2016##铁路工程职业技术学院单招数学模拟试题第I 卷〔选择题,共60分〕一、选择题〔本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的〕：1．下列函数中,周期为π,且为偶函数的是〔 〕A ．y = | sin x |B ．y = 2sin x ·cos xC ．y = cosD ．y =cos2x 2．已知全集U = Z ,A=｛1,3,5｝,B=｛ x | x 3 - 2x 2 - 3x = 0｝,则B ∩C u A 等于〔 〕 A ．｛1,3｝B ．｛0,-1｝C ．｛1,5｝D ．｛0,1｝3．双曲线中心在原点,实轴长为2,它的一个焦点为抛物线y 2 = 8x 的焦点,则此 双曲线方程为〔 〕A ．32x －y 2 = 1B ．32y －x 2 = 1C ．y 2 －32x = 1D ．x 2 －32y = 14．设a ．b 为两条直线,α．β为两个平面,则下列命题正确的是〔 〕 A ．a ．b 与α成等角,则a //b ；B ．若a ∥α,b ∥β,α∥β则a ∥b ； C ．a ⊃α,b ⊂β,a ∥b 则α∥β；D ．a ⊥α,b ⊥β,α∥β则a ∥b ． 5．设a 1 = 2,数列{1+2a n }是以3为公比的等比数列,则a 4的值为〔 〕 A ．67B ．77C ．22D ．2026．已知向量a = 〔－1,2〕,b = 〔2,1〕,则a 与b 的位置关系是〔 〕 A ．平行且同向B ．不垂直也不平行C ．垂直D ．平行且反向 7．在nxx )1(2-的展开式中,常数项为15项,则n 的值为〔 〕A ．6B ．5C ．4D ．38．若f <x >= 3x 的反函数为g 〔x 〕,且g <a >+g <b >=2,则a 1+b1的最小值为〔 〕 A ．31B ．32C ．43D ．1 9．定义运算⎩⎨⎧>≤=⊕)(,)(,y x y y x x y x 若| m – 2 | ⊕m = | m －2|,则m 的取值X 围是〔 〕A ．<－∞,1>B ．[1,+∞]C ．<0,+∞>D ．<-∞,0>10．在△ABC 中,三边为a ,b ,c 且a =2b ·sinA,则B 的大小为〔 〕A ．6π或3πB ．3π或4πC ．3π或32πD ．6π或65π11．不等式log 3< | x – 5 | + | x + 4 | > > a 对于x ∈R 恒成立,则a 的取值X 围是〔 〕 A ．<－∞,9>B ．<－∞,2>C ．〔2,9〕D ．[1,+∞]12．有n 支球队参加单循环赛,其中两个队各赛了三场就退出了比赛,且此两队之间未进行比赛,这样到比赛结束时共赛了34场,那么n 等于〔 〕 A ．12B ．11C ．10D ．9第II 卷〔非选择题,共90分〕二、填空题〔本大题共4小题,每小题4分,共16分〕把答案填在横线上 13．某工厂生产A ．B ．C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为3:4:7现用 分层抽样方法取出一个容量为n 的样本,样本中B 型号产品有28件,那么此样本 的容量n =．14．设实数x ．y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--.032,042,02y y x y x 则x y 的最大值为．15．定义运算c a db = ad –bc ,则满足条件y x 211+-121--x y= 0的点p 的轨迹方程为．16．点P 在正方形ABCD 所在的平面外,PD ⊥平面ABCD,且PD=AD,则PA 与BD 所成角的大小为．三、解答题〔本大题6个小题,共74分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤〕17．〔12分〕某地一天从6时到14时的温度变化曲线如图示,它近似满足函数y =Asin<ωx +ϕ>+b ．〔1〕求这段时间的最大温差； 〔2〕试求这段曲线的函数解析式．18．〔12分〕袋中有大小相同的5个白球和3个 黑球,现从中任意摸出4个,求下列事件发生的概率：〔1〕摸出2个或3个白球； 〔2〕至少摸出一个黑球．19．〔12分〕如图,在三棱锥P - ABC 中,△ABC 是边长为2的等边三角形,且∠PCA=∠PCB 〔1〕求证：PC ⊥AB ；〔2〕若O 为△ABC 的中心,G 为△PAB 的重心,求证：GO ∥平面PAC ；20．〔12分〕已知函数f <x >=a x 3+b x 2+c <a ,b ,c ∈R ,a ≠0> 的图像过点P <-1,2>,且在点P 处的切线与直线x -3y =0垂直．〔1〕若c =0试求函数f <x > 的单调区间；〔2〕若a >0,b > 0且 <-∞,m >,<n ,+∞>是f <x > 的单调递增区间,试求n -m 的X 围．21．