三角形知识结构图

变式：以上条件不变，将△ABC绕点C旋转一定角 度（大于零度而小于六十度），以上的结论还成 立吗？
谈谈你的收获
1.梳理本章知识，建立知识结构图
2.数学思想和方法： （1）数形结合思想
（2）一题多变
作业：P55 5、10
1.如图：在△ABC中，∠C =900，AD平分∠ BAC ，DE⊥AB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE= 。
2.如图,在△ABC中，AC⊥BC，DE⊥AB，DE=CD ∠CAD＝310，则∠B =__________
c
D
A
E
B
A E
C D
B
典例讲解 四、全等三角形性质和判定的综合应用 已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C， D在一条直线上.求证：BE=AD.
第十二章 全等三角形 —小结与复习
本章的知识结构图： SSS、SAS、ASA、AAS、HL
判定
全等形
全等三角形 角平分线的性质
性质
对应边相等，对应角相等
典例讲解 一、全等三角形性质应用
1.如图1，△AOB≌△COD，AB=5,∠C=62°则
CD=
,∠A=
.
2.如图，△ABC≌△DEF，△ABC的周长13，DE=3，
DF=4，则EF的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6 D
B
C
O
A
E
F
A
D
第1题
B
C
第2题
典例讲解
二.全等三角形的判定：
1、如图1，已知△ABC和△DCB中，AB=DC，请补
充一个条件
，使△ABC≌ △DCB。
2、如图2，已知∠1= ∠2，要识别△ABC≌△CDA

《全等三角形》一、结构梳理二、知识梳理（一）概念梳理1．全等图形定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同．例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形．2．全等三角形这是学好全等三角形的基础．根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．完全重合有两层含义：（1）图形的形状相同；（2）图形的大小相等．符号“≌”也形象、直观地反映了这一点．“∽”表示图形形状相同，“=”表示图形大小相等．（二）性质与判定梳理1．全等图形性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等．全等三角形的对应边、对应角分别相等．2．全等三角形的判定这是学好全等三角形的关键．只给定一个条件或两个条件画三角形时，都不能保证所画出的三角形全等，只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方法有：（1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：SSS ；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：ASA；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：AAS；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS．若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（HL）。

由此可以看出，判断三角形全等，无论用哪一条件，都要有三个元素对应相等，且其中至少要有一对应边相等．（5）注意判定三角形全等的基本思路从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有图2三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）去迅速准确地确定要补充的边（角），不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件．从而得到判定两个三角形全等的思路有：⎪⎩⎪⎨⎧→→SSS SAS 找另一边找夹角 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→→→→→SAS AAS ASA AAS 找该角的另一边找这条边上的对角找这条边上的另一角边就是角的一条边找任一角边为角的对边 ⎩⎨⎧→→AASASA 找任一边找两角的夹边 （6）学会辨认全等三角形的对应元素辨认全等三角形的对应元素最有效的方法是，先找出全等三角形的对应顶点，再确定对应角和对应边，如已知△ABC ≌EFD ，这种记法意味着A 与E 、B 与F 、C 与D 对应，则三角形的边AB 与EF 、BC 与FD 、AC 与ED 对应，对应边所夹的角就是对应角，此外，还有如下规律：（1）全等三角形的公共边是对应边，公共角是对应角，对顶角是对应角；（2）全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角．（三）基本图形梳理注意组成全等三角形的基本图形，全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等图形变换而得到的，所以全等三角形的基本图形大致有以下几种：1．平移型 如图3，下面几种图形属于平移型：它们可看成有对应边在一直线上移动所构成的，故该对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到．2．对称型 如图4，下面几种图形属于对称型：它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形），重合的顶点就是全等三角形的对应顶点．3．旋转型 如图5，下面几种图形属于旋转型：它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转所构成的，故一般有一对相等的角隐含在对顶角、某些角的和 或差中． 三、易混、易错点剖析1．探索两个三角形全等时，要注意两个特例（1两个三角形不一定全等；如图6（1已知两边 已知一边一角 已知两角 图3图4图6（1）角都是600，但这两个三角形显然不全等； （2）两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如图6（2），中的△ABC 和△ABD 中，虽然有AB=AB ，AC=AD ，∠B=∠B ，但它们显然不全等． 2．在判定三角形全等时，还要注意的问题 在判定三角形全等时，应做到以下几点：（１）根据已知条件与结论认真分析图形；（２）准确无误的确定每个三角形的六个元素；（３）根据已知条件，确定对应元素，即找出相等的角或边；（４）对照判定方法，看看还需什么条件两个三角形就全等；（５）想办法找出所需的条件来．四、例题：例1．如图7（1），E 、F 分别是四边形ABCD 的边BA 、DC 延长线上的点，AB//CD ，AD//BC ，且AE=CF ，EF 交AD 于G ，交BC 于H ．（1）图中的全等三角形有 对，它们分别是 ；（不添加任何辅助线）（2）请在（1）问中选出一对你认为全等的三角形进行证明． 我选择的是： ．解：（1）2，△AEG ≌△CFH 和△BEH ≌△DFG ． （2）如求证明：△AEG ≌△CFH ．证明：在平行四边形ABCD 中，有∠BAG=∠HCD ， 所以∠EAG=1800－∠BAG=1800－∠HCD=∠FCH ． 又因BA ∥DC ，所以∠E=∠F ．又因AE=CF ，所以△AEG ≌△CFH ．点评：本题简单地考察学生对图形的识别能力以及证明能力，主要是根据全等三角形的判定条件去寻找，然后再作出证明．例2．如图8，在△ABD 和△ACE 中，有下列四个等式：○1AB=AC ○2AD=AE ○31=∠2○4BD=CE. 请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）．（提示：答案不唯一）．点评：本题是条件组装题，答案不唯一，它重点考查学生的创新意识和能力，四个命题进行组合，有六种情况，这六种情况中 有的是假命题，请同学们注意分辨．例3．如图9，点E 在AB 上，AC=AD ，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。

