.i这个力与伯离単衡位會的估移诚止比II方向相鬼，因此小球的运动圧简谐运动°2. n：（I）如果不号虑水的黏滞顒力"木税矍列暇力和氷的浮力.审力恆定不瓷*浮力与M 水的体民说止比.木M止时的位肾柠做平裔位覺•以平術位陀为半杯礦点・如果木轶所受存力与只保离平衡位朮的位移成正比.J1方向相反.则町以料定木槌做简谐运动。
高中物理学习材料高一物理机械振动【教学结构】一、机械振动物体（质点）在某一中心位置两侧所做的往复运动就叫做机械振动，物体能够围绕着平衡位置做往复运动，必然受到使它能够回到平衡位置的力即回复力。
回复力是以效果命名的力，它可以是一个力或一个力的分力，也可以是几个力的合力。
产生振动的必要条件是：a、物体离开平衡位置后要受到回复力作用。
b、阻力足够小。
二、简谐振动1.定义：物体在跟位移成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动叫简谐振动。
简谐振动是最简单，最基本的振动。
研究简谐振动物体的位置，常常建立以中心位置（平衡位置）为原点的坐标系，把物体的位移定义为物体偏离开坐标原点的位移。
因此简谐振动也可说是物体在跟位移大小成正比，方向跟位移相反的回复力作用下的振动，即F=－k x，其中“－”号表示力方向跟位移方向相反。
2.简谐振动的条件：物体必须受到大小跟离开平衡位置的位移成正比，方向跟位移方向相反的回复力作用。
3.简谐振动是一种机械运动，有关机械运动的概念和规律都适用，简谐振动的特点在于它是一种周期性运动，它的位移、回复力、速度、加速度以及动能和势能（重力势能和弹性势能）都随时间做周期性变化。
三、描述振动的物理量，简谐振动是一种周期性运动，描述系统的整体的振动情况常引入下面几个物理量。
1.振幅：振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，常用字母“A”表示，它是标量，为正值，振幅是表示振动强弱的物理量，振幅的大小表示了振动系统总机械能的大小，简谐振动在振动过程中，动能和势能相互转化而总机械能守恒。
2.周期和频率，周期是振子完成一次全振动的时间，频率是一秒钟内振子完成全振动的次数。
振动的周期T跟频率f之间是倒数关系，即T=1/f。
振动的周期和频率都是描述振动快慢的物理量，简谐振动的周期和频率是由振动物体本身性质决定的，与振幅无关，所以又叫固有周期和固有频率。
四、单摆：摆角小于5°的单摆是典型的简谐振动。
细线的一端固定在悬点，另一端拴一个小球，忽略线的伸缩和质量，球的直径远小于悬线长度的装置叫单摆。
单摆做简谐振动的条件是：最大摆角小于5°，单摆的回复力F图1是重力在圆弧切线方向的分力。
如图1所示，单摆的周期公/。
由公式可知单摆做简谐振动的固有周期式是T=2 L g与振幅，摆球质量无关，只与L和g有关，其中L是摆长，是悬点到摆球球心的距离。
g 是单摆所在处的重力加速度，在有加速度的系统中（如悬挂在升降机中的单摆）其g 应为等效加速度。
五、振动图象。
简谐振动的图象是振子振动的位移随时间变化的函数图象。
所建坐标系中横轴表示时间，纵轴表示位移。
图象是正弦或余弦函数图象，它直观地反映出简谐振动的位移随时间作周期性变化的规律。
如图2所示，要把质点的振动过程和振动图象联系起来，从图象可以得到振子在不同时刻或不同位置时位移、速度、加速度，回复力等的变化情况。
六、阻尼振动、受迫振动、共振。
简谐振动是一种理想化的振动，当外界给系统一定能量以后，如将振子拉离开平衡位置，放开后，振子将一直振动下去，振子在做简谐振动的图象中，振幅是恒定的，表明系统机械能不变，实际的振动总是存在着阻力，振动能量总要有所耗散，因此振动系统的机械能总要减小，其振幅也要逐渐减小，直到停下来。