〔12分〕设椭圆22a x +22by = 1〔 a > b > 0 〕的左焦点为F ,上顶点为A ．过A 做直线l⊥AF ,l 分别交椭圆和x 轴正半轴于P 、Q 两点,若P 分AQ 所成的比为8∶5． 〔1〕求椭圆的离心率；〔2〕若过A 、Q 、F 三点的圆恰好与直线x +3y + 3 = 0相切,求椭圆方程．22．〔14分〕已知P n < a n ,b n >< n ∈N * >都在直线l ∶y = 2x + 2上,P 1为直线l 与x 轴的交点,数列{a n }为等差数列,公差为1．→〔1〕求数列{a n }、{b n }的通项公式；〔2〕若f <n> = ⎩⎨⎧为偶数），（为奇数），（n b n a n n 是否存在k ∈N *,使得f <k +5>=2f <k >-2成立？若存在,求出k 值；若不存在,说明理由；〔3〕求证：2211p p +2311p p + … +211np p <52,〔n ≥ 2,n ∈ N *〕 参考答案一、选择题〔本大题共12小题,每小题5分,共60分〕13．98 14．2 15．〔理〕-2±2i 〔文〕〔x -1〕2 + 4y 2 = 1 16．3三、解答题17．解：〔1〕由图示,这段时间的最大温差是30-10=20〔C ︒〕…………………………4′〔2〕图中从6时到14时的图像是函数y =Asin<ωx +ϕ>+b 的半个周期的图像．∴21·ωπ2= 14-6,解得ω= 8π…………………………………………………………6′ 由图示A =21〔30 - 10〕= 10,b = 21〔30+10〕 = 20,这时y =10sin 〔8πx + ω〕+ 20…………………………………………………………………………………………………8′将x = 6,y = 10代入上式可取ϕ=43π,…………………………………………… 10′ 综上所求的解析式为y =10sin<8πx + 43π>+ 20,x ∈[6,14]. ………………………12′18．解：〔1〕设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件A 、B,则P 〔A 〕=482325C C C ⋅ = 73,P 〔B 〕= 481335C C C ⋅ = 73．………………………………………………………4′ ∵A 、B 为两个互斥时间,∴P 〔A+B 〕= P 〔A 〕+P 〔B 〕=76． 即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为76………………………………………6′ 〔2〕设摸出的4个球中全是白球为事件C,则P 〔C 〕= 4845C C = 141,……………10′"至少摸出一个黑球〞为事件C 的对立事件,其概率为P = 1-141 = 1413． ………12′ 19．证明：〔1〕设H 为AB 中点,连PH 、CH ．……………………………………………2′∠PCA=⎪⎭⎪⎬⎫=∠=CB CA PCB PC PC ⇒△PCA ≅△PCB ⇒在等边三角形ABC 中, ⊥⇒AB平面PCH PC AB ⊥⇒…… …………………………………………………………………………………理8′〔文12′〕〔2〕点G ．O 分别在PH ．CH 上,////21GO PC GO OC HO GP HG ⇒⇒==平面PAC ⎭⎬⎫⊥⊥⇒=AB CH AB PH PB PA〔理〕〔3〕由〔1〕可知∠PHC=θ为二面角P – AB – C 的平面角,θ为锐角,cos θ > 0．在等边三角形ABC 中,CH=3,PG=334⇒PH = 23PG=23, 设PC =x ,则x 2= 3 + 12 - 12 cos θ⇒ cos θ = 12152x - > 0,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+>+>-;,012152AP AC x PH CH x x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->><<.213,3,150x x x ⇒3 < x < 15．……………12′ 20．解：〔1〕由f <x >过点P 得-a + b + c = 2,f ˊ<x >=3a x 2 + 2b x , ………………2′因为f <x >在P 处的切线与x - 3y = 0垂直,所以3a – 2b = -3．又c = 0,解得a = 1,b = 3,所以f ′<x >=3x 2 + 6x ．………………………………4′ 令f ˊ<x > = 0得x 1 = 0, x 2 = -2；当x>0或x < -2,f ˊ<x > > 0,当 –2 <x < 0 ,f ˊ<x > < 0,所以〔-∞,-2〕,〔0,+∞〕是f<x >的单调递增区间,〔-2,0〕是f <x >的单调递减区间．