第二十四章圆
知识结构图
第二十五章概率初步
知识结构图
第二十六章二次函数
知识结构图
第二十七章相似
知识结构图
第二十八章锐角三角函数
知识结构图
第二十九章投影与视图
知识结构图
第一章有理数
知识结构图
第二章整式的加减
知识结构图
知识结构图
第四章图形的认识初步
知识结构图
第五章相交线与平行线
知识结构图
第六章平面直角坐标系
知识结构图
第七章三角形
知识结构图
第八章二元一次方程组
知识结构图
第九章不等式与不等式组
知识结构图
第十章数据的收集、描述与整理
知识结构图
第十一章全等三角形
知识结构图
第十二章轴对称
知识结构图
等十三章实数
知识构图
第十四章一次函数
知识结构图
第十五章整式的乘除与因式分解
知识结构图
第十六章分式
知识结构图
第十七章反比例函数
知识结构图
第十八章勾股定理
知识结构图
第十九章四边形
知识结构图
第二十章数据的分析
知识结构图
第二十一章二次根式
知识结构图
第二十二章一元二次方程
知识结构图
第二十三章旋转
知识结构图

6. 四边形ABCD是平行四边形,点E是 BC的延长线 上的一点,而CE:BC=1:3,则 △ADG和△EBG的周 长比3：4 ， 9：16 为面积比。
A
D
GF
B
CE
7. 举例说明三角形类似的一些应用． 例如用类似测物体的高度
测山高
测楼高
D
E 1.2m
A 1.6m B 8.4m C
8. 如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝ 80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两 个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
3.如图,DE∥BC,AD:DB=1:2,DC,BE交于点O, 则△DOE与△BOC的周长之比是__1_:_3___, 面积比是___1_:_9___.
A
D
E
O
B
C
4、 两类似三角形对应高之比为3∶4，周长之和为28cm， 则两个三角形周长分别为 12cm与16cm
5、 两类似三角形的类似比为3∶5，它们的面积和为 102cm2，则较大三角形的面积为 75cm2
C2
A
C
B
A2
C1 B2
A
A1 B1
C
B
4、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6， BC=12,点P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q 从B点出发向C点以2m/s的速度移动，如果P、Q分别 从A、B两地同时出发，几秒后△ PBQ与原三角形类 似？
C
Q Q
B PP A
学以致用：
5.如图⊿ABC中，AB=8cm，BC=16cm ，点P从A点开始沿AB边向点B以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向 点C以4cm/s的速度移动。若点P、Q从A 、B处同时出发，经过几秒钟后， ⊿PBQ与⊿ABC类似？