振幅逐渐减小的振动叫阻尼振动，阻尼振动虽然振幅越来越小，但振动周期不变，振幅保持不变的振动叫无阻尼振动。
振动物体如果在周期性外力──策动力作用下振动，那么它做受迫振动，受迫振动达到稳定时其振动周期和频率等于策动力的周期和频率，而与振动物体的固有周期或频率无关。
物体做受迫振动的振幅与策动力的周期（频率）和物体的固有周期（频率）有关，二者相差越小，物体受迫振动的振幅越大，当策动力的周期或频率等于物体固有周期或频率时，受迫振动的振幅最大，叫共振。
【解题点要】例1.物体做简谐振动，下列情况可能出现的是（ ）A. 在某一时刻，它的速度和回复力的方向相同，与位移方向相反B. 在某一时刻，它的动量，位移和加速度的方向 都相同C. 在某一时间内，它的回复力的大小增大，动能也增大D. 在某一段时间内，它的势能减小，加速度的大小也减小分析解答：弹簧振子和单摆是两个典型的简谐振动，可画出一个弹簧振子帮助分析。
如图3所示，分析振动的一个周期，O 为平衡位置，振子由A —O —B —O —A 之间往复运动。
在A →O 和B →O 阶段中，振子的速度方向跟回复力的方向相同，跟位移方向相反，A 选项正确；振子的速度方向由回复力方向决定，它跟位移的方向总是相反的，B 选项错；振子在振动过程中回复力大小与位移大小成正比，回复力增大时振动位移也增大，系统的势能增大，动能减小，它的回复力加速度也减小，如A →O 和B →O 阶段，选项D 正确。
点评：简谐振动的特点在于它是一种周期性的机械运动，它的位移、回复力、速度、加速度以及动能势能都随时间周期性变化。
应该明白振子在一个周期内不同阶段各物理量的变化规律。
这是要特别注意振动位移是以平衡位置为坐标原点的。
例2. 弹簧振子在AB 间作简谐振动，O 为平衡位置，AB 间距离是20厘米，A 到B 运动时间是2秒，如图3所示，则（ ）A. 从O →B →O 振子做了一次全振动 图2图3B. 振动周期为2S ，振幅是10cmC. 从B 开始经过6S ，振子通过的路程是60cmD. 从O 开始经过3S ，振子处在平衡位置分析解答：振子从O →B →O 只完成半个全振动，A 选项错误；从A →B 振子也只是半个全振动，半个全振动是2S ，所以振动周期是4S 。
振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，振幅A=10cm 。
选项B 错误；t =6S=112T ，所以振子经过的路程为4A ＋2A=6A=60cm ，选项C 正确；从0开始经过3S ，振子处在极限位置A 或B 。
D 选项错误。
点评：在描述振动的物理量中要明确振幅，位移和路程的关系和区别。
振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量；位移是物体相对平衡位置的位置变化，是矢量；路程是振动物体运动轨迹的长度，是标量，振幅在数值上等于最大位移的绝对值，振动物体在一个全振动内通过的路程为振幅的四倍。
例3. 如图4所示，用两根长度都为L 的绳线悬挂一个小球A ，绳与水平方向的夹角为α，使球A 垂直于纸面作摆角小于 5°的摆动，当它经过平衡位置的瞬间， 另一小球B 从A 球的正上方自由下落，并能击中A 球，则B 球下落的高度是 。
分析解答：球A 垂直于纸面作摆角小于5°的摆动，球A 的运动是简谐振动，摆长为L si n α，周期为T=L g sin /α。
球B 做自由落体运动，下落时间为t ，下落高度h=12g t 2。
当球A 经过平衡位置的瞬间，B 球开始下落，B 球若能击中A 球，B 球下落时间应为A 球做简谐振动半周期的整数倍，即t =n T/2。