…………………………………………………………………………………………… 6′<2>由f ′<x > = 3a x 2 + 2b x =0,得x 1=0,x 2 = -ab32．……………………………… 8′又因为a > 0,b > 0所以当x > 0,或χ< ab32-,f ˊ<x > > O, 因此〔-∞,-ab32〕,< 0,+∞>是f <x >的单调递增区间,………………………………10′ 于是有n – m = 0 -<-a b 32> = ab 32．由〔1〕知-a + b +c = 2,且3a - 2b = -3, 所以a = 1 - 2c > 0,b = 3 - 3c > 0,从而得c <21． n – m =a b 32 = 32·c c 2133-- = 1 - 121-c > 1,故n – m >1．……………………12′ 21．解：〔1〕由F 〔-c,0〕,A 〔0,b 〕知直线AP 方程为y – b = -bcx ,令y = 0得 Q 〔cb 2,0〕………………………………………………………………………………2′设P 〔x 0,y 0〕,P 分AQ 所成的比为λ= 58,58158020+⋅+=c b x 代入22a x + 22b y = 1 中得2b 2 = 3ac,又b 2 = a 2-c 2,解得离心率c =21．………………6′〔2〕Rt △AOF 中,| AF | = a,sin ∠FAO =a c = ⇒21∠FAO = 6π,∠AQF = 6π,则| FQ | = 2| AF |= 2a = 4c,故圆心B 〔c,0〕,∴Rt △QAF 的外接圆方程为<x – c >2 + y 2 = a 2,……………………………………10′该圆与x +3y + 3 = 0相切,则d =2|3c |+ = a ． 则得P 〔c b 1382,135b 〕．………4′→即c + 3 = 2a = 2×2c ⇒c = 1,则a =2,b 2 = 3．∴所求椭圆方程为42x +32y = 1．……………………………………………………12′22．解〔1〕〔理〕P 1<a 1,b 1>为直线y = 2χ+ 2与x 轴交点,则a 1 = -1,b 1 = 0………2′由已知x 、y ∈〔0,+∞〕,都有g<x ·y > = g<x > + g<y >成立,又g<2> = 1, 得g<4> = =g<2⨯2> = g<2> + g<2> = 2,因为n ≥ 2时,b n > 0,且g<S n > = g<b n > + g<2+b n > - 2,〔 n ∈N * 〕所以2 + g< S n > = g< b n > + g< 2+b n >,即g<4> +g< S n > = g< b n > + g< 2+b n >．所以4S n =b n 〔2+b n 〕⇒b 2 = 2, b 2– b 1 = 2；由4S n = b n <2+b n >与4S n+1 = b n+1<2 +b n+1>⇒b n+1 - b n = 2所以{b n }是以0为首项,2为公差的等差数列,∴b n = 2n-2 ……………………4′ 因为P n < a n ,b n >< n ∈ N *>在直线y = 2x + 2上,则b n = 2a n + 2,∴a n = n - 2．……………………………………………………………6′ 〔1〕〔文〕解：P 1=<a 1,b 1>为直线y = 2x + 2与x 轴交点,则a 1 = -1,b 1 = 0 ……2′∴a n = -1 + < n – 1 > = n – 2,()n n n b a P ，〔n ∈N *〕在直线y = 2x + 2上, 则b n =2a n + 2,∴b n = 2n - 2．……………………………………………………………4′ 〔2〕k 为偶数时,f <k + 5> = a k+ 5 =k + 3,2f <k > – 2 = 2< 2k – 2 > – 2 = 4k - 6由k + 3 = 4k - 6⇒k = 3 ,与k 为偶数矛盾,k 为奇数时,f <k +5> = b k+5 = 2k + 8,2 ƒ <k > – 2 = 2k - 6由2k + 8 = 2k - 6得k 不存在．故满足条件的k 不存在．…………………理10′<文9′>〔3〕| P 1P n |2 =< n – 1 >2 + < 2n – 2 >2 = 5< n – 1 >2,n ≥ 2,221|P |1P + 231|P |A P + … + 21|P |1n P = 51[211+221+ … + 2)1(1-n ]≤51[211 + +⨯+⨯321211… + )1)(2(1--n n ] = 52)112(51)1111(51<--=--+n n ∴++231221|P |1|P |1P P … + )2(52|P |1*21N n n P n ∈≥<，………………………14′。