第一章有理数学问构造图
第二章整式的加减
学问构造图
第三章一元一次方程
学问构造图
第四章图形的相识初步
学问构造图
第五章相交线与平行线
学问构造图
第六章平面直角坐标系
学问构造图
第七章三角形
学问构造图
第八章二元一次方程组
学问构造图
第九章不等式与不等式组
学问构造图
第十章数据的搜集、描绘与整理
学问构造图
第十一章全等三角形
学问构造图
学问构造图
等十三章实数
学问构造图
第十四章一次函数
学问构造图
第十五章整式的乘除与因式分解学问构造图
第十六章分式
学问构造图
第十七章反比例函数
学问构造图
第十八章勾股定理
学问构造图
第十九章四边形
学问构造图
第二十章数据的分析
学问构造图
第二十一章二次根式
学问构造图
第二十二章一元二次方程
学问构造图
学问构造图
第二十四章圆
学问构造图
第二十五章概率初步
学问构造图
第二十六章二次函数
学问构造图
第二十七章相像
学问构造图
第二十八章锐角三角函数学问构造图
第二十九章投影与视图学问构造图。

（1）概念：实数是有理数和无理数的统称； （2）分类：
7
a 按定义分


正整数

正有理数

实数有理数负零有理数负 负正分 整分数 数数有限小数或无限循环小数
无理数负正无无理理数数无限不循环小数
b 按大小分:
正实数 实数 零
4、如图，每个图中是由若干个盆花组成的图案，每条边（包括两个顶点）有 n 盆花， 每个图案的花盆总数是 S，求 S 与 n 之间的关系式.
9
2、函数的概念
一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，
y 都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。如果当 x=a 时，
6
第十三章
（一）本章知识结构框图
实数知识点汇总
1．本章知识的内在结构如下图所示：
2．本章知识的展开顺序如下图所示：
（二）知识点梳理： 本章主要内容包括算术平方根、平方根、立方根以及实数的有关概念和运算。本章的
重点是算术平方根和平方根的概念和求法，本章难点是平方根和实数的概念
1．有理数，无理数概念： 有理数：任何有限小数和无限循环小数都是有理数。 无理数：无限不循环小数叫做无理数。
负实数
在数轴上表示的两个实数,右边的数总比左边的数大. 5．与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数 范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表 示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数 填满。
例 1、写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是变量，哪 些量是常量？

三角形章节
1.
1.1.
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
1.2.
两腰相等
两底角相等
三线合一
顶角平分线
底边上的中线
底边上的高
轴对称图形
1.3.
①有两条边相等的三角形是等腰三角形．
②有两个角相等的三角形是等腰三角形．
2.
2.1.
顶角等于90°；
底角等于45°；
两直角边相等；
2.2.
①顶角为90°的等腰三角形．
②底角为45°的等腰三角形．
3.
3.1.
有三条边相等的三角形叫做等边三角形．
3.2.
三条边都相等；
三个角பைடு நூலகம்等于60°；
三个角都相等；
三线合一
顶角平分线
底边上的中线
底边上的高
3.3.
①三条边都相等的三角形是等边三角形．
②三个角都相等的三角形是等边三角形．
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

⼈教版⼋年级各章知识结构图第⼀章有理数
知识结构图
第⼆章整式的加减
知识结构图
第三章⼀元⼀次⽅程知识结构图
第四章图形的认识初步知识结构图
第五章相交线与平⾏线知识结构图
第六章平⾯直⾓坐标系知识结构图第七章三⾓形
知识结构图
第⼋章⼆元⼀次⽅程组
知识结构图
第九章不等式与不等式组
知识结构图
第⼗章数据的收集、描述与整理知识结构图
第⼗⼀章全等三⾓形知识结构图
第⼗⼆章轴对称
知识结构图
等⼗三章实数
知识结构图
第⼗四章⼀次函数知识结构图
第⼗五章整式的乘除与因式分解知识结构图
第⼗六章分式
知识结构图
第⼗七章反⽐例函数
知识结构图
第⼗⼋章勾股定理
知识结构图
第⼗九章四边形
知识结构图
第⼆⼗章数据的分析知识结构图
第⼆⼗⼀章⼆次根式知识结构图
第⼆⼗⼆章⼀元⼆次⽅程知识结构图
第⼆⼗三章旋转
知识结构图
第⼆⼗四章圆
知识结构图
第⼆⼗五章概率初步知识结构图
第⼆⼗六章⼆次函数知识结构图
知识结构图。

三角形知识‎结构图定义：多边形多边形内角‎和：1. 三角形的三‎边关系:(1) 三角形两边‎的和大于第‎三边(2) 三角形两边‎的差小于第‎三边2. 判断三条已‎知线段a、b、c能否组成‎三角形.当a最长,且有b+c>a时,就可构成三‎角形.3. 确定三角形‎第三边的取‎值范围:两边之差<第三边<两边之和.△ABC的三‎边分别为a‎,b,ca+b＞c＜c4. 三角形的三‎条高线(或高线所在‎直线)交于一点锐角三角形‎三条高线交‎于三角形内‎部一点,直角三角形‎三条高线交‎于直角顶点‎，钝角三角形‎三条高线所‎在直线交于‎三角形外部‎一点。