则n πθL g h gsin =2解出B 球距A 球的高度h=12n 2π2L si n α(n =1、2、3…) 点评：振动的周期性表现在它振动的状态每隔一个周期的时间重复出现，因此在讨论某一状态出现的时间时，要注意它的多值性，并会用数学方法表示。
如本题中单摆小球从平衡位置出发再回到平衡位置的时间是半周期整数倍的一系列值。
例4. 若单摆的摆长不变，摆角小于5°，摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置的速度减小为原来的1/2，则单摆的振动（ ）A. 频率不变，振幅不变B. 频率不变，振幅改变C. 频率改变，振幅改变D. 频率改变，振幅不变分析解答：单摆的周期T=2πL g /，与摆球质量和振幅无关，只与摆长L 和重力加速度g 有关。
当摆长L 和重力加速度g 不变时，T 不变，频率f 也不变。
选项C 、D 错误。
单摆振动过程中机械能守恒。
如图5所示，摆球在极限位置A 的重图4 图5力势能等于摆球运动到平衡位置的动能，即m gL(1－cos θ)=12m υ 2，υ=21gL (cos )-θ，当υ减小为υ/2时，cos θ增大，α减小，振幅A 减小，选项B 正确。
点评：单摆的周期只与摆长和当地重力加速度有关，而与摆球质量和振动幅无关，摆角小于5°的单摆是简谐振动，机械能守恒。
例5. 一弹簧振子做简谐振动，周期为T ，则（ ）A. 若t 时刻和(t ＋∆t )时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则∆t 一定等于T 的整数倍 B. 若t 时刻和(t ＋∆t )时刻振子运动位移的大小相等、 方向相反，则∆t 一定等于T/2的整数倍。
C. 若∆t =T ，则在t 时刻和(t ＋∆t )时刻振子运动的加速度一定相等D. 若∆t =T/2，则在t 时刻(t ＋∆t )时刻弹簧的长度一定相等。
分析解答：画出弹簧振子做简谐振动的图象如图6所示，用图象分析较直观，方便。
图中A 点与B 、E 、F 、I 等点的位移相等，方向相同。
A 点与E 、I 等点对应的时刻差为T 或T 的整数倍；A 与B 、F 等点对应时刻差不为T 或T 的整数倍，选项A 不正确。
A 点与C 、D 、G 、H 等点的振动位移大小相等，方向相反，由图可知，A 点与C 、G 等点对应的时刻差为半周期或半周期的奇数倍；A 点与D 、H 等点对应的时刻差不为半周期或半周期的奇数倍，选项B 不正确。
如果t 时刻和(t ＋∆t )相差为T ，如图中A 、E ；E 、I ，则这两个时刻振动情况完全相同，加速度一定相等，选项C 正确。
如果t 时刻和(t ＋∆t )时刻相差半个周期，如图中A 、C ；C 、E 等，则这两个时刻振动的位移大小相等，方向相反，弹簧的形变量大小相同，但一个压缩一个伸长，两弹簧的长度显然不相同，选项D 也不正确。
点评：简点做简谐振动的情况要和振动图象结合起来，利用简谐振动的图象分析认识简谐振动的周期性变化更直观、方便。
例6. 如图7所示，A 、B 、C 、D 为四个悬挂在水平细线上的单摆，A 的质量为2m ，摆长为L ；B 的质量为m ，摆长为2L ；C 的质量为m ，摆长为L ，D 的质量为m ，摆长为3L /2，当A 振动起来后，通过水平绳迫使B 、C 、D 振动，则下列说法中正确的是（ ）A. A 、B 、C 、D 四个单摆的振动周期相同B. 只有A 、C 两个单摆的振动周期相同C. C 的振幅比D 的大，D 的摆幅比B 的大D. A 、B 、C 、D 四个单摆的振幅相同 分析解答：这是一个典型的受迫振动的问题，单摆A 以T=2πL g /的周期振动时，通过悬线以相同的周期对B 、C 、D 提供策动力，使B 、C 、D 发生受迫振动，受迫振动稳定后其周期等于策动力周期，而与受迫振动的物体固有周期无关。