5、三角形的三‎条中线交于‎三角形内部‎一点。

6. 三角形的三‎条角平分线‎交于三角形‎内部一点。

7. 三角形的分‎类(2) 按边分8. 三角形的主‎要线段（1）、三角形的高‎线定义：从三角形的‎一个顶点向‎它的对边所‎在直线作垂‎线，_____‎_____‎_____‎的线段叫做‎三角形的高‎线.（2）、三角形角平‎分线的定义‎：三角形一个‎角的平分线‎与它的对边‎相交，这个角的之间的线段‎叫做三角形‎的角平分线‎。

（3）、三角形的中‎线定义：连结三角形‎一个的线段叫做‎三角形的中‎线。

9. 三角形木架‎的形状不会‎改变,而四边形木‎架的形状会‎改变.这就是说,三角形具有‎稳定性,而四边形没‎有稳定性。

10. 三角形内角‎和定理三角形的内‎角和等于1‎80°直角三角形‎的两个锐角‎互余。

11. 三角形外角‎和定理：三角形的外‎角和等于3‎60°12. 三角形的外‎角与内角的‎关系（1）三角形的一‎个外角等于‎与它不相邻‎的两个内角‎的和。

（2）三角形的一‎个外角大于‎与它不相邻‎的任何一个‎内角。

13、n边形的内‎角和等于(n－2)·180 .多边形的外‎角和都等于‎360°.我们通过把‎多边形划分‎为若干个三‎角形，用三角形内‎角和去求多‎边形内角和‎，从而得到多‎边形的内角‎和公式为（ｎ－２）×180°。

综合能力
实践活动
利用这三条线段摆一个三角形，动手量一量给出来的三角形，以小组为单位先画4个不同类型的三角形，利用手中的工具分别计算三角形三个内角的和各是多少度。
作业设计
《索认识三角形的特性，。
2、探索三角形的内角和是180°
3、知道三角形任意两边之和大于第三边
4、灵活运用所学知识解释生活中的相关现象并解决简单的实际问题。
创新点
本单元是从学生的生活实践出发，，给予学生充分从事数学活动的时间和空间，让他们通过观察、操作、有条理的思考和推理、交流等活动，经历从现实空间抽象出几何图形的、探索；图形性质及其变化规律的过程，从而获得对图形的认识，发展窨观念。
单元教学目标
科目
第8册第五单元
执教
单元内容
三角形
教学目标
认知目标
1、认识三角形的特性，知道三角形任意两边之和大于第三边
2、会根据三角形的边、角特点给三角形分类，
3、三角形的内角和是180°
情感目标
1、注重培养学生的思维灵活性和创新意识。
2、加强直观演示和实践操作，引导学生积极参与知识的形成过程，感受成功的体验。
3、注重引导学生参与小组合作学习，培养学生的合作、交流意识。
操作目标
1、经历度量三角形边长的实践活动，理解三角形三边不等的关系。
2、通过动手操作，会按角的特征及边的特征给三角形进行分类。
3、通过动手操作，使学生理解并掌握三角形的内角和是180°的结论
探究能力
基础知识
学生已有一定的“空间与图形”的知识和经验，形成一定的抽象思维能力。

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第一章有理数知识框架
第二章整式的加减知识框架
第三章一元一次方程知识框架
第四章图形的认识初步知识框架
第五章相交线与平行线知识框架
第六章平面直角坐标系知识框架
第七章三角形知识框架
第八章二元一次方程组知识结构图
第九章不等式与不等式组知识框架
第十章数据的收集、整理与描述知识框架
第十一章全等三角形知识框架
第十二章轴对称知识框架
第十三章实数知识框架：
有理数
实数
无理数
全面调查
抽样调查
收
集
数
据
描
述
数
据
整
理
数
据
分
析
数
据
得
出
结
论
第十四章 一次函数知识框架
第十五章 整式的乘除与分解因式知识框架
第十六章 分式知识框架
第十七章 反比例函数知识框架
整式乘法
整式除法
因式分解
乘法法则
第十八章勾股定理知识框架
第十九章四边形知识框架
第二十章数据的分析知识框架
第二十一章二次根式知识框架
第二十二章一元二次方程知识框架
第二十三章旋转知识框架
第二十四章圆知识框架
第二十五章概率
知识框架
第二十六章二次函数知识框架
第二十七章相似知识框架
第二十八章锐角三角函数知识框架
第二十九章投影与视图知识框架